1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ. . Άρα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Γι μη μετκιηθεί το σώμ χρειάζετι εφρμοστεί δύμη B F F F F F Σ F F F F F Β Έχουμε διδοχικά: γ δ δ γ BA Άρ το τετράπευρο ΑΒΓΔ είι πρηόγρμμο Α Β a Δ Γ Ο Έχουμε διδοχικά: γ δ A B A B Άρ το τετράπευρο ΑΒΓΔ έχει ίσες διγώιες Από τ ερωτήμτ κι προκύπτει ότι το τετράπευρο ΑΒΓΔ είι πρηόγρμμο με ίσες διγώιες άρ είι ορθογώιο

2 8 γ ζ ε δ γ Έχουμε διδοχικά: AB A A AE AB A AE A E B Άρ το τετράπευρο ΒΔΓΕ είι πρηόγρμμο Έχουμε: AB OBOA O O OBOAO O OB OAO O OBO 6 Έστω Ο το κέτρο του εξγώου Γωρίζουμε ότι οι πευρές του κοικού εξγώου είι ίσες με τη κτί του Επομέως AB B OA OB O O κι άρ τ τετράπευρ ΟΑΒΓ κι ΟΒΓΔ είι ρόμοι Έτσι έχουμε Ζ Α Ο a Β Γ O O B AB Ε Δ 7 Α Ο είι έ σημείο φοράς έχουμε: P P P P P P P6 P P P6 P P OP OP OP OP OP OP OP6 OP OP OP OP OP6

3 9 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Α ΟΜΑΔΑΣ Το διάυσμ είι γιόμεο του θετικού ριθμού με το επομέως είι ομόρροπο με το κι έχει μέτρο ίσο με Έχουμε διδοχικά: Έχουμε διδοχικά: 7 7 Έχουμε διδοχικά: BM M AM A AB AM γ γ γ γ

4 Προφώς είι B Έχουμε διδοχικά: E EBB EB EBB B EB EB B Άρ EB Έχουμε: BB Έχουμε διδοχικά: E EB AE A AB AE A AB AE AE Έχουμε διδοχικά: AE AB A AE AE E EB E B E E B E E B E E E E

5 Έχουμε E κι AE επομέως E AE κι άρ τ ΑΕ κι Γ είι συευθεικά Έχουμε A κι E Επομέως E A κι άρ τ ΑΓ κι Ε είι συευθεικά 6 Με σημείο φοράς έ πό τ Κ Λ Μ γι πράδειγμ το Κ η ισότητ γράφετι διδοχικά: KAKB KA KB K KB KM KA KAKBKAKB K KBKM KA K KM Άρ τ Κ Λ Μ είι συευθεικά 7 Έχουμε AB BA A A B B A BEZ AB A B BA AB 8 Έχουμε OA OB O O OM OBO O OAOAOB OK OAOBO 9 Έχουμε AB AB AB A B N AN AN N NA N

6 NM MN Έχουμε AB BA μ AB AB μ AB Ώστε AB μ AB κι επομέως μ Έχουμε E AE A ABκ A κ AB A κ AB κ A AB A κ κ B Άρ E// B κ B Β ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε Α υποθέσουμε ότι τότε θ είι οπότε θ έχουμε // που είι άτοπο Επομέως οπότε κι άρ Έχουμε Επομέως σύμφω με το προηγούμεο ερώτημ κι οπότε κι

7 Τ u κι v είι συγγρμμικά κι μόο u κv δηδή κ κ ή ισοδύμ κ κ κ Σύμφω όμως με το ερώτημ υτό συμίει κι μόο κ κ κι κ δηδή κ / κι Έχουμε EZ AZ AE ABκ A Επειδή έχουμε κ Πρτηρούμε ότι συευθεικά E A AE AB A κ A AB κ A κ AB κ EZ κ επομέως κ κ A κι κ E EZ Άρ κ E AB κ A E // EZ οπότε τ Ε Γ Ζ είι Έστω KA KB K κι Τότε έχουμε AK BK K K A B A B Ομοίως ποδεικύετι κι ότι: τότε KA KB K A B κι Έστω KA KB K κι A B Τότε έχουμε KA KB K A B KAA KBB K K K K K κι επειδή K έχουμε

8 Έχουμε άρ Έχουμε κ MA MB κ OA OM OB OM OA OM κ OBκOM OA κob κ OM OAκOB OM κ κ r κ κ MA MB κι ομοίως ρίσκουμε ότι κ r κ G Αρκεί δείξουμε ότι G// Α Ο είι έ σημείο φοράς τότε έχουμε: G OGO OAOBO O G OG O O OEOZ O OKO O O OM O O OK O OM O OK O OM O OG O G Α Σ Ζ B M G G K Λ E Γ Δ Επομέως G // G κι άρ τ Σ G κι G είι συευθεικά

9 6 Α πάρουμε ως σημείο φοράς μι κορυφή του τετρπεύρου γι πράδειγμ τη Α τότε έχουμε: MN A B AN AM A A AB AB A A A A AB Α Ν Μ Β AB A A A A AB AB A A AB A AB B A B Άρ το ΑΒΓΔ είι πρηόγρμμο Δ Γ 7 Α Ο είι έ σημείο φοράς τότε έχουμε: AA BB OAOAOBOBO O OA OB O OAOBO OGOG GOG GG O 8 Με σημείο φοράς το Α έχουμε: MA MB M AM AB AM A AM AM AM AM AB A A AB που είι στθερό διάυσμ 9 Έχουμε κι r OB BE AB r O E Επομέως

10 6 Επειδή τ διύσμτ κι δε είι συγγρμμικά η τεευτί ισότητ ηθεύει μόο κι Έτσι έχουμε το σύστημ πό το οποίο ρίσκουμε κι Επομέως r δηδή r 6 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Α ΟΜΑΔΑΣ ή - O - O ή O - =- = ή O

11 Η πόστση εός σημείου K μ πό τους άξοες κι κι μ τιστοίχως Έτσι έχουμε: Γι το Α : κι Γι το Β : κι Γι το Γ : 6 κι Γι το Δ : κι Γι το Μ : κι O μ 7 είι μ Kμ v Γι είι ρκεί κι οπότε Γι είι κι // ρκεί κι οπότε Γι είι ρκεί είι 6 κι 7 Έτσι έχουμε το σύστημ οπότε Έχουμε // ή Γι είι κι δηδή Γι είι κι δηδή Άρ η ζητούμεη τιμή του είι η 6 Έ διάυσμ συγγρμμικό με το u θ έχει τη μορφή u κι φού θ έχει κι διπάσιο μέτρο πρέπει u u Επομέως u u Άρ οπότε Άρ το ζητούμεο διάυσμ είι ή το 68 ή το O OH j O j OE j OZ j OK j

12 8 j KA j ZA j KZ j H K j H 8 Έστω M το σημείο του άξο που ισπέχει πό τ σημεί Α κι Β Τότε έχουμε: MA MB MA MB MA MB MA MB Άρ το ζητούμεο σημείο είι το M Έστω N το σημείο του άξο που ισπέχει πό τ Α κι Β Με άογο τρόπο όπως στο ρίσκουμε κι άρ το ζητούμεο σημείο είι το N Β ΟΜΑΔΑΣ Α A B κι E είι οι κορυφές του πετγώου τότε έχουμε τ συστήμτ 6 7 : 8 κι : 6 Με πρόσθεση τω εξισώσεω του κτά μέη ρίσκουμε Όμως 6 κι 6 επομέως άρ κι διδοχικά ρίσκουμε Με άογο τρόπο επιύουμε το σύστημ κι ρίσκουμε Επομέως οι κορυφές του πετγώου είι τ σημεί A B κι E

13 Α A κι B είι τ σημεί τότε τ κι είι οι ρίζες της εξίσωσης 7 Η τετμημέη του μέσου του τμήμτος ΑΒ είι ίση με κι άρ ή κι 9 επομέως Τ σημεί M M M κι M είι μέσ διδοχικώ πευρώ τετρπεύρου όχι κτάγκη κυρτού κι μόο Πράγμτι Α τ M M M M είι μέσ διδοχικώ πευρώ τετρπεύρου τότε το M M θ είι πρηόγρμμο M M M οπότε θ ισχύει M M M Ατιστρόφως M M M M τότε M M M M τ M M M M θ είι μέσ διδοχικώ πευρώ τετρπεύρου Γ Πράγμτι έστω Α έ σημείο εκτός της ευθείς M M Β το συμμετρικό του Α ως προς το M Γ το συμμετρικό του Β ως προς το M κι Δ το συμμετρικό του Γ ως προς το M Α δείξουμε ότι το M είι το μέσο του ΔΑ τότε το ζητούμεο τετράπευρο θ είι το ΑΒΓΔ Ας υποθέσουμε ότι M είι το μέσο της πευράς ΑΔ Τότε όπως είδμε πρι θ ισχύει M M M M θ συμπίπτου Έχουμε τώρ: οπότε θ έχουμε M M M M M M M κι άρ τ M κι M M κ κ κ κ Επομέως ζητούμεη συθήκη είι: κ κ κ κ κ κ κ κ κι κι Δ M M Α M B M Θεωρούμε τ σημεί A B κι Από τη τριγωική ισότητ έχουμε:

14 A B AB Σχεδιάζουμε τ κι r με κοιή ρχή Ο κι έστω OA OB κι OP r A Από το πέρς Ρ του r φέρουμε πράηες προς Δ P τους φορείς τω OA κι OB κι r σχημτίζουμε το πρηόγρμμο ΟΓΡΔ Θ είι O OA O Γ Β κι O OB όπου R Από το κό του πρηόγρμμου έχουμε OP OO δηδή r που είι κι η ζητούμεη έκφρση Θ ποδείξουμε ότι οι ριθμοί κι είι μοδικοί Έστω ότι ισχύει κι r Τότε έχουμε διδοχικά: Α ήτ δηδή τότε που σημίει ότι // που είι άτοπο Επομέως οπότε κι Άρ το r εκφράζετι κτά μοδικό τρόπο ως γρμμικός συδυσμός τω κι ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε

15 Έχουμε κ κ u Τ διύσμτ u είι κάθετ στο κι μετξύ τους συγγρμμικά Έχουμε w u v u w v u v w u w w w v u w v u w v u Πρέπει Έχουμε Επομέως Ομοίως Έστω v το διάυσμ που ζητάμε Τότε θ ισχύει: v v u Από τη ύση του συστήμτος ρίσκουμε ή Έχουμε v u v u 6 κ κ κ 9 6 κ κ κ 6 Έχουμε κ κ Έχουμε

16 συ κ κ κ π κ κ 6 8 κ κ Υψώουμε τ μέη της τεευτίς εξίσωσης στο τετράγωο κι ρίσκουμε κ κ κι έχουμε 7 / κ ή 7 κ Από τις τιμές υτές του κ μόο η 7 / κ επηθεύει τη εξίσωση Άρ 7 / κ // κ κ κ 7 Α φ είι η γωί τω διυσμάτω u κι v τότε συ v u v u φ Όμως είι v u u οπότε u v οπότε v Επομέως συ φ άρ π φ 8 Έχουμε συ συ 9 Έχουμε v u

17 Έχουμε v Έχουμε Επομέως AB 6 κι AB 66 Επειδή AB τ διύσμτ AB κι είι κάθετ Έστω p όπου p Έχουμε διδοχικά p Επομέως p Τεικά 9 9 p 8 9 Η μι διγώιος του πρηόγρμμου θ έχει μήκος ίσο με κι η άη ίσο με Έχουμε 6 οπότε συ οπότε 6 Ομοίως ρίσκουμε ότι 9

18 Έχουμε A AB A AB AB A AB Προ AB A A τρόπος: A AB AB A AB συ συ συ συ Β ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε μ μ μ που ισχύει Το " " ισχύει κι μόο μ ή ισοδύμ μ Α τότε μ οπότε // που είι άτοπο

19 Επομέως οπότε μ κι άρ μ Άρ το " " ισχύει κι μόο μ Έχουμε v u v u v u v u v v u u v v u u v u v u Έχουμε v u v u v u v u v v u u v v u u v u v u v u Α ω είι η γωί τω κι κι το u σχημτίζει με το γωί φ κι με το γωί φ τότε έχουμε: u u ω φ u συ συ συ συ ω φ u συ συ ω u φ Ομοίως έχουμε: u u συ συ ω φ u συ συ ω φ u συ συ ω u φ Από τις κι έχουμε συ συ φ φ άρ φ φ v u

20 6 Επομέως u v κι επειδή ο φορές τω u διχοτομεί τη γωί τω κι ο φορές τω v διχοτομεί τη πρπηρωμτική γωί τω κι Έχουμε διδοχικά: γ γ γ 9 Α εργστούμε όγως ρίσκουμε ότι: γ κι γ 6 Έτσι όγω τω κι έχουμε γ γ 6 τρόπος: Επειδή έχουμε οπότε κμ Επειδή τ μέτρ τω κι είι ίσ με τη μοάδ έχουμε κ κι μ Ισχύει όμως η τυτότητ: κ μ κμ κ μ η οποί όγω τω κι γίετι κ μ κ μ τρόπος: Έχουμε [ ] συ κ μ κ μ όπου ω είι η γωί τω διυσμάτω κ κι μ κ μ ω συ ω

21 7 Όμως τ διύσμτ κ κι μ είι πράη φού κ κμ Επομέως θ είι συ ω κι έτσι θ έχουμε μ κ μ 6 Θεωρούμε τ διύσμτ γ δ Έχουμε συ γ δ συ κι γ δ Επομέως συ γ δ γ δ γ δ έχουμε γ δ κι επειδή -συ 7 Έχουμε Έχουμε MA OA OM κι Αφού έχουμε Γεωμετρικά υτό σημίει ότι η γωί η εγγεγρμμέη σε ημικύκιο είι ορθή 8 AB HB HA γ κι γ Έχουμε γ γ γ που ισχύει φού Επίσης γ γ που επίσης ισχύει φού Η ισότητ γ γράφετι διδοχικά: γ γ

22 8 Επομέως Αποδείξμε οιπό ότι: οι φορείς τω υψώ εός τριγώου διέρχοτι πό το ίδιο σημείο Το σημείο υτό έγετι ορθόκετρο 9 Έχουμε γ κι γ Επομέως γ γ γ γ γ γ γ γ γ συ ZA συ γ συ π συ συ συ Άρ Α φέρουμε τη διάμετρο τότε οι γωίες B είι ορθές Επομέως A BΠρο κι ρο οπότε Προ Προ Προ Προ Α είι το τιδιμετρικό του Β τότε 9 κι επομέως Προ Είι Α B B O B Α Δ Γ Α ρ O Μ Δ B Γ

23 9 MA MBMBMAMBMB OBOM OBOM OBOM OB OM Μ Α OBOM OM OB B O B OM OB που είι στθερό ρ OM ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γι είι τ τρί σημεί Α Β κι Γ συευθεικά ρκεί ποδείξουμε ότι τ διύσμτ AB κι A είι συγγρμμικά Από τη σχέση κ μ προκύπτει ότι ές τουάχιστο πό τους κ μ γι πράδειγμ ο είι διάφορος του μηδεός Έχουμε διδοχικά: κ μ κ A μ μ κ μ μ Επομέως τ διύσμτ κι σημεί Α Β κι Γ είι συευθεικά μ μ είι συγγρμμικά κι άρ τ Ατιστρόφως Α τ σημεί Α Β κι Γ είι συευθεικά τότε υπάρχει πργμτικός ριθμός ρ τέτοιος ώστε ρ Επομέως ρ

24 ρ ρ ρ ρ Η τεευτί σχέση θέσουμε ρ κ κι ρ μ γράφετι κ μ με κ μ ρ ρ κι με έ τουάχιστο πό τους κ κι μ διάφορο του μηδεός εδώ Αρκεί ποδείξουμε ότι Έχουμε Ώστε μ μ μ μ μ μ ή ισοδύμ μ μ Επειδή όμως τ διύσμτ κι δε είι συγγρμμικά η τεευτί ισότητ ισχύει μόο ότ μ κι μ επομέως μ Άρ που σημίει ότι το Μ είι το μέσο της πευράς ΒΓ Με σημείο φοράς το Α η δοθείσ σχέση γράφετι διδοχικά:

25 97 Από τη τεευτί ισότητ προκύπτει ότι το Μ πέχει πό το στθερό σημείο Α στθερή πόστση ίση με Άρ το Μ κιείτι σε κύκο με κέτρο το Α κι κτί ρ τρόπος: Το εμδό του πρηόγρμμου ΟΑΓΒ είι ίσο με υ δηδή ίσο με ημω όπου ω η γωί τω διυσμάτω κι Αρκεί οιπό ποδείξουμε ότι ημω ημω Ο ω Β υ a Α Γ Από τη δοθείσ σχέση έχουμε: Η τεευτί εξίσωση είι ου θμού ως προς κι σύμφω με τη εκφώηση έχει ύση Άρ η δικρίουσ Δ της εξίσωσης υτής είι μεγύτερη ή ίση του μηδεός Δηδή έχουμε συ ω συ ω ημ ω ημ ω ημω φού ημω

26 τρόπος Το εμδό του πρηογράμμου ΟΑΓΒ είι ίσο με Σ Όμως είι κι Επομέως όγω της ισότητς έχουμε Β Ο a Α Γ Δ Γι είι το Η το ορθόκετρο του τριγώου ρκεί δείξουμε ότι Α κι Έχουμε: γ γ γ γ γ B Η G O Γ Ομοίως δείχουμε κι ότι κι Γι το ρύκετρο G γωρίζουμε ότι GA GB G Επομέως OAOGOBOGO OG OG OAOBO OG γ Έχουμε γ κι G γ Επομέως G OH OG OG GH OG OG GH που σημίει ότι τ O G κι Η είι συευθεικά σημεί κι ότι το G διιρεί το τμήμ ΟΗ σε όγο /

27 6 Επειδή γ έχουμε γ γ γ γ Επειδή διιρούμε τ μέη της με κι πίρουμε γ γ Έτσι πό τη δοθείσ σχέση έχουμε γ οπότε γ είι γ 7 Έχουμε EK EB E κ κι E EA E Γι τη διυσμτική κτί του σημείου Μ έχουμε: EM EZ E Z φού Z// A κι EM EZ EB BZ κ κ φού BZ // B κ Επομέως κ κ κ κ Επειδή τ κι δε είι συγγρμμικά γι ηθεύει η τεευτί ισότητ πρέπει κι κ κ Από τη ύση του συστήμτος κ τω δύο υτώ εξισώσεω προκύπτει ότι κι κ κ EM κ κ κ Από το προηγούμεο ερώτημ έχουμε κ Επομέως κ

28 ή κι ή K E EK κ K κ κ KM EM EK κ κ κ κ κ KM κ κ κ Επομέως KM K κ συευθεικά που σημίει ότι τ σημεί Κ Λ κι Μ είι 8 Σύμφω με τη άσκηση της Β ομάδς στη σείδ 8 γ είι οι Δ διυσμτικές κτίες τω κορυφώ Α Β κι Γ τιστοίχως του AB κι δ ε ζ είι οι διυσμτικές κτίες τω κορυφώ Δ Ε κι Ζ τιστοίχως του Δ ως προς τη ίδι ρχή Ο τότε έχουμε: μγ δ μ γ μ ε μ κι μ ζ μ Το κέτρο άρους G του Δ AB έχει διυσμτική κτί τη OG γ Επίσης το κέτρο άρους G του τριγώου G Επομέως OG O μγ γ μ μ OG μ μ μ μ γ γ μ Δ έχει διυσμτική κτί που σημίει ότι τ G κι G συμπίπτου

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ο συτεεστής διεύθυσης της ευθείς ΑΒ είι: 6 Ο συτεεστής διεύθυσης της ευθείς ΓΔ είι: Ο συτεεστής διεύθυσης κάθε ευθείς κάθετης προς τη ΓΔ έχει με το συτεεστή διεύθυσης της ΓΔ γιόμεο ίσο με - Αρ θ είι Έστω ω η γωί που σχημτίζει η ΑΒ με το άξο 6 Η ευθεί ΑΒ έχει συτεεστή διεύθυσης Άρ θ ισχύει εφω οπότε θ είι ω Η ευθεί ΑΒ έχει συτεεστή διεύθυσης Άρ κι στη περίπτωση υτή θ έχουμε Επειδή τ Α Β έχου τη ίδι τετμημέη η ευθεί ΑΒ θ είι κτκόρυφη κι κτά συέπει θ είι 9 v Επειδή τ Α Β έχου ίδι τετμημέη η ευθεί ΑΒ θ είι οριζότι κι κτά συέπει θ είι

30 6 Το διάυσμ έχει συτεεστή διεύθυσης οπότε η ζητούμεη ευθεί που είι πράηη με το θ έχει το ίδιο συτεεστή διεύθυσης Επειδή επιπέο διέρχετι πό το σημείο A η εξίσωση της θ είι: ή ισοδύμ Το διάυσμ έχει τετμημέη ίση με το μηδέ άρ έχει διεύθυση κτκόρυφη Έτσι η ζητούμεη ευθεί θ είι κι υτή κτκόρυφη κι επειδή διέρχετι πό το A θ έχει εξίσωση Α ο συτεεστής διεύθυσης της ζητούμεης ευθείς θ έχουμε π εφ Άρ η εξίσωση της ευθείς θ είι: ή ισοδύμ Έχουμε B οπότε το ύψος ΑΔ που είι κάθετο στη 6 ΒΓ θ έχει συτεεστή διεύθυσης Επειδή επιπέο το A είι σημείο του ύψους η εξίσωση του θ είι δηδή Εργζόμεοι ομοίως ρίσκουμε ότι η εξίσωση του ύψους ΒΕ είι κι η εξίσωση του ύψους ΓΖ είι Προφώς κι η μεσοκάθετη της πευράς ΒΓ θ έχει συτεεστή διεύθυσης Επειδή όμως υτή διέρχετι πό το μέσο Μ της ΒΓ το οποίο έχει συτετγμέες: η εξίσωσή της θ είι δηδή Πρτηρείστε ότι τυτίζετι με τη εξίσωση του ύψους ΑΔ τί συμπερίετε; Εργζόμεοι ομοίως ρίσκουμε ότι οι εξισώσεις τω μεσοκθέτω τω ΑΓ κι ΑΒ τιστοίχως είι: A κι Είι A κι B άρ A // B Επίσης είι AB κι άρ AB // Έτσι φού το τετράπευρο ΑΒΓΔ έχει τις πέτι

31 πευρές του πράηες θ είι πρηόγρμμο Ακόμη είι κι B οπότε A B κι συεπώς οι ΑΓ κι ΒΔ είι κάθετες Άρ το πρηόγρμμο ΑΒΓΔ είι ρόμος Η ΑΓ έχει συτεεστή διεύθυσης κι διέρχετι πό το σημείο A Άρ θ έχει εξίσωση δηδή Ομοίως η ΒΔ έχει συτεεστή διεύθυσης κι διέρχετι πό το B Άρ θ έχει εξίσωση: δηδή A 7 6 Έχουμε AB κι A Επομέως AB A οπότε οι ευθείες ΑΒ κι ΑΓ είι πράηες κι εφόσο έχου κοιό το σημείο Α θ τυτίζοτι Άρ τ σημεί Α Β Γ θ είι συευθεικά π 7 Α κι θ κπ κ Z τότε ο συτεεστής διεύθυσης της ευθείς συθ ημθ ημθ συθ ΑΒ είι Επομέως η εξίσωση της ΑΒ συθ ημθ ημθ συθ είι η οποί γράφετι διδοχικά: ημθ συθ ημθ συθ ημθ συθ ημθ συθ συθ ημθ ημθ συθ ημθ συθ ημθ συθ ημ συ ημ ημσυ συ ημσυ ημ συ ημ συ ημ συ ημ συ ημ συ π Α ά θ κπ κ Z τότε συθ ημθ οπότε η ευθεί ΑΒ είι κτκόρυφη κι άρ έχει εξίσωση ή Α τότε τ σημεί Α Β τυτίζοτι οπότε υπάρχου άπειρες ευθείες που διέρχοτι πό υτά

32 8 8 Α είι οι συτετγμέες του κέτρου άρους G του τριγώου ΑΒΓ τότε θ είι: κι Επομέως η ευθεί που διέρχετι πό σημεί A κι G έχει συτεεστή διεύθυσης κι κτά συέπει η εξίσωσή της θ είι δηδή Β ΟΜΑΔΑΣ Η ζητούμεη ευθεί επειδή σχημτίζει με τους άξοες τρίγωο κι περάει πό το σημείο A θ έχει εξίσωση με δηδή: με Με τους περιορισμούς υτούς το σημείο τομής της ευθείς με το έστω Β έχει συτετγμέες εώ το σημείο τομής της με το άξο έστω Γ έχει συτετγμέες Έτσι φού O το τρίγωο ΟΒΓ είι ισοσκεές κι μόο : OB κι ή Άρ υπάρχου δύο ευθείες που ικοποιού το ζητούμεο κι τω οποίω οι εξισώσεις είι: κι Αρχικά διπιστώουμε ότι οι συτετγμέες του Α δε επηθεύου τις εξισώσεις που δίοτι Άρ οι εξισώσεις υτές τιστοιχού στ ύψη ΒΕ κι ΓΖ Εστω ότι η είι η εξίσωση του ΒΕ κι η του

33 ΓΖ Τότε επειδή 9 A BE κι AB Z θ έχουμε: κι A BE AB Z οπότε A κι A Άρ οι εξισώσεις τω ΑΓ κι ΑΒ θ είι τιστοίχως οι δηδή οι κι 6 κι Επομέως οι συτετγμέες του Γ είι η ύση του συστήμτος A : 6 Z : που είι το ζεύγος κι οι συτετγμέες του Β είι η ύση του συστήμτος AB : BE : που είι το ζεύγος Τέος επειδή δηδή 7 B η εξίσωση της ΒΓ θ είι Οι ευθείες που διέρχοτι πό το σημείο Μ είι η κτκόρυφη με εξίσωση κι οι μη κτκόρυφες με εξισώσεις R Η ευθεί τέμει τη στο σημείο Β κι τη στο σημείο Το ΒΓ έχει μέσο το σημείο με συτετγμέες δηδή που είι οι συτετγμέες του σημείο Μ Άρ η κτκόρυφη είι μι πό τις ζητούμεες ευθείες Η ευθεί R τέμει τις κι στ σημεί Β κι Γ τιστοίχως που οι συτετγμέες τους είι οι ύσεις τω συστημάτω: κι

34 Από το πρώτο σύστημ με τικτάστση του στη δεύτερη εξίσωση έχουμε: Άρ τότε οπότε Επομέως οι συτετγμέες του Β θ είι το ζεύγος Ομοίως πό το δεύτερο σύστημ έχουμε: Άρ τότε οπότε Επομέως οι συτετγμέες του Γ θ είι το ζεύγος Έτσι το Μ θ είι μέσο του ΒΓ κι μόο κι Οι εξισώσεις όμως υτές δε συηθεύου γι κμί τιμή του φού η πρώτη είι δύτη γι κάθε R Έτσι η μόη ύση του προήμτός μς είι η κτκόρυφη ευθεί Η εξίσωση της ευθείς που ορίζετι πό τ σημεί κ κ κι Q με κ κι κ έχει συτεεστή διεύθυσης ίσο με κ κ κ Άρ η εξίσωσή της είι κ κ κ δηδή κ κ κ

35 κ Από τη γι έχουμε κι γι έχουμε κ κ Άρ τ σημεί τομής της PQ με τους άξοες κι τιστοίχως είι τ: Έτσι θ έχουμε: κ B κι A κ κ κι AP κ κ κ κ κ BQ κ κ Άρ AP BQ Η ευθεί που διέρχετι πό τ σημεί A κι B έχει συτεεστή διεύθυσης οπότε η εξίσωσή της θ είι η: με το προφή περιορισμό ότι 6 Από τ δεδομέ προκύπτει ότι η ζητούμεη ευθεί θ έχει εξίσωση της μορφής Από τη εξίσωση υτή γι έχουμε κι γι έχουμε Άρ τ σημεί Α κι Β θ έχου συτετγμέες τ ζεύγη κι τιστοίχως οπότε θ είι A B 6 Άρ η εξίσωση της ζητούμεης ευθείς είι η 6

36 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Επειδή οι συτεεστές μ κι μ τω κι δε μηδείζοτι συγχρόως γι κμί τιμή του μ η δοθείσ εξίσωση πριστάει γι κάθε R ευθεί γρμμή Έστω ε η ευθεί υτή Τότε: ε // μ μ κι ε // μ Τέος η ε διέρχετι πό το Ο κι μόο οι συτετγμέες του Ο επηθεύου τη εξίσωσή της δηδή κι μόο ισχύει: Η ευθεί 6 έχει συτεεστή διεύθυσης Άρ η ζητουμέη ευθεί που είι κάθετη σ υτή θ έχει συτεεστή διεύθυσης κι επειδή διέρχετι πό το σημείο Α- θ έχει εξίσωση δηδή Οι συτετγμέες του σημείου τομής τω δύο ευθειώ είι η ύση του συστήμτος που είι το ζεύγος 8 6 Οι συτετγμέες του σημείου τομής τω δύο ευθειώ είι η ύση του συστήμτος που είι το ζεύγος 7 7 Η ευθεί έχει συτεεστή διεύθυσης Άρ η ζητούμεη θ έχει συτεεστή διεύθυσης κι επειδή διέρχετι πό το σημείο A 7 θ έχει εξίσωση 7 δηδή 6

37 Επειδή // θ είι είι 6 δηδή του Δ θ είι η ύση του συστήμτος ζεύγος B Άρ η εξίσωση της ΑΔ θ Επομέως οι συτετγμέες A : : Ο συτεεστής διεύθυσης της διγωίου ΑΓ είι η ΑΓ είι πράηη προς το διάυσμ: δ που είι το 6 οπότε Ο συτεεστής διεύθυσης της διγωίου ΒΔ συμπίπτει με το συτεεστή διεύθυσης της ΔΚ όπου Κ το σημείο τομής τω διγωίω ΑΓ κι ΒΔ Το Κ 7 είι το μέσο της ΑΓ οπότε θ έχει συτετγμέες το ζεύγος 7 Επομέως θ ισχύει οπότε η ΒΔ θ είι πράηη 9 προς το διάυσμ: δ 9 Άρ η οξεί γωί τω ΑΓ κι ΒΔ θ είι ίση ή πρπηρωμτική με τη γωί φ τω διυσμάτω γι τη οποί έχουμε: δ δ συφ δ δ Έτσι η οξεί γωί τω ΑΓ κι ΒΔ θ είι περίπου ίση με 6 Η ευθεί με εξίσωση 8 είι πράηη προς το διάυσμ εώ η ευθεί με εξίσωση είι πράηη προς το Έτσι οι δύο ευθείες είι κάθετες κι μόο δ δ Όμως:

38 δ δ δ δ ή 6 Οι συτετγμέες του σημείου τομής τω ευθειώ 6 κι είι η ύση του συστήμτος που είι το 6 9 ζεύγος 7 Έτσι η ευθεί διέρχετι πό το σημείο 7 κι μόο 7 κ ή ισοδύμ κ Άρ ζητουμέη τιμή του κ είι η Β ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε ή Οι τεευτίες είι εξισώσεις τω ευθειώ που πεικοίζοτι στο διπό σχήμ Έχουμε - O ή Οι εξισώσεις υτές πριστάου ευθείες

39 Γι πριστάει η εξίσωση ευθεί γρμμή γι τις διάφορες τιμές του πρέπει ρκεί οι συτεεστές τω κι μη είι τυτόχρο μηδέ Αυτό συμίει φού ο συτεεστής του δε μηδείζετι γι κμί πργμτική τιμή του Στη συέχει θεωρούμε δύο τιμές του έστω κι κι τις εξισώσεις τω ευθειώ που προκύπτου: 6 Το σύστημ τω εξισώσεω υτώ έχει μοδική ύση τη Άρ οι ευθείες υτές τέμοτι στο σημείο A Η εξίσωση επηθεύετι πό τις συτετγμέες του σημείου Α φού Άρ όες οι ευθείες της οικογέεις διέρχοτι πό το σημείο Α Οι συτετγμέες του σημείου τομής τω ευθειώ κι είι η ύση του συστήμτος που είι το ζεύγος Η τρίτη ευθεί 7 8 επηθεύετι γι φού 7 8 Άρ κι οι τρεις ευθείες διέρχοτι πό το σημείο με συτετγμέες Έχουμε τις ευθείες μ κι μ μ που είι τίστοιχ πράηες με τ διύσμτ: δ μ κι δ μ μ Γι τη γωί φ τω δύο υτώ διυσμάτω ισχύει: δ δ συφ δ δ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ

40 6 Άρ π π φ οπότε η οξεί γωί τω δύο ευθειώ θ είι ίση με Οι συτετγμέες του σημείου τομής τω δύο ευθειώ ε : κι ε : είι η ύση του συστήμτος Το σύστημ υτό δηδή έχει τη ύση Επομέως κι η ζητούμεη εξίσωση είι η Α ή οι κι δε τέμοτι Συγκεκριμέ είι πράηες οι ευθείες συμπίπτου εώ οι ευθείες 6 Η ευθεί έχει συτεεστή διεύθυσης Επομέως η κάθετη στη ευθεί υτή πό το σημείο Α θ έχει εξίσωση Άρ οι συτετγμέες της προοής του Α στη ευθεί θ είι η ύση 9 του συστήμτος που είι το ζεύγος 7 Γι πό τη εξίσωση της ευθείς ε : έχουμε σημείο τομής της ε με το άξο είι το Α Άρ το

41 7 Η ε έχει συτεεστή διεύθυσης Άρ η εξίσωση της κάθετης στη ε στο σημείο Α θ είι η οποί μετά τις πράξεις γίετι ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Α ΟΜΑΔΑΣ Οι ποστάσεις του Α πό τις δοθείσες ευθείες είι: v Έχουμε ε κι 8 ε Άρ ε //ε 8 Η πόστση του Ο πό τη είι ίση με εώ η πόστση του O πό τη ε είι ίση με

42 8 Επειδή το Ο ρίσκετι μετξύ τω ευθειώ κι η πόστσή τους θ είι ίση με το άθροισμ τω ποστάσεω του Ο π υτές δηδή θ είι ίση με: Έχουμε ε κι ε Άρ ε //ε Γι πό τη εξίσωση ε έχουμε Άρ το A ήκει στη ε Η πόστση τω ε κι ε θ ισούτι με τη πόστση του Α πό τη ε δηδή με: Το ζητούμεο σημείο θ είι το σημείο τομής της μεσοκθέτου του ΑΒ κι της ευθείς Η εξίσωση της μεσοκθέτου του ΑΒ είι 6 ή ισοδύμ Άρ οι συτετγμέες του θ είι η ύση του συστήμτος που είι το ζεύγος Η ζητούμεη εξίσωση θ είι της μορφής δηδή της μορφής Επομέως θ έχουμε: Άρ υπάρχου δύο ευθείες που ικοποιού τις πιτήσεις του προήμτος Αυτές έχου εξισώσεις: κι 6 τρόπος: Οι ευθείες ε ε επειδή είι πράηες προς τη ε θ έχου εξισώσεις της μορφής Αφού όμως η ε είι μεσοπράηη τω κι κι υτές πέχου μετξύ τους 8 μοάδες η πόστση οποιουδήποτε σημείου Α της ε πό κάθε μί θ είι μοάδες

43 9 Έ σημείο της ε είι το A Επομέως θ έχουμε

44 9 Άρ οι ζητούμεες ευθείες θ είι οι: ε : κι ε : τρόπος: Έ σημείο M ήκει σε μι πό τις ευθείες ε κι ε κι μόο πέχει πό τη ε πόστση ίση με δηδή κι μόο ή ή Οι εξισώσεις ποτεού τις εξισώσεις τω ευθειώ ε κι ε 7 Έχουμε AB 6 κι A Άρ 6 AB det AB A 8 9 μοάδες Έχουμε AB κι A 7 Άρ AB 7 μοάδες 7 Έχουμε AB κι A 6 6 Άρ AB 6 6 Άρ δε σχημτίζετι τρίγωο με κορυφές τ σημεί A B κι 8 Αφού το Μ είι σημείο του άξο θ έχει συτετγμέες της μορφής οπότε θ είι AM κι AB Επομέως:

45 MAB 7 7 ή ή Άρ το ζητούμεο σημείο θ είι το Μ ή το Μ 9 Α M είι το ζητούμεο σημείο τότε θ έχουμε: MA MB κι MAB ή 6 6 ή Επομέως: MAMB MAB ή Λύοτς τ συστήμτ υτά ρίσκουμε ότι τ σημεί M 7 κι M είι τ ζητούμε Α A B οι τρεις κορυφές του πρηόγρμμου ΑΒΓΔ τότε θ είι AB κι A 7 6 Άρ AB AB 6 7 6

46 Β ΟΜΑΔΑΣ Οι ευθείες που διέρχοτι πό τη ρχή Ο είι ο κτκόρυφος άξος δηδή η ευθεί κι οι μη κτκόρυφες ευθείες Επειδή όμως το B είι σημείο του άξος υτός ποκείετι ικοποιεί τη πίτηση του προήμτος Από τις η ζητούμεη είι εκείη που ισπέχει πό τ σημεί A κι B έχουμε: Επομέως θ Άρ οι ευθείες κι Β κι είι υτές που ισπέχου πό τ σημεί Α Α M είι το σημείο του που ισπέχει πό τη ρχή Ο κι πό τη ευθεί 6 τότε θ έχουμε: ή 6 ή Άρ υπάρχου δύο σημεί του τ M κι M που ικοποιού τις πιτήσεις του προήμτος Η ζητούμεη ευθεί ποκείετι είι κτκόρυφη ή οριζότι φού τέμει κι τους δύο άξοες Αφού οιπό διέρχετι πό το σημείο M θ έχει εξίσωση Από τη γι έχουμε η τέμει τους άξοες στ σημεί * R κι γι έχουμε Άρ A κι B οπότε είι:

47 AOB OA OB Άρ: AOB 8 Γι τη ύση της εξίσωσης υτής δικρίουμε δύο περιπτώσεις: Α τότε Α τότε 8 8 Επομέως οι ευθείες με εξισώσεις 6 6 κι είι οι ζητούμεες Επειδή οι πόστση του σημείου A πό το άξο ισούτι με μί πό τις ζητούμεες ευθείες είι ο άξος δηδή η ευθεί με εξίσωση Α τώρ είι η εξίσωση της μη κτκόρυφης που διέρχετι πό το O κι η οποί πέχει πό το σημείο A πόστση ίση με τότε θ έχουμε: 69 Άρ η ζητούμεη μη κτκόρυφη ευθεί είι η Η εξίσωση γράφετι ισοδύμ Άρ έ σημείο Μ ήκει σε υτή οι συτετγμέες του θ είι της μορφής Έτσι η πόστση του Μ πό τη ευθεί 6 ισούτι με θ έχουμε:

48 6 7 7 ή 7 7 ή Άρ τ σημεί M κι M 9 7 πέχου πό τη ευθεί 7 7 πόστση ίση με 6 Έχουμε AB γ δ κι A γ δ Τ σημεί Α Β Γ είι συευθεικά κι μόο τ AB κι A είι συγγρμμικά Όμως: AB // A det AB A γ δ γ δ δ γδ γδ γ δ γ 7 τρόπος: Είι συτεεστή διεύθυσης θ έχει εξίσωση: Άρ η μεσοκάθετος του ΑΒ θ έχει κι φού διέρχετι πό το σημείο δηδή Από τη εξίσωση υτή γι έχουμε εώ γι έχουμε Άρ η μεσοκάθετος του ΑΒ τέμει το άξο στο σημείο P p με p κι το άξο στο σημείο Q q με

49 q Έτσι έχουμε ήδη εκφράσει τ p q συρτήσει τω κι οπότε έχουμε: q p pq p q τρόπος: Τ διύσμτ PQ κι AB είι κάθετ κι τ σημεί M P Q συευθεικά Άρ PQ AB κι MQ det MP οπότε 8 Έ σημείο M ήκει σε μι πό τις διχοτόμους τω γωιώ που ορίζου οι ευθείες κι κι μόο ισπέχει πό τις δύο ευθείες δηδή κι μόο ισχύει ή 9 6 ή ή 6 8 Άρ οι εξισώσεις τω διχοτόμω είι οι: 6 κι 6 8

50 9 Οι συτετγμέες του σημείου τομής τω ευθειώ κι είι η ύση του συστήμτος ζεύγος που είι το Άρ το κοιό σημείο τω ευθειώ υτώ είι το M Η πόστση της κτκόρυφης πό το A είι ίση με Άρ η ευθεί υτή δε ικοποιεί τις πιτήσεις του προήμτος Οι μη κτκόρυφες που διέρχοτι πό το M έχου εξίσωση R η οποί γράφετι ισοδύμ R Από υτές η ζητούμεη είι εκείη που πέχει πό το A πόστση ίση με 7 Άρ έχουμε: ή Άρ οι ζητούμεες ευθείες είι οι: κι Έ σημείο M είι σημείο του ζητούμεου συόου κι μόο ισχύει MAB 8 Όμως: MAB det MA MB Επομέως: MAB ή 6 ή Άρ το ζητούμεο σύοο ποτεείτι πό τις ευθείες κι

51 6 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Θεωρούμε τη κτκόρυφη που διέρχετι πό το M δηδή τη ή οποί τέμει τη στο σημείο A κι τη στο B Έχουμε AB Άρ η είι μί ύση του προήμτός μς Έστω τώρ μί μη κτκόρυφη ευθεί που διέρχετι πό το σημείο M Η ευθεί υτή θ έχει εξίσωση της μορφής R δηδή της μορφής R Η ύση του συστήμτος δίει τις συτετγμέες του Α εώ η ύση του συστήμτος δίει τις συτετγμέες του Β Γι έχου ύση τ συστήμτ υτά ρκεί Λύοτς τ πρπάω συστήμτ ρίσκουμε ότι οι συτετγμέες τω Α κι Β είι τιστοίχως κι Έτσι θ είι: Άρ η δεύτερη ευθεί που ικοποιεί τις πιτήσεις μς έχει εξίσωση Οι συτετγμέες του σημείου τομής τω δύο ευθειώ είι η ύση του συστήμτος του οποίου η ορίζουσ είι D γι κάθε R Άρ το σύστημ υτό έχει μοδική ύση γι κάθε R επομέως οι ευθείες πάτ τέμοτι Γι τη εύρεση της ύσης του συστήμτος έχουμε: κι D

52 7 D Άρ D D D D Έτσι γι τις συτετγμέες του κοιού σημείου τω ευθειώ έχουμε: R R Η ευθεί είι ο ζητούμεος γεωμετρικός τόπος Α K το κοιό σημείο τω τριώ ευθειώ κι M M M τ σημεί με συτετγμέες κι τότε θ είι κι επιπέο θ ισχύει: οπότε θ έχουμε Επομέως το ζεύγος είι μί ύση του συστήμτος Επειδή το σύστημ έχει δύο τουάχιστο ύσεις τη κι τη Άρ η ορίζουσά του θ είι ίση με μηδέ δηδή θ ισχύει: // M M M M M M M συευθεικά Οι συτετγμέες του σημείου τομής τω δύο ευθειώ είι η ύση του συστήμτος

53 8 το οποίο έχει μοδική ύση τη Επομέως σημείο τομής τω δύο ευθειώ είι το οπότε η η ευθεί ΜΑ θ έχει συτεεστή διεύθυσης κι άρ εξίσωση δηδή Αρκεί ρούμε τη πόστση εός σημείου της ευθείς ε : πό A B τη ευθεί ε : Η ε τέμει το άξο στο σημείο M B του οποίου η πόστση πό τη ε είι B B d Όμως οι ευθείες ε ε είι πράηες Άρ θ έχου ίσους συτεεστές B διεύθυσης δηδή θ ισχύει ή ισοδύμ A B οπότε θ A είι: A A A d φού κι A 6 Έχουμε

54 9 ή ή ή Άρ η πριστάει τις ευθείες κι Θεωρούμε τ διύσμτ δ δ που είι πράη στις δύο προηγούμεες ευθείες κθώς κι το δ που είι πράηο στη Α φ είι η γωί τω δ δ κι φ η γωί τω δ δ θ είι: συφ δ δ δ δ άρ φ Ομοίως δείχουμε ότι ζητούμεο έχει ποδειχτεί συφ δηδή φ κι το 7 Γι ορίζει η ευθεί γ με τους άξοες τρίγωο ρκεί είι γ Η ευθεί υτή τέμει τους άξοες στ σημεί A γ κι γ B Επομέως το ΑΟΒ είι ισοσκεές κι Ο μόο επιπέο ισχύει γ γ γ γ OA OB Άρ η ευθεί σχημτίζει με τους άξοες ισοσκεές τρίγωο κι μόο κι γ Α τότε οι ευθείες συμπίπτου με το άξο οπότε ποκείετι ο άξος διχοτομεί τη γωί τους

55 6 Α ές μόο πό τους είι μηδέ τότε πάι ποκείετι ο άξος διχοτομεί τη γωί τους Α τότε οι ευθείες ε ε φ φ έχου συτεεστή διεύθυσης Ο φ κι τιστοίχως κι επειδή διέρχοτι πό τη ρχή τω ξόω γι διχοτομεί ο τη γωί τους πρέπει κι ρκεί ισχύει: ε ε 8 Αφού η ευθεί γ τέμει κι τους δύο ημιάξοες όχι στο Ο θ είι γ γ Έτσι γι έχουμε Άρ το σημείο τομής της ευθείς με το γ είι το A κι ήκει στο θετικό ημιάξο O κι μόο γ δηδή γ Ο a Ομοίως γι το σημείο τομής της ευθείς κι του άξο είι γ το B κι ήκει στο ρητικό ημιάξο O κι μόο γ δηδή γ Α τότε η ευθεί έχει γ εξίσωση κτκόρυφη οπότε γι μη έχει σημεί στο ο τετρτημόριο γ πρέπει κι ρκεί δηδή γ a Ο γ με κι

56 6 Α τότε η ευθεί έχει εξίσωση γ οριζότι οπότε γι μη έχει σημεί στο ο τετρτημόριο πρέπει κι γ ρκεί δηδή Ο γ με κι Α τότε η ευθεί τέμει τους γ άξοες κι στ σημεί A γ κι B τιστοίχως οπότε γι μη έχει σημεί στο ο τετρτημόριο γ γ πρέπει κι ρκεί κι a Ο δηδή γ κι γ με

57 6

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΥΚΛΟΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Η κτί του κύκου είι ίση με ρ κι επομέως η εξίσωσή του είι: Η κτί του κύκου είι ίση με ρ κι επομέως η εξίσωσή του είι: Η κτί του κύκου είι ίση με τη πόστση του κέτρου O του κύκου πό τη ευθεί Επομέως ρ κι άρ η εξίσωσή του είι: v Η κτί του κύκου είι ίση με τη πόστση του κέτρου O του κύκου πό τη ευθεί Επομέως ρ κι άρ η εξίσωση του κύκου είι: Α A είι το σημείο επφής τότε η εφπτομέη του κύκου στο σημείο Α θ έχει εξίσωση κι επειδή είι πράηη στη ευθεί θ ισχύει Άρ Επειδή το σημείο A είι σημείο του κύκου θ ισχύει Επομέως το σημείο A προσδιορίζετι πό τη ύση του συστήμτος

59 6 Η όγω της γίετι ή οπότε υπάρχου δύο σημεί επφής τ Α κι Β κι οι τίστοιχες εφπτόμεες είι οι κι Α A είι το σημείο επφής τότε η εφπτομέη του κύκου στο Α θ έχει εξίσωση κι επειδή είι κάθετη στη ευθεί θ είι Άρ Επειδή το σημείο A είι σημείο του κύκου θ ισχύει Επομέως το σημείο Α προσδιορίζετι πό τη ύση του συστήμτος Η όγω της γίετι ή οπότε υπάρχου δύο σημεί επφής τ Α κι Β κι οι τίστοιχες εφπτόμεες είι οι κι Α M είι το σημείο επφής τότε η εφπτομέη του κύκου θ έχει εξίσωση κι επειδή διέρχετι πό το σημείο A θ είι Επομέως Επειδή το σημείο M είι σημείο του κύκου θ ισχύει Επομέως το σημείο M προσδιορίζετι πό τη ύση του συστήμτος ε ε Ο ε

60 6 Η όγω της γίετι ή οπότε υπάρχου δύο σημεί επφής τ M κι M κι οι τίστοιχες εφπτόμεες είι οι κι Οι εφπτόμεες του κύκου στ σημεί A B κι Δ είι τιστοίχως: ε : ε : Β- Ε Α ε : ε : Τ σημεί τομής τω εφπτομέω είι E Z H κι Επειδή οι διγώιες ΕΗ κι ΖΘ είι ίσες κι διχοτομούτι κάθετ το τετράπευρο ΕΖΗΘ είι τετράγωο Ζ Γ-- Ο Η Θ Δ- Γι έχει η χορδή μέσο το Μ πρέπει είι κάθετη στη ΟΜ στο Μ Ο συτεεστής διεύθυσης της ευθείς ΟΜ είι κι επομέως ο συτεεστής διεύθυσης της χορδής θ είι ίσος με Άρ η εξίσωση της χορδής είι Ο Μ ή ισοδύμ ε Η κτί του κύκου είι ρ κι επομέως η εξίσωση του είι Το κέτρο Κ του κύκου είι το μέσο του ΑΒ κι επομέως έχει 7 8 τετμημέη κι τετγμέη δηδή το κέτρο του κύκου είι το σημείο K Η κτί του κύκου είι ίση με

61 66 ρ AB 7 8 είι Άρ η εξίσωση του κύκου Το κέτρο K του κύκου ισπέχει πό τ Α κι Β κι μάιστ ισχύει KA KB Επομέως κι οπότε 7 7 Ατικθιστούμε τη τιμή υτή του στη κι έχουμε ή Επομέως ή Άρ υπάρχου δύο κύκοι κι έχου εξισώσεις κι v Α K το κέτρο του κύκου τότε ισχύου: κι 8 Έτσι έχουμε το σύστημ: Επομέως ο κύκος έχει κέτρο το σημείο K 66 κι κτί ρ KA Άρ η εξίσωση του κύκου είι : 6 6

62 8 v Το κέτρο Κ του κύκου θ έχει τετμημέη 6 κι τετγμέη μ δηδή ο κύκος θ έχει γι κέτρο το σημείο K 6 μ Είι όμως KA K μ μ 6 6 μ μ 6 μ 6 μ Επομέως ο κύκος έχει κέτρο το σημείο K 6 9 κι κτί 67 ρ KA Άρ η εξίσωσή του κύκου είι v Το κέτρο K του κύκου είι το σημείο τομής της μεσοκθέτου του τμήμτος ΑΒ κι της κθέτου στο άξο Α στο σημείο Το μέσο του ΑΒ είι το σημείο Μ με συτετγμέες κι ο συτεεστής διεύθυσης της ΑΒ είι ο Επομέως η μεσοκάθετος του ΑΒ έχει εξίσωση δηδή Η κάθετος στο στο Α έχει εξίσωση Επομέως το κέτρο Κ προσδιορίζετι πό τη ύση του συστήμτος η οποί είι Επομέως ο κύκος έχει κέτρο το σημείο K κι κτί ρ KA Άρ η εξίσωση του είι

63 68 v Το κέτρο K του κύκου θ είι η τομή της μεσοκθέτου του τμήμτος ΟΑ κι της κθέτου στη ε στο σημείο της A Η μεσοκάθετος του ΟΑ έχει εξίσωση κι η κάθετος στη ε στο Α έχει εξίσωση ή ισοδύμ Επομέως το κέτρο Κ προσδιορίζετι πό τη ύση του συστήμτος η οποί είι η 8 9 Η κτί του κύκου είι ίση με OK ρ Άρ η εξίσωση του κύκου είι Έχουμε διδοχικά: 6 Άρ ο κύκος έχει κέτρο το σημείο K κι κτί ρ Έχουμε διδοχικά: Άρ ο κύκος έχει κέτρο το σημείο 6 K κι κτί 9 ρ Έχουμε διδοχικά: 9 6

64 69 Άρ ο κύκος έχει κέτρο το σημείο v Έχουμε διδοχικά: K κι κτί ρ 6 [ ] [ ] 6 Άρ ο κύκος έχει κέτρο το σημείο K κι κτί ρ 7 Έχουμε διδοχικά: Επομέως ο κύκος έχει κέτρο K κι κτί ρ Η εφπτομέη του κύκου στο σημείο του A είι η ευθεί η κάθετη στη ΚΑ στο Α Όμως η ΚΑ είι κτκόρυφη ευθεί Άρ η κάθετη στη ΚΑ στο Α είι η ευθεί που είι κι η εφπτομέη του κύκου στο σημείο του A Έχουμε διδοχικά: Επομέως ο κύκος έχει κέτρο K κι κτί ρ Η εφπτομέη του κύκου στο σημείο του A είι η κάθετη στη ΚΑ στο Α Όμως η ΚΑ είι κτκόρυφη ευθεί άρ η κάθετη στη ΚΑ στο Α είι η ευθεί

65 7 8 Ο κύκος C έχει κέτρο K κι κτί ρ εώ το κύκος C έχει κέτρο K κι κτί ρ Επειδή K K ρ ρ ο κύκος C εφάπτετι εσωτερικά του κύκου C στο σημείο A B ΟΜΑΔΑΣ Ο Α Κ Κ Η εξίσωση γ δ επηθεύετι πό τις συτετγμέες τω σημείω A B κι Δ Επίσης η εξίσωση γράφετι γδ γδ δηδή είι της μορφής A B Άρ είι η εξίσωση του περιγεγρμμέου κύκου στο τετράπευρο ΑΒΓΔ Επίσης ABB δ γ δ γ Επομέως AB 9 που σημίει ότι η ΑΓ είι διάμετρος του κύκου Ομοίως ρίσκουμε ότι κι η ΒΔ είι διάμετρος του κύκου Ο κύκος γράφετι επομέως έχει κέτρο το σημείο K κι κτί ρ Η πόστση του κέτρου Κ πό τη ευθεί συφ ημφ ημφσυφ είι ίση με συφημφημφ συφ d ρ ημ φσυ φ Άρ η ευθεί εφάπτετι στο κύκο Έστω κι M τ σημεί επφής Η εφπτομέη του κύκου στο M έχει εξίσωση ρ Επειδή η εφπτομέη υτή διέρχετι πό το M οι συτετγμέες του M επηθεύου τη Επομέως που σημίει ότι η εξίσωση ρ ρ

66 7 ρ επηθεύετι πό τις συτετγμέες του σημείου M Ομοίως διπιστώουμε ότι επηθεύετι κι πό τις συτετγμέες του M Όμως η εξίσωση ρ είι εξίσωση ου θμού κι επειδή επηθεύετι πό τις συτετγμέες τω M κι M είι η εξίσωση της ευθείς M M Ο κύκος C έχει εξίσωση Έστω M έ σημείο του κύκου κι G u v το κέτρο άρους του τριγώου ΟΑΜ Γι τις συτετγμέες του G έχουμε u κι v κι επομέως u κι v Όμως το M ήκει στο κύκο Επομέως 9 κι με τικτάστση τω κι έχουμε: u v 9 9 u 9v 9 u v που σημίει ότι το G ήκει στο κύκο με κέτρο K κι κτί ρ δηδή στο κύκο Έ σημείο M είι σημείο του τόπου κι μόο οι εφπτόμεες ΜΑ κι ΜΒ προς το κύκο ρ είι κάθετες Αυτό συμίει κι μόο το τετράπευρο ΟΑΜΒ είι τετράγωο ή ισοδύμ OM ρ ρ Ο A ρ ρ B Μuv ρ ρ ρ που σημίει ότι ο γεωμετρικός τόπος του Μ είι ο κύκος ρ MA 6 Το σημείο M είι σημείο του τόπου κι μόο MB ισοδύμ ή

67 7 MA MB MA MB [ Άρ ο ζητούμεος γεωμετρικός τόπος είι ο κύκος με κέτρο το σημείο K κι κτί ρ ] 7 Έστω ε η ευθεί με εξίσωση Το σημείο M είι σημείο το τόπου κι μόο d M O d M ε Όμως d M O d M ε Αά ή 8 = Επομέως ο γεωμετρικός τόπος ποτεείτι πό το σημείο A κι το κύκο 8 Ο K- A

68 7 8 Έ σημείο M είι σημείο του τόπου κι μόο ισχύει MA MB M 7 ή ισοδύμ: 7 7 Άρ ο γεωμετρικός τόπος τω σημείω Μ είι ο κύκος με κέτρο το σημείο O κι κτί ρ Το κέτρο του κύκου υτού είι το κέτρο άρους του τριγώου ΑΒΓ φού κι 9 Οι συτετγμέες του σημείου τομής τω ευθειώ προκύπτου πό τη ύση του συστήμτος συθημθ ημθσυθ συθ ημθ Έχουμε D συ θ ημ θ ημθ -συθ D ημθ συθ ημθ -συθ D συθ συθ ημθ ημθ Επομέως οπότε έχουμε D συθ ημθ D D ημθ συθ D συθ ημθ ημθ συθ συ θ ημ θ ημθσυθ ημ θ συ θ ημ θ συ θ ημ θ συ θ ημθσυθ

69 7 Άρ το σημείο τομής τω ευθειώ ήκει στο κύκο που έχει κέτρο το O κι κτί ρ Έ σημείο M είι σημείο του τόπου κι μόο είι μέσο χορδής που διέρχετι πό το A Αυτό συμίει κι μόο OMA 9 δηδή κι μόο το σημείο Μ ήκει στο κύκο με διάμετρο ΟΑ Το κέτρο του κύκου υτού είι το σημείο K δηδή το K κι η κτί του είι ίση με ρ Γ Ο B A M K Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Α ΟΜΑΔΑΣ p Είι επομέως p κι η εξίσωση της προής είι Έχουμε p επομέως p κι η εξίσωση της προής είι η Η εξίσωση της προής είι p Επειδή διέρχετι πό το σημείο A θ ισχύει p οπότε p Επομέως η εξίσωση της προής είι η

70 7 Είι διευθετούσ η ευθεί δ : Είι Άρ η εστί είι το σημείο E κι η Άρ η εστί είι το σημείο E κι η διευθετούσ η ευθεί δ : Είι Άρ η εστί είι το σημείο E κι η διευθετούσ η ευθεί δ : v Είι Άρ η εστί είι το σημείο E κι η διευθετούσ η ευθεί δ : v Είι διευθετούσ η ευθεί δ : v Είι Άρ η εστί είι το σημείο E κι η Άρ η εστί είι το σημείο E κι η διευθετούσ η ευθεί δ : Η πόστση της κορυφής πό τη εστί είι ίση με p κι η πόστση εός σημείου M της προής πό τη εστί της είι ίση με p p Αρκεί δείξουμε ότι Έχουμε p p p p p p p p p που ισχύει Έστω A κι B δύο σημεί της προής με τη ίδι τετγμέη Έχουμε κι κι Επομέως οπότε Έτσι τ σημεί είι τ A κι B κι επομέως έχουμε:

71 76 AOB 9 OAOB Από τη σχέση γι έχουμε ή Άρ τ ζητούμε σημεί είι τ A κι B Η εξίσωση της προής γράφετι κι επομέως η εξίσωση της εφπτομέης ε στο σημείο της M είι οπότε Επειδή η ε είι πράηη στη ευθεί έχουμε οπότε Όμως Επομέως κι η εξίσωση της εφπτομέης είι Επειδή η ε είι κάθετη στη ευθεί έχουμε οπότε Όμως Επομέως κι η εξίσωση της εφπτομέης είι Επειδή η εφπτομέη διέρχετι πό το σημείο A έχουμε οπότε Όμως Επομέως οπότε ή Άρ υπάρχου δύο σημεί επφής τ M κι M κι οι τίστοιχες εφπτόμεες έχου εξισώσεις κι τιστοίχως 6 Η εξίσωση της προής γράφετι κι επομέως οι εφπτόμεες στ σημεί της A κι B έχου εξισώσεις κι τιστοίχως Οι εξισώσεις υτές γράφοτι κι

72 77 τιστοίχως κι επειδή οι εφπτόμεες είι κάθετες B ΟΜΑΔΑΣ Τ κοιά σημεί του κύκου κι της προής ρίσκοτι πό τη ύση του συστήμτος τω εξισώσεώ τους Έχουμε οιπό: 8 8 ή Επομέως υπάρχου δύο κοιά σημεί το A κι το B Η εξίσωση της εφπτομέης της προής στο Α είι ή ισοδύμ Η ευθεί υτή εφάπτετι κι του κύκου φού η πόστση του κέτρου Κ του κύκου πό υτή είι ίση με τη κτί του ρ 8 Πράγμτι d 8 Επειδή ο άξος είι άξος συμμετρίς κι του κύκου κι της προής κι το Β- είι συμμετρικό του Α ως προς το ο κύκος κι η προή έχου κοιή εφπτομέη κι στο Β Η εξίσωση της εφπτομέης υτής είι η

73 78 Η εξίσωση της προής είι 6 κι επομέως η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο της A είι 6 ή ισοδύμ Η εφπτομέη υτή τέμει το άξο στο σημείο Β- Η εστί της προής 6 είι το σημείο Ε Επομέως έχουμε: B A O E AE 6 κι AB BE 6 6 Άρ AE AB BE οπότε το τρίγωο ΕΑΒ είι ισόπευρο Η εξίσωση της προής είι κι επομέως εστί της είι το σημείο Ε κι διευθετούσ της η ευθεί Η εφπτομέη της προής στο σημείο της A έχει εξίσωση

74 78 ή ισοδύμ δ Η εφπτομέη τέμει τη διευθετούσ στο σημείο B Το κέτρο του κύκου με διάμετρο ΑΒ είι το σημείο K εώ η κτί του είι B =- K O E A ρ Επειδή p η εστί της προής είι το σημείο Ε Επομέως KE ρ κι Άρ ο κύκος υτός εφάπτετι στο άξο Η πόστση ΜΕ είι ίση με τη πόστση ΜΑ του Μ πό τη p διευθετούσ δηδή ME Άρ η κτί του κύκου είι ίση p με ρ Το μέσο Κ της ΜΕ έχει συτετγμέες p κι η πόστση του πό το άξο είι ίση με p p KH ρ που KE στο σημείο Ε E p σημίει ότι ο κύκος με διάμετρο ΜΕ εφάπτετι στο άξο A δ H O K p M

75 79 Η εξίσωση της ευθείς ΑΟ είι κι τέμει τη διευθετούσ στο σημείο p p B Η εφπτομέη της προής στο Α έχει εξίσωση p κι επομέως έχει p συτεεστή διεύθυσης Ο συτεεστής διεύθυσης της ΒΕ είι Άρ BE // ε BE p p p B p p p p p p O ε A E p 6 Η εφπτομέη της προής στο σημείο της A έχει εξίσωση p κιεπειδή A O τέμει το άξο στο σημείο p K κι τη διευθετούσ δ στο σημείο p p p B δ B A K O E Γι είι AEB 9 ρκεί EA EB Έχουμε p p p EA EB p

76 8 Έχουμε Άρ EK AB p p p p που ισχύει p p p EK KA p p p p p p p p που ισχύει Από το ορθογώιο τρίγωο ΕΒΑ επειδή EK AB έχουμε EK KB KA 7 Η εφπτομέη της προής p στο σημείο A έχει εξίσωση p κι τέμει το άξο στο σημείο B εώ η πράηη πό p Γ A το το Α προς το τέμει τη διευθετούσ δ στο σημείο p Επομέως μέσο B- O E p του ΓΕ έχει συτετγμέες δ κι το μέσο της ΑΒ έχει συτετγμέες επίσης Άρ τ τμήμτ ΑΒ κι ΓΕ διχοτομούτι Επίσης Κ E AB p p p p

77 8 που σημίει ότι E AB Αφού οιπό τ τμήμτ ΑΒ κι ΓΕ διχοτομούτι κθέτως το ΑΕΒΓ είι ρόμος κι το κέτρο του ρίσκετι στο άξο 8 Τ σημεί τομής τω C κι C προσδιορίζοτι πό τη ύση του συστήμτος C K ε App p p Από τη έχουμε p Ατικθιστούμε στη κι έχουμε B p p O Γ p p ε C p p 8p 8p ή p οπότε οι τίστοιχες τιμές του είι p τέμοτι στ σημεί Ο κι Αpp Η εφπτομέη ε της C στο Αpp έχει εξίσωση κι τέμει τη C στο σημείο Άρ οι πράηες p p p p B p p Η εφπτομέη ε της C στο Αpp έχει εξίσωση κι τέμει τη C στο σημείο p p p p p p Επομέως η εφπτομέη της C στο p p έχει εξίσωση p p p p

78 8 εώ η εφπτομέη της C στο B p p έχει εξίσωση p p p p Πρτηρούμε δηδή ότι η εφπτομέη της C στο Β κι η εφπτομέη της C στο Γ συμπίπτου Άρ η ΑΒ είι κοιή εφπτομέη τω C C Η ΕΛΛΕΙΨΗ Α ΟΜΑΔΑΣ Είι γ 8 κι οπότε γ κι Άρ 9 κι επειδή οι εστίες ρίσκοτι στο άξο η έειψη θ έχει εξίσωση: 9 Είι γ EE κι 6 οπότε γ κι Άρ κι επειδή οι εστίες ρίσκοτι στο άξο η έειψη έχει εξίσωση 69 γ Είι γ κι ε οπότε Άρ οπότε η έειψη θ έχει εξίσωση: 69 v Είι γ οπότε γ 6 με 6 έειψης θ έχει τη μορφή: Άρ η εξίσωση της

79 8 6 9 Αφού τώρ το M είι σημείο της έειψης οι συτετγμέες του θ επηθεύου τη εξίσωσή της Θ έχουμε δηδή: Άρ η έειψη έχει εξίσωση 9 6 πορρίπτετι v Αφού οι εστίες είι πάω στο η εξίσωση της έειψης θ είι: Τώρ φού τ M κι M είι τ σημεί της έειψης οι συτετγμέες τους θ επηθεύου τη εξίσωσή της Άρ θ έχουμε: Θέτουμε κ κι κι έχουμε κ κ κ κ 66

80 8 κ κ κ Άρ κι οπότε η εξίσωση της έειψης θ είι: Η εξίσωση γράφετι ισοδύμ οπότε είι κι Έτσι έχουμε γ οπότε γ κι γ άρ ε Τέος οι εστίες είι τ σημεί E κι E Η εξίσωση 69 6 γράφετι ισοδύμ ή 69 π όπου προκύπτει ότι γ 69 κι γ ε Οι εστίες ρίσκοτι πάω στο άξο κι είι τ σημεί E κι E Έστω ΑΒΓΔ το ζητούμεο τετράγωο Α είι οι συτετγμέες του σημείου Α τότε οι συτετγμέες τω σημείω Β Γ κι Δ θ είι κι τιστοίχως Επειδή AB A θ ισχύει οπότε θ είι

81 Άρ οι συτετγμέες του Α θ είι κι επειδή επηθεύου τη εξίσωση της έειψης θ έχουμε B A 8 Έτσι το ζητούμεο τετράγωο θ έχει κορυφές: A B Γ Δ Η εξίσωση γράφετι ισοδύμ B π όπου προκύπτει ότι κι γ Επομέως οι κορυφές Β κι B έχου συτετγμέες κι τιστοίχως εώ οι εστίες Ε κι E έχου συτετγμέες κι τιστοίχως Άρ το τετράπευρο EBE B είι τετράγωο φού οι διγώιες του είι ίσες κάθετες κι διχοτομούτι Α Ε Ο B Ε Α Α το M είι έ σημείο της έειψης τότε το τιδιμετρικό του θ είι το M όγω της συμμετρίς της έειψης ως προς το O Έτσι η εφπτομέη της έειψης στο M είι η εώ στο M είι η Οι εφπτομέες υτές είι πράηες φού οι συτεεστές διεύθυσής τους γι είι ίσοι

82 86 Α που ισχύει ότ τ M M τυτιστού με τ Α κι A οι εφπτομέες σ υτά είι πράηες φού είι κάθετες κι οι δύο στο άξο 6 Η εφπτομέη ε της έειψης στο σημείο της M έχει εξίσωση κι άρ συτεεστή διεύθυσης ε Επομέως: Η εφπτομέη ε είι πράηη προς τη ευθεί κι μόο ή ισοδύμ Όμως το M είι σημείο της έειψης Άρ θ έχουμε: κι επειδή θ ισχύει Επομέως ή Έτσι υπάρχου δύο ευθείες εφπτόμεες της έειψης που είι πράηες στη ευθεί Οι εφπτόμεες υτές είι οι κι Η εφπτομέη ε είι κάθετη στη ευθεί κι μόο ή ισοδύμ Άρ το σημείο Μ θ έχει συτετγμέες κι φού ήκει στη έειψη θ είι: Επομέως ή 6 Άρ οι ζητούμεες εφπτομέες είι οι ευθείες:

83 87 οι οποίες γράφοτι 6 6 κι 6 κι 6 Η εφπτομέη ε διέρχετι πό το M κι μόο η εξίσωση της ικοποιείτι πό τις συτετγμέες του Μ Δηδή κι μόο ισχύει ή ισοδύμ Επειδή το M ήκει στη έειψη θ έχουμε: Επομέως ή Άρ θ έχουμε δύο εφπτομέες της έειψης που διέρχοτι πό το M τις ευθείες κι 7 Οι εφπτόμεες της έειψης στ σημεί M M M κι M θ είι τιστοίχως οι: Οι ευθείες υτές είι ά δύο πρώτη-τρίτη κι δεύτερη-τέτρτη πράηες μετξύ τους κι ά δύο κάθετες πρώτη-δεύτερη τρίτητέτρτη κι τέμου μάιστ το στ ίδι σημεί Έτσι το τετράπευρο που ορίζου είι ορθογώιο πρηόγρμμο με κάθετες διγώιες Άρ το τετράπευρο υτό θ είι τετράγωο Β ΟΜΑΔΑΣ Αρκεί δείξουμε ότι οι συτετγμέες του Μ επηθεύου τη εξίσωση της έειψης Έχουμε οιπό:

84 88 t t t t t t t t t Α M είι σημείο τομής τω ευθειώ ε κι ε τότε θ ισχύει κι οπότε ποπσιάζοτς κτά μέη της ισότητες θ έχουμε φού Άρ το σημείο M ήκει στη έειψη Α θέσουμε r ME κι r ME τότε σύμφω με το ορισμό της έειψης θ ισχύει Όμως είι r r Επομέως έχουμε r γ κι r γ r r γ ή ισοδύμ r r rr γ Οπότε όγω της θ ισχύει γ r r ε Λύουμε το σύστημ τω κι κι έχουμε r ε κι r ε Επειδή η έειψη έχει πρμετρικές εξισώσεις

85 89 φ συ κι φ ημ [ π φ οι συτετγμέες του M θ είι της μορφής συφ κι ημφ [ π φ οπότε η εξίσωση της εφπτομέης ε της έειψης στο σημείο M θ πάρει τη μορφή: ημ συ φ φ ή ημ συ φ φ Έτσι θ έχουμε ημ συ ημ ημ συ ημ φ φ φ γ φ φ φ γ ε d d ημ συ ημ ημ συ ημ φ φ φ γ φ φ φ γ ε d d οπότε θ ισχύει ημ συ ημ ημ συ ημ ημ φ φ φ γ φ φ φ γ φ γ d d ημ συ συ ημ ημ συ ημ φ φ φ φ φ φ φ Είι ε ε ε N M ε ε ε N M Επομέως γι δείξουμε ότι N M N M ρκεί δείξουμε ότι ε ε ε ε ή γ γ

86 9 ή ή ή γ γ γ γ ή που ισχύει φού τ σημεί M κι M είι σημεί της έειψης 6 τρόπος: Έστω P το σημείο τομής της ΟΝ κι του κύκου με Ν συφ ημφ κέτρο Ο κι κτί Είδμε B Μ συφημφ στις πρμετρικές εξισώσεις της P έειψης ότι το σημείο Μ είι το σημείο τομής της οριζότις Α φ Α ευθείς πό το P κι της Ο Γ κτκόρυφης πό το Ν Επομέως τ τετράπευρ ΜΝΟΔ κι ΜΡΟΓ είι πρηόγρμμ οπότε θ Δ B έχουμε M ON κι M OP τρόπος: Α φ είι η γωί που σχημτίζει το διάυσμ ON με το άξο τότε οι συτετγμέες του Μ θ είι συφ ημφ εώ οι συτετγμέες του Ν θ είι συφ ημφ Επομέως η ευθεί ΜΔ θ έχει εξίσωση ημφεφφ συφ κι άρ θ τέμει τους άξοες Επομέως κι στ σημεί συφ κι ημφ συ φ ημ φ συ φημ φ συ φ ημ φ συ φημ φ

87 9 7 Η ζ έχει εξίσωση εώ οι ε κι ε έχου εξισώσεις κι τιστοίχως Επομέως οι συτετγμέες τω Γ κι είι οι ύσεις τω συστημάτω κι τιστοίχως Λύουμε τ συστήμτ υτά κι ρίσκουμε ότι τ Γ κι έχου συτετγμέες κι τιστοίχως Επομέως: A κι A οπότε A A Αρκεί δείξουμε ότι E E ή ισοδύμ ότι E E Έχουμε οιπό: γ E κι γ E οπότε γ E E γ B ζ M B ε : =-a ε: =a Γ Α Γ Α

88 9 Ομοίως ποδεικύουμε ότι E E 8 Η εφπτομέη έχει εξίσωση Άρ τέμει τους άξοες κι στ σημεί κι τιστοίχως Επομέως έχουμε p κι q οπότε p q φού το σημείο M ήκει στη έειψη Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ A ΟΜΑΔΑΣ Είι γ κι οπότε γ 69 Άρ η εξίσωση της υπεροής είι φού έχει τις εστίες της στο άξο γ Είι γ κι Επομέως γ 6 οπότε γ 6 8 Άρ η εξίσωση της υπεροής είι

89 9 φού έχει τις εστίες της στο άξο 6 6 Είι γ οπότε πίρει τη μορφή γ Έτσι η εξίσωση της υπεροής

90 9 Επειδή το σημείο M ήκει στη υπεροή οι συτετγμέες του θ επηθεύου τη εξίσωσή της δηδή θ ισχύει Άρ η εξίσωση της υπεροής θ είι v Δικρίουμε δύο περιπτώσεις: ή φού γ Η υπεροή έχει τις εστίες της στο άξο Τότε θ έχει εξίσωση Επειδή όμως έχει σύμπτωτες τις ευθείες κι οπότε θ έχουμε Έτσι η πίρει τη μορφή θ ισχύει Επειδή επιπέο το σημείο M ήκει στη υπεροή θ ισχύει Επομέως όγω της η εξίσωση της υπεροής είι η: 9 6

91 9 Η υπεροή έχει τις εστίες της στο άξο Τότε θ έχει εξίσωση Α εργστούμε όπως πρι θ ρούμε ότι δε υπάρχει υπεροή τέτοις μορφής που έχει σύμπτωτες τις κι περάει πό το σημείο M ΣΧΟΛΙΟ Μπορούσμε πρτηρήσουμε ότι το σημείο M ρίσκετι στη γωί τω συμπτώτω που περιέχει το O Επομέως το Μ θ ήκει στη υπεροή που έχει τις εστίες της στο άξο Έχουμε: Επομέως κι οπότε γ εστίες τ σημεί E E ευθείες Έχουμε εκκετρότητ Επομέως κι οπότε γ Άρ η υπεροή έχει ε κι σύμπτωτες τις Άρ η υπεροή έχει εστίες τ σημεί E E εκκετρότητ ε κι σύμπτωτες τις ευθείες Έχουμε Επομέως κι οπότε γ Άρ η υπεροή έχει

92 9 εστίες τ σημεί E E τις ευθείες εκκετρότητ ε κι σύμπτωτες Έχουμε εφ γ ε γ ε Η εφπτομέη της υπεροής στο σημείο έχει εξίσωση Επομέως οι συτετγμέες του σημείου Γ είι η ύση του συστήμτος Ο =a Γ Α Εγ a η οποί προφώς είι το ζεύγος Άρ είι O γ γ OE Η εφπτομέη ε της C στο M έχει εξίσωση κι συτεεστή διεύθυσης έχει συτεεστή διεύθυσης ε ζ το M θ έχει εξίσωση Επειδή η ζ είι κάθετη στη ε θ κι επειδή επιπέο διέρχετι πό

93 96 Όμως η ε περάει πό το M κι η ζ πό το M Επομέως όγω τω κι θ ισχύει γ Επειδή το σημείο M ήκει στη υπεροή C θ ισχύει οπότε όγω τη θ έχουμε γ γ γ ε 6 Έστω ζ μι ευθεί πράηη προς τη σύμπτωτη : της υπεροής : C Τότε η ζ θ έχει εξίσωση δ δ a a Ο

94 97 Γι ρούμε τις συτετγμέες τω κοιώ σημείω της ζ κι της C ρκεί ύσουμε το σύστημ Έχουμε οιπό: δ δ δ δ δ δ δ δ δ Επομέως όγω της είι δ δ δ δ δ δ δ δ Άρ η ευθεί ζ κι η υπεροή C έχου έ μόο κοιό σημείο το δ δ δ δ Α η ζ είι πράηη προς τη σύμπτωτη ε - : τότε κι πάι θ έχει με τη C έ μόο κοιό σημείο Η υπεροή έχει σύμπτωτες τις ευθείς κι Επομέως η ευθεί που γράφετι είι πράηη προς τη σύμπτωτη κι άρ σύμφω με όσ ποδείξμε πρι θ έχει με

95 98 τη υπεροή έ μόο κοιό σημείο το M φού κι 7 Η εξίσωση της εφπτομέης ε της υπεροής σε έ σημείο M είι η κι έχει συτεεστή διεύθυσης Επομέως: H ε είι πράηη προς τη ευθεί : κι μόο ισχύει δηδή ή ισοδύμ Όμως το σημείο M ήκει στη υπεροή Επομέως οι συτετγμέες του θ επηθεύου τη εξίσωσή της δηδή θ ισχύει Α ύσουμε το σύστημ τω κι ρίσκουμε ότι ή Άρ υπάρχου δύο εφπτόμεες της υπεροής που είι πράηες προς τη ευθεί Οι εφπτόμεες υτές όγω της έχου εξισώσεις που γράφοτι ισοδύμ τιστοίχως Η ε είι κάθετη στη ευθεί κι κι : ε η δηδή ή ισοδύμ κι μόο ισχύει

96 99 Όμως το σημείο M ήκει στη υπεροή Επομέως θ ισχύει 6 Έτσι η 6 όγω της γράφετι ή ισοδύμ που είι δύτη Άρ δε υπάρχει εφπτομέη της υπεροής που είι κάθετη στη ευθεί η: Η ε διέρχετι πό το σημείο M κι μόο οι συτετγμέες του επηθεύου τη δηδή κι μόο ισχύει ή ισοδύμ Όμως όπως είδμε πιο πρι ισχύει 7 8 Α ύσουμε το σύστημ τω 7 κι 8 ρίσκουμε ότι ή Άρ υπάρχου δύο εφπτόμεες της υπεροής που διέρχοτι πό το σημείο M Οι εφπτόμεες υτές όγω της έχου εξισώσεις κι που γράφοτι ισοδύμ τιστοίχως κι Β ΟΜΑΔΑΣ Έστω ΚΛΜΝ το ορθογώιο άσης της υπεροής Τότε ΟΑ= κι ΑΚ= οπότε OK κι άρ OK OE Επομέως τ ορθογώι τρίγω ΑΟΚ κι E OE είι ίσ φού έχου μί οξεί γωί κοιή κι τις υποτείουσες ίσες Άρ θ ισχύει OE OA κι EE AK Ν B Κ Ε E Α Ο Α E Μ B Λ

97 Έστω ζ η εφπτομέη που τέμει τις ε κι στ σημεί Γ κι τιστοίχως Α M είι το σημείο επφής τότε η εξίσωση της ζ θ είι Επομέως οι συτετγμέες τω Γ κι είι οι ύσεις τω συστημάτω κι τιστoίχως Λύουμε τ συστήμτ υτά κι ρίσκουμε ότι το Γ έχει συτετγμέες εώ το έχει συτετγμέες Επομέως έχουμε A κι A Άρ A A γιτί Αρκεί δείξουμε ότι E E Πράγμτι έχουμε ε ε Α Ο ζ Γ Μ Ε Γ Ε Α

98 γ γ E E γ γιτί Άρ E E Αρκεί δείξουμε ότι τ τμήμτ M M κι M M έχου κοιό μέσο ή ισοδύμ ρκεί δείξουμε ότι κι Α η ευθεί M M είι κτκόρυφη τότε φού ο άξος είι άξος συμμετρίς της υπεροής θ ισχύει το ζητούμεο Α η ευθεί M M δε είι κτκόρυφη τότε θ έχει εξίσωση μ Έτσι οι συτετγμέες τω M M θ είι οι ύσεις του συστήμτος μ Α θέσουμε στη δεύτερη εξίσωση όπου το μ ρίσκουμε μ ή μ μ ή μ μ a a O M M M M

99 Επομέως μ Γι ρούμε τις συτετγμέες τω M κι M ύουμε τ συστήμτ μ κι μ τιστοίχως Από τ συστήμτ υτά ρίσκουμε ότι οπότε έχουμε μ κι μ μ μ μ Έτσι πό τις κι προκύπτει ότι Εξάου έχουμε Άρ μ μ μ κι μ μ Η πράηη ζ προς τη σύμπτωτο έχει εξίσωση μ ε : πό το σημείο M ζ M εώ η πράηη ζ προς τη σύμπτωτο ε : πό το σημείο M έχει εξίσωση ε ε ζ O M M

100 Έστω M είι το σημείο τομής της ζ με τη ε κι M το σημείο τομής της ζ με τη ε Τότε OM MM OMM det OM OM Γι προσδιορίσουμε τις συτετγμέες του M ύουμε το σύστημ τω ε : κι ζ : Η δεύτερη εξίσωση όγω της πρώτης γράφετι Έτσι πό τη πρώτη εξίσωση ρίσκουμε ότι συτετγμέες του M είι Άρ όγω της έχουμε: κι OM M M Επομέως οι γιτί το Άρ το εμδό του πρηόγρμμου OM M M είι στθερό

101 τρόπος: Α ΚΛΜΝ είι το οθρογώιο άσης της υπεροής τότε OA κι OK Επομέως Άρ φ AOK τότε OA συφ OK γ ε συ KO συ N A M B Ο B a K φ A Λ a συ φ ε ε ε ε τρόπος: Οι σύμπτωτες ε : κι ε : είι πράηες προς τ διύσμτ κι τιστοίχως Επομέως το συημίτοο μις πό τις γωίες τω συμπτώτω είι ίσο με το συημίτοο της γωίς φ τω διυσμάτω δηδή ίσο με δ δ συφ δ δ γ γ γ ε γ γ γ ε 6 Α Α Ο Α Α ρ C C Οι συτετγμέες τω A κι A είι κι τιστοίχως

102 Γι δείξουμε ότι πό το A δε άγοτι εφπτομέες στη C ρκεί δείξουμε ότι κμιά πό τις εφπτόμεες της C δε διέρχετι πό το A Α M είι έ σημείο της C τότε η εφπτομέη της C στο M θ έχει εξίσωση Γι δείξουμε ότι η δε διέρχετι πό το A ρκεί δείξουμε ότι Πράγμτι είι ρ ή ισοδύμ οπότε κι άρ Επομέως πό το A δε διέρχετι κμιά εφπτομέη της υπεροής C Γι δείξουμε ότι πό το A άγετι εφπτομέη στη C ρκεί ρούμε σημείο M της C στο οποίο η εφπτομέη της C διέρχετι πό το A Η εφπτομέη της C στο M έχει εξίσωση ρ Γι περάει η εφπτομέη πό το A ρκεί ισχύει ρ ή ισοδύμ ρ Όμως ρ Επομέως όγω της έχουμε ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Άρ ρ ρ ρ ή ρ ρ ρ

103 6 κι επομέως πό το σημείο A a άγοτι προς τη C δύο εφπτόμεες με εξίσώσεις ρ ρ ρ ρ κι ρ ρ ρ ρ τιστοίχως οι οποίες πίρου τη μορφή: ρ ρ ρ ρ κι ρ ρ ρ ρ Η ΕΞΙΣΩΣΗ A B Δ E Α ΟΜΑΔΑΣ Είι: 88 οπότε θέσουμε X κι Y 8 έχουμε Y X Άρ η εξίσωση πριστάει προή με κορυφή το σημείο O Η εστί Ε της προής έχει ως προς το σύστημ O XY συτετγμέες X Y οπότε ως προς το σύστημ O θ έχει συτετγμέες Είι: οπότε θέσουμε X κι Y έχουμε X 8Y Άρ η εξίσωση πριστάει προή με κορυφή το σημείο O κι εστί το σημείο E

104 7

105 7 Είι: 88 οπότε θέσουμε X κι Y 8 Y X έχουμε Άρ η εξίσωση πριστάει προή με κορυφή το σημείο O κι εστί το σημείο E v Είι 86 8 οπότε θέσουμε X κι Y 866 έχουμε X Y Άρ η εξίσωση πριστάει προή με κορυφή το σημείο O κι εστί το σημείο E Η εξίσωση γράφετι διδοχικά οπότε θέσουμε X κι Y 89 9 X Y η εξίσωση πίρει τη μορφή Άρ η εξίσωση πριστάει έειψη με κέτρο το σημείο O κι άξοες συμμετρίς τις ευθείες κι Ως προς το σύστημ O XY οι