Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων

Transcript

1 1 Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό (LP) Εντοπισμός της βέλτιστης κατανομής περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων (resource allocation problems) Συντελεστές παραγωγής σε ημικατεργασμένα προϊόντα ή σε δραστηριότητες, εθνικοί πόροι και εγχώριες ανάγκες, επενδυτικά χαρτοφυλάκια, προγράμματα παραγωγής, προγράμματα εργασίας, μίξη πρώτων υλών, πολυσταδιακά προβλήματα επενδύσεων ή παραγωγής και διαχείρισης αποθεμάτων, επιλογή επιπέδου παραγωγής, προβλήματα μεταφοράς και δικτύων, προβλήματα διατροφής κ.ά. Πρωτοπόροι του Γραμμικού Προγραμματισμού Leonid Kantorovich ( , Nobel 1975) (1939, optimizing production in plywood) George Dantzig ( , αλγόριθμος simplex, 1947) Linear Programming and Extensions (1963, 1998) O George Dantzig και οι αποδείξεις δύο προβλημάτων Στατιστικής (urban legend) Good Will Hunting (1997, introductory scene) John von Neumann ( , Duality, 1947) Βασικά στοιχεία του Γρ.Πρ. Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων (μεταβλητές απόφασης) Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί προβλήματος) Χρήση μαθηματικού μοντέλου (προτύπου, υποδείγματος) Όλες οι μαθηματικές σχέσεις είναι ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ Προγραμματισμός = Σχεδίαση (Planning) Εντοπισμός του άριστου (βέλτιστου) σχεδίου δηλαδή: του άριστου προγράμματος δράσης Παράδειγμα 1: (Doors ΕΠΕ) Προϊόν Ημερήσια Διαθεσιμότητα (απαιτήσεις και περιθώριο Πόροι πόρων κέρδους) Π1 Π2 Αλουμίνιο 1 (πρoφίλ) 0 4 έτοιμα προφίλ αλουμίνιο Ξυλεία 0 2 (τ.μ.) 12 τ.μ. ξυλεία Εργασία 3 (ώρες) 2 (ώρες) 18 ώρες εργασίας Περιθώριο Κέρδους 3 χμ 5χμ Π1: Γυάλινη πόρτα με πλαίσιο αλουμινίου Π2: Παράθυρο με ξύλινο πλαίσιο Ερωτήματα Απαντήσεις (1) Απαντήσεις (2) Ποιος είναι ο λήπτης της απόφασης ; Λήπτης απόφασης : "Doors Ltd" Οπότε αναπτύσσεται το εξής μοντέλο: Ποιος είναι ο στόχος του ; Στόχος: Μεγιστοποίηση του συνολικού περιθωρίου κέρδους Μεταβλητές απόφασης: ποσότητα παραγωγής από κάθε προϊόν Ποιος είναι ο χρονικός ορίζοντας προγραμματισμού ; Ποιοι είναι οι πόροι ; Είναι σε ανεπάρκεια κάποιοι πόροι? Ποιοι ανταγωνίζονται για την απόκτησή τους ; Ποιες είναι οι μεταβλητές απόφασης ; Ποιοι είναι οι περιορισμοί του προβλήματος ; Χρονικός ορίζοντας: τυπική ημέρα Πόροι: Αλουμίνιο, ξυλεία, εργασία (σε ανεπάρκεια) Μεταβλητές απόφασης: Θα τις βρείτε, αν απαντήσετε στο ερώτημα: Αν οι παράμετροι είναι γνωστές, τι είναι εκείνο που τελικά καθορίζει το συνολικό κέρδος της επιχείρησης; Χ1 μονάδες (τμχ) προϊόντος 1 που θα παραχθούν Χ2 μονάδες (τμχ) προϊόντος 2 που θα παραχθούν που δίνει: (Χ1, Χ2) = το συνολικό περιθώριο κέρδους Πως εκφράζεται με μαθηματικό τρόπο; Στόχος: Περιορισμοί Το γραμμικό μοντέλο του προβλήματος Θεμελιώδεις Παραδοχές LP Μεγιστοποίησε τη συνάρτηση: Z(X1, X2), με περιορισμούς που επιβάλλονται από τους διαθέσιμους πόρους και γενικότερα από το εσωτερικό και εξωτερικό περιβάλλον της επιχείρησης: Αντικειμενική συνάρτηση Συνολικό κέρδος = κέρδος από Π1 + κέρδος από Π2 = (μοναδιαίο κέρδος τμχ Π1)*(παραγόμενη ποσότητα Π1) + (μοναδιαίο κέρδος τμχ Π2)*( παραγόμενη ποσότητα Π2)= =(χμ/τμχ Π1)*(Χ1) + (χμ/τμχ Π2)*(Χ2) = (Χ1, Χ2) = 3Χ1 + 5Χ2 Maximize Z = 3X1 + 5X2 Αλουμίνιο: διαθεσιμότητα: 4 προφίλ αλουμινίου Απαιτήσεις: προϊόν Π1 χρειάζεται 1 προφίλ και Π2 κανένα Κατανάλωση: 1*X1 + 0*X2 4 δηλαδή Χ1 4 Ξυλεία: διαθεσιμότητα: 12 τ.μ. ξυλεία Απαιτήσεις: προϊόν Π1 καθόλου, Π2 χρειάζεται 2τ.μ. ξυλεία Κατανάλωση: 0*X1 + 2*X2 12 δηλαδή 2Χ2 12 Εργασία: διαθεσιμότητα: 18 ώρες εργασίας Απαιτήσεις: προϊόν Π1 χρειάζεται 3 ώρες και Π2, 2 ώρες Κατανάλωση: 3*X1 + 2*X2 18 δηλαδή 3Χ1 + 2Χ2 18 Max Z = 3X1 + 5X2 (αντικειμενική συνάρτηση = συνολικό κέρδος) Με περιορισμούς 1) Χ1 4 (περιορισμός αλουμινίου) 2) 2Χ2 12 (περιορισμός ξυλείας) 3) 3Χ1 + 2Χ2 18 (περιορισμός εργασίας) και Χ1 0, Χ2 0 Επειδή το πρόβλημα είναι διδιάστατο, μπορεί να επιλυθεί γραφικά κατασκευάζοντας τη γραφική παράσταση των παραγωγικών δυνατοτήτων (άριστη λύση:χ1=2, Χ2=6 και =36). Θα το δούμε σε λίγο!! 1) Αναλογικότητα (Proportionality, constant returns to scale) 2) Αθροιστικότητα (Additivity, no interactions) ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ (linearity) 3) Προσδιοριστικότητα (Certainty) 4) Διαιρετότητα (Divisibility, continuity) Επίλυση με τον αλγόριθμο SIMPLEX Γραφική επίλυση Πριν προχωρήσετε παρακάτω... προσπαθήστε να φτιάξετε το Γραφική επίλυση του παραδείγματος (POM-QM) Γραφική επίλυση του παραδείγματος (PHP-Simplex) 1) Απαρίθμηση και έλεγχος όλων των ακραίων σημείων (κορυφών) της εφικτής περιοχής. Δηλαδή, εντοπίζουμε τις συντεταγμένες όλων των κορυφών της εφικτής περιοχής και επιλέγουμε εκείνη που μεγιστοποιεί (ελαχιστοποιεί) την αντικειμενική συνάρτηση ή 2) Χάραξη των καμπυλών ίσου κέρδους (ή κόστους) της αντικειμενικής συνάρτησης. Βρίσκουμε το σημείο όπου η ισοκερδής εφάπτεται της εφικτής περιοχής πριν την σχήμα του Παραδείγματος!! Το γραμμικό μοντέλο Max Z = 3X1 + 5X2 (αντικειμενική συνάρτηση = συνολικό κέρδος) Με περιορισμούς 1) Χ1 4 (περιορισμός αλουμινίου) 2) 2Χ2 12 (περιορισμός ξυλείας) 3) 3Χ1 + 2Χ2 18 (περιορισμός εργασίας) και Χ1 0, Χ2 0 εγκαταλείψει

2 17 Κορυφές: Εφικτές (μία βέλτιστη) και Μη εφικτές Παράδειγμα 2 Παράδειγμα 2-1 (μοντέλο) Έστω Χ1, Χ2 τα τεμάχια από κονσέρβες κάθε είδους. Τότε: Maximize Z=6X1 + 2X2 (μεγιστοποίηση πρωτεΐνης) μ.π. 1) 15Χ1 30 (λίπος) 2) 750Χ Χ (νάτριο) Παράδειγμα 2-1 (γραφική επίλυση) Παράδειγμα 2-2 (μοντέλο) Παράδειγμα 2-2 (γραφική επίλυση) Έστω Χ1, Χ2 οι πόρτες και οι φεγγίτες που ασφαλίζονται. Τότε: Maximize Z= X1 + X2 (μεγιστοποίηση συνολικού πλήθους) μ.π. 1) 2Χ1 + 3Χ2 70 (διαθέσιμα καδρόνια) 2) 18Χ1 + 6Χ2 500 (καρφιά) 3) 12Χ1 + 3Χ2 180 (χρόνος σε λεπτά) Γαλακτοβιομηχανία Alpha Πρότυπο παράδειγμα Προϊόν Α Προϊόν B Διαθεσιμότητα Γάλα (λίτρα) Εργασία (λεπτά) Δυναμικότητα (λεπτά) Μέγιστη ζήτηση Περιθώριο κέρδους / τμχ 150 (χμ) 200 (χμ) Γενική - Κανονική μορφή του μοντέλου 1) Χ1 + Χ2 550 (γάλα σε λίτρα) 2) Χ1 + 3Χ (εργασία σε λεπτά) 3) 2Χ1 + 5Χ (δυναμικότητα συστήματος σε λεπτά) 4) Χ1 400 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα) Τυποποιημένη μορφή του μοντέλου + 0s1 + 0s2 +0s3 +0s4 1) Χ1 + Χ2 + s1 = 550 2) Χ1 + 3Χ2 + s2 = ) 2Χ1 + 5Χ2 + s3 = ) Χ1 + s4 = 400 Γραφική Επίλυση (POM-QM) και Χ1, Χ2, s1, s2, s3, s4 0 Γενική Κανονική Τυποποιημένη (μορφή) Γραφική Επίλυση (PHP-Simplex) Γραφική Επίλυση (GeoGebra) Ακραία σημεία: Βασικές λύσεις Βασικές Εφικτές και Μη εφικτές Λύσεις Ακραίο Σημείο Βασική λύση X1 X2 s1 s2 s3 s4 Τύπος Τιμή Α Εφικτή 0 Β Εφικτή Γ Εφικτή Δ Εφικτή Βέλτιστη Ε /3 650/ /3 400 Εφικτή / Μη εφικτή - Βέλτιστο σημείο Η Μη εφικτή - Θ Μη εφικτή, Εκφυλισμένη - Ι Μη εφικτή - Κ Μη εφικτή - Λ Μη εφικτή - Μ Μη εφικτή

3 33 Υπολογισμοί για τις πέντε κορυφές της εφικτής περιοχής Ορολογία (1) Ορολογία (2) Ορολογία (3) Κορυφή (Χ1, Χ2) Β (400, 0) Γ (400, 150) Δ (βέλτιστη) (325, 225) Ε (0, 1000/3) /3 Ο 3 ος και ο 4 ος περιορισμός είναι μη δεσμευτικοί με τιμές χαλαρών μεταβλητών S3=225 και S4= 75. Τι παριστάνουν και ποια η χρησιμότητά τους? Ο 3 ος περιορισμός δεν συμμετέχει ούτε στη διαμόρφωση της εφικτής περιοχής πλεονάζων περιορισμός περιοριστική ευθεία: ευθεία που αντιστοιχεί σε κάποιο περιορισμό του προβλήματος κορυφή ή ακραίο σημείο: Σημείο στο οποίο τέμνονται δύο περιοριστικές ευθείες Λύση: Κάθε συνδυασμός τιμών των μεταβλητών Εφικτή (μη εφικτή) λύση: λύση που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς (δεν ικανοποιεί τουλάχιστον ένα) Εφικτή λύση ακραίου σημείου: κορυφή της εφικτής περιοχής Γειτονικές εφικτές λύσεις ακραίου σημείου: συνδέονται με μία ακμή (στο σύνορο) της εφικτής περιοχής Εφικτή περιοχή: η (κυρτή) περιοχή των εφικτών λύσεων που σχηματίζεται από τις περιοριστικές ευθείες Βασική (μη βασική) μεταβλητή: μη μηδενική (μηδενική) μεταβλητή σε μία λύση Βασική λύση (λύση ακραίου σημείου): λύση που αντιστοιχεί σε ακραίο σημείο (έχει βασικές μεταβλητές, όσες είναι το πλήθος των περιορισμών) Βασική εφικτή λύση: βασική λύση που αντιστοιχεί σε κορυφή της εφικτής περιοχής (έχει βασικές μεταβλητές, όσες είναι το πλήθος των περιορισμών και είναι όλες μη αρνητικές) Μη βασική λύση: λύση που δεν βρίσκεται σε κορυφή, μπορεί να είναι εφικτή ή μη εφικτή (έχει περισσότερες μη μηδενικές μεταβλητές από το πλήθος των περιορισμών) Χαλαρή τιμή (slack): το υπόλοιπο, "περίσσευμα" από περιορισμό ( ) Πλεονασματική τιμή (surplus): το "ξεπέρασμα " απαίτησης ( ) Βοηθητικές μεταβλητές: μεταβλητές που αντιστοιχούν στις χαλαρές τιμές και στις τιμές πλεονασμού Δεσμευτικός ή ενεργός περιορισμός: ή καταναλώνεται ο πόρος πλήρως ( ) ή δεν πλεονάζει ( ) (slack ή surplus μηδενικά αντιστοίχως). Μη δεσμευτικός περιορισμός : περισσεύει πόρος ( ) ή μία απαίτηση ξεπερνιέται ( ) (slack ή surplus μη μηδενικά αντιστοίχως) Ορολογία (4) Συμβολισμοί ενός μοντέλου Γραμμικού Προγραμματισμού Δεδομένα μοντέλου γραμμικού προγραμματισμού Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης Άριστη (βέλτιστη) λύση: η εφικτή λύση ακραίου σημείου που δίνει τη βέλτιστη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση. Δύναται να είναι ακριβώς μία, αλλά υπάρχουν και περιπτώσεις με άπειρες άριστες λύσεις. Όταν μία εφικτή λύση ακραίου σημείου είναι καλύτερη όλων των γειτονικών της τότε είναι η βέλτιστη. Άριστη (βέλτιστη) τιμή: η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που αντιστοιχεί στη βέλτιστη λύση Ειδικές περιπτώσεις: (α) Άπειρες άριστες λύσεις (εναλλακτικές λύσεις με ίδια άριστη τιμή), (β) ανυπαρξία λύσης (μη εφικτό πρόβλημα δηλ. ανυπαρξία εφικτής περιοχής), (γ) μη φραγμένο πρόβλημα (το Z τείνει στο άπειρο). m : πλήθος περιορισμών προβλήματος (πόροι, ζήτηση, απαιτήσεις) n : πλήθος ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων Xj: επίπεδο δραστηριότητας (μεταβλητές απόφασης), j 1,2,..., n Z : το συνολικό μέτρο απόδοσης (τιμή της αντ/κής συνάρτησης) cj: ο αντικειμενικός συντελεστής της Χj, j 1,2,..., n (π.χ. μοναδιαίο περιθώριο κέρδους) bi: το δεξιό μέλος του πόρου i 1,2,..., m (π.χ. διαθέσιμος πόρος) aij : τεχνολογικός συντελεστής (π.χ. η ποσότητα που απαιτείται από τον πόρο i για να παραχθεί μία μονάδα του προϊόντος j, i 1,2,..., m και j 1,2,..., n ) Δραστηριότητα j=1 2 3 n Δεξιό μέλος Πόρος i=1 α11 α12 α13 α1n b1 2 α21 α22 α23 α2n b2 3 α31 α32 α33 α3n b3 m αm1 αm2 αm3 αmn bm Δ c1 c2 c3 cn μεταβλητή απόφασης X1 X2 X3 Xn Maximize Z=c1x1+c2x2+ +cnxn (αντικειμενική συνάρτηση) με περιορισμούς (παράμετροι) α11x1+α12x2+ +α1nxn b1 α21x1+α22x2+ +α2nxn b2 (λειτουργικοί περιορισμοί). αm1x1+αm2x2+ +αmnxn bm και x1, x2,, xn 0 άλλες μορφές του μοντέλου : γενική, τυποποιημένη Συνέχεια πρότυπου παραδείγματος Γενική - Κανονική μορφή του μοντέλου Μετακίνηση του πλεονάζοντος περιορισμού (έστω: b3 = 1500) Γενική - Κανονική μορφή του μοντέλου (υπενθύμιση) 1) Χ1 + Χ2 550 (γάλα σε λίτρα) 1) Χ1 + Χ2 550 (γάλα σε λίτρα) 2) Χ1 + 3Χ (εργασία σε λεπτά) 2) Χ1 + 3Χ (εργασία σε λεπτά) 3) 2Χ1 + 5Χ (δυναμικότητα συστήματος σε λεπτά) 3) 2Χ1 + 5Χ (δυναμικότητα συστήματος σε λεπτά) 4) Χ1 400 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα) 4) Χ1 400 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα) Συνέχεια πρότυπου παραδείγματος (υπενθύμιση) Αύξηση της διαθέσιμης εργασίας, μετακίνηση 2 ου περιορισμού (έστω b2 = 1500) Γενική - Κανονική μορφή του μοντέλου (υπενθύμιση) Συνέχεια πρότυπου παραδείγματος (υπενθύμιση) 1) Χ1 + Χ2 550 (γάλα σε λίτρα) 2) Χ1 + 3Χ (εργασία σε λεπτά) 3) 2Χ1 + 5Χ (δυναμικότητα συστήματος σε λεπτά) 4) Χ1 400 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα)

4 49 Υποχρεωτική κατανάλωση του γάλακτος (Χ1 + Χ2 = 550) Θα συμβεί αυτό: Τι θα συμβεί αν επιπλέον τεθεί: Χ1 = 400; Ποια είναι η νέα άριστη λύση; 50 Πρόβλημα ελαχιστοποίησης (Διαφημιστικό σχέδιο της "Pro-Lux") Χρονικός ορίζοντας τρεις μήνες (Μάιος - Ιούλιος) πρωινή ζώνη - βραδινή ζώνη Κόστος μηνύματος πρωινής ζώνης = χμ Κόστος μηνύματος βραδινής ζώνης = χμ Πρωινό μήνυμα: γυναίκες, άνδρες Βραδινό μήνυμα: γυναίκες, άνδρες Τουλάχιστον γυναίκες, άνδρες Τουλάχιστον 20 μηνύματα στη βραδινή ζώνη 51 Ερωτήματα Ποιος είναι ο λήπτης της απόφασης? Ποιος είναι ο στόχος της επιχείρησης? Ποιο είναι το πρόβλημα που καλείται να λύσει? Ποιες είναι οι μεταβλητές απόφασης? Ποια είναι η αντικειμενική συνάρτηση? Ποιοι είναι οι περιορισμοί? Μπορεί να επιλυθεί γραφικά? Ποια είναι η βέλτιστη λύση και ποια η άριστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης? 52 Μεταβλητές απόφασης και αντικειμενική συνάρτηση Οι περιορισμοί του προβλήματος Γενική μορφή του μοντέλου Μεταβλητές απόφασης Χ1 = διαφημιστικά μηνύματα πρωινής ζώνης 1) 30000Χ X ή 30X1+20X Min Z=1,5X1 + 2,5X2 Χ2 = διαφημιστικά μηνύματα βραδινής ζώνης Αντικειμενική συνάρτηση (χιλιάδες γυναίκες) 2) 5000Χ X ή 5X1+25X2 900 με περιορισμούς: 1) 30X1 + 20X (μη φραγμένη) Συνολικό κόστος = κόστος πρωινών μηνυμάτων + κόστος (χιλιάδες άνδρες) 2) 5X1 + 25X2 900 βραδινών 3) Χ2 20 (βραδινά μηνύματα, ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός) 3) Χ2 20 = Χ Χ2 (χμ) Minimize Z= Χ Χ2 ή (αλλάζοντας τις μονάδες μέτρησης σε εκατομμύρια χμ) Min =1,5Χ1 + 2,5Χ Κορυφές: Εφικτές (μία βέλτιστη) και Μη εφικτές Γραφική Επίλυση (αναλυτικά) Αποτελέσματα για τις τρεις κορυφές της εφικτής περιοχής Τυποποιημένη μορφή του μοντέλου Αντικειμενική: X2=0,6X1+0,4Z (μη φραγμένη) Κορυφή (Χ1, Χ2) Α (βέλτιστη) (30, 30) 120 Min Z=1,5X1 + 2,5X2 + 0e1 + 0e2 + 0e3 μεταβλητές πλεονασμού με περιορισμούς: 1) 30X1 + 20X2 e1 = 1500 Β (80, 20) 170 2) 5X1 + 25X2 e2 = 900 Γ (0, 75) 187,5 3) Χ2 e3 = 20 και Χ1, Χ2, e1, e2, e3 0 Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί? Ποιες είναι οι τιμές των μεταβλητών πλεονασμού? Αποτελέσματα (ξανά) για τις τρεις κορυφές Μεταβολή του 3ου περιορισμού (θέτουμε X2 40) Γραφική επίλυση αναλυτικά (X2 40) Min Z=1,5X1 + 2,5X2 + 0e1 + 0e2 + 0s3 Κορυφή (Χ1, Χ2, e1, e2, e3) Α (βέλτιστη) (30, 30, 0, 0, 10) 120 με περιορισμούς: 1) 30X1 + 20X2 e1 = 1500 Β (80, 20, 13, 0, 0) 170 2) 5X1 + 25X2 e2 = 900 Γ (0, 75, 0, 9.75, 55) 187,5 3) Χ2 + s3 = 40 και Χ1, Χ2, e1, e2, s3 >

5 65 Αποτελέσματα για τις τρεις κορυφές της εφικτής περιοχής Ειδικές Περιπτώσεις (1) Το μοντέλο της Δέρας Α.Ε. Συντελεστής διεύθυνσης αντικειμενικής: Άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις (multiple optimal solutions) Τα δεδομένα του προβλήματος (Δέρας Α.Ε.) χμ X2 = -5/4 X1 + Z/20 Κορυφή (Χ1, Χ2, e1, e2, s3) Παλτό Σακάκι Διαθεσιμότητα Α (βέλτιστη) (30, 30, 0, 0, 10) 120 Φόδρα (τ.μ.) Συντελεστής διεύθυνσης περιορισμού δέρματος: Β (180, 0, 39, 0, 40) 270 Δέρμα (τ.μ.) Γ (23,33, 40, 0, 2,16, 0) 135 Εργασία (ώρες) Χ2 = -5/4 Χ /4 Περ. Κέρδους (χμ) Ορίζοντας προγραμματισμού: ένας μήνας Αποτελέσματα για τις πέντε κορυφές της εφικτής περιοχής Νέα αντικειμενική: =35Χ1 + 20Χ2 Δηλαδή: δεξιόστροφη περιστροφή της αντικειμενικής λ=-7/4 Κορυφή (Χ1, Χ2) =25X1+20X2 Β (99, 0) Γ (84, 45) Δ (60, 75) Ε (0, 120) Άπειρες εναλλακτικές άριστες λύσεις Όλα τα σημεία που είναι κυρτοί συνδυασμοί των Γ και Δ (π.χ. το σημείο Η (68, 65)) Νέα αντικειμενική: =35Χ1 + 20Χ2 Δηλαδή: δεξιόστροφη περιστροφή της αντικειμενικής λ=-7/4 Αποτελέσματα για τις πέντε κορυφές της εφικτής περιοχής Νέα αντικειμενική: =65Χ1 + 20Χ2 Δηλαδή: περαιτέρω δεξιόστροφη περιστροφή της αντικειμενικής λ=-13/4 Νέα αντικειμενική: =65Χ1 + 20Χ2 Δηλαδή: περαιτέρω δεξιόστροφη περιστροφή της αντικειμενικής λ=-13/4 Κορυφή (Χ1, Χ2) =35X1+20X2 Β (99, 0) Γ (84, 45) Δ (60, 75) Ε (0, 120) Ε Ακριβώς μία άριστη λύση: Δ Η κορυφή Γ (που ευνοεί την παραγωγή του Χ1) Γ A B Αποτελέσματα για τις πέντε κορυφές της εφικτής περιοχής Νέα αντικειμενική: =20Χ1 + 20Χ2 Δηλαδή: αριστερόστροφη περιστροφή της αντικειμενικής λ=-1 Νέα αντικειμενική: =20Χ1 + 20Χ2 Δηλαδή: αριστερόστροφη περιστροφή της αντικειμενικής λ=-1 Αποτελέσματα για τις πέντε κορυφές της εφικτής περιοχής Κορυφή (Χ1, Χ2) =65X1+20X2 Κορυφή (Χ1, Χ2) =20X1+20X2 Β (99, 0) Β (99, 0) Γ (84, 45) Γ (84, 45) Δ (60, 75) Δ (60, 75) Ε (0, 120) Ε Ε (0, 120) Ακριβώς μία άριστη λύση: Δ Γ Ακριβώς μία άριστη λύση: Η κορυφή Β (που ευνοεί πλήρως την παραγωγή του Χ1) Η κορυφή Δ (που ευνοεί την παραγωγή του Χ2) A Β

6 81 Νέα αντικειμενική: =10Χ1 + 20Χ2 Δηλαδή: περαιτέρω αριστερόστροφη περιστροφή της αντικειμενικής λ=-1/2 Νέα αντικειμενική: =10Χ1 + 20Χ2 Δηλαδή: περαιτέρω αριστερόστροφη περιστροφή της αντικειμενικής λ=-1/2 Αποτελέσματα για τις πέντε κορυφές της εφικτής περιοχής Σύνοψη (δεξιόστροφη περιστροφή) Z = 25x1 + 20x2 Κορυφή (Χ1, Χ2) =10X1+20X2 Β (99, 0) 990 Γ (84, 45) Δ (60, 75) Z = 35x1 + 20x2 Z = 65x1 + 20x2 Ε Δ Ε (0, 120) Γ Ακριβώς μία άριστη λύση: Η κορυφή Ε (που ευνοεί πλήρως την παραγωγή του Χ2) Α Β Σύνοψη (αριστερόστροφη περιστροφή) Ειδικές Περιπτώσεις (2) Γραφική Επίλυση (PHP-Simplex) Γραφική Επίλυση (αναλυτικά) Z = 25x1 + 20x2 Καμία εφικτή λύση (ανέφικτο πρόβλημα, infeasible) Δεν υπάρχει Δεν υπάρχει Εφικτή χμ Εφικτή Z = 20x1 + 20x2 Z = 10x1 + 20x2 Η Διερεύνηση των περιορισμών Ανεπάρκεια Αύξηση της φόδρας ώστε να είναι το πολύ 330 μέτρα δηλαδή: παράλληλη μετακίνηση του αντίστοιχου περιορισμού Γραφική Επίλυση (PHP-Simplex) Αύξηση της φόδρας ώστε να είναι το πολύ 330 μέτρα δηλαδή: παράλληλη μετακίνηση του αντίστοιχου περιορισμού Κορυφή: Περαιτέρω αύξηση της ποσότητας φόδρας μέχρι 360μ δηλαδή : περαιτέρω παράλληλη μετακίνηση του περιορισμού Γραφική Επίλυση (PHP-Simplex) (110, 0) x1+x2=300 Εφικτή περιοχή; Ε Δ 2750= Α Β Περαιτέρω αύξηση της ποσότητας φόδρας μέχρι 360μ δηλαδή : περαιτέρω παράλληλη μετακίνηση του περιορισμού Ειδικές Περιπτώσεις (3) Μη φραγμένο πρόβλημα (unbounded) Γραφική επίλυση (PHP-simplex) (μη φραγμένη) Κορυφές: (110, 0) (120, 0) (μη φραγμένη) (110, 12,5) Εφικτή περιοχή; =3000 Άριστες λύσεις; Α Β Θ Β Η

7 97 Εισαγωγή φραγής: (Χ2 120) Γραφική επίλυση (PHP-simplex) Γραφική Επίλυση (αναλυτικά) Αποτελέσματα για τις τέσσερις κορυφές του σχήματος (φραγμένη) (φραγμένη) Κορυφή (Χ1, Χ2) =500Χ1-200Χ2 Α (50, 0) Β (100, 0) Γ (160, 120) Δ (50, 120) Γραφική Ανάλυση Ευαισθησίας Κανονική μορφή του «πρότυπου» μοντέλου Ακραία σημεία: Βασικές λύσεις Βασικές Εφικτές και Μη εφικτές Λύσεις Βασική λύση Ακραίο Τύπος Τιμή Σημείο X1 X2 s1 s2 s3 s4 Γραφική Ανάλυση Ευαισθησίας 1. Μεταβολή αντικειμενικού συντελεστή Α Εφικτή 0 Β Εφικτή Γ Εφικτή ) Χ1 + Χ2 550 (διαθέσιμο γάλα) 2) Χ1 + 3Χ (εργασία σε λεπτά) 3) 2Χ1 + 5Χ (δυναμ. συστήματος ψύξης σε λεπτά) 4) Χ1 400 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα) Δ Εφικτή Βέλτιστη Ε /3 650/ /3 400 Εφικτή / Μη εφικτή - Η Μη εφικτή - Θ Μη εφικτή, - Εκφυλισμένη Ι Μη εφικτή - Κ Μη εφικτή - Λ Μη εφικτή - Μ Μη εφικτή Μεταβολή αντικειμενικού συντελεστή = Περιστροφή της αντικειμενικής συνάρτησης Εύρος ευαισθησίας της άριστης λύσης ως προς τον συντελεστή: c1 (Eύρος αριστότητας) Ανακεφαλαίωση: Εύρος ευαισθησίας άριστης λύσης ως προς αντικ. συντελεστή (εύρος αριστότητας): Εύρος ευαισθησίας για τον αντ. συντελεστή του προϊόντος Β X2=(-150/c2)X1+(1/c2)Z οπότε /c2-1/3 150 c Μεταβολή δεξιού μέλους X2=(-c1/200)X1+(1/200)Z Η κορυφή Δ παραμένει βέλτιστη (ίδιες τιμές για τις μεταβλητές) όταν -1 (-c1/200) -1/3 (200/3) c1 200 Όταν c1=200/3 ή c1=200, τότε: υπάρχουν άπειρες βέλτιστες λύσεις (σύμπτωση με 2 ο περιορισμό και 1 ο περιορισμό αντίστοιχα) Πώς επιδρούν οι μεταβολές αυτές στην τιμή του? π.χ. για c1=170 z = 170(325) + 200(225)= Σημαίνει, ότι καθώς ο αντικειμενικός συντελεστής μεταβάλλεται μέσα στο διάστημα αυτό (καθώς περιστρέφεται η αντικειμενική), η άριστη λύση μένει αναλλοίωτη (το ίδιο σημείο Δ, με τις ίδιες, προφανώς, συντεταγμένες) Σημαίνει, ότι καθώς ο αντικειμενικός συντελεστής μεταβάλλεται μέσα στο διάστημα, η τιμή του z ανταποκρίνεται ανάλογα με την τιμή της αντίστοιχης μεταβλητής απόφασης Πώς επιδρούν οι μεταβολές αυτές στην τιμή του? π.χ. για c2=300 z = 150(325) + 300(225)= Για ταυτόχρονες μεταβολές των δύο συντελεστών αρκεί: c1 1 1 c2 3 Επίσης : κανόνας ποσοστού 100% Κανονική μορφή του πρότυπου μοντέλου Ακραία σημεία: Βασικές λύσεις Βασικές Εφικτές και Μη εφικτές Λύσεις Βασική λύση Ακραίο Τύπος Τιμή Σημείο X1 X2 s1 s2 s3 s4 Α Εφικτή 0 2.α Παράλληλη μετακίνηση δεσμευτικού περιορισμού 1 ος περιορισμός Μεγέθυνση 5) Χ1 + Χ2 550 (διαθέσιμο γάλα) Β Εφικτή Γ Εφικτή ) Χ1 + 3Χ (εργασία σε λεπτά) 7) 2Χ1 + 5Χ (δυναμ. συστήματος ψύξης σε λεπτά) 8) Χ1 400 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα) Δ Εφικτή Βέλτιστη Ε /3 650/ /3 400 Εφικτή / Μη εφικτή - Η Μη εφικτή - Θ Μη εφικτή, - Εκφυλισμένη Ι Μη εφικτή - Κ Μη εφικτή - Λ Μη εφικτή - Μ Μη εφικτή

8 113 Περιγραφή: Αν το b1 αυξηθεί πέρα από το σημείο? Σκιώδης τιμή πόρου (οριακή αξία) Τιμές του γάλακτος b1, όταν η βέλτιστη παραγωγή βρίσκεται Δηλαδή: όταν το γάλα αυξομειώνεται, ο 1 ος περιορισμός κινείται παράλληλα και το βέλτιστο σημείο Δ αλλάζει θέση επάνω Τότε, ο 1 ος περιορισμός έχει γίνει πλεονάζων (π.χ. b1 = 650) Ρυθμός μεταβολής του z ως προς τη διαθεσιμότητα της πρώτης ύλης «γάλα» μεταξύ Ε και στην τομή του 1 ου και 2 ου περιορισμού. Γάλα: Χ1 + Χ2 = b1, αντικαθιστώντας τα δύο άκρα: (400, 200) και στο ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα σημεία και Ε δηλαδή πάνω στον 2 ο (δεσμευτικό) περιορισμό Το σημείο είναι η τομή των περιοριστικών ευθειών του 2 ου και του 4 ου περιορισμού δηλαδή: Χ2 = -1/3Χ /3 και Χ1 = 400 οπότε το είναι: (Χ1, Χ2) = (400, 200) Το σημείο Ε είναι η τομή των περιοριστικών ευθειών του 2 ου και του κάθετου άξονα οπότε το Ε είναι: (Χ1, Χ2) = (0, 1000/3) b1 Σημείο (x1, x2, s1, s2, s3, s4) z Μεταβολή Μεταβολή Ρυθμός Δb1 (α) (β) (β/α) 480 Δ (220, 260, 0, 0, 260, 180) Δ (280, 240, 0, 0, 240, 120) Δ (325, 225, 0, 0, 225, 75 ) Δ (370, 210, 0, 0, 210, 30 ) Δ (385, 205, 0, 0, 205, 15 ) Υπόθεση προς επαλήθευση: Καθώς το Δ μετακινείται μεταξύ των σημείων και Ε, ο ρυθμός μεταβολής παραμένει σταθερός και η βάση αναλλοίωτη. Αν το Δ αποχωρήσει από την περιοριστική ευθεία του άλλου δεσμευτικού Ε(0, 1000/3) βρίσκουμε την τιμή του γάλακτος (b1) που αντιστοιχεί σ αυτά: Ε: /3 = b1 b1 = 1000/3 : = b1 b1 = 600 Άρα, όταν το γάλα είναι στο διάστημα: 1000/3 b1 600 (εύρος ευαισθησίας της λύσης για το b1) τότε η άριστη λύση είναι σημείο Δ (με διάφορες συντεταγμένες) Ισοδύναμα: 1000/ Δb1 600 δηλαδή περιορισμού (του 2 ου ) παύει να ισχύει η υπόθεση. -650/3 Δb1 50 (επιτρεπόμενη μεταβολή του b1) Εντοπισμός του ρυθμού μεταβολής της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης (z)και των τιμών των μεταβλητών απόφασης (αλγεβρικά, σε σχέση με το Δb1) Ξεκινάμε από τους δύο δεσμευτικούς περιορισμούς που καθορίζουν το Δ: Όταν -650/3 Δb1 50 (δηλαδή μεταξύ Ε και ) τότε: X1 + X2 = 550 +Δb1 (γάλα) Με αντικατάσταση στην αντικειμενική συνάρτηση: z 150x1 200x 3 1 z 150(325 b 1 ) 200(225 b1 ) 2 2 z = Δb1 2 Επαλήθευση της αναλλοίωτης βάσης για: -650/3 Δb1 50 1) Χ1+Χ2+ s1=550+ Δb ,5Δb ,5Δb1+s1=550 + Δb1 550+Δb1+s1=550 + Δb1 s1=0 (μη βασική) 2) Χ1+3Χ2+s2= ,5Δb1+3(225-0,5Δb1)+s2= ,5Δb1-1,5Δb1+s2=1000 s2=0 (μη βασική) Ανακεφαλαίωση: Εύρος ευαισθησίας άριστης λύσης ως προς δεξιό μέλος (εύρος εφικτότητας): Σημαίνει, ότι καθώς μεταβάλλεται το δεξιό μέλος μέσα στο διάστημα αυτό (καθώς μεταφέρεται παράλληλα η περιοριστική ευθεία), η άριστη λύση αλλάζει θέση, (το σημείο Δ μεταφέρεται, με άλλες συντεταγμένες X1 + 3X2 = 1000 (εργασία) οπότε λύνοντας ως προς X1 και Χ2 έχουμε ότι: x b1 και x2 225 b1 Για Δb1 = -650/3 και 50 ποιες είναι οι τιμές των μεταβλητών ; Δηλαδή: Νέα τιμή του z = (προηγούμενη τιμή του z) + (σκιώδης τιμή περιορισμού) * (νέα τιμή δεξιού μέλους προηγούμενη τιμή δεξιού μέλους) 3) 2Χ1+5Χ2+s3=2000 2(325+1,5Δb1)+5(225-0,5Δb1)+s3= Δb1-2,5Δb1+s3=2000 s3=225-0,5δb1 200 s3 333,3333 (βασική) 4) Χ1 + s4 = ,5Δb1+s4=400 s4=75 1,5 Δb1 0 s4 400 (βασική ή εκφυλισμένη) αλλά με τις ίδιες βασικές μεταβλητές) όμως η βάση παραμένει αναλλοίωτη Σημαίνει, ότι καθώς το δεξιό μέλος μεταβάλλεται μέσα στο διάστημα αυτό, η τιμή του z ανταποκρίνεται ανάλογα με τη σκιώδη τιμή του περιορισμού Το εύρος εφικτότητας του δεξιού μέλους του 2 ου περιορισμού (1) Το εύρος εφικτότητας του δεξιού μέλους του 2 ου περιορισμού (2) x 3x b2 ( 1000) 1 2 Τώρα, το σημείο Δ κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα ΙΓ. Χρησιμοποιώντας τα σημεία Γ(400, 150) και Ι(250, 300) στον 2 ο 2.β Παράλληλη μετακίνηση μη δεσμευτικού περιορισμού 4 ος περιορισμός : 325 b4 < (σκιώδης τιμή?) Τι θα συμβεί αν το b4 γίνει μικρότερο από 325?? (1) Π.χ. : για b4=295 (δηλαδή για x1 295) Τότε: Βέλτιστη Λύση (X1, X2) = (295, 235) περιορισμό έχουμε ότι: Z = b ή Δb που δίνει -150 Δb2 150 (ως επιτρεπόμενη μεταβολή) οπότε: θέτοντας : x1 + 3x2 = Δb2 και x1 + x2 = 550 παίρνουμε: s1 = 20, s2 = 0, s3 = 235 και s4 = 0 Βασικές μεταβλητές είναι οι: Χ1, Χ2, s1 και s3 Η βάση έχει αλλάξει, αφού στην αρχική βέλτιστη λύση x1 = 325 0,5Δb2 και x2 = ,5Δb2 που δίνει βασικές μεταβλητές ήταν οι: Χ1, Χ2, s3 και s4 Z= Δb2 σκιώδης τιμή? Τι θα συμβεί αν το b4 γίνει μικρότερο από 325?? (2) Η άριστη λύση με το WinQSB Η άριστη λύση με το POM/QM Γραφική Επίλυση, πρότυπο παράδειγμα 3D! Γαλακτοβιομηχανία Alpha, τρία προϊόντα Προϊόν Α Προϊόν B Προϊόν Γ Διαθεσιμότητα Γάλα (λίτρα) Εργασία (λεπτά) Δυναμικότητα (λεπτά) Μέγιστη συνολική 400 ζήτηση για Α και Γ Περιθώριο κέρδους 150 (χμ) 200 (χμ) 350(χμ) / τμχ

9 129 Γενική - Κανονική μορφή του μοντέλου Γραφική Επίλυση (GeoGebra) - οι περιορισμοί H κυρτή εφικτή περιοχή του τριδιάστατου προβλήματος Ακραία σημεία: Οι Βασικές Εφικτές Λύσεις + 350X3 Βασική Εφικτή λύση Ακραίο Τιμή X1 X2 X3 s1 s2 s3 s4 Σημείο A B ) Χ1 + Χ2 + Χ3 550 (γάλα σε λίτρα) 2) Χ1 + 3Χ2 + 2Χ (εργασία σε λεπτά) 3) 2Χ1 + 5Χ2 + 6Χ (δυναμικότητα συστήματος) C D E 0 333, , , ,67 F G 287, ,5 0 37, ) Χ1 + Χ3 400 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα) και Χ1, Χ2, Χ3 0 H ,33 216,7 333, , , Ι optimal J Η κυρτή εφικτή περιοχή του διδιάστατου προβλήματος όταν x3=0 Παράλληλη μετατόπιση της ισοκερδούς Παράλληλη μετατόπιση της ισοκερδούς (από άλλη γωνία) Επίλυση με το WinQSB Επαναληπτικό Παράδειγμα 1 Επαναληπτικό Παράδειγμα 1 (μοντέλο) Επαναληπτικό Παράδειγμα 1 (γραφική επίλυση) Επαναληπτικό Παράδειγμα 1 (κορυφές) Μία εταιρεία παιγνιδιών παράγει δύο τύπους «γεμιστά» ζωάκια, το αρκουδάκι (Winnie, Α) και τον τίγρη (Tigger, Β), τα οποία διατίθενται από καταστήματα λιανικής. Το προϊόν Α είναι πιο ογκώδες από το Β και απαιτεί 2 κιλά υλικό γεμίσματος και 6 λεπτά ραπτομηχανής. Το προϊόν Β απαιτεί 1 κιλό υλικού γεμίσματος, αλλά χρειάζεται 12 λεπτά στη ραπτομηχανή, γιατί είναι πιο πολύπλοκο το σχέδιο. Την τρέχουσα παραγωγική περίοδο το εργαστήριο διαθέτει 800 κιλά υλικού γεμίσματος και 70 ώρες ραπτικής. Το περιθώριο κέρδους για τα Α είναι 12 ευρώ και για τα Β είναι 9 ευρώ (ανά τεμάχιο). Μάλιστα, η εταιρεία εφαρμόζει μία πολιτική παραγωγής, η οποία ορίζει ότι η συνολική παραγόμενη ποσότητα τύπου Α δεν μπορεί να ξεπερνά το διπλάσιο της παραγόμενης ποσότητας τύπου Β. 1. Να διαμορφωθεί το κατάλληλο μοντέλο και να επιλυθεί γραφικά 2. Να υπολογιστεί το διάστημα αριστότητας για τον αντικ. συντελεστή των Β 3. Ποια είναι η νέα εφικτή περιοχή, άριστη λύση και άριστη τιμή αν καταργηθεί η Έστω Χ1, Χ2 τα παραγόμενα τεμάχια από τα δύο προϊόντα. Τότε: Maximize Z=12X1 + 9X2 μ.π. 4) 2Χ1 + Χ2 800 (υλικό γεμίσματος) 5) 6Χ1 + 12Χ (εργασία σε λεπτά) ή 0,1Χ1 + 0,2Χ2 70 (εργασία σε ώρες) 6) Χ1 2Χ2 (Α το πολύ όσο το διπλάσιο των Β) Α Ε Δ Γ Εφικτή περιοχή: ΑΓΔΕ Άριστη λύση: κορυφή Δ (300, 200) Άριστη τιμή: ος περιορισμός : δεσμευτικός 2 ος περιορισμός : δεσμευτικός 3 ος περιορισμός : μη δεσμευτικός παραγωγική απαίτηση «τα Α να είναι το πολύ όσο τα διπλάσια Β»; Επαναληπτικό Παράδειγμα 1 (συνέχεια) Διάστημα ευαισθησίας για το περιθώριο κέρδους των Β (c2) Διάστημα ευαισθησίας για το περιθώριο κέρδους των Β (συνέχεια) Η άριστη λύση παραμένει άριστη, όταν η περιστροφή της αντικειμενικής Επίλυση με το POM/QM Επαναληπτικό Παράδειγμα 1 (συνέχεια) Ποια είναι η νέα εφικτή περιοχή, άριστη λύση και άριστη τιμή αν καταργηθεί η παραγωγική απαίτηση «τα Α να είναι το πολύ όσο τα διπλάσια Β»; είναι ανάμεσα στους δύο δεσμευτικούς περιορισμούς. Δηλαδή τους: Εφικτή περιοχή: Χ2 = -2Χ και Χ2 = (-6/12)Χ /12-1/2 Αντικειμενική: Χ2 = (-12/9) Χ1 + /9 ΑΒΔΕ Άριστη λύση: Δ (300,200) Άριστη τιμή: =5400 c1 c2 = Δεν απαιτείται νέο δηλαδή: Χ2 = (-12/c2) X1 + Z/c2 σχήμα. (Γιατί?) οπότε πρέπει: -2-12/c2-1/2 που δίνει c2 6 και c2 24 δηλαδή: 6 c

10 145 Επαναληπτικό Παράδειγμα 2 Επαναληπτικό Παράδειγμα 2 (μοντέλο) Επαναληπτικό Παράδειγμα 2 (γραφική επίλυση) Επαναληπτικό Παράδειγμα 2 (κορυφές) Ένας επενδυτής ενδιαφέρεται για Αμοιβαία Κεφάλαια Εσωτερικού και Αμοιβαία Κεφάλαια Εξωτερικού. Επιθυμεί να επενδύσει συνολικά τουλάχιστον ευρώ. Έστω Χ1, Χ2 τα μερίδια των δύο αμοιβαίων. Τότε: Η αναμενόμενη ετήσια απόδοση (ως ποσοστό), ο δείκτης κινδύνου ανά μερίδιο (ως μονάδες κινδύνου) και το κόστος αγοράς ανά μερίδιο αμοιβαίου (σε ευρώ) φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Minimize Z=2X1 + 4X2 μ.π. Αμοιβαίο Κεφάλαιο Μέση ετήσια απόδοση Δείκτης κινδύνου ανά μερίδιο Κόστος αγοράς ανά μερίδιο 1) 74Χ Χ (ελάχιστο ποσό) Εσωτερικού 7% 2 74 Εξωτερικού 10% ) -1,48Χ1 + 1,02Χ2 0 (ελάχιστη απόδοση 9%) Πριν τις πράξεις: (0,07)*(74)*Χ1 + (0,10)(102)*Χ2 (0,09)*(74Χ1+102Χ2) Εφικτή περιοχή: μη φραγμένη Ο επενδυτής επιθυμεί να εξασφαλίσει συνολική ετήσια απόδοση τουλάχιστον 9% του κεφαλαίου που επένδυσε. Επίσης, μπορεί να αγοράσει και κλάσματα μεριδίων. (μη φραγμένη) Άριστη λύση: κορυφή Δ (13,51, 19,61) Άριστη τιμή: 105,46 (ελαχιστοποίηση δείκτη κινδύνου) Να διαμορφωθεί το κατάλληλο μοντέλο και να επιλυθεί γραφικά 1 ος περιορισμός : δεσμευτικός (επενδυόμενο = 3000) 2 ος περιορισμός : δεσμευτικός (απόδοση = 9% του αρχικού) Πράγματι:(0,07)*(74)*Χ1 + (0,10)(102)*Χ2 = (0,07)*(74)*13,51 + (0,10)(102)*19,61= = = 270 (δηλαδή, 9% των 3000 που επενδύθηκαν) Επίλυση με το POM/QM 149