BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar"

Transcript

1 BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

2 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

3 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

4 Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Proračun (dimenzionisanje) preseka prema dopuštenim naponima se zasniva na: - određivanju stanja napona u poprečnom preseku prema ekstremnim kombinacijama statičkih uticaja u eksploataciji - dokazivanju da tako određeni naponi nisu veći od odgovarajućih dopuštenih napona Prema tome, proračun se svodi na zadovoljenje relacija: σ max σ dop

5 Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Pri određivanju statičkih uticaja (sila u preseku), kao i pri dimenzionisanju preseka smatra se da su oba materijala (beton i čelik) linearno elastična Dozvoljeni naponi se definišu propisima tako što se čvrstoće betona i čelika redukuju koeficijentima sigurnosti, odnosno smanjuju do te mere da je opravdana pretostavka o linearno elastičnom ponašanju

6 Dozvoljeni naponi za armirani beton [MPa] Za MB 25, 35,45, 55 dozvoljeni naponi se određuju linearnom interpolacijom između dve susedne vrednosti

7 Dozvoljeni naponi za armaturu (GA i RA) [MPa]

8 Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Usvojene pretpostavke proračuna Beton je homogen i elastičan materijal u skladu sa Hukovim zakonom (linearna veza napon - deformacija) Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecima: preseci i posle deformacije ostaju ravni i upravni na deformisanu osu nosača Zanemaruje se nosivost betona na zatezanje: prihvatanje ukupnih napona zatezanja se poverava armaturi Usvaja se da je odnos modula elastičnosti čelika i betona za sve radne napone određen brojem ekvivalencije n: n = E a E b = 10

9 Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Naponska stanja AB preseka 1 Centrični pritisak... deluje samo normalna sila pritiska N bez uticaja izvijanja... λ 50 (λ je vitkost štapa) sa uticajem izvijanja... λ (50, 140] 2 Ekscentrični pritisak... deluje samo normalna sila pritiska N Mali ekscentricitet... N sila deluje unutar preseka, presek je bez prslina Veliki ekscentricitet... N sila deluje izvan preseka, presek sa prslinama

10 Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Naponska stanja AB preseka 3 Centrično zatezanje... deluje samo normalna sila zatezanja Z 4 Ekscentrično zatezanje... samo normalna sila zatezanja Z Mali ekscentricitet... sila Z deluje unutar preseka Veliki ekscentricitet... sila Z deluje izvan preseka

11 Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Naponska stanja AB preseka 5 Čisto savijanje... deluje samo momenat savjanja M 6 Složeno savijanje... deluje N sila u fazi velikog ekscentriciteta, kao i momenat savijanja M, ili deluju momenti savijanja u dve ravni 7 Smicanje... deluje samo transverzalna sila T 8 Torzija... deluje samo momenat torzije M t 9 Smicanje i torzija... istovremeno deluju transverzalna sila T i momenat torzije M t

12 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

13 Centrično zatezanje Posmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticaju centričnog zatezanja silom Z To može da bude AB zatega u nekoj konstrukciji (ili zategnuti štap AB rešetke) Celokupno zatezanje na sebe preuzima armatura, pri čemu je dozvoljen napon zatezanja dat Propisima (BAB 87) i jednak je σ a Uslov za dimenzionisanje prema dopuštenim naponima je σ max σ dop

14 Centrično zatezanje Normalni napon u svim tačkama preseka je jednak σ = Z A a gde je A a ukupna površina podužne armature u preseku (ona prihvata kompletno zatezanje) Iz uslova σ max σ dop se dobija potrebna količina armature u preseku σ = Z A a σ dop A a,pot Z σ dop

15 Centrično zatezanje Zategnuta podužna armatura se usvoji zaokruživanjem na više minimalne potrebne armature A a,pot Sama armatura se usvoji izborom vrste armature (GA ili RA) i izborom prečnika šipki Pri tome se broj šipki usvaja tako da usvojena armatura bude simetrično rapoređena u poprečnom preseku Dimenzije betonskog poprečnog preseka se usvajaju (ako nema nekih drugih zahteva) iz uslova pravilnog i simetričnog smeštanja armature (vodi se računa o razmacima između šipki, kao i o odgovarajućem zaštitnom sloju betona)

16 Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Odrediti potrebnu armaturu i oblikovati poprečni presek pravougaonog oblika centrično zategnutog AB elementa Element se nalazi u uslovima umereno agresivne sredine Poznati podaci o sili zatezanja: - stalno opterećenje... Z g = 305 kn - povremeno opterećenje... Z p = 337 kn Usvojiti glatku armaturu GA 240/360

17 Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Ukupna sila zatezanja elementa Z = Z g + Z p = = 642 [kn] Za glatku armaturu i uz pretpostavku da je Φ 14, dozvoljen napon u armaturi je σ dop = 140 MPa Potrebna površina armature je A pot = Z = σ dop = = [cm2 ] Usvojeno: 15Φ20 (47.12 cm 2 ) (uvidom u površine preseka armature)

18 Karakteristike preseka za armaturu GA i RA

19 Karakteristike preseka glatke armature GA

20 Karakteristike preseka rebraste armature GA

21 Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Za umereno agresivnu sredinu minimalan zaštitni sloj armature je a 0 = 2.5 cm Poprečni presek elementa je pravougaoni dimenzija b d Imajući u vidu da je usvojeno 15 šipki, one mogu da se rasporede 5 šipki u 3 reda Oko armature se usvajaju konstruktivne uzengije U Φ8/30 Vodi se računa o dovoljnom čistom razmaku armature u horizontalnom i vertikalnom pravcu

22 Raspoređivanje armature u preseku

23 Usvojena armatura i betonski presek

24 Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Posmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticaju ekscentričnog zatezanja silom Z Položaj sile zatezanja je ekscentričan u odnosu na težišnu osu preseka, sa ekscentricitetom e Ako je visina preseka d, a rastojanje težišta gornje i donje armature od ivica preseka isto i jednako a, onda je e d 2 a Drugim rečima, sila zatezanja se nalazi unutar preseka, odn. između gornje i donje podužne armature U pitanju je ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet

25 Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet

26 Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Štapovi donjeg pojasa AB rešetki su tipičan primer ekscentrično zategnutih štapova u domenu malog ekscentriciteta Osim značajnih sila zatezanja, postoje i mali momenti savijanja (od sopstvene težine štapova), pa je ekscentricitet dat sa e = M Z c = d 2 a Celokupna sila zatezanja se prihvata armaturom

27 Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Potrebna kolčina armature, za dozvoljeni napon zatezanja u armaturi σ dop, je data sa σ a = Z A a σ dop A a,pot Z σ dop Ova ukupna količina armature se raspoređuje u gornju i donju zonu preseka tako da se težište armature poklapa za položajem napadne tačke sile Z Na taj način se dobija: A a,pot A a = A a1 + A a2 A a1,2 = A a 2 (znak + se odnosi na armaturu koja je bliža sili Z) ( 1 ± e ) c

28 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

29 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Posmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticaju centričnog pritiska silom N Sila N deluje u težištu poprečnog preseka ili sa ekscentricitetom e l/300, što se računa kao moguća greška u izvođenju Takvi elementi su AB stubovi, zidna platna i pritisnuti štapovi AB rešetki Poprečni preseci ovakvih elemenata su najčešće kvadratni, pravougaoni, okrugli, ali mogu da budu i razuđenih oblika

30 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Armiranje ovakvih elemenata se vrši podužnom armaturom i uzengijama (poprečnom armaturom) Podužne šipke se obavezno stavljaju u uglove preseka (osim ako presek nije kružni), sa ciljem da se težište ukupnog preseka (betona i armature) ne menja Nijedna podužna šipka ne sme da bude manja od Φ12 mm Za betone MB > 30 koristi se isključivo RA, a za MB 30 može da se koristi i GA Izvijanje se ne uzima u obzir ako je vitkost pritisnutog štapa manja od 50: λ < 50

31 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Za centrčno pritisnute elemente raspodela napona u preseku je ravnomerna i prianjanje između betona i podužne armature nije narušeno Prema tome, dilatacije u betonu i armaturi su međusobno iste: ε b = ε a Kako su dilatacije iste, a moduli elastičnosti E a i E b različiti, to će oba materijala da prenose uticaje srazmerno njihovim površinama i modulima elastičnosti: ε b = ε a σ b E b = σ a E a σ a σ b = E a E b = n = 10

32 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Drugim rečima, imajući u vidu koeficijent ekvivalencije modula elastičnosti n, dobija se odnos napona u betonu i čeliku σ a σ b = E a E b = n = 10 odnosno, σ a = n σ b Uslov ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila je dat sa ( N = σ b A b + σ a A a = σ b A b 1 + σ ) a A a σ b A b

33 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Uvode se oznake: - bezdimenzionalan koeficijent armiranja (odnos površine podužne armature i betona): µ 0 = A a A b - procenat armiranja, odn. koeficijent armiranja izražen u procentima: µ = 100 µ 0 [%] - broj ekvivalencije n modula elastičnosti čelika i betona n = E a /E b = 10

34 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Sa ovim oznakama uslov ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila u pravcu ose štapa može da se piše u obliku N = σ b A b (1 + n µ 0 ) = σ b A bi Uvedena je oznaka za površinu idealizovanog poprečnog preseka A bi = A b (1 + n µ o ) Iz uslova ravnoteže N = σ b A bi dobija se (dopušten napon σ dop je središni napon σ s ) σ b = N A bi σ dop = σ s A bi N σ s

35 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Prema tome, ako se usvoji, na primer, minimalan procenat armiranja µ 0 = µ min, onda je potrebna površina betonskog preseka data sa: A b,pot N σ s (1 + n µ min ) dok je minimalna površina podužne armature A a,pot = A b,pot µ min

36 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Za centrično pritisnute elemente (odn. stubove) procenti armiranja su ograničeni na najmanji i najveći: µ min = 0.6% µ max = 6.0% Uobičajeni procenti armiranja stubova su oko µ % Ako se usvoji betonski presek A b tako da bude veći od računski potrebnog A b,pot, naponi u betonu su tada neiskorišćeni (u odnosu na dopušten napon σ s

37 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Podužna armatura se određuje iz izraza A a = A b µ min za usvojeno µ min = 0.6%, ali može da na taj način bude veća od potrebne, jer je usvojena veća površina betona od potrebne: A b > A b,pot Zbog toga BAB 87 dozvoljava da stvarni procenat armiranja može da bude i manji od minimalno propisanog, ali ne manji od µ = 0.3% U tom slučaju treba da se proveri da li usvojena površina armature zadovoljava uslov A a,stv A a,min = 0.3% A b,stv = A b.stv

38 Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Ako je vitkost pritisnutog štapa veća od 50, uticaj mogućeg izvijanja uzima se u obzir Vitkosti pritisnutih stubova su ograničene na interval λ (50, 140] Samo u fazi montaže dozvoljava se vitkost u granicama λ (140, 200]

39 Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Vitkost pritisnutog štapa je definisana sa λ = l i i min Sa l i je označena dužina izvijanja, dok je i min minimalni poluprečnik inercije poprečnog preseka: i min = Imin gde su I min i A minimalni momenat inercije i površina poprečnog preseka betona (štapa) A

40 Dužine izvijanja pritisnutih štapova Ojlerovi slučajevi izvijanja

41 Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Ukoliko je vitkost štapa u granicama λ (50, 140] mora da se uzme u obzir u proračunu Vrši se redukcija dopuštenog središnjeg napona σ s σ i = 1.4 σ s 0.4 (σ s 1) λ 125 σ s u [MPa] (1) Takođe se vrši i redukcija minimalnog procenta armiranja µ i = λ % (2) 50

42 Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Dopuštena sila nosivosti centrično pritisnutog elementa određuje se prema izrazu (BAB 87): N dop = σ i A b (1 + n µ i ) (3) Dimenzionisanje nepoznatog preseka se vrši iterativno U prvom koraku se usvaja da je σ i = σ s, kao i µ i = 0.6% Iz izraza (3) se odredi potrebna površina betonskog preseka

43 Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Potrebna površina betonskog preseka je: A b,pot = N dop σ i (1 + n µ i ) (4) Za izračunato A b,pot odrede se oblik i dimenzije stuba Izračuna se vitkost λ i ako je λ > 50, odrede se σ i i µ i prema izrazima (1) i (2) Ponovo se iz izraza (3) odrede potrebna površina betonskog preseka i usvoje korigovane dimenzije i oblik preseka

44 Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Kontroliše se nova vitkost i postupak po potrebi ponavlja do postizanja željene tačnosti (razlika dimenzija preseka u dve susedne iteracije treba da je 1 cm) Potrebna površina armature se određuje prema A a A a,pot = µ i 100 A b,pot gde je A b,pot potrebna površina betonskog preseka iz poslednje iteracije

45 Centrični pritisak - detalji armranja Osim podužne armature, u stubove se ugrađuje i poprečna armatura, odn. uzengije Uloga uzengija je da utegnu betonski presek stuba i da spreče lokalno bočno izvijanje podužne (pritisnute) armature Zbog toga je prečnik uzengija Φ u u vezi sa prečnikom podužne armature Orjentaciono, ako je prečnik podužne armature Φ, onda je prečnik uzengija Φ u Φ 3

46 Centrični pritisak - detalji armranja Uzengije su obično pravougaonog oblika, ali to zavisi od oblika stuba (npr. pravougaone, kružne i sl.) Za uobičajene dimenzije stubova, prečnici uzengija se usvajaju u granicama Φ u [6 10] mm Razmak uzengija e u mora da bude u sledećim granicama b e u,max = min 15 Φ [cm] 30 cm gde je b manja dimenzija stuba, a Φ prečnik podužne armature

47 Centrični pritisak - detalji armranja U delu stuba gde se uvodi sila u stub, na dužini 1.5 b (b d), kao i na mestima preklapanja podužne armature, razmak uzengija je dva puta manji od normalnog : e u,max = min { 7.5 Φ 15 cm [cm]

48 Centrični pritisak - detalji armranja U seizmički aktivnim područjima, sa svake strane čvora (odn. ukrštanja stubova i greda), na dužini od 1 m (ili malo više), razmak uzengija je najviše jednak e u,max = min { 7.5 Φ 10 cm [cm] dok se na preostalim delovima stuba može da usvoji e u = 15 Φ 20 cm

49 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Ako u preseku pored dominantne normalne sile (pritiska ili zatezanja) deluje i momenat savijanja, to je ekvivalentno slučaju ekscentrične normalne sile Pri određenim uslovima, tj. odnosima intenziteta M i N, poprečni presek može da se računa po maloj ekscentričnosti Ako se naponi na pritisnutoj i na zategnutoj ivici betona obeleže, redom, sa σ b = σ 1 i σ bz = σ 2, presek se računa prema malom ekscentricitetu ako su zadovoljeni uslovi: σ 2 σ 1 3 za MB 30 σ 2 σ 1 4 za MB > 30 (5) Ovi uslovi pretstavljaju naponsko stanje Faze I (bez prslina), odn. homogen presek

50 Dozvoljeni naponi za armirani beton [MPa] Ekscentrični pritisak - mali ekscentricitet - dijagram normalnih napona: Faza I, bez prslina

51 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet AB stubovi su tipični predstavnici ovakvih naponskih stanja: relativno velika normalna sila pritiska N i relativno mali momenat savijanja M Naponi u armaturi ovakvih elemenata su skoro uvek neiskorišćeni, ali su procenti armiranja ograničeni sa µ min = 0.8% µ max = 3.0% Preseci se, po pravilu, armiraju simetrično, tako da je µ = µ 1 + µ 2 odn. A a1 = A a2

52 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Uslovi (5) pretstavljaju uslove za Fazu I naponskih stanja betona, odn. pri tim uslovima betonski presek je homogen U prijemu napona učestvuju čitav betonski poprečni presek i armatura Naponi na ivicama preseka su dati sa: σ 1,2 = N A i ± M W i gde su N i M sile u preseku, a A i i W i geometrijske karakteristike idealizovanog preseka

53 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Ako je pravougaoni presek dimenzija b d armiran simetrično, A a1 = A a2 = A a = µ 0 A b, pri čemu su i rastojanja težišta armature do bliže ivice betona takođe iste, a 1 = a 2 = a, geometrijske karakteristike preseka su date sa: - površina idealizovanog preseka A i A i = A b + n (A a1 + A a2 ) = A b (1 + n µ 0 ) - momenat inercije idealizovanog preseka I i I i = b ( ) 2 d3 d n A a 2 a

54 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Momenat inercije idealizovanog preseka I i može da se napiše u obliku I i = b d3 12 ( nµ 0 ε 2 ) gde su uvedene oznake: c = d 2 a ε = c d µ 0 = A a1 + A a2 b d = 2 A a b d = µ 1 + µ 2 Otporni momenat idealizovanog preseka W i je dat sa: W i = I i d/2 = b d n A ( d 2 a)2 a d/2 = b d2 6 ( nµ 0 ε 2 )

55 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Rastojanje jezgra preseka k i od težišta idealizovanog preseka je dato sa k i = W i A b = d 6 ( nµ 0 ε 2 ) Sa ovim se dobijaju konačni izrazi za vrednosti ivičnih napona u preseku (moraju da budu manji od dopuštenih rubnih napona) σ 1,2 = N A b ( 1 α i ± e k i ) σ dop = σ r gde je α i = 1 + n µ 0 ϕ = 2a d k i = d 6 [1 + 3 n µ 0 (1 ϕ) 2 ]

56 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Obično se za ϕ pretpostavljaju vrednosti između 0.10 i 0.20, odn. težište armature a je udaljeno od ivice preseka za (5-10)% od visine preseka d Kada se ispituje da li neki ekscentrično pritisnut presek ispunjava uslove (5) za proračun po malom ekscentricitetu, određuje se kritični ekscentricitet e 0 i upoređuje se sa stvarnim ekscentricitetom normalne sile e = M/N Kritični ekscentricitet e 0 je veličina ekscentriciteta za koju su uslovi (5) za proračun po malom ekscentricitetu ispunjeni

57 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Kritični ekscentricitet se dobija: - za MB 30: σ 1 = 3σ 2 e 0 = 2 ki α i - za MB > 30: σ 1 = 4σ 2 e 0 = 5 ki 3 α i Osim kontrole ivičnih napona mora da se proveri i napon u težištu preseka i da se uporedi sa dopuštenim središnim naponom σ s : σ 0 = N σ s A b α i Armiranje stubova izloženih ekscentričnim silama pritiska u malom ekscentricitetu vrši se podužnom i poprečnom armaturom slično kao i kod centrično pritisnutih stubova

58 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

59 Uticaj momenata savijanja na AB elemente Posmatraju se AB elementi na koje deluju samo momenti savijanja (čisto pravo savijanje) Ako se posmatra postepeno povećanje spoljašnjeg dejstva (momenta savijaja) sve do iznosa pri kome dolazi do loma preseka, mogu da se razlikuju sledeće naponske faze 1 Faza I... stanje bez prslina, aktivan ceo betonski presek 2 Faza II... stanje sa prslinama, aktivan samo pritisnuti deo betonskog preseka 3 Faza III... lom preseka

60 Uticaj momenata savijanja na AB elemente Faza I i Faza II se dele svaka na po dve pod-faze: Faza I... stanje bez prslina, aktivan ceo betonski presek - Faza Ia... linearna raspodela normalnih napona pritisaka i zatezanja - Faza Ib... nelinearna raspodela normalnih napona zatezanja, a linearna raspodela napona pritisaka Faza II... stanje sa prslinama, aktivan samo pritisnuti deo betonskog preseka - Faza IIa... blaga nelinearnost raspodele normalnih napona pritisaka - Faza IIb... znatna nelinearnost normalnih napona pritisaka

61 Naponske faze AB elementa izloženog savijanju Povećanjem opterećenja, posle Faze IIb dolazi do Faze III - do loma nosača

62 Uticaj momenata savijanja na AB elemente U proračunu nosača pod uticajem momenata savijanja smatra se da se presek nalazi u Fazi IIa To znači da je zategnuta zona u betonu (ispod neutralne linije) u potpunosti isključena i celokupno zatezanje prihvata armatura Tipični elementi konstrukcija opterećeni na (čisto pravo) savijanje su gredni nosači i ploče Najčešći oblici poprečih preseka grednih nosača su pravougaoni i T preseci

63 Računski model jednostruko armiranog preseka Presek Dilatacije Naponi Sile

64 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Poprečni presek je proizvoljnog, ali simetričnog oblika u odnosu na osu u ravni nosača Presek je jednostruko armiran u zategnutoj zoni preseka Visina preseka je d, sa a je označeno rastojanje težišta (zategnute) armature od donje izive preseka, dok je h = d a statička visina preseka (rastojanje od težišta zategnute armaure do pritisnute ivice betona Sa x je označen rastojanje neutralne linije od pritisnute ivice betona Sa s = x/h se obeležava bezdimenzionalan koeficijent položaja neutralne linije

65 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Iz sličnosti trouglova u prikazu dilatacija i napona, mogu da se izvedu relacije ε a = ε b 1 s s σ a = n σ b 1 s s kao i s = σa n σ b Kao što može da se vidi, položaj neutralne linije (izražen preko koeficijenta s) zavisi samo od odnosa napona u armaturi i betonu, a ne i od njihovih vrednosti

66 Računski model jednostruko armiranog preseka Presek Dilatacije Naponi Sile

67 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Mereno od neutralne ose ka pritisnutom delu betona, položaj proizvoljnog vlakna poprečnog preseka je određen sa h η, gde je η bezdimenzionalna koordinata Širina preseka na rastojanju h η je označena sa b(η), dok je površina elementarnog sloja jednaka da(η) = h b(η) dη Iz dijagrama napona dobija se napon u betonu na proizvoljnom rastojanju od neutralne linije η h u obliku η h σ bη = σ b x = σ η b s

68 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Uslov ravnoteže normalnih sila N = 0 glasi N = 0 Db Z a = η=s η=0 σ bη da σ a A a = 0 Zamenom se dobija η=s η=0 η h σ b x h b(η) dη n A h x aσ b = 0 x odn. posle sređivanja h 2 η=s η=0 b(η) ηdη n A a (h x) = 0 (6)

69 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Integral u jedn. (6 ) zavisi od oblika poprečnog preseka: η=s η=0 b(η) ηdη = J IB Za pravougaoni presek je b(η) = b = const, pa integral J IB postaje η=s J IB = b(η) ηdη = b s2 2 η=0

70 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Sa ovim jedn. (6) postaje h 2 b 2 s2 n A a (h x) = 0 Kako je s = x/h dobija se kvadratna jednačina po x x n A a b x 2 n A a h b = 0 (7) Koreni kvadratne jednačine x 2 + px + q = 0 su dati sa x 1,2 = p 2 ± p 2 4 q

71 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Pozitivan koren kvadratne jednačine (7) predstavlja položaj neutralne ose x (mereno od pritisnute ivice betona): [ x = n A ] a h b (8) b n A a ili, izraženo preko bezdimenzionalnog koeficijenta položaja neutralne ose s = x/h: [ s = n A ] a h b h b n A a (9)

72 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Potrebna statička visina preseka h se određuje iz uslova ravnoteže momenata savijanja M a = 0 u odnosu na težište zategnute armature: M a = 0 η=s η=0 σ bη (h x + h η) da M = 0 Zamenom se dobija, za pravougaoni presek, η=s η=0 σ b η h x b h (h x + hη)dη M = 0

73 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Posle sređivanja se dobija σ b s b h2 η=s η=0 η(1 s + η)dη M = 0 (10) Integral u jedn. (10) se označava sa J IIB i dat je sa J IIB = η=s η=0 η(1 s + η)dη = (1 s) J IB + η=s η=0 η 2 dη Sa ovim, jedn. (10) može da se piše u obliku σ b s b h2 J IIB M = 0 (11)

74 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Integral J IIB za pravougaone preseke se dobija, posle sređivanja, u obliku J IIB = s2 2 ( 1 s ) 3 Iz jednačine (11) može da se odredi statička visina preseka h u obliku: s M M h = σ b J IIb b = r (12) b

75 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Koeficijent r je dat sa: s r = = σ b J IIb σ b s 2 2 Relacija (12) može da se piše u obliku s ( ) 1 s 3 r = h M b (13)

76 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Sila pritiska u betonu D b se dobija integracijom napona pritisaka u preseku: D b = η=s η=0 σ bη da = σ b b h s J IB (14) Krak unutrašnjih sila z je dat sa z = M D b (15) Iz relacija (11) i (14) dobija se za krak unutrašnjih sila relacija z = J IIB J IB h = ζ h (16)

77 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Kod čistog savijanja (bez normalne sile), sila pritiska u betonu D b je jednaka sili zatezanja u armaturi Z a, pa je (iz uslova ravnoteže momenata) Z z M = 0 Z a = M z Potrebna površina zategnute armature A a se određuje iz izraza A a = Z a σ a = M z σ a (17)

78 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Unoseći uslov (11) i relaciju (15) u (17), dobija se A a = b h J IB s Sa µ 0 je označen koeficijent armiranja µ 0 = J IB s σ b σ a ili, A a = µ 0 b h (18) σ b σ a = A a A b Često se koristi procenat armiranja, µ = 100 µ 0, pa je A a = µ b h 100 (19)

79 Jednostruko armiran presek pravougaonog oblika Koeficijenti s i r, za pravougaoni presek iznose - koeficijent s... bezdimenzionalni koeficijent statičke visine (x = sh) s = ρ n gde je ρ = σ a σ b - koeficijent r... za određivanje statičke visine preseka s s r = = ( ) σ b J s IIb σ 2 b 2 1 s 3

80 Jednostruko armiran presek pravougaonog oblika Koeficijenti ζ i µ, za pravougaoni presek iznose - koeficijent ζ... bezdimenzionalan koeficijent kraka sila (z = ζ h) ζ = J ( IIB = 1 s ) J IB 3 - procenat armiranja µ... odnos površina armature i betona u % µ = J IB s ρ 100 = s 100 [%] 2 ρ

81 Jednostruko armiran presek pravougaonog oblika Izrazi za s, r, ζ i µ mogu da se tabulišu, jer zavise samo od odnosa napona u armaturi i betonu Ovo važi za poprečne preseke pravougaonog i trougaonog oblika (za druge oblike, npr. T presk, postoje i drugi faktori) Postoje tablice za dimenzionisanje u kojima su prikazani razni odgovarajući koeficijenti (videti, npr. knjigu Živorad Radosavljević: Armirani beton, knjiga 1, Građevinska knjiga, Beograd, 1988) Za ove izraze mogu da se naprave programi: Excel, Matlab, C++,...

82 Dimenzionisanje poprečnog preseka Dimenzionisanje poprečnog preseka podrazumeva usvajanje oblika i dimenzija poprečnog preseka, uključujući i kvalitet betona, kao i vrstu, kvalitet, količinu i raspored armature u preseku, kako podužne, tako i poprečne (uzengija) Problem dimenzionisanja obuhvata dva osnovna slučaja: Slobodno dimenzionisanje preseka Vezano dimenzionisanje preseka

83 Slobodno dimenzionisanje poprečnog preseka Slobodno dimenzionisanje preseka podrazumeva određivanje i usvajanje dimenzija poprečnog preseka i potrebne količine armature za dati momenat savijanja i za usvojeni kvalitet materijala (poznate dopuštene napone u betonu i armaturi) Znači, kod slobodnog dimenzionisanja AB preseka poznato je:... M, σ a,dop, σ b,dop a traži se:... b, d, A a

84 Slobodno dimenzionisanje poprečnog preseka Vezano dimenzionisanje preseka podrazumeva određivanje potrebne količine armature i kontrolu napona u betonu za dati momenat savijanja i za presek poznatih dimenzija Znači, kod vezanog dimenzionisanja AB preseka poznato je:... M, b, d, σ a,dop a traži se:... A a σ b σ b,dop

85 Slobodno dimenzionisanje poprečnog preseka U slučaju slobodnog dimenzionisanja statička visina preseka h se određuje iz izraza (12), a površina zategnute armature A a iz izraza (19) Pri tome se koriste tabulisani koeficijenti koji odgovaraju dopuštenim naponima za usvojeni kvalitet betona i armature Širina poprečnog preseka b se usvaja unapred, obično u uobičajenim granicama od 20 do 50 cm

86 Slobodno dimenzionisanje poprečnog preseka Na osnovu sračunate površine armature A a bira se prečnik i broj profila Raspored armature se vrši tako što se poštuje minimalan razmak između šipki, koji omogućava dobro ugrađivanje betona i odgovarajuće zaštitne slojeve, uključujući i usvojene uzengije Izračuna se rastojanje a težišta zategnute armature do zategnute ivice preseka i dobija se ukupna visina preseka d = h + a Konačna dimenzija d se usvaja zaokruživanjem (na gore!) na cele santimetre (odn. na okruglu cifru )

87 Vezano dimenzionisanje poprečnog preseka U slučaju vezanog dimenzionisanja, kada su poznate dimenzije preseka, za dati momenat savijanja i usvojen kvalitet armature, određuje se potrebna površina armature A a Prethodno se pretpostavlja statička visina preseka h usvajanjem rastojanja a težišta zategnute armature do zategnute ivice preseka (uobičajeno je a 0.1 d) Iz izraza (13) se određuje koeficijent r, a iz tablica za dimenzionisanje koje odgovaraju σ a,dop, očitava se odgovarajući napon u betonu σ b i procenat armiranja µ

88 Vezano dimenzionisanje poprečnog preseka Na osnovu dobijene vrednosti σ b bira se marka betona MB, dok se iz izraza (19) određuje potrebna količina armature A a Sa dobijenom potrebnom površinom A a odaberu se i usvoje šipke armature, pa se sračuna stvarna statička visina h = d a U slučaju većeg odstupanja od pretpostavljene vrednosti h (koja je je korišćena u izrazu 13), ponovi se proračun

89 Dimenzionisanje poprečnog preseka Da bi se izbegao lom nosača zbog nedovoljne količine zategnute armature u trenutku otvaranja prslina, neophodno je da usvojena zategnuta armatura uvek bude veća od minimalne: A a A a,min = µ min b d 100 Minimalan procenat armiranja za gredne nosače je: µ min = 0.25%... za glatku armaturu GA 240/360 µ min = 0.20%... za rebrastu armaturu RA 400/500

90 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

91 pravougaonog oblika U pritisnutu zonu betonskog preseka se uvek postavlja montažna (konstruktivna) armatura Smisao pritisnute armature je da poveže uzengije i da poveća žilavost pritisnute zone betona Prema tome, i jednostruko armirani preseci, sa računskom armaturom samo u zategnutoj zone preseka, imaju armaturu i u pritisnutom delu Međutim, pritisnuta konstruktivna armatura je relativno manjih preseka, pa se, i pored ove armature, preseci tretiraju kao jednostruko armirani

92 pravougaonog oblika Međutim, zbog ograničenja visine preseka, kao i zbog prekoračenja dopuštenih napona pritiska u betonu, često je potrebno da se i u pritisnutu zonu dodaje računska armatura Cilj ovakvog načina armiranja je da se naponi pritiska u betonu dovedu u dozvoljene granice, posebno kada nije opravdano povećanje kvaliteta betona (usvajanje više MB)

93 pravougaonog oblika Dvostruko armiranje preseka je neophodno kada je eksploatacioni momenat savijanja M (za najnepovoljniju kombinaciju opterećenja) veći od momenta nosivosti M b jednostruko armiranog preseka Moment nosivosti M b jednostruko armiranog preseka je dat sa r = h M b M b = ( ) h 2 r b (20) gde r odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih napona za usvojeni kvalitet čelika i betona

94 pravougaonog oblika Razlika momenata savijanja (najvećeg eksploatacionog i momenta nosivosti preseka) M = M M b prihvata se dodatnom zategnutom armaturom A a1, kao i dodatnom pritisnutom armaturom A a2 Sila zatezanja Z u dodatnoj zategnutoj armaturi se određuje iz dodatnog uslova ravnoteže: Z = M h a 2

95 pravougaonog oblika Kako je Z = A a1 σ a, povrǎina dodatne zategnute armature se određuje iz izraza: A a1 = M (h a 2 ) σ b Površina ukupne zategnute armatue je data sa: A a1 = A a1 + A a1 = µ b h M (h a 2 ) σ b pri čemu µ pretstavlja procenat armiranja koji odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih napona u betonu i armaturi, pri delovanju M b

96 Računski model dvostruko armiranog preseka

97 pravougaonog oblika Površina pritisnute armature A a2 se određuje iz uslova da položaj neutralne linije u poprečnom preseku ostane nepromenjen To znači da su statički momenti dodatne zategnute armature i dodatne pritisnute armature u odnosu na neutralnu osu jednaki: A a1 (h x) A a2 (x a 2 ) = 0 Zamenjujući izraz za A a1 dobija se površina dodatne pritisnute armature: A a2 = M h x (h a 2 )σ a x a 2

98 Ispitivanje napona u betonu i armaturi kod pravougaonih preseka Za preseke poznatih dimenzija, poznatog rasporeda i površine armature, kao i poznatih kvaliteta materijala (betona i čelika), često je potrebno da se provere naponi u betonu i armaturi Ispitivanje nosivosti konstrukcije zbog povećanog opterećena, promenjenih uslova u eksploataciji, proračna ugiba,..., zahtevaju analizu napona u betonu i armaturi Položaj neutralne linje određuje se iz uslova ravnoteže normalnih sila preseku

99 Ispitivanje napona u betonu i armaturi kod pravougaonih preseka Za dvojno armiran pravougani presek položaj neutralne ose se svodi na rešavanje kvadratne jednačine x 2 + 2n b (A a1 + A a2 ) x 2n b (A a1 h + A a2 a 2 ) = 0 Pozitivan koren ove jednačine je dat sa [ ] x = n(a a1 + A a2 ) b(A a1h + A a2 a 2 ) b n(a a1 + A a2 ) 2

100 Ispitivanje napona u betonu i armaturi kod pravougaonih preseka Iz uslova ravnoteže momenata spoljašnjih i unutrašnjih sila u odnosu na težište zategnute armature, uz poznat položaj neutralne linije x, napon u betonu σ b se određuje iz: σ b = bx 2 M ( ) ( ) h x 3 + naa2 1 a 2 x (h a2 ) Koristeći određen napon u betonu σ b i linearnu vezu napona i dilatacija u preseku, naponi u zategnutoj i pritisnutoj armaturi se određuju iz izraza: σ a1 = n σ b h x x σ a2 = n σ b x a 2 x

101 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

102 Ekscentrično opterećeni elementi Kada normalna sila pritiska deluje ekscentrično u odnosu na težište poprečnog preseka (podrazumeva se da je savijanje u jednoj ravni), naponsko stanje preseka je u oblasti velikog ekscentriciteta ukoliko se dobijaju naponi zatezanja u betonu (sračunati po fazi I) u granicama: σ bz σ b 3 za MB 30 σ bz σ b 4 za MB > 30 (napon pritiska u betonu se označava kao pozitivan)

103 Ekscentrično opterećeni elementi U slučaju ekscentrične sile zatezanja presek je u fazi velikog ekscentriciteta ukoliko se napadna tačka sile nalazi izvan težišta zategnute armature poprečnog preseka, odn. kada je zadovoljen uslov e > d 2 a gde je e ekscentircitet normalne sile u odnosu na težišnu osu Osa linijskog nosača je geometrijsko mesto težišta poprečnih preseka Statički uticaji u nosaču (npr. M i N) se određuju u odnosu na osu nosača, koja se poklapa sa težišnom linijom

104 Ekscentrično opterećeni elementi Kada su sile u preseku momenat savijanja M i normalna sila pritiska N ili zatezanja Z, to je ekvivalentno kao da deluje samo ekscentrična normalna sila, N ili Z, sa ekscentricitetom e = M N odn. e = M Z gde je e ekscentircitet normalne sile N ili Z u odnosu na težišnu osu

105 Ekscentrično opterećeni elementi AB elementi napregnuti u fazi velikog ekscentriciteta (pritiska ili zatezanja) se nalaze u fazi II, preseci sa prslinama Važe iste pretpostavke proračuna kao i za slučaj čistog pravog savijanja, od kojih su najvažnije; - naponi zatezanja u betonu ispod neutralne linije se zanemauju - celokupno zatezanje preuzima armatura u preseku (zategnuta, a po potrebi i pritisnuta - dvojno armiranje) Proračun preseka se vrši na isti način kao i za slučaj čistog savijanja

106 Ekscentrično opterećeni elementi Jedino se, umesto momenta savijanja M, koristi momenat savijanja M a sračunat u odnosu na težište zategnute armature M a = M + N ( d 2 a) pritisak M a = M Z ( d 2 a) zatezanje (21) Dimenzionisanje preseka ne može da se direktno izvrši kao u slučaju čistog pravog savijanja, jer je nepoznata veličina momenta M a u odnosu na zategnutu armaturu, zbog nepoznate visine preseka d, a prema M a se određuju dimenzije preseka

107 Ekscentrično opterećeni elementi Zbog toga se unapred usvaja (pretpostavlja) visina preseka d, kao i širina preseka b na mestu zategnute armature Sa usvojenom visinom preseka d i veličinom zaštitnog sloja betona, odnosno sa pretpostavljenim rastojanjem a težišta zategnute armature do ivice preseka, za pozneta statičke uticaje u preseku M i N, određuje se momenat savijanja u odnosu na zategnutu armaturu M a = M + N c = N(e + c) gde je c = d/2 a (rastojanje zategnute armature od težišta)

108 Ekscentrično opterećeni elementi Ekscentrično opterećen pravougaoni presek u oblasti velikog ekscentriciteta (N - pritisak, Z - zatezanje)

109 Ekscentrično opterećeni elementi Bezdimenzionalni koeficijent r za dimenzionisanje, u slučaju čistog pravog savijanja je dat sa (13), dok je u slučaju velikog ekscentriciteta dat sa r = samo figuriše M a umesto M h M a b (22) Mogu da se koriste iste tablice za dimenzionisanje kao i za slučaj čistog pravog savijanja

110 Ekscentrično pritisnuti elementi Za ekscentričnu silu pritiska i veliki ekscentricitet, količina potrebne armature se određuje iz uslova ravnoteže spoljašnih i unutrašnjih sila ( N = 0): N + Z a D b = 0 Kako je Z a = A a σ a, to se dobija Z a = D b N Z a σ a = A a = M a z σ a N σ a (23) jer je D b z = M a

111 Ekscentrično pritisnuti elementi Alternativno, imajući u vidu izraz (19) i uvođenje procenta armiranja, potrebna količina zategnute armature može da se prikaže i u obliku A a = µ b h 100 N σ a (24) Ekscentrično zategnuti elementi Ako je presek opterećen ekscentričnom silom zatezanja, onda je potrebna površina armature data sa A a = M a z σ a + Z σ a (25)

112 Ekscentrično zategnuti elementi Alternativno, potrebna površina zategnute armature za ekscentričnu silu zatezanja može da se odredi i iz relacije A a = µ b h Z σ a (26) Za ekscentrično zatezanje silom Z, momenat M a u odnosu na zategnutu armaturu dat je sa (21)/2

113 Ekscentrično opterećeni elementi Momenat nosivosti pretpostavljenog betonskog preseka M b je dat na isti način kao i za čisto savijanje i jednostruko armirani presek: r = h M b M b = ( ) h 2 r b (27) gde r odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih napona za usvojeni kvalitet čelika i betona Razlika momenata u odnosu na zategnutu armaturu i momenta nosivosti pretpostavljenog betonskog preseka je M = M a M b (28)

114 Ekscentrično opterećeni elementi Razlika momenata M = M a M b može da bude: M > 0... potrebno je dvojno armiranje preseka M = 0... potrebna je samo zategnuta armatura (jednostruko armiranje, iskorišćeni naponi σ b i σ a ) M < 0... naponi u betonu su neiskorišćeni U slučaju dvojnog armiranja relacije su iste kao i kod čistog savijanja: dodatna zategnuta armatura se određuje na osnovu M dodatna pritisnuta armatura se određuje iz uslova da dodatne armature ne menjaju položaj neutralne linije (koji je određen dozvoljenim naponima σ b i σ a )

115 pravougaonog oblika Površina ukupne zategnute armatue, za ekscentričnu silu pritiska, data je sa: A a1 = µ b h M (h a 2 ) σ b N σ a pri čemu µ pretstavlja procenat armiranja koji odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih napona u betonu i armaturi, pri delovanju M b Površina dodatne pritisnute armature je data sa: A a2 = M (h a 2 )σ a h x x a 2

116 pravougaonog oblika Ako se dobije da je dodatna pritisnuta armatura A a2 veća od zategnute armature A a1, ali da je pri tome A a2 1.5 A a1, onda se presek simetrično armira sa armaturom u obe zone A a = 0.5 (A a1 + A a2 ) Ako je A a2 > 1.5A a1, presek ne može da se armira simetrično: armature se usvoji prema dobijenim vrednostima i provere se naponi u betoni i armaturi

117 pravougaonog oblika Ako se dobije da je zategnuta armatura A a1 vrlo mala, ili negativna (u slučaju kada je položaj N sile blizu granice malog ekscentriciteta), presek se armira sa minimalnom zategnutom armaturom Minimalni procenat armiranja zategnutom armaturom je µ min = 0.4% u odnosu na površinu betonskog preseka

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa a. zadatak Sračuna i konstruisa montažni nastavak nosača izrađenog od vruce valjanog profila prema zadam presečnim silama:ved = 300 kn MEd = 1000 knm. Za nosač usvoji odgovarajući HEB valjani profil. Nastavak

Διαβάστε περισσότερα

FUNDIRANJE (TEMELJENJE)

FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1/11/013 FUNDIRANJE 1 FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1. Projektovanje temelja se vrši prema graničnom stanju konstrukcije i tla ispod ojekta sa osvrtom na ekonomski faktor u pogledu utroška materijala, oima radova

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1.1 PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON I OPŠTE ODREDBE 1 Ovim pravilnikom propisuju se uslovi i zahtevi koji moraju biti ispunjeni pri projektovanju,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine ašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ ašinski elementi 1/ Predavanje.1 OSOVINE I VRATILA.1.1. Uvod Vratila i osovine, kao osnovni elementi obrtnog kretanja, moraju uvek biti preko kliznih i kotrljajnih

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ 1 FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA... 2 1.1 Beton... 2 1.1.1 Računska čvrstoća betona... 6 1.1.2 Višeosno stanje naprezanja... 6 1.1.3 Razred

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

6. Plan armature prednapetog nosača

6. Plan armature prednapetog nosača 6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

unutrašnja opterećenja

unutrašnja opterećenja * Ravnoteža u deformabilnom tijelu Koncentrisana sila (idealizacija) Površinska sila Spoljašnja opterećenja: površinske i zapreminske sile Reakcije oslonaca Jednačine ravnoteže Linearna raspodjela opterećenja

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Proračun toplotne zaštite

Proračun toplotne zaštite Proračun toplotne zaštite za objekat Stambeni objekat urađen prema JUS U.J5.600 iz 1998 i JUS U.J5.510 iz 1987 godine. Sadržaj - analiza konstrukcija - analiza linijskih gubitaka - proračun toplotnih transmisionih

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKAT BETONSKE MEŠAVINE Redosled postupaka

PROJEKAT BETONSKE MEŠAVINE Redosled postupaka Redosled postupaka - Izbor komponentnih materijala (na osnovu vrste konstrukcije, sredine u kojoj se gradi i ekonomskih aktora) - Određivanje nominalno najvećeg zrna agregata (D) (na osnovu planova oplate

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

S A D R Ž A J. 1.1 Opšti podaci Čelik za prednaprezanje Kotve i kablovi Oprema Gubici sile prednaprezanja...

S A D R Ž A J. 1.1 Opšti podaci Čelik za prednaprezanje Kotve i kablovi Oprema Gubici sile prednaprezanja... 1 1 S A D R Ž A J 1.0 OPIS SISTEMA 1.1 Opšti podaci... 2 1.2 Čelik za prednaprezanje... 2 1.3 Kotve i kablovi... 2 1.4 Oprema... 3 1.5 Gubici sile prednaprezanja... 3 1.5.1 Uvlačenje klina... 4 1.5.2 Elastično

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE "YTONG STROP" strana

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE YTONG STROP strana S A D R Ž A J OPĆI DIO: Izvadak iz sudskog registra o registraciji Rješenje o upisu u imenik ovlaštenih inženjera građevinarstva Izvješće o kontroli Tipskog projekta glede mehaničke otpornosti i stabilnosti

Διαβάστε περισσότερα

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE U SPLITU SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA Predavanja za stručni studij BRODOGRADNJE za šk. god. 2006/2007. Split, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Str

Str Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L

PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU 1 Prskalica je pogodna za raspršivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Uredjaj je namenjen za kućnu,

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA

Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 11 Predavanje br TRANSPORT I LOGISTIKA 006/007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA Dimenzionisanje čeličnih konstrukcija se izvodi na bazi poznavanja rasporeda spoljašnjih

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Kontrola kvaliteta betona Projekat betona

Kontrola kvaliteta betona Projekat betona Kontrola kvaliteta betona Projekat betona Predavanje, 08.01.2013. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez SADRŽAJ Kontrola kvaliteta betona: Opće postavke Partije betona Kontrola

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost:

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost: Geometrija 3, drgi kolokvijm Prezime i ime, broj indeksa, grpa Skicirati sledeće površi i ispitati njihov reglarnost: a f, v sh cos v, sh sin v,,, v [ π, π]; b g, v, 3, v,, v R a b Rešenje a Iz oblika

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I . Otnik tnsti = 00, kalem induktivnsti = mh i kndenzat kaacitivnsti = 00 nf vezani su aaleln, a između njihvih kajeva je usstavljen steidični nan efektivne vednsti = 8 V, kužne učestansti = 0 5 s i četne

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

Matematički modeli sistema

Matematički modeli sistema Matematički modeli sistema U analizi i sintezi SAU se koriste kvantitativni matematički modeli koji opisuju fiziku sistema. Generalno, dinamika sistema je opisana običnim diferencijalnim jednačinama. lasa

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

ЈЕДНОСТЕПЕНИ РЕДУКТОР

ЈЕДНОСТЕПЕНИ РЕДУКТОР Средња машинска школа РАДОЈЕ ДАКИЋ ЈЕДНОСТЕПЕНИ РЕДУКТОР Милош Мајсторовић 9 4 4 40 0 4 0 0 9 0 0 0 4 4 St.iz. Izmene Datum Ime Datum bradio 0.09.04 Milos dobrio Masa: Jednostepeni reduktor znaka: JR.00.00

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

Otvorene mreže. Zadatak 1

Otvorene mreže. Zadatak 1 Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

FREKVENCIJSKE KOMPENZACIJE OPERACIONIH POJAČAVAČA

FREKVENCIJSKE KOMPENZACIJE OPERACIONIH POJAČAVAČA FEKVENIJSKE KOMPENZAIJE OPEAIONIH POJAČAVAČA 4 ZADATAK: Operacioni pojačavač čija je prenosna uncija data iraom: 5 (4) A( s) ( s)( s) oristi se a realiaciju invertujućeg pojačavača (slia 4) odnosno neinvertujućeg

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

P R I N C I P I L E T A

P R I N C I P I L E T A TEORIJA LETENJA P R I N C I P I L E T A ZA PILOTE ULTRALAKIH VAZDUHOPLOVA ULAPL (ULA / ULT) Hudomal Franc, TP / FI CPL(A), FI ULAPL (A) 2012 PRINCIPI LETENJA Aerodinamika malih brzina Sadržaj 1. Energija...1

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja

BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja BETONSKE KONSTRUKCIJE I Predavanja Zagreb, 010. Igor Gukov SADRŽAJ 1. UVOD...3. FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA...6.1. Beton...7.1.1 Računska čvrstoća betona...11.1. Višeosno stanje naprezanja...11.1.3

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

Vežba br. 5. Čelična užad za potrebe rudarstva

Vežba br. 5. Čelična užad za potrebe rudarstva Vežba br. 5 Čelična užad za potrebe rudarstva Osobine užadi relativno mala masa po dužnom metru, velika nosivost i gipkost, omogućuju rad sa velikim brzinama jer rade mirno i bešumno, kod preopterećenja

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

PREDMET: Upravljanje sistemima. Frekvencijske karakteristike

PREDMET: Upravljanje sistemima. Frekvencijske karakteristike Osnovne akademske studije PREDMET: Upravljanje sistemima TEMA: Frekvencijske karakteristike Predmetni nastavnik: Prof. dr Milorad Stanojević Asistent: mr Marko Đogatović Kompleksna funkcija prenosa Ukoliko

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Prijanjanje i klizanje

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Prijanjanje i klizanje PRIJANJANJE I KLIZANJE Uslov kotrljanja točka TRENJE PRIJANJANJE IZMEĐU TOČKA I PODLOGE Kulonovo trenje uprošćen matematički model, važi za kruta tela tj. nedeformabilne materijale Ne važi za gumu Guma

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

3. ATMOSFERSKI PRITISAK

3. ATMOSFERSKI PRITISAK 3. ATMOSFERSKI PRITISAK NASTAVNA PITANJA: 1. Pojam atmosferskog pritiska 2. Vertikalna raspodjela vazdušnog pritiska 3. Horizontalna raspodjela vazdušnog pritiska 4. Barometarski gradijent LITERATURA:

Διαβάστε περισσότερα

MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA

MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA U toku posljednjih tridesetak godina mostovi sa kosim zategama doživljavaju spektakularan razvoj u cijelom svijetu. Ekonomičnost ovih mostova ne leži samo u odličnom iskorištenju

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα