BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar"

Transcript

1 BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

2 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

3 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

4 Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Proračun (dimenzionisanje) preseka prema dopuštenim naponima se zasniva na: - određivanju stanja napona u poprečnom preseku prema ekstremnim kombinacijama statičkih uticaja u eksploataciji - dokazivanju da tako određeni naponi nisu veći od odgovarajućih dopuštenih napona Prema tome, proračun se svodi na zadovoljenje relacija: σ max σ dop

5 Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Pri određivanju statičkih uticaja (sila u preseku), kao i pri dimenzionisanju preseka smatra se da su oba materijala (beton i čelik) linearno elastična Dozvoljeni naponi se definišu propisima tako što se čvrstoće betona i čelika redukuju koeficijentima sigurnosti, odnosno smanjuju do te mere da je opravdana pretostavka o linearno elastičnom ponašanju

6 Dozvoljeni naponi za armirani beton [MPa] Za MB 25, 35,45, 55 dozvoljeni naponi se određuju linearnom interpolacijom između dve susedne vrednosti

7 Dozvoljeni naponi za armaturu (GA i RA) [MPa]

8 Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Usvojene pretpostavke proračuna Beton je homogen i elastičan materijal u skladu sa Hukovim zakonom (linearna veza napon - deformacija) Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecima: preseci i posle deformacije ostaju ravni i upravni na deformisanu osu nosača Zanemaruje se nosivost betona na zatezanje: prihvatanje ukupnih napona zatezanja se poverava armaturi Usvaja se da je odnos modula elastičnosti čelika i betona za sve radne napone određen brojem ekvivalencije n: n = E a E b = 10

9 Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Naponska stanja AB preseka 1 Centrični pritisak... deluje samo normalna sila pritiska N bez uticaja izvijanja... λ 50 (λ je vitkost štapa) sa uticajem izvijanja... λ (50, 140] 2 Ekscentrični pritisak... deluje samo normalna sila pritiska N Mali ekscentricitet... N sila deluje unutar preseka, presek je bez prslina Veliki ekscentricitet... N sila deluje izvan preseka, presek sa prslinama

10 Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Naponska stanja AB preseka 3 Centrično zatezanje... deluje samo normalna sila zatezanja Z 4 Ekscentrično zatezanje... samo normalna sila zatezanja Z Mali ekscentricitet... sila Z deluje unutar preseka Veliki ekscentricitet... sila Z deluje izvan preseka

11 Dimenzionisanje prema dozvoljenim naponima Naponska stanja AB preseka 5 Čisto savijanje... deluje samo momenat savjanja M 6 Složeno savijanje... deluje N sila u fazi velikog ekscentriciteta, kao i momenat savijanja M, ili deluju momenti savijanja u dve ravni 7 Smicanje... deluje samo transverzalna sila T 8 Torzija... deluje samo momenat torzije M t 9 Smicanje i torzija... istovremeno deluju transverzalna sila T i momenat torzije M t

12 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

13 Centrično zatezanje Posmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticaju centričnog zatezanja silom Z To može da bude AB zatega u nekoj konstrukciji (ili zategnuti štap AB rešetke) Celokupno zatezanje na sebe preuzima armatura, pri čemu je dozvoljen napon zatezanja dat Propisima (BAB 87) i jednak je σ a Uslov za dimenzionisanje prema dopuštenim naponima je σ max σ dop

14 Centrično zatezanje Normalni napon u svim tačkama preseka je jednak σ = Z A a gde je A a ukupna površina podužne armature u preseku (ona prihvata kompletno zatezanje) Iz uslova σ max σ dop se dobija potrebna količina armature u preseku σ = Z A a σ dop A a,pot Z σ dop

15 Centrično zatezanje Zategnuta podužna armatura se usvoji zaokruživanjem na više minimalne potrebne armature A a,pot Sama armatura se usvoji izborom vrste armature (GA ili RA) i izborom prečnika šipki Pri tome se broj šipki usvaja tako da usvojena armatura bude simetrično rapoređena u poprečnom preseku Dimenzije betonskog poprečnog preseka se usvajaju (ako nema nekih drugih zahteva) iz uslova pravilnog i simetričnog smeštanja armature (vodi se računa o razmacima između šipki, kao i o odgovarajućem zaštitnom sloju betona)

16 Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Odrediti potrebnu armaturu i oblikovati poprečni presek pravougaonog oblika centrično zategnutog AB elementa Element se nalazi u uslovima umereno agresivne sredine Poznati podaci o sili zatezanja: - stalno opterećenje... Z g = 305 kn - povremeno opterećenje... Z p = 337 kn Usvojiti glatku armaturu GA 240/360

17 Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Ukupna sila zatezanja elementa Z = Z g + Z p = = 642 [kn] Za glatku armaturu i uz pretpostavku da je Φ 14, dozvoljen napon u armaturi je σ dop = 140 MPa Potrebna površina armature je A pot = Z = σ dop = = [cm2 ] Usvojeno: 15Φ20 (47.12 cm 2 ) (uvidom u površine preseka armature)

18 Karakteristike preseka za armaturu GA i RA

19 Karakteristike preseka glatke armature GA

20 Karakteristike preseka rebraste armature GA

21 Centrično zatezanje - primer Dimenzionisanje zatege Za umereno agresivnu sredinu minimalan zaštitni sloj armature je a 0 = 2.5 cm Poprečni presek elementa je pravougaoni dimenzija b d Imajući u vidu da je usvojeno 15 šipki, one mogu da se rasporede 5 šipki u 3 reda Oko armature se usvajaju konstruktivne uzengije U Φ8/30 Vodi se računa o dovoljnom čistom razmaku armature u horizontalnom i vertikalnom pravcu

22 Raspoređivanje armature u preseku

23 Usvojena armatura i betonski presek

24 Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Posmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticaju ekscentričnog zatezanja silom Z Položaj sile zatezanja je ekscentričan u odnosu na težišnu osu preseka, sa ekscentricitetom e Ako je visina preseka d, a rastojanje težišta gornje i donje armature od ivica preseka isto i jednako a, onda je e d 2 a Drugim rečima, sila zatezanja se nalazi unutar preseka, odn. između gornje i donje podužne armature U pitanju je ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet

25 Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet

26 Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Štapovi donjeg pojasa AB rešetki su tipičan primer ekscentrično zategnutih štapova u domenu malog ekscentriciteta Osim značajnih sila zatezanja, postoje i mali momenti savijanja (od sopstvene težine štapova), pa je ekscentricitet dat sa e = M Z c = d 2 a Celokupna sila zatezanja se prihvata armaturom

27 Ekscentrično zatezanje - mali ekscentricitet Potrebna kolčina armature, za dozvoljeni napon zatezanja u armaturi σ dop, je data sa σ a = Z A a σ dop A a,pot Z σ dop Ova ukupna količina armature se raspoređuje u gornju i donju zonu preseka tako da se težište armature poklapa za položajem napadne tačke sile Z Na taj način se dobija: A a,pot A a = A a1 + A a2 A a1,2 = A a 2 (znak + se odnosi na armaturu koja je bliža sili Z) ( 1 ± e ) c

28 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

29 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Posmatra se poprečni presek AB štapa koji je izložen uticaju centričnog pritiska silom N Sila N deluje u težištu poprečnog preseka ili sa ekscentricitetom e l/300, što se računa kao moguća greška u izvođenju Takvi elementi su AB stubovi, zidna platna i pritisnuti štapovi AB rešetki Poprečni preseci ovakvih elemenata su najčešće kvadratni, pravougaoni, okrugli, ali mogu da budu i razuđenih oblika

30 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Armiranje ovakvih elemenata se vrši podužnom armaturom i uzengijama (poprečnom armaturom) Podužne šipke se obavezno stavljaju u uglove preseka (osim ako presek nije kružni), sa ciljem da se težište ukupnog preseka (betona i armature) ne menja Nijedna podužna šipka ne sme da bude manja od Φ12 mm Za betone MB > 30 koristi se isključivo RA, a za MB 30 može da se koristi i GA Izvijanje se ne uzima u obzir ako je vitkost pritisnutog štapa manja od 50: λ < 50

31 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Za centrčno pritisnute elemente raspodela napona u preseku je ravnomerna i prianjanje između betona i podužne armature nije narušeno Prema tome, dilatacije u betonu i armaturi su međusobno iste: ε b = ε a Kako su dilatacije iste, a moduli elastičnosti E a i E b različiti, to će oba materijala da prenose uticaje srazmerno njihovim površinama i modulima elastičnosti: ε b = ε a σ b E b = σ a E a σ a σ b = E a E b = n = 10

32 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Drugim rečima, imajući u vidu koeficijent ekvivalencije modula elastičnosti n, dobija se odnos napona u betonu i čeliku σ a σ b = E a E b = n = 10 odnosno, σ a = n σ b Uslov ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila je dat sa ( N = σ b A b + σ a A a = σ b A b 1 + σ ) a A a σ b A b

33 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Uvode se oznake: - bezdimenzionalan koeficijent armiranja (odnos površine podužne armature i betona): µ 0 = A a A b - procenat armiranja, odn. koeficijent armiranja izražen u procentima: µ = 100 µ 0 [%] - broj ekvivalencije n modula elastičnosti čelika i betona n = E a /E b = 10

34 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Sa ovim oznakama uslov ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila u pravcu ose štapa može da se piše u obliku N = σ b A b (1 + n µ 0 ) = σ b A bi Uvedena je oznaka za površinu idealizovanog poprečnog preseka A bi = A b (1 + n µ o ) Iz uslova ravnoteže N = σ b A bi dobija se (dopušten napon σ dop je središni napon σ s ) σ b = N A bi σ dop = σ s A bi N σ s

35 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Prema tome, ako se usvoji, na primer, minimalan procenat armiranja µ 0 = µ min, onda je potrebna površina betonskog preseka data sa: A b,pot N σ s (1 + n µ min ) dok je minimalna površina podužne armature A a,pot = A b,pot µ min

36 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Za centrično pritisnute elemente (odn. stubove) procenti armiranja su ograničeni na najmanji i najveći: µ min = 0.6% µ max = 6.0% Uobičajeni procenti armiranja stubova su oko µ % Ako se usvoji betonski presek A b tako da bude veći od računski potrebnog A b,pot, naponi u betonu su tada neiskorišćeni (u odnosu na dopušten napon σ s

37 Centrični pritisak bez uticaja izvijanja Podužna armatura se određuje iz izraza A a = A b µ min za usvojeno µ min = 0.6%, ali može da na taj način bude veća od potrebne, jer je usvojena veća površina betona od potrebne: A b > A b,pot Zbog toga BAB 87 dozvoljava da stvarni procenat armiranja može da bude i manji od minimalno propisanog, ali ne manji od µ = 0.3% U tom slučaju treba da se proveri da li usvojena površina armature zadovoljava uslov A a,stv A a,min = 0.3% A b,stv = A b.stv

38 Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Ako je vitkost pritisnutog štapa veća od 50, uticaj mogućeg izvijanja uzima se u obzir Vitkosti pritisnutih stubova su ograničene na interval λ (50, 140] Samo u fazi montaže dozvoljava se vitkost u granicama λ (140, 200]

39 Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Vitkost pritisnutog štapa je definisana sa λ = l i i min Sa l i je označena dužina izvijanja, dok je i min minimalni poluprečnik inercije poprečnog preseka: i min = Imin gde su I min i A minimalni momenat inercije i površina poprečnog preseka betona (štapa) A

40 Dužine izvijanja pritisnutih štapova Ojlerovi slučajevi izvijanja

41 Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Ukoliko je vitkost štapa u granicama λ (50, 140] mora da se uzme u obzir u proračunu Vrši se redukcija dopuštenog središnjeg napona σ s σ i = 1.4 σ s 0.4 (σ s 1) λ 125 σ s u [MPa] (1) Takođe se vrši i redukcija minimalnog procenta armiranja µ i = λ % (2) 50

42 Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Dopuštena sila nosivosti centrično pritisnutog elementa određuje se prema izrazu (BAB 87): N dop = σ i A b (1 + n µ i ) (3) Dimenzionisanje nepoznatog preseka se vrši iterativno U prvom koraku se usvaja da je σ i = σ s, kao i µ i = 0.6% Iz izraza (3) se odredi potrebna površina betonskog preseka

43 Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Potrebna površina betonskog preseka je: A b,pot = N dop σ i (1 + n µ i ) (4) Za izračunato A b,pot odrede se oblik i dimenzije stuba Izračuna se vitkost λ i ako je λ > 50, odrede se σ i i µ i prema izrazima (1) i (2) Ponovo se iz izraza (3) odrede potrebna površina betonskog preseka i usvoje korigovane dimenzije i oblik preseka

44 Centrični pritisak sa uticajem izvijanja: vitki elementi Kontroliše se nova vitkost i postupak po potrebi ponavlja do postizanja željene tačnosti (razlika dimenzija preseka u dve susedne iteracije treba da je 1 cm) Potrebna površina armature se određuje prema A a A a,pot = µ i 100 A b,pot gde je A b,pot potrebna površina betonskog preseka iz poslednje iteracije

45 Centrični pritisak - detalji armranja Osim podužne armature, u stubove se ugrađuje i poprečna armatura, odn. uzengije Uloga uzengija je da utegnu betonski presek stuba i da spreče lokalno bočno izvijanje podužne (pritisnute) armature Zbog toga je prečnik uzengija Φ u u vezi sa prečnikom podužne armature Orjentaciono, ako je prečnik podužne armature Φ, onda je prečnik uzengija Φ u Φ 3

46 Centrični pritisak - detalji armranja Uzengije su obično pravougaonog oblika, ali to zavisi od oblika stuba (npr. pravougaone, kružne i sl.) Za uobičajene dimenzije stubova, prečnici uzengija se usvajaju u granicama Φ u [6 10] mm Razmak uzengija e u mora da bude u sledećim granicama b e u,max = min 15 Φ [cm] 30 cm gde je b manja dimenzija stuba, a Φ prečnik podužne armature

47 Centrični pritisak - detalji armranja U delu stuba gde se uvodi sila u stub, na dužini 1.5 b (b d), kao i na mestima preklapanja podužne armature, razmak uzengija je dva puta manji od normalnog : e u,max = min { 7.5 Φ 15 cm [cm]

48 Centrični pritisak - detalji armranja U seizmički aktivnim područjima, sa svake strane čvora (odn. ukrštanja stubova i greda), na dužini od 1 m (ili malo više), razmak uzengija je najviše jednak e u,max = min { 7.5 Φ 10 cm [cm] dok se na preostalim delovima stuba može da usvoji e u = 15 Φ 20 cm

49 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Ako u preseku pored dominantne normalne sile (pritiska ili zatezanja) deluje i momenat savijanja, to je ekvivalentno slučaju ekscentrične normalne sile Pri određenim uslovima, tj. odnosima intenziteta M i N, poprečni presek može da se računa po maloj ekscentričnosti Ako se naponi na pritisnutoj i na zategnutoj ivici betona obeleže, redom, sa σ b = σ 1 i σ bz = σ 2, presek se računa prema malom ekscentricitetu ako su zadovoljeni uslovi: σ 2 σ 1 3 za MB 30 σ 2 σ 1 4 za MB > 30 (5) Ovi uslovi pretstavljaju naponsko stanje Faze I (bez prslina), odn. homogen presek

50 Dozvoljeni naponi za armirani beton [MPa] Ekscentrični pritisak - mali ekscentricitet - dijagram normalnih napona: Faza I, bez prslina

51 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet AB stubovi su tipični predstavnici ovakvih naponskih stanja: relativno velika normalna sila pritiska N i relativno mali momenat savijanja M Naponi u armaturi ovakvih elemenata su skoro uvek neiskorišćeni, ali su procenti armiranja ograničeni sa µ min = 0.8% µ max = 3.0% Preseci se, po pravilu, armiraju simetrično, tako da je µ = µ 1 + µ 2 odn. A a1 = A a2

52 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Uslovi (5) pretstavljaju uslove za Fazu I naponskih stanja betona, odn. pri tim uslovima betonski presek je homogen U prijemu napona učestvuju čitav betonski poprečni presek i armatura Naponi na ivicama preseka su dati sa: σ 1,2 = N A i ± M W i gde su N i M sile u preseku, a A i i W i geometrijske karakteristike idealizovanog preseka

53 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Ako je pravougaoni presek dimenzija b d armiran simetrično, A a1 = A a2 = A a = µ 0 A b, pri čemu su i rastojanja težišta armature do bliže ivice betona takođe iste, a 1 = a 2 = a, geometrijske karakteristike preseka su date sa: - površina idealizovanog preseka A i A i = A b + n (A a1 + A a2 ) = A b (1 + n µ 0 ) - momenat inercije idealizovanog preseka I i I i = b ( ) 2 d3 d n A a 2 a

54 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Momenat inercije idealizovanog preseka I i može da se napiše u obliku I i = b d3 12 ( nµ 0 ε 2 ) gde su uvedene oznake: c = d 2 a ε = c d µ 0 = A a1 + A a2 b d = 2 A a b d = µ 1 + µ 2 Otporni momenat idealizovanog preseka W i je dat sa: W i = I i d/2 = b d n A ( d 2 a)2 a d/2 = b d2 6 ( nµ 0 ε 2 )

55 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Rastojanje jezgra preseka k i od težišta idealizovanog preseka je dato sa k i = W i A b = d 6 ( nµ 0 ε 2 ) Sa ovim se dobijaju konačni izrazi za vrednosti ivičnih napona u preseku (moraju da budu manji od dopuštenih rubnih napona) σ 1,2 = N A b ( 1 α i ± e k i ) σ dop = σ r gde je α i = 1 + n µ 0 ϕ = 2a d k i = d 6 [1 + 3 n µ 0 (1 ϕ) 2 ]

56 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Obično se za ϕ pretpostavljaju vrednosti između 0.10 i 0.20, odn. težište armature a je udaljeno od ivice preseka za (5-10)% od visine preseka d Kada se ispituje da li neki ekscentrično pritisnut presek ispunjava uslove (5) za proračun po malom ekscentricitetu, određuje se kritični ekscentricitet e 0 i upoređuje se sa stvarnim ekscentricitetom normalne sile e = M/N Kritični ekscentricitet e 0 je veličina ekscentriciteta za koju su uslovi (5) za proračun po malom ekscentricitetu ispunjeni

57 Ekscentrični pritisak - mali ekscentircitet Kritični ekscentricitet se dobija: - za MB 30: σ 1 = 3σ 2 e 0 = 2 ki α i - za MB > 30: σ 1 = 4σ 2 e 0 = 5 ki 3 α i Osim kontrole ivičnih napona mora da se proveri i napon u težištu preseka i da se uporedi sa dopuštenim središnim naponom σ s : σ 0 = N σ s A b α i Armiranje stubova izloženih ekscentričnim silama pritiska u malom ekscentricitetu vrši se podužnom i poprečnom armaturom slično kao i kod centrično pritisnutih stubova

58 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

59 Uticaj momenata savijanja na AB elemente Posmatraju se AB elementi na koje deluju samo momenti savijanja (čisto pravo savijanje) Ako se posmatra postepeno povećanje spoljašnjeg dejstva (momenta savijaja) sve do iznosa pri kome dolazi do loma preseka, mogu da se razlikuju sledeće naponske faze 1 Faza I... stanje bez prslina, aktivan ceo betonski presek 2 Faza II... stanje sa prslinama, aktivan samo pritisnuti deo betonskog preseka 3 Faza III... lom preseka

60 Uticaj momenata savijanja na AB elemente Faza I i Faza II se dele svaka na po dve pod-faze: Faza I... stanje bez prslina, aktivan ceo betonski presek - Faza Ia... linearna raspodela normalnih napona pritisaka i zatezanja - Faza Ib... nelinearna raspodela normalnih napona zatezanja, a linearna raspodela napona pritisaka Faza II... stanje sa prslinama, aktivan samo pritisnuti deo betonskog preseka - Faza IIa... blaga nelinearnost raspodele normalnih napona pritisaka - Faza IIb... znatna nelinearnost normalnih napona pritisaka

61 Naponske faze AB elementa izloženog savijanju Povećanjem opterećenja, posle Faze IIb dolazi do Faze III - do loma nosača

62 Uticaj momenata savijanja na AB elemente U proračunu nosača pod uticajem momenata savijanja smatra se da se presek nalazi u Fazi IIa To znači da je zategnuta zona u betonu (ispod neutralne linije) u potpunosti isključena i celokupno zatezanje prihvata armatura Tipični elementi konstrukcija opterećeni na (čisto pravo) savijanje su gredni nosači i ploče Najčešći oblici poprečih preseka grednih nosača su pravougaoni i T preseci

63 Računski model jednostruko armiranog preseka Presek Dilatacije Naponi Sile

64 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Poprečni presek je proizvoljnog, ali simetričnog oblika u odnosu na osu u ravni nosača Presek je jednostruko armiran u zategnutoj zoni preseka Visina preseka je d, sa a je označeno rastojanje težišta (zategnute) armature od donje izive preseka, dok je h = d a statička visina preseka (rastojanje od težišta zategnute armaure do pritisnute ivice betona Sa x je označen rastojanje neutralne linije od pritisnute ivice betona Sa s = x/h se obeležava bezdimenzionalan koeficijent položaja neutralne linije

65 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Iz sličnosti trouglova u prikazu dilatacija i napona, mogu da se izvedu relacije ε a = ε b 1 s s σ a = n σ b 1 s s kao i s = σa n σ b Kao što može da se vidi, položaj neutralne linije (izražen preko koeficijenta s) zavisi samo od odnosa napona u armaturi i betonu, a ne i od njihovih vrednosti

66 Računski model jednostruko armiranog preseka Presek Dilatacije Naponi Sile

67 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Mereno od neutralne ose ka pritisnutom delu betona, položaj proizvoljnog vlakna poprečnog preseka je određen sa h η, gde je η bezdimenzionalna koordinata Širina preseka na rastojanju h η je označena sa b(η), dok je površina elementarnog sloja jednaka da(η) = h b(η) dη Iz dijagrama napona dobija se napon u betonu na proizvoljnom rastojanju od neutralne linije η h u obliku η h σ bη = σ b x = σ η b s

68 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Uslov ravnoteže normalnih sila N = 0 glasi N = 0 Db Z a = η=s η=0 σ bη da σ a A a = 0 Zamenom se dobija η=s η=0 η h σ b x h b(η) dη n A h x aσ b = 0 x odn. posle sređivanja h 2 η=s η=0 b(η) ηdη n A a (h x) = 0 (6)

69 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Integral u jedn. (6 ) zavisi od oblika poprečnog preseka: η=s η=0 b(η) ηdη = J IB Za pravougaoni presek je b(η) = b = const, pa integral J IB postaje η=s J IB = b(η) ηdη = b s2 2 η=0

70 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Sa ovim jedn. (6) postaje h 2 b 2 s2 n A a (h x) = 0 Kako je s = x/h dobija se kvadratna jednačina po x x n A a b x 2 n A a h b = 0 (7) Koreni kvadratne jednačine x 2 + px + q = 0 su dati sa x 1,2 = p 2 ± p 2 4 q

71 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Pozitivan koren kvadratne jednačine (7) predstavlja položaj neutralne ose x (mereno od pritisnute ivice betona): [ x = n A ] a h b (8) b n A a ili, izraženo preko bezdimenzionalnog koeficijenta položaja neutralne ose s = x/h: [ s = n A ] a h b h b n A a (9)

72 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Potrebna statička visina preseka h se određuje iz uslova ravnoteže momenata savijanja M a = 0 u odnosu na težište zategnute armature: M a = 0 η=s η=0 σ bη (h x + h η) da M = 0 Zamenom se dobija, za pravougaoni presek, η=s η=0 σ b η h x b h (h x + hη)dη M = 0

73 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Posle sređivanja se dobija σ b s b h2 η=s η=0 η(1 s + η)dη M = 0 (10) Integral u jedn. (10) se označava sa J IIB i dat je sa J IIB = η=s η=0 η(1 s + η)dη = (1 s) J IB + η=s η=0 η 2 dη Sa ovim, jedn. (10) može da se piše u obliku σ b s b h2 J IIB M = 0 (11)

74 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Integral J IIB za pravougaone preseke se dobija, posle sređivanja, u obliku J IIB = s2 2 ( 1 s ) 3 Iz jednačine (11) može da se odredi statička visina preseka h u obliku: s M M h = σ b J IIb b = r (12) b

75 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Koeficijent r je dat sa: s r = = σ b J IIb σ b s 2 2 Relacija (12) može da se piše u obliku s ( ) 1 s 3 r = h M b (13)

76 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Sila pritiska u betonu D b se dobija integracijom napona pritisaka u preseku: D b = η=s η=0 σ bη da = σ b b h s J IB (14) Krak unutrašnjih sila z je dat sa z = M D b (15) Iz relacija (11) i (14) dobija se za krak unutrašnjih sila relacija z = J IIB J IB h = ζ h (16)

77 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Kod čistog savijanja (bez normalne sile), sila pritiska u betonu D b je jednaka sili zatezanja u armaturi Z a, pa je (iz uslova ravnoteže momenata) Z z M = 0 Z a = M z Potrebna površina zategnute armature A a se određuje iz izraza A a = Z a σ a = M z σ a (17)

78 Jednostruko armiran presek proizvoljnog oblika Unoseći uslov (11) i relaciju (15) u (17), dobija se A a = b h J IB s Sa µ 0 je označen koeficijent armiranja µ 0 = J IB s σ b σ a ili, A a = µ 0 b h (18) σ b σ a = A a A b Često se koristi procenat armiranja, µ = 100 µ 0, pa je A a = µ b h 100 (19)

79 Jednostruko armiran presek pravougaonog oblika Koeficijenti s i r, za pravougaoni presek iznose - koeficijent s... bezdimenzionalni koeficijent statičke visine (x = sh) s = ρ n gde je ρ = σ a σ b - koeficijent r... za određivanje statičke visine preseka s s r = = ( ) σ b J s IIb σ 2 b 2 1 s 3

80 Jednostruko armiran presek pravougaonog oblika Koeficijenti ζ i µ, za pravougaoni presek iznose - koeficijent ζ... bezdimenzionalan koeficijent kraka sila (z = ζ h) ζ = J ( IIB = 1 s ) J IB 3 - procenat armiranja µ... odnos površina armature i betona u % µ = J IB s ρ 100 = s 100 [%] 2 ρ

81 Jednostruko armiran presek pravougaonog oblika Izrazi za s, r, ζ i µ mogu da se tabulišu, jer zavise samo od odnosa napona u armaturi i betonu Ovo važi za poprečne preseke pravougaonog i trougaonog oblika (za druge oblike, npr. T presk, postoje i drugi faktori) Postoje tablice za dimenzionisanje u kojima su prikazani razni odgovarajući koeficijenti (videti, npr. knjigu Živorad Radosavljević: Armirani beton, knjiga 1, Građevinska knjiga, Beograd, 1988) Za ove izraze mogu da se naprave programi: Excel, Matlab, C++,...

82 Dimenzionisanje poprečnog preseka Dimenzionisanje poprečnog preseka podrazumeva usvajanje oblika i dimenzija poprečnog preseka, uključujući i kvalitet betona, kao i vrstu, kvalitet, količinu i raspored armature u preseku, kako podužne, tako i poprečne (uzengija) Problem dimenzionisanja obuhvata dva osnovna slučaja: Slobodno dimenzionisanje preseka Vezano dimenzionisanje preseka

83 Slobodno dimenzionisanje poprečnog preseka Slobodno dimenzionisanje preseka podrazumeva određivanje i usvajanje dimenzija poprečnog preseka i potrebne količine armature za dati momenat savijanja i za usvojeni kvalitet materijala (poznate dopuštene napone u betonu i armaturi) Znači, kod slobodnog dimenzionisanja AB preseka poznato je:... M, σ a,dop, σ b,dop a traži se:... b, d, A a

84 Slobodno dimenzionisanje poprečnog preseka Vezano dimenzionisanje preseka podrazumeva određivanje potrebne količine armature i kontrolu napona u betonu za dati momenat savijanja i za presek poznatih dimenzija Znači, kod vezanog dimenzionisanja AB preseka poznato je:... M, b, d, σ a,dop a traži se:... A a σ b σ b,dop

85 Slobodno dimenzionisanje poprečnog preseka U slučaju slobodnog dimenzionisanja statička visina preseka h se određuje iz izraza (12), a površina zategnute armature A a iz izraza (19) Pri tome se koriste tabulisani koeficijenti koji odgovaraju dopuštenim naponima za usvojeni kvalitet betona i armature Širina poprečnog preseka b se usvaja unapred, obično u uobičajenim granicama od 20 do 50 cm

86 Slobodno dimenzionisanje poprečnog preseka Na osnovu sračunate površine armature A a bira se prečnik i broj profila Raspored armature se vrši tako što se poštuje minimalan razmak između šipki, koji omogućava dobro ugrađivanje betona i odgovarajuće zaštitne slojeve, uključujući i usvojene uzengije Izračuna se rastojanje a težišta zategnute armature do zategnute ivice preseka i dobija se ukupna visina preseka d = h + a Konačna dimenzija d se usvaja zaokruživanjem (na gore!) na cele santimetre (odn. na okruglu cifru )

87 Vezano dimenzionisanje poprečnog preseka U slučaju vezanog dimenzionisanja, kada su poznate dimenzije preseka, za dati momenat savijanja i usvojen kvalitet armature, određuje se potrebna površina armature A a Prethodno se pretpostavlja statička visina preseka h usvajanjem rastojanja a težišta zategnute armature do zategnute ivice preseka (uobičajeno je a 0.1 d) Iz izraza (13) se određuje koeficijent r, a iz tablica za dimenzionisanje koje odgovaraju σ a,dop, očitava se odgovarajući napon u betonu σ b i procenat armiranja µ

88 Vezano dimenzionisanje poprečnog preseka Na osnovu dobijene vrednosti σ b bira se marka betona MB, dok se iz izraza (19) određuje potrebna količina armature A a Sa dobijenom potrebnom površinom A a odaberu se i usvoje šipke armature, pa se sračuna stvarna statička visina h = d a U slučaju većeg odstupanja od pretpostavljene vrednosti h (koja je je korišćena u izrazu 13), ponovi se proračun

89 Dimenzionisanje poprečnog preseka Da bi se izbegao lom nosača zbog nedovoljne količine zategnute armature u trenutku otvaranja prslina, neophodno je da usvojena zategnuta armatura uvek bude veća od minimalne: A a A a,min = µ min b d 100 Minimalan procenat armiranja za gredne nosače je: µ min = 0.25%... za glatku armaturu GA 240/360 µ min = 0.20%... za rebrastu armaturu RA 400/500

90 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

91 pravougaonog oblika U pritisnutu zonu betonskog preseka se uvek postavlja montažna (konstruktivna) armatura Smisao pritisnute armature je da poveže uzengije i da poveća žilavost pritisnute zone betona Prema tome, i jednostruko armirani preseci, sa računskom armaturom samo u zategnutoj zone preseka, imaju armaturu i u pritisnutom delu Međutim, pritisnuta konstruktivna armatura je relativno manjih preseka, pa se, i pored ove armature, preseci tretiraju kao jednostruko armirani

92 pravougaonog oblika Međutim, zbog ograničenja visine preseka, kao i zbog prekoračenja dopuštenih napona pritiska u betonu, često je potrebno da se i u pritisnutu zonu dodaje računska armatura Cilj ovakvog načina armiranja je da se naponi pritiska u betonu dovedu u dozvoljene granice, posebno kada nije opravdano povećanje kvaliteta betona (usvajanje više MB)

93 pravougaonog oblika Dvostruko armiranje preseka je neophodno kada je eksploatacioni momenat savijanja M (za najnepovoljniju kombinaciju opterećenja) veći od momenta nosivosti M b jednostruko armiranog preseka Moment nosivosti M b jednostruko armiranog preseka je dat sa r = h M b M b = ( ) h 2 r b (20) gde r odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih napona za usvojeni kvalitet čelika i betona

94 pravougaonog oblika Razlika momenata savijanja (najvećeg eksploatacionog i momenta nosivosti preseka) M = M M b prihvata se dodatnom zategnutom armaturom A a1, kao i dodatnom pritisnutom armaturom A a2 Sila zatezanja Z u dodatnoj zategnutoj armaturi se određuje iz dodatnog uslova ravnoteže: Z = M h a 2

95 pravougaonog oblika Kako je Z = A a1 σ a, povrǎina dodatne zategnute armature se određuje iz izraza: A a1 = M (h a 2 ) σ b Površina ukupne zategnute armatue je data sa: A a1 = A a1 + A a1 = µ b h M (h a 2 ) σ b pri čemu µ pretstavlja procenat armiranja koji odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih napona u betonu i armaturi, pri delovanju M b

96 Računski model dvostruko armiranog preseka

97 pravougaonog oblika Površina pritisnute armature A a2 se određuje iz uslova da položaj neutralne linije u poprečnom preseku ostane nepromenjen To znači da su statički momenti dodatne zategnute armature i dodatne pritisnute armature u odnosu na neutralnu osu jednaki: A a1 (h x) A a2 (x a 2 ) = 0 Zamenjujući izraz za A a1 dobija se površina dodatne pritisnute armature: A a2 = M h x (h a 2 )σ a x a 2

98 Ispitivanje napona u betonu i armaturi kod pravougaonih preseka Za preseke poznatih dimenzija, poznatog rasporeda i površine armature, kao i poznatih kvaliteta materijala (betona i čelika), često je potrebno da se provere naponi u betonu i armaturi Ispitivanje nosivosti konstrukcije zbog povećanog opterećena, promenjenih uslova u eksploataciji, proračna ugiba,..., zahtevaju analizu napona u betonu i armaturi Položaj neutralne linje određuje se iz uslova ravnoteže normalnih sila preseku

99 Ispitivanje napona u betonu i armaturi kod pravougaonih preseka Za dvojno armiran pravougani presek položaj neutralne ose se svodi na rešavanje kvadratne jednačine x 2 + 2n b (A a1 + A a2 ) x 2n b (A a1 h + A a2 a 2 ) = 0 Pozitivan koren ove jednačine je dat sa [ ] x = n(a a1 + A a2 ) b(A a1h + A a2 a 2 ) b n(a a1 + A a2 ) 2

100 Ispitivanje napona u betonu i armaturi kod pravougaonih preseka Iz uslova ravnoteže momenata spoljašnjih i unutrašnjih sila u odnosu na težište zategnute armature, uz poznat položaj neutralne linije x, napon u betonu σ b se određuje iz: σ b = bx 2 M ( ) ( ) h x 3 + naa2 1 a 2 x (h a2 ) Koristeći određen napon u betonu σ b i linearnu vezu napona i dilatacija u preseku, naponi u zategnutoj i pritisnutoj armaturi se određuju iz izraza: σ a1 = n σ b h x x σ a2 = n σ b x a 2 x

101 Sadržaj 1 Dimenzionisanje AB preseka prema dozvoljenim naponima 2

102 Ekscentrično opterećeni elementi Kada normalna sila pritiska deluje ekscentrično u odnosu na težište poprečnog preseka (podrazumeva se da je savijanje u jednoj ravni), naponsko stanje preseka je u oblasti velikog ekscentriciteta ukoliko se dobijaju naponi zatezanja u betonu (sračunati po fazi I) u granicama: σ bz σ b 3 za MB 30 σ bz σ b 4 za MB > 30 (napon pritiska u betonu se označava kao pozitivan)

103 Ekscentrično opterećeni elementi U slučaju ekscentrične sile zatezanja presek je u fazi velikog ekscentriciteta ukoliko se napadna tačka sile nalazi izvan težišta zategnute armature poprečnog preseka, odn. kada je zadovoljen uslov e > d 2 a gde je e ekscentircitet normalne sile u odnosu na težišnu osu Osa linijskog nosača je geometrijsko mesto težišta poprečnih preseka Statički uticaji u nosaču (npr. M i N) se određuju u odnosu na osu nosača, koja se poklapa sa težišnom linijom

104 Ekscentrično opterećeni elementi Kada su sile u preseku momenat savijanja M i normalna sila pritiska N ili zatezanja Z, to je ekvivalentno kao da deluje samo ekscentrična normalna sila, N ili Z, sa ekscentricitetom e = M N odn. e = M Z gde je e ekscentircitet normalne sile N ili Z u odnosu na težišnu osu

105 Ekscentrično opterećeni elementi AB elementi napregnuti u fazi velikog ekscentriciteta (pritiska ili zatezanja) se nalaze u fazi II, preseci sa prslinama Važe iste pretpostavke proračuna kao i za slučaj čistog pravog savijanja, od kojih su najvažnije; - naponi zatezanja u betonu ispod neutralne linije se zanemauju - celokupno zatezanje preuzima armatura u preseku (zategnuta, a po potrebi i pritisnuta - dvojno armiranje) Proračun preseka se vrši na isti način kao i za slučaj čistog savijanja

106 Ekscentrično opterećeni elementi Jedino se, umesto momenta savijanja M, koristi momenat savijanja M a sračunat u odnosu na težište zategnute armature M a = M + N ( d 2 a) pritisak M a = M Z ( d 2 a) zatezanje (21) Dimenzionisanje preseka ne može da se direktno izvrši kao u slučaju čistog pravog savijanja, jer je nepoznata veličina momenta M a u odnosu na zategnutu armaturu, zbog nepoznate visine preseka d, a prema M a se određuju dimenzije preseka

107 Ekscentrično opterećeni elementi Zbog toga se unapred usvaja (pretpostavlja) visina preseka d, kao i širina preseka b na mestu zategnute armature Sa usvojenom visinom preseka d i veličinom zaštitnog sloja betona, odnosno sa pretpostavljenim rastojanjem a težišta zategnute armature do ivice preseka, za pozneta statičke uticaje u preseku M i N, određuje se momenat savijanja u odnosu na zategnutu armaturu M a = M + N c = N(e + c) gde je c = d/2 a (rastojanje zategnute armature od težišta)

108 Ekscentrično opterećeni elementi Ekscentrično opterećen pravougaoni presek u oblasti velikog ekscentriciteta (N - pritisak, Z - zatezanje)

109 Ekscentrično opterećeni elementi Bezdimenzionalni koeficijent r za dimenzionisanje, u slučaju čistog pravog savijanja je dat sa (13), dok je u slučaju velikog ekscentriciteta dat sa r = samo figuriše M a umesto M h M a b (22) Mogu da se koriste iste tablice za dimenzionisanje kao i za slučaj čistog pravog savijanja

110 Ekscentrično pritisnuti elementi Za ekscentričnu silu pritiska i veliki ekscentricitet, količina potrebne armature se određuje iz uslova ravnoteže spoljašnih i unutrašnjih sila ( N = 0): N + Z a D b = 0 Kako je Z a = A a σ a, to se dobija Z a = D b N Z a σ a = A a = M a z σ a N σ a (23) jer je D b z = M a

111 Ekscentrično pritisnuti elementi Alternativno, imajući u vidu izraz (19) i uvođenje procenta armiranja, potrebna količina zategnute armature može da se prikaže i u obliku A a = µ b h 100 N σ a (24) Ekscentrično zategnuti elementi Ako je presek opterećen ekscentričnom silom zatezanja, onda je potrebna površina armature data sa A a = M a z σ a + Z σ a (25)

112 Ekscentrično zategnuti elementi Alternativno, potrebna površina zategnute armature za ekscentričnu silu zatezanja može da se odredi i iz relacije A a = µ b h Z σ a (26) Za ekscentrično zatezanje silom Z, momenat M a u odnosu na zategnutu armaturu dat je sa (21)/2

113 Ekscentrično opterećeni elementi Momenat nosivosti pretpostavljenog betonskog preseka M b je dat na isti način kao i za čisto savijanje i jednostruko armirani presek: r = h M b M b = ( ) h 2 r b (27) gde r odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih napona za usvojeni kvalitet čelika i betona Razlika momenata u odnosu na zategnutu armaturu i momenta nosivosti pretpostavljenog betonskog preseka je M = M a M b (28)

114 Ekscentrično opterećeni elementi Razlika momenata M = M a M b može da bude: M > 0... potrebno je dvojno armiranje preseka M = 0... potrebna je samo zategnuta armatura (jednostruko armiranje, iskorišćeni naponi σ b i σ a ) M < 0... naponi u betonu su neiskorišćeni U slučaju dvojnog armiranja relacije su iste kao i kod čistog savijanja: dodatna zategnuta armatura se određuje na osnovu M dodatna pritisnuta armatura se određuje iz uslova da dodatne armature ne menjaju položaj neutralne linije (koji je određen dozvoljenim naponima σ b i σ a )

115 pravougaonog oblika Površina ukupne zategnute armatue, za ekscentričnu silu pritiska, data je sa: A a1 = µ b h M (h a 2 ) σ b N σ a pri čemu µ pretstavlja procenat armiranja koji odgovara istovremenom iskorišćenju dopuštenih napona u betonu i armaturi, pri delovanju M b Površina dodatne pritisnute armature je data sa: A a2 = M (h a 2 )σ a h x x a 2

116 pravougaonog oblika Ako se dobije da je dodatna pritisnuta armatura A a2 veća od zategnute armature A a1, ali da je pri tome A a2 1.5 A a1, onda se presek simetrično armira sa armaturom u obe zone A a = 0.5 (A a1 + A a2 ) Ako je A a2 > 1.5A a1, presek ne može da se armira simetrično: armature se usvoji prema dobijenim vrednostima i provere se naponi u betoni i armaturi

117 pravougaonog oblika Ako se dobije da je zategnuta armatura A a1 vrlo mala, ili negativna (u slučaju kada je položaj N sile blizu granice malog ekscentriciteta), presek se armira sa minimalnom zategnutom armaturom Minimalni procenat armiranja zategnutom armaturom je µ min = 0.4% u odnosu na površinu betonskog preseka

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A Odsek za konstrukcije 25.01.2012. grupa A 1. 1.1 Za nosač prikazan na skici 1 odrediti dijagrame presečnih sila. Sopstvena težina je uključena u stalno opterećenje (g), a povremeno opterećenje (P1 i P2)

Διαβάστε περισσότερα

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca . Za zadati nosač odrediti: a) Statičke uticaje (, i T) a=.50 m b) Dimenzionisati nosač u kritičnom preseku i proveriti normalne, smičuće i uporedne napone F=00 k F=50 k q=30 k/m a a a a Kvalitet čelika:

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit ODSEK ZA KONSTRUKCIJE TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA. grupa A. p=60 kn/m. 7.

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit ODSEK ZA KONSTRUKCIJE TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA. grupa A. p=60 kn/m. 7. ODSEK ZA KONSTRUKCIJE 28.01.2015. grupa A g=50 kn/m p=60 kn/m 60 45 15 75 MB 35, RA 400/500 7.5 m 5 m 25 1.1 Odrediti potrebnu površinu armature u karakterističnim presecima (preseci na mestima maksimalnih

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 25.12.2012. grupa A 1. 1.1 Dimenzionisati prema momentima savijanja (Mu) karakteristične preseke nosača prikazanog na skici 1. Prilikom dimenzionisanja obezbediti graničnu

Διαβάστε περισσότερα

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI 3/7/013 CETRIČO PRITISUTI ELEMETI 1 Primeri primene 1 3/7/013 Oblici poprečnih presea 3 Specifičnosti pritisnutih elemenata ivijanje Konrola napona u poprečnom preseu nije dovoljan uslov a dimenionisanje;

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U MOSTRU GRĐEVINSKI FKULTET Kolegij: Osnove betonskih konstrukcija k. 013/014 god. 8. pismeni (dodatni) ispit - 10.10.014. god. Zadatak 1 Dimenzionirati i prikazati raspored usvojene armature

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka

Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka Metalne konstrukcije 1 P6-1 Osobenosti višedelnih štapova Poprečni presek se sastoji od više samostalnih elemenata koji su mestimično povezani;

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKTOVANJEI GRA ENJEBETONSKIH KONSTRUKCIJA

PROJEKTOVANJEI GRA ENJEBETONSKIH KONSTRUKCIJA GRA EVINSKI FAKULTET UBEOGRADU PROJEKTOVANJEI GRA ENJEBETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 12.06.2013. p=10 kn/m 2 p=8kn/m 2 p=10 kn/m 2 25 W=±60 kn 16 POS 1 80 60 25 25 POS 1 60 POS 3 60 POS 4 POS 2 POS 3 POS 4 POS

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa a. zadatak Sračuna i konstruisa montažni nastavak nosača izrađenog od vruce valjanog profila prema zadam presečnim silama:ved = 300 kn MEd = 1000 knm. Za nosač usvoji odgovarajući HEB valjani profil. Nastavak

Διαβάστε περισσότερα

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON Gredni nosač može biti spoljnim silama napregnut na razne načine, pa tako postoji aksijalno naprezanje, čisto savijanje, savijanje silama, torzija,

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1)

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) UNIVERZITET U NOVOM SADU 2012 03 FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 07. April 2012 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) Zadatak 1 (100%) - eliminatorni

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 BETONSKE KONSTRUKCIJE RAMOVSKE KONSTRUKCIJE Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović Semestar: V ESPB: Ramovske konstrukcije 1.1. Podela 1.2. Statički sistemi i statički proračun 1.3. Proračun

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

FUNDIRANJE (TEMELJENJE)

FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1/11/013 FUNDIRANJE 1 FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1. Projektovanje temelja se vrši prema graničnom stanju konstrukcije i tla ispod ojekta sa osvrtom na ekonomski faktor u pogledu utroška materijala, oima radova

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje Osnovne vrste napreanja: ksijalno napreanje Smicanje Uvijanje Savijanje Ivijanje 1 SVIJNJE GREDE SI Greda je opterećena na desnom kraju silom paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi).

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Određivanje statičke šeme glavnog nosača

Određivanje statičke šeme glavnog nosača 1 PRORAČUN GLAVNIH NOSAČA Određivanje statičke šeme glavnog nosača Konstrukcijska i statička šema za jednobrodnu halu Konstrukcijska i statička šema za dvobrodnu halu 3 Metode globalne analize materijalna

Διαβάστε περισσότερα

Sl. 3/1. Statički sistemi grednih nosača

Sl. 3/1. Statički sistemi grednih nosača 3. LINIJSKI ELEMENTI 3.1. GREDNI NOSAČI 3.1.1. KARAKTERISTIKE, PRIMENA I SISTEMI Grednim nosačima smatramo one linijske elemente koji su pretežno opterećeni na savijanje silama. Javljaju se sastavnim delom

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 Napomene: Pitanja služe kao priprema za izradu testova iz Otpornosti Materijala I, koji se polažu parcijalno i integralno. Testovi su koncipirani kao

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

METALNE KONSTRUKCIJE II

METALNE KONSTRUKCIJE II METALNE KONSTRUKCIJE II 1 Predmet br. teme Dodatne napomene objašnjenja uputstva NASLOV PODNASLOV PODNASLOV Osnovni sadržaj. Važniji pojmovi i sadržaji su štampani kao bold. Legenda dodatnih grafičkih

Διαβάστε περισσότερα

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak.

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. * Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials,, Cengage g Learning, Seventh Edition, 2009. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials,

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE ESPB: 6. Semestar: V. Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović

BETONSKE KONSTRUKCIJE ESPB: 6. Semestar: V. Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović 1 BETONSKE KONSTRUKCIJE Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović Semestar: V ESPB: 6 LITERATURA BETONSKE KONSTRUKCIJE Najdanović Dušan BETON I ARMIRANI BETON 87 1 Priručnik 2 Prilozi OSOBINE

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja Osnovni pojmovi Kruto telo Rastojanje ma koje tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

Totalni napon u tački preseka. Normalni i tangencijalni napon.

Totalni napon u tački preseka. Normalni i tangencijalni napon. Totalni napon u tački preseka. Normalni i tangencijalni napon. Zamislimo da je opterećeno elastično telo nekom proizvoljnom ravni presečeno na dva dela. Odbačeni desni deo tela, na posmatrani levi, na

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere PRIMER 1

V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere PRIMER 1 PRIMER 1 Simetrična okvirna konstrukcija temelja teške opreme sastoji se od armiranobetonske platforme - roštilja greda, zglobno oslonjene na četri ugaona konzolna stuba. Za uticaje gravitacionih opterećenja,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE

BETONSKE KONSTRUKCIJE Dušan Najdanović BETONSKE KONSTRUKCIJE Univerzitet u Beogradu - Građevinski fakultet Akademska misao Beograd, 2015. Dušan Najdanović BETONSKE KONSTRUKCIJE Recenzenti Dr Aleksandar Pakvor Dr Mirko Aćić

Διαβάστε περισσότερα

FUNDIRANJE. Temelj samac ekscentrično opterećen u prostoru 1/11/2013 TEMELJI SAMCI

FUNDIRANJE. Temelj samac ekscentrično opterećen u prostoru 1/11/2013 TEMELJI SAMCI 1/11/013 FUNDIRANJE TEEJI SACI 1. CENTRIČNO OPTEREĆEN TEEJ SAAC. EKSCENTRIČNO OPTEREĆEN TEEJ SAAC 1 Temelj samac ekscentrično oterećen rostor 1 1/11/013 Dimenzionisanje A temelja samca 3 Određivaje visine

Διαβάστε περισσότερα

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d Proračun štapova na zatezanje i pritisak Osnova za proračun je zadovojenje nejednačine, max d gde je max maksimum apsoutne vrednosti normanog napona štapa a d je dozvojeni normani napon Ovakva nejednakost

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

1 PRORAČUN PLOČE POS 1

1 PRORAČUN PLOČE POS 1 PLOČA OSLONJENA U JEDNOM PRAVCU P1/1 1 PRORAČUN PLOČE POS 1 Ploča dimenzija 6.0 7.m u osnovi oslonjena je na dve paralelne grede POS, koje su oslonjene na stubove POS S u uglovima ploče. Pored sopstvene

Διαβάστε περισσότερα

2. deo ZADACI. Hidrostatika

2. deo ZADACI. Hidrostatika 2. deo ZADACI 1 Hidrostatika Zadatak 1.1. Plovak, koji se sastoji od valjka (prečnika d V = 0.10 m i visine h V = 0.10 m) i cevčice (prečnika d C = 0.02 m i visine h C =1.00 m), nalazi se u vodi gustine

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina OTPORNOST MTERJL Geometrijske karakteristike ravnih površina GEOMETRJSKE KRKTERSTKE RVNH POVRŠN POVRŠN POPREČNOG PRESEK STTČK MOMENT POPREČNOG PRESEK MOMENT NERJE POPREČNOG PRESEK GEOMETRJSKE KRKTERSTKE

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Beogradu 20. januar Elektrotehnički fakultet

Univerzitet u Beogradu 20. januar Elektrotehnički fakultet Univerzitet u eograu. januar 1. Elektrotehnički fakultet EHNIK 1. Telekomunikacioni kabl je potrebno zategnuti između ve vertikalne konzole (stuba) koje su ubetonirane u sreišta krovova ve susene zgrae,

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA industrijsko inženjerstvo. Dimenzionisanje lakih vratila opterećenih na uvijanje. Sizing light shafts loaded in twist

OTPORNOST MATERIJALA industrijsko inženjerstvo. Dimenzionisanje lakih vratila opterećenih na uvijanje. Sizing light shafts loaded in twist OTPORNOST MATERIJALA industrijsko inženjerstvo decembar, 2012. Dimenzionisanje lakih vratila opterećenih na uvijanje Sizing light shafts loaded in twist Milan Georgiev, student Visoke tehničke škole strukovnih

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I ODRŽAVANJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA U VISOKOGRADNJI

SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I ODRŽAVANJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA U VISOKOGRADNJI GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Odsek za konstrukcije Katedra za materijale i konstrukcije (MIK) IV godina studija (28+14) VIII semester (2+1) SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I ODRŽAVANJE BETONSKIH

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON. ("Sl. list SFRJ", br. 11/87) I OPŠTE ODREDBE. Član 1

PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON. (Sl. list SFRJ, br. 11/87) I OPŠTE ODREDBE. Član 1 PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON ("Sl. list SFRJ", br. 11/87) I OPŠTE ODREDBE Član 1 Ovim pravilnikom propisuju se uslovi i zahtevi koji moraju biti ispunjeni pri projektovanju,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I BETONSKIH KONSTRUKCIJA U VISOKOGRADNJI

SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I BETONSKIH KONSTRUKCIJA U VISOKOGRADNJI GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Odsek za konstrukcije Katedra za materijale i konstrukcije (MIK) Master studije (28+28) I semester (2+2) Prof. dr Dušan Najdanović SANACIJE, REKONSTRUKCIJE

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br i email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα