A Classical Perspective on Non-Diffractive Disorder

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "A Classical Perspective on Non-Diffractive Disorder"

Transcript

1 A Classical Perspective on Non-Diffractive Disorder The Harvard community has made this article openly available. Please share how this access benefits you. Your story matters. Citation Accessed Citable Link Terms of Use Klales, Anna A Classical Perspective on Non-Diffractive Disorder. Doctoral dissertation, Harvard University, Graduate School of Arts & Sciences. July 29, :28:27 AM EDT This article was downloaded from Harvard University's DASH repository, and is made available under the terms and conditions applicable to Other Posted Material, as set forth at (Article begins on next page)

2

3

4

5 0

6 r 5 r 5

7

8

9 R = 10MΩ

10

11

12

13 1 itp2d

14 6B;m`2 RXR, M `` v Q7 2B;2Mbi i2b rbi? +QMb2+miBp2 2M2`;B2b BM i?2 MQBbBv [mbmib+ TQi2MiB HX h?2 T`272``2/ Q`Bi2Mi ibqmb Q7 i?2 bi i2b + M #2 b22m BM i?bb `` vx k

15 Q

16 0, t

17 h (t)i t M δp t = M δp 0. δx t δx 0 ψ G (x, t) =exp{(i/ )[(x x t ) A t (x x t )+p t (x x t )+γ t ]}

18 fully resolved third recurrence second recurrence first recurrence f A t = 1 2 δp t (δx t ) 1 γ t = φ t i [ln δx t (δx 0 ) 1 ] φ t = p t dx t Et φ t t =0 ψ G (0) ψ G (t)

19 exp{ nτλ/2} λ M n n ϵ T (ω) = 1 2 π T T exp{iωt} ψ G ψ G (t) dt. λ

20 λ/ω. ω/λ 1 t

21 r r 5 r 5

22 φ =0 r 0 r 5 ψ r,m (ρ, φ) =R r,m (ρ)e imφ ψ r,m ψ r, m ψ r,m = R(r)e imφ ψ r, m = R(r)e imφ. V r,±m = ψ r,m V ψ r,m ψ r,m V ψ r, m. ψ r, m V ψ r,m ψ r, m V ψ r, m ψ + ψ 2 2 ψ + V ψ =0 ψ + cos φ ψ sin φ

23 ψ + = 1 2 (ψ r,m + ψ r, m ) ψ = 1 2 (ψ r,m ψ r, m ). ψ + cos φ ψ sin φ φ =0

24

25

26

27 , r 5

28

29 E :5 resonant set 3:7 resonant set r r m E ω. r 5

30

31 H = H 0 + λv H 0 = 2 2µ 2 + r 5 a ψ m V ψ m+a = = e imφ Ve i(m+a)φ dφ e iaφ Vdφ. V a

32 j i i ψ i V ψ j

33 W = ψi 0 V ψ 0 j. ψ 0 i V φ i. W φ 1 = ϵ 1 φ 1 W φ 2 = ϵ 2 φ 2 W φ n = ϵ n φ n. ϵ 1 > ϵ 2 >... > ϵ n ψ = i a i φ i i a i 2 =1.

34 ψ W ψ = i = i = i = i φ j a i a jw φ i j a i a j φ j W φ i j a i a j φ j ϵ i φ i j a i a jϵ i φ j φ i j i = j ψ W ψ = i a i 2 ϵ i. φ i ψ W ψ ψ φ ϵ φ i V,

35 itp2d 1:π,

36 state 3673 state 3678 state state state state state state state state state state B;m`2 RXN, ai i2b + H+mH i2/ pb /2;2M2` i2 T2`im`# ibqm i?2q`v QM bk HH bm#b2i Q7 bi i2b rbi?bm `2bQM Mi b2ix k9

37 state 3673 state 3678 state state state state state state state state state state B;m`2 RXRy, ai i2b + H+mH i2/ U HKQbiV 2t +ihv pb /B ;QM HBx ibqm QM p2`v H `;2 bm#b2i Q7 # bbb bi i2bx k8

38 y x x x V

39 itp2d itp2d

40

41

42

43 2

44 dp/dx

45 p / x

46 y p x x x

47

48

49 p n+1 = p n dv n(x) dx x n+1 = x n + p n+1 p x V n (x) x

50 V n (x) =0, V n (x)v n (x )=v 2 0e x x 2 /ξ 2. t c v 2/3 0

51 transverse position longitudinal position log( ) transverse position longitudinal position log( )

52 p x p x p x a p x p a x 2 V a x 2 a ( p x 1+ p ) 1 p a x a x. a 1 ( 1, 0]

53

54 1 0 δs = δp 2 + δx 2 = δp ( p 1+( x p) 2 = 2 δx 1+ x) δp δx p x p δs > x 0 q 1+2 p x +2 p S drift = q x 1+ p x 2 q 2 q 2 < p x < 0

55 S kick = 1+ p x + 2 V n 2 q dx 2 p 2 q x 1+ p x 2 q 2 V n q dx 2 q. αp = p βx = x p x = α β p 0 < x < 2 α β α = β =1

56 r(t) = log M(x 0,x t ) d(x 0 ) d(x 0 ) x 0 M(x 0,x t ) x 0 x t

57 p x log( ) v 0 = 10 6 ξ =0.1 x =0 x =1 λ c λ c v 0 λ c v 2/3 o p(x) =0

58 v 0 =2 20 v 0 =2 18 v 0 =2 16 v 0 =2 14 v 0 =2 12 r t/t c v 0 t c v 0 =2 10 v 0 =2 12 v 0 =2 14 v 0 =2 16 v 0 =2 18 v 0 = c λ c v 0

59 p n+1 = p n dv n(x) dx x n+1 = x n + p n+1 p x

60 V n (x)v n (x )=v 2 0e x x 2 /ξ 2 x v 0 ξ 2 c 0 v 0 ξ 2 m = mv m 2 V 1+m V m p x V 2 V x 2 m c V c 0 V m c = c 0 c c 0 2 c 0 m c = c 1/2 0. V m

61 V,m<<1 m =(mv m 2 V )(1 m + V ) m<<m c m 2 << V m = V mm c m 2 V m = m 2 V m>>m c m 2 >> V m = m 2 m c m n (n n 0 ) 1 n 0

62 L n+1 L n = 2 = 2 (( V 1 2 dx dp) dx2 dx 2 + dp 2 ( = 2 ( V dx ) dp dx dp 2 dx V 1 2 dp dx 1+ dp 2 dx ) ) 1 2 r = r n+1 r n =ln(l n+1 /dx 0 ) ln(l n /dx 0 ) = ln(l n+1 /L n ) r = ln ( 2 = 1 2 ln V 1 2 dp dx ( 2 1+ dp 2 dx V 1 2 dp dx 1+ dp 2 dx ) )

63 dp dx = m ( r = 1 ( 2 V 2 ln 1 2 m) ) m 2 ln(x) x 1 ( r 1 ( 2 V 1 2 m) ) m 2 1 ( 1 ( 2 V 1 2 m) ) m2 2 1+m 2 ( ( 2 V V mv 1 2 V m mv m + m m2) ) m 2 ( V V mv 1 2 V m mv m + m ) 1 2 m2 1+m 2 ( ) V 2 V + m 2mV m2 1+m 2 (1 + m 2 ) 1 1 m 2 r V 2 V + m 2mV m2 r m V

64 m m 1 t t c t c r ln(t t c ) r = m +ṁ m<<m crit α = (x dx 1,p dp) β = (x, p) γ = ((x + dx 2,p+ dp)) α = (x + p dx 1 dp V 1,p dp V 1) β = (x + p V,p V ) γ = (x + p + dp + dx 2,p+ dp V 2)

65 p (x + dx 2,p+ dp) (x dx 1,p dp) (x, p) x p (x + p dx 1 dp V1 0,p dp V 0 1 ) x (x + p + dp + dx 2,p+ dp V 0 2 ) (x + p V 0,p V 0 )

66 m 2 = dp dx 2 m = dp dx 1 c = dp dx 2 dp dx 1 dx 2 = m 2 m dx 2. c = m 2 m dx 2 c = ( ) ( ) dp V 2 +V dp+v dp+dx 2 V 2 +V 1 V dx 1 +dp+v 1 V dp + dx 2 V 2 + V = 1 dx 2 m 2 V 2 m 2 +1 V 2 m V 1+m V m 2 +1 V 2 c c = 1 dx 2 = 1 dx 2 ( ( ) ( ) m2 V 2 m 2 m V +1 V 2 1+m V m 2 +1 V 2 (m 2 m) m 2 m V 2 + V (m 2 +1 V 2 )2 (1 + m V ) m 2 + m ) c c 1 ( (m2 m V 2 + V )( 2m V 2 )(1 m + V ) dx 2 m 2 + m )

67 dx 2 (c c) V V 2 +4m 2 V 2 2m 2 2 mv 2 + mm 2 2V V 2 V V m 2 2mV + m 2 + V 2 t t =6

68 d periodic potential Intensity 5.0 y y time time B;m`2 kxrk, S2`BQ/B+ #` M+?2/ ~Qr Q7 K MB7QH/ Q7 +H bbb+ H i` D2+iQ`B2b 8e

69 6B;m`2 kxrj, S2`BQ/B+ #` M+?2/ ~Qr Q7 [m MimK K2+? MB+ H TH M2 r p2 7Q` p `B2iv Q7 `2T2 i H2M;i?bX 8d

70 6B;m`2 kxr9, +QKT `BbQM Q7 i?2 /2MbBiv Q7 +H bbb+ H i` D2+iQ`B2b UH27i T M2HV rbi? r p2t +F2i H mm+?2/ BM i?2 b K2 TQi2MiB H M/ KmHiBTHB2/ #v e ie0 t/! iq ;2i i?2 `2bmHiBM; [m MimK bi i2 rbi? 2M2`;v E0 U`B;?i T M2HVX h?2 v2hhqr ``Qr BM/B+ i2b #` M+? 2pB/2Mi BM i?2 +H bbb+ H /2MbBiv i? i Bb #b2mi BM i?2 +Q``2bTQM/BM; [m MimK bi i2x "Qi? T M2Hb b?qrm 7mHH irq@/bk2mbbqm H 2pQHmiBQM 83

71 e ie0t/ E 0 E 0. 0.

72 3

73 V I R R = 10MΩ V

74 R T = V I.

75 n m = πn/v F

76 Ω n 0 n (r) n n(r) =n 0 + n (r)+n (r). L = 1 2 m(r)ṙ2 L d L =0 q i dt q i [ ] 1 2 m(r)ṙq2 t + r (m(r)ṙq) = m(r)ṙ2 = m(r) r + ṙ (ṙ m(r))

77 m(r) = π v F n(r) r = [ ṙ2 1 ) (ˆṙ m(r) 2 m(r) m(r) ˆṙ]. r B = eṙb z /m(r) r = [ ṙ2 1 ) (ˆṙ m(r) 2 m(r) m(r) ˆṙ] + eṙb z /m(r).

78 ] [ 2 + ω2 c 2 n2 (r) ψ =0. ψ = e iωs(r)/c S(r) S S = n 2 (r). n(r) dr ds = S [ d n(r) dr ] ds ds = n(r). d/ds = ˆk dr/ds = ˆk ] [ˆk n(r) ˆk + n(r) [ˆk ˆk] = n(r). ˆk = n(r)v/c F 2n(r) 2 [v n(r)] v + n(r)[v v] =c 2 F n(r)

79 2 1 y x x x x x d dt = t + v v dv dt =(v )v d 2 r dt 2 = c2 F ( ) n(r) n(r) 3 2 ( v n(r) n(r) ) v. m(r) n(r).

80 1 1 y x n 3

81 2.0 B = 0.05 T B = 0.06 T B = 0.07 T 1.0 y(µm) B = 0.08 T B = 0.09 T B = 0.10 T 1.0 y(µm) x(µm) x(µm) x(µm)

82 2.0 B = 0.05 T B = 0.06 T B = 0.07 T 1.0 y(µm) B = 0.08 T B = 0.09 T B = 0.10 T 1.0 y(µm) B = 0.11 T B = 0.12 T B = 0.13 T 1.0 y(µm) x(µm) x(µm) x(µm)

83 2.0 B = 0.05 T B = 0.06 T B = 0.07 T 1.0 y(µm) B = 0.08 T B = 0.09 T B = 0.10 T 1.0 y(µm) B = 0.11 T B = 0.12 T B = 0.13 T 1.0 y(µm) x(µm) x(µm) x(µm)

84 n 3 n 0 R = n 3 n 0 N N n tot = N i e l i/l l i i σ(ρ) = qa 2π (ρ 2 + a 2 ) 3/2 q a ρ 2ρ =2a 2 2/3 1 σ = q 2πa 2

85

86 y(µm) x(µm) B =0.12T n =

87

88 y(µm) y(µm) B = 0.00 T B = 0.06 T B = 0.07 T B = 0.08 T B = 0.09 T B = 0.10 T B = 0.11 T B = 0.12 T B = 0.13 T T/T y(µm) x(µm) x(µm) x(µm)

89 1.0 B = 0.00 T B = 0.06 T B = 0.07 T y(µm) y(µm) B = 0.08 T B = 0.09 T B = 0.10 T B = 0.11 T B = 0.12 T B = 0.13 T T/T y(µm) x(µm) x(µm) x(µm)

90 2.0 B = 0.05 T B = 0.06 T B = 0.07 T 1.0 y(µm) B = 0.08 T B = 0.09 T B = 0.10 T 1.0 y(µm) B = 0.11 T B = 0.12 T B = 0.13 T 1.0 y(µm) x(µm) x(µm) x(µm) x =1µ y =0

91 B =0.10T,

92 2.0 B = 0.05 T B = 0.06 T B = 0.07 T 1.0 y(µm) B = 0.08 T B = 0.09 T B = 0.10 T 1.0 y(µm) B = 0.11 T B = 0.12 T B = 0.13 T 1.0 y(µm) x(µm) x(µm) x(µm)

93

94 x

95

96 4

97

98 Ψ β (q, t) = dq G (q, q,t)ψ β (q, 0), G (q, q,t)= 1 2πi 2 S(q, q ) q q 1/2 [ ] exp is (q, q,t). S(q, q ) q 0 q t

99 ( ) ( ) S S S (q, q ) = S(q t,q 0 )+ (q q t )+ (q q 0 ) q t q 0 q 0 q t + 1 ( 2 ) S 2 qt 2 (q q t ) ( 2 ) S q 0 2 q0 2 (q q 0 ) 2 q t ( 2 ) S + (q q 0 )(q q t ) q 0 q t + 1 ( 3 ) S 6 q0 3 (q q 0 ) ( 3 ) S q t 6 qt 3 (q q t ) 3 q ( 3 ) S 2 q0 2 q (q q t )(q q 0 ) ( 3 ) S t 2 q 0 qt 2 (q q t ) 2 (q q 0 ). Ψ β (q, t) = 1 N 2πi ( 3 ) S + q 0 qt 2 dq 2 ( S 3 S + q 0 q t q0 2 q t 1/2 (q q t ) exp { i [ Ξq 3 +Υq 2 +Ωq +Λ ]} ) (q q 0 )

100 Ξ = 1 ( 3 ) S 6 q0 3, q [ t ( Υ = 1 2 ) ( S 3 ) ( S 3 ) ( S 3 ) ] S 2 q0 2 + q t q0 2 q q t q0 3 q 0 q t q0 2 q q t + A, t ( ) ( S 2 ) ( S 2 ) ( S 3 ) S Ω = + (q q t ) q 0 q t q 0 q t q0 2 q 0 + q t q0 2 q (q 0 q t qq 0 ) t + 1 ( 3 ) ( S 2 q0 3 q0 2 3 )( S 1 + q t q 0 qt 2 2 q2 t + 1 ) 2 q2 qq t 2Aq β + ξ, ( ) S Λ = q + 1 ( 2 ) S q t q 0 2 qt 2 q ( 3 ) ( ) S S q 0 6 qt 3 q 3 q 0 q 0 q 0 q t ( 2 ) S qq 0 1 ( 3 ) S q 0 q t 2 q 0 qt 2 q 2 q ( 2 ) S 2 q0 2 q0 2 q t + 1 ( 3 ) S 2 q0 2 q qq0 2 t 1 ( 3 ) ( ) ( S S 6 q0 3 q0 3 2 ) S q t q t q t q 0 qt 2 qq t 1 ( 3 ) S q 0 2 qt 3 q 2 q t q 0 ( 2 ) ( S 3 ) S + q 0 q t + q 0 q t q 0 qt 2 qq 0 q t 1 ( 3 ) S 2 q0 2 q q0q 2 t t ( 2 ) S qt 2 qt 2 q ( 3 ) S 2 qt 3 qqt 2 1 ( 3 S 2 q 0 qt 2 +Aq 2 β + S + γ ξq β. ) q 0 q 2 t 1 6 ( 3 ) S q 3 t q 0 q 3 t

101 φ Ψ 1 β (q, t) =N 2πi i dq A(q, t)exp{iφ} : φ = Ξq 3 +Υq 2 +Ωq +Λ ( = Ξ q 3 + Υ Ξ q 2 + Ω Ξ q + Λ ) Υ [ ( = Ξ q + 1 ) 3 Υ 1 3 Ξ 3 [( = Ξ q + 1 ) ( 3 Υ Ω + 3 Ξ Ξ Υ 3 Ξ ( Ω Ξ 1 3 ( Υ Ξ ( ) 2 Υ q 1 Ξ 27 ) 2 ) ( Υ Ξ 1 27 ( ) 3 Υ + Ω Ξ Ξ q + Λ Ξ ) ) 2 ( q + 1 ) Υ 3 Ξ ( ) 3 Υ + Λ ]. Ξ Ξ ] t = ( q + 1 ) Υ 3 Ξ = φ =Ξt 3 +Ξ ( Ω Ξ 1 3 ( ) ) ( Υ 2 t 13 Ξ Υ Ω Ξ 1 3 ( ) ) Υ 2 1 Υ 3 Ξ 27 Ξ 2 +Λ. Ψ β (q, t) = N 1 2πi i exp { i [ Ξq 3 +Υq 2 +Ωq +Λ ]} = N 1 2πi exp { i [ i + 1 Υ 3 Ξ [ dq 2 ( S 3 ) ( S + q 0 q t q0 2 q (q 3 ) ] 1/2 S q 0 )+ t q 0 qt 2 (q q t ) + 1 Υ 3 Ξ Ξt 3 +Ξ ( [ 2 ( S 3 S dt + q 0 q t q0 2 q t Ω Ξ 1 3 ( Υ Ξ ) 2 ) t 13 Υ ( Ω Ξ 1 3 ) ( (q 3 S q 0 )+ q 0 qt 2 ( Υ Ξ ) 2 ) ) ] 1/2 (q q t ) 1 Υ 3 27 Ξ 2 +Λ ]}.

102 q q 0 Ψ β (q, t) = N Υ 3 Ξ 2πi [ 2 S + q 0 q t { [ exp i + 1 Υ 3 Ξ t ( 3 S Ξt 3 +Ξ = N Υ 3 Ξ 2πi [ 2 S + q 0 q t { [ exp i q 0 q 2 t + 1 Υ 3 Ξ ( 1) n (2n)! (1 2n)(n!) 2 (4 n ) ) ] 1 2 n ( 3 S (q q t ) n=0 ( Ω Ξ 1 3 t ( 3 S Ξt 3 +Ξ = N Υ 3 Ξ 2πi [ 2 S + q 0 q t n n m { [ m=0 exp i q 0 q 2 t + 1 Υ 3 Ξ n=0 ( Υ Ξ ) n (q q 0 ) n q0 2 q t ) ) ( 2 t 13 Υ Ω Ξ 1 3 ( 1) n (2n)! (1 2n)(n!) 2 (4 n ) ) ] 1 2 n ( 3 S (q q t ) ( Ω Ξ 1 3 t ( 3 S n=0 ( Υ Ξ ) n ( t 1 Υ 3 q0 2 q t ) ) ( 2 t 13 Υ Ω Ξ 1 3 ( 1) n (2n)! (1 2n)(n!) 2 (4 n ) ) ] 1 2 n ( 3 S (q q t ) q0 2 q t q 0 qt 2 ( 1 ) Υ n m 3 Ξ q 0 t m Ξt 3 +Ξ ( Ω Ξ 1 3 ) n ( ) ) ( Υ 2 t 13 Ξ Υ Ω Ξ 1 3 ( ) ) ]} Υ 2 1 Υ 3 Ξ 27 Ξ 2 +Λ ( Υ Ξ Ξ q 0 ) ) 2 ) n 1 Υ 3 27 Ξ 2 +Λ ]} ( ) ) ]} Υ 2 1 Υ 3 Ξ 27 Ξ 2 +Λ

103 { [ ( = N 1 1 exp i 2πi 3 Υ Ω Ξ 1 3 ( 1) n (2n)! (1 2n)(n!) 2 (4 n ) n=0 n n m=0 m { [ 1 6 ( 1)m (iξ) m 3 1 ( ( 1 ) Υ n m 3 Ξ q 0 ( ) ) Υ 2 Ξ [ 2 ( S 3 S + q 0 q t q 0 qt Υ 3 27 Ξ 2 Λ ) (q q t ) ]} ] 1 2 n ( 3 S q 2 0 q t ( ) ( m +1 m 2(iΞ) 2/3 Γ 1F ; 1 3, 2 3 ; Z 3 ) 27(iΞ) + Z 2 3 ( ) ( m +2 m (iξ)γ 1F ; 2 3, 4 3 ; Z 3 ) 27(iΞ) ( m ) ( m + ZΓ F ; 4 3, 5 3 ; Z 3 ) )] 27(iΞ) + 1 ( ) ( 6 ( (iξ)) m m +1 m 3 [2( (iξ)) 1 2/3 Γ 1F ; 1 3, 2 3 ; Z 3 ) 27(iΞ) ( ( m ) ( m + Z ZΓ F ; 4 3, 5 3 ; Z 3 ) 27(iΞ) 2 3 ( ) ( m +2 m (iξ)γ 1F ; 2 3, 4 3 ; Z 3 ) )]}. 27(iΞ) ) n Z = Ξ ( Ω Ξ 1 3 ( ) ) Υ 2, Ξ

104 x n e αx3 e px dx = 0 x n e αx3 e px dx + 0 ( x) n e α( x)3 e p( x) dx [ = L x x n e αx3] (p)+l x [( x) n e α( x)3] ( p) = 1 ( ) ( 6 ( 1)n α n n +1 n 3 {2α 1 2/3 Γ 1F ; 1 3, 2 3 ; p 3 ) 27α [ ( ) ( +p 2 3 n +2 n αγ 1F ; 2 3, 4 3 ; p 3 ) 27α ( n ) ( n +pγ F ; 4 3, 5 3 ; p 3 ) ]} 27α + 1 ( ) ( 6 ( α) n n +1 n 3 {2( α) 1 2/3 Γ 1F ; 1 3, 2 3 ; p 3 ) 27α [ ( n ) ( n +p pγ F ; 4 3, 5 3 ; p 3 ) 27α 2 3 ( ) ( n +2 n αγ 1F ; 2 3, 4 3 ; p 3 ) ]}. 27α M(t) = p t p 0 q0 q t p 0 q0 p t q 0 p0 q t q 0 p0.

105 Ṁ(t) =K(t) M(t) K(t) = 2 H q p 2 H p 2 2 H q 2 2 H p q. H = p2 2m + V (q) K(t) = 0 2 V (q) q 2 1 m 0. 2 S = 1, q 0 q t M 21 2 S = M 22, q 0 q 0 M 21 2 S = M 11, q t q t M 21 M(0) = I 2 2 Γ(t) = K(t) (p, q) ijk M(t) kl M(t) jm + K(t) ij Γ(t) jlm,

106 Γ(t) 2N 2N 2N M (p 0,q 0 ) K(t) p = 3 H q p 2 3 H p 3 3 H q 2 p 3 H q p 2, K(t) q = 3 H q 2 p 3 H p 2 q 3 H q 3 3 H q 2 p. H = p2 2m + V (q) K(t) p =0 I 2 2, K(t) q = 0 3 V (q) q S q0 3 3 S q0 2 q t 3 S q 0 qt 2 = = = = 3 S q t q t q t = 1 M 21 1 (M 21 ) 2 1 M 21 Γ 211 ( Γ 222 M 22 ) Γ 221 M ( 22 M 21 (M 21 ) 2 Γ 212 M ) 22 Γ 211, M 21 ) Γ 211, M 21 ) M ( 11 (M 21 ) 2 Γ 212 M ) 22 Γ 211, M 21 ( Γ 212 M 22 ( Γ 112 M 22 M 21 Γ 111 (M 21 ) 3, ( 1 Γ 111 M ) 11 Γ 211. M 21 M 2 21 Γ(0) = 0 I 2 2 2

107 p q

108

109

110

111

112

Defects in Hard-Sphere Colloidal Crystals

Defects in Hard-Sphere Colloidal Crystals Defects in Hard-Sphere Colloidal Crystals The Harvard community has made this article openly available. Please share how this access benefits you. Your story matters. Citation Accessed Citable Link Terms

Διαβάστε περισσότερα

Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions

Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions The Harvard community has made this article openly available. Please share how this access benefits you. Your story matters Citation Chen,

Διαβάστε περισσότερα

Diamond platforms for nanoscale photonics and metrology

Diamond platforms for nanoscale photonics and metrology Diamond platforms for nanoscale photonics and metrology The Harvard community has made this article openly available. Please share how this access benefits you. Your story matters. Citation Accessed Citable

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.

2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6. Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω

Διαβάστε περισσότερα

Lifting Entry (continued)

Lifting Entry (continued) ifting Entry (continued) Basic planar dynamics of motion, again Yet another equilibrium glide Hypersonic phugoid motion Planar state equations MARYAN 1 01 avid. Akin - All rights reserved http://spacecraft.ssl.umd.edu

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf

Διαβάστε περισσότερα

2013/2012. m' Z (C) : V= (E): (C) :3,24 m/s. (A) : T= (1-z).g. (D) :4,54 m/s

2013/2012. m' Z (C) : V= (E): (C) :3,24 m/s. (A) : T= (1-z).g. (D) :4,54 m/s ( ) 03/0 - o l P z o M l =.P S. ( ) m' Z l=m m=kg m =,5Kg g=0/kg : : : : Q. (A) : V= (B) : V= () : V= (D) : V= (): : V :Q. (A) :4m/s (B) :0,4 m/s () :5m/s (D) :0,5m/s (): : M T : Q.3 (A) : T=(-z).g (B)

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

L. F avart. CLAS12 Workshop Genova th of Feb CLAS12 workshop Feb L.Favart p.1/28

L. F avart. CLAS12 Workshop Genova th of Feb CLAS12 workshop Feb L.Favart p.1/28 L. F avart I.I.H.E. Université Libre de Bruxelles H Collaboration HERA at DESY CLAS Workshop Genova - 4-8 th of Feb. 9 CLAS workshop Feb. 9 - L.Favart p./8 e p Integrated luminosity 96- + 3-7 (high energy)

Διαβάστε περισσότερα

P AND P. P : actual probability. P : risk neutral probability. Realtionship: mutual absolute continuity P P. For example:

P AND P. P : actual probability. P : risk neutral probability. Realtionship: mutual absolute continuity P P. For example: (B t, S (t) t P AND P,..., S (p) t ): securities P : actual probability P : risk neutral probability Realtionship: mutual absolute continuity P P For example: P : ds t = µ t S t dt + σ t S t dw t P : ds

Διαβάστε περισσότερα

T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ

T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α g r i l l b a r t a s o s Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 1 : 0 π μ Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ T ortiyas Σ ο υ

Διαβάστε περισσότερα

4. Zapiši Eulerjeve dinamične enačbe za prosto osnosimetrično vrtavko. ω 2

4. Zapiši Eulerjeve dinamične enačbe za prosto osnosimetrično vrtavko. ω 2 Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 1/12 Newtonovamehanika 1. Določiravninogibanjatočkevpoljucentralnesile. Ravninagibanjagreskozicentersileinimanormalovsmerivrtilne količine 2. Zapišiperiodogibanjapremočrtnegagibanjapodvplivompotenciala

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 200 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 3 θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

Lifting Entry 2. Basic planar dynamics of motion, again Yet another equilibrium glide Hypersonic phugoid motion MARYLAND U N I V E R S I T Y O F

Lifting Entry 2. Basic planar dynamics of motion, again Yet another equilibrium glide Hypersonic phugoid motion MARYLAND U N I V E R S I T Y O F ifting Entry Basic planar dynamics of motion, again Yet another equilibrium glide Hypersonic phugoid motion MARYAN 1 010 avid. Akin - All rights reserved http://spacecraft.ssl.umd.edu ifting Atmospheric

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,

Διαβάστε περισσότερα

Development and Verification of Multi-Level Sub- Meshing Techniques of PEEC to Model High- Speed Power and Ground Plane-Pairs of PFBS

Development and Verification of Multi-Level Sub- Meshing Techniques of PEEC to Model High- Speed Power and Ground Plane-Pairs of PFBS Rose-Hulman Institute of Technology Rose-Hulman Scholar Graduate Theses - Electrical and Computer Engineering Graduate Theses Spring 5-2015 Development and Verification of Multi-Level Sub- Meshing Techniques

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P (2012/02) &' (

ITU-R P (2012/02) &' ( ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS

Διαβάστε περισσότερα

f H f H ψ n( x) α = 0.01 n( x) α = 1 n( x) α = 3 n( x) α = 10 n( x) α = 30 ū i ( x) α = 1 ū i ( x) α = 3 ū i ( x) α = 10 ū i ( x) α = 30 δū ij ( x) α = 1 δū ij ( x) α = 3 δū ij ( x) α = 10 δū ij ( x)

Διαβάστε περισσότερα

Geodesic Equations for the Wormhole Metric

Geodesic Equations for the Wormhole Metric Geodesic Equations for the Wormhole Metric Dr R Herman Physics & Physical Oceanography, UNCW February 14, 2018 The Wormhole Metric Morris and Thorne wormhole metric: [M S Morris, K S Thorne, Wormholes

Διαβάστε περισσότερα

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max

Διαβάστε περισσότερα

φ(t) TE 0 φ(z) φ(z) φ(z) φ(z) η(λ) G(z,λ) λ φ(z) η(λ) η(λ) = t CIGS 0 G(z,λ)φ(z)dz t CIGS η(λ) φ(z) 0 z

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. q e = C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1. Ηλεκτρικό Πεδίο 2.1. Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού Φορτίου Q Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. q e = C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1. Ηλεκτρικό Πεδίο 2.1. Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού Φορτίου Q Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ q e = 1.6 10 19 C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1 F = k Q 1 Q 2 r 2 = 9 10 9 Q 1 Q 2 r 2 Νόμος Coulomb 1.2 E = F q E = k Q r 2 E = k Q r 2 e r E = 2kλ ρ E = 2kλ ρ e ρ ε 0 = 1/4πk = 8.85 10 12 S. I. Ε

Διαβάστε περισσότερα

Jeux d inondation dans les graphes

Jeux d inondation dans les graphes Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488

Διαβάστε περισσότερα

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor eor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 6, stor. 93 5 Abstract. e article is devoted to models of financial markets wit stocastic volatility, wic is defined by a functional of Ornstein-Ulenbeck process

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P ITU-R P (ITU-R 204/3 ( )

ITU-R P ITU-R P (ITU-R 204/3 ( ) 1 ITU-R P.530-1 ITU-R P.530-1 (ITU-R 04/3 ) (007-005-001-1999-1997-1995-1994-199-1990-1986-198-1978)... ( ( ( 1 1. 1 : - - ) - ( 1 ITU-R P.530-1..... 6.3. :. ITU-R P.45 -. ITU-R P.619 -. ) (ITU-R P.55

Διαβάστε περισσότερα

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z

Διαβάστε περισσότερα

Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation.

Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation. MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 6.03/ESD.03J Electromagnetics and Applications, Fall 005 Please use the following citation format: Markus Zahn, 6.03/ESD.03J Electromagnetics and Applications, Fall

Διαβάστε περισσότερα

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio

Διαβάστε περισσότερα

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD

CHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD CHAPTER FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD EXERCISE 36 Page 66. Determine the Fourier series for the periodic function: f(x), when x +, when x which is periodic outside this rge of period.

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

Leaving Certificate Applied Maths Higher Level Answers

Leaving Certificate Applied Maths Higher Level Answers 0 Leavin Certificate Applied Maths Hiher Level Answers ) (a) (b) (i) r (ii) d (iii) m ) (a) 0 m s - 9 N of E ) (b) (i) km h - 0 S of E (ii) (iii) 90 km ) (a) (i) 0 6 (ii) h 0h s s ) (a) (i) 8 m N (ii)

Διαβάστε περισσότερα

Aquinas College. Edexcel Mathematical formulae and statistics tables DO NOT WRITE ON THIS BOOKLET

Aquinas College. Edexcel Mathematical formulae and statistics tables DO NOT WRITE ON THIS BOOKLET Aquinas College Edexcel Mathematical formulae and statistics tables DO NOT WRITE ON THIS BOOKLET Pearson Edexcel Level 3 Advanced Subsidiary and Advanced GCE in Mathematics and Further Mathematics Mathematical

Διαβάστε περισσότερα

Durbin-Levinson recursive method

Durbin-Levinson recursive method Durbin-Levinson recursive method A recursive method for computing ϕ n is useful because it avoids inverting large matrices; when new data are acquired, one can update predictions, instead of starting again

Διαβάστε περισσότερα

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων

3.1. Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 3.1 3.1. Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων 1. Έστω φορτίο Q περιέχει n ηλεκτρόνια - θα έχουμε Q = n-q e, επομέ- Q νως n =, αρα: (α) n = 0,625 10 19 e (β) n = 0,625 10 16 e (γ) n = 0,625

Διαβάστε περισσότερα

Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves

Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves Philippe Helluy, Thomas Strub To cite this version: Philippe Helluy, Thomas Strub. Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves. ESAIM:

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER (2) Electric Charges, Electric Charge Densities and Electric Field Intensity

CHAPTER (2) Electric Charges, Electric Charge Densities and Electric Field Intensity CHAPTE () Electric Chrges, Electric Chrge Densities nd Electric Field Intensity Chrge Configurtion ) Point Chrge: The concept of the point chrge is used when the dimensions of n electric chrge distriution

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

Solutions - Chapter 4

Solutions - Chapter 4 Solutions - Chapter Kevin S. Huang Problem.1 Unitary: Ût = 1 ī hĥt Û tût = 1 Neglect t term: 1 + hĥ ī t 1 īhĥt = 1 + hĥ ī t ī hĥt = 1 Ĥ = Ĥ Problem. Ût = lim 1 ī ] n hĥ1t 1 ī ] hĥt... 1 ī ] hĥnt 1 ī ]

Διαβάστε περισσότερα

the total number of electrons passing through the lamp.

the total number of electrons passing through the lamp. 1. A 12 V 36 W lamp is lit to normal brightness using a 12 V car battery of negligible internal resistance. The lamp is switched on for one hour (3600 s). For the time of 1 hour, calculate (i) the energy

Διαβάστε περισσότερα

apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a

apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJAL hp_a*a n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α

Διαβάστε περισσότερα

692.66:

692.66: 1 69.66:6-83 05.05.05 -,, 015 .. 7... 8 1.... 19 1.1.,.. 19 1.. 8 1.3.. 1.4... 1.4.1.... 33 36 40 1.4.. 44 1.4.3. -... 48.. 53.,.. 56.1., -....... 56..... 6.3.... 71.. 76 3.,.... 77 3 3.1.... 77 3.1.1....

Διαβάστε περισσότερα

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2 Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 )

Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 ) Περιεχόμενα A(x 1, x 2 7 Ολοκληρώματα της Μαγνητοϋδροδυναμικής και Μαγνητοϋδροδυναμικά Κύματα Σχήμα 7.1: Οι τριδιάστατες ελικοειδείς μαγνητικές γραμμές στις οποίες εφάπτεται το διάνυσμα του μαγνητικού

Διαβάστε περισσότερα

Q1a. HeavisideTheta x. Plot f, x, Pi, Pi. Simplify, n Integers

Q1a. HeavisideTheta x. Plot f, x, Pi, Pi. Simplify, n Integers 2 M2 Fourier Series answers in Mathematica Note the function HeavisideTheta is for x>0 and 0 for x

Διαβάστε περισσότερα

!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!

!! #!!!$ #$! %!&' & (%!' #!% # *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2! # $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

μ μ dω I ν S da cos θ da λ λ Γ α/β MJ Capítulo 1 % βpic ɛ Eridani V ega β P ic F ormalhaut 10 9 15% 70 Virgem 47 Ursa Maior Debris Disk Debris Disk μ 90% L ac = GM M ac R L ac R M M ac L J T

Διαβάστε περισσότερα

encouraged to use the Version of Record that, when published, will replace this version. The most /BCJ BIOCHEMICAL JOURNAL

encouraged to use the Version of Record that, when published, will replace this version. The most /BCJ BIOCHEMICAL JOURNAL Biochemical Journal: this is an Accepted Manuscript, not the final Version of Record. You are encouraged to use the Version of Record that, when published, will replace this version. The most up-to-date

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1 Χειμερινό εξάμηνο 16-17 Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων ) ψ(x) dx Άσκηση 1 ψ ο (x) = Α (α x ), < x < = A (α x ) dx = 1 (α x ) dx = (α 4 x + x 4 )dx = α 4 dx x dx = 5 45 3 A ( 5 45 + 5 3 5 + x 4 dx + 5

Διαβάστε περισσότερα

SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM

SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr T t N n) Pr max X 1,..., X N ) t N n) Pr max

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΣΚΕ ΑΣΗΣ. Νικόλαος Ε. Ζαφειρόπουλος Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας των Υλικών, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων

ΑΡΧΕΣ ΣΚΕ ΑΣΗΣ. Νικόλαος Ε. Ζαφειρόπουλος Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας των Υλικών, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων ΑΡΧΕΣ ΣΚΕ ΑΣΗΣ Νικόλαος Ε. Ζαφειρόπουλος Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας των Υλικών, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων ΣΚΕ ΑΣΗ ΑΚΤΙΝΩΝ Χ Θεωρία µε παραδείγµατα Συµβατικές µέθοδοι σκέδασης (οργανολογία) Ακτινοβολία

Διαβάστε περισσότερα

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã

Διαβάστε περισσότερα

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds! MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.

Διαβάστε περισσότερα

Υπεραγωγιμότητα. Βασικά Φαινόμενα: Ηλεκτροδυναμική: Επιφανειακή Ενέργεια: Κβαντικά Φαινόμενα: Μικροσκοπική Θεωρία :

Υπεραγωγιμότητα. Βασικά Φαινόμενα: Ηλεκτροδυναμική: Επιφανειακή Ενέργεια: Κβαντικά Φαινόμενα: Μικροσκοπική Θεωρία : Βασικά Φαινόμενα: Ηλεκτροδυναμική: Επιφανειακή Ενέργεια: Κβαντικά Φαινόμενα: Μικροσκοπική Θεωρία : Υπεραγωγιμότητα Μηδενική Αντίσταση Missn, Κρίσιμο Πεδίο, Θερμοδυναμική Κρίσιμο Ρεύμα Εξισώσεις London,

Διαβάστε περισσότερα

Ρομποτικά Συστήματα Ελέγχου: Διαφορική Κινηματική Ανάλυση

Ρομποτικά Συστήματα Ελέγχου: Διαφορική Κινηματική Ανάλυση Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ» Ρομποτικά Συστήματα Ελέγχου: Διαφορική Κινηματική Ανάλυση Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ. Μηχ/κών

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή ανάπτυξη. Course Unit #1 : Κατανοώντας τις βασικές σύγχρονες ψηφιακές αρχές Thematic Unit #1 : Τεχνολογίες Web και CMS

Ψηφιακή ανάπτυξη. Course Unit #1 : Κατανοώντας τις βασικές σύγχρονες ψηφιακές αρχές Thematic Unit #1 : Τεχνολογίες Web και CMS Ψηφιακή ανάπτυξη Course Unit #1 : Κατανοώντας τις βασικές σύγχρονες ψηφιακές αρχές Thematic Unit #1 : Τεχνολογίες Web και CMS Learning Objective : SEO και Analytics Fabio Calefato Department of Computer

Διαβάστε περισσότερα

Web-based supplementary materials for Bayesian Quantile Regression for Ordinal Longitudinal Data

Web-based supplementary materials for Bayesian Quantile Regression for Ordinal Longitudinal Data Web-based supplementary materials for Bayesian Quantile Regression for Ordinal Longitudinal Data Rahim Alhamzawi, Haithem Taha Mohammad Ali Department of Statistics, College of Administration and Economics,

Διαβάστε περισσότερα

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α, Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

Z = 1.2 X 1 + 1, 4 X 2 + 3, 3 X 3 + 0, 6 X 4 + 0, 999 X 5. X 1 X 2 X 2 X 3 X 4 X 4 X 5 X 4 X 4 Z = 0.717 X 1 + 0.847 X 2 + 3.107 X 3 + 0.420 X 4 + 0.998 X 5. X 5 X 4 Z = 6.56 X 1 + 3.26 X 2 + 6.72 X 3

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018 ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-

Διαβάστε περισσότερα

Laplace Expansion. Peter McCullagh. WHOA-PSI, St Louis August, Department of Statistics University of Chicago

Laplace Expansion. Peter McCullagh. WHOA-PSI, St Louis August, Department of Statistics University of Chicago Laplace Expansion Peter McCullagh Department of Statistics University of Chicago WHOA-PSI, St Louis August, 2017 Outline Laplace approximation in 1D Laplace expansion in 1D Laplace expansion in R p Formal

Διαβάστε περισσότερα

Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ

Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ 2 0 1 6 Τ ε ύ χ ο ς Δ ι α κ ή ρ υ ξ η ς Α ν ο ι κ τ ο ύ Δ ι ε θ ν ο ύ ς Δ ι α γ ω ν ι σ μ ο ύ 0 1 / 2 0 1 6 μ ε κ ρ ι τ ή ρ ι ο κ α τ α κ ύ ρ ω σ η ς τ η ν π λ έ ο ν σ υ μ

Διαβάστε περισσότερα

: Ω F F 0 t T P F 0 t T F 0 P Q. Merton 1974 XT T X T XT. T t. V t t X d T = XT [V t/t ]. τ 0 < τ < X d T = XT I {V τ T } δt XT I {V τ<t } I A

: Ω F F 0 t T P F 0 t T F 0 P Q. Merton 1974 XT T X T XT. T t. V t t X d T = XT [V t/t ]. τ 0 < τ < X d T = XT I {V τ T } δt XT I {V τ<t } I A 2012 4 Chinese Journal of Applied Probability and Statistics Vol.28 No.2 Apr. 2012 730000. :. : O211.9. 1..... Johnson Stulz [3] 1987. Merton 1974 Johnson Stulz 1987. Hull White 1995 Klein 1996 2008 Klein

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I Σεπτεμβρίου 00 Απαντήστε και στα 0 ερωτήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.. Ένας

Διαβάστε περισσότερα

Klausur Strömungslehre

Klausur Strömungslehre ...... Name, Matr.-Nr, Unterschrift Klausur Strömungslehre. 3.. Aufgabe a G F A G WV B + V L g G G W + V L g g B V L G g W B L p R T W p a + Wg + h R T W m L L V L m L G pa + Wg + h g W B R T W b G F A

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Η Θ Μ Ο : ΠΡΑΞΗ ΣΡΟΠΟΠΟΙΗΗ ΠΡΑΞΗ ΚΑΣΑΘΕΗ ΟΡΩΝ

Α Ρ Η Θ Μ Ο : ΠΡΑΞΗ ΣΡΟΠΟΠΟΙΗΗ ΠΡΑΞΗ ΚΑΣΑΘΕΗ ΟΡΩΝ Α Ρ Η Θ Μ Ο : 6.984 ΠΡΑΞΗ ΣΡΟΠΟΠΟΙΗΗ ΠΡΑΞΗ ΚΑΣΑΘΕΗ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟΤ η ε λ Π ά η ξ α ζ ή κ ε ξ α ζ η η ο ε ί θ ν ζ η κ ί α ( 2 1 ) η ν π κ ή λ α Μ α ξ η ί ν π, ε κ έ ξ α Γ ε π η έ ξ α, η ν π έ η ν π ο δ

Διαβάστε περισσότερα

η η η η GAR = 1 F RR η F RR F AR F AR F RR η F RR F AR µ µ µ µ µ µ Γ R N=mxn W T X x mean X W T x g W P x = W T (x g x mean ) X = X x mean P x = W T X d P x P i, i = 1, 2..., G M s t t

Διαβάστε περισσότερα

TeSys contactors a.c. coils for 3-pole contactors LC1-D

TeSys contactors a.c. coils for 3-pole contactors LC1-D References a.c. coils for 3-pole contactors LC1-D Control circuit voltage Average resistance Inductance of Reference (1) Weight Uc at 0 C ± 10 % closed circuit For 3-pole " contactors LC1-D09...D38 and

Διαβάστε περισσότερα

DiracDelta. Notations. Primary definition. Specific values. General characteristics. Traditional name. Traditional notation

DiracDelta. Notations. Primary definition. Specific values. General characteristics. Traditional name. Traditional notation DiracDelta Notations Traditional name Dirac delta function Traditional notation x Mathematica StandardForm notation DiracDeltax Primary definition 4.03.02.000.0 x Π lim ε ; x ε0 x 2 2 ε Specific values

Διαβάστε περισσότερα

Major Concepts. Multiphase Equilibrium Stability Applications to Phase Equilibrium. Two-Phase Coexistence

Major Concepts. Multiphase Equilibrium Stability Applications to Phase Equilibrium. Two-Phase Coexistence Major Concepts Multiphase Equilibrium Stability Applications to Phase Equilibrium Phase Rule Clausius-Clapeyron Equation Special case of Gibbs-Duhem wo-phase Coexistence Criticality Metastability Spinodal

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ).

Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ). Vol. 37 ( 2017 ) No. 3 J. of Math. (PRC) R N - R N - 1, 2 (1., 100029) (2., 430072) : R N., R N, R N -. : ; ; R N ; MR(2010) : 58K40 : O192 : A : 0255-7797(2017)03-0467-07 1. [6], Mather f : (R n, 0) R

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

Between Square and Circle

Between Square and Circle DOCTORAL T H E SIS Between Square and Circle A Study on the Behaviour of Polygonal Steel Profiles Under Compression Panagiotis Manoleas Steel Structures Printed by Luleå University of Technology, Graphic

Διαβάστε περισσότερα

The Pohozaev identity for the fractional Laplacian

The Pohozaev identity for the fractional Laplacian The Pohozaev identity for the fractional Laplacian Xavier Ros-Oton Departament Matemàtica Aplicada I, Universitat Politècnica de Catalunya (joint work with Joaquim Serra) Xavier Ros-Oton (UPC) The Pohozaev

Διαβάστε περισσότερα

Constitutive Relations in Chiral Media

Constitutive Relations in Chiral Media Constitutive Relations in Chiral Media Covariance and Chirality Coefficients in Biisotropic Materials Roger Scott Montana State University, Department of Physics March 2 nd, 2010 Optical Activity Polarization

Διαβάστε περισσότερα

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆ Š Š ˆ ƒ Ÿ ƒ ˆ ˆŸ œ Œ ˆ ŒŠ Š ƒ ˆ ˆ ƒ.. ŠÊ Ö±,.. Ö, ƒ. ƒ. ³Ö,.. Éμ ±μ

ˆ ˆ Š Š ˆ ƒ Ÿ ƒ ˆ ˆŸ œ Œ ˆ ŒŠ Š ƒ ˆ ˆ ƒ.. ŠÊ Ö±,.. Ö, ƒ. ƒ. ³Ö,.. Éμ ±μ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2017.. 48.. 1.. 21Ä118 ˆ ˆ Š Š ˆ ƒ Ÿ ƒ ˆ ˆŸ œ Œ ˆ ŒŠ Š ƒ ˆ ˆ ƒ.. ŠÊ Ö±,.. Ö, ƒ. ƒ. ³Ö,.. Éμ ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 22 Š ˆ ˆ 27 Ö Ö Ó μ ³ Ê²Ó Ê. 37 Ö Ö Ó μ ±μμ É. 39 ˆ ˆ œ œ ˆ Œ ˆ œ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 8/4/8 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να εξετάσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση: f x x x (,

Διαβάστε περισσότερα

The Nottingham eprints service makes this work by researchers of the University of Nottingham available open access under the following conditions.

The Nottingham eprints service makes this work by researchers of the University of Nottingham available open access under the following conditions. Luevorasirikul, Kanokrat (2007) Body image and weight management: young people, internet advertisements and pharmacists. PhD thesis, University of Nottingham. Access from the University of Nottingham repository:

Διαβάστε περισσότερα

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. I z. nia 2 2 3/2. ni a 3/2 3/2. I,min. I,max. = 511 A/m, ( HII,max HII,min)/ HII,max. II,min.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. I z. nia 2 2 3/2. ni a 3/2 3/2. I,min. I,max. = 511 A/m, ( HII,max HII,min)/ HII,max. II,min. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 I 6/ ( + π) 4πa 6/ I nia + + / / ( a + ) a ( d ) ni a II a + ( d/ ) ai I a + ( d/) / / I,ma 75 A/m, I,min 676 A/m, ( I,ma I,min )/ I,ma,545 II,ma 75 A/m, II,min

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΠΗΓΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΠΗΓΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΤΖΩΡΤΖΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Επιβλέπων καθηγητής:αναγνωστοπουλοσ Κ. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ-ΣΕΜΦΕ 26 Σεπτεμβρίου 2016 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

➆t r r 3 r st 40 Ω r t st 20 V t s. 3 t st U = U = U t s s t I = I + I

➆t r r 3 r st 40 Ω r t st 20 V t s. 3 t st U = U = U t s s t I = I + I tr 3 P s tr r t t 0,5A s r t r r t s r r r r t st 220 V 3r 3 t r 3r r t r r t r r s e = I t = 0,5A 86400 s e = 43200As t r r r A = U e A = 220V 43200 As A = 9504000J r 1 kwh = 3,6MJ s 3,6MJ t 3r A = (9504000

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι(ΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι(ΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι. ΡΙΖΟΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 9 ΘΕΜΑ.4 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets

E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets Benoît Combès To cite this version: Benoît Combès. E fficient computational tools for the statistical

Διαβάστε περισσότερα

Local Approximation with Kernels

Local Approximation with Kernels Local Approximation with Kernels Thomas Hangelbroek University of Hawaii at Manoa 5th International Conference Approximation Theory, 26 work supported by: NSF DMS-43726 A cubic spline example Consider

Διαβάστε περισσότερα