ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΥ Σ ΝΕΝΕ Διπωματούχου Μηχανοόγου Μηχανικού ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΣΤΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 6

2

3 ΓΕΩΡΓΙΟΥ Σ ΝΕΝΕ Διπωματούχου Μηχανοόγου Μηχανικού ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΣΤΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Υποβήθηκε στο Τμήμα Μηχανοόγων Μηχανικών Τομέας Βιομηχανικής Διοίκησης Ημερομηνία Προφορικής Εξέτασης: Ιουίου 6 Εξεταστική Επιτροπή: Καθηγητής Γ Ν Ταγαράς, Επιβέπων Αναπηρωτής Καθηγητής Ε Θ Ιακώβου, Μέος Τριμεούς Συμβουευτικής Επιτροπής Επίκουρος Καθηγητής Π Ε Γεωργιάης, Μέος Τριμεούς Συμβουευτικής Επιτροπής Καθηγητής Β Δ Τουρασής, Εξεταστής Καθηγητής Β Σ Κουϊκόγου, Εξεταστής Καθηγητής Χ Θ Παπαόπουος, Εξεταστής Λέκτορας Δ Χ Βάχος, Εξεταστής

4 Γεώργιος Σ Νενές ΑΠΘ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΣΤΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ «Η έγκριση της παρούσας Διακτορικής Διατριβής από το Τμήμα Μηχανοόγων Μηχανικών του Αριστοτεείου Πανεπιστημίου Θεσσαονίκης εν υποηώνει αποοχή των γνωμών του συγγραφέως» Ν 5343/93, άρθρο, παρ

5 Στη μητέρα μου

6

7 Περίηψη ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στο παίσιο της παρούσας ιακτορικής ιατριβής εξετάζονται ιαγράμματα εέγχου Shehart, αθροιστικά ιαγράμματα CUSUM, ιαγράμματα εκθετικής εξομάυνσης EWMA και υναμικά ιαγράμματα Bayes για την παρακοούθηση της μέσης τιμής ενός βασικού χαρακτηριστικού ποιότητας σε παραγωγικές ιαικασίες περιορισμένης χρονικής ιάρκειας Διάφορες συστηματικές αιτίες είναι υνατόν να μεταβάουν τη μέση τιμή είτε αυξητικά είτε μειωτικά και επομένως μπορεί να είναι αναγκαία η χρήση αμφίπευρου ιαγράμματος εέγχου Στόχος της σχείασης και ειτουργίας των ιαγραμμάτων είναι η εαχιστοποίηση της μέσης τιμής του συνοικού κόστους εέγχου, επεμβάσεων στη ιαικασία και ειτουργίας σε κατάσταση εκτός στατιστικού εέγχου κατά τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας Η παρουσίαση του σκοπού και της συμβοής της παρούσας ιατριβής ακοουθείται από επτομερή βιβιογραφική επισκόπηση Αρχικά στην επισκόπηση παρουσιάζονται εργασίες που σχετίζονται με απά στατικά ιαγράμματα, στα οποία οι παράμετροι σχείασης, ηαή οι παράμετροι ειγματοηψίας συχνότητα ειγματοηψιών και μέγεθος είγματος καθώς και τα κριτήρια επέμβασης, είναι σταθερά Στη συνέχεια παρουσιάζονται εργασίες που αναύουν υναμικά ιαγράμματα, στα οποία μία ή περισσότερες παράμετροι σχείασης είναι μεταβαόμενες Τα υναμικά ιαγράμματα ιακρίνονται σε εκείνα που βασίζονται στον υποογισμό και αναθεώρηση των πιθανοτήτων ειτουργίας εκτός εέγχου με χρήση του θεωρήματος Bayes και εκείνα που χρησιμοποιούν ιαφορετική προσέγγιση στη ιαικασία επιογής των παραμέτρων της ιαικασίας i

8 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Στο κύριο μέρος της ιατριβής αναπτύσσονται και περιγράφονται επτομερώς τα ιαγράμματα που σχειάζονται για την παρακοούθηση της μέσης τιμής του χαρακτηριστικού ποιότητας σε ιαικασίες πεπερασμένου χρονικού ορίζοντα Αναπτύσσονται μαθηματικά πρότυπα εαχιστοποίησης του μέσου συνοικού κόστους για αθροιστικά ιαγράμματα CUSUM και ιαγράμματα με εκθετική εξομάυνση EWMA, όπου οι παράμετροι σχείασης είναι προκαθορισμένες και σταθερές Ακόμη, αναπτύσσονται υναμικά ιαγράμματα Bayes και περιγράφεται το παίσιο ειτουργίας τους, η ιαικασία υποογισμού και εαχιστοποίησης του μέσου κόστους ποιότητας καθώς και του προσιορισμού της βέτιστης ποιτικής ειγματοηψιών και εέγχων Επίσης, παρουσιάζονται και αποεικνύονται ιιότητες οι οποίες συμβάουν στη βαθύτερη κατανόηση των ιαγραμμάτων αυτών αά και στη μείωση του υποογιστικού χρόνου προσιορισμού της βέτιστης ποιτικής Παρουσιάζεται επιπέον η επέκταση των μαθηματικών προτύπων προς περιπτώσεις όπου, είτε η αρχική ρύθμιση της ιαικασίας, είτε οι ενιάμεσες αποκαταστάσεις των συστηματικών αιτιών, εν επαναφέρουν με βεβαιότητα τη ιαικασία σε στατιστικό έεγχο Η οικονομική αποτεεσματικότητα των ιαγραμμάτων μεετάται μέσω εκτεταμένων αριθμητικών αποτεεσμάτων σε πηθώρα περιπτώσεων παραγωγικών ιαικασιών, που ιαφέρουν σε στατιστικά αά και σε οικονομικά στοιχεία Πραγματοποιούνται συγκρίσεις της οικονομικής απόοσης όων των παραπάνω ιαγραμμάτων μεταξύ τους αά και συγκριτικά με την οικονομική απόοση ιαγραμμάτων Shehart με υναμικές παραμέτρους, όπου ηαή η συχνότητα και το μέγεθος ειγματοηψιών καθώς και τα όρια εέγχου εν είναι σταθερά καθ όη τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας ii

9 Περίηψη Τα κυριότερα συμπεράσματα της ιατριβής, τα οποία συνοψίζονται στο τεευταίο κεφάαιο, είναι τα εξής: α Με την ανάπτυξη των κατάηων εργαείων στα παίσια της ιατριβής, είναι πέον εφικτή η βέτιστη οικονομική σχείαση σύνθετων ιαγραμμάτων εέγχου CUSUM, Bayes για την αποτεεσματική παρακοούθηση της μέσης τιμής χαρακτηριστικού ποιότητας σε παραγωγικές ιαικασίες περιορισμένης χρονικής ιάρκειας β Η οικονομική συμπεριφορά των ιαγραμμάτων Bayes είναι καύτερη από τη συμπεριφορά των υναμικών ιαγραμμάτων Shehart, τα οποία με τη σειρά τους υπερτερούν των ιαγραμμάτων CUSUM και Shehart με σταθερές παραμέτρους Τα ιαγράμματα CUSUM οηγούν πάντα σε καύτερα οικονομικά αποτεέσματα σε σχέση με τα απούστερα ιαγράμματα Shehart αά οι ιαφορές τους είναι σημαντικές μόνο στην περίπτωση που το μέγεθος είγματος είναι κατ ανάγκη μοναιαίο iii

10

11 Ευχαριστίες ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Πριν ξεκινήσει η παρουσίαση της παρούσας ιακτορικής ιατριβής θα ήθεα να σταθώ στους ανθρώπους οι οποίοι βοήθησαν, ο καθένας με το ικό του τρόπο, στην οοκήρωσή της Ευχαριστώ οιπόν από τα βάθη της καριάς μου: τον κ Ταγαρά Γιώργο, Καθηγητή ΑΠΘ του Τομέα Βιομηχανικής Διοίκησης του τμήματος Μηχανοόγων Μηχανικών και επιβέποντα της παρούσας ιατριβής, τόσο για την ανάθεση της ιατριβής, όσο και για την ανεκτίμητη βοήθεια που μου προσέφερε καθ όη την πορεία ανάπτυξης και συγγραφής της, τα ύο άα μέη της τριμεούς επιτροπής, κ Ιακώβου Εευθέριο, Αναπηρωτή Καθηγητή και κ Γεωργιάη Πάτροκο, Επίκουρο Καθηγητή ΑΠΘ, τον κ Νικοαΐη Ιωάννη, Λέκτορα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεονίας, για την πούτιμη συνεργασία που είχαμε, καθώς και για τις εξαιρετικά χρήσιμες συμβουές και κατευθύνσεις που μου έωσε, τον πατέρα μου, για την αμέριστη συμπαράστασή του, τον πνευματικό μου πατέρα, Αρχιμανρίτη Ιωάννη Τράγκα για την προσπάθεια πνευματικής και ψυχικής μου καθοήγησης, το Ίρυμα Κρατικών Υποτροφιών για την οικονομική ενίσχυση που μου παρείχε κατά τη ιάρκεια εκπόνησης της ιατριβής, όους όσοι με βοήθησαν και εξακοουθούν να με βοηθούν στην προσπάθεια πραγματοποίησης των στόχων μου, v

12 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών περισσότερο από όους, τη μητέρα μου Είναι ο κύριος όγος για τον οποίο προσπαθώ να γίνομαι καύτερος στη ζωή μου vi

13 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γενικό παίσιο και σκοπός της ιακτορικής ιατριβής Δομή της ιακτορικής ιατριβής 9 3 Συμβοή της ιακτορικής ιατριβής ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ3 Στατικά ιαγράμματα 3 Δυναμικά ιαγράμματα 3 Διαγράμματα εέγχου με μεταβαόμενες παραμέτρους 4 Διαγράμματα Bayes33 3 ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ 37 3 Από στατικό ιάγραμμα Shehart39 3 Σύνθετα στατικά ιαγράμματα 45 3 Περιγραφή - ειτουργία αθροιστικού ιαγράμματος 46 3 Στατιστικά χαρακτηριστικά αθροιστικού ιαγράμματος5 33 Διαμόρφωση συνάρτησης κόστους και βετιστοποίηση αθροιστικού ιαγράμματος Διάγραμμα εκθετικής εξομάυνσης6 33 Διάγραμμα Shehart με μεταβαόμενες παραμέτρους Δυναμικό ιάγραμμα Bayes 7 34 Περιγραφή - ειτουργία 7 34 Συνάρτηση κόστους και βετιστοποίηση7 35 Ατεής αρχική ρύθμιση / αποκατάσταση της ιαικασίας73 36 Αριθμητικά αποτεέσματα - συγκριτική ανάυση 79 vii

14 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών 4 ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ95 4 Από στατικό ιάγραμμα Shehart97 4 Σύνθετα στατικά ιαγράμματα 4 Περιγραφή - ειτουργία αθροιστικού ιαγράμματος 4 Στατιστικά χαρακτηριστικά αθροιστικού ιαγράμματος8 43 Διαμόρφωση συνάρτησης κόστους και βετιστοποίηση αθροιστικού ιαγράμματος 44 Διάγραμμα εκθετικής εξομάυνσης3 43 Διάγραμμα Shehart με μεταβαόμενες παραμέτρους 6 44 Δυναμικό ιάγραμμα Bayes 8 44 Περιγραφή - ειτουργία 8 44 Διαμόρφωση συνάρτησης κόστους 443 Ιιότητες 444 Διακριτοποίηση πιθανοτήτων, Παράειγμα ειτουργίας αμφίπευρου ιαγράμματος Bayes36 45 Ατεής αρχική ρύθμιση / αποκατάσταση της ιαικασίας4 46 Αριθμητικά αποτεέσματα - συγκριτική ανάυση 5 5 ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ6 5 Σύνοψη 6 5 Συμπεράσματα63 53 Προτάσεις περαιτέρω έρευνας64 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 67 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ 83 Παράρτημα Α - Πίνακας συμβοισμών 83 Παράρτημα B - Αποείξεις ημμάτων κεφααίου 3 89 viii

15 Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γενικό παίσιο και σκοπός της ιακτορικής ιατριβής Εώ και αρκετά χρόνια το επίπεο ποιότητας των προϊόντων που παράγονται από τις ιάφορες παραγωγικές ιαικασίες αποτεεί επιογή στρατηγικής σημασίας για τις επιχειρήσεις Κατά καιρούς έχουν οθεί ιάφοροι ορισμοί για την ποιότητα Ο πιο καθοικά αποεκτός ορισμός ίνεται μέσω του ιεθνούς προτύπου SO 84, σύμφωνα με το οποίο, με τον όρο «ποιότητα» εννοείται το σύνοο των ιιοτήτων και χαρακτηριστικών ενός προϊόντος, ιαικασίας ή υπηρεσίας που καθορίζουν την ικανότητα ανταπόκρισης σε ηωμένες ή εννοούμενες ανάγκες Η ιασφάιση και βετίωση της ποιότητας των παραγομένων προϊόντων επιτυγχάνεται μέσα από ένα οοκηρωμένο σύνοο τεχνικών και μεθόων, τον Έεγχο Ποιότητας ή Ποιοτικό Έεγχο Ο ποιοτικός έεγχος πέρασε από ιάφορα στάια τα τεευταία εκατό και πέον χρόνια, ξεκινώντας από την απή επιθεώρηση και κατάταξη των ετοίμων προϊόντων σε αποεκτά και μη, και φθάνοντας στην εφαρμογή ιιαίτερα εξειγμένων στατιστικών μεθόων σχείασης και ανάυσης πειραμάτων Εώ και ποές εκαετίες όμως, τον κεντρικό ρόο και το σημαντικότερο μερίιο εφαρμογών στον έεγχο ποιότητας κατέχει ο στατιστικός έεγχος παραγωγικής ιαικασίας Statistical Process Cotrol, SPC Η αρχική ανάπτυξη του εέγχου παραγωγικής ιαικασίας οφείεται στον Walter Shehart, ο οποίος σχείασε απές στατιστικές τεχνικές και αντίστοιχα ιαγράμματα εέγχου και πρότεινε τρόπους βετίωσης της ποιότητας με εξάειψη των αιτιών συστηματικών μεταβοών των παραμέτρων των παραγωγικών ιαικασιών Τα

16 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών ιαγράμματα εέγχου που εισήγαγε ο Shehart εξακοουθούν μέχρι και σήμερα να αποτεούν τα ευρύτερα χρησιμοποιούμενα εργαεία για τον έεγχο ομαής ειτουργίας των παραγωγικών ιαικασιών Τις τεευταίες εκαετίες έχει αναπτυχθεί πηθώρα εργαείων στατιστικού εέγχου ποιότητας Το κατά περίπτωση καταηότερο εργαείο για χρήση εξαρτάται από πάρα ποούς παράγοντες Έτσι, πριν την απόφαση για το πως θα παρακοουθηθεί μια ιαικασία, θα πρέπει να αποσαφηνιστούν, κατά το υνατόν περισσότερο, ερωτήματα όπως: Η ιαικασία θα ειτουργήσει για περιορισμένο χρονικό ιάστημα παραγωγή κατά παρτίες ή μπορεί να θεωρηθεί πως θα ειτουργεί συνεχώς συνεχής γραμμή παραγωγής; Το χαρακτηριστικό ποιότητας είναι χαρακτηριστικό μέτρησης, ηαή συνεχές μετρούμενο μέγεθος του οποίου θα πρέπει να παρακοουθείται η μέση τιμή ή/και η μεταβητότητα ή χαρακτηριστικό ιαογής, οπότε θα παρακοουθείται το ποσοστό εαττωματικών ή ο αριθμός εαττωμάτων; Υπάρχει μόνο μία υσειτουργία συστηματική αιτία που μπορεί να εμφανιστεί στην παραγωγική ιαικασία μονόπευρες μετατοπίσεις χαρακτηριστικού ποιότητας ή περισσότερες από μία; Είναι γνωστή η επίραση των υσειτουργιών αυτών στο μετρούμενο χαρακτηριστικό ποιότητας; Είναι γνωστή η μορφή της κατανομής του χαρακτηριστικού ποιότητας και οι παράμετροι της κατανομής όταν η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο και όταν ειτουργεί υπό την επίραση συστηματικών αιτιών; Είναι γνωστός ο μηχανισμός εμφάνισης των συστηματικών αιτιών;

17 Εισαγωγή Τα ιαγράμματα που θα χρησιμοποιηθούν θα είναι απά ιαγράμματα εέγχου τύπου Shehart, σύνθετα όπως το αθροιστικό ιάγραμμα εέγχου CUSUM ή το ιάγραμμα εκθετικής εξομάυνσης EWMA ή θα χρησιμοποιηθεί συνυασμός ιαγραμμάτων; Οι παράμετροι των ιαγραμμάτων, όπως πχ το μέγεθος είγματος και η συχνότητα ειγματοηψιών, θα παραμένουν σταθερές κατά τη ιάρκεια ειτουργίας της παραγωγικής ιαικασίας ή όχι; Αν μεταβάονται, με ποιον τρόπο θα γίνεται αυτό; Η σχείαση των ιαγραμμάτων που θα χρησιμοποιηθούν θα βασίζεται σε στατιστικά ή σε οικονομικά κριτήρια; Είναι γνωστά τα οικονομικά στοιχεία ειτουργίας της παραγωγικής ιαικασίας; Αν όχι, πόσο ύσκοη είναι η εκτίμησή τους; Η παρούσα ιακτορική ιατριβή επικεντρώνεται στον έεγχο ποιότητας παραγωγικών ιαικασιών με τα ακόουθα βασικά ιακριτικά χαρακτηριστικά των ίιων των ιαικασιών αφενός και των εργαείων και μεθοοογίας εέγχου αφετέρου: Οι παραγωγικές ιαικασίες είναι περιορισμένης ιάρκειας, ειτουργούν για την οοκήρωση μιας παρτίας παραγωγής και ρυθμίζονται εκ νέου πριν την έναρξη της παραγωγής της επόμενης παρτίας Το βασικό χαρακτηριστικό ποιότητας είναι χαρακτηριστικό μέτρησης Η παρακοούθηση της ιαικασίας ιενεργείται με ιαγράμματα εέγχου μέσης τιμής τύπου Shehart, σύνθετα ιαγράμματα CUSUM και EWMA καθώς και με υναμικά ιαγράμματα Σκοπός του εέγχου είναι ο εντοπισμός συστηματικών 3

18 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών αιτιών που προκαούν μεταβοή στη μέση τιμή ορισμένου χαρακτηριστικού ποιότητας ενός προϊόντος ή της παραγωγικής ιαικασίας Βασικό κριτήριο σχείασης των ιαγραμμάτων θεωρείται η οικονομική τους απόοση και συγκεκριμένος στόχος είναι η εαχιστοποίηση του κόστους «καής» και «κακής» ποιότητας που εξαρτάται από τις επιογές σχείασης του ιαγράμματος Στις παραγράφους που ακοουθούν αναπτύσσονται περαιτέρω τα παραπάνω χαρακτηριστικά όπως εξειικεύονται στην παρούσα εργασία ώστε να προσιοριστούν ακριβέστερα το γενικό παίσιο και ο σκοπός της ιατριβής Χαρακτηριστικά παραγωγικής ιαικασίας Οι παραγωγικές ιαικασίες με τις οποίες ασχοείται η ιακτορική ιατριβή θεωρείται πως είναι σχειασμένες να ειτουργήσουν για περιορισμένη χρονική ιάρκεια Η ιάκριση μεταξύ πεπερασμένου και άπειρου χρονικού ορίζοντα, και η επικέντρωση στον πεπερασμένο, είχε ως κίνητρο την οοένα και μεγαύτερη χρήση στην πράξη παραγωγικών ιαικασιών που ειτουργούν για πεπερασμένο και συχνά πού μικρό χρονικό ιάστημα, μέχρι να φέρουν εις πέρας συγκεκριμένη παραγγεία μικρού μεγέθους Το γεγονός αυτό οηγεί πού συχνά στην ανάγκη σχείασης ειικά ιαμορφωμένων εργαείων ώστε να αμβάνουν υπόψη τις αρχικές και τεικές συνθήκες της παραγωγικής ιαικασίας οι οποίες αγνοούνται στην περίπτωση της συνεχούς ειτουργίας Παράηα η ερευνητική προσπάθεια που έχει ιεθνώς αφιερωθεί στον πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα είναι περιορισμένη, καθιστώντας έτσι γόνιμο το πείο για περαιτέρω έρευνα 4

19 Εισαγωγή Η ιατριβή επικεντρώνεται σε μετρούμενα χαρακτηριστικά ποιότητας ιαστάσεις, βάρος κπ Σχετικά με το πήθος των συστηματικών αιτιών και την επίρασή τους στο μετρούμενο χαρακτηριστικό ποιότητας, η ανάυση ιαχωρίζεται αφενός σε παραγωγικές ιαικασίες στις οποίες επιρά περιοικά μία συστηματική αιτία η οποία προκαεί μονόπευρη μετατόπιση στη μέση τιμή του ποιοτικού χαρακτηριστικού είτε αύξηση, είτε μείωση και αφετέρου σε παραγωγικές ιαικασίες στις οποίες μπορούν να επιράσουν ύο συστηματικές αιτίες, μία εκ των οποίων προκαεί αύξηση στη μέση τιμή του ποιοτικού χαρακτηριστικού και η άη μείωση Τα ιαγράμματα που χρησιμοποιούνται στην πρώτη περίπτωση αποκαούνται μονόπευρα, ενώ στη εύτερη αμφίπευρα Βασική υπόθεση της ιατριβής είναι πως το μετρούμενο χαρακτηριστικό ποιότητας κατανέμεται κανονικά ενώ οι επιράσεις της συστηματικής αιτίας ή των συστηματικών αιτιών στην περίπτωση των αμφίπευρων μοντέων αποτεούν ιαικασία Poisso Αξίζει να σημειωθεί πως εομένη μετατόπιση στη μέση τιμή μπορεί να προέρχεται από περισσότερες από μία συστηματικές αιτίες Αν κάθε μία από αυτές έχει περίπου την ίια επίραση στη μέση τιμή του χαρακτηριστικού, τότε και το πρόβημα αυτό αντιμετωπίζεται ακριβώς όπως και στην περίπτωση της μιας συστηματικής αιτίας Χάριν όμως απότητας και συντομίας, από το σημείο αυτό και στο εξής θα αναφερόμαστε σε μία μόνο συστηματική αιτία στην περίπτωση του μονόπευρου ιαγράμματος και σε ύο συστηματικές αιτίες στην περίπτωση του αμφίπευρου Τύποι ιαγραμμάτων εέγχου Τα ιαγράμματα που εξετάζονται στη ιατριβή είναι απά στατικά, όπως τα ιαγράμματα τύπου Shehart, καθώς και σύνθετα στατικά όπως τα αθροιστικά ιαγράμματα CUSUM και τα ιαγράμματα εκθετικής εξομάυνσης EWMA 5

20 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Παράηα μεετώνται και υναμικά ιαγράμματα στα οποία είναι υνατή η μεταβοή των παραμέτρων σχείασης κατά τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας Τα τεευταία αναπτύχθηκαν ιιαίτερα τα τεευταία 5- χρόνια όγω της συνειητοποίησης ότι οι πηροφορίες που αντούνται από την παραγωγική ιαικασία μέσω των ειγματοηψιών μπορούν να συνεισφέρουν σημαντικά στη βετίωση της συμπεριφοράς του ιαγράμματος, είτε αυτή μετράται με στατιστικά είτε με οικονομικά κριτήρια Τα πιο σύγχρονα από τα ιαγράμματα αυτά, με τα οποία και ασχοείται κυρίως η ιατριβή, βασίζονται στη χρήση του θεωρήματος Bayes για την αναθεώρηση, σε κάθε ειγματοηψία, της γνώσης για την πραγματική κατάσταση της ιαικασίας Με βάση το σύνοο των ιαθέσιμων πηροφοριών, το ιάγραμμα Bayes αποσκοπεί στη ήψη της βέτιστης απόφασης όσον αφορά την επέμβαση ή όχι στη ιαικασία αά και το χρόνο και το μέγεθος είγματος της επόμενης ειγματοηψίας Οικονομική σχείαση ιαγραμμάτων εέγχου Η ιιαίτερη έμφαση που έχει οθεί στην ποιότητα τα τεευταία χρόνια οφείεται κατά κύριο όγο στη συνειητοποίηση της μεγάης επίρασης που ασκεί στο κόστος, άρα και στο κέρος κάθε επιχείρησης Υποογίζεται ότι το κόστος ποιότητας κυμαίνεται μεταξύ 4% και 4% των πωήσεων Motgoery, Η ανάυση και μέτρηση του κόστους που σχετίζεται με την ποιότητα είναι επομένως ουσιώη συστατικά κάθε οοκηρωμένου προγράμματος εέγχου ποιότητας Το συνοικό κόστος ποιότητας αποτεείται τόσο από το «κόστος καής ποιότητας» όπως είναι το κόστος πρόηψης σφαμάτων και αξιοόγησης, όσο και από το «κόστος κακής ποιότητας», το οποίο αποτεείται με τη σειρά του από το «κόστος εσωτερικών αστοχιών», ηαή το κόστος που οφείεται στη ημιουργία και εμφάνιση εαττωμάτων στο εσωτερικό της επιχείρησης και από το «κόστος εξωτερικών 6

21 Εισαγωγή αστοχιών», ηαή το κόστος που οφείεται σε εαττωματικά προϊόντα που ιαφεύγουν από τους εέγχους και φτάνουν στον καταναωτή Οι βέτιστες ενέργειες εέγχου ποιότητας είναι εκείνες που εαχιστοποιούν το συνοικό κόστος εέγχου ποιότητας Επομένως, αν είναι υνατή η έκφραση των στοιχείων κόστους με τη μορφή συναρτήσεων της στάθμης ποιότητας, τότε είναι υνατός και ο προσιορισμός της βέτιστης στάθμης ποιότητας για κάθε προϊόν Εξειικεύοντας τα παραπάνω στην περίπτωση του στατιστικού εέγχου ποιότητας μιας παραγωγικής ιαικασίας, το συνοικό κόστος ποιότητας αναύεται σε κόστος εέγχου μιας ή περισσοτέρων χαρακτηριστικών τιμών των παραγόμενων προϊόντων ή των ιαικασιών ανά τακτά χρονικά ιαστήματα, σε κόστος των εαττωματικών προϊόντων που ιαφεύγουν από το σύστημα εέγχου, σε κόστος ανθασμένης εκτίμησης ότι η παραγωγή ειτουργεί εκτός στατιστικού εέγχου και επομένως μη αναγκαίας επέμβασης στην παραγωγική ιαικασία και σε κόστος αποκατάστασης της βάβης, όταν αυτή υφίσταται Το συνοικό κόστος ποιότητας μιας παραγωγικής ιαικασίας επηρεάζεται από τη χρονική ιάρκεια της ιαικασίας, τη συχνότητα εμφάνισης των βαβών, το μέγεθος των ειγμάτων και τη συχνότητα που αυτά αμβάνονται Το κριτήριο που χρησιμοποιείται στη ιατριβή για την αξιοόγηση της αποτεεσματικότητας των ιαγραμμάτων είναι οικονομικό: η σχείαση των ιαγραμμάτων στοχεύει στην εαχιστοποίηση του μέσου συνοικού κόστους ποιότητας Αξίζει να αναφερθεί εώ πως η οικονομική σχείαση των ιαγραμμάτων εέγχου έχει εχθεί κατά καιρούς κριτική από ιάφορους ερευνητές, όπως ο Woodall 986b, ο οποίος επισημαίνει τις αυναμίες της οικονομικής προσέγγισης Όπως αναφέρεται στην εργασία εκείνη, οι αυναμίες της οικονομικής σχείασης σχετίζονται με την πουποκότητα των σχημάτων που προκύπτουν, την έειψη καθοικά αποεκτών 7

22 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών συμβοισμών, τη υσκοία ακριβούς εκτίμησης των στοιχείων κόστους, καθώς και με το γεγονός ότι συνήθως τα βέτιστα από οικονομική άποψη ιαγράμματα οηγούν συνήθως σε μεγάη συχνότητα στατιστικών σφαμάτων Για το όγο αυτό η οικονομική σχείαση συνυάζεται μερικές φορές με την ικανοποίηση συγκεκριμένων περιορισμών όσον αφορά τις στατιστικές ιιότητες των ιαγραμμάτων οικονομικοστατιστική σχείαση Στην παρούσα εργασία πάντως το κριτήριο βετιστοποίησης του σχειασμού και ειτουργίας των ιαγραμμάτων είναι αμιγώς οικονομικό Σκοπός της παρούσας ιακτορικής ιατριβής είναι η απάντηση σε ύο βασικά ερωτήματα: α Ποια ιαγράμματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παρακοούθηση ιαικασιών με τα παραπάνω χαρακτηριστικά και με ποιον τρόπο β Ποια από τα ιαγράμματα αυτά είναι αποτεεσματικότερα όσον αφορά το προκύπτον μέσο συνοικό κόστος ποιότητας Στα παίσια του σκοπού αυτού αναπτύσσονται νέα μονόπευρα και αμφίπευρα ιαγράμματα, απά στατικά, σύνθετα στατικά και υναμικά ιαγράμματα ειικά σχειασμένα για ειτουργία σε πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα Στη συνέχεια συγκρίνονται τα ιαγράμματα που έχουν κατά καιρούς προταθεί στη ιεθνή βιβιογραφία με τα νέα ιαγράμματα που αναπτύσσονται και αναύονται στην παρούσα ιατριβή ώστε να ιερευνηθεί η σχετική οικονομική αποτεεσματικότητα του κάθε ιαγράμματος 8

23 Εισαγωγή Δομή της ιακτορικής ιατριβής Στο πρώτο αυτό κεφάαιο ίνεται το γενικό παίσιο της ιατριβής, προσιορίζεται ο σκοπός της, παρουσιάζεται η ομή της και τέος αναφέρεται η συμβοή της ιατριβής στη ημιουργία πρωτότυπης γνώσης Η ομή της ιατριβής στη συνέχεια έχει ως εξής Στο επόμενο κεφάαιο ιενεργείται επτομερής επισκόπηση της ιεθνούς βιβιογραφίας σχετικά με τον έεγχο παραγωγικών ιαικασιών Αρχικά παρουσιάζονται τα απούστερα ιαγράμματα εέγχου, των οποίων χαρακτηριστικό είναι η στατικότητα των παραμέτρων σχείασης πχ ιαγράμματα Shehart Στη συνέχεια παρουσιάζονται πιο σύνθετα ιαγράμματα τα οποία αν και στατικά, αμβάνουν υπόψη ποά είγματα στην επιογή της απόφασης επέμβασης στη ιαικασία ή όχι, όπως είναι τα αθροιστικά ιαγράμματα CUSUM και τα ιαγράμματα εκθετικής εξομάυνσης EWMA Κατόπιν, παρουσιάζονται πιο σύνθετα ιαγράμματα, χαρακτηριστικό των οποίων είναι πως μία ή περισσότερες παράμετροι σχείασης επιτρέπεται να μεταβάονται ανάογα με τις τιμές των ηφθέντων ειγμάτων Τα ιαγράμματα αυτά χωρίζονται σε εκείνα που ε χρησιμοποιούν το θεώρημα Bayes για τη βέτιστη επιογή των παραμέτρων σχείασης, τα οποία στη συνέχεια θα ονομάζονται ιαγράμματα εέγχου με μεταβαόμενες παραμέτρους παράγραφος, και στην ειική κατηγορία υναμικών ιαγραμμάτων που χρησιμοποιούν τον προαναφερθέντα κανόνα, τα ιαγράμματα Bayes Τα ιαγράμματα αυτά χρησιμοποιούν το μετασχηματισμό Bayes για να αναθεωρήσουν σε κάθε ειγματοηψία την πιθανότητα επίρασης των συστηματικών αιτιών, ώστε να αμβάνεται πάντα η βέτιστη απόφαση όσον αφορά την επέμβαση στην παραγωγική ιαικασία Μπορεί να χρησιμοποιούνται είτε με σταθερές είτε με μεταβαόμενες παραμέτρους ειγματοηψίας Σε κάθε περίπτωση, τα ιαγράμματα Bayes εντάσσονται 9

24 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών στα υναμικά ιαγράμματα καθώς το κριτήριο επέμβασης στη ιαικασία και αποκατάστασης της συστηματικής αιτίας, εφόσον αυτή έχει επιράσει, βασίζεται στην πιθανότητα επίρασης της συστηματικής αιτίας και εν είναι σταθερό Τα ιαγράμματα αυτά συνήθως σχειάζονται με οικονομικά κριτήρια, έχουν ηαή ως στόχο την εαχιστοποίηση του μέσου συνοικού κόστους ποιότητας Το τρίτο κεφάαιο επικεντρώνεται σε παραγωγικές ιαικασίες περιορισμένης ιάρκειας στις οποίες μπορεί να επιράσει μία συστηματική αιτία που θα προκαέσει αύξηση της μέσης τιμής του χαρακτηριστικού ποιότητας αν η συστηματική αιτία προκαεί μείωση της μέσης τιμής του χαρακτηριστικού ποιότητας, το πρόβημα αντιμετωπίζεται με τον ίιο τρόπο Στο κεφάαιο αυτό παρουσιάζονται, αναύονται και συγκρίνονται απά αά και σύνθετα μονόπευρα ιαγράμματα εέγχου μέσης τιμής Συγκεκριμένα, αναύονται απά ιαγράμματα Shehart, πιο σύνθετα αθροιστικά ιαγράμματα και ιαγράμματα εκθετικής εξομάυνσης με σταθερές παραμέτρους, ιαγράμματα Shehart με μεταβαόμενες παραμέτρους και υναμικά ιαγράμματα Bayes Παρουσιάζονται τα μαθηματικά πρότυπα οικονομικής σχείασης, οι συναρτήσεις κόστους καθώς και ορισμένες ιιότητες ενώ στη συνέχεια του κεφααίου εξηγείται ο τρόπος ιαφοροποίησης των ιαγραμμάτων σε περίπτωση που η αρχική ρύθμιση της παραγωγικής ιαικασίας ή/και οι ενιάμεσες αποκαταστάσεις των συστηματικών αιτιών εν επαναφέρουν με βεβαιότητα την παραγωγική ιαικασία σε τέεια κατάσταση Στο τέος του κεφααίου συγκρίνεται η οικονομική τους συμπεριφορά για ιάφορες περιπτώσεις και εξάγονται συμπεράσματα όσον αφορά τις επιογές που έχει ο μηχανικός στην επιογή του βέτιστου κατά περίπτωση ιαγράμματος

25 Εισαγωγή Στο τέταρτο κεφάαιο η ιατριβή επεκτείνεται σε παραγωγικές ιαικασίες στις οποίες μπορεί να επιράσουν ύο ή περισσότερες συστηματικές αιτίες, εκ των οποίων η μία ή ορισμένες προκαεί αύξηση στη μέση τιμή του μετρούμενου χαρακτηριστικού ποιότητας και η άη ή άες προκαεί μείωση Τα ιαγράμματα που αναπτύσσονται στο κεφάαιο αυτό ονομάζονται αμφίπευρα ιαγράμματα και είναι ειικά σχειασμένα για τον εντοπισμό τόσο αυξήσεων όσο και μειώσεων της μέσης τιμής Παρουσιάζονται οι αναγκαίες ιαφοροποιήσεις των προτύπων σε περίπτωση που πάι υπάρχουν ατεείς αρχικές ρυθμίσεις ή/και ατεείς ενιάμεσες αποκαταστάσεις των συστηματικών αιτιών της παραγωγικής ιαικασίας και στο τέος του κεφααίου ιενεργούνται αριθμητικές συγκρίσεις των οικονομικών αποτεεσμάτων των ιαγραμμάτων που παρουσιάστηκαν Για την ανάπτυξη και βετιστοποίηση των ιαγραμμάτων αυτού του κεφααίου αά και των μονόπευρων ιαγραμμάτων του κεφααίου 3 χρησιμοποιήθηκε η προσέγγιση των αυσίων Marov για τα ιαγράμματα Shehart, CUSUM, EWMA ενώ για τη βετιστοποίηση των ιαγραμμάτων Bayes χρησιμοποιήθηκε η μεθοοογία του Δυναμικού Προγραμματισμού Στο πέμπτο και τεευταίο κεφάαιο της ιατριβής συνοψίζονται τα κυριότερα συμπεράσματα και προτείνονται άξονες μεοντικής έρευνας 3 Συμβοή της ιακτορικής ιατριβής Η παρούσα ιακτορική ιατριβή συμβάει στην ανάπτυξη πρωτότυπης επιστημονικής γνώσης στο πείο του Στατιστικού Εέγχου Ποιότητας με τους ακόουθους ύο τρόπους Κατά πρώτον καύπτονται τα κενά που εντοπίζονται στη ιεθνή βιβιογραφία όσον αφορά το στατιστικό έεγχο ποιότητας σε παραγωγικές ιαικασίες πεπερασμένου

26 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών χρονικού ορίζοντα Συγκεκριμένα, αναπτύσσονται ειικά μοντέα οικονομικής σχείασης απών στατικών, σύνθετων στατικών αά και υναμικών ιαγραμμάτων εέγχου μέσης τιμής Τα ιαγράμματα αυτά αποτεούν ουσιώη εργαεία για την αποτεεσματική παρακοούθηση των παραγωγικών ιαικασιών και τον υποογισμό του κόστους ειτουργίας τους Παράηα, εξάγονται και παρουσιάζονται ιιότητες των ιαγραμμάτων, οι οποίες στοχεύουν στη βαθύτερη κατανόηση της ειτουργίας τους και στην αποτεεσματικότερη ταχύτερη ιαικασία υποογισμού της βέτιστης ποιτικής ειγματοηψιών και εέγχων Κατά εύτερον, η ιατριβή περιέχει εκτεταμένα αριθμητικά αποτεέσματα σχετικά με την οικονομική αποτεεσματικότητα των ιαφόρων εναακτικών τύπων ιαγραμμάτων εέγχου Συγκεκριμένα, για ένα πήθος περιπτώσεων, συγκρίνονται τα οικονομικά αποτεέσματα απών ιαγραμμάτων Shehart, σύνθετων CUSUM και υναμικών ιαγραμμάτων Shehart και Bayes Τα αποτεέσματα των συγκρίσεων οηγούν σε πηρέστερη κατανόηση της αποτεεσματικότητας των εργαείων - ιαγραμμάτων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παρακοούθηση ιαφόρων εναακτικών παραγωγικών ιαικασιών περιορισμένης χρονικής ιάρκειας Προσιορίζεται ηαή το καταηότερο και οικονομικά αποτεεσματικότερο ιάγραμμα, ανάογα με τις ιιαιτερότητες της εκάστοτε εεγχόμενης παραγωγικής ιαικασίας

27 Βιβιογραφική επισκόπηση ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Στο κεφάαιο αυτό παρουσιάζεται και σχοιάζεται η βιβιογραφία που σχετίζεται αφενός με στατικά ιαγράμματα, των οποίων οι παράμετροι είναι σταθερές και προκαθορισμένες πριν την εκκίνηση της ιαικασίας παράγραφος, και αφετέρου με υναμικά ιαγράμματα, των οποίων οι παράμετροι μεταβάονται σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες παράγραφος Τα υναμικά ιαγράμματα με τη σειρά τους αναύονται σε αυτά που ε χρησιμοποιούν και σε εκείνα που χρησιμοποιούν το θεώρημα Bayes παράγραφοι και αντίστοιχα Στατικά ιαγράμματα Διαγράμματα Shehart Πρώτος ο Shehart εισήγαγε το στατιστικό έεγχο παραγωγικής ιαικασίας με τη χρήση ιαγραμμάτων εέγχου περί το 93 Τα ιαγράμματα αυτά -τα οποία μέχρι και σήμερα είναι τα πιο ευρέως ιαεομένα εργαεία εέγχου ποιότητας παραγωγικών ιαικασιών- αποτέεσαν τον πρόρομο ποών άων, μεταγενέστερων εργασιών πάνω στο χώρο του στατιστικού εέγχου ποιότητας παραγωγικών ιαικασιών Σύμφωνα με το σχήμα εέγχου που προτάθηκε από τον Shehart, αμβάνονται ισομεγέθη είγματα ανά σταθερά χρονικά ιαστήματα από μια παραγωγική ιαικασία και, ανάογα με την ένειξη του είγματος, αποκτάται πηροφορία για το εάν έχει επιράσει κάποια συστηματική αιτία στην παραγωγική ιαικασία και αποφασίζεται επέμβαση ή όχι σε αυτήν Στην περίπτωση εέγχου της μέσης τιμής ενός συνεχούς χαρακτηριστικού ποιότητας το ιάγραμμα Shehart έχει τη μορφή του σχήματος 3

28 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών x ΑΟΕ μ σ / ΚΓ μ ΚΟΕ μ - σ / h h h h h h h αύξων αριθμός είγματος Σχήμα : Διάγραμμα Shehart εέγχου μέσης τιμής Το χαρακτηριστικό ποιότητας θεωρείται πως ακοουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και τυπική απόκιση σ εφόσον εν έχει επιράσει κάποια συστηματική αιτία Ανά σταθερά χρονικά ιαστήματα χρονικής ιάρκειας h αμβάνονται είγματα μεγέθους και υποογίζεται η μέση τιμή είγματος x του μετρούμενου χαρακτηριστικού ποιότητας Η μέση τιμή είγματος ακοουθεί επίσης κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και τυπική απόκιση σ / Σε περίπτωση που η τιμή αυτή, η οποία σημειώνεται σε ιάγραμμα σχήμα, βρίσκεται ανάμεσα στα όρια εέγχου ±σ /, η παραγωγική ιαικασία συνεχίζεται κανονικά ενώ αν υπερβεί το ΑΟΕ ή είναι μικρότερη από το ΚΟΕ όπως πχ στο 7 ο είγμα του σχήματος η ιαικασία ιακόπτεται προς έρευνα ύπαρξης συστηματικής αιτίας και αποκατάσταση της ομαής ειτουργίας Λόγω της αυναμίας του ιαγράμματος Shehart να εντοπίσει συστηματικές αιτίες που προκαούν μικρή μετατόπιση στη μέση τιμή του χαρακτηριστικού ποιότητας ιίως για ιαγράμματα με όρια τριών τυπικών αποκίσεων, 3, όπως προτάθηκε αρχικά 4

29 Βιβιογραφική επισκόπηση από τον Shehart, έχουν προταθεί κατά καιρούς τροποποιήσεις στη ειτουργία των ιαγραμμάτων Shehart είτε με κανόνες σειρών είτε με προειοποιητικά όρια Εκτεταμένη αναφορά στα ιαγράμματα εέγχου με κανόνες σειρών πραγματοποιεί ο Motgoery ενώ χαρακτηριστικές εργασίες ιαγραμμάτων εέγχου με προειοποιητικά όρια είναι αυτές των Page 96 και Weidlig et al 97 Αρκετά χρόνια μετά την εισαγωγή του ιαγράμματος Shehart, προτάθηκαν ιαγράμματα εέγχου με κριτήρια σχείασης τη μεγιστοποίηση του κέρους ή την εαχιστοποίηση του μέσου συνοικού κόστους εέγχου ποιότητας Το κόστος ποιότητας συνίσταται σε κόστος εέγχων, εαττωματικών προϊόντων που ιαφεύγουν από το σύστημα εέγχου, ανθασμένης εκτίμησης ότι η παραγωγή ειτουργεί εκτός στατιστικού εέγχου και σε κόστος ιακοπής της παραγωγής και απομάκρυνσης της συστηματικής αιτίας, όταν αυτή υφίσταται Πρωτοπόρος στη σχείαση ιαγραμμάτων εέγχου με οικονομικά κριτήρια, υπήρξε ο Duca 956, ο οποίος ιαμόρφωσε μαθηματικό πρότυπο υποογισμού του μέσου κόστους ανά μονάα χρόνου σε παραγωγική ιαικασία που παρακοουθείται από ιάγραμμα Shehart εέγχου μέσης τιμής Με την οικονομική βετιστοποίηση των ιαγραμμάτων ασχοήθηκαν επίσης, μεταξύ άων, οι Bather 963, Kaeberger ad Gradage 969 και vo Collai 987,988 Οι Goel et al 968 προτείνουν τρόπους για την εύρεση των βέτιστων παραμέτρων στο μοντέο του Duca Ο Duca 97 επεκτείνει το ικό του μοντέο προς την ύπαρξη ποαπών συστηματικών αιτιών Ο Gibra 97 παρουσιάζει ένα οικονομικό μοντέο αντίστοιχο του Duca 956 και βρίσκει με αναυτικό τρόπο τις βέτιστες παραμέτρους σχείασης Οι Saiga ad Motgoery 977 παρουσιάζουν τέσσερις ιαφορετικούς τύπους παρακοούθησης παραγωγικών ιαικασιών, βρίσκουν τα βέτιστα οικονομικά αποτεέσματα κάθε τύπου και πραγματοποιούν οικονομικές 5

30 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών συγκρίσεις Ένα πού ευέικτο οικονομικά σχειασμένο πρότυπο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε για ιαγράμματα Shehart, είτε για αθροιστικά και εκθετικής εξομάυνσης, προτείνεται από τους Loree ad Vace 986 Η οικονομική σχείαση ιαγραμμάτων εέγχου μέσης τιμής για παραγωγική ιαικασία περιορισμένης χρονικής ιάρκειας μεετήθηκε από τον Croder 99, ο οποίος παρουσιάζει στην εργασία του ένα ιάγραμμα Shehart στο οποίο τα όρια εέγχου γίνονται πιο πατιά όσο η παραγωγική ιαικασία πησιάζει προς την οοκήρωσή της Η μορφή αυτή οφείεται στο ότι το αναμενόμενο κέρος από την αποκατάσταση της ιαικασίας όταν αυτή είναι κοντά στην οοκήρωσή της μπορεί να μη ικαιοογεί το κόστος επέμβασης και άρα τα όρια γίνονται ιγότερο αυστηρά Οι Del Castillo ad Motgoery 993,996 παρουσιάζουν και βετιστοποιούν ιάγραμμα Shehart μέσης τιμής για παραγωγική ιαικασία πεπερασμένου ορίζοντα, όπου όμως θεωρείται πως η ιαικασία τερματίζεται πριν την προκαθορισμένη της ήξη εάν ανιχνευτεί επίραση συστηματικής αιτίας Αντίστοιχη οικονομική σχείαση ιαγραμμάτων ποσοστού εαττωματικών για παραγωγική ιαικασία περιορισμένης χρονικής ιάρκειας είχε προταθεί προηγουμένως από τον Laday 973 Οι Laday ad Bedi 976 επεκτείνουν το μοντέο του Laday 973 θεωρώντας ως παράμετρο σχείασης και τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας Ο Tagaras 996 προσαρμόζει το μοντέο του Laday 973 και παρουσιάζει ακριβέστερη συνάρτηση κόστους στην περίπτωση ιαγράμματος εέγχου μέσης τιμής Ο Motgoery 98 και οι Ho ad Case 994a συνοψίζουν στις εργασίες τους τα οικονομικά σχειασμένα ιαγράμματα που είχαν προταθεί μέχρι τη ημοσίευση των εργασιών τους 6

31 Βιβιογραφική επισκόπηση Αθροιστικά ιαγράμματα Μια άη κατηγορία ιαγραμμάτων εέγχου αποτεούν τα αθροιστικά ιαγράμματα εέγχου Cuulative Su, CUSUM και τα ιαγράμματα εκθετικής εξομάυνσης Exoetially Weighted Movig Average, EWMA Κατά τη χρήση των ιαγραμμάτων αυτών αξιοποιούνται οι πηροφορίες όχι μόνο από την τεευταία ειγματοηψία όπως στα ιαγράμματα Shehart, αά από όα τα είγματα που εήφθησαν μέχρι και την τρέχουσα ειγματοηψία Τα συγκεκριμένα ιαγράμματα αποσκοπούν στον αποτεεσματικότερο ταχύτερο εντοπισμό μικρών μεταβοών των παραμέτρων της παραγωγικής ιαικασίας Τα ιαγράμματα CUSUM προτάθηκαν για πρώτη φορά από τον Page 954,96, ο οποίος μεετά το μέσο αριθμό ειγμάτων μέχρι την ένειξη προβήματος σε ιάγραμμα στο οποίο αμβάνονται υπόψη τα στοιχεία όων των ειγμάτων με την ίια βαρύτητα Τα αθροιστικά ιαγράμματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν με ύο τρόπους, τη μέθοο της μάσκας V-as και την αγοριθμική μέθοο tabular Η μέθοος της μάσκας προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Barard 959 και εφαρμόζεται σε ιαοχικές ενείξεις του αθροιστικού ιαγράμματος: C Ν i x μ i σ / i i όπου x i είναι η μέση τιμή του είγματος i Η επιογή της απόφασης περί επέμβασης ή όχι στη ιαικασία αμβάνεται αφού τοποθετηθεί μία καταήως σχειασμένη μάσκα σχήματος V στην τεευταία αποτυπωμένη ένειξη του ιαγράμματος Εάν έστω και μία ένειξη από τις προηγούμενες βρίσκεται εκτός των βραχιόνων της μάσκας, αμβάνεται απόφαση επέμβασης στη ιαικασία προς έεγχο για ύπαρξη συστηματικής αιτίας και αποκατάσταση της ιαικασίας αν η ένειξη ήταν αηθής Οι στατιστικές ιιότητες του 7

32 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών αθροιστικού ιαγράμματος με τη χρήση της μάσκας μεετήθηκαν από τους Johso 96 και Goldsith ad Whitield 96 Με τα χρόνια και την εξέιξη των ηεκτρονικών υποογιστών, η αγοριθμική μέθοος υπερίσχυσε, όγω της απούστερης ειτουργίας συγκριτικά με τη μέθοο της μάσκας Όταν η αγοριθμική μέθοος χρησιμοποιείται για την ανίχνευση συστηματικών αιτιών που προκαούν αύξηση στη μέση τιμή του χαρακτηριστικού ποιότητας, η στατιστική του ιαγράμματος C σε κάθε είγμα Ν υποογίζεται από τη σχέση όπου C { C } ax,, C είναι η ανηγμένη ένειξη του είγματος x μ /σ και η παράμετρος αναφοράς του αθροιστικού ιαγράμματος Η μαθηματική ιατύπωση για συστηματικές αιτίες που προκαούν μείωση στη μέση τιμή είναι ανάογη ενώ σε περίπτωση αμφίπευρων ιαγραμμάτων χρησιμοποιούνται ύο μετρητές, h C και l C Το ιάγραμμα ίνει ένειξη όταν ο μετρητής υπερβεί το όριο εέγχου Η Για Η το ιάγραμμα CUSUM γίνεται ουσιαστικά ιάγραμμα Shehart με παράμετρο ορίου εέγχου Σε περιπτώσεις που η αρχική ρύθμιση μπορεί να μην επαναφέρει τη μέση τιμή του χαρακτηριστικού ποιότητας στην επιθυμητή τιμή, τότε ο μετρητής του αθροιστικού ιαγράμματος μπορεί να ξεκινά από μία τιμή μεγαύτερη του μηενός Fast itial Resose, FR όπως προτάθηκε αρχικά από τους Lucas ad Crosier 98 Ο αριθμός των ειγμάτων μέχρι το ιάγραμμα να ώσει κάποια ένειξη Average Ru Legth, ARL, είναι συνήθως το μέγεθος με το οποίο εκτιμάται η αποτεεσματικότητα των αθροιστικών ιαγραμμάτων Το ARL ιαχωρίζεται σε ARL, το οποίο συμβοίζει το μέσο αριθμό ειγμάτων μέχρι να ηφθεί από το ιάγραμμα 8

33 Βιβιογραφική επισκόπηση ανθασμένη ένειξη επίρασης συστηματικής αιτίας σφάμα α είους και σε ARL, το οποίο συμβοίζει το μέσο αριθμό ειγμάτων μέχρι να ανιχνευθεί η συστηματική αιτία Διάφορες εργασίες πραγματεύονται τον υποογισμό του ARL χρησιμοποιώντας ύο βασικές προσεγγίσεις Η πρώτη είναι η θεώρηση των αθροιστικών ιαγραμμάτων ως μια ακοουθία ιαοχικών εέγχων Η προσέγγιση αυτή οηγεί σε ένα σύνοο οοκηρωτικών εξισώσεων itegral-equatios η επίυση των οποίων καθορίζει το μέσο αριθμό ειγμάτων που χρειάζονται μέχρι να ηφθεί ένειξη από το ιάγραμμα Χαρακτηριστικές εργασίες που ακοουθούν την προσέγγιση αυτή είναι των Ea ad Ke 96, Goel ad Wu 97, Woodall 983, Vace 986 και η πιο πρόσφατη εργασία των Luceo ad Puig-Pey Η εύτερη προσέγγιση βασίζεται στην απεικόνιση της εξέιξης των τιμών ιαοχικών στατιστικών ιαγραμμάτων μέσω Μαρκοβιανών αυσίων Marov chais και προτάθηκε για πρώτη φορά από τους Broo ad Evas 97 Την ίια προσέγγιση χρησιμοποίησαν μεταξύ άων στις εργασίες τους οι Woodall 984, Crosier 986 και Fu et al Μία απή, προσεγγιστική αά αρκετά ακριβής εξίσωση υποογισμού του ARL αναπτύσσεται από τον Hais 99 Oι Prabhu et al 997 προτείνουν τρόπους για την επιογή των στατιστικά βέτιστων παραμέτρων ειγματοηψίας και h του ιαγράμματος CUSUM Αναυτική παρουσίαση των αθροιστικών ιαγραμμάτων περιέχεται στο σύγγραμμα των Hais ad Olell 998 Οικονομική σχείαση αθροιστικών ιαγραμμάτων προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Taylor 968 χωρίς όμως στην εργασία του να βετιστοποιούνται το μέγεθος είγματος και το ιάστημα μεταξύ ειγματοηψιών Αντίστοιχα και πηρέστερα οικονομικά μοντέα αθροιστικών ιαγραμμάτων αναπτύχθηκαν σχεόν ταυτόχρονα από τους Goel ad Wu 973 και Chiu 974 Οι Siso ad Keats 995 προσιορίζουν μέσω στατιστικών πειραμάτων τις σημαντικότερες από οικονομική 9

34 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών άποψη παραμέτρους του αθροιστικού ιαγράμματος χρησιμοποιώντας το μοντέο των Loree ad Vace 986 O Woodall 986a αναφέρει πως εν πρέπει να αγνοούνται τα στατιστικά χαρακτηριστικά των ιαικασιών όταν η σχείαση των αθροιστικών ιαγραμμάτων είναι οικονομική Διαγράμματα εκθετικής εξομάυνσης Παρααγή των αθροιστικών ιαγραμμάτων αποτεούν τα ιαγράμματα εκθετικής εξομάυνσης EWMA, τα οποία ίνουν μεγαύτερη βαρύτητα στα πιο πρόσφατα είγματα Εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στη ιεθνή βιβιογραφία στην εργασία του Roberts 959 Η στατιστική του ιαγράμματος σε κάθε είγμα Ν ίνεται από τη σχέση: E E E E, E 3 όπου Ν είναι πάι η ανηγμένη ένειξη του είγματος και E η παράμετρος εξομάυνσης του ιαγράμματος < E Για E το ιάγραμμα EWMA γίνεται ουσιαστικά ιάγραμμα Shehart Το ιάγραμμα ίνει ένειξη όταν η τιμή Ε Ν υπερβεί κάποιο συγκεκριμένο όριο εέγχου Και στην περίπτωση των ιαγραμμάτων αυτών, η αποτεεσματικότητα εκτιμάται συνήθως από το ARL Εργασίες σχετικές με τη στατιστική συμπεριφορά των ιαγραμμάτων EWMA έχουν εκπονήσει, μεταξύ άων, οι Huter 986, Croder 987,989, Lucas ad Saccucci 99 και Saccucci ad Lucas 99 ενώ η οικονομική σχείαση των ιαγραμμάτων εκθετικής εξομάυνσης προτάθηκε για πρώτη φορά από τους Ho ad Case 994b Συγκριτικές μεέτες Στατιστικές συγκρίσεις μεταξύ απών ιαγραμμάτων Shehart και πιο σύνθετων CUSUM και EWMA υπάρχουν στην εργασία του Roberts 966 αά και σε ποές

35 Βιβιογραφική επισκόπηση άες εργασίες όπως πχ οι σύγχρονες μεέτες των Reyolds ad Stoubos 4a και 4b Οικονομικές συγκρίσεις μεταξύ ιαγραμμάτων Shehart και άων σύνθετων ιαγραμμάτων πραγματοποιούν οι Arold ad vo Collai 987 Στην εργασία τους αναπτύσσουν μια μεθοοογία που προσιορίζει κατά προσέγγιση το βέτιστο κόστος από τη χρήση σύνθετων ιαγραμμάτων πχ CUSUM και καταήγουν στο συμπέρασμα ότι η μείωση που επιτυγχάνεται στο κόστος ποιότητας είναι συνήθως πού μικρή όταν το εεγχόμενο χαρακτηριστικό κατανέμεται κανονικά Τα ιαγράμματα Shehart, CUSUM και Geoetric Movig Average μια ειική μορφή σύνθετου ιαγράμματος που μοιάζει με το ιάγραμμα EWMA συγκρίνονται οικονομικά από τους ataog et al 989 χωρίς ωστόσο να βετιστοποιείται κανένα από τα τρία αυτά ιαγράμματα Συγκεκριμένα, στην εργασία αυτή παρουσιάζεται ένα στατιστικό πείραμα για την αξιοόγηση της σημαντικότητας τριών παραγόντων στο μέσο κόστος: του ιαστήματος h, του μεγέθους είγματος και της μετατόπισης της μέσης τιμής όταν συμβαίνει η συστηματική αιτία Δε βετιστοποιείται όμως κανένα από τα τρία ιαγράμματα αά απώς υποογίζεται το μέσο κόστος του κάθε ιαγράμματος χρησιμοποιώντας τις προκαθορισμένες τιμές των τριών παραμέτρων Η μεέτη καταήγει στο συμπέρασμα πως το ιάγραμμα CUSUM υπερτερεί των άων ύο όταν το μέγεθος της μετατόπισης είναι μικρό, το ιάγραμμα Shehart εν είναι αποτεεσματικό για μικρά αά η αποτεεσματικότητά του αυξάνει πού για μεγάα ενώ το Geoetric Movig Average είναι καταηότερο για ενιάμεσες τιμές του Τα ιαγράμματα Shehart και CUSUM συγκρίνονται οικονομικά από τους Keats ad Siso 994 οι οποίοι βρίσκουν σημαντικές ιαφορές στο βέτιστο κόστος

36 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών μεταξύ των ιαγραμμάτων αυτών Οι Ho ad Case 994b πραγματοποιούν μια σύντομη οικονομική σύγκριση μεταξύ ιαγραμμάτων Shehart, CUSUM και EWMA και συμπεραίνουν επίσης πως οι ιαφορές στην οικονομική αποτεεσματικότητα αυτών των ιαγραμμάτων είναι πού σημαντικές Από τα παραπάνω προκύπτει πως τα αποτεέσματα των προηγούμενων ερευνών σχετικά με τη συγκριτική οικονομική απόοση των απών ιαγραμμάτων Shehart και των πιο σύνθετων CUSUM και EWMA εν είναι σαφή Για παράειγμα, παρά το γεγονός ότι οι Arold ad vo Collai 987 συμπεραίνουν πως η μείωση που επιτυγχάνεται στο κόστος ποιότητας από σύνθετα ιαγράμματα πχ CUSUM είναι συνήθως πού μικρή σε σχέση με τα απούστερα Shehart, οι Keats ad Siso 994 και Ho ad Case 994b καταήγουν πως τα οφέη είναι πού μεγάα Τα αντιφατικά αυτά συμπεράσματα προσπαθούν να αποσαφηνίσουν σε μια υπό ιαμόρφωση εργασία οι ees ad Tagaras 6a Κατόπιν εκτεταμένων αριθμητικών συγκρίσεων το συμπέρασμα που προκύπτει είναι πως η οικονομική ανωτερότητα των ιαγραμμάτων CUSUM σε σχέση με τα ιαγράμματα Shehart είναι αμεητέα Στην ίια εργασία μεετάται και η περίπτωση του περιορισμού στο μέγεθος είγματος και συμπεραίνεται πως μόνο τότε η οικονομική απόοση των ιαγραμμάτων CUSUM είναι σημαντικά καύτερη από την αντίστοιχη των ιαγραμμάτων Shehart Αξίζει να σημειωθεί στο σημείο αυτό πως όες οι συγκριτικές αναύσεις μεταξύ ιαγραμμάτων Shehart και CUSUM που έχουν παρουσιαστεί μέχρι σήμερα αφορούν παραγωγικές ιαικασίες άπειρου χρονικού ορίζοντα Η οικονομική σχείαση αθροιστικών ιαγραμμάτων για παραγωγική ιαικασία περιορισμένης χρονικής

37 Βιβιογραφική επισκόπηση ιάρκειας και η σύγκριση των ιαγραμμάτων αυτών με τα αντίστοιχα ιαγράμματα Shehart μεετώνται για πρώτη φορά στην παρούσα ιατριβή Δυναμικά ιαγράμματα Κοινό στοιχείο όων των ιαγραμμάτων που παρουσιάστηκαν μέχρι στιγμής είναι πως όες οι παράμετροι σχείασης επιέγονται πριν την εφαρμογή του ιαγράμματος στην παραγωγική ιαικασία και εν επιτρέπεται να μεταβηθούν κατά τη ιάρκειά της Fixed araeter, F Εντούτοις, η αίσθηση πως ιαγράμματα με μία ή περισσότερες παραμέτρους σχείασης υναμικά μεταβαόμενες σε πραγματικό χρόνο θα οηγούσε σε πιο αποοτική στατιστική συμπεριφορά, οήγησε ένα μεγάο αριθμό ερευνητών προς αυτήν την κατεύθυνση Συγκεκριμένα, αναπτύχθηκαν ιαγράμματα στα οποία μία ή περισσότερες παράμετροι σχείασης μπορούν να μεταβάονται κατά τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας ανάογα με τις πηροφορίες που συέγονται από τα είγματα που αμβάνονται Έτσι, σε κάθε χρονική στιγμή ε αμβάνεται απόφαση μόνο για την επέμβαση ή όχι στη ιαικασία αά και για την επόμενη τιμή μίας ή περισσοτέρων από τις παραμέτρους σχείασης, ανάογα με τον τύπο του υναμικού ιαγράμματος εέγχου Παρακάτω παρουσιάζονται ιάφορα υναμικά ιαγράμματα εέγχου τα οποία ιακρίνονται σε ιαγράμματα που ε χρησιμοποιούν το θεώρημα Bayes και παρουσιάζονται στην παράγραφο και σε ιαγράμματα όπου σε κάθε ειγματοηψία αναθεωρείται η πιθανότητα να έχει επιράσει κάποια συστηματική αιτία χρησιμοποιώντας το θεώρημα Bayes Τα ιαγράμματα αυτά θα παρουσιαστούν στην παράγραφο Συνοπτικά τα ιαγράμματα που θα παρουσιαστούν στην παράγραφο είναι τα εξής: Διαγράμματα VS Variable Salig terval στα οποία η μοναική μεταβαόμενη παράμετρος σχείασης είναι το h 3

38 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Διαγράμματα VSFT Variable Salig terval ith salig at Fixed Ties όπου τα είγματα αμβάνονται ανά τακτά χρονικά ιαστήματα ή και εμβόιμα μεταξύ των χρονικών αυτών ιαστημάτων όταν υπάρχει ένειξη από το ιάγραμμα Διαγράμματα VSS Variable Sale Sie στα οποία η μοναική υναμική παράμετρος σχείασης είναι το μέγεθος είγματος Διαγράμματα VSS Variable Sale Sie ad Salig terval όπου τόσο το h όσο και το επιτρέπεται να μεταβάονται κατά τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας Διαγράμματα VSSFT Variable Salig terval ad Sale Sie ith salig at Fixed Ties τα οποία ειτουργούν όπως και τα VSFT αά επιπέον μεταβάεται και το Διαγράμματα V Variable araeter όπου όες οι παράμετροι σχείασης επιτρέπεται να μεταβάονται Στο σημείο αυτό, αξίζει να αναφερθεί ότι έχουν επίσης παρουσιαστεί κατά καιρούς εργασίες, όπου οι παράμετροι των ιαγραμμάτων εν ήταν μεν σταθερές, αά ο μηχανισμός μεταβοής τους ήταν προκαθορισμένος πχ Parhideh ad Case, 989 και Ohta ad Rahi, 997 Στην επισκόπηση του Tagaras 998 περιγράφονται αναυτικά οι ιαφορές μεταξύ τέτοιου τύπου ιαγραμμάτων και των υναμικών ιαγραμμάτων όπως ορίζονται εώ και τα οποία πραγματεύεται η παρούσα ιατριβή Διαγράμματα εέγχου με μεταβαόμενες παραμέτρους Δυναμικά ιαγράμματα Shehart - στατιστική σχείαση Τα ευρύτερα ανεπτυγμένα ιαγράμματα εέγχου με μεταβαόμενες παραμέτρους είναι τα ιαγράμματα VS, όπου η μοναική μεταβαόμενη παράμετρος σχείασης 4

39 Βιβιογραφική επισκόπηση είναι το ιάστημα μεταξύ ειγματοηψιών h Τα ιαγράμματα VS προτάθηκαν για πρώτη φορά στη ιεθνή βιβιογραφία από τους Reyolds et al 988 Η στατιστική συμπεριφορά των ιαγραμμάτων αυτών εν εκτιμάται πήρως με το ARL όπως στην περίπτωση των στατικών ιαγραμμάτων καθώς το ιάστημα μεταξύ ειγματοηψιών εν παραμένει σταθερό Για το όγο αυτό προτάθηκαν νέα μέτρα αξιοόγησης της στατιστικής συμπεριφοράς των ιαγραμμάτων, όπως το ATS Average Tie to Sigal που είναι ο μέσος χρόνος από την έναρξη της ιαικασίας μέχρι την ύπαρξη ένειξης εκτός εέγχου, το AATS Adusted Average Tie to Sigal που είναι ο προσαρμοσμένος μέσος χρόνος από τη στιγμή της εμφάνισης της συστηματικής αιτίας μέχρι την ύπαρξη ένειξης και το ASS Average uber o Sales to Sigal που είναι ο μέσος αριθμός ειγμάτων από το ξεκίνημα της παραγωγικής ιαικασίας μέχρι την ύπαρξη ένειξης Οι Reyolds et al 988 αναπτύσσουν ένα ιάγραμμα εέγχου μέσης τιμής στο οποίο το ιάστημα μέχρι την επόμενη ειγματοηψία h είναι τόσο μικρότερο όσο πιο κοντά βρίσκεται η μέση τιμή του είγματος στα όρια εέγχου Εντούτοις, μετά από εκτενή αριθμητική ανάυση οηγούνται στο συμπέρασμα πως η ύπαρξη ποών επιογών για το h εν οηγεί αναγκαστικά στην εαχιστοποίηση του ATS Διαπιστώνουν αντίθετα, πως αρκεί να υπάρχουν ύο μόνο επιογές για το h, μία μεγάη τιμή, η οποία επιέγεται όταν η μέση τιμή του είγματος, όχι μόνο είναι εντός των ορίων εέγχου ± σ /, αά και εντός συγκεκριμένων προειοποιητικών ορίων ± v σ / με v <, και μία μικρή τιμή, που επιέγεται όταν η μέση τιμή του είγματος είναι μεταξύ των προειοποιητικών ορίων και των ορίων εέγχου Θεωρητικές προσεγγίσεις σχετικές με την παραπάνω ιαπίστωση για ιάφορους τύπους ιαγραμμάτων αναφέρονται στις εργασίες των Reyolds ad Arold 989 για 5

40 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών μονόπευρο ιάγραμμα X, Reyolds 989 για αμφίπευρο ιάγραμμα X και Ruger ad Pigatiello 99 για μονόπευρο αά και αμφίπευρο ιάγραμμα X Αριθμητικές συγκρίσεις μεταξύ ιαγραμμάτων VS και απών στατικών, οι οποίες είχνουν τη σαφή υπεροχή των υναμικών, αναφέρονται εκτός των άων και στην εργασία των Ruger ad Motgoery 993, οι οποίοι ιαπιστώνουν πως το AATS εν εαχιστοποιείται όταν υπάρχουν μόνο ύο επιογές για το ιάστημα μεταξύ ειγματοηψιών h αά εντούτοις το προτείνουν καθώς αφενός είναι πιο απή η εφαρμογή και αφετέρου οι περισσότερες επιογές εν επιφέρουν σημαντική βετίωση στη στατιστική συμπεριφορά των ιαγραμμάτων Οι Ai ad Miller 993 προσομοιώνουν τη ειτουργία ιαγραμμάτων VS και αποεικνύουν πως η στατιστική τους συμπεριφορά είναι καύτερη από αυτήν των ιαγραμμάτων με σταθερά h FS, Fixed Salig terval ακόμη και όταν αίρεται η υπόθεση της κανονικότητας της κατανομής του μετρούμενου χαρακτηριστικού ποιότητας Οι Chegalur et al 989 μεέτησαν ιαγράμματα VS για τον έεγχο της μέσης τιμής και της μεταβητότητας ορισμένου συνεχούς χαρακτηριστικού ποιότητας Οι Ai ad cube 99 ανέπτυξαν συνυασμένο υναμικό ιάγραμμα Shehart και cuulative score μια απουστευμένη μορφή αθροιστικού ιαγράμματος Διαγράμματα VS με την προσθήκη ιαφόρων κανόνων σειρών μεετήθηκαν από τους Ai ad Letsiger 99, Ai ad Heasiha 993, Lee ad Bai και Bai ad Lee, οι οποίοι χρησιμοποίησαν τους κανόνες σειρών για τον προσιορισμό του χρόνου της επόμενης ειγματοηψίας, από τους Reyolds et al 988 και Reyolds 996a, που χρησιμοποίησαν τους κανόνες σειρών για τον προσιορισμό της απόφασης επέμβασης ή όχι στη ιαικασία και από τους Cui ad Reyolds 988, οι οποίοι συνύασαν και τις ύο αυτές αποφάσεις 6

41 Βιβιογραφική επισκόπηση Μια παρααγή των ιαγραμμάτων VS, η οποία αναπτύχθηκε με στόχο την ευκοότερη εφαρμογή σε παραγωγικές ιαικασίες όπου υπάρχουν περιορισμοί στους χρόνους ειγματοηψίας, είναι αυτή κατά την οποία τα είγματα αμβάνονται ανά τακτά χρονικά ιαστήματα ή και εμβόιμα μεταξύ των χρονικών αυτών ιαστημάτων, όταν υπάρχει ένειξη από το ιάγραμμα VSFT Τέτοιου είους ειγματοηψία προτάθηκε από τον Reyolds 996b για ιαγράμματα Shehart, EWMA και CUSUM και από τον Reyolds 996a για συνυασμένη χρήση ιαγραμμάτων Shehart και EWMA Τα ιαγράμματα VSS προτάθηκαν για πρώτη φορά από τον Croasdale 974 που ανέπτυξε ένα ιάγραμμα κατά το οποίο σε κάθε ειγματοηψία υπάρχει η υνατότητα να ηφθεί η απόφαση να συνεχιστεί κανονικά η ιαικασία όταν η μέση τιμή του είγματος είναι μεταξύ ορισμένων προειοποιητικών ορίων ± v σ /, ή να ηφθεί άμεσα ένα εύτερο είγμα εάν η μέση τιμή του είγματος είναι εκτός των προειοποιητικών ορίων Στην περίπτωση αυτή η ιαικασία σταματά προς έεγχο εάν η μέση τιμή του ευτέρου είγματος βρεθεί εκτός των ορίων εέγχου ± σ / Ο Daudi 99 προτείνει ένα παρόμοιο ιάγραμμα VSS στο οποίο είναι υνατή η επέμβαση στη ιαικασία ακόμα και από το πρώτο είγμα εφόσον η μέση τιμή αυτού βρεθεί εκτός των ορίων εέγχου Διαγράμματα VSS στα οποία σε κάθε ειγματοηψία αμβάνεται η απόφαση για το μέγεθος του επομένου είγματος, ανάογα με τη μέση τιμή του τρέχοντος είγματος, αναπτύχθηκαν από τους Prabhu et al 993 και Costa 994 ο οποίος συνέκρινε τη στατιστική συμπεριφορά ιαφόρων ιαγραμμάτων VSS Οι Zier et al 998 μεετούν τη στατιστική συμπεριφορά ιαγραμμάτων VSS όπου το μέγεθος του είγματος μπορεί να άβει τρεις αντί για ύο τιμές ενώ οι He et al 7

42 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών χρησιμοποιούν γενετικούς αγορίθμους για να εαχιστοποιήσουν το ARL ιαγραμμάτων VSS, όπου το μέγεθος είγματος μπορεί να άβει είτε ύο είτε τρεις τιμές, και στη συνέχεια συγκρίνουν τα ιαγράμματα μεταξύ τους Οι Aadi et al 995 προτείνουν ένα αθροιστικό ιάγραμμα VSS και το αναύουν με τη χρήση Μαρκοβιανών αυσίων Οι Par ad Reyolds 994 και Costa 994 προτείνουν για τη στατιστική σύγκριση ιαγραμμάτων VSS το στατιστικό μέγεθος AOS Average uber o Observatios to Sigal, ηαή το μέσο αριθμό παρατηρούμενων μονάων μέχρι την ύπαρξη ένειξης Φυσικό επακόουθο της ιαπίστωσης πως τόσο τα VS όσο και τα VSS ιαγράμματα υπερτερούν απέναντι στα απά στατικά ιαγράμματα, ήταν η σχείαση ιαγραμμάτων όπου τόσο το ιάστημα μεταξύ ειγματοηψιών όσο και το μέγεθος είγματος επιτρέπεται να μεταβάονται κατά τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας VSS Χαρακτηριστικές σε αυτήν την περιοχή είναι οι εργασίες των Prabhu et al 994,995 και Costa 997,998 Οι Wu ad Luo 4 ανέπτυξαν ιάγραμμα VSS για τον αριθμό εαττωματικών και συνέκριναν τη στατιστική του συμπεριφορά με πιο απά υναμικά ιαγράμματα VS, VSS, με ιαγράμματα με σταθερές παραμέτρους F καθώς και με απά αά και υναμικά αθροιστικά ιαγράμματα Ο Costa 998 περιγράφει στην εργασία του ένα ιάγραμμα με μεταβητό μέγεθος είγματος κατά το οποίο τα είγματα αμβάνονται ανά τακτά χρονικά ιαστήματα ή και εμβόιμα μεταξύ των χρονικών ιαστημάτων VSSFT Τα ιαγράμματα όπου όες οι παράμετροι σχείασης επιτρέπεται να μεταβάονται υναμικά σε πραγματικό χρόνο ονομάζονται ιαγράμματα V Στατιστικά σχειασμένο ιάγραμμα V Shehart- X προτείνεται από τον Costa 999 ενώ ιάγραμμα V 8

43 Βιβιογραφική επισκόπηση εαττωματικών παρουσιάζεται στην εργασία των Erecht et al 3, στην οποία επίσης παρουσιάζεται εκτεταμένη στατιστική σύγκριση μεταξύ ιαφόρων υναμικών και στατικών ιαγραμμάτων Δυναμικά ιαγράμματα Shehart - οικονομική σχείαση Όπως στην περίπτωση της σχείασης ιαγραμμάτων με στατιστικά κριτήρια έτσι και όταν η σχείαση είναι οικονομική, η υπεροχή των υναμικών ιαγραμμάτων έναντι των απών στατικών έγινε γρήγορα αντιηπτή από τους ερευνητές, οι οποίοι έχουν μέχρι σήμερα προτείνει πηθώρα οικονομικά σχειασμένων ιαγραμμάτων με μία ή περισσότερες παραμέτρους σχείασης μεταβητές Τα περισσότερα από αυτά βασίστηκαν σε αντίστοιχα στατιστικά σχειασμένα ιαγράμματα στα οποία προστέθηκαν οικονομικά στοιχεία, αναπτύχθηκαν οι συναρτήσεις κόστους ή κέρους και βετιστοποιήθηκαν βάσει των συναρτήσεων αυτών Ξεκινώντας πάι από τα ιαγράμματα VS, αναφέρονται τα οικονομικά πρότυπα εέγχου μέσης τιμής των Das et al 997, οι οποίοι εφαρμόζουν οικονομικά στοιχεία στο μοντέο των Cui ad Reyolds 988 με ή χωρίς κανόνες σειρών και των Bai ad Lee 998, οι οποίοι παρατηρούν πως η βετίωση στο κόστος από τη χρήση ιαγραμμάτων VS με ύο πιθανές τιμές h σε σχέση με τα ιαγράμματα F είναι μεγαύτερη από τη βετίωση που επιτυγχάνεται από τη χρήση ιαγραμμάτων VS με τρεις πιθανές τιμές h σε σχέση με τα ιαγράμματα VS με ύο πιθανές τιμές h Οι Par ad Reyolds 994 αναπτύσσουν πρότυπο οικονομικής σχείασης ιαγράμματος με μεταβητό μέγεθος είγματος VSS προσθέτοντας οικονομικά στοιχεία στο αντίστοιχο μοντέο των Prabhu et al 993 9

44 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Διαγράμματα σχειασμένα με οικονομικά κριτήρια στα οποία μεταβάεται τόσο το ιάστημα μεταξύ ειγματοηψιών όσο και το μέγεθος είγματος VSS αναπτύσσονται από τους Das ad Jai 997, οι οποίοι πάντως αντιμετωπίζουν το μέγεθος είγματος και το ιάστημα μεταξύ ειγματοηψιών ως τυχαίες μεταβητές όγω των ιιαιτεροτήτων ορισμένων παραγωγικών ιαικασιών και από τους Par ad Reyolds 999, οι οποίοι συγκρίνουν με οικονομικά κριτήρια στατικά ιαγράμματα μέσης τιμής με ιαγράμματα VSS και παρατηρούν πως η χρήση του ίιου ορίου v threshold για τον προσιορισμό των επόμενων και h επιφέρει αμεητέα αύξηση στο κόστος σε σχέση με τη χρήση ξεχωριστών ορίων για το και για το h Διαγράμματα V όπου η απόφαση για τις επόμενες τιμές των παραμέτρων βασίζεται στα ηφθέντα είγματα εξετάστηκαν από τους De Magalhaes et al και Costa ad Rahi Οι Costa ad De Magalhaes 5 προτείνουν ένα πήρως υναμικό οικονομικά σχειασμένο ιάγραμμα εέγχου μέσης τιμής, στο οποίο χρησιμοποιούν μια βοηθητική μεταβητή Συγκεκριμένα, το ιάγραμμα που προτείνουν βρίσκει εφαρμογή σε ιαικασίες όπου είναι απανηρή η παρακοούθηση όων των μέσων τιμών x των ειγμάτων Έτσι, όταν η μέση τιμή ενός είγματος είναι κοντά στην κεντρική γραμμή του ιαγράμματος τότε η παρακοούθηση της ιαικασίας γίνεται μέσω μιας βοηθητικής μεταβητής με μικρότερο κόστος εέγχου Οι De Magalhaes ad eto 5 αναπτύσσουν ένα πήρως υναμικό ιάγραμμα για το συνυασμένο έεγχο της μέσης τιμής και του εύρους του χαρακτηριστικού ποιότητας Σύνθετα υναμικά ιαγράμματα Αθροιστικά ιαγράμματα CUSUM των οποίων το ιάστημα μεταξύ ειγματοηψιών μπορεί να μεταβάεται αναφέρουν οι Reyolds et al 99 και 3

45 Βιβιογραφική επισκόπηση Reyolds 995, οι οποίοι παρουσιάζουν και τρόπους υποογισμού των στατιστικών χαρακτηριστικών τέτοιων ιαγραμμάτων Αθροιστικά ιαγράμματα VSS προτείνονται από τους Redtel 99 για ποσοστό εαττωματικών και από τους Arold ad Reyolds οι οποίοι παρουσιάζουν εκτός από μονόπευρο, ένα αμφίπευρο VSS CUSUM και πραγματοποιούν συγκρίσεις με πιο απά αθροιστικά ιαγράμματα Αντίστοιχα, ιαγράμματα εκθετικής εξομάυνσης VS προτείνονται από τους Saccucci et al 99 και Shaa et al 99 για ύο συστηματικές αιτίες Οι Shaa ad Ai 993 σχειάζουν ιάγραμμα εκθετικής εξομάυνσης για την παρακοούθηση της μέσης τιμής αά και της μεταβητότητας Οι Reyolds ad Stoubos αναπτύσσουν ιαγράμματα VS Shehart, EWMA και κινούμενου εύρους ovig rage, MR για την παρακοούθηση της μέσης τιμής και της μεταβητότητας ορισμένου χαρακτηριστικού ποιότητας και αξιοογούν τη στατιστική τους συμπεριφορά Καταήγουν στο συμπέρασμα πως η χρήση ιαγραμμάτων Shehart και MR, είτε μεμονωμένα είτε σε συνυασμό, εν είναι ικανή να ανιχνεύσει γρήγορα μικρές και μεσαίες μετατοπίσεις της μέσης τιμής όσο γρήγορα ανιχνεύονται αν χρησιμοποιείται ιάγραμμα EWMA Επίσης, μέσω αριθμητικών συγκρίσεων, καταεικνύουν στην εργασία τους τη σημαντική μείωση στον αναμενόμενο χρόνο ανίχνευσης της συστηματικής αιτίας από τη χρήση ιαγραμμάτων με μεταβητό h σε σχέση με τα ιαγράμματα με σταθερές παραμέτρους Οι Reyolds ad Arold προτείνουν ιάγραμμα εέγχου EWMA με μεταβητό h VS, μεταβητό VSS ή συνυασμό αυτών VSS και πραγματοποιούν εκτεταμένες συγκρίσεις με αντίστοιχα ιαγράμματα Shehart και CUSUM σχετικά με το μέσο χρόνο ανίχνευσης της συστηματικής αιτίας 3

46 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Πιο πρόσφατα, oι Par et al 4 περιγράφουν την οικονομική σχείαση ιαγράμματος εκθετικής εξομάυνσης με υναμικές παραμέτρους h και και συγκρίνουν το κόστος του με το κόστος χρήσης ενός απού στατικού ιαγράμματος εκθετικής εξομάυνσης Στατιστικές συγκρίσεις ιαφόρων ιαγραμμάτων VS πραγματοποιούν μεταξύ άων οι Ai ad Letsiger 99, Reyolds 995, Arold ad Reyolds και Reyolds ad Arold Μια πού εμπεριστατωμένη σύνοψη στα υναμικά ιαγράμματα εέγχου εμπεριέχεται στην εργασία του Tagaras 998 Οι Woodall ad Motgoery 999 παρουσιάζουν μια γενική σύνοψη ιαφόρων ιαγραμμάτων εέγχου υναμικών και στατικών, οικονομικά και στατιστικά σχειασμένων και προτείνουν κατευθύνσεις μεοντικής έρευνας Οι Zier et al ίνουν χρήσιμες οηγίες και συμβουές για τη σωστή και αποτεεσματική χρήση των υναμικών ιαγραμμάτων εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Τα αποτεέσματα από τις συγκρίσεις που έχουν κατά καιρούς πραγματοποιηθεί μεταξύ στατικών και υναμικών, απών και σύνθετων ιαγραμμάτων έχουν οηγήσει στο συμπέρασμα πως η χρήση υναμικών παραμέτρων οηγεί σε βετίωση της συμπεριφοράς των ιαγραμμάτων σε σχέση με τη συμπεριφορά των ιαγραμμάτων με στατικές παραμέτρους σχείασης, είτε αυτή αξιοογείται με στατιστικά, είτε με οικονομικά κριτήρια Η βετίωση της συμπεριφοράς των ιαγραμμάτων είναι συνήθως μεγαύτερη όταν επιτρέπεται η μεταβοή του h VS από τη βετίωση που επιτυγχάνεται από τη μεταβοή του VSS ενώ η συνυασμένη μεταβοή των h και οηγεί σε ακόμα καύτερα στατιστικά και οικονομικά αποτεέσματα Επίσης, συνήθως αρκεί να υπάρχουν ύο επιογές μία μεγάη και μία μικρή για το h ή/και για το 3

47 Βιβιογραφική επισκόπηση καθώς οι περισσότερες επιογές περιπέκουν το σχειασμό και τη χρήση των ιαγραμμάτων χωρίς να βετιώνουν σημαντικά τη συμπεριφορά τους Επιπέον, η σύγκριση μεταξύ των ιαφόρων τύπων ιαγραμμάτων οηγεί στο συμπέρασμα πως τα αθροιστικά ιαγράμματα και τα ιαγράμματα εκθετικής εξομάυνσης είναι συνήθως πού αποοτικότερα στην ανίχνευση μικρών και μεσαίων μετατοπίσεων στη μέση τιμή του χαρακτηριστικού ποιότητας σε σχέση με τα ιαγράμματα Shehart Διαγράμματα Bayes Για τη ιαμόρφωση της βέτιστης ποιτικής εέγχου με οικονομικά κριτήρια ποές εργασίες χρησιμοποιούν την προσέγγιση Bayes Σύμφωνα με την προσέγγιση αυτή σε κάθε ειγματοηψία αναθεωρείται η πιθανότητα η παραγωγική ιαικασία να ειτουργεί εκτός στατιστικού εέγχου βάσει του θεωρήματος Bayes αμβάνοντας υπόψη το σύνοο των ιαθέσιμων πηροφοριών Πριν την παρουσίαση των οικονομικά σχειασμένων ιαγραμμάτων Bayes θα πρέπει να αναφερθεί πως παρόο που τα ιαγράμματα αυτά συνυάζονται συνήθως με οικονομική σχείαση, υπάρχουν εργασίες όπου το θεώρημα Bayes χρησιμοποιήθηκε για τη βέτιστη επιογή των παραμέτρων του σχήματος με στατιστικά κριτήρια Χαρακτηριστική είναι η εργασία του Vaugha 993, ο οποίος ανέπτυξε ιάγραμμα VS για τη μεέτη του αριθμού εαττωματικών, όπου σε κάθε ειγματοηψία χρησιμοποιείται το θεώρημα Bayes για την αναθεώρηση της πιθανότητας να έχει επιράσει η συστηματική αιτία Στη συνέχεια επιέγεται το επόμενο ιάστημα ειγματοηψίας με κριτήριο την εαχιστοποίηση του μέσου χρόνου ανίχνευσης της συστηματικής αιτίας 33

48 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Οι πρώτες τεχνικές υναμικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών με αξιοποίηση του θεωρήματος Bayes και με χρήση οικονομικών κριτηρίων αναπτύχθηκαν από τους Girshic ad Rubi 95, Bather 963 και Taylor 965,967 Οι πρώτες αυτές εργασίες, αν και θέτουν τις βάσεις για την ανάπτυξη των ιαγραμμάτων Bayes, εντούτοις είναι πού γενικές και εν εστιάζουν άμεσα στη σχείαση των ιαγραμμάτων Πρώτος ο Carter 97 μεετά στην εργασία του θέματα σχετικά με τη βέτιστη επιογή μεγεθών είγματος και ιαστημάτων μεταξύ ιαοχικών ειγματοηψιών στο παίσιο σχείασης των ιαγραμμάτων Bayes Ποά χρόνια αργότερα ο Tagaras 994 ιαμορφώνει μοντέο υναμικού προγραμματισμού για το βέτιστο έεγχο της μέσης τιμής ορισμένου χαρακτηριστικού ποιότητας μιας παραγωγικής ιαικασίας, με κριτήριο την εαχιστοποίηση του μέσου κόστους ποιότητας Οι μεταβαόμενες παράμετροι σχείασης του προτεινόμενου ιαγράμματος εέγχου μέσης τιμής είναι η παράμετρος θέσης των ορίων εέγχου και ο χρόνος μεταξύ ειγματοηψιών h Το μέγεθος είγματος παραμένει σταθερό σε κάθε ειγματοηψία Μέσω εκτεταμένης αριθμητικής ανάυσης ιαπιστώνεται μεταξύ άων ο σημαντικός περιορισμός του κόστους από τη χρήση του προτεινόμενου ιαγράμματος σε σχέση με το βέτιστο στατικό ιάγραμμα εέγχου Γενίκευση της παραπάνω ερευνητικής εργασίας παρουσιάζεται σε μια μεταγενέστερη ημοσίευση του ιίου Tagaras, 996 όπου το μέγεθος του είγματος μπορεί επίσης να μεταβάεται υναμικά Ο Calabrese 995 αναπτύσσει μοντέο βετιστοποίησης ιαγράμματος Bayes για τον έεγχο του ποσοστού εαττωματικών, στο οποίο ως μόνη μεταβαόμενη παράμετρος κατά τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας θεωρείται έμμεσα η θέση των ορίων εέγχου, καθώς στο ιάγραμμα αυτό εν υπάρχουν όρια εέγχου αά πιθανότητες ειτουργίας εντός και εκτός στατιστικού εέγχου 34

49 Βιβιογραφική επισκόπηση Εκτεταμένη μεέτη ιαγραμμάτων εέγχου μέσης τιμής, που χρησιμοποιούν το θεώρημα Bayes, παρουσιάζονται επίσης στη ιακτορική ιατριβή του Νικοαΐη και στο άρθρο των Tagaras ad iolaidis, το οποίο αναφέρεται σε μονόπευρα ιαγράμματα εέγχου μέσης τιμής με υναμικά μεταβαόμενες παραμέτρους, h, είτε μεμονωμένα, είτε σε συνυασμό Ενεικτικές εργασίες στην οικονομική σχείαση υναμικών ιαγραμμάτων Bayes είναι αυτές των Porteus ad Agelus 997, οι οποίοι επισημαίνουν ευκαιρίες για μείωση του κόστους ποιότητας, των Colosio ad Seeraro 999, οι οποίοι προτείνουν ιάγραμμα Bayes για την παρακοούθηση του αριθμού εαττωμάτων, και της Colosio 3, η οποία προσεγγίζει το θέμα των ιαγραμμάτων Bayes χρησιμοποιώντας αυσίες Marov Οι Celao et al 3 συγκρίνουν οικονομικά το μοντέο του Tagaras 996 για ιάφορους συνυασμούς μεταβητών παραμέτρων και παρουσιάζουν έναν αγόριθμο μείωσης του υποογιστικού χρόνου Σε μία εργασία υπό ιαμόρφωση οι Celao et al 5 χρησιμοποιούν υβριικούς γενετικούς-υναμικούς αγορίθμους για τον προσιορισμό της βέτιστης ποιτικής αμφίπευρων ιαγραμμάτων Bayes με οικονομικά κριτήρια Οι iolaidis et al 6 εφαρμόζουν το πήρως υναμικό μοντέο των Tagaras ad iolaidis στον έεγχο ορισμένης φάσης της ιαικασίας παραγωγής κεραμικών πακιίων μεγάης εηνικής εταιρίας Οι συγκριτικές αναύσεις μεταξύ στατικών ιαγραμμάτων και ιαγραμμάτων Bayes που έχουν παρουσιαστεί μέχρι σήμερα καταεικνύουν την ανωτερότητα τόσο της στατιστικής όσο και της οικονομικής απόοσης των ιαγραμμάτων Bayes Η ανωτερότητα αυτή είναι τόσο περισσότερο εμφανής όσο περισσότερες είναι οι υναμικές παράμετροι των ιαγραμμάτων Bayes αά και όσο περισσότερες είναι οι επιτρεπτές τιμές των παραμέτρων αυτών 35

50 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Πριν οοκηρωθεί η βιβιογραφική επισκόπηση πρέπει να σημειωθεί ότι εκτός από τις εργασίες όπου το θεώρημα Bayes χρησιμοποιείται για τον προσιορισμό των παραμέτρων σχείασης των σχημάτων εέγχου, υπάρχουν και εργασίες οι οποίες χρησιμοποιούν το μετασχηματισμό Bayes για τον προσιορισμό των χαρακτηριστικών ειτουργίας της παραγωγικής ιαικασίας όταν αυτά εν είναι γνωστά Χαρακτηριστική σε αυτήν την κατεύθυνση είναι η εργασία του Wassera 995 ο οποίος χρησιμοποιεί ιάγραμμα εκθετικής εξομάυνσης σε παραγωγική ιαικασία πεπερασμένου χρονικού ορίζοντα όπου η μέση τιμή και η μεταβητότητα του χαρακτηριστικού εν είναι γνωστές και οι τιμές τους αναθεωρούνται σε κάθε ειγματοηψία με τη χρήση του μετασχηματισμού Bayes Αντίθετα, στα μαθηματικά πρότυπα της παρούσας ιατριβής, αά και σε όες τις ημοσιεύσεις που προαναφέρθηκαν, θεωρούνται γνωστές οι παράμετροι του χαρακτηριστικού ποιότητας της ιαικασίας, τόσο στην κατάσταση στατιστικού εέγχου, όσο και στην εκτόςεέγχου κατάσταση 36

51 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου 3 ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Στο κεφάαιο αυτό η ιατριβή επικεντρώνεται σε παραγωγικές ιαικασίες στις οποίες επιρά περιοικά μία μοναική συστηματική αιτία, η οποία προκαεί μονόπευρη μετατόπιση της μέσης τιμής του μετρούμενου χαρακτηριστικού ποιότητας χωρίς όμως να επηρεάζεται η μεταβητότητα της κατανομής του Θεωρείται ειικότερα πως όταν η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο, το μετρούμενο χαρακτηριστικό ποιότητας Χ κατανέμεται κανονικά γύρω από μια επιθυμητή μέση τιμή μ με γνωστή μεταβητότητα σ : X ~ μ σ, Ανά πάσα στιγμή, μπορεί να επιράσει η συστηματική αιτία η οποία προκαεί μεταβοή στη μέση τιμή του χαρακτηριστικού κατά τυπικές αποκίσεις Στην περίπτωση αυτή η κατανομή του μετρούμενου χαρακτηριστικού συνεχίζει να είναι κανονική με την ίια μεταβητότητα σ αά με νέα μέση τιμή μ μ σ ή ισούναμα μ μ σ για αρνητικές μεταβοές Η παραγωγική ιαικασία συνεχίζει να ειτουργεί υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας μέχρι αυτή να αποκαυφθεί και η επίρασή της να εξαειφθεί Επειή η επίραση της συστηματικής αιτίας εν μπορεί να γίνει άμεσα αντιηπτή, η προσπάθεια ανίχνευσής της πραγματοποιείται μέσω μετρήσεων σε αμβανόμενα είγματα Στη συνέχεια, αντί της πραγματικής μέσης τιμής των ειγμάτων x x ~ / μ, ή x ~ μ, / σ σ, θα χρησιμοποιούνται μόνο ανηγμένες τιμές x μ /σ Η ανηγμένη μέση τιμή κάθε είγματος είναι τυχαία μεταβητή που ακοουθεί επίσης κανονική κατανομή Όταν η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο θα είναι ~,, ενώ όταν έχει επιράσει η συστηματική αιτία ~, 37

52 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Η εμφάνιση της συστηματικής αιτίας θεωρείται πως αποτεεί ιαικασία Poisso με μέση τιμή εμφανίσεις ανά μονάα χρόνου Κατά συνέπεια, ο χρόνος μεταξύ ιαοχικών εμφανίσεων της συστηματικής αιτίας ακοουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή / μονάες χρόνου Η παραοχή της εκθετικής κατανομής και η ιιότητα της έειψης μνήμης που τη χαρακτηρίζει αποτεούν σημαντικό παράγοντα στην ανάπτυξη των μαθηματικών προτύπων όπως θα φανεί στη συνέχεια της ιατριβής Η παραγωγική ιαικασία θεωρείται πως θα ειτουργήσει για συγκεκριμένο και συχνά πού μικρό χρονικό ιάστημα Τ, μέχρι την οοκήρωση παραγωγής μιας συγκεκριμένης παρτίας προϊόντων Η παραοχή αυτή, η οποία όπως έχει ήη αναφερθεί είναι όο και πιο ρεαιστική σε πραγματικές παραγωγικές ιαικασίες, καθιστά αναποτεεσματική τη χρήση των πιο γενικών μοντέων που έχουν κατά καιρούς προταθεί στη βιβιογραφία για ειτουργία σε άπειρο χρονικό ορίζοντα καθώς έτσι αγνοούνται οι αρχικές και τεικές συνθήκες της ιαικασίας Τα στοιχεία κόστους που σχετίζονται άμεσα με τη ειτουργία των ιαγραμμάτων είναι τα ακόουθα Καταρχάς υπάρχει το κόστος εέγχου της κάθε μονάας προϊόντος, το οποίο ισούται με c και το σταθερό κόστος ειγματοηψίας, b Αν από το ιάγραμμα ηφθεί ένειξη ύπαρξης της συστηματικής αιτίας και κατά τον έεγχο αποειχθεί πως στην πραγματικότητα η ιαικασία ήταν σε στατιστικό έεγχο σφάμα πρώτου είους, το κόστος της εσφαμένης ιακοπής ειτουργίας της ιαικασίας είναι L Σε περίπτωση που κατά τον έεγχο ιαπιστωθεί ύπαρξη της συστηματικής αιτίας, η ιαικασία αποκαθίσταται σε στατιστικό έεγχο με κόστος L L Το κόστος ποιότητας ανά μονάα χρόνου ειτουργίας της ιαικασίας υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας είναι Μ και οφείεται σε χαμηότερο επίπεο ποιότητας των παραγομένων προϊόντων ή/και υψηότερο ειτουργικό κόστος 38

53 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου 3 Από στατικό ιάγραμμα Shehart Το ιάγραμμα Shehart περιγράφηκε ήη στη βιβιογραφική επισκόπηση της ιατριβής Tο σφάμα πρώτου είους α και εύτερου είους β για το από μονόπευρο ιάγραμμα Shehart υποογίζονται από τις ακόουθες σχέσεις: α Φ, 3 β Φ 3 όπου είναι το όριο εέγχου, η μετατόπιση που προκαεί η συστηματική αιτία στη μέση τιμή του χαρακτηριστικού μετρημένη σε τυπικές αποκίσεις, το μέγεθος κάθε είγματος και Φ η συνάρτηση αθροιστικής πιθανότητας της ανηγμένης κανονικής κατανομής Ν, Αναυτικά όοι οι συμβοισμοί που χρησιμοποιούνται στη ιατριβή βρίσκονται στον πίνακα συμβοισμών του παραρτήματος Α Με βάση τα παραπάνω είναι υνατός ο υποογισμός ιαφόρων στατιστικών χαρακτηριστικών που σχετίζονται με τη ειτουργία του ιαγράμματος Shehart για παραγωγική ιαικασία πεπερασμένου χρονικού ορίζοντα Επειή ο συνοικός αριθμός των ειγμάτων που θα ηφθούν είναι συγκεκριμένος και πεπερασμένος έστω, η ιαικασία μπορεί να οοκηρωθεί ακόμη και χωρίς να οθεί ένειξη ειτουργίας εκτός εέγχου Για το όγο αυτό ορίζεται εώ ένα νέο στατιστικό μέτρο για την αξιοόγηση της στατιστικής συμπεριφοράς του ιαγράμματος, ανάογο του ARL, το οποίο θα ονομάζεται TARL Trucated ARL, και είναι ο μέσος αριθμός ειγμάτων μέχρι να ηφθεί από το ιάγραμμα ένειξη ειτουργίας εκτός εέγχου ή να οοκηρωθεί η ιαικασία Το TARL μπορεί να υποογίζεται τόσο για κατάσταση στατιστικού εέγχου TARL, όσο και για ειτουργία εκτός στατιστικού εέγχου TARL Τα TARL υποογίζονται γενικά από τη μέση τιμή της τυχαίας μεταβητής U: 39

54 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών U i { i : >, i,,, } i αν αν i > για κάποιο i {,,, } 33 i,,, i για κάθε { } Στην περίπτωση οιπόν χρήσης ιαγράμματος Shehart σε παραγωγική ιαικασία κατά τη ιάρκεια της οποίας θα πραγματοποιηθούν ειγματοηψίες, τα TARL υποογίζονται από τις ακόουθες σχέσεις: TARL α α α α, 34 α TARL β β β β 35 β Άα χρήσιμα στατιστικά χαρακτηριστικά είναι η πιθανότητα να ηφθεί ένειξη μέσα σε συγκεκριμένο αριθμό ειγμάτων, q και q για ειτουργία εντός και εκτός εέγχου αντίστοιχα: q α, 36 q β 37 Εαχιστοποίηση κόστους Ο Tagaras 996 στην εργασία του παρουσιάζει αναυτική συνάρτηση μέσου συνοικού κόστους για ιαικασία πεπερασμένου χρονικού ορίζοντα που παρακοουθείται από ιάγραμμα Shehart: C,, c b M h όπου: γ β F M h γ F β α γ β L F L γ F β 38 γ e h 39 4

55 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου είναι η πιθανότητα επίρασης της συστηματικής αιτίας σε χρόνο h και FΝ είναι η πιθανότητα το ιάστημα μετά τη ειγματοηψία Ν να ξεκινά με τη ιαικασία υπό στατιστικό έεγχο Η συνάρτηση FΝ ίνεται από την εξής σχέση: γ β γ β F 3 γ β Για όγους ομοιομορφίας, και επειή για την ανάπτυξη ποών προτεινόμενων ιαγραμμάτων στη ιατριβή χρησιμοποιούνται αυσίες Marov, παρουσιάζεται στη συνέχεια ένας εναακτικός τρόπος ανάπτυξης του ιαγράμματος για παραγωγική ιαικασία πεπερασμένου χρονικού ορίζοντα με χρήση αυσίων Marov Έστω Y Ν η πραγματική κατάσταση της ιαικασίας μετά τη ειγματοηψία Ν, όπου Y υποηώνει ειτουργία υπό στατιστικό έεγχο και Y αναφέρεται σε ειτουργία υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας Σε κάθε ειγματοηψία Ν υπάρχει η υνατότητα επέμβασης στη ιαικασία προς αναζήτηση ύπαρξης συστηματικής αιτίας και αποκατάστασή της a Ν ή μη επέμβασης a Ν Το ζεύγος Υ Ν,a Ν μπορεί να θεωρηθεί ως ισιάστατη κατάσταση μιας Μαρκοβιανής αυσίας Οι πιθανότητες μετάβασης από κάθε κατάσταση Υ Ν-,a Ν- σε κάθε υνατή κατάσταση Υ Ν,a Ν θα συμβοίζονται με l όπου και i οι τιμές των Υ Ν- i και α Ν- αντίστοιχα και l και οι τιμές των Y Ν και a Ν αντίστοιχα Άρα η l συμβοίζει i την πιθανότητα μετάβασης από τη ισιάστατη κατάσταση Υ Ν-,a Ν-,i στην Υ Ν,a Ν l, σε ένα βήμα μια ειγματοηψία Αντίστοιχα, η πιθανότητα l i συμβοίζει την πιθανότητα μετάβασης από την κατάσταση,i στην l, σε Ν βήματα ειγματοηψίες Το στοχαστικό μητρώο P που περιγράφει τη μετάβαση από κάθε πιθανή ισιάστατη κατάσταση σε οποιαήποτε άη είναι: 4

56 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών,,,, P,,,, γ α γ α γ α γ α γ α γ α γβ γβ β γβ γ β γ β β γ β 3 Οι τέσσερις καταστάσεις που περιγράφουν το παραπάνω μητρώο μετάβασης χαρακτηρίζονται από το αν έχει επιράσει η συστηματική αιτία ή όχι τιμή του Υ καθώς και από το εάν η απόφαση που αμβάνεται είναι επέμβαση στη ιαικασία ή όχι τιμή του a Το κόστος ποιότητας από την παρακοούθηση της παραγωγικής ιαικασίας αποτεείται από α κόστος εέγχου, β κόστος ειτουργίας υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας, γ κόστος εσφαμένων ενείξεων ύπαρξης βάβης και κόστος αποκαταστάσεων της ιαικασίας σε ειτουργία εντός εέγχου επιιόρθωση βαβών Καταρχάς παρουσιάζονται οι επιμέρους σχέσεις για κάθε στοιχείο κόστους και στη συνέχεια αθροίζονται ώστε να προκύψει η συνοική συνάρτηση κόστους συναρτήσει των παραμέτρων σχείασης, και α Κόστος εέγχου Το κόστος εέγχου της κάθε εεγχόμενης μονάας ισούται με c ενώ το σταθερό κόστος ειγματοηψίας ισούται με b Επειή ο συνοικός αριθμός ειγμάτων που θα ηφθούν μέχρι την οοκήρωση της ιαικασίας είναι Ι, το συνοικό κόστος εέγχου θα είναι c b β Κόστος ειτουργίας υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας Το κόστος ποιότητας ανά μονάα χρόνου ειτουργίας της ιαικασίας υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας είναι Μ Σε κάθε χρονικό ιάστημα μεταξύ 4

57 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου ιαοχικών ειγματοηψιών Νh,Νh, υπάρχουν ύο περιπτώσεις κατά τις οποίες μπορεί η ιαικασία να επιβαρυνθεί με το κόστος αυτό Η πρώτη περίπτωση υφίσταται όταν η ιαικασία ειτουργεί ήη υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας στην αρχή του χρονικού ιαστήματος που εξετάζεται, όγω σφάματος ευτέρου είους στο είγμα Ν Η πιθανότητα να συμβεί αυτό ισούται με Στην περίπτωση αυτή η ιαικασία θα ειτουργήσει εκτός εέγχου για όο το χρονικό ιάστημα h με συνοικό κόστος Mh Ο μέσος αριθμός τέτοιων χρονικών ιαστημάτων καθ όη τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας Ι είγματα είναι Η εύτερη περίπτωση υφίσταται όταν η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο στο χρόνο Νh αά συμβαίνει η βάβη στο ιάστημα πριν από την επόμενη ειγματοηψία Νh,Νh Στο χρόνο Νh η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο με πιθανότητα όπου η πιθανότητα η βάβη να συνέβη, να ανιχνεύτηκε και να επιιορθώθηκε Η πιθανότητα βάβης κατά τη ιάρκεια ιαστήματος ιάρκειας h χρονικών μονάων είναι γ e h ενώ ο μέσος χρόνος ειτουργίας υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας σε συγκεκριμένο ιάστημα, με εομένο πως αυτή θα συμβεί, είναι h τ όπου: τ h e h e h 3 είναι: Έτσι, το συνοικό κόστος ειτουργίας υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας Mh Mγ h τ Mh γ M h 33 43

58 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών καθώς μπορεί εύκοα να αποειχθεί ότι γ h τ h γ / γ Κόστος εσφαμένων ενείξεων ύπαρξης βάβης Το κόστος εσφαμένης ιακοπής ειτουργίας της ιαικασίας σφάμα πρώτου είους είναι L Σφάμα πρώτου είους συμβαίνει όταν η ιαικασία είναι στην κατάσταση Υ, a, ηαή ένειξη επίρασης χωρίς αυτή να υφίσταται Άρα, το μέσο συνοικό κόστος σφαμάτων πρώτου είους θα είναι: L Κόστος αποκαταστάσεων της ιαικασίας σε ειτουργία εντός εέγχου Το κόστος αποκατάστασης της ιαικασίας είναι L Αυτό συμβαίνει όταν η ιαικασία είναι στην κατάσταση Υ, a, ηαή ένειξη επίρασης συστηματικής αιτίας, εύρεση και αποκατάσταση Άρα, το μέσο συνοικό κόστος αποκαταστάσεων της ιαικασίας θα είναι: L Εαχιστοποίηση του μέσου συνοικού κόστους Η πρόσθεση των παραπάνω στοιχείων κόστους οηγεί στη συνάρτηση μέσου συνοικού κόστους ποιότητας C,, ιαικασίας η οποία ξεκινά από την κατάσταση Y και a : C γ,, c b M h Mh L L 34 44

59 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου Ο στόχος είναι να εαχιστοποιηθεί η συνάρτηση C,,Ι επιέγοντας τις βέτιστες τιμές των παραμέτρων, και Αξίζει να σημειωθεί πως σε περίπτωση που η απόφαση που αμβάνεται στην αρχή της ιαικασίας είναι η μη παρακοούθηση της ιαικασίας Ι, το μέσο συνοικό κόστος θα ίνεται από τη σχέση: C T e, 35 M T ενώ αν η ιαικασία εέγχεται περιοικά για ανίχνευση της συστηματικής αιτίας χωρίς ειγματοηψίες, το μέσο συνοικό κόστος θα ίνεται από τη σχέση: h e C, M h [ L γ L γ ] 36 Οι συναρτήσεις κόστους 35 και 36 εκφράζουν το μέσο κόστος των αντίστοιχων ποιτικών για παραγωγικές ιαικασίες πεπερασμένου χρονικού ορίζοντα και είναι προφανώς ανεξάρτητες από τον τύπο του ιαγράμματος εέγχου που εξετάζεται 3 Σύνθετα στατικά ιαγράμματα Σύνθετα στατικά ιαγράμματα είναι αυτά στα οποία, ενώ όες οι παράμετροι είναι σταθερές και αμετάβητες κατά τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας, σε κάθε ειγματοηψία αξιοποιούνται οι πηροφορίες όχι μόνο από το τεευταίο είγμα αά από περισσότερα είγματα για να ηφθεί η απόφαση επέμβασης ή όχι στη ιαικασία Στη συνέχεια της ιατριβής αναύονται αθροιστικά ιαγράμματα CUSUM ενώ γίνεται και μία επέκταση στα, αντίστοιχης ογικής, ιαγράμματα εκθετικής εξομάυνσης EWMA Σημειώνεται ότι η περίπτωση του αθροιστικού ιαγράμματος έχει επίσης περιγραφεί σε ημοσίευση των ees ad Tagaras 6b 45

60 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών 3 Περιγραφή - ειτουργία αθροιστικού ιαγράμματος Σε κάθε ειγματοηψία,,, μετά την έναρξη της παραγωγικής ιαικασίας ο μετρητής του αθροιστικού ιαγράμματος είναι: C { C } ax,,,,,, C 37 όπου, υπενθυμίζεται, x μ / σ, x είναι η μέση τιμή του είγματος και είναι η τιμή αναφοράς του ιαγράμματος Το ιάγραμμα σηματοοτεί ανάγκη επέμβασης όταν ο μετρητής C υπερβεί ένα συγκεκριμένο όριο εέγχου H Μετά από κάθε ιακοπή της ιαικασίας, είτε αυτή οφείεται σε σφάμα πρώτου είους, είτε είναι αηθής και συνοεύεται από επέμβαση και αποκατάσταση της βάβης, ο μετρητής μηενίζεται C Το σχήμα 3 παρουσιάζει μία εφαρμογή χρήσης ιαγράμματος CUSUM σε μια παραγωγική ιαικασία που ιαιρείται σε 8 ιαστήματα h χρονικών μονάων πχ, μία πήρης 8άωρη βάρια με ειγματοηψίες κάθε h ώρα Ξεκινώντας με C, στο πρώτο είγμα ο μετρητής C ισούται με επειή < Στη συνέχεια, C >, αά C 3 επειή C 3 < Έστω πως κάπου μεταξύ του χρόνου 3h και 4h επιρά η συστηματική αιτία Αυτό εν είναι άμεσα αντιηπτό αά ανιχνεύεται από το ιάγραμμα σε χρόνο T d 6h και ενώ ο μετρητής έχει αρχίσει να αυξάνει μέχρι που στο έκτο είγμα ξεπερνά το όριο εέγχου, C 6 > H, όπως φαίνεται στο σχήμα 3 Κατόπιν, αποκαθίσταται η βάβη, ο μετρητής C 6 παίρνει πάι την τιμή και η ιαικασία συνεχίζει για επιπέον χρόνο h μέχρι την οοκήρωσή της 46

61 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου h h h h h h h h C H Επίραση συστηματικής αιτίας Επέμβαση και αποκατάσταση Τέος ιαικασίας h h h h h h h h T d T Σχήμα 3: Παράειγμα ιαικασίας πεπερασμένης ιάρκειας που παρακοουθείται από αθροιστικό ιάγραμμα Οι παράμετροι σχείασης που επηρεάζουν τη ιαικασία είναι οι εξής: το ιάστημα μεταξύ ειγματοηψιών h ή ισούναμα, ο συνοικός αριθμός ειγμάτων, το μέγεθος είγματος, η τιμή αναφοράς, το όριο εέγχου H Οι τιμές h,,, H πρέπει να προσιοριστούν έτσι ώστε το συνοικό μέσο κόστος ποιότητας να εαχιστοποιείται Σημειώνεται ότι και εώ, όπως και στην περίπτωση των ιαγραμμάτων Shehart, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείται η ακέραια μεταβητή Ι 47

62 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών ως παράμετρος σχείασης αντί του ιαστήματος μεταξύ ειγματοηψιών h, το οποίο είναι μια συνεχής μεταβητή που όμως μπορεί να άβει μόνο συγκεκριμένες τιμές, βάσει του συνοικού αριθμού ειγματοηψιών Ι Έστω πάι Y η πραγματική κατάσταση της ιαικασίας μετά τη ειγματοηψία, όπου Y υποηώνει ειτουργία υπό στατιστικό έεγχο και Y αναφέρεται σε ειτουργία υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας Ο συνυασμός της τιμής Y με την πραγματική τιμή του μετρητή του αθροιστικού ιαγράμματος C για,,, αποτεεί ένα ζεύγος ισιάστατης αυσίας Marov Y,C, καθώς και εώ ο χρόνος μέχρι την επίραση της συστηματικής αιτίας υποτίθεται πως ακοουθεί εκθετική κατανομή Η κατάσταση της ιαικασίας Y είναι μια υαική μεταβητή πιθανές τιμές και Παρόο που θεωρητικά ο μετρητής C είναι συνεχής μη αρνητική τυχαία μεταβητή, για πρακτικούς υποογιστικούς όγους ιακριτοποιείται σε υνατές τιμές με τη χρήση της καθιερωμένης ιακριτοποίησης που προτάθηκε από τους Broo ad Evas 97 Συγκεκριμένα το ιάστημα από έως H χωρίζεται σε μικρότερα ιαστήματα και ορίζεται το μέγεθος, ως το πάτος του κάθε ιακριτοποιημένου ιαστήματος: H H και H ½ 38 Με αυτόν τον τρόπο, η πραγματική τιμή του C μετασχηματίζεται σε ακέραια από έως ως εξής: για C C για i < C i C i i,,, 48

63 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου για < C C 39 Επομένως η αυσία Marov Y,C χαρακτηρίζεται από καταστάσεις και τις εξής πιθανότητες μετάβασης: l i [ l C Y C i] P Y,,, 3 όπου i,,,, και,l, Το στοχαστικό μητρώο πιθανοτήτων μετάβασης P αμβάνει την ακόουθη μορφή:,,,, P,,,,,, i i i i 3 Τα στοιχεία του μητρώου P χωρίζονται, όπως και στην περίπτωση των ιαγραμμάτων Shehart, σε τέσσερα τεταρτημόρια και εκφράζουν αντίστοιχα τις πιθανότητες μετάβασης από C - σε C για κάθε έναν από τους τέσσερις πιθανούς συνυασμούς των τιμών των Y και Y Για παράειγμα η πιθανότητα μετάβασης από την κατάσταση Y -,C - i στην κατάσταση Y,C υποογίζεται αναυτικά για i,,, και,,, ως εξής: i i P[ Y, C Y C i], γ P[ / < i / ] 49

64 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών 5 [ ] < / / i i P γ i i d γ όπου είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ανηγμένης κανονικής κατανομής Ν, Οι ακριβείς τιμές όων των πιθανοτήτων μετάβασης l i υποογίζονται από τις ακόουθες σχέσεις: i d d i H i i i γ γ γ i d d d i H i i i γ γ γ i,,, i,,,,,, 33 i,,, i,,, i,,, i,,,,,, 3 i,,, i,,,

65 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου 5 H d d i γ γ γ H i H i i i d d d d d d i γ γ γ i,,,,,, i 34 i,,, i i,,, i,,,,,, i,,, 35 i i,,, i

66 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Σημειώνεται πως και για κάθε, καθώς αν από το ιάγραμμα ηφθεί ένειξη σε χρόνο Ν, η ιαικασία θα σταματήσει για έεγχο και θα επανεκκινήσει με C και Y είτε είχε επιράσει η συστηματική αιτία είτε όχι 3 Στατιστικά χαρακτηριστικά αθροιστικού ιαγράμματος Με βάση το παραπάνω στοχαστικό μοντέο μπορούν να προσιοριστούν ιάφορα στατιστικά χαρακτηριστικά του ιαγράμματος Για παράειγμα, το TARL στην περίπτωση του αθροιστικού ιαγράμματος ορίζεται ως η μέση τιμή της μεταβητής U: U i { i : C > H, i,,, } i αν αν C i > H για κάποιο i {,,, } C i H για κάθε i {,,, } 36 Το TARL μπορεί να υποογιστεί είτε για ειτουργία υπό στατιστικό έεγχο TARL είτε για ειτουργία εκτός εέγχου, μ μ μ σ TARL Και στις ύο περιπτώσεις, αφού θεωρείται πως η ιαικασία παραμένει σε συγκεκριμένη κατάσταση Y ή Y, το στοχαστικό μοντέο αποποιείται έτσι ώστε η Μαρκοβιανή αυσία να έχει καταστάσεις που αντιστοιχούν στις ιακριτοποιημένες τιμές του C Για τον υποογισμό των TARL και TARL η κατάσταση C > H αντιμετωπίζεται ως απορροφητική και χρησιμοποιείται το νέο στοχαστικό μητρώο P A : P A A B 37 με πιθανότητες μετάβασης i οι οποίες αμβάνουν ως εομένη την κατάσταση στην οποία βρίσκεται η ιαικασία Υ ή Υ : 5

67 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου 53 i H i i i i d d d όπου ή μ μ / σ, ανάογα με το εάν το μητρώο P A θα χρησιμοποιηθεί για τον υποογισμό του TARL ή του TARL Το μητρώο P A χωρίζεται σε τέσσερα μέρη, όπως φαίνεται στη σχέση 37 Ο ποαπασιασμός του P A με τον εαυτό του οηγεί στην ακόουθη μορφή του A P : P A B W A,,, 39 όπου A A A W x x A Χρησιμοποιώντας προσέγγιση ανάογη των Fu et al, οηγούμαστε στις ακόουθες σχέσεις για το TARL: ΤARL [ ] W, 33 i,,, i,,,,,, 38 i,,, i,,, i

68 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών U όπου [ ] T [ A ] 33 E [ ] είναι η στήη, κάθε στοιχείο της οποίας ισούται με και [ ] είναι η γραμμή, κάθε στοιχείο της οποίας ισούται με, εκτός από το πρώτο το οποίο ισούται με Από τις παραπάνω σχέσεις μπορεί επίσης να υποογιστεί η μεταβητότητα του TARL, σ U : U TARL σ E U 33 Με αντίστοιχο τρόπο μπορούν να υποογιστούν τα TARL και σ U για ιάγραμμα CUSUM όταν εφαρμόζεται με Γρήγορη Αρχική Απόκριση FR, Fast itial Resose, ξεκινά ηαή με C i Στις σχέσεις 33 και 33 οι τιμές των TARL και U στην ουσία τα πρώτα στοιχεία των στηών W και E είναι [ A ] αντίστοιχα, καθώς C Στην περίπτωση του FR-CUSUM με C i τα TARL και U E είναι τα στοιχεία που βρίσκονται στη γραμμή i των στηών αυτών Προκειμένου να προσιοριστεί η επίραση των παραμέτρων σχείασης του αθροιστικού ιαγράμματος C, και H στο TARL, παρουσιάζονται 3 ήμματα των οποίων η απόειξη βρίσκεται στο παράρτημα Β που αφορούν τη σχέση μεταξύ των στοιχείων των στοχαστικών μητρώων P A και P A Στη συνέχεια, τα 3 αυτά ήμματα χρησιμοποιούνται στην απόειξη της ιιότητας 3, που ακοουθεί Λήμμα 3 a < b και a > b για κάθε καιa > b 54

69 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου Λήμμα 3 Έστω i τα στοιχεία του P A για ιάγραμμα CUSUM με κάποια παράμετρο και έστω ~ i τα στοιχεία του P A P ~ A για ιάγραμμα CUSUM το οποίο ιαφέρει από το προηγούμενο μόνο κατά την τιμή της παραμέτρου, η οποία έστω ότι στο ιάγραμμα αυτό είναι ~ > Στην περίπτωση αυτή: ~ i i < για όα τα και για κάθε i < Επιπροσθέτως, αφού: i i, ισχύει πως i > i για κάθε i και ~ > ~ Λήμμα 33 Έστω i τα στοιχεία του P A για ιάγραμμα CUSUM με παράμετρο H και έστω ~ i τα στοιχεία του P A P ~ για ιάγραμμα CUSUM το οποίο ιαφέρει μόνο στη A συγκεκριμένη παράμετρο, H ~ Τότε: ~ i i για κάθε, i <, < και ~ H ~ / > H / Ιιότητα 3 Τα TARL και TARL είναι φθίνουσες συναρτήσεις ως προς το C και αύξουσες ως προς τα και H Η ιιότητα αποεικνύεται παρακάτω για ιακριτοποιημένες τιμές των C, και H Απόειξη ιιότητας 3 Έστω ~ TARL TARL και ~ ~ TARL το Trucated ARL για C a και έστω TARL TARL ad TARL το Trucated ARL για C b όπου a > b Επειή: 55

70 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών TARL b και TARL ~ a ισχύει όγω του Λήμματος 3 πως TARL > ~ TARL και συναρτήσεις ως προς C TARL > ~ TARL, ηαή τα TARL και TARL είναι φθίνουσες Έστω ~ TARL TARL και ~ ~ TARL το Trucated ARL για παράμετρο ~ και έστω TARL TARL και TARL το Trucated ARL για όπου ~ < Άρα, για C i: TARL i και TARL ~ ~ i Ισχύει από το Λήμμα 3 πως ~ TARL < TARL και TARL < ~ TARL, ηαή τα TARL και TARL είναι αύξουσες συναρτήσεις ως προς Έστω ~ TARL TARL και ~ ~ TARL το Trucated ARL για όριο εέγχου H ~ και έστω TARL TARL και TARL το Trucated ARL για H όπου H / < ~ H ~ / Από το Λήμμα 33 ισχύει για C i: ~ TARL ~ i ~ ~ ~ ~ ~ i i ~ i ~ i > i ~ i TARL ~ i > TARL ~ ~ Άρα, TARL < ~ TARL και TARL < ~ TARL, ηαή τα TARL και TARL είναι αύξουσες συναρτήσεις ως προς H 56

71 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου Χρησιμοποιώντας τα στοχαστικά μητρώα μπορούν να υποογιστούν ιάφορα χρήσιμα στατιστικά στοιχεία του μονόπευρου αθροιστικού ιαγράμματος σε πεπερασμένο ορίζοντα, επιπέον των TARL Πιθανότητα εσφαμένης ένειξης ειτουργίας εκτός στατιστικού εέγχου Η πιθανότητα να ηφθεί εσφαμένη ένειξη ειτουργίας εκτός εέγχου μέσα σε συγκεκριμένο αριθμό ειγμάτων ενώ η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο συμβοίζεται q και ίνεται από την ακόουθη σχέση: q Ι 333 Η πιθανότητα υποογίζεται από το μητρώο P A της σχέσης 39 για και Πιθανότητα ορθής ένειξης ειτουργίας εκτός στατιστικού εέγχου Η πιθανότητα ανίχνευσης ειτουργίας υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας από την αρχή της ιαικασίας συμβοίζεται q και υποογίζεται ακριβώς όπως και η q από το μητρώο P της σχέσης 39 αά με μ μ / σ A Γενικότερα, i είναι η πιθανότητα ανίχνευσης επίρασης συστηματικής αιτίας σε Ν είγματα, αν στο αμέσως προηγούμενο της επίρασης είγμα η στατιστική C του ιαγράμματος είναι C i Πιθανότητα σφάματος πρώτου είους Η πιθανότητα σφάματος πρώτου είους στη ειγματοηψία είναι Η πιθανότητα τουάχιστον μιας εμφάνισης σφάματος πρώτου είους σε οποιαήποτε από τις Ι ειγματοηψίες υποογίζεται αφού πρώτα μετασχηματιστεί το μητρώο P έτσι ώστε η κατάσταση που αντιστοιχεί στο σφάμα πρώτου είους, να γίνει 57

72 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών απορροφητική Αυτός ο μετασχηματισμός επιτυγχάνεται θέτοντας και όα τα υπόοιπα στοιχεία της γραμμής που αντιστοιχεί στην κατάσταση, ίσα με Με αυτόν τον τρόπο, η πιθανότητα εμφάνισης τουάχιστον ενός σφάματος πρώτου είους κατά τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας Ι ειγματοηψίες είναι του τροποποιημένου μητρώου P Πιθανότητα εμφάνισης και ανίχνευσης της συστηματικής αιτίας Η ύπαρξη και ανίχνευση της συστηματικής αιτίας αντιστοιχεί στην κατάσταση, Άρα, η πιθανότητα να συμβεί η συστηματική αιτία και να ανιχνευτεί από το ιάγραμμα τουάχιστον μία φορά κατά τη ιάρκεια της ιαικασίας υποογίζεται τροποποιώντας πάι το μητρώο P έτσι ώστε η κατάσταση, να γίνει απορροφητική, θέτοντας ηαή και όα τα υπόοιπα στοιχεία της γραμμής αυτής ίσα με Η πιθανότητα εμφάνισης και ανίχνευσης είναι του τροποποιημένου μητρώου P Με αντίστοιχο τρόπο είναι υνατός ο υποογισμός και ιαφόρων άων στατιστικών χαρακτηριστικών, όπως η πιθανότητα μιας τουάχιστον ένειξης είτε αηθούς είτε όχι κατά τη ιάρκεια Τ της ιαικασίας, η πιθανότητα ανίχνευσης της συστηματικής αιτίας με εομένο πως αυτή συνέβη μεταξύ των ειγματοηψιών και, κπ 33 Διαμόρφωση συνάρτησης κόστους και βετιστοποίηση αθροιστικού ιαγράμματος Όπως και στην περίπτωση του ιαγράμματος Shehart, αρχικά παρουσιάζονται οι επιμέρους σχέσεις για κάθε στοιχείο κόστους που σχετίζεται με τη σχείαση και ειτουργία του αθροιστικού ιαγράμματος και στη συνέχεια αθροίζονται ώστε να 58

73 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου προκύψει η συνοική συνάρτηση κόστους συναρτήσει των παραμέτρων σχείασης,, και H α Κόστος εέγχου Το κόστος εέγχου έχει ακριβώς την ίια μορφή με αυτήν του ιαγράμματος Shehart: c b β Κόστος ειτουργίας υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας Σε κάθε χρονικό ιάστημα μεταξύ ιαοχικών ειγματοηψιών h,h, υπάρχουν και πάι ύο περιπτώσεις κατά τις οποίες μπορεί η ιαικασία να επιβαρυνθεί με το κόστος αυτό Η πρώτη υφίσταται όταν η ιαικασία ειτουργεί ήη υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας στην αρχή του χρονικού ιαστήματος που εξετάζεται, με πιθανότητα Ο μέσος αριθμός τέτοιων χρονικών ιαστημάτων καθ όη τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας Ι είγματα είναι εύτερη περίπτωση υφίσταται όταν η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο στο χρόνο h αά συμβαίνει η βάβη στο ιάστημα πριν από την επόμενη ειγματοηψία Στο χρόνο h η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο με πιθανότητα Η, όπου η πιθανότητα η βάβη να συνέβη, να ανιχνεύτηκε και να επιιορθώθηκε είναι: Έτσι, το συνοικό κόστος ειτουργίας υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας 59

74 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Mh Mγ h τ Mh γ M h 334 γ Κόστος εσφαμένων ενείξεων ύπαρξης βάβης Σφάμα πρώτου είους συμβαίνει όταν η ιαικασία είναι στην κατάσταση Y, C, ηαή ένειξη επίρασης χωρίς αυτή να υφίσταται Άρα, το μέσο συνοικό κόστος σφαμάτων πρώτου είους θα είναι: L Κόστος αποκαταστάσεων της ιαικασίας σε ειτουργία εντός εέγχου Αυτό συμβαίνει όταν η ιαικασία είναι στην κατάσταση Y, C, ηαή αηθής ένειξη επίρασης συστηματικής αιτίας και αποκατάσταση Άρα, το μέσο συνοικό κόστος αποκαταστάσεων της ιαικασίας θα είναι: L Εαχιστοποίηση του μέσου συνοικού κόστους Η πρόσθεση των παραπάνω στοιχείων κόστους οηγεί στην ακόουθη συνάρτηση μέσου συνοικού κόστους ποιότητας της ιαικασίας η οποία ξεκινά από την κατάσταση Y, C : 6

75 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου C γ,,, c b M h Mh L L 335 Ο στόχος είναι να προσιοριστούν οι βέτιστες τιμές των παραμέτρων, h, και H ώστε να εαχιστοποιηθεί η συνάρτηση C,,, Ο αγόριθμος βετιστοποίησης αρχίζει με Το μέσο συνοικό κόστος στην περίπτωση κατά την οποία ε αμβάνεται κανένα είγμα ίνεται από τη σχέση 35 Ο αγόριθμος συνεχίζεται με Για,, αναζητά το βέτιστο συνυασμό και H και καταγράφει το αντίστοιχο E C,, μέχρι το C E, να αρχίσει να αυξάνει για κάποιο Αφού βρεθεί ο βέτιστος συνυασμός,, H για, το βέτιστο κόστος για, E C παρακοούθησης της ιαικασίας Αν E C < C, συγκρίνεται με το κόστος της μη E ο αγόριθμος σταματάει και η βέτιστη ποιτική είναι η, ιαφορετικά, ο αγόριθμος συνεχίζεται αυξάνοντας κάθε φορά την τιμή του κατά, μέχρι E C > E C Η εάχιστη τιμή του για την οποία ισχύει η προηγούμενη ανισότητα είναι και η βέτιστη ενώ τα βέτιστα, και H είναι εκείνα που είναι βέτιστα για το βέτιστο Αξίζει να σημειωθεί πως για κάθε εξετάζεται και η περίπτωση του περιοικού εέγχου για ανίχνευση της συστηματικής αιτίας χωρίς τη ήψη ειγμάτων Το μέσο κόστος μιας τέτοιας ποιτικής, η οποία προσομοιάζει περισσότερο την προηπτική συντήρηση, υποογίζεται από τη σχέση 36 Για M γ / > L, ο αγόριθμος βετιστοποίησης ιευκούνεται από ένα άνω όριο των βέτιστων H, για κάθε συνυασμό και : 6

76 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών γ lγ M L L γ H 336 Η ογική εξήγηση της σχέσης 336 είναι η εξής: αν η ιαικασία επρόκειτο να ειτουργήσει για χρόνο T h, το βέτιστο άθροισμα H θα ήταν ίσο με το εξί μέρος της ανισότητας 336 Αυτό προκύπτει εύκοα μηενίζοντας την πρώτη μερική παράγωγο του κόστους ως προς H Αν η ιαικασία επρόκειτο να ειτουργήσει για χρόνο T h με >, είναι ογικό ότι οι βέτιστες παράμετροι θα έχουν την τάση να είναι πιο αυστηρές όγω του υψηότερου ρίσκου ειτουργίας εκτός εέγχου για μεγαύτερο χρονικό ιάστημα και άρα το βέτιστο άθροισμα H θα είναι χαμηότερο Αυτή η τάση επιβεβαιώνεται σε όες τις περιπτώσεις των αριθμητικών παραειγμάτων που εξετάζονται στη ιατριβή Ο αγόριθμος που περιγράφηκε εγγυάται την εύρεση του οικού εαχίστου του κόστους μόνο αν οι συναρτήσεις κόστους E C, και C E έχουν μοναικό εάχιστο ως προς το και το αντίστοιχα Παρόο που τέτοια ιιότητα εν έχει αποειχθεί αναυτικά, οι συναρτήσεις αυτές φάνηκε ότι είχαν πράγματι μοναικά εάχιστα στο εκτεταμένο σύνοο των αριθμητικών παραειγμάτων που εξετάστηκαν 34 Διάγραμμα εκθετικής εξομάυνσης Η συνοική στατιστική του ιαγράμματος εκθετικής εξομάυνσης είναι το θετικό μέρος του εκθετικά σταθμισμένου κινούμενου μέσου όρου των ανηγμένων ενείξεων,,,, ηαή: E { E, } ax E E, E 337 6

77 όπου πάι Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου είναι η ανηγμένη μέση τιμή είγματος και E είναι ο συντεεστής εκθετικής εξομάυνσης του ιαγράμματος EWMA < E Το όριο εέγχου του ιαγράμματος EWMA συμβοίζεται με H, όπως και στην περίπτωση του αθροιστικού ιαγράμματος, και ένειξη ειτουργίας υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας αμβάνεται όταν η στατιστική Ε Ν ξεπεράσει το όριο αυτό Μετά από κάθε ιακοπή της ιαικασίας η στατιστική Ε Ν μηενίζεται Η ειτουργία του ιαγράμματος εκθετικής εξομάυνσης είναι αντίστοιχη με εκείνη του αθροιστικού ιαγράμματος όπως περιγράφηκε στην παράγραφο 3 Για τον υποογισμό των ιαφόρων στατιστικών και οικονομικών στοιχείων μιας ιαικασίας που χρησιμοποιεί ιάγραμμα εκθετικής εξομάυνσης χρησιμοποιούνται ίιας μορφής μητρώα όπως και στην περίπτωση των αθροιστικών ιαγραμμάτων Το πήθος των ιακριτών καταστάσεων της στατιστικής Ε του ιαγράμματος EWMA θεωρείται πως είναι πάι, το νέο στοχαστικό μητρώο P έχει τη μορφή του 3 και η ιακριτοποίηση είναι αντίστοιχη με αυτήν που περιγράφηκε στην περίπτωση του αθροιστικού ιαγράμματος 39 Με αυτόν τον τρόπο η αντίστοιχη ισιάστατη αυσία Marov Y,Ε Ν στην περίπτωση του ιαγράμματος εκθετικής εξομάυνσης αποτεείται πάι από καταστάσεις Ενεικτικά, η πιθανότητα μετάβασης από i την κατάσταση Y -, Ε - i στην κατάσταση Y, Ε υποογίζεται ως εξής για i,,, και,,, : i P[ Y, E Y E i], [ i / ] γ P / < E E 63

78 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών 64 < E E E E i i P γ / / E E E E i i d γ όπου υπενθυμίζεται πως είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ανηγμένης κανονικής κατανομής Ν, Οι τιμές των πιθανοτήτων μετάβασης l i για κάθε, l, i, υποογίζονται από τις ακόουθες σχέσεις: E E E E E E E E i d d d i H i i i γ γ γ E E E E E E E E i d d d i H i i i γ γ γ i,,, i,,,,,, 339 i,,, i,,, i,,, i,,,,,, 338 i,,, i,,,

79 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου 65 E E E E i H d d γ γ γ / H i H i i i E E E E E E E E E E E E i d d d d d d γ γ γ / i,,,,,, i 34 i,,, i i,,, i,,,,,, i,,, 34 i i,,, i

80 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Τόσο τα στατιστικά χαρακτηριστικά όσο και η συνάρτηση κόστους είναι αντίστοιχα με ό,τι έχει ήη περιγραφεί και αναυθεί στην περίπτωση του αθροιστικού ιαγράμματος στις παραγράφους 3 και Διάγραμμα Shehart με μεταβαόμενες παραμέτρους Το ιάγραμμα V Shehart, η ειτουργία του οποίου θα περιγραφεί συνοπτικά στην παράγραφο αυτή, έχει προταθεί στην εργασία των Costa ad Rahi Στο μοντέο αυτό υπάρχουν ύο συνυασμοί παραμέτρων h, και : h,, και h,,, όπου: h h, και Ανάογα με τη μέση τιμή του τρέχοντος είγματος και το τρέχον όριο εέγχου ή αμβάνεται απόφαση για το αν θα γίνει επέμβαση στη ιαικασία απόφαση a ή όχι απόφαση a, ποιο θα είναι το χρονικό ιάστημα μέχρι την επόμενη ειγματοηψία h, ποιο το μέγεθος του επόμενου είγματος και ποιο θα είναι το επόμενο όριο εέγχου Η ποιτική που ακοουθείται φαίνεται στο σχήμα 3 για ανηγμένες τιμές της μέσης τιμής του είγματος Σημειώνεται πως η χρήση ενός μόνο προειοποιητικού ορίου v χρησιμοποιήθηκε χάριν απότητας, καθώς ούτως ή άως η χρήση του ίιου ορίου v threshold για την απόφαση του επόμενου συνυασμού h, και επιφέρει αμεητέα αύξηση στο κόστος σε σχέση με τη χρήση ξεχωριστών ορίων, όπως αναφέρεται στην εργασία των Par ad Reyolds 999 για παραγωγικές ιαικασίες άπειρου χρονικού ορίζοντα Πριν την απόφαση χρήσης ενός μόνο ορίου στα αριθμητικά παραείγματα της ιατριβής, ιεξήχθη μία προκαταρκτική αριθμητική ιερεύνηση η οποία επιβεβαίωσε τα πορίσματα των Par ad Reyolds 999 και στην περίπτωση των παραγωγικών ιαικασιών περιορισμένου χρονικού ορίζοντα 66

81 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου a, h,, a, h,, v a, h,, Σχήμα 3: Σχηματική απεικόνιση χρήσης μονόπευρου ιαγράμματος V Shehart, Η ανάπτυξη και βετιστοποίηση μαθηματικού προτύπου για την παρακοούθηση μιας ιαικασίας περιορισμένης ιάρκειας με τη χρήση ιαγράμματος V Shehart παρουσιάζει σημαντικές υσκοίες που οφείονται στη υνατότητα μεταβοής του ιαστήματος μεταξύ ειγματοηψιών Συγκεκριμένα, η ύπαρξη μεταβητού h περιπέκει το πρότυπο καθώς εν επιτρέπει το ιαχωρισμό της πεπερασμένης ιάρκειας Τ σε προκαθορισμένο αριθμό χρονικών ιαστημάτων Αν όμως το ιάστημα h ιατηρηθεί σταθερό, τότε με χρήση αυσίων Marov και με τρόπο ανάογο με αυτόν που περιγράφηκε στην παράγραφο 3 είναι υνατή η βετιστοποίηση ιαγράμματος Shehart με μεταβαόμενα και αά σταθερό h Συγκεκριμένα, ορίζεται πάι Y η πραγματική κατάσταση της ιαικασίας μετά τη ειγματοηψία Ορίζεται επίσης νέα μεταβητή q, όπου q αν ηαή a όχι επέμβαση και επιογή v παραμέτρων και, q αν v < ηαή a και επιογή παραμέτρων και, και q αν > ηαή a επέμβαση στη ιαικασία και επιογή παραμέτρων και Ο συνυασμός της τιμής Y με την τιμή της q για 67

82 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών,,, αποτεεί ένα ζεύγος ισιάστατης αυσίας Marov Y,q με 6 υνατές καταστάσεις και τις εξής πιθανότητες μετάβασης: l i [ l q Y q i] P Y, 34, Το μητρώο των παραπάνω πιθανοτήτων μετάβασης P έχει την ακόουθη μορφή:,,,,,, P,,,,,, 343 όπου: i Φ v γ Φ v γ Φ Φ v Φ Φ Φ v Φ γ γ γ γ i i i i 344 i i i,, i,,, 345 i i,, 68

83 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου i Φ v Φ v γ Φ Φ v Φ γ γ Φ Φ v Φ γ γ γ i i i i 346 i i i,, i Φ v Φ Φ v Φ Φ v Φ Φ v Φ i i i i 347 i i i,, Η συνάρτηση μέσου κόστους του παραπάνω ιαγράμματος με μεταβαόμενα, ίνεται από την εξής σχέση: γ C,,,, M h L L Mh c b c 348 Προκειμένου πάντως όες οι παράμετροι σχείασης των ιαγραμμάτων Shehart να είναι μεταβαόμενες, στα αριθμητικά παραείγματα του κεφααίου αυτού 69

84 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών χρησιμοποιείται το βετιστοποιημένο ιάγραμμα για τον άπειρο ορίζοντα με μεταβαόμενα, h,, οι παράμετροι του οποίου προσιορίζονται σύμφωνα με την εργασία των Costa ad Rahi Το μέσο συνοικό κόστος από την εφαρμογή του ιαγράμματος αυτού σε παραγωγικές ιαικασίες περιορισμένης ιάρκειας εκτιμάται με προσομοίωση 34 Δυναμικό ιάγραμμα Bayes Το ιάγραμμα που περιγράφεται στις παραγράφους 34 και 34 έχει ήη προταθεί από τους Νικοαΐη και Tagaras ad iolaidis Στη συνέχεια περιγράφεται συνοπτικά η ειτουργία του και ίνονται οι σχέσεις των πιθανοτήτων και του κόστους 34 Περιγραφή - ειτουργία Έστω x η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της μέσης τιμής κάποιου είγματος για, όπου όταν η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο και αν έχει επιράσει η συστηματική αιτία Με συμβοίζεται η πιθανότητα να έχει επιράσει η συστηματική αιτία, άρα η πιθανότητα η ιαικασία να ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο είναι Οι πιθανότητες αυτές μετασχηματίζονται σε κάθε χρονική στιγμή ειγματοηψίας βάσει της μέσης τιμής του είγματος x Συγκεκριμένα, με εομένη την πιθανότητα αμέσως μετά την προηγούμενη ειγματοηψία, την τότε απόφαση a καμία επέμβαση ή a επέμβαση για εντοπισμό πιθανής επίρασης συστηματικής αιτίας καθώς και την τότε απόφαση για τη στιγμή της επόμενης ειγματοηψίας h και για το μέγεθος του επόμενου είγματος, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της μέσης τιμής του νέου είγματος x, a,, h θα ίνεται από τις εξής σχέσεις, για a και για a : 7

85 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου x a,, h, [ γ ] x [ ] x x a,, h, γ x x γ 349 γ 35 Μετά τη ειγματοηψία, οι αναθεωρημένες μετασχηματισμένες πιθανότητες ειτουργίας υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας προκύπτουν με εφαρμογή του θεωρήματος Bayes: x, a,, h [ ] x / x, a, h T γ, 35 x, a,, h x / x, a, h T γ, 35 Η ιαικασία θεωρείται πως θα ειτουργήσει για περιορισμένο χρονικό ιάστημα και υπόκειται περιοικά στην επίραση μιας συστηματικής αιτίας, η οποία μεταβάει τη μέση τιμή του μετρούμενου χαρακτηριστικού ποιότητας από την επιθυμητή μ σε μ μ σ Για υποογιστικούς όγους, η ιαικασία συνοικής χρονικής ιάρκειας Τ χωρίζεται σε μικρά ιαστήματα h i T / Με τη χρήση της ιακριτοποίησης αυτής θεωρείται πως η τιμή όων των χρονικών ιαστημάτων μεταξύ ύο ιαοχικών ειγματοηψιών h πρέπει απαραιτήτως να είναι ακέραιο ποαπάσιο της τιμής h i, ηαή h ih i 353 όπου i ο αριθμός των εάχιστων ιαστημάτων h i που μεσοαβούν μέχρι την επόμενη ειγματοηψία Έτσι ο χρόνος ιακριτοποιείται και κάθε ιακριτοποιημένη τιμή του χρόνου αποτεεί μια εν υνάμει χρονική στιγμή ειγματοηψίας Με συμβοίζεται τώρα ο αριθμός των εάχιστων χρονικών ιαστημάτων h i που απομένουν μέχρι την οοκήρωση της ιαικασίας Η ιακριτοποίηση του χρόνου και οι πιθανές στιγμές ειγματοηψίας παρουσιάζονται γραφικά στο σχήμα 33 7

86 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών πιθανές στιγμές ειγματοηψίας Ν Ι Ι Ι Ι 3 Τ h Ι i T Σχήμα 33: Πιθανές χρονικές στιγμές ειγματοηψιών και περίοοι που απομένουν ως την οοκήρωση της παραγωγικής ιαικασίας Σε κάθε ειγματοηπτική στιγμή Ν, αναθεωρείται η πιθανότητα η ιαικασία να ειτουργεί υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας με τον τρόπο που εξηγήθηκε προηγουμένως Αν η πιθανότητα υπερβαίνει μία οριακή τιμή * τότε η ιαικασία ιακόπτεται προς εντοπισμό της συστηματικής αιτίας και επιιόρθωσή της, εάν η αιτία έχει πραγματικά επιράσει Διαφορετικά η ιαικασία συνεχίζεται κανονικά Είτε η απόφαση είναι επέμβαση, είτε όχι, αμβάνεται επίσης απόφαση για τo ιάστημα h μέχρι την επόμενη ειγματοηψία και για το μέγεθος του επομένου είγματος Το κριτήριο για τη βέτιστη, σε κάθε ειγματοηψία, επιογή των παραμέτρων είναι η εαχιστοποίηση του συνοικού κόστους 34 Συνάρτηση κόστους και βετιστοποίηση Το μέσο κόστος ενός χρονικού ιαστήματος ιάρκειας h, με εομένα, a και συμβοίζεται C a, h σχέσεις:, Για a και a το κόστος αυτό ίνεται από τις ακόουθες C a,, h [ M h γ / ] Mh c b 354 7

87 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου C a,, h L L M h γ / c b 355 Σημειώνεται πως ο όρος cb στο τέος των σχέσεων 354 και 355 αναφέρεται στο κόστος ειγματοηψίας στο τέος του ιαστήματος που εξετάζεται Αν στο χρόνο Ν αμβάνεται απόφαση να μη ηφθεί άο είγμα μέχρι την οοκήρωση της ιαικασίας i, τότε ε χρεώνεται κόστος ειγματοηψίας στο άμεσο κόστος και ο όρος cb απουσιάζει από τις σχέσεις 354 και 355 Ορίζεται ως S το σύνοο των επιτρεπτών τιμών του μεγέθους είγματος και ως S h το σύνοο των επιτρεπτών τιμών του ιαστήματος μεταξύ ειγματοηψιών h Το μέσο συνοικό κόστος ποιότητας C στο χρόνο, από τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή μέχρι και την οοκήρωση της ιαικασίας θα υποογίζεται με χρήση Δυναμικού Προγραμματισμού βάσει της ακόουθης αναρομικής συνάρτησης κόστους: C { } C a, h i, a,, S h S h, [ C i [ T x, a,, h ] x, a,, h dx] 356 Στην παραπάνω σχέση, ο πρώτος όρος εκφράζει το άμεσο κόστος μέχρι την επόμενη ειγματοηψία i, ενώ το οοκήρωμα που ακοουθεί εκφράζει το μέσο κόστος από την επόμενη ειγματοηψία μέχρι και το τέος της παραγωγικής ιαικασίας Θεωρείται ακόμη πως το κόστος στη ήξη της ιαικασίας Ν είναι ανεξάρτητο της κατάστασής της 35 Ατεής αρχική ρύθμιση / αποκατάσταση της ιαικασίας Στην περίπτωση κατά την οποία είτε η αρχική ρύθμιση της ιαικασίας είτε οι ενιάμεσες αποκαταστάσεις της συστηματικής αιτίας εν είναι τέειες θα πρέπει η πηροφορία αυτή να ηφθεί υπόψη στη σχείαση των ιαγραμμάτων, μέσω 73

88 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών κατάηων τροποποιήσεων των αντίστοιχων μαθηματικών προτύπων οικονομικής σχείασης Ατεής ενιάμεση αποκατάσταση της ιαικασίας Όταν μετά από μία αηθή ένειξη ύπαρξης συστηματικής αιτίας η αποκατάσταση εν επαναφέρει με βεβαιότητα τη ιαικασία υπό στατιστικό έεγχο, έστω πως η πιθανότητα να αποκατασταθεί η βάβη είναι π στη μέχρι στιγμής ανάυση θεωρήθηκε π Οι μετατροπές που πρέπει να γίνουν στο ιάγραμμα Shehart ώστε να γενικευθεί το μοντέο και να περιαμβάνεται η περίπτωση ανεπιτυχούς αποκατάστασης αφορούν τις πιθανότητες,,, της τεευταίας σειράς του μητρώου 3 Συγκεκριμένα οι νέες τους τιμές θα είναι: π γ α π γ α π πγ β π πγ β 357 και η νέα μορφή του μητρώου 3 με αναθεωρημένες τις πιθανότητες της τεευταίας σειράς θα έχει την ακόουθη μορφή:,,,, P,,,, γ α γ α π γ α γ α γ α π γ α γβ γβ β π πγ β π πγ γ β γ β β β 358 Στην περίπτωση των σύνθετων στατικών ιαγραμμάτων CUSUM και EWMA οι μετατροπές που απαιτούνται ώστε να περιαμβάνεται η περίπτωση ανεπιτυχούς 74

89 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου αποκατάστασης είναι στην τεευταία γραμμή του μητρώου 3, αφορούν ηαή τις πιθανότητες και όπου,,,, οι οποίες ίνονται από τις σχέσεις 34 και 35 για την περίπτωση των αθροιστικών ιαγραμμάτων και από τις σχέσεις 34 και 34 για την περίπτωση των ιαγραμμάτων εκθετικής εξομάυνσης Η νέα μορφή των πιθανοτήτων αυτών για την περίπτωση των αθροιστικών ιαγραμμάτων είναι η ακόουθη: π π π γ γ γ H d d,,, 359 π πγ π πγ π πγ H d d d,,, 36 75

90 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών 76 Αντίστοιχα, η νέα μορφή των πιθανοτήτων της τεευταίας σειράς για την περίπτωση των ιαγραμμάτων EWMA ίνεται από τις σχέσεις: E E E H d d ε γ π γ π γ π / H E E E E d d d πγ π πγ π πγ π / Στην περίπτωση των ιαγραμμάτων Bayes, η ατεής αποκατάσταση της ιαικασίας απαιτεί τον εκ νέου προσιορισμό των πιθανοτήτων μετά από επέμβαση στη ιαικασία Υπενθυμίζεται πως οι μετασχηματισμοί της πιθανότητας ειτουργίας εκτός εέγχου, με εομένη την απόφαση a μη επέμβαση ή a επέμβαση, και με εομένο πως η όποια ιορθωτική ενέργεια επαναφέρει με βεβαιότητα τη ιαικασία υπό στατιστικό έεγχο ίνεται από τις σχέσεις 35 και 35 Στην περίπτωση οιπόν που η αποκατάσταση επαναφέρει τη ιαικασία υπό στατιστικό έεγχο με πιθανότητα,,, 36,,, 36

91 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου π, ο μετασχηματισμός της πιθανότητας ειτουργίας εκτός εέγχου αν η απόφαση είναι μη επέμβαση a ίνεται από την ίια σχέση 35 ενώ ο μετασχηματισμός της πιθανότητας T x a,, h,, συναρτήσει και της π, σε περίπτωση επέμβασης στη ιαικασία a θα ίνεται από τη σχέση: T x, a,, h π γ π x π γ x π γ π x 363 Ατεής αρχική ρύθμιση Στην περίπτωση κατά την οποία η αρχική ρύθμιση των μηχανών εν είναι τέεια, η ιαικασία ηαή εν ξεκινά με βεβαιότητα υπό στατιστικό έεγχο, θα πρέπει η πηροφορία αυτή να ηφθεί υπόψη στη σχείαση των μοντέων και τον υποογισμό του κόστους Έστω πως η ιαικασία στην αρχή του χρονικού ορίζοντα βρίσκεται υπό στατιστικό έεγχο με πιθανότητα π Στην περίπτωση του ιαγράμματος Shehart, το κόστος για π ίνεται από τη σχέση 34 Για π < το κόστος θα ίνεται από το σταθμικό μέσο κόστος των ύο περιπτώσεων, ηαή εκκίνησης της ιαικασίας υπό στατιστικό έεγχο, ή υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας,: C γ,, c b π M h Mh L L γ π M h Mh L L 364 Αντίστοιχα, στην περίπτωση των ιαγραμμάτων CUSUM και EWMA το κόστος θα ίνεται από τη σχέση: 77

92 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών 78 h M b c C,,, γ π L L Mh h M γ π L L Mh 365 Τέος στην περίπτωση των ιαγραμμάτων Bayes, αν είναι γνωστή η πιθανότητα εκκίνησης της ιαικασίας υπό στατιστικό έεγχο π, τότε το κόστος θα υποογίζεται πάι από την ίια αναρομική σχέση 356 αά πέον η αρχική πιθανότητα ειτουργίας εκτός εέγχου ε θα είναι μηενική αά: π 366 Επισημαίνεται ότι μπορούν να συνυπάρχουν οι περιπτώσεις όπου η αρχική ρύθμιση των μηχανών και οι ενιάμεσες αποκαταστάσεις της συστηματικής αιτίας εν είναι τέειες Θα πρέπει τότε να συνυάζονται οι μετατροπές των μοντέων που περιγράφηκαν στην παράγραφο αυτή Επίσης, στην περίπτωση των αθροιστικών ιαγραμμάτων και των ιαγραμμάτων εκθετικής εξομάυνσης, μπορεί και πρέπει να εφαρμοστεί η υνατότητα της Γρήγορης Αρχικής Απόκρισης FR στη στατιστική των ιαγραμμάτων στην αρχή της ιαικασίας όταν οι αρχικές ρυθμίσεις εν είναι τέειες ή/και μετά από κάθε επέμβαση στη ιαικασία, όταν αυτές οι επεμβάσεις εν επαναφέρουν με βεβαιότητα τη ιαικασία σε κατάσταση στατιστικού εέγχου Ακόμη σημειώνεται ότι οι σχέσεις κόστους τόσο για το ιάγραμμα Shehart όσο και για τα ιαγράμματα CUSUM και EWMA στην περίπτωση των μη τέειων αρχικών ρυθμίσεων υποογίστηκαν από τις

93 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου σχέσεις 364 και 365 αντίστοιχα, για αρχική απόφαση μη επέμβασης στη ιαικασία χρήση πιθανοτήτων l με i Υπάρχουν όμως παραγωγικές ιαικασίες όπου η i πιθανότητα τέειας αρχικής ρύθμισης είναι σχετικά μικρή Στις περιπτώσεις αυτές, το μέσο συνοικό κόστος ενέχεται να εαχιστοποιείται όταν γίνεται επέμβαση στην αρχή της ιαικασίας a, ηαή i στις πιθανότητες l για τα ιαγράμματα Shehart i και i για τα ιαγράμματα CUSUM και EWMA Η ποιτική που κατά περίπτωση οηγεί στην εαχιστοποίηση του μέσου κόστους μπορεί να είναι η αρχική επέμβαση ή/και η χρήση σύνθετων ιαγραμμάτων με Γρήγορη Αρχική Απόκριση Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να εξετάζονται όες οι εναακτικές αποφάσεις που μπορούν να ηφθούν σχετικά με τον τρόπο χρήσης των ιαγραμμάτων εέγχου έτσι ώστε να είναι οικονομικά αποοτική η χρήση τους και να επιτυγχάνεται το βέτιστο αποτέεσμα 36 Αριθμητικά αποτεέσματα - συγκριτική ανάυση Στην παράγραφο αυτή ιεξάγεται επτομερής συγκριτική ανάυση μεταξύ των ιαγραμμάτων στατικό F ιάγραμμα Shehart, αθροιστικό ιάγραμμα CUSUM, υναμικό V ιάγραμμα Shehart, υναμικό ιάγραμμα Bayes προκειμένου να εξαχθούν συμπεράσματα σε σχέση με τη συγκριτική απόοση των ιαφόρων εναακτικών σχημάτων εέγχου Παράηα, από τις συγκρίσεις αυτές προκύπτουν ορισμένα ενιαφέροντα συμπεράσματα σχετικά με την επίραση των ιαφόρων παραμέτρων της ιαικασίας στο βέτιστο σχήμα εέγχου Σημειώνεται πως για την οικονομία της παρουσίασης επιέχθηκε να μην παρουσιαστούν τα 79

94 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών αποτεέσματα από τη βετιστοποίηση των ιαγραμμάτων εκθετικής εξομάυνσης, καθώς σε κάθε περίπτωση η οικονομική τους συμπεριφορά είναι αντίστοιχη των αθροιστικών ιαγραμμάτων και τα συμπεράσματα που προκύπτουν για τα ιαγράμματα CUSUM ισχύουν και στην περίπτωση των ιαγραμμάτων EWMA Για τη σύγκριση της οικονομικής αποτεεσματικότητας των παραπάνω ιαγραμμάτων εξετάζονται συνοικά 96 παραείγματα τα οποία ιαφέρουν στα οικονομικά και στατιστικά τους στοιχεία Συγκεκριμένα, στις πρώτες 48 περιπτώσεις ο χρόνος ειτουργίας της ιαικασίας είναι T 8 ενώ οι περιπτώσεις 49 έως 96 ιαφέρουν από τις πρώτες 48 μόνο στη χρονική ιάρκεια της ιαικασίας: Τ 4 Σε όες τις περιπτώσεις το κόστος ειγματοηψίας ανά μονάα ιατηρήθηκε σταθερό και ίσο με τη μονάα: c Σε ύο επίπεα εξετάζονται το σταθερό κόστος ανά ειγματοηψία b και b 5, το επιπρόσθετο κόστος ειτουργίας ανά μονάα χρόνου υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας M και Μ, ο ρυθμός εμφάνισης της συστηματικής αιτίας, και, και τέος το μέγεθος της μεταβοής στη μέση τιμή και Το κόστος εέγχου L και το κόστος αποκατάστασης της συστηματικής αιτίας L εξετάζονται σε τρεις συνυασμούς: L 5 και L 5, L 5 και L 5 και τέος L 5 και L 5 Έτσι προκύπτουν οι περιπτώσεις που εξετάζονται στο κεφάαιο αυτό Στον πίνακα 3 παρουσιάζονται αναυτικά όες οι τιμές των παραμέτρων των 96 παραειγμάτων 8

95 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου Πίνακας 3: Δεομένα για τα 96 αριθμητικά παραείγματα c Περίπτωση # Τ b M L L , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 8

96 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Με τη χρήση των μαθηματικών προτύπων που αναπτύχθηκαν στο κεφάαιο αυτό βρίσκουμε το εάχιστο μέσο κόστος για κάθε τύπο ιαγράμματος και για κάθε ένα από τα 96 παραείγματα Συγκεκριμένα, πρώτα εαχιστοποιείται το μέσο κόστος από τη χρήση του στατικού ιαγράμματος F Shehart με τη χρήση του μαθηματικού προτύπου που παρουσιάστηκε στην παράγραφο 3 και στη συνέχεια του αθροιστικού ιαγράμματος με τη χρήση του αγορίθμου που παρουσιάστηκε στην παράγραφο 33 Κατόπιν, προσιορίζονται οι παράμετροι του ιαγράμματος V Shehart σύμφωνα με το πρότυπο των Costa ad Rahi και εκτιμάται προσομοιωτικά το μέσο κόστος που προκύπτει από τη χρήση του ιαγράμματος αυτού στον πεπερασμένο ορίζοντα προσομοιώσεις Οι παράμετροι, και h, h του ιαγράμματος V Shehart χρησιμοποιούνται στη συνέχεια ως τα μοναικά στοιχεία των συνόων επιτρεπτών τιμών S και S h αντίστοιχα του ιαγράμματος Bayes, το οποίο βετιστοποιείται με αυτές και μόνο τις επιογές, ώστε να προσιοριστεί η βετίωση στο συνοικό μέσο κόστος ποιότητας που οφείεται αποκειστικά στην επιπέον γνώση για την πραγματική κατάσταση της παραγωγικής ιαικασίας που προσφέρει η χρήση του θεωρήματος Bayes Τέος, όπως ακριβώς και στα στατικά ιαγράμματα F Shehart και CUSUM, έτσι και στα υναμικά ιαγράμματα V Shehart και Bayes υποογίζεται επιπέον το κόστος της ποιτικής Ι από τη σχέση 35, συγκρίνεται με το κόστος του βέτιστου ειγματοηπτικού σχήματος και επιέγεται το εάχιστο εκ των ύο Κατά τη ιαικασία βετιστοποίησης οι υνατές τιμές για τα όρια εέγχου των ιαγραμμάτων F και V Shehart και για τα προειοποιητικά όρια του V Shehart ήταν τα ακέραια ποαπάσια του,,,,,, Θέτοντας, χρησιμοποιήθηκε η ίια ιακριτοποίηση και για το όριο εέγχου H του αθροιστικού ιαγράμματος Το ιάστημα μεταξύ ειγματοηψιών h για τα στατικά ιαγράμματα Shehart και CUSUM μπορούσε να πάρει τιμές από, έως Τ χρονικές μονάες Η 8

97 περίπτωση Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου h T αναφέρεται σε πήρη απουσία ειγματοηπτικών εέγχων κατά τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας Ι ενώ το εάχιστο επιτρεπτό h, προκύπτει για T, ειγματοηψίες κατά τη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας Ανάογα οιπόν με το h, οι επιτρεπτές τιμές του αριθμού των T ειγματοηψιών Ι ήταν από h T έως, Οι επιτρεπτές τιμές των ιαστημάτων h και h για το ιάγραμμα V Shehart ήταν τα ακέραια ποαπάσια του,,,,,,3, Προκειμένου να γίνουν οι απαραίτητοι υποογισμοί για τον προσιορισμό της βέτιστης ύσης με τη χρήση του ιαγράμματος Bayes έπρεπε πρώτα να καθοριστεί η ιακριτοποίηση της πιθανότητας επίρασης της συστηματικής αιτίας Στην πραγματικότητα υπάρχουν άπειροι τρόποι να ιακριτοποιηθεί η πιθανότητα έτσι ώστε κάθε πιθανότητα να αντιστοιχεί σε μία περιοχή πιθανοτήτων που περιαμβάνει όες τις γειτονικές τιμές ±Δ Σημειώνεται πως τo Δ ε χρειάζεται να είναι σταθερό για όες τις τιμές του καθώς η εμπειρία έχει είξει πως είναι προτιμότερο να υπάρχει πιο «πυκνή» ιακριτοποίηση μικρό Δ για μικρές τιμές του Για παράειγμα, ο Tagaras 996 αναφέρει πως ένας καός συμβιβασμός μεταξύ ακρίβειας και υποογιστικών απαιτήσεων προκύπτει αν το ιάστημα, της πιθανότητας ειτουργίας υπό τη συστηματική αιτία ιακριτοποιηθεί σε άνισα ιαστήματα ως εξής: ιαστήματα μήκους, το καθένα, που καύπτουν το ιάστημα,,, ιαστήματα μήκους,4 που καύπτουν το ιάστημα [,,,, 5 ιαστήματα μήκους, για το [,,,6 και ιαστήματα μήκους, για το ιάστημα [,6,, Προσθέτοντας την τιμή, ο συνοικός αριθμός των ιακριτοποιημένων πιθανοτήτων είναι Η ιακριτοποίηση αυτή χρησιμοποιήθηκε και από τους Tagaras 83

98 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών ad iolaidis Συνεπώς, σε όα τα παραείγματα του κεφααίου αυτού χρησιμοποιείται η συγκεκριμένη ιακριτοποίηση της πιθανότητας για τον υποογισμό της βέτιστης ύσης από τη χρήση μονόπευρου ιαγράμματος Bayes και στη συνέχεια το ακριβές μέσο κόστος βρίσκεται προσομοιωτικά προσομοιώσεις Το 99% αμφίπευρο ιάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής του συνοικού κόστους είναι σε κάθε περίπτωση μικρότερο του % της τιμής της σημειακής του εκτιμήτριας Τα βέτιστα οικονομικά αποτεέσματα όων των περιπτώσεων για τα ιαγράμματα Shehart παρουσιάζονται στον πίνακα 3 Στις στήες C FS FS, VS FS FS και B FS FS παρουσιάζεται η ποσοστιαία βετίωση στο εάχιστο κόστος που επιτυγχάνεται από τη χρήση ιαγραμμάτων CUSUM, V Shehart και Bayes αντίστοιχα, σε σχέση με το εάχιστο κόστος από τη χρήση του ιαγράμματος F Shehart Ο αστερίσκος ίπα στο κόστος των στατικών ιαγραμμάτων Shehart και στην ποσοστιαία βετίωση από τη χρήση των ιαγραμμάτων CUSUM, V Shehart και Bayes υποηώνει πως η βέτιστη ποιτική για τα συγκεκριμένα παραείγματα εν περιαμβάνει κανένα ειγματοηπτικό έεγχο μέχρι την οοκήρωση της ιαικασίας Ι Όπως είναι φυσικό, η ποιτική αυτή είναι βέτιστη σε περιπτώσεις όπου η ιάρκεια Τ της παραγωγικής ιαικασίας είναι ιιαίτερα μικρή, το κόστος ειτουργίας υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας Μ είναι χαμηό και τα κόστη εέγχου και αποκατάστασης L, L μεγάα 84

99 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου Πίνακας 3: Εάχιστο κόστος ιαγραμμάτων F Shehart και ποσοστιαίες βετιώσεις από τη χρήση άων ιαγραμμάτων Περίπτωση Κόστος F C FS VS FS B FS Περίπτωση Κόστος F C FS VS FS B FS Τ 8 # Shehart FS FS FS Τ 4 # Shehart FS FS FS 8,86,,3 3, 49 5,79,4 6,7 5,7 3,6 *, *, *, * 5 358,75, 6,3 5, 3 3,6 *, *, *, * 5 395,5,,4, 4 9,3,4 4,5 9, 5 649,46,7 7,,5 5 48,6, 9,6 4,7 53 8,8,5 3, 6,9 6 7,6, 7,8 3, ,96,6,8 7, 7 3,6 *, *, *, * 55 43,64,,,8 8 3,6 *, *, *, * ,68,,7 3, 9 3,6 *, *, *, * 57 47,97, 6,8 8,9 4,5,,, ,73, 4,9 5,5 68,34, 4,, ,86, 3,6 4,3 87,6,,9 7,3 6 9,56,,9 3,6 3 39,6,3 6,3, ,36,4,5 3,9 4 49,33 *, *, *, * 6 3,73,, 7,7 5 49,33 *, *, *, * 63 37,3,, 8,9 6 46,,5 8,4, ,48,6 8,9, ,6, 3,6 6, ,8,3 4,8 6, 8 846,,3 8,4, ,53,4,,6 9 57,55, 4,4,6 67 9,6,,3 3, 49,33 *, *, *, * ,,,8 3,7 49,33 *, *, *, * 69 45,7,,8 4,5 59,39,,5 3, 7 634,55, 3,5 3,9 3 83,5,,, ,99,,8,3 4 93,, 3,7 5, ,9, 5,8 6,5 5,86, 9,4 6, 73 33,6,,7 4,6 6 3,6 *, *, *, * 74 96,98, 6,,5 7 3,6 *, *, *, * 75 34,58,, 6,8 8 75,5, 7,, ,39,5 8,7,8 9 6,79,, 3, ,7,,6 5, 3 8,83,6 6,, 78 64,5,7 9,3, 3 7,76,,7, ,78, 3,7 3,8 3 3,6 *, *, *, * 8 34,66,,, 33 3,6 *, *, *, * 8 35,98,,5 4,5 34 8,5,,, ,46, 3,9 4, 35 37,55, 5,, ,79,,6, ,67,,4, ,37, 6,5 6,7 37 3,33, 8,8, ,49,,6 3, ,33 *, *, *, * 86 86,6,,4 7, 39 49,33 *, *, *, * 87 9,7,,3 8, 4 7,8,4 7, 7, ,3,6 7,3 7,9 4 63,93,,4 4, ,8, 3, 3, ,39,4 4, 6, ,,4 4,9 5,7 43 3,47,,, 9 77,83,,6, ,33 *, *, *, * 9 7,77,,4 4, 45 49,33 *, *, *, * 93 9,9,,3 4, ,,,, 94 99,,,4, ,77,,, ,99,,, ,5,, 3, ,86,,3,7 * Βέτιστη ποιτική: όχι έεγχος Ι 85

100 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Το πρώτο σημαντικό συμπέρασμα από τη σύγκριση του βέτιστου κόστους μεταξύ των ιαγραμμάτων Shehart και CUSUM είναι πως η βετίωση που επιτυγχάνεται από τα πιο σύνθετα ιαγράμματα CUSUM είναι εάχιστη σε όες τις περιπτώσεις που εξετάστηκαν τόσο για Τ 8 όσο και για Τ 4 Παρά την κοινή πεποίθηση της ανωτερότητας των αθροιστικών ιαγραμμάτων έναντι των ιαγραμμάτων Shehart ειικά για μικρές μετατοπίσεις της μέσης τιμής, η συγκριτική ανάυση της ιατριβής οηγεί στο συμπέρασμα πως η οικονομική συμπεριφορά των ύο ιαγραμμάτων είναι σχεόν όμοια Τα οικονομικά αποτεέσματα των αθροιστικών ιαγραμμάτων είναι φυσικά σε κάθε περίπτωση καύτερα από των απών Shehart καθώς τα ιαγράμματα Shehart με όριο εέγχου μπορούν να θεωρηθούν ειικές περιπτώσεις των αθροιστικών με H και το ίιο, αά οι ποσοστιαίες βετιώσεις του κόστους είναι αμεητέες Η σύγκριση μεταξύ των ιαγραμμάτων F Shehart και V Shehart καταεικνύει τη μείωση στο κόστος που μπορεί να επιτευχθεί από την υιοθέτηση υναμικών παραμέτρων Εντούτοις, υπάρχουν ποές περιπτώσεις, κυρίως για μικρά Τ, όπου η υιοθέτηση των ιαγραμμάτων V Shehart οηγεί σε οικονομική επιβάρυνση σε σχέση με τα στατικά ιαγράμματα Shehart Το φαινόμενο αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι τα υναμικά ιαγράμματα βετιστοποιούνται για ιαικασίες άπειρου ορίζοντα και στη συνέχεια η βέτιστη ύση εφαρμόζεται σε ιαικασίες περιορισμένης ιάρκειας Όσο μικρότερη είναι η ιάρκεια της ιαικασίας, τόσο ογικότερο είναι οι βέτιστες παράμετροι του άπειρου ορίζοντα να αποκίνουν σημαντικά από τις παραμέτρους που θα εαχιστοποιούν το κόστος σε μια ιαικασία περιορισμένης ιάρκειας Η απόκιση αυτή, όπως είναι αναμενόμενο, αμβύνεται στις περιπτώσεις όπου η ιάρκεια της ιαικασίας είναι σημαντικά μεγαύτερη T 4 Στις περιπτώσεις αυτές η χρήση 86

101 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου των ιαγραμμάτων V Shehart οηγεί σχεόν πάντα σε μείωση του μέσου κόστους Παρόα αυτά, ακόμα και σε κάποιες περιπτώσεις με μεγάο Τ, παρατηρείται επιείνωση του κόστους από τη χρήση των παραμέτρων για τον άπειρο ορίζοντα Από τη σύγκριση μεταξύ των στατικών ιαγραμμάτων Shehart και των ιαγραμμάτων Bayes προκύπτει ότι η μείωση του μέσου κόστους ποιότητας που επιτυγχάνεται από τη χρήση των ιαγραμμάτων Bayes είναι πάντα μεγαύτερη από την αντίστοιχη μείωση που επιτυγχάνεται από τα ιαγράμματα V Shehart Το φαινόμενο αυτό οφείεται στην υπεροχή του ιαγράμματος Bayes έναντι του ιαγράμματος V Shehart με τις ίιες επιογές και h Σημειώνεται πάντως ότι υπάρχουν και πάι κάποιες περιπτώσεις όπου το στατικό ιάγραμμα Shehart είναι οικονομικά αποτεεσματικότερο από το υναμικό ιάγραμμα Bayes, εξαιτίας των περιορισμένων επιογών και h του τεευταίου, που προέρχονται μάιστα από βετιστοποίηση ιαγράμματος άου τύπου V Shehart για άπειρο ορίζοντα Πού συχνά, τα ιαγράμματα που χρησιμοποιούνται για την παρακοούθηση της μέσης τιμής ενός χαρακτηριστικού ποιότητας βασίζονται σε μοναιαία είγματα Υπάρχουν ποές περιπτώσεις άωστε όπου μπορεί να είναι ιαθέσιμη μόνο μία παρατήρηση σε κάθε ειγματοηψία όπως ιαικασίες συνεχούς ροής απούτως ομογενούς προϊόντος, ιαικασίες με αυτόματο έεγχο και μετρήσεις ή ιαικασίες με ιιαίτερα χαμηό ρυθμό παραγωγής Hais ad Olell, 998, Ταγαράς, Στον πίνακα 33 παρουσιάζονται τα βέτιστα οικονομικά αποτεέσματα όων των περιπτώσεων για τα ιαγράμματα Shehart και η ποσοστιαία βετίωση στο εάχιστο κόστος που επιτυγχάνεται από τη χρήση ιαγραμμάτων CUSUM, V Shehart και Bayes, όπως ακριβώς και στον πίνακα 3 αά για Ο αστερίσκος ίπα στο κόστος των στατικών ιαγραμμάτων Shehart αά και στην ποσοστιαία βετίωση των 87

102 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών υποοίπων ιαγραμμάτων συμβοίζει και πάι πως η βέτιστη ποιτική στις συγκεκριμένες περιπτώσεις είναι η απουσία ειγματοηπτικών εέγχων μέχρι την οοκήρωση της ιαικασίας Παράηα, υπάρχει και μία περίπτωση 68 της οποίας η βέτιστη ποιτική για τα ιαγράμματα F Shehart και CUSUM είναι ο περιοικός έεγχος της ιαικασίας και αποκατάσταση στην εντός εέγχου ειτουργία όταν κρίνεται απαραίτητο αν έχει επιράσει η συστηματική αιτία χωρίς τη ήψη ειγμάτων 88

103 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου Πίνακας 33: Εάχιστο κόστος ιαγραμμάτων F Shehart και ποσοστιαίες βετιώσεις από τη χρήση άων ιαγραμμάτων Περίπτωση Κόστος F C FS VS FS B FS Περίπτωση Κόστος F C FS VS FS B FS Τ 8 # Shehart FS FS FS Τ 4 # Shehart FS FS FS 3,5,,4 * 6, 49 67,9 6, 3, 39,3 3,6 *, *, *, * 5 48,97 8,4, 5,7 3 3,6 *, *, *, * 5 69,6 8,4 9,4 47, 4 57,86 5,9 8,3 3,9 5 86,8 8,8,6 33,4 5 86,37,3 3,9 6, ,57 5,5 7, 7,9 6 97,67 3,8,6 45, 54,9 45,8 6, 54,7 7 3,6 *, *, *, * 55 34,,7 5,3 9, 8 3,6 *, *, *, * ,4,,7 6, 9 3,6 *, *, *, * ,7 4,4 5,8 9,5 89,34,4,8 6,7 58 5,49,5 7,4,6,64,,5 5, ,3,3 6, 9,3 36,48,,7 * 3,5 6 53,,9 5,6 44,8 3 68,58 9,7, 3,5 6 94,8 3, 5, 5, 4 49,33 *, *, *, * 6 44,7,8,, 5 49,33 *, *, *, * 63 75,9 9, 4,9 9, 6 553, 4,3, 7, ,3 4,4 9,9 6,6 7 88,76 8,6 6,4, ,9 8,8 6,,7 8 46,57 7,8,7 3, 66 76,7 9,,4 3, 9 86,6, 3,,5 67 6,9,5 3,4 5,4 49,33 *, *, *, * 68 45,3 **, ** 4,7 3, 49,33 *, *, *, * ,9,, 9,3 688,49, 4,8 7, ,49,5 5,7 7, ,3,4,9 5,6 7 58,8,9 3,6 5,3 4 67,63 5,6 4,3 7, ,8 3,5 6, 8, 5 4,63,8 4,5 4, ,96 8,7 6,8 33,5 6 3,6 *, *, *, * 74 38,85 3,6,7 8, 7 3,6 *, *, *, * 75 4,58 6,7 4, 33,9 8 88,6 9,3,4 8, ,84,3 3,8 9,6 9,4 6,3 5,4, ,5 7,3 7,,5 3 75,7 5, 8,7 4, ,8 8, 3,7 43, 3 3,, 3,9 * 3,9 * 79 33,7,8, 3,3 3 3,6 *, *, *, * 8 383,5,3,3 8, 33 3,6 *, *, *, * 8 49,6 6, 8,8 7, ,94,8 9,, 8 748,7,, 4, ,94,5 4,9 9, 83 9,6,8 9,5,7 36 3,3 7,,5 3, ,97,9 9,5 37,3 37 4,86 5,6 4, 9,6 85 6,77 6,7 5,8, 38 49,33 *, *, *, * 86 35,3,9, 9, 39 49,33 *, *, *, * ,35 5, 6, 4,3 4 34,7 8,8 9, 3, ,77 9, 8,8, ,4 4, 4,4 8, ,6 4, 4, 6, ,36 6,9,, ,68 7,4, 9, 43 5,4,3,8 6, 9 857,4,7 7, 8, ,33 *, *, *, * 9 34,89,,5 5, ,33 *, *, *, * ,8,7 3,4, ,96,9 7,6 9, ,7, 8, 9,4 47 8,4,5 3,5 6, 95 4,8,6 4,6 5, ,47 8,6 5,, ,59 9,6 6,,4 * Βέτιστη ποιτική: όχι έεγχος Ι ** Βέτιστη ποιτική: περιοικός έεγχος χωρίς τη ήψη ειγμάτων 89

104 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Καταρχάς, η σύγκριση των πινάκων 3 και 33 είχνει ότι σε κάθε περίπτωση η χρήση οποιουήποτε ιαγράμματος με περιορισμούς στο μέγεθος είγματος οηγεί σε σημαντικά αυξημένο κόστος σε σχέση με τη χρήση ιαγραμμάτων χωρίς περιορισμούς Το φαινόμενο αυτό, ενώ είναι γενικά αναμενόμενο, για το αθροιστικό ιάγραμμα χρήζει ειικής αναφοράς Αποτεεί κοινή πεποίθηση πως τα αθροιστικά ιαγράμματα έχουν καύτερη στατιστική συμπεριφορά όταν οι ειγματοηψίες είναι πού συχνές και το μέγεθός τους μοναιαίο Hais ad Olell, 998 και Reyolds ad Stoubos, 4a και 4b Εντούτοις, η αριθμητική μας ανάυση καταεικνύει πως το εάχιστο κόστος από τη χρήση ιαγραμμάτων CUSUM επιτυγχάνεται σε όες τις περιπτώσεις με χρήση ειγμάτων μεγαύτερων της μονάας ενώ η επιβεβημένη χρήση μοναιαίων ειγμάτων οηγεί σε σημαντική οικονομική επιβάρυνση, η οποία είναι κατά μέσο όρο 4,7% στα 96 παραείγματα που εξετάστηκαν Το πιο σημαντικό συμπέρασμα από τη σύγκριση του εάχιστου κόστους μεταξύ των ιαγραμμάτων F Shehart και CUSUM είναι πως, σε αντίθεση με την περίπτωση που εν υπάρχει περιορισμός στο μέγεθος είγματος, η βετίωση που επιτυγχάνεται από τα πιο σύνθετα ιαγράμματα CUSUM είναι εξαιρετικά σημαντική όταν το μέγεθος είγματος εν είναι υνατόν να υπερβαίνει τη μονάα Η σύγκριση μεταξύ των απών ιαγραμμάτων F Shehart και V Shehart όταν οηγεί σε παρόμοια συμπεράσματα με την περίπτωση με εεύθερο Όσον αφορά την οικονομική αποτεεσματικότητα των ιαγραμμάτων Bayes με, τα ιαγράμματα αυτά έχουν και πάι σταθερά χαμηότερο μέσο κόστος από τα ιαγράμματα V Shehart με και μάιστα η βετίωση είναι σχεόν πάντα μεγαύτερη από την αντίστοιχη βετίωση για εεύθερο Το φαινόμενο αυτό εξηγείται από το γεγονός πως όταν υπάρχει ο περιορισμός οι πηροφορίες που αμβάνονται 9

105 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου από το ιάγραμμα εέγχου είναι ειπείς, συνεπώς η επιπέον πηροφορία που αξιοποιείται από το ιάγραμμα Bayes σε σχέση με το από V έχει μεγαύτερη «αξία» ιότι καύπτει κατά κάποιον τρόπο το έειμμα πηροφορίας που οφείεται στον περιορισμό του μεγέθους είγματος Ο πίνακας 34 παρουσιάζει συνοπτικά τη μέση και τη μέγιστη μείωση στο κόστος, που επιτυγχάνεται από τη χρήση ιαγράμματος CUSUM, V Shehart και Bayes έναντι του F Shehart, αφενός για τις περιπτώσεις με εεύθερο και αφετέρου για Σημειώνεται πως για τον υποογισμό των μέσων τιμών στις μειώσεις του κόστους ε αμβάνονται υπόψη εκείνες οι περιπτώσεις όπου η βέτιστη ποιτική και για τα ύο συγκρινόμενα ιαγράμματα είναι είτε η πήρης απουσία εέγχων Ι, είτε ο περιοικός έεγχος χωρίς ειγματοηψίες Πίνακας 34: Μέση και μέγιστη ποσοστιαία βετίωση κόστους από τη χρήση άων ιαγραμμάτων σε σχέση με το ιάγραμμα F Shehart CUSUM V Shehart Bayes εεύθερο μέση βετίωση, 5,6 8,6 μέγιστη βετίωση,7,8 7, μέση βετίωση 8,3,4 8,9 μέγιστη βετίωση 45,8 3,7 54,7 Όπως φαίνεται στον πίνακα 34, η βετίωση στο συνοικό μέσο κόστος από τη χρήση πιο σύνθετων ιαγραμμάτων σε σχέση με το στατικό Shehart μπορεί κάποιες φορές να είναι πού μεγάες Συνοικά, το αποτεεσματικότερο από τα τέσσερα εξεταζόμενα ιαγράμματα είναι το υναμικό ιάγραμμα Bayes και μάιστα η 9

106 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών ποσοστιαία βετίωση στο κόστος από τη χρήση του συγκεκριμένου ιαγράμματος θα μπορούσε να είναι ακόμη υψηότερη αν οι υνατές τιμές του h όταν και των, h όταν εν υπάρχουν περιορισμοί στο μέγεθος είγματος ήταν περισσότερες Στη συνέχεια, και προκειμένου να εξαχθούν κάποια συμπεράσματα σχετικά με τις ενεειγμένες τιμές των παραμέτρων σχείασης των ιαφόρων ιαγραμμάτων, στον πίνακα 35 παρουσιάζονται ενεικτικά για τις περιπτώσεις 49 έως 54 των αριθμητικών παραειγμάτων του πίνακα 3 οι βέτιστες παράμετροι σχείασης των ιαγραμμάτων F Shehart, CUSUM και V Shehart τόσο για την περίπτωση του εεύθερου μεγέθους είγματος όσο και για Ο σχοιασμός που ακοουθεί ε βασίζεται μόνο στις συγκεκριμένες 6 ενεικτικές περιπτώσεις του πίνακα 35 αά αναφέρεται στις βέτιστες παραμέτρους σχείασης και των 96 περιπτώσεων του πίνακα 3 Πίνακας 35: Βέτιστες παράμετροι σχείασης ιαγραμμάτων για τις περιπτώσεις εεύθερο # F Shehart CUSUM V Shehart h h H h h v 49 3,64 6,6 3,64 6,,7,6, 4 3,8,, , 7,6 8 4,44 7,,6,7, 4 3,7,, ,67 4,5 5 6,67 4,8,8,, 8 4,6,8,9 5 35, 6,6 37,5 6,,8,7, 5,8,9, , 6,6 37,5 6,,8,7, 5,8,9,6 54 5,54 3,6 5,54 3,7,,8, 3 4,,7, 49 3,5,6 6,63,4 3,,6,,6,8, 5 3,67,5 54,73,4 3,,6,,6,8, 5 33,8,5 89,44,5 5,7,4, 3,7,4, 5 9,3,7,8,4 3,3,5,,5,6, 53 8,3,7,8,4 3,3,5,,5,6, 54 6,5,6 373,,5 6,,5, 3,5,, Από τον πίνακα 35, αά και από τις βέτιστες παραμέτρους των υπόοιπων περιπτώσεων που εν εμφανίζονται στον πίνακα, είναι εμφανής η ομοιότητα των 9

107 Μονόπευρο ιάγραμμα εέγχου παραμέτρων των ιαγραμμάτων F Shehart και CUSUM όταν εν υπάρχουν περιορισμοί στο μέγεθος είγματος Αντίστοιχα ηαή με τα οικονομικά αποτεέσματα των ύο ιαγραμμάτων, το βέτιστο σχήμα εέγχου του ενός εάχιστα ιαφέρει από το βέτιστο σχήμα του άου Τα βέτιστα μεγέθη είγματος των αθροιστικών ιαγραμμάτων είναι ίσα στις περισσότερες περιπτώσεις ή ίγο μικρότερα από τα βέτιστα μεγέθη είγματος των ιαγραμμάτων Shehart και η συχνότητα ειγματοηψιών είναι η ίια ή ίγο μεγαύτερη Αντίθετα, όταν η συχνότητα ειγματοηψιών των αθροιστικών ιαγραμμάτων είναι πού μεγαύτερη από τη συχνότητα ειγματοηψιών των ιαγραμμάτων Shehart Το ιάγραμμα CUSUM, εκμεταευόμενο τον τρόπο ειτουργίας του, συέγει τις πηροφορίες αμβάνοντας είγματα πού συχνά Στο ιάγραμμα Shehart οι ειγματοηψίες πραγματοποιούνται ιγότερο συχνά, καθώς όταν υπάρχει ο περιορισμός, οι πιο συχνές ειγματοηψίες θα οηγούσαν σε αύξηση του κόστους εέγχων χωρίς να βετιώνουν ουσιαστικά τη συμπεριφορά του ιαγράμματος Οι παράμετροι του ιαγράμματος V Shehart εν μπορούν να συγκριθούν άμεσα με τις βέτιστες παραμέτρους των F Shehart και CUSUM καθώς το V Shehart βετιστοποιείται για ειτουργία σε άπειρο χρονικό ορίζοντα Εντούτοις, η ιαφαινόμενη τάση είναι ότι τόσο το όσο και το είναι μεγαύτερα από το μοναικό όριο εέγχου του F Shehart για όες τις περιπτώσεις του εεύθερου και για τις περισσότερες περιπτώσεις όταν, ενώ παράηα τα είγματα αμβάνονται με μεγαύτερη συχνότητα αά είναι μικρότερου μεγέθους Ενιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός πως η μικρότερη τιμή του h είναι πάντα η εάχιστη επιτρεπτή h,, τόσο για εεύθερο όσο και για Η μεγάη τιμή του h h καθώς και τα όρια εέγχου 93

108 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών και είναι μικρότερα όταν σε σχέση με τις τιμές τους όταν το μέγεθος είγματος είναι εεύθερο με τη ογική πως όταν υπάρχει ο περιορισμός στο μέγεθος είγματος το σχήμα εέγχου πρέπει να γίνεται πιο αυστηρό, ώστε να μειώνεται η πιθανότητα ειτουργίας εκτός εέγχου εξαιτίας ειπούς πηροφόρησης 94

109 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου 4 ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Στο κεφάαιο αυτό η ιατριβή επεκτείνεται σε παραγωγικές ιαικασίες στις οποίες επιρούν περιοικά ύο συστηματικές αιτίες, μία εκ των οποίων προκαεί αύξηση και η άη μείωση της μέσης τιμής του μετρούμενου χαρακτηριστικού ποιότητας χωρίς να επηρεάζεται η μεταβητότητα της κατανομής του σε καμία από τις ύο περιπτώσεις Θεωρείται πάι πως όταν η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο, το μετρούμενο χαρακτηριστικό ποιότητας Χ κατανέμεται κανονικά γύρω από μια επιθυμητή μέση τιμή μ με γνωστή μεταβητότητα σ : ~ μ σ X, Οποιαήποτε στιγμή, μπορεί να επιράσει κάποια συστηματική αιτία και να προκαέσει αύξηση στη μέση τιμή πρώτη συστηματική αιτία ή μείωση εύτερη συστηματική αιτία κατά τυπικές αποκίσεις Στην περίπτωση αυτή το μετρούμενο χαρακτηριστικό συνεχίζει να ακοουθεί κανονική κατανομή με την ίια μεταβητότητα σ αά με νέα μέση τιμή μ μ σ για την η συστηματική αιτία ή μ μ σ για τη η συστηματική αιτία Η ανηγμένη μέση τιμή οιπόν κάθε είγματος όταν η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο είναι ~,, όταν έχει επιράσει η η συστηματική αιτία είναι ~,, ενώ σε περίπτωση επίρασης της ης συστηματικής αιτίας η ανηγμένη μέση τιμή είναι ~, Η εμφάνιση της ης συστηματικής αιτίας αποτεεί ιαικασία Poisso με μέση τιμή εμφανίσεις ανά μονάα χρόνου, ενώ η εμφάνιση της ης συστηματικής αιτίας αποτεεί ιαικασία Poisso με μέση τιμή εμφανίσεις ανά μονάα χρόνου Άρα ο ρυθμός εμφάνισης μίας οποιασήποτε συστηματικής αιτίας αποτεεί επίσης ιαικασία Poisso με μέση τιμή εμφανίσεις ανά μονάα χρόνου Κατά συνέπεια, ο χρόνος μεταξύ ιαοχικών εμφανίσεων κάποιας συστηματικής αιτίας 95

110 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών ακοουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή / μονάες χρόνου Άρα η πιθανότητα εμφάνισης οποιασήποτε συστηματικής αιτίας κατά τη ιάρκεια ενός χρονικού ιαστήματος ιάρκειας h, μεταξύ ύο ιαοχικών ειγματοηψιών, με εομένο πως στην αρχή του ιαστήματος η ιαικασία ειτουργούσε υπό στατιστικό έεγχο θα είναι: γ h e 4 ενώ οι αντίστοιχες πιθανότητες για την πρώτη και εύτερη συστηματική αιτία θα ίνονται από τις σχέσεις: γ γ / 4 γ γ /, 43 θεωρώντας πως εφόσον επιράσει μια συστηματική αιτία εν είναι υνατόν να επιράσει στη συνέχεια και η άη, εκτός βέβαια αν πρώτα αποκατασταθεί η ειτουργία σε κατάσταση στατιστικού εέγχου Σημειώνεται πως οι παραπάνω πιθανότητες είναι συναρτήσεις του ιαστήματος h αά συμβοίζονται χάριν απότητας γ και γ Εντούτοις, ποές φορές στο κεφάαιο αυτό θα χρησιμοποιηθεί ο συμβοισμός γh και γ h αντίστοιχα, όταν θα πρέπει να τονιστεί η σχέση των πιθανοτήτων αυτών με το h Η παραγωγική ιαικασία θεωρείται πως θα ειτουργήσει για συγκεκριμένο χρονικό ιάστημα Τ Όπως και στο μονόπευρο ιάγραμμα, ορίζονται κόστος εέγχου ανά μονάα και σταθερό κόστος ειγματοηψίας c και b αντίστοιχα Το κόστος εσφαμένης ιακοπής ειτουργίας της ιαικασίας συμβοίζεται και πάι με L Η αποκατάσταση της ιαικασίας σε στατιστικό έεγχο σε περίπτωση που ιαπιστωθεί ύπαρξη της ης συστηματικής αιτίας έχει κόστος L ενώ αντίστοιχα για τη η συστηματική αιτία το κόστος είναι L L L και L L Το κόστος «κακής» 96

111 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου ποιότητας ανά μονάα χρόνου ειτουργίας της ιαικασίας υπό την επίραση της ης συστηματικής αιτίας είναι Μ ενώ στην περίπτωση της ης είναι Μ 4 Από στατικό ιάγραμμα Shehart Τα σφάματα πρώτου και ευτέρου είους για το αμφίπευρο ιάγραμμα Shehart όταν τα όρια εέγχου εν είναι συμμετρικά, όταν ηαή το άνω όριο εέγχου είναι AOE σ / ενώ αντίστοιχα το κάτω όριο εέγχου είναι KOE σ /, ίνονται από τις ακόουθες σχέσεις: α Φ Φ 44 β Φ Φ 45 β Φ Φ 46 Επιπέον των σφαμάτων πρώτου και ευτέρου είους, βασικό στατιστικό μέτρο για την αξιοόγηση της στατιστικής συμπεριφοράς του ιαγράμματος είναι πάι το TARL TARL για την περίπτωση ειτουργίας υπό στατιστικό έεγχο, TARL για την περίπτωση επίρασης της ης συστηματικής αιτίας και TARL για την περίπτωση επίρασης της ης Το TARL υποογίζεται από τη μέση τιμή της τυχαίας μεταβητής U: U { i : > ή <, i,,, } i i i αν i > ή i αν i < για κάποιο i {,,, } για κάθε i {,,, } 47 Στην περίπτωση του αμφίπευρου ιαγράμματος Shehart τα TARL καθώς και τα υπόοιπα στατιστικά χαρακτηριστικά υποογίζονται πάι από τις σχέσεις 34 έως 37 αά τα σφάματα πρώτου και ευτέρου είους υποογίζονται πέον από τις σχέσεις 44, 45 και 46 97

112 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Εαχιστοποίηση κόστους Άμεση επέκταση της συνάρτησης κόστους του μονόπευρου ιαγράμματος Shehart για την περίπτωση του συμμετρικού αμφίπευρου ιαγράμματος όταν, ηαή β β β είναι η ακόουθη συνάρτηση μέσου συνοικού κόστους: M C,, b c M M M h γ γ h β F β F β L a γ F γ F L γ F β L β 48 όπου υπενθυμίζεται ότι FΝ είναι η πιθανότητα το ιάστημα μετά τη ειγματοηψία Ν να ξεκινά με τη ιαικασία υπό στατιστικό έεγχο Η συνάρτηση FΝ ίνεται πάι από τη σχέση 3 Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο εναακτικός τρόπος ανάπτυξης της συνάρτησης κόστους με τη χρήση αυσίων Marov κατ αντιστοιχία προς το κεφάαιο 3 Η χρήση των αυσίων Marov, επιτρέπει την αντιμετώπιση του αμφίπευρου προβήματος στη γενική του μορφή Σημειώνεται πως ο Tagaras 989 έχει ήη παρουσιάσει οικονομικά σχειασμένο αμφίπευρο ιάγραμμα Shehart το οποίο επιτρέπει τη χρήση ασύμμετρων ορίων εέγχου αά για την παρακοούθηση ιαικασιών άπειρου χρονικού ορίζοντα Έστω πως Y Ν είναι η πραγματική κατάσταση της ιαικασίας μετά τη ειγματοηψία Ν, όπου Y Ν υποηώνει ειτουργία υπό στατιστικό έεγχο, Y Ν αναφέρεται σε ειτουργία υπό την επίραση της ης συστηματικής αιτίας και Y Ν αναφέρεται σε ειτουργία υπό την επίραση της ης συστηματικής αιτίας Το στοχαστικό μητρώο πιθανοτήτων P, που περιγράφει τη μετάβαση από κάθε πιθανή 98

113 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου κατάσταση σε οποιαήποτε άη κατά τη ιάρκεια ενός ιαστήματος μεταξύ ύο ιαοχικών ειγματοηψιών, έχει την ακόουθη μορφή:,,,,,, P,,,,,, γ α γ α γ α γ α γ α γ α γ α γ α γ β γ β β γ β γ β γ β γ β β γ β γ β γ γ γ γ β β β β β γ β γ β γ β β γ β 49 Οι έξι καταστάσεις που περιγράφουν το παραπάνω μητρώο μετάβασης χαρακτηρίζονται από το αν και ποια συστηματική αιτία έχει επιράσει τιμή του Υ καθώς και από το αν η απόφαση που αμβάνεται είναι επέμβαση στη ιαικασία a ή όχι a Έτσι, ο συμβοισμός Y, a που θα χρησιμοποιείται για τις έξι αυτές καταστάσεις της αυσίας θα είναι, και, για τις ύο πρώτες καταστάσεις, όπου η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο,, και, όταν η ιαικασία ειτουργεί υπό την επίραση της ης συστηματικής αιτίας και, και, για την περίπτωση της ης συστηματικής αιτίας Το ζεύγος Y, a θεωρείται οιπόν, όπως και στο μονόπευρο ιάγραμμα F Shehart, ως ισιάστατη κατάσταση μιας Μαρκοβιανής αυσίας με πιθανότητες μετάβασης l από κάθε κατάσταση i Y, a i σε κάθε υνατή κατάσταση Y l a, Το κόστος ποιότητας από την παρακοούθηση της παραγωγικής ιαικασίας αποτεείται όπως και στο μονόπευρο μαθηματικό πρότυπο από το κόστος εέγχου, το κόστος ειτουργίας υπό την επίραση των συστηματικών αιτιών, το κόστος εσφαμένων ενείξεων ύπαρξης βάβης και το κόστος αποκαταστάσεων της ιαικασίας σε ειτουργία εντός εέγχου επιιόρθωση βαβών Θα παρουσιαστούν 99

114 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών παρακάτω οι επιμέρους σχέσεις για κάθε στοιχείο κόστους, από την άθροιση των οποίων προκύπτει η τεική συνάρτηση κόστους α Κόστος εέγχου Το συνοικό κόστος εέγχων είναι c b β Κόστος ειτουργίας υπό την επίραση των συστηματικών αιτιών Κατ αντιστοιχία με όσα έχουν ήη αναυθεί στην περίπτωση του μονόπευρου ιαγράμματος, το κόστος ειτουργίας υπό την επίραση των ύο συστηματικών αιτιών θα ίνεται από τη σχέση: M h M h M M γ h 4 γ Κόστος εσφαμένων ενείξεων ύπαρξης βάβης Το μέσο συνοικό κόστος εσφαμένων ενείξεων επίρασης κάποιας συστηματικής αιτίας θα ίνεται από την ίια σχέση, όπως και στο μονόπευρο ιάγραμμα: L Κόστος αποκαταστάσεων της ιαικασίας σε ειτουργία εντός εέγχου Το μέσο συνοικό κόστος αποκαταστάσεων της ιαικασίας συνίσταται σε κόστος επιιόρθωσης της πρώτης και της εύτερης συστηματικής αιτίας:

115 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου L L Εαχιστοποίηση του μέσου συνοικού κόστους Η πρόσθεση των παραπάνω στοιχείων κόστους οηγεί στην ακόουθη συνάρτηση μέσου συνοικού κόστους: C,,, b c h M M h L L L h M M γ 4 Στην περίπτωση κατά την οποία η απόφαση που αμβάνεται για το σχήμα εέγχου στην αρχή της παραγωγικής ιαικασίας είναι η μη παρακοούθηση Ι, το μέσο συνοικό κόστος θα ίνεται από τη σχέση: Τ e T M M C 4 Αν γίνονται περιοικοί έεγχοι για ανίχνευση της συστηματικής αιτίας χωρίς τη ήψη ειγμάτων, το μέσο συνοικό κόστος θα ίνεται από τη σχέση: [ ] L L L e h M M C h, γ γ γ 43 Οι ύο παραπάνω συναρτήσεις κόστους είναι προφανώς ανεξάρτητες από το ιάγραμμα που χρησιμοποιείται

116 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών 4 Σύνθετα στατικά ιαγράμματα Αντίστοιχα με την παράγραφο 3, θα παρουσιαστούν στην παράγραφο αυτή αμφίπευρα αθροιστικά ιαγράμματα CUSUM και ιαγράμματα εκθετικής εξομάυνσης EWMA 4 Περιγραφή - ειτουργία αθροιστικού ιαγράμματος Στην περίπτωση χρήσης αμφίπευρου ιαγράμματος CUSUM μπορεί να ακοουθηθεί η συνήθης πρακτική χρησιμοποιώντας ύο ξεχωριστούς μετρητές, h C και l C, για την ανίχνευση των θετικών και αρνητικών μεταβοών αντίστοιχα στη μέση τιμή Στην περίπτωση αυτή οι αναρομικοί τύποι υποογισμού για τους ύο ξεχωριστούς μετρητές θα είναι: C C h l h { C } l { C } ax, ax,, C h C l 44 όπου, είναι οι τιμές αναφοράς του αθροιστικού ιαγράμματος Η ιαικασία σταματά προς ιερεύνηση ύπαρξης συστηματικής αιτίας και αποκατάσταση όταν οποιοσήποτε από τους ύο μετρητές υπερβεί συγκεκριμένο όριο εέγχου, όταν ηαή h C > Η ή H H και l C > Η Στην περίπτωση πήρως συμμετρικών μοντέων ισχύει ότι Εναακτικά μπορεί να επιεγεί η χρήση ενός μοναικού μετρητή που χρησιμοποιείται για την ανίχνευση τόσο θετικών όσο και αρνητικών μετατοπίσεων στη μέση τιμή και μπορεί να αμβάνει είτε θετικές είτε αρνητικές τιμές Crosier, 986 Η προσέγγιση αυτή απουστεύει τόσο τη χρήση του ιαγράμματος, καθώς χρησιμοποιεί μόνο ένα μετρητή αντί για ύο, όσο και την υποογιστική ιαικασία εύρεσης του

117 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου μέσου κόστους και των στατιστικών χαρακτηριστικών του ιαγράμματος ενώ τα οικονομικά αποτεέσματα των ύο προσεγγίσεων είναι σχεόν ίια Η τιμή του μετρητή θα ίνεται από τις σχέσεις: C { C } ax, αν, C C { C } i, αν < και C 45 C Η ιαικασία σταματά προς έεγχο όταν C Ν > Η ή C Ν < Η Ο μετρητής C Ν, αν και μπορεί να αμβάνει πραγματικές τιμές, ιακριτοποιείται για υποογιστικούς όγους με τρόπο παρόμοιο με αυτόν που περιγράφηκε στην περίπτωση του μονόπευρου CUSUM Συγκεκριμένα, το ιάστημα [ Η,Η ] χωρίζεται σε ίσα μέρη και ορίζεται το μέγεθος ως το πάτος του κάθε μικρότερου ιακριτοποιημένου ιαστήματος ως εξής: H H H H H,, H ½,, 46 Έτσι, η πραγματική τιμή του C Ν μετασχηματίζεται σε ακέραια, η οποία βρίσκεται μεταξύ των και, με στρογγυοποίηση της τιμής του C / στον πησιέστερο ακέραιο του συνόου τιμών {,, } Όταν η πραγματική τιμή του C Ν είναι μικρότερη από το κάτω όριο εέγχου, C ½ H <, τότε η τιμή του μετασχηματίζεται σε ενώ όταν η πραγματική τιμή του C Ν ξεπερνά το άνω όριο εέγχου, C ½ H > τότε η τιμή του μετασχηματίζεται σε Με αυτόν τον τρόπο, με την προσθήκη ηαή των καταστάσεων και, οι οποίες 3

118 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών αντιστοιχούν στις αποφάσεις επέμβασης στη ιαικασία, ο συνοικός αριθμός των καταστάσεων αυξάνεται σε Επομένως η αυσία Marov Y,C Ν χαρακτηρίζεται από 3 καταστάσεις και τις εξής πιθανότητες μετάβασης: l i [ l C Y C i] P Y,, 47 Το στοχαστικό μητρώο πιθανοτήτων μετάβασης P αμβάνει την ακόουθη μορφή: P,,,,,,,,,,,,, i i i,, i i i,, i i i, 48 Τα στοιχεία του μητρώου P χωρίζονται σε εννέα μέρη και εκφράζουν αντίστοιχα τις πιθανότητες μετάβασης από C Ν- σε C Ν για κάθε έναν από τους εννέα πιθανούς συνυασμούς των τιμών των Y - και Y Για παράειγμα η πιθανότητα μετάβασης i από την κατάσταση Y -,C - i στην κατάσταση Y,C υποογίζεται αναυτικά για i,,,,,, και,,, ως εξής: 4

119 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου 5 [ ] i C Y C P Y i,, [ ] < / / i P γ [ ] < / / i i P γ i i d γ όπου είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ανηγμένης κανονικής κατανομής Ν, Οι ακριβείς τιμές για όες τις πιθανότητες μετάβασης l i υποογίζονται από τις ακόουθες σχέσεις: i d d d d d i H i H i i i i i i γ γ γ γ γ i,,,,,, i,,,,,,,,, i,,,,,,,,, 49 i,,,,,, i,,,,,, i ή i,,,,,,

120 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών 6 i i i d d d d d i H i H i i i i i i γ γ γ γ γ i,,,,,, i,,,,,,,,, i,,,,,,,,, 4 i,,,,,, i,,,,,, i ή i,,,,,, i,,,,,,,,,,,, 4 i ή i,,,,,, i,,,,,,,,,,,, 4 i ή i,,,,,,

121 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου 7 i d d d d d i H i H i i i i i i i i i,,,,,, i,,,,,,,,, i,,,,,,,,, 43 i,,,,,, i,,,,,, i ή i,,,,,, i,,,,,,,,,,,, 45 i ή i,,,,,, i,,,,,,,,,,,, 44 i ή i,,,,,,

122 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Σημειώνεται πως οι πιθανότητες υποογίζονται βάσει των πιθανοτήτων, i i θέτοντας γ αντί για γ και αντί για Επίσης, οι πιθανότητες υποογίζονται βάσει των πιθανοτήτων, θέτοντας αντί για i i 4 Στατιστικά χαρακτηριστικά αθροιστικού ιαγράμματος Το μέγεθος TARL στην περίπτωση του αμφίπευρου αθροιστικού ιαγράμματος ορίζεται ως η μέση τιμή της μεταβητής U: { i : C > H ήc < H, i,,, } i i i U Για τον υποογισμό των TARL, TARL και TARL, όπου TARL και 46 TARL τα TARL όταν έχει επιράσει η η και η η συστηματική αιτία αντίστοιχα, το στοχαστικό πρότυπο αποποιείται έτσι ώστε η Μαρκοβιανή αυσία να έχει καταστάσεις, όπου οι καταστάσεις και θεωρούνται απορροφητικές και προκύπτει το νέο στοχαστικό μητρώο P A : αν C i > H ή C i < H i,,, για κάποιο { } αν H Ci H i,,, για κάθε { } P A - - -,,, - -,,,,, -,,,,, - 8

123 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου x x x ' B x A x B x 47 x x x Β και Β είναι οι στήες ιάστασης, που αποτεούνται από τις πιθανότητες i, και i αντίστοιχα, όπου i,,,,,, Το μητρώο οιπόν Α είναι το μητρώο που προκύπτει αν από το P Α ιαγραφούν η πρώτη και τεευταία γραμμή και στήη Ο ποαπασιασμός του μητρώου P Α με τον εαυτό του οηγεί στην ακόουθη σχέση, κατ αντιστοιχία με το μητρώο P Α του μονόπευρου αθροιστικού ιαγράμματος: όπου πάι: W A A A σχέσεις: ' P A W B A W B 48 x x A Αναυτικά οι πιθανότητες μετάβασης του μητρώου P A ίνονται από τις ακόουθες 9

124 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών i H i H i i i i i i i d d d d d όπου ή μ μ / σ ή μ μ / σ, ανάογα με το εάν το μητρώο P A θα χρησιμοποιηθεί για τον υποογισμό του TARL, του TARL ή του TARL αντίστοιχα Τα TARL και σ υποογίζονται με τρόπο αντίστοιχο με αυτόν που έχει ήη περιγραφεί για το μονόπευρο αθροιστικό ιάγραμμα με τη βοήθεια του νέου μητρώου Α Επίσης με αντίστοιχο τρόπο υποογίζονται και τα υπόοιπα στατιστικά χαρακτηριστικά του προτεινόμενου αμφίπευρου ιαγράμματος όπως η πιθανότητα ορθής ένειξης ειτουργίας εκτός στατιστικού εέγχου, η πιθανότητα σφάματος πρώτου είους, η πιθανότητα εμφάνισης και ανίχνευσης της συστηματικής αιτίας κπ i,,,,,, i,,,,,,,,, i,,,,,,,,, 49 i,,,,,, i,,,,,, i και ή i και i ή i

125 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου 43 Διαμόρφωση συνάρτησης κόστους και βετιστοποίηση αθροιστικού ιαγράμματος Τα στοιχεία κόστους ποιότητας από την παρακοούθηση της παραγωγικής ιαικασίας με το αμφίπευρο αθροιστικό ιάγραμμα είναι τα εξής: α Κόστος εέγχου Το συνοικό κόστος εέγχων είναι πάι b c όπου υπενθυμίζεται πως Ι είναι ο συνοικός αριθμός ειγματοηψιών στη ιάρκεια της παραγωγικής ιαικασίας β Κόστος ειτουργίας υπό την επίραση των συστηματικών αιτιών Στην περίπτωση των αμφίπευρων CUSUM, το συνοικό κόστος ειτουργίας υπό την επίραση συστηματικών αιτιών ίνεται από την ακόουθη σχέση: M h h M h M h M,, τ γ τ γ M h h M h M M,, γ 43 Οι ύο πρώτοι όροι της παραπάνω σχέσης εκφράζουν το μέσο κόστος ειτουργίας υπό την επίραση των συστηματικών αιτιών σε οόκηρο το ιάστημα h εξαιτίας σφάματος ευτέρου είους κατά την πιο πρόσφατη ειγματοηψία, ενώ ο τρίτος όρος εκφράζει το μέσο κόστος ειτουργίας εκτός εέγχου που αφορά ένα μέρος μόνο του h

126 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών και οφείεται σε επίραση της συστηματικής αιτίας κατά τη ιάρκεια ενός ιαστήματος το οποίο ξεκίνησε με τη ιαικασία εντός στατιστικού εέγχου γ Κόστος εσφαμένων ενείξεων ύπαρξης βάβης Σφάμα πρώτου είους συμβαίνει όταν η ιαικασία είναι στην κατάσταση Y και C ή C, ηαή ένειξη σφάματος χωρίς αυτό να υφίσταται Άρα, το μέσο συνοικό κόστος σφαμάτων πρώτου είους θα είναι: L, Κόστος αποκαταστάσεων της ιαικασίας σε ειτουργία εντός εέγχου Αποκαταστάσεις της ιαικασίας με κόστος L γίνονται όταν η ιαικασία είναι στην κατάσταση Y και C ή C και με κόστος L όταν η ιαικασία είναι στην κατάσταση Y και C ή C Άρα, το μέσο συνοικό κόστος αποκαταστάσεων θα είναι: L, L, Εαχιστοποίηση του μέσου συνοικού κόστους Η συνάρτηση μέσου συνοικού κόστους ποιότητας της ιαικασίας, η οποία ξεκινά από την κατάσταση Y, C, προκύπτει από την πρόσθεση των παραπάνω στοιχείων κόστους και ίνεται από την ακόουθη σχέση:,,,,, C b c M h h M h M M,, γ

127 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου L L, L,, 43 Οι βέτιστες παράμετροι,,,, H και H πρέπει να προσιοριστούν έτσι ώστε να εαχιστοποιείται η συνάρτηση,,,, C, 44 Διάγραμμα εκθετικής εξομάυνσης Η στατιστική του ιαγράμματος εκθετικής εξομάυνσης στην περίπτωση του αμφίπευρου ιαγράμματος είναι ακριβώς η ίια με αυτήν του μονόπευρου ιαγράμματος εκθετικής εξομάυνσης αά μπορεί πέον να αμβάνει και αρνητικές τιμές: E E E E, E 43 Το άνω και κάτω όριο εέγχου είναι αντίστοιχα Η και Η και η ιαικασία σταματά προς ιερεύνηση ύπαρξης συστηματικής αιτίας και αποκατάσταση όταν η στατιστική του ιαγράμματος υπερβεί το άνω όριο εέγχου, Ε Ν > Η, ή είναι μικρότερη από το κάτω όριο εέγχου, Ε Ν < Η Το πήθος των ιακριτών καταστάσεων είναι, όπως και στην περίπτωση του CUSUM, το στοχαστικό μητρώο πιθανοτήτων P έχει τη μορφή του μητρώου της σχέσης 48 και η ιακριτοποίηση είναι αυτή που περιγράφηκε στην περίπτωση του αθροιστικού ιαγράμματος Έτσι, η Μαρκοβιανή αυσία Y,Ε αποτεείται από 3 καταστάσεις με τις εξής πιθανότητες μετάβασης: 3

128 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών i γ γ γ i i H E i H E i E E E d E d E E d i,,,,,,, i,,,,,, 433 i,,,,,, i ή i,,,,,, i i,,,,,,,,,,,, i ή i,,,,,, 434 i i,,,,,,,,,,,, i ή i,,,,,, 435 4

129 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου 5 E E E E E E E E i d d d i H i H i i γ γ γ E E E E E E E E i d d d i H i H i i i i,,,,,,,,,,,, 438 i ή i,,,,,, i,,,,,,, i,,,,,, 436 i,,,,,, i ή i,,,,,, i,,,,,,, i,,,,,, 437 i,,,,,, i ή i,,,,,,

130 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών i i,,,,,,,,,,,, i ή i,,,,,, 439 Σημειώνεται πως οι πιθανότητες υποογίζονται βάσει των πιθανοτήτων, i i θέτοντας γ αντί για γ και αντί για ενώ οι πιθανότητες υποογίζονται βάσει των πιθανοτήτων, θέτοντας αντί για Τα στατιστικά i χαρακτηριστικά καθώς και η συνάρτηση κόστους είναι αντίστοιχα με ό,τι έχει ήη περιγραφεί και αναυθεί στην περίπτωση του αθροιστικού ιαγράμματος i 43 Διάγραμμα Shehart με μεταβαόμενες παραμέτρους Στο αμφίπευρο ιάγραμμα V Shehart υπάρχουν ύο συνυασμοί παραμέτρων h,, και αντίστοιχα με το μονόπευρο V Shehart: h,,, και h,,, όπου: h h,, και Και πάι ανάογα με την τιμή του x και τα τρέχοντα όρια εέγχου, ή, αμβάνεται απόφαση για το αν θα γίνει επέμβαση a, για το χρονικό ιάστημα μέχρι την επόμενη ειγματοηψία h ή h, το επόμενο μέγεθος είγματος ή και τα επόμενα όρια εέγχου, ή, Η ποιτική που ακοουθείται απεικονίζεται στο σχήμα 4 για ανηγμένες μέσες τιμές του είγματος 6

131 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου a, h,,, a, h,,, v a, h,,, - v - a, h,,, a, h,,, Σχήμα 4: Σχηματική απεικόνιση της ποιτικής του αμφίπευρου ιαγράμματος V Shehart, Συγκεκριμένα, αν η ανηγμένη μέση τιμή του είγματος βρίσκεται μεταξύ των ορίων thresholds v και v ή αν βρίσκεται εκτός των ορίων εέγχου a, τότε το επόμενο είγμα θα ηφθεί μετά από h χρονικές μονάες, θα έχει μέγεθος και το νέο άνω και κάτω όριο εέγχου θα είναι και αντίστοιχα Διαφορετικά, το επόμενο είγμα θα ηφθεί μετά από h χρονικές μονάες, θα έχει μέγεθος και το νέο άνω και κάτω όριο εέγχου θα είναι και αντίστοιχα Η ανάπτυξη μαθηματικού προτύπου για ιαικασία περιορισμένης ιάρκειας με τη χρήση ιαγράμματος V Shehart παρουσιάζει τις ίιες υσκοίες που οφείονται στο μεταβητό ιάστημα μεταξύ ειγματοηψιών με εκείνες που ήη αναφέρθηκαν στην παράγραφο 33 Για το όγο αυτό στα αριθμητικά παραείγματα και αυτού του κεφααίου χρησιμοποιείται η βέτιστη σχείαση του υναμικού ιαγράμματος για τον άπειρο ορίζοντα με μεταβαόμενα, h, και, η οποία εφαρμόζεται όμως σε ιαικασίες πεπερασμένης ιάρκειας 7

132 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών 44 Δυναμικό ιάγραμμα Bayes Το ιάγραμμα που περιγράφεται στις παραγράφους που ακοουθούν επεκτείνει τις εργασίες των Νικοαΐη και Tagaras ad iolaidis σε παραγωγικές ιαικασίες όπου επιρούν περιοικά ύο συστηματικές αιτίες ees ad Tagaras, 6c και Tagaras ad ees, 6 Στο ιάγραμμα αυτό χρησιμοποιείται το θεώρημα Bayes για τον υποογισμό των πιθανοτήτων ειτουργίας υπό την επίραση της μίας ή της άης συστηματικής αιτίας Επειή το ιάγραμμα που προτείνεται είναι πήρως υναμικό, σε κάθε ειγματοηψία υπάρχουν τρεις μεταβητές απόφασης οι οποίες επηρεάζουν τη ειτουργία του: Απόφαση για το εάν η ιαικασία θα ιακοπεί για έεγχο και αποκατάσταση a ή όχι a κατά τη ειγματοηψία, το χρονικό ιάστημα h μέχρι την επόμενη ειγματοηψία, το μέγεθος του επόμενου είγματος 44 Περιγραφή - ειτουργία Έστω x η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της μέσης τιμής είγματος x για,,, όπου αν η ιαικασία ειτουργεί υπό στατιστικό έεγχο και ή αν ειτουργεί υπό την επίραση της πρώτης ή της εύτερης συστηματικής αιτίας αντίστοιχα Έστω η πιθανότητα να έχει επιράσει η η συστηματική αιτία και η πιθανότητα να έχει επιράσει η η συστηματική αιτία σε εομένη χρονική στιγμή ειγματοηψίας Η πιθανότητα να ειτουργεί η ιαικασία υπό στατιστικό έεγχο στο χρόνο αυτό θα είναι Οι πιθανότητες,, μετασχηματίζονται σε κάθε χρονική στιγμή ειγματοηψίας βάσει της μέσης τιμής του είγματος x 8

133 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου Σε κάθε χρονική στιγμή ειγματοηψίας αμβάνεται απόφαση επέμβασης στη ιαικασία για ανίχνευση επίρασης συστηματικών αιτιών a, ή όχι a Επιπρόσθετα αμβάνεται απόφαση για το μέγεθος του επόμενου είγματος και για το χρόνο στον οποίο αυτό θα ηφθεί h Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της μέσης τιμής του είγματος της επόμενης ειγματοηψίας μετά από ιάστημα h, με εομένες τις πιθανότητες, και τις αποφάσεις a,, h κατά την τρέχουσα ειγματοηψία θα ίνεται από την ακόουθη σχέση για a : x,, a, h x [ γ ] x γ x, γ 44 ενώ για a : x,, a, h x γ x γ x γ, Ο μετασχηματισμός των πιθανοτήτων, x, a, h 44 σε T x, a,, h,, T,, κατά την επόμενη ειγματοηψία πραγματοποιείται με τη χρήση του θεωρήματος Bayes ως εξής: x, a, h T,, x, a, h T,, x γ x [ γ ] x γ x γ x γ x [ γ ] x γ x γ T x, a,, h, x γ x γ x γ x γ 444 T x, a,, h, x γ x γ x γ x γ 445 9

134 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Η πιθανότητα επίρασης κάποιας συστηματικής αιτίας σε χρόνο h είναι γh και ο μέσος χρόνος ειτουργίας εκτός εέγχου κατά τη ιάρκεια αυτού του ιαστήματος, με εομένο πως η συστηματική αιτία επέρασε, είναι h τ, όπου πάι: h e τ h e h 446 Έτσι, το αναμενόμενο μέρος του χρονικού ιαστήματος h στο οποίο η ιαικασία θα ειτουργεί υπό την επίραση της συστηματικής αιτίας, με εομένο πως στην αρχή του ιαστήματος η ιαικασία ειτουργούσε υπό στατιστικό έεγχο θα είναι: γ γ h τ h, 447 Η ιαικασία χωρίζεται και εώ σε ιαστήματα μήκους h i όπως έχει ήη περιγραφεί στην παράγραφο 33 για το μονόπευρο υναμικό ιάγραμμα Bayes Η ιακριτοποίηση οιπόν του χρόνου είναι η ίια και συμβοίζεται πάι με ο αριθμός των εάχιστων χρονικών ιαστημάτων h i που απομένουν μέχρι την οοκήρωση της ιαικασίας Η τιμή του h που αποφασίζεται μετά από κάθε ειγματοηψία θα ίνεται από τη σχέση: h ih i όπου i είναι ο αριθμός των εάχιστων ιαστημάτων h i που μεσοαβούν μέχρι την επόμενη ειγματοηψία ή τη ήξη της ιαικασίας 44 Διαμόρφωση συνάρτησης κόστους Για κάθε υνατό συνυασμό των Y και a σε ορισμένη χρονική στιγμή Ν, το μέσο κόστος κατά τη ιάρκεια του ιαστήματος h που ακοουθεί θα είναι:

135 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου M M γ C Y, a,, h h c b Y, a,, h M h c b C Y, a,, h M h c b C C C C M M Y, a,, h L h c b L C Y, a γ M M Y, a,, h L h c b L C Y, a γ M M Y, a,, h L h c b L C Y, a γ 448 Οι παραπάνω συναρτήσεις κόστους, αμβάνοντας υπόψη τις πιθανότητες, και, συνοψίζονται για a και a ως εξής: M M γ C, a,, h h M h M h c b 449 και M M γ C, a,, h L L L h c b 45 Το κόστος ειγματοηψίας cb στις παραπάνω σχέσεις χρεώνεται μόνο στην περίπτωση όπου η απόφαση για το επόμενο ιάστημα είναι i < Αν i τότε η ιαικασία οοκηρώνεται μετά από χρόνο h h i χωρίς τη ήψη νέου είγματος στο τέος της και συνεπώς αφαιρείται το κόστος της ειγματοηψίας από τις παραπάνω σχέσεις Ορίζεται, κατ αντιστοιχία με το μονόπευρο ιάγραμμα Bayes, ως S το σύνοο των επιτρεπτών τιμών του και ως S h το σύνοο των επιτρεπτών τιμών του h Η

136 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών βέτιστη ποιτική και το αντίστοιχο μέσο κόστος στο χρόνο, από τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή μέχρι και την οοκήρωση της ιαικασίας προσιορίζεται με Δυναμικό Προγραμματισμό με βάση την ακόουθη αναρομική συνάρτηση κόστους για,,,ι:, i a {,}, S, h [, C C, a, h S h [ T, x, a,, h, T, x, a,, h ] x,, a, h dx] C i, 45 Ο πρώτος όρος της παραπάνω συνάρτησης κόστους εκφράζει το μέσο κόστος ποιότητας μέχρι την επόμενη ειγματοηψία μετά από χρόνο h ih i, ενώ το οοκήρωμα της εύτερης σειράς εκφράζει το μέσο συνοικό κόστος ειτουργίας από την επόμενη ειγματοηψία μέχρι το τέος από τη χρονική στιγμή i μέχρι το τέος της παραγωγικής ιαικασίας Σημειώνεται πως για το κόστος τεικών ρυθμίσεων της παραγωγικής ιαικασίας θεωρείται ανεξάρτητο της κατάστασης της ιαικασίας 443 Ιιότητες Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται και αποεικνύονται ορισμένες ιιότητες, οι οποίες συμβάουν στην καύτερη κατανόηση του προτύπου και βοηθούν στη γρήγορη εύρεση της βέτιστης ποιτικής ειγματοηψιών και εέγχων Σημειώνεται πως στην περίπτωση του αμφίπευρου προτύπου, όγω των τριών πιθανών καταστάσεων της ιαικασίας, Υ Ν ή Υ Ν ή Υ Ν και των συνεπαγόμενων επιβαρύνσεων στην υποογιστική ιαικασία, οι ιιότητες αυτές έχουν μεγάη σημασία στον ταχύ προσιορισμό της βέτιστης ποιτικής Οι ιιότητες 4 και 4 χαρακτηρίζουν τη συνάρτηση κόστους, ενώ οι ιιότητες 43 και 44 χαρακτηρίζουν στοιχεία της βέτιστης

137 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου ποιτικής και βοηθούν στην εξαγωγή συμπερασμάτων γύρω από τις βέτιστες αποφάσεις Για τη ιευκόυνση της παρουσίασης των αποείξεων ορίζουμε C a,, h, ως το μέσο κόστος από τη χρονική στιγμή Ν μέχρι το τέος της ιαικασίας αν οι αποφάσεις που αμβάνονται κατά τη συγκεκριμένη ειγματοηψία είναι a,, h και στη συνέχεια ακοουθείται η βέτιστη ποιτική Όποτε μία ή ύο από τις μεταβητές απόφασης είπει από το C a,, h, ο συμβοισμός θα εκφράζει το αντίστοιχο μέσο κόστος στη χρονική στιγμή Ν, θεωρώντας ότι οι μεταβητές απόφασης που απουσιάζουν επιέγονται με το βέτιστο τρόπο στο Ν και από την επόμενη ειγματοηψία έως το τέος της ιαικασίας ακοουθείται η βέτιστη ποιτική Για παράειγμα το a C, συμβοίζει το εάχιστο μέσο κόστος για εομένη απόφαση a η οποία μπορεί είτε να είναι βέτιστη είτε όχι:, a i S, h C, a,, C S h [ h C [ T x, a,, h, T, x, a,, h ] x,, a, h dx] i,, Η πρώτη ιιότητα αφορά τις συναρτήσεις κόστους και τις βέτιστες παραμέτρους και h όταν η απόφαση που αμβάνεται είναι επέμβαση στη ιαικασία a Ιιότητα 4 Για κάθε, το a με κίση: C είναι γραμμικά αύξουσα συνάρτηση ως προς και, L L C, a L L Τα βέτιστα και h στο Ν, εομένου ότι a, είναι ανεξάρτητα των και 3

138 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών Απόειξη Η συνάρτηση κόστους C a,, h, ίνεται από τη σχέση: M M γ C, a,, h L L L h c b [ T x, a,, h, T, x, a,, h ] x,, a,, h dx C i, Το οοκήρωμα της εύτερης σειράς είναι ανεξάρτητο των, καθώς οι πιθανότητες T, x, a,, h, και η συνάρτηση x,, a,, h είναι ανεξάρτητες των, Συνεπώς, η παράγωγος του οοκηρώματος τόσο ως προς όσο και ως προς θα ίνεται από: θα ισούται με μηέν και η κίση του C a,, h, L L C, a,, h, L L για κάθε, h συμπεριαμβανομένων και των βέτιστων για a Συνεπώς, η κίση του a C θα είναι η ίια όπως παραπάνω και μη αρνητική καθώς ισχύει ότι, L L και L L Η τιμή του C a,, h, θα εαχιστοποιείται για εκείνο το μέγεθος είγματος και χρονικό ιάστημα μέχρι την επόμενη ειγματοηψία που εαχιστοποιούν τη συνάρτηση: M M γ h c b C [ T x, a,, h, T, x, a,, h ] x,, a,, h dx i, 4

139 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου Η παραπάνω συνάρτηση είναι ανεξάρτητη των,, άρα και τα βέτιστα και h στο Ν, με εομένη απόφαση a, είναι επίσης ανεξάρτητα των, Η ιιότητα 4 είχνει πως για a εν είναι αναγκαίο να χρησιμοποιούνται πούποκες συναρτήσεις και να σπαταάται υποογιστικός χρόνος για τον υποογισμό του a C, για κάθε συνυασμό, Ουσιαστικά, για κάθε Ν, έχοντας πρώτα υποογίσει το μέσο κόστος για a και για κάποια, πχ, είναι εύκοο να υποογιστεί το κόστος για οποιεσήποτε άες τιμές των, και για a χρησιμοποιώντας την κίση της συνάρτησης κόστους από τη σχέση:, a, h C, a,, h C, L L L L Η ιιότητα 4 είχνει επίσης πως τα βέτιστα, h για a είναι ανεξάρτητα των, και επομένως αρκεί να προσιοριστούν για ένα μόνο συνυασμό τιμών, Η επόμενη ιιότητα χαρακτηρίζει τις συναρτήσεις κόστους για κάθε Ν, αν η απόφαση στο είναι a και h h i, ηαή να μη γίνει ούτε επέμβαση ούτε άος έεγχος στη ιαικασία μέχρι την οοκήρωσή της Ιιότητα 4 Αν σε κάποιο Ν, το ιάστημα h Νh i ικανοποιεί τις ανισότητες M M γ h M M γ h M h h και M h h, τότε η συνάρτηση κόστους C, a h h και, είναι γραμμική και αύξουσα ως προς i Απόειξη Η συνάρτηση κόστους για a και h hi είναι: 5

140 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών C, a h h, i M M γ hi hi M hi M hi Άρα, η κίση της συνάρτησης C, a h h σχέση:, ίνεται από την ακόουθη i C, a, h h i Mh M h i i M M h M M h i i γ h γ h i i και είναι ανεξάρτητη των και και μη αρνητική Συνεπώς η συνάρτηση κόστους, a h h C είναι γραμμική και αύξουσα συνάρτηση ως προς και, i Η εκτενής αριθμητική ιερεύνηση που πραγματοποιήθηκε στα παίσια της παρούσας ιατριβής υποεικνύει πως αν οι ανισότητες της ιιότητας 4 ικανοποιούνται για κάθε h Νh i, τότε η συνάρτηση C a,, h και h και συνεπώς η a,, είναι αύξουσα για κάθε C θα είναι επίσης αύξουσα ως το εάχιστο αυξουσών συναρτήσεων Άρα, αφού και η a C είναι αύξουσα συνάρτηση, ως προς και, όπως αποείχθηκε στην ιιότητα 4, το εάχιστο των C a και a, συνάρτηση ως προς και, C, C, ηαή η, είναι επίσης αύξουσα 6

141 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου 7 Στο ακόουθο ήμμα αποεικνύεται πως αν οι ανισότητες της ιιότητας 4 ικανοποιούνται για h h i και h Νh i, θα ικανοποιούνται και για κάθε h, όπου i h i h h Λήμμα 4 Αν σε κάποιο Ν, οι ανισότητες γ h h M M h M και γ h h M M h M ικανοποιούνται για h h i και h Νh i, θα ικανοποιούνται και για κάθε ενιάμεσο h Απόειξη Οι εύτερες μερικές παράγωγοι των γ h h M M h M και γ h h M M h M ως προς h είναι < M M e h Συνεπώς, αμφότερα τα γ h h M M h M και γ h h M M h M είναι κοία ως προς h και αφού έχει υποτεθεί πως είναι μη αρνητικά για h h i και h i h, θα είναι μη αρνητικά και για όα τα ενιάμεσα h Είναι βέβαια ογικό και αναμενόμενο το βέτιστο μέσο κόστος να αυξάνει όσο αυξάνουν οι πιθανότητες ειτουργίας υπό την επίραση των συστηματικών αιτιών, εφόσον ισχύουν ορισμένες προϋποθέσεις Συγκεκριμένα, οι ανισότητες που πρέπει να ικανοποιούνται για να είναι το μέσο κόστος αύξουσα συνάρτηση ως προς και ουσιαστικά σημαίνουν ότι είναι οικονομικότερο να ξεκινά ένα ιάστημα με τη

142 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών ιαικασία υπό στατιστικό έεγχο αντί υπό την επίραση κάποιας συστηματικής αιτίας, κάτι το οποίο συνήθως ισχύει στην πράξη Εντούτοις, μπορεί να υπάρξουν περιπτώσεις όπου θα ήταν οικονομικά προτιμότερη η ειτουργία με υψηή πιθανότητα ή Για παράειγμα, έστω πως εξετάζεται μια ιαικασία με M και M,,5, και 5 ώρες να απομένουν μέχρι την οοκήρωσή της Αν στη συγκεκριμένη χρονική στιγμή αποφασιστεί να μην υπάρξει επέμβαση στη ιαικασία μέχρι την οοκήρωσή της a, το κόστος θα είναι η ακόουθη συνάρτηση των και : C, a h h, i M M γ h M h M h Συνεπώς, το μέσο κόστος θα είναι 935,4 για, ενώ για, και,5 το μέσο κόστος θα είναι 74, Η μείωση στο κόστος για την υψηότερη τιμή της εξηγείται από το γεγονός ότι η συνάρτηση κόστους είναι φθίνουσα ως προς, καθώς C, a, h < Η ογική εξήγηση για το φαινόμενο αυτό είναι πως όταν η ειτουργία υπό την επίραση μιας συστηματικής αιτίας έστω της ης στο παράειγμα που εξετάζεται είναι σημαντικά πιο απανηρή από τη ειτουργία υπό την επίραση της άης συστηματικής αιτίας ης, τότε μπορεί να είναι οικονομικότερη η ειτουργία με υψηή πιθανότητα ύπαρξης της πιο ανώυνης συστηματικής αιτίας ιότι τότε η πιθανότητα ειτουργίας υπό την επίραση της ης συστηματικής αιτίας είναι μειωμένη Η ακόουθη ιιότητα αναφέρεται στη βέτιστη ποιτική όταν η απόφαση είναι να μη ηφθεί άο είγμα μέχρι την οοκήρωση της ιαικασίας h hi Αποεικνύεται πως υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις, η βέτιστη ποιτική μπορεί να 8

143 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου προκύψει χωρίς να χρειάζεται να υποογιστούν οι συναρτήσεις κόστους για κάθε και Ιιότητα 43 Αν M M γ hi L M hi hi και M M γ hi L M hi hi, τότε η βέτιστη απόφαση στο Ν με εομένο h hi είναι a για κάθε, Απόειξη Οι συναρτήσεις κόστους για h hi είναι: C, a h h, i M M γ hi hi M hi M h i και C, a h h, i M M γ hi L L L hi Η βέτιστη απόφαση θα είναι a αν C, a h h C, a h h, i, i L M h i M M γ hi hi 9

144 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών M M γ h i L M hi hi L Συνάγεται οιπόν πως αφού οι συναρτήσεις στις αγκύες είναι μη αρνητικές, η βέτιστη απόφαση με εομένο h hi είναι a Το πόρισμα που ακοουθεί επεκτείνει την ιιότητα 43, σε περίπτωση που το μοντέο είναι συμμετρικό ως προς το κόστος ειτουργίας υπό την επίραση των συστηματικών αιτιών και ως προς το κόστος αποκαταστάσεων της ιαικασίας Πόρισμα Αν Μ Μ Μ, L L και L γ h /, τότε η βέτιστη απόφαση στο Ν με i M εομένο h hi είναι a για κάθε, Διαφορετικά, αν Μ Μ Μ, L L αά L i M < γ h /, τότε αν [ γ h M L L ] L i / η βέτιστη απόφαση εομένου ότι h hi είναι πάι a ενώ αν [ γ h M L L ] > L i / η βέτιστη απόφαση εομένου ότι h hi είναι a Απόειξη Η απόειξη του πορίσματος προέρχεται από άμεση σύγκριση των συναρτήσεων κόστους C, a h h και C, a h h, i, i Ιιότητα 44 Για κάθε και για Μ Μ Μ, αν M / i{ L L } είναι a και hi h Αν M / > i{ L L } τότε η βέτιστη ποιτική θα,, και 3

145 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου C l { i{ L, L }/ M } h i όπου x το ακέραιο μέρος του x, τότε για,,, c η βέτιστη ποιτική θα είναι πάι a και h hi για κάθε, Για > c η βέτιστη απόφαση εέγχου θα είναι είτε a είτε a Όταν ειικά το βέτιστο h θα είναι πάι h h i C Απόειξη Αν M / i{ L L }, τότε L Mγ / και L Mγ / για κάθε h και γh, h h Για Ν, η απόειξη ότι η βέτιστη απόφαση είναι η a ανεξάρτητα από τα και παραείπεται ιότι είναι ουσιαστικά η ίια με την απόειξη της Ιιότητας 43 Για, C, a, h h C, a, h h, i c b επειή στο η βέτιστη απόφαση είναι πάντα a ανεξάρτητα από τα και Ακριβώς για τον ίιο όγο:, a, h h C, a, h h C, i c b i i και άρα: C a C, a, h h, και i C a C, a, h h, i Επιπέον C, a, h h C, a, h h i i 3

146 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών γ hi γ hi M h L L L M h Mh γ hi γ hi L L M L M Συνεπώς, η βέτιστη απόφαση στο είναι a, h h i Επανααμβάνοντας την ίια ιαικασία για >, βρίσκουμε πως εάν { L } M / L i,, τότε για κάθε και h Ακόμη και αν M / > i{ L L } h i i h εφόσον M i{ L, L } h i γ h Ειικά όταν C, τότε πάι θα ισχύει πως C a C, a h h,,, η βέτιστη ποιτική είναι a και, η βέτιστη ποιτική είναι a και, και C a C, a h h,, i i, εφόσον ηαή ισχύει πως C Άρα πάι το βέτιστο h είναι h hi Οι ιιότητες 43 και 44 χρησιμοποιούνται ώστε να αποφεύγονται περιττοί υποογισμοί των συναρτήσεων κόστους Η χρήση τους, υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις, βοηθά στον καθορισμό της βέτιστης ποιτικής, χωρίς να χρειάζεται να υποογιστεί το ακριβές κόστος όων των εναακτικών αποφάσεων Γενικά, όες οι ιιότητες που παρουσιάστηκαν και αποείχτηκαν στην παράγραφο αυτή, μπορούν να χρησιμοποιηθούν είτε μεμονωμένα, είτε σε συνυασμό, οποτεήποτε οι παράμετροι του προβήματος επιτρέπουν την αξιοποίησή τους ώστε να ηφθεί η βέτιστη ύση πιο γρήγορα και χωρίς τον υποογισμό όων των πιθανών ποιτικών 3

147 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου 444 Διακριτοποίηση πιθανοτήτων, Προκειμένου να προσιοριστεί υποογιστικά η βέτιστη ποιτική ειγματοηψιών και εέγχου με το αμφίπευρο ιάγραμμα Bayes θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί κάποια ιακριτοποίηση των ύο πιθανοτήτων επίρασης των συστηματικών αιτιών, Υπάρχουν πάρα ποοί τρόποι ιακριτοποίησης που ικανοποιούν τις σχέσεις: < εκτός εάν έτσι ώστε κάθε συνυασμός,, εκτός του,, να αντιστοιχεί σε μία περιοχή γειτονικών τιμών ±Δ, ±Δ Σημειώνεται πως τα Δ και Δ ε χρειάζεται να είναι σταθερά για όες τις τιμές των, Στην πραγματικότητα, είναι προτιμότερο να υπάρχει πιο «πυκνή» ιακριτοποίηση μικρά Δ, Δ για μικρές τιμές των και Στην περίπτωση του αμφίπευρου ιαγράμματος Bayes, η ιακριτοποίηση της κατάστασης οηγεί σε πού μεγαύτερο πήθος υνατών καταστάσεων και συνεπώς σε πού μεγαύτερες υποογιστικές απαιτήσεις σε σχέση με το μονόπευρο ιάγραμμα Αν πχ επιπέον της κατάστασης,, κάθε μία από τις και ιακριτοποιηθεί σε τιμές, ακριβώς όπως περιγράφηκε για το μονόπευρο ιάγραμμα Bayes, το προκύπτον σύνοο καταστάσεων, θα περιαμβάνει 777 ζεύγη πιθανοτήτων Παρόο που οι σημερινές υποογιστικές υνατότητες των ηεκτρονικών υποογιστών επιτρέπουν τον προσιορισμό της βέτιστης ύσης με τη χρήση της ιακριτοποίησης αυτής, το πήθος των καταστάσεων είναι εξαιρετικά μεγάο και οι υποογιστικές απαιτήσεις αντίστοιχες Επομένως είναι σκόπιμο να εξεταστεί η ακρίβεια ιαφόρων 33

148 Συγκριτική μεέτη ειικών στατικών και υναμικών ιαγραμμάτων στατιστικού εέγχου παραγωγικών ιαικασιών ιακριτοποιήσεων έτσι ώστε να προκύψουν πρακτικά συμπεράσματα για τον ενεειγμένο τρόπο εφαρμογής των αμφίπευρων ιαγραμμάτων Bayes Στον πίνακα 4 παρουσιάζονται τρεις εναακτικοί τρόποι ιακριτοποίησης των πιθανοτήτων, οι οποίοι συμβοίζονται με D, D, D3 και ιαφέρουν σημαντικά στην ακρίβειά τους Συγκεκριμένα, για κάθε και ο πίνακας 4 αποτυπώνει πόσες τιμές V μήκους L χρησιμοποιούνται για να καύψουν κάθε ιάστημα αν χρησιμοποιείται η ιακριτοποίηση D χονροειής, D μέση και D3 επτομερής Το μήκος των ιαστημάτων της D είναι ακριβώς το ιπάσιο από τα αντίστοιχα της D, η οποία είναι αυτή που περιγράφηκε και χρησιμοποιήθηκε στα αριθμητικά παραείγματα του μονόπευρου ιαγράμματος Bayes, ενώ στην D3 το ιάστημα, χωρίζεται σε 4 μικρότερα ιαστήματα Πιο συγκεκριμένα, η D3 αποτεεί μια επτομερέστερη ιακριτοποίηση από την D στο ιάστημα,, ενώ είναι ίια με την D στο ιάστημα [,, με τη ογική ότι πού συχνά οι τιμές των, που σηματοοτούν επέμβαση στη ιαικασία είναι μικρές και επομένως είναι πιο σκόπιμο να εκφράζονται οι μικρότερες τιμές των πιθανοτήτων με μεγαύτερη ακρίβεια Πίνακας 4: Εναακτικές ιακριτοποιήσεις, D χονροειής D μέση D3 επτομερής V L Διάστημα V L Διάστημα V L Διάστημα 5,4,,,,,,,,,8 [,,,,4 [,,, 4, [,,, 5, [,,,6 5, [,,,6,5 [,,,,4 [,6,,, [,6,, 4, [,,,6, [,6,, 34

149 Αμφίπευρο ιάγραμμα εέγχου Ο συνοικός αριθμός των ιακριτοποιημένων συνυασμών, είναι 98 για την D, 777 για την D και 73 για την D3 Το σχήμα 4 αποτυπώνει το πήθος των σημείων καταστάσεων για κάθε μία από τις τρεις παραπάνω ιακριτοποιήσεις Σημειώνεται πως οι τρεις αυτές ιακριτοποιήσεις αποτεούν υποσύνοο ενός μεγαύτερου πήθους εναακτικών τρόπων ιακριτοποίησης των πιθανοτήτων που εξετάστηκαν Επιέχθηκε να παρουσιαστούν μόνο οι συγκεκριμένες τρεις ιότι βρέθηκε πως ήταν πιο ακριβείς σε σχέση με άες που είχαν περίπου τον ίιο συνοικό αριθμό καταστάσεων, D D D3 Σχήμα 4: Κάυψη της περιοχής των πιθανοτήτων, με τρεις εναακτικές ιακριτοποιήσεις ιαφορετικής ακρίβειας Για την αξιοόγηση των εναακτικών τρόπων ιακριτοποίησης επιύθηκε ένα πήθος αριθμητικών παραειγμάτων και το μέσο κόστος υποογίστηκε προσομοιώνοντας τη βέτιστη ποιτική που προκύπτει από κάθε ιακριτοποίηση Το συμπέρασμα από τη ιερεύνηση αυτή είναι πως ο υποογιστικός χρόνος για την εύρεση της βέτιστης ύσης για τις πιο αναυτικές ιακριτοποιήσεις D, D3 αυξάνεται κατά πού σε σχέση με την D ενώ οι αποκίσεις στο προκύπτον μέσο κόστος μεταξύ των D, D και D3 είναι εάχιστες Συνεπώς σε όα τα αριθμητικά παραείγματα του κεφααίου αυτού χρησιμοποιείται η D για τον υποογισμό της βέτιστης ύσης από τη χρήση αμφίπευρου ιαγράμματος Bayes και στη συνέχεια το ακριβές μέσο κόστος 35