Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0"

Transcript

1 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα για Αντιµεταθετικούς Πίνακες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 33 Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα και Γραµµικά Συστήµατα Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα Αλγόριθµος Μετασχηµατισµού Πίνακα σε Αναγµένο Κλιµακωτό Πίνακα Εφαρµογή στα Γραµµικά Συστήµατα Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις Αντιστρέψιµοι Πίνακες Στοιχειώδεις Πίνακες Αλγόριθµος Υπολογισµού Αντίστροφου Πίνακα Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 34 Στο προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε ότι για να λύσουµε ένα γραµµικό σύστηµα, αρκεί να εστιάσουµε την προσοχή µας στους συντελεστές των αγνώστων και στους σταθερούς όρους Για παράδειγµα, µπορούµε να λύσουµε το σύστηµα x y+ z = x+ 5y+ z = 0 3x 4y+ 3z = χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών Μια τέτοια διάταξη ονοµάζεται πίνακας Ο σκοπός του Κεφαλαίου 3 είναι: να µελετήσουµε τις βασικές ιδιότητες των πράξεων πινάκων να µάθουµε να λύνουµε γραµµικά συστήµατα µε τη χρήση πινάκων και να κατανοήσουµε την έννοια του αντίστροφου πίνακα και να µάθουµε έναν πρακτικό τρόπο υπολογισµού του Ο χαρακτήρας αυτού του κεφαλαίου είναι έντονα υπολογιστικός και θα δώσουµε έµφαση σε σχετικούς αλγορίθµους και παραδείγµατα Πέρα από τις εφαρµογές των αλγορίθµων, θα ασχοληθούµε και µε τις αποδείξεις τους Τονίζουµε ότι οι έννοιες που θα µελετήσουµε εδώ είναι θεµελιακές για τα επόµενα κεφάλαια

2 Σελίδα από 53 3 Ορισµοί Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούµε µε βασικούς ορισµούς που αφορούν στους πίνακες Πριν δώσουµε τον ορισµό του πίνακα ας θεωρήσουµε τη διάταξη Αθήνα Μυτιλήνη όπου φαίνονται οι µέγιστες θερµοκρασίες τα έτη 00, 00, 003 στις πόλεις Αθήνα και Μυτιλήνη Βλέπουµε για παράδειγµα, ότι η τελευταία γραµµή µας πληροφορεί για τις θερµοκρασίες της Μυτιλήνης και η τελευταία στήλη για τις θερµοκρασίες το 003 Η διάταξη είναι ένα παράδειγµα ενός 3 πίνακα Όπως και σε προηγούµενα κεφάλαια, µε F συµβολίζουµε ένα από τα σύνολα RC, Ένας πίνακας Α µε στοιχεία από το F είναι µια διάταξη στοιχείων a του F σε σχήµα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο της µορφής a a a a a a A = am a am Λέµε ότι το µέγεθος (ή ο τύπος) του παραπάνω πίνακα είναι m ή ότι ο πίνακας είναι ένας m πίνακας Για παράδειγµα, ο πίνακας 0 5 είναι ένας 3 ( ) πίνακας, ο είναι και ο είναι 3 3 Ο πίνακας Α που είδαµε πιο πάνω συµβολίζεται µε ( a ), i =,, m, j =,, Πιο απλά χρησιµοποιούµε συχνά το συµβολισµό A= ( a ij ) όταν είναι σαφές ποια είναι τα m, Η πρώτη γραµµή του προηγούµενου πίνακα είναι η διατεταγµένη άδα ( a, a,, a ), η δεύτερη γραµµή είναι η διατεταγµένη m άδα ( a, a,, a ) a κοκ Η πρώτη στήλη του προηγούµενου πίνακα είναι η διατεταγµένη m άδα a, am την οποία γράφουµε σε κατακόρυφη διάταξη για να είναι άµεσος ο συσχετισµός µε ij ij

3 Σελίδα 3 από 53 a τον αρχικό πίνακα Η δεύτερη στήλη είναι η διατεταγµένη m άδα a, κοκ am Παρατηρούµε ότι το στοιχείο βρίσκεται πάνω στη i γραµµή και στη j στήλη Λέµε ότι το στοιχείο a βρίσκεται στη θέση (, i j) του πίνακα ij a ij Το σύνολο των m πινάκων µε στοιχεία από το F συµβολίζεται µε M ( F) Παράδειγµα Έστω ( aij ) M 3( F), όπου aij = i j Τότε o ( a ij ) είναι ένας πίνακας µε δυο γραµµές και τρεις στήλες Στη θέση (,) υπάρχει το στοιχείο a = =, στη θέση (,) το a = = 0κλπ Εποµένως ο πίνακας 0 ( a ij ) είναι ο 3 3 Ορισµός ( ij ) ( ij ) Ένας A= a, B= b δυο m πίνακες µε στοιχεία από το F Θα λέµε ότι οι Α, Β είναι ίσοι και θα γράφουµε j =,, m A= Bαν ισχύει aij = bij για κάθε i =,, mκαι για κάθε Επισηµαίνουµε ότι αν δυο πίνακες είναι ίσοι, τότε είναι του αυτού µεγέθους Παράδειγµα x Έχουµε = αν και µόνο αν x = και y = 4 Επίσης για κάθε 4 6 y z έχουµε, γιατί οι πίνακες αυτοί διαφέρουν στα z 3 z 3 στοιχεία που υπάρχουν στη θέση (,) Στη συνέχεια θα αναφερθούµε σε πίνακες ειδικής µορφής που θα εµφανιστούν συχνά στα παρακάτω Ένας m πίνακας λέγεται τετραγωνικός αν m= ηλαδή ένας πίνακας είναι τετραγωνικός αν το πλήθος των γραµµών του ισούται µε το πλήθος των στηλών του Για παράδειγµα, ο είναι 8 6 τετραγωνικός ενώ ο δεν είναι Το σύνολο M m m( F) των τετραγωνικών m m πινάκων µε στοιχεία από το F συµβολίζεται πιο απλά µε M ( ) m F

4 Σελίδα 4 από 53 Τα διαγώνια στοιχεία ενός m πίνακα ( ) είναι τα στοιχεία a, a,, akk, όπου k = mi{ m, } Λέµε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στη διαγώνιο του πίνακα A= a ij λέγεται άνω τριγωνικός αν για Ένας τετραγωνικός πίνακας ( ) κάθε i > j έχουµε a = 0 ij a ij ηλαδή ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται άνω τριγωνικός αν τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από την διαγώνιο είναι ίσα µε 0 Για παράδειγµα οι πίνακες + i 4 + i, 0 3 είναι άνω τριγωνικοί Ένας τετραγωνικός πίνακας A= ( a ij ) λέγεται κάτω τριγωνικός αν για κάθε i< j έχουµε a = 0 ηλαδή ένας τετραγωνικός πίνακας ij λέγεται άνω τριγωνικός αν τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από την διαγώνιο είναι ίσα µε 0 Για παράδειγµα οι πίνακες + i i 0, 3 0 είναι κάτω τριγωνικοί Ένας τετραγωνικός πίνακας ( a ) λέγεται διαγώνιος αν για κάθε i j ij έχουµε a ij = 0 ηλαδή ένας τετραγωνικός πίνακας είναι διαγώνιος αν κάθε στοιχείο που δεν βρίσκεται στη διαγώνιο είναι ίσο µε 0 Για παράδειγµα, ο πίνακας είναι διαγώνιος αλλά ο δεν είναι Ένας τετραγωνικός πίνακας ( a ) λέγεται συµµετρικός αν για κάθε i, j ισχύει a ij = a ji Για παράδειγµα, οι πίνακες ij 3, 3 0 είναι συµµετρικοί Ο πίνακας ( a ij ) = 3 7 δεν είναι συµµετρικός, γιατί τα στοιχεία που 0 6 είναι στα κουτάκια δεν είναι ίσα, δηλαδή a = 3 = a Βλέπουµε ότι σε ένα συµµετρικό πίνακα στοιχεία που βρίσκονται σε συµµετρικές θέσεις ως προς τη διαγώνιο είναι ίσα

5 Σελίδα 5 από 53 Έστω A= ( a ) M ( F) Ο ανάστροφος πίνακας του Α είναι ο ij m x y t x t A = ( aji ) M m( F) Για παράδειγµα, αν A =, τότε A = 0 y t Βλέπουµε ότι οι γραµµές (αντίστοιχα, οι στήλες) του A είναι οι στήλες (αντίστοιχα, γραµµές) του Α 3 Παρατήρηση Από τους ορισµούς έπεται άµεσα ότι ένα πίνακας Α είναι συµµετρικός αν και µόνο αν t για κάθε πίνακα Α έχουµε ( A ) = A t t A= A Στα επόµενα, όταν δεν διευκρινίζουµε αν τα στοιχεία ενός πίνακα ανήκουν στο ή στο C θα εννοούµε ότι ανήκουν στο C R 33 Επεξεργασµένα Παραδείγµατα x 9 ) Έστω A=, B= Βλέπουµε ότι ισχύει A= Bαν και 3 3 y µόνο αν x = 9, y = 4x 6y 4 ) Έστω A=, B= Έχουµε A= B αν και x+ 3y x 6y = 4 µόνο αν το σύστηµα έχει λύση Πολλαπλασιάζοντας τη x+ 3y = 4 δεύτερη ισότητα µε και αφαιρώντας από την πρώτη παίρνουµε 0= 4, που είναι άτοπο Άρα για κάθε x, y έχουµε A B 5x 3) Έστω A = 7 0 Βλέπουµε ότι ο Α είναι συµµετρικός αν x και µόνο αν x + 6= 5x x 5x+ 6= 0 x=,3 A= M ( F), B= 3 j+ i M ( F ) Τότε ο Α είναι i+ j 4) Έστω ( ) ( ) 0 0 i+ j j+ i συµµετρικός αφού για κάθε i, j έχουµε a = = = a Αντίθετα, ο Β δεν είναι συµµετρικός αφού για παράδειγµα b = 3 + = 5, b = 3 + = 7 x + 0 5) Ο πίνακας είναι διαγώνιος αν και µόνο αν έχουµε 0 x 0 x + = 0 και x = 0, δηλαδή αν και µόνο αν x = ij ji

6 Σελίδα 6 από 53 Ασκήσεις 3 x Να βρεθούν οι x, y τέτοιοι ώστε = 3 y 3 6 Να εξεταστεί αν υπάρχουν x, y τέτοιοι ώστε 3 x+ x 6 = y 5 x y 6 3 Αληθεύει ότι ο πίνακας A= (3i+ 5 j) M0 0( F) είναι συµµετρικός; 4 x 4 Έστω A = Να βρεθούν οι τιµές του x τέτοιες ώστε ο Α 0 3 είναι a κάτω τριγωνικός b άνω τριγωνικός 5 Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές Στην περίπτωση που µια πρόταση είναι σωστή δώστε µια απόδειξη ιαφορετικά ένα αντιπαράδειγµα αρκεί a ο ανάστροφος κάθε άνω τριγωνικού πίνακα είναι κάτω τριγωνικός b κάθε διαγώνιος πίνακας είναι συµµετρικός c κάθε πίνακας που είναι και άνω τριγωνικός και κάτω τριγωνικός είναι διαγώνιος Απαντήσεις / Υποδείξεις 3 x= 5, y = 6 Λύνοντας το σύστηµα που προκύπτει βρίσκουµε 3 όχι 4 a x =,, i, i b κάθε x C 5 α σωστό, b σωστό, c σωστό 5 x= 5, y =

7 Σελίδα 7 από 53 3 Πράξεις µε Πίνακες Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούµε µε τον αλγεβρικό λογισµό πινάκων, δηλαδή µε τις πράξεις πινάκων Θα δούµε ότι οι πράξεις αυτές έχουν αρκετά κοινά στοιχεία µε τις αντίστοιχες πράξεις πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών Υπάρχουν, όµως, και σηµαντικές διαφορές που θα τονίσουµε ιδιαίτερα Πρόσθεση Πινάκων 3 Ορισµός Έστω A= ( a ), B= ( b ) M ( F) Το άθροισµα, Α+Β, των Α και Β είναι ο πίνακας ij ij m ( ij ij ) A+ B= a + b Για παράδειγµα, αν A x = και B =, τότε 3 4 y x A+ B= + = 3 4 y 0 + ( 4) x x = = + 3+ y y 4 ηλαδή για να σχηµατίσουµε το άθροισµα δυο πινάκων προσθέτουµε στοιχεία που βρίσκονται σε αντίστοιχες θέσεις 3 Παρατήρηση Επισηµαίνουµε ότι το άθροισµα A+ B δυο πινάκων ορίζεται µόνο όταν οι Α, Β έχουν το ίδιο µέγεθος Στην περίπτωση αυτή, ο πίνακας Α + Β έχει το ίδιο µέγεθος µε τους Α,Β Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό 33 Ορισµός Έστω A= ( a ) M ( F) και k F Το γινόµενο kα του k µε τον Α είναι ο πίνακας ka = ( ka ij ) ij m Για παράδειγµα, αν k = και A 5 =, τότε A = = ( ) ηλαδή για να σχηµατίσουµε το γινόµενο ka πολλαπλασιάζουµε κάθε στοιχείο του πίνακα Α µε τον αριθµό k Παρατηρούµε ότι ο πίνακας ka έχει το ίδιο µέγεθος µε τον Α

8 Σελίδα 8 από 53 Οι κυριότερες ιδιότητες του αθροίσµατος πινάκων και του γινοµένου αριθµού µε πίνακα συνοψίζονται στην παρακάτω πρόταση Πριν τη διατυπώσουµε ας καθιερώσουµε τους επόµενους συµβολισµούς Έστω AB, Mm ( F) Ορίζουµε A= ( ) A A B= A+ ( B ) Επίσης τον m πίνακα που όλα τα στοιχεία του είναι ίσα µε 0 συµβολίζουµε µε 0 m (ή πιο απλά 0 αν το µέγεθός του είναι σαφές) δηλαδή 0 0 0m = 0 0 Για παράδειγµα, αν A x = και B =, τότε 3 4 y x A B= = 3 4 y 0 ( 4) 3 5 x 5 5 x = = 3 y y 4 34 Πρόταση Έστω ABC,, Mm ( F) και k, k F Τότε ισχύουν τα εξής + + = + + ) 5 k( A+ B) = ka+ kb ( A B) C A ( B C A+ 0 m = A 6 ( ) k + k A= k A+ k A 3 A A = 0 m 7 ( kk ) A= k( ka) 4 A+ B= B+ A 8 A= A και 0A = 0 m Απόδειξη Η επαλήθευση των παραπάνω ιδιοτήτων είναι σε κάθε περίπτωση υπόθεση ρουτίνας Ενδεικτικά, ας δούµε την ιδιότητα 5 Έστω A= ( a ), B= ( b ) Από τους ορισµούς έχουµε ( ) ( ij ij ) ( ij ij ) ( ka ij kb ij ) ( ka ij ) ( kb ij ) = k ( a ) + k ( b ) = k A+ k B ij ij ij ( ) k A+ B = k a + b = k a + b = = + = + = Παρατήρηση Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις 5 και 8 της προηγούµενης πρότασης βλέπουµε ότι A= A+ A,3A= A+ A+ A κοκ Επίσης έχουµε A= A A, 3A= A A A κοκ ij

9 Σελίδα 9 από Παραδείγµατα 0 0 Έστω A= 3, B= 3 Τότε A B= 3 ( ) 3 3 ( ) ( 3) = 3 3( ) = 6 ( ) 9 ( 6) = ( 0) 0 = Να βρεθούν όλα τα λ, µ R τέτοια ώστε λ A+ µ B= 03, όπου οι πίνακες Α,Β είναι όπως στο προηγούµενο παράδειγµα Έχουµε 0 0 λ A+ µ B= λ 3 + µ 3 = 4 5 λ + µ 0 = λ µ 3λ 3 µ λ + 4µ λ + 5µ Συνεπώς λ A+ µ B= 0 3 λ + µ λ µ 3λ 3µ = 0 0 λ + 4µ λ + 5µ 0 0 λ + µ = 0 λ µ = 0 λ + 4µ = 0 3λ 3µ = 0 λ + 5µ = 0 Λύνοντας το σύστηµα αυτό, βλέπουµε ότι υπάρχει µοναδική λύση λ = 0, µ = 0 Πολλαπλασιασµός Πινάκων Ο ορισµός του πολλαπλασιασµού πινάκων, που θα δούµε σε λίγο, ίσως φαντάζει µη αναµενόµενος Για να δώσουµε ένα κίνητρο του ορισµού αυτού, ας δούµε ένα παράδειγµα που σχετίζεται µε γραµµικά συστήµατα

10 Σελίδα 0 από Παράδειγµα Θεωρούµε το 3 σύστηµα ax+ a y+ a3z = c () ax+ a y+ a3z = c Ο πίνακας των συντελεστών είναι ο a a a3 A = a a a3 Ας υποθέσουµε ότι οι µεταβλητές x, yz, εκφράζονται µέσω νέων µεταβλητών X, Y, Z ως εξής x = b X + b Y + b Z 3 y = b X + b Y + b Z z = b X + b Y + b Z Ο πίνακας των συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο b b b3 B= b b b3 b3 b3 b 33 Αν επιθυµούµε να εκφράσουµε το αρχικό σύστηµα χρησιµοποιώντας τις νέες µεταβλητές Χ,Υ,Ζ, τότε αντικαθιστούµε τις εξισώσεις () στις () Βρίσκουµε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ab + ab + ab X+ ab + ab + ab Y+ ab + ab + ab Z= c a b a b a b X a b a b a b Y a b a b a b Z c = Ο πίνακας των συντελεστών του συστήµατος αυτού είναι ο ab + ab + ab ab + ab + ab ab + ab + ab a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b () Χρησιµοποιώντας το συνήθη συµβολισµό για αθροίσµατα, ο παραπάνω πίνακας γράφεται arbr arbr arbr3 r= r= r= arbr arbr arbr3 r= r= r= ηλαδή στη θέση (, i j) υπάρχει το στοιχείο ab Ο πίνακας (3) ονοµάζεται το γινόµενο των Α,Β 3 r= ir rj (3) 37 Ορισµός Έστω ( ij ) l m( ) A= a M F και B = ( b ) M ( F) Τότε το γινόµενο των Α και Β, st που συµβολίζεται µε ΑΒ, είναι ο l πίνακας µε στοιχεία από το F όπου στη θέση (i,j) m m υπάρχει το στοιχείο ab = ab + ab + + a b r= ir rj i j i j im mj

11 Σελίδα από 53 a d g 3 Για παράδειγµα, αν A=, B= b, τότε το γινόµενο ΑΒ είναι ο e h c f k 3 πίνακας a d g 3 a+ b+ 3c d + e+ 3f g+ h+ 3k AB = b e h = 4a+ 5b+ 6c 4d + 5e+ 6f 4g+ 5h+ 6k c f k Επίσης έχουµε a 3 a+ b+ 3c b = 4a+ 5b+ 6c c 3 x y x+ 3z y+ 3w = 4 5z w 4x+ 5z 4y+ 5w και 4 ( 3 ) = (( ) ) = ( 7 ) 5 Σχηµατικά, το στοιχείο του γινοµένου ΑΒ στη θέση (i,j) προκύπτει από τη γραµµή i του Α και τη στήλη j του Β όπως δείχνει το σχήµα b j b j ai ai aim = ai bj + ai b j + + aimbmj b mj 38 Παρατήρηση Τονίζουµε ότι το γινόµενο ΑΒ ορίζεται µόνο αν το πλήθος των στηλών του Α ισούται µε το πλήθος των γραµµών του Β, δηλαδή αν ο Α είναι l m πίνακας και ο Β m Στην περίπτωση αυτή, ο ΑΒ είναι ένας l πίνακας Στην επόµενη πρόταση περιγράφονται µερικές ιδιότητες του γινοµένου πινάκων 0 0 Με I συµβολίζουµε τον πίνακα 0 0 του οποίου τα διαγώνια 0 0 στοιχεία είναι ίσα µε και τα υπόλοιπα µε 0 Αυτός ονοµάζεται ο ταυτοτικός πίνακας Όταν είναι σαφές πιο είναι το συνήθως γράφουµε Ι στη θέση του I 39 Πρόταση Έστω Έστω Έστω Έστω A M ( F), B M ( F), C M ( F) Τότε ( AB) C = A( BC ) k l l m m A M ( F), B, C M ( F) Τότε AB ( + C) = AB+ AC l m m AB, M ( F), C M ( F) Τότε ( A+ B) C = AC+ BC l m m k F, A M ( F), B M ( F) Τότε k( AB) = ( ka) B= A( kb) l m m

12 Σελίδα από 53 Έστω A M ( ) m F Τότε ImA= AI = A, 0l ma = 0l και A 0 l= 0 l Απόδειξη Οι παραπάνω ιδιότητες αποδεικνύονται µε απλούς υπολογισµούς Ας δούµε ενδεικτικά την 3 Με A συµβολίζουµε το στοιχείο του πίνακα Α στη θέση (, i j) ij Χρησιµοποιώντας τους ορισµούς του γινοµένου και του αθροίσµατος πινάκων παρατηρούµε ότι το στοιχείο του ( A+ B) C στη θέση (, i j) είναι το (( ) ) ( ) ( ) m ij m ir rj ir ir rj r= r= AirCrj BirCrj ( AC) ( BC) ij ( AC BC) ij ij r= r= m A+ B C = A+ B C = A + B C = = + = + = + Το δεξιό µέλος είναι το στοιχείο του AC + BC στη θέση (, i j) Άρα ( A+ B) C = AC+ BC Σηµείωση Έστω Α ένας τετραγωνικός πίνακας Τότε ορίζεται το γινόµενο ΑΑ Ο πίνακας αυτός συµβολίζεται µε A Με A συµβολίζουµε το γινόµενο AA A, όπoυ το Α εµφανίζεται φορές, N Παρατήρηση Ας επανέλθουµε στο Παράδειγµα 36 που είδαµε πριν τον ορισµό του γινοµένου πινάκων Χρησιµοποιώντας γινόµενα πινάκων, το σύστηµα () µπορεί να γραφεί ως x c A y = c z και το () ως X x B Y = y Z z Τότε το (3) γράφεται X c AB Y = c Z Οι Προτάσεις 34 και 39 µας πληροφορούν ότι οι πράξεις πινάκων, όταν αυτές ορίζονται, ικανοποιούν µερικές από τις ιδιότητες που ικανοποιούν οι αντίστοιχες πράξεις των πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών Όµως υπάρχουν σηµαντικές διαφορές Μερικές από αυτές είναι οι εξής m

13 Σελίδα 3 από 53 Προσοχή Έστω AB, M ( F ) δυο πίνακες Τότε ορίζονται τα γινόµενα ΑΒ και ΒΑ Τονίζουµε ότι είναι δυνατό να έχουµε AB BA Πράγµατι, αν 0 A, B 6 = =, τότε AB = και BA = Έστω A Ml m( F), B Mm ( F) εν αληθεύει γενικά ότι ( AB) = A B Πράγµατι, µε τους πίνακες του προηγούµενου παραδείγµατος έχουµε 4 36 ( AB) =, A B = Το σωστό είναι ( AB) = ABAB Έστω A Ml m( F), B Mm ( F) Είναι δυνατό να έχουµε AB = 0 l ακόµα και αν A 0 l m, B 0m Πράγµατι, αν A = και B =, 0 0 τότε AB = 0 0 Έστω A Ml m( F), B, C Mm ( F) Αν ισχύει AB = AC, τότε γενικά δεν έπεται ότι B = C Πράγµατι, αν οι Α, Β είναι όπως στο προηγούµενο παράδειγµα, τότε AB = A 0, αλλά B 0 Αριθµοµηχανή πινάκων Yπάρχει ένα java script που πραγµατοποιεί απλές πράξεις 3 3 πινάκων Επειδή γενικά δεν ισχύει η ισότητα AB = BA, θα πρέπει να είµαστε προσεκτικοί σε υπολογισµούς παραστάσεων µε πίνακες Για παράδειγµα, για να υπολογίσουµε σωστά το ανάπτυγµα (A+ B) χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες και 3 της Πρότασης 39 Έχουµε ( A+ B) = ( A+ B)( A+ B) = = A( A+ B) + B( A+ B) = A + AB+ BA+ B Συνεπώς είναι δυνατό να έχουµε ( ) ( ) A B A AB B A+ B A + AB+ B Μάλιστα, βλέπουµε ότι + = + + αν και µόνο αν AB = BA Από τώρα και στο εξής όταν γράφουµε ένα γινόµενο πινάκων χωρίς να διευκρινίζουµε τα µεγέθη τους, θα εννοούµε ότι αυτά είναι τέτοια ώστε το γινόµενο να ορίζεται

14 Σελίδα 4 από 53 ιωνυµικό Aνάπτυγµα για Αντιµεταθετικούς Πίνακες υο πίνακες AB, λέγονται αντιµεταθετικοί αν ισχύει AB = BA Παρατηρούµε ότι αν οι Α, Β είναι αντιµεταθετικοί τότε ( ) AB = ABAB = AABB = A B, όπως επίσης ( AB) = A B, =,, Υπενθυµίζουµε ότι αν k, N µε k, τότε ο διωνυµικός συντελεστής k ( )( k+ ) είναι ο φυσικός αριθµός = Επίσης ορίζουµε = και k k 0 = 0 αν k > ή αν k < 0 Έτσι το ορίζεται για κάθε φυσικό αριθµό και k k κάθε ακέραιο k Για παράδειγµα, = = 0 Υπενθυµίζουµε ότι για τους 3 3 διωνυµικούς συντελεστές ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες =, k k + = +, k k k k k (διωνυµικό ανάπτυγµα) ( x + y) = x y, για κάθε xy C, k = 0 k Είδαµε πριν ότι για πίνακες δεν αληθεύει γενικά η σχέση ( A+ B) = A + AB+ B Όµως στην ειδική περίπτωση που οι πίνακες Α,Β αντιµετατίθενται, τότε η ισότητα αυτή ισχύει Πιο γενικά έχουµε το εξής αποτέλεσµα 30 Πρόταση ( ιωνυµικό ανάπτυγµα για αντιµεταθετικούς πίνακες) Έστω AB, M ( F) Αν ισχύει AB = BA, τότε για κάθε N έχουµε k ( A+ B) = A B k (4) k = 0 k Απόδειξη Χρησιµοποιούµε επαγωγή στο Για =, η (4) ισχύει Έστω ότι ισχύει η (4) Χρησιµοποιώντας την Πρόταση 39 έχουµε + ( A+ B) = ( A+ B) ( A+ B) = A k B k = ( A + B ) = k = 0 k k k k k A B A+ A B B k= 0k k= 0k k k k+ k Από την υπόθεση AB = BA παίρνουµε A B A= A B Συνεπώς

15 Σελίδα 5 από 53 k k k k A B A+ A B B= k k k= 0 k= 0 k+ k k k+ = A B + A B = k= 0k k= 0k + k+ k k+ k = A B + A B = k= 0k k= k + k+ k = + A B = k= 0k k= k + + = + A k= 0k k= k A k = 0 k k k k = A B k = 0 k k+ + + k k = + = B B k = Ο ταυτοτικός m m πίνακας I m αντιµετατίθεται µε κάθε A Mm( F) Επειδή k έχουµε Im = Im για κάθε k N, από την προηγούµενη πρόταση συµπεραίνουµε το εξής αποτέλεσµα 3 Πόρισµα Για κάθε A M ( ) m F έχουµε k ( A+ I) = A k = 0 k Για παράδειγµα, ( A+ I) = A + 4A + 6A + 4A+ I Σηµειώνουµε ότι η ισότητα στην προηγούµενη πρόταση γράφεται k k A k A = A = k= 0k k= 0 k k= 0k 4 3 Χρησιµοποιώντας το δεξιό µέλος θα γράφαµε ( A+ I) = I + 4A+ 6A + 4A + A 4 3 Εφαρµογή Να υπολογιστεί ο πίνακας Λύση 006 B, όπου 3 B = 0 0 0

16 Σελίδα 6 από Ένας τρόπος λύσης είναι να θέσουµε A = 0 0 Τότε B = A+ I και από το Πόρισµα 3 έχουµε B = ( A+ I) = I + A+ A + + A + A 005 Με πράξεις βρίσκουµε διαδοχικά A = 0 0 0, A = Άρα A = 0 για κάθε 3 Τελικά B = I + A+ A = = = = Σηµείωση Παρατηρούµε ότι για κάθε N, B = I + A+ A Στην Παράγραφο 3 ορίσαµε τον ανάστροφο πίνακα Σχετικά µε τις πράξεις πινάκων έχουµε την ακόλουθη πρόταση 33 Πρόταση t t t Έστω AB M ( F) Τότε ( A+ B) = A + B, m Έστω A M ( F), B M ( F) Τότε ( AB) Απόδειξη Ας συµβολίσουµε µε l m m A ij t t t = B A το στοιχείο του Α στη θέση (i,j) Από τον ορισµό του ανάστροφου και της πρόσθεσης πινάκων έχουµε (( A+ B) t ) = ( A+ B) = A + B = ( A t ) + ( B t ) ij ji ji ji ij ij Από τον ορισµό του ανάστροφου και του πολλαπλασιασµού πινάκων έχουµε m m m t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( AB) ) = ( AB) = A B = A B = B A = BA t t t t t ij ji jr ri rj ir ir rj r= r= r= ij

17 Σελίδα 7 από Επεξεργασµένα Παραδείγµατα 3 0 Έστω 0 3 A=, B=, C Ποιες από τις 0 4 = 0 5 παραστάσεις A + B, A + C, AB, BA, AC ορίζονται; Λύση Σύµφωνα µε τις Παρατηρήσεις 3 και 38 µόνο οι παραστάσεις A+ C, AC ορίζονται Να βρεθούν όλοι οι πραγµατικοί πίνακες Χ τέτοιοι ώστε AX = 0, όταν i) A =, ii) A = Λύση x y Έστω X = z w Για την περίπτωση i) έχουµε x y 0 0 AX = 0 = z w 0 0 x+ z y+ w 0 0 = x+ z y+ w 0 0 x+ z = 0, y+ w= 0 z w Συνεπώς X =, όπου zw R, z w Για την περίπτωση ii) έχουµε x y 0 0 AX = 0 = z w 0 0 x+ z y+ w 0 0 = x+ z y+ w 0 0 x+ z = 0, y+ w= 0, x+ z = 0, y+ w= 0 Λύνοντας το σύστηµα παίρνουµε τη µοναδική λύση x= y = z = w= 0 Συνεπώς X = 0 3 Έστω Α ένας πίνακας τέτοιος ώστε A = I Αποδείξτε ότι για τον πίνακα ( B = A+ I) ισχύει B = B Λύση Αφού οι Α και Ι αντιµετατίθενται, έχουµε ( A+ I) = A + A+ I Άρα B = ( A+ I) = ( A + A+ I) = ( I + A+ I) = ( A+ I) = B 4 4 4

18 Σελίδα 8 από 53 4 Έστω A = Να υπολογισθούν οι δυνάµεις A για =,,3, 0 Λύση ιαπιστώνουµε ότι A = =, A = A A= = Θα αποδείξουµε επαγωγικά ως προς ότι A = για κάθε = 0,,3, Για = η αποδεικτέα σχέση προφανώς ισχύει Υποθέτουµε ότι + A = και θα αποδείξουµε ότι A + = 0 0 Έχουµε + + A = A A= = Έστω B = Να υπολογιστούν οι δυνάµεις B για =,,3, 0 Λύση ος τρόπος Θέτουµε A = και παρατηρούµε ότι B = A+ I 0 Χρησιµοποιώντας το Πόρισµα 3 και το αποτέλεσµα του προηγουµένου παραδείγµατος, παίρνουµε k k k k= 0k k= 0 k B = A = = k= k k= k 0 k = 0 k ος τρόπος Εφαρµόζουµε τη µέθοδο που είδαµε στην Εφαρµογή 3 Έστω A 0 = Τότε B = I + A και A = 0 Άρα 0 0 k A = 0, k =,3, Τότε B = ( I + A) = ( I) + ( I) A= 0 0 = I + A= + = ος τρόπος Με πράξεις διαπιστώνουµε ότι

19 Σελίδα 9 από 53 A = = A = A A= = Εικάζουµε ότι A =,,, = 0 Θα αποδείξουµε τη σχέση αυτή µε επαγωγή Για =, η αποδεικτέα σχέση είναι προφανής Έστω A = Τότε 0 + A = A A= ( + ) = = Σηµείωση: Βρήκαµε δύο διαφορετικές παραστάσεις για το ίδιο αποτέλεσµα εν είναι δύσκολο να αποδειχθούν οι ταυτότητες = k = 0 k k = k = 0 k Πράγµατι, για να αποδείξουµε την πρώτη ταυτότητα θέτουµε x = k στο διωνυµικό ανάπτυγµα ( + x) = x Τότε k = 0 k = (+ ) = k = 0 k Για τη δεύτερη ταυτότητα: Από τον ορισµό των διωνυµικών συντελεστών προκύπτει ότι = ( k+ ) για k k k+ k k Άρα τα πολυώνυµα ( + x) = x και k x είναι k = 0 k k = k ίσα Θέτοντας x = προκύπτει το ζητούµενο 6 Έστω A = Αφού αποδείξτε ότι A A+ I = 0, υπολογίστε 3 0 την παράσταση A ( A I) Λύση Με απλές πράξεις διαπιστώνουµε ότι A A+ I = + =

20 Σελίδα 0 από 53 Τη σχέση A A+ I =0 γράφουµε στη µορφή AA ( I) = I, οπότε υψώνοντας στη δύναµη 0 παίρνουµε ( AA ( I)) = ( ) I = I Επειδή οι πίνακες Α, Α Ι αντιµετατίθενται, δηλαδή Α(Α Ι) = (Α Ι)Α, το αριστερό µέλος ισούται µε A 0 ( A I) 0 Συνεπώς Τέλος έχουµε 0 0 A ( A I) = I A A I = A A I A I ( ) ( ) ( = I( A I) = A I 0 = = Έστω A = i) Αποδείξτε ότι A =, για κάθε =,,3, 4 6 ii) Μια αυτοκινητοβιοµηχανία παράγει δύο µοντέλα αυτοκινήτου, έστω x και y Έστω x (αντίστοιχα y ) το κόστος για την παραγωγή στο πλήθος αυτοκίνητα µοντέλου x (αντίστοιχα, y) Γνωρίζουµε ότι x = 7x 9y + y+ = 4x 5y Πόσο κοστίζει η παραγωγή 000 αυτοκινήτων µοντέλου x και 000 µοντέλου y αν x = 5 και y = 3; Λύση i) Χρησιµοποιούµε επαγωγή στο Για = η αποδεικτέα σχέση προφανώς ισχύει Υποθέτουµε ότι για συγκεκριµένο > A = Έχουµε A = A A= = = ( + ) 9( + ) 4( + ) 6( + ) ii) Οι σχέσεις x = 7x 9y y + + = 4x 5y γράφονται µε τη χρήση πινάκων ως x 7 9 x x = = A + y + 4 5y y Εφαρµόζοντας διαδοχικά την τελευταία σχέση παίρνουµε )

21 Σελίδα από 53 x+ x x = A = AA = y y y + x x 3 A = A = y y x A y Άρα x+ x 5 = A = A y+ y 3 Θέτοντας = 999 και χρησιµοποιώντας την i) παίρνουµε x = A y = = = x = 300, y = 00 Συνεπώς

22 Σελίδα από 53 Ασκήσεις 3 ) Έστω A 0 = και B Να βρεθούν οι πίνακες 3 = 3 AB A B A t,,( ) ) Να υπολογιστούν οι δυνάµεις, =,, 3) Έστω A M( F), A=, όπου Αποδείξτε ότι ( A I)( A I) = I 0 0 4) Να βρεθούν όλοι οι πίνακες Χ τέτοιοι ώστε X = X ) Να βρεθούν οι πραγµατικοί πίνακες που αντιµετατίθενται µε κάθε πραγµατικό πίνακα 6) Έστω AB, Ml m( F) και C Mm ( F) a Αν η πρώτη γραµµή του Α ταυτίζεται µε την πρώτη γραµµή του Β, εξηγείστε γιατί η πρώτη γραµµή του AC ταυτίζεται µε την πρώτη γραµµή του BC b Αν ο C έχει δυο ίσες στήλες, τι συµπεραίνετε για τις στήλες του AC; 7) Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος Αν µια πρόταση είναι σωστή, δώστε µια απόδειξη ιαφορετικά, ένα αντιπαράδειγµα αρκεί a Το άθροισµα δυο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός b Το γινόµενο δυο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός c Το άθροισµα δυο συµµετρικών πινάκων είναι συµµετρικός d Το γινόµενο δυο συµµετρικών πινάκων είναι συµµετρικός t e Για κάθε m πίνακα Α, ο AA ορίζεται και είναι τετραγωνικός 8) Να υπολογιστούν οι στές δυνάµεις των πινάκων a 0 0 b a 0

23 Σελίδα 3 από ) Να βρεθούν όλοι οι πίνακες Χ τέτοιοι ώστε X = ) Έστω A = Αφού αποδείξτε ότι A 4A+ I = 0, υπολογίστε την παράσταση A ( A 4 I) a b ) Έστω A = Επαληθεύσατε ότι A ( a + d) A + ( ad bc) I = 0 c d ) Αποδείξτε ότι A = A+ I, =,,3,, όπου 4 3 A = 0 3) Έστω πραγµατικοί αριθµοί x, x, που ικανοποιούν τη σχέση x = 4x 3x, = 3,4, Να εκφραστεί ο x συναρτήσει των x, x, Απαντήσεις / Υποδείξεις ) Οι απαντήσεις είναι αντίστοιχα,, ) = 3) Υπολογίστε και αντικαταστήσετε το A 4) Οι διαγώνιοι πίνακες 5) Χρησιµοποιήστε την προηγούµενη άσκηση Εξετάστε ποιοι πίνακες 0 αντιµετατίθενται µε τον Η απάντηση στο ερώτηµα της 0 0 άσκησης είναι οι διαγώνιοι πίνακες που τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα 6) b) Υπάρχουν δυο ίσες στήλες 7) Οι απαντήσεις είναι αντίστοιχα a) σωστό, b) σωστό, c) σωστό, d) λάθος, e) σωστό Ένα αντιπαράδειγµα για το d) είναι 3 = 4 3

24 Σελίδα 4 από 53 a 0 a 0 8) =, 0 b 0 b 0 a a, 0 0 = = ) 4, ) Βλ Επεξεργασµένο Παράδειγµα 34 6 ) Απλές πράξεις ) Ένας τρόπος είναι να χρησιµοποιήστε επαγωγή µαζί µε το αποτέλεσµα της προηγούµενης άσκησης x 4 3 x Η δοσµένη σχέση περιέχεται στη = Έστω x 0 x 4 3 x A x x x = Τότε = A = A = = A 0 x x x 3 x Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα της προηγούµενης άσκησης Βλ Επεξεργασµένο Παράδειγµα 34 7

25 Σελίδα 5 από Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα και Γραµµικά Συστήµατα Στο Κεφάλαιο είδαµε ότι µπορούµε να λύσουµε γραµµικά συστήµατα µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss Η µέθοδος αυτή αποτελείται από διαδοχικές εφαρµογές των ακόλουθων διαδικασιών: πολλαπλασιάζουµε µια εξίσωση του συστήµατος µε έναν µη µηδενικό αριθµό προσθέτουµε σε µια εξίσωση πολλαπλάσιο άλλης εναλλάσσουµε τη θέση δυο εξισώσεων Ο σκοπός µας στην παράγραφο αυτή είναι να συστηµατικοποιήσουµε τη µέθοδο αυτή χρησιµοποιώντας πίνακες Για το λόγο αυτό, στο πρώτο τµήµα της παρούσας παραγράφου θα ασχοληθούµε µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών πίνακα Στο δεύτερο τµήµα θα εφαρµόσουµε τα αποτελέσµατα µας στα γραµµικά συστήµατα Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα Από τα παραπάνω οδηγούµαστε στον εξής ορισµό 33 Ορισµός Έστω A M ( ) m F Καθεµιά από τις παρακάτω διαδικασίες ονοµάζεται ένας στοιχειώδης µετασχηµατισµός γραµµών του πίνακα Α πολλαπλασιάζουµε µια γραµµή του Α µε ένα µη µηδενικό στοιχείο του F προσθέτουµε σε µια γραµµή πολλαπλάσιο άλλης γραµµής εναλλάσσουµε δυο γραµµές Έστω είναι r i η i γραµµή του Α Οι αντίστοιχοι συµβολισµοί των παραπάνω διαδικασιών r ar (πολλαπλασιάζουµε την r µε το a 0) i i ri ri + ar j (στη γραµµή ri προσθέτουµε a φορές την rj ) r r (εναλλάσσουµε τις r, r ) i j i j i 33 Παράδειγµα Στο παράδειγµα αυτό εφαρµόζουµε τους ακόλουθους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς: πολλαπλασιάζουµε την πρώτη γραµµή µε το 3, στη συνέχεια αφαιρούµε από τη δεύτερη γραµµή το διπλάσιο της πρώτης, εναλλάσσουµε τις δυο τελευταίες γραµµές και τέλος προσθέτουµε στη δεύτερη γραµµή την πρώτη

26 Σελίδα 6 από Ορισµός r 3r 0 r r r r r3 4 r r+ r Έστω AB, Mm ( F) Θα λέµε ότι ο Β είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον Α αν ο Β προκύπτει από τον Α µετά από µια πεπερασµένη ακολουθία στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών 334 Παραδείγµατα Είδαµε πριν ότι ο πίνακας B = είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον 0 Επίσης ο Β είναι γραµµοϊσοδύναµος µε 4 καθέναν από τους πίνακες που εµφανίζονται στο Παράδειγµα 33 Επειδή κάθε στοιχειώδης µετασχηµατισµός γραµµών του µηδενικού πίνακα οδηγεί στο µηδενικό πίνακα, συµπεραίνουµε ότι ο µόνος πίνακας που είναι γραµµοϊσοδύναµος µε το µηδενικό είναι ο µηδενικός 335 Ορισµός a Ένας πίνακας Α ονοµάζεται κλιµακωτός αν το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο σε κάθε µη µηδενική γραµµή είναι το το πρώτο σε κάθε µη µηδενική γραµµή βρίσκεται στα δεξιά του πρώτου της προηγούµενης γραµµής 3 οι µη µηδενικές γραµµές βρίσκονται πάνω από τις µηδενικές γραµµές b Ένας κλιµακωτός πίνακας λέγεται αναγµένος κλιµακωτός αν το πρώτο σε κάθε γραµµή είναι το µοναδικό µη µηδενικό στοιχείο της στήλης που το περιέχει

27 Σελίδα 7 από 53 Για παράδειγµα, οι πίνακες A, A, A = = 3 = δεν είναι κλιµακωτοί Ο Ai δεν ικανοποιεί η συνθήκη i του Ορισµού 335, i =,, 3 0 Ο πίνακας είναι κλιµακωτός Αυτός δεν είναι αναγµένος κλιµακωτός, 0 γιατί το στοιχείο που βρίσκεται πάνω από το της δεύτερης γραµµής δεν είναι 0 Ο 0 0 είναι αναγµένος κλιµακωτός Από τους πίνακες , 0 0, ο πρώτος και τρίτος είναι αναγµένοι κλιµακωτοί, ενώ ο δεύτερος είναι κλιµακωτός αλλά όχι αναγµένος κλιµακωτός Το βασικό αποτέλεσµα αυτής της παραγράφου είναι το εξής 336 Θεώρηµα Κάθε m πίνακας µε στοιχεία από το F είναι γραµµοϊσοδύναµος µε έναν m κλιµακωτό πίνακα µε στοιχεία από το F Η απόδειξη του Θεωρήµατος αυτού είναι µια συστηµατική εφαρµογή της απαλοιφής του Gauss που είδαµε στο Κεφάλαιο, δηλαδή µια συστηµατική εφαρµογή των στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών Κρίνουµε σκόπιµο, αντί να διατυπώσουµε αυστηρά την απόδειξη, να εκθέσουµε την κεντρική ιδέα της µέσω παραδειγµάτων Άλλωστε η απόδειξη δεν είναι παρά µια προσεκτική διατύπωση της διαδικασίας που θα δούµε στη συνέχεια (βλ για παράδειγµα, AO Morris, A Itroductio to Liear Algebra, Theorem 5) 337 Παραδείγµατα 5 ) Έστω A = 4 6 Εφαρµόζουµε τους παρακάτω στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών

28 Σελίδα 8 από r r + 4r r 3 r3 6r r r + r r r Mηδενίζουµε το δεύτερο στοιχείο της πρώτης στήλης Μηδενίζουµε το τρίτο στοιχείο της πρώτης στήλης Μηδενίζουµε το τρίτο στοιχείο της δεύτερης στήλης Μετατρέπουµε το 9 σε Ο πίνακας είναι κλιµακωτός Μέχρι στιγµής έχουµε µετασχηµατίσει τον αρχικό πίνακα σε έναν κλιµακωτό Επιλέξαµε τους συγκεκριµένους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς µε γνώµονα την εµφάνιση µηδενικών κάτω από τη διαγώνιο Τώρα θα εφαρµόσουµε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς µε σκοπό την εµφάνιση µηδενικών πάνω από το πρώτο κάθε γραµµής Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, θέλουµε να µηδενίσουµε το στοιχείο Εποµένως 5 Μηδενίζουµε το 6 0 r r r Ο πίνακας είναι αναγµένος κλιµακωτός

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα και Ασκήσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Παραδείγµατα και Ασκήσεις Γραµµικής Άλγεβρας Περιεχόµενα και Πρόλογος Σελίδα από 4 Εναλλακτικό ιδακτικό Υλικό Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ Παραδείγµατα και Ασκήσεις Γραµµικής Άλγεβρας Μιχάλης Μαλιάκας Μαρία Αδάµ Περιεχόµενα Κεφάλαιο Προαπαιτούµενες Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 1 Εισαγωγικές Έννοιες

Κεφάλαιο 1 1 Εισαγωγικές Έννοιες Σελίδα από 54 8/9/005 Κεφάλαιο Εισαγωγικές Έννοιες ΣΎΝΟΛΑ Υποσύνολα, Τοµή, Ένωση4 Καρτεσιανό Γινόµενο Συνόλων 6 Επεξεργασµένα παραδείγµατα 7 Ασκήσεις 0 Απαντήσεις / Υποδείξεις 0 ΑΠΕΙΚΟΝΊΣΕΙΣ Γραφική Παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας

Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας Νικόλαος Ατρέας Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας ΑΠΘ Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής Θεσσαλονίκη 3 Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Πίνακες σελ 4 Γενικά Είδη πινάκων Τετραγωνικοί πίνακες 3

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του Ροµποτική Ο χειρισµός αντικειµένων και εργαλείων από ένα ροµποτικό βραχίονα σηµαίνει ότι το ροµπότ πρέπει να είναι ικανό να τοποθετεί και να προσανατολίζει κατάλληλα το άκρο του στο χώρο εργασίας π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συγγραφική Οµάδα : ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΒΑΡΣΟΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΡΙΖΙΩΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΛΙΑΚΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΜΕΛΑΣ ΟΛΥΜΠΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ 2 Πρόλογος Το ϐιβλίο αυτό στοχεύει στη διδασκαλία ενός

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΣ GAUSS) Α.6 ΣΧΕΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...

ΟΣ GAUSS) Α.6 ΣΧΕΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιεχόµενα παραρτήµατος Α Α.1 Μέθοδος αντικατάστασης... A. Μέθοδος των οριζουσών (ΜΕΘΟ ΟΣ CRAMER)... 3 A..1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ... 3 A.. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 33... 5 A..3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα