Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0"

Transcript

1 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα για Αντιµεταθετικούς Πίνακες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 33 Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα και Γραµµικά Συστήµατα Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα Αλγόριθµος Μετασχηµατισµού Πίνακα σε Αναγµένο Κλιµακωτό Πίνακα Εφαρµογή στα Γραµµικά Συστήµατα Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις Αντιστρέψιµοι Πίνακες Στοιχειώδεις Πίνακες Αλγόριθµος Υπολογισµού Αντίστροφου Πίνακα Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 34 Στο προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε ότι για να λύσουµε ένα γραµµικό σύστηµα, αρκεί να εστιάσουµε την προσοχή µας στους συντελεστές των αγνώστων και στους σταθερούς όρους Για παράδειγµα, µπορούµε να λύσουµε το σύστηµα x y+ z = x+ 5y+ z = 0 3x 4y+ 3z = χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών Μια τέτοια διάταξη ονοµάζεται πίνακας Ο σκοπός του Κεφαλαίου 3 είναι: να µελετήσουµε τις βασικές ιδιότητες των πράξεων πινάκων να µάθουµε να λύνουµε γραµµικά συστήµατα µε τη χρήση πινάκων και να κατανοήσουµε την έννοια του αντίστροφου πίνακα και να µάθουµε έναν πρακτικό τρόπο υπολογισµού του Ο χαρακτήρας αυτού του κεφαλαίου είναι έντονα υπολογιστικός και θα δώσουµε έµφαση σε σχετικούς αλγορίθµους και παραδείγµατα Πέρα από τις εφαρµογές των αλγορίθµων, θα ασχοληθούµε και µε τις αποδείξεις τους Τονίζουµε ότι οι έννοιες που θα µελετήσουµε εδώ είναι θεµελιακές για τα επόµενα κεφάλαια

2 Σελίδα από 53 3 Ορισµοί Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούµε µε βασικούς ορισµούς που αφορούν στους πίνακες Πριν δώσουµε τον ορισµό του πίνακα ας θεωρήσουµε τη διάταξη Αθήνα Μυτιλήνη όπου φαίνονται οι µέγιστες θερµοκρασίες τα έτη 00, 00, 003 στις πόλεις Αθήνα και Μυτιλήνη Βλέπουµε για παράδειγµα, ότι η τελευταία γραµµή µας πληροφορεί για τις θερµοκρασίες της Μυτιλήνης και η τελευταία στήλη για τις θερµοκρασίες το 003 Η διάταξη είναι ένα παράδειγµα ενός 3 πίνακα Όπως και σε προηγούµενα κεφάλαια, µε F συµβολίζουµε ένα από τα σύνολα RC, Ένας πίνακας Α µε στοιχεία από το F είναι µια διάταξη στοιχείων a του F σε σχήµα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο της µορφής a a a a a a A = am a am Λέµε ότι το µέγεθος (ή ο τύπος) του παραπάνω πίνακα είναι m ή ότι ο πίνακας είναι ένας m πίνακας Για παράδειγµα, ο πίνακας 0 5 είναι ένας 3 ( ) πίνακας, ο είναι και ο είναι 3 3 Ο πίνακας Α που είδαµε πιο πάνω συµβολίζεται µε ( a ), i =,, m, j =,, Πιο απλά χρησιµοποιούµε συχνά το συµβολισµό A= ( a ij ) όταν είναι σαφές ποια είναι τα m, Η πρώτη γραµµή του προηγούµενου πίνακα είναι η διατεταγµένη άδα ( a, a,, a ), η δεύτερη γραµµή είναι η διατεταγµένη m άδα ( a, a,, a ) a κοκ Η πρώτη στήλη του προηγούµενου πίνακα είναι η διατεταγµένη m άδα a, am την οποία γράφουµε σε κατακόρυφη διάταξη για να είναι άµεσος ο συσχετισµός µε ij ij

3 Σελίδα 3 από 53 a τον αρχικό πίνακα Η δεύτερη στήλη είναι η διατεταγµένη m άδα a, κοκ am Παρατηρούµε ότι το στοιχείο βρίσκεται πάνω στη i γραµµή και στη j στήλη Λέµε ότι το στοιχείο a βρίσκεται στη θέση (, i j) του πίνακα ij a ij Το σύνολο των m πινάκων µε στοιχεία από το F συµβολίζεται µε M ( F) Παράδειγµα Έστω ( aij ) M 3( F), όπου aij = i j Τότε o ( a ij ) είναι ένας πίνακας µε δυο γραµµές και τρεις στήλες Στη θέση (,) υπάρχει το στοιχείο a = =, στη θέση (,) το a = = 0κλπ Εποµένως ο πίνακας 0 ( a ij ) είναι ο 3 3 Ορισµός ( ij ) ( ij ) Ένας A= a, B= b δυο m πίνακες µε στοιχεία από το F Θα λέµε ότι οι Α, Β είναι ίσοι και θα γράφουµε j =,, m A= Bαν ισχύει aij = bij για κάθε i =,, mκαι για κάθε Επισηµαίνουµε ότι αν δυο πίνακες είναι ίσοι, τότε είναι του αυτού µεγέθους Παράδειγµα x Έχουµε = αν και µόνο αν x = και y = 4 Επίσης για κάθε 4 6 y z έχουµε, γιατί οι πίνακες αυτοί διαφέρουν στα z 3 z 3 στοιχεία που υπάρχουν στη θέση (,) Στη συνέχεια θα αναφερθούµε σε πίνακες ειδικής µορφής που θα εµφανιστούν συχνά στα παρακάτω Ένας m πίνακας λέγεται τετραγωνικός αν m= ηλαδή ένας πίνακας είναι τετραγωνικός αν το πλήθος των γραµµών του ισούται µε το πλήθος των στηλών του Για παράδειγµα, ο είναι 8 6 τετραγωνικός ενώ ο δεν είναι Το σύνολο M m m( F) των τετραγωνικών m m πινάκων µε στοιχεία από το F συµβολίζεται πιο απλά µε M ( ) m F

4 Σελίδα 4 από 53 Τα διαγώνια στοιχεία ενός m πίνακα ( ) είναι τα στοιχεία a, a,, akk, όπου k = mi{ m, } Λέµε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στη διαγώνιο του πίνακα A= a ij λέγεται άνω τριγωνικός αν για Ένας τετραγωνικός πίνακας ( ) κάθε i > j έχουµε a = 0 ij a ij ηλαδή ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται άνω τριγωνικός αν τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από την διαγώνιο είναι ίσα µε 0 Για παράδειγµα οι πίνακες + i 4 + i, 0 3 είναι άνω τριγωνικοί Ένας τετραγωνικός πίνακας A= ( a ij ) λέγεται κάτω τριγωνικός αν για κάθε i< j έχουµε a = 0 ηλαδή ένας τετραγωνικός πίνακας ij λέγεται άνω τριγωνικός αν τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από την διαγώνιο είναι ίσα µε 0 Για παράδειγµα οι πίνακες + i i 0, 3 0 είναι κάτω τριγωνικοί Ένας τετραγωνικός πίνακας ( a ) λέγεται διαγώνιος αν για κάθε i j ij έχουµε a ij = 0 ηλαδή ένας τετραγωνικός πίνακας είναι διαγώνιος αν κάθε στοιχείο που δεν βρίσκεται στη διαγώνιο είναι ίσο µε 0 Για παράδειγµα, ο πίνακας είναι διαγώνιος αλλά ο δεν είναι Ένας τετραγωνικός πίνακας ( a ) λέγεται συµµετρικός αν για κάθε i, j ισχύει a ij = a ji Για παράδειγµα, οι πίνακες ij 3, 3 0 είναι συµµετρικοί Ο πίνακας ( a ij ) = 3 7 δεν είναι συµµετρικός, γιατί τα στοιχεία που 0 6 είναι στα κουτάκια δεν είναι ίσα, δηλαδή a = 3 = a Βλέπουµε ότι σε ένα συµµετρικό πίνακα στοιχεία που βρίσκονται σε συµµετρικές θέσεις ως προς τη διαγώνιο είναι ίσα

5 Σελίδα 5 από 53 Έστω A= ( a ) M ( F) Ο ανάστροφος πίνακας του Α είναι ο ij m x y t x t A = ( aji ) M m( F) Για παράδειγµα, αν A =, τότε A = 0 y t Βλέπουµε ότι οι γραµµές (αντίστοιχα, οι στήλες) του A είναι οι στήλες (αντίστοιχα, γραµµές) του Α 3 Παρατήρηση Από τους ορισµούς έπεται άµεσα ότι ένα πίνακας Α είναι συµµετρικός αν και µόνο αν t για κάθε πίνακα Α έχουµε ( A ) = A t t A= A Στα επόµενα, όταν δεν διευκρινίζουµε αν τα στοιχεία ενός πίνακα ανήκουν στο ή στο C θα εννοούµε ότι ανήκουν στο C R 33 Επεξεργασµένα Παραδείγµατα x 9 ) Έστω A=, B= Βλέπουµε ότι ισχύει A= Bαν και 3 3 y µόνο αν x = 9, y = 4x 6y 4 ) Έστω A=, B= Έχουµε A= B αν και x+ 3y x 6y = 4 µόνο αν το σύστηµα έχει λύση Πολλαπλασιάζοντας τη x+ 3y = 4 δεύτερη ισότητα µε και αφαιρώντας από την πρώτη παίρνουµε 0= 4, που είναι άτοπο Άρα για κάθε x, y έχουµε A B 5x 3) Έστω A = 7 0 Βλέπουµε ότι ο Α είναι συµµετρικός αν x και µόνο αν x + 6= 5x x 5x+ 6= 0 x=,3 A= M ( F), B= 3 j+ i M ( F ) Τότε ο Α είναι i+ j 4) Έστω ( ) ( ) 0 0 i+ j j+ i συµµετρικός αφού για κάθε i, j έχουµε a = = = a Αντίθετα, ο Β δεν είναι συµµετρικός αφού για παράδειγµα b = 3 + = 5, b = 3 + = 7 x + 0 5) Ο πίνακας είναι διαγώνιος αν και µόνο αν έχουµε 0 x 0 x + = 0 και x = 0, δηλαδή αν και µόνο αν x = ij ji

6 Σελίδα 6 από 53 Ασκήσεις 3 x Να βρεθούν οι x, y τέτοιοι ώστε = 3 y 3 6 Να εξεταστεί αν υπάρχουν x, y τέτοιοι ώστε 3 x+ x 6 = y 5 x y 6 3 Αληθεύει ότι ο πίνακας A= (3i+ 5 j) M0 0( F) είναι συµµετρικός; 4 x 4 Έστω A = Να βρεθούν οι τιµές του x τέτοιες ώστε ο Α 0 3 είναι a κάτω τριγωνικός b άνω τριγωνικός 5 Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές Στην περίπτωση που µια πρόταση είναι σωστή δώστε µια απόδειξη ιαφορετικά ένα αντιπαράδειγµα αρκεί a ο ανάστροφος κάθε άνω τριγωνικού πίνακα είναι κάτω τριγωνικός b κάθε διαγώνιος πίνακας είναι συµµετρικός c κάθε πίνακας που είναι και άνω τριγωνικός και κάτω τριγωνικός είναι διαγώνιος Απαντήσεις / Υποδείξεις 3 x= 5, y = 6 Λύνοντας το σύστηµα που προκύπτει βρίσκουµε 3 όχι 4 a x =,, i, i b κάθε x C 5 α σωστό, b σωστό, c σωστό 5 x= 5, y =

7 Σελίδα 7 από 53 3 Πράξεις µε Πίνακες Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούµε µε τον αλγεβρικό λογισµό πινάκων, δηλαδή µε τις πράξεις πινάκων Θα δούµε ότι οι πράξεις αυτές έχουν αρκετά κοινά στοιχεία µε τις αντίστοιχες πράξεις πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών Υπάρχουν, όµως, και σηµαντικές διαφορές που θα τονίσουµε ιδιαίτερα Πρόσθεση Πινάκων 3 Ορισµός Έστω A= ( a ), B= ( b ) M ( F) Το άθροισµα, Α+Β, των Α και Β είναι ο πίνακας ij ij m ( ij ij ) A+ B= a + b Για παράδειγµα, αν A x = και B =, τότε 3 4 y x A+ B= + = 3 4 y 0 + ( 4) x x = = + 3+ y y 4 ηλαδή για να σχηµατίσουµε το άθροισµα δυο πινάκων προσθέτουµε στοιχεία που βρίσκονται σε αντίστοιχες θέσεις 3 Παρατήρηση Επισηµαίνουµε ότι το άθροισµα A+ B δυο πινάκων ορίζεται µόνο όταν οι Α, Β έχουν το ίδιο µέγεθος Στην περίπτωση αυτή, ο πίνακας Α + Β έχει το ίδιο µέγεθος µε τους Α,Β Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό 33 Ορισµός Έστω A= ( a ) M ( F) και k F Το γινόµενο kα του k µε τον Α είναι ο πίνακας ka = ( ka ij ) ij m Για παράδειγµα, αν k = και A 5 =, τότε A = = ( ) ηλαδή για να σχηµατίσουµε το γινόµενο ka πολλαπλασιάζουµε κάθε στοιχείο του πίνακα Α µε τον αριθµό k Παρατηρούµε ότι ο πίνακας ka έχει το ίδιο µέγεθος µε τον Α

8 Σελίδα 8 από 53 Οι κυριότερες ιδιότητες του αθροίσµατος πινάκων και του γινοµένου αριθµού µε πίνακα συνοψίζονται στην παρακάτω πρόταση Πριν τη διατυπώσουµε ας καθιερώσουµε τους επόµενους συµβολισµούς Έστω AB, Mm ( F) Ορίζουµε A= ( ) A A B= A+ ( B ) Επίσης τον m πίνακα που όλα τα στοιχεία του είναι ίσα µε 0 συµβολίζουµε µε 0 m (ή πιο απλά 0 αν το µέγεθός του είναι σαφές) δηλαδή 0 0 0m = 0 0 Για παράδειγµα, αν A x = και B =, τότε 3 4 y x A B= = 3 4 y 0 ( 4) 3 5 x 5 5 x = = 3 y y 4 34 Πρόταση Έστω ABC,, Mm ( F) και k, k F Τότε ισχύουν τα εξής + + = + + ) 5 k( A+ B) = ka+ kb ( A B) C A ( B C A+ 0 m = A 6 ( ) k + k A= k A+ k A 3 A A = 0 m 7 ( kk ) A= k( ka) 4 A+ B= B+ A 8 A= A και 0A = 0 m Απόδειξη Η επαλήθευση των παραπάνω ιδιοτήτων είναι σε κάθε περίπτωση υπόθεση ρουτίνας Ενδεικτικά, ας δούµε την ιδιότητα 5 Έστω A= ( a ), B= ( b ) Από τους ορισµούς έχουµε ( ) ( ij ij ) ( ij ij ) ( ka ij kb ij ) ( ka ij ) ( kb ij ) = k ( a ) + k ( b ) = k A+ k B ij ij ij ( ) k A+ B = k a + b = k a + b = = + = + = Παρατήρηση Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις 5 και 8 της προηγούµενης πρότασης βλέπουµε ότι A= A+ A,3A= A+ A+ A κοκ Επίσης έχουµε A= A A, 3A= A A A κοκ ij

9 Σελίδα 9 από Παραδείγµατα 0 0 Έστω A= 3, B= 3 Τότε A B= 3 ( ) 3 3 ( ) ( 3) = 3 3( ) = 6 ( ) 9 ( 6) = ( 0) 0 = Να βρεθούν όλα τα λ, µ R τέτοια ώστε λ A+ µ B= 03, όπου οι πίνακες Α,Β είναι όπως στο προηγούµενο παράδειγµα Έχουµε 0 0 λ A+ µ B= λ 3 + µ 3 = 4 5 λ + µ 0 = λ µ 3λ 3 µ λ + 4µ λ + 5µ Συνεπώς λ A+ µ B= 0 3 λ + µ λ µ 3λ 3µ = 0 0 λ + 4µ λ + 5µ 0 0 λ + µ = 0 λ µ = 0 λ + 4µ = 0 3λ 3µ = 0 λ + 5µ = 0 Λύνοντας το σύστηµα αυτό, βλέπουµε ότι υπάρχει µοναδική λύση λ = 0, µ = 0 Πολλαπλασιασµός Πινάκων Ο ορισµός του πολλαπλασιασµού πινάκων, που θα δούµε σε λίγο, ίσως φαντάζει µη αναµενόµενος Για να δώσουµε ένα κίνητρο του ορισµού αυτού, ας δούµε ένα παράδειγµα που σχετίζεται µε γραµµικά συστήµατα

10 Σελίδα 0 από Παράδειγµα Θεωρούµε το 3 σύστηµα ax+ a y+ a3z = c () ax+ a y+ a3z = c Ο πίνακας των συντελεστών είναι ο a a a3 A = a a a3 Ας υποθέσουµε ότι οι µεταβλητές x, yz, εκφράζονται µέσω νέων µεταβλητών X, Y, Z ως εξής x = b X + b Y + b Z 3 y = b X + b Y + b Z z = b X + b Y + b Z Ο πίνακας των συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο b b b3 B= b b b3 b3 b3 b 33 Αν επιθυµούµε να εκφράσουµε το αρχικό σύστηµα χρησιµοποιώντας τις νέες µεταβλητές Χ,Υ,Ζ, τότε αντικαθιστούµε τις εξισώσεις () στις () Βρίσκουµε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ab + ab + ab X+ ab + ab + ab Y+ ab + ab + ab Z= c a b a b a b X a b a b a b Y a b a b a b Z c = Ο πίνακας των συντελεστών του συστήµατος αυτού είναι ο ab + ab + ab ab + ab + ab ab + ab + ab a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b () Χρησιµοποιώντας το συνήθη συµβολισµό για αθροίσµατα, ο παραπάνω πίνακας γράφεται arbr arbr arbr3 r= r= r= arbr arbr arbr3 r= r= r= ηλαδή στη θέση (, i j) υπάρχει το στοιχείο ab Ο πίνακας (3) ονοµάζεται το γινόµενο των Α,Β 3 r= ir rj (3) 37 Ορισµός Έστω ( ij ) l m( ) A= a M F και B = ( b ) M ( F) Τότε το γινόµενο των Α και Β, st που συµβολίζεται µε ΑΒ, είναι ο l πίνακας µε στοιχεία από το F όπου στη θέση (i,j) m m υπάρχει το στοιχείο ab = ab + ab + + a b r= ir rj i j i j im mj

11 Σελίδα από 53 a d g 3 Για παράδειγµα, αν A=, B= b, τότε το γινόµενο ΑΒ είναι ο e h c f k 3 πίνακας a d g 3 a+ b+ 3c d + e+ 3f g+ h+ 3k AB = b e h = 4a+ 5b+ 6c 4d + 5e+ 6f 4g+ 5h+ 6k c f k Επίσης έχουµε a 3 a+ b+ 3c b = 4a+ 5b+ 6c c 3 x y x+ 3z y+ 3w = 4 5z w 4x+ 5z 4y+ 5w και 4 ( 3 ) = (( ) ) = ( 7 ) 5 Σχηµατικά, το στοιχείο του γινοµένου ΑΒ στη θέση (i,j) προκύπτει από τη γραµµή i του Α και τη στήλη j του Β όπως δείχνει το σχήµα b j b j ai ai aim = ai bj + ai b j + + aimbmj b mj 38 Παρατήρηση Τονίζουµε ότι το γινόµενο ΑΒ ορίζεται µόνο αν το πλήθος των στηλών του Α ισούται µε το πλήθος των γραµµών του Β, δηλαδή αν ο Α είναι l m πίνακας και ο Β m Στην περίπτωση αυτή, ο ΑΒ είναι ένας l πίνακας Στην επόµενη πρόταση περιγράφονται µερικές ιδιότητες του γινοµένου πινάκων 0 0 Με I συµβολίζουµε τον πίνακα 0 0 του οποίου τα διαγώνια 0 0 στοιχεία είναι ίσα µε και τα υπόλοιπα µε 0 Αυτός ονοµάζεται ο ταυτοτικός πίνακας Όταν είναι σαφές πιο είναι το συνήθως γράφουµε Ι στη θέση του I 39 Πρόταση Έστω Έστω Έστω Έστω A M ( F), B M ( F), C M ( F) Τότε ( AB) C = A( BC ) k l l m m A M ( F), B, C M ( F) Τότε AB ( + C) = AB+ AC l m m AB, M ( F), C M ( F) Τότε ( A+ B) C = AC+ BC l m m k F, A M ( F), B M ( F) Τότε k( AB) = ( ka) B= A( kb) l m m

12 Σελίδα από 53 Έστω A M ( ) m F Τότε ImA= AI = A, 0l ma = 0l και A 0 l= 0 l Απόδειξη Οι παραπάνω ιδιότητες αποδεικνύονται µε απλούς υπολογισµούς Ας δούµε ενδεικτικά την 3 Με A συµβολίζουµε το στοιχείο του πίνακα Α στη θέση (, i j) ij Χρησιµοποιώντας τους ορισµούς του γινοµένου και του αθροίσµατος πινάκων παρατηρούµε ότι το στοιχείο του ( A+ B) C στη θέση (, i j) είναι το (( ) ) ( ) ( ) m ij m ir rj ir ir rj r= r= AirCrj BirCrj ( AC) ( BC) ij ( AC BC) ij ij r= r= m A+ B C = A+ B C = A + B C = = + = + = + Το δεξιό µέλος είναι το στοιχείο του AC + BC στη θέση (, i j) Άρα ( A+ B) C = AC+ BC Σηµείωση Έστω Α ένας τετραγωνικός πίνακας Τότε ορίζεται το γινόµενο ΑΑ Ο πίνακας αυτός συµβολίζεται µε A Με A συµβολίζουµε το γινόµενο AA A, όπoυ το Α εµφανίζεται φορές, N Παρατήρηση Ας επανέλθουµε στο Παράδειγµα 36 που είδαµε πριν τον ορισµό του γινοµένου πινάκων Χρησιµοποιώντας γινόµενα πινάκων, το σύστηµα () µπορεί να γραφεί ως x c A y = c z και το () ως X x B Y = y Z z Τότε το (3) γράφεται X c AB Y = c Z Οι Προτάσεις 34 και 39 µας πληροφορούν ότι οι πράξεις πινάκων, όταν αυτές ορίζονται, ικανοποιούν µερικές από τις ιδιότητες που ικανοποιούν οι αντίστοιχες πράξεις των πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών Όµως υπάρχουν σηµαντικές διαφορές Μερικές από αυτές είναι οι εξής m

13 Σελίδα 3 από 53 Προσοχή Έστω AB, M ( F ) δυο πίνακες Τότε ορίζονται τα γινόµενα ΑΒ και ΒΑ Τονίζουµε ότι είναι δυνατό να έχουµε AB BA Πράγµατι, αν 0 A, B 6 = =, τότε AB = και BA = Έστω A Ml m( F), B Mm ( F) εν αληθεύει γενικά ότι ( AB) = A B Πράγµατι, µε τους πίνακες του προηγούµενου παραδείγµατος έχουµε 4 36 ( AB) =, A B = Το σωστό είναι ( AB) = ABAB Έστω A Ml m( F), B Mm ( F) Είναι δυνατό να έχουµε AB = 0 l ακόµα και αν A 0 l m, B 0m Πράγµατι, αν A = και B =, 0 0 τότε AB = 0 0 Έστω A Ml m( F), B, C Mm ( F) Αν ισχύει AB = AC, τότε γενικά δεν έπεται ότι B = C Πράγµατι, αν οι Α, Β είναι όπως στο προηγούµενο παράδειγµα, τότε AB = A 0, αλλά B 0 Αριθµοµηχανή πινάκων Yπάρχει ένα java script που πραγµατοποιεί απλές πράξεις 3 3 πινάκων Επειδή γενικά δεν ισχύει η ισότητα AB = BA, θα πρέπει να είµαστε προσεκτικοί σε υπολογισµούς παραστάσεων µε πίνακες Για παράδειγµα, για να υπολογίσουµε σωστά το ανάπτυγµα (A+ B) χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες και 3 της Πρότασης 39 Έχουµε ( A+ B) = ( A+ B)( A+ B) = = A( A+ B) + B( A+ B) = A + AB+ BA+ B Συνεπώς είναι δυνατό να έχουµε ( ) ( ) A B A AB B A+ B A + AB+ B Μάλιστα, βλέπουµε ότι + = + + αν και µόνο αν AB = BA Από τώρα και στο εξής όταν γράφουµε ένα γινόµενο πινάκων χωρίς να διευκρινίζουµε τα µεγέθη τους, θα εννοούµε ότι αυτά είναι τέτοια ώστε το γινόµενο να ορίζεται

14 Σελίδα 4 από 53 ιωνυµικό Aνάπτυγµα για Αντιµεταθετικούς Πίνακες υο πίνακες AB, λέγονται αντιµεταθετικοί αν ισχύει AB = BA Παρατηρούµε ότι αν οι Α, Β είναι αντιµεταθετικοί τότε ( ) AB = ABAB = AABB = A B, όπως επίσης ( AB) = A B, =,, Υπενθυµίζουµε ότι αν k, N µε k, τότε ο διωνυµικός συντελεστής k ( )( k+ ) είναι ο φυσικός αριθµός = Επίσης ορίζουµε = και k k 0 = 0 αν k > ή αν k < 0 Έτσι το ορίζεται για κάθε φυσικό αριθµό και k k κάθε ακέραιο k Για παράδειγµα, = = 0 Υπενθυµίζουµε ότι για τους 3 3 διωνυµικούς συντελεστές ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες =, k k + = +, k k k k k (διωνυµικό ανάπτυγµα) ( x + y) = x y, για κάθε xy C, k = 0 k Είδαµε πριν ότι για πίνακες δεν αληθεύει γενικά η σχέση ( A+ B) = A + AB+ B Όµως στην ειδική περίπτωση που οι πίνακες Α,Β αντιµετατίθενται, τότε η ισότητα αυτή ισχύει Πιο γενικά έχουµε το εξής αποτέλεσµα 30 Πρόταση ( ιωνυµικό ανάπτυγµα για αντιµεταθετικούς πίνακες) Έστω AB, M ( F) Αν ισχύει AB = BA, τότε για κάθε N έχουµε k ( A+ B) = A B k (4) k = 0 k Απόδειξη Χρησιµοποιούµε επαγωγή στο Για =, η (4) ισχύει Έστω ότι ισχύει η (4) Χρησιµοποιώντας την Πρόταση 39 έχουµε + ( A+ B) = ( A+ B) ( A+ B) = A k B k = ( A + B ) = k = 0 k k k k k A B A+ A B B k= 0k k= 0k k k k+ k Από την υπόθεση AB = BA παίρνουµε A B A= A B Συνεπώς

15 Σελίδα 5 από 53 k k k k A B A+ A B B= k k k= 0 k= 0 k+ k k k+ = A B + A B = k= 0k k= 0k + k+ k k+ k = A B + A B = k= 0k k= k + k+ k = + A B = k= 0k k= k + + = + A k= 0k k= k A k = 0 k k k k = A B k = 0 k k+ + + k k = + = B B k = Ο ταυτοτικός m m πίνακας I m αντιµετατίθεται µε κάθε A Mm( F) Επειδή k έχουµε Im = Im για κάθε k N, από την προηγούµενη πρόταση συµπεραίνουµε το εξής αποτέλεσµα 3 Πόρισµα Για κάθε A M ( ) m F έχουµε k ( A+ I) = A k = 0 k Για παράδειγµα, ( A+ I) = A + 4A + 6A + 4A+ I Σηµειώνουµε ότι η ισότητα στην προηγούµενη πρόταση γράφεται k k A k A = A = k= 0k k= 0 k k= 0k 4 3 Χρησιµοποιώντας το δεξιό µέλος θα γράφαµε ( A+ I) = I + 4A+ 6A + 4A + A 4 3 Εφαρµογή Να υπολογιστεί ο πίνακας Λύση 006 B, όπου 3 B = 0 0 0

16 Σελίδα 6 από Ένας τρόπος λύσης είναι να θέσουµε A = 0 0 Τότε B = A+ I και από το Πόρισµα 3 έχουµε B = ( A+ I) = I + A+ A + + A + A 005 Με πράξεις βρίσκουµε διαδοχικά A = 0 0 0, A = Άρα A = 0 για κάθε 3 Τελικά B = I + A+ A = = = = Σηµείωση Παρατηρούµε ότι για κάθε N, B = I + A+ A Στην Παράγραφο 3 ορίσαµε τον ανάστροφο πίνακα Σχετικά µε τις πράξεις πινάκων έχουµε την ακόλουθη πρόταση 33 Πρόταση t t t Έστω AB M ( F) Τότε ( A+ B) = A + B, m Έστω A M ( F), B M ( F) Τότε ( AB) Απόδειξη Ας συµβολίσουµε µε l m m A ij t t t = B A το στοιχείο του Α στη θέση (i,j) Από τον ορισµό του ανάστροφου και της πρόσθεσης πινάκων έχουµε (( A+ B) t ) = ( A+ B) = A + B = ( A t ) + ( B t ) ij ji ji ji ij ij Από τον ορισµό του ανάστροφου και του πολλαπλασιασµού πινάκων έχουµε m m m t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( AB) ) = ( AB) = A B = A B = B A = BA t t t t t ij ji jr ri rj ir ir rj r= r= r= ij

17 Σελίδα 7 από Επεξεργασµένα Παραδείγµατα 3 0 Έστω 0 3 A=, B=, C Ποιες από τις 0 4 = 0 5 παραστάσεις A + B, A + C, AB, BA, AC ορίζονται; Λύση Σύµφωνα µε τις Παρατηρήσεις 3 και 38 µόνο οι παραστάσεις A+ C, AC ορίζονται Να βρεθούν όλοι οι πραγµατικοί πίνακες Χ τέτοιοι ώστε AX = 0, όταν i) A =, ii) A = Λύση x y Έστω X = z w Για την περίπτωση i) έχουµε x y 0 0 AX = 0 = z w 0 0 x+ z y+ w 0 0 = x+ z y+ w 0 0 x+ z = 0, y+ w= 0 z w Συνεπώς X =, όπου zw R, z w Για την περίπτωση ii) έχουµε x y 0 0 AX = 0 = z w 0 0 x+ z y+ w 0 0 = x+ z y+ w 0 0 x+ z = 0, y+ w= 0, x+ z = 0, y+ w= 0 Λύνοντας το σύστηµα παίρνουµε τη µοναδική λύση x= y = z = w= 0 Συνεπώς X = 0 3 Έστω Α ένας πίνακας τέτοιος ώστε A = I Αποδείξτε ότι για τον πίνακα ( B = A+ I) ισχύει B = B Λύση Αφού οι Α και Ι αντιµετατίθενται, έχουµε ( A+ I) = A + A+ I Άρα B = ( A+ I) = ( A + A+ I) = ( I + A+ I) = ( A+ I) = B 4 4 4

18 Σελίδα 8 από 53 4 Έστω A = Να υπολογισθούν οι δυνάµεις A για =,,3, 0 Λύση ιαπιστώνουµε ότι A = =, A = A A= = Θα αποδείξουµε επαγωγικά ως προς ότι A = για κάθε = 0,,3, Για = η αποδεικτέα σχέση προφανώς ισχύει Υποθέτουµε ότι + A = και θα αποδείξουµε ότι A + = 0 0 Έχουµε + + A = A A= = Έστω B = Να υπολογιστούν οι δυνάµεις B για =,,3, 0 Λύση ος τρόπος Θέτουµε A = και παρατηρούµε ότι B = A+ I 0 Χρησιµοποιώντας το Πόρισµα 3 και το αποτέλεσµα του προηγουµένου παραδείγµατος, παίρνουµε k k k k= 0k k= 0 k B = A = = k= k k= k 0 k = 0 k ος τρόπος Εφαρµόζουµε τη µέθοδο που είδαµε στην Εφαρµογή 3 Έστω A 0 = Τότε B = I + A και A = 0 Άρα 0 0 k A = 0, k =,3, Τότε B = ( I + A) = ( I) + ( I) A= 0 0 = I + A= + = ος τρόπος Με πράξεις διαπιστώνουµε ότι

19 Σελίδα 9 από 53 A = = A = A A= = Εικάζουµε ότι A =,,, = 0 Θα αποδείξουµε τη σχέση αυτή µε επαγωγή Για =, η αποδεικτέα σχέση είναι προφανής Έστω A = Τότε 0 + A = A A= ( + ) = = Σηµείωση: Βρήκαµε δύο διαφορετικές παραστάσεις για το ίδιο αποτέλεσµα εν είναι δύσκολο να αποδειχθούν οι ταυτότητες = k = 0 k k = k = 0 k Πράγµατι, για να αποδείξουµε την πρώτη ταυτότητα θέτουµε x = k στο διωνυµικό ανάπτυγµα ( + x) = x Τότε k = 0 k = (+ ) = k = 0 k Για τη δεύτερη ταυτότητα: Από τον ορισµό των διωνυµικών συντελεστών προκύπτει ότι = ( k+ ) για k k k+ k k Άρα τα πολυώνυµα ( + x) = x και k x είναι k = 0 k k = k ίσα Θέτοντας x = προκύπτει το ζητούµενο 6 Έστω A = Αφού αποδείξτε ότι A A+ I = 0, υπολογίστε 3 0 την παράσταση A ( A I) Λύση Με απλές πράξεις διαπιστώνουµε ότι A A+ I = + =

20 Σελίδα 0 από 53 Τη σχέση A A+ I =0 γράφουµε στη µορφή AA ( I) = I, οπότε υψώνοντας στη δύναµη 0 παίρνουµε ( AA ( I)) = ( ) I = I Επειδή οι πίνακες Α, Α Ι αντιµετατίθενται, δηλαδή Α(Α Ι) = (Α Ι)Α, το αριστερό µέλος ισούται µε A 0 ( A I) 0 Συνεπώς Τέλος έχουµε 0 0 A ( A I) = I A A I = A A I A I ( ) ( ) ( = I( A I) = A I 0 = = Έστω A = i) Αποδείξτε ότι A =, για κάθε =,,3, 4 6 ii) Μια αυτοκινητοβιοµηχανία παράγει δύο µοντέλα αυτοκινήτου, έστω x και y Έστω x (αντίστοιχα y ) το κόστος για την παραγωγή στο πλήθος αυτοκίνητα µοντέλου x (αντίστοιχα, y) Γνωρίζουµε ότι x = 7x 9y + y+ = 4x 5y Πόσο κοστίζει η παραγωγή 000 αυτοκινήτων µοντέλου x και 000 µοντέλου y αν x = 5 και y = 3; Λύση i) Χρησιµοποιούµε επαγωγή στο Για = η αποδεικτέα σχέση προφανώς ισχύει Υποθέτουµε ότι για συγκεκριµένο > A = Έχουµε A = A A= = = ( + ) 9( + ) 4( + ) 6( + ) ii) Οι σχέσεις x = 7x 9y y + + = 4x 5y γράφονται µε τη χρήση πινάκων ως x 7 9 x x = = A + y + 4 5y y Εφαρµόζοντας διαδοχικά την τελευταία σχέση παίρνουµε )

21 Σελίδα από 53 x+ x x = A = AA = y y y + x x 3 A = A = y y x A y Άρα x+ x 5 = A = A y+ y 3 Θέτοντας = 999 και χρησιµοποιώντας την i) παίρνουµε x = A y = = = x = 300, y = 00 Συνεπώς

22 Σελίδα από 53 Ασκήσεις 3 ) Έστω A 0 = και B Να βρεθούν οι πίνακες 3 = 3 AB A B A t,,( ) ) Να υπολογιστούν οι δυνάµεις, =,, 3) Έστω A M( F), A=, όπου Αποδείξτε ότι ( A I)( A I) = I 0 0 4) Να βρεθούν όλοι οι πίνακες Χ τέτοιοι ώστε X = X ) Να βρεθούν οι πραγµατικοί πίνακες που αντιµετατίθενται µε κάθε πραγµατικό πίνακα 6) Έστω AB, Ml m( F) και C Mm ( F) a Αν η πρώτη γραµµή του Α ταυτίζεται µε την πρώτη γραµµή του Β, εξηγείστε γιατί η πρώτη γραµµή του AC ταυτίζεται µε την πρώτη γραµµή του BC b Αν ο C έχει δυο ίσες στήλες, τι συµπεραίνετε για τις στήλες του AC; 7) Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος Αν µια πρόταση είναι σωστή, δώστε µια απόδειξη ιαφορετικά, ένα αντιπαράδειγµα αρκεί a Το άθροισµα δυο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός b Το γινόµενο δυο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός c Το άθροισµα δυο συµµετρικών πινάκων είναι συµµετρικός d Το γινόµενο δυο συµµετρικών πινάκων είναι συµµετρικός t e Για κάθε m πίνακα Α, ο AA ορίζεται και είναι τετραγωνικός 8) Να υπολογιστούν οι στές δυνάµεις των πινάκων a 0 0 b a 0

23 Σελίδα 3 από ) Να βρεθούν όλοι οι πίνακες Χ τέτοιοι ώστε X = ) Έστω A = Αφού αποδείξτε ότι A 4A+ I = 0, υπολογίστε την παράσταση A ( A 4 I) a b ) Έστω A = Επαληθεύσατε ότι A ( a + d) A + ( ad bc) I = 0 c d ) Αποδείξτε ότι A = A+ I, =,,3,, όπου 4 3 A = 0 3) Έστω πραγµατικοί αριθµοί x, x, που ικανοποιούν τη σχέση x = 4x 3x, = 3,4, Να εκφραστεί ο x συναρτήσει των x, x, Απαντήσεις / Υποδείξεις ) Οι απαντήσεις είναι αντίστοιχα,, ) = 3) Υπολογίστε και αντικαταστήσετε το A 4) Οι διαγώνιοι πίνακες 5) Χρησιµοποιήστε την προηγούµενη άσκηση Εξετάστε ποιοι πίνακες 0 αντιµετατίθενται µε τον Η απάντηση στο ερώτηµα της 0 0 άσκησης είναι οι διαγώνιοι πίνακες που τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα 6) b) Υπάρχουν δυο ίσες στήλες 7) Οι απαντήσεις είναι αντίστοιχα a) σωστό, b) σωστό, c) σωστό, d) λάθος, e) σωστό Ένα αντιπαράδειγµα για το d) είναι 3 = 4 3

24 Σελίδα 4 από 53 a 0 a 0 8) =, 0 b 0 b 0 a a, 0 0 = = ) 4, ) Βλ Επεξεργασµένο Παράδειγµα 34 6 ) Απλές πράξεις ) Ένας τρόπος είναι να χρησιµοποιήστε επαγωγή µαζί µε το αποτέλεσµα της προηγούµενης άσκησης x 4 3 x Η δοσµένη σχέση περιέχεται στη = Έστω x 0 x 4 3 x A x x x = Τότε = A = A = = A 0 x x x 3 x Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα της προηγούµενης άσκησης Βλ Επεξεργασµένο Παράδειγµα 34 7

25 Σελίδα 5 από Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα και Γραµµικά Συστήµατα Στο Κεφάλαιο είδαµε ότι µπορούµε να λύσουµε γραµµικά συστήµατα µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss Η µέθοδος αυτή αποτελείται από διαδοχικές εφαρµογές των ακόλουθων διαδικασιών: πολλαπλασιάζουµε µια εξίσωση του συστήµατος µε έναν µη µηδενικό αριθµό προσθέτουµε σε µια εξίσωση πολλαπλάσιο άλλης εναλλάσσουµε τη θέση δυο εξισώσεων Ο σκοπός µας στην παράγραφο αυτή είναι να συστηµατικοποιήσουµε τη µέθοδο αυτή χρησιµοποιώντας πίνακες Για το λόγο αυτό, στο πρώτο τµήµα της παρούσας παραγράφου θα ασχοληθούµε µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών πίνακα Στο δεύτερο τµήµα θα εφαρµόσουµε τα αποτελέσµατα µας στα γραµµικά συστήµατα Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα Από τα παραπάνω οδηγούµαστε στον εξής ορισµό 33 Ορισµός Έστω A M ( ) m F Καθεµιά από τις παρακάτω διαδικασίες ονοµάζεται ένας στοιχειώδης µετασχηµατισµός γραµµών του πίνακα Α πολλαπλασιάζουµε µια γραµµή του Α µε ένα µη µηδενικό στοιχείο του F προσθέτουµε σε µια γραµµή πολλαπλάσιο άλλης γραµµής εναλλάσσουµε δυο γραµµές Έστω είναι r i η i γραµµή του Α Οι αντίστοιχοι συµβολισµοί των παραπάνω διαδικασιών r ar (πολλαπλασιάζουµε την r µε το a 0) i i ri ri + ar j (στη γραµµή ri προσθέτουµε a φορές την rj ) r r (εναλλάσσουµε τις r, r ) i j i j i 33 Παράδειγµα Στο παράδειγµα αυτό εφαρµόζουµε τους ακόλουθους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς: πολλαπλασιάζουµε την πρώτη γραµµή µε το 3, στη συνέχεια αφαιρούµε από τη δεύτερη γραµµή το διπλάσιο της πρώτης, εναλλάσσουµε τις δυο τελευταίες γραµµές και τέλος προσθέτουµε στη δεύτερη γραµµή την πρώτη

26 Σελίδα 6 από Ορισµός r 3r 0 r r r r r3 4 r r+ r Έστω AB, Mm ( F) Θα λέµε ότι ο Β είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον Α αν ο Β προκύπτει από τον Α µετά από µια πεπερασµένη ακολουθία στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών 334 Παραδείγµατα Είδαµε πριν ότι ο πίνακας B = είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον 0 Επίσης ο Β είναι γραµµοϊσοδύναµος µε 4 καθέναν από τους πίνακες που εµφανίζονται στο Παράδειγµα 33 Επειδή κάθε στοιχειώδης µετασχηµατισµός γραµµών του µηδενικού πίνακα οδηγεί στο µηδενικό πίνακα, συµπεραίνουµε ότι ο µόνος πίνακας που είναι γραµµοϊσοδύναµος µε το µηδενικό είναι ο µηδενικός 335 Ορισµός a Ένας πίνακας Α ονοµάζεται κλιµακωτός αν το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο σε κάθε µη µηδενική γραµµή είναι το το πρώτο σε κάθε µη µηδενική γραµµή βρίσκεται στα δεξιά του πρώτου της προηγούµενης γραµµής 3 οι µη µηδενικές γραµµές βρίσκονται πάνω από τις µηδενικές γραµµές b Ένας κλιµακωτός πίνακας λέγεται αναγµένος κλιµακωτός αν το πρώτο σε κάθε γραµµή είναι το µοναδικό µη µηδενικό στοιχείο της στήλης που το περιέχει

27 Σελίδα 7 από 53 Για παράδειγµα, οι πίνακες A, A, A = = 3 = δεν είναι κλιµακωτοί Ο Ai δεν ικανοποιεί η συνθήκη i του Ορισµού 335, i =,, 3 0 Ο πίνακας είναι κλιµακωτός Αυτός δεν είναι αναγµένος κλιµακωτός, 0 γιατί το στοιχείο που βρίσκεται πάνω από το της δεύτερης γραµµής δεν είναι 0 Ο 0 0 είναι αναγµένος κλιµακωτός Από τους πίνακες , 0 0, ο πρώτος και τρίτος είναι αναγµένοι κλιµακωτοί, ενώ ο δεύτερος είναι κλιµακωτός αλλά όχι αναγµένος κλιµακωτός Το βασικό αποτέλεσµα αυτής της παραγράφου είναι το εξής 336 Θεώρηµα Κάθε m πίνακας µε στοιχεία από το F είναι γραµµοϊσοδύναµος µε έναν m κλιµακωτό πίνακα µε στοιχεία από το F Η απόδειξη του Θεωρήµατος αυτού είναι µια συστηµατική εφαρµογή της απαλοιφής του Gauss που είδαµε στο Κεφάλαιο, δηλαδή µια συστηµατική εφαρµογή των στοιχειωδών µετασχηµατισµών γραµµών Κρίνουµε σκόπιµο, αντί να διατυπώσουµε αυστηρά την απόδειξη, να εκθέσουµε την κεντρική ιδέα της µέσω παραδειγµάτων Άλλωστε η απόδειξη δεν είναι παρά µια προσεκτική διατύπωση της διαδικασίας που θα δούµε στη συνέχεια (βλ για παράδειγµα, AO Morris, A Itroductio to Liear Algebra, Theorem 5) 337 Παραδείγµατα 5 ) Έστω A = 4 6 Εφαρµόζουµε τους παρακάτω στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών

28 Σελίδα 8 από r r + 4r r 3 r3 6r r r + r r r Mηδενίζουµε το δεύτερο στοιχείο της πρώτης στήλης Μηδενίζουµε το τρίτο στοιχείο της πρώτης στήλης Μηδενίζουµε το τρίτο στοιχείο της δεύτερης στήλης Μετατρέπουµε το 9 σε Ο πίνακας είναι κλιµακωτός Μέχρι στιγµής έχουµε µετασχηµατίσει τον αρχικό πίνακα σε έναν κλιµακωτό Επιλέξαµε τους συγκεκριµένους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς µε γνώµονα την εµφάνιση µηδενικών κάτω από τη διαγώνιο Τώρα θα εφαρµόσουµε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς µε σκοπό την εµφάνιση µηδενικών πάνω από το πρώτο κάθε γραµµής Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, θέλουµε να µηδενίσουµε το στοιχείο Εποµένως 5 Μηδενίζουµε το 6 0 r r r Ο πίνακας είναι αναγµένος κλιµακωτός

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α

Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Ι Ω Α Ν Ν Η Σ Μ Α Ρ Ο Υ Λ Α Σ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΕΜΦΕ Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Επιµέλεια : ρ Αδάµ Μαρία ΕΜΠ, 005 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο ρόλος της Γραµµικής Άλγεβρας στις Εφαρµοσµένες Επιστήµες είναι εξαιρετικά σηµαντικός.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα