Ασαφής Λογική και Αναγνώριση Προτύπων

Transcript

1 Ασαφής Λογική και Αναγνώριση Προτύπων Ορισός Έστω Χ ένα τυπικό σύνολο αντικειένων, που το καλούε σύπαν, του οποίου τα στοιχεία τα συβολίζουε ε. Η σχέση του περιέχεσθε για ένα τοπικό υποσύνολο του Α του Χ συχνά αναπαριστάται ε την συνάρτηση Α ι ως εξής:, αν ν A A 0, αν ν A όπου το {0,} λέγεται σύνολο εκτίησης και αν-ν σηαίνει αν και όνον αν. Εάν το σύνολο εκτίησης επιτρέπεται να είναι το πραγατικό υποσύνολο [0,] τότε το Α ονοάζεται ασαφές σύνολο, Α ι είναι ο βαθός -ποσοστό- του περιέχεσθε του στο Α. Όσο πιο κοντά στο είναι η τιή του Α ι τόσο πιο πολύ το ανήκει στο Α. Το Α είναι ένα υποσύνολο του Χ που δεν έχει σαφή όρια. Το Α χαρακτηρίζεται πλήρως ως εξής: Α{χ, Α ι εχ} Όταν το Χ είναι πεπερασένο σύνολο, {,,, Ν }, ένα ασαφές σύνολο στο Χ εκφράζεται ως εξής: Α Α ι / + + Α ι Ν / Ν Όταν το Χ δεν είναι πεπερασένο, γράφουε: A A ύο ασαφή σύνολα λέγονται ίσα συβολισός Α Β όταν: εχ, Α ι Β ι Παρατήρηση: Ένα ασαφές σύνολο είναι στην πραγατικότητα ένα υποσύνολο ενός κλασσικού συνόλου, όπως έδειξε ο Kafann. Κρατάε τον όρο ασαφές για λόγους ευκολίας. Αυτό που αποκαλούε σύπαν δεν είναι ποτέ ασαφές. Το spport ενός ασαφούς συνόλου Α είναι το κανονικό υποσύνολο του Χ για το οποίο ισχύει: sppa{εχ, Α ι >0}, όπου εχ σηαίνει ανήκει στο Χ.

2 Τα στοιχεία για τα οποία Α ι / είναι τα σηεία περάσατος crossover του Α. Το ύψος heght του Α είναι hgtasp εχ Α ι, π.χ. το κατώτερο άνω όριο του του Α ι. Το Α λέγεται ότι έχει κανονικοποιηθεί, αν-ν εχ, Α ι, αυτός ο ορισός υποδηλώνει hgta. Το κενό σύνολο Ø ορίζεται ως, εχ, Α Ø 0, φυσικά εχ, Α Χ. Παραδείγατα ΧΝ{σύνολο θετικών αριθών}. Έστω Α0,/7+0,5/8+0,8/9+,0/0+0,8/+0,5/+0,/3 είναι ένα ασαφές σύνολο, τότε το Α είναι ίσο ε 0. ΧR{σύνολο πραγατικών αριθών}. Έστω A + [ 0 ] 5 τότε το Α είναι ένα ασαφές σύνολο που είναι περίπου ίσο ε 0. Πράξεις θεωρίας συνόλων Ένωση και τοή ασαφών συνόλων Η κλασσική ένωση και τοή των συνόλων πορεί να επεκταθεί στα ασαφή σύνολα ως εξής: εχ, ΑUB ι aα ι,β ι Α B ι nα ι,β ι Η τιή του Α ι σε ένα συπαγές, ασαφές σύνολο εξαρτάτε από την τιή του Α ι στα βασικά ασαφή σύνολα από τα οποία αποτελείται και τίποτε άλλο: εχ, ΑUB ι fα ι, Β ι Α B ι gα ι, Β ι Οι f και g είναι προσεταιριστικές, αντιεταθετικές και επιεριστικές. Οι f και g είναι συνεχής και η φθίνουσες όσο αφορά τις παραέτρους τους. ιαισθητικά το ΑUB ι ή το Α B ι δεν πορεί να ειωθεί όταν το Α ι ή το Β ι αυξάνει. Μικρές αυξήσεις στα Α ι ή Β ι δεν πορεί να προκαλέσουν εγάλες αλλαγές στα ΑUB ι ή Α B ι. Τα f,v και g,v είναι αυστηρά αύξοντα. Εάν ισχύει Α ι Β ι > Α ι Β ι, τότε προφανώς τα ΑUB ι ή Α B ι είναι εγαλύτερα από τα ΑUB ι ή Α B ι. Ισχύει: εχ, ΑUB ι aα ι,β ι Α B ι nα ι,β ι Πλήρης συετοχή στα Α και Β σηαίνει πλήρης συετοχή στο Α B. Πλήρης έλλειψη από τα Α και Β σηαίνει πλήρη έλλειψη από το ΑUB: g,, f0,00.

3 Συπλήρωα ασαφούς συνόλου Το συπλήρωα copleent Ā του Α ορίζεται ε την βοήθεια της Α ι ως εξής: εχ, Ā ι - Α ι hα ι Για το Ā ι ισχύει: Το Ā ι εξαρτάται όνον από το Α ι. h0 και h0. H hα ι είναι συνεχής και αυστηρά φθίνουσα. hhα ι Α ι. Οι παραπάνω σχέσεις δεν ορίζουν οναδικά την h, ακόα και αν προσθέσουε την εξής σχέση h//. Αλλά, αν h- τότε: εχ, εχ, αν Α ι + Α ι, τότε Ā ι + Ā ι εχ, εχ, αν Α ι - Α ι Ā ι - Ā ι Παρόλα αυτά πορεί να προκύψουν καταστάσεις όπου να ην είναι απαραίτητες οι δύο τελευταίες σχέσεις. Ορίζουε το λ-συπλήρωα λ-copleent Ā λ του Α: Ā λ ι- Α ι /+λ Α ι, λε]-, Όταν το Α είναι κανονικό υποσύνολο του Χ, το ζεύγος Α,Ā αποτελεί ια διαέριση του Χ, εκτός αν το ΑØ ή ΑΧ. Όταν το Α είναι ασαφές, τότε το σύνολο Α, Ā λέγεται ασαφής διαέριση fzzy partton, γενικότερα για ασαφή σύνολα για τα οποία ισχύει εχ, Aι τα Α σύνολα αποτελούν ια ασαφή διαέριση του Χ. οή των συνόλων των ασαφών υποσυνόλων του Χ Έστω ΡΧ το δυναοσύνολο του Χ. Έστω Ρ*Χ το σύνολο των ασαφών υποσυνόλων του Χ. Η δοή του πορεί να εξαχθεί από την δοή του πραγατικού διαστήατος [0,]. Για το Ρ*Χ έχουε τις εξής ιδιότητες: a ΑUB ΒUΑ και Α BΑ Β b AUBUCAUBUC και Α B CΑ Β C c ΑUAA και Α ΑΑ d AUB CAUB ΑUC και A BUCA BUΑ C e Α ØØ και ΑUΧΧ f ΑUØΑ και Α ΧΑ g AUΑ ΒΑ και A ΑUΒΑ

4 h A B A Bκαι Α Β Α Β Α Α j A B A B A B A B k A B A B A B A B Οι όνοι νόοι των συνηθισένων ασαφών συνόλων που πλέον δεν ισχύουν είναι: Α Ā Ø, ΑUĀ Χ Το ίδιο ισχύει και για το λ-συπλήρωα. Από την στιγή που τα Α και Ā δεν έχουν σαφή σύνορα, πιθανών και να αλληλοκαλύπτονται. Αλλά η αλληλοκάλυψη περιορίζεται διότι Α,, nα ι,ā ι ½. Για τον ίδιο λόγο και το ΑUĀ δεν καλύπτει πλήρως το Χ, αλλά aα ι,ā ι ½. Εναλλακτικές σχέσεις του Ρ*Χ Υπάρχουν και άλλες σχέσεις που πορούν να οριστούν για την τοή και την ένωση: Τοή, εχ, Α*Β ι Α ι *Β ι Ένωση, εχ, Α+Β ι Α ι + Β ι - Α ι *Β ι, στοχαστικό άθροισα α-τοές a-cts Όταν θέλουε να δείξουε ότι ένα στοιχείο του Χ ανήκει σε ένα ασαφές σύνολο Α, ίσως απαιτήσουε η συνάρτηση Α ι να πάρει τιή εγαλύτερη από ένα όριο. Το σύνολο αυτό είναι το Α α, όπου Α α ε, Α ι a. H συνάρτηση Α ι ενός ασαφούς συνόλου Α πορεί να εκφραστεί ε όρους της χαρακτηριστικής συνάρτησης της α-τοής: A sp n a, A a ]0,] Μπορεί εύκολα να ελεγχθεί ότι ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: ΑUΒ α Α α UΒ α, Α Β α Α α Β α

5 Ασαφής κατάτηση συνόλων και εφαρογές της στην Αναγνώριση Προτύπων Μια ασαφής διαέριση είναι ια οικογένεια ασαφών συνόλων,, του Χ τέτοιο ώστε, Σύφωνα ε τον Rspn, το πρόβληα της ασαφούς κατάτησης πορεί να ειπωθεί ως εξής. οθέντος ενός πεπερασένου συνόλου Χ και ίας θετικής, πραγατικών τιών, συνάρτηση δ, η οποία ορίζεται στο Χ, τέτοια ώστε:. εχ, δ,0,.,yεχ, δ,yδy,, να βρεθεί ασαφές διαέριση,,, όπου το είναι γνωστό εκ τον προτέρων, τέτοιο ώστε αντικείενα που βρίσκονται πολύ κοντά ε βάση την συνάρτηση δ να ανήκουν στην ίδια κλάση. Ασαφής ISODATA Σε ερικές περιπτώσεις δεν ας ενδιαφέρει όνο να βρούε την διαέριση ενός συνόλου στοιχείων αλλά και τα πιο αντιπροσωπευτικά από αυτά. Αυτό επιτυγχάνεται από τον αλγόριθο ISODATA. Αυτός ο αλγόριθος έχει βελτιωθεί ώστε να επιτρέπει την δηιουργία ασαφών συνόλων. Έστω f,,f, το convf υποδηλώνει το κυρτό κέλυφος conve hll του f. Τα υποσύνολα f λέγονται συπαγή καλά διαχωριζόενα CWS αν-ν για όλα τα,j,k για τα οποία j k, κάθε ζεύγος,y ε το στο f και το y στο convf είναι κοντύτερα αν ετρηθούν ε την ετρική -y. Το Χ πορεί να χωριστεί σε οάδες αν-ν β,n n df, convf /a daf, όπου daaspd,y n ορίζεται για, n ορίζεται για j ε j και a ορίζεται στο. Τότε βaβ, είναι η συνάρτηση που χωρίζει το Χ σε CWS οάδες. Η εύρεση ιας για β β, είναι πολύ δύσκολο. Θεωρούε J, d, Όπου είναι τα κέντρα των οάδων, και το J έχει την εξής έννοια: είναι το έσο ελάχιστο τετραγωνικό σφάλα για τα και. Τότε το πρόβληα γίνεται: βρείτε * και * για δοσένο τέτοιο J *, * n nf J,. Το τοπικό ελάχιστο του J βρίσκεται ως εξής: Επιλέγω ένα. Υπολογίζω τα κέντρα ι. Φτιάχνω ια νέα διαέριση * ως εξής: ε *, αν-ν d, n d, j Αν * τέλος, αλλιώς θέτω * και συνεχίζω.

6 Για να αποφύγουε τις όποιες δυσκολίες επιτρέπουε την είσοδο της ασαφούς λογικής στην όλη διαδικασία. Τότε ορίζουε w W d J [0,], ] [, ε και Τότε το πορεί να είναι τοπικό ελάχιστο αν-ν w j j w ] [ / ] [