Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance)"

Transcript

1 Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς ε έναν παράγοντα Oe wy yss of Vrce Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουε ένα ειδικό πρόβληα γραικής παλινδρόησης το ο- ποίο εφανίζεται αρκετά συχνά στις εφαρογές. Συγκεκριένα θέλουε να διερευνήσουε πώς ε- πηρεάζεται ία sced εταβλητή Υ από ία κατηγορική εταβλητή X ord ή o η οποία λαβάνει τιές. Η εταβλητή Χ καλείται και παράγοντας fcor ε στάθες. Για το σκοπό αυτό λαβάνουε τυχαία δείγατα της εταβλητής : Θεωρούε το οντέλο... όταν ο παράγοντας X βρίσκεται στην η στάθη... όταν ο παράγοντας X βρίσκεται στην η στάθη... όταν ο παράγοντας X βρίσκεται στην -οστή στάθη ε... ε X στην η στάθη... X στην η στάθη ε... X στην -οστή στάθη όπου τα «σφάλατα» ε είναι ανεξάρτητες τ.. που ακολουθούν N0σ. Ουσιαστικά θεωρούε ότι η εταβλητή Υ ~ Ν σ όταν ο παράγοντας X βρίσκεται στην -στάθη. Μας ενδιαφέρει να εκτιήσουε τα και το σ και να ελέγξουε αν είναι ίσα ή υπάρχει διαφορά εταξύ τους. Με άλλα λόγια θέλουε να ελέγξουε αν η εταβλητή Υ έχει διαφορετική «συπεριφορά» στις διαφορετικές στάθες της X. Το συγκεκριένο πρόβληα πορεί να θεωρηθεί και ως ία επέκταση του -τεστ που χρησιοποιείται για τον έλεγχο της ισότητας των έσων δύο ανεξάρτητων κανονικών πληθυσών. Όπως έχει ήδη αναφερθεί το παραπάνω οντέλο πορεί να θεωρηθεί και ως ια ειδική περίπτωση ενός πολλαπλού γραικού οντέλου. Πράγατι όλες οι παραπάνω σχέσεις γράφονται σε ία σχέση ως εξής: X ε όπου 0 0 ε X O O 0 0 O 0 0 ε ε ε ε. ε ε όπου ε ~ Ν0σ Ι και εποένως έχουε ένα πολλαπλό γραικό οντέλο ε ειδικής ορφής πίνακα σχεδιασού Χ. Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 8

2 Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς Εκτίηση των παραέτρων και σ Για την εκτίηση των παραέτρων του οντέλου πορούε να χρησιοποιήσουε τους γενικούς τύπους που ισχύουν για το γενικό πολλαπλό γραικό οντέλο βλ. Ενότητα 6 ή να εργαστούε εξαρχής αναζητώντας τις ε..π. ή ισοδύναα τις εκτιήτριες ελαχίστων τετραγώνων. Σε κάθε περίπτωση είναι εύκολο να διαπιστώσουε ότι οι εκτιήτριες των παραέτρων έχουν την α- κόλουθη απλή ορφή... ι. Όλες οι ποσότητες που χρησιοποιήθηκαν στο πολλαπλό γραικό οντέλο πορούν να χρησιοποιηθούν και εδώ. Για παράδειγα οι προσαροσένες τιές των Υ και τα κατάλοιπα θα είναι X ε και συγκεκριένα ε. Ως εκτιήτρια της διασποράς σ των σφαλάτων πορούε να θεωρήσουε όπως και στο πολλαπλό γραικό οντέλο την σ. 7.. Έλεγχοι υποθέσεων και δ.ε. για τις παραέτρους του οντέλου. Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι ~ N σ και εποένως ~ από όπου προκύπτει ότι το είναι ένα δ.ε. για το συντελεστού. Το συγκεκριένο δ.ε. χρησιοποιεί ως εκτίηση του σ την η οποία βασίζεται στις παρατηρήσεις από όλες τις στάθες του παράγοντα pooed ese. Η εκτιήτρια αυτή είναι η καλύτερη που πορούε να πάρουε αρκεί η διασπορά των σφαλάτων να είναι σταθερή και ίση ε σ σε όλες τις στάθες του παράγοντα Χ. Εάν δεν είαστε σίγουροι ότι κάτι τέτοιο συβαίνει πορούε να εκτιήσουε την διασπορά των σφαλάτων ξεχωριστά σε κάθε στάθη er ese και να πάρουε το δ.ε για το συντελεστού. Σε αυτό το οντέλο ας ενδιαφέρει ο έλεγχος Η 0 : για. Επειδή ~ N σ προκύπτει το δ.ε. συντελεστού για το

3 ενώ θα απορρίπτεται η Η 0 : έναντι της Η : όταν T > όπου T ~ H0 ε αντίστοιχο p-vue για δείγα που έδωσε T p vue T > F. 7.. Ερηνεύοντας τη συνολική εταβλητότητα του οντέλου Το οντέλο που εξετάζουε αποτελεί υποπερίπτωση του πολλαπλού γραικού οντέλου και εποένως πορούε απευθείας και εδώ να πούε ότι η διασπορά των παρατηρήσεων χωρίζεται σε δύο αθροίσατα θα πορούσε εύκολα να αποδειχθεί και ανεξάρτητα τα οποία συβολίζονται και πάλι ε T E και R ή Tr αντίστοιχα το συβολίζεται και ε. Αν θεωρήσουε ότι οι παρατηρήσεις χωρίζονται σε οάδες ία για κάθε στάθη του παράγοντα τότε το E πορεί να θεωρηθεί ως η εταβλητότητα «εντός των οάδων» u of qures W Groups ενώ το R η εταβλητότητα «εταξύ των οάδων» u of qures Bewee Groups. Αποδεικνύεται εδώ εύκολα ότι E χ σ ~ σ σ ενώ όταν τότε αποδεικνύεται ότι Tr T ~ χ ~ χ. σ σ διαφορετικά ακολουθούν κάποιες η-κεντρικές κατανοές χι-τετράγωνο. Εποένως αν το πηλίκο Tr Tr F σ ~ F E E σ Tr και E είναι ανεξάρτητες. Αντίστοιχα ε το πολλαπλό γραικό οντέλο πορούε να κατασκευάσουε έναν έλεγχο για την υπόθεση Η 0 : δηλ. ότι η Υ συπεριφέρεται το ίδιο σε όλες της στάθες του παράγοντα άρα είναι ανεξάρτητη του παράγοντα. Θα απορρίπτεται η Η 0 όταν ε.σ. α Tr F > F : άνω -σηείο της κατανοής F ε και β.ε. E Στο πολλαπλό γραικό οντέλο ο ίδιος έλεγχος χρησιοποιείται για την υπόθεση b b b p- 0 ενώ εδώ για την κ όχι 0. Η διαφορά έδω είναι το έχουε ένα οντέλο χωρίς σταθερά ο πίνακας σχεδιασού X δεν έχει στην πρώτη στήλη ονάδες διότι Υ ε. Εάν όως θέσουε Σ 0 τότε το παραπάνω γράφεται ισοδύναα ως οντέλο ε σταθερά ως εξής Υ ε. στο οποίο το F-τεστ ελέγχει αν κ 0 δηλαδή. Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 87

4 ε αντίστοιχο p-vue: Tr p vue FF E Όλες οι παραπάνω ποσότητες συνοψίζονται στον πίνακα ανάλυσης διασποράς NOV: ode u of qures df e qure F-Ro g. p-vue Bewee Tr Tr Tr Tr Groups Tr FF E E W E E Groups E To Τ 7.. Πολλαπλές συγκρίσεις Μία από τις κύριες επιδιώξεις ας στο οντέλο αυτό είναι να ελέγξουε αν η Υ παρουσιάζει διαφορετική συπεριφορά στις διάφορες στάθες του παράγοντα Χ. Μπορούε ε βάση το F-τεστ που είδαε παραπάνω να εξετάσουε την Η 0 :. Εάν απορριφθεί η συγκεκριένη υπόθεση ας ενδιαφέρει να εξετάσουε ποια διαφέρουν από τα υπόλοιπα. Για το σκοπό αυτό πορούε να κάνουε όλες τις ανά δύο συγκρίσεις των έσων πολλαπλές συγκρίσεις. Εάν έχουε στάθες τότε θα πρέπει να ελέγξουε υποθέσεις ισότητας έσων ανά δύο. Π.χ. αν πορούε να κάνουε όλους τους ελέγχους Η 0 : Η 0 : Η 0 : ε εναλλακτικές τις αφίπλευρες. Μπορούε να ελέγξουε κάθε ία από τις παραπάνω υ- ποθέσεις ξεχωριστά ε -ess σε ε.σ. ε τον τρόπο που είδαε στην Παράγραφο 7.. και στη συνέχεια να δούε ποιοι έσοι διαφέρουν και να τους κατατάξουε οαδοποιήσουε. Π.χ. αν απορρίψουε τις υποθέσεις Η 0 : και Η 0 : ενώ δεν απορρίψουε ότι Η 0 : τότε πορούε να πούε ότι ο έσος διαφέρει από τους άλλους δύο οι οποίοι πορεί να είναι ίσοι «πιθανές» οάδες από ίσους έσους: { {. Εάν σε άλλη περίπτωση απορρίψουε όνο την Η 0 : ενώ τότε ο διαφέρει από τον ενώ ο πορεί να είναι ίσος είτε ε τον είτε ε τον «πιθανές» οάδες από ίσους έσους: { {. Η παραπάνω διαδικασία κατά την οποία συγκρίνουε όλους τους έσους ανά δυο έλεγχος τo πλήθος υποθέσεων έσω -es κάθε φορά σε στάθη καλείται έθοδος D es gfc Dfferece. Η έθοδος αυτή έχει ένα ειονέκτηα: η πιθανότητα λανθασένης απόρριψης κάποιας από τις αυτές υποθέσεις δεν είναι αλλά αρκετά εγαλύτερη. Πράγατι αν είναι το ενδεχόενο να απορρίψουε την -υπόθεση τότε η πιθανότητα λανθασένης απόρριψης κάποιας από τις υποθέσεις ενώ θα είναι C C U UU I II Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 88 C C C C θα ίσχυε ισότητα αν οι απορρίψεις είναι ανεξάρτητες που εδώ δεν είναι δηλαδή αρκετά εγαλύτερη του ειδικά για εγάλο. Μας ενδιαφέρει να γίνει η πολλαπλή σύγκριση έτσι ώστε ε πιθανότητα το πολύ να κάνουε τουλάχιστον ια λανθασένη απόρριψη στους ελέγχους δηλ. συνολική σφάλα τύπου Ι. Για το σκοπό αυτό έχουν προταθεί διάφορες έθοδοι. Στη συνέχεια θα εξετάσουε όνο δύο από αυτές: τη έθοδο Boferro και την έθοδο Tuey. Η έθοδος Boferro. Ένας απλός αλλά όχι τόσο αποτελεσατικός τρόπος για να παραείνει η σφάλα τύπου Ι στην πολλαπλή σύγκριση είναι να κάνουε κάθε έναν από τους ελέγχους

5 Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 89 Η 0 : όχι σε ε.σ. α όπως στην έθοδο D αλλά σε ε.σ. ώστε η πιθανότητα λανθασένης απόρριψης τουλάχιστον ιας υπόθεσης να είναι UU U. Η παραπάνω έθοδος συνήθως προτιάται όταν το είναι ικρό. Ισοδύναα πορούε να διατηρήσουε το ίδιο ε.σ. σε κάθε έναν από τους ελέγχους αλλά να πολλαπλασιάσουε τα αρχικά p- vue που προκύπτουν από την έθοδο D ε. Έτσι αν ένας έλεγχος δίνει p-vue p 0 ε την έθοδο D θεωρούε ότι ε την έθοδο Boferro θα έχει p-vue p 0 ή καλύτερα { p 0. b. Η έθοδος Tuey. Η έθοδος αυτή βασίζεται στην κατανοή του τυποποιηένου εύρους από ανεξάρτητες κανονικές. Συγκεκριένα έστω Ζ Ζ... Ζ r ανεξάρτητες τ.. από την Ν0d και έ- στω D ία εκτιήτρια του d τ.. ανεξάρτητη των Ζ τέτοια ώστε ~ v d vd χ για κάποια παρά- ετρο v. Η κατανοή F Rrv του τυποποιηένου εύρους D R r r v r... {... x{. έχει ελετηθεί και έστω qrv τα άνω -σηεία της. Η έθοδος Tuey για ισοεγέθη δείγατα. Αν ισοεγέθη δείγατα στις στάθες του παράγοντα τότε οι τ..... είναι ανεξάρτητες τ.. και ακολουθούν Ν0 d σ. Επίσης αν επιλέξουε D τότε ~ d D χ και D ανεξ. των και εποένως σύφωνα και ε τα παραπάνω το τυποποιηένο εύρος D R { { x... {... x{ θα έχει γνωστή κατανοή την F R- και άνω -σηεία τα q. Εποένως q { { x. Είναι εύκολο τώρα να επαληθεύσουε ότι το ενδεχόενο στην παραπάνω πιθανότητα είναι ίσο ε το ενδεχόενο q για κάθε και άρα τελικά q κάθε για ή ισοδύναα q q κάθε για από όπου προκύπτει ένα πολλαπλό δ.ε. ή ένα σύνολο από ταυτόχρονα δ.ε. για τις διαφορές ε συνολικό σ.ε.. Επίσης αν απορρίψουε την υπόθεση όταν

6 T > q όπου T για η πιθανότητα να κάνουε τουλάχιστον ια λάθος απόρριψη στους ελέγχους ίση ε. Το p-vue του ελέγχου θα είναι για δείγα που έδωσε T p vue T > FR. Η έθοδος Tuey για ανισοεγέθη δείγατα. Η έθοδος Tuey πορεί να τροποποιηθεί ώστε να εφαρόζεται και στην περίπτωση που έχουε ανισοεγέθη δείγατα στις διάφορες στάθες του παράγοντα. Παρατηρούε ότι τώρα η τ.. δεν έχει διασπορά αλλά. Εφαρόζουε λοιπόν ακριβώς τα ίδια ε παραπάνω όνο που στη θέση του στα δ.ε. για το και στον αντίστοιχο έλεγχο χρησιοποιούε το. ηλαδή αντί του χρησιοποιούε τον αρονικό έσο των. Το πολλαπλό δ.ε. που προκύπτει θα έχει προσεγγιστικά συντελεστή επιστοσύνης. 7.. Έλεγχος οοσκεδαστικότητας των παρατηρήσεων Για να είναι αξιόπιστα όλα τα παραπάνω θα πρέπει τα σφάλατα ή ισοδύναα τα να έχουν την ίδια διασπορά σ. Εποένως θα πρέπει στα πλαίσια ελέγχου ορθότητας του οντέλου να εξετάσουε αν κάτι τέτοιο πράγατι ισχύει. Μπορούε και πάλι να χρησιοποιήσουε το evee s τεστ οοσκεδαστικότητας που έχουε χρησιοποιήσει για τον ίδιο σκοπό σε προηγούενη ενότητα κατά τον έλεγχο των έσων δύο ανεξάρτητων πληθυσών. Το τεστ αυτό βασίζεται στην ανάλυση διασποράς και εποένως τώρα είαστε σε θέση να το περιγράψουε. Βασίζεται στις τυχαίες εταβλητές W Αν τα Υ έχουν την ίδια διασπορά σε όλες τις στάθες τότε τα W θα έχουν την ίδια έση τιή σε όλες τις στάθες του παράγοντα Χ. Εποένως αρκεί να ελέγξουε αν οι τ.. W έχουν την ίδια έση τιή σε όλες τις στάθες του παράγοντα Χ. Αυτό πορεί εύκολα να γίνει ε την εθοδολογία που αναπτύχθηκε στην συγκεκριένη ενότητα ανάλυση διασποράς. Το evee τεστ ουσιαστικά είναι το F-ro τεστ του πίνακα NOV που αντιστοιχεί στο οντέλο ανάλυσης διασποράς της W ως προς τον παράγοντα X δηλ. βασίζεται στην στατιστική συνάρτηση Tr W W W F. EW W W Αν ε βάση αυτό το F-ro τεστ απορρίπτεται ότι ο θεωρητικός έσος της W είναι σταθερός σε όλες τις στάθες της Χ τότε απορρίπτεται ότι και η θεωρητική διασπορά της είναι σταθερή σε όλες τις στάθες της Χ. Ο έλεγχος αυτός είναι περισσότερο ευσταθής από άλλα παρόοια τεστ Bre Cocr Hrey στην περίπτωση η-κανονικότητας των παρατηρήσεων. Άσκηση. Σε ια έρευνα που έγινε στο πανεπιστήιο Μελβούρνης επελέγη τυχαία ένα δείγα α- ντρών και γυναικών διαφόρων ηλικιών το οποίο και υποβλήθηκε σε ένα τεστ αντοχής στον σωατικό πόνο. Στον ακόλουθο πίνακα δίνεται για κάθε ένα άτοο του δείγατος ο δείκτης αντοχής στον πόνο ο οποίος εξήχθη ε βάση το τεστ αυτό εγαλύτερος δείκτης σηαίνει εγαλύτερη αντοχή. Σε κάθε άτοο του δείγατος καταγράφεται επίσης και το φυσικό χρώα των αλλιών: ανοιχτό ξανθό σκούρο ξανθό ανοιχτό ελαχρινό σκούρο ελαχρινό. Έχει ενδιαφέρον να εξετάσουε αν υπάρχουν διαφορές στην έσο δείκτη αντοχής στον πόνο εταξύ των ατόων ε διαφορετικό χρώα αλλιού. Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 90

7 Χρώα αλλιών είκτης αντοχής Χρώα αλλιών είκτης αντοχής Χρώα αλλιών είκτης αντοχής Χρώα αλλιών είκτης αντοχής ccve J. T. d Derc II F. H. 99. scs. Dee ubsg Frcsco Exercse 0.0. Για να ληφθεί ία πρώτη εικόνα κατασκευάστε ένα scerpo και ένα Boxpo του δείκτη αντοχής για κάθε στάθη του παράγοντα «χρώα αλλιών». Ο δείκτης φαίνεται να επηρεάζεται από το χρώα των αλλιών; Αν Υ είναι δείκτης αντοχής στον πόνο του -ατόου ε -χρώα αλλιών εφαρόστε το οντέλο ε ε ε ε παράγοντας «χρώα» στην η στάθη παράγοντας «χρώα» στην η στάθη παράγοντας «χρώα» στην η στάθη παράγοντας «χρώα» στην η στάθη ή συνοπτικά ε όπου είναι ο έσος δείκτης αντοχής ατόου ε χρώα αλλιού και τα «σφάλατα» ε είναι ανεξάρτητες τ.. που ακολουθούν N0σ. Εκτι- ήστε τα σηειακά και ε δ.ε. συντελεστού 9% το καθένα. Εκτιήστε την διασπορά των σφαλάτων. Ελέγξτε την υπόθεση Η 0 : σε ε.σ. %. Ο παράγοντας «χρώα αλλιών» επιδρά στο δείκτη αντοχής στον πόνο; Να κατασκευάσετε τα γραφήατα των δ.ε. 9% των. Βρείτε 9% δ.ε. για τη διαφορά και 9% δ.ε. για τη διαφορά. Το διαφέρει από το ; ε.σ. %. Το διαφέρει από το ; ε.σ. %. Να δοθούν ταυτόχρονα δ.ε. ε συνολικό σ.ε. 9% για τις διαφορές των ανά δύο ε τις εθόδους Boferro και b Tuey. Να γίνει οαδοποίηση των έσων ε τη έθοδο Tuey ώστε η συνολική πιθανότητα σφάλατος να είναι %. 6 Να ελέγξετε αν ο δείκτης αντοχής στον πόνο έχει πράγατι την ίδια διασπορά σ σε όλες τις στάθες του παράγοντα «χρώα αλλιών». 7 Θα πορούσαε σε αυτά τα δεδοένα να εφαρόσουε ένα απλό γραικό οντέλο; Λύση. Εισάγουε τις 9 περιπτώσεις στο σε δύο εταβλητές στήλες: HCOOR CORE Για το scerpo επιλέγουε : Grpscerpospe xs: CORE X xs: HCOOR. Για Boxpo: GrpsBoxpope: Vrbe: CORE Cegory xs: HCOOR CORE N CORE 0 HCOOR HCOOR Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9

8 Και από τα δύο γραφήατα φαίνεται να υπάρχει ία είωση του έσου δείκτη όσο πηγαίνουε από ξανθά σε ελαχρινά άτοα. εν πορούε όως άεσα να πούε ότι αυτή η είωση είναι στατιστικά σηαντική πορεί π.χ. να οφείλεται στο ότι το τυχαίο δείγα είναι ικρό. Επιλέγουε yzecopre esoe-wy NOV Depede s: CORE Fcor: HCOOR Opos: Cec Descrpve λαβάνεται ο πίνακας ε τα Descrpves: Descrpves CORE To 9% Cofdece Ierv for e N e d. Devo d. Error ower Boud Upper Boud u xu Ο οποίος περιέχει τις εκτιήσεις των καθώς και τα αντίστοιχα δ.ε. το καθένα συντελεστού 9% ε βάση τα er eses του σ. Ειδικότερα περιέχει τις ποσότητες N e d. Dev. d. Error owerupper Boud ± Ενώ η τελευταία γραή περιέχει τις ποσότητες To T T T ± όπου 0.0 Επίσης από την ανάλυση αυτή δίνεται και ο πίνακας NOV που περιγράψαε παραπάνω. NOV CORE Bewee Groups W Groups To u of qures df e qure F g Η διασπορά των σφαλάτων ως γνωστό εκτιάται από το E που δίνεται στον πίνακα NOV και είναι Αυτό είναι και το pooed ese της διασποράς σ. Ο έλεγχος της υπόθεσης Η 0 : έναντι της Η : διαφορετικά γίνεται χρησιοποιώντας το F - es του πίνακα NOV. Εάν ίσχυε η Η 0 η τιή F 6.79 θα έπρεπε να προέρχεται από την κατανοή F edecor ε και β.ε.. Το αντίστοιχο p-vue είναι όλις 0.00 χοντρικά όλις στο 0.00 των περιπτώσεων λαβάνουε ένα τόσο «ακραίο» δείγα υπό την Η 0 και εποένως απορρίπτουε την Η 0 ε.σ. %. Οι έσες τιές του δείκτη αντοχής στον πόνο δεν είναι ίσες σε όλες τις στάθες του παράγοντα «χρώα αλλιών» Επιλέγουε Grpserror brsspe vrbe: CORE Cegory xs: HCOOR c.. for e eve: 9% από όπου λαβάνουε το γράφηα ε τα δ.ε. για τα το καθένα συντελεστού 9% ε βάση τα dvdu vrce eses. Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9

9 % CI CORE N HCOOR Από το γράφηα φαίνεται και πάλι ια τάση είωσης του έσου δείκτη αντοχής όσο πάε προς ελαχρινότερα άτοα. Θα πορούσε όως π.χ. ο έσος δείκτης να είναι ίσος εταξύ των ξανθών στάθη και ίσος εταξύ των ελαχρινών ατόων στάθη ενώ να υπάρχει διαφορά εταξύ των ξανθών και ελαχρινών. Για να πορέσουε να κάνουε ια τέτοια «οαδοποίηση» των έσων θα πρέπει να προχωρήσουε σε κάποια έθοδο πολλαπλών συγκρίσεων. Επιλέγουε yzecopre esoe-wy NOV Depede s: CORE Fcor: HCOOR : os Hoc: D απ όπου λαβάνουε τις συγκρίσεις όλων των έσων ανά δύο κάθε δ.ε. για τη διαφορά των έσων είναι συντελεστού 9%: Depede Vrbe: CORE D upe Coprsos I HCOOR J HCOOR *. Te e dfferece s sgfc e.0 eve. e Dfferece 9% Cofdece Ierv I-J d. Error g. ower Boud Upper Boud * * * * * * Ο παραπάνω πίνακας περιέχει σε κάθε γραή τις ποσότητες e Dfferece s.e. g. B UB F ± s. e. s. e. Ένα 9% δ.ε. για τη διαφορά είναι το ενώ ένα 9% δ.ε. για τη διαφορά είναι το Το διαφέρει από το σε ε.σ. % διότι το αντίστοιχο p-vue είναι 0.00 ενώ δεν έχουε αρκετά στοιχεία για να πούε ότι το διαφέρει από το p-vue οι έλεγχοι πορούν να γίνουν σε ε.σ. % ε βάση και τα δ.ε. συντ. 9%. Επιλέγουε yzecopre esoe-wy NOV Depede s: CORE Fcor: HCOOR : os Hoc: Boferro Tuey απ όπου λαβάνουε τις συγκρίσεις όλων των έσων ανά δύο ε την έθοδο Boferro ένα σύνολο από ταυτόχρονα δ.ε. για τις διαφορές ε συ- Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9

10 νολικό συντελεστή επιστοσύνης τουλάχιστον και τη έθοδο Tuey ταυτόχρονα δ.ε. ε συνολικό συντελεστή επιστοσύνης περίπου για ανισοεγέθη δείγατα. Depede Vrbe: CORE upe Coprsos Tuey HD Boferro I HCOOR J HCOOR *. Te e dfferece s sgfc e.0 eve. e Dfferece 9% Cofdece Ierv I-J d. Error g. ower Boud Upper Boud * * * * * E-0 80* * E * Ο παραπάνω πίνακας περιέχει σε κάθε γραή που αφορά τη έθοδο Tuey τις ποσότητες e Dfferece s.e. g. B UB FR s. e. q ± s. e. ενώ σε κάθε γραή που αφορά τη έθοδο Boferro περιέχει τις ποσότητες e Dfferece s.e. g. B UB { F s. e. ± s. e. Παρατηρούε ότι σύφωνα ε την έθοδο Tuey υπάρχει στατιστικά σηαντική διαφορά ε.σ. % εταξύ των έσων και και εταξύ των έσων και. Για όλες τις υπόλοιπες συγκρίσεις δεν έχουε αρκετά στοιχεία ώστε να απορρίψουε την ισότητα. Εποένως ο έσος διαφέρει από τους που πορεί να είναι ίσοι ενώ ο πορεί να είναι ίσος είτε ε τον είτε ε τους. Άρα τα άτοα ε ανοιχτό ξανθό χρώα αλλιών στάθη έχουν εγαλύτερη αντοχή στον πόνο από ότι άτοα ε ελαχρινό ανοιχτό ή σκούρο χρώα αλλιών στάθες. Για τις υπόλοιπες συγκρίσεις δεν πορούε να αποφανθούε. Με βάση τα παραπάνω προκύπτουν δύο «πιθανές» οογενείς οάδες έσων: η οάδα { και η οάδα { οι οποίες δίνονται και από το : Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9

11 Hoogeeous ubses CORE ubse for p.0 HCOOR N Tuey HD b g es for groups oogeeous subses re dspyed.. Uses Hroc e pe ze 706. b. Te group szes re uequ. Te roc e of e group szes s used. Type I error eves re o gureed. Το πρώτο p-vue που δίνεται στον πίνακα αφορά την οογένεια της πρώτης οάδας των έσων. Αντιστοιχεί στον έλεγχο της υπόθεσης Η 0 : και επειδή το εκτιάται εταξύ των η υπόθεση αυτή είναι ισοδύναη ε την έσω της εθόδου Tuey θεωρώντας ως πλήθος παρατηρήσεων σε κάθε στάθη ίσο ε τον αρονικό έσο του πλήθους των παρατηρήσεων σε όλες τις κλάσεις δηλ δηλ. p vue F R Το δεύτερο p-vue 0.6 αφορά αντίστοιχα την οογένεια της δεύτερης οάδας των έσων. Αντιστοιχεί στον έλεγχο της υπόθεσης Η 0 : έσω της εθόδου Tuey και πάλι ε βάση τον αρονικό έσο. 6 Για να ελέγξουε αν οι διασπορές των παρατηρήσεων είναι ίδιες σε όλες τις στάθες του παράγοντα χρησιοποιούε το τεστ evee. Επιλέγουε yzecopre esoe-wy NOV Depede s: CORE Fcor: HCOOR Opos: cec Hoogeey of vrce από όπου παίρνουε βλ. παρ. 7.. CORE Tes of Hoogeey of Vrces evee sc df df g εν πορούε να απορρίψουε ότι οι διασπορές των παρατηρήσεων είναι ίσες σε όλες τις στάθες p-vue Για να εφαρόσουε ένα γραικό οντέλο της ορφής CORE b0 b HCOOR ε θα πρέπει η HCOOR να είναι sced. Σε αυτή την περίπτωση η HCOOR είναι απλώς ord πορούε να διατάξουε τις στάθες της. Θα πορούσαε να την θεωρήσουε sced ε τιές αλλά προφανώς οι τιές αυτές είναι εντελώς αυθαίρετες και η σχέση που έχουν εταξύ τους δεν συφωνεί απαραίτητα ε την σχέση που έχουν οι κλάσεις του χρώατος αλλιών ε συνέπεια να οδηγηθούε σε αφίβολα αποτελέσατα. Bouss.V. 00 Σηειώσεις αθήατος «Στατιστικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Ασφ. Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ας απασχολήσουν έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων που αναφέρονται στις έσες τιές και αναλογίες πληθυσών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2 ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΝΤΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 006 ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΥΗΜΕΡΙΑΣ... 3. Τα θεελιώδη θεωρήατα της

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

Ασαφής Λογική & Έλεγχος

Ασαφής Λογική & Έλεγχος Τεχνητή Νοηοσύνη 7 σαφής Λογική & Έλεγχος Φώτης Κόκκορας ΤΕΙ Θεσσαλίας Τήα Μηχανικών Πληροφορικής (Fuzzy Logic Fuzzy Control) Η σαφής Λογική (Fuzzy Logic)......δεν είναι καθόλου...ασαφής ή ανακριβής, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M.

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. Aναονητικά Συστήατα, Γραές Παραγωγής, F.M.S. Γιάννης Α. Φίης Ιανουάριος 3 Πουτεχνείο Κρήτης Π Ε Ρ Ι Ε X Ο Μ Ε Ν Α EIΣΑΓΩΓΗ...3 ΟΥΡΕΣ H ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ...6. Μοντέα Γέννησης Θανάτου...

Διαβάστε περισσότερα

Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή

Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή 3 Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή Τα νετρίνα ανιχνεύονται από τηλεσκόπια Cherenkov έσω της παρατήρησης της ακτινοβολίας Cherenkov (βλέπε Παράγραφο 4.1) που εκπέπεται από τα φορτισένα σωάτια που παράγονται

Διαβάστε περισσότερα

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός.

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός. 1 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙ Μήκος τόξου : Το ήκος ενός τόξου ο δίνεται από τον τύπο = πρ όπου ρ η ακτίνα του κύκλου στον οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθός.. Το ακτίνιο (rad): Ονοάζουε τόξο ενός ακτινίου (rad)

Διαβάστε περισσότερα

Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη

Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη 4 Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη Εισαγωγή Σε αυτό το Κεφάλαιο περιγράφουε τις φυσικές διαδικασίες που συνεισφέρουν στην απώλεια ενέργειας ενός ιονίου καθώς αυτό διαδίδεται σε ένα έσο, όπως το νερό ή ο πάγος.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Περίληψη της Ύλης της Επιχειρησιακής Έρευνας

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Περίληψη της Ύλης της Επιχειρησιακής Έρευνας ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Περίηψη της Ύης της Επιχειρησιακής Έρευνας Ακαδηαϊκό Έτος 003-004 Πρόογος Το φυάδιο

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του χρόνου ζωής του µιονίου

Μέτρηση του χρόνου ζωής του µιονίου ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ II Χ. Πετρίδου,. Σαψωνίδης Μέτρηση του χρόνου ζωής του ιονίου Σκοπός Το ιόνιο είναι το δεύτερο ελαφρύτερο λεπτόνιο στο standard Model ε ια άζα περίπου 106 MeV. Έχει spin ½

Διαβάστε περισσότερα

Τα νετρίνα ως πηγή πληροφοριών

Τα νετρίνα ως πηγή πληροφοριών Τα νετρίνα ως πηγή πληροφοριών Εισαγωγή Το Σύπαν έχει εξερευνηθεί έσω του ηλεκτροαγνητικού φάσατος, από ραδιοκύατα ως και ακτίνες γάα υψηλής ενέργειας. Η δυνατότητα εξερεύνησης του ε την χρήση ενός νέου

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Παραγοντοποίησης Ακεραίων Αριθών Number Field Sieve: Θεωρία και Υλοποίηση. Νικόλαος Καραπάνος

Η Μέθοδος Παραγοντοποίησης Ακεραίων Αριθών Number Field Sieve: Θεωρία και Υλοποίηση. Νικόλαος Καραπάνος Η Μέθοδος Παραγοντοποίησης Ακεραίων Αριθών Number Field Sieve: Θεωρία και Υλοποίηση Νικόλαος Καραπάνος Master Thesis Επιβλέπων: Παύλος Σπυράκης, Καθηγητής Τήα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήιο Πατρών

Διαβάστε περισσότερα

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΟΥ ΚΑΙ ΟΜΙΛΙΑΣ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤ. ΕΚΠ/ΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2005

ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΟΥ ΚΑΙ ΟΜΙΛΙΑΣ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤ. ΕΚΠ/ΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2005 ΑΪΒΑΛΗ ΕΛΕΝΗ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΡΕΥΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤ. ΕΚΠ/ΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ! ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΟΥ ΚΑΙ ΟΜΙΛΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2005 ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

EIOPACP 13/08 EL. Κατευθυντήριες γραές σχετικά ε το σύστηα διακυβέρνησης

EIOPACP 13/08 EL. Κατευθυντήριες γραές σχετικά ε το σύστηα διακυβέρνησης EIOPACP 13/08 EL Κατευθυντήριες γραές σχετικά ε το σύστηα διακυβέρνησης EIOPA Westhafen Tower, Westhafenplatz 1 60327 Frankfurt Germany Tel. + 49 6995111920; Fax. + 49 6995111919; site: www.eiopa.europa.eu

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ ΣΤΕΛΙΟΣ ΖΗΜΕΡΑΣ Σάος 3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ...3. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΑΝΑΛΥΤΗΣ...3.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΟΜΟ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ. ΜΟΝΤΕΛΟ BOHR.

ΑΤΟΜΟ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ. ΜΟΝΤΕΛΟ BOHR. Μάθηα 3 ο, Οκτωβρίο 008 (9:00-:00). ΑΤΟΜΟ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ. ΜΟΝΤΕΛΟ BOHR. Φάσα το δρογόνο (93) Γραικό φάσα Boh: εξήγησε την ακτινοβολία το ατόο Η. Ruthfod: πρήνας σγκεντρωένος σε ικρή περιοχή (D~0-5 ) Απόσπαση

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις Μάθηα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 7 ου εξαήνου ΣΕΜΦΕ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΙΚΤΥΩΝ Ασκήσεις Αποστέλλονται πακέτα σταθεού ήκους ytes από τον κόβο # στον κόβο #4 έσω των κόβων # και #3 σε σειά, όπως

Διαβάστε περισσότερα

= = = = N N. Σηµείωση:

= = = = N N. Σηµείωση: Ανάλογα ε τα φορτία που αναπτύσσονται σε ια διατοή ακολουθείται διαφορετική διαδικασία διαστασιολόγησης. 1 Φορτία ιατοής Καθαρή Κάψη Ροπή M σε ια διεύθυνση Προέχουσα Κάψη+Θλίψη Ροπή M σε ια διεύθυνση ε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού.

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού. ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Μαγνητικό πεδίο είναι ο χώρος που έχει την ιδιότητα να ασκεί αγνητικές δυνάεις σε κατάλληλο υπόθεα (αγνήτες, ρευατοφόροι αγωγοί ) Το αγνητικό πεδίο το ανιχνεύουε ε την βοήθεια ιας αγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

Η ενεργός διατομή της αλληλεπίδρασης μιονίου με την ύλη

Η ενεργός διατομή της αλληλεπίδρασης μιονίου με την ύλη Β Η ενεργός διατοή της αλληλεπίδρασης ιονίου ε την ύλη Εισαγωγή Στο παρόν Παράρτηα παρουσιάζουε τον συναρτησιακό τύπο των ενεργών διατοών των κυρίαρχων αλληλεπιδράσεων των ιονίων ε τα άτοα του έσου στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΔΗΛΑΤΟ ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗΣ WELLY M

ΠΟΔΗΛΑΤΟ ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗΣ WELLY M ΠΟΔΗΛΑΤΟ ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗΣ WELLY M,,,. Αυτοκόλλητες ετικέτες (πάνω στο προϊόν) 1) Στην ετικέτα της ταυτότητας του προϊόντος αναφέρονται τα στοιχεία του αντιπροσώπου, τα βασικά τεχνικά χαρακτηριστικά και ο σειριακός

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΚΟΡΜΟΥ Ι ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΚΟΡΜΟΥ Ι ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΚΟΡΜΟΥ Ι ΦΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ ΑΣΚΗΣΗ 1. ΜΙΚΡΟΥ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΑΣΚΗΣΗ 2. ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΥΓΡΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 3. ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟΣ ΑΝΕΜΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 4. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΘΕΡΜΟΫΓΡΟΜΕΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΙΑΓΝΙΣΜΟΥ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΙΑΓΝΙΣΜΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΘΕΡΜΑΪΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΝ ΓΡΑΦΕΙΟ ΠΡΟΜΗΘΕΙΝ Περαία,: 01/04/14 Αρ. πρωτ.: 8733 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΙΑΓΝΙΣΜΟΥ Ο ήαρχος Θεραϊκού, Ιωάννης Αλεξανδρής, προκηρύσσει

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

EIOPA(BoS(13/164 EL. Κατευθυντήριες γραές για την εξέταση αιτιάσεων από ασφαλιστικούς διαεσολαβητές

EIOPA(BoS(13/164 EL. Κατευθυντήριες γραές για την εξέταση αιτιάσεων από ασφαλιστικούς διαεσολαβητές EIOPA(BoS(13/164 EL Κατευθυντήριες γραές για την εξέταση αιτιάσεων από ασφαλιστικούς διαεσολαβητές EIOPA WesthafenTower Westhafenplatz 1 60327 Frankfurt Germany Phone: +49 69 951119(20 Fax: +49 69 951119(19

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σημειώσεις στα επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Πρόχειρες σημειώσεις στα επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα Πρόχειρες σηειώσεις στ είεδ ηλεκτρογνητικά κύτ ΠΡΙΧΟΜΝΑ Διάδοση είεδων ΗΜΚ σε η γώγι έσ Ανάκλση κι διάδοση γι ρόστωση κάετη στην ειφάνει Ο νόος του Sell στην λάγι ρόστωση Πόλωση κάετη στο είεδο ρόστωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΥ ΣΕΠ ΣΤΗΝΓ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Ανακαλύπτω τον εαυτό ου (ενότητα

ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΥ ΣΕΠ ΣΤΗΝΓ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Ανακαλύπτω τον εαυτό ου (ενότητα ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΥ ΣΕΠ ΣΤΗΝΓ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ανακαλύπτω τον εαυτό ου (ενότητα 3) Στόχοι ΣΕΠ Πληροφόρηση Αυτογνωσία Λήψη απόφασης Μετάβαση Σκοπός ενότητας Ναγνωρίσειοαθητήςτονεαυτότου Να εντοπίσει τα ενδιαφέροντα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΟΣ ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗΣ TURNING SLIM

ΠΑΓΚΟΣ ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗΣ TURNING SLIM ΠΑΓΚΟΣ ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗΣ TURNING SLIM,,,. Αυτοκόλλητες ετικέτες (πάνω στο προϊόν) 1) Στην ετικέτα της ταυτότητας του προϊόντος αναφέρονται τα στοιχεία του αντιπροσώπου, τα βασικά τεχνικά χαρακτηριστικά και ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

Πλεονασµός Πληροφορικών Συστηµάτων (redundancy)

Πλεονασµός Πληροφορικών Συστηµάτων (redundancy) Πεονασός Πηροφορικών Συστηάτων redundancy συστήατα ανεκτικά σε βάβες, έχουν την ικανότηταναανιχνεύσουν, να αοονώσουν και να αρακάψουν ια σειρά κοινών βαβών χωρίς την: ανθρώινη αρέβαση αξιοσηείωτη καθυστέρηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

NEΕΣ ΑΝΤΙΜΕΤΠΙΣΗΤΟΥ ΓΜΑΤΟΣΤΟΥ ΤΟΥ ΣΠΑΣΗΤΟΥ ST ΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ. Dr. Μπάπας Σ. Γεώργιος ΕUROMEDICA ΓΕΝΙΚΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΘΕΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

NEΕΣ ΑΝΤΙΜΕΤΠΙΣΗΤΟΥ ΓΜΑΤΟΣΤΟΥ ΤΟΥ ΣΠΑΣΗΤΟΥ ST ΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ. Dr. Μπάπας Σ. Γεώργιος ΕUROMEDICA ΓΕΝΙΚΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΘΕΣΑΛΟΝΙΚΗΣ NEΕΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΡΙΕΣ ΟΗΓΙΕΣΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΠΙΣΗΤΟΥ ΤΟΥ ΕΜΦΡAΓΜΑΤΟΣ ΓΜΑΤΟΣΤΟΥ ΤΟΥ ΜΥΟΚΑΡΙΟΥ ΧΡΙΣ ΑΝAΣΠΑΣΗ ΣΠΑΣΗΤΟΥ ST ΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Dr. Μπάπας Σ. Γεώργιος ΕUROMEDICA ΓΕΝΙΚΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΘΕΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΙ ΝΕΤΕΡΟΥΠΑΡΧΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Δ. Χαάλαπος Π. Στουθόπουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΙΤΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ & ΣΜΑΤΑ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ

ΣΤΡΑΤΙΤΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ & ΣΜΑΤΑ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΣΤΡΑΤΙΤΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ & ΣΜΑΤΑ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ Στρατιωτικές Σχολές Υπουργείου Εθνικής Άυνας A. Ανώτατα Στρατιωτικά Εκπαιδευτικά Ιδρύματα (ΑΣΕΙ) B. Ανώτερες Στρατιωτικές Σχολές Υπαξιωματικών (ΑΣΣΥ) 2 A. Ανώτατα Στρατιωτικά

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΠΕΤΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΛΥΚΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΜΦΩΝΙΚΗΣ ΟΡΧΗΣΤΡΑΣ ΚΥΠΡΟΥ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΡΩΤΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ (3 ½ 7 ½ ετών)

Ο ΠΕΤΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΛΥΚΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΜΦΩΝΙΚΗΣ ΟΡΧΗΣΤΡΑΣ ΚΥΠΡΟΥ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΡΩΤΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ (3 ½ 7 ½ ετών) Ο ΠΕΤΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΛΥΚΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΜΦΩΝΙΚΗΣ ΟΡΧΗΣΤΡΑΣ ΚΥΠΡΟΥ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΡΩΤΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ (3 ½ 7 ½ ετών) Ελάτε να γνωρίσουε τη συφωνική ορχήστρα έσα από το ουσικό παραύθι

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΙΑΓΝΙΣΜΟΥ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΙΑΓΝΙΣΜΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΘΕΡΜΑΪΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΝ Γραφείο Προηθειών Περαία,: 05/03/14 Αρ. πρωτ.: 6027 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΙΑΓΝΙΣΜΟΥ Ο ήαρχος Θεραϊκού, Ιωάννης Αλεξανδρής, προκηρύσσει

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

15SYMV002547943 2015-01-29

15SYMV002547943 2015-01-29 ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΟΥ Στην Αθήνα σήερα 15 Σεπτεβρίου 2014 τα συβαλλόενα έρη: αφενός η «ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΚΛΝΑΡΗΣ ΕΛΕΝΗ ΤΥΡΜΑΚΗ Ο.Ε.», που εδρεύει στην Γλυφάδα Αττικής, επί της οδού Αγίου Νικολάου 48, ε ΑΦΜ 999327899,

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

VOGEL-Αντλίες ε σπειροειδές περίβληα Σειρά προϊόντων: LSB

VOGEL-Αντλίες ε σπειροειδές περίβληα Σειρά προϊόντων: LSB el VOGEL-Αντλίες ε σπειροειδές περίβληα Σειρά προϊόντων: LSB Οδηγίες εκατάστασης, λειτουργίας και συντήρησης Μετάφραση του πρωτοτύπου των οδηγιών χρήσης el ιαφυλάξτε τις για ελλοντική χρήση! Λάβετε υπόψη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

t 0 με Ε[t] = 1/λ Εισαγωγικά Στοιχεία

t 0 με Ε[t] = 1/λ Εισαγωγικά Στοιχεία http://uer.uom.gr/~acg Στοιχεία από τη Θεωία Γαών Αναονής (Queueig Theory) Πηγή Πεατών ιαδικασία Αφίξεων Ουά Αναονής Πειθαχία Μηχανισός Εξυπηέτησης Έξοδος Ιστοικά Στοιχεία Μαθηατικά οντέα για τη εέτη των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΕΘΝΙΚΕΣ ΜΕΙΟΝΟΤΗΤΕΣ

ΟΙ ΕΘΝΙΚΕΣ ΜΕΙΟΝΟΤΗΤΕΣ Ιστορία της Ελλάδας του 20ού αιώνα, επι. Χ. Χατζηιωσήφ, τόος Β2 (Αθήνα: Βιβλιόραα, 2003), σ. 9"35. Γ. Θ. ΜΑΥΡΟΓΟΡΑΤΟΣ ΟΙ ΕΘΝΙΚΕΣ ΜΕΙΟΝΟΤΗΤΕΣ 1. Τα όρια της εθνικής ο οιογένειας Η υποχρεωτική ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση συνεχών μεταβλητών. Γεωργία Σαλαντή. Λέκτορας Εργαστήριο υγιεινής και Επιδημιολογίας

Ανάλυση συνεχών μεταβλητών. Γεωργία Σαλαντή. Λέκτορας Εργαστήριο υγιεινής και Επιδημιολογίας Συσχέτιση Παλινδρόμηση Ανάλυση συνεχών μεταβλητών Γεωργία Σαλαντή Λέκτορας Εργαστήριο υγιεινής και Επιδημιολογίας Περιεχόμενα Συσχέτιση μεταξύ δύο συνεχών μεταβλητών Παλινδρόμηση μεταξύ Μίας συνεχούς μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΞΑΜΗΝΟ Β ΕΞΑΜΗΝΟ Γ ΕΞΑΜΗΝΟ

Α ΕΞΑΜΗΝΟ Β ΕΞΑΜΗΝΟ Γ ΕΞΑΜΗΝΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΗΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΑΤΟΟΙΚΟΝΟΙΚΗΣ Α ΕΞΑΗΝΟ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ/ ΕΠΙΠΕΔΟ ΑΘΗΑΤΟΣ ΓΥ Υ 101 ικροοικονομική 2 2 4 8 5 ΓΥ Υ 102 Διοικητική των Επιχειρήσεων 2 2 4 8 5 ΕΥ Υ 103 Εισαγωγή στη Λογιστική

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2000

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2000 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 000 Θέµα 1ο (µονάδες 3,5) Κατά τη διάρκεια 100 ηµερών ο αριθµός άφιξης πελατών σε ένα κατάστηµα τις ώρες 8:00-8:30

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 34 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5 Μαΐου 4 Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση Το κείµενο απευθύνεται στους φοιτητές και αιτιολογεί και περιγράφει

Διαβάστε περισσότερα