ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΣΑΦHΣ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΣΑΦHΣ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ 6. ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΣΑΦΗ ΛΟΓΙΚΗ Η θεωρία της λογικής (Logc theory) ελετά τις εθόδους και τις αρχές του συλλογισού (Reasog), δηλαδή, ε ποιο τρόπο πορούε να παράγουε νέες προτάσεις βασιζόενοι σε ένα σύνολο υπαρχουσών προτάσεων. Στην κλασική δυαδική λογική οι προτάσεις πρέπει να είναι είτε αληθείς (True) είτε ψευδείς (False). Με άλλα λόγια, ο βαθός εκπλήρωσης των προτάσεων πορεί να πάρει δύο διακριτές τιές, είτε (True) είτε 0 (False). Οι ασαφείς προτάσεις περιγράφονται από ασαφή σύνολα και είναι γενικεύσεις των κλασικών προτάσεων. Ο βαθός εκπλήρωσης των ασαφών προτάσεων πορεί να πάρει οποιαδήποτε τιή στο συνεχές διάστηα [0,]. Αυτή η γενίκευση ας επιτρέπει να κάνουε προσεγγιστικούς συλλογισούς (pproxmate Reasog), δηλαδή, από ένα σύνολο δοσένων ασαφών προτάσεων να παράγουε νέες ασαφείς προτάσεις. 6. ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στην κλασική λογική οι σχέσεις εταξύ των προτάσεων απεικονίζονται έσω των πινάκων αλήθειας. Στον Πίν.6. δίνονται οι πίνακες αλήθειας για τους βασικούς τελεστές (OR), (ND), (συπερασός), - (άρνηση, ΝΟΤ) και (ισοδυναία). p q p q p q p q p q p Τ T T T T T F Τ F F T F F F F T F T T F T F F F F T T T Πίν

2 Αν θεωρήσουε λογικές προτάσεις p,..., p οι οποίες παίρνουν τιές T και F. Με βάση τις παραπάνω προτάσεις πορούε να ορίσουε ια νέα πρόταση έσω ιας συνάρτησης η οποία θα παρέχει βαθούς αλήθειας/ψεύδους στην νέα πρόταση ε βάση τους αντίστοιχους βαθούς αλήθειας/ψεύδους των ορισάτων. Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογική συνάρτηση (logc fucto). Οι λογικές συναρτήσεις υλοποιούνται ε βάση κάποιους στοιχειώδεις τελεστές, όπως, και -. Συνδυάζοντας τους παραπάνω στοιχειώδεις τελεστές πορεί να προκύψει ια εγάλη ποικιλία απλών ή πιο σύνθετων λογικών συναρτήσεων. Για παράδειγα, τα και p είναι απλές ορφές λογικών συναρτήσεων. p q, p q Μια λογική πρόταση είναι ταυτολογία (tautology) όταν η συνάρτηση που την υλοποιεί είναι πάντα αληθής ανεξάρτητα από το βαθό αλήθειας των προτάσεων ορισάτων που συετέχουν στην σχέση. Από τον Πιν.6. προκύπτει ότι η p q είναι αληθής όταν οι προτάσεις p και q είναι ταυτόχρονα αληθείς ή ψευδείς, δηλαδή, όταν οι προτάσεις-ορίσατα "ταιριάζουν" εταξύ τους. Σε αντίθετη περίπτωση η p q είναι ψευδής. Αν η λογική σχέση είναι πάντα ψευδής, ανεξάρτητα από τα ορίσατα, τότε η λογική φόρουλα λέγεται αντιλογία (cotradcto). ύο κλασικά παραδείγατα ταυτολογιών είναι τα ακόλουθα: ( p q) ( p q) (6-) ( p q) ( p ( p q)) (6-) Ο Πιν.6. δίνει τις τιές αλήθειας για τα διάφορα έρη από όπου προκύπτει εύκολα ότι οι παραπάνω λογικές προτάσεις είναι ταυτολογίες. Αυτό είναι λογικό, αν θυηθούε από το προηγούενο κεφάλαιο ότι η συνάρτηση συπερασού δεξιά έλη των (6-) και (6-). (p q ) εξ' ορισού συπίπτει ε τα p q p q p q p ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p ( p q)) Τ T Τ T T T T Τ F F F F T T F T Τ T T T T F F T T T T T Πιν

3 Οι ταυτολογίες είναι ένα πολύ σηαντικό εργαλείο στην λογική και ας βοηθάει στην πραγατοποίηση επαγωγικών συλλογισών. Γι' αυτό τον λόγο αναφέρονται και σαν κανόνες συλλογισού (ferece rules). Τρεις είναι οι βασικές ορφές ταυτολογιών:. Κανόνας Modus Poes: Ο κανόνας συλλογισού Modus Poes περιγράφεται από την λογική ορφή: ( p ( p q)) q (6-3) Είναι φανερό και πορεί πολύ εύκολα να αποδειχθεί ότι η (6-3) είναι ια ταυτολογία. Στην συνέχεια δίνεται ια πιο διαισθητική ερηνεία του Modus Poes. (Υπόθεση ) p : xs (Υπόθεση ) p q : IF x s THEN y s (6-4) (Συπέρασα) q : ys Ο κανόνας Modus Poes πραγατοποιεί τον ακόλουθο συλλογισό: Αν δοθούν οι προτάσεις p και p q (υποθέσεις) τότε πορεί να συναχθεί η πρόταση q (συπέρασα).. Κανόνας Modus Toles: Ο κανόνας συλλογισού Modus Toles περιγράφεται από την παρακάτω ταυτολογία: ( q ( p q)) p (6-5) Μια πιο διαισθητική ερηνεία του Modus Toles είναι η ακόλουθη. (Υπόθεση ) q : ysot (Υπόθεση ) p q : IF x s THEN y s (6-6) (Συπέρασα) p : xsot Ο κανόνας Modus Toles πραγατοποιεί τον ακόλουθο συλλογισό: Αν δοθούν οι προτάσεις q και p q (υποθέσεις) τότε πορεί να συναχθεί η πρόταση p (συπέρασα). Γ. Κανόνας Υποθετικού Συλλογισού: Ο κανόνας υποθετικού συλλογισού (Hypothetcal Syllogsm) περιγράφεται από την παρακάτω ταυτολογία: (( p q) ( q r)) ( p r) Μια πιο διαισθητική ερηνεία του υποθετικού συλλογισού είναι η ακόλουθη: (6-7) (Υπόθεση ) p q : IF x s THEN y s (Υπόθεση ) q r : IF y s THEN z s C (6-8) -8-

4 (Συπέρασα) p r : IF x s THEN z s C Ο κανόνας υποθετικού συλλογισού πραγατοποιεί τον ακόλουθο συλλογισό: Αν δοθούν οι προτάσεις p q και q r (υποθέσεις) τότε πορεί να συναχθεί η πρόταση p r (συπέρασα). Στο σηείο αυτό πρέπει να τονισθούν τα ακόλουθα: α) Οι κανόνες Modus Poes και Modus Toles συνδυάζουν ένα σύνολο και έναν κανόνα και παράγουν ένα νέο σύνολο, ενώ ο κανόνας υποθετικού συλλογισού συνδυάζει δύο κανόνες και συνάγει ένα νέο κανόνα. β) Ο κανόνας Modus Poes προχωράει από τα αριστερά (υπόθεση) προς τα δεξιά (συπέρασα) σε ια πρόσω διαδικασία (forward cha rule) ενώ ο κανόνας Modus Toles προχωράει από τα δεξιά προς τα αριστερά σε ια προς τα πίσω διαδικασία (backward cha rule). 6.3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Η ασαφής λογική είναι ια γενίκευση της κλασικής λογικής. Βασιζόενη σε ασαφείς και ανακριβείς προτάσεις παρέχει τις βασικές αρχές για την εξαγωγή προσεγγιστικών συλλογισών. Γι' αυτό τον σκοπό χρησιοποιούνται τρεις έθοδοι συλλογισού: α) η γενικευένη έθοδος Modus Poes (Geeralzed Modus Poes, GMT), β) η γενικευένη έθοδος Modus Toles (Geeralzed Modus Toles, GMT) και γ) η γενικευένη έθοδος υποθετικού συλλογισού (Geeralzed Hypothetcal Syllogsm, GHS).. Κανόνας GMP (Geeralzed Modus Poes) Ο κανόνας GMP περιγράφεται ως ακολούθως: (Υπόθεση ) : xs (Υπόθεση ) : IF x s THEN y s (6-9) (Συπέρασα) : ys Ο GMP είναι γενίκευση του Modus Poes και πραγατοποιεί τον ακόλουθο συλλογισό: Αν δοθούν οι ασαφείς προτάσεις xs και IF x s THEN y s τότε συνάγεται η νέα πρόταση (συπέρασα) ys έτσι ώστε όσο πιο κοντά είναι το στο τόσο πιο κοντά θα είναι το στο. Ο κανόνας GMP πρέπει σε γενικές γραές να υπακούει σε ια σειρά από διαισθητικά κριτήρια τα οποία περιγράφονται στον παρακάτω πίνακα: -83-

5 Τα κριτήρια P, P, P4 και P7 συφωνούν ε την γενική αρχή συλλογισού του GMP που θεωρήσαε παραπάνω. Αντίθετα στα κριτήρια P3 και P5 το συπέρασα είναι προσεγγιστικά όνο σωστό. Σ' αυτή την περίπτωση ο κανόνας (υπόθεση ) χαρακτηρίζεται από ια χαλαρή σχέση ανάεσα στην πρόταση xs και ys. Στο κριτήριο P6 δεν συνάγεται κάποια συγκεκριένη τιή του y. Είναι φανερό ότι ο κανόνας περιγράφεται από ια ασαφή σχέση ε συνολική ερηνεία. (Υπόθεση ) xs (Συπέρασα) ys Κριτήριο P xs ys Κριτήριο P xsvery ysvery Κριτήριο P3 xsvery ys Κριτήριο P4 xsmoreorless ysmoreorless Κριτήριο P5 xsmoreorless ys Κριτήριο P6 x s ot y s ukow Κριτήριο P7 x s ot y s ot Πίν.6.3 Η διαδικασία εξαγωγής συπεράσατος ε τον κανόνα GMP δίνεται γενικά στο Σχ.6.. Η είσοδος Α εφανίζεται στο τήα υπόθεσης, περνάει έσα από το ασαφή κανόνα (ασαφής περιοχή) και παράγει το ασαφές σύνολο Β στο τήα συπεράσατος. Β. Κανόνας GMΤ (Geeralzed Modus Toles) Ο GMT είναι γενίκευση του Modus Toles και πραγατοποιεί τον ακόλουθο συλλογισό: Αν δοθούν οι ασαφείς προτάσεις ys και IF x s THEN y s τότε συνάγεται η νέα πρόταση (συπέρασα) xs έτσι ώστε όσο εγαλύτερη είναι η διαφορά του από το τόσο εγαλύτερη θα είναι η διαφορά του από το. -84-

6 Y Εξαγωγή συπεράσατος ε τον κανόνα GMP Rule X Σχ. 6. Ο κανόνας GMT περιγράφεται ως ακολούθως: (Υπόθεση ) : ys (Υπόθεση ) : IF x s THEN y s (6-0) (Συπέρασα) : xs Ο GMT πρέπει να υπακούει στα παρακάτω διαισθητικά κριτήρια όπως περιγράφονται στο Πιν.6.4. (Υπόθεση ) ys (Συπέρασα) xs Κριτήριο T y s ot x s ot Κριτήριο T y s ot very x s ot very Κριτήριο T3 y s ot more or less x s ot more or less Κριτήριο T4 ys x s ukow Κριτήριο T5 ys xs Πιν

7 Y Εξαγωγή συπεράσατος ε τον κανόνα GMΤ Rule X Σχ. 6. Η διαδικασία εξαγωγής συπεράσατος ε τον κανόνα GMT δίνεται γενικά στο Σχ.6.. Η είσοδος εφανίζεται στο τήα συπεράσατος, περνάει έσα από το ασαφή κανόνα (ασαφής περιοχή) και παράγει το ασαφές σύνολο Α στο τήα υπόθεσης. Γ. Κανόνας Υποθετικού Συλλογισού GHS (Geeralzed Ηypothetcal Syllogsm) Ο GHS πραγατοποιεί τον παρακάτω συλλογισό: Αν δοθούν οι δύο υποθετικές ασαφείς προτάσεις IF x s THEN y s και IF y s THEN z s C τότε τεκαίρεται ια νέα ασαφής πρόταση IF x s THEN z s C. Ο συλλογισός αυτός γίνεται έτσι ώστε όσο πιο κοντά είναι το στο τόσο πιο κοντά θα είναι το C στο C. Ο GHS περιγράφεται ως εξής: (Υπόθεση ) : IF x s THEN y s (Υπόθεση ) : IF y s THEN z s C (6-) (Συπέρασα) : IF x s THEN z s C Στον Πιν.6.5 δίνονται ια σειρά από διαισθητικά κριτήρια τα οποία θα πρέπει σε γενικές γραές να πληρεί ο GHS. -86-

8 (Υπόθεση ) ys (Συπέρασα) zsc Κριτήριο S ys zsc Κριτήριο S ysvery zsmoreorlessc Κριτήριο S3 ysvery zsc Κριτήριο S4 ysmoreorless zsveryc Κριτήριο S5 ysmoreorless zsc Κριτήριο S6 y s ot z s ukow Κριτήριο P7 y s ot z s ot C Πιν.6.5 Για να διαπιστώσουε πως προκύπτουν τα παραπάνω κριτήρια θεωρούε για παράδειγα το P. Για να ταιριάξουε το ys στην υπόθεση ε το ysvery στην υπόθεση, διαφοροποιούε την υπόθεση σύφωνα ε το κριτήριο P ως εξής: IFxsvery THEN ysvery. Εποένως, το συπέρασα είναι IFxsvery THEN zsc. Εφαρόζουε τον ετ/στή DIL(. ), δηλαδή, τον τελεστή more or less και στα δύο έρη του συπεράσατος οπότε έχουε IFxs THEN zsmoreorlessc. Αν ακολουθήσουε το κριτήριο P3 τότε έχουε IFxsvery THEN ys οπότε παίρνουε σαν συπέρασα το IFxsvery THEN zsc (κριτήριο S3). Με παρόοιο τρόπο, για να εξάγουε το S4 εφαρόζουε τον ετ/στή more or less στην υπόθεση και από το κριτήριο P4 παίρνουε: IF x s more or less THEN y s more or less. Σ'αυτήν την περίπτωση το συπέρασα είναι IF x s more or less THEN z s C. Εφαρόζουε τον τελεστή very, CON (. ), στα δύο έρη του συπεράσατος και έχουε IF x s THEN z s very C. Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία και επιλέγοντας τα αντίστοιχα κριτήρια από τον Πιν.6.3 πορούν να προκύψουν και τα υπόλοιπα κριτήρια του Πιν ΣΥΝΘΕΤΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ ΕΞΑΓΩΓΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΣ -87-

9 Στην προηγούενη παράγραφο εξετάσαε τους βασικούς κανόνες συλλογισού. Στους κανόνες αυτούς τα ασαφή σύνολα των υποθέσεων και οι ασαφείς κανόνες πορούν γενικά να θεωρηθούν σαν ασαφείς σχέσεις. Το επόενο ζήτηα που τίθεται είναι ε ποιο τρόπο θα προσδιορισθούν οι συναρτήσεις συετοχής του συπεράσατος. Γι' αυτό τον σκοπό χρησιοποιούε τους τελεστές σύνθεσης και συγκεκριένα τους τελεστές σύνθεσης ασαφών συνόλων-ασαφών σχέσεων. Οι τελεστές αυτοί εξετάσθηκαν ήδη στο κεφ.3.4 των ασαφών σχέσεων. Οδηγούαστε έτσι στον συνθετικό κανόνα εξαγωγής συπεράσατος (compostoal rule of ferece). Α. Συνθετική εξαγωγή συπεράσατος στον GMP Ο κανόνας GMP περιγράφεται ως ακολούθως: xs IF x s THEN y s (6-) ys Οι προτάσεις πάνω από την γραή (υποθέσεις) θεωρούνται σαν είσοδοι ενώ η πρόταση κάτω από την γραή (συπέρασα) θεωρείται σαν έξοδος στον σύστηα συλλογισού. Από την (6- ) φαίνεται ότι ο GMP ακολουθεί ια πρόσω πορεία (forward cha rule). Το Α ορίζεται στον χώρο X και έχει συνάρτηση συετοχής x ( ) ενώ ο ασαφής κανόνας είναι ια ασαφής σχέση στον χώρο X Y ε συνάρτηση συετοχής R( x,y ) = ( x, y) = φ ( x, y) όπου φ ( x, y) είναι η συνάρτηση συπερασού που υλοποιεί τον κανόνα. Τέλος, ( y ). είναι ένα ασαφές σύνολο στον χώρο Το προκύπτει από την σύνθεση των σχέσεων R = = IF x s THEN y s : Y ε συνάρτηση συετοχής xs και του κανόνα = R = ( ) (6-3) Η συνάρτηση συετοχής σχέσεων max t y ( ) όπως φαίνεται παρακάτω: υπολογίζεται ε βάση τους τελεστές σύνθεσης ασαφών [ ] ( y) = ( y) = max t ( x), ( x, y) y Y R (6-4) Για τις τέσσερις επιλογές του τελεστή τοής προκύπτουν οι αντίστοιχοι τελεστές σύνθεσης ως εξής: ) Τελεστής σύνθεσης max-m: -88-

10 [ ] ( y) = max m ( x), ( x, y) y Y [ ] (6-5) ή ( y) = ( x) ( x, y) y Y (6-6) ) Τελεστής σύνθεσης max-product: [ ] ( y) = max ( x) ( x, y) y Y (6-7) [ ] ή ( y) = ( x) ( x, y) y Y (6-8) 3) Τελεστής σύνθεσης max-bouded product: [ ] ( y) = max t ( x), ( x, y) y Y bp όπου tbp( a, b) = 0 ( a+ b ). 4) Τελεστής σύνθεσης max-drastc product: [ ] ( y) = max t ( x), ( x, y) y Y dp (6-9) (6-0) a f b= όπου tbp( a, b) = b f a =. 0 f a, b Στην συνέχεια, κατά κύριο λόγο θα χρησιοποιήσουε τον τελεστή σύνθεσης max-m και κατά δεύτερο λόγο το τελεστή max-product. Β. Συνθετική εξαγωγή συπεράσατος στον GMT Ο κανόνας GMΤ περιγράφεται ως ακολούθως: ys IF x s THEN y s (6-) xs Όπως φαίνεται από την (6-) ο κανόνας GMT ακολουθεί ια πορεία συλλογισού προς τα πίσω (backward cha rule). Το προκύπτει ε από την σύνθεση των σχέσεων ys και του κανόνα R = = IF x s THEN y s : = R = ( ) (6-) Η συνάρτηση συετοχής x ( ) υπολογίζεται ως εξής: -89-

11 [ ] ( x) = ( x) = max t ( y), ( x, y) x R yy Y (6-3) Για τον max-m τελεστή έχουε: [ ] ( x) = maxm ( y), ( x, y) yy [ ] x Y (6-4) ή ( x) = ( y) ( x, y) x Y (6-4) yy Γ. Συνθετική εξαγωγή συπεράσατος στον GHS Ο κανόνας GHS περιγράφεται ως ακολούθως: IF x s THEN y s IF y s THEN z s C (6-5) IF x s THEN z s C Οι σχέσεις IF x s THEN y s και IF y s THEN z s C ορίζονται στους χώρους X X Y και Y Z αντίστοιχα, ενώ η σχέση IF x s THEN z s C ορίζεται στον χώρο Z. Με βάση τις σχέσεις και ( C ) = ( ) ( C) C τεκαίρεται η νέα σχέση C ως εξής: (6-6) Η συνάρτηση συετοχής της C προκύπτει από την παρακάτω σχέση [ C ] ( xz, ) = max t ( xy, ), ( yz, ) x, Y, z Z C yy (6-7) Για τον max-m τελεστή έχουε: [ C ] ( xz, ) = maxm ( xy, ), ( yz, ) x, Y, z Z C yy [ C ] (6-8) ή ( xz, ) = ( xy, ) ( yz, ) x, Y, z Z (6-9) C yy 6.5. Ερηνεία του GΜP Από τα παραπάνω συπεραίνουε ότι ο συνθετικός κανόνας εξαγωγής συπεράσατος ας επιτρέπει να βγάζουε συπεράσατα ε βάση ασαφείς προτάσεις και κανόνες. Η διαδικασία αυτή λέγεται γενικά προσεγγιστική εξαγωγή συπεράσατος (approxmate reasog) ή ασαφής εξαγωγή συπεράσατος (fuzzy reasog). Στο σηείο αυτό θα ήταν χρήσιο να δούε πως ερηνεύεται ο παραπάνω κανόνας για τον GMP. Σε πρώτη φάση θεωρούε ια κλασσική αλγεβρική συνάρτηση y = f( x) όπου x X και y Y όπως φαίνεται στο Σχ.6.3. Σύφωνα ε την κλασική λογική αν ας δοθεί το x = a συπεραίνουε ότι y = b= f( a). Γενικεύοντας -90-

12 σε πρώτη φάση, θεωρούε ότι το καπύλη f( x) a είναι ένα σαφές διάστηα (terval) καθώς επίσης ότι η πορεί να κινείται ανάεσα σε κάποια όρια, όπως φαίνεται στο Σχ.6.. y y = f( x ) f( x) x x Σχ.6.3 I y b f( x) a E a x Για να βρούε το διάστηα Σχ.6.4 b που αντιστοιχεί προχωρούε ως εξής: α) ηιουργούε την κυλινδρική επέκταση a E ε βάση το a και βρίσκουε την τοή της Ι ε την "καπύλη" f( x). β) Στην συνέχεια, προβάλουε την σχέση Ι στο άξονα Y και παίρνουε το διάστηα b. Προχωρώντας την γενίκευση ένα βήα παραπέρα, θεωρούε σαν είσοδο ένα ασαφές σύνολο στο X και ια ασαφή σχέση R στο X Y, όπως φαίνεται στο Σχ.6.4. Για να προσδιορίσουε το στο χώρο Y ακολουθούε τα ίδια βήατα όπως και παραπάνω: α) ηιουργούε την κυλινδρική επέκταση E του : ( x, y) = ( x ) E β) Θεωρούε την τοή της E ε την ασαφή σχέση Q, (6-30) E Q. Η τοή υλοποιείται ως εξής: -9-

13 [ E ] [ ] Ασαφής λογική και προσεγγιστικός λογισός ( x, y ) = t ( x, y ), ( x, y ) = t ( x ), ( x, y ) (6-3) E R R R γ) προβάλουε την E Q στον Y και παίρνουε το : ( y ) = max t [ ( x ), R( x, y) ] (6-3) y I Β ' R α Ε ' Α ' x Σχ.6.5 Είναι φανερό ότι η (6-3) αντιστοιχεί στον συνθετικό τελεστή εξαγωγής συπεράσατος. Είναι επίσης ενδιαφέρον να τονίσουε ότι η αρχή της επέκτασης (exteso prcple) είναι ια ειδική περίπτωση της συνθετικής εξαγωγής συπεράσατος (compostoal rule of ferece). Συγκεκριένα, αν R είναι ια κοινή σχέση (συνάρτηση) ένα-προς-ένα (oe-to-oe) ή πολλάπρος-ένα (may-to-oe) τότε το που προκύπτει από την (6-3) είναι το ίδιο ε αυτό που προκύπτει από το θεώρηα της επέκτασης. Παρόοια διαδικασία πορούε να ακολουθήσουε και τον κανόνα συλλογισού GMT. Σ' αυτή την περίπτωση όως ξεκινάε από τον χώρο Y (υπόθεση) και καταλήγουε στον χώρο X (συπέρασα). Στο Σχ.6.6 φαίνεται η διαδικασία συπερασού του GMP και του GMT. Ο GMP χρησιοποιείται κυρίως στα συστήατα ελέγχου και αναγνώρισης ενώ ο GMT σε προβλήατα διάγνωσης. Ας θεωρήσουε για παράδειγα ότι έχουε τον κανόνα IF tomatos red THEN tomatos rpe. Αν η πρόταση x s = tomatos red είναι αληθής τότε σαν συπέρασα τεκαίρεται η πρόταση ys = tomatosrpe. Η διαδικασία εξαγωγής συπεράσατος περιγράφεται στο Σχ.6.7. Αν τώρα θεωρήσουε την πρόταση x s = tomato s more or less red y s = tomato s more or less rpe τότε ε βάση τον Πιν.6.3 προκύπτει το συπέρασα. Αυτό είναι και το νόηα της προσεγγιστικής εξαγωγής -9-

14 συπεράσατος: αν δηλαδή η πρόταση xs οιάζει ε την υπόθεση xs του κανόνα τότε το συπέρασα του συλλογισού ys θα οιάζει ε το συπέρασα του κανόνα ys. y IF / THEN Rule ' ' x Σχ.6.6 Σχ

15 6.5. Εξαγωγή συπεράσατος ε GΜP και γεωετρική ερηνεία Α. Ένας κανόνας ε ια υπόθεση Α. Τελεστής Mamda, R c Η απλούστερη περίπτωση είναι να έχουε ένα κανόνα ο οποίος να περιέχει ια όνο υπόθεση. Η περίπτωση αυτή για GMP περιγράφεται από την (6-). Στην συνέχεια θα χρησιοποιούε τον τελεστή max-m σαν τελεστή εξαγωγής συπεράσατος. Το συπέρασα γενικά προκύπτει από την (6-6). Αν τώρα θεωρήσουε σαν τελεστή συπερασού για τον κανόνα τον το συπέρασα προκύπτει από την σχέση: R c ( y) = [ ( x) ( x) ( y)] (6-33) Η παραπάνω σχέση γράφεται ως εξής: = ( y) ( ( x) ( x)) y (6-34) ( y) = w ( ) x X όπου w = ( ( x) ( x )) Η διαδικασία αυτή φαίνεται στο Σχ.6.8. Είναι γνωστό ότι το ( x) ( x ) είναι η τοή του και του Α (διαγραισένη περιοχή) και δηλώνει το βαθό οοιότητας του ε το. Ο παράγοντας w αντιστοιχεί στο έγιστο της τοής ( x) ( x) για όλα τα x και αντιπροσωπεύει τον βαθό εκπλήρωσης (Degree of Fulfllmet, DOF) ή διέγερσης του κανόνα. Με άλλα λόγια ο w περιγράφει τον βαθό στον οποίο η πρόταση- είσοδος xs ταιριάζει ε την υπόθεση xs του κανόνα. Κατά συνέπεια, στον ίδιο βαθό θεωρούε ότι διεγείρεται και ο κανόνας. Η συνάρτηση συετοχής "κοένη" από τον παράγοντα w είναι η ίδια ε την συνάρτηση συετοχής του Β (διαγραισένη περιοχή στο συπέρασα). Η λειτουργία του συπερασού αυτού στηρίζεται στην παρακάτω λογική: ιαισθητικά ο είναι το έτρο της πεποίθησής ας ότι πληρούται η υπόθεση του κανόνα. Αυτό το έτρο εταφέρεται και στο τήα απόδοσης του κανόνα. Κατά συνέπεια, ο βαθός πλήρωσης του συπεράσατος δεν πορεί να είναι εγαλύτερος από το w. w -94-

16 Τελεστής Mamda R c Α Α ' Β w DOF X Σχ.6.8 Β ' Y Σε πολλές περιπτώσεις, όπως στα ασαφή συστήατα ελέγχου, οι είσοδοι είναι ασαφή sgleto, δηλαδή, = x 0. Εποένως, έχουε ( x0 ) και ( x) 0 για x x 0. = = w = ( ( x) ( x)) = (x 0 ) (6-35) και το συπέρασα είναι ( y) = w ( y) (6-36) Η διαδικασία αυτή δίνεται στο Σχ.6.9. Τελεστής Mamda R c ( ιέγερση ε ασαφές Sgleto) Α Α ' Β Β ' x 0 X Y Σχ.6.9 Α. Τελεστής Larse, R p Στην περίπτωση του τελεστή Larse έχουε [ ( y) = ( x) ( ( x) ( y))] Η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναη ε την σχέση: (6-37) -95-

17 = ( y) ( ( x) ( x)) ( y) = w ( y) (6-38) όπου w = ( ( x) ( x )) Η διαδικασία συπερασού φαίνεται στο Σχ.6-8 όπου και πάλι ο παράγοντας περιγράφει τον βαθό εκπλήρωσης ή διέγερσης του κανόνα (DOF). Σ αυτή την περίπτωση όως η συνάρτηση του είναι η συνάρτηση του πολλαπλασιασένη ε τον πραγατοποιεί ια κλιακοποίηση της y ( ) προς τα κάτω. Αν θεωρήσουε σαν είσοδο ένα ασαφές sgleto στο x 0 έχουε: w w. ηλαδή, ο ( y) = w ( y) (6-39) όπου w= ( x0 ). Αυτή η περίπτωση φαίνεται στο Σχ.6.9. w Τελεστής Larse R p Α Α ' Β w DOF X Σχ.6.0 Β ' Y Τελεστής Larse R p ( ιέγερση ε ασαφές Sgleto) Α Α ' w Β Β ' DOF x 0 X Y Σχ.6. Παράδειγα

18 Θεωρούε έναν κανόνα ε ία υπόθεση, τον max-m σαν τελεστή σύνθεσης και είσοδο = x 0, δηλαδή ένα sgleto στο x 0, όπως φαίνεται στο Σχ.6.. Επίσης, θεωρούε τις δύο οάδες συναρτήσεων συπερασού: την οάδα τελεστών R c, R p, R bp και R dp ε τοπική ερηνεία και την οάδα τελεστών R mm, R a, R s και R ε συνολική ερηνεία. Είναι ενδιαφέρον να δούε πως αποκρίνονται οι κανόνες ε τους παραπάνω τελεστές όταν "διεγερθούν" από ένα sgleto. Α Α ' x 0 X εξής: Σχ.6. Γενικεύοντας τις (6-36) και (6-39) είναι εύκολο να δειχθεί ότι το συπέρασα προκύπτει ως [ ] ( y) = ( x) ( x, y) = ( x0, y) = ( x0 ) ( y) (6-40) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων συετοχής για τους διάφορους τελεστές συπερασού δίνονται στο Σχ.6.3 για ( x0 ) = 03. και ( x0 ) = 07.. Όσον αφορά τους τελεστές τοπικής ερηνείας έχουε να κάνουε δύο παρατηρήσεις: α) Η συνάρτηση συετοχής του συπεράσατος περιορίζεται αποκλειστικά στον χώρο όπου ορίζεται το. β) Η συνάρτηση συετοχής ( y ) είναι έγιστη για τον τελεστή R c. Όσο προχωρούε στους τελεστές, και R dp η συνάρτηση συετοχής ( y) περιορίζεται δραστικά, έσα στα R p R bp όρια της ( y). Όσον αφορά τους τελεστές συπερασού ε συνολική ερηνεία αυτοί ορίζουν τιές συετοχής και για περιοχές πέραν του. Β. Ένας κανόνας ε δύο υποθέσεις Β. Τελεστής Mamda, R c Στην παράγραφο αυτή θα θεωρήσουε ένα ασαφή κανόνα του οποίου το τήα υπόθεσης περιέχει δύο εταβλητές: R: IF x s ND y s THEN z sc (6-4) -97-

19 Ο κανόνας αυτός ορίζει ια ασαφή σχέση R: ( X Y ) Z. Η (6-4) πορεί βέβαια να γενικευθεί περιλαβάνοντας περισσότερες των δύο εταβλητές. Παρόλα αυτά, για λόγους απλότητας θα περιοριστούε στην ορφή (6-4). Τα συπεράσατα που θα προκύψουν πορούν πολύ εύκολα να γενικευθούν για περισσότερα ορίσατα. a = 07. a = 03. a = 07. a = 03. R c X R p X a = 07. a = 03. a = 03. a = 07. R bp X R dp X Σχ.6.3 Ο κανόνας GMP περιγράφεται από το παρακάτω σχήα: xs ND ys IF x s ND y s THEN z sc (6-4) zsc Η ασαφής σχέση του κανόνα για τον τελεστή Mamda, R c προκύπτει ως εξής: R ( x, y, z) c Rc (,, C) = ( ) C = ( x, y, z) (6-43) X Y Z όπου R ( x, y, z ) = φc ( x, y, z ) = ( x ) ( y ) C ( z ) (6-44) c Το συπέρασα C προκύπτει από τον συνθετικό κανόνα εξαγωγής ως εξής: C = ( ) R = ( ) ( C) (6-45) Η συνάρτηση συετοχής του C είναι c -98-

20 [ ] [ C ], ( z ) = { ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) ( z) } C xy (6-46) Η (6-46) γίνεται {[ ] } ( z ) = ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) ( z) C C xy, ( z ) x x y y C z ( ) ( ) x ( ) ( ) y ( ) ή C = [ ] [ ] ή C ( z) = ( w w ) C( z) = w C( z) (6-47) [ ( ) ( ) ] w = [ ( y ) ( y ) ] όπου w = x x, x y και w= w w Η διαδικασία εξαγωγής συπεράσατος φαίνεται στο Σχ.6.4. Ο παράγοντας w είναι το έγιστο της τοής και δηλώνει τον βαθό συβατότητας (οοιότητας) εταξύ των Α και. Με άλλα λόγια αντιπροσωπεύει τον βαθό εκπλήρωσης της πρώτης υπόθεσης xs του κανόνα. Με τον ίδιο τρόπο το w αντιπροσωπεύει τον βαθό εκπλήρωσης της δεύτερης υπόθεσης ys του κανόνα. Ο συνολικός βαθός εκπλήρωσης του κανόνα (DOF), w, είναι το ελάχιστο των βαθών εκπλήρωσης των συστατικών ερών του τήατος υπόθεσης του κανόνα. Η συνάρτηση συετοχής του συπεράσατος προκύπτει αν κόψουε την του DOF. z C ( ) στο επίπεδο Τελεστής Mamda R c Κανόνες ε δύο εταβλητές εισόδου M Α Α ' Β Β ' C C ' w DOF x y z w Σχ.6.4 Στην ειδική περίπτωση όπου οι είσοδοι είναι ασαφή sgleto, = x 0 και = y 0 έχουε: [ ] w = ( x ) ( x ) = ( x0 ) και w = [ ( y ) ( y ) ] = ( y0 ) (6-48) x y -99-

21 Άρα w = w w = ( x ) ( y ) (6-49) 0 0 και το συπέρασα είναι z = w z = x y z C ( ) C( ) ( ( 0) ( 0 )) C( ) (6-50) Η διαδικασία εξαγωγής συπεράσατος φαίνεται στο Σχ.6.5. Τελεστής Mamda R c Κανόνες ε δύο εταβλητές εισόδου ( ιέγερση ε ασαφή Sgleto) M Α Α ' Β Β ' C C ' w DOF x 0 x y 0 y z Σχ.6.5 w Β. Τελεστής Larse, R p (, ; C ) Όταν χρησιοποιήσουε τον τελεστή συπερασού R p (, ; C ) και τον τελεστή σύνθεσης max-m αποδεικνύεται ότι το συπέρασα προκύπτει από την σχέση: C ( z) = ( w w ) C( z) = w C( z) (6-5) όπου και πάλι τα w και w υπολογίζονται από την (6-48) και ο DOF w υπολογίζεται από την (6-49). Η διαδικασία εξαγωγής συπεράσατος φαίνεται στο Σχ.6.6. Όπως και στην περίπτωση των κανόνων ε ια εταβλητή, η συνάρτηση συετοχής του συπεράσατος προκύπτει αν κλιακοποιήσουε (πολλαπλασιάσουε) την z C ( ) Αν οι είσοδοι είναι ασαφή sgleto, = x 0 και = y 0 έχουε: ε τον DOF του κανόνα. w = w w = ( x ) ( y ) (6-5) 0 0 και το συπέρασα είναι C ( z) = w C( z ) = ( ( x 0) ( y 0 )) C( z) (6-53) Η διαδικασία εξαγωγής συπεράσατος φαίνεται στο Σχ

22 Τελεστής Larse R p Κανόνες ε δύο εταβλητές εισόδου M Α Α ' Β Β ' w C C ' DOF x y z w Σχ.6.6 Τελεστής Mamda R p Κανόνες ε δύο εταβλητές εισόδου ( ιέγερση ε ασαφή Sgleto) M Α Α ' Β Β ' C C ' w DOF x 0 x y 0 y z w = ( x0) w = ( y ) 0 Σχ.6.7 w Υπολογισός του C ε την έθοδο της αποσύνθεσης (decomposto method) Θεώρηα 6. Τελεστές ε τοπική ερηνεία Θεωρούε τον τελεστή Mamda, Rc (,, C) και τον τελεστή σύνθεσης max-m. Το συπέρασα C πορεί να προκύψει σαν τοή των επί έρους συπερασάτων που αντιστοιχούν σε κάθε ία λεκτική εταβλητή εισόδου: C = ( ) ( C) Απόδειξη Έχουε [ ] [ ] = ( C) ( C) (6-54) -0-

23 {[ ] C } ( z ) = ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( z) C xy, z x x z y y C z x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] y ή C = [ ] C [ { } ή C [ ] ( z ) = ( x ) ( x ) ( z ) ( z) C ( C) x ή ( z ) = ( z ) ( z) C ( C) ( C) ή ( z ) = ( z ) ( z) Άρα, C Rc( C, ) Rc(, C) [ ( )] [ ( )] [ c( ; )] [ c( ; )] C = C C = R C R C Ασαφής λογική και προσεγγιστικός λογισός Σύφωνα ε το θεώρηα 6. το τήα υπόθεσης του κανόνα διασπάται στα συστατικά του έρη. Κατά συνέπεια, ο κανόνας Rc ( ; C) Rc ( C, ; ) διαχωρίζεται σε δύο στοιχειώδεις κανόνες, και Rc ( ; C). Τα επί έρους συπεράσατα προκύπτουν αν το Rc ( ; C) διεγερθεί από το και το Rc ( ; C) διεγερθεί από το. Το συνολικό συπέρασα προκύπτει από την τοή των επί έρους συπερασάτων. Το παραπάνω εύρηα πορεί πολύ εύκολα να διαπιστωθεί και γραφικά από το Σχ.6.4. Επίσης, το θεώρηα αυτό πορεί άεσα να εφαροσθεί σε κανόνες ε οποιοδήποτε αριθό εταβλητών στο τήα υπόθεσης. Πρέπει να σηειωθεί ότι το θεώρηα 6. ε τον τελεστή max-m ισχύει αυτούσιο και για τον τελεστή Larse, R p (, ; C ). Επίσης, ισχύει και τους άλλους δύο τελεστές συπερασού ε τοπική ερηνεία, δηλαδή, τους τελεστές Rbp (, ; C ) και Rdp (, ; C ). Όως για τους τελεστές συπερασού ε συνολική ερηνεία, δηλαδή, τους τελεστές Rmm (, ; C), Ra (, ; C), Rs (, ; C) και R (, ; C) το θεώρηα ισχύει αλλά ε την προϋπόθεση ότι η πράξη ND θα πρέπει να υλοποιηθεί ε τον τελεστή αντι του. Υπολογισός του C ε την έθοδο της αποσύνθεσης (decomposto method) Θεώρηα 6. Τελεστές ε συνολική ερηνεία Θεωρούε τους τελεστές συπερασού Rmm (, ; C), Ra (, ; C), και R (, ; C), και τον τελεστή σύνθεσης max-m. Το συπέρασα C πορεί να προκύψει σαν ένωση των επί έρους συπερασάτων που αντιστοιχούν σε κάθε ία λεκτική εταβλητή εισόδου. Σαν παράδειγα, για τον τελεστή Rmm (, ; C) έχουε: C = (, ) R (, ; C) mm = [ Rmm ( ; C) ] [ Rmm ( ; C)] Rs (, ; C) (6-55) -0-

24 όπου Rmm (, ; C) ( ND ) C, Rmm ( ; C) C και Rmm ( ; C) C Τέλος πρέπει να σηειώσουε ότι οι σχέσεις (6-54) και (6-55) ισχύουν και για τον τελεστή σύνθεσης max-product. Στις προηγούενες παραγράφους περιγράψαε την διαδικασία εξαγωγής συπεράσατος ε GMP δίνοντας εγαλύτερη σηασία στην γεωετρική ερηνεία της εθόδου. Σε κάθε περίπτωση όως το συπέρασα πορεί να προκύψει χρησιοποιώντας τους γενικούς τύπους (6-5) και (6-6) για τον max-m τελεστή σύνθεσης. Η γενική αυτή έθοδος πορεί επίσης να χρησιοποιηθεί χωρίς περιορισούς και στην περίπτωση όπου έχουε διακριτά ασαφή σύνολα και οι κανόνες ορίζονται και περιγράφονται ε διακριτό τρόπο. Αυτή η περίπτωση εξετάζεται στα δύο παρακάτω παραδείγατα. Παράδειγα 6. ( Εξαγωγή συπεράσατος ε διακριτά ασαφή σύνολα) Θεωρούε τον κανόνα GMP ε τον τελεστή σύνθεσης max-m και τον τελεστή συπερασού Rc ( ; ). Το σύστηα συλλογισού περιγράφεται από την (6-0). Τα σαφή σύνολα δίνονται γραφικά στο Σχ.6.8. Έχουε 0 = x ( ) = x 3 4 (6-56) = 0 και 0 yj = ( ) = (6-57) y j= 0 j Η είσοδος στο σύστηα είναι ένα ασαφές sgleto στην θέση x 0 = 4 : 0 = ( x) = 0. x 4 = 0 ) (6-58) Όλα τα σύνολα ορίζονται σε ένα ενιαίο χώρο, τον χώρο των ακεραίων από το 0 έχρις το 0. Εφόσον δεν υπάρχει αναλυτική ορφή του κανόνα είαστε υποχρεωένοι να υπολογίσουε την συνάρτηση συετοχής της σχέσης Rc ( ; ). Έχουε ( x, y ) = φ ( x, y ) = ( x ) ( y c R j c j j Η σχέση ορίζεται στον χώρο X X = [, 00] [, 00 ]. Εποένως, έχουε: Rc( x, yj) = ( x, y ) j R ( x, y c j) ( x, y ) j = 0.33 / (,5) / (,6) / (,7) / (,8) (6-59) -03-

25 / (,9) / (3,5) / (3,6) +.0 / (3,7) / (3,8) / (3,9) / (4,5) / (4,6) / (4,7) / (4,8) / (4,9) (6-60) Α ( 3) = 0. ( ) = 05. ( 4) = ( 6) = 067. ( 7) = 0. ( 8) = 067. ( 5) = 033. ( 9) = Α ' ( 4) = Η Rc( x, y j ) Σχ.6.8 προκύπτει επίσης και από την παρακάτω σχέση: R ( x, y )= = c j R c T T -04-

26 = [ ] = (6-6) όπου τα Α και Β περιγράφονται ε τα αντίστοιχα ανύσατα στήλες x. Επίσης, η ασαφής σχέση Rc( x, y j ) που περιγράφει τον κανόνα παρίσταται ε έναν πίνακα x. H ασαφής σχέση Rc( x, y j ) δίνεται τέλος ε την ορφή πίνακα στον Πιν.6.6. Για να υπολογίσουε την συνάρτηση συετοχής του συπεράσατος συνθέτουε τα και Rc( x, y j ) χρησιοποιώντας τον γενικό τύπο (6-3) και (6-6) για max-m σύνθεση. Επειδή η Rc( x, y j ) είναι ενεργή όνο για ένα ικρό έρος του χώρου X Y χρησιοποιούε το τήα του X από x = έχρι x = 4 και το τήα του χώρου Y από y = 5 έχρις y = 9. Έχουε ( y ) = ( x ) R ( x, yj ) = j c ] (6-6) [ ] = [ -05-

27 Όπως είδαε στο Κεφ.3 η σύνθεση max-m είναι όοια ε τον πολλαπλασιασό πινάκων ε την διαφορά ότι γινόενο αντικαθίσταται ε το και το άθροισα αντικαθίσταται ε το. Έτσι για παράδειγα το στοιχείο y ( 7 ) υπολογίζεται ως εξής: [ ] [ ] ( y 7 ) = ( 7) = , 0 0., = 0, 0, 050. = 05. x Οοίως προκύπτουν και τα άλλα στοιχεία του συπεράσατος. Από την (6-6) έχουε: = x y j x Πιν.6.6 Η συνάρτηση συετοχής του δίνεται στο Σχ.6.9. Είναι φανερό ότι και ε την γενική διαδικασία καταλήγουε στο ίδιο αποτέλεσα όπως αυτό υπαγορεύεται από την (6-34). Με άλλα λόγια η συνάρτηση συετοχής του είναι ίδια ε αυτή του η οποία κόβεται στο ύψος του DOF. Εφόσον έχουε ασαφές sgleto σαν είσοδο το DOF είναι: DOF = w = ( x4 ) =

28 ' ( 6) = 05. ' ( 7) = 05. ' ( 8) = 05. ' ( 5) = 033. ' ( 9) = Σχ.6.9 Παράδειγα 6.3 (GMP ε τελεστή Larse - διακριτά ασαφή σύνολα) Συνεχίζουε το προηγούενο παράδειγα, θεωρώντας τον κανόνα GMP, τον τελεστή σύνθεσης max-m και την συνάρτηση Larse, R p ( ; ). Σε πρώτη φάση υπολογίζουε και πάλι την συνάρτηση συετοχής της σχέσης: R ( ; ) = R ( x, y j ) = φ p( x, y j ) = ( x ) ( y j ) (6-63) p Έχουε R ( x, y )= = c j R p = p T T [ ] -07-

29 = Το συπέρασα ( yj ) προκύπτει ως εξής: (6-64) ( y ) = ( x ) R ( x, y j p = (6-65) j ) [ ] = [ Με παρόοιο τρόπο όπως προηγουένως, το στοιχείο y ( 8 [ ] [ ] ) υπολογίζεται ως εξής: ( y 8 ) = ( 8) = , , = 0, 0, = x Η συνάρτηση συετοχής του συπεράσατος είναι = Το ασαφές σύνολο δίνεται στο Σχ.6.0. Ο βαθός εκπλήρωσης του κανόνα είναι DOF = w = ( x ) = 05.. Καταλήγουε και πάλι στο ίδιο αποτέλεσα ε την (6-38). ηλαδή, η 4 ( y j ) είναι η ( y j ) πολλαπλασιασένη ε τον DOF του κανόνα. x ] ' ( 7) = 05. ' ( 5) = 065. ' ( 6) = ' ( 8) = ' ( 9) = Σχ ΣΥΜΒΑΤΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ -08-

30 Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουε κατά πόσον τα συπεράσατα που εξάγονται από τους διάφορους τελεστές συπερασού συφωνούν ε τα διαισθητικά κριτήρια που περιγράψαε στην παρ.6.3. Με αυτό τον τρόπο πορούε να διαπιστώσουε την πιστότητα κάθε τελεστή στην εξαγωγή ασαφών συπερασάτων. Σε όλα τα παραδείγατα που εξετάζονται στην συνέχεια θεωρούε τον κανόνα συλλογισού GMP, και ότι το σύστηα συλλογισού περιγράφεται από την (6-). Επίσης, υποθέτουε ότι τα ασαφή σύνολα Α και Β είναι κανονικά (ormalzed), δηλαδή ότι έχουν ύψος ονάδα. Α. Τελεστής Mamda, R c Επιλέγουε τον τελεστή σύνθεσης max-m και τις παρακάτω εισόδους: (.) = [ ] [ y ] ( y) = ( x) ( ( x) ( y)) = ( x) ( ) = = ( ( x)) ( y) = ( y) = ( y) (6-66) Έχουε = και εποένως πληρούται το κριτήριο P. (.) = very = [ ] [ y ] ( y) = ( x) ( ( x) ( y)) = ( x) ( ) = = ( ( x) ) ( y) = ( y) = ( y ) (6-67) Έχουε = και εποένως πληρούται το κριτήριο P3 ενώ δεν πληρούται το κριτήριο P. (.3) = moreorless= ( y) = [ ] ( x) ( ( x) ( y)) = ( x) ( y) = x X = ( ( x)) ( y) = ( y) = ( y) (6-68) Έχουε = και εποένως πληρούται το κριτήριο P5 ενώ δεν πληρούται το κριτήριο P4. (.4) = ot = ( y) = [( ( x)) ( ( x) ( y)) ] [ ] = ( ( x)) ( x) ( y) = 05. ( y) Από την (6-69) προκύπτει ότι δεν πληρούνται τα κριτήρια P5 και P6. (6-69) -09-

31 . Τελεστής Larse,, R p Επιλέγουε τον τελεστή σύνθεσης max-m και τις παρακάτω εισόδους: (.) = [ ] [ ] ( y) = ( x) ( ( x) ( y)) = ( x) ( y) = ( y) Άρα = και εποένως πληρούται το κριτήριο P. (6-70) (.) = very = [ ( y) = ( x) ( ( x) ( y)) Με βάση ότι κάθε τιή του γίνεται [ ] ] (6-7) ( x ) = και επειδή το x πορεί να πάρει οποιαδήποτε τιή στο X για y Y, υπάρχει ια τιή του x X τέτοια ώστε ( x ) ( y). Έτσι η (6-7) [ ] ( y) = ( x) ( y) = ( y) Έχουε = και εποένως πληρούται το κριτήριο P3 ενώ δεν πληρούται το κριτήριο P. (.3) = moreorless= Ισχύει η σχέση ( x ) ( y ) ( y ) ( y) Εποένως έχουε ( y) = [ ] ( x) ( ( x) ( y)) = ( x) ( y) = ( y ) x X Έχουε = και εποένως πληρούται το κριτήριο P5 ενώ δεν πληρούται το κριτήριο P4. (6-7) (6-73) (.4) = ot = ( y) = [( ( x)) ( ( x) ( y)) ] ] για ια σταθερή τιή του y Y η συνάρτηση ( x ) ( y) είναι ια αύξουσα συνάρτηση του x ( ) [ ενώ η ( x ) είναι ια φθίνουσα συνάρτηση του ( x). Εποένως, το έγιστο του συβαίνει όταν ( x ) = ( x ) ( y) -0-

32 άρα όταν Εποένως, έχουε: ( x) = + ( y) ( y) ( y) = + ( y) Από την (6-74) προκύπτει ότι δεν πληρούνται τα κριτήρια P5 και P6. (6-74) Από την ανάλυση που έγινε πιο πάνω συπεραίνουε ότι οι τελεστές και αν και δεν έχουν ια απόλυτα σωστή λογική συπεριφορά είναι ωστόσο κατάλληλοι για εξαγωγή συπεράσατος ε τον κανόνα GMP. Για τον λόγο αυτόν έχουν τύχει ευρείας εφαρογής σε ασαφή συστήατα ελέγχου. R c R p Γ. Τελεστής Zadeh Max-M, R mm Στην συνέχεια θα εξετάσουε αναλυτικά πως συπεριφέρεται ο τελεστής R mm, δηλαδή ένας τελεστής ε συνολική ερηνεία. (Γ.) = [ x ] ( y) = max m ( x), max{m( ( x), ( y)),( ( ))} [ ] (6-75) Επειδή max ( x ) = το έγιστο max m στην (6-75) συβαίνει για ια τιή x X για την οποία έχουε: ( x0) = max{m( ( x0), ( y)),( ( x 0))} (6-76) Εξετάζουε τώρα τους δύο όρους στην παρένθεση του m. Αν ( x 0 ) < ( y ) η (6-76) γίνεται ( x0) = max{ ( x0),( ( x 0 ))} (6-77) η παραπάνω σχέση ισχύει για ( x0 ) 05.. Από την (6-75) έχουε ότι ( y ) ( x0 ). Επειδή [ ] max ( x ) = και το x πορεί να πάρει οποιαδήποτε τιή στο X, πρέπει να ισχύει = ( x0 ) =. Αυτό όως σηαίνει ότι = ( x 0 ) < ( y) πράγα το οποίο είναι αδύνατο. Εποένως, έχουε ( x ) 0 ( y ). Σ' αυτήν την περίπτωση η (6-76) γίνεται: ( x0) = max{ ( y),( ( x 0 ))} (6-78) Εξετάζουε τις δύο περιπτώσεις για την (6-78). Αν ( y ) < ( x ) τότε ( x0) = ( x 0 ) πράγα το οποίο συβαίνει για ( x0 ) =

33 Αν τώρα έχουε (6-78) είναι ( y ) ( x0 ) τότε η (6-78) γίνεται ( x 0 ) = ( y) 05.. Εποένως, η ( x 0 ) = max{ 05., ( y )} (6-79) και τελικά έχουε ( y) = ( x0 ) = max{ 05., ( y)} (6-80) Από την (6-80) προκύπτει ότι το συπέρασα δεν ικανοποιεί το κριτήριο P. (Γ.) = very = ( y) = max m [ ( x), max{m( ( x), ( y)),( ( x))} ] Όπως και στην περίπτωση του (Γ.) το έγιστο x 0 X για την οποία έχουε: max m (6-8) στην (6-8) συβαίνει για ια τιή 0 0 ( x ) = max{m( ( x ), ( y)),( ( x ))} Εξετάζουε τις δύο περιπτώσεις της παρένθεσης του m. Αν ( x ) ( y) τότε έχουε 0 < 0 0 ( x ) = max{ ( x ),( ( x ))} 0 το οποίο είναι αληθές για ( x0 ) =. Εποένως έχουε = ( x 0 ) < ( y) πορεί να ισχύει. Άρα έχουε ( x0 ) y). ( Σ' αυτή την περίπτωση από την (6-8) έχουε 0 (6-8) πράγα που δεν 0 ( x ) = max{ ( y),( ( x ))} 0 (6-83) Εξετάζουε τις δύο περιπτώσεις στην αγκύλη του max. Αν ( y ) < ( x0 ) τότε από την (6-83) έχουε ( x0 ) = ( x 0 ) η οποία είναι αληθής για ( x0 ) = 5. 3 Εποένως όταν ( y ) < ( x ) = 0 5 έχουε 3 ( y ) = ( x ) = 5 0. Όταν έχουε ( y ) ( x ) από την (6-8) και (6-83) προκύπτει ότι 0 ( y ) = ( x0 ) = ( y) Εποένως, έχουε

34 3 5 ( y ) = ( x 0 ) = max{, ( y)} (6-84) (Γ.3) = moreorless= = ( y) max m ( x), max{m( ( x), ( y)),( ( x ))} (6-85) Το έγιστο max m στην (6-85) συβαίνει για ια τιή x 0 X για την οποία έχουε: 0 0 ( x ) = max{m( ( x ), ( y)),( ( x 0 ))} Εξετάζουε και πάλι τις δύο περιπτώσεις της παρένθεσης του m. Αν έχουε (6-86) ( x ) ( y) τότε 0 < ( x ) = max{ ( x ),( ( x 0 ))} (6-87) 0 0 το οποίο είναι αληθές για = ( x 0 ) < ( y). Αυτό όως δεν πορεί να ισχύει, άρα η όνη δυνατή περίπτωση είναι να έχουε ( x ) ( y). 0 Σε αυτή την περίπτωση από την (6-87) έχουε ( x ) = max{ ( y),( ( x ))} (6-88) 0 0 Εξετάζουε τις δύο περιπτώσεις στην αγκύλη του max. Αν ( y ) < ( x0 ) τότε από την (6-88) έχουε ( x ) 0 ( 3 5 = x 0 ) η οποία είναι αληθής για ( x0 ) =. 5 Εποένως όταν ( y ) < ( x0 ) = έχουε ( y ) = ( x0 ) 5 =. Όταν έχουε ( y ) ( x ) από την (6-85) και (6-88) προκύπτει ότι 0 ( y ) = ( x ) 5 0 = ( y). Εποένως, έχουε ( y ) = ( x ) 5 0 = max{, ( y)} (6-89) (Γ.4) = ot = -3-

35 [ x ] ( y) = max m ( x), max{m( ( x), ( y)),( ( ))} Παρατηρούε ότι αν επιλέξουε ένα x 0 Ασαφής λογική και προσεγγιστικός λογισός (6-90) X τέτοιο ώστε ( x0 ) = 0 τότε έχουε ( x 0 )= και max{m( ( x), ( y )),( ( x ))} =. Εποένως το έγιστο max m ( y) = στην (6-90) συβαίνει για x 0 και έχουε Άρα έχουε = Y, δηλαδή όλος ο χώρος του Y. (6-9) Παρατηρούε ότι ο τελεστής R mm δεν πληρεί κανένα από τα διαισθητικά κριτήρια P-P7 και εποένως δεν είναι κατάλληλος για εξαγωγή συπεράσατος ε GMP. Ακολουθώντας παρόοια διαδικασία ε αυτή που παραθέσαε προηγούενα πορούε να υπολογίσουε το συπέρασα που αντιστοιχεί για κάθε τελεστή συπερασού. Στον Πιν.6.7 συνοψίζονται τα αποτελέσατα για max-m και GMP και για διάφορους τελεστές συπερασού. 6.7 ΕΞΑΓΩΓΉ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ GMT Στη παράγραφο αυτή θα θεωρήσουε την αντίστροφη ορφή συλλογισού (6-0) και θα εξετάσουε για παράδειγα πως συπεριφέρεται ο τελεστής σύνθεσης max-m. Το συπέρασα προκύπτει από την (6-4): [ ] [ ] R p. Χρησιοποιούε τον τελεστή ( x) = maxm ( x), ( x, y) = maxm ( x), ( x) ( y ) (6-9) y Y y Y very ( ) moreorless ( ) ot ( ) R c 05. ( y R p R a R mm 05. ( y) ) + -4-

36 R s 05. ( y) R 3 3 Πιν.6.7 (.) Είσοδος = = ( x) = maxm [ ( x), ( x) ( y) ] y Y (6-93) για ια σταθερή τιή του x X η συνάρτηση ( x ) ( y) είναι ια αύξουσα συνάρτηση του x ( ) ] yy [ ενώ η ( x ) είναι ια φθίνουσα συνάρτηση του ( x). Εποένως, το έγιστο του συβαίνει όταν y 0 = x y0 άρα όταν ( ) ( ) ( ) Εποένως, έχουε: ( y0 ) = + ( x) ( y) ( x ) = ( y 0 ) = + ( y) (6-94) (.) Είσοδος = otvery = [ ( x) = maxm ( x), ( x) ( y) y Y ] (6-95) Το [ yy ] λαβάνει το έγιστό του για ια τιή y 0 Y για την οποία έχουε 0 = ( y ) ( x ) ( y ) 0 (6-96) Η παραπάνω σχέση είναι αληθής για ( y ) = 0 ( x ) + 4 ( x) (6-97) Εποένως από την (6-95) έχουε ( x) = ( x) ( y0 ) = ( x ) ( x ) + 4 ( x) (6-98) (.3) Είσοδος = ot more or less = -5-

37 Έχουε = ( x) maxm ( x), ( x) ( y) y Y Το [ yy ] λαβάνει το έγιστό του για ια τιή y 0 Y για την οποία έχουε (6-99) y 0 = x y0 ( ) ( ) ( ) (6-00) Η παραπάνω σχέση είναι αληθής για ( x ) ( x) ( y0 ) = + + (6-0) ( x) Εποένως από την (6-99) έχουε = = + ( x ) ( x) + ( x) ( x) ( y0 ) ( x) (6-0) (.4) Είσοδος = [ ] [ ] ( x) = maxm ( x), ( x) ( y) = maxm ( x) ( y) y Y y Y Άρα ( x) ( x ) (6-03) = Από τις (6-94), (6-98), (6-0) και (6-03) φαίνεται ότι ο τελεστής δεν πληρεί κανένα από τα κριτήρια Τ-Τ5. Συπεραίνουε εποένως ότι ο τελεστής αυτός δεν είναι κατάλληλος για εξαγωγή συπεράσατος ε τον κανόνα GMT. R p -6-

38

39 6. 8 ΑΣΑΦΕΙΣ ΒΑΣΕΙΣ ΚΑΝΟΝΩΝ Οι ασαφείς βάσεις κανόνων είναι ια συλλογή ασαφών IF/THEN κανόνων οι οποίοι ορίζονται στον ίδιο χώρο ορισού και αναφέρεται σαν ασαφής αλγόριθος. Οι κανόνες αυτοί ενσωατώνουν την γνώση αναφορικά ε το σύστηα αναγνώρισης ή ελέγχου ε την ορφή λεκτικών ασαφών προτάσεων. Οι κανόνες που απαρτίζουν την βάση συνδέονται εταξύ τους ε το συνδετικό LSO. Μια τυπική ορφή ασαφούς βάσης κανόνων, ε ασαφείς κανόνες, δίνεται παρακάτω: R () : IF x s ND y s THEN z s C LSO R ( ) : IF x s ND y s THEN z s C.. LSO ( ) : IF x s ND y s THEN z s C (6-04) R Για απλότητα στην παρουσίαση, θεωρούε σε αυτή την φάση κανόνες ε δύο εταβλητές στο τήα υπόθεσης και ία εταβλητή στο τήα απόδοσης, δηλαδή, κανόνες πολλών εισόδων ιας εξόδου (Multple Iputs-Sgle Output, MISO). Όπως θα δούε στην συνέχεια, οι κανόνες αυτοί πορούν πολύ εύκολα να γενικευθούν και να πάρουν την ορφή περισσοτέρων των δύο εισόδων και πολλών εξόδων (Multple Iputs-Multple Outputs, MIMO). Είναι γνωστό ότι κάθε κανόνας R () υλοποιεί ια ασαφή σχέση στον χώρο X Y Z, όπου x X, y Y και z Z : () R = R (, ; C) = ND C = C (6-05) Το συνδετικό LSO γενικά ερηνεύεται σαν ένωση ( ) ή σαν τοή ( ). Με αυτή την λογική, η συνολική βάση κανόνων πορεί να θεωρηθεί σαν ία ασαφής σχέση R a : R a ( x, y, z) = a( x, y, z) (6-06) ( x, y, z) X Y Z όπου a ( x, y, z ) είναι η συνάρτηση συετοχής της συνολικής σχέσης που περιγράφει η βάση κανόνων. Εποένως, αν δοθούν κάποιες ασαφείς είσοδοι στην βάση πορούε να εξαγάγουε το κατάλληλο ασαφές συπέρασα στην έξοδο. Αυτό επιτυγχάνεται χρησιοποιώντας για παράδειγα τον κανόνα GMP και τους αντίστοιχους συνθετικούς κανόνες εξαγωγής συπεράσατος, όπως ακριβώς έγινε και στην περίπτωση των απλών κανόνων στις προηγούενες παραγράφους. Η διαδικασία αυτή λέγεται διαδικασία εξαγωγής συπεράσατος (Fuzzy Iferece Ege). -80-

40 Αν θεωρήσουε την έθοδο συλλογισού GMP έχουε: Είσοδοι : xs ND ys R () : IF x s ND y s THEN z s C LSO R ( ) : IF x s ND y s THEN z s C LSO.. ( ) : IF x s ND y s THEN z s C (6-07) R Συπέρασα : zsc Το βασικό ζήτηα που τίθεται σε αυτό το σηείο είναι ε ποιο τρόπο θα συπεράνουε από ένα σύνολο ασαφών κανόνων. Γενικά υπάρχουν δύο τρόποι εξαγωγής συπεράσατος από ια βάση κανόνων: η συνθετική έθοδος συπερασού (composto based ferece) και η επιεριστική έθοδος συπερασού (rule based ferece) Συνθετική έθοδος συπερασού βάσης. Σύφωνα ε την έθοδο αυτή όλοι οι ασαφείς IF/THEN κανόνες της βάσης συνδυάζονται έτσι ώστε να διαορφωθεί ια συνολική ασαφής σχέση όπως είδαε παραπάνω. Το επόενο θέα που τίθεται είναι πώς θα συνδυαστούν οι ασαφείς κανόνες, δηλαδή πώς υλοποιείται το συνδετικό LSO. Σε πρώτη φάση πρέπει να αντιληφθούε ποιο είναι το νόηα και ερηνεία που δίνεται στον κάθε κανόνα και στην συνέχεια θα πρέπει να επιλέξουε τον κατάλληλο τελεστή LSO για να τους συνθέσουε. Υπάρχουν δύο απόψεις για το πως πορούν να συνδυαστούν οι κανόνες. Η πρώτη άποψη θεωρεί ότι οι κανόνες είναι ανεξάρτητες εταξύ τους υποθετικές προτάσεις. Εποένως, σύφωνα ε αυτή την άποψη, το συνδετικό LSO ερηνεύεται σαν ένωση (uo, ) και υλοποιείται ε βάση τους αντίστοιχους τελεστές. Η συνολική σχέση προκύπτει ως εξής: R a () R = R = R( Α, Β ; C ) a = = ι ι (6-08) Η σύνθεση αυτή λέγεται και σύνθεση Mamda. Κάθε κανόνας R () περιγράφεται ως εξής: () R = R (, ; C ) = φ [ ( x ), ( y ); ( z) ] C (6-09) -8-

41 όπου φ [ ( x ), ( y ); ( z)] περιγράφει την συνάρτηση συετοχής του R () και C προκύπτει αν επιλέξουε το συνδετικό ND στο τήα υπόθεσης και ένα τελεστή συπερασού όπως είδαε προηγούενα. Η συνολική συνάρτηση συετοχής είναι: φa( x, y, z ) = a( x, y, z) = s{ φ [ ( x ), ( y ); C ( z)],..., φ [ ( x ), ( y ); C ( z)]} Συνήθως, ο τελεστής s orm υλοποιείται ε max: φ ( x, y, z) max{ φ [ ( x ), ( y ); ( z)],..., φ [ ( x ), ( y ); ( z)]} a = C C (6-0) (6-) Η δεύτερη άποψη θεωρεί ότι οι κανόνες είναι ισχυρά συνδεδεένοι εταξύ τους έτσι ώστε όλοι οι κανόνες θα πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα για να έχει νόηα η συνολική βάση. Σύφωνα ε αυτήν την άποψη, το συνδετικό LSO ερηνεύεται σαν τοή (tersecto, ) και υλοποιείται ε τους αντίστοιχους τελεστές. Η συνολική σχέση προκύπτει ως εξής: () R = R = R( Α, Β ; C ) a = = ι ι a = C C (6-) Η σύνθεση αυτή λέγεται σύνθεση Gödel. Η συνολική συνάρτηση συετοχής περιγράφεται ως εξής: φa( x, y, z ) = a( x, y, z) = t{ φ [ ( x ), ( y ); C ( z)],..., φ [ ( x ), ( y ); C ( z)]} Συνήθως ο τελεστής t orm υλοποιείται ε m: φ ( x, y, z) m{ φ [ ( x ), ( y ); ( z)],..., φ [ ( x ), ( y ); ( z)]} (6-3) (6-4) Έχοντας προσδιορίσει την συνολική συνάρτηση συετοχής της βάσης, το συπέρασα προκύπτει για GMP χρησιοποιώντας τον συνθετικό κανόνα max-m ή max-product κ.λ.π. C = (, ) R a όπου το R προκύπτει από την (6-08) ή την (6-). a Η συνάρτηση συετοχής του συπεράσατος για τον max-m τελεστή είναι: C x, y [ x y a x y z ] ( z ) = max m (, ), (,, ) (6-5) Όπως θα δούε στην συνέχεια, η σύνθεση Mamda (ένωση) χρησιοποιείται σε συνδυασό ε τους τελεστές συπερασού {R c, R p, R bp, R dp }. Επίσης, η σύνθεση Gödel (τοή) χρησιοποιείται σε συνδυασό ε τους τελεστές συπερασού { R mm, R a, R s, R }. -8-

42 Με βάση τα παραπάνω η συνθετική έθοδος εξαγωγής συπεράσατος από ία βάση κανόνων ακολουθεί τα παρακάτω βήατα: Υπολογίζουε την συνάρτηση συετοχής ( x, y) του τήατος υπόθεσης του κάθε κανόνα, επιλέγοντας τον κατάλληλο τελεστή για το συνδετικό ND. Επιλέγουε τον τελεστή συπερασού που ας ενδιαφέρει και υπολογίζουε την συνάρτηση φ [ ( x ), ( y ); ( z)] του κάθε κανόνα. C Ανάλογα ε τον τελεστή συπερασού επιλέγουε την αντίστοιχη έθοδο σύνθεσης των κανόνων και προσδιορίζουε την συνολική συνάρτηση φa ( x, y, z ). Εφαρόζουε ένα τελεστή συνθετικής εξαγωγής συπεράσατος και υπολογίζουε την συνάρτηση συετοχής του συπεράσατος Επιεριστική έθοδος συπερασού βάσης. Σύφωνα ε την έθοδο αυτή, κάθε κανόνας ξεχωριστά ε βάση τις εισόδους εξάγει το δικό του συπέρασα C. Στην συνέχεια, ανάλογα και ε την ερηνεία του συνδετικού LSO, τα επί έρους συπεράσατα συντίθενται για να προκύψει το συνολικό συπέρασα C. Αν και τα αποτελέσατα που προκύπτουν ε τις δύο εθόδους είναι τα ίδια, η επιεριστική έθοδος είναι πιο διαδεδοένη σαν έθοδος εξαγωγής συπεράσατος από ια βάση κανόνων. Αφενός ας προσφέρει έναν παραστατικό τρόπο περιγραφής της διαδικασίας συπερασού, αφετέρου δε επιτρέπει την παράλληλη και ανεξάρτητη εξαγωγή συπερασάτων και εποένως είναι κατάλληλη για υλοποίηση σε πραγατικά συστήατα. Τα επόενα θεωρήατα πραγατεύονται την επιεριστική έθοδο συπερασού ανάλογα ε την ερηνεία του συνδετικού LSO. Ερηνεία του LSO σαν ένωση. Θεώρηα 6.3 Τελεστές συπερασού ε τοπική ερηνεία Θεωρούε την οάδα τελεστών συπερασού R = { R c, R p, R bp, R dp }. Σε αυτή την περίπτωση, το συνδετικό ND στο τήα υπόθεσης των κανόνων ερηνεύεται σαν τοή ( ) και το συνδετικό LSO ερηνεύεται σαν ένωση ( ). Σύφωνα ε το θεώρηα, για όλους τους παραπάνω τελεστές συπερασού, το συνολικό συπέρασα της βάσης C είναι η ένωση των επί έρους συπερασάτων των κανόνων: -83-

43 C = (, ) R (, ; C ) = (, ) R (, ; C ) = = (6-6) Απόδειξη Θα αποδείξουε το παραπάνω θεώρηα ισχύει για τον τελεστή Mamda R και το συνδετικό ND (τοή) να ερηνεύεται ε το m ( ). Με παρόοιο τρόπο αποδεικνύεται και για τους άλλους τελεστές. Από την (66) έχουε: ( z ) = ( ( x ) ( y )) [ ( x, yz, ),..., ( x, yz, )] C xyz,, R = {( ( x ) ( y )) [ ( ( x, yz, ),..., ( x, yz, ))]} xy, xyz,, R = {[( ( x ) ( y )) ( x, y, z )],..., [( ( x ) ( y )) ( x, y, z)]} xyzxy,,, R R = {[( ( x ) ( y )) ( x, y, z )],..., [( ( x ) ( y )) ( x, y, z)]} xyz,, R R όπου ( x, y, z ) = ( x ) ( y ) C ( z). R R R c IF x s ND y s THEN z s C Συνολικό συπέρασα = w ( ) ( ) ' x x x w = ( ) ( ) ' y y y ( ) ( )(, ) ( ) ' z = w w C C z w = ( ) ( ) ' x x x w = ( ) ( ) ' y y y IF x s ND y s THEN z s C ( ) ( )(, ) ( ) ' z = w w C C z C ' IF x s ND y s THEN z s C w = ( ) ( ) ' x x w ( ) ( ) ' y y x = y z w w z C ' ( ) = ( )(, ) C ( ) Επί έρους συπεράσατα -84-

44 Σχ.6. Η διαδικασία εξαγωγής του συνολικού συπεράσατος φαίνεται στο Σχ.6.. Ερηνεία του LSO σαν τοή. Θεώρηα 6.4 Τελεστές συπερασού ε συνολική ερηνεία. Θεωρούε την οάδα τελεστών συπερασού R = { R mm, R a, R s, R }. Σ' αυτή την περίπτωση, το συνδετικό ND στο τήα υπόθεσης των κανόνων ερηνεύεται σαν τοή ( ) και το συνδετικό LSO ερηνεύεται σαν ένωση ( ). Για όλους τους παραπάνω τελεστές συπερασού, το συνολικό συπέρασα της βάσης C είναι η τοή των επί έρους συπερασάτων των κανόνων: C = (, ) R (, ; C ) = (, ) R (, ; C ) = = (6-7) Πρέπει να τονισθεί ότι τα θεωρήατα 6.3 και 6.4 ισχύουν επίσης αν ο τελεστής σύνθεσης max-m αντικατασταθεί από το τελεστή max-product. Στο σηείο αυτό θα συνδυάσουε τα θεωρήατα 6.3 και 6.4 ε το θεώρηα 6. για να καταλήξουε στο τελευταίο στάδιο επιερισού στη διαδικασία εξαγωγής συπεράσατος. Θεώρηα 6.5 Για την οάδα τελεστών συπερασού R = { R c, R p, R bp, R dp } το τελικό συπέρασα της βάσης προκύπτει ως εξής: C = (, ) R (, ; C ) = {[ R (,; C )] [ R ( ; C )]} = = (, ) R (, ; C ) = [ R( ; C )] [ R( ; C )] Το θεώρηα αυτό αποδεικνύεται εύκολα. Από την (6-6) και ε βάση την (6-54) προκύπτει η (6-8). (6-8) Θεώρηα 6.6 Με παρόοιο τρόπο, για την οάδα τελεστών συπερασού R = { R mm, R a, R s, R } το τελικό συπέρασα της βάσης προκύπτει ως εξής: C = (, ) R (, ; C ) = {[ R ( ; C )] [ R ( ; C )] = = (6-9) -85-

45 Από την (6-7) και ε βάση την (6-55) (, ) R (, ; C ) = [ R( ; C )] [ R( ; C )] προκύπτει εύκολα η (6-9). Θεώρηα 6.7 Τελεστές R c και R p Θεωρούε τον τελεστή σύνθεσης max-m. Το συνολικό συπέρασα παραπάνω τελεστές προκύπτει ως εξής: C για τους R c : ( z ) = ( z) = [ w ( z)] (6-0) C w C = = C R p : ( z ) = ( z) = [ w ( z)] (6-) C όπου w = w και C = = C w = [ ( x ) ( x ) ] και w = [ ( y ) ( y ) ] (6-) x y w και w είναι οι βαθοί εκπλήρωσης της υπόθεσης xs και ys του κανόνα R (), αντίστοιχα, και δείχνει πόσο οι είσοδοι και ταιριάζουν ε τις αντίστοιχες υποθέσεις. Ο παράγοντας R w είναι ο συνολικός βαθός εκπλήρωσης του τήατος υπόθεσης του κανόνα (). C είναι το επί έρους συπέρασα που προκύπτει όταν οι είσοδοι διεγείρουν τον κανόνα R (). Το παραπάνω θεώρηα είναι εφαρογή του θεωρήατος 6.5 εφαρόζοντας την διαδικασία εξαγωγής συπεράσατος που εξετάσαε στην παράγραφο Για ια βάση αποτελούενη από δύο κανόνες και για R και max-m έχουε c ή C = C C = [(, ) R ] [(, ) R ] (6-3) C ( z ) = C ( z ) C ( z) = [ w C ( z)] [ w C ( z)] (6-4) Η διαδικασία εξαγωγής συπεράσατος περιγράφεται στο Σχ.6.. Φαίνεται καθαρά ότι οι δύο κανόνες διεγείρονται ανεξάρτητα και παράγουν καθένας το δικό του συπέρασα. Στην συνέχεια, τα δύο συπεράσατα συντίθενται ε ένωση και παράγουν το τελικό αποτέλεσα. Παρόοια διαδικασία ακολουθούε και για τον τελεστή συπερασού R p. Πρέπει να τονισθεί επίσης, ότι το θεώρηα 6.7 ισχύει αυτούσιο αν ο τελεστής σύνθεσης max-m αντικατασταθεί ε τον τελεστή max-product. Μια ειδική και πολύ συνηθισένη εφαρογή του θεωρήατος 6.7 δίνεται παρακάτω. -86-