... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω, στη θεωρία τω γραικώ απεικοίσεω και σήερα πλέο χρησιοποιούται σε όλους τους κλάδους τω αθηατικώ Θα ορίσουε τις πράξεις εταξύ τω πιάκω και θα ελετήσουε τις ιδιότητές τους Οι πίακες που θα θεωρήσουε στη συέχεια έχου στοιχεία πραγατικούς ή ιγαδικούς αριθούς Ότα ααφερόαστε στο σώα Κ, εοούε ότι Κ= ή Κ= 2 Βασικοί ορισοί Ορισός 2 Μία ορθογώια παράταξη στοιχείω από το σώα Κ σε οριζότιες σειρές, που λέγοται γραές, και σε κατακόρυφες σειρές, που λέγοται στήλες, της ορφής α α2 α 2 22 α α α 2 α α2 α λέγεται πίακας τύπου Συήθως συβολίζεται ε έα από τα κεφαλαία γράατα ή ε το γεικό στοιχείο α σε παρέθεση, δηλαδή γράφουε Α= ( α ή ( α Α=, α ο τύπος του πίακα είαι γωστός Οι αριθοί α λέγοται στοιχεία του πίακα Α και οι δείκτες i και j δηλώου τη γραή και τη στήλη, ατίστοιχα, που αήκει το στοιχείο α Για παράδειγα, οι πίακες Α=, Β= είαι τύπου 2 3 και 2 2, ατίστοιχα, και έχουε

2 8 Κεφάλαιο 2 Πίακες α =, α2 = 2, α23 = 5, β 2 = 4, β 22 = 5, κλπ Ότα είαι =, τότε ο πίακας λέγεται τετραγωικός Έας πίακας τύπου (ατ, λέγεται πίακας-γραή (ατ, πίακας - στήλη Το σύολο όλω τω πιάκω τύπου ε στοιχεία από το σώα Κ συ- βολίζεται ε Μ ( Κ ή Μ τω τετραγωικώ πιάκω συβολίζεται ε (, α το σώα Κ θεωρείται γωστό Το σύολο Μ Μ Κ ή απλά Τα στοιχεία α, α22,, α ορίζου τη κύρια διαγώιο του τετραγωικού πίακα Α= ( α Ο τετραγωικός πίακας ( α Α= λέγεται τριγωικός άω, α όλα τα στοιχεία του που βρίσκοται κάτω από τη κύρια διαγώιο είαι 0, δηλαδή είαι α = 0, για i j Α= α λέγεται > Οοίως ο πίακας ( τριγωικός κάτω, α όλα τα στοιχεία του που βρίσκοται πάω από τη κύρια διαγώιο είαι 0, δηλαδή ισχύει ότι α = 0, για i < j Η σχέση της ισότητας στο σύολο ( ( β Β=, ορίζεται ως εξής: Μ Κ, α είαι ( α Α=Β α = β, για κάθε i =, 2,,, j =, 2,, Α= και 22 Πράξεις στο σύολο τω πιάκω Η πρόσθεση πιάκω Ορισός 2 2 Στο σύολο Μ τω πιάκω ε στοιχεία στο σώα Κ= ή η πρόσθεση είαι ία εσωτερική πράξη, που ορίζεται ως εξής: ( a b + : Μ Μ Μ,( Α, Β Α+Β : = +, όπου Α= ( a και Β= ( b Ο πίακας Α +Β λέγεται άθροισα τω πιάκω Α, Β και κάθε του στοιχείο προκύπτει ως άθροισα τω ατίστοιχω στοιχείω τω πιάκω Α και Β Για παράδειγα, α είαι 0 2 Α= 3 3, Β= , τότε Α+Β=

3 22 Οι πράξεις στο σύολο τω πιάκω 9 Θεώρηα 22 Η πράξη της πρόσθεσης ικαοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: (i Α+Β=Β+Α, για κάθε ΑΒ Μ, (ατιεταθετική ιδιότητα (ii ( Α+Β +Γ=Α+ ( Β+Γ, για κάθε ΑΒΓ Μ,, (προσεταιριστική ιδιότητα (iii Υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο για τη πρόσθεση και είαι ο ηδεικός πίακας Ο= (0, που όλα τα στοιχεία του είαι 0 Ισχύει ότι (iv Για κάθε πίακα ( a Α +Ο=Ο+Α=Α, για κάθε Α Μ Α= υπάρχει ο ατίθετος πίακας Α = ( a που είαι τέτοιος ώστε Α+ ( Α = ( Α +Α=Ο Έτσι, το σύολο Απόδειξη Μ γίεται αβελιαή προσθετική οάδα Α= Β=, (i Σύφωα ε το ορισό της πρόσθεσης, α είαι ( a, ( b έχουε Α+Β= ( a + b = ( b a + =Β+Α (ii Α Α= ( a, Β= ( b και Γ= ( c είαι ( a b c ( a b c (iii Α Α= ( a τότε: Ο+Α=Α+Ο= ( a + 0 = ( a =Α (iv Α Α= ( a τότε: ( ( (( a a ( 0 πίακες, τότε ( Α+Β +Γ= ( + + = + ( + =Α+ ( Β+Γ Α+ Α = Α +Α= + = =Ο Η πράξη της αφαίρεσης στο σύολο Μ ορίζεται έσω της πρόσθεσης από τη ισότητα Α Β : =Α+ ( Β Από το ορισό και τις ιδιότητες της πρόσθεσης εύκολα προκύπτει ότι το άθροισα τριώ ή περισσότερω πιάκω του ιδίου τύπου είαι το ίδιο ε οποιαδήποτε σειρά και α εκτελεστού οι επιέρους προσθέσεις Για παράδειγα, ισχύει Α+Β+Γ+Δ= ( Α+Β + ( Γ+Δ = [( Α+Β +Γ ] +Δ=Δ+ [ Β+ ( Γ+Α ] Η εξίσωση πιάκω Α+Χ=Β έχει οαδική λύση Χ =Β Α, αφού Α+Χ=Β Α+ ( Α+Χ = ( Α +Β [( Α +Α ] +Χ =Β+ ( Α Ο+Χ=Β Α Χ=Β Α

4 20 Κεφάλαιο 2 Πίακες Ο πολλαπλασιασός αριθού ε πίακα Ορισός Στο σύολο Μ τω πιάκω ε στοιχεία στο σώα Κ= ή ο πολλαπλασιασός αριθού ε πίακα είαι ία εξωτερική πράξη ε συτελεστές στο σώα Κ, που, α Α= ( a και λ Κ, ορίζεται ως εξής: λ Α= ( λa Συήθως γράφουε λα, ατί του τυπικού συβόλου λ Α Για παράδειγα, α είαι Θεώρηα Για κάθε, ισχύου: (i λ ( Α+Β = λ Α+ λ Β, (ii ( λ + Α= λ Α+ Α, (iii λ ( Α = ( λ Α, 0 2 Α= 3 3, τότε Α= Α = a, Β= b Μ ( Κ λ Κ και ( ( (iv Α=Α, όπου είαι η οάδα τω πραγατικώ αριθώ Απόδειξη λ ( Α+Β = λ( a + b = λa + λb = λa + λb = λ Α+ λ Β (i ( ( ( ( (ii ( (( a ( a a ( a ( a (iii λ ( Α = λ ( a ( ( ( ( = λ a = λ a = ( λ Α (iv ( a ( a λ + Α = λ + = λ + = λ + = λ Α+ Α Α= = =Α Παρατήρηση Το σύολο Μ ( Κ εφοδιασέο ε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασού αριθού ε πίακα, όπως θα άθουε στο κεφάλαιο 8, αποκτά τη δοή διαυσατικού χώρου πάω στο σώα Κ Πολλαπλασιασός πιάκω Η πράξη του πολλαπλασιασού πιάκω δε είαι εσωτερική πράξη στο σύολο Μ ( Κ, είαι όως εσωτερική πράξη στο σύολο Μ ( Κ Η αφετηρία του ορισού του πολλαπλασιασού πιάκω είαι η θεωρία τω γρα-

5 22 Οι πράξεις στο σύολο τω πιάκω 2 ικώ απεικοίσεω που θα ελετήσουε στο κεφάλαιο 9 Θα δούε ότι σε κάθε γραική απεικόιση ατιστοιχίζεται έας πίακας και ατιστρόφως Επιπλέο, α οι πίακες Α και Β είαι ατίστοιχοι τω γραικώ απεικοίσεω f και g, τότε ο πίακας που ορίζουε ως γιόεο ΑΒ είαι ο ατίστοιχος της απεικόισης f g Έτσι οδηγούεθα στο ακόλουθο ορισό: Α= Μ ( Κ, Β= Μ ( Κ, το γιόεο Ορισός 223 Α ( a ( b ρ Α Β ή απλά ΑΒ είαι έας πίακας τύπου ρ ε γεικό στοιχείο c a b a b a b a b = =, i j i2 2 j i j ik kj k = που προκύπτει από το πολλαπλασιασό τω στοιχείω της i- γραής του πίακα Α ε τα ατίστοιχα στοιχεία της j στήλης του πίακα Β και άθροιση τω γιοέω που προκύπτου 0 2 Για παράδειγα, α Α= , Β= 2, τότε ΑΒ = , εώ ορίζεται και ο πίακας 2 + ( ( ( ΒΑ = = Παρατηρήσεις Το γιόεο ΑΒ ορίζεται όο ότα ο αριθός τω στηλώ του πίακα Α ισούται ε το αριθό τω γραώ του πίακα Β Σχηατικά έχουε Α Β ΑΒ, ρ ρ εώ για τους παραπάω πίακες το γιόεο ΒΑ ορίζεται, όο ότα = ρ και ε γέει έχουε ΑΒ ΒΑ Θεώρηα Α οι πίακες Α, ΒΓ, είαι κατάλληλου τύπου, ώστε α ορίζοται οι πράξεις που εφαίζοται, τότε ισχύου: (i ( ΑΒ Γ = Α( ΒΓ (προσεταιριστική ιδιότητα ΑΒ+Γ ( =ΑΒ+ΑΓ ii, (επιεριστικές ιδιότητες ( Β+Γ Α=ΒΑ+ΓΑ (iii ΑΒ = Ο Α =Οή Β= Ο

6 22 Κεφάλαιο 2 Πίακες Απόδειξη (i Α είαι ( a, ( b, ( c Α= Β= Γ=, και γράψουε ρ ρ τ το γεικό στοιχείο του πίακα Α ως a ( Α = κλπ, τότε έχουε ρ ρ ρ ( ΑΒ Γ = ( ΑΒ ik c kj = a i σbσ k c kj = a i σ bσ k c kj k= k= σ= σ= k= = a i σ( ΒΓ σ j = Α( ΒΓ σ = (ii Α είαι ( a, ( b, ( c Α= Β= Γ=, τότε έχουε ρ ρ ΑΒ+Γ ( = a ( b + c = a b + a c =ΑΒ+ΑΓ ik kj kj ik kj ik kj k= k= k= Οοίως, α Α= ( a, Β= ( b, Γ= ( c, τότε έχουε ρ ( Β+Γ Α= ( b + c a = b a + c a =ΒΑ+ΓΑ ik ik kj ik kj ik kj k= k= k= (iii Αρκεί α βρούε έα ατιπαράδειγα ε πίακες για τους οποίους ισχύει ότι ΑΒ = Ο ε Α Ο και Β Ο Τέτοιοι είαι, για παράδειγα, οι πίακες Α= και Β= Ο οαδιαίος πίακας Ο πίακας Ι = ( δ =, όπου δ 0 0, α i = = 0, α i j j είαι η συάρτηση δέλτα του Kronecker, οοάζεται οαδιαίος πίακας και έχει τις ιδιότητες: ΑΙ =ΙΑ = Α, για κάθε πίακα Α τύπου, ΑΙ = Α,για κάθε πίακα Α τύπου, Ι Α=Α, για κάθε πίακα Α τύπου ρ

7 22 Οι πράξεις στο σύολο τω πιάκω 23 Ο ατίστροφος πίακας Ορισός 224 Α ο πίακας Α είαι τετραγωικός τύπου και υπάρχει πίακας Χ τέτοιος ώστε ΑΧ = ΧΑ = Ι, τότε λέε ότι ο πίακας Α είαι ατιστρέψιος και ο πίακας Χ είαι ο ατίστροφος πίακας του Α Γράφουε τότε Χ =Α Θεώρηα 224 Α οι πίακες Α, Β είαι ατιστρέψιοι, τότε ισχύου: (i ( Α = Α (ii ( ΑΒ =Β Α Απόδειξη (i Από το ορισό 224 έχουε ότι ΑΑ = Α Α =Ι, οπότε προκύπτει άεσα το ζητούεο (ii ( ΑΒ( Β Α = Α( ΒΒ Α = ΑΙ Α = ΑΑ = Ι και οοίως αποδεικύεται ότι: ( Β Α ( ΑΒ =Ι Στα επόεα κεφάλαια θα θεωρήσουε δύο τρόπους εύρεσης του ατίστροφου εός πίακα, α αυτός υπάρχει Σηειώουε ότι δε έχου όλοι οι τετραγωικοί πίακες ατίστροφο πίακα Στο παρό κεφάλαιο θα δώσουε έα τύπο για το υπολογισό του ατίστροφου εός 2 2 πίακα 2 Α είαι Α= a a a2 a 22 και Χ= x y z w είαι ο ζητούεος ατίστροφος του πίακα Α,τότε από τις ισότητες ΑΧ =ΧΑ=Ι 2 και τη επίλυση τω γραικώ συστηάτω ε δύο εξισώσεις και δύο αγώστους που προκύπτου, ε τη προϋπόθεση ότι aa22 a2a2 0, λαβάουε: a a2 a22 a2 Χ= a a = a a a a a a Οι δυάεις εός πίακα Για κάθε τετραγωικό πίακα Α ορίζουε τις δυάεις του ως εξής: 0 Α =Ι, Α =Α και n Α = Α n Α, για κάθε * n ε 2 n

8 24 Κεφάλαιο 2 Πίακες Επιπλέο, α πίακας Α είαι ατιστρέψιος, τότε ορίζουε ( Α n * Α =, για κάθε n Με βάση τις ιδιότητες που ικαοποιεί η πράξη του πολλαπλασιασού πιάκω προκύπτου αέσως οι ιδιότητες: m n n m m+ n Α Α = Α Α = Α, για κάθε mn, m 2 ( n mn n Α = Α, για κάθε mn, λα = λ Α, για κάθε n 3 ( n n n n < απαιτείται η ισότητα ( λ λ (Για 0 4 ( Α ( Α =, για κάθε n n n Α = Α, για κάθε λ 0 5 ( Α+Β = ( Α+Β ( Α+Β =Α +ΑΒ+ΒΑ+Β 6 Α ΑΒ = ΒΑ, τότε ισχύου: ( Α±Β =Α ± 2ΑΒ+Β ( Α±Β =Α ± 3Α Β+ 3ΑΒ ±Β 2 2 ( Α+Β ( Α Β =Α Β n n n n k k * ( Α+Β = Α Β k = 0 k, για κάθε n Ο αάστροφος πίακας Ορισός Α ( a Α= Μ, τότε ο πίακας που προκύπτει από το Α ε εαλλαγή εταξύ γραώ και στηλώ του λέγεται αάστροφος πίακας του Α και συβολίζεται ε Α, έχουε δηλαδή Α = a Μ Για παράδειγα, α είαι ( ji 2 Α= 3, 0 5 Β = 2, τότε 3 Α = και [ 2 3] Β = Από το ορισό του αάστροφου πίακα άεσα προκύπτου οι ιδιότητες:

9 22 Οι πράξεις στο σύολο τω πιάκω 25 ( Α+Β =Α +Β, γιακάθε Α, Β Μ, 2 ( λα = λα, για κάθε λ Κ, Α Μ, 3 ( ΑΒ = Β Α, για κάθε Α Μ, Β Μ, 4 Ι =Ι, 5 ( Α = Α, για κάθε Α Μ και 6 ( Α = ( Α ρ Απόδειξη Η απόδειξη τω περισσοτέρω από τις παραπάω ιδιότητες είαι απλή εφαρογή του ορισού Ειδικότερα για τη 3, α ε ( Α συβολίσουε το γεικό στοιχείο του πίακα Α, έχουε : (( ΑΒ = ( ΑΒ ( ( ( ji = ajkbki = Β ik Α kj = Β Α Για τη 6 έχουε k= k= ( ( ( ( ΑΑ = Α Α = Ι ΑΑ = Α Α = Ι Α Α = Α Α = Ι, οπότε, λόγω της οαδικότητας του ατίστροφου εός πίακα, θα ισχύει ότι ( ( Ορισός 226 Ο τετραγωικός πίακας Α = ( a (i συετρικός, α (ii ατισυετρικός, α i, j =,2,, Για παράδειγα, από τους πίακες Α = Α Α = Α, δηλαδή, α a aji, Μ λέγεται: Α = Α, δηλαδή α ji Α= 2 3, Β= 2 0, = για κάθε i, j =,2,,, a = a, για κάθε ο Α είαι συετρικός, εώ ο Β είαι ατισυετρικός Παρατηρούε ότι τα στοιχεία της κυρίας διαγωίου του πίακα Β είαι όλα ηδέ Αυτό δε είαι τυχαίο, αλλά ισχύει σε κάθε ατισυετρικό πίακα, αφού από τη ισότητα a = aji για i= j προκύπτει ότι a ii = 0, για κάθε i =, 2,,

10 26 Κεφάλαιο 2 Πίακες 2 3 Ειδικοί τύποι πιάκω Κατ αρχή σηειώουε ότι, σε ία γραή που δε έχει όλα τα στοιχεία της 0 (η ηδεική γραή, το ηγετικό στοιχείο της είαι το πρώτο, από αριστερά προς τα δεξιά, η ηδεικό στοιχείο της Ορισός 2 3 (α Ο πίακας ( a Α= Μ λέγεται κλιακωτός ή κλιακωτής ορφής, ότα ισχύου τα ακόλουθα: (i οι ηδεικές γραές, α υπάρχου, βρίσκοται στη σειρά ετά τις η ηδεικές γραές και (ii α γ, γ2,, γκ, κ είαι οι η ηδεικές γραές του πίακα Α, τότε το ηγετικό στοιχείο της γ i + - γραής βρίσκεται δεξιότερα από το ηγετικό στοιχείο της γ i -γραής (β Ο πίακας ( a Α= Μ λέγεται αηγέος κλιακωτός ή αηγ- έης κλιακωτής ορφής, α ισχύου τα ακόλουθα: (i είαι κλιακωτός, (ii το ηγετικό στοιχείο κάθε η ηδεικής γραής είαι και (iii σε ία στήλη που περιέχει το ηγετικό στοιχείο κάποιας γραής, όλα τα άλλα στοιχεία της είαι 0 Για παράδειγα, οι παρακάτω πίακες είαι κλιακωτοί Α= και Β=, εώ αηγέοι κλιακωτοί είαι οι πίακες Γ= 0 2 και Δ= Στοιχειώδεις πράξεις και πίακες Στο σύολο τω πιάκω θεωρούε απεικοίσεις της ορφής τ: Μ Μ, Α τ( Α, που λέγοται στοιχειώδεις πράξεις γραώ ή γραοπράξεις Ο πίακας τ ( Α προκύπτει από το πίακα Α ε εφαρογή ιας από τις ακόλουθες διαδικασίες:

11 23 Ειδικοί τύποι πιάκω 27 γ γ, εαλλαγή της i γραής ε τη j γραή I i j II γ λγ, λ 0, πολλαπλασιασός της i γραής επί λ 0 i i III γ γ + λγ, λ 0, ατικατάσταση της i γραής από το άθροισα i i j αυτής και του λ πλασίου της j γραής Οι πίακες Α και τ ( Α λέγοται γραοϊσοδύαοι Όοια, ορίζοται και οι στοιχειώδεις πράξεις στηλώ ή στηλοπράξεις και συβολίζοται ε σ: Μ Μ, Α σ( Α σ σ, σ λσ, σ σ + λσ, λ 0 i j i i i i j Σε κάθε ία από τις στοιχειώδεις πράξεις γραώ (ατίστοιχα, στηλώ ατιστοιχίζουε έα στοιχειώδη πίακα Έτσι, στη στοιχειώδη πράξη γραώ τ που εφαρόζεται σε πίακα, ατιστοιχίζουε το στοιχειώδη πίακα τ ( Ι που προκύπτει από τη εφαρογή της τ στο οαδιαίο πίακα Ι, εώ στη στοιχειώδη πράξη στηλώ σ που εφαρόζεται σε πίακα, ατιστοιχίζουε το στοιχειώδη πίακα σ ( Ι που προκύπτει από τη εφαρογή της σ στο οαδιαίο πίακα Ι Για παράδειγα, στις στοιχειώδεις πράξεις γ γ2, σ2 3 σ2, γ3 γ3 + 2γ, ότα εφαρόζοται σε 3 4 πίακα, ατιστοιχίζοται οι παρακάτω στοιχειώδεις πίακες: ,, Ααγωγή πίακα σε αηγέο κλιακωτό Θεωρούε έα πίακα ( a Α= Μ Αυτός ε διαδοχική εφαρογή στοιχειωδώ πράξεω γραώ αάγεται αρχικά σε κλιακωτό και στη συέχεια σε αηγέο κλιακωτό πίακα Η διαδικασία ααγωγής είαι αλγοριθική (αλγόριθος τω Gauss-Jordan και περιγράφεται ως εξής:

12 28 Κεφάλαιο 2 Πίακες Ι Με εαλλαγή γραώ, α είαι αάγκη, κάουε το πρώτο στοιχείο της πρώτης η ηδεικής στήλης διάφορο του 0 Το στοιχείο αυτό το οοάζουε βασικό (pivot, όπως και το ηγετικό στοιχείο κάθε η ηδεικής γραής ΙΙ Με εφαρογή της γραοπράξης γ ( a γ το στοιχείο a γίεται ίσο ε Στη συέχεια ε εφαρογή τω γραοπράξεω γ γ a γ,, γ γ a γ ηδείζουε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης εκτός του βασικού Α όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης είαι 0, τότε εφαρόζουε τη διαδικασία που περιγράψαε στη πρώτη από τις επόεες στήλες που έχει η ηδεικά στοιχεία, κοκ ΙΙΙ Αγοώτας τη πρώτη γραή και τη πρώτη στήλη του πίακα που έχει προκύψει, επααλαβάουε τη παραπάω διαδικασία για α κάουε το στοιχείο a22 ίσο ε και τα στοιχεία a32,, a 2 της δεύτερης στήλης που βρίσκοται κάτω από το a 22 ίσα ε 0 Συεχίζουε τη ίδια διαδικασία έχρις ότου ο πίακας Α γίει κλιακωτός και ε τα ηγετικά στοιχεία τω γραώ του ίσα ε ΙVΜε στοιχειώδεις πράξεις γραώ τύπου ΙΙΙ ετατρέπουε τα η ηδεικά στοιχεία κάθε στήλης που περιέχει το ηγετικό ιας γραής σε ηδεικά αρχίζοτας από αυτή που είαι δεξιότερα Παρατηρήσεις Με τα βήατα Ι και ΙΙ ο πίακας ετατρέπεται σε κλιακωτό, χωρίς α είαι ααγκαίο α γίου τα ηγετικά στοιχεία τω γραώ ίσα ε Γεικά ο κλιακωτός πίακας που προκύπτει δε είαι οαδικός έχει όως πάτοτε το ίδιο αριθό η ηδεικώ γραώ Ο αριθός αυτός έχει εγάλη σηασία για έα πίακα και στα επόεα κεφάλαια θα δούε ότι οοάζεται βαθός του πίακα 2 Ο αηγέος κλιακωτός πίακας που προκύπτει ε το παραπάω αλγόριθο είαι οαδικός 3 Τα τρία πρώτα βήατα της παραπάω εθόδου αποτελού τη έθοδο απαλοιφής του Gauss, εώ η πλήρης έθοδος είαι η έθοδος απαλοιφής τω Gauss-Jordan Η ααγωγή πίακα σε αηγέο κλιακωτό είαι πολύ χρήσιη για τη εύρεση του βαθού πίακα, αλλά και για τη επίλυση γραικώ συστηάτω Παράδειγα 24 Να ετατραπεί σε αηγέο κλιακωτό ο πίακας Α=

13 24 Ααγωγή πίακα σε αηγέο κλιακωτό 29 Λύση Ο πίακας Α γίεται: γ γ γ γ γ γ4 γ4 3γ ( 4 γ γ3 0 2 γ3 γ3 4γ γ2 γ3 γ4 γ4 8γ γ3 γ γ4 γ4 0γ γ3 ( γ3 4 ( γ 4 γ γ2 γ2 γ γ γ + γ3 γ γ+ 5γ4 γ γ 2γ Στη συέχεια θα δούε ερικές προτάσεις σχετικές ε τις στοιχειώδεις πράξεις, τους στοιχειώδεις πίακες και τη εύρεση του ατίστροφου εός πίακα Πρόταση 24 (α Α τ : Μ Μ είαι ία στοιχειώδης πράξη γραώ και Α Μ, τότε ( τ( Α = τ Ι Α (β Α σ : Μ Μ είαι ία στοιχειώδης πράξη στηλώ και Α Μ, τότε σ( Α =Ασ( Ι Απόδειξη (α Θα εξετάσουε όο τις στοιχειώδεις πράξεις τύπου Ι, ( γ i γ j Οι άλλες δύο περιπτώσεις και το ερώτηα (β αποδεικύοται αάλογα Ο στοιχειώδης πίακας που ατιστοιχεί στη γραοπράξη τ ( γi γ j είαι

14 30 Κεφάλαιο 2 Πίακες όπου ( ii jj ji, τ Ι =Ι Ε Ε +Ε +Ε Ε είαι πίακας που έχει το στοιχείο του ίσο ε και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του είαι 0 Έστω ότι ο πίακας ( a γραές γ = a a 2 a, k Τότε θα είαι Επίσης έχουε k k k k i jγ i+, j i j+ τ( Α = γ γ γ γ γ γ γ τ ( Ι Α = ( Α= έχει ii jj ji ii jj ji Ι Ε Ε +Ε +Ε Α=Α Ε Α Ε Α+Ε Α+Ε Α γ γ γi γ 0 a i j 0 γ j = + + = = τ ( Α γ j 0 γ j 0 γ i γ i γ 0 a γ 0 γ Παρατήρηση Σηειώουε ότι οι στοιχειώδεις πίακες που ατιστοιχίζοται στις στοιχειώδεις πράξεις γ i λγ i και γ γ + λγ, λ 0 είαι οι diag(,, λ, και Ι + λε, ατίστοιχα i i j Πρόταση 242 Κάθε στοιχειώδης πίακας είαι ατιστρέψιος Απόδειξη Έστω P και Q οι στοιχειώδεις πίακες που ατιστοιχού σε ία γραοπράξη τ και στη ατίστροφή της, έστω τ Σύφωα ε τη πρόταση 24 έχουε ( ( ( ( ( τ τ τ τ Ι = Ι = PΙ = Q PΙ = QP, ( ( ( Ι = τ τ Ι = QΙ = P QΙ = PQ Άρα έχουε τη ισότητα PQ = QP =Ι, οπότε ο πίακας P είαι ατιστρέψιος ε P = Q

15 25 Εύρεση του ατίστροφου πίακα Εύρεση του ατίστροφου πίακα Από τις προτάσεις 24 και 242 έπεται ότι ο πίακας που προκύπτει ε διαδοχική εφαρογή γραοπράξεω σε έα πίακα Α είαι της ορφής PΑ, όπου ο P είαι ατιστρέψιος πίακας ως γιόεο στοιχειωδώ πιάκω Ειδικότερα, για τετραγωικούς πίακες έχουε: Πρόταση 2 5 Έστω ότι ο πίακας Α Μ ( Κ ε διαδοχική εφαρογή γραοπράξεω τ, τ2,, τ s ε ατίστοιχους στοιχειώδεις πίακες P,, P2 ετασχηατίζεται στο αηγέο κλιακωτό πίακα Α R Τότε ισχύου:, P s I Α ο Α R έχει ία τουλάχιστο ηδεική γραή, τότε ο πίακας Α είαι η ατιστρέψιος II Α ο Α R δε έχει ηδεικές γραές, τότε Α R =Ι, ο πίακας Α είαι ατιστρέψιος και Α = P PPΙ s 2 Απόδειξη Ι Έστω ότι ο πίακας Α R έχει ία τουλάχιστο ηδεική γραή και ας υποθέσουε ότι ο πίακας Α είαι ατιστρέψιος Τότε θα υπάρχει πίακας Χ τέτοιος ώστε ΑΧ = ΧΑ = Ι ( Από τη πρόταση 24, θα υπάρχει ατιστρέψιος πίακας P = Ps PP 2 τέτοιος, ώστε α ισχύει P PPΑ = PΑ = Α (2 s 2 Από τις ( και (2 έχουε Ι = PP = PΑΧ P = Α Χ P R R Ι = ΧΑ = ΧP PΑ = ΧP Α R, από τις οποίες προκύπτει ότι ΑR ( Χ P = ( ΧP Α =Ι, δηλαδή ο πίακας Α R είαι ατιστρέψιος, που είαι άτοπο, γιατί ο πίακας Α R έχει ία τουλάχιστο ηδεική γραή και το γιόεό του ε οποιοδήποτε πίακα θα περιέχει επίσης ία τουλάχιστο ηδεική γραή και έτσι δε πορεί α είαι ο οαδιαίος πίακας Άρα ο πίακας Α δε είαι ατιστρέψιος

16 32 Κεφάλαιο 2 Πίακες ΙΙ Α ο πίακας Α R δε έχει ηδεική γραή, τότε αυτός θα περιέχει ηγετικά καταεηέα σε η ηδεικές γραές, που το καθέα βρίσκεται δεξιότερα από το ηγετικό της προηγούεης γραής, οπότε θα είαι Α =Ι Επιπλέο θα ισχύει R s 2 R s 2 P PPΑ= PΑ=Α =Ι Α = P PP = P Κ το οαδιαίο πίακα Ι και εφαρόσουε και στους δύο ταυτόχροα τις ίδιες στοιχειώδεις πράξεις γραώ, ώστε ο πίακας Α α ετασχηατιστεί στο αηγέο κλιακωτό πίακα Α, τότε θα έχουε Α γράψουε δίπλα στο πίακα Α Μ ( R [ ] Α Ι ΑR Β Από τη πρόταση 25 συπεραίουε ότι: Α ΑR Ι, τότε ο πίακας Α δε ατιστρέφεται Α Α R =Ι, τότε ο πίακας Α ατιστρέφεται και Α =Β Παράδειγα 2 5 Να βρεθεί ο ατίστροφος του πίακα 2 3 Α= Λύση Έχουε [ Α Ι γ γ γ 3] = γ3 γ3 3γ γ3 γ3 2γ2 γ2 γ2 2γ γ2 ( γ2 γ γ 3γ γ γ 2γ = Ι3 Β Άρα ο πίακας Α είαι ατιστρέψιος και ο ατίστροφός του είαι ο 2 0 Α =Β=

17 26 Εισαγωγή στα γραικά συστήατα Εισαγωγή στα γραικά συστήατα Κάθε εξίσωση της ορφής λx+ λ2x2 + + λx = β, (,,, όπου λ, λ2,, λ, β Κ = ή και x x2 x άγωστοι αριθοί από το σώα Κ, λέγεται γραική εξίσωση ε αγώστους Ο αριθός β λέγεται σταθερός όρος της εξίσωσης, εώ οι αριθοί λ, λ2,, λ λέγοται συτελεστές τω αγώστω Λύση της γραικής εξίσωσης ( λέγεται κάθε διατεταγέη -άδα ω, ω,, ω Κ τέτοια ώστε ( 2 λω+ λ2ω2 + + λω = β, δηλαδή επαληθεύεται η εξίσωση, α θέσουε xi = ωi, i =,2,, Γραικό σύστηα ε εξισώσεις και αγώστους ή - γραικό σύστηα είαι έα (πεπερασέο πλήθος γραικώ εξισώσεω ε αγώστους, δηλαδή έχει τη ορφή αx + α2x2 + + α x = β 2x 22x2 2x α + α + + α = β2 α x+ α2x2+ + αx = β Α θεωρήσουε τους πίακες (2 α α2 α 2 22 α α α2 Α=, α α2 α x β x β 2 2 Χ=, Β= x β τότε το γραικό σύστηα (2 γράφεται ως ία εξίσωση πιάκω ΑΧ =Β, (3 όπου ο πίακας Α είαι πίακας τω συτελεστώ, ο πίακας Χ είαι ο πίακας τω αγώστω και ο πίακας Β είαι πίακας τω σταθερώ όρω Λύση της γραικού συστήατος (2 λέγεται κάθε διατεταγέη -άδα (,,, 2 ξ ξ ξ Κ που επαληθεύει και τις εξισώσεις του συστήατος (2

18 34 Κεφάλαιο 2 Πίακες Το γραικό σύστηα (2 λέγεται συβιβαστό, α έχει ία τουλάχιστο λύση, εώ λέγεται αδύατο, α δε έχει λύση Για λόγους συβατότητας ε τους συβολισούς ας θα συβολίζουε τη λύση ( ξ, ξ2,, ξ και ε το πίακα-στήλη [ ] ξ ξ ξ2 ξ = Δύο γραικά συστήατα ε εξισώσεις και αγώστους ΑΧ=Β και 2 2 Α Χ=Β, λέγοται ισοδύαα, α έχου ακριβώς τις ίδιες λύσεις Η επίλυση εός γραικού συστήατος, δηλαδή η διαδικασία εύρεσης όλω τω λύσεω του συστήατος, βασίζεται στη εύρεση άλλω γραικώ συστηάτω ισοδυάω προς το αρχικό, αλλά απλούστερης ορφής Α ο πίακας Β τω σταθερώ όρω είαι ο ηδεικός πίακας, δηλαδή α είαι Β= [ 0 0 0], τότε το γραικό σύστηα γίεται ΑΧ =Ο (4 και λέγεται οογεές Ο πίακας ΑΒ Μ ( + που είαι ο πίακας Α συπληρωέος ε ία τελευταία στήλη, αυτή που ορίζει ο πίακας Β τω σταθερώ όρω λέγεται επαυξηέος πίακας του συστήατος ΑΧ =Β 2 7 Η έθοδος απαλοιφής του Gauss Η βασική έθοδος επίλυσης του γραικού συστήατος ΑΧ =Β, (Σ όπου Α= ( α Μ, Χ= [ x x2 x ], Β= β β2 β, είαι η έθοδος απαλοιφής του Gauss Η έθοδος αυτή ουσιαστικά συίσταται στο ετασχηατισό του επαυξηέου πίακα ΑΒ του συστήατος (Σ σε αηγέο κλιακωτό ε χρήση όο στοιχειωδώ πράξεω γραώ, ακολουθώτας το αλγόριθο τω Gauss-Jordan που περιγράψαε παραπάω στη παράγραφο 24, ως εξής: Ι Με εαλλαγή γραώ, α είαι αάγκη κάουε το πρώτο στοιχείο της πρώτης η ηδεικής στήλης διάφορο του 0 Το στοιχείο αυτό το οοάζουε βασικό (pivot, όπως και το ηγετικό στοιχείο κάθε η ηδεικής γραής

19 27 Η έθοδος απαλοιφής του Gauss 35 ΙΙ Με εφαρογή της γραοπράξης γ ( a γ το στοιχείο a γίεται ίσο ε Στη συέχεια ε εφαρογή τω γραοπράξεω γ γ a γ,, γ γ a γ, ηδείζουε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης εκτός του βασικού Α όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης είαι 0, τότε η διαδικασία που περιγράψαε εφαρόζεται στη πρώτη από τις επόεες στήλες που έχει η ηδεικά στοιχεία, κοκ III Αγοώτας τη πρώτη γραή και τη πρώτη στήλη του πίακα που έχει προκύψει, επααλαβάουε τη παραπάω διαδικασία για α κάουε το στοιχείο a22 ίσο ε και τα στοιχεία a32,, a 2 της δεύτερης στη- λης που βρίσκοται κάτω από το a 22 ίσα ε 0 Συεχίζουε τη ίδια διαδικασία έχρις ότου ο πίακας Α γίει κλιακωτός και ε τα ηγετικά στοιχεία τω γραώ του ίσα ε IV Με στοιχειώδεις πράξεις γραώ τύπου ΙΙΙ ετατρέπουε τα η ηδεικά στοιχεία κάθε στήλης που περιέχει το ηγετικό ιας γραής σε ηδεικά, αρχίζοτας από αυτή που είαι δεξιότερα Είαι φαερό ότι ε διαδοχική εφαρογή στοιχειωδώ πράξεω γραώ στο επαυξηέο πίακα του συστήατος (Σ, τα προκύπτοτα συστήατα έχου εξισώσεις που είαι γραικοί συδυασοί τω εξισώσεω του αρχικού συστήατος (Σ Έτσι, τα συστήατα που προκύπτου είαι ισοδύαα προς το αρχικό σύστηα, δηλαδή έχου το ίδιο σύολο λύσεω ε το σύστηα (Σ Μετά τη ααγωγή του επαυξηέου πίακα [ Α Β ] σε αηγέο κλιακωτό διακρίουε τις περιπτώσεις: Α στο αηγέο κλιακωτό πίακα υπάρχει γραή της ορφής β, β 0, τότε το σύστηα είαι αδύατο Α δε υπάρχου γραές της ορφής β, β 0 και έχουε συολικά κ η ηδεικές γραές, κ min{, }, τότε θεωρούε τους κ αγώστους που ατιστοιχού σε στήλες του αηγέου κλιακωτού πίακα, που δε περιέχου κάποιο από τα ηγετικά, ως αυθαίρετους και εκφράζουε τους υπόλοιπους αγώστους ως συαρτήσεις τω αυθαίρετω αγώστω Παράδειγα Να προσδιορίσετε το σύολο τω λύσεω του γραικού συστήατος: x+ 2y+ 3z+ w= 3, y z+ 2w= 4, x+ 3y+ 2z+ 3w= 7 { }

20 36 Κεφάλαιο 2 Πίακες Λύση Με στοιχειώδεις πράξεις γραώ ετασχηατίζουε το επαυξηέο πίακα του συστήατος σε αηγέο κλιακωτό Έχουε: γ γ γ γ3 γ3 γ2 γ γ 2γ Από τη ορφή του αηγέου κλιακωτού πίακα που προκύπτει συπεραίουε ότι το σύστηα είαι συβιβαστό Οι άγωστοι z και w που ατιστοιχού στις δύο τελευταίες στήλες, οι οποίες δε περιέχου κάποιο από τα ηγετικά τω η ηδεικώ γραώ, επιλέγοται ως αεξάρτητοι (αυθαίρετοι άγωστοι, εώ οι άγωστοι x και y που ατιστοιχού στις δύο πρώτες στήλες, οι οποίες περιέχου τα ηγετικά τω η ηδεικώ γραώ, είαι οι εξαρτηέοι άγωστοι Έτσι έχουε το ισοδύαο σύστηα x+ 5z 3w= 5 x = 5 5z+ 3w y z + 2w = 4 y = 4 + z 2 w, z, w Εποέως, η τυχούσα από τις άπειρες λύσεις του συστήατος είαι ( xyzw,,, = ( 5 5κ + 3 λ,4+ κ 2 λ, κ, λ = ( 5, 4, 0, 0 + κ( 5,,, 0 + λ(3, 2, 0,, κ, λ, εώ το σύολο τω λύσεω του συστήατος είαι το Λ= ( 5 5κ+ 3 λ,4+ κ 2 λκλ,, : κλ, { } Παράδειγα 2 Να προσδιορίσετε το σύολο τω λύσεω του οογεούς συστήατος: x+ 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 x + 3x + 4x + 5x = Λύση Ο επαυξηέος πίακας του συστήατος γίεται : γ2 γ γ γ γ 2γ και το σύστηα είαι ισοδύαο ε το

21 27 Η έθοδος απαλοιφής του Gauss 37 x + x + 2x = 0 x = x 2x x2 + x3 + x4 = 0 x2 = x3 x4, x3, x4 Εποέως το σύολο τω λύσεω του δεδοέου οογεούς συστήατος είαι Λ= ( κ 2 λ, κ λκλ,, : κλ, { } { κ λ κ λ } = (,,, 0 + ( 2,, 0,:, Παράδειγα 3 Να προσδιορίσετε τις τιές της παραέτρου a για τις οποίες έχει λύση το σύστηα x+ 3y+ 5z = 2x+ 4z = x y+ z = a, a και στη συέχεια α βρείτε τη λύση του συστήατος Λύση Ο επαυξηέος πίακας του συστήατος γίεται: γ2 γ2 2γ ΑΒ = γ3 γ3 γ a a γ2 γ2 6 γ3 γ3+ 4γ γ γ 3γ a a 3 Εποέως το σύστηα είαι συβιβαστό, ότα a = 0 a = 3 3 Για a =, το σύστηα είαι ισοδύαο ε το σύστηα 3 x+ 2z = x = z 2 2, z y+ z = y = z 6 6 οπότε το σύολο τω λύσεω του είαι Λ= c, c, c : c 2 6

22 38 Κεφάλαιο 2 Πίακες 28 Η LU παραγοτοποίηση πίακα Όπως ξέρουε, η έθοδος απαλοιφής του Gauss για τη επίλυση του γραικού συστήατος ΑΧ =Β (Σ βασίζεται στη ετατροπή του επαυξηέου πίακα [ Α Β ] σε αηγέο κλιακωτό Στη παράγραφο αυτή θα περιγράψουε ία διαφορετική εθοδο επίλυσης του γραικού συστήατος (Σ η οποία βασίζεται στη παραγοτοποίηση του πίακα Α τω συτελεστώ σε γιόεο δύο πιάκω, εός κάτω τριγωικού και εός κλιακωτού πίακα Η έθοδος αυτή είαι ιδιαίτερα χρήσιη ότα έχουε α λύσουε πολλά γραικά συστήατα ε το ίδιο πίακα συτελεστώ και διαφορετικό πίακα σταθερώ όρω, είαι κατάλληλη για ηλεκτροικούς υπολογιστές και αποτελεί τη βάση πολλώ υπολογιστικώ πακέτω Ας υποθέσουε ότι έχουε α λύσουε το γραικό σύστηα (Σ και ότι έχουε παραγοτοποιήσει το πίακα Α Μm n( Κ, Κ = ή τω συτελεστώ σε γιόεο δύο πιάκω της ορφής Α = LU, ( όπου ο L είαι m m κάτω τριγωικός ε τα στοιχεία της κυρίας διαγωίου ίσα ε, εώ ο U είαι κλιακωτός m n πίακας Έχουε ΑΧ=Β ( LU Χ=Β L( U Χ =Β, οπότε, α θέσουε Y = U Χ, τότε έχουε α επιλύσουε τα απλά γραικά συστήατα ε πίακα κλιακωτής ορφής L Y =Β και U Χ = Y Επιλύουε το σύστηα L Y =Β ε ατικατάσταση προς τα επρός και στη συέχεια επιλύουε το σύστηα U Χ = Y ε ατικατάσταση προς τα πίσω Για παράδειγα, ας υποθέσουε ότι έχουε προς λύση το σύστηα x x2 ΑΧ = = = Β x x4 και ότι έχουε βρει τη παραγοτοποίηση Α= = = LU Επιλύουε πρώτα το σύστηα

23 28 Η LU- παραγοτοποίηση πίακα 39 y y y2 = Y= y2 = 3 3 y y 3 Στη συέχεια προκύπτει το σύστηα x x 7,75 + 0,5α x2 x = 3 Χ = =, α x 3, 5 3 x + α x4 x α 4 Ο αλγόριθος της LU -παραγοτοποίησης Θεωρούε πίακα Α Μ ( m n Κ και ε διαδοχικές στοιχειώδεις πράξεις γραώ, χωρίς α κάουε εαλλαγή γραώ, ετατρέπουε το πίακα σε κλιακωτό, οπότε έχουε Ρs Ρ2ΡΑ = U, (2 όπου Ρ, Ρ2, Ρ s είαι οι ατίστοιχοι στοιχειώδεις πίακες Επειδή όλοι οι στοιχειώδεις πίακες είαι ατιστρέψιοι έχουε Α=Ρ U LU Ρ2 Ρ s =, (3 όπου έχουε θέσει L =Ρ Ρ2 Ρ s Επιπλέο λαβάουε Ρs Ρ2Ρ L =Ι, (4 οπότε παρατηρούε ότι οι ίδιες γραοπράξεις ετατρέπου το πίακα L στο οαδιαίο πίακα Για παράδειγα, ας θεωρήσουε το πίακα 2 0 Α= τω συτελεστώ του συστήατος που λύσαε προηγουέως Έχουε γ2 γ2 γ γ3 γ3 γ Μέχρι τώρα χρησιοποιήσαε ως βασικό (pivot στοιχείο το a = 2 (συβολίζεται ε παχύ αύρο και παρατηρούε ότι οι ίδιες στοιχειώδεις πράξεις δίου

24 40 Κεφάλαιο 2 Πίακες γ γ 2γ 0 0 γ3 γ3 γ * 0 * Στη συέχεια έχουε γ3 γ2+ γ = U, όπου χρησιοποιήσαε ως βασικό το στοιχείο a 22 = Παρατηρούε ότι η ίδια στοιχειώδης πράξη δίει γ γ + γ 0 0, οπότε πλέο είαι φαερό ότι ο κατάλληλος πίακας L που ε τις ίδιες γραοπράξεις ετατρέπεται στο οαδιαίο πίακα είαι ο 0 0 L = Μπορούε πλέο α περιγράψουε τη διαδικασία παραγοτοποίησης του πίακα Α ως εξής: (i (ii Μετατρέπουε το πίακα Α ε στοιχειώδεις πράξεις γραώ, χωρίς εαλλαγές γραώ, σε κλιακωτό, οπότε προκύπτει ο πίακας U Διαορφώουε κάθε στήλη του Α που έχει βασικό στοιχείο, κάθε φορά που εφαίζεται, ε ηδεικά πάω από το βασικό στοιχείο και διαιρώτας τα υπόλοιπα στοιχεία της ε το βασικό στοιχείο Οι στήλες που διαορφώοται αζί ε ία τελευταία στήλη της ορφής [ 0 0 ] αποτελού τις στήλες του πίακα L 29 Διαερίσεις πιάκω Θεωρούε πίακα ( a Α= και τους φυσικούς αριθούς, 2,, r,, 2,, s έτσι, ώστε r = και s =

25 29 Διαερίσεις πιάκω 4 Στη συέχεια ε διακεκοέες οριζότιες και κατακόρυφες γραές απoκόβουε τις πρώτες γραές ετά τις 2 επόεες γραές κοκ, τις πρώτες στήλες κοκ Έτσι από το πίακα Α σχηατίζουε rs πίακες, έστω Α, κ =, 2,, r, λ = κλ, 2,, s, τύπου κ λ Οι πίακες Α κλ αποτελού ία r s διαέριση του πίακα Α που ατιστοιχεί στους αριθούς (, 2,, και ( r, 2,, s Συβολικά γράφουε Α= ( Α κλ r s Για παράδειγα, ο 3 5 πίακας Α= πορεί α διαεριστεί σε 6 υποπίακες ως εξής Α Α2 Α3 Α= ( Αλ = = Α2 Α22 Α 23 0 Ας θεωρήσουε τώρα το 5 4πίακα Β ε ία 3 2 διαέριση Β Β2 4 Β= Β2 Β22 = Β Β Το γιόεο τω δύο πιάκω Α και Β είαι ο πίακας ΑΒ = ΑikΒkj = k = Σηειώουε ότι για α είαι γεικά δυατός ο παραπάω πολλαπλασιασός διαερισέω πιάκω πρέπει και αρκεί α είαι δυατός ο πολλαπλασιασός όλω τω ατίστοιχω υποπιάκω Α ik και Β kj Με κατάλληλη επιλογή τω διαερίσεω, συήθως γίεται ευκολότερα ο πολλαπλασιασός δύο πιάκω Στο προηγούεο παράδειγα, ατί α κάουε απ ευθείας το πολλαπλασιασό τω δύο πιάκω, πολλαπλασιάζουε υποπίακες που έχου ικρότερο αριθό γραώ και στηλώ Αυτό

26 42 Κεφάλαιο 2 Πίακες είαι σηατικό, κυρίως ότα οι δεδοέοι πίακες έχου εγάλο αριθό γραώ και στηλώ Μία ιδιαίτερη περίπτωση έχουε, ότα ο πίακας Α πορεί α διαεριστεί σε υποπίακες Α, Α2,, Α r, πιθαώς διαφορετικώ τάξεω, έτσι ώστε Α Ο Ο Ο Α2 Ο Α= = diag ( Α, Α2,, Αr Ο Ο Α r Επιπλέο, α [ ], Α= Α Α Β= 2 Β 2 Β, τότε ΑΒ =ΑΒ +Α2Β 2, ότα βέβαια ορίζοται οι πολλαπλασιασοί και οι προσθέσεις υποπιάκω που εφαίζοται, π χ = = + = και = + = Πίακες ε στοιχεία συαρτήσεις [ ] Πολλές φορές θεωρούε πίακες ε στοιχεία συαρτήσεις ιας ή περισσοτέρω πραγατικώ εταβλητώ, όπως οι πίακες a( t a2 ( t a ( t x ( t a2( t a22 ( t a2 ( t x2 ( t Α ( t =, Χ ( t = a( t a2( t a( t x ( t

27 20 Πίακες ε στοιχεία συαρτήσεις 43 Ορισός 2 0 (i Ο πίακας ( t ( a ( t Α = είαι συεχής για t = t0, α κάθε συάρτηση a ( t είαι συεχής για t = t0 Ο πίακας Α ( είαι συεχής στο διάστηα [ α, β ], α είαι συεχής σε κάθε σηείο του διαστήατος [ α, β ] (ii Ο πίακας ( t ( a ( t Α = είαι παραγωγίσιος στο διάστηα [ α, β ], α κάθε ία από τις συαρτήσεις a ( t είαι παραγωγίσιη στο διάστηα [ α, β ] και η παράγωγός του είαι ο πίακας dα Α ( t : = ( a ( t dt (iii Όοια ορίζουε το ολοκλήρωα του πίακα Α ( t = ( a ( t β β α Α ( tdt: = ( α a ( tdt Για παράδειγα, ο πίακας t 2t Α e e t = ( cos t sin t είαι συεχής στο και ισχύει 2π t 2t e e 2e Α ( t = sin t cos t και e π π Α( tdt = Μερικές από τις βασικές ιδιότητες της παραγώγισης πιάκω ε στοιχεία συαρτήσεις παραθέτουε παρακάτω, όπου ( a ( t, ( b ( t ( c ( t Α= Β= και Γ= (σταθερός πίακας είαι πίακες κατάλληλου τύπου, ώστε α ορίζοται οι εφαιζόεες πράξεις πιάκω : d dα dt dt d dα dβ dt dt dt ( ΓΑ = Γ 3 ( 2 ( Α+Β = + 4 ( d dα dβ ΑΒ = Β + Α dt dt dt d dα Α = Α Α dt dt t

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ

ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ Α. ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΕΠΙ ΠΟΛΛΩΝ ΚΕΦΑΛΩΝ Ορισένες φορές ένα ασφαλιστήριο καλύπτει περισσότερες από ία ζωές. Ένα προφανές παράδειγα είναι η ασφάλιση θανάτου για δύο συζύγους, καθένας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. όπου ν θετικός ακέραιος κ) z = 2 ( 3i 2. > να δείξετε ότι Re( )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. όπου ν θετικός ακέραιος κ) z = 2 ( 3i 2. > να δείξετε ότι Re( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ασκήσεις στο ορισμό και τις ιδιότητες 0) Να βρείτε το μέτρο τω μιγαδικώ αριθμώ α) 3i = ε) ( ) 5 β) = 7 στ) γ) = 4 3i ζ) δ) = 4+ 3i η) = = i θ) 3 = + i 3 = i ( α βi)

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y) ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάης Μαθηματικός Φίλος μὲ δή, ὡς ἔοικε, τούτῳ τῷ λόγῳ ὁ ἀγαθὸς ἔσται, ἐχθρὸς δὲ ὁ ποηρός. gxkarras@gmail.com 1. Να βρεθού όλες οι συαρτήσεις f : R R για τις οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

x [ ] T ( ) Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Λυµένες Ασκήσεις * * * * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ

x [ ] T ( ) Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Λυµένες Ασκήσεις * * * * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 4 Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ 5-5 Ασκήσεις :, 4, 6, 8, 9,, σελ 59 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 6 ο πίακας είαι η µοαδική ιδιοτιµή του,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους τω ακολουθιώ: α) α = + + β) α = 4 γ) α = δ) α = (-) + +. + 4 Να αποδείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας α =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης,. Λεπίπας, Π. Αγγελόπουλος Άσκηση.3 σελ. 4 α) εύκολο β) Αφού C F θα είαι σ( C) σ( F) και λόφω του α) θα είαι σ( C) F. Για τη απόδειξη του ατίθετου

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7 Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8 Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Μαθηματικών 1 ης Δέσμης 1983

Θέματα Μαθηματικών 1 ης Δέσμης 1983 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης 983 ΖΗΤΗΜΑ Α. α) Α ( ), ( ) ΖΗΤΗΜΑ α β ακολουθίες πραγματικώ αριθμώ με : lim α = α και limβ = β α αποδειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ

4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αρχή της Μαθηµατιής Επαγωγής Έστω ισχυρισµός Ρ(), όπου θετιός αέραιος. Α (i) Ρ αληθής αι (ii) Ρ() Ρ( + 1) για άθε, τότε Ρ() αληθής για άθε.. Αισότητα Bernoulli (1 +α

Διαβάστε περισσότερα

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα σηµείο του πεδίου ορισµού της, ότα υπάρχει στο R, το lim ( ( Το όριο αυτό οοµάζεται παράγωγος της στο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance)

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance) Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς ε έναν παράγοντα Oe wy yss of Vrce Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουε ένα ειδικό πρόβληα γραικής παλινδρόησης το ο- ποίο εφανίζεται αρκετά συχνά στις εφαρογές. Συγκεκριένα θέλουε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις Μάθηα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 7 ου εξαήνου ΣΕΜΦΕ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΙΚΤΥΩΝ Ασκήσεις Αποστέλλονται πακέτα σταθεού ήκους ytes από τον κόβο # στον κόβο #4 έσω των κόβων # και #3 σε σειά, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ας απασχολήσουν έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων που αναφέρονται στις έσες τιές και αναλογίες πληθυσών

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθµου Least Mean Square (LMS)

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθµου Least Mean Square (LMS) ΒΕΣ 6 Προσαροστικά Συστήατα στις Τηλεπικοινωνίες Προσαροστικοί Αλγόριθοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθου Least Mean Square (LMS) Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα.

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα. Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικώ ( α) µε ατιπροσωπευτικά παραδείγµατα & ατιπαραδείγµατα. Ιωάης Π. Πλατάρος, Μαθηµατικός, Καπετά Κρόµπα 37, Τ.Κ. 24 2 ΜΕΣΣΗΝΗ, ηλ./ταχ. Plataros@sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

λ n-1 λ n Σχήµα 1 - Γράφος µεταβάσεων διαδικασίας γεννήσεων- θανάτων

λ n-1 λ n Σχήµα 1 - Γράφος µεταβάσεων διαδικασίας γεννήσεων- θανάτων Κεφάαιο 4. Απά οντέα συστηάτων αναονής Στο κεφάαιο αυτό παρουσιάζουε απά οντέα αναονής (συστήατα ε ένα σταθό εξυπηρέτησης) ενώ τα οντέα δικτύων αναονής θα εξεταστούν σε επόενο κεφάαιο. 4. Μοντέα αναονής

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ. Εξέταση Σεπτεμβρίου Επώνυμο συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις. Όνομα. ΑΜ_(13 ψηφία) Σύνολο

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ. Εξέταση Σεπτεμβρίου Επώνυμο συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις. Όνομα. ΑΜ_(13 ψηφία) Σύνολο Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 00 Επώυμο συοπτικές εδεικτικές λύσεις Όομα ΑΜ_( ψηφία) Ημ/ία Αίθουσα Α 4 Σύολο Η εξέταση αποτελείται από 4 Θέματα Κάθε θέμα αξίζει μοάδες Το άριστα είαι 0 μοάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2008, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2008, Θεσσαλονίκη Kάθε γήσιο ατίτυο φέρει τη υογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα εικοιωείτε: Tηλ. 310.348.086, e-mail: thanasisenos@ahoo.gr ISBN 978-960-456-09-9 Copright: Ξέος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 008, Θεσσαλοίκη

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα