ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ

Transcript

1 ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ Α. ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΕΠΙ ΠΟΛΛΩΝ ΚΕΦΑΛΩΝ Ορισένες φορές ένα ασφαλιστήριο καλύπτει περισσότερες από ία ζωές. Ένα προφανές παράδειγα είναι η ασφάλιση θανάτου για δύο συζύγους, καθένας από τους οποίους είναι διούχος του ασφαλισένου κεφαλαίου αν πεθάνει ο άλλος. Η ασφάλιση αυτή πληρώνει στον πρώτο από τους δύο θανάτους. Ένα άλλο παράδειγα είναι η ασφάλιση θανάτου δύο γονέων ε διούχους τα παιδιά τους όταν πεθάνει ο τελευταίος από τους δύο γονείς. Ένα γενικότερο παράδειγα είναι η ασφάλιση n ατόων ε καταβολή του κεφαλαίου θανάτου όταν επέλθει ο υπ' αριθ. m θάνατος ( m n. Ακόα πιο πολύπλοκα σχήατα προκύπτουν όταν προϋπόθεση για την καταβολή του ασφαλισένου ποσού είναι κάποιοι από τους θανάτους να επέλθουν ε ια συγκεγκριένη σειρά. Β. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Για τον υπολογισό από κοινού πιθανοτήτων επιβίωσης, θανάτου, κ.λ.π., θεωρούε ότι οι τ.. T T είναι ανεξάρτητες,. [Η υπόθεση αυτή είναι σωστή ε πολύ εγάλο βαθό προσέγγισης, όχι όως απόλυτα. Κατά κανόνα ισχύει για ατοικές ασφαλίσεις, ισχύει όως κάπως λιγότερο στις οαδικές ασφαλίσεις, όπου, π.χ., οι ασφαλισένοι πορεί να υπόκεινται στους ίδιους εργασιακούς κινδύνους ή όπου τα ανώτατα στελέχη ιας επιχείρησης πορεί να ταξιδεύουν συχνά αζί ε το ίδιο ιδιωτικό αεροπλάνο, κ.λ.π.. Ακόα στις ατοικές, δύο σύζυγοι, π.χ., έχουν συχνά το ίδιο "lifele" (π.χ., τις ίδιες διατροφικές συνήθειες. Γενικά όως η ανεξαρτησία των κινδύνων είναι ια αρκετά καλή "υπόθεση εργασίας".] Υπενθυίζουε ότι η τ.. T έχει σ.π.π., σ.κ. συνάρτηση επιβίωσης. Αν έχουε δύο ζωές ( ( ε αντίστοιχες τ.. T T, γράφουε ( για το σύνολο των δύο ζωών για την πιθανότητα να επιζήσουν οι δύο χρόνια. Συνηθίζεται να βλέπουε το ( ως ία οντότητα, στην οποία δίνουε το όνοα καθεστώς (a. Οιλούε άλιστα για την επιβίωση του καθεστώτος ( εννοώντας την επιβίωση του ( του (. Κάτω από την υπόθεση της ανεξαρτησίας, γενικότερα, για οποιοδήποτε καθεστώς (w,.... w... w Προσοχή χρειάζεται στην ερηνεία του συβόλου (*. Η άρνηση του "να επιζήσουν οι δύο" είναι να πεθάνει τουλάχιστον ένας (να πεθάνει ένας εξ αυτών ή οι. (Το αποτέλεσα δύο. Από την (* παίρνουε ( ( αυτό είναι προφανές από όνο του εφόσον τα γεγονότα "θάνατος του ( έσα σε χρόνια" "θάνατος του ( έσα σε χρόνια" δεν αποκλείουν το ένα το άλλο εποένως η πιθανότητα δεν πορεί να είναι ίση ε, αλλά ε ειωένο κατά την πιθανότητα της "τοής" (πραγατοποίησης των δύο γεγονότων. Για τον υπολογισό του είναι φυσικά απλούστερη η δεν ισχύει πολλαπλασιαστική σχέση. Αξίζει τέλος να τονισθεί ότι για το καθεστώς ( : τέτοια σχέση ισχύει όνο για το.

2 Βλέπουε λοιπόν ότι η από κοινού συνάρτηση επιβίωσης για δύο ζωές ( ( είναι ότι η από κοινού σ.κ. είναι F. Η από κοινού σ.π.π. είναι ( ( ( F ( ( ( ( ( f όπου φαίνεται ότι η ένταση θνησιότητας για το καθεστώς ( είναι :, από. Η αθροιστική αυτή σχέση, που συνδέεται φυσικά άεσα ε την πολλαπλασιαστική σχέση εταξύ των, είναι απόλυτα εύλογη : ένα καθεστώς (w παύει να υπάρχει αν πεθάνει ένα έλος του, άρα η ένταση της έκθεσης του καθεστώτος σε "θάνατο" είναι το άθροισα των εντάσεων της έκθεσης των ελών του καθεστώτος στον κίνδυνο πραγατικού θανάτου. Σε κάθε περίπτωση, είναι χρήσιο να θυόαστε ότι οι σχέσεις : είναι ισοδύναες. Το ( γενικότερα το (w είναι καθεστώτα που λήγουν (εξαλείφονται όταν πεθάνει ένα έλος τους (ή ισοδύναα όταν επέλθει ο πρώτος θάνατος, βλ. Παράγραφο Α. Για ένα καθεστώς που θεωρείται λήξαν όταν επέλθει ο τελευταίος θάνατος γράφουε ( γενικότερα ( w.... Για να εξαλειφθεί το ( έσα στα επόενα χρόνια, πρέπει να πεθάνει ο ( ο (, άρα. Βλέπουε ότι για το καθεστώς ( η εικόνα αντιστρέφεται πολλαπλασιαστική σχέση ισχύει για το. Όσο για το είναι η πιθανότητα να επιβιώσει τουλάχιστον ένας από τους ( (. Συγκρίνοντας τις σχέσεις (να ερηνευθεί η σχέση αυτή λεκτικά., συπεραίνουε ότι Από τα παραπάνω είναι προφανές ότι η σ.κ. για το χρόνο ζωής του καθεστώτος ( είναι. Για τη σ.π.π. της F ( η συνάρτηση επιβίωσης είναι ( διάρκειας του (, έχουε f (. [Ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στη σειρά θανάτων "πρώτα ο (, ετά ο (" (εφόσον τη στιγή θανάτου του (, ο ( είναι ήδη νεκρός ε πιθανότητα ο δεύτερος όρος στη σειρά "πρώτα ο (, ετά ο (".] Όσο για την ένταση θνησιότητας :. Έτσι, : όπου βλέπουε ότι η :, αυτή προκύπτει αν διαιρέσουε την σ.π.π. f ( ε ( είναι σταθισένος έσος των εντάσεων, (*, από : (ε "σταθά" τα,. Αν η (* γραφεί ως, βλέπουε ακόα ότι οι σ.π.π. των τ.. T : : έχουν το ίδιο άθροισα ε τις σ.π.π. των τ.. αφού ισχύει για τις σ.κ. Η σχέση,,. T T T (σχέση που έπρεπε να αναένεται είναι επίσης αληθής αφού οι σ.π. είναι διαφορές των αντίστοιχων σ.κ.. Οι πιθανότητες. προκύπτουν αέσως ως

3 Εφόσον έχουε Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( είναι αντίστοιχα η σ.κ. η σ.π.π. του καθεστώτος (, d, από όπου πορεί να υπολογισθεί η πιθανότητα όταν είναι γνωστές οι συναρτήσεις επιβίωσης οι εντάσεις θνησιότητας για τις ζωές ( (. (Σηειώνεται ότι, για τον υπολογισό, δεν απαιτείται το ισόνοο των T T! Άλλωστε ισόνοο δεν υπάρχει εκτός αν! ( Η πιθανότητα πορεί να γραφεί ως το άθροισα d d. Στο πρώτο ολοκλήρωα, ο "θάνατος" του καθεστώτος ( (που "επιζεί" έχρι τη στιγή,, ε πιθανότητα οφείλεται στην επενέργεια της έντασης θνησιότητας,, του ( άρα είναι η πιθανότητα να πεθάνει ο ( πρώτος έσα στα επόενα χρόνια. Κατά τον ίδιο τρόπο, το δεύτερο ολοκλήρωα αντιστοιχεί στην πιθανότητα να πεθάνει ο ( πρώτος έσα στα επόενα χρόνια. Έτσι έχουε, σχέση απόλυτα φυσική αφού το καθεστώς ( "λύεται" στον πρώτο θάνατο αυτός ο θάνατος πορεί να είναι είτε του ( είτε του (. Σηειώνεται ότι το συβάν "ο ( πεθαίνει πρώτος έσα σε χρόνια" δεν παρέχει πληροφορία για την τελική τύχη του ( πέραν του ότι ο ( ζούσε κατά το θάνατο του ( (που συνέβη έσα σε χρόνια : ο ( πορεί να πέθανε εκείνος (δεύτερος πριν από την εκπνοή των ετών, ή να πέθανε ετά την εκπνοή των ετών. Προφανώς ειδικότερα. Η σχέση ( d πορεί κατά τον ίδιο τρόπο να γραφεί, όπου είναι η πιθανότητα ο ( να πεθάνει δεύτερος έσα σε χρόνια. Η σχέση αυτή είναι απόλυτα εύλογη αφού το ( "λύεται" στο δεύτερο θάνατο αυτός πορεί να είναι ή του ( ή του (. Και στην παρούσα περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις. Είναι βέβαια απόλυτα φυσικό οι πιθανότητες πρώτου θανάτου να αθροίζονται σε πιθανότητες δεύτερου θανάτου να αθροίζονται σε οι. Όως εξίσου ενδιαφέρουσα είναι η άθροιση των πιθανοτήτων,,, όχι ε βάση το ή το (τη σειρά του θανάτου αλλά το ( ή το ( (τη ζωή. Τότε παίρνουε ειδικότερα.

4 Στην περίπτωση που η θνησιότητα των ( ( προέρχεται από πίνακα, τα υπολογίζονται από ( (. Σύβολα όπως τα (, (,..., ( n τη σειρά των θανάτων. Έτσι, π.χ.,. ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ,, κ.λ.π. πορεί να επεκταθούν σε οποιοδήποτε πλήθος ζωών πορεί επιπλέον να δηλώνουν περισσότερους περιορισούς ως προς είναι η πιθανότητα να πεθάνουν οι τρεις ζωές έσα σε χρόνια ε τη σειρά που δηλώνεται (ο ( υποχρεωτικά δεύτερος. είναι η πιθανότητα ο ( να πεθάνει δεύτερος έσα σε χρόνια (περιπτώσεις (α πεθαίνει ο (, ετά ο ( ο ( πεθαίνει τελευταίος (έσα στα χρόνια ή ετά την πάροδο των ετών, (β πεθαίνει. ο (, ετά ο ( ο ( πεθαίνει τελευταίος (ή έσα στην περίοδο ή ετά είναι η πιθανότητα να πεθάνει ο ( τελευταίος έσα σε χρόνια (προφανώς. : : είναι η πιθανότητα το καθεστώς (w να εκλείψει πριν από το καθεστώς w :. w : ( (να πεθάνει ή ο (w ή ο ( ενώ οι ( ( ζουν είναι η πιθανότητα το ( w να εκλείψει πριν από το ( έσα στο έτος από σήερα (να πεθάνει ο (w ο ( (ε οποιαδήποτε σειρά έσα στο έτος ενώ ζει ακόα ένας από τους (, ( ή ζουν οι δύο. κ.ο.κ.. εν υπάρχει ένας οναδικός τρόπος υπολογισού πιο σύνθετων από κοινού πιθανοτήτων όπως είναι οι παραπάνω. Συνήθως απαιτούνται επανειληένες ολοκληρώσεις υπάρχουν διάφορες εκφράσεις της ίδιας πιθανότητας, που καθειά "εστιάζεται" (βασίζεται στη στιγή θανάτου ιας από τις επλεκόενες ζωές. Έτσι, π.χ., d (ορισός εστιασένος στη στιγή του θανάτου του (, οπότε πρέπει να είναι ή πεθαένος ο ( ζωντανός ο ( ή πεθαένος ο ( ζωντανός ο (. Όως, ε "εστιακό σηείο" τη στιγή του πρώτου θανάτου, η ίδια πιθανότητα πορεί να γραφεί d (πεθαίνει πρώτος ο ( στο διάστηα που αποένει πεθαίνει ο ( πριν από τον ( ή πεθαίνει πρώτος ο ( στο διάστηα που αποένει πεθαίνει ο ( πριν από τον (. Στην τελευταία αυτή σχέση, το : d : d πορεί να γραφεί ως ολοκλήρωα, οπότε dd dd dd dd

5 dd d d. dd Στο τελευταίο από τα ισοδύναα αυτά αποτελέσατα πορούε να φθάσουε απευθείας εφόσον το σύβολο σαφώς σχετίζεται ε την επιβίωση των ( ( έχρι τη στιγή του θανάτου του ( ε το θάνατο του ( πριν από τον ( στο υπόλοιπο διάστηα ( το ίδιο ισχύει βέβαια για το. Τις πιο σύνθετες από κοινού πιθανότητες πολλές φορές αναλύουε σε "πιθανότητες πρώτου ( ( θανάτου". Π.χ., αν γράψουε d d για, βλέπουε ότι. Η ίδια πιθανότητα πορεί να γραφεί ( ( d. (Οι δύο τιές είναι ίσες εφόσον ( ( Κατά τον ίδιο τρόπο,. ( d ( d. Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΙΑΙΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΩΝ Ο υπολογισός ενιαίων ασφαλίστρων για από κοινού ασφαλίσεις δεν διαφέρει σε τίποτε από τον υπολογισό των από κοινού πιθανοτήτων πέρα από την παρουσία του παράγοντα e δ στα ολοκληρώατα για ασφαλίσεις πληρωτέες τη στιγή της επέλευσης του ασφαλισένου γεγονότος του παράγοντα υ στα αθροίσατα για ασφαλίσεις πληρωτέες στο τέλος του ασφαλιστικού έτους έσα στο οποίο λαβάνει χώρα το ασφαλισένο γεγονός. Έχουε, π.χ., δ δ δ δ A e d A e d e d e d A A A γράψουε αέσως από την αντίστοιχη τιή του. Το αποτέλεσα αυτό θα πορούσαε να που είδαε παραπάνω. Αν στην τελευταία ασφάλιση το κεφάλαιο είναι πληρωτέο όταν πεθάνει ο ( δεύτερος όνον αν έχει προηγηθεί ο θάνατος του (, τότε A A A (δηλαδή είναι A A A. Για ένα άλλο παράδειγα, θεωρούε ασφάλιση πληρωτέα στον τελευταίο θάνατο ε ενιαίο ασφάλιστρο A. Εφόσον A A A A, πορούε να βασισθούε στη δεύτερη έκφραση του που είδαε παραπάνω (γιατί όχι στην πρώτη; στις αντίστοιχες

6 συετρικές εκφράσεις για τα για να δείξουε ότι A ( A A A A ( A A A A ( A A A A ( A A A ( A A A A. Το παράδειγα αυτό δείχνει ένα σηαντικό τρόπο γραφής ενιαίων ασφαλίστρων αυθαίρετων από κοινού ασφαλίσεων αποκλειστικά συναρτήσει ενιαίων ασφαλίστρων για ασφαλίσεις πληρωτέες σε καθεστώτα του τύπου (w.