υναική του Συστήατος Lorenz

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΝ Πρόγραα Μεταπτυχιακών Σπουδών Μαθηατική Μοντελοποίηση Στις Φυσικές Επιστήες και τις Σύγχρονες Τεχνολογίες Μεταπτυχιακή Εργασία υναική του Συστήατος Lorenz ΚΟΛΑΖΑ ΕΥΓΕΝΙΑ Εξεταστική Επιτροπή Νίκος Καραχάλιος (επιβλέπων) Αγαπητός Χατζηνικήτας Χρήστος Νικολόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής Επίκουρος Καθηγητής Αναπληρωτής Καθηγητής Τήα Μαθηατικών Τήα Μαθηατικών Τήα Μαθηατικών Πανεπιστήιο Αιγαίου Πανεπιστήιο Αιγαίου Πανεπιστήιο Αιγαίου Σάος

2 Ευχαριστίες Για την εκπόνηση αυτής της διπλωατικής εργασίας, θα ήθελα να εκφράσω τις θερές ευχαριστίες ου : Στον επιβλέποντα καθηγητή ου κ. Καραχάλιο Νίκο, για την πολύτιη βοηθειά του καθόλη τη διάρκεια εκπόνησης αυτής της διπλωατικής. Τους φίλους ου Ιωάννη Ράπτη, Ειρήνη Ευριπίδου, Κατερίνα Μπακαλοπούλου, Βαγγέλη Κάπρο και την φοιτήτρια ώρα Ανδρέου. Τέλος, ευχαριστώ την οικογένειά ου. 2

3 Περιεχόενα 1 ΕΙΣΑΓΓΗ σκοπος της εργασιας δοη της εργασιας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ παραγωγη του οντελου ια πρωτη προσεγγιση για το συστηα lorenz απλεσ ιδιοτητεσ των εξισωσεων lorenz γραικη ευσταθεια και διακλαδωση hopf παγιδευοντας τις τροχιες των εξισωσεων εταβολη ογκου υπο τη δραση της ροης ΕΝΑ ΓΕΜΕΤΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΙΑ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ LORENZ ο ελκυστησ LORENZ η απεικονιση POINCARÉ ηπεριγραφητουγεωετρικουοντελου συντοη εισαγωγη στα διακριτα δυναικα συστηατα η δυναικη του ονοδιαστατου διακριτου συστηατοσ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ RÖSSLER γραικη ευσταθεια εταβολη των παραετρων στο συστηα rössler

4 1 ΕΙΣΑΓΓΗ 1.1 σκοπος της εργασιας Σκοπός της διπλωατικής αυτής εργασίας είναι η παρουσίαση αποτελεσάτων που αφορούν την ανάλυση της δυναικής του συστήατος Lorenz. Θα ελετήσουε το σύστηα, το οποίο χωρίς αφιβολία είναι το πιο διάσηο απ όλες τις διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες παρουσιάζουν χαοτική συπεριφορά. Το 1963 ο Edward Lorenz στην εργασία [3] η οποία αποτέλεσε σηείο καπής για την η-γραική επιστήη, διατύπωσε ένα απλοποιηένο οντέλο ατοσφαιρικής διάδοσης θερότητας και συνέδεσε την χαοτική κίνηση σε έναν παράξενο ελκυστή, για να διαπιστώσει την πασίγνωστη η προβλεψιότητα του καιρού. Πρίν το σύστηα Lorenz γίνει γνωστό, οι όνοι τύποι ευσταθών ελκυστών ήταν τα σηεία ισορροπίας και οι κλειστές τροχιές. Ο Lorenz διαπίστωσε ότι οι λύσεις των εξισώσεων του, ποτέ δεν οδηγούσαν σε ισορροπία ή σε περιοδική κατάσταση, αλλά συνέχιζαν να ταλαντεύονται ε έναν ανώαλο η περιοδικό τρόπο. Επιπλέον αν άρχιζε τους υπολογισούς του από δύο κοντινές αρχικές συνθήκες, οι αντίστοιχες λύσεις θα γινόνταν σύντοα εντελώς διαφορετικές. Η επίπτωση ήταν ότι το σύστηα ήταν απρόβλεπτο, όπως απρόβλεπτες είναι και οι ετεώρολογικές προβλέψεις. Πάρολα αυτά όως, ο Lorenz, έδειξε ότι υπήρχε δοή σ αυτή τη χαοτική συπεριφορά, αφού σχεδιάζοντας τις τροχιές του συστήατος σε τρείς διαστάσεις, παρατηρήθηκε ότι σχηατίζουν ένα συγκεκριένο γεωετρικό σχήα, τη γνωστή πλέον πεταλούδα. Κεντρικής σηασίας για την παρούσα διπλωατική είναι ένα γεωετρικό οντέλο για τον ελκυστή Lorenz, το οποίο πρότειναν για πρώτη φορά οι Guckenheimer και Williams, ία πραγατικά ένδιαφέρουσα γεωετρική κατασκευή που πορεί να αναλυθεί πλήρως χρησιοποιώντας εργαλεία από τα διακριτά δυναικά συστήατα. 1.2 δοη της εργασιας Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα βασικά χαρακτηριστικά του συστήατος Lorenz, γίνεται εύρεση των σηείων ισορροπίας και γραικοποίηση του συστήατος. Ειδικότερα, δίνεται βάρος στο πως οι τροχιές παγιδεύονται σ ένα αναλλοίωτο σύνολο, το οποίο ονοάζουε ελκυστή. Στην τελευταία παράγραφο του κεφαλαίου παρατηρού- ε πως αταβάλλεται ο όγκος αυτού του ελκυστή, υπό την δράση της ροής. Στο τρίτο κεφάλαιο ορίζουε την έννοια του ελκυστή για ένα σύστηα διαφορικών εξισώσεων και αναλύουε ε τον καλύτερο δυνατό τρόπο ένα γεωετρικό οντέλο για το σύστηά ας, βασιζόενοι στο βιβλίο των Hirsch, Smale και Devaney [2]. 4

5 Η παρουσίαση του γεωετρικού οντέλου στο [2], βασίζεται στην πρώτη θεελιώδη προσπάθεια για την αυστηρή απόδειξη της χαοτικής συπεριφοράς του συστήατος Lorenz από τους Guckenheimer και Williams [1]. Επίσης, παρουσιάζουε ε συντοία βασικές έννοιες από τα διακριτά δυναικά συστήατα οι οποίες θα ας βοηθήσουν στη λεπτοερέστερη ανάλυση του γεωετρικού οντέλου και να καταλήξουε στον ορισό του χαοτικού ελκυστή για το σύστηα αυτό. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζουε αριθητική διευρεύνηση του συστήατος Rössler, ένα επίσης ενδιαφέρον σύστηα το οποίο παρουσιάζει χαοτική συπεριφορά. Το σύστηα ελετήθηκε για πρώτη φορά από τον Rössler στην εργασία [4]. Πραγ- ατοποιήσαε αριθητικές εξοοιώσεις ε χρήση του προγράατος mathematica και παρατηρήσαε και εείς τα ενδιαφέροντα αποτελέσατα για το σύστηα αυτό, ειδικά όσον αφορά τη διαφορετική διαδικασία ετάβασης στη χαοτική συπεριφορά από αυτή του συστήατος Lorenz. Λέξεις Κλειδιά σύστηα Lorenz, σηεία ισορροπίας, γραικοποίηση, ελκυστής, χαοτικός ελκυστής, σύστηα Rössler, απεικόνιση Poincaré, γεωετρικό οντέλο, χάος 5

6 2 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2.1 παραγωγη του οντελου Οι τρεις εξισώσεις του Lorenz προήλθαν από ένα συγκεκριένο είδος κίνησης ρευστών. Την κίνηση του ζεστού αερίου ή υγρού, που οφείλεται σε εταφορά θερότητας. Οτανένα υγρό ή αέριο θεραίνεται από κάτω, οργανώνονται ρεύατα σε κυλινδρικό σχήα. Το θερό ρευστό ανεβαίνει από τη ια πλευρά, χάνει θερότητα και κατεβαίνει από την άλλη πλευρά. Αυτή είναι η διαδικασία της εταφοράς θερότητας. Οταν η θερότητα αυξηθεί περισσότερο, δηιουργείται αστάθεια και οι περιστροφές δηιουργούν έναν κυατισό (τρεούλιασα) που κινείται προς πίσω κατά ήκος των κυλίνδρων. Σε ακόα εγαλύτερες θεροκρασίες, η ροή γίνεται άγρια και στροβιλώδης. Η παραπάνω διαδικασία φαίνεται στο επόενο σχήα. Σχήα 2.1: Περιστρεφόενο υγρό Ουδατοτροχόςτουlorenz: Το πρώτο διάσηο χαοτικό σύστηα που ανακαλύφθηκε από τον Lorenz αντιστοιχεί ακριβώς σε ια ηχανική διάταξη: έναν υδατοτροχό. Αυτή η απλή συσκευή είναι ικανή να παρουσιάσει εκπληκτικά πολύπλοκη συπεριφορά. Στο σχήα 2.2 βλέπουε αυτή τη κατασκευή. Η περιστροφή του υδατοτροχού έχει ερικές από τις ιδιότητες των περιστρεφόενων κυλίνδρων υγρού στη διαδικασία της εταφοράς θερότητας. Ο υδατοτροχός είναι σαν ια φέτα απ αυτόν τον κύλινδρο. Και τα δύο συστήατα ωθούνται σταθερά, ε νερό ή ε θερότητα και καταναλώνουν ενέργεια. Το ρευστό χάνει θερότητα. Τα δοχεία χάνουν νερό. Και στα δύο συστήατα, η ακροσκοπική συπεριφορά εξαρτάται από το πόσο πολλή είναι η ενέργεια ώθησης. Η τελική κατάληξη ενός τέτοιου συστήατος είναι η εξής: επειδή η θερότητα διασκορπίζεται και επειδή η τριβή επιβραδύνει, η κίνηση αναπόφευκτα θα σταατήσει. Οι 6

7 εξισώσεις της κίνησης που ισχύουν για την κίνηση του υδατοτροχού πρέπει να αντανακλούν την κατάληξη του συστήατος. Πρέπει να εκφράζουν τον διασκορπισό. Σχήα 2.2: Ο υδατοτροχός Ας δούε ακριβώς τι συβαίνει καθώς κινείται ο υδατοτροχός. Από πάνω χύνεται νερό ε σταθερό ρυθό. Αν η ροή του νερού στον υδατοτροχό είναι αργή, το πάνω δοχείο δε γείζει ποτέ τόσο ώστε να ξεπεράσει την τριβή και ο τροχός δεν αρχίζει ποτέ να γυρίζει. (Με τον ίδιο τρόπο, σε ένα ρευστό, αν η θερότητα είναι πολύ ικρή για να ξεπεραστεί η εσωτερική τριβή, το ρευστό δεν θα τεθεί σε κίνηση). Αν η ροή είναι πιο γρήγορη, το βάρος του πάνω δοχείου θέτει τον τροχό σε κίνηση (αριστερή εικόνα). Ο υδατοτροχός πορεί να σταθεροποιηθεί σε ια περιστροφή που γίνεται ε σταθερό ρυθό (κέντρική εικόνα). Αλλά αν η ροή είναι ακόα πιο γρήγορη (δεξιά εικόνα), η περιστροφή πορεί να γίνει χαοτική, εξαιτίας των η γραικών επιδράσεων που υπάρχουν στο σύστηα. Καθώς τα δοχεία περνούν κάτω από το νερό που τρέχει, η ποσότητα που παίρνουν εξαρτάται από την ταχύτητα της περιστροφής. Αν ο τροχός περιστρέφεται γρήγορα, τα δοχεία έχουν λίγο χρόνο για να γείσουν. (Με τον ίδιο τρόπο, το ρευστό έχει λίγο χρόνο για να απορροφήσει θερότητα, κατά τη εταφορά θερότητας από έναν γρήγορα περιστρεφόενο κύλινδρο εταφοράς.) Επίσης, αν ο τροχός περιστρέφεται γρήγορα, τα δοχεία πορεί να αρχίζουν να ανεβαίνουν από την άλλη πλευρά, πριν προφτάσουν να αδειάσουν. Συνεπώς, αν τα δοχεία που βρίσκονται από την πλευρά της ανόδου είναι βαριά, η περιστροφή πορεί να επιβραδυνθεί, να σταατήσει, και τελικά να αναστραφεί. Στην πραγατικότητα, ο Lorenz ανακάλυψε ότι, σε εγάλες χρονικές περιόδους, η περιστροφή πορεί να αναστρέφεται από όνη της πολλές φορές, χωρίς σταθερό ρυθό, να επαναλαβάνεται αλλά όχι ε προβλέψιο τρόπο. Οι εξισώσεις Lorenz αρχικά προήλθαν απο τον Saltzman το 1962 ως ένα ινιαλιστικό οντέλο θερικής εταφοράς σε ένα κουτί. Πιο συγκεκριένα, η αρχική περιγραφή των εξισώσεων πορεί να περιγραφεί ως εξής: Ενα δισδιάστατο υγρό κελί θεραίνεται απο κάτω και ψύχεται από πάνω, η προκύπτουσα κίνηση του υγρού λόγω εταφοράς θερότητας (convection) οντελοποιείται ε λεπτοέρεια από ερικές διαφορικές εξισώσεις. Οι βαθοί ελευθερίας στις εν λόγω ερικές διαφορικές εξισώσεις ουσιαστικά είναι άπειροι. Ο Lorenz έκανε την τεράστια απλουστευένη υπόθεση ότι όλες εκτός απο τρείς εταβλητές απο αυτές παραένουν σταθερές. Η προκύπτουσα αυτή κίνηση οδήγησε σε ένα τρισδιάστατο σύστηα διαφορικών εξισώσεων το οποίο περιέχει τρείς παραέτρους τις (σ, b, r). Οταν έγιναν όλες αυτές οι απλοποιήσεις το σύστηα διαφορικών εξισώσεων περιείχε όνο δύο η γραικούς όρους και δίνεται απο τις παρακάτω εξισώσεις: 7

8 όπου: ẋ = ẏ = ż = σ(y x) rx y xz xy bz x: ο ρυθός περιστροφής του κυλίνδρου ρευστού που σχηατίζεται απο τη εταφορά θερότητας. y: η διαφορά θεροκρασίας (ανάλογη της διαφοράς θεροκρασίας ως προς την οριζόντια διεύθυνση.) z: η διαφορά θεροκρασίας ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση. σ: ο αριθός Prandtl, οοποίοςεξαρτάταιαποτοιξώδεςκαιτηθερικήαγωγιότητατου ρευστού. b: εξαρτάται απο τα φυσικά εγέθη του συστήατος. r: αριθόςrayleigh Σηειώνουε ότι για τη γήινη ατόσφαιρα ισχύει ότι σ >b ια πρωτη προσεγγιση για το συστηα lorenz Για ορισένες τιές των παραέτρων, το σύστηα Lorenz εφανίζει κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Παρατηρώντας τη τροχιά ενός σωατιδίου ε αρχικές συνθήκες P 1 =(0, 2, 0) και P 2 =(0, 2, 0) όπου οι λύσεις είναι υπολογισένες όταν (σ = 10,b =8/3,r = 28) όπως φαίνονται στις επόενες εικόνες (σηειώνεται οτι η διαδροή δεν τένει τον εαυτό της αν τη θεωρήσουε σαν τρισδιάστατη εικόνα), εφανίζεται ία περίπλοκη συπεριφορά. Σχήα 2.3: Ο ελκυστής Lorenz Είναι φανερό απο τις παραπάνω εικόνες πως οι 2 λύσεις συπεριφέρονται αρκετά διαφορετικά αλλά τελικά το σχήα που δηιουργούν οι τροχιές είναι παρόοιο οπτικά. Ενα κοινό χαρακτηριστικό είναι ότι η διαδροή που απεικονίζεται δεν προσεγγίζει κάποια περιοδική τροχιά ή σηείο ισορροπίας. Οι λύσεις φαίνεται να στρέφονται γύρω απο ένα ζευγάρι σηείων, ε εναλλαγή κατά διαστήατα του σηείου που έχει περικυκλώσει. Αυτό είναι και ία πρώτη σηαντική παρατήρηση σχετικά ε τις τροχιές του συστήατος Lorenz. Ας δούε λοιπόν κάποιες ιδιότητες του συστήατος γι αυτή την περίπλοκη συπεριφορά που φαίνεται να έχει το σύστηα. 8

9 Οι τροχιές δεν είναι περιοδικές. Οι εικόνες δεν σχετίζονται ε κάποιο παροδικό (transient) φαινόενο. στόσο, οι τροχιές συνεχίζουν να στρέφονται πρώτα απο τη ία πλευρά και ετά απο την άλλη, χωρίς ποτέ να πηγαίνουν είτε σε περιοδική, είτε σε λύση, είτε σε σηείο ισορροπίας. Στο κέντρο του καθενός απο τους δύο βρόγχους υπάρχει ένα ασταθές σηείο ισορροπίας και οι τροχιές φαίνεται να πηδάνε πέρα δώθε κατά τρόπο που εφανίζεται τυχαίος, αν και όπως θα δούε, υπάρχουν ντετερινιστικά χαρακτηριστικά σε αυτή τη συπεριφορά. Υπάρχει επίσης και κάτι βαθύτερο που κρύβεται. Εείς ξεκινήσαε ε 2 σχετικά ακρινές αρχικές συνθήκες. Στο σχήα (2.3) οι τροχιές ξεκίνησαν από σχετικά ακρινές αρχικές συνθήκες. Αν ξεκινήσουε από πολύ κοντινές αρχικές συνθήκες και σχεδιάσουε τις λύσεις ως προς το χρόνο, όπως στο σχήα (2.4), παρατηρούε ότι αυτές οι δύο λύσεις αποακρύνονται κατά τη διάρκεια των ταξιδιών τους έσα στον ελκυστή Lorenz (Lorenz attractor). Σχήα 2.4: Το γράφηα x(t), για τις δύο λύσεις Τα παραπάνω γραφήατα είναι σχεδόν πανοοιότυπα για ια συγκεκριένη χρονική περίοδο, έχρι περίπου ο χρόνος γίνει t = Μετά από αυτή τη χρονική στιγή διαφοροποιούνται σηαντικά, σαν η ία λύση να ταξιδεύει γύρω απο τους λοβούς του ελκυστή, ενώ η άλλη λύση να ταλαντώνεται ε η - περιοδικό τρόπο. Αυτός ο διαχωρισός των τροχιών αντιστοιχεί στην ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες, ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά ενός χαοτικού συστήατος. Στο επόενο κεφάλαιο θα περιγραφεί λεπτοερώς το σενάριο του ελκυστή και της χαοτικής συπεριφοράς για το σύστηα. 2.3 απλεσ ιδιοτητεσ των εξισωσεων lorenz 1. Συετρία: Το διανυσατικό πεδίο του Lorenz L(x) διαθέτει φυσική (normal) συ- ετρία. Αυτή η συετρία εξακολουθεί να υπάρχει για όλες τις τιές των παραέτρων. Αν έχουε S(x, y, z) =( x, y, z), τότε έχουε S(L(X)) = L(S(X)), πουείναι αντανάκλαση έσω του z - άξονα, διατηρώντας αναλλοίωτο το διανυσατικό πεδίο. Συγκεκριένα, αν (x(t),y(t),z(t)) είναι ία λύση των εξισώσεων Lorenz, τότε και η ( x(t), y(t), z(t)) είναι ία άλλη λύση. 2. z - άξονας: Ο z -άξοναςείναιαετάβλητος (invariant). Οταν x = y =0,έχουε x = y =0.Επιπλέον,z = bz και κατά συνέπεια, όλες οι τροχιές οι οποίες ξεκινούν 9

10 από τον z - άξονα παραένουν σ αυτόν και τείνουν προς την αρχή (0, 0, 0). Ολεςοι τροχιές οι οποίες περιστρέφονται γύρω από τον z-άξονα το κάνουν στη διεύθυνση του ρολογιού όταν προβάλλονται στο xy -επίπεδο. Αυτόπροκύπτειαποτογεγονός ότι αν x =0τότε dx dx dt > 0 όταν y>0και dt > 0 όταν y<0. Μπορούε επίσης να δώσουε ια ερική περιγραφή των περιοδικών τροχιών του συστήατος ετρώντας τον αριθό των φορών που αυτές περιστρέφονται γύρω απο τον z -άξονα. Αυτήη περιγραφή δεν θα άλλαζε, αν αλλάζαε τις παραέτρους και η ίδια περιοδική τροχιά θα εξακολουθούσε να υφίσταται. 3. Μη γραικότητα: Οι δύο η-γραικότητες του συστήατος είναι xz και xy. 4. Συστολή όγκου: Το σύστηα Lorenz είναι σύστηα ε απόσβεση (dissipative system), στο οποίο οι όγκοι στον χώρο φάσεων συστέλλονται κάτω από τη δράση της ροής. 5. Σηεία ισορροπίας ( fixed points): ς συνήθως για να αναλύσουε το σύστηα, ξεκινάε βρίσκοντας τα σηεία ισσοροπίας. Εχουε τρία σηεία ισσοροπίας, το (0, 0, 0) το οποίο είναι ένα στάσιο σηείο για όλες τις τιές των παραέτρων και τα σηεία C± = ± b (r 1), ± b (r 1),r 1. Το τελευταίο ζευγάρι στάσιων σηείων C± υπάρχει όνο όταν r>1. Τα παραπάνω 2 στάσια σηεία ενώνονται ε την αρχή (0, 0, 0) καθώς το r πλησιάζει στο 1 και στην τιή r =1έχουε ουσιαστικά ία διακλάδωση τύπου τρίαινας (pitchfork bifurcation). 2.4 γραικη ευσταθεια και διακλαδωση hopf Σ αυτή τη παράγραφο θα προσδιορίσουε την τοπική συπεριφορά των λύσεων στην περιοχή κάθε στάσιου σηείου ισορροπίας 1 για τις διάφορες τιές του r. Αν 0 r<1, τότε το οναδικό στάσιο σηείο είναι το (0,0,0).Το γραικοποιηένο σύστηα στο (0,0,0) είναι ẋ σ σ 0 x ẏ = r 1 0 y ż 0 0 b z Οι ιδιοτιές προσδιορίζονται απο την εξίσωση σ λ σ 0 r 1 λ 0 = 0 0 b λ 1 0 =( σ λ) 0 b λ r σ 0 0 b λ = = (σ + λ)[( 1 λ)( b λ)] r[σ( b λ)] = 1 είτε λέε κρίσιο σηείο, είτε στάσιο σηείο, εννοούε το σηείο ισορροπίας 10

11 Εποένως λ 1 = b και =( b λ)[( σ λ)( 1 λ) rσ] = =( b λ) σ + σλ + λ + λ 2 rσ = = ( b λ) λ 2 + λ(σ + 1) σ(r 1) =0 λ± = 1 2 ( (σ + 1) ± (σ+1) 2 4σ(1 r). Σηειώνουε οτι και οι δύο ιδιοτιές λ± είναι αρνητικές για r<1. Εποένως η αρχή είναι ασυπτωτικά ευσταθής τόσο για το γραικοποιηένο σύστηα όσο και για το αρχικό σύστηα. Η λύση η οποία έχει αρχική συνθήκη οποιοδήποτε σηείο στον R 3 τείνει στην αρχή για r<1. Πρόταση 2.1: Υποθέτουε ότι r<1. Τότε όλες οι λύσεις του συστήατος Lorenz τείνουν στο σηείο ισορροπίας της αρχής των αξόνων (0, 0, 0). Απόδειξη Θεωρούε την συνάρτηση Liapunov στον R 3, L(x, y, z) =x 2 + σy 2 + σz 2, η οποία είναι θετικά ορισένη. Παραγωγίζοντάς την βρίσκουε L = 2σ(x 2 + y 2 (1 + r)xy) 2σbz 2. Από την παραγώγιση έχουε οτι L <0 ακριά απο την αρχή (0, 0, 0), ε την προϋπόθεση ότι g(x, y)=x 2 +y 2 (1+r)xy> 0 για (x, y) = (0, 0). Αυτό προφανώς ισχύει κατά ήκος του y άξονα. Κατά ήκος κάθε άλλης ευθείας y = mx στο xy επίπεδο έχουε οτι g(x, mx) =x 2 (m 2 (1 + r)m + 1). Άλλα ο τετραγωνικός όρος m 2 (1 + r)m +1είναι θετικός για όλα τα m αν r<1. Ετσι g(x, y) > 0 για (x, y) = (0, 0). Αν r =1,τότεηαρχή(0, 0, 0) εξακολουθεί να είναι το οναδικό σηείο ισορροπίας. Από το παραπάνω γραικοποιηένο σύστηα συπεραίνουε πως οι ιδιοτιές λ 1, λ είναι αρνητικές, ενώ η ιδιοτιή λ + είναι ηδενική. Άρα δεν πορούε να εξάγουε συπέρασα απο το θεώρηα γραικοποίησησης, για την αρχή των αξόνων. Οπως αναφέραε και παραπάνω αυτή η τιή αποτελεί χαρακτηριστική τιή διακλάδωσης τύπου Pitchfork. Ενώδενείναι δυνατή η εφαρογή του θεωρήατος γραικοποίησης, είναι δυνατόν να αποδειχθεί ε τη έθοδο κεντρικής πολλαπλότητας ότι το (0, 0, 0) είναι ασυπτωτικά ευσταθές. Αν r>1, τότε έχουε άλλα δύο σηεία ισορροπίας τα C± = ± b (r 1), ± b (r 1),r 1. Το κρίσιο σηείο της αρχής έχει ια ονοδιάστατη ασταθή πολλαπλότητα W u (0) και ια δισδιάστατη ευσταθή πολλαπλότητα W s (0). Η γραικοποιηένη ροή κοντά στην αρχή έχει τρείς πραγατικές ιδιοτιές, οι λ 1, λ που είναι αρνητικές και την λ + που είναι θετική, έτσι λοιπόν η αρχή των αξόνων είναι ασταθής για 11

12 το γραικοποιηένο και για το αρχικό σύστηα. Εποένως η σχέση εταξύ των ιδιοτιών είναι η εξής λ >λ + > λ 1. Το γραικοποιηένο σύστηα στα σηεία C± είναι ẋ ẏ ż = σ σ b (r 1) ± b (r 1) ± b (r 1) b x y z Οι ιδιοτιές που γραικοποιούν τη ροή κοντά στα C± είναι οι ρίζες της εξίσωσης λ 3 +(σ + b +1)λ 2 + b(σ + r)λ+2bσ(r 1). Σε αυτό το σηείο αρκεί να πούε ότι και οι τρείς οι ρίζες είναι πραγατικές όταν το r είναι πολύ κοντά στο 1, αλλά όταν 1, 346 <r<σ(σ+b+3)/(σ b 10) = 24, 737 (ε σ=10 και b= 8 3 ) έχουε ία πραγατική ρίζα και ένα ζεύγος συζυγών ιγαδικών ριζών. Αυτές οι τρείς ρίζες έχουν αρνητικό πραγατικό έρος. Άρα στο διάστηα 1 <r< = 24, 74 τα σηεία ισορροπίας C± είναι ευσταθή. Ας ονοάσουε λοιπόν την κρίσιη τιή r = 24, 74 ε r H. Για r>r H, οι ιγαδικές ρίζες της εξίσωσης έχουνε πραγατικό θετικό έρος και τα σηεία ισορροπίας C± είναι ασταθή. Για r = r H,ταC± έχουν το καθένα ια αρνητική και δύο καθαρά φανταστικές ιδιοτιές, εποένως επειδή οι ιγαδικές ιδιοτιές διασταυρώνουν το φανταστικό άξονα, υπάρχει ία διακλάδωση Hopf στην οποία τα σηεία C± χάνουν την ευστάθεια τους. Σχετικά ε την διακλάδωση Hopf δεν θα αναφερφούε ε λεπτοέρεια. Απλά θα σηειώσουε περιγραφικά ε το παρακάτω σχήα τη διαδικασία διακλάδωσης και θα αναφερθούε σε ορισένα γενικά χαρακτηριστικά. Σχήα 2.5: ιακλάδωση Hopf 12

13 Υπάρχουν δύο τύποι στη θεωρία της διακλάδωσης Hopf. Η διακλάδωση που είναι υπερκρίσιη ( supercritical), αν κάθε σηείο χάνει την ευστάθεια του και ταυτόχρονα δηιουργείται ία ευσταθής περιοδική τροχιά. Η διακλάδωση που είναι υποκρίσιη ( subcritical), αν κάθε σηείο κερδίζει την ευστάθεια του από ία ασταθή περιοδική τροχιά. Στην περιπτωσή ας πορούε να δούε οτι έχουε ια υποκρίσιη (subcritical) διακλάδωση για όλες τις τιές των σ και b, οπου η διακλάδωση εφανίζεται για r H >r>1. Η παραπάνω διακλάδωση όπως φαίνεται στο επόενο σχήα εφανίζεται στο σηείο r=σ(σ+b=3)/σ b 3 r H, υποθέτοντας ότι σ b 1>0. Στην πρόταση που ακολουθεί αποδεικνύεται ο λόγος που τα σηεία C± είναι ευσταθή, όταν η παράετρος r είναι εταξύ του 1 και του σ(σ + b + 3)/(σ b 10) = r H. Πρόταση 2.2: Τα σηεία ισορροπίας C± είναι αρνητικές πηγές (sinks), δηλαδή ευσταθή υπό την προϋπόθεση οτι: σ(σ + b +3) 1 <r<r H = σ b 1 Απόδειξη Είδαε πως όταν το r>1εφανίζονται δύο επιπλέον σηεία ισορροπίας, τα C±. Απότη γραικοποιηένη ροή κοντά στα δύο αυτά σηεία ισορροπίας, υπολογίσαε ότι οι ιδιοτιές ικανοποιούν το κυβικό πολυώνυο f r (λ)= λ 3 +(σ + b +1)λ 2 + b(σ + r)λ+2bσ(r 1) = 0 Οταν r= 1το πολυώνυο f 1 έχει τρεις διακεκριένες ρίζες, τις 0, b, σ 1. Αυτέςοι ρίζες είναι διακεκριένες δεδοένου οτι σ >b+1. Ετσι ισχύει οτι σ 1 < σ +1< b <0. ςεκτούτου,γιαr κοντά αλλά εγαλύτερο του 1, τοπολυώνυοf r (λ) έχει τρεις πραγατικές ρίζες κόντα σ αυτές τις τιές. Αν τώρα, αφήσουε το r να αυξηθεί, το ερώτηα που προκύπτει είναι το εξής: Ποιά είναι η ελάχιστη τιή του r για την οποία το f r (λ) έχει ία ιδιοτιή ε ηδενικό πραγατικό έρος Σηειώνουε πως αυτή η ιδιοτιή θα πρέπει να είναι της ορφής ±iω εω= 0,δεδοένουότι για r>1 η f r είναι ία πραγατική πολυωνυική συνάρτηση που δεν έχει ρίζες ηδενικές. Ετσι λοιπόν δεδοένης αυτής της παρατήρησης αναζητούε την τιή ω= 0επιλύοντας την εξίσωση f r (iω) =0,εω= 0,γιακάποιοr>1. Υποθέτονταςότισ>b+1,θαέχουε: f r (iω) =0= (iω 3 )+(σ + b + 1)(iω) 2 +b(σ + r)iω +2bσ(r 1) = 0 = iω 3 (σ + b + 1)ω 2 +ib(σ + r)ω +2σb(r 1) = 0 = i (-ω 3 +b(σ + r)ω) (σ + b + 1)ω 2 +2σb(r 1) = 0 Εξισώνουε το πραγατικό και το φανταστικό έρος ε το ηδέν και τότε προκύπτει ότι (σ + b + 1)ω 2 +2σb(r 1) = 0 = 2σb(r 1) = (σ + b + 1)ω 2 = 2bσr 2bσ =(σ + b + 1)ω 2 = r = 2bσ +(σ+b+1)ω2 2bσ, (2.1) -ω 3 +b(σ + r)ω = 0= ω 2 = b(σ + r) =bσ + br. (2.2) Αντικαθιστώντας την (2.2) στην (2.1) έχουε: 13

14 r = 2bσ +(σ+b+1)(bσ + br) 2bσ = 2bσ+bσ2 + bσr + b 2 σ+b 2 r + bσ + br 2bσ = 2σ+σ2 +σr + bσ + br + σ + r 2σ = 3σ+σ2 +bσ+r(σ + b + 1) 2σ = σ2 +3σ + bσ + r(σ + b + 1) 2σr =0 = σ2 +3σ + bσ + r( σ + b + 1) = 0 = r( σ + b + 1) = σ2 +3σ + bσ = r = σ2 +3σ+bσ σ b 1 = r = σ(σ+b+3) σ b 1 Άρα, η ζητούενη ελάχιστη τιή του r είναι η r H = σ(σ+b+3) σ b 1, και συνεπώς όταν r< r H, τα σηεία C± είναι ευσταθή. 2.5 παγιδευοντας τις τροχιες των εξισωσεων Στην ενότητα αυτή, θα ξεκινήσουε δίνοντας ία πρώτη εικόνα του ολικού ελκυστή για το σύστηα Lorenz. εν θα αναφερθούε ακόα σε κάποιον αυστηρό ορισό για το τι είναι ελκυστής, αλλά θα προσπαθήσουε να δώσουε το βασικό αποτέλεσα της ύπαρξής του στο σύστηα ας. Στην συνέχεια θα δώσουε τον ακριβή του ορισό. Αρχικά, θα δείξουε, πως όλες οι λύσεις οι οποίες ξεκινούν ακριά από την αρχή, εισέρχονται σε ένα ελλειψοειδές της ορφής : V (x, y, z) =rx 2 +σy 2 +σ(z 2r) 2 Σηειώνουε οτι, το V (x, y, z) =v>0 ορίζει ένα ελλειψοειδές στον R 3 ε κέντρο το (0, 0, 2r). Εναλλακτικά, θα αποδείξουε την ύπαρξή ιάς κλειστής πάλας, όπου όλες οι τροχιές εισέρχονται έσα σ αυτή και παραένουν εγκλωβισένες ετά από κάποια χρονική στιγή. Ας εξετάσουε την περίπτωση του ελλειψοειδούς, ε τη βοήθεια της παρακάτω πρότασης: Πρόταση 2.3: Υπάρχει ένα v, έτσι ώστε οποιαδήποτε λύση, η οποία ξεκινάει έξω απο το ελλειψοειδές V = v, τελικά εισέρχεται σ αυτό και παραένει εγκλωβισένη για όλες τις ελλοντικές χρονικές στιγές. Απόδειξη Θεωρούε ια συνάρτηση Liapunov V (x, y, z) =rx 2 +σy 2 +σ(z 2r) 2 Υπολογίζοντας την παράγωγό της θα έχουε 14

15 dv dt = 2σ(rx2 + y 2 +b(z 2 2rz)) Προσθαφαιρώντας το r 2 στην δεύτερη παρένθεση, βρίσκουε Η εξίσωση dv dt = 2σ(rx2 +y 2 +b(z r) 2 br 2 ). rx 2 + y 2 + b(z r) 2 = µ, ορίζει ένα ελλειψοειδές όταν το µ>0. Επίσης, όταν µ>br 2 έχουε dv dt < 0. Ετσι πορούε να επιλέξουε ένα v αρκετά εγάλο, έτσι ώστε το ελλειψοειδές V =v να περιέχει αυστηρά το ελλειψοειδές rx 2 + y 2 + b(z r) 2 = br 2, στο εσωτερικό του. Σ αυτή τη περίπτωση dv dt < 0 για όλα τα v v. Εποένως, όλες οι λύσεις που ξεκινούν ακριά απο την αρχή, έλκονται απο ένα σύνολο που βρίσκεται έσα στο ελλειψοειδές V =v. Ας συβολίσουε ε το σύνολο όλων των σηείων των οποίων οι λύσεις παραένουν έσα στο ελλειψοειδές για όλους τους χρόνους. Κατά συνέπεια, το ω-οριακό σύνολο οποιασδήποτε λύσης του συστήατος Lorenz θα πρέπει να βρίσκεται στο σύνολο ( ). Θεωρητικά το ( ) θα πορούσε να είναι ένα εγάλο σύνολο φραγένο εντός ιάς ανοικτής περιοχής στον R 3, όως για το σύστηά ας αυτό δεν συβαίνει. Ο λόγος που δεν συβαίνει κάτι τέτοιο θα εξηγηθεί αναλυτικότερα στη συνέχεια, ελετώντας την απόκλιση του διανυσατκού πεδίου. Ας δούε τώρα την εναλλακτική περίπτωση πάλας, η οποία έλκει όλες τις τροχιές που βρίσκονται ακριά της. Υπενθυίζοντας τις εξισώσεις του συστήατος Lorenz ẋ σ(y x) ẏ = rx y xz, (2.1) ż xy bz υποθέτουε ότι x(0) = x 0, y(0) = y 0, z(0) = z 0 είναι οι αρχικές συνθήκες για το σύστηά ας. Θεωρώντας το σύστηα (2.1) στην ορφή u= F (u), εf C 1 (R n, R n ), τότε υπάρχει οναδική λύση u(t) =(x(t),y(t),z(t)), γιαt [0,T 0 ] 15

16 Σχήα 2.6: ιάνυσα θέσης Μας ενδιαφέρει η εξέλιξη του διανύσατος θέσης. ευκλείδια νόρα του διανύσατος u(t) 2 R 3 = x2 (t)+y 2 (t)+z 2 (t) Για τον σκοπό αυτό ελετάε την Σκοπός ας είναι να κατασκευάσουε ια διαφορική εξίσωση ή ανίσωση ε άγνωστη συνάρτηση την u(t) 2 R3, η οποία πορεί να επιλυθεί για να ας δώσει τις πληροφορίες που θέλουε για την συπεριφορά της u(t) 2 R3. Αυτή η εξίσωση θα προκύψει ε τη διαδικασία της ορθογωνιότητας της η γραικότητας του συστηατος, εξαφανίζοντας δηλαδή τους η γραικούς όρους του αρχικού συστήατος. Ας δούε λοιπόν πως θα γίνει αυτό. Χρησιοποιώντας την αλλαγή των εταβλητών το σύστηα Lorenz (2.1) γράφεται x x y y z z + r + σ ẋ + σx σy=0 ẏ rx + y + xz =0 ż xy + bz =0 = ẋ + σx-σy =0 ẏ + y + σx+xz =0 ż xy + bz = b(r + σ) Εχουε γράψει το σύστηα ας ε στην νέα ορφή. Το επόενο βήα είναι να πολλαπλασιάσουε κάθε ία απο τις τρείς εξισώσεις ε x, y, z αντίστοιχα, για να εφανίσουε την παράγωγο της νόρας. Πράγατι, βλέπουε πρώτα ότι xẋ + σx 2 -σxy =0 yẏ + y 2 + σxy + xzy =0 zż xyz + bz 2 = b(r + σ)z, (2.3) Στη συνέχεια, προσθέτουε κατά έλη τις εξισώσεις (2.3) έτσι ώστε να απαλειφθούν οι η γραικοί όροι σxy και xyz, για να προκύψει εύκολα η επόενη εξίσωση 1d 2dt x(t)2 + 1d 2dt y(t)2 + 1d 2dt z(t)2 +σx 2 +y 2 +bz 2 = b(r + σ)z = 1d 2dt u(t)2 R 3 + σx(t)2 + y(t) 2 + bz(t) 2 = b(r + σ)z(t), (2.4) Η εξίσωση (2.4) καλείται και εξίσωση ενέργειας για το σύστηα Lorenz. Παρατηρούε ότι στο αριστερό έλος της εξίσωσης (2.4) υπάρχει ο όρος b(r + σ)z(t) ο οποίος χρειάζεται επεξεργασία ώστε να φτάσουε σε ία διαφορική εξίσωση ή ανίσωση που θα πορεί να επιλυθεί. Χρησιοποιώντας ια στοιχειώδη ανισότητα για τους πραγατικούς αριθούς και κάνοντας τις κατάλληλες πράξεις, θα οδηγηθούε σε ία η οογενή γραική διαφορική ανισότητα. Εδώ παραθέτουε κατ ευθείαν την ζητούενη η οογενή διαφορική ανίσωση ε σταθερούς συντελεστές, η οποία είναι η εξής 1d 2dt u(t)2 R 3 + γu(t)2 R 3 b(σ+r)2 2, (2.5) 16

17 όπου γ>0, καιγ =min σ,1, b 2. Λύνουε την εξίσωση (2.5), σαν ια γραική εξίσωση 1 ης τάξης ε σταθερούς συντελεστές, καταλήγωντας οτι η u(t) 2 R 3 ικανοποιεί την εκτίηση όπου γ>0, καιγ =min σ,1, b 2. 1d 2dt u(t)2 R 3 u 0 2 R 3 e 2γt + R 0 2γ (1 e 2γt ), όπου R 0 = b(σ+r)2 2 (2.6) Ετσι λοιπόν αποδείχθηκε οτι η λύση του συστήατος Lorenz παραένει φραγένη για κάθε t>0 και για κάθε αρχική συνθήκη u ο = (x 0, y 0, z 0 )R 3. Εποένως το διάστηα ύπαρξης της είναι το I =[0, + ). Ας επεξεργαστούε λίγο περισσότερο την εξίσωση (2.6), για να δούε τι συβαίνει καθώς το t. Παρατηρούε ότι lim sup t u(t) 2 R 3 R 0 2γ =ρ2 0, (2.7) Να σηειωθεί εδώ ότι, το όριο lim t u(t) 2 R 3 πορεί να ην υπάρχει. Είναι δυνατόν η u(t) 2 R 3 να ην προσεγγίζει κάποια συγκεκριένη οριακή τιή, αλλά να ταλαντώνεται έντονα (το οποίο και συβαίνει!). Το όριο όως σίγουρα υπάρχει και ικανοποιεί την (2.7). Εστω τώρα, Β(0, ρ 0 ) η κλειστή σφαίρα ε κέντρο την αρχή των αξόνων 0, και ακτίνα ρ 0. Ας υποθέσουε οτι η αρχική συνθήκη u 0 είναι αρκετά ακριά απο την Β(0, ρ 0 ). ηλαδή ρ 2 0 < u 0 2 R 3 = κ, το σηείο απο το οποίο ξεκινάει η τροχιά ας, έξω απο την σφαίρα. Μπορούε να βρούε τον χρόνο εισόδου στην σφαίρα, δηλαδή να δείξουε ότι υπάρχει ένα t 0 (κ) τέτοιο ώστε η λύση ας u(t), να εισέρχεται και να παραένει στην σφαίρα (0, ρ) για οποιοδήποτε ρ τέτοιο ώστε ρ>ρ 0. Με λίγα λόγια θέλουε να δείξουε οτι u(t) 2 R 3< ρ 2,γιακάθεt>t 0 (κ) και θα απαιτήσουε να ισχύει ότι κe 2γt + ρ 2 0 (1 e 2γt ) ρ 2. Λύνοντας την ανισότητα ως προς t>0 έχουε t>t 0 (κ) = 1 κ-ρ 2γ ln 2 0 ρ-ρ 2, 0 όπου t 0 (κ) ο χρόνος εισόδου της τροχιάς. Να σηειωθεί εδώ ότι η σφαίρα Β(0, ρ) είναι αναλλοίωτη για την ροή και πως είναι ένα κλειστό και φραγένο σύνολο, δηλαδή συπαγές. Αυτό το συπαγές σύνολο, έλκει όλες τις τροχιές που βρίσκονται ακριά του. Αν ία τροχιά ξεκινήσει στο εσωτερικό του, δεν πορεί να ξεφύγει και παγιδεύεται. Ακόα καλύτερα ας ονοάσουε αυτό το σύνολο συπαγή ελκυστή. Ο ελκυστής πορεί να είναι συνηθισένος αλλά ενδέχεται να είναι και παράξενος! (σηείο ισορροπίας, περιοδική λύση) 17

18 2.6 εταβολη ογκου υπο τη δραση της ροης Το σύστηα του Lorenz είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγα συστήατος ε απόσβεση (dissipative system). ηλαδή υπάρχει ένα φραγένο υποσύνολο του χώρου φάσεων στο οποίο εισέρχονται οι τροχιές ετά απο χρόνο t 0. Στην προηγούενη ενότητα προσπαθήσαε να αποδείξουε κάτι τέτοιο και το κάναε ε δύο τρόπους, περιγράφοντας τον ελκυστή από ένα ελλειψοειδές ή ία σφαιρά. Ο χαρακτήρας απόσβεσης που αποδείξαε, για το σύστηά ας, σηαίνει πως οι όγκοι στο χώρο φάσεων συστέλλονται υπό τη δράση της ροής, κάτι το οποίο θα ας απασχολήσει σε αυτή την παράγραφο. Για να έχουε πληρέστερη εικόνα, θα πρέπει να δούε πως εξελίσσονται οι όγκοι κάτω απο την ροή ιάς διαφορικής εξίσωσης. Ας ορίσουε πρώτα, την ροή ενός προβλήατος αρχικών τιών. Εστω το εξής πρόβληα αρχκών τών ẋ(t) =F (x(t)) x(0) = x 0 Αν η F C 1 (R, R) 2, για διάφορες αρχικές συνθήκες x 0 R, τότε υπάρχει οναδική λύση του προβλήατος αρχικών τιών για κάθε x 0. Αυτή η οικογένεια οναδικών λύσεων της διαφορικής ẋ = F (x(t)) που αντιστοιχούν στις αρχικές συνθήκες x 0 συβολίζεται ε ϕ(t; x 0 ) ή ϕ t (x 0 ) και ονοάζεται ροή της διαφορικής εξίσωσης. Για να τονιστεί η εξάρτηση ιάς λύσης x(t), ενόςπροβλήατοςαρχικώντιώναποτηναρχικήτιήx 0,ότανt 0 =0 χρησιοποιούε τον συβολισό ϕ t (x 0 )(ε ϕ 0 (x 0 )=x 0 ). Το ακόλουθο θεώρηα, αφορά τη διαφορισιότητα της ροής και παρατίθεται χωρίς απόδειξη. Θεώρηα: Ηροήϕ t (x 0 ) ενός αυτόνοου συστήατος ẋ = F (x) είναι ία C 1 συνάρτηση, που σηαίνει ότι οι ϕ t και ϕ x υπάρχουν και είναι συνεχείς ως προς t και ως προς x. Ας δούε τώρα, την εξέλιξη των όγκων απο τη ροή ϕ t (x). Εστω F :R 3 R 3 ία C 2 συνάρτηση. Θεωρούε το αυτόνοο πρόβληα αρχικών τιών στον R 3 ẋ(t) =F (x(t)) (2.8) x(0) = x( =(x 0,y 0,z 0 )) Η ϕ t (x) σαν λύση της διαφορικής εξίσωσης θα την επαληθεύει και θα ισχύει d dt ϕ t(x) =F (ϕ t (x)) (2.9) Ετσι λοιπόν η x(t) ϕ t (x) είναι η θέση ενός σωατιδίου τη χρονική στιγή t, σύφωνα ε την εξίσωση κίνησης που περιγράφει το σύστηα (2.8). Οταν t =0το σωατίδιο βρίσκεται στη θέση x. Θεωρούε τα οναδιαία διανύσατα i, j, k ε αρχή το x. Γιαε>0 αρκετά ικρό θεωρούε τα διανύσατα v 1 = εi, v 2 = εj, v 3 = εk πάλι ε αρχή το x. Αυτά τα διανύσατα παράγουν 2 Με C 1 (R, R), συβολίζουε το σύνολο όλων των διαφορίσιων συναρτήσεων ε συνεχείς παραγώγους πρώτης τάξης. 18

19 ένα παραλληλεπίπεδο P (0). Στο επόενο σχήα βλέπουε ότι, καθώς ο χρόνος αυξάνεται, ηροήϕ t (x) εταφέρει το παραλληλεπίπεδο P (0), τοοποίοπέρνειτηορφήενόςάλλου στερεού αντικειένου. Σχήα 2.7: Το κινούενο παραλληλεπίπεδο Άρα ε λίγα λόγια ας ενδιαφέρει η εταβολή του όγκου του παραλληλεπιπέδου δηλαδή η ποσότητα d dt V (t), όπουv (t): οόγκοςτουπαραλληλεπιπέδου. Οπως είδαε απο το προηγούενο θεώρηα η ϕ t (x) είναι ία συνάρτηση παραγωγίσιη ως προς x και ως προς t. Οταντοε είναι ικρό, η εικόνα του P (0) έσω της ϕ προσεγγίζεται απο την εικόνα του έσω της παραγώγου της ϕ ως προς x. Να σηειωθεί έδω ότι, αν x είναι ένα ικρό διάνυσα ε αρχή ένα σηείο P 1 και τέλος ένα P 2 τότε από τα αναπτύγατα Taylor των ποσοτήτων ϕ t (P 1 ) και ϕ t (P 2 ),έχουε ϕ t (P 2 ) ϕ t (P 1 ) D x ϕ t (x) v Σύφωνα ε όλα τα παραπάνω το P (0) κατά προσέγγιση εταφέρεται σε ένα παραλληλεπίπεδο P (t) που παράγεται απο τα ορθοκανονικά 3 διανύσατα v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t), ταοποία είναι τα εξής Άρα απο την (2.10) έχουε ότι v 1 (t) =D x ϕ t (x) v 1 v 2 (t) =D x ϕ t (x) v 2 (2.10) v 3 (t) =D x ϕ t (x) v 3 v i (t) =D x ϕ t (x) v i (2.11) Συνεπώς τα v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t), παράγουνέναπαραλληλεπίπεδοp (t) που κινείται στον χρόνο. Παραγωγίζοντας την (2.11) ως προς t, λαβάνοντας υπόψη την σχέση (2.9) και κάνοντας πράξεις, βρίσκουε ότι d dt v i(t) = d dt (D xϕ t (x) v i ) = d dt v i(t) =DF(ϕ t (x) v i ) (2.12) Η εξίσωση (2.12) ονοάζεται εξίσωση γραικοποίησης (linearization equation) ή εξίσωση πρώτης εταβολής (first variation equation). Ας δούε τώρα τι συβαίνει ε τον όγκο 3 υποθέτουε χωρίς βλάβη της γενικότητας, οτι τα διανύσατα είναι ορθοκανονικά. 19

20 του παραλληλεπιπέδου και ποιά είναι η εταβολή του. Ο όγκος του παραλληλεπιπέδου P (t) είναι V (t) = v 1 (t) v 2 (t) v 3 (t) (2.13) Είχαε αναφέρει πριν πως τα διανύσατα v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t) είναι ορθοκανονικά 4.Άρατο παραλληλεπίπεδο P (t) που παράγεται έχει οναδιαίο όγκο. Μετά απο χρόνο dt το παραλληλεπίπεδο που παράγεται απο τα v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t) απεικονίζεται στο παραλληλεπίπεδο που παράγεται απο τα διανύσατα v i (t)+dfϕ t (x) v i (t)dt, εi =1, 2, 3 ( τα οποία ίσως δεν είναι ορθοκανονικά ). Στη συνέχεια θα προσπαθήσουε να κατασκευάσουε ία διαφορική εξίσωση για την ποσότητα (2.13) και ε τη βοήθεια του θεωρήατος του Liouville, νακαθορίσουε την εξέλιξη του όγκου, κατά τη εταφορά του απο τη ροή. Ας δούε λοιπόν την κατασκευή που όλις περιγράψαε. Θεωρούε την απλούστερη περίπτωση όπου τα διανύσατα v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t) είναι ορθοκανονικά. Προβάλλουε 5 τα διανύσατα v i (t) +DFϕ t (x) v i (t)dt, πάνω στις διευθύνσεις των v i (t), αντίστοιχα για i = 1, 2, 3. Το ήκος της προβολής των v i (t) +DFϕ t (x) v i (t)dt, ε i =1, 2, 3 στην διεύθυνση v i (t), θαείναι v i (t),dv i (t) = v i (t),dfϕ t (x) v i (t)dt, γιαi =1, 2, 3 Άρα ο καινούργιος όγκος V (t) του παραλληλεπιπέδου θα είναι V (t) = 1+ 3 i=1 v i (t),dfϕ t (x) v i (t)dt + O(dt 2 ) = 1+ dt 3 i=1 v i (t),dfϕ t (x) v i (t) = 1+ dt Tr(DFϕ t (x) Q(t)) Με Tr, συβολίζουε το ίχνος ιάς γραικής απεικόνισης. Συγκεκριένα για ία γραική απεικόνιση L : R n R n,τοίχνοςορίζεταιωςtr(l)= n i=1 Le i,e i,όπου(e 1,e 2,...,e n ) είναι κάθε ορθοκανονική βάση του R n. Εάν ο L είναι πίνακας, τότε το ίχνος του ως προς την ορθοκανονική βάση, είναι το άθροισα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου. Επίσης Q(t), είναι η προβολή πάνω στα ορθοκανονικά διανύσατα v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t). Άραοόγκος που ψάχνουε εξελίσσεται σύφωνα ε την διαφορική εξίσωση d dt V (t) =V (t) Tr(DFϕ t(x) Q(t)) 4 Μπορεί βέβαια να αποδειχθεί ότι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου είναι ανεξάρτητος της επιλογής των διανυσάτων που τον παράγουν. 5 Επειδή δεν γνωρίζουε ότι τα νέα διανύσατα v i(t) +DFϕ t(x) v i(t)dt είναι ορθοκανονικά, θα τα προβάλλουε στις διευθύνσεις των v i(t), που έχουε υποθέσει οτι είναι ορθοκανονικά. 20

21 Επιλύοντας τώρα την παραπάνω γραική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, ως προς τον όγκο, βρίσκουε ότι V (t) =V (0) exp t ε V (0) να είναι ο αρχικός όγκος. 0 Tr(DFϕ t(x) Q(t)dt ), (2.14) Να τονιστεί εδώ ότι η εταβολή των όγκων από τη ροή που ορίζει ένα σύστηα διαφορικών εξισώσεων, δηλαδή ένα διανυσατικό πεδίο, καθορίζεται απο την απόκλιση του διανυσατικού πεδίου. Η απόκλιση ενός διανυσατικού πεδίου, είναι ο ρυθός ε τον ο- ποίο εταβάλλονται οι όγκοι ανά ονάδα όγκου. Με τον όρο ρυθός, εννοούετονρυθό εταβολής ως προς το χρόνο, καθώς οι όγκοι εταφέρονται από τη ροή. Θεωρηα Liouville: Εστω ϕ t η ροή που ορίζεται απο το σύστηα ẋ = F (x). Υποθέτουε οτι D είναι ία περιοχή του R 3 ε οαλό σύνορο και έστω D(t) =ϕ t (D) είναι η εικόνα του D τη χρονική στιγή t απεικονιζόενη απο τη ροή. Εστω V (t) να είναι ο όγκος του D(t). ΕάνdivF 0, τότεηϕ t διατηρεί τον όγκο, δηλαδή V (t) =V (0) ή V (t) = divf (x)dx Εάν divf > 0 έχουε διαστολή όγκου, έαν divf < 0 έχουε συστολή όγκου. Σύφωνα λοιπόν ε όλα όσα είπαε σ αυτή τη παράγραφο, πορούε να ελετήσουε πως εξελίσσονται οι όγκοι για το σύστηα Lorenz. Ο Ιακωβιανός πίνακας για το σύστηα Lorenz είναι ο εξής DF = D(t) σ σ 0 r z 1 x y x b Το ίχνος του Ιακωβιανού πίνακα ως προς ία ορθοκανονική βάση (v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t)), είναι. Tr(DF(ϕ t (x))) = 3 i=1 DF(ϕ t (x))v i (t),v i (t) = (σ +1+b) Ετσι λοιπόν, απο την εξίσωση (2.13), ο όγκος για το σύστηα Lorenz είναι V (t) =V (0) exp t (σ+1+b)dt ) 0 (σ+b +1)t =V (0)e Απο την τελευταία εξίσωση παρατηρούε ότι καθώς t, οι όγκοι στο χώρο φάσεων, για το σύστηα Lorenz ειώνονται εκθετικά προς το ηδέν. Αυτό σηαίνει ότι ο ελκυστής του Lorenz δεν είναι αντικείενο 3 διαστάσεων. ιαισθητικά πορούε να κάνουε την εξής διαπίστωση: Αν ξεκινήσουε ε ιά άορφη άζα αρχικών συνθηκών, τότε αυτή θα συρρικνωθεί παίρνοντας τη ορφή ενός οριακού συνόλου ηδενικού όγκου, το οποίο για κάποιες τιές των παραέτρων πορεί να αποτελείται απο κρίσια σηεία, οριακούς κύκλους ήένανπαράξενοελκυστή. Στηνπροηγούενηπαράγραφοαυτούτουκεφαλαίου,αποδείξαε 21

22 την ύπαρξη ενός συπαγούς ελκυστή (την κλειστή και φραγένη σφαίρα Β(0, ρ)), στον οποίο εισέρχονται όλες οι τροχιές, για όλους τους ελλοντικούς χρόνους. Στην συνέχεια όως έλκονται τον παράξενο ελκυστή που είναι ένα σύνολο ηδενικού όγκου. Η ελέτη των γεωετρικών χαρακτηριστικών του ελκυστή γίνεται έσω της θεωρίας διαστάσεων Hausdorff και Fractal. Για ια εισαγωγή, παραπέπουε στην εταπτυχιακή εργασία της [6]. 22

23 3 ΕΝΑ ΓΕΜΕΤΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΙΑ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ LORENZ 3.1 ο ελκυστησ LORENZ Στο προηγούενο κεφάλαιο αναφερθήκαε αρκετές φορές στην έννοια ελκυστής ( attractor), χωρίς όως να έχουε δώσει κάποιο αυστηρό ορισό, πέρα αυτού του συπαγούς αναλλοίωτου συνόλου. Σ αυτή τη παράγραφο θα ασχοληθούε ε ένα συγκεκριένο σύνολο παραέτρων, όπου το σύστηα Lorenz έχει έναν παράξενο ελκυστή. Εχουε τον ακόλουθο ορισό. Ορισός 3.1: Εστω X =F (X) ένα σύστηα διαφορικών εξισώσεων στο R n ε ροή ϕ t. Το σύνολο Λ καλείται ελκυστής αν: 1. Το Λ είναι συπαγές και αναλλοίωτο. 2. Υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο U που περιέχει το Λ, τέτοιο ώστε για κάθε X U, ϕ t (X) U για όλα τα t 0 και t 0 ϕ t(u)=λ. 3. (Μεταβατικότητα) Για δύο οποιαδήποτε σηεία Y 1, Y 2 Λ και ία οποιαδήποτε ανοιχτή περιοχή U j γύρω από το Y j στο U, υπάρχει ία λύση (καπύλη) που ξεκινάει απο το U 1 και στη συνέχεια περνάει απο το U 2. Να σηειωθεί εδώ ότι, ας ενδιαφέρει να εξετάσουε την ύπαρξη ενός οναδικού ελκυστή, αντί για ιά συλλογή διαφορετικών ελκυστών 6 Αφού ορίσαε τον ελκυστή, ας δούε τώρα την συπεριφορά των τροχιών για τις διάφορες τιές της παραέτρου r. Οτανr>1, υπάρχει ένα δισδιάστατο φύλλο (sheet) αρχικών τιών στον R 3 απο το οποίο οι τροχιές τείνουν πρός την αρχή. Αυτό το δισδιάστατο φύλλο (sheet) δεν είναι άλλο από την ευσταθή πολλαπλότητα της αρχής W s (0). Κοντά στην αρχή, ξέρουε ότι αυτό το φύλλο οιάζει ε ένα επίπεδο (plane), το οποίο παράγεται από τα ιδιοδιανύσατα που αντιστοιχούν στις δύο αρνητικές ιδιοτιές, του πίνακα της γραικοποιηένης ροής κοντά στην αρχή. Οταν το r είναι λίγο εγαλύτερο από 1, η ευσταθής πολλαπλότητα της αρχής διαιρεί τον R 3 σε δύο ίσα έρη. Οι τροχιές που ξεκινάν σε ένα απο τα δύο αυτά έρη τείνουν προς το σηείο ισορροπίας C +, ενώ οι τροχιές που ξεκινάν απο το άλλο ισό τείνουν προς το C. Οι τροχιές που ξεκινούν από την ευσταθή πολλαπλότητα της αρχής, τείνουν φυσικά προς την αρχή. Η παραπάνω περιγραφή απεικονίζεται στο επόενο σχήα. 6 εν υπάρχει καθολικά αποδεκτός ορισός του ελκυστή. Μερικοί λένε πως ένα σύνολο Λ που ικανοποιεί τις συνθήκες 1και 2 ονοάζεται ελκυστής, ενώ αν ικανοποιεί την συνθήκη 3 τότε ονοάζεται εταβατικός ελκυστής. 23

24 Σχήα 3.1: Σχηατική απεικόνιση της ροής για 1<r< Ας δούε τώρα τι συβαίνει, για εγαλύτερες τιές του r, r περίπου Γι αυτές τις τιές έχει παρατηρηθεί ότι η συπεριφορά της ροής αλλάζει. Καθώς το r αυξάνεται πρός το r, οι σπείρες που σχηατίζονται από τις τροχιές που ξεκινούν από την ασταθή 7 πολλαπλότητα της αρχής, γίνονται όλο και εγαλύτερες. Για τιές του r εγαλύτερες του r, δηλαδή όταν r>r, οι τροχιές περνάνε πάνω απο το ένα σηείο ισορροπίας και έλκονται απο το άλλο σηείο ισορροπίας, ε τρόπο παρόοιο ε αυτόν που περιγράφει το σχήα 3.2. Σχήα 3.2:Η ασταθής πολλαπλότητα της αρχής για r> Είναι ία ονοδιάστατη πολλαπλότητα και συνδέεται ε την θετική ιδιοτιή της αρχής 24

25 Στην περίπτωση όπου r = r, οι τροχιές ξεκινώντας από την ασταθή πολλαπλότητα της αρχής, θα βρεθούν στην ευσταθή πολλαπλότητα της αρχής και στη συνέχεια ε το πέρασα του χρόνου θα καταλήξουν στην αρχή. Αυτή η κατάσταση, πορούε να πούε ότι περιγράφεται από ία οοκλινική τροχιά, η οποία συνδέει το σηείο ισορροπίας της αρχής. Αυτή η οοκλινική τροχιά, απεικονίζεται στο επόενο σχήα. Σχήα 3.3:Η οοκλινική τροχιά για r =ŕ 3.2 η απεικονιση POINCARÉ Στη παράγραφο αυτή θα κάνουε ία σύντοη αναφορά στις απεικονίσεις Poincaré, οι οποίες χρησιοποιούνται εκτενώς για τον ετασχηατισό της πολύπλοκης συπεριφοράς στο χώρο φάσεων, σε διακριτές απεικονίσεις σε χώρο ικρότερης διάστασης. Επίσης η απεικόνιση Poincaré είναι ένα χρήσιο εργαλείο για τον προσδιορισό της ευστάθειας των κλειστών τροχιών ενός δυναικού συστήατος. Εστω γ ία κλειστή τροχιά ιάς ροής ϕ t στον R n,πουπροκύπτειαποέναηγραικό διανυσατικο πεδίο f(x). Κοντά στην κλειστή τροχιά πορεί να οριστεί ία απεικόνιση Poincaré, ως εξής. Αρχικά επιλέγουε ένα τοπικό τήα Σ R n ε διάσταση n 1, το οποίο ονοάζεται τοή Poincaré. Συνήθωςορίζεταιωςέναευθύγραοτήαήως ία επιφάνεια του χώρου των φάσεων ε την ιδιότητα να τένει εγκάρσια κάθε τροχιά του συστήατος, ( δηλ. δεν υπάρχουν τροχιές εφαπτόενες στο Σ ). ηλώνουε το σηείο όπου η γ τένει το Σ ε p και έστω U Σ ία γειτονία του p. Τότε, η πρώτη απεικόνιση επιστροφής ή αλλιώς απεικόνιση PoincaréP: U Σ ορίζεται για ένα σηείο quως P (q) =ϕ τ (q), (3.1) όπου τ είναι ο ικρότερος θετκός χρόνος για τον οποίο ϕ τ (q) Σ. 25

26 Σηειώνουε ότι το τ γενικά εξαρτάται απο το q και δεν χρειάζεται να ισούται ε την περίοδο T =T (q) της γ. Οωςκαθώςt T,τότεq p. Επίσης, η απεικόνιση P δεν ορίζεται σε όλα τα σηεία στο Σ, επειδή οι λύσεις που ξεκινάν από ορισένα σηεία του Σ πορεί ποτέ να ην επιστρέψουν στο Σ. Σχήα 3.4: Η απεικόνιση Poincaré Παρατηρούε ότι το p είναι ένα στάσιο σηείο για την απεικόνιση P δηλαδή P (p)=p. εν είναι δύσκολο να δούε ότι η ευστάθεια του p για την P αντικατοπτρίζει την ευστάθεια της γ για την ροή ϕ t. Η επόενη πρόταση ας εγγυάται ότι η απεικόνιση P ορίζεται και είναι C 1 σε ία γειτονιά γύρω από το p. Επιπλέον, ας παρέχει ένα κριτήιο για την ευστάθεια της περιοδικής τροχιάς. Να σηειωθεί ότι, αναφερόαστε στην απλούστερη περίπτωση συστηάτων στο επίπεδο. Πρόταση 3.1: Εστω X =F (X) ένα σύστηα διαφορικών εξισώσεων στο επίπεδο, υποθέτουε ότι το σηείο p βρίσκεται σε ιά κλειστή τροχιά γ. Εστω P να είναι ία απεικόνιση Poincaré, ορισένη σε ιά περιοχή του p. Αν P (p) < 1, τότεηγ είναι ασυπτωτικά ευσταθής. Ας δούε τώρα ένα απλό παράδειγα ενός συστήατος στο επίπεδο για το οποίο η απεικόνιση Poincaré πορεί να γραφεί αναλυτικά. Παράδειγα 3.1: Χρησιοποιώντας ία ονοδιάστατη απεικόνιση πάνω στην ηιευθεία Σ= (x, y) R 2 : 0 x<,y =0, να προσδιοριστεί η ευστάθεια του οριακού κύκλου του παρακάτω συστήατος. ẋ= y + x(1 x 2 +y 2 ), ẏ= x + y(1 x 2 +y 2 ), (3.2) Λόγο των τετραγωνικών όρων, πορούε να χρησιοποιήσουε πολικές συντεταγένες x =ρcos θ, y =ρsin θ και να ξαναγράψουε το σύστηα ως εξής xẋ = xy + x 2 (1 x 2 +y 2 ) yẏ = xy + y 2 (1 x 2 +y 2 ) = rṙ= xẋ+yẏ =(x 2 + y 2 )(1 x 2 +y 2 ) = 26

27 = ṙr = r 2 (1 r)= Ακόη έχουε: yẋ = y 2 + xy(1 x 2 +y 2 ) yx = x 2 + xy(1 x 2 +y 2 ) ṙ = r(1 r) (3.3) = r 2 θ =xẏ yẋ = x 2 +y 2 = r 2 = θ =1 (3.4) Από τις εξισώσεις (3.3) και (3.4) προκύπτουν ως προςr, δύο σηεία ισορροπίας. Το r =0, το οποίο αντιστοιχεί στην αρχή των αξόνων Α(0, 0) και το r =1, το οποίο αντιστοιχεί σε έναν οριακό κύκλο Γ ε κέντρο το 0 και ακτίνα r =1. Σχήα 3.5: ιάγραα φάσης δύο τροχιών ε αρχικές συνθήκες (0.01, 0) και (2, 0) Οι δύο εξισώσεις του συστήατος σε πολικές συντεταγένες πορούν να λυθούν εύκολα, ως χωριζοένων εταβλητών. Εχουε ότι ṙ = r(1 r) = dr r + dr 1 r = t+c 1 = ln r = r c 1 e t +1 dr r(1 r) = dt r r 1 = t + c = θ =1= dθ dt = 1= dθ = dt = θ = t+c 2 Εστω τώρα οτι ιά τροχιά ξεκινάει έξω απο τον οριακό κύκλο Γ αλλά πάνω στην τοή Σ, π.χ. ας θεωρήσουε το σηείο r 0 =2. Εποένως έχουε τις αρχικές συνθήκες r(0) = 2, θ(0) = 0. Οι αντίστοιχες λύσεις θα είναι οι εξής: 27

28 r(t) = , θ(t) =t e t Εποένως, η απεικόνιση επιστροφής πορεί να γραφεί ως: r n = e 2πn,όπουn φυσικός αριθός. Εάν τώρα η τροχιά ξεκινάει απο το εσωτερικό του Γ, έστω απο το σηείο ( 1 2, 0), τότε r 0 = 1 2. Η αντίστοιχη λύση θα είναι: r(t) = 1 1+e t, θ(t) =t και η απεικόνιση επιστροφής δίνεται απο τη σχέση: r n = 1 1+e 2πn. Και στις δύο περιπτώσεις, r n 1, καθώς n. Συνοψίζοντας, παρατηρούε ότι ξεκινώντας είτε από το εσωτερικό, είτε από το εξωτερικό του κύκλου, έχουε r n 1 καθώς n, δηλαδή ο κύκλος είναι ασυπτωτικά ευσταθής. Να σηειωθεί εδώ ότι πορούε να χρησιοποιήσουε εναλλακτικά, την Πρόταση 3.1 για να καθορίσουε την ευστάθεια του οριακού κύκλου αυτού του παραδείγατος. Κλείνοντας αυτή τη παράγραφο πορούε να σηειώσουε ότι γενικά είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστεί ο ακριβής τύπος της απεικόνισης Poincaré και η παράγωγος κατά ήκος της κλειστής τροχιάς, επειδή στην πράξη σπάνια έχουε ία έκφραση για τη κλειστή τροχιά. Οπως θα δούε η έννοια της απεικόνισης Poincaré θα είναι ιδιαίτερα χρήσιη για τον καθορισό ενός γεωετρικού οντέλου για τον ελκυστή του συστήατος Lorenz. 3.3 η περιγραφη του γεωετρικου οντελου Στις δύο προηγούενες παραγράφους του κεφαλαίου ορίσαε την έννοια του ελκυστή και περιγράψαε ε συντοία την έννοια της απεικόνισης Poincaré για ένα σύστηα διαφορικών εξισώσεων. Και οι δύο έννοιες θα χρησιοποιηθούν για την περιγραφή του γεω- ετρικού οντέλου του ελκυστή Lorenz, που είχε αρχικά προταθεί απο τους Guckenheimer και Williams στην εργασία τους [1]. Η βασική ιδέα του γεωετρικού οντέλου έχει ως εξής. Αναφέρεται σε ένα η γρα- ικό σύστηα του οποίου η γραικοποίηση έχει ισχύ τοπικά σε ένα κύβο συγκεκριένου εγέθους για ια συγκεκριένη τιή των παραέτρων. Οι ιδιοτιές του γραικοποιηένου συστήατος στον κύβο έχουν έγεθος ανάλογο ε αυτό των ιδιοτιών του συστήατος Lorenz. Εκτός του κύβου, η συπεριφορά του συστήατος καθορίζεται από συγκεκριένες υποθέσεις επαναφοράς των τροχιών στον κύβο. Η συνεισφορά της εργασίας [1] εντοπίζεται στο ότι η βάση αυτών των υποθέσεων επαναφοράς (οι οποίες ουσιαστικά υποδεικνύονται από τις αριθητικές εξοοιώσεις και άλλα πειράατα) είναι δυνατόν να κατασκευαστεί κατάλληλη απεικόνιση Poincaré η οποία διαθέτει τις ιδιότητες ενός διακριτού χαοτικού συστήατος. Στη συνέχεια ο χαοτικός ελκυστής για τη ροή που ορίζει το σύστηα των διαφορικών 28

29 εξισώσεων ορίζεται λαβάνοντας υπόψη τον χαοτικό ελκυστή του διακριτού δυναικού συστήατος της απεικόνισης Poincaré. Χρειάστηκαν 20 χρόνια από την θεελιώδη εργασία [1], εχρι να αποδειχθεί από τον Tucker στην εργασία [6], ότι οι υποθέσεις των Guckenheimer και Williams πράγατι αντιστοιχούν στο σύστηα Lorenz για συγκεκριένες παραέτρους. Ξεκινάε, αναφέροντας βασικές υποθέσεις για το οντέλο και στη συνέχεια θα αναφερθούε στις βασικές υποθέσεις που οδηγούν στην απόδειξη ύπαρξης χαοτικής απεικόνισης Poincaré. Αρχικά, υποθέτουε οτι το οντέλο ας είναι συετρικό κάτω απο την αντανάκλαση (x, y, z) ( x, y, z), όπως ακριβώς είναι και στο αρχικό σύστηα Lorenz. Στην συνέχεια τοποθετούε την αρχή (0, 0, 0) στον R 3 και υποθέτουε τον κύβο S ε x, y, z 5. Το σύστηα ας στον κύβο S είναι γραικό. Το σύστηα που θα ελετήσουε, είναι το αρχικό σύστηα Lorenz γραικοποιηένο πλέον και απλοποιώντας τις ιδιοτιές του λ 1 και λ±. Υποθέτουελοιπόνότιοιιδιοτιέςείναι 1, 2, 3 και οτι το σύστηα δίνεται στον κύβο απο τον τύπο: ẋ = 3x ẏ = 2y ż = z (3.5) Το σύστηα (3.5) παράχθηκε απο το αρχικό σύστηα, διώχνοντας τους ή γραικούς όρους κοντά στην αρχή, ως εξής ẋ = σ(y x) ẏ = rx y xz ż = xy bz = ẋ = σx ẏ = rx ż = bz Οι συγκεκριένοι αριθοί που χρησιοποιήσαε στο σύστηα (3.5) σχετίζονται, όνο ε την αναλογία έγεθους των ιδιοτιών και δεν είναι σηαντικοί, ως αριθητικές τιές στην ελέτη [1]. Ας δούε τώρα το πορτραίτο φάσεων του συστήατος (3.5), το οποίο συφωνεί ε την επόενη εικόνα. Υπενθυίζουε ότι για την τιή του r, όπου υπάρχει ο ελκυστής, η αρχή (0, 0, 0) είναι ασταθής και έχει 2 αρνητικές ιδιοτιές. Για τα άλλα δύο σηεία ισορροπίας, τα οποία έχουε ονοάσει C±, πορούε να πούε ότι έχουν ιγαδικές ιδιοτιές ε θετικό πραγατικό έρος, έτσι ώστε να ορίζεται η ασταθής πολλαπλότητα για τα C±. Υπάρχει επίσης και ία αρνητική ιδιοτιή, η οποία ορίζει τον ευσταθή υπόχωρο. Επειδή χρειαζόαστε να ξέρουε πως οι λύσεις εταφέρονται κοντά στο (0, 0, 0), θα παρούσιάσουε την επόενη γεωετρική κατασκευή ως εξής: Θεωρούε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραο R 1 στο επίπεδο z =1που δίνεται απο τις x 1, 0 <y ε<1 29

30 Με αρχικές συνθήκες (x 0,y 0, 1) στο R 1, λύνοντας το σύστηα (3.5) έχουε x = x 0 e 3t y = y 0 e 2t z = e t (3.6) Καθώς περνάει ο χρόνος όλες οι λύσεις που ξεκινάν απο το R 1 τελικά φθάνουν σε ένα ορθογώνιο R 2, το οποίο ορίζεται στο επίπεδο y =1απο τις x 1, 0 z 1 Ετσι λοιπόν, από το (3.6), ητροχιάικανοποιείτοεπίπεδοy =1όταν x = x 0 y y = 1 z = y Σύφωνα ε τα παραπάνω, έχουε ία απεικόνιση h : R 1 R 2 ορισένη απο τις ακόλουθες καπύλες λύσεων, καθώς αυτές περνούν απο το R 1 στο R 2. Αυτή η συνάρτηση h δίνεται απο τον τύπο x h y = x1 z 1 = Επεται ότι η συνάρτηση h, λαβάνειτιςευθείεςy = c στο R 1 και τις απεικονίζει στις ευθείες z =c 1 2 στο R 2. Επίσης, δεδοένου ότι x 1 = xz1 3, έχουε ότι η απεικόνιση h των ευθειών x = c είναι καπύλες της ορφής x 1 = xz1 3. Ετσι λοιπόν, κάθε ία από αυτές τις εικόνες των καπυλών, συναντούν το xy - επίπεδο κάθετα, όπως φαίνεται στο επόενο σχήα. xy 3 2 y 1 2 Σχήα 3.6: Η διέλευση των λύσεων κοντά στο (0, 0, 0) Συνεχίζοντας την κατασκευή ας και ιούενοι το αρχικό σύστηα Lorenz, τοποθετούε δύο σηεία ισορροπίας στο επίπεδο z = 27. Το ένα σηείο ισορροπίας έχει συντεταγένες C =( 10, 20, 27) και το άλλο C + = (10, 20, 27). Υποθέτουε ότι τα έρη της ευσταθής ευθείας των C ± δίνονται απο τις y = ±20, z = 27 και ότι οι άλλες δύο ιδιοτιές σάυτά 30

31 τα σηεία είναι ιγαδικές ε θετικό πραγατικό έρος. Ετσι, οι λύσεις σε σπείρα φεύγουν ακριά απο τα σταθερά σηεία C ±, ε τον ίδιο τρόπο όπως και στο σύστηα Lorenz. Εστω Σ να είναι το τετράγωνο που δίνεται από x, y 20 και z = 27 Υποθέτουε ότι, η σταθερή επιφάνεια της αρχής (0, 0, 0) πρώτα καλύπτει το Σ στην ευθεία ηοποίαδιχοτοείταιαποτοxy -επίπεδοκαιτοσ. ΟνοάζωαυτήτηνευθείαD και έστω D =Σ W s (0). Μεζ±, ονοάζουε τα δύο σκέλη της ασταθής καπύλης στην αρχή και υποθέτουε ότι αυτές οι καπύλες κάνουν ένα πέρασα γύρω απο το Σ και ετά εισέρχονται στο εσωτερικό του. ηλώνουε ότι, το πρώτο σηείο της διχοτόισης των ζ± ε το Σ να είναι το ρ ± =(±x, y ). Η παραπάνω περιγραφή απεικονίζεται στο επόενο σχήα. Σχήα 3.7: Η διχοτόιση των καπυλών ζ± ε το Σ Θεωρούε ία ευθεία y = v στο Σ. Ανv =0, υπενθυίζουε ότι τότε βρισκόαστε στην ευθεία D και πως όλες οι λύσεις οι οποίες ξεκινούν από τα σηεία αυτής της ευθείας τείνουν στην αρχή ε το πέρασα του χρόνου. Άρα λοιπόν, αυτές οι λύσεις ποτέ δεν επιστρέφουν στο Σ. Αντιθέτως, υποθέτουε ότι όλες οι άλλες λύσεις που προέρχονται απο το Σ, επιστρέφουν στο Σ ε το πέρασα του χρόνου. Ετσι λοιπόν χρησιοποιώντας την απεικόνιση Poincaré, η ροή πορεί να περιοριστεί σε ιά πρώτη απεικόνιση επιστροφής Φ στο Σ. Στη συνέχεια αναφέρουε τις 4 σηαντικές υποθέσεις για την απεικόνιση Poincaré, αυτού του οντέλου. 1. Προυπόθεση Επιστροφής: Ορίζουε τα σύνολα Σ + =Σ {y>0} και Σ =Σ {y<0}. Υποθέτουε ότι οι λύσεις οι οποίες ξεκινάν από οποιοδήποτε σηείο στο Σ ± επιστρέφουν στο Σ ε το πέρασα του χρόνου. Κατά συνέπεια πορούε να ορίσουε ία απεικόνιση Poincaré Φ τέτοια ώστε Φ : Σ + Σ Σ. Επιπλέον, λόγω συετρίας υποθέτουε ότι Φ(x, y) = Φ( x, y). Οι επόενες δύο υποθέσεις, δίνουν ότι οι εικόνες Φ(Σ ± ) είναι όπως στο σχήα 3.7 ( οι τριγωνικές περιοχές). Συγκεκριένα, αυτό εξασφαλίζεται ε κατάλληλες υποθέσεις συστολής - διαστολής. 2. Κατεύθυνση συστολής: Υποθέτουε ότι, για κάθε v = 0, η συνάρτηση Φ απεικονίζει την ευθεία y = v, στην ευθεία y = g(v) στο τετράγωνο Σ, για κάποια συνάρτηση g. Επιπλέον, υποθέτουε ότι η Φ συστέλλει αυτή την ευθεία ως προς την x - κατεύθυνση. 31

32 3. Κατεύθυνση διαστολής: Υποθέτουε επίσης, ότι η συνάρτηση Φ θέλουε να εκτείνεται στα Σ + και Σ ως προς την y - κατεύθυνση, ε ένα συντελεστή αυστηρά εγαλύτερο του 2, έτσι ώστε g (y) > Υπερβολική προϋποθέση: Εκτός από τη διαστολή και τη συστολή της απεικόνισης Φ, υποθέτουε ότι η DΦ απεικονίζει τα εφαπτόενα διανύσατα στο Σ ± των οποίων οι κλίσεις είναι ±1, στα διανύσατα των οποίων οι κλίσεις έχουν εγεθός εγαλύτερο απο µ>1. Από τις παραπάνω παραδοχές, συνεπάγεται ότι η απεικόνιση Φ πορεί να γραφεί ως Φ(x, y) =(f(x, y),g(y)) όπου g (y) > 2 και 0 < f x < c < 18. Ακόα, σύφωνα ε την συνθήκη 4 που περιγράψαε παραπάνω έχουε ότι g (y) >µ f x ± f y (3.7) Για να καταλάβουε καλύτερα την υπόθεση 4 και την σχέση (3.7), θαπρέπειναερηνεύ- σουε την DΦ και την έννοια της κλίσης ενός διανύσατος. Για ένα διάνυσα ε κλίση 1 y y ισχύει ότι x =1. Για ένα διάνυσα ε κλίση εγαλύτερη του 1 έχουε ότι x > 1. Σχήα 3.8: ιανύσατα ε κλίση ±1, απεικονίζονται σε διανύσατα ε κλίση εγαλύτερη απο 1 Αν τώρα εφαρόσω τον διαφορικό τελεστή D στην απεικόνιση Φ έχουε ότι f(x,y) f(x,y) DΦ = x y 0 g (y) (3.8) Στη συνέχεια, εφαρόζουε την DΦ πάνω σε ένα διάνυσα ε κλίση 1 και έχουε 8 Αυτή η σχέση ισχύει, λόγω του ότι η συνάρτηση f(x, y) είναι συστολή. 32

33 x DΦ y = f(x,y) x f(x,y) y 0 g (y) x y f(x,y) x x+ f(x,y) y y = g (x,y)y (3.9) x Σύφωνα ε την υπόθεση 4, η κλίση του DΦ y µ, δηλαδή f(x,y) x g (y)y Συνεχίζοντας από την σχέση (3.6) έχουε x+ f(x,y) y g (y) y y f(x,y) x x y ± f(x,y) >µ= g (y) >µ f x ± f y y y θα πρέπει να είναι εγαλύτερη του >µ (3.10) δηλαδή την συνθήκη υπό την ορφή της (3.7). Σηειώνεται ότι, αυτή η συνθήκη έχει νόηα όταν f y και c είναι αρκετά ικρά οπουδήποτε στο Σ ±. Τεχνικά η Φ(x, 0) δεν ορίζεται, διότι όλες οι λύσεις που ξεκινούν από την γραή y =0 τείνουν στην αρχή και ποτέ δεν επιστρέφουν στο Σ. ΠοιόόωςείναιτοόριοτηςΦ(x, y) καθώς το y 0; Λόγω των υποθέσεων για την Φ, ισχύει ότι lim y 0± Φ(x, y) =ρ ± όπου ρ ± έχουε ορίσει να είναι το πρώτο σηείο της τοής των καπυλών ζ± ε το Σ, δηλαδή τα άκρα των Φ(Σ ± ). Επίσης ισχύει ότι g (y) καθώς y 0. Στη συνέχεια, θα περιγράψουε τον ελκυστή του συστήατος Lorenz χρησιοποιώντας την απεικόνιση Φ. Υποθέτουεότιy και y είναι οι y - συντεταγένες των σηείων ρ + και ρ αντίστοιχα και θεωρούε το ορθογώνιο R Σ το οποίο ορίζεται από την y y. Εστω τώρα R ± = R Σ ±. Οποιδήποτε λύση η οποία ξεκινάει από το εσωτερικό του Σ ±,αλλάέξωαπότοr, πρέπει κάποια στιγή να συναντήση το R. Ετσι λοιπόν αρκεί να εξετάσουε την συπεριφορά της Φ, στο R. Να σηειωθεί ότι Φ(R) R. Στην επόενη εικόνα φαίνεται η δράση της απεικόνισης Φ στο R. 33

34 Σχήα 3.9: Η απεικόνιση Poincaré Φ στο R. Με Φ n,δηλώνουετηn - οστή δύναη της Φ, δήλαδήτιςn επαναλήψεις της απεικόνισης Φ. Το σύνολο Α, τοοποίοορίζεταιαπότην Α = Φ n (R) n=0 είναι ένας ελκυστής για την Φ. Το σύνολο Φ n (R), δείχνει την κλειστότητα του συνόλου Φ n (R). Θα δούε τώρα ότι ο ελκυστής για τη ροή, του συστήατος Lorenz περιγράφεται ως Γ=( ϕ t (Α)) {(0, 0, 0)} tr Στο παραπάνω σύνολο προσθέσαε και την αρχή το (0, 0, 0), ώστε το Γ να είναι κλειστό σύνολο. Τελειώνωντας λοιπόν αυτή τη παράγραφο, θα αποδείξουε ότι ο Γ είναι ένας ελκυστής για το σύστηα Lorenz. Παραθέτουε στη συνέχεια το επόενο θεώρηα που θα αποδειχθεί ε τη βοήθεια ενός λήατος. Πρόταση 3.2: Το σύνολο Γ ικανοποιεί τις ιδιότητες 1 και 2 του ορισού 3.1 για τον ελκυστή. Απόδειξη ΗαπόδειξητουότιοΓ είναι ένας ελκυστής για τη ροή, προκύπτει άεσα απο το γεγονός ότι ο Α είναι ένας ελκυστής για την απεικόνιση Φ. Το σύνολο Α είναι κλειστό σύνολο ως άπειρη τοή κλειστών συνόλων και φραγένο. Άρα ως κλειστό και φραγένο σύνολο του R 3 είναι συπαγές. Επίσης, επειδή η Φ δεν ορίζεται κατά ήκος της y =0,τοΑ δεν είναι αναλλοίωτο σύνολο κάτω από τη δράση της Φ. Οως ε τον τρόπο ε τον οποίο ορίσαε το Γ για τη ροή του συνεχούς συστήατος, δηλαδή ως την ένωση της πλήρους τροχιάς του Α ε το οριακό σηείο (0, 0, 0), διαπιστώνουε ότι κάθε τροχιά η οποία ξεκινάει από το Γ, καταλήγει στο Γ. ΕποένωςτοΓ είναι ανλλοίωτο 34

35 κάτω από τη δράση της ροής ϕ t του συνεχούς συστήατος. Άρα το Γ είναι συπαγές και αναλλοίωτο σύνολο. Μόλις δείξαε την ιδιότητα 1, τουορισού3.1. Στην συνέχεια δείχνουε την ιδιότητα 2 του ορισού 3.1. Για το σκοπό αυτό θεωρούε ένα ανοιχτό σύνολο O το οποίο ανήκει στο εσωτερικό του Σ. Τότε, από τον ορισό του Α, το O περιέχει το Α. Στη συνέχεια θεωρούε οποιαδήποτε (x, y) O. Τότε υπάρχει ένα n τέτοιο ώστε Φ n (x, y) R (3.7). Συνεπώς, Φ n (O) Α = n 0 Φn (R) (3.11) n=0 είξαε δηλαδή ότι για κάθε ανοικτό σύνολο O, το οποίο περιέχει το Α ισχύει η σχέση (3.11). Για την ολοκλήρωση της ιδιότητας 2, ένειναδείξουεότια = n 0 Φn (O), το οποίο είναι άεση συνέπεια των σχέσεων (3.10) και (3.11). Σύφωνα ε τα παραπάνω, οι δύο πρώτες προϋποθέσεις του ορισού 3.1 για τον ελκυστή ικανοποιούνται. Μένει λοιπόν να δείξουε ότι το σύνολο Γ ικανοποιεί την ιδιότητα της εταβατικότητας και συνεπώς είναι ένας ελκυστής για το σύστηα. Αρκεί να δείξουε ότι, αν P 1, P 2 είναι δύο σηεία του συνόλου Α και W j είναι ανοιχτές γειτονιές των P j στο ανοιχτό σύνολο O, τότε υπάρχει n 0 τέτοιο ώστε Φ n (W 1 ) (W 2 ) =. Για αποδείξουε αυτόν τον ισχυρισό, θα χρειαστούε το επόενο λήα. Πρίν προχωρήσουε στην διατύπωση και στην απόδειξη του λήατος θα ορίσουε τους παρακάτω χρήσιους συβολισούς. ίνεται ένα σύνολο U R. ΜεΠ y (U) συβολίζουε την προβολή του U στον y -άξονα. Επίσης, ε y (U) δηλώνουε το ήκος του Π y (U) κατά ήκος του y -άξονα,τοοποίο καλούε y -ήκοςτουu. Θα χρειαστούε το επόενο λήα. Λήα 3.1: Για οποιοδήποτε ανοιχτό σύνολο W R, υπάρχει n>0 τέτοιο ώστε η Π y (Φ n (W )) να βρίσκετε στο σύνολο [ y,y ]. Αντίστοιχα, η Φ n (W ) να συναντά κάθε γραή y = c στο ορθογώνιο R. Απόδειξη Εξετάζουε πρώτα ία ειδική απλή περίπτωση. Υποθέτουε ότι το W είναι συνεκτικό υποσύνολο, το οποίο βρίσκεται σε ία απο τις περιοχές R ή R + ( όπως στο σχήα 3.10 α) χωρίς το ήκος y να υπερβαινεί το y. Στο σχήα 3.10 α, έχουε π.χ. θεωρήσει ότι το W είναι ένα ορθογώνιο το οποίο έχει πλευρά ήκους y = y και η ία του πλευρά εφάπτεται της y =0. Τότε y (W )=y. Το Φ(W ) είναι συνεκτικό και y (Φ(W )) > 2y. Άρα το Φ(W ) θα διαπερνά την ευθεία y =0και συνεπώς το y ήκος του θα είναι εγαλύτερο από το y ( σύφωνα ε το παράδειγα του σχήατος 3.10 α, δεν πορεί να εκταθεί πέραν του y και άρα θα εκταθεί τένοτας την y =0). Τώρα εφαρόζω ξανά την Φ και τότε η Φ 2 (W ) περιέχει δύο κοάτια, ένα που θα εκτείνεται στο ρ + και ένα άλλο ως το ρ.επειδή y (Φ 2 (W )) >2y θα έχουε Π y (Φ 2 (W ))=[ y,y ] 35

36 Σχήα 3.10: α. Η προβολή του W στον y -άξονα, β.ηπροβολήτηςφ 2 (W ) Η γενική περίπτωση για το W διαχωρίζεται σε δύο υποπεριπτώσεις. Στη ία υποπερίπτωση θεωρούε ότι το W τένει την y =0. Αυτό σηαίνει ότι το W πορεί να χωριστεί σε δύο συνιστώσες W ±, έτσι ώστε W ± = {R ± W } και y (W )= y (W + W ) Οι εικόνες Φ(W ± ) εκτείνονται ως τα άκρα ρ ±. Εφ όσον κάθε ένα από τα W + και W εφάπτονται στην y =0, πορούε να επαναλάβουε την διαδικασία της απλής περίπτωσης. Υπενθυίζουε ότι αν το y -ήκοςτουw είναι y (W ), τότε ισχύει y (Φ(W )) > 2 y (W ) δηλαδή το y -ήκοςτηςφ(w ) αυξάνεται ε ένα συντελεστή εγαλύτερο του 2. Σχήα 3.11: α. Η προβολή του W στον y -άξονα, β.ηπροβολήτηςφ 2 (W ) Με την παραπάνω υπενθύιση χειριζόαστε την δεύτερη υποπερίπτωση, στην οποία θεωρούε ότι το W, δεν είναι συνεκτικό αλλά έχει δύο συνεκτικές συνιστώσες W ± και καία από τις συνιστώσες δεν τένει την y =0.Τότε,εφαρόζουετηνΦ για ικανοποιηκό αριθό επαναλήψεων n, έτσι ώστε η Φ n (W + ) ήηφ n (W ) να τήσει την y =0, καθώς ισχύει y (Φ n (W ± )) >( 2) n y (W ± ) 36

37 Τότε για την W =Φ n (W ± ), εργαζόαστε όπως στην πρώτη περίπτωση. Ετσι ολοκληρώνεται και η απόδειξη του λήατος. Το ότι ο Γ είναι ελκυστής προκύπτει από την πρόταση 3.2 και την ακόλουθη πρόταση 3.3, της οποίας η απόδειξη χρησιοποιεί το προηγούενο λήα. Πρόταση 3.3: (transitivity) Εστω O ανοικτό σύνολο το οποίο περιέχει το Α. Αν P 1, P 2 δύο σηεία του Α και W j, j =1, 2, ανοικτέςγειτονιέςτωνp j στο ανοικτό O, τότε υπάρχει n>0 τέτοιο ώστε Φ n (W 1 ) W 2 =Ø. Απόδειξη Με βάση την προηγούενη πρόταση, αρκεί να αποδείξουε ότι για κάθε σηείο (x, y) της W 1 υπάρχει n>0 έτσι ώστε η επανάληψη Φ n (x, y) P 2 <ε,γιακάθεε>0. Ας θεωρήσουε κατ αρχήν δύο σηεία της ορφής (x 1,y), (x 2,y), δηλαδή σηεία τα οποία βρισκόνται σε παράλληλες του y - άξονα (και του διαστήατος [ y,y ] ). Γνωρίζουε ότι η συνάρτηση Φ, συστέλλει τις αποστάσεις ως προς την x - διεύθυνση ε συντελεστή συστολής c<1. ηλαδή ισχύει Φ κ (x 1,y) Φ κ (x 2,y) c κ x 1 x 2, kn (3.12) Υπενθυίζουε ότι το πλάτος του ορθογωνίου R ως προς την x - διεύθυνση είναι 40. Άρα, καθώς c<1 πορούε να βρούε ένα m αρκετά εγάλο έτσι ώστε 40c m <ε (3.13) Αφού P 2 W 2 Α, P 2 n 0 Φn (R) και η προεικόνα Φ m (P 2 ) Rγια το m της σχέσης (3.13). Υποθέτουε ότι Φ m (P 2 )=(ξ,n) (3.14) Θεωρώντας ία γειτονιά W 1 στο σηείο P 1 και απο το προηγούενο λήα γνωρίζουε ότι υπάρχει ένα n τέτοιο ώστε Π y (Φ n (W 1 )) = [ y,y ] ς εκ τούτου πορεί να επιλεχθεί ένα σηείο (ξ 1,n) Φ n (W 1 ) ε συντεταγένηn κοινή ε αυτή της προεικόνας Φ m (P 2 ) της σχέσης (3.5). ηλαδή (ξ 1,n)=Φ n (x, y), (x, y) W 1 (3.15) Η Φ n (x, y) και η Φ m (P 2 ) έχουν την ίδια y - συντεταγένη. Τότε λόγω της (3.8) έχουε Φ m+n (x, y) P 2 = Φ m (Φ n (x, y)) P 2 = Φ m (ξ 1,n) Φ m (ξ,n) 40c m <ε Ετσι λοιπόν, βρήκαε ένα σηείο (x, y) W 1 του οποίου η λύση περνά έσα απο την περιοχή W 2. 37

38 Συνοψίζοντας, αποδείξαε ότι το σύνολο Γ, είναι ελκυστής για τη συνεχή ροή ϕ t του συστήατος Lorenz υποβιβάζοντας τη ελέτη στο αναλλοίωτο σύνολο Α της απεικόνισης PoincaréΦ. Με λίγα λόγια, απο ένα τρισδιάστατο σύστηα διαφορικών εξισώσεων καταλήξαε σε ία δισδιάστατη απεικόνιση και ορίσαε τον ελκυστή ( attractor) για το συστήα Lorenz, έσω της Φ. Στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου, θα δούε, ότι τα βασικά χαρακτηριστικά της χαοτικής δυναικής αποκαλύπτονται ε έναν ακόα υποβιβασό, ελετώντας ουσιαστικά τη δυναική της ονοδιάστατης συνάρτησης g ορισένης στο διάστηα [ y,y ]. Πράγατι, η επανάληψη αυτής της συνάρτησης, καθορίζει πλήρως τη συπεριφορά όλων των λύσεων στον ελκυστή. Ετσι λοιπόν, σ αυτό το τελευταίο κοάτι της ενότητας, ξεκινάε ε την ανάλυση της δυναικής αυτής της ονοδιάστατης συνάρτησης η οποία οδηγεί στον ορισό του χαοτικού ελκυστή για το σύστηα Lorenz. Καθώς η g είναι ία ονοδιάστατη απεικόνιση, παραθέτουε στην επόενη παράγραφο, ορισένα στοιχεία για τις ονοδιάστατες απεικονίσεις και τα διακριτά δυναικά συστήατα. 3.4 συντοη εισαγωγη στα διακριτα δυναικα συστηατα Σ αυτή τη παράγραφο θα αναφερθούε, σε κάποιες εισαγωγικές έννοιες της θεωρίας των διακριτών δυναικών συστηάτων, οι οποίες θα ας βοηθήσουν για την κατανόηση της χαοτικής συπεριφοράς ονοδιάστατων απεικονίσεων. Στα συνεχή δυναικά συστήατα, η δυναική ενός συστήατος εξελίσεται συνεχώς ως ε τον χρόνο, σε αντίθεση ε τα διακριτά δυναικά συτήατα, όπου ο χρόνος είναι διακριτός και η εξέλιξη καθορίζεται από τις επαναλήψεις της απεικόνισης (map) - συνάρτησης που ορίζει το διακριτό σύστηα. Για να κατασκευάσουε αθηατικά οντέλα διακριτών συστηάτων πρέπει να χρησιοποιήσουε αναδροικές σχέσεις (εξισώσεις διαφορών), οι οποίες πορούν ακόα να χρησιοποιηθούν και για τη ελέτη διαφορικών εξισώσεων. Χαρακτηριστικό παράδειγα είναι η απεικόνιση Poincaré, η οποία δείχνει πως τα διακριτά δυναικά συστήατα πορούν να ας βοηθήσουν στο να κατανοήσουε την συπεριφορά των συνεχών δυναικών συστηάτων. Εστω ία συνάρτηση f : R R. Με f n, δηλώνουε τη n οστή επανάληψη της συνάρτησης f, που σηαίνει ότι η f n είναι n φορές σύνθεση της f ε τον εαυτό της. Για δοσένο x 0 R, ητροχιάτουx 0 ορίζεται από την ακολουθία x 0, x 1 = f(x 0 ), x 2 = f 2 (x 0 ),...,x n = f n (x 0 ),... Το σηείο x 0 ονοάζεται πολλές φορές και σπόρος της τροχιάς. Τα σηεία ισορροπίας ενός συστήατος διαφορικών εξισώσεων παίζουν κεντρικό ρόλο στα διακριτά δυναικά συστήατα. Ενα σηείο x,καλείταισταθερό σηείο αν f(x )=x. Προφανώς, η τροχιά ενός σταθερού σηείου, είναι η σταθερή ακολουθία x, x, x,... Το ανάλογο των κλειστών περιοδικών τροχιών για τις διαφορικές εξισώσεις, δίνεται από περιοδικά σηεία περιόδου n. Αυτά είναι σηεία x 0, για τα οποία ισχύει ότι f n (x 0 )=x 0, για κάποιο n>0. Συνεπώς, όπως ιά κλειστή τροχιά σε ένα συνεχές δυναικό σύστηα, ιά περιοδική τροχιά σε ένα διακριτό σύστηα επαναλαβάνει τον εαυτό της ως εξής x 0, x 1,...,x n 1, x 0, x 1,...,x n 1, x 0,... 38

39 Περιοδικές τροχιές, περιόδου n καλούνται επίσης και n κύκλοι. Ετσι λοιπόν, λέε ότι ένα περιοδικό σηείο x 0 έχει ελάχιστη περίοδο n, ανn είναι ο τλευταίος θετικός ακέραιος για τον οποίο f n (x 0 )=x 0. Να σηειωθεί ότι, οι αριθητικές επαναλήψεις δεν δίνουν πάντα ια καθαρή εικόνα για το πώς αναπτύσσονται οι ακολουθίες καθώς το n αυξάνει. Μία ακόη γνωστή έθοδος που χρησιοποιείται για να δείξει την ακολουθία επαναλήψεων πιό καθαρά, είναι η λεγόενη γραφική έθοδος ( graphical iteration). Η έθοδος αυτή χρησιοποιείται για να δούε εποπτικά τη συπεριφορά των τροχιών ενός διακριτού συστήατος. Με κανέναν τρόπο δεν αποτελεί αθηατική έθοδο. Η γραφική έθοδος υλοποιεί γραφικά την επαναληπτική διαδικασία. Η διαδικασία της επαναληπτικής εθόδου, πορεί να περιγραφεί σε 4 βήατα ως εξής 1. Εστω ία συνάρτηση f(x). Από ένα αρχικό σηείο x 0 φέρνουε ια κατακόρυφη γραή έχρι να συναντήσουε την γραφική παράσταση της f. Το σηείο τοής έχει συντεταγένες (x 0,f(x 0 )). 2. Από το σηείο αυτό φέρνουε παράλληλη προς τη διχοτόο y = x, το σηείο της διχοτόου το οποίο τένει η παράλληλη έχει συντεταγένες (f(x 0 ),f(x 0 )). 3. Από το σηείο της διχοτόου, φέρνουε νέα κάθετο προς το γράφηα της f. Τονέο σηείο τοής έχει συντεταγένες (f(x 0 ),f 2 (x 0 )). 4. Από το σηείο (f(x 0 ),f 2 (x 0 )) επαναλαβάνουε το βήα 2, κ.ο.κ Οπαραπάνωαλγόριθοςπαράγειδιαδοχικέςεπαναλήψειςτουx 0 κατά ήκος του άξονα x - άξονα, δίνοντας σε κάθε νέα τοή των κάθετων από τη διαγώνιο τα σηεία της ακολουθίας {x 0,x 1,x 2,...,x n,...}. Οι πρώτες δύο επαναλήψεις αυτής της εθόδου, παρουσιάζονται στο επόενο σχήα, για την τριγωνική απεικόνιση Τ :[0, 1] [0, 1], η οποία ορίζεται απο την σχέση Τ(x) = µx 0 x< 1 2 µ(1 x) 1 2 x<1 Οπως και στην περίπτωση των σηείων ισορροπίας στα συνεχή δυναικά συστήατα, υπάρχουν διαφορετικοί τύποι σηείων ισορροπίας και στα διακριτά δυναικά συστήατα. Υποθέτουε ότι x 0 είναι ένα σηείο ισορροπίας για ία απεικόνιση f. Λέε ότι το x 0 είναι ία αρνητική πηγή (sink) ή ένας ελκυστής (attracting fixed point) για την f, ανυπάρχειία γειτονιά U γύρω απο το x 0 στο R, έχονταςτηνιδιότηταότι,ανy 0 U,τότεf n (y 0 ) Uγια όλα τα n και επιπλέον f n (y 0 ) x 0 καθώς n.τοx 0 είναι ένας απωθητής (repelling fixed point) αν όλες οι τροχιές (εκτός του x 0 ) βρίσκονται στο U κάτω από την επανάληψη της f. Ενα σταθερό σηείο καλείται ουδέτερο (neutral) αν δεν είναι ούτε ελκυστής ούτε απωθητής. 39

40 Σχήα 3.12: Μιά πιθανή γραφική επανάληψη για n=2 Θεώρηα 3.2: Υποθέτουε ότι το x 0 είναι ένα σταθερό σηείο του διακριτού συστή- ατος x n+1 = f(x n ).Τότε 1. το σταθερό σηείο x 0 είναι ευσταθές, αν f (x 0 ) < 1 2. το σταθερό σηείο x 0 είναι ασταθές, αν f (x 0 ) > 1 3. το σταθερό σηείο x 0 λέγετα ουδέτερο, αν f (x 0 ) = ±1 3.5 η δυναικη του ονοδιαστατου διακριτου συστηατοσ Σ αυτή τη παράγραφο θα ασχοληθούε ε την ανάλυση της δυναικής της ονοδιάστατης απεικόνισης g. Υπενθυίζουε ότι, η απεικόνιση Poincaré, Φ, την οποία ορίσαε στην παράγραφο 3.3 στις υποθέσεις του γεωετρικού οντέλου για το σύστηα Lorenz, δίνεται από τον επόενο τύπο Φ(x, y) =(f(x, y),g(y)) Εστω I να είναι το διάστηα [ y,y ]. Ανακαλούε ότι, η συνάρτηση g έιναι ορισένη στο I, εκτός από το y =0και ικανοποιεί την g( y) =g(y) Από τα αποτελέσατα της προηγούενης παραγράφου έχουε ότι g (y) > 2, 0 <g(y ) <y και y <g(y ) < 0. Ακόα, lim y 0± g(y) =±y Σύφωνα λοιπόν ε όλα τα παραπάνω, το γράφηα της g, φαίνεται στην επόενη εικόνα 40

41 Σχήα 3.13: Η ονοδιάστατη συνάρτηση g στο I =[ y,y ] Παρατηρώντας προσεκτικά το παραπάνω σχήα, πορούε να βγάλουε κάποια επιπλέον συπεράσατα για την απεικόνιση g. Συγκεκριένα: Ολα τα σηεία στο διάστηα [g( y ),g(y )], έχουνε δύο προεικόνες. Τα σηεία στα διαστήατα (-y,g( y )) και (g(-y ),y ),έχουνόνοίαπροεικόνα. Τέλος, τα τελικά σηεία στο διάστηα I, δηλαδήτα±y, δεν έχουν προεικόνες στο I, επειδήηg(0) δεν ορίζεται. Εστω τώρα ένα y 0 I. Θα ερευνήσουε τη δοή του συνόλου Α {y = y 0 } 9. Ορίζουε την προς τα επρός τροχιά του y 0 να είναι το σύνολο (y 0,y 1,y 2,...) ε τον εξής αναδροικό τύπο y n = g(y n 1 )=g n (y 0 ) (3.16) Για παράδειγα οι τρείς πρώτοι όροι της προς τα επρός τροχιάς του y 0, σύφωνα ε την σχέση (3.16) είναι οι εξής y 1 = g(y 0 ) y 2 = g(y 1 )=g 2 (y 0 )=g(y 1 ) y 3 = g(y 2 )=g 3 (y 0 )=g(y 2 ) Για κάθε y 0, η προς τα επρός τροχιά είναι οναδικά καθορισένη και τερατίζει αν g n (y 0 )=0. Η προς τα πίσω τροχιά του y 0 είναι ία ακολουθία (y 0,y 1,y 2,...), ε αντίστοιχο αναδροικό τύπο 9 Υπενθυίζουε ότι το σύνολο Α είναι ένας ελκυστής για την απεικόνιση Poincaré Φ 41

42 y κ+1 = g(y κ ) (3.17) Παραθέτουε τους τρείς πρώτους όρους της προς τα πίσω τροχιάς του y 0 σε αντιστοιχία ε τους τρείς πρώτους όρους της προς τα επρός τροχιάς ως εξής y 0 = y 3 = g(y 2 ) y 1 = y 2 = g(y 1 ) y 2 = y 1 = g(y 0 ) y 3 = y 0 y 2 = g(y 0 )=g(y 3 ) y 1 = g(y 1 )=g(y 2 ) Σαν σηείο εκκίνησης της προς τα πίσω τροχιάς θεωρούε το y 0 = y 3 και κατασκευάζουε την παραπάνω ακολουθία χρησιοποιώντας αρνητικές επαναλήψεις της συνάρτησης g. Να σηειωθεί ότι, σε αντίθεση ε τις προς τα επρός τροχιές της g, ορίζονταιαπείρου πλήθους προς τα πίσω τροχιές, για δοσένο y 0. Εξαιρείται η περίπτωση y κ = ±y (λόγω του ότι αυτά τα σηεία δεν έχουν προεικόνες στο I). Για να το δούε αυτό, υποθέτουε ότι το y 0 δεν βρίσκεται στην προς τα επρός τροχιά του ±y. Τότε λοιπόν κάθε σηείο y κ πρέπει να έχει ία ή δύο διακριτές προεικόνες, αφού y κ = ±y. Αν τώρα το y κ έχει όνο ία πρεικόνα το y κ 1,τότετοy κ βρίσκεται είτε στο (-y,g( y )) ή στο (g(-y ),y ). Αλλά τότε παρατηρώντας το γράφηα της g, καταλαβαίνουε ότι το y κ 1 πρέπει να έχει δύο προεικόνες. Οπότε, δεν υπάρχουν δύο διαδοχικά σηεία σε δοσένη προς τα πίσω τροχιά που να πορεί να έχει όνο ία προεικόνα. Σύφωνα ε όλα τα παραπάνω το y 0 έχει απείρως πολλές προς τα πίσω τροχιές. Ας εξετάσουε τώρα την περίπτωση όπου y κ = ±y για κ > 0, τότε η προς τα πίσω τροχιά τερατίζει, επειδή το ±y δεν έχει προεικόνες στο I. Οως, η ία προεικόνα του ±y,δηλαδητοy κ+1, πρέπει να έχει δύο προεικόνες, ία εκ των οποίων είναι τερατικό σηείο στο I και η άλλη έιναι ένα σηείο στο I που δεν είναι ίσο ε άλλο τερατικό σηείο. Με αυτόν τον τρόπο, συνεχίζουε να παίρνουε προεικόνες από τη δεύτερη προς τα πίσω τροχία, δηιουργώντας έτσι απείρως πολλές διακριτές προς τα πίσω τροχιές. είξαε ότι από κάθε σηείο y 0 Iορίζονται άπειρου πλήθος προς τα πίσω τροχιές, εκτός από την περίπτωση όπου y 0 = ±y. Επιπλέον έχουε την ακόλουθη πρόταση : Πρόταση 3.4 : Κάθε ία από τις άπειρου πλήθος προς τα πίσω τροχιές του y 0 I = [ y, y ], y = ±y αντιστοιχεί σε ένα οναδικό σηείο y 0, του συνόλου Α {y = y 0 } Απόδειξη Κατ αρχήν ας θεωρήσουε το σηείο y 0 και το σηείο y κ ίας προς τα πίσω τροχιάς για κάποιο κ N. Τα σηεία y 0, y κ ορίζουν ευθείες παράλληλες προς τον x -άξονα. Καθώςτο πλάτος του R ως προς τον x - άξονα είναι πεπερασένο ( x 40) πορούε να θεωρήσουε ότι το y 0 ορίζει ένα ευθύγραο τήα J 0, παράλληλο στον x -άξονατοοποίοέχεικάποιο 42

43 συγκεκριένο ήκος ως προς τη x - διεύθυνση, όπως στο σχήα Να σηειωθεί ότι, δεν ας ενδιαφέρει το ήκος ως προς την x - διεύθυνση και αυτό γιατί, κάτω από τη δράση της Φ το ήκος θα ικρύνει. εν έχει σηασία το ήκος του J 0 ως προς την x - διεύθυνση, πορεί να είναι οποιοδήποτε ήκος x < 40. Σχήα 3.14: Τα ήκη ως προς τη x - διεύθυνση Καθώς η Φ είναι συνάρτηση συστολής ε σταθερά συστολής c < 1 ως προς την x - διεύθυνση, το Φ κ (J κ ) είναι φανερό ότι θα έχει ικρότερο ήκος από το J 0. Ουσιαστικά, προβάλλοντας το Φ κ (J κ ) στο J 0,βλέπουεότιτοΦ κ (J κ ) είναι ένα γνήσιο κλειστό υποδιάστηα του J 0. Με τον ίδιο τρόπο σκεπτόενοι παρατηρούε ότι το ευθύγραο τήα Φ(y = y κ-1 ) θα είναι γνήσιο κλειστό υποδιάστηα του ευθύγραου τήατος που αντιστοιχεί στο y = y κ ή αλλιώς ε τον συβολισό που χρησιοποιήσαε παραπάνω Φ(J k 1 ) J κ Εποένως οι τοή όλων των διαστηάτων Φ κ (J κ ),είναιηκενή. Ας δούε τώρα τι είναι αυτή η τοή. Η συνάρτηση Φ είναι συστολή ως προς την x - διεύθυνση. Άρα, εφαρόζοντας το θεώρηα σταθερού σηείου του Banach, ( σύφωνα ε το οποίο ία συνάρτηση συστολής ορισένη σε έναν κλειστό υπόχωρο ενός ετρικού χώρου έχει οναδικό σταθερό σηείο). Ετσι η Φ κ (J κ ), πρέπει να είναι ένα οναδικό σηείο, έστω y 0 I. n=0 Από αυτό το οναδικό σηείο y 0 ξεκινούν άπειρου πλήθους τροχιές προς τα πίσω ( y 0, y 1, y 2,...)κ.ο.κ. Για κάθε ία από αυτές της απείρου πλήθους τροχιές, επαναλαβάνουε τη διαδικασία της πρότασης 3.4. Με βάση τον ορισό του ελκυστή Γ, αποδείξαε τα εξής. 43

44 Πρόταση 3.5: Ο ελκυστής Γ για το σύστηα Lorenz συναντά κάθε ία από τις ευθείες y = y 0 = y στο R σε άπειρο πλήθος σηείων y 0.Γιαθετικούςχρόνουςόλεςοιτροχιέςοι οποίες διέρχονται από αυτά τα σηεία y 0 : Είτε συναντούν την y =0και κατά συνέπεια τείνουν στην αρχή των αξόνων (0, 0, 0). Είτε ξανατένουν το R και οι αποστάσεις εταξύ των σηείων τοής στην ευθεία y = y κ τείνουν στο 0, καθώςοχρόνοςαυξάνει. Το επόενο χαρακτηριστικό της χαοτικής συπεριφοράς το οποίο πορεί να αποκαλυθφεί είναι η ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθηκές. Αυτό γίνεται ε την ονοδιάστατης απεικόνισης g. Συγκεκριένα, έχουε την ακολούθη πρόταση : Πρόταση 3.5: Εστω 0 <v<y και y 0 I = [ y,y ]. Για κάθε ε>0 πορούν να βρεθούν u 0, v 0 Iε u 0 v 0 < ε και v 0 y 0 < ε και n > 0 έτσι ώστε g n (u 0 ) g n (v 0 ) >ε. Απόδειξη Επειδή η g είναι διαστολή κατά ήκος της y - κατεύθυνση, το g n (J) για αρκετά εγάλο n θα περιέχει το ηδέν. Για ακόα εγαλύτερο n, τοg n+1 (J) θα έχει ήκος εγαλύτερο του 2v. ηλαδή, ενώ ξεκινήσαε ε σηεία u 0, v 0, ώστε u 0 v 0 <ε, καταλήγουε στο διάστη- α g n+1 (J), όπου οι αποστάσεις των εικόνων g n (u 0 ),g n (v 0 ),είναι g n (u 0 ) g n (v 0 ) > 2v. Στο επόενο σχήα 3.15.α το διάστηα J έχει ήκος 2ε και αρχικά περιέχει τα σηεία u 0, v 0,ετάαπόn +1επαναλήψεις καταλήγουε στο σχήα 3.15.b. Σχήα 3.15: α. Αρχικά διαστήατα, β. Μετά από n+1 επαναλήψεις Το επόενο χαρακτηριστικό της χαοτικής συπεριφοράς είναι ότι οι περιοδικές τροχιές είναι πυκνές στον ελκυστή. Αυτό σηαίνει ότι σε κάθε σηείο του ελκυστή υπάρχουν αυθαίρετα κοντά περιοδικές τροχιές. Στη συνέχεια θα δούε αυτό το χαρακτηριστικό, πάλι από την ελέτη της ονοδιάστατης συνάρτησης g. Οι περιοδικές τροχιές θα αντιστοιχούν στα περιοδικά σηεία της g, δηλαδή σηεία τα οποία ικανοποιούν για n>0, τηνg n (y 0 )=y 0.Τα σηεία αυτά, βρίσκονται στην διαγώνιο του σχήατος Ακολουθεί η επόενη πρόταση. 44

45 Πρόταση 3.6: Τα περιοδικά σηεία της g είναι πυκνά στο I. Απόδειξη Οπως αναφέραε παραπάνω ένα σηείο y 0,θαείναιπεριοδικόγιατηνg, ανυπάρχειn>0 έτσι ώστε g n (y 0 )=y 0. (εν εξαιρείται η περίπτωση n =1,δηλαδήg(y 0 )=y 0,δηλαδήτου στάσιου σηείου της g. Προφανώς και τα στάσια σηεία της g αντιστοιχούν σε περιοδικές λύσεις του συνεχούς συστήατος.) Ζητώντας y 0,τοοποίοναικανοποιείτηνg n (y 0 ) = y 0 για κάποιο n>0, ουσιαστικά ζητάε το y 0 να είναι σταθερό σηείο για την συνάρτηση f(y) =g n (y) για n>0, δηλαδή f(y 0 )=g n (y 0 )=y 0 για n>0. Αυτό σηαίνει ότι η γραφική παράσταση της f(y) =g n (y) για κάποιο n>0, θαπρέπεινα τένει την διαγώνιο του σχήατος Πράγατι αυτό συβαίνει : Εστω J ένα υποδιάστηα του I \{0}, δηλαδήτου[ y, 0) (0, y ] και J κάποιο υποδιάστηα του J. Επειδή η g είναι διαστολή υπάρχει κάποιο n>0 τέτοιο ώστε η g n να απεικονίσει το J στο ( y, 0] ή στο [0, y ). Ηεπόενηεπανάληψηg n+1 (J ) θα δώσει διάστηα εγαλύτερο, όπως απεικονίζεται και στο επόενο σχήα. Σχήα 3.16: α. Αρχικά διαστήατα J και J, β. Μετά από n επαναλήψεις 45

46 4 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ RÖSSLER Στα προηγούενα κεφάλαια της εργασίας ασχοληθήκαε διεξοδικά ε τη δυναική του συστήατος Lorenz. Αξιοποιώντας λοιπόν την επειρία ας και χρησιοποιώντας τα εργαλεία που παρουσιάσαε για την κατανόηση των εννοιών του χάους και του ελκυστή, σ αυτό το τελευταίο κεφάλαιο θα παρουσιάσουε ορισένες αριθητικές εξοοιώσεις για το σύστηα Rössler. Προκειένου λοιπόν να έχουε έναν απλούστερο ελκυστή χωρίς τις ιδιότητες της συετρίας, το σύστηα Rössler προτάθηκε σαν ένα οντέλο του συστήατος Lorenz. Ο Otto Rössler το 1976 θεώρησε ένα σύστηα που αποτελείται απο τρείς η γρακές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Αυτές οι εξισώσεις ορίζουν ένα συνεχούς χρόνου δυναικό σύστη- α, το οποίο παρουσιάζει χαοτική δυναική παρόοια ε το σύστηα Lorenz. Ορισένες ιδιότητες του σύστηατος Rössler πορούν να προκύψουν έσω των εθόδων γραικοποίησης, αλλά τα κύρια χαρακτηριστικά του συστήατος απαιτούν η γραικές εθόδους όπως απεικονίσεις Poincaré και διαγράατα διακλάδωσης. Θα επικεντρωθούε σε αριθητικές εξοοιώσεις για τις διάφορες τιές των παραέτρων ερευνώντας τη δυναική του συστήατος ε τη βοήθεια του πακέτου mathematica. Να σηειωθεί ότι, η κατασκευή ενός γεωετρικού οντέλου για τη προσέγγιση της χαοτικής συπεριφοράς του σύστηατος Rössler είναι αντίστοιχη ε τη κατασκευή που κάναε για το σύστηα Lorenz. Παραθέτουε την επόενη παράγραφο σαν κάποια αρχική ανάλυση του συστήατος, έτσι ώστε να γίνουν πιο εύκολα κατανοητές οι αριθητικές εξοοιώσεις. 4.1 γραικη ευσταθεια Το σύστηα Rössler περιγράφεται απο τις επόενες εξισώσεις. Εστω xr 3, το διανυσατικό πεδίο v(x) δίνεται από ẋ = y z ẏ = x + ay ż = b + z(x c) όπου a, b, c είναι σταθερές. Παρατηρούε ότι ο όνος η γραικός όρος εφανίζεται στην εξίσωση z. Καθώς εταβάλλονται οι παράετροι, αυτό το φαινοενικά απλό σύστηα πορεί να παρουσιάσει ένα ευρύ φάσα συπεριφοράς. Για απλότητα στους υπολογισούς ας, περιορίζουε την προσοχή ας στην περίπτωση όπου α = 1 4, b =1και το c κυαίνεται 46

47 απο τις τιές 0 εώς 7. Να σηειωθεί ότι η απόκλιση της ροής δίνεται από v(x)= ẋ x + ẏ y + ż z. Είναι σαφές ότι, η διαστολή ή συστολή των όγκων δεν είναι οοιόορφη στον χώρο φάσεων. Το πρώτο βήα για την ανάλυση των εξισώσεων Rössler είναι ο εντοπισός των σηείων ισορροπίας, επιλύοντας το αλγεβρικό σύστηα y x = 0 x + ay = 0 b + z(x c) = 0 Από την πρώτη εξίσωση έχουε ότι z = y. Λύνοντας τη δεύτερη εξίσωση ώς προς x έχουε ότι x = ay. Αντικαθιστώντας τώρα στην τρίτη εξίσωση το x και το z έχουε ότι b + z(x c) =0= b y( ay c) =0 = b + ay 2 + yc =0 = y± = c± c 2 4ab 2a Σύφωνα λοιπόν ε την σχέση (4.1) και ετά απο αντικατάσταση έχουε ότι (4.1) x = c± c 2 4ab 2 y = ( c± c 2 4ab 2a ) z = c± c 2 4ab 2a Οι παραπάνω σχέσεις υποδεικνύουν τα εξής δύο σηεία ισορροπίας για το σύστηα Rössler, τα οποία ονοάζουε ε P 1, P 2 και είναι τα P 1 = ( c c 2 4ab 2 P 2 = ( c+ c 2 4ab 2, c+ c 2 4ab 2α, c c 2 4ab 2α, c c 2 4ab 2α ), c+ c 2 4ab 2α ) Αντικαθιστώντας τις σταθερές a, b, c στα P 1, P 2 έχουε P 1 =( , , ) P 2 =(5.4541, , ) Ετσι λοιπόν, γίνεται φανερό ότι το σηείο P 1 βρίσκεται κοντά στην αρχή, ενώ το P 2 βρίσκεται ακριά απο την αρχή. Στην συνέχεια θα προσδιορίσουε την τοπική συπεριφορά των λύσεων στην περιοχή κάθε σηείου ισορροπίας. Η ευστάθεια του καθενός απο αυτά τα δύο σηεία ισορροπίας πορεί να καθοριστεί ε τον προσδιορισό των αντίστοιχων ιδιοτιών. Οι ιδιοτιές προσδιορίζονται απο την εξίσωση 47

48 λ a λ 0 z 0 x c λ = λ3 +λ 2 (a + x c)+λ(ac ax 1 z)+x c + az =0 (4.2) Αρκετό έρος της ακόλουθης ανάλυσης δεν πορεί να ολοκληρωθεί για αυθαίρετες τιές των a, b, c, θα απλοποιήσουε λοιπόν την εργασία ας χρησιοποιώντας τις τιές α = 1 4, b =1, c =5.5. Για το σηείο ισορροπίας P 1 (κοντά στην αρχή) έχουε ότι λ λ λ = 0 (4.3) Επιλύοντας την εξίσωση (4.3) ε το mathematica έχουε τις εξής ιδιοτιές για το P 1 λ 1.1 = λ 1.2 = i λ 1.3 = i Το έγεθος της αρνητικής ιδιοτιής χαρακτηρίζει το επίπεδο της έλξης, κατά ήκος του αντίστοιχου ιδιοδιανύσατος. Οοίως, το έγεθος της θετικής ιδιοτιής χαρακτηρίζει το επίπεδο της απώθησης κατά ήκος του αντίστοιχου ιδιοδιανύσατος. Συνεχίζουε την ανάλυση και για το δεύτερο σηείο ισορροπίας. Αντικαθιστώντας τις κατάλληλες τιές για το P 2 στην εξίσωση (4.2) έχουε ότι λ λ λ = 0 (4.4) Επιλύοντας την εξίσωση (4.4) ε το mathematica έχουε τις εξής ιδιοτιές για το P 2 λ 2.1 = λ 2.2 = i λ 2.3 = i Σύφωνα λοιπόν ε όλα τα παραπάνω, αυτά τα δύο σταθερά σηεία είναι ασταθείς εστίες. Παραθέτουε το επόενο σχήα έτσι ώστε να γίνει πιο εύκολα κατανοητή η τοπική ανάλυση των P 1, P 2. Σχήα 4.1: Τα σηεία ισορροπίας και οι πολλαπλοτητές τους 48

49 Το σταθερό σηείο P 1 έχει ία δισδιάστατη ασταθή πολλαπλότητα Ε u 1 R 2 που συνδέεται ε ασταθής σπείρα, η οποία είναι κυρίως υπεύθυνη για την διαστολή στο χώρο φάσεων. Υπάρχει επίσης και ία ονοδιάστατη ευσταθή πολλαπλότητα Ε s 1 R. Το δεύτερο σηείο ισορροπίας P 2, έχει ία δισδιάστατη ευσταθή πολλαπλότητα Ε s 2 R 2, δηλαδή ία συγκλίνουσα σπείρα και ία ονοδιάστατη ασταθή πολλαπλότητα Ε u 2 R. Οπως γίνεται φανερό και απο το σχήα 4.1, αν και έχουε δύο σηεία ισορροπίας, όνο το P 1 περιβάλλεται απο τη ροή (ε πλέ χρώα στο σχήα 4.1 απεικονίζεται η ροή). Αυτό είναι ια σηαντική διαφορά, ε το σύστηα Lorenz, όπου η ροή συνδέει και τα δύο σηεία ισορροπίας. Το φαινόενο αυτό πορεί να ερηνευθεί ως στροφή από το χώρο επιρροής του ενός ση- είου ισορροπίας, στην περιοχή του άλλου. Στην πραγατικότητα, η η γραικότητα του σύστηατος Rössler δρά όταν η τροχιά είναι αρκετά κοντά στο P 2 όπου συγκλίνει η σπείρα επιφέροντας την αναδίπλωση της ροής προς τη γειτονία του σηείου ισορροπίας P 1 κατά ήκος της ασταθής πολλαπλότητας Ε u 2. Ετσι λοιπόν, το σηείο ισορροπίας P 1 είναι υπεύθυνο για την επιήκυνση, ενώ το σηείο ισορροπίας P 2 για την αναδίπλωση (συστολή). Αυτοί οι ηχανισοί είναι ουσιαστικής σηασίας για την τεκηρίωση της χαοτικής συπεριφοράς. 4.2 εταβολη των παραετρων στο συστηα rössler Η συπεριφορά του ελκυστή Rössler οφείλεται σε εγάλο βαθό στις τιές των σταθερών παραέτρων a, b, c. Σε γενικές γραές, εταβάλλοντας κάθε παράετρο, έχουε και ανάλογα αποτελέσατα προκαλώντας το σύστηα να συγκλίνει είτε προς ία περιοδική τροχία, είτε σε σταθερό σηείο, είτε να διαφεύγει πρός το άπειρο. στόσο για συγκεκριένο εύρος τιών, οι συπεριφορές που προκαλούνται, διαφέρουν ουσιαστικά για κάθε παράετρο. Περιοδικές τροχιές ή οναδιαίοι κύκλοι που εφανίζονται στο σύστηα, καθορίζονται από τον αριθό των βρόγχων γύρω απο το κεντρικό σηείο ισορροπίας του συστήατος. Ολα όσα αναφάραε λοιπόν, θα γίνουν πιο εύκολα κατανοητά, παρατηρώντας τις αλλαγές στη συπεριφορά του συστήατος για ποικίλες τιές της παραέτρου c, ε τη βοήθεια του πακέτου mathematica. Ακολουθεί η εξέταση τεσσάρων παραδειγάτων, όπου α = 1 4, b =1 και ετβάλλουε την παράετρο c. Οι αρχικές συνθήκες είναι x(0) = y(0) = z(0) = 1.5, σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις. Θα χρειαστούε τον επόενο ορισό Ορισός 4.1: Ενας οριακός κύκλος είναι περιόδου 1 εάν x(t) = x(τ + t), για κάποια σταθερά Τ που λέγεται περίοδος. Ηπεριοδικήτροχιάλέγεταιοριακός κύκλος περιόδου 1. Σύφωνα ε το σύστηα Rössler, όταν η παράετρος c ισούται ε 3, δηλαδήc =3, έχουε την εφάνιση ενός οριακού κύκλου περιόδου 1, ο οποίος πορεί να σχεδιαστεί στον τρισδιάστατο χώρο. Στο σχήα 4.2 έχουε σχεδιάσει τον οριακό κύκλο που προαναφέραε στο x y επίπεδο και οι περιοδικές συπεριφορές ως προς τους άξονες x, y, z παρουσιάζονται στα σχήατα 4.3, 4.4,

50 Σχήα 4.2: Οριακός κύκλος περιόδου 1, προβολή στους άξονες x y Σχήα 4.3: Περιοδική συπεριφορά για το x(t) Σχήα 4.4: Περιοδική συπεριφορά για το y(t) 50

51 Σχήα 4.5: Περιοδική συπεριφορά για το z(t) Σχήα 4.6: Οριακός κύκλος περιόδου 1, άξονες x y z Οταν c =4, υπάρχει περιοδική συπεριφορά περιόδου 2. Στα επόενα σχήατα φαίνεται αυτή η συπεριφορά. Στο σχήα 4.7 φαίνεται ο οριακός κύκλος περιόδου 2, στα σχήατα 4.8, 4.9, 4.10 παρουσιάζεται η συπεριφορά ως προς x ως προς y και ως προς z αντίστοιχα. Παρατηρούε στο σχήα 4.8 υπάρχουν δύο ευδιάκριτα πλάτη. Το σχήα 4.11 δείχνει στον τρισδιάστατο χώρο τον οριακό κυκλό περιόδου 2. Να σηειωθεί ότι καθώς το c αυξάνεται, εφανίζονται κύκλοι ε εγαλύτερες περιόδους. 51

52 Σχήα 4.7: Οριακός κύκλος περιόδου 2, προβολή στους άξονες x y Σχήα 4.8: Περιοδική συπεριφορά για το x(t) Σχήα 4.9: Περιοδική συπεριφορά για το y(t) 52

53 Σχήα 4.10: Περιοδική συπεριφορά για το y(t) Σχήα 4.11: Οριακός κύκλος περιόδου 2, άξονες x y z Οταν c =5υπάρχει συπεριφορά περιόδου 4. Στα επόενα σχήατα φαίνεται ο οριακός κύκλος περιόδου 4 και οι περιοδικές συπεριφορές ώς προς x, y, z αντίστοιχα. Παρατηρού- ε δηλαδή ότι αύξηση της παραέτρου οδηγεί στον λεγόενο διπλασιασού περιόδου. Ο ηχανισός αυτός είναι επίσης ένας από αυτούς που οδηγούν στην χαοτική συπεριφορά. 53

54 Σχήα 4.12: Οριακός κύκλος περιόδου 4, προβολή στους άξονες x y Σχήα 4.13: Περιοδική συπεριφορά για το x(t) Σχήα 4.14: Περιοδική συπεριφορά για το y(t) Σχήα 4.15: Περιοδική συπεριφορά για το z(t) 54

55 Σχήα 4.16: Οριακός κύκλος περιόδου 4, άξονες x y z Οταν c =5.5, το σύστηα εφανίζει χαοτική συπεριφορά ε την παρουσία ενός χαοτικού ελκυστή.. Αυτού του είδους η συπεριφορά ονοάζεται ντετερινιστικό χάος. Σχήα 4.17: Ο χαοτικός ελκυστής για c=5.5 Για να έχουε ια ακόη καλύτερη επιβεβαίωση της χαοτικής συπεριφοράς πραγατοποιούε αριθητικές εξοοιώσεις για αρχικές συνθήκες που βρίσκονται πολύ κοντά εταξύ τους, ε στόχο ια αριθητική επιβεβαίωση του φαινοένου της ευαίσθητης εξάρτησης στις αρχικές συνθήκες. 55

56 Συγκεκριένα, επιλύουε αρχικά το σύστηα ε αρχικές συνθήκες x(0)=y(0)=z(0)=1. Στη συνέχεια επιλύουε το σύστηα αριθητικά ε αρχικές συνθήκες x(0) = 1.01 και y(0) = z(0) = 1. Στις επόενες τρείς εικόνες έχουε ξεκάθαρη επιβεβαίωση της ευαισθησίας στις ικρές διαταραχές των αρχικών συνθηκών, που είναι ένα απο τα θεελειώδη χαρακτηριστικά της χαοτκής συπεριφοράς. Σχήα 4.18: Χρονική σειρά του x(t), που δείχνει τν ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Η καπύλη ε κόκκινο χρώα έχει αρχικές συνθήκες x(0) = y(0) = z(0) = 1 και η καπύλη ε αύρο χρώα έχει αρχικές συνθήκες x(0) = 1.01, y(0) = z(0) = 1 Σχήα 4.19: Χρονική σειρά του y(t), που δείχνει τν ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Η καπύλη ε πλέ χρώα έχει αρχικές συνθήκες x(0) = y(0) = z(0) = 1 και η καπύλη ε κόκκινο χρώα έχει αρχικές συνθήκες x(0) = 1.01, y(0) = z(0) = 1 56

57 Σχήα 4.20: Χρονική σειρά του z(t), που δείχνει τν ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Η καπύλη ε πράσινο χρώα έχει αρχικές συνθήκες x(0) = y(0) = z(0) = 1 και η καπύλη ε κόκκινο χρώα έχει αρχικές συνθήκες x(0) = 1.01, y(0) = z(0) = 1 Ας δούε τώρα ένα τελευταίο αριθητικό παράδειγα για να γίνει καλύτερα κατανοητή η ευαίσθητη εξάρτηση των αρχικών συνθηκών. Συγκεκριένα, επιλύουε αρχικά το σύστηα ε αρχικές συνθήκες x(0) = y(0) = 0. Το ζεύγος (x, y) είναι οι πράσινες πλέ καπύλες αντίστοιχα. Στη συνέχεια επιλύουε το σύστηα αριθητικά ε αρχικές συνθήκες ετατοπισένες από την αρχή των αξόνων κατά 10 7 δηλαδή ε αρχικές συνθήκες x(0) = y(0) = ( , ). 57

58 Σχήα 4.21: Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες για το σύστηα Rössler ε c=5.5. Οι πράσινες-πλέ καπύλες είναι λύσεις (x,y) για αρχικές συνθήκεςx(0) = y(0) = 0. Οι κόκκινες ώβ έιναι λύσεις ε αρχικές συνθήκες x(0) = y(0) = Στο σχήα 4.21, παρατηρούεότιέχρικαιτοχρόνοt = 150, οι λύσεις εφανίζονται να είναι αρκετά κοντά και άλιστα για αρχικούς χρόνους, φαίνεται να παραουσιάζουν ελάχιστη απόκλιση σχεδόν αελητέα. στόσο ετά την χρονική στιγή t 150, έχουε την εφάνιση αρκετά εγάλων αποκλίσεων, σε σχέση ε την απόσταση των αρχικών συνθηκών. Στο επό- ενο σχήα, συνεχίζεται η απεικόνιση των καπυλών στο χρονικό διάστηα t = (200, 600). Στο διάστηα αυτό φαίνεται ξεκάθαρα ότι το σύστηα χαρακτηρίζεται απόλυτα απο την χαοτική συπεριφορά. 58

59 Σχήα 4.22: Χαοτική συπεριφορά για το σύστηα Rössler ε c=5.5. Αρχικές συνθήκες όοιες ε το προηγούενο παράδειγα. Σύγκριση των x- λύσεων. Σχήα 4.22: Χαοτική συπεριφορά για το σύστηα Rössler ε c=5.5. Αρχικές συνθήκες όοιες ε το προηγούενο παράδειγα. Σύγκριση των y- λύσεων. 59