Εργασία στα πλαίσια του µαθήµατος των στοιχειωδών σωµατιδίων

Transcript

1 Μη Αβελιανές Θεωρίες Βαθίδας Μηχανισός Hggs Η G.W.S θεωρία για τις ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις Εργασία στα πλαίσια του αθήατος των στοιχειωδών σωατιδίων Επιβλέπων καθηγήτρια: Στασινάκη Παρασκευόπουλος Σωτήρης

2 Μη Αβελιανή αναλλοιώτητα Βαθίδας Για την περιγραφή της αναλλοιώτητας σε ετασχηατισούς βαθίδας ελετάε αρχικά την Lgrngn της κβαντικής ηλεκτροδυναικής: 1 LQ. E. D =Ψ D m Ψ F 4 ( γ ) ( ) ν όπου: D ea ( x) Η παραπάνω Lgrngn είναι αναλλοίωτη κάτω από τοπικούς ετασχηατισούς βαθίδας: Ψ ( x) ( x) e Ψ ( x) Με το πεδίο A ( x) να ετασχηατίζεται σύφωνα ε τον νόο: 1 A ( x) A ( x) ( x) e Ξεκινώντας λοιπών από το πεδίο ιγαδικό Drc και απαιτούε την αναλλοιώτητα σε ετασχηατισούς βαθίδας οποία έχουε ανάγει πλέον σε ία αρχή. Ψ ( x) ( x) e ( x) Ψ την

3 Αυτός ο ετασχηατισός είναι ουσιαστικά ια στροφή κατά γωνία ( x ). Το ερώτηα που γεννάται είναι πως πορούε να γράψουε ια Lgrngn που να είναι αναλλοίωτη κάτω από αυτούς τους ετασχηατισούς. Όσον αφορά όρους που δεν περιέχουν παραγώγους, κάτι τέτοιο δεν αποτελεί πρόβληα, καθώς οι φάσεις εξουδετερώνονται. Για παράδειγα έστω ο όρος άζας για τα φεριόνια: mψ( x) Ψ ( x) είναι globl αναλλοίωτος και η επιπλέον απαίτηση για τοπική αναλλοιώτητα δεν ας δίνει κάποιον επιπλέον περιορισό. Όως η δυσκολία προκύπτει όταν προσπαθήσουε να γράψουε όρους στην Lgrngn που περιέχουν παράγώγους. Πράγα αναγκαίο για να εκφραστεί η κινητική ενέργεια των πεδίων. Η παράγωγος του Ψ ( x) στη διεύθυνση του ανύσατος n ορίζεται ε την έθοδο του ορίου ως: 1 n Ψ ( x) = lm [ Ψ ( x+ εn) Ψ ( x) ] ε 0ε Όως αυτός ο ορισός δεν είναι βολικός για ια θεωρία αναλλοίωτης σε τοπικούς ετασχηατισούς βαθίδας, καθώς τα παιδία που αφαιρούνται Ψ ( x+ εn) και Ψ ( x) έχουν διαφορετικό νόο ετασχηατισού. Με άλλα λόγια η ποσότητα Ψ( x) δεν έχει καλή γεωετρική ερηνεία. Έτσι για αυτό τον σκοπό εισάγουε έναν παράγοντα που εξουδετερώνει τις αλλαγές ετασχηατισού φάσης που σηειώνονται, από το ένα σηείο στο επόενο. Και ο ποιο απλός τρόπος είναι να ορίσουε ια βαθωτή ποσότητα U ( y, x) και η οποία έχει νόο ετασχηατισού: U ( y, x) e U ( y, x) e ( x ) ( x) 3

4 και θέτουε: U ( y, y ) = 1 ε αυτόν τον τρόπο τα αντικείενα Ψ ( x) και U ( y, x) Ψ ( x) έχουν τον ίδιο νόο ετασχηατισού. Έτσι πορούε να ορίσουε ια παράγωγο ε καλύτερο εννοιολογικό περιεχόενο, που ονοάζεται συναλλοίωτη παράγωγος, ως εξής: 1 n D Ψ ( x) = lm Ψ ( x+ n) U ( x+ n, x) Ψ ( x) ε 0ε [ ε ε ] Για να κατανοήσουε καλύτερα αυτόν τον ορισό χρειαζόαστε κάποια έκφραση για τον comprtor U ( y, x ) σε σηεία απειροστά κοντά. Έτσι το ανάπτυγα γύρω από την απόσταση των σηείων θα είναι: U x n x e n A x O ( + ε, ) = 1 ε ( ) + ( ε ) Η συναλλοίωτη παράγωγος θα έχει τότε την ορφή: D Ψ ( x) = Ψ ( x) + ea ( x) Ψ ( x) Με βάση αυτή τη σχέση πορούε να βρούε τον νόο ετασχηατισού για το νέο πεδίο A ( x) : 4

5 1 A ( x) A ( x) ( x) e Για να ελέγξουε αυτές τις εκφράσεις ετασχηατίζουε το D Ψ ( x) και βρίσκουε: 1 ( x) D Ψ( x) + e A ( x) ( x) e Ψ ( x) = e ( ) = + ( ) Ψ ( ) = Ψ ( ) ( x) ( x) e ea x x e D x Έτσι η συναλλοίωτη παράγωγος D Ψ ( x) ετασχηατίζεται ε τον ίδιο τρόπο που ετασχηατίζεται και το πεδίο Ψ ( x ). Περισσότερο γενικά, η ανάλυση ας δίνει έναν τρόπο να κατασκευάσουε όλες τις δυνατές lgrngns που είναι αναλλοίωτες κάτω από αυτή τη συετρία. Για να ολοκληρώσουε την κατασκευή ιας τέτοιας lgrngn πρέπει να βρούε έναν όρο κινητικής ενέργειας για το πεδίο A ( x) Για τον λόγο αυτό αναπτύσσουε τον comprtor U ( y, x) ως προς ε:. ε 3 U ( x+ εn, x) = exp eεn A ( x+ n) + O( ε ) 5

6 Κάνουε απειροστές εταθέσεις γύρο από ένα τετράγωνο στις διευθύνσεις 1 $ και $, και βρίσκουε την που είναι το αποτέλεσα των ετατοπίσεων γύρω από τις γωνίες του loop: U ( x) U ( x, x+ ε ) $ U ( x+ ε, $ x+ ε1 $ + ε ) $ U ( x+ ε1 $ + ε, $ x+ ε1) $ U ( x+ ε1, $ x) Στο όριο ε 0, θα έχουε ια τοπικά αναλλοίωτη συνάρτηση του A. Έτσι αναπτύσσοντας έχουε: ε $ ε ε $ ε $ ε 3 U ( x) = exp ε e A x+ A1 x+ 1$ + + A x+ ε1$ + + A1 x+ 1 $ + O( ε ) Και αν αναπτύξουε το εκθετικό σε όρους του ε, έχουε: [ ] U ( x) = 1 ε e A ( x) A ( x) + O( ε ) Άρα η κατασκευή : Fν = Aν ν A είναι τοπικά αναλλοίωτη. Ένα σχετικό ε το παραπάνω επιχείρηα για την τοπική αναλλοιώτητα του F ν πορεί να βρει κανείς και έσω της συναλλοίωτης παραγώγου. Χρησιοποιώντας τους νόους ετασχηατισού του πεδίου Ψ ( x) και της συναλλοίωτης παραγώγου πάνω σε αυτό D Ψ ( x), που είναι ίδιοι, συπεραίνουε και ότι ο εταθέτης των συναλλοίωτων παραγώγων έχει ίδιο νόο ετασχηατισού: 6

7 D D x e D D x ( x), ν Ψ( ), ν Ψ( ) Ο εταθέτης δεν είναι ια απλή παράγωγος και δίνει: διότι:, ν = 0 και A, Aν = 0 ( ν ν ) = e A A Ψ ( ) D, D ν Ψ=, ν Ψ+ e, A ν ν, A Ψ e A, A ν Ψ= Άρα: D, D = ef ν ν και σύφωνα ε τον παραπάνω συλλογισό ο πολλαπλασιαστικός παράγοντας F ν πρέπει να είναι αναλλοίωτος κάτω από αυτούς τους ετασχηατισούς. 7

8 Έχουε λοιπόν τώρα συλλέξει όλα τα απαραίτητα στοιχεία για να γράψουε την αναλλοίωτη σε τοπικούς ετασχηατισούς βαθίδας lgrngn για το φεριονικό πεδίο Drc: 1 ( ) ( ) αβν L4 =Ψ γ D Ψ Fν cε Fαβ Fν mψψ 4 Ο τρίτος όρος παραβιάζει τις διακριτές συετρίες P και T, έτσι πρέπει να τον εξαιρέσουε, αν τις δεχόαστε αξιωατικά. Αν τώρα χρησιοποιήσουε τελεστές στις 5 και 6 διαστάσεις η αναλλοίωτη Lgrngn έχει την ορφή: 5 ( ) ( γ ) ν 6 = 1Ψσ ν Ψ+ ΨΨ + 3 Ψ Ψ +... L c F c c Έχουε φτάσει τώρα σε ένα αξιοσηείωτο συπέρασα. Ξεκινήσαε αξιώνοντας ότι το πεδίο του ηλεκτρονίου υπακούει στην τοπική συετρία. Από αυτό το αξίωα δείξαε ότι πρέπει να υπάρχει ένα ηλεκτροδυναική διανυσατικό δυναικό. Προχωρώντας η αρχή συετρίας προϋποθέτει ότι η ποιο γενική Lgrngn στις 4 διαστάσεις είναι η γενική ορφή L 4. Αν επιείνουε ότι αυτή η L είναι επίσης αναλλοίωτη κάτω από χρονική αντιστροφή ή οοτιία, οδηγούαστε ε οναδικό τρόπο στην Mxwell- Drc Lgrngn, η οποία είναι η βάση της κβαντικής ηλεκτροδυναικής. 8

9 Η Lgrngn Yng-Mlls Για να προχωρήσουε τη συζήτηση, παίρνουε τη συετρία να είναι η 3-διαστατη οάδα των στροφών O(3) ή SU(), διότι σε αυτή την περίπτωση η απαραίτη θεωρία οάδων είναι οικεία. Αρχίζουε ε τη διπλέτα του Drc: Ψ1( x) Ψ ( x) = Ψ ( x) η οποία ετασχηατίζεται σε ια άλλη, κάτω από ια αυθαίρετη τρισδιάστατη στροφή: σ Ψ( x) exp Ψ( x) όπου σ είναι οι πίνακες του Pul, και υπονοείται άθροιση στους δείκτες. Τώρα προάγουε τον παραπάνω ετασχηατισό σε τοπική συετρία, επιένοντας η L να είναι αναλλοίωτη κάτω από αυτούς τους ετασχηατισούς. Γράφουε τον ετασχηατισό ως: 9

10 Ψ( x) V ( x) Ψ ( x) όπου: V ( x) = exp ( x) σ Οπότε τώρα πάε να κατασκευάσουε την L ε τις εθόδους του προηγούενου παραδείγατος. Τώρα όως ο αντίστοιχος comprtor θα είναι ένας x πίνακας, και ο νόος ετασχηατισού του θα είναι: U y x V y U y x V x (, ) ( ) (, ) ( ) Το ανάπτυγα αυτού του πίνακα στους ερητιανούς γεννήτορες της SU() είναι: σ U x n x g n A O ( + ε, ) = 1 + ε + ( ε ) και η αντίστοιχη συναλλοίωτη παράγωγος έσω του ορισού που δώσαε παραπάνς, είναι: D = ga σ 10

11 διότι: 1 n D Ψ ( x) = lm [ Ψ ( x+ εn) U ( x+ εn, x) Ψ ( x) ] = ε 0ε 1 σ = lm ( x) εn ( x) ( x) gε n A ( x) ε 0ε Ψ + Ψ Ψ Ψ = σ σ = n Ψ( x) gn A Ψ ( x) = n ga Ψ( x) Αυτή η συναλλοίωτη παράγωγος προϋποθέτει 3 διανυσατικά πεδία, ένα για κάθε γεννήτορα της οάδας ετασχηατισών. Για να βρούε τον νόο ετασχηατισού των πεδίων A ελετάε την απειροστή ορφή του ετασχηατισού για τον comprtor: σ σ 1 + gεn A V ( x+ εn) 1 + gεn A V ( x) Η ανάπτυξη του V ( x+ εn) γίνεται ευκολότερα έσω της ταυτότητας: 11

12 ( ) ( ) ( ) V ( x+ εn) V ( x) = 1 + εn + O( ε ) V ( x) V ( x) = = + + = εn V ( x) V ( x) O( ε ) 1 εn V ( x) V ( x) O( ε ) σ σ V ( x) V ( x) = ( x) διότι ( V ( x) ) V ( x) =+ ( x) και ( ) Έτσι για το πεδίο A έχουε τον νόο ετασχήατισού: σ σ A V x A V x g ( ) + ( ) Και για απειροστούς ετασχηατισούς πορούε να αναπτύξουε το εκθετικό και να κρατήσουε όρους πρώτης τάξης, και ο ετασχηατισός γίνεται: j σ σ σ σ j σ A A + ( ( x) ) + ( x), A g διότι: 1

13 σ σ σ A V ( x) A + V ( x) = V ( x) A V ( x) + V ( x) ( ) V ( x) = g g j j σ σ j σ j σ σ σ = A + ( x) A + A ( ) ( x) + ( ( x) ) = g j σ σ σ j σ = A + ( ( x) ) + ( x), A g Ο τελευταίος όρος είναι το καινούριο στοιχείο στον νόο ετασχηατισού και προκύπτει από την η εταθετικότητα των γεννητόρων της άλγεβρας. Συνδυάζοντας αυτή την σχέση ε τον νόο ετασχηατισού του φεριονικού πεδίου: σ Ψ( x) 1 + Ψ ( x) +... πορούε να ελέγξουε τον απειροστό ετασχηατισό της συναλλοίωτης παραγώγου: 13

14 σ D Ψ ( x) = ga Ψ( x) j σ σ σ j σ σ ga ( ( x) ) + g ( x), A 1 ( x) + Ψ = σ =... = 1 + D Ψ( x) Επίσης δεν είναι δύσκολο να ελέγξουε τον παραπάνω ετασχηατισό σε πεπερασένη ορφή: ' ' σ D Ψ( x) D Ψ ( x) = gv ( x) A + V ( x) V ( x) Ψ ( x) = g σ = gv ( x) A V ( x) + V ( x) V ( x) V ( x) Ψ ( x) = σ = gv ( x) A V ( x) V ( x) V ( x) V ( x) Ψ ( x) = σ = V ( x) + V ( x) gv ( x) A V ( x) Ψ( x) = σ σ = V ( x) gv ( x) A Ψ ( x) = V ( x) ga Ψ ( x) = = V ( x) D Ψ( x) 14

15 D Ψ( x) V ( x) D Ψ ( x) Με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό ε τα προηγούενα έχουε λοιπόν για το εταθέτη των συναλλοίωτων παραγώγων: D, D ν Ψ( x) V ( x) D, D ν Ψ( x) όως έχουε ότι ο εταθέτης ισούται ε: D, D = gf ν ν σ j σ σ σ σ j σ όπου: F ν = Aν ν A g A ( x), A ν Μπορούε να απλοποιήσουε την παραπάνω σχέση ε τη βοήθεια της σχέσης ετάθεσης των πινάκων του Pul: 15

16 j k σ σ jkσ, = ε τότε: F = A A + gε A ( x) A jk k ν ν ν ν Τελικά ο νόος ετασχηατισού για τον τανυστή του πεδίου είναι: σ σ F V x F V x ν ( ) ν ( ) Και η απειροστή του ορφή είναι: j j σ σ σ σ j σ j σ σ F ν V ( x) F ν V ( x) = F ν + F ν + F ν ( ) = j σ σ j σ = F ν +, F ν αφού : V x σ O ( ) = ( ) 16

17 Ο το F ν δεν είναι πλέον αναλλοίωτος σε ετασχηατισούς βαθίδας, ωστόσο πορούε να φτιάξουε guge αναλλοίωτους συνδυασούς από F ν για να τους χρησιοποιήσουε στην Lgrngn ας. Για παράδειγα: είναι ο guge αναλλοίωτος όρος της κινητικής ενέργειας για το 1 σ 1 L= tr F = F 4 A. ( ) ν ν Έτσι καταλήξαε να κατασκευάσουε την Yng-Mlls Lgrngn ας, η οποία προκύπτει απλά, αν πάρουε την Lgrngn του Drc και αντικαταστήσουε την συναλλοίωτη παράγωγο ε την νέα. ( ) 1 L=Ψ γ D ( F ) Ψ ν mψψ 4 Μεταβάλλοντας την L βρίσκουε τις κλασικές εξισώσεις κίνησης της θεωρίας βαθίδας. Αυτές είναι η εξίσωση Drc για το φεριονικό πεδίο: δ L δψ ( γ D m) = 0 Ψ= 0 και η εξίσωση για το διανυσατικό πεδίο: 17

18 jk j k ν σ F ν + gε A F ν = gψγ Ψ Ότι έχουε κάνει έχρι τώρα για την SU() γενικεύεται εύκολα για κάθε συνεχή οάδα συετρίας. Έστω λοιπόν ότι έχουε ένα πεδίο Ψ ( x) που είναι ια n-πλέτα, τότε σύφωνα ε τα παραπάνω θα ετασχηατίζεται ως: Ψ( x) V ( x) Ψ ( x) Αναπτύσσουε το V ( x ) στους γεννήτορες της συετρίας t και έχουε: V x t O ( ) = 1 = + ( ) σ παίρνουε όλη την παραπάνω ανάλυση και αντικαθιστούε t σε κάθε βήα. Οι σχέσεις ετάθεσης στην stndrd form είναι: t, t = f t b bc c 18

19 όπου f bc οι είναι οι σταθερές δοής της άλγεβρας. Η συναλλοίωτη παράγωγος γίνεται: D = ga t Οι νόοι ετασχηατισού σε απειροστή ορφή για το Ψ ( x) και τα A είναι: ( ) Ψ( x) 1 + t Ψ ( x) 1 A A + + f A g bc b c Ο πεπερασένος νόος ετασχηατισού έχει τη ορφή: A t V x A t V x g ( ) + ( ) Ο εταθέτης των συναλλοίωτων παραγώγων θα είναι αντίστοιχα: 19

20 D, Dν = gf ν t όπου: F = A A + gf A A bc b c ν ν ν ν Η αντίστοιχη κλασική εξίσωση κίνησης είναι: F + gf A F = gj bc b c ν ν ν όπου: J ν ν =Ψγ t Ψ είναι το καθολικά συετρικό ρεύα για το φεριονικό πεδίο. 0

21 Το guge αναλλοίωτο Wlson loop Στα προηγούενα κάναε χρήση του comprtor ο οποίος ετατρέπει τον νόο ετασχηατισού βαθίδας του φεριονίου από το σηείο χ στο σηείο y. Όως η ελέτη έγινε για την περίπτωση που τα χ και y απέχουν απειροστά. Την περίπτωση που απέχουν αρκετά την ελετούε εδώ. Κατασκευάζουε το U P(, ) δύσκολο να ελέγξουε ότι το U (, ) z y όπου τώρα τα z, y δεν απέχουν απειροστά, αλλά πεπερασένα, ακολουθώντας ία διαδροή P. εν είναι P z y δίνεται από την έκφραση: U P( z, y) = exp e dx A ( x) P Το αντικείενο αυτό ονοάζεται γραή Wlson. Μια ιδιότητα της γραής Wlson είναι ότι εξαρτάται από την διαδροή P. Αν το P είναι ια κλειστή διαδροή, που γυρνάει στο y, τότε έχουε το Wlson loop: Αν θέσουε S την παράετρο της διαδροής P, ορίσουε το pth orderng { } του S να ένουν στα αριστερά. Μπορούε να γράψουε την γραή Wlson ως: U P( y, y) = exp e dx A ( x) P P έτσι ώστε στο ανάπτυγα του εκθετικού οι εγαλύτερες τιές 1

22 1 dx U (, ) exp ( ( )) P z y = P g ds A x s t ds 0 Η παραπάνω έκφραση είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης: d dx U P x s y = g A x s t U P x s y ds ds ( ( ), ) ( ( )) ( ( ), ) και αυτή η διαφορική εξίσωση πορεί να γραφεί: dx D U P( x, y ) = 0 ds Θέλουε τώρα να δείξουε την εξάρτηση των συναρτήσεων βαθίδας από τα πεδία βαθίδας. ηλαδή ότι: Στην απειροστή εκδοχή δείξαε ότι: ν ν ( ) = P( ) U z, y, A V ( z) U z, y, A V ( y) P

23 ν ( ) ( ) = ( ) ( ) D A V x V x D A Για να επιχειρηατολογήσουε για την απαίτηση ας, η παραπάνω ποσότητα να είναι εκ κατασκευής τοπικά αναλλοίωτη σε ετασχηατισούς βαθίδας, χρησιοποιούε το θεώρηα Stokes για να ξαναγράψουε το Wlson loop σαν: e ν U P( y, y) = exp dσ F Σ ν Όπου βλέπουε έναν γενικό τρόπο για να φτιάχνουε guge αναλλοίωτα από το F ν. Και το Wlson loop και η Wlson lne, πορούν να γενικευθούν στην η αβελιανή περίπτωση, αποκτώντας επιπρόσθετες ιδιότητες εξαιτίας της η εταθετικότητας των γεννητόρων. Ας υπολογίσουε αρχικά την Wlson lne. Η Wlson lne σχετίζετε ε ια κλειστή διαδροή, που επιστέφοντας στο y ετασχηατίζει όνο την παράετρο βαθίδας στο y, παρά ταύτα δεν είναι ένα αναλλοίωτο βαθίδας: ( ) ( ) U y, y V ( y) U y, y V ( y) P P Αναπτύσσοντας σε δεύτερη τάξη πορούε να βρούε: 3

24 3 ( ) = + ε + ε U x, x 1 g F ( x) t O( ) P Για να ετατρέψουε την Wlson lne πάνω σε ια κλειστή διαδροή, σε πραγατικό αναλλοίωτο βαθίδας, παίρνουε το ίχνος για το οποίο ισχύει: 1 P (, ) (, ) tru x x tru x x Έτσι για την η αβελιανή θεωρία βαθίδας ορίζουε το Wlson loop να είναι το ίχνος της Wlson lne γύρω από ια κλειστή διαδροή. P Ας υπολογίσουε αναλυτικότερα το tru (, ) P x x για την περίπτωση της SU() οάδας βαθίδας. Αναπτύσσοντας τον comprtor έχουε: σ U ( ε ) = exp ( εβ + ε γ +...) = j σ 1 j σ σ = 1 + ( εβ + ε γ +...) ( εβ εβ +...) +... Και οι πίνακες του Pul, επειδή είναι αιχνοι ικανοποιούν την σχέση: tr σ, σ j = δ j 4

25 Άρα έχουε: Εφαρόζοντας αυτή την σχέση για το tru (, ) P x x έχουε: 1 tru g ( ) O ( ε ) = ε β + ( ε ) 1 4 ( ) ( ) 5 tru P x, x = g ε F1 + O( ε ) 4 Έτσι η αναλλοιώτητα βαθίδας του ( F ) ν πορεί να παραχθεί από ένα γεωετρικό επιχείρηα, όπως και στην αβελιανή περίπτωση. Όπως θα δειχθεί και από τα επόενα το ίδιο επιχείρηα ισχύει για κάθε οάδα βαθίδας. 5

26 Βασικά στοιχεία επάνω στις Άλγεβρες Le. Σε αυτό το κοάτι ελετάε τα βασικά στοιχεία των συνεχών οάδων, για να πορούε τα χρησιοποιήσουε αποδοτικότερα στις θεωρίες βαθίδας. Το απειροστό στοιχείο της οάδας g πορεί να γραφεί: g T O ( ) = ( ) Οι T είναι ερητιανοί τελεστές και ονοάζονται γεννήτορες της οάδας συετρίας. Οι εταθετικές σχέσεις των γεννητόρων πορούν να γραφούν: T, T = f T b bc c Οι αριθοί bc f ονοάζονται σταθερές δοής της οάδας. Ο διανυσατικός χώρος που προκύπτει, ονοάζεται άλγεβρα Le. Οι παραπάνω σχέσεις ετάθεσης και η ταυτότητα: 6

27 b c b c c b T, T, T T, T, T T, T, T + + = 0 οδηγούν τις σταθερές δοής να υπακούουν στη σχέση: dl bcd bdl cd cdl bd f f + f f + f f = 0 που ονοάζεται ταυτότητα Jcob. Ταξινόηση στις άλγεβρες Le. Για την εφαρογή στις θεωρίες βαθίδας, η τοπική συετρία είναι κανονικά ένας οναδιακός ετασχηατισός ενός συνόλου πεδίων. Έτσι πρώτιστα ενδιαφερόαστε για τις άλγεβρες Le που έχουν πεπερασένης διάστασης ερητιανές αναπαραστάσεις οδηγώντας σε πεπερασένης διάστασης οναδιακές αναπαραστάσεις για την αντίστοιχη οάδα Le. Υποθέτουε επίσης ότι ο αριθός των γεννητόρων είναι πεπερασένος. Τέτοιες άλγεβρες Le ονοάζονται συπαγείς (compct), εξαιτίας αυτών των συνθηκών υποδηλώνεται ότι η οάδα Le είναι πεπερασένης διάστασης συπαγής πολλαπλότητα (Mnfold). 1. Μοναδιακοί ετασχηατισοί Ν-διάστατων ανυσάτων. Έστω ξ και η ιγαδικά Ν-ανύσατα. Ένας γενικός ετασχηατισός θα έχει τότε τη ορφή: 7

28 n Ubnb U b b ξ ξ Λέε ότι αυτός ο ετασχηατισός είναι οναδιακός (untry) αν διατηρεί το εσωτερικό γινόενο n ξ. Ο απλός ετασχηατισός φάσης: * ξ e ξ Από ια U(1) υποοάδα που ετατίθεται ε όλους τους άλλους ετασχηατισούς, διαγράφουε αυτή την υποοάδα για να γράψουε ια απλή οάδα Le, την επονοαζόενη SU(N) που αποτελείται από όλους τους NxN οναδιαίους ετασχηατισούς που ικανοποιούν την συνθήκη: det( U ) = 1 Οι γεννήτορες της SU(N) αναπαρίστανται από NxN ερητιανούς πίνακες t, αζί ε τη συνθήκη ότι είναι ορθογώνιοι στον γεννήτορα του ετασχηατισού, έχουε: tr t = 0 Υπάρχουν N 1ανεξάρτητοι γεννήτορες που ικανοποιούν αυτές τις συνθήκες. Ορθογώνιοι ετασχηατισοί Ν διάστατων ανυσάτων. Αυτή είναι η υποοάδα των NxN οναδιαίων ετασχηατισών που διατηρούν το συετρικό εσωτερικό γινόενο: δ nebξ b ε Eb = b 8

29 Αυτό είναι το συνηθισένο διανυσατικό γινόενο, και για αυτό η οάδα αυτή είναι η οάδα των στροφών στις Ν-διαστάσεις, SU(N). (Προσθέτοντας και την ανάκλαση έχουε την οάδα O(N).) Υπάρχει ια ανεξάρτητη στροφή που σχετίζεται ε το κάθε επίπεδο στις Ν- διαστάσεις, έτσι η SU(N) έχει N( N 1) / γεννήτορες. 3. Συπλεκτικοί ετασχηατισοί Ν-διαστατων ανυσάτων. Αυτή είναι η υποοάδα των NxN οναδιαίων ετασχηατισών, για Ν αρτιο, που διατηρούν το αντισυετρικό εσωτερικό γινόενο: nebξ b ε E b 0 1 = 1 0 Όπου τα στοιχεία του πίνακα είναι N/ x N/ blocs. Αυτή η οάδα ονοάζεται S p ( N ) και έχει N( N+ 1) / γεννήτωρες. Πέρα από αυτές τις 3 οικογένειες, υπάρχουν ακόη 5 άλγεβρες Le, που ορίστηκαν στο σύστηα Crtn σαν G, F4, E6, E7, E 8. Από αυτές, οι E 6 και E8βρίσκουν εφαρογή σαν οάδες τοπικής συετρίας σε ενδιαφέροντα ενοποιηένα πρότυπα των θεελιωδών αλληλεπιδράσεων. Τέλος πάντων, δεν θα ελετήσουε αυτές τις ειδικές οάδες περισσότερο σε αυτή την εργασία. Στην πραγατικότητα, τα περισσότερα παραδείγατα επλέκουν όνο SU(N) οάδες. 9

30 Αναπαραστάσεις Καθώς έχουε καθορίσει την οάδα τοπικής συετρίας, τα πεδία που εφανίζονται στην Lgrngn ετασχηατίζονται περισσότερο φυσικά σύφωνα ε ια πεπερασένης διάστασης οναδιαία αναπαράσταση αυτής της οάδας. Έτσι στα επόενα αναζητούε συστηατικά όλες αυτές τις αναπαραστάσεις των αλγεβρών Le. Ενθυούενοι ότι για την SU() οάδα, οι αναπαραστάσεις πορούν να κατασκευαστούν απευθείας από τις σχέσεις ετάθεσης, χρησιοποιώντας τελεστές ανάβασης και κατάβασης J + και J αντίστοιχα. Αυτή η κατασκευή πορεί να γενικευθεί για την εύρεση πεπερασένης διάστασης αναπαραστάσεων κάθε συπαγούς άλγεβρας Le. Σε αυτή την εργασία τέλος πάντων, θα ασχοληθούε ε σχετικά απλές αναπαραστάσεις των οποίων την δοή πορούε να εξάγουε ε λιγότερο φοραλιστικές εθόδους. Πριν συζητήσουε για τις αναπαραστάσεις των αλγεβρών Le, θα πρέπει να κάνουε ια ανασκόπηση ερικών γενικών όψεων των αναπαραστάσεων οάδας. Για δοσένη οάδα συετρίας G, ια πεπερασένης διάστασης αναπαράσταση των οάδων ε άλγεβρα Le είναι ένα σύνολο από d x d ερητιανούς πίνακες t που ικανοποιούν τις αντίστοιχες σχέσεις ετάθεσης. Το έγεθος d είναι η διάσταση της αναπαράστασης. Μια αυθαίρετη αναπαράσταση πορεί γενικά να αναλυθεί, βρίσκοντας ια βάση στην οποία όλες οι αναπαραστάσεις είναι ταυτόχρονα block-dgonl. Μέσω αυτής της αλλαγής βάσης, πορούε να γράψουε την αναπαράσταση σαν το ευθύ άθροισα από ηαναγώγιες (rreducble) αναπαραστάσεις. Ορίζουε τους πίνακες αναπαράστασης στην η-αναγώγιη αναπαράσταση r ε t. Είναι καθιερωένη πρακτική να προσαρόζουε ια συνθήκη κανονικοποίησης για τους πίνακες t r, η οποία να βασίζεται στα ίχνη των γινοένων τους. Αν η άλγεβρα Le είναι ηι-απλή, οι πίνακες t r είναι trceless. Σκεφτόενοι τέλος πάντων, το ίχνος του γινοένου δύο πινάκων γράφουε: r 30

31 tr t r, t r D b b b Καθώς οι πίνακες των γεννητόρων είναι ερητιανοί, ο πίνακας D είναι σίγουρα θετικός. Ας διαλέξουε ια βάση για τους γεννήτορες έτσι ώστε αυτός ο πίνακας να είναι ανάλογος της ονάδας. Μπορεί να δειχθεί ότι, αν αυτό ισχύει για ια η αναγώγιη αναπαράσταση, τότε είναι αλήθεια για όλες τις η αναγώγιες αναπαραστάσεις. Έτσι σε αυτή τη βάση: tr t r, t r = C( r) δ b b όπου C( r ) είναι ια σταθερά για κάθε αναπαράσταση r. Η παραπάνω εξίσωση αζί ε τις σχέσεις ετάθεσης οδηγούν στια ακόλουθες αναπαραστάσεις ε σταθερές δοής: { r, r r} f = tr t t t C( r) bc b c Αυτή η εξίσωση υποδηλώνει ότι το είναι τελείως αντισυετρικό. Για κάθε η αναγώγιη αναπαράσταση r της G, υπάρχει ια αντίστοιχη συζυγής αναπαράσταση r. Η αναπαράσταση r οδηγεί σε απειροστό ετασχηατισό: Φ + ( 1 t r) Φ 31

32 Το ιγαδικό συζυγές αυτού του ετασχηατισού είναι: Φ ( 1 ( t r ) ) Φ * * * πρέπει επίσης να είναι το απειροστό στοιχείο ιας αναπαράστασης της G. Έστι η συζυγής αναπαράσταση της r έχει πίνακες αναπαράστασης: ( r) ( r) * T = = r t t t * Επειδή ΦΦ είναι αναλλοίωτο σε οναδιακούς ετασχηατισούς, είναι πιθανό ο συνδυασός πεδίων ετασχηατιζοένων στις αναπαραστάσεις r και r να αποτελεί ια αναλλοίωτη οάδα. Είναι πιθανό η αναπαράσταση r να πορεί να είναι ισοδύναη ε την r, αν υπάρχει ένας οναδιακός ετασχηατισός U, τέτοιος ώστε: t r = Ut U r Υπό την προϋπόθεση ότι η αναπαράσταση r είναι πραγατική. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει ένας πίνακας τέτοιος ώστε, αν η και ξ ανήκουν στην αναπαράσταση r, ο συνδυασός: Gbnξ b 3

33 να είναι ένα αναλλοίωτο. Είναι χρήσιο ερικές φορές να ξεχωρίσουε την περίπτωση στην οποία G b είναι συετρικός από αυτή στην οποία G είναι αντισυετρικός. Στην πρώτη περίπτωση η αναπαράσταση είναι αυστηρά πραγατική, στην τελευταία είναι ψευτοπραγατική b (pseudorel). Και οι δύο περιπτώσεις συναντώνται ήδη στην SU(). Ο αναλλοίωτος συνδυασός δύο ανυσάτων είναι uw, έτσι το άνυσα b είαν πραγατική αναπαράσταση. Ο αναλλοίωτος συνδυασός δύο spnors είναι ε n ξ b, έτσι ο spnor είναι ια pseudoel αναπαράσταση. Με αυτή την γλώσσα πορούε να συζητήσουε τις απλούστερες αναπαραστάσεις των κλασικών οάδων. Στην SU(N), η βασική η αναγώγιη αναπαράσταση (που συχνά ονοάζεται θεελιώδης αναπαράσταση) είναι το Ν-διαστατο ιγαδικό άνυσα. Για Ν> αυτή η αναπαράσταση είναι ιγαδική, έτσι ώστε υπάρχει ια δεύτερη ισοδύναη, αναπαράσταση N. (Στην SU() αυτή η αναπαράσταση είναι η pseudorel spnor αναπαράσταση.) Στην SO(N), το βασικό Ν-διάστατο άνυσα είναι ια αυστηρά πραγατική αναπαράσταση. Στην S p ( N ), το βασικό Ν- διάστατο άνυσα είναι ια pseudorel αναπαράσταση. Μια άλλη η αναγώγιη αναπαράσταση, που εφανίζεται για κάθε απλή άλγεβρα Le, είναι αυτή στην οποία ανήκουν οι γεννήτορες της άλγεβρας. Αυτή η αναπαράσταση ονοάζεται Adjont representton και υποδηλώνεται από το r =G. Οι πίνακες της αναπαράστασης δίνονται από τις σταθερές δοής: b ( t G) c = f bc Με αυτό τον ορισό, η δήλωση ότι ικανοποιεί την άλγεβρα Le 33

34 ( t b, t c ) = f bcd ( t d ) G G G l l είναι απλά ια άλλη ορφή της ταυτότητας Jcob. Επειδή οι σταθερές δοής είναι πραγατικές και αντισυετρικές, t = ( t ) * έτσι η djont αναπαράσταση είναι πάντα ια πραγατική αναπαράσταση. Από τις περιγραφές των οάδων Le που δόθηκαν παραπάνω, η διάσταση της djont αναπαράστασης d( G ) δίνεται, για τις κλασικές οάδες, από: G G N 1 for SU ( N) d( G) = N( N 1) / for SO( N) N( N+ 1) / for S p ( N) bc Η ταυτοποίηση των f σαν πίνακες αναπαράστασης ας δίνει την δυνατότητα να δούε διορατικότερα κάποιες από τις ποσότητες που εισήχθησαν στα προηγούενα. Η συναλλοίωτη παράγωγος που δρα σε πεδίο, στην djont αναπαράσταση είναι: ( ) D Φ = Φ ga t Φ = Φ + gf A Φ b b bc b G c c c Έτσι πορούε να αναγνωρίσουε την απειροστή ορφή του ετασχηατισού βαθίδας ενός ανυσατικού πεδίου ως: 34

35 1 + ( ) A A D g Η εξίσωση κίνησης του πεδίου βαθίδας πορεί να ξαναγραφεί σαν: ( ) D Fν = gjν bc Και στις δύο αυτές εκφράσεις, οι όροι που φαίνονται αυθαίρετοι και περιλαβάνουν τις f προκύπτουν φυσικά σαν κοάτι της συναλλοίωτης παραγώγου. Μια επιπρόσθετη ταυτότητα που εξάγεται από την αντισυετρικότητα του διπλού εταθέτη των συναλλοίωτων παραγώγων είναι: [ ] νλσ ε Dν, Dλ, Dσ Αυτή η ποσότητα ηδενίζεται από την ολική της αντισυετρία, όοια ε τα προηγούενα. Αυτό το αποτέλεσα πορεί να συπτυχθεί στην ταυτότητα: ( D F ) 0 νλσ ε ν λσ = 35

36 Αυτή η εξίσωση, που ονοάζεται ταυτότητα Bnch ιας Αβελιανής θεωρίας βαθίδας, είναι ένα ανάλογο των οογενών εξισώσεων Mxwell της ηλεκτροδυναικής. Ο Τελεστής Csmr Στην SU() χαρακτηρίσαε τις αναπαραστάσεις από την ιδιοτιή του συνολικού του συνολικού spn άλγεβρα Le, ο τελεστής T = T T ετατίθεται ε όλους τους γεννήτορες της οάδας: J. Στην πραγατικότητα, για κάθε απλή ( ) ( ) { } T, T T = f T T + T f T = f T, T b bc c bc c bc c η οποία ηδενίζεται από την αντισυετρία των bc f. Με άλλα λόγια, το T είναι ένα αναλλοίωτο της άλγεβρας. Αυτό υποδηλώνει ότι το T παίρνει ια σταθερή τιή σε κάθε η αναγώγιη αναπαράσταση. Έτσι ο πίνακας αναπαράστασης του T είναι ανάλογος του οναδιαίου πίνακα: t ( ) rt r = C r I όπου Ι είναι ο d( r) d( r) οναδιαίος πίνακας, και C ( ) r ια σταθερά που ονοάζεται δευτεροβάθιος τελεστής Csmr, για κάθε αναπαράσταση. Για την djont αναπαράσταση, η παραπάνω σχέση είναι βολικό να γραφεί σαν: 36

37 f f = C ( ) G δ cd bcd b Τελεστές Csmr εφανίζονται πολύ συχνά στους υπολογισούς επάνω στις η Αβελιανές θεωρίες βαθίδας. Επιπροσθέτως, το αντίστοιχο αναλλοίωτο C( r ) σχετίζεται απλά ε τον τελεστή Csmr. Κατά αντιπαραβολή των παραπάνω σχέσεων βρίσκουε: d( r) C ( r) = d( G) C( r) Έτσι θα ήταν χρήσιο να υπολογίσουε το C ( ) r για τις απλούστερες SU(N) αναπαραστάσεις. Για την SU(), η θεελιώδης -διαστατη αναπαράσταση είναι η spnor αναπαράσταση η οποία δίνετε σε όρους πινάκων του Pul από τις: t σ = Αυτές ικανοποιούν την σχέση: 1 tr t, t = δ b b Θα διαλέξουε τους γεννήτορες της SU(N) έτσι ώστε 3 από αυτούς να είναι οι αντίστοιχοι του Pul, δηλαδή αυτοί που θα δρουν στις δυο πρώτες συνιστώσες του Ν ανύσατος ξ. Μετά για κάθε πίνακα της θεελιώδους αναπαράστασης έχουε: 37

38 1 tr tn, tn = δ b b Αυτή η σύβαση καθορίζει τις τιές των C( r ) και C ( ) r για όλες τις η αγώγιες αναπαραστάσεις της SU(N). Για τις θεελιώδεις αναπαραστάσεις Ν και N, η C( N ) και η C ( N ) είναι: 1 C( N ) =, C ( N) = N 1 N Για να υπολογίσουε τον τελεστή Csmr για την djont αναπαράσταση, κτίζουε αυτή την αναπαράσταση από το γινόενο των Ν και N. Ας συζητήσουε πρώτα το γινόενο από η αναγώγιες αναπαραστάσεις περισσότερο γενικά. Το ευθύ γινόενο δύο αναπαραστάσεων r 1 και r είναι ια αναπαράσταση διάστασης d( r1 ) d( r ). Ένα αντικείενο που ετατίθεται σύφωνα ε αυτή την αναπαράσταση πορεί να γραφεί σαν ένας τανυστής Ξ pq, στο οποίο ο πρώτος δείκτης ετατίθεται σύφωνα ε την r 1 και ο δεύτερος σύφωνα ε την r. Γενικά τέτοια γινόενα πορούν να αναλυθούν σε ένα ευθύ άθροισα από η αναγώγιες αναπαραστάσεις. Συβολικά, γράφουε: Οι πίνακες αναπαράστασης στην αναπαράσταση r 1 r είναι: r1 r = r t = t 1+ 1 t r1 r r1 r 38

39 όπου ο πρώτος πίνακα του κάθε γινοένου δρα στον πρώτο δείκτη του Ο τελεστής Csmr στην αναπαράσταση του γινοένου είναι: Ξ pqκαι ο δεύτερος πίνακας δρα πάνω στον δεύτερο δείκτη. ( t r r ) = ( t r ) 1+ t r t r + 1 ( t r ) Παίρνουε το ίχνος, ιας και οι t r1 είναι trceless, το ίχνος του δεύτερου όρου είναι ηδέν. Τότε: ( r r ) = ( + ) tr t C ( r ) C ( r ) d( r ) d( r ) από την άλλη εριά έχουε ότι: ( ) 1 = tr t C ( ) ( ) r d r Από τις δύο τελευταίες βρίσκουε ια χρήσιη ταυτότητα για το C ( r ). r r Τώρα εφαρόζουε αυτή την ταυτότητα για το γινόενο των αναπαραστάσεων Ν και N της SU(N). Σε αυτή την περίπτωση, ο τανυστής pq Ξ pq πορεί να περιέχει έναν όρο αντίστοιχο του αναλλοίωτου N 1 ανεξάρτητες συνιστώσες Ξ pq δ. Οι εναποένουσες ( ) 39

40 ετασχηατίζονται σαν γενικοί trceless ΝxN τανυστές. Οι πίνακες που έχουν αυτούς τους ετασχηατισούς συγκροτούν την djont αναπαράσταση της SU(N). Σε αυτή την περίπτωση έχουε: ( ) N N = 1+ N 1 Για αυτή την αποσύνθεση ε βάση τις παραπάνω σχέσεις οδηγούαστε στην ταυτότητα: Έτσι για την SU(N): N 1 N = 0 + C( G) N 1 N C ( G) = C( G) = N ( ) Τα παραδείγατα που συζητήσαε σε αυτή την παράγραφο, συνδυαζόενα ε βασικές οαδοθεωρητικές έννοιες που περιγράψαε, επεριέχουν ήδη αρκετή πληροφορία έτσι ώστε να ανταπεξέλθουε στους σηαντικούς υπολογισούς φυσικού ενδιαφέροντος στις η Αβελιανές θεωρίες βαθίδας. 40

41 Θεωρίες Βαθίδας ε Αυθόρητη Ρήξη Συετρίας (S.S.B) Σε αυτή την εργασία έχουε συζητήσει τρία διαφορετικά είδη στα οποία οι συετρίες πορούν να πραγατωθούν σε ια κβαντική θεωρία πεδίου. Η απλούστερη περίπτωση είναι η καθολική συετρία η οποία είναι προφανής, οδηγώντας σε πολλαπλέτες σωατιδίων ε καθορισένες αλληλεπιδράσεις. Μια δεύτερη πιθανότητα είναι ια καθολική συετρία που σπάει αυθόρητα. Μετά τα ρεύατα συετρίας δεν σέβονται τη συετρία και τα σωατίδια δεν συνθέτουν προφανείς συετρικές πολλαπλέτες. Αντ αυτού, ια τέτοια θεωρία περιέχει άαζα σωατίδια, τα ποζόνια Goldstone, ένα για κάθε γεννήτορα της αυθόρητα σπασένης συετρίας. Η Τρίτη περίπτωση είναι αυτής της τοπικής συετρίας ή συετρίας βαθίδας. Όπως είδαε και στο πρώτο κεφάλαιο, ια τέτοια συετρία απαιτεί την ύπαρξη ενός άαζου διανυσατικού πεδίου για κάθε γεννήτορα της συετρίας, και οι αλληλεπιδράσεις ανάεσα σε αυτά τα πεδία είναι ισχυρά καθορισένες. Έχει γίνει τώρα φυσικό να αναρωτηθούε για ένα τέταρτο ενδεχόενο: Τι συβαίνει, αν εισάγουε και την τοπική αναλλοιώτητα βαθίδας και την αυθόρητη ρήξη συετρίας στην ίδια θεωρία? Σε αυτό το κεφάλαιο, θα βρούε ότι αυτός ο συνδυασός από συστατικά οδηγεί σε νέες δυνατότητες στην κατασκευή προτύπων κβαντικών θεωριών πεδίου. Θα δούε ότι το φαινόενο του αυθόρητου σπασίατος συετρίας προϋποθέτει διανυσατικά ποζόνια βαθίδας που αποκτούν άζα. Τέλος πάντων, οι αλληλεπιδράσεις αυτών των ποζονίων ε άζα είναι ακόη δεσευένες από την παραπάνω συετρία βαθίδας, και αυτές οι συσχετίσεις πορούν να έχουν παρατηρήσιες συνέπειες. Στη φυσική των στοιχειωδών σωατιδίων, η εφαρογή της αρχής της αυθόρητης ρήξης τοπικής συετρίας είναι το τρέχον αποδεκτό πρότυπο των ασθενών αλληλεπιδράσεων. Αυτό το πρότυπο που οφείλεται στους Glshow, Wenberg, και Slm εισάγεται στα επόενα. Εκεί θα δούε ότι το πρότυπο αυτό δίνει ένα σύνολο από ακριβείς και επιτυχείς προβλέψεις για τα φαινόενα που απαντώνται στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις. Είναι αξιοσηείωτο, ότι το πρότυπο αυτό επίσης ενοποιεί τις ασθενείς αλληλεπιδράσεις ε τον ηλεκτροαγνητισό σε ια απλή εγαλύτερη θεωρία βαθίδας. 41

42 Ο Μηχανισός Hggs. Σε αυτό το σηείο αναλύουε ερικά απλά παραδείγατα θεωριών βαθίδας ε αυθόρητη ρήξη συετρίας. Αρχίζουε ε ια Αβελιανή θεωρία βαθίδας και ετά ελετώνται διάφορα παραδείγατα από η Αβελιανά πρότυπα. Ένα Αβελιανό παράδειγα Σαν πρώτο παράδειγα ας υποθέσουε ότι έχουε ένα ιγαδικό βαθωτό πεδίο που συζευγνύται και ε τον εαυτό του και ε το ηλεκτροαγνητικό πεδίο. Για ένα τέτοιο πεδίο έχουε την Lgrgn: 1 L= F + D Φ V Φ 4 ( ν ) ( ) ( ) ε D = + ea Αυτή η Lgrngn είναι αναλλοίωτη κάτω από τοπικούς U(1) ετασχηατισούς: Φ ( x) ( x) e Φ ( x) 4

43 1 A A ( x) e Αν διαλέξουε το δυναικό στη L να έχει την ορφή: V λ * * ( Φ ) = ΦΦ + ( ΦΦ ) ε >0, το πεδίο Φ θα αποκτήσει αναενόενη τιή στο κενό και η U(1) καθολική συετρία θα σπάσει αυθόρητα. Το ελάχιστο αυτού του δυναικού συντελείται στο: 1/ Φ =Φ 0 = λ η σε κάθε άλλη τιή που σχετίζεται ε την U(1) συετρία. Ας αναπτύξουε την Lgrngn γύρω από την κατάσταση του κενού. Αναλύουε το ιγαδικό πεδίο ως: 1 Φ ( x) =Φ 0+ Φ 1( x) + Φ ( x) ( ) 43

44 Το δυναικό ξαναγράφεται : V ( ) λ 4 3 ( Φ ) = + Φ + O Φ έτσι ώστε το πεδίο Φ ( x) να αποκτά άζα: 1 m = και το πεδίο Φ ( x) να είναι το ποζόνιο Goldstone. Αλλά τώρα ας αναρωτηθούε πως ο όρος της κινητικής ενέργειας του Φ ετασχηατίζεται. Μπορούε να γράψουε τον όρο της κινητικής ενέργειας του Φ ως: 1 1 D Φ = Φ 1 + Φ + eφ0 A Φ + e Φ 0 A A +... ( ) ( ) ( ) όπου έχουε παραλείψει όρους κυβικούς και τέταρτης τάξης των πεδίων A και άζας για το φωτόνιο: Φ. Ο τελευταίος όρος που εφανίζεται στην L είναι ο όρος 1 L= m A A A όπου η άζα: m = e Φ A 0 44

45 Πρέπει να σηειωθεί ότι το πρόσηο αυτού του όρου είναι το σωστό, οι φυσικές χωρικές συντεταγένες του A εφανίζονται ως: ε το σωστό τρόπο για έναν όρο δυναικές ενέργειας. 1 L= ma A ( ) Όπως έχουε δει για την η Αβελιανή περίπτωση, χρησιοποιούε το επιχείρηα ότι ένα ποζόνιο βαθίδας δεν πορεί να αποκτήσει άζα, εκτός αν αυτός ο όρος σχετίζεται ε κάποιον πόλο στο πλάτος σκέδασης του κενού. Ένα πρότυπο ε ια συνεχή συετρία που σπάει αυθόρητα πρέπει να έχει άαζα Goldstone ποζόνια. Αυτά τα βαθωτά σωατίδια έχουν τους κβαντικούς αριθούς των ρευάτων της συετρίας και για αυτό έχουν ακριβώς τους σωστούς κβαντικούς αριθούς για να εφανίζονται σαν ενδιάεσες καταστάσεις στην πόλωση του κενού. Στο πρότυπο που τώρα συζητούε, πορούε να δούε τους πόλους που προκύπτουν ε σαφήνεια ε τον παρακάτω τρόπο: ο όρος κορυφής που συζευγνει το ποζόνιο βαθίδας ε το ποζόνιο Goldstone είναι: ( ) e k m k Φ0 = A Αν αντιετωπίσουε τον όρο άζας σαν ια κορυφή στη θεωρία διαταραχών, τότε ο κυρίαρχος όρος που συνεισφέρει στο πλάτος πόλωσης του κενού δίνει την έκφραση: m g ( m k ) ( m k ) m g k k k k ν ν ν ν A + A A = A 45

46 Παρόλο το γεγονός ότι το Goldstone παίζει σηαντικό ρόλο στην θεωρία, δεν εκφράζει κάποιο φυσικό σωατίδιο και πορούε να το αποακρύνουε ε κατάλληλη επιλογή της βαθίδας, δηλαδή να διαλέξουε το ( x ) ε τέτοιο τρόπο ώστε το Φ να παίρνει πραγατικές τιές. Με αυτή την επιλογή η Lgrngn γίνεται: 1 L= F Φ + e Φ A A V Φ 4 ( ν ) ( ) ( ) Αλγόριθος του Μηχανισού Hggs. Ο ηχανισός Hggs επεκτείνεται αυτόατα και σε συστήατα ε η Αβελιανές συετρίες βαθίδας. εν είναι δύσκολο να παράγουε την γενική σχέση από την οποία ένα σύνολο από αναενόενες τιές στο κενό βαθωτών πεδίων, οδηγεί στην εφάνιση άζας για τα ποζόνια βαθίδας. Ας εξάγουε αυτή τη σχέση και ετά ας την εφαρόσουε σε ερικά παραδείγατα. Έστω λοιπόν ότι έχουε ένα σύνολο από βαθωτά πεδία από τον ετασχηατισό: Φ, και ια L αναλλοίωτη σε ια συνεχή οάδα συετρίας G, η οποία αναπαρίσταται Φ + ( 1 t ) j Φ j 46

47 Για τους γεννήτορες της οάδας γράφουε: t j = T j Αν προάγουε την οάδα συετρίας σε ια τοπική συετρία βαθίδας, τότε η συναλλοίωτη παράγωγος των Φ θα είναι: ( ) ( ) D Φ= ga t Φ= + ga T Φ Άρα ο όρος κινητικής ενέργειας θα είναι: 1 1 b b ( D Φ ) = ( Φ ) + ga ( ΦT jφ j) + g A A ( T Φ) ( T Φ ) Ας αφήσουε τώρα τα Φνα αποκτήσουν αναενόενες τιές στο κενό, τότε ο τελευταίο όρος έχει δοή όρου άζας και ας δίνει: 1 b L= mb A A 47

48 ε τον πίνακα άζας να είναι: b b ( 0) ( 0) m = g T Φ T Φ κάθε διαγώνιο στοιχείο του πίνακα έχει τη ορφή: ( ) m = g T Φ 0 0 Έτσι, γενικεύοντας, όλα τα ποζόνια βαθίδας θα αποκτήσουν θετικές άζες. Όως πορεί ερικοί συγκεκριένοι γεννήτορες αφήνουν αναλλοίωτο το κενό: T της G να T Φ 0 = 0 Σε αυτή την περίπτωση, οι γεννήτορες παραένει άαζο. T δεν συνεισφέρουν στην προηγούενη εξίσωση και το αντίστοιχο ε αυτούς ποζόνιο βαθίδας Εισάγουε λοιπόν την αναενόενη τιή στο κενό στον δεύτερο όρο της L και έχουε για τον όρο αλληλεπίδρασης: L g A T ( 0) = Φ Φ 48

49 Μη Αβελιανά Παραδείγατα. Ας εφαρόσουε τώρα τον γενικό φοραλισό σε συγκεκριένα παραδείγατα. Έστω ότι έχουε σαν οάδα συετρίας την SU(). Η συναλλοίωτη παράγωγος που δρα στο Φ είναι: D ( ga ) Φ= Φ τ όπου: σ τ = Το τετράγωνο αυτής της έκφρασης δίνει τον όρο της κινητικής ενέργειας για το πεδίο Φ. Αν το Φ αποκτά ια αναενόενη τιή στο κενό, πορούε να χρησιοποιήσουε την ελευθερία της SU() στις στροφές για να γράψουε αυτή την αναενόενη τιή ως: 1 0 Φ = υ Μετά το ποζόνιο βαθίδας παίρνει άζα από τον όρο: 49

50 1 b 0 b ( υ) τ τ D Φ = g 0 A A +... υ ε τη βοήθεια των σχέσεων: { τ, τ } 1 = δ b b ο όρος άζας γίνεται: g υ b L= A A 8 άρα όλα τα ποζόνια βαθίδας παίρνουν άζα: m A = gυ ηλαδή και οι τρεις γεννήτορες της SU() σπάνε ε τον ίδιο τρόπο. 50

51 Τι συβαίνει όως αν πάρουε το Φ να ετασχηατίζεται σύφωνα ε την διανυσατική αναπαράσταση της SU(). Τότε πρέπει να εισάγουε την συναλλοίωτη παράγωγο: D Φ = Φ + gε A τ Φ b bc c Παίρνοντας το τετράγωνο αυτού του όροι έχουε τον όρο της κινητικές ενέργειας και από εκεί έχουε για τον όρο άζας: 1 g b L= D Φ = ( ε bc A ( Φ 0) ) +... c Αν ένα διάνυσα της SU() αποκτά ια αναενόενη τιή στο κενό Φ 0, και διαλέξουε τις συντεταγένες ας έτσι ώστε στην διεύθυνση 3 να παραένει αναλλοίωτο, έχουε: c ( ) Φ = Φ = Vδ 0 c c3 και από εδώ βρίσκουε για τον όρο άζας: ( ) g g L= V A = V A + A 1 1 b ( ε b3 ) ( ) ( ) 51

52 Έτσι τα ποζόνια που σχετίζονται ε τους γεννήτορες 1 και αποκτούν άζες: m1 = m = gv ενώ το ποζόνιο που αντιστοιχεί στον γεννήτορα 3 παραένει άαζο. Και είναι δελεαστικό να ερηνεύσουε αυτό το πρότυπο σαν ένα πρότυπο που περιγράφει το φωτόνιο, όως η φύση έχει διαλέξει έναν διαφορετικό από αυτόν τρόπο. Προχωράε σε ένα ποιο πολύπλοκο παράδειγα. Ας υποθέσουε ια SU(3) θεωρία βαθίδας ε ένα βαθωτό πεδίο στην djont αναπαράσταση. Η συναλλοίωτη παράγωγος του πεδίου Φ παίρνει την ορφή: D Φ = Φ + gf A Φ bc b c και έτσι η άζα του πεδίου βαθίδας προκύπτει από τον όρο: g L= f A bc b ( Φ c) πορούε να γράψουε το παραπάνω περισσότερο καθαρά, ορίζοντας την ποσότητα: Φ=Φ t c c 5

53 όπου t c είναι οι 3x3 trceless ερητιανοί πίνακες που αναπαριστούν τους γεννήτορες της SU(3). Μπορούε να γράψουε λοιπόν για τον όρο άζας: b b L= gtr t, t, Φ Φ A A διότι: t, Φ =Φ c t, t = Φc f t c cb b b t, Φ = Φc f t bc b cb bc b t, Φ t, Φ = f f t t Φ c tr t t f f δ b cb bc 1 b, Φ, Φ = Φc Άρα: 53

54 1 g L= g Φ f f A A = f A Φ cb bc b b b c δ bc c ( ) Ας βάλουε τώρα το Φ να αποκτά ια αναενόενη τιή στο κενό : Φ =Φ 0 Ξέρουε ότι το Φ 0 είναι trceless και διαλέγουε τον προσανατολισό: 1 Φ 0 = Φ Αυτός ο πίνακας ετατίθεται ε τους 4 γεννήτορες της SU(3): 54

55 t 1 τ 0 1 =, t 8 = Έτσι η αναενόενη τιή στο κενό, σπάει την SU(3) σε SU()xU(1) και αφήνει τα ποζόνια που αντιστοιχούν σε αυτούς τους 4 γεννήτορες άαζα. Οι εναποείναντες γεννήτορες της SU(3) : t = t = t = t =

56 αποκτούν άζα m = ( 3g Φ ) Ας ελέγξουε το παραπάνω για έναν από αυτούς, έχουε: Φ t, Φ 0 = Φ Φ t, Φ 0 = =

57 Φ t, Φ 0 t, Φ 0 = Φ 1 g tr t, 0 t, Φ Φ 0 = g ( 18) = g 9Φ 4 Άρα: m = ( 3g Φ ) Μια άλλη πιθανή έκφραση για το Φ 0 είναι: 1 Φ 0 = Φ Σε αυτή την περίπτωση όνο οι 3 t και 8 t ετατίθενται ε το 0 Φ, έτσι η αρχική SU(3) σπάει σε U(1)xU(1). Με αντικατάσταση, πορούε να προσδιορίσουε ότι τα ποζόνια βαθίδας που αντιστοιχούν στους εναποείναντες γεννήτορες της SU(3) αποκτούν άζες: 57

58 1 t, t : m g ( ) = Φ ( ) t, t, t, t : m = g Φ Ακόη εγαλύτερες οάδες συετρίας προσφέρουν ια ευρύτερη ποικιλία από πρότυπα σπασίατος συετρίας, και ποιο πολύπλοκους πίνακες άζας. Τυπική Περιγραφή του Μηχανισού Hggs Από το σηείο αυτό, η ελέτη ας για τον Μηχανισό Hggs έχει βασιστεί στην ανάλυση της Lgrngn βαθωτού πεδίου που συζεύγνυται ε τα πεδία βαθίδας. Θεωρίες βαθωτών πεδίων παρέχουν τα απλούστερα παραδείγατα συστηάτων ε αυθόρητη ρήξη συετρίας, και οι ακριβείς υπολογισοί που αφήνουν είναι χρήσιοι για νοητικές συλλήψεις. Για να αντεπεξέλθουε σε αυτή την ανάλυση, θα χρειαστεί να εισάγουε διάφορες ιδέες από την παραπάνω συζήτηση. Αρχικά θα συζητήσουε σε γενικούς όρους τις σχέσεις ανάεσα στα ποζόνια βαθίδας και τα Goldstone bosons, και τα καθολικά ρεύατα. Μετά θα χρησιοποιήσουε αυτή την πληροφορία για να κατασκευάσουε τον πίνακα άζας για τα guge bosons χωρίς να κάνουε απευθείας χρήση της Lgrngn. Έστω ότι αρχικά έχουε ια τυχαία θεωρία πεδίου L 0ε ια καθολική συετρία G. Μπορούε να παράγουε το ρεύα Noether που σχετίζεται ε την συετρία G εταβάλλοντας την Lgrngn έσω ενός τοπικού ετασχηατισού βαθίδας ε απειροστή παράετρο ( x ). Η ποιο γενική εταβολή της L0πρέπει να παίρνει τη ορφή: 58

59 για κάποια σύνολα ανυσατικών τελεστών Η αρχή των εταβολών ας λέει: 0 ( ) δ L = J J που κτίζονται από τα πεδία της L 0. πορούε να ορίσουε τα J = J σαν τα ρεύατα Noether της καθολικής συετρίας βαθίδας. 0 Προάγουε τώρα τη θεωρία ας από globl σε locl. Η Lgrngn σε όρους τάξης g παίρνει την ορφή: L= L + ga J + O A 0 ( ) προσθέσαε αυτόν τον όρο για να αντισταθίζεται η εταβολή εξαιτίας του ετασχηατισού του Αν η globl συετρία για την L 0 είναι spontneously broken τότε αυτή η θεωρία περιέχει Goldstone bosons. Και εδώ ο δηιουργίας η καταστροφής Goldstone bosons από το κενό 0 A. J είναι τελεστής 59

60 Έστω η κατάσταση του Goldstone boson να είναι η αντίστοιχο στοιχείο πίνακα είναι: π k το J όπως είπαε πορεί να δηιουργεί ή να καταστρέφει Goldstone bosons, και το 0 J ( x) π ( p) = p F e px k k όπου F k είναι ένας πίνακας από σταθερές. Τα στοιχεία του F k ηδενίζονται όταν τα α υποδηλώνουν έναν γεννήτορα που αντιστοιχεί σε η σπασένη συετρία. Τα στοιχεία του F k που δεν ηδενίζονται συνδέουν τα ρεύατα της συετρίας που σπάει αυθόρητα ε τα αντίστοιχα Goldstone bosons. Επειδή τα ρεύατα διατηρούνται έχουε: 0= 0 ( ) ( ) = px J x π k p p F ke δηλαδή τα στοιχεία του πίνακα που δεν ηδενίζονται ικανοποιούν τη σχέση άλλη ια απόδειξη του θεωρήατος Goldstone. p = 0, κάτι που συνεπάγεται ότι είναι mssless, και αυτή είναι Για τη βαθωτή θεωρία: J = Φ T Φ j j εισάγοντας την αναενόενη τιή στο κενό έχουε: 60

61 J ( T 0) = Φ Φ και οδηγούαστε στα στοιχεία πίνακα: ( 0) 0 J ( x) Φ ( p) = p T Φ e px και από αυτή τη σχέση πορούε να ορίσουε: F =Φ για τον ηχανισό Hggs στην ασθενή σύζευξη βαθωτού πεδίου. Ο δείκτης τρέχει τις συνιστώσες του πεδίου. 0 j Αν πάρουε ξανά την περίπτωση της SU() και διαλέξουε την κατεύθυνση 3, έτσι ώστε να αφήνει το κενό αναλλοίωτο, τότε οι γεννήτορες 1 και T είναι spontneously broken και οι συνιστώσες του πεδίου Φ και Φ σχετίζονται ε τα Goldstone bosons, και χρησιοποιώντας ότι: 0 b3 βρίσκουε ότι: ( ) T Φ = ε Φ = Vε και το αντίστοιχο πλάτος πόλωσης του κενού θα είναι: 0 b bc ( T ) bc = ε bc 1 T 61

62 ν ν k k g m + O( k ) k Το πλάτος ετατροπής ενός ποζονίου βαθίδας σε Goldstone boson είναι: ( b ) gk F j Η συνεισφορά του πόλου κ = 0 στην πόλωση του κενού είναι: k ν b ( gk F j) ( gk F j) Συνδυάζοντας την παραπάνω ε το αντίστοιχο αποτέλεσα που είχαε βρει βρίσκουε : m b g ν k k k ν m = g F F b b j j Έτσι στην περίπτωση που η συετρία σπάει από το βαθωτό πεδίο, αυτό το αποτέλεσα γίνεται: b b ( 0) ( 0) m = g T Φ T Φ 6

63 Η θεωρία των Glshow Wenberg Slm για τις ασθενείς αλληλεπιδράσεις Τώρα πλέον, ετά την απαραίτητη εισαγωγή στις έννοιες των τοπικών συετριών, και της αυθόρητης ρήξης αυτών, είαστε έτοιοι να γράψουε την spontneously broken θεωρία βαθίδας που δίνει τη σωστή πειραατική περιγραφή των ασθενών αλληλεπιδράσεων. Ένα πρότυπο το οποίο εισήχθη από τους Glshow, Wenberg και Slm. Όπως το προηγούενο πρότυπο της SU() που είδαε, αυτό το πρότυπο ας δίνει ια ενοποιηένη περιγραφή των ασθενών ε τις ηλεκτροαγνητικές αλληλεπιδράσεις, στις οποίες το άαζο φωτόνιο αντιστοιχεί σε έναν συνδυασό των γεννητόρων της συετρίας που δεν έχουν σπάσει. Ξεκινάε ξανά ε ια SU() θεωρία βαθίδας. Για να σπάσει αυτή η συετρία αυθόρητα εισάγουε ένα βαθωτό πεδίο στην spnor αναπαράσταση της SU(). Όως ξέρουε ότι η θεωρία αυτή οδηγεί σε άαζα ποζόνια. Για το λόγω αυτό εισάγουε και ια U(1) συετρία βαθίδας. Και κάτω από αυτή τη συετρία προσθέτουε στο βαθωτό πεδίο φορτίο +1/. Έτσι ο συνολικός ετασχηατισός βαθίδας είναι: Φ e Αν το βαθωτό πεδίο αποκτά ια αναενόενη τιή στο κενό της ορφής: τ e β / Φ τότε ο ετασχηατισός βαθίδας ε = = 0 και Φ = υ = β αφήνει το Φ αναλλοίωτο. Η θεωρία θα περιέχει ένα άαζο ποζόνιο βαθίδας, που αντιστοιχεί σε αυτό το συνδιασό γεννητόρων. Τα εναποείναντα ποζόνια βαθίδας θα αποκτήσουν άζες έσω του ηχανισού Hggs. 63

64 Μάζες των ποζονίων Βαθίδας. Σύφωνα ε τα προηγούενα η συναλλοίωτη παράγωγος για την SU () U (1) είναι: 1 Φ= Φ ' D ga τ g B διότι οι παράγοντες των οάδων βαθίδας SU () και U (1) ετατίθενται εταξύ τους, και έχουν διαφορετικές σταθερές σύζευξης. Οπότε για τους όρους άζας έχουε: L= ga + g B ga + g B υ ' b b ' 0 ( 0 υ) τ τ και βάζοντας σ τ = βρίσκουε: 64

65 υ 1 L= g A + g A + ga + g B 4 ( ) ( ) ( ) 1 3 ' και ορίζοντας συνδυασούς πεδίων, αντιστοιχούε τους συντελεστές που προκύπτουν στις άζες: 1 1 W ± = ( A m A ) ε άζα mw = g υ 1 ( ) 0 3 ' Z = ga g B ' g + g ε άζα ' mz = g + g υ 1 A = ga g B ' + g + g 3 ' ( ) ε άζα m A = 0 Αν θέλουε να αντιστοιχίσουε το A ε το ηλεκτροαγνητικό πεδίο θα πρέπει να το αντιστοιχίσουε ε το αντίστοιχο φορτίο της U(1) το Υ. Και η συναλλοίωτη παράγωγος θα γίνει: 65

66 τ ' D = ga g YB ε τα W ± και Z, A και τους αντίστοιχους γεννήτορες έχουε: g 1 gg D = W T + W T Z g T g Y A T Y ' ' + g + g g + g 1 όπου T ± = ( T ± T ) ' + + ( ) ( 3 ' ) ( 3 ) 3 Από την παραπάνω συναλλοίωτη παράγωγο φαίνεται ότι το A συζεύγνυται ε το ( T Y) Για να ταυτίσουε τα παραπάνω ε τον ηλεκτροαγνητισό θέτουε το φορτίο του ηλεκτρονίου ως: + που ας δίνει το φορτίο. e= g gg ' + g ' το οποίο έχει πλέον κβαντικό αριθό : 3 Q= T + Y και αν ορίσουε ια γωνία ίξης θwθα έχουε: 66

67 Z cosθ = A snθw snθ 0 3 W W cosθ W A B όπου cosθ W = g g + g ' και snθ W = g g ' + g ' και ο όρος σύζευξης για το 0 Z γίνεται: ( ) g T 3 g ' Y = g + g ' T 3 g ' Q Με βάση τα παραπάνω πορούε να ξαναγράψουε την συναλλοίωτη παράγωγο ως: g g D = W T + W T Z T Q ea T + Y cosθ ( ) ( sn θw ) ( ) W όπου e g = snθ W 67

68 και οι άζες των W, Z συνδέονται ως εξής: m = cosθ m W W Z Σύζευξη ε τα φεριόνια. Η τελευταία συναλλοίωτη παράγωγος καθορίζει την ζεύξη των W, Z ε τα φεριόνια. Τα W ποζόνια κάνουν ζεύξη όνο ε αριστερόστροφης ελικότητας qurks και leptons. Γράφουε για την κινητική ενέργεια των φεριονίων: Ψ Ψ=Ψ L Ψ L+Ψ R Ψ R Έχουε διαφορετικό υπερφορτίο για τις αριστερόστροφες και δεξιόστροφες συνιστώσες των qurks και leptons. Για τα δεξιόστροφα άρα Q= Y. Έτσι για το u R έχουε Y =+ / 3και για το e R Y = 1. Για τα αριστερόστροφα πεδία έχουε: 3 T = 0 E L ve = e L Q L u = d L 68

69 ε Y = 1/ και Y =+ 1/ 6 αντίστοιχα, και 3 1 T =± ανάλογα ε την θέση τους. Για τις άζες των φεριονίων δεν πορούε να γράψουε όρους της ορφής: ( ) L= m e e + e e e L L R R γιατί δεν είναι guge αναλλοίωτος, και αυτό συβαίνει επειδή τα αριστερόστροφα και δεξιόστροφα (π.χ. ηλεκτρόνια) ανήκουν σε διαφορετικές αναπαραστάσεις της SU() και έχουν διαφορετικά U(1) φορτία. Αν αγνοήσουε τις άζες των φεριονίων, η Lgrngn για τις ασθενείς αλληλεπιδράσεις θα έχει για τους όρους κινητικής ενέργειας τη ορφή: L EL D = ( ) EL+ er( D) e R + Q L ( D) QL+ ur( D) u R + d R ( D) d R όπου για παράδειγα: Αν αντικαταστήσουε τις συναλλοίωτες παραγώγους έχουε: QL 1 ' ( D) Q = Q γ ga τ g B Q 6 L L L L( ) EL+ er( ) e R + Q L ( ) QL+ ur( ) u R + d R ( ) ( Z ) E. M L= E + g W J + W J + Z J + ea J d R + 69

70 όπου: ( Lγ L Lγ L) 1 J + = v e + u d ( Lγ L Lγ L) 1 J = e v + d u J = [ v γ v + e γ + sn θ e + e γ sn θ e ( ) Z L L L W L R W R cosθw 1 + u γ sn θ u + u γ sn θ u d γ + θ d + d γ θ d 3 3 L W L R W R L sn W L R sn W R ] 1 J E. M = eγ ( 1) e+ uγ u+ dγ d

71 Όροι άζας των Φεριονίων. Γυρίζουε τώρα στο πρόβληα ανεύρεσης όρων άζας για τα φεριόνια. Με τους γνωστούς κβαντικούς αριθούς, ο αναλλοίωτος βαθωτός όρος που πορούε να γράψουε είναι: Αντικαθιστούε το Φ ε την αναενόενη τιή του στο κενό : L = λ E Φ u + h. c e e L R 1 0 υ Φ 0 = και έχουε: 1 Le = λυ e eler+ h. c από όπου βλέπουε ότι: m e = 1 λυ e Για τα qurks έχουε: b L = λ Q Φd λε Q Φ u + h. c q d L R u L b R 71

72 αντικαθιστώντας την αναενόενη τιή στο κενό οδηγούαστε στο: 1 1 Lq = λυ d dldr λυ u ulur+ h. c Άρα οι άζες θα είναι: m d 1 = λυ d και m u = 1 λυ u Το Μποζόνιο Hggs. Όπως είδαε σε όλα τα προηγούενα το βαθωτό πεδίο ήταν αυτό που προκαλούσε την αυθόρητη ρήξη της συετρίας βαθίδας και αποτελεί συαντικό συστατικό στην δοή της G.W.S θεωρίας. Ας παραετροποιήσουε το βαθωτό πεδίο γράφοντας : 1 0 Φ ( x) = U( x) υ+ h( x) που είναι γραένο γύρο από το κενό σαν ία διαταραχή, και U( x ) είναι ο ετασχηατισός βαθίδας. Μπορούε να κάνουε έναν ετασχηατισό βαθίδα για να διώξουε το U( x ) από την Lgrngn. Αυτό θα ειώσει τους φυσικούς βαθούς ελευθερίας του Φ σε έναν. 7

73 Γράφουε λοιπόν την lgrngn: ( ) L= D Φ + Φ Φ λ Φ Φ ε το ελάχιστο στο υ = λ Στην οναδιαία βαθίδα ο όρος δυναικής ενέργειας παίρνει την ορφή: 1/ λ h x είναι ένα βαθωτό σωάτιο ε άζα : m h = = υ Το ( ) L = h λυh λh = m h λ m h λh V h h Αυτό το σωατίδιο είναι γνωστό ως ποζόνιο Hggs. Ο όρος κινητικής ενέργειας είναι: 1 ( ) + 1 h Lk h mw W W mz Z Z = υ Τέλος οι όροι ζεύξης των φεριονίων ε το Hggs, που προκύπτουν από τους αντίστοιχους όρους άζας των φεριονίων, είναι: h Lk = m f f f 1+ υ όπου f οποιοδήποτε φεριόνιο. 73