Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91"

Transcript

1 Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης, v..9

2 Περιεχόµενα Εισαγωγη I Βασικες Εννοιες Πινακες. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Αντιστροφος Πινακας και υναµεις Πινακων 8. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Μερικοι Ειδικοι Τυποι Πινακων Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Οριζουσες και Αντιστροφοι Πινακες Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Οριζουσες και Συστηµατα Γραµµικων Εξισωσεων Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Απαλοιφη Gauss και Συστηµατα Γραµµικων Εξισωσεων 9 6. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα vi i

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 ιανυσµατικοι Χωροι 5 7. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα ιανυσµατικοι Χωροι και Συστηµατα Γραµµικων Εξισωσεων 4 8. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Ορθογωνιοτητα ιανυσµατων Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Ορθογωνιοτητα ιανυσµατικων Χωρων 73.Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Μιγαδικοι Πινακες 98.Περιληψη Θεωρια και Παραδειγµατα Αλυτα Προβληµατα Ιδιοτιµες και Ιδιοδιανυσµατα 7.Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα ιαγωνιοποιηση και Συναρτησεις Πινακων 34 3.Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα II Συµπληρωµατικα Θεµατα 6 4 Οριζουσες : Θεωρητικη Θεµελιωση 6 4.Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Επαναληπτικη Λυση Συστηµατων Γραµµικων Εξισωσεων 94 ii 6 Πινακες, Εξισωσεις ιαφορων και ιαφορικες Εξισωσεις 95

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 Στοχαστικοι Πινακες 96 8 Πινακες και Ηεκτρικα Κυκλωµατα 97 9 Γενικευσεις 98 9.Περιληψη Θεωρια και Παραδειγµατα Αλυτα Προβληµατα Πινακες και Θεωρια Γραφων 3 iii

5 Προλογος Αγαπητε αναγνωστη, το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια καθως και λυµενα και αλυτα προβληµατα Γραµµικης Αλγεβρας και προοριζεται για χρηση απο τους ϕοιτητες της Πολυτεχνικης Σχολης του Αριστοτελειου Πανεπιστηµιου Θεσσαλονικης. Σε αυτο τον συντοµο προλογο δινω µερικες οδηγιες για την χρηση αυτου του τευχους. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης µε τα µαθηµατικα ειναι η επιλυση προβληµατων οσο περισσοτερα προβληµατα λυσεις τοσο πιο πολλα µαθηµατικα ϑα µαθεις! Συµφωνα µε αυτη την αποψη, στο παρον τευχος η ϑεωρια παρουσιαζεται σε µεγαλη συντοµια, αλλα υπαρχει µεγαλος αρι- ϑµος λυµενων και αλυτων προβληµατων. Χρησιµοποιησε τα λυµενα προβληµατα ως ενα ενδιαµεσο ϐοηθηµα για την επιλυση των αλυτων. Με αλλα λογια, δεν αρκει να µελετησεις τα ηδη λυµενα προβληµατα. Αν δεν λυσεις ο ιδιος µεγαλο αριθµο των αλυτων προβληµατων δεν ϑα ωφεληθεις ιδιαιτερα και η πιθανοτητα να περασεις το αντιστοιχο µαθηµα ϑα ειναι µικρη. Το παρον τευχος δεν εχει παρει ακοµη την τελικη του µορφη και ειναι πιθανον καποιες λυσεις και απαντησεις να περιεχουν σφαλµατα. Η παρουσα εκδοση εχει τον κωδικο v..9 εποµενες εκδοσεις ϑα χαρακτηριζονται απο µικροτερο αριθµο σφαλµατων και µεγαλυτερους κωδικους. Στην διαδικασια της διορθωσης σηµαντικο ϱολο εχουν παιξει ϕοιτητες προηγουµενων ετων, τους οποιους ευχαριστω ϑερµα. Παντως πιστευω οτι η παρουσα µορφη ϑα σου ϕανει πολυ χρησιµη, ιδιαιτερα σε συνδυασµο µε το διδακτικο ϐιβλιο το οποιο ϑα σου δοθει κατα την διαρκεια του εξαµηνου. Το τευχος περιεχει κεφαλαια. Τα Κεφαλαια -3 πραγµατευονται ϐασικα ϑεµατα τα οποια πρεπει να διδαχτει καθε µελετητης της Γραµµικης Αλγεβρας. Τα Κεφαλαια 4- πραγµατευονται ειδικοτερα ϑεµατα, τα οποια συνηθως παραλειπονται στο εισαγωγικο µαθηµα Γραµµικης Αλγεβρας για µηχανικους. Πως σχετιζεται το παρον τευχος µε την εξεταση του µαθηµατος ; Η απαντηση ειναι απλη : στις εξετασεις µπορεις να περιµενεις οποιοδηποτε προβληµα ειναι παροµοιο µε καποιο που περιεχεται στο τευχος, χωρις να ειναι απαραιτητο ενα τετοιου τυπου προβληµα να εχει λυθει στην ταξη. Υπαρχει µονο µια εξαιρεση : δεν απαιτειται να ξερεις δυσκολες αποδειξεις. Οµως ο ορος δυσκολη αποδειξη, οπως και ο ορος παρο- µοιο προβληµα δεν ειναι απολυτως σαφης. Για µια καλυτερη κατανοηση του τι εννοω µε τους ορους αυτους ϑα πρεπει να παρακολουθησεις τις παραδοσεις του µαθηµατος. Ακολουθω την ονοµατολογια της αναπτυξης software: το τευχος ειναι ακοµα σε µορφη beta η πρωτη τελικη εκδοση ϑα ειναι η v... Στην παρουσα εκδοση δεν εχω ακοµη γραψει τα Κεφαλαια 4-9. iv

6 Παντως το σιγουρο ειναι το εξης : αν λυσεις ολα τα αλυτα προβληµατα του παροντος τευχους ϑα εισαι απολυτα ετοιµος για την εξεταση του µαθηµατος. Ετσι λοιπον, ο καλυτερος τροπος χρησης του παροντος τευχους ειναι ο εξης : αφου µελετησεις τα λυµενα προβληµατα καθε κεφαλαιου, προσπαθησε να λυσεις οσο µπορεις περισσοτερα απο τα αλυτα προβληµατα εαν δεν µπορεις να λυσεις καποιο αλυτο προβληµα, ϐρες µε ποια απο τα λυµενα παρουσιαζει αυτο την µεγαλυτερη οµοιοτητα και προσπαθησε να εφαρµοσεις την µεθοδολογια των λυµενων στο αλυτο. Θανασης Κεχαγιας Θεσσαλονικη, Σεπτεµβρης v

7 Εισαγωγη Η Γραµµικη Αλγεβρα εχει τρια κυρια αντικειµενα µελετης (τα οποια ειναι στενα συνδεδε- µενα µεταξυ τους, οπως ϑα ϕανει παρακατω):. τους πινακες,. τα συστηµατα γραµµικων εξισωσεων, 3. την γεωµετρια του N-διαστατου χωρου, οπου N =,, 3, Θεωρουµε γνωστη την εννοια συστηµα γραµµικων εξισωσεων", οπως επισης και τις στοιχειωδεις µεθοδους επιλυσης τετοιων συστηµατων. Επισης ϑεωρουµε γνωστα τα ϐασικα στοιχεια των διανυσµατων και της αναλυτικης γεωµετριας του επιπεδου. Οι πινακες ειναι µαθηµατικα αντικειµενα τα οποια µπορουµε να σκεφτουµε ως µια γενικευση των πραγµατικων αριθµων. Οι πινακες παρεχουν εναν ευχερη και συµπαγη συµβολισµο για την διατυπωση και επιλυση ενος εψρεως ϕασµατος µαθηµατικων προβληµατων. Ενα απο αυτα τα προβληµατα ειναι και η επιλυση συστηµατων γραµµικων εξισωσεων. Επιπλεον, επειδη οι πινακες µπορουν επισης να ϑεωρηθουν γενικευση των διανυσµατων, η γραµµικη αλγεβρα µπορει να χρησιµοποιηθει για την γενικευση στις N διαστασεις της γεωµετριας του επιπεδου ( διαστασεις) και του χωρου (3 διαστασεις). Με αυτο τον τροπο µπορουµε να κατανοησουµε καλυτερα και ϐαθψτερα την Γεωµετρια και να την χρησιµοποιησουµε για να αποκτησουµε εποπτικη αντιληψη των συστηµατων γραµµικων εξισωσεων. Επιπλεον, η Γραµµικη Αλγεβρα χαρακτηριζεται, οπως ϕανερωνει το ονοµα, απο την αλγεβρικη προσεγγιση 4. Το παρον τευχος περιεχει κεφαλαια. Τα Κεφαλαια ως 3 πραγµατευονται ϐασικα ϑεµατα τα οποια πρεπει να διδαχτει καθε µελετητης της Γραµµικης Αλγεβρας. Τα Κε- ϕαλαια 4 ως πραγµατευονται ειδικοτερα ϑεµατα, τα οποια συνηθως παραλειπονται στο εισαγωγικο µαθηµα Γραµµικης Αλγεβρας για µηχανικους 5. Χρησιµοποιουµε τον τυπικο µαθηµατικο συµβολισµο, γνωστο και απο το Λυκειο. Σηµειωνουµε ιδιατερα τα εξης. 3 Ακοµη και N = περιλαµβανεται ως µια πολυ ειδικη και τετριµµενη περιπτωση. 4 Η ειδικη περιπτωση στην οποια N = η 3 (δηλ. η µελετη της γεωµετριας του επιπεδου και του τριδιαστατου χωρου) ειναι επισης αντικειµενο µιας αλλης µαθηµατικης ϑεωριας, της Αναλυτικης Γεωµετριας. Η Αναλυτικη Γεωµετρια χρησιµοποιει πολλες εννοιες και εργαλεια της Γραµµικης Αλγεβρας, αλλα επεκτεινεται και σε µη γραµµικες µαθηµατικες οντοτητες (π.χ. τις δευτεροβαθµιες επιφανειες). 5 Η συγγραφη των Κεφαλαιων 4- δεν εχει ακοµη ολοκληρωθει (στην παρουσα εκδοση v.9 του τευχους). vi

8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Το συνολο των πραγµατικων αριθµων συµβολιζεται µε R και αυτο των µιγαδικων αριθµων µε C.. Ο συµβολισµος αθροισµατος ειναι ο εξης N a n = a + a a N. n= Αντιστοιχα, ο συµβολισµος γινοµενου ειναι ο εξης N a n = a a... a N. n= 3. Η λεξη ανν σηµαινει αν και µονο αν. Η συντοµογραφια τ.ω. σηµαινει τετοιο ωστε. vii

9 Μέρος I Βασικες Εννοιες

10 Κεφάλαιο Πινακες Στα µαθηµατικα (οπως και στην καθοµιλουµενη) πινακας σηµαινει µια ορθογωνια διαταξη (αριθµων ή αλλων οντοτητων). Αυτο που κανει του µαθηµατικους πινακες ιδιαιτερα χρησιµους ειναι οτι αφου τους εφοδιασουµε µε πραξεις µπορουµε να τους χρησι- µοποιησουµε ως γενικευµενους αριθµους οι οποιοι (οπως ϑα ϕανει σε εποµενα κε- ϕαλαια) διευκολυνουν την επιλυση πολλων µαθηµατικων προβληµατων.. Θεωρια... Ενας πινακας A ειναι µια ορθογωνια διαταξη αριθµων : a a... a N A = a a... a N a M a M... a MN Το στοιχειο του A στην m-στη γραµµη και στην n-στη στηλη συµβολιζεται µε a mn ή (A) mn (και λεµε οτι εχει συντεταγµενες m, n).... Πιο αυστηρα, ενας M N πινακας ειναι µια συναρτηση µε πεδιο ορισµου το συνολο {,,..., M} {,,..., N} και πεδιο τιµων το R: A : {,,..., M} {,,..., N} R. ηλ. σε καθε Ϲευγαρι (m, n) {,,..., M} {,,..., N} αντιστοιχιζουµε εναν αριθµο a mn, που ειναι το στοιχειο του πινακα στην ϑεση µε συντεταγµενες m, n...3. Ο παραπανω ορισµος του πινακα µπορει να γενικευτει. Π.χ. τα στοιχεια του πινακα µπορει να ειναι µιγαδικοι αριθµοι...4. Για το τυχον στοιχειο a mn του πινακα, λεµε οτι m ειναι ο δεικτης γραµµης και n ειναι ο δεικτης στηλης...5. Οταν ο A εχει M γραµµες και N στηλες, λεµε οτι εχει διασταση M N. Θα εξετασουµε αυτην και αλλες γενικευσεις στο Κεφαλαιο.

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Οταν ο A εχει διασταση N N (δηλ. ισο αριθµο γραµµων και στηλων) τοτε λεµε οτι ειναι τετραγωνικος...7. υο M N πινακες A, B ειναι ισοι (γραφουµε A = B) ανν για m {,..., M} και n {,..., N} ισχυει m mn = b mn...8. Οταν ο A εχει στηλη (εχει διασταση M ) λεµε οτι ειναι πινακας-στηλη: A =..9. Οταν ο A εχει γραµµη (εχει διασταση N) λεµε οτι ειναι πινακας-γραµµη: a a... a M. A = [ a a... a N ].... Οι πινακες-γραµµες και οι πινακες-στηλες λεγονται και διανυσµατα.... Μπορουµε να γραψουµε ενα πινακα ως συνδυασµο των γραµµων του : οπου (για m {,..., M} ): A = r r... r M, r m = [ a m a m... a mn ].... Επισης µπορουµε να γραψουµε τον πινακα ως συνδυασµο των στηλων του : οπου (για n {,..., N} ): A = [ c c... c N ], c n = a n a n... a Mn..3. Η προσθεση πινακων οριζεται ως εξης. Εστω οτι εχουµε πινακες A (διαστασης M N) και B (διαστασης M N). Τοτε. (A + B) mn = a mn +b mn (A B) mn = a mn b mn. Προσοχη! Η προσθεση A + B ειναι δυνατη µονο αν οι A και B εχουν ιδιες διαστασεις!

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Ενας πινακας A µε διαστασεις M N, λεγεται µηδενικος ανν για m =,,..., M, n =,,..., N εχουµε a mn =, δηλ.... M,N = Ο µηδενικος πινακας συµβολιζεται µε M,N η και απλα µε (δηλ. οταν η διασταση M N προκυπτει απο τα συµφραζοµενα, παραλειπεται ο συµβολισµος της) Ο πολλαπλασιασµος πινακα επι αριθµο οριζεται ως εξης : (κ A) mn = κ a mn...6. Για ολους τους πινακες A, B ισχυουν τα εξης (αρκει οι διαστασεις αυτων να ειναι τετοιες ωστε οι πραξεις ειναι δυνατες).. A + = A. (Το ειναι το ουδετερο στοιχειο της προσθεσης).. A + B = B + A. (Αντιµεταθετικοτητα.) 3. A + (B + C) = (A + B) + C. (Προσεταιριστικοτητα.) 4. A + (( ) A) = (( ) A) + A =. (Ο αντιθετος του A ειναι ο A = ( ) A.) 5. κ (A + B) = κ A+κ B = (A + B) κ. (Επιµεριστικοτητα.) 6. (κ + λ) A = κ A+λ A.(Επιµεριστικοτητα.) 7. (κ λ) A = κ (λ A)...7. Ο πολλαπλασιασµος πινακα επι πινακα οριζεται ως εξης. Εστω οτι εχουµε πινακες A (διαστασης M K) και B (διαστασης K N). Τοτε (A B) mn = K a mk b kn. Προσοχη! Ο πολλαπλασιασµος A B ειναι δυνατος µονο αν ο αριθµος των στηλων του A ειναι ισος µε αυτο των γραµµων του B! k=..8. Ενας πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται µοναδιαιος ανν για m, n =,,..., N εχουµε a mm = και a mn = οταν m n, δηλ I N = Ο µοναδιαιος πινακας συµβολιζεται µε I N η και απλα µε I (δηλ. οταν η διασταση N προκυπτει απο τα συµφραζοµενα, παραλειπεται ο συµβολισµος της).

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Για ολους τους πινακες A, B, C ισχυουν τα εξης (αρκει οι διαστασεις αυτων να ειναι τετοιες ωστε οι πραξεις ειναι δυνατες).. I A = A I = A. (Το I ειναι το ουδετερο στοιχειο του πολλαπλασιασµου πινακων).. Υπαρχουν πινακες A, B για τους οποιους A B B A. 3. A (B C) = (A B) C. (Προσεταιριστικοτητα.) 4. A (B + C) = A B + A C. (Επιµεριστικοτητα.) 5. (B + C) A = B A + C A. (Επιµεριστικοτητα.) 6. κ (A B) = (κ A) B = A (κ B). 7. A = A =.... Για καθε N N (τετραγωνικο) πινακα A, µπορουµε να ορισουµε τις δυναµεις του : A = A A, A 3 = A A A κ.τ.λ. Συµβατικα οριζουµε A = I. Ισχυουν οι συνηθισµενες ιδιοτητες των δυναµεων : A m A n = A m+n, (A m ) n = A mn. Μπορουµε να επεκτεινουµε τον ορισµο ωστε να εχουµε αρνητικες ακεραιες δυναµεις, κλασµατικες δυναµεις (π.χ. A /, την τετραγωνικη ϱιζα του A κ.ο.κ. ).. Λυµενα Προβληµατα... Ποια ειναι η διασταση των παρακατω πινακων ; Ποιοι εξ αυτων ειναι τετραγωνικοι ; [ ] 3 A =, B = [ 3 ] [ ] , C =, D = [3], E = Απαντηση. Ο A ειναι, τετραγωνικος ο B ειναι ο C ειναι 3 ο D ειναι, τετραγωνικος ο B ειναι ινεται πινακας 5 A = Ποια ειναι η τιµη του στοιχειου a ; Του a 3 ; Του a 3 ; Ποιοι ειναι οι δεικτες γραµµης και στηλης του 5; Του 8; Απαντηση. a =, a 3 = 6, a 3 = 8. Το 5 εχει δεικτη γραµµης και στηλης το 8 εχει δεικτη γραµµης 3 και στηλης...3. Οι πινακες A = [ x y ], B = [ 3 z 4 ειναι ισοι. Ποιες ειναι οι τιµες των x, y, z; Απαντηση. A = B i, j : a ij = b ij. Αρα ειναι x = 3, y = 4 και z =. ] Αυτα τα ϑεµατα εξεταζονται σε περισσοτερη λεπτοµερεια στο Κεφαλαιο ;;.

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Συγκρινετε τα διανυσµατα της Γραµµικης Αλγεβρας µε τα διανυσµατα που µας ειναι γνωστα απο τον ιανυσµατικο Λογισµο. Απαντηση. Καταρχην τονιζουµε οτι στον ιανυσµατικο Λογισµο υπαρχουν τρια ειδη διανυσµατων : ελευθερα, ολισθαινοντα και εφαρµοστα. Εµεις ϑα ασχοληθουµε µε τα ελευθερα διανυσµατα. Ενα ελευθερο διανυσµα ειναι ενα βελος η προσανατολισµενο ευθυγραµµο τµηµα (στο επιπεδο ή στον 3-διαστατο χωρο) η ϑεση του ελευθερου διανυσ- µατος δεν ειναι προσδιορισµενη! Αυτα τα οποια προσδιοριζονται ειναι το µηκος, η ϕορα και η διευθυνση αυτου.μπορουµε να πουµε οτι ενα ελευθερο διανυσµα αντιστοιχει σε µια απειρια ϐελων, τα οποια εχουν τηο ιδιο µηκος, ϕορα και διευθυνση. ειτε και το σχηµα. Σχηµα.. Οι πληροφοριες αυτες (µηκος, ϕορα και διευθυνση) προσδιοριζονται πληρως απο δυο αριθµους στον χωρο και τρεις αριθµους στο επιπεδο. Π.χ. στον χωρο, το διανυσµα a προσδιοριζεται απο την τριαδα (x, y, z). Αν επιλεξουµε απο την οικογενεια των προσανατολισµενων ευθυγραµµων τµηµατων (που αντιστοιχουν στο a ) αυτο το οποιο εχει την αρχη του στην αρχη των αξονων (,, ), τοτε προσδιοριζουµε µονοσηµαντα και το περας του a, το οποιο ειναι ενα σηµειο µε συντεταγµενες (x, y, z). Γραφουµε a = (x, y, z) και εχουµε µια -προς- αντιστοιχια µεταξυ ελευθερων διανυσµατων και σηµειων. Θυµοµαστε οµως οτι σε αυτη την αντιστοιχια καθε προσανατολισµενο ευθυγραµµο τµηµα παραλληλο σε αυτο που εχει αρχη το (,, ) και περας το (x, y, z) ταυτιζεται επισης µε το σηµειο (x, y, z). Στην Γραµµικη Αλγεβρα ενα διανυσµα ειναι ενας πινακας. Αν εχουµε το διανυσµα a = (x, y, z) και κατασκευασουµε τον πυνακα a = µε a = x, a = y, a 3 = z, τοτε το διανυσµα a και ο πινακας a ταυτιζονται. Μπορουµε οµως να ταυτισουµε το a [ ] και µε τον πινακα a a a 3. Με αλλα λογια, καθε διανυσµα µπορει να ταυτιστει ειτε µε εναν πινακα-στηλη ειτε µε εναν πινακα-γραµµη οποιοσδηποτε απο τους δυο πινακες µπορει να ταυτιστει µε ενα σηµειο (το περας του a οταν η αρχη αυτου ϐρισκεται στην αρχη των αξονων). Απο εδω και περα ϑα χρησι- µοποιουµε τον συµβολισµο a για να δηλωσουµε οποιοδηποτε απο τα εξης : το διανυσµα, το σηµειο, τον πινακα-γραµµη ή τον πινακα-στηλη. 3 a a a Γραψτε τον πινακα [ A = 4 ] 3 µε συµβολισµο γραµµων και συµβολισµο στηλων. Το ιδιο για τον πινακα B = Το αν ο a ειναι πινακας-γραµµη ή στηλη ϑα προκυπτει απο τα συµφραζοµενα.

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 7 Απαντηση. Θετουµε και εχουµε Θετουµε τωρα και εχουµε A = [c c c 3 ]. r = [ 4 3 ], r = [ ] A = [ r r ]. [ ] [ ] [ ] 4 3 c =, c =, c 3 =..6. ινονται οι πινακες [ ] [ ] [ ] 3 A =, B =, C = Υπολογιστε τα A + B, A B, A + C. Απαντηση. [ ] [ ] [ ] [ ] A + B = + = = [ ] [ ] [ ] [ ] A B = = = Η προσθεση A + C δεν ειναι δυνατη...7. Αποδειξτε οτι A + = A. Απαντηση. Εχουµε για καθε m, n (A + ) mn = (A) mn + () mn = a mn + = a mn = (A) mn. Αφου αυτο ισχυει για καθε m, n, εχουµε A + = A...8. Αποδειξτε οτι A + B = B + A. Απαντηση. Εχουµε για καθε m, n (A + B) mn = (A) mn + (B) mn = a mn + b mn = b mn + a mn = (B + A) mn. Αφου αυτο ισχυει για καθε m, n, εχουµε A + B = A + B...9. Αποδειξτε οτι κ (A + B) = κ A+κ B = (A + B) κ. Απαντηση. Εχουµε για καθε m, n (κ (A + B)) mn = κ (A + B) mn = κ ((A) mn + (B) mn ) = κ a mn + κ b mn = (κ A) mn + (κ B) mn. Αφου αυτο ισχυει για καθε m, n, εχουµε κ (A + B) = κ A + κ B.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 8... ινονται οι πινακες [ ] [ ] [ ] 3 A =, B =, C = Υπολογιστε τα AB, BA, AC, CA. Απαντηση. [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) 7 AB = = = ( ) 3 5 [ ] [ ] [ ] 9 8 BA = =, ειναι διαφορο του AB [ ] [ ] 3 AC = [ ] [ ] + 3 ( ) = = ( ) Ο πολλαπλασιασµος CA δεν µπορει να γινει.... Αποδειξτε οτι I A = A I = A Απαντηση. Θα δειξουµε οτι για καθε m, n εχουµε (I A) mn = (A) mn. Πραγµατι (I A) mn = N i mk a kn = i mm a mn = a mn = a mn = (A) mn. k= Χρησιµοποιησαµε το γεγονος οτι i mk = για m k. Παροµοια δειχνουµε οτι για καθε m, n εχουµε (A I) mn = (A) mn.... Βρειτε δυο πινακες A, B για τους οποιους A B B A. Απαντηση. Τετοιοι ειναι, π.χ., οι πινακες A, B του προβληµατος Βρειτε δυο πινακες A, B για τους οποιους A B = B A. Απαντηση. Π.χ. για τους πινακες [ ] [ ] 3 A =, B =, 4 εχουµε [ ] 3 AB = = BA. 8 εν ειναι αναγκη να ειναι και οι δυο πινακες διαγωνιοι. Π.χ., για τους πινακες [ ] [ ] 4 C =, D =, 3 εχουµε CD = [ ] = DC. Μπορειτε να ϐρειτε δυο µη διαγωνιους πινακες E, F τ.ω. EF = FE;

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Βρειτε µια αναγκαια και ικανη συνθηκη ωστε να ισχυει (A B) (A + B) = A B. Απαντηση. Εχουµε (A B) (A + B) = A + AB BA B. Για να ειναι λοιπον (A B) (A + B) = A B πρεπει και αρκει να ειναι AB BA =, δηλ. AB = BA, δηλ. οι πινακες να αντιµετατιθενται...5. Αποδειξτε οτι A (B C) = (A B) C Απαντηση. Εστω οτι οι διαστασεις των A, B, C ειναι K L, L M, M N αντιστοιχα. Εχουµε, για καθε k, n: ( L L M ) L M (A (B C)) kn = A kl (B C) ln = A kl B lm C mn = A kl B lm C mn, ((A B) C) kn = Οµως l= l= M (A B) km C mn = m= L l= m= m= ( M L ) A kl B lm C mn = m= M A kl B lm C mn = l= M m= l= L A kl B lm C mn, l= m= M m= l= L A kl B lm C mn. δηλ. µπορουµε να αλλαξουµε την σειρα της προσθεσης (να προσθεσουµε ειτε πρωτα ως προς m και µετα ως προς l ειτε, αντιστροφα, πρωτα ως προς l και µετα ως προς m. Αυτο συµβαινει γιατι, και στις δυο περιπτωσεις, προσθετουµε τους ιδιους αριθµους...6. ινονται N N πινακες A, B. Ο αντιµεταθετης του Ϲευγους (A, B) ειναι ο πινακας [A, B] = AB BA. ειξτε οτι [A, B] = [B, A] και [A, [B, C]] + B, [C, A] + [C, [A, B]] =. Απαντηση. Εχουµε [A, B] = AB BA = (AB BA) = [B, A]. Επισης εχουµε [A, [B, C]] = [A, [BC CB]] = [A, [BC]] [A, [CB]] = ABC BCA ACB + CBA. Αντιστοιχα παιρνουµε [B, [C, A]] = BCA CAB BAC + ACB, [C, [A, B]] = CAB ABC CBA + BAC. Οποτε [A, [B, C]] + B, [C, A] + [C, [A, B]] = ABC BCA ACB + CBA+ BCA CAB BAC + ACB+ CAB ABC CBA + BAC =.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ..7. ινεται το συστηµα γραµµικων εξισωσεων 5x 3y + z = x + y 3z = 7x + z = 8 Γραψτε το συστηµα αυτο ως µια εξισωση πινακων. Απαντηση. Μπορουµε ευκολα να ελεγξουµε οτι το συστηµα ειναι ισοδυναµο µε την εξισωση 5 3 x 5x 3y + z 3 y = x + y 3z =. 7 z 7x + z 8 Αν λοιπον ϑεσουµε 5 3 x A = 3, u = y, b = 7 z, 8 τοτε το αρχικο συστηµα ειναι ισοδυναµο µε την εξισωση Au = b, οπου u ειναι ο αγνωστος πινακας και A, b ειναι γνωστοι συντελεστες...8. Σε ενα Ϲαχαροπλαστειο κατασκευαζονται τρια ειδη γλυκισµατων. Τα συστατικα (σε kgr) για ενα κεικ του καθε τυπου ειναι ως εξησ: Αλευρι Ζαχαρη Βουτυρο Καρυδια Σταφιδες Κεικ Σταφιδοψωµο Παντεσπανι Και οι τιµες ανα kgr των συστατικων (σε Euro) ειναι Αλευρι Ζαχαρη Βουτυρο Καρυδια Σταφιδες Χρησιµοποιειστε πολλαπλασιασµο πινακων για να ϐρειτε το κοστος ενος κεικ του καθε τυπου. Απαντηση. Μπορουµε να υπολογισουµε το κοστος ενος τεµαχιου του καθε τυπου γλυκισµατος ως εξης (χωρις χρηση πινακων): Κεικ : =.5, Σταφιδοψωµο : = 4., Παντεσπανι : = Αυτες οι πραξεις ϑυµιζουν σαφως πολλαπλασιασµο πινακων. Πραγµατι, αν ορισουµε πινακες A = , b = , 5..

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ τοτε ο πολλαπλασιασµος πινακων Ab = = δινει σε ενα διανυσµα την τιµη ενος τεµαχιου του καθε τυπου γλυκισµατος...9. Στο παρακατω σχηµα ϐλεπουµε την κατοψη ενος σπιτιου σε καθε δωµατιο αντιστοιχιζουµε ενα αριθµο. Μια διαδροµη µεσα στο σπιτι ειναι µια σειρα αριθµων που δειχνουν απο ποια δωµατια περναµε. Π.χ. η διαδροµη 56 δειχνει οτι παµε απο το δω- µατιο 5 στο, µετα στο 6 και καταληγουµε στο. Η συγκεκριµενη διαδροµη εχει µηκος 4, δηλ. περναει απο τεσσερα δωµατια. Χρησιοποιειστε τον πολλαπλασιασµο πινακων για να ϐρειτε τον συνολικο αριθµο διαδροµων µηκους 3 απο τον χωρο στον χωρο 3. Το ιδιο για να ϐρειτε τον συνολικο αριθµο διαδροµων µηκους 3 απο τον χωρο 5 στον χωρο. Σχηµα.. Απαντηση. Μπορουµε να αναπαραστησουµε την συνδεσµολογια του σπιτιου µε τον παρακατω γραφο. Καθε δωµατιο αντιστοιχει σε ενα κοµβο (κυκλο) και αν τα αντιστοιχα δωµατια επικοινωνουν, τοτε οι κοµβοι συνδεονται µε ακµες (γραµµες). Σχηµα..3 Μπορουµε επισης να παραστησουµε την συνδεσµολογια του γραφου µε ενα πινακα γειτνιασης της παρακατω µορφης A =. Τα στοιχεια του A ειναι η. Εχουµε a mn = ανν τα δωµατια m και n επικοινωνουν απ ευθειας, και a mn = στην αντιθετη περιπτωση. Βλεπουµε οτι ο A ειναι συµµετρικος αυτο δεν ειναι τυχαιο, µπορειτε να εξηγησετε γιατι ισχυει ; Καθε µια απο τις αναπαραστασεις (αυτη του Σχηµατος.., αυτη του γραφου του Σχηµατος..3 και αυτη του πινακα γειτνιασης A) µεταφερουν ακριβως την ιδια πληρο- ϕορια σχετικα µε την συνδεσµολογια των δωµατιων. Απο την κατασκευη του A ϐλεπουµε οτι καθε διαδροµη µηκους µεταξυ καθε Ϲευγους δωµατιων εµφανιζεται στον A. Τι συµ- ϐαινει οµως µε τις διαδροµες µηκους, π.χ., ; Θεωρειστε το γινοµενο της πρωτης σειρας

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ και της τεταρτης στηλης του A: [ ] =. Μπορειτε να ελεγξετε οτι το αποτελεσµα,, ειναι ισο µε τον αριθµο των διαδροµων µηκους που αρχιζουν στο δωµατιο και καταληγουν στο 4. Αυτο δεν ειναι τυχαιο, οπως ϑα εξηγησουµε τωρα. Θεωρειστε το γινοµενο της m-στης σειρας επι την n-στη στηλη του A. Αυτο ϑα ειναι το (m, n) στοιχειο του A : ( ) 7 A = a mn mk a kn. k= Εστω οτι το αποτελεσµα ειναι x (ενας µη αρνητικος ακεραιος αριθµος). Αυτο σηµαινει οτι στο παραπανω αθροισµα υπαρχουν ακριβως x οροι a mk a kn ισοι µε, το οποιο µε την σειρα του σηµαινει οτι a mk a kn =, το οποιο σηµαινει οτι a mk = a kn = και τελικα αυτο σηµαινει οτι το m-στο δωµατιο επικοινωνει µε το k-στο και το k-στο δωµατιο επικοινωνει µε το n-στο δηλ. τελικα, οτι υπαρχει µια διαδροµη µηκους απο το m-στο δωµατιο στο n-στο. Ο δε ορος (A ) mn = 7 k= a mka kn αθροιζει ολες τις διαδροµες µηκους απο το m-στο δωµατιο στο n-στο. Ετσι λοιπον, για καθε (m, n) το στοιχειο (A ) mn περιεχει τον συνολικο αριθµο διαδροµων µηκους απο το m-στο δωµατιο στο n-στο. Μπορειτε να το ελγξετε αυτο συγκρινοντας τον γραφο µε το γινοµενο : A = =. 3 Μπορουµε να επεκτεινουµε τον συλλογισµο για τις δυναµεις A j, j =,, 3,.... Π.χ A 3 = = και ετσι ϐλεπουµε οτι ο συνολικος αριθµος διαδροµων µηκους 3 απο τον χωρο στον χωρο 3 ειναι 7 και απο τον χωρο 5 στον χωρο ειναι 4. Μπορειτε να ελεγξετε την κατοψη του σπιτιου για να ϐεβαιωθειτε οτι αυτο ισχυει πραγµατικα.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 3... ειξτε οτι a a... a N a a... a N a M a MN και κ κ... κ N [a a... a N ] Απαντηση. Εχουµε a a... a N a a... a N a M a MN κ κ... κ N = κ κ κ... κ N a a... a M + κ a a... a M κ N a N a N... a NN (.) = κ a + κ a κ N a N. (.) κ a + κ a κ N a N = κ a + κ a κ N a N... κ a M + κ a M κ N a MN = κ a a... a M + κ a a... a M κ N Ετσι εχουµε αποδειξει την (.). Η (.) ειναι απλα µια ισοδυναµη γραφη της (.).... ειξτε οτι κ... κ κ N a a... a N a a... a N = a N a NN Απαντηση. Εχουµε για καθε m, n: κ... κ κ N = [... κ m... ] a N a N... a NN κ a κ a... κ a N κ a κ a... κ a N (.3) κ N a N κ N a NN a a... a N a a... a N a N a NN a n... a m,n a mn a m+,n... a mn mn = κ m a mn και αυτο αποδεικνυει την (.3).

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 4.3 Αλυτα Προβληµατα.3.. Υπολογιστε την διασταση των παρακατω πινακων. [ ] [ ] [ ] [ ],,,, Απ., 3,,,.).3.. Γραψτε τον πινακα [ ] 5 8 A = 3 µε συµβολισµο γραµµων και συµβολισµο στηλων Οι πινακες ειναι ισοι. Ποιες ειναι οι τιµες των x, y, z, u; Απ. x = 3, y = 9, z = 4, u =. [ ] [ ] x y 3 9 A =, B = 4 z u.3.4. Υπολογιστε το A + B και το A B για τους πινακες [ ] [ ] 3 4 A =, B =. [ ] [ ] 7 3 Απ., Υπολογιστε το A + B και το A B για τους πινακες [ ] [ ] 4 4 A =, B =. 3 6 Απ. Οι πραξεις αυτες δεν ειναι δυνατες ινονται οι πινακες [ ] [ ] 4 3 A =, B =, C = , D = 3 [ ] + i. 3 i Υπολογιστε τους AB, BA, CD, DC. [ ] [ ] Απ.,, 9 3 8,

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ ινονται οι πινακες [ ] [ ] A =, B =, C = 3, D = Υπολογιστε τους AB, BA, CD, DC. Τι παρατηρειτε ; [ ] [ ] Απ.,, 5, ινονται οι πινακες 4 A = 3, B = Υπολογιστε τους AB, BA. Τι παρατηρειτε ; Απ , Αποδειξτε (οταν οι παρακατω πραξεις ειναι δυνατες) οτι.3.. Αποδειξτε οτι A + (B + C) = (A + B) +C. (κ + λ) A = κ A+λ A., (κ λ) A = κ (λ A)..3.. Αποδειξτε (οταν οι παρακατω πραξεις ειναι δυνατες) οτι κ (A B) = (κ A) B..3.. Αποδειξτε οτι A = A = Αποδειξτε οτι (A + I) (A + I) = A +A + I Αποδειξτε οτι, γενικα, δεν ισχυει (A + I) (B + I) = (A + I) (B + I). Ποτε ισχυει η ισοτητα ;.3.5. ειξτε µε ενα παραδειγµα οτι, γενικα, (A + B) (A + B) A +AB + B Οριζω [ ] cos θ sin θ A(θ) = sin θ cos θ ειξτε οτι A(θ)A(φ) = A(θ + φ).

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ ινεται ο πινακας ειξτε οτι για καθε εχουµε A =. b b b 3 B = b b b 3 b 3 b 3 b 33 b b b 3 b b b 3 AB = b b b 3, BA = b b b 3. b 3 b 3 b 33 b 3 b 3 b 33 ιατυπωστε τις παραπανω ισοτητες µε λογια ινεται N N πινακας A ο οποιος προκυπτει απο τον N N µοναδιαιο πινακα I, µε εναλλαγη των γραµµων i και j. ινεται επισης τυχον N N πινακας B. ειξτε οτι ο AB ειναι ο B µε εναλλαγη των γραµµων i και j επισης οτι ο BA ειναι ο B µε εναλλαγη των στηλων i και j Βρειτε ολους τους πινακες A τετοιους ωστε [ ] A = [ ] [ ] / / Απ. Υπαρχουν δυο τετοιοι πινακες : A = και A =..3.. Εστω N N πινακας A.Οριζουµε το ιχνος αυτου tr (A) = N a nn. Αν B ειναι M N και C ειναι N M, δειξτε οτι tr (BC) = tr (CB)..3.. Αν A, B ειναι N N πινακες, δειξτε οτι η σχεση AB BA = I ειναι αδυνατη. n=.3.. ινεται το συστηµα γραµµικων εξισωσεων x 3y + z + u = x + y 3u = 7x + z + u = Γραψτε το συστηµα αυτο ως µια εξισωση πινακων. Απ. x 3 3 y z = 7 u

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Βρειτε στο παρακατω σχηµα ποσες διαδροµες υπαρχουν πουν συνδεουν τον χωρο µε τον χωρο 3 και εχουν µηκος 4. Σχηµα Τι µαθατε απο τα προβληµατα..7,..8,..9;

26 Κεφάλαιο Αντιστροφος Πινακας και υναµεις Πινακων Εχουµε ηδη πει οτι οι πινακες ειναι γενικευµενοι αριθµοι. Στο προηγουµενο κεφαλαιο ειδαµε πως να εκτελουµε πραξεις µεταξυ πινακων (αντιστοιχες µε τις πραξεις µεταξυ αριθµων). Στο παρον κεφαλαιο ϑα δουµε οτι οι τετραγωνικοι πινακες, οπως και οι αριθµοι, µπορουν να εφοδιαστουν µε δυναµεις. Οπως ακριβως στο συστηµα των πραγµατικων αριθµων εχουµε aa =, ετσι και για τους τετραγωνικους πινακες εχουµε AA = I, οπου A ειναι ο αντιστροφος του N N πινακα A. Για να υπαρχει ο αντιστροφος ενος αριθµου a, πρεπει να εχουµε a. Παροµοια, για να εχει ο τετραγωνικος πινακας A αντιστροφο, πρεπει να ικανοποιειται καποια συνθηκη, η οποια ειναι γενικευση (για το συνολο των τετραγωνικων πινακων) της a. Οπως ϑα ϕανει και απο τις εποµενες προτασεις, δυναµεις και αντιστροφος ορι- Ϲονται µονο για τετραγωνικους πινακες! Καθε πινακας που εµφανιζεται σε αυτο το κεφαλαιο ειναι τετραγωνικος εκτος αν το αντιθετο λεγεται ϱητα.. Θεωρια... Εστω N N πινακας A. Αν υπαρχει N N πινακας B τετοιος ωστε BA = AB = I, τοτε ο B ειναι µοναδικος.... Τον µοναδικο πινακα B που εχει την ιδιοτητα BA = AB = I (αν αυτος υπαρχει!) τον ονοµαζουµε αντιστροφο του A και τον συµβολιζουµε µε A = B...3. Υπαρχουν τετραγωνικοι πινακες που δεν εχουν αντιστροφο. Π.χ. ο µηδενικος πινακας δεν εχει αντιστροφο. Αν υπαρχει ο A, ο A λεγεται οµαλος σε αντιθετη περιπτωση ο A λεγεται ανωµαλος η ιδιαζων...4. Εστω πινακες A, B οι οποιοι εχουν αντιστροφους A, B. Ισχυουν τα εξης.. (A ) = A (δηλ. ο αντιστροφος του A ειναι ο A).. (A B) = B A. 8

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Ο γενικος πινακας A = [a ] εχει τον αντιστροφο A = [ ] a ανν a ο A ειναι ανωµαλος ανν a =...6. Ο γενικος πινακας [ ] a a A = a a εχει τον αντιστροφο [ ] A a a = a a a a a a ανν a a a a ο A ειναι ανωµαλος ανν a a a a =. (.)..7. Οταν ο A ειναι N N, N {3, 4,...}, ο A µπορει να υπολογιστει ειτε λυνοντας ενα συστηµα γραµµικων εξισωσεων, ειτε χρησιµοποιωντας ενα τυπο παροµοιο µε τον (.) οµως ο τυπος αυτος εµπλεκει οριζουσες και γι αυτο ϑα τον παρουσιασουµε στο Κεφαλαιο ινεται ενας N N πινακας A συµβολιζουµε µε A τον πινακα A A (το τετραγωνο του A)...9. ινεται ενας N N πινακας A συµβολιζουµε µε A 3 τον πινακα A A A λογω προσεταιριστικοτητας εχουµε A 3 = A A A = ( A ) A = A (A ).... Γενικοτερα, για καθε N N πινακα A και για καθε n {,,...} οριζουµε την n-στη δυναµη του A: A n = A A.. A. Εξ ορισµου, n ϕορες A = I.... Οι µη αρνητικες ακεραιες δυναµεις των πινακων συµπεριφερονται οπως οι ακεραιες δυναµεις αριθµων. ηλ. για καθε N N πινακα A εχουµε m, n {,,,...} : A m A n = A m+n, (A m ) n = A mn.... Αν υπαρχει ο A µπορουµε να ορισουµε αρνητικες δυναµεις του A: για n {,,...} οριζουµε A n = A A.. A. n ϕορες..3. Οι ακεραιες δυναµεις των πινακων συµπεριφερονται οπως οι ακεραιες δυναµεις αριθµων. ηλ. για καθε N N πινακα A εχουµε : m, n {, ±, ±,...} : A m A n = A m+n, (A m ) n = A mn (µε την επιφυλαξη οτι ο A πρεπει να ειναι οµαλος για να εχει αρνητικες δυναµεις)...4. Ενας N N πινακας A λεγεται ταυτοδυναµος ανν A = A...5. Για καθε ταυτοδυναµο πινακα ισχυει A k = A για καθε k {,, 3...}...6. Ενας N N πινακας A λεγεται µηδενοδυναµος ανν υπαρχει k {,, 3...} τετοιο ωστε A k =. Το µικροτερο τετοιο k το ονοµαζουµε ταξη του A...7. Ενας N N πινακας A λεγεται ενελικτικος ανν A = I.

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ. Λυµενα Προβληµατα... Επαληθευστε οτι ο εχει τον αντιστροφο Απαντηση. Εχουµε [ ] [ 3 ] 5 5 = [ 3 ] [ ] 5 5 = 3... Επαληθευστε οτι ο εχει τον αντιστροφο 5 5 [ A = ] 3 [ 3 ] A = [ ( )( ) [ 3 +( ) ( ) A = A 7 7 = ] [ ] = ] [ ] =. Απαντηση. Εχουµε = = Υπολογιστε τον αντιστροφο του [ A = Απαντηση. Εστω οτι ] 3 5. [ ] A x x =. x x Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] 3 5 x x =. x x Εκτελωντας τον παραπανω πολλαπλασιασµο παιρνουµε τις εξισωσεις 3x 5x = x + x =

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ και 3x 5x = x + x =. Λυνοντας το πρωτο συστηµα (µε αντικατασταση) εχουµε x = και x = λυνοντας το δευτερο συστηµα εχουµε x = 3, x = 5. Αρα [ ] 5 A =. 3 Αυτο το επαληθευουµε κανοντας τον πολλαπλασιασµο [ ] [ ] [ ] = Υπολογιστε τον αντιστροφο του A =. Απαντηση. Εστω οτι x x x 3 A = x x x 3. x 3 x 3 x 33 Πρεπει να εχουµε x x x 3 x x x 3 =. x 3 x 3 x 33 Εκτελωντας τον παραπανω πολλαπλασιασµο παιρνουµε τις εξισωσεις x + x 3 = x x + x 3 = x + x = και και x + x 3 = x x + x 3 = x + x = x 3 + x 33 = x 3 x 3 + x 33 = x 3 + x 3 =.

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Εχουµε τρια συστηµατα, το καθενα εκ των οποιων εχει τρεις εξισωσεις και τρεις αγνωστους. Μπορουµε λοιπον να λυσουµε το καθε συστηµα ξεχωριστα. Μετα απο αρκετες πραξεις παιρνουµε οποτε x = 4, x = 8, x 3 = 3 8 x =, x = 4, x 3 = 4 x 3 = 4, x 3 = 3 8, x 33 = 8 A = Μπορουµε λοιπον να υπολογισουµε τον αντιστροφο ενος 3 3 πινακα λυνοντας συστηµατα γραµµικων εξισωσεων. Οµως αυτος ο τροπος ειναι επιπονος. Στο Κεφαλαιο 4 ϑα δουµε εναν γενικο τυπο ο οποιος διευκολυνει τον υπολογισµο του αντιστροφου. Επισης, στα εποµενα προβληµατα ϑα δουµε µερικες ειδικες περιπτωσεις υπολογισµου αντιστροφου...5. ινονται οι. A =, B =. ειξτε οτι ο A ειναι αντιστροφος του B. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει αυτο ; (Υποδειξη : υπολογιστε το γινοµενο του µε ενα τυχαιο πινακα). Απαντηση. Παρατηρουµε οτι AB = =, BA = =. Οντως λοιπον A = B. Γιατι συµβαινει αυτο ; Παιρνουµε τυχοντα πινακα C και εκτελουµε τον πολλαπλασιασµο c c c 3 c 3 c c CA = c c c 3 = c 3 c c. c 3 c 3 c 33 c 33 c 3 c 3 Παρατηρουµε οτι ο πολλαπλασιαζοντας τον C επι A εναλλαξαµε τις στηλες του C: η πρωτη στηλη εγινε δευτερη, η δευτερη τριτη και η τριτη πρωτη. Παροµοια παιρνουµε τυχοντα πινακα D και εκτελουµε τον πολλαπλασιασµο d d d 3 d d 3 d DB = d d d 3 = d d 3 d. d 3 d 3 d 33 d 3 d 33 d 3

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 Παρατηρουµε οτι ο πολλαπλασιαζοντας τον D επι B εναλλαξαµε τις στηλες του D: η πρωτη στηλη εγινε τριτη, η δευτερη πρωτη και η τριτη δευτερη. Τι συµβαινει αν εκτελεσουµε και τους δυο πολλαπλασιασµους ; c c c 3 c c c 3 CAB = c c c 3 = c c c 3. c 3 c 3 c 33 c 3 c 3 c 33 Παιρνουµε τον αρχικο πινακα C. Αυτο δεν ειναι απροσδοκητο, αφου CAB = CAA = CI = C. Αλλα τωρα εχουµε και µια διαισθητικη εξηγηση : η πρωτη στηλη του C εγινε καταρχην δευτερη (στον πρωτο πολλαπλασιασµο) και κατοπιν η δευτερη εγινε πρωτη, δηλ. επανηλθε στην αρχικη της ϑεση. Το ιδιο συµβαινει και µετις αλλες στηλες. Ο πινακας B αντιστρεφει την µεταθεση στηλων που προξενει ο πινακας A. Οι πινακες A, B ειναι πινακες µεταθεσης (δες Κεφ. 4). Καθε πινακας που προκυπτει απο τον µοναδιαιο πινακα µε µεταθεση των στηλων του υλοποιει, µε εκ δεξιων πολλαπλασιασµο, την αντιστοιχη µεταθεση σε τυχοντα πινακα. Τι επιδραση εχει σε τυχαιο πινακα ο πολλαπλασιασµος εξ αριστερων µε ενα πινακα µεταθεσης ; Πειραµατιστε µε τους A, B...6. ειξτε οτι ο A = ειναι αντιστροφος του εαυτου του. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει αυτο ; Απαντηση. Πραγµατι AA = = δηλ. A = A (ο A ειναι αυτοαντιστροφος). ιασθητικα, ο A εναλλασσει την πρωτη και δευτερη στηλη καθε 3 3 πινακα αν αυτο επαναληφθει δυο ϕορες παιρνουµε τον αρχικο πινακα...7. Υπολογιστε τον αντιστροφο του A =.

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 4 Απαντηση. Ο A προκυπτει απο προς τα δεξια (κυκλικη) µεταθεση ολων των στηλων του µοναδιαιου. Αρα περιµενουµε οτι αντιστροφος του ϑα προκυπτει απο προς τα αριστερα κυκλικη µεταθεση ολων των στηλων του µοναδιαιου. ηλ. περιµενουµε A =. Πραγµατι = =...8. Υπολογιστε τον αντιστροφο του [ ] a a A =. a a Απαντηση. Εστω οτι [ ] A x x =. x x Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] a a x x =. a a x x Εκτελωντας τον παραπανω πολλαπλασιασµο παιρνουµε τις εξισωσεις και a x + a x = a x + a x = a x + a x = a x + a x =. Θα λυσουµε το πρωτο συστηµα µε αντικατασταση. Απο τη πρωτη εξισωση εχουµε οποτε στην δευτερη εξισωση παιρνουµε x = a x a a x a x + a x = a + a x = a a x = και x = a a a a a a a a a.

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 5 Με αντιστοιχο τροπο παιρνουµε Επισης εχουµε x = a a a a a a και x = a a a a a a a a [ a a a a a ] [ ] [ ] a a =. a a Οποτε εχουµε επαληθεσυει τον γενικο τυπο του αντιστροφου, που ειναι : Τελικα [ ] A a = a. (.) a a a a a a Στην παραπανω επιλυση υποθεσαµε οτι a a a a. Αν ειχαµε a a a a =, τοτε ο αντιστροφος του A δεν ϑα υπηρχε (δες και την παρακατω ασκηση)...9. ειξτε οτι (για καθε N) ο N N µηδενικος πινακας δεν εχει αντιστροφο. Απαντηση. Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] x y = z u το οποιο δινει το συστηµα x + z = y + u = x + z = y + u = Αλλα, προφανως, οι πρωτη και τεταρτη εξισωση ειναι αδυνατες και ετσι το συστηµα ειναι αδυνατο, δηλ. δεν υπαρχει ο αντιστροφος του µηδενικου πινακα.... ειξτε οτι ο [ ] A = δεν εχει αντιστροφο. Απαντηση. Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] x y = z u το οποιο δινει το συστηµα x + z = y + u = x + z = y + u = Αλλα, προφανως, η πρωτη εξισωση ειναι ασυµβατη µε την τριτη (και η δευτερη µε την τεταρτη) και ετσι το συστηµα ειναι αδυνατο, δηλ. δεν υπαρχει ο αντιστροφος του A.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 6... ειξτε οτι ο [ ] A = 4 δεν εχει αντιστροφο. Απαντηση. Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] x y = 4 z u το οποιο δινει το συστηµα x + z = y + u = x + 4z = y + 4u = Αλλα η πρωτη εξισωση πολλαπλασιασµενη επι δινει x+4z = και αυτη ειναι ασυµβατη µε την τριτη (το ιδιο συµβαινει µε την δευτερη και την τεταρτη εξισωση) και ετσι το συστηµα ειναι αδυνατο, δηλ. δεν υπαρχει ο αντιστροφος του A.... Εστω πινακας [ ] a a A =. a a Αποδειξτε οτι ο A υπαρχει ανν a a a a. Απαντηση. Εχουµε ηδη δειξει οτι, οταν A υπαρχει ο A και δινεται απο τον τυπο (.). Ας υποθεσουµε τωρα οτι και ας ϑεσουµε τον αντιστροφο a a a a = (.3) [ ] x y A =. z u Ας εξετασουµε πρωτα την περιπτωση a =. Τοτε απο την (.3) παιρνουµε και a a =. Αν a =, τοτε εχουµε [ ] [ ] [ ] x y = A a A = x + y = z u a το οποιο ειναι αδυνατο παροµοια ϐλεπουµε οτι το a οδηγει σε αντιφαση. Αρα δεν µπορει ουτε και το a να ειναι µηδενικο. Ας υποθεσουµε λοιπον οτι a a a a = και a. Τοτε οπως ειδαµε στο Εδαφιο..8, εχουµε και x = a x a (a a a a ) x = a a = a a = a =.

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 7 Τοτε οµως [ ] [ ] [ ] = AA a a = x y x + z = z u το οποιο επισης ειναι ατοπο. Αρα λοιπον, κακως υποθεσαµε οτι υπαρχει ο A αυτο ειναι ασυµβιβαστο µε την συνθηκη a a a a =...3. Εστω N N πινακας A. Αποδειξτε οτι αν υπαρχει N N πινακας B τετοιος ωστε BA = AB = I, τοτε ο B ειναι µοναδικος. Απαντηση. Εχουµε Εστω πινακας A που εχει δυο αντιστροφους, τους B και C. Τοτε πρεπει να εχουµε AB= BA = I AC= CA = I Πολλαπλασιαζοντας την πρωτη εξισωση απο δεξια µε C παιρνουµε CAB = CBA = C. Αλλα απο την δευτερη εχουµε CA = I, αρα IB = C δηλ. B = C. ηλαδη, αν ενας πινακας εχει αντιστροφο, εχει µοναδικο αντιστροφο...4. Αποδειξτε οτι (A ) = A. Απαντηση. Εχουµε Εστω B = (A ). Θα πρεπει να εχουµε BA = A B = I. Αλλα ενας πινακας που ικανοποιει την παραπανω ειναι ο B = A. Επειδη ο αντιστροφος του A ειναι (αν υπαρχει) µοναδικος, εχουµε (A ) = B = A...5. Αποδειξτε οτι (A B) = B A. Απαντηση. Αρκει να παρατηρησουµε οτι ( B A ) A B= B A A B = B I B = B B = I (A B) (B A ) = A B B A = A I A = A A = I...6. Εστω πινακες A και B τετοιοι ωστε AB = BA. ειξτε οτι A B = B A, BA = A B, AB = B A. Απαντηση. Εχουµε AB = BA (AB) = (BA) B A = A B και ετσι εχουµε αποδειξει την πρωτη Ϲητουµενη. Τωρα B A = A B BB A B = BA B B A B = BA και εχουµε αποδειξει την δευτερη. Η τριτη αποδεικνυεται παροµοια.

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Εστω N N πινακας A. Αποδειξτε οτι m, n {,,,...} : A m A n = A m+n, Απαντηση. Για το πρωτο Ϲητουµενο εχουµε (A m ) n = A mn A m A n = A... A A... A = A... A = m ϕορες n ϕορες m+n Am+n. ϕορες Για το δευτερο Ϲητουµενο εχουµε ( ) ( ) (A m ) n = A... A... A... A = A... A = A mn. m ϕορες n ϕορες m ϕορες..8. Υπολογιστε τους A, A 3 οταν [ ] A =. m n ϕορες Απαντηση. Εχουµε [ ] [ ] [ ] 3 A = A A = =, 3 A = A A [ ] [ ] [ ] = = Υπολογιστε τους B, B 3 για 3 B =. Απαντηση. Οµοια µε την προηγουµενη ασκηση εχουµε B = B B = 6, B 3 = B B B = Υπολογιστε το το A K για καθε ϑετικο ακεραιο K οταν [ ] A = Απαντηση. Υπολογιζουµε µερικες απο τις παραπανω δυναµεισ: [ ] [ ] [ ] [ =, = [ ] 3 [ ] [ ] 4 [ ] =, =. ],

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 9 Καθε αριθµος K µπορει να γραφτει στην µορφη K = 4n + k, οπου k =,,, 3. Αρα εχουµε A K = A 4n+k = A k και [ ] A 4n+k = οταν k = [ ] = οταν k = [ ] = οταν k = [ ] = οταν k = 3. Παρατηρειτε την οµοιοτητα µε τις δυναµεις του i = ;... ειξτε οτι ο ειναι ταυτοδυναµος. Απαντηση. Εχουµε 3 5 A = A A = : 3 5 A = = = A Ποιος απο τους πινακες 4 3 A = 3 4, B = 5 6, C = 4 3 4, ειναι ταυτοδυναµος, ποιος µηδενοδυναµος και ποιος ενελικτικος ; Απαντηση. Εχουµε A = = 3 4 = A και αρα ο A ειναι ταυτοδυναµος. Επισης εχουµε 3 B = B 3 = = = =

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 και αρα ο B ειναι µηδενοδυναµος ταξεως 3. Τελος C = = = I και αρα ο C ειναι ενελικτικος...3. Αποδειξτε οτι για καθε ταυτοδυναµο πινακα ισχυει A k = A για καθε k {,, 3...}. Απαντηση. Εστω A = A. Τοτε A 3 = A A = A A = A = A, A 4 = A 3 A = A A = A = A κ.τ.λ...4. Αν οι πινακες A, B ειναι µηδενοδυναµοι και AB = BA = αποδειξτε οτι ο A + B ειναι µηδενοδυναµος. Απαντηση. Εχουµε (A + B) = (A + B) (A + B) = A + AB + BA + B = και εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο...5. Να δειχτει οτι : αν AB = A και BA = B, τοτε οι A, B ειναι ταυτοδυναµοι. Απαντηση. Εχουµε Παροµοια δειχνουµε οτι B = B...6. Βρειτε τα x, y ωστε ο A = A A = AB A = A BA = A B = A. x y A = να ειναι ταυτοδυναµος. Απαντηση. Εχουµε x y x y x y + 3y 4x 4y 5x A = = x 6 y x y Για να ειναι λοιπον ο A ταυτοδυναµος ϑα πρεπει να εχουµε A = A, δηλ. x y + = 3y 4x = x 4y 5x = y x 6 = 3 y = 5 6 x = 3 y = 5,

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 Λυνοντας τις δυο τελευταιες εξισωσεις ϐρισκουµε x = 3, y = 5. Κατοπιν ελεγξουµε οτι οι πρωτες πεντε επαληθευονται. Αρα ο πινακας 3 5 A = ειναι ταυτοδυναµος...7. Βρειτε τα x, y ωστε ο 4 x y A = να ειναι ενελικτικος. Απαντηση. Θα πρεπει να εχουµε 4 x y 6 4y x 4x 4y y x A = = 4 x 3 y = x 3 4y Οποτε εχουµε το συστηµα 6 4y x = 4x 4y = y x = 4 x = 3 y = 4x = 3 4y = το οποιο εχει λυση x = 3, y = 3. Αρα ο πινακας A = ειναι ενελικτικος...8. ειξτε οτι : ο A ειναι ενελικτικος ανν (I A) (I + A) =. Απαντηση. Εστω οτι ο A ειναι ενελικτικος, δηλ. A = I. Τοτε (I A) (I + A) = I A + A A = I A =. Αν τωρα (I A) (I + A) =, ϑα εχουµε και οποτε ο A ειναι ενελικτικος. I A = A = I

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 (I + A) και (I A) ειναι µηδεν-..9. Αν ο A ειναι ενελικτικος, δειξτε οτι οι οδυναµοι. Απαντηση. Εχουµε ( ) (I + A) = ( ) I+A + A = 4 4 (I+A + I) = 4 (I+A) = (I + A). Η περιπτωση (I A) αποδεικνυεται παροµοια...3. Βρειτε εναν ανω τριγωνικο πινακα A τετοιο ωστε [ ] 8 57 A 3 = 7 Τοτε Απαντηση. οποτε πρεπει να εχουµε Ο A ϑα ειναι προφανως. Εστω [ ] x y A =. u [ ] 3 [ ] x y x A 3 3 x (uy + xy) + u = = y u u 3 x 3 = 8 u 3 = 7 x (uy + xy) + u y = 57. Βλεπουµε αµεσως οτι µια λυση ειναι x =, u = 3, y = 3 (υπαρχουν και αλλες, µιγαδικες λυσεις). Οποτε ενας πινακας που ικανοποιει το Ϲητουµενο ειναι ο [ ] 3 A = Μπορουµε να ορισουµε και ϱητες δυναµεις πινακων, π.χ. ο A / (δηλ. η τετραγωνικη ϱιζα ενος πινακα A) ειναι ενας πινακας B που εχει την ιδιοτητα B = A. Οµως δεν εχουν ολοι οι πινακες τετραγωνικη ϱιζα και οταν εχουν αυτη δεν ειναι παντα µοναδικη. Γενικα, ο ορισµος ϱητων δυναµεων A m/n ειναι αρκετα πολυπλοκη υποθεση, µε την οποια δεν ϑα ασχοληθουµε προς το παρον, πλην µερικων παραδειγµατων που δινονται παρακατω...3. ινεται ο πινακας Βρειτε ολους τους πινακες A = [ 4 [ B = 4 ]. ] /,

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 33 δηλ. ολους τους πινακες B που ικανοποιουν [ ] B =. 4 Τοτε Απαντηση. Εστω Θα πρεπει να εχουµε [ ] x y B =. z u [ ] [ ] x y x B = = + yz uy + xy z u uz + xz u. + yz x + yz = (u + x) y = (u + x) z = 4 u + yz =. Απο την δευτερη εξισωση εχουµε u + x = ή y =. Αλλα αν u + x = δεν µπορει να ικανοποιηθει η τριτη εξισωση. Αρα εχουµε y = και τοτε οι υπολοιπες εξισωσεις γινονται x = (u + x) z = 4 u =. Βλεπουµε λοιπον αµεσως οτι x = ± και u = ±. Οποτε τελικα εχουµε τις εξης δυνατες λυσεις. u =, x =, z =, και u =, x =, z = και οι Ϲητουµενοι πινακες ειναι [ ] [ ] B =, B = ή, µε αλλα λογια, [ ] / [ ] = ± ινεται ο πινακας Βρειτε ολους τους πινακες Απαντηση. Εδω εχουµε [ x y B = z u [ ] 9 4 A =. 8 9 B = [ ] /. ] [ x, B = + yz uy + xy uz + xz u + yz ]

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 34 και Ας υποθεσουµε u + x. Τοτε Αντικαθιστωντας παιρνουµε x + yz = 9 (u + x) y = 4 (u + x) z = 8 u + yz = 9 y z = 4 8 z = y. x + y = 9 (u + x) y = 4 u + y = 9 Οποτε απο την η και 3η εξισωση ϐλεπουµε οτι x = u και αφου u x εχουµε u = x. Οποτε τελικα λυνουµε το συστηµα Το οποιο εχει τεσσερις λυσεις x + y = 9 x =, y =, xy = 4 x =, y =, x =, y = x =, y = απο τις οποιες προκυπτουν και οι λυσιες (x, y, z, u) να ειναι u =, x =, y =, z = 4, u =, x =, y =, z = 4, u =, x =, y =, z =, u =, x =, y =, z = Με αλλα λογια, ο A εχει τεσσερις τετραγωνικες ϱιζες Αποδειξτε οτι : (I A) = I + A + A + A Απαντηση. Παρατηρουµε οτι ( I + A + A +A ) (I A) = I + A + A +A A A A = I

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 35 επειδη για καθε +A n υπαρχει το αντιστοιχο A n.(παρατηρηση: αυτη η αποδειξη δεν ειναι αυστηρη µια αυστηρη αποδειξη ϑα αρξιζε οριζοντας τους πινακες B n = I + A + A A n και ϑα εδειχνε οτι B n (I A) = I A n+. Κατοπιν ϑα επρεπε να δειξουµε οτι A n. Ποτε συµβαινει αυτο ;).3 Αλυτα Προβληµατα.3.. ινονται οι [ ] 3 A =, B =. Υπολογιστε τους A, A 3, B, B 3. Απ. [ ] [ ] A =, A 3 =, B = 6, B 3 = ειξτε οτι ο.3.3. ειξτε οτι ο [ ] [ ] = = Υπολογιστε τον αντιστροφο των παρακατω πινακων, οταν αυτος υπαρχει. [ ] [ ] [ ] A =, B =, C =. 4 Απ. [ ] [ 5 ] A =, B = 4, ο C δεν υπαρχει Υπολογιστε τον αντιστροφο των παρακατω πινακων, οταν αυτος υπαρχει A =, B =, C =. 3 6 Απ. A = 4 3, B = 3 4, C =

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ειξτε οτι ο =. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει αυτο ; (Υποδειξη : υπολογιστε το γινοµενο του µε ενα τυχαιο πινακα) ειξτε οτι ο ειναι αντιστροφος του εαυτου του. αυτο ;.3.8. Βρειτε τον αντιστροφο του Απ. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει A =. A = Αποδειξτε οτι : (A ) = A, (A B) = B A, (A T ) = (A ) T..3.. Αποδειξτε οτι : (I A) = I + A + A + A Υπολογιστε τα για τυχοντα ϑετικο ακεραιο K..3.. Αποδειξτε οτι [ ] K i, i a b c d [ i i.3.3. Υπολογιστε το για τυχοντα ϑετικο ακεραιο K. K ] K a K = b K c K. d K [ a a ] K

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Αποδειξτε οτι οπου A και B ειναι τετραγωνικοι πινακες. [ ] K [ ] A A = K B B K,.3.5. Εστω οτι A ειναι N N και A = I. Θετουµε B = (I + A), C = (I A). ειξτε οτι B = C = I και οτι BC = Εστω οτι A, B ειναι N N και υπαρχει ο A. ειξτε οτι.3.7. ειξτε οτι ο ειναι µηδενοδυναµος ταξεως 3. (A + B) A (A B) = (A B) A (A + B). 3 A = Να δειχτει οτι : αν ο A ειναι µηδενοδυναµος ταξεως, τοτε A (I A) k = A για καθε k {,,...} Αν για τους πινακες A, B, C ισχυει A + B + C = I, δειξτε οτι αυτοι ειναι µηδενοδυναµοι ανν AB = BC = CA =..3.. Εστω... N N N A N = N N N N ειξτε οτι για καθε k {,,...} εχουµε (A N ) k = A N..3.. ειξτε οτι ο A = ειναι ενελικτικος..3.. Αν ο A ειναι ενελικτικος, δειξτε οτι (I + A) (I A) = ινεται ο πινακας Βρειτε ολους τους πινακες B = A /. [ ] 9 4 A =. 8 9

46 Κεφάλαιο 3 Μερικοι Ειδικοι Τυποι Πινακων 3. Θεωρια 3... Ο αναστροφος του A συµβολιζεται A T και προκυπτει αν µετατρεψουµε τις γραµµες του A σε στηλες και τις στηλες σε γραµµες : ( ) A T = A mn nm. ηλ. A = r r r M... AT = [ ] r T r T... r T M Αν οι παρακατω πραξεις ειναι δυνατες τοτε ισχυουν τα εξης : (A + B) T = A T +B T, (C D) T = D T C T Ενας τετραγωνικος πινακας A λεγεται συµµετρικος αν A T = A (δηλ. ο A εχει ιδιες γραµµες και στηλες) Ενας τετραγωνικος πινακας A λεγεται αντισυµµετρικος ανν A T = A Για καθε τετραγωνικο πινακα ισχυουν τα παρακατω.. Ο A + A T ειναι συµµετρικος και ο A A T ειναι αντισυµµετρικος.. A = (A + A T ) + (A A T ) Ενας τετραγωνικος πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται διαγωνιος ανν (για m =,,..., N, n =,,..., N) εχουµε m n a mn =. ηλ. a... a A = a a NN 38

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΡΙΚΟΙ ΕΙ ΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ Ενας τετραγωνικος πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται ανω τριγωνικος ανν (για m =,,..., N, n =,,..., N) εχουµε m > n a mn =. ηλ. a a a 3... a N a a A = a a NN Ενας τετραγωνικος πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται κατω τριγωνικος ανν (για m =,,..., N, n =,,..., N) εχουµε m < n a mn =. ηλ. a... a a A = a 3 a 3 a a N a NN Καθε M N πινακας A µπορει να γραφτει ως διαµερισµενος πινακας, στην µορφη A A... A L A = A A A K A KL οπου A kl (k =,,..., K και l =,,..., L) ειναι πινακας διαστασης M k N l και M M K = M, N N L = N Εστω διαµερισµενοι πινακες A, B: A A... A L A = A A , B = A K A KL B B... B L B B B K B KL οπου οι διαστασεις του A kl και του B kl ειναι ισες για k =,,..., K και l =,,..., L. Τοτε A + B A + B... A L + BL A + B = A + B A + B A K + B K A KL + B KL 3... Εστω διαµερισµενοι πινακες A, B: A A... A L A = A A , B = A K A KL B B... B L B B B K B KL

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΡΙΚΟΙ ΕΙ ΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ 4 οπου οι διαστασεις του A kp και του B pl ειναι τετοιες ωστε ολοι οι παρακατω πολλαπλασιασµοι ειναι δυνατοι. Τοτε P p= A p B P p p= A p B p... P p= A p B pl P A B = p= A p B P p p= A p B p P p= A Kp B p P p= A Kp B pl ηλαδη µπορουµε να υπολογισουµε τους υποπινακες του A B ϑεωρωντας τους υποπινακες των A, B ως στοιχεια του πινακα και εκτελωντας πολλαπλασιασµο πινακων Αν ο N N πινακας A ειναι διαµερισµενος διαγωνιος, δηλ. εχει την µορφη A... A = A A KK και οι A kk ειναι τετραγωνικοι οµαλοι πινακες (για k {,,..., K}) τοτε A... A = A A 3. Λυµενα Προβληµατα 3... Γραψτε τους αναστροφους των παρακατω πινακων [ ] A = 4 a b, B = c d 6 7 Απαντηση. KK [ ] [ ] 4 6 a c A T =, B T =. 7 b d 3... Ποιοι απο τους παρακατω πινακες ειναι συµµετρικοι και ποιοι αντισυµµετρικοι ; [ ] [ ] A =, B =, C = 3, D = 3, [ ] 3 6 [ ] [ ] 3 6 E =, F = , G =, H = Απαντηση. Οι A, B, G ειναι συµµετρικοι οι D, H ειναι αντισυµµετρικοι.

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων ΜΑΘΗΜΑ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Έστω οι συναρτήσεις : A R, :Β R Το τυχαίο A, µε την A. αντιστοιχίζεται στην τιµή Αν η τιµή αυτή ( ) B θα αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/24 Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. Ορισµοί 2. Σύστηµα σε µορφή πίνακα 3. Επίλυση Crammer 4. Επίλυση Gauss

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα