Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91"

Transcript

1 Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης, v..9

2 Περιεχόµενα Εισαγωγη I Βασικες Εννοιες Πινακες. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Αντιστροφος Πινακας και υναµεις Πινακων 8. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Μερικοι Ειδικοι Τυποι Πινακων Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Οριζουσες και Αντιστροφοι Πινακες Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Οριζουσες και Συστηµατα Γραµµικων Εξισωσεων Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Απαλοιφη Gauss και Συστηµατα Γραµµικων Εξισωσεων 9 6. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα vi i

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 ιανυσµατικοι Χωροι 5 7. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα ιανυσµατικοι Χωροι και Συστηµατα Γραµµικων Εξισωσεων 4 8. Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Ορθογωνιοτητα ιανυσµατων Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Ορθογωνιοτητα ιανυσµατικων Χωρων 73.Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Μιγαδικοι Πινακες 98.Περιληψη Θεωρια και Παραδειγµατα Αλυτα Προβληµατα Ιδιοτιµες και Ιδιοδιανυσµατα 7.Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα ιαγωνιοποιηση και Συναρτησεις Πινακων 34 3.Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα II Συµπληρωµατικα Θεµατα 6 4 Οριζουσες : Θεωρητικη Θεµελιωση 6 4.Θεωρια Λυµενα Προβληµατα Αλυτα Προβληµατα Επαναληπτικη Λυση Συστηµατων Γραµµικων Εξισωσεων 94 ii 6 Πινακες, Εξισωσεις ιαφορων και ιαφορικες Εξισωσεις 95

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 Στοχαστικοι Πινακες 96 8 Πινακες και Ηεκτρικα Κυκλωµατα 97 9 Γενικευσεις 98 9.Περιληψη Θεωρια και Παραδειγµατα Αλυτα Προβληµατα Πινακες και Θεωρια Γραφων 3 iii

5 Προλογος Αγαπητε αναγνωστη, το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια καθως και λυµενα και αλυτα προβληµατα Γραµµικης Αλγεβρας και προοριζεται για χρηση απο τους ϕοιτητες της Πολυτεχνικης Σχολης του Αριστοτελειου Πανεπιστηµιου Θεσσαλονικης. Σε αυτο τον συντοµο προλογο δινω µερικες οδηγιες για την χρηση αυτου του τευχους. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης µε τα µαθηµατικα ειναι η επιλυση προβληµατων οσο περισσοτερα προβληµατα λυσεις τοσο πιο πολλα µαθηµατικα ϑα µαθεις! Συµφωνα µε αυτη την αποψη, στο παρον τευχος η ϑεωρια παρουσιαζεται σε µεγαλη συντοµια, αλλα υπαρχει µεγαλος αρι- ϑµος λυµενων και αλυτων προβληµατων. Χρησιµοποιησε τα λυµενα προβληµατα ως ενα ενδιαµεσο ϐοηθηµα για την επιλυση των αλυτων. Με αλλα λογια, δεν αρκει να µελετησεις τα ηδη λυµενα προβληµατα. Αν δεν λυσεις ο ιδιος µεγαλο αριθµο των αλυτων προβληµατων δεν ϑα ωφεληθεις ιδιαιτερα και η πιθανοτητα να περασεις το αντιστοιχο µαθηµα ϑα ειναι µικρη. Το παρον τευχος δεν εχει παρει ακοµη την τελικη του µορφη και ειναι πιθανον καποιες λυσεις και απαντησεις να περιεχουν σφαλµατα. Η παρουσα εκδοση εχει τον κωδικο v..9 εποµενες εκδοσεις ϑα χαρακτηριζονται απο µικροτερο αριθµο σφαλµατων και µεγαλυτερους κωδικους. Στην διαδικασια της διορθωσης σηµαντικο ϱολο εχουν παιξει ϕοιτητες προηγουµενων ετων, τους οποιους ευχαριστω ϑερµα. Παντως πιστευω οτι η παρουσα µορφη ϑα σου ϕανει πολυ χρησιµη, ιδιαιτερα σε συνδυασµο µε το διδακτικο ϐιβλιο το οποιο ϑα σου δοθει κατα την διαρκεια του εξαµηνου. Το τευχος περιεχει κεφαλαια. Τα Κεφαλαια -3 πραγµατευονται ϐασικα ϑεµατα τα οποια πρεπει να διδαχτει καθε µελετητης της Γραµµικης Αλγεβρας. Τα Κεφαλαια 4- πραγµατευονται ειδικοτερα ϑεµατα, τα οποια συνηθως παραλειπονται στο εισαγωγικο µαθηµα Γραµµικης Αλγεβρας για µηχανικους. Πως σχετιζεται το παρον τευχος µε την εξεταση του µαθηµατος ; Η απαντηση ειναι απλη : στις εξετασεις µπορεις να περιµενεις οποιοδηποτε προβληµα ειναι παροµοιο µε καποιο που περιεχεται στο τευχος, χωρις να ειναι απαραιτητο ενα τετοιου τυπου προβληµα να εχει λυθει στην ταξη. Υπαρχει µονο µια εξαιρεση : δεν απαιτειται να ξερεις δυσκολες αποδειξεις. Οµως ο ορος δυσκολη αποδειξη, οπως και ο ορος παρο- µοιο προβληµα δεν ειναι απολυτως σαφης. Για µια καλυτερη κατανοηση του τι εννοω µε τους ορους αυτους ϑα πρεπει να παρακολουθησεις τις παραδοσεις του µαθηµατος. Ακολουθω την ονοµατολογια της αναπτυξης software: το τευχος ειναι ακοµα σε µορφη beta η πρωτη τελικη εκδοση ϑα ειναι η v... Στην παρουσα εκδοση δεν εχω ακοµη γραψει τα Κεφαλαια 4-9. iv

6 Παντως το σιγουρο ειναι το εξης : αν λυσεις ολα τα αλυτα προβληµατα του παροντος τευχους ϑα εισαι απολυτα ετοιµος για την εξεταση του µαθηµατος. Ετσι λοιπον, ο καλυτερος τροπος χρησης του παροντος τευχους ειναι ο εξης : αφου µελετησεις τα λυµενα προβληµατα καθε κεφαλαιου, προσπαθησε να λυσεις οσο µπορεις περισσοτερα απο τα αλυτα προβληµατα εαν δεν µπορεις να λυσεις καποιο αλυτο προβληµα, ϐρες µε ποια απο τα λυµενα παρουσιαζει αυτο την µεγαλυτερη οµοιοτητα και προσπαθησε να εφαρµοσεις την µεθοδολογια των λυµενων στο αλυτο. Θανασης Κεχαγιας Θεσσαλονικη, Σεπτεµβρης v

7 Εισαγωγη Η Γραµµικη Αλγεβρα εχει τρια κυρια αντικειµενα µελετης (τα οποια ειναι στενα συνδεδε- µενα µεταξυ τους, οπως ϑα ϕανει παρακατω):. τους πινακες,. τα συστηµατα γραµµικων εξισωσεων, 3. την γεωµετρια του N-διαστατου χωρου, οπου N =,, 3, Θεωρουµε γνωστη την εννοια συστηµα γραµµικων εξισωσεων", οπως επισης και τις στοιχειωδεις µεθοδους επιλυσης τετοιων συστηµατων. Επισης ϑεωρουµε γνωστα τα ϐασικα στοιχεια των διανυσµατων και της αναλυτικης γεωµετριας του επιπεδου. Οι πινακες ειναι µαθηµατικα αντικειµενα τα οποια µπορουµε να σκεφτουµε ως µια γενικευση των πραγµατικων αριθµων. Οι πινακες παρεχουν εναν ευχερη και συµπαγη συµβολισµο για την διατυπωση και επιλυση ενος εψρεως ϕασµατος µαθηµατικων προβληµατων. Ενα απο αυτα τα προβληµατα ειναι και η επιλυση συστηµατων γραµµικων εξισωσεων. Επιπλεον, επειδη οι πινακες µπορουν επισης να ϑεωρηθουν γενικευση των διανυσµατων, η γραµµικη αλγεβρα µπορει να χρησιµοποιηθει για την γενικευση στις N διαστασεις της γεωµετριας του επιπεδου ( διαστασεις) και του χωρου (3 διαστασεις). Με αυτο τον τροπο µπορουµε να κατανοησουµε καλυτερα και ϐαθψτερα την Γεωµετρια και να την χρησιµοποιησουµε για να αποκτησουµε εποπτικη αντιληψη των συστηµατων γραµµικων εξισωσεων. Επιπλεον, η Γραµµικη Αλγεβρα χαρακτηριζεται, οπως ϕανερωνει το ονοµα, απο την αλγεβρικη προσεγγιση 4. Το παρον τευχος περιεχει κεφαλαια. Τα Κεφαλαια ως 3 πραγµατευονται ϐασικα ϑεµατα τα οποια πρεπει να διδαχτει καθε µελετητης της Γραµµικης Αλγεβρας. Τα Κε- ϕαλαια 4 ως πραγµατευονται ειδικοτερα ϑεµατα, τα οποια συνηθως παραλειπονται στο εισαγωγικο µαθηµα Γραµµικης Αλγεβρας για µηχανικους 5. Χρησιµοποιουµε τον τυπικο µαθηµατικο συµβολισµο, γνωστο και απο το Λυκειο. Σηµειωνουµε ιδιατερα τα εξης. 3 Ακοµη και N = περιλαµβανεται ως µια πολυ ειδικη και τετριµµενη περιπτωση. 4 Η ειδικη περιπτωση στην οποια N = η 3 (δηλ. η µελετη της γεωµετριας του επιπεδου και του τριδιαστατου χωρου) ειναι επισης αντικειµενο µιας αλλης µαθηµατικης ϑεωριας, της Αναλυτικης Γεωµετριας. Η Αναλυτικη Γεωµετρια χρησιµοποιει πολλες εννοιες και εργαλεια της Γραµµικης Αλγεβρας, αλλα επεκτεινεται και σε µη γραµµικες µαθηµατικες οντοτητες (π.χ. τις δευτεροβαθµιες επιφανειες). 5 Η συγγραφη των Κεφαλαιων 4- δεν εχει ακοµη ολοκληρωθει (στην παρουσα εκδοση v.9 του τευχους). vi

8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Το συνολο των πραγµατικων αριθµων συµβολιζεται µε R και αυτο των µιγαδικων αριθµων µε C.. Ο συµβολισµος αθροισµατος ειναι ο εξης N a n = a + a a N. n= Αντιστοιχα, ο συµβολισµος γινοµενου ειναι ο εξης N a n = a a... a N. n= 3. Η λεξη ανν σηµαινει αν και µονο αν. Η συντοµογραφια τ.ω. σηµαινει τετοιο ωστε. vii

9 Μέρος I Βασικες Εννοιες

10 Κεφάλαιο Πινακες Στα µαθηµατικα (οπως και στην καθοµιλουµενη) πινακας σηµαινει µια ορθογωνια διαταξη (αριθµων ή αλλων οντοτητων). Αυτο που κανει του µαθηµατικους πινακες ιδιαιτερα χρησιµους ειναι οτι αφου τους εφοδιασουµε µε πραξεις µπορουµε να τους χρησι- µοποιησουµε ως γενικευµενους αριθµους οι οποιοι (οπως ϑα ϕανει σε εποµενα κε- ϕαλαια) διευκολυνουν την επιλυση πολλων µαθηµατικων προβληµατων.. Θεωρια... Ενας πινακας A ειναι µια ορθογωνια διαταξη αριθµων : a a... a N A = a a... a N a M a M... a MN Το στοιχειο του A στην m-στη γραµµη και στην n-στη στηλη συµβολιζεται µε a mn ή (A) mn (και λεµε οτι εχει συντεταγµενες m, n).... Πιο αυστηρα, ενας M N πινακας ειναι µια συναρτηση µε πεδιο ορισµου το συνολο {,,..., M} {,,..., N} και πεδιο τιµων το R: A : {,,..., M} {,,..., N} R. ηλ. σε καθε Ϲευγαρι (m, n) {,,..., M} {,,..., N} αντιστοιχιζουµε εναν αριθµο a mn, που ειναι το στοιχειο του πινακα στην ϑεση µε συντεταγµενες m, n...3. Ο παραπανω ορισµος του πινακα µπορει να γενικευτει. Π.χ. τα στοιχεια του πινακα µπορει να ειναι µιγαδικοι αριθµοι...4. Για το τυχον στοιχειο a mn του πινακα, λεµε οτι m ειναι ο δεικτης γραµµης και n ειναι ο δεικτης στηλης...5. Οταν ο A εχει M γραµµες και N στηλες, λεµε οτι εχει διασταση M N. Θα εξετασουµε αυτην και αλλες γενικευσεις στο Κεφαλαιο.

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Οταν ο A εχει διασταση N N (δηλ. ισο αριθµο γραµµων και στηλων) τοτε λεµε οτι ειναι τετραγωνικος...7. υο M N πινακες A, B ειναι ισοι (γραφουµε A = B) ανν για m {,..., M} και n {,..., N} ισχυει m mn = b mn...8. Οταν ο A εχει στηλη (εχει διασταση M ) λεµε οτι ειναι πινακας-στηλη: A =..9. Οταν ο A εχει γραµµη (εχει διασταση N) λεµε οτι ειναι πινακας-γραµµη: a a... a M. A = [ a a... a N ].... Οι πινακες-γραµµες και οι πινακες-στηλες λεγονται και διανυσµατα.... Μπορουµε να γραψουµε ενα πινακα ως συνδυασµο των γραµµων του : οπου (για m {,..., M} ): A = r r... r M, r m = [ a m a m... a mn ].... Επισης µπορουµε να γραψουµε τον πινακα ως συνδυασµο των στηλων του : οπου (για n {,..., N} ): A = [ c c... c N ], c n = a n a n... a Mn..3. Η προσθεση πινακων οριζεται ως εξης. Εστω οτι εχουµε πινακες A (διαστασης M N) και B (διαστασης M N). Τοτε. (A + B) mn = a mn +b mn (A B) mn = a mn b mn. Προσοχη! Η προσθεση A + B ειναι δυνατη µονο αν οι A και B εχουν ιδιες διαστασεις!

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Ενας πινακας A µε διαστασεις M N, λεγεται µηδενικος ανν για m =,,..., M, n =,,..., N εχουµε a mn =, δηλ.... M,N = Ο µηδενικος πινακας συµβολιζεται µε M,N η και απλα µε (δηλ. οταν η διασταση M N προκυπτει απο τα συµφραζοµενα, παραλειπεται ο συµβολισµος της) Ο πολλαπλασιασµος πινακα επι αριθµο οριζεται ως εξης : (κ A) mn = κ a mn...6. Για ολους τους πινακες A, B ισχυουν τα εξης (αρκει οι διαστασεις αυτων να ειναι τετοιες ωστε οι πραξεις ειναι δυνατες).. A + = A. (Το ειναι το ουδετερο στοιχειο της προσθεσης).. A + B = B + A. (Αντιµεταθετικοτητα.) 3. A + (B + C) = (A + B) + C. (Προσεταιριστικοτητα.) 4. A + (( ) A) = (( ) A) + A =. (Ο αντιθετος του A ειναι ο A = ( ) A.) 5. κ (A + B) = κ A+κ B = (A + B) κ. (Επιµεριστικοτητα.) 6. (κ + λ) A = κ A+λ A.(Επιµεριστικοτητα.) 7. (κ λ) A = κ (λ A)...7. Ο πολλαπλασιασµος πινακα επι πινακα οριζεται ως εξης. Εστω οτι εχουµε πινακες A (διαστασης M K) και B (διαστασης K N). Τοτε (A B) mn = K a mk b kn. Προσοχη! Ο πολλαπλασιασµος A B ειναι δυνατος µονο αν ο αριθµος των στηλων του A ειναι ισος µε αυτο των γραµµων του B! k=..8. Ενας πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται µοναδιαιος ανν για m, n =,,..., N εχουµε a mm = και a mn = οταν m n, δηλ I N = Ο µοναδιαιος πινακας συµβολιζεται µε I N η και απλα µε I (δηλ. οταν η διασταση N προκυπτει απο τα συµφραζοµενα, παραλειπεται ο συµβολισµος της).

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Για ολους τους πινακες A, B, C ισχυουν τα εξης (αρκει οι διαστασεις αυτων να ειναι τετοιες ωστε οι πραξεις ειναι δυνατες).. I A = A I = A. (Το I ειναι το ουδετερο στοιχειο του πολλαπλασιασµου πινακων).. Υπαρχουν πινακες A, B για τους οποιους A B B A. 3. A (B C) = (A B) C. (Προσεταιριστικοτητα.) 4. A (B + C) = A B + A C. (Επιµεριστικοτητα.) 5. (B + C) A = B A + C A. (Επιµεριστικοτητα.) 6. κ (A B) = (κ A) B = A (κ B). 7. A = A =.... Για καθε N N (τετραγωνικο) πινακα A, µπορουµε να ορισουµε τις δυναµεις του : A = A A, A 3 = A A A κ.τ.λ. Συµβατικα οριζουµε A = I. Ισχυουν οι συνηθισµενες ιδιοτητες των δυναµεων : A m A n = A m+n, (A m ) n = A mn. Μπορουµε να επεκτεινουµε τον ορισµο ωστε να εχουµε αρνητικες ακεραιες δυναµεις, κλασµατικες δυναµεις (π.χ. A /, την τετραγωνικη ϱιζα του A κ.ο.κ. ).. Λυµενα Προβληµατα... Ποια ειναι η διασταση των παρακατω πινακων ; Ποιοι εξ αυτων ειναι τετραγωνικοι ; [ ] 3 A =, B = [ 3 ] [ ] , C =, D = [3], E = Απαντηση. Ο A ειναι, τετραγωνικος ο B ειναι ο C ειναι 3 ο D ειναι, τετραγωνικος ο B ειναι ινεται πινακας 5 A = Ποια ειναι η τιµη του στοιχειου a ; Του a 3 ; Του a 3 ; Ποιοι ειναι οι δεικτες γραµµης και στηλης του 5; Του 8; Απαντηση. a =, a 3 = 6, a 3 = 8. Το 5 εχει δεικτη γραµµης και στηλης το 8 εχει δεικτη γραµµης 3 και στηλης...3. Οι πινακες A = [ x y ], B = [ 3 z 4 ειναι ισοι. Ποιες ειναι οι τιµες των x, y, z; Απαντηση. A = B i, j : a ij = b ij. Αρα ειναι x = 3, y = 4 και z =. ] Αυτα τα ϑεµατα εξεταζονται σε περισσοτερη λεπτοµερεια στο Κεφαλαιο ;;.

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Συγκρινετε τα διανυσµατα της Γραµµικης Αλγεβρας µε τα διανυσµατα που µας ειναι γνωστα απο τον ιανυσµατικο Λογισµο. Απαντηση. Καταρχην τονιζουµε οτι στον ιανυσµατικο Λογισµο υπαρχουν τρια ειδη διανυσµατων : ελευθερα, ολισθαινοντα και εφαρµοστα. Εµεις ϑα ασχοληθουµε µε τα ελευθερα διανυσµατα. Ενα ελευθερο διανυσµα ειναι ενα βελος η προσανατολισµενο ευθυγραµµο τµηµα (στο επιπεδο ή στον 3-διαστατο χωρο) η ϑεση του ελευθερου διανυσ- µατος δεν ειναι προσδιορισµενη! Αυτα τα οποια προσδιοριζονται ειναι το µηκος, η ϕορα και η διευθυνση αυτου.μπορουµε να πουµε οτι ενα ελευθερο διανυσµα αντιστοιχει σε µια απειρια ϐελων, τα οποια εχουν τηο ιδιο µηκος, ϕορα και διευθυνση. ειτε και το σχηµα. Σχηµα.. Οι πληροφοριες αυτες (µηκος, ϕορα και διευθυνση) προσδιοριζονται πληρως απο δυο αριθµους στον χωρο και τρεις αριθµους στο επιπεδο. Π.χ. στον χωρο, το διανυσµα a προσδιοριζεται απο την τριαδα (x, y, z). Αν επιλεξουµε απο την οικογενεια των προσανατολισµενων ευθυγραµµων τµηµατων (που αντιστοιχουν στο a ) αυτο το οποιο εχει την αρχη του στην αρχη των αξονων (,, ), τοτε προσδιοριζουµε µονοσηµαντα και το περας του a, το οποιο ειναι ενα σηµειο µε συντεταγµενες (x, y, z). Γραφουµε a = (x, y, z) και εχουµε µια -προς- αντιστοιχια µεταξυ ελευθερων διανυσµατων και σηµειων. Θυµοµαστε οµως οτι σε αυτη την αντιστοιχια καθε προσανατολισµενο ευθυγραµµο τµηµα παραλληλο σε αυτο που εχει αρχη το (,, ) και περας το (x, y, z) ταυτιζεται επισης µε το σηµειο (x, y, z). Στην Γραµµικη Αλγεβρα ενα διανυσµα ειναι ενας πινακας. Αν εχουµε το διανυσµα a = (x, y, z) και κατασκευασουµε τον πυνακα a = µε a = x, a = y, a 3 = z, τοτε το διανυσµα a και ο πινακας a ταυτιζονται. Μπορουµε οµως να ταυτισουµε το a [ ] και µε τον πινακα a a a 3. Με αλλα λογια, καθε διανυσµα µπορει να ταυτιστει ειτε µε εναν πινακα-στηλη ειτε µε εναν πινακα-γραµµη οποιοσδηποτε απο τους δυο πινακες µπορει να ταυτιστει µε ενα σηµειο (το περας του a οταν η αρχη αυτου ϐρισκεται στην αρχη των αξονων). Απο εδω και περα ϑα χρησι- µοποιουµε τον συµβολισµο a για να δηλωσουµε οποιοδηποτε απο τα εξης : το διανυσµα, το σηµειο, τον πινακα-γραµµη ή τον πινακα-στηλη. 3 a a a Γραψτε τον πινακα [ A = 4 ] 3 µε συµβολισµο γραµµων και συµβολισµο στηλων. Το ιδιο για τον πινακα B = Το αν ο a ειναι πινακας-γραµµη ή στηλη ϑα προκυπτει απο τα συµφραζοµενα.

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 7 Απαντηση. Θετουµε και εχουµε Θετουµε τωρα και εχουµε A = [c c c 3 ]. r = [ 4 3 ], r = [ ] A = [ r r ]. [ ] [ ] [ ] 4 3 c =, c =, c 3 =..6. ινονται οι πινακες [ ] [ ] [ ] 3 A =, B =, C = Υπολογιστε τα A + B, A B, A + C. Απαντηση. [ ] [ ] [ ] [ ] A + B = + = = [ ] [ ] [ ] [ ] A B = = = Η προσθεση A + C δεν ειναι δυνατη...7. Αποδειξτε οτι A + = A. Απαντηση. Εχουµε για καθε m, n (A + ) mn = (A) mn + () mn = a mn + = a mn = (A) mn. Αφου αυτο ισχυει για καθε m, n, εχουµε A + = A...8. Αποδειξτε οτι A + B = B + A. Απαντηση. Εχουµε για καθε m, n (A + B) mn = (A) mn + (B) mn = a mn + b mn = b mn + a mn = (B + A) mn. Αφου αυτο ισχυει για καθε m, n, εχουµε A + B = A + B...9. Αποδειξτε οτι κ (A + B) = κ A+κ B = (A + B) κ. Απαντηση. Εχουµε για καθε m, n (κ (A + B)) mn = κ (A + B) mn = κ ((A) mn + (B) mn ) = κ a mn + κ b mn = (κ A) mn + (κ B) mn. Αφου αυτο ισχυει για καθε m, n, εχουµε κ (A + B) = κ A + κ B.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 8... ινονται οι πινακες [ ] [ ] [ ] 3 A =, B =, C = Υπολογιστε τα AB, BA, AC, CA. Απαντηση. [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) 7 AB = = = ( ) 3 5 [ ] [ ] [ ] 9 8 BA = =, ειναι διαφορο του AB [ ] [ ] 3 AC = [ ] [ ] + 3 ( ) = = ( ) Ο πολλαπλασιασµος CA δεν µπορει να γινει.... Αποδειξτε οτι I A = A I = A Απαντηση. Θα δειξουµε οτι για καθε m, n εχουµε (I A) mn = (A) mn. Πραγµατι (I A) mn = N i mk a kn = i mm a mn = a mn = a mn = (A) mn. k= Χρησιµοποιησαµε το γεγονος οτι i mk = για m k. Παροµοια δειχνουµε οτι για καθε m, n εχουµε (A I) mn = (A) mn.... Βρειτε δυο πινακες A, B για τους οποιους A B B A. Απαντηση. Τετοιοι ειναι, π.χ., οι πινακες A, B του προβληµατος Βρειτε δυο πινακες A, B για τους οποιους A B = B A. Απαντηση. Π.χ. για τους πινακες [ ] [ ] 3 A =, B =, 4 εχουµε [ ] 3 AB = = BA. 8 εν ειναι αναγκη να ειναι και οι δυο πινακες διαγωνιοι. Π.χ., για τους πινακες [ ] [ ] 4 C =, D =, 3 εχουµε CD = [ ] = DC. Μπορειτε να ϐρειτε δυο µη διαγωνιους πινακες E, F τ.ω. EF = FE;

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Βρειτε µια αναγκαια και ικανη συνθηκη ωστε να ισχυει (A B) (A + B) = A B. Απαντηση. Εχουµε (A B) (A + B) = A + AB BA B. Για να ειναι λοιπον (A B) (A + B) = A B πρεπει και αρκει να ειναι AB BA =, δηλ. AB = BA, δηλ. οι πινακες να αντιµετατιθενται...5. Αποδειξτε οτι A (B C) = (A B) C Απαντηση. Εστω οτι οι διαστασεις των A, B, C ειναι K L, L M, M N αντιστοιχα. Εχουµε, για καθε k, n: ( L L M ) L M (A (B C)) kn = A kl (B C) ln = A kl B lm C mn = A kl B lm C mn, ((A B) C) kn = Οµως l= l= M (A B) km C mn = m= L l= m= m= ( M L ) A kl B lm C mn = m= M A kl B lm C mn = l= M m= l= L A kl B lm C mn, l= m= M m= l= L A kl B lm C mn. δηλ. µπορουµε να αλλαξουµε την σειρα της προσθεσης (να προσθεσουµε ειτε πρωτα ως προς m και µετα ως προς l ειτε, αντιστροφα, πρωτα ως προς l και µετα ως προς m. Αυτο συµβαινει γιατι, και στις δυο περιπτωσεις, προσθετουµε τους ιδιους αριθµους...6. ινονται N N πινακες A, B. Ο αντιµεταθετης του Ϲευγους (A, B) ειναι ο πινακας [A, B] = AB BA. ειξτε οτι [A, B] = [B, A] και [A, [B, C]] + B, [C, A] + [C, [A, B]] =. Απαντηση. Εχουµε [A, B] = AB BA = (AB BA) = [B, A]. Επισης εχουµε [A, [B, C]] = [A, [BC CB]] = [A, [BC]] [A, [CB]] = ABC BCA ACB + CBA. Αντιστοιχα παιρνουµε [B, [C, A]] = BCA CAB BAC + ACB, [C, [A, B]] = CAB ABC CBA + BAC. Οποτε [A, [B, C]] + B, [C, A] + [C, [A, B]] = ABC BCA ACB + CBA+ BCA CAB BAC + ACB+ CAB ABC CBA + BAC =.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ..7. ινεται το συστηµα γραµµικων εξισωσεων 5x 3y + z = x + y 3z = 7x + z = 8 Γραψτε το συστηµα αυτο ως µια εξισωση πινακων. Απαντηση. Μπορουµε ευκολα να ελεγξουµε οτι το συστηµα ειναι ισοδυναµο µε την εξισωση 5 3 x 5x 3y + z 3 y = x + y 3z =. 7 z 7x + z 8 Αν λοιπον ϑεσουµε 5 3 x A = 3, u = y, b = 7 z, 8 τοτε το αρχικο συστηµα ειναι ισοδυναµο µε την εξισωση Au = b, οπου u ειναι ο αγνωστος πινακας και A, b ειναι γνωστοι συντελεστες...8. Σε ενα Ϲαχαροπλαστειο κατασκευαζονται τρια ειδη γλυκισµατων. Τα συστατικα (σε kgr) για ενα κεικ του καθε τυπου ειναι ως εξησ: Αλευρι Ζαχαρη Βουτυρο Καρυδια Σταφιδες Κεικ Σταφιδοψωµο Παντεσπανι Και οι τιµες ανα kgr των συστατικων (σε Euro) ειναι Αλευρι Ζαχαρη Βουτυρο Καρυδια Σταφιδες Χρησιµοποιειστε πολλαπλασιασµο πινακων για να ϐρειτε το κοστος ενος κεικ του καθε τυπου. Απαντηση. Μπορουµε να υπολογισουµε το κοστος ενος τεµαχιου του καθε τυπου γλυκισµατος ως εξης (χωρις χρηση πινακων): Κεικ : =.5, Σταφιδοψωµο : = 4., Παντεσπανι : = Αυτες οι πραξεις ϑυµιζουν σαφως πολλαπλασιασµο πινακων. Πραγµατι, αν ορισουµε πινακες A = , b = , 5..

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ τοτε ο πολλαπλασιασµος πινακων Ab = = δινει σε ενα διανυσµα την τιµη ενος τεµαχιου του καθε τυπου γλυκισµατος...9. Στο παρακατω σχηµα ϐλεπουµε την κατοψη ενος σπιτιου σε καθε δωµατιο αντιστοιχιζουµε ενα αριθµο. Μια διαδροµη µεσα στο σπιτι ειναι µια σειρα αριθµων που δειχνουν απο ποια δωµατια περναµε. Π.χ. η διαδροµη 56 δειχνει οτι παµε απο το δω- µατιο 5 στο, µετα στο 6 και καταληγουµε στο. Η συγκεκριµενη διαδροµη εχει µηκος 4, δηλ. περναει απο τεσσερα δωµατια. Χρησιοποιειστε τον πολλαπλασιασµο πινακων για να ϐρειτε τον συνολικο αριθµο διαδροµων µηκους 3 απο τον χωρο στον χωρο 3. Το ιδιο για να ϐρειτε τον συνολικο αριθµο διαδροµων µηκους 3 απο τον χωρο 5 στον χωρο. Σχηµα.. Απαντηση. Μπορουµε να αναπαραστησουµε την συνδεσµολογια του σπιτιου µε τον παρακατω γραφο. Καθε δωµατιο αντιστοιχει σε ενα κοµβο (κυκλο) και αν τα αντιστοιχα δωµατια επικοινωνουν, τοτε οι κοµβοι συνδεονται µε ακµες (γραµµες). Σχηµα..3 Μπορουµε επισης να παραστησουµε την συνδεσµολογια του γραφου µε ενα πινακα γειτνιασης της παρακατω µορφης A =. Τα στοιχεια του A ειναι η. Εχουµε a mn = ανν τα δωµατια m και n επικοινωνουν απ ευθειας, και a mn = στην αντιθετη περιπτωση. Βλεπουµε οτι ο A ειναι συµµετρικος αυτο δεν ειναι τυχαιο, µπορειτε να εξηγησετε γιατι ισχυει ; Καθε µια απο τις αναπαραστασεις (αυτη του Σχηµατος.., αυτη του γραφου του Σχηµατος..3 και αυτη του πινακα γειτνιασης A) µεταφερουν ακριβως την ιδια πληρο- ϕορια σχετικα µε την συνδεσµολογια των δωµατιων. Απο την κατασκευη του A ϐλεπουµε οτι καθε διαδροµη µηκους µεταξυ καθε Ϲευγους δωµατιων εµφανιζεται στον A. Τι συµ- ϐαινει οµως µε τις διαδροµες µηκους, π.χ., ; Θεωρειστε το γινοµενο της πρωτης σειρας

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ και της τεταρτης στηλης του A: [ ] =. Μπορειτε να ελεγξετε οτι το αποτελεσµα,, ειναι ισο µε τον αριθµο των διαδροµων µηκους που αρχιζουν στο δωµατιο και καταληγουν στο 4. Αυτο δεν ειναι τυχαιο, οπως ϑα εξηγησουµε τωρα. Θεωρειστε το γινοµενο της m-στης σειρας επι την n-στη στηλη του A. Αυτο ϑα ειναι το (m, n) στοιχειο του A : ( ) 7 A = a mn mk a kn. k= Εστω οτι το αποτελεσµα ειναι x (ενας µη αρνητικος ακεραιος αριθµος). Αυτο σηµαινει οτι στο παραπανω αθροισµα υπαρχουν ακριβως x οροι a mk a kn ισοι µε, το οποιο µε την σειρα του σηµαινει οτι a mk a kn =, το οποιο σηµαινει οτι a mk = a kn = και τελικα αυτο σηµαινει οτι το m-στο δωµατιο επικοινωνει µε το k-στο και το k-στο δωµατιο επικοινωνει µε το n-στο δηλ. τελικα, οτι υπαρχει µια διαδροµη µηκους απο το m-στο δωµατιο στο n-στο. Ο δε ορος (A ) mn = 7 k= a mka kn αθροιζει ολες τις διαδροµες µηκους απο το m-στο δωµατιο στο n-στο. Ετσι λοιπον, για καθε (m, n) το στοιχειο (A ) mn περιεχει τον συνολικο αριθµο διαδροµων µηκους απο το m-στο δωµατιο στο n-στο. Μπορειτε να το ελγξετε αυτο συγκρινοντας τον γραφο µε το γινοµενο : A = =. 3 Μπορουµε να επεκτεινουµε τον συλλογισµο για τις δυναµεις A j, j =,, 3,.... Π.χ A 3 = = και ετσι ϐλεπουµε οτι ο συνολικος αριθµος διαδροµων µηκους 3 απο τον χωρο στον χωρο 3 ειναι 7 και απο τον χωρο 5 στον χωρο ειναι 4. Μπορειτε να ελεγξετε την κατοψη του σπιτιου για να ϐεβαιωθειτε οτι αυτο ισχυει πραγµατικα.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 3... ειξτε οτι a a... a N a a... a N a M a MN και κ κ... κ N [a a... a N ] Απαντηση. Εχουµε a a... a N a a... a N a M a MN κ κ... κ N = κ κ κ... κ N a a... a M + κ a a... a M κ N a N a N... a NN (.) = κ a + κ a κ N a N. (.) κ a + κ a κ N a N = κ a + κ a κ N a N... κ a M + κ a M κ N a MN = κ a a... a M + κ a a... a M κ N Ετσι εχουµε αποδειξει την (.). Η (.) ειναι απλα µια ισοδυναµη γραφη της (.).... ειξτε οτι κ... κ κ N a a... a N a a... a N = a N a NN Απαντηση. Εχουµε για καθε m, n: κ... κ κ N = [... κ m... ] a N a N... a NN κ a κ a... κ a N κ a κ a... κ a N (.3) κ N a N κ N a NN a a... a N a a... a N a N a NN a n... a m,n a mn a m+,n... a mn mn = κ m a mn και αυτο αποδεικνυει την (.3).

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 4.3 Αλυτα Προβληµατα.3.. Υπολογιστε την διασταση των παρακατω πινακων. [ ] [ ] [ ] [ ],,,, Απ., 3,,,.).3.. Γραψτε τον πινακα [ ] 5 8 A = 3 µε συµβολισµο γραµµων και συµβολισµο στηλων Οι πινακες ειναι ισοι. Ποιες ειναι οι τιµες των x, y, z, u; Απ. x = 3, y = 9, z = 4, u =. [ ] [ ] x y 3 9 A =, B = 4 z u.3.4. Υπολογιστε το A + B και το A B για τους πινακες [ ] [ ] 3 4 A =, B =. [ ] [ ] 7 3 Απ., Υπολογιστε το A + B και το A B για τους πινακες [ ] [ ] 4 4 A =, B =. 3 6 Απ. Οι πραξεις αυτες δεν ειναι δυνατες ινονται οι πινακες [ ] [ ] 4 3 A =, B =, C = , D = 3 [ ] + i. 3 i Υπολογιστε τους AB, BA, CD, DC. [ ] [ ] Απ.,, 9 3 8,

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ ινονται οι πινακες [ ] [ ] A =, B =, C = 3, D = Υπολογιστε τους AB, BA, CD, DC. Τι παρατηρειτε ; [ ] [ ] Απ.,, 5, ινονται οι πινακες 4 A = 3, B = Υπολογιστε τους AB, BA. Τι παρατηρειτε ; Απ , Αποδειξτε (οταν οι παρακατω πραξεις ειναι δυνατες) οτι.3.. Αποδειξτε οτι A + (B + C) = (A + B) +C. (κ + λ) A = κ A+λ A., (κ λ) A = κ (λ A)..3.. Αποδειξτε (οταν οι παρακατω πραξεις ειναι δυνατες) οτι κ (A B) = (κ A) B..3.. Αποδειξτε οτι A = A = Αποδειξτε οτι (A + I) (A + I) = A +A + I Αποδειξτε οτι, γενικα, δεν ισχυει (A + I) (B + I) = (A + I) (B + I). Ποτε ισχυει η ισοτητα ;.3.5. ειξτε µε ενα παραδειγµα οτι, γενικα, (A + B) (A + B) A +AB + B Οριζω [ ] cos θ sin θ A(θ) = sin θ cos θ ειξτε οτι A(θ)A(φ) = A(θ + φ).

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ ινεται ο πινακας ειξτε οτι για καθε εχουµε A =. b b b 3 B = b b b 3 b 3 b 3 b 33 b b b 3 b b b 3 AB = b b b 3, BA = b b b 3. b 3 b 3 b 33 b 3 b 3 b 33 ιατυπωστε τις παραπανω ισοτητες µε λογια ινεται N N πινακας A ο οποιος προκυπτει απο τον N N µοναδιαιο πινακα I, µε εναλλαγη των γραµµων i και j. ινεται επισης τυχον N N πινακας B. ειξτε οτι ο AB ειναι ο B µε εναλλαγη των γραµµων i και j επισης οτι ο BA ειναι ο B µε εναλλαγη των στηλων i και j Βρειτε ολους τους πινακες A τετοιους ωστε [ ] A = [ ] [ ] / / Απ. Υπαρχουν δυο τετοιοι πινακες : A = και A =..3.. Εστω N N πινακας A.Οριζουµε το ιχνος αυτου tr (A) = N a nn. Αν B ειναι M N και C ειναι N M, δειξτε οτι tr (BC) = tr (CB)..3.. Αν A, B ειναι N N πινακες, δειξτε οτι η σχεση AB BA = I ειναι αδυνατη. n=.3.. ινεται το συστηµα γραµµικων εξισωσεων x 3y + z + u = x + y 3u = 7x + z + u = Γραψτε το συστηµα αυτο ως µια εξισωση πινακων. Απ. x 3 3 y z = 7 u

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Βρειτε στο παρακατω σχηµα ποσες διαδροµες υπαρχουν πουν συνδεουν τον χωρο µε τον χωρο 3 και εχουν µηκος 4. Σχηµα Τι µαθατε απο τα προβληµατα..7,..8,..9;

26 Κεφάλαιο Αντιστροφος Πινακας και υναµεις Πινακων Εχουµε ηδη πει οτι οι πινακες ειναι γενικευµενοι αριθµοι. Στο προηγουµενο κεφαλαιο ειδαµε πως να εκτελουµε πραξεις µεταξυ πινακων (αντιστοιχες µε τις πραξεις µεταξυ αριθµων). Στο παρον κεφαλαιο ϑα δουµε οτι οι τετραγωνικοι πινακες, οπως και οι αριθµοι, µπορουν να εφοδιαστουν µε δυναµεις. Οπως ακριβως στο συστηµα των πραγµατικων αριθµων εχουµε aa =, ετσι και για τους τετραγωνικους πινακες εχουµε AA = I, οπου A ειναι ο αντιστροφος του N N πινακα A. Για να υπαρχει ο αντιστροφος ενος αριθµου a, πρεπει να εχουµε a. Παροµοια, για να εχει ο τετραγωνικος πινακας A αντιστροφο, πρεπει να ικανοποιειται καποια συνθηκη, η οποια ειναι γενικευση (για το συνολο των τετραγωνικων πινακων) της a. Οπως ϑα ϕανει και απο τις εποµενες προτασεις, δυναµεις και αντιστροφος ορι- Ϲονται µονο για τετραγωνικους πινακες! Καθε πινακας που εµφανιζεται σε αυτο το κεφαλαιο ειναι τετραγωνικος εκτος αν το αντιθετο λεγεται ϱητα.. Θεωρια... Εστω N N πινακας A. Αν υπαρχει N N πινακας B τετοιος ωστε BA = AB = I, τοτε ο B ειναι µοναδικος.... Τον µοναδικο πινακα B που εχει την ιδιοτητα BA = AB = I (αν αυτος υπαρχει!) τον ονοµαζουµε αντιστροφο του A και τον συµβολιζουµε µε A = B...3. Υπαρχουν τετραγωνικοι πινακες που δεν εχουν αντιστροφο. Π.χ. ο µηδενικος πινακας δεν εχει αντιστροφο. Αν υπαρχει ο A, ο A λεγεται οµαλος σε αντιθετη περιπτωση ο A λεγεται ανωµαλος η ιδιαζων...4. Εστω πινακες A, B οι οποιοι εχουν αντιστροφους A, B. Ισχυουν τα εξης.. (A ) = A (δηλ. ο αντιστροφος του A ειναι ο A).. (A B) = B A. 8

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Ο γενικος πινακας A = [a ] εχει τον αντιστροφο A = [ ] a ανν a ο A ειναι ανωµαλος ανν a =...6. Ο γενικος πινακας [ ] a a A = a a εχει τον αντιστροφο [ ] A a a = a a a a a a ανν a a a a ο A ειναι ανωµαλος ανν a a a a =. (.)..7. Οταν ο A ειναι N N, N {3, 4,...}, ο A µπορει να υπολογιστει ειτε λυνοντας ενα συστηµα γραµµικων εξισωσεων, ειτε χρησιµοποιωντας ενα τυπο παροµοιο µε τον (.) οµως ο τυπος αυτος εµπλεκει οριζουσες και γι αυτο ϑα τον παρουσιασουµε στο Κεφαλαιο ινεται ενας N N πινακας A συµβολιζουµε µε A τον πινακα A A (το τετραγωνο του A)...9. ινεται ενας N N πινακας A συµβολιζουµε µε A 3 τον πινακα A A A λογω προσεταιριστικοτητας εχουµε A 3 = A A A = ( A ) A = A (A ).... Γενικοτερα, για καθε N N πινακα A και για καθε n {,,...} οριζουµε την n-στη δυναµη του A: A n = A A.. A. Εξ ορισµου, n ϕορες A = I.... Οι µη αρνητικες ακεραιες δυναµεις των πινακων συµπεριφερονται οπως οι ακεραιες δυναµεις αριθµων. ηλ. για καθε N N πινακα A εχουµε m, n {,,,...} : A m A n = A m+n, (A m ) n = A mn.... Αν υπαρχει ο A µπορουµε να ορισουµε αρνητικες δυναµεις του A: για n {,,...} οριζουµε A n = A A.. A. n ϕορες..3. Οι ακεραιες δυναµεις των πινακων συµπεριφερονται οπως οι ακεραιες δυναµεις αριθµων. ηλ. για καθε N N πινακα A εχουµε : m, n {, ±, ±,...} : A m A n = A m+n, (A m ) n = A mn (µε την επιφυλαξη οτι ο A πρεπει να ειναι οµαλος για να εχει αρνητικες δυναµεις)...4. Ενας N N πινακας A λεγεται ταυτοδυναµος ανν A = A...5. Για καθε ταυτοδυναµο πινακα ισχυει A k = A για καθε k {,, 3...}...6. Ενας N N πινακας A λεγεται µηδενοδυναµος ανν υπαρχει k {,, 3...} τετοιο ωστε A k =. Το µικροτερο τετοιο k το ονοµαζουµε ταξη του A...7. Ενας N N πινακας A λεγεται ενελικτικος ανν A = I.

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ. Λυµενα Προβληµατα... Επαληθευστε οτι ο εχει τον αντιστροφο Απαντηση. Εχουµε [ ] [ 3 ] 5 5 = [ 3 ] [ ] 5 5 = 3... Επαληθευστε οτι ο εχει τον αντιστροφο 5 5 [ A = ] 3 [ 3 ] A = [ ( )( ) [ 3 +( ) ( ) A = A 7 7 = ] [ ] = ] [ ] =. Απαντηση. Εχουµε = = Υπολογιστε τον αντιστροφο του [ A = Απαντηση. Εστω οτι ] 3 5. [ ] A x x =. x x Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] 3 5 x x =. x x Εκτελωντας τον παραπανω πολλαπλασιασµο παιρνουµε τις εξισωσεις 3x 5x = x + x =

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ και 3x 5x = x + x =. Λυνοντας το πρωτο συστηµα (µε αντικατασταση) εχουµε x = και x = λυνοντας το δευτερο συστηµα εχουµε x = 3, x = 5. Αρα [ ] 5 A =. 3 Αυτο το επαληθευουµε κανοντας τον πολλαπλασιασµο [ ] [ ] [ ] = Υπολογιστε τον αντιστροφο του A =. Απαντηση. Εστω οτι x x x 3 A = x x x 3. x 3 x 3 x 33 Πρεπει να εχουµε x x x 3 x x x 3 =. x 3 x 3 x 33 Εκτελωντας τον παραπανω πολλαπλασιασµο παιρνουµε τις εξισωσεις x + x 3 = x x + x 3 = x + x = και και x + x 3 = x x + x 3 = x + x = x 3 + x 33 = x 3 x 3 + x 33 = x 3 + x 3 =.

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Εχουµε τρια συστηµατα, το καθενα εκ των οποιων εχει τρεις εξισωσεις και τρεις αγνωστους. Μπορουµε λοιπον να λυσουµε το καθε συστηµα ξεχωριστα. Μετα απο αρκετες πραξεις παιρνουµε οποτε x = 4, x = 8, x 3 = 3 8 x =, x = 4, x 3 = 4 x 3 = 4, x 3 = 3 8, x 33 = 8 A = Μπορουµε λοιπον να υπολογισουµε τον αντιστροφο ενος 3 3 πινακα λυνοντας συστηµατα γραµµικων εξισωσεων. Οµως αυτος ο τροπος ειναι επιπονος. Στο Κεφαλαιο 4 ϑα δουµε εναν γενικο τυπο ο οποιος διευκολυνει τον υπολογισµο του αντιστροφου. Επισης, στα εποµενα προβληµατα ϑα δουµε µερικες ειδικες περιπτωσεις υπολογισµου αντιστροφου...5. ινονται οι. A =, B =. ειξτε οτι ο A ειναι αντιστροφος του B. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει αυτο ; (Υποδειξη : υπολογιστε το γινοµενο του µε ενα τυχαιο πινακα). Απαντηση. Παρατηρουµε οτι AB = =, BA = =. Οντως λοιπον A = B. Γιατι συµβαινει αυτο ; Παιρνουµε τυχοντα πινακα C και εκτελουµε τον πολλαπλασιασµο c c c 3 c 3 c c CA = c c c 3 = c 3 c c. c 3 c 3 c 33 c 33 c 3 c 3 Παρατηρουµε οτι ο πολλαπλασιαζοντας τον C επι A εναλλαξαµε τις στηλες του C: η πρωτη στηλη εγινε δευτερη, η δευτερη τριτη και η τριτη πρωτη. Παροµοια παιρνουµε τυχοντα πινακα D και εκτελουµε τον πολλαπλασιασµο d d d 3 d d 3 d DB = d d d 3 = d d 3 d. d 3 d 3 d 33 d 3 d 33 d 3

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 Παρατηρουµε οτι ο πολλαπλασιαζοντας τον D επι B εναλλαξαµε τις στηλες του D: η πρωτη στηλη εγινε τριτη, η δευτερη πρωτη και η τριτη δευτερη. Τι συµβαινει αν εκτελεσουµε και τους δυο πολλαπλασιασµους ; c c c 3 c c c 3 CAB = c c c 3 = c c c 3. c 3 c 3 c 33 c 3 c 3 c 33 Παιρνουµε τον αρχικο πινακα C. Αυτο δεν ειναι απροσδοκητο, αφου CAB = CAA = CI = C. Αλλα τωρα εχουµε και µια διαισθητικη εξηγηση : η πρωτη στηλη του C εγινε καταρχην δευτερη (στον πρωτο πολλαπλασιασµο) και κατοπιν η δευτερη εγινε πρωτη, δηλ. επανηλθε στην αρχικη της ϑεση. Το ιδιο συµβαινει και µετις αλλες στηλες. Ο πινακας B αντιστρεφει την µεταθεση στηλων που προξενει ο πινακας A. Οι πινακες A, B ειναι πινακες µεταθεσης (δες Κεφ. 4). Καθε πινακας που προκυπτει απο τον µοναδιαιο πινακα µε µεταθεση των στηλων του υλοποιει, µε εκ δεξιων πολλαπλασιασµο, την αντιστοιχη µεταθεση σε τυχοντα πινακα. Τι επιδραση εχει σε τυχαιο πινακα ο πολλαπλασιασµος εξ αριστερων µε ενα πινακα µεταθεσης ; Πειραµατιστε µε τους A, B...6. ειξτε οτι ο A = ειναι αντιστροφος του εαυτου του. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει αυτο ; Απαντηση. Πραγµατι AA = = δηλ. A = A (ο A ειναι αυτοαντιστροφος). ιασθητικα, ο A εναλλασσει την πρωτη και δευτερη στηλη καθε 3 3 πινακα αν αυτο επαναληφθει δυο ϕορες παιρνουµε τον αρχικο πινακα...7. Υπολογιστε τον αντιστροφο του A =.

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 4 Απαντηση. Ο A προκυπτει απο προς τα δεξια (κυκλικη) µεταθεση ολων των στηλων του µοναδιαιου. Αρα περιµενουµε οτι αντιστροφος του ϑα προκυπτει απο προς τα αριστερα κυκλικη µεταθεση ολων των στηλων του µοναδιαιου. ηλ. περιµενουµε A =. Πραγµατι = =...8. Υπολογιστε τον αντιστροφο του [ ] a a A =. a a Απαντηση. Εστω οτι [ ] A x x =. x x Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] a a x x =. a a x x Εκτελωντας τον παραπανω πολλαπλασιασµο παιρνουµε τις εξισωσεις και a x + a x = a x + a x = a x + a x = a x + a x =. Θα λυσουµε το πρωτο συστηµα µε αντικατασταση. Απο τη πρωτη εξισωση εχουµε οποτε στην δευτερη εξισωση παιρνουµε x = a x a a x a x + a x = a + a x = a a x = και x = a a a a a a a a a.

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 5 Με αντιστοιχο τροπο παιρνουµε Επισης εχουµε x = a a a a a a και x = a a a a a a a a [ a a a a a ] [ ] [ ] a a =. a a Οποτε εχουµε επαληθεσυει τον γενικο τυπο του αντιστροφου, που ειναι : Τελικα [ ] A a = a. (.) a a a a a a Στην παραπανω επιλυση υποθεσαµε οτι a a a a. Αν ειχαµε a a a a =, τοτε ο αντιστροφος του A δεν ϑα υπηρχε (δες και την παρακατω ασκηση)...9. ειξτε οτι (για καθε N) ο N N µηδενικος πινακας δεν εχει αντιστροφο. Απαντηση. Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] x y = z u το οποιο δινει το συστηµα x + z = y + u = x + z = y + u = Αλλα, προφανως, οι πρωτη και τεταρτη εξισωση ειναι αδυνατες και ετσι το συστηµα ειναι αδυνατο, δηλ. δεν υπαρχει ο αντιστροφος του µηδενικου πινακα.... ειξτε οτι ο [ ] A = δεν εχει αντιστροφο. Απαντηση. Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] x y = z u το οποιο δινει το συστηµα x + z = y + u = x + z = y + u = Αλλα, προφανως, η πρωτη εξισωση ειναι ασυµβατη µε την τριτη (και η δευτερη µε την τεταρτη) και ετσι το συστηµα ειναι αδυνατο, δηλ. δεν υπαρχει ο αντιστροφος του A.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 6... ειξτε οτι ο [ ] A = 4 δεν εχει αντιστροφο. Απαντηση. Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] x y = 4 z u το οποιο δινει το συστηµα x + z = y + u = x + 4z = y + 4u = Αλλα η πρωτη εξισωση πολλαπλασιασµενη επι δινει x+4z = και αυτη ειναι ασυµβατη µε την τριτη (το ιδιο συµβαινει µε την δευτερη και την τεταρτη εξισωση) και ετσι το συστηµα ειναι αδυνατο, δηλ. δεν υπαρχει ο αντιστροφος του A.... Εστω πινακας [ ] a a A =. a a Αποδειξτε οτι ο A υπαρχει ανν a a a a. Απαντηση. Εχουµε ηδη δειξει οτι, οταν A υπαρχει ο A και δινεται απο τον τυπο (.). Ας υποθεσουµε τωρα οτι και ας ϑεσουµε τον αντιστροφο a a a a = (.3) [ ] x y A =. z u Ας εξετασουµε πρωτα την περιπτωση a =. Τοτε απο την (.3) παιρνουµε και a a =. Αν a =, τοτε εχουµε [ ] [ ] [ ] x y = A a A = x + y = z u a το οποιο ειναι αδυνατο παροµοια ϐλεπουµε οτι το a οδηγει σε αντιφαση. Αρα δεν µπορει ουτε και το a να ειναι µηδενικο. Ας υποθεσουµε λοιπον οτι a a a a = και a. Τοτε οπως ειδαµε στο Εδαφιο..8, εχουµε και x = a x a (a a a a ) x = a a = a a = a =.

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 7 Τοτε οµως [ ] [ ] [ ] = AA a a = x y x + z = z u το οποιο επισης ειναι ατοπο. Αρα λοιπον, κακως υποθεσαµε οτι υπαρχει ο A αυτο ειναι ασυµβιβαστο µε την συνθηκη a a a a =...3. Εστω N N πινακας A. Αποδειξτε οτι αν υπαρχει N N πινακας B τετοιος ωστε BA = AB = I, τοτε ο B ειναι µοναδικος. Απαντηση. Εχουµε Εστω πινακας A που εχει δυο αντιστροφους, τους B και C. Τοτε πρεπει να εχουµε AB= BA = I AC= CA = I Πολλαπλασιαζοντας την πρωτη εξισωση απο δεξια µε C παιρνουµε CAB = CBA = C. Αλλα απο την δευτερη εχουµε CA = I, αρα IB = C δηλ. B = C. ηλαδη, αν ενας πινακας εχει αντιστροφο, εχει µοναδικο αντιστροφο...4. Αποδειξτε οτι (A ) = A. Απαντηση. Εχουµε Εστω B = (A ). Θα πρεπει να εχουµε BA = A B = I. Αλλα ενας πινακας που ικανοποιει την παραπανω ειναι ο B = A. Επειδη ο αντιστροφος του A ειναι (αν υπαρχει) µοναδικος, εχουµε (A ) = B = A...5. Αποδειξτε οτι (A B) = B A. Απαντηση. Αρκει να παρατηρησουµε οτι ( B A ) A B= B A A B = B I B = B B = I (A B) (B A ) = A B B A = A I A = A A = I...6. Εστω πινακες A και B τετοιοι ωστε AB = BA. ειξτε οτι A B = B A, BA = A B, AB = B A. Απαντηση. Εχουµε AB = BA (AB) = (BA) B A = A B και ετσι εχουµε αποδειξει την πρωτη Ϲητουµενη. Τωρα B A = A B BB A B = BA B B A B = BA και εχουµε αποδειξει την δευτερη. Η τριτη αποδεικνυεται παροµοια.

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Εστω N N πινακας A. Αποδειξτε οτι m, n {,,,...} : A m A n = A m+n, Απαντηση. Για το πρωτο Ϲητουµενο εχουµε (A m ) n = A mn A m A n = A... A A... A = A... A = m ϕορες n ϕορες m+n Am+n. ϕορες Για το δευτερο Ϲητουµενο εχουµε ( ) ( ) (A m ) n = A... A... A... A = A... A = A mn. m ϕορες n ϕορες m ϕορες..8. Υπολογιστε τους A, A 3 οταν [ ] A =. m n ϕορες Απαντηση. Εχουµε [ ] [ ] [ ] 3 A = A A = =, 3 A = A A [ ] [ ] [ ] = = Υπολογιστε τους B, B 3 για 3 B =. Απαντηση. Οµοια µε την προηγουµενη ασκηση εχουµε B = B B = 6, B 3 = B B B = Υπολογιστε το το A K για καθε ϑετικο ακεραιο K οταν [ ] A = Απαντηση. Υπολογιζουµε µερικες απο τις παραπανω δυναµεισ: [ ] [ ] [ ] [ =, = [ ] 3 [ ] [ ] 4 [ ] =, =. ],

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 9 Καθε αριθµος K µπορει να γραφτει στην µορφη K = 4n + k, οπου k =,,, 3. Αρα εχουµε A K = A 4n+k = A k και [ ] A 4n+k = οταν k = [ ] = οταν k = [ ] = οταν k = [ ] = οταν k = 3. Παρατηρειτε την οµοιοτητα µε τις δυναµεις του i = ;... ειξτε οτι ο ειναι ταυτοδυναµος. Απαντηση. Εχουµε 3 5 A = A A = : 3 5 A = = = A Ποιος απο τους πινακες 4 3 A = 3 4, B = 5 6, C = 4 3 4, ειναι ταυτοδυναµος, ποιος µηδενοδυναµος και ποιος ενελικτικος ; Απαντηση. Εχουµε A = = 3 4 = A και αρα ο A ειναι ταυτοδυναµος. Επισης εχουµε 3 B = B 3 = = = =

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 και αρα ο B ειναι µηδενοδυναµος ταξεως 3. Τελος C = = = I και αρα ο C ειναι ενελικτικος...3. Αποδειξτε οτι για καθε ταυτοδυναµο πινακα ισχυει A k = A για καθε k {,, 3...}. Απαντηση. Εστω A = A. Τοτε A 3 = A A = A A = A = A, A 4 = A 3 A = A A = A = A κ.τ.λ...4. Αν οι πινακες A, B ειναι µηδενοδυναµοι και AB = BA = αποδειξτε οτι ο A + B ειναι µηδενοδυναµος. Απαντηση. Εχουµε (A + B) = (A + B) (A + B) = A + AB + BA + B = και εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο...5. Να δειχτει οτι : αν AB = A και BA = B, τοτε οι A, B ειναι ταυτοδυναµοι. Απαντηση. Εχουµε Παροµοια δειχνουµε οτι B = B...6. Βρειτε τα x, y ωστε ο A = A A = AB A = A BA = A B = A. x y A = να ειναι ταυτοδυναµος. Απαντηση. Εχουµε x y x y x y + 3y 4x 4y 5x A = = x 6 y x y Για να ειναι λοιπον ο A ταυτοδυναµος ϑα πρεπει να εχουµε A = A, δηλ. x y + = 3y 4x = x 4y 5x = y x 6 = 3 y = 5 6 x = 3 y = 5,

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 Λυνοντας τις δυο τελευταιες εξισωσεις ϐρισκουµε x = 3, y = 5. Κατοπιν ελεγξουµε οτι οι πρωτες πεντε επαληθευονται. Αρα ο πινακας 3 5 A = ειναι ταυτοδυναµος...7. Βρειτε τα x, y ωστε ο 4 x y A = να ειναι ενελικτικος. Απαντηση. Θα πρεπει να εχουµε 4 x y 6 4y x 4x 4y y x A = = 4 x 3 y = x 3 4y Οποτε εχουµε το συστηµα 6 4y x = 4x 4y = y x = 4 x = 3 y = 4x = 3 4y = το οποιο εχει λυση x = 3, y = 3. Αρα ο πινακας A = ειναι ενελικτικος...8. ειξτε οτι : ο A ειναι ενελικτικος ανν (I A) (I + A) =. Απαντηση. Εστω οτι ο A ειναι ενελικτικος, δηλ. A = I. Τοτε (I A) (I + A) = I A + A A = I A =. Αν τωρα (I A) (I + A) =, ϑα εχουµε και οποτε ο A ειναι ενελικτικος. I A = A = I

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 (I + A) και (I A) ειναι µηδεν-..9. Αν ο A ειναι ενελικτικος, δειξτε οτι οι οδυναµοι. Απαντηση. Εχουµε ( ) (I + A) = ( ) I+A + A = 4 4 (I+A + I) = 4 (I+A) = (I + A). Η περιπτωση (I A) αποδεικνυεται παροµοια...3. Βρειτε εναν ανω τριγωνικο πινακα A τετοιο ωστε [ ] 8 57 A 3 = 7 Τοτε Απαντηση. οποτε πρεπει να εχουµε Ο A ϑα ειναι προφανως. Εστω [ ] x y A =. u [ ] 3 [ ] x y x A 3 3 x (uy + xy) + u = = y u u 3 x 3 = 8 u 3 = 7 x (uy + xy) + u y = 57. Βλεπουµε αµεσως οτι µια λυση ειναι x =, u = 3, y = 3 (υπαρχουν και αλλες, µιγαδικες λυσεις). Οποτε ενας πινακας που ικανοποιει το Ϲητουµενο ειναι ο [ ] 3 A = Μπορουµε να ορισουµε και ϱητες δυναµεις πινακων, π.χ. ο A / (δηλ. η τετραγωνικη ϱιζα ενος πινακα A) ειναι ενας πινακας B που εχει την ιδιοτητα B = A. Οµως δεν εχουν ολοι οι πινακες τετραγωνικη ϱιζα και οταν εχουν αυτη δεν ειναι παντα µοναδικη. Γενικα, ο ορισµος ϱητων δυναµεων A m/n ειναι αρκετα πολυπλοκη υποθεση, µε την οποια δεν ϑα ασχοληθουµε προς το παρον, πλην µερικων παραδειγµατων που δινονται παρακατω...3. ινεται ο πινακας Βρειτε ολους τους πινακες A = [ 4 [ B = 4 ]. ] /,

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 33 δηλ. ολους τους πινακες B που ικανοποιουν [ ] B =. 4 Τοτε Απαντηση. Εστω Θα πρεπει να εχουµε [ ] x y B =. z u [ ] [ ] x y x B = = + yz uy + xy z u uz + xz u. + yz x + yz = (u + x) y = (u + x) z = 4 u + yz =. Απο την δευτερη εξισωση εχουµε u + x = ή y =. Αλλα αν u + x = δεν µπορει να ικανοποιηθει η τριτη εξισωση. Αρα εχουµε y = και τοτε οι υπολοιπες εξισωσεις γινονται x = (u + x) z = 4 u =. Βλεπουµε λοιπον αµεσως οτι x = ± και u = ±. Οποτε τελικα εχουµε τις εξης δυνατες λυσεις. u =, x =, z =, και u =, x =, z = και οι Ϲητουµενοι πινακες ειναι [ ] [ ] B =, B = ή, µε αλλα λογια, [ ] / [ ] = ± ινεται ο πινακας Βρειτε ολους τους πινακες Απαντηση. Εδω εχουµε [ x y B = z u [ ] 9 4 A =. 8 9 B = [ ] /. ] [ x, B = + yz uy + xy uz + xz u + yz ]

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 34 και Ας υποθεσουµε u + x. Τοτε Αντικαθιστωντας παιρνουµε x + yz = 9 (u + x) y = 4 (u + x) z = 8 u + yz = 9 y z = 4 8 z = y. x + y = 9 (u + x) y = 4 u + y = 9 Οποτε απο την η και 3η εξισωση ϐλεπουµε οτι x = u και αφου u x εχουµε u = x. Οποτε τελικα λυνουµε το συστηµα Το οποιο εχει τεσσερις λυσεις x + y = 9 x =, y =, xy = 4 x =, y =, x =, y = x =, y = απο τις οποιες προκυπτουν και οι λυσιες (x, y, z, u) να ειναι u =, x =, y =, z = 4, u =, x =, y =, z = 4, u =, x =, y =, z =, u =, x =, y =, z = Με αλλα λογια, ο A εχει τεσσερις τετραγωνικες ϱιζες Αποδειξτε οτι : (I A) = I + A + A + A Απαντηση. Παρατηρουµε οτι ( I + A + A +A ) (I A) = I + A + A +A A A A = I

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 35 επειδη για καθε +A n υπαρχει το αντιστοιχο A n.(παρατηρηση: αυτη η αποδειξη δεν ειναι αυστηρη µια αυστηρη αποδειξη ϑα αρξιζε οριζοντας τους πινακες B n = I + A + A A n και ϑα εδειχνε οτι B n (I A) = I A n+. Κατοπιν ϑα επρεπε να δειξουµε οτι A n. Ποτε συµβαινει αυτο ;).3 Αλυτα Προβληµατα.3.. ινονται οι [ ] 3 A =, B =. Υπολογιστε τους A, A 3, B, B 3. Απ. [ ] [ ] A =, A 3 =, B = 6, B 3 = ειξτε οτι ο.3.3. ειξτε οτι ο [ ] [ ] = = Υπολογιστε τον αντιστροφο των παρακατω πινακων, οταν αυτος υπαρχει. [ ] [ ] [ ] A =, B =, C =. 4 Απ. [ ] [ 5 ] A =, B = 4, ο C δεν υπαρχει Υπολογιστε τον αντιστροφο των παρακατω πινακων, οταν αυτος υπαρχει A =, B =, C =. 3 6 Απ. A = 4 3, B = 3 4, C =

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ειξτε οτι ο =. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει αυτο ; (Υποδειξη : υπολογιστε το γινοµενο του µε ενα τυχαιο πινακα) ειξτε οτι ο ειναι αντιστροφος του εαυτου του. αυτο ;.3.8. Βρειτε τον αντιστροφο του Απ. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει A =. A = Αποδειξτε οτι : (A ) = A, (A B) = B A, (A T ) = (A ) T..3.. Αποδειξτε οτι : (I A) = I + A + A + A Υπολογιστε τα για τυχοντα ϑετικο ακεραιο K..3.. Αποδειξτε οτι [ ] K i, i a b c d [ i i.3.3. Υπολογιστε το για τυχοντα ϑετικο ακεραιο K. K ] K a K = b K c K. d K [ a a ] K

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Αποδειξτε οτι οπου A και B ειναι τετραγωνικοι πινακες. [ ] K [ ] A A = K B B K,.3.5. Εστω οτι A ειναι N N και A = I. Θετουµε B = (I + A), C = (I A). ειξτε οτι B = C = I και οτι BC = Εστω οτι A, B ειναι N N και υπαρχει ο A. ειξτε οτι.3.7. ειξτε οτι ο ειναι µηδενοδυναµος ταξεως 3. (A + B) A (A B) = (A B) A (A + B). 3 A = Να δειχτει οτι : αν ο A ειναι µηδενοδυναµος ταξεως, τοτε A (I A) k = A για καθε k {,,...} Αν για τους πινακες A, B, C ισχυει A + B + C = I, δειξτε οτι αυτοι ειναι µηδενοδυναµοι ανν AB = BC = CA =..3.. Εστω... N N N A N = N N N N ειξτε οτι για καθε k {,,...} εχουµε (A N ) k = A N..3.. ειξτε οτι ο A = ειναι ενελικτικος..3.. Αν ο A ειναι ενελικτικος, δειξτε οτι (I + A) (I A) = ινεται ο πινακας Βρειτε ολους τους πινακες B = A /. [ ] 9 4 A =. 8 9

46 Κεφάλαιο 3 Μερικοι Ειδικοι Τυποι Πινακων 3. Θεωρια 3... Ο αναστροφος του A συµβολιζεται A T και προκυπτει αν µετατρεψουµε τις γραµµες του A σε στηλες και τις στηλες σε γραµµες : ( ) A T = A mn nm. ηλ. A = r r r M... AT = [ ] r T r T... r T M Αν οι παρακατω πραξεις ειναι δυνατες τοτε ισχυουν τα εξης : (A + B) T = A T +B T, (C D) T = D T C T Ενας τετραγωνικος πινακας A λεγεται συµµετρικος αν A T = A (δηλ. ο A εχει ιδιες γραµµες και στηλες) Ενας τετραγωνικος πινακας A λεγεται αντισυµµετρικος ανν A T = A Για καθε τετραγωνικο πινακα ισχυουν τα παρακατω.. Ο A + A T ειναι συµµετρικος και ο A A T ειναι αντισυµµετρικος.. A = (A + A T ) + (A A T ) Ενας τετραγωνικος πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται διαγωνιος ανν (για m =,,..., N, n =,,..., N) εχουµε m n a mn =. ηλ. a... a A = a a NN 38

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΡΙΚΟΙ ΕΙ ΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ Ενας τετραγωνικος πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται ανω τριγωνικος ανν (για m =,,..., N, n =,,..., N) εχουµε m > n a mn =. ηλ. a a a 3... a N a a A = a a NN Ενας τετραγωνικος πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται κατω τριγωνικος ανν (για m =,,..., N, n =,,..., N) εχουµε m < n a mn =. ηλ. a... a a A = a 3 a 3 a a N a NN Καθε M N πινακας A µπορει να γραφτει ως διαµερισµενος πινακας, στην µορφη A A... A L A = A A A K A KL οπου A kl (k =,,..., K και l =,,..., L) ειναι πινακας διαστασης M k N l και M M K = M, N N L = N Εστω διαµερισµενοι πινακες A, B: A A... A L A = A A , B = A K A KL B B... B L B B B K B KL οπου οι διαστασεις του A kl και του B kl ειναι ισες για k =,,..., K και l =,,..., L. Τοτε A + B A + B... A L + BL A + B = A + B A + B A K + B K A KL + B KL 3... Εστω διαµερισµενοι πινακες A, B: A A... A L A = A A , B = A K A KL B B... B L B B B K B KL

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΡΙΚΟΙ ΕΙ ΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ 4 οπου οι διαστασεις του A kp και του B pl ειναι τετοιες ωστε ολοι οι παρακατω πολλαπλασιασµοι ειναι δυνατοι. Τοτε P p= A p B P p p= A p B p... P p= A p B pl P A B = p= A p B P p p= A p B p P p= A Kp B p P p= A Kp B pl ηλαδη µπορουµε να υπολογισουµε τους υποπινακες του A B ϑεωρωντας τους υποπινακες των A, B ως στοιχεια του πινακα και εκτελωντας πολλαπλασιασµο πινακων Αν ο N N πινακας A ειναι διαµερισµενος διαγωνιος, δηλ. εχει την µορφη A... A = A A KK και οι A kk ειναι τετραγωνικοι οµαλοι πινακες (για k {,,..., K}) τοτε A... A = A A 3. Λυµενα Προβληµατα 3... Γραψτε τους αναστροφους των παρακατω πινακων [ ] A = 4 a b, B = c d 6 7 Απαντηση. KK [ ] [ ] 4 6 a c A T =, B T =. 7 b d 3... Ποιοι απο τους παρακατω πινακες ειναι συµµετρικοι και ποιοι αντισυµµετρικοι ; [ ] [ ] A =, B =, C = 3, D = 3, [ ] 3 6 [ ] [ ] 3 6 E =, F = , G =, H = Απαντηση. Οι A, B, G ειναι συµµετρικοι οι D, H ειναι αντισυµµετρικοι.

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (14/9/2012)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (14/9/2012) Φτιάξε ένα πρόγραµµα FORTRAN που θα βρίσκει αν ο ακέραιος N που θα εισάγει ο χρήστης είναι άρτιος ή περιττός. Φτιάξε ένα πρόγραµµα FORTRAN που να προσδιορίζει και να τυπώνει την θέση των στοιχείων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα