Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu"

Transcript

1 Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

2 2

3 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale Şiruri fundamentale. Criteriul general al lui Cauchy Serii de numere reale. Noţiuni generale Serii remarcabile Exerciţii rezolvate Criterii de convergenţă. Operaţii cu serii convergente Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă Şiruri de funcţii Serii de funcţii Serii de puteri Derivarea şi integrarea termen cu termen a seriilor de puteri Serii Taylor Serii Mac-Laurin Utilizarea dezvoltărilor în serie de puteri la calculul limitelor şi la calculul aproximativ al integralelor definite Spaţiile R n Spaţiul cu n dimensiuni Structura de spaţiu vectorial al lui R n Produsul scalar în R n Norma în R n Distanţa în R n Vecinătăţile unui punct din R n Mulţimi deschise în R n Mulţimi închise. Frontieră a unei mulţimi Puncte de acumulare Mulţimi mărginite. Mulţimi compacte. Mulţimi conexe Şiruri de puncte din spaţiul R n

4 4 3 Funcţii definite pe mulţimi din R n Funcţii reale de variabilă vectorială Limitele funcţiilor reale de variabilă vectorială Continuitatea funcţiilor reale de n variabile reale Derivate parţiale Derivarea funcţiilor compuse Diferenţiala unei funcţii reale de două variabile reale Formula lui Taylor pentru funcţii reale de două variabile reale Extremele funcţiilor reale de două variabile reale Extreme condiţionate (legate) ale funcţiilor reale de două variabile reale Funcţii implicite de o variabilă Funcţii de mai multe variabile definite implicit Schimbări de variabilă în expresii ce conţin derivate Schimbări de variabile în expresii ce conţin derivate parţiale. 84 Bibliografie 89

5 5 PREFAŢĂ Conţinutul acestei cărţi a fost elaborat în concordanţă cu programa disciplinei de Analiză Matematică, semestrul I (28 ore curs, 4 ore seminar), din planul de învăţământ pentru anul I ingineri, Facultatea de Resurse Minerale şi Mediu, specializările CCIA şi MTC din cadrul Universităţii de Nord din Baia Mare. Materialul este structurat în trei capitole. În primul capitol se prezintă: şiruri şi serii numerice, şiruri şi serii de funcţii. Sunt prezentate principalele criterii de convergenţă pentru şiruri numerice: criteriul Weierstrass, criteriul cleştelui, criteriul Cesaro-Stolz, criteriul Cauchy-D Alembert, criteriul raportului, criteriul general de convergenţă al lui Cauchy. Se prezintă apoi rezultate relative la seriile numerice: serie convergentă (divergentă), criteriul lui Cauchy, criteriul lui Leibniz, criteriul Dirichlet-Leibniz, serii cu termeni pozitivi (criteriul comparaţiei, criteriul raportului, criteriul radicalului, criteriul Raabe-Duhamel). În continuare sunt prezentate rezultate principale asupra şirurilor şi seriilor de funcţii, insistându-se asupra seriilor de puteri şi asupra dezvoltării funcţiilor elementare în serii de puteri. Se dau aplicaţii ale acestor dezvoltări la calculul limitelor de funcţii şi la calculul aproximativ al integralelor definite. Capitolul al doilea e dedicat prezentării principalelor proprietăţi algebrice şi topologice ale spaţiului R n. Capitolul al treilea tratează funcţii reale de n variabile reale. Se insistă în special asupra calculului diferenţial al funcţiilor de mai multe variabile: derivate parţiale, diferenţiale, extreme ale funcţiilor de mai multe variabile. O importanţă deosebită se acordă schimbării de variabilă în expresii ce conţin derivate, şi respectiv derivate parţiale, având în vedere rolul pe care acestea îl joacă în studiul unor discipline inginereşti (mecanică şi rezistenţa materialelor). Spre deosebire de alte cursuri de analiză matematică, unde un loc central îl ocupă demonstrarea rezultatelor teoretice, cel de faţă are un caracter aplicativ: prezentăm scurt rezultatele teoretice iar apoi le exemplificăm printr-un număr mare de aplicaţii. Sperăm ca acest curs să contribuie la o bună înţelegere a noţiunilor prezentate prin modul de redactare şi prin numeroasele exemple prezentate. Mulţumim referenţilor, prof. univ. dr. Vasile Berinde şi conf. univ. dr. Nicolae Pop, pentru sugestiile şi observaţiile făcute, care au contribuit la îmbunătaăţirea prezentării acestui material. Baia Mare 20 octombrie 2006 Autorii

6 6

7 Capitolul Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale În acest paragraf se vor reaminti rezultate relative la şirurile de numere reale, cunoscute studenţilor de la studiul analizei matematice din liceu. se numeşte şir de numere reale orice funcţie f : N R, f(n) a n ; notaţie prescurtată: (a n ) n N sau (a n ) sau (a n ) n etc; dacă (a n ) n N este un şir de numere reale, termenul a n se numeşte termen de rang n (termen general) al şirului; şirul (a n ) n N se numeşte: mărginit inferior, dacă ( ) m R a.î. a n m, ( ) n N; mărginit superior, dacă ( ) M R a.î. a n M, ( ) n N; mărginit, dacă este mărginit inferior şi superior; şirul (a n ) se numeşte: crescător, dacă a n a n+, ( ) n N; descrescător, dacă a n a n+, ( ) n N; orice şir crescător este mărginit inferior de primul termen; orice şir descrescător este mărginit superior de primul termen; fie (a n ) n N un şir dat iar (n k ) k N un şir strict crescător de numere naturale; şirul (a nk ) se numeşte subşir al şirului (a n ) n N. Exemplu. n k 2k, k N a nk a 2k ; subşirul (a 2k ) este subşirul termenilor de rang par. orice subşir al unui şir monoton (crescător sau descrescător) e monoton; orice subşir al unui şir mărginit e mărginit; fie a R. Se numeşte vecinătate a lui a orice submulţime V R care conţine un interval de forma ]a ε,a+ε[ (ε > 0 - dat); se notează prin V(a) 7

8 8. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii mulţimea tuturor vecinătăţilor lui a R; se demonstrează că dacă a,b R, a b, există V V(a), W V(b) a.î. V W. se numeşte vecinătate a lui + orice interval de forma ]a,+ [ (a > 0); se numeşte vecinătate a lui orice interval de forma ], a[ (a > 0); notăm: R R {,+ }; fie (a n ) n N un şir dat iar a R; lim a n a orice vecinătate a lui a conţine o infinitate de termeni ai şirului. Se demonstrează următoarele: lim a n a R [( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N, n N a n a < ε]; lim a n + [( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N, n N a n > ε]; lim a n [( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N, n N a n < ε]. Un şir se numeşte convergent dacă are limită finită şi divergent în caz contrar. Privitor la şirurile convergente reamintim: limita unui şir convergent este unică; dacă (a n ) n N este convergent şi lim a n a, atunci orice subşir al său este convergent şi are limita a; dacă şirul (a n ) n N are două subşiruri cu limite diferite, atunci este divergent. Exemplu. Şirul (a n ) n N a n ( ) n este divergent căci subşirul termenilor de rang par şi respectiv subşirul termenilor de rang impar au limite diferite. orice şir convergent e mărginit; orice şir mărginit are un subşir convergent. Reamintim următoarele criterii suficiente de convergenţă ale unui şir de numere reale: orice şir monoton şi mărginit e convergent (criteriul lui Weierstrass); dacă şirurile (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N au proprietăţile: (i) a n b n c n, ( ) n n 0 (n 0 N-fixat) (ii) lim a n lim c n l R atunci lim b n l (criteriul cleştelui). dacă (a n ) n N, (b n ) n N sunt şiruri care au limită şi a n b n, ( ) n n 0 (n 0 N fixat), atunci lim a n lim b n; dacă a n b n, ( ) n n 0 şi lim a n +, atunci lim b n +. Limite fundamentale: lim + n n e( 2, ); mai mult, şirul de termen general e n + n n e crescător şi 2 < en < 3, ( ) n N ;

9 .. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale 9 dacă lim a n 0 lim ( + a n) an e; dacă lim a n lim + an a n e; 0, dacă q ],[;, dacă q ; lim qn +, dacă q ], + [; nu există, dacă q ], ]... Teoremă. (Stolz Cesaro) Fie (a n ) n N, (b n ) n N şiruri cu proprietăţile: (i) lim b n + ; a (ii) ( ) lim n+ a n a n Atunci ( ) lim b n+ b n α R. a bn şi lim n bn α. Prezentăm în continuare următoarele aplicaţii. + 2 A. Calculaţi lim + + n. ln n Soluţie. Notăm a n n, b n ln n. Cum lim b n lim ln n +, încercăm aplicarea criteriului Cesaro-Stolz. Observăm că: Dar a n+ a n lim lim b n+ b n Prin urmare, lim Cesaro-Stolz. n+ ln(n + ) lnn lim (n + )ln n+. n n + lim (n + )ln lim n ln + n+ ln e. n a n+ a n b n+ b n A2. Dacă lim a n a R iar calculaţi lim b n, lim c n. b n a + a a n n a şi atunci lim n bn n, c n a + +, a n, în baza criteriului Soluţie. Pentru calculul lui lim b n se aplică criteriul Cesaro-Stolz, obţinându-se: lim b n lim a n+ n + n lim a n+ a.

10 0. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Se observă că c n Deci lim c n a. lim a + + a n n c n lim şi aplicând criteriul Cesaro-Stolz se obţine: a n+ n + n lim a n+ a. A3. (Cauchy-D Alembert) Dacă (a n ) n N este un şir de numere reale a strict pozitive cu proprietatea că ( ) lim n+ a n l, atunci ( ) lim n an şi n an l. lim Soluţie. Fie b n n a n lnb n lim b n e lim Stolz. Avem: ln a n lim n Atunci lim b n e lnl l. ln an n ln an b n e n. Prin urmare ln an n. Calculăm limita exponentului folosind criteriul Cesaro- lim ln a n+ ln a n n + n Propunem spre rezolvare următoarele probleme.. Să se afle limitele şirurilor de termen general: (i) a n n k(k+) ; (ii) a n n k k (iii) a n n k(k+)(k+2) ; (iv) a n +2+ +n k (v) a n n É 2 n ; (vi) a 3 n n k2 lim ln a n+ a n ln l. (3k 2)(3k+) ; n 2 +2 ; k 2. R. (i) l ; (ii) l 3 ; (iii) l 4 ; (iv) l 2 ; (v) l 3 ; (vi) l 2. 3n+2 2. Să se calculeze: 2n+ (i) lim 3n+ ; (ii) lim (iii) lim 2n 2 +n 3 3n+ 2n +4n. 2 R. (i) e 2 3; (ii) e 3 2; (iii) e Calculaţi: (i) lim 2 n 3 ; (ii) lim 7 n 5 ; 5 2 (iii) lim n +4 3 n 3 2 n 3 ; (iv) lim n sinn 4n+3 4n+ 3n+2 ; π 2005.

11 .. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale R. (i) 0; (ii) ; (iii) 4; (iv) Folosind criteriul cleştelui calculaţi limita şirului de termen general: (i) x n n ; (ii) x n 2 +k n n n + 2 n n k (iii) x n n n + 2 n + + n n ; (iv) x n [a]+[2a]+ +[na] n, a R 2 (iv) x n (2n ) n. R. (i) ; (ii) 2006; (iii) + ; (iv) a 2 ; (v) Aplicând criteriul Stolz să se calculeze limita şirului de termen general: (i) a n n 2 ; (ii) b n n 2 + +n 2 ; (iii) x n 3 n lnn n ; (iv) x n (vi) x n ln2+ln 3+ +lnn n ; (v) x n n(n+) n n ; (vii) x n n R. (i) 0; (ii) 3 ; (iii) 0; (iv) e ; (v) ; (vi) 2 ; (vii) 3. n ; n 2 +n Aplicând criteriul Cauchy-D Alembert, calculaţi limita şirului de termen general: (i) x n n n (n 2); (ii) x n n ln n (n 2); (iii) x n n n n! (n 2); (iv) x n n n! (n 2); (v) x n n (n!) 2 (2n)!8 (n 2). n R. (i) ; (ii) ; (iii) e; (iv) ; (v) 32. Un alt criteriu util în calculul limitelor de şiruri este prezentat în următoarea..2 Teoremă. (Criteriul raportului pentru şiruri) Fie (a n ) n N un a şir de numere reale strict pozitive cu proprietatea că există lim n+ a n l. Dacă l < lim a n 0. Dacă l > lim a n +. Dacă l nu se poate decide nimic privitor la valoarea lim a n. Prezentăm următoarea aplicaţie. 2 A4. Calculaţi lim n n! n. n Soluţie. Notând a n 2n n! n n este clar că a n > 0, a n+ l lim 2 lim a n 2 n+ (n + )! lim (n + ) n+ n n (n + )n 2 lim + n n n 2 n n! n 2 e <.

12 2. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Conform criteriului raportului, lim a n 0. Propunem spre rezolvare 7. Aplicând criteriul raportului pentru şiruri, calculaţi limitele şirurilor de termen general: (i) x n nn (n!) ; (ii) x 2 n 2n (n!) 2 (2n)! ; (iii) x n (2n)! n. n R. (i) 0; (ii) 0; (iii)..2 Şiruri fundamentale. Criteriul general al lui Cauchy.2. Definiţie. Şirul (a n ) n N se numeşte şir fundamental (sau şir Cauchy) dacă şi numai dacă ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N, ( ) p N a n+p a n < ε. Privitor la şirurile fundamentale se demonstrează.2.2 Teoremă. (Criteriul general de convergenţă a lui Cauchy) Şirul (a n ) n N este convergent dacă şi numai dacă este fundamental. Prezentăm în continuare câteva aplicaţii. A. Arătaţi că şirul (a n ) n de termen general a n n Deduceţi că lim a n +. k k nu e fundamental. Soluţie. Presupunem că (a n ) n e fundamental ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) a.î. ( ) n N, ( ) p N avem: a n+p a n n + + n < ε. (*) n + p În ( ) alegem p n 2 ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) a.î. ( ) n N avem: Să observăm că: n + + n < ε. (**) 2n n + + n n 2n + 2n + + 2n n 2n 2 ceea ce înseamnă că ( ) nu poate fi adevărată pentru ε 2. Contradicţia arată că şirul considerat nu e fundamental, deci nu e convergent.

13 .3. Serii de numere reale. Noţiuni generale 3 Pe de altă parte a n+ a n n+ > 0, deci (a n) n N e strict crescător, ceea ce înseamnă că ( ) lim a n. Cum (a n ) n N nu e convergent lim a n +. A2. Arătaţi că şirul de termen general este convergent. Soluţie. ( ) p N avem: a n+p a n 2 a n sin 2 + sin sinn 2 n sin(n + ) sin(n + 2) sin(n + p) 2 n+ + 2 n n+p (*) sin(n+) + sin(n+2) + + sin(n+p) n+ 2n+2 2n+p 2 p < 2 n 2 n p 2 n (am folosit inegalitatea sin x, ( ) x R). Cum lim 2 0 ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N n 2 < ε. n Având în vedere ( ), rezultă că ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) a.î. ( ) n N, ( ) p N, a n+p a n < ε, deci (a n ) n N e un şir fundamental. Aplicând criteriul lui Cauchy, deducem că (a n ) n N e convergent. Similar se tratează şi aplicaţia A3. Arătaţi că şirul de termen general este convergent. a n cos 2 + cos cos n n(n + ).3 Serii de numere reale. Noţiuni generale.3. Definiţie. i) Se numeşte serie de termen general a n o sumă de forma a n a 0 + a + + a n +... ii) Şirul (s n ) n N, de termen general s n n a k se numeşte şirul sumelor parţiale ale seriei a n. iii) Seria a n se numeşte convergentă dacă şirul (s n ) al sumelor ei parţiale este convergent; în caz contrar seria se numeşte divergentă. k0

14 4. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii (iv) Dacă seria a n e convergentă şi s lim s n, numărul s R se numeşte suma seriei considerate; se utilizează în acest caz notaţia a n s. n0.3. Serii remarcabile (i) Seria geometrică de raţie q este seria q n (q R) şi are şirul sumelor parţiale (s n ), de termen general s n n q k ; q n0 k pentru termenul general s n se obţine n, q s n q n q, q ; rezultă că (s n ) este convergent q ],[ ; în acest caz lim s n Ḋeci seria geometrică q n e convergentă q ],[; în acest caz q n q. (ii) Seria armonică este seria şi are şirul sumelor parţiale de termen general n n s n n ; cum şirul (s n ) n e divergent, seria armonică e divergentă..3.2 Exerciţii rezolvate Să se calculeze suma fiecăreia din seriile de mai jos: (i) n(n+) ; (ii) 3 n +2 n n 6 ; (iii) 2 +n 3 n n n n! n (ştiind că n! e). n0 Soluţie. (i) s n n k Cum lim s n 3 (ii) n +2 n 6 n 3 lim n ( 3) n k(k+) n k k+ n+. k n n(n+) (seria e convergentă şi are suma s ). n 3 6 n n n 2 n + 3 n 2 lim ( 2) n + 2

15 .4. Criterii de convergenţă. Operaţii cu serii convergente 5 (iii) Să observăm că: n Mai departe avem: n n n n 2 + n 3 n! n 2 n! n n2 n + (n )! n n 2 n! + n2 (n 2)! + (n )! n n! (n )! e; n n! n! e. n0 n n n! 3 n n!. n (n )! + (n )! n e + e 2e; În concluzie, se obţine n n 2 + n 3 n! 2e + e 3(e ) 3..4 Criterii de convergenţă. Operaţii cu serii convergente.4. Teoremă. (Criteriul general de convergenţă Cauchy) Seria ä u n e convergentă ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N(ε), ( ) p N u n+ + u n u n+p < ε ç..4.2 Consecinţă. (Condiţia necesară de convergenţă) Dacă seria u n este convergentă lim u n 0. n.4.3 Aplicaţii. (Ale condiţiei necesare) Arătaţi că seriile de mai jos sunt divergente (i) n sin n ; (ii) n+ n n+2 ; (iii) n n (iv) n ln n ; (v) n++ n ; (vi) n 2 n n 2 n n n ; n tg n. Soluţie. (i) u n n sin n ; lim u sin n lim n n 0;

16 6. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii n+ n; (ii) u n n+2 lim u n lim n n+2 e e 0; (iii) u n n n ; lim u n lim n n 0; (iv) u n n ln n ; lim u n e 0; (v) u n n++ n ; lim u n 0. Nu putem trage nici o concluzie utilizând condiţia necesară de convergenţă. Dar s n n k k + + k n k Cum lim s n + seria e divergentă. (vi) u n n tg n ; lim u n lim k + k n +. tg n n Teoremă. (Criteriul lui Abel) Dacă şirul de termeni pozitivi (u n ) n N e descrescător şi lim u n 0, seria ( ) n u n este convergentă. n.4.5 Aplicaţii. (La criteriul lui Abel) Arătaţi că seriile de mai jos sunt convergente: (i) ( ) n n ; (ii) ( ) n ; (2n ) n n 3 (iii) ( ) n 5 n ; (iv) ( ) n n3 n n 2 n. Soluţie. (i) u n n ; u n+ u n n n+ < ; lim u n lim Conform criteriului Abel seria e convergentă. (ii) u n (2n ) ; u n+ 2n 3 3 u n 2n+ < ; lim Se aplică criteriul lui Abel. (iii) u n 5 n ; u n+ u n u n lim n 0. (2n ) n n+ < ; lim u n lim 5 n 0. (iv) u n n3 u 2 ; n+ n+ 3 n u n n n <, deci un ) n N este descrescător. Pentru a calcula lim u n se aplică criteriul lui Stolz, obţinându-se: lim u (n + ) 3 n 3 3n 2 + 3n + n lim 2 n+ 2 n lim 2 n 3(2n + ) + 3 lim 2 n 6 lim Conform criteriului Abel, seria e convergentă. n + 2 n 6 lim 2 n 0.

17 .4. Criterii de convergenţă. Operaţii cu serii convergente Definiţie. (i) Seria u n e absolut convergentă dacă seria u n e convergentă. (ii) Dacă seria u n e convergentă fără să fie absolut convergentă, ea se numeşte semiconvergentă..4.7 Exemplu. Seria armonică alternată ( ) n n este semiconvergentă n (exerciţiu!)..4.8 Teoremă. Orice serie absolut convergentă este convergentă. (Reciproca este în general falsă, vezi.4.7)..4.9 Teoremă. (i) Dacă u n s, v n s 2 (u n +v n ) s +s 2. n0 n0 n0 (ii) Dacă u n s şi α R αu n αs. n0.4.0 Exemplu. Vezi.3.3. n0 O generalizare a criteriului lui Abel e exprimată în.4. Teoremă. (Dirichlet-Abel) Dacă: (i) Seria u n are şirul sumelor parţiale mărginit; (ii) (v n ) e un şir descrescător de numere pozitive cu lim v n 0, atunci seria u n v n este convergentă.

18 8. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii.5 Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă.5. Definiţie. Seria u n e cu termeni pozitivi dacă u n > 0, ( ) n N..5.2 Teoremă. (Criteriul comparaţiei) Fie u n, v n serii cu termeni pozitivi. (i) Dacă u n v n, ( ) n n 0 (n 0 N - fixat) şi u n - convergentă; v n e convergentă (ii) Dacă u n v n, ( ) n n 0 (n 0 N - fixat) şi u n e divergentă v n - divergentă; u (iii) Dacă lim n vn l ]0,+ [, seriile u n, v n au aceeaşi natură..5.3 Aplicaţii. (La criteriul comparaţiei) (i) Studiaţi natura seriei n, unde α R (seria armonică gene- α ralizată). Soluţie. Distingem situaţiile:. α n α n n n 2. α < n α < n n α > n n α n n divergentă (folosind criteriul comparaţiei, (ii)). n divergentă (seria armonică). ; cum seria n e divergentă 3. α > + 2 α + 3 α α + 3 α + 4 α + 5 α + 6 α nα Cum seria (2 n+ ) α α α + + 2n 2 nα +... n n α 7 α + 2 α n e convergentă, folosind criteriul convergenţei (i), n rezultă că seria n este convergentă. n α În concluzie, seria armonică generalizată α > şi divergentă pentru α. (ii) Decideţi natura seriilor: (a) (c) n n +n +n 2 ; (b) n n sin π n ; (d) n 3 n 4 +5 ; n 5+n 2 n. n n α este convergentă pentru Soluţie. (a) Fie u n +n, v +n 2 n n ; lim u n n vn lim 2 +n ]0,+ [. +n 2 Cum seria n e divergentă, folosind criteriul comparaţiei (iii), seria n n +n +n 2

19 .5. Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă 9 e divergentă. (b) Fie u n 3 ; atunci u n 4 +5 n 3 n 4 Cum seria n n 4/3 v n 4/3 n. e convergentă (vezi exemplul (i)), seria este convergentă, conform criteriului comparaţiei. (c) Fie u n n sin π n ; atunci: Seria v n π n n n u n n sin π n n π n π n 2 v n. n 2 n e convergentă, deci seria dată e convergentă. (d) Fie u n u 5 + n 2 n, v n 2 ; cum lim n 2 e convergentă, seria n n u n vn n 5+n 2 4 este convergentă. 3 n 4 +5 ]0,+ [ şi seria.5.4 Teoremă. (Criteriul raportului) Fie u n o serie cu termeni pozitivi. Dacă: (i) u n+ u n q <, ( ) n n 0 (n 0 N - fixat) u n convergentă; (ii) u n+ u n, ( ) n n 0 (n 0 N - fixat) u n divergentă; (iii) ( ) l lim l > seria e divergentă. u n+ u n.5.5 Aplicaţii. (La criteriul raportului) Decideţi natura seriilor de mai jos: (2n ) (i) 3 n n! (n!) ; (ii) 2 (2n)! ; (iii) n. Pentru l < seria e convergentă iar pentru n Soluţie. (i) u n (2n ) 3 n n! > 0, ( ) n N u n+ lim u n n 3... (2n )(2n + ) lim 3 n+ (n + )! 3 lim deci seria e convergentă. (ii) u n (n!)2 (2n)! > 0, ( ) n N u n+ lim u n deci seria e convergentă. 2n + n <, a n 2 n +5 n (a > 0). 3 n n! (2n ) [(n + )!] 2 lim (2n)! (2n + 2)! (n!) 2 lim (n + ) 2 (2n + )(2n + 2) 4 <,

20 20. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii (iii) u n u n+ lim u n an 2 n +5 > 0, ( ) n N n a n+ lim 2 n+ 5 n+ 2n + 5 n a n n a lim u n+ u n+ ä 5 n 2 n ç n ä n + 5 ç a 5. Dacă a < 5 seria e convergentă, căci lim u n <. Dacă a > 5 seria e divergentă, căci lim u n >. Dacă a 5 u n 5n 2 n +5 lim n n 0, deci seria e divergentă fiindcă nu îndeplineşte condiţia necesară de convergenţă. a În concluzie, seria 2 n +5 e convergentă a < 5. n.5.6 Teoremă. (Criteriul radicalului) Fie u n o serie cu termeni pozitivi. Dacă: (i) n u n q < ( ) n N, n 2 u n convergentă; (ii) n u n, ( ) n N, n 2 u n divergentă; (iii) ( ) l lim l > seria e divergentă. u n+ u n. Pentru l < seria e convergentă iar pentru.5.7 Aplicaţii. (La criteriul radicalului) Stabiliţi natura seriilor: (i) (ii) (iii) n ln n (n+) ; n n n; 2n+ Soluţie. (i) u n ln n (n+) > 0, ( ) n N. lim deci seria e convergentă. n n (ii) u n 2n+ > 0, ( ) n N lim deci seria e convergentă. (iii) u n (+ n) n 2 3 > 0, ( ) n N n lim deci seria e convergentă. n n un lim ln(n + ) 0 <, n n un lim 2n + 2 <, n un lim + n 3 n e 3 <, (+ n) n2 3 n.

21 .6. Şiruri de funcţii Teoremă. (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie a n o serie cu termeni pozitivi. (i) Dacă ( ) s >, ( ) p N astfel ca n an a n+ n p a n e convergentă; (ii) Dacă ( ) p N astfel ca n an a n+ a n e divergentă; s oricare ar fi oricare ar fi n p (iii) Presupunem că ( ) l lim n un u n+. Dacă l > seria e convergentă iar dacă l < seria e divergentă. Când l nu se poate decide nimic relativ la convergenţa seriei..5.9 Aplicaţii. (La criteriul Raabe-Duhamel) Decideţi natura seriilor: 3...(2n ) (i) n 2n+ ; (ii) a ln n (a > 0, a ). n n Soluţie. E uşor de constatat că nu se aplică nici criteriul raportului nici criteriul radicalului. (i) lim n un n(6n+5) u n+ lim 2(n+)(2n+3) > seria e convergentă în baza criteriului Raabe-Duhamel. (ii) lim n un ä ç u n+ lim n a ln n n n+ n+ lim naln ln n ln n n+ n+ ln a lim n ln n n+ ln a lim ln n n n+ ln a e. Dacă ln a e < ( a < e e ) seria e divergentă. Dacă ln a e > ( a > e e ) seria e convergentă. Dacă a e e u n (e e ) ln n e e ln n e ln ne n e. Cum lim ne + 0 a ln n e divergentă. n În concluzie, seria a ln n e convergentă a > e e. n.6 Şiruri de funcţii Fie D R iar (f n ) n N un şir de funcţii, f n : D R ( ) n N. Pentru şirul considerat se introduc două tipuri de convergenţă, ce vor fi prezentate în cele ce urmează..6. Definiţie. (Convergenţă punctuală) Şirul (f n ) n N converge simplu (punctual) către funcţia f : D R pe mulţimea A D dacă ( ) x A avem: lim f n(x) f(x)

22 22. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii adică: ( ) ε > 0, ( ) x A ( ) N N(ε,x) N a.î. ( ) n N să avem f n (x) f(x) < ε. În cazul în care condiţia precedentă este îndeplinită, se utilizează notaţia f n f pe A..6.2 Definiţie. (Convergenţă uniformă) Şirul (f n ) n N converge uniform la funcţia f : D R pe mulţimea A D dacă: ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. f n (x) f(x) < ε, ( ) n N, ( ) x A. În cazul în care condiţia precedentă este îndeplinită se utilizează notaţia f n f. Legătura între cele două tipuri de convergenţă e exprimată în.6.3 Teoremă. Dacă f n f pe D, atunci f n f pe D (convergenţa uniformă implică convergenţa simplă). Privitor la convergenţa uniformă, prezentăm (fără demonstraţie) următoarele rezultate..6.4 Teoremă. (Cauchy) Şirul de funcţii (f n ) n N, f n : D R ( ) n N converge uniform către f : D R pe mulţimea D ä ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. f n+p (x) f(x) < ε, ( ) n N, ( ) p N, ( ) x D ç..6.5 Teoremă. Fie (f n ) n N, f n : D R, ( ) n N iar f : D R. Dacă există un şir de numere pozitive (a n ) n N convergent la zero, astfel ca f n (x) f(x) a n ( ) n n 0 (n 0 N - fixat), ( ) x D, atunci f n f pe D..6.6 Teoremă. Fie (f n ) n N un şir de funcţii continue pe D astfel ca f n f pe D. Atunci f este continuă pe D..6.7 Aplicaţii. (La convergenţa şirurilor de funcţii) Stabiliţi mulţimea de convergenţă, funcţia limită şi tipul convergenţei pentru fiecare din şirurile de funcţii de mai jos: (i) f n : R R, f n (x) x 2 + n; (ii) f n : R R, f n (x) x n ; (iii) f n : [3,4] R, f n (x) x x+n ; (iv) f n : [0,+ [ R, f n (x) ne nx ; (v) f n : [,+ [ R, f n (x) x2 n 2 +x. 2

23 .6. Şiruri de funcţii 23 Soluţie. Notăm cu A mulţimea de convergenţă. (i) ( ) x R lim f n(x) lim (x2 + n) + A. (ii) ( ) x R lim f x n(x) lim n 0 A R. Arătăm că f n 0 dar f n 0 pe R. Dacă f n 0 pe R trebuie ca ( ) ε > 0 ( ) N n(ε) a. î. Alegând x n şi ε <, avem: x n < ε, ( ) n N,( ) x R. (*) f n (n) n n > ε, ( ) ε <. (**) Relaţiile (*) şi (**) fiind contradictorii f n 0, dar f n 0 pe R. (iii) ( ) x [3,4] lim f x n(x) lim x+n 0; deci A [3,4]. Arătăm că f n 0 pe [3,4]. Observăm că f n (x) 0 x x + n x x + n 4, ( ) x [3,4]. 3 + n Şirul (a n ) n N de termen general a n 4 3+n este un şir de numere reale pozitive cu proprietatea lim a n 0. Aplicând Teorema.6.5 rezultă că f n 0 pe [3,4]. (iv) ( ) x [0,+ [ lim f n(x) lim ne 0 A [0,+ [. nx ( ) x [0,+ [ f n (x) 0 ne nx n a n. Cum a n > 0, ( ) n N şi lim a n 0, se aplică Teorema.6.5 şi rezultă f n 0 pe [3,4]. x (v) ( ) x [,+ [ lim f)n(x) lim 2 x 2 +n 0 A [,+ [. 2 Vom arăta că f n 0 pe [,+ [. Se observă că f n (x) 0 x2 x 2 + n 2 x2 2nx x 2n, Este deci suficient să arătăm că ( )ε > 0 ( ) N N(ε) N a. î. Inegalitatea (*) se scrie succesiv: ( ) x [,+ [. x < ε, ( )n N, ( )x [,+ [. (*) 2n n > x 2ε 2ε (căci x [,+ [). ä Alegând atunci N N(ε) 2εç +, deducem că å x ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) + a. î. < ε, ( ) n N, ( ) x [,+ [. 2εè 2n

24 24. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Rezumând cele de mai sus, ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) ä 2εç + N a. î. ( ) n N, f n (x) 0 < ε, ceea ce arată că f n 0 pe [,+ [. Fără a exemplifica, menţionăm alte două rezultate importante relative la şirurile de funcţii..6.8 Teoremă. (De integrare) Fie şirul de funcţii continue (f n ) n N, f n C([a,b]) ( ) n N. Dacă f n f pe [a,b], atunci: lim b a f n (x)dx b a f(x)dx..6.9 Teoremă. (De derivare) Fie şirul de funcţii derivabile, cu derivate de ordinul întâi continue pe [a,b] (f n ) n N, f n C ([a,b]), ( ) n N. Dacă: (i) f n f pe [a,b]; (ii) f n g pe [a,b], atunci f e derivabilă pe [a,b] şi are loc egalitatea f g, adică lim f n.7 Serii de funcţii lim f n pe [a,b]. Fie (f n ) n N un şir de funcţii, f n : D R ( ) n N (D R). Mai notăm prin (S n ) n N şirul de funcţii de termen general S n (x) n f k (x), ( ) n N..7. Definiţie. (i) Se numeşte serie de funcţii o sumă de forma: k 0 f k f 0 + f + + f n +... ; (ii) Şirul de funcţii (S n ) n N de termen general S n (x) n k0 f k (x), se numeşte şirul sumelor parţiale ale seriei l0 ( ) x D, ( ) n N (iii) Dacă A D e mulţimea de convergenţă a şirului (S n ) n N, atunci A e mulţimea de convergenţă a seriei de funcţii f k ; dacă S n (x) S(x) k 0 f k ; ( ) x A, atunci funcţia S : A R e suma seriei de funcţii considerate; se utilizează în acest caz notaţia: n0 f n (x) S(x), ( ) x A;

25 .7. Serii de funcţii 25 (iv) Dacă S n S pe A, seria f n e punctual convergentă către S pe A; dacă S n S pe A, seria f n e uniform convergentă către S pe A. Relativ la seriile de funcţii, prezentăm fără demonstraţie următoarele rezultate..7.2 Teoremă. (Cauchy) Seria de funcţii f n este uniform convergentă pe D R ä ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a. î. f n+p (x) f n (x) < ε, ( ) n N, ( ) p N, ( ) x D ç..7.3 Teoremă. (Weierstrass) Considerăm seria de funcţii f n, f n : D R ( ) n N. Dacă ( ) un şir de numere reale pozitive (a n ) n N cu proprietăţile: (i) f n (x) a n, ( ) n n 0 N, ( ) x D; (ii) lim a n 0, atunci seria f n e uniform convergentă pe D către o funcţie S : D R..7.4 Teoremă. Fie f n o serie de funcţii, f n : D R ( ) n 0, n0 continue pe D. Dacă f n S uniform pe D, atunci funcţia S : D R e continuă pe D. n0.7.5 Teoremă. (De integrare termen cu termen) Fie f n o serie de fracţii continue, f n C([a,b]) ( ) n N. Dacă n0 f n (x) S(x) uniform pe [a,b], atunci: b a f n (x) n0 dx b n0 a f n (x)dx b a S(x)dx..7.6 Teoremă. (De derivare termen cu termen) Fie f n o serie de funcţii f n C ([a,b]), ( ) n N. Dacă: (i) f n (x) S(n), punctual pe [a,b]; n0 (ii) f n (x) G(x), uniform pe [a,b], n0 atunci funcţia S e derivabilă pe [a,b] şi S G, adică f n (x) n0 n0 f n(x), ( ) x [a,b].

26 26. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Rezultatele prezentate vor fi exemplificate în cazul seriilor de puteri..8 Serii de puteri Se numeşte serie de puteri centrată în x 0 R o serie de funcţii de forma a n (x x 0 ) n (a n R). În continuare se vor considera serii de puteri centrate în x 0 0, deci de forma a n x n. Privitor la convergenţa seriilor de puteri precizăm rezultatele:.8. Teoremă. Orice serie de puteri e convergentă în x 0 0 (deci mulţimea de convergenţă e nevidă)..8.2 Teoremă. (Abel) Dacă seria de puteri a n x n e convergentă în x 0 0, atunci seria e absolut şi uniform convergentă pe orice interval [ r,r], unde 0 < r < x 0. O problemă importantă este aceea a determinării mulţimii de convergenţă a unei serii de puteri..8.3 Definiţie. Fie seria de puteri a n x n. Se numeşte rază de convergenţă a seriei date numărul real R 0 definit prin: R sup x 0 : x punct de convergenţă a sumei a n x n. Privitor la calculul razei de convergenţă a unei serii de puteri are loc.8.4 Teoremă. Fie seria de puteri R. Atunci: R lim n a n lim a n x n, având raza de convergenţă a n+ a n. Dacă R 0 R + ; dacă R R 0. Dacă 0 < R < +, seria a n x n e uniform convergentă pe ] R,R[..8.5 Definiţie. Fie seria de puteri Intervalul I C ] R,R[ a n x n cu raza de convergenţă R. (pe care seria e uniform convergentă) se numeşte interval de convergenţă al seriei.

27 .8. Serii de puteri Observaţie. Mulţimea de convergenţă a seriei de puteri a n x n cu raza de convergenţă R e unul din intervalele ] R,R[, [ R,R[, ] R,R] sau [ R,R]. Pentru mulţimea (domeniul) de convergenţă al unei serii de puteri se va folosi notaţia D C..8.7 Aplicaţii. (Domeniul de convergenţă al unei serii de puteri) Determinaţi domeniile de convergenţă ale următoarelor serii de puteri: (i) x n x ; (ii) n n+ ; (iii) x 2n+ 2n+ ; x (iv) n x n 2 ; (v) n (x 3) n n ; (vi) 2n+ n 2n+. n n Soluţie. (i) a n, ( ) n N; R lim convergenţă este I C ],[. Pentru x obţinem seria a n+ a n Pentru x obţinem seria divergentă R. Intervalul de ( ) n care e divergentă / D C. / D C. Rezultă că D C I C ],[. (ii) a n n+ ; R lim n+ n+2 R I C ],[. ( ) x n (n+) convergentă (e seria armonică alternată) D C. x n divergentă (e seria armonică) / D C. Domeniul de convergenţă este deci D C [,[. (iii) Procedând ca la punctele precedente se obţine D C ],[. n 2 n (iv) R lim (n+)2 n+ 2 R 2 I C ] 2,2[. ( 2) x 2 n ( ) n 2 n n n n convergentă 2 D C. n 2 x 2 n n 2 n n divergentă 2 / D C. Deci D C [ 2,2[. n n n (v) R lim n lim n (vi) Notând x 3 y, obţinem seria n 0 R + I C R D C. y 2n+ 2n+ care e convergentă numai pe domeniul y ],[. Seria dată e deci convergentă dacă şi numai dacă x 3 ],[. Prin urmare D C ]2,4[..8.8 Probleme propuse. (Domenii de convergenţă) Aflaţi domeniul de convergenţă al fiecăreia din seriile:

28 28. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii (i) ( ) n (2n + ) 2 x n ; (ii) n!x n ; n (iii) 3 n2 x n2 ; (iv) n n (n + 3) n ; n n (v) ( ) n (x ) 2n 2n ; (vi) ( ) n (x 3) n (2n+) 2n+. n R. (i) D C I C ],[; (ii) I C {0} D C ; (iii) D C I C ] 3, 3 [ ; (iv) D C I C { 3}; (vi) I C ],3[; D C [,3]; (vi) I C ]2,4[; D C [2,4]..9 Derivarea şi integrarea termen cu termen a seriilor de puteri Prezentăm un rezultat teoretic iar apoi dăm mai multe aplicaţii ale lui..9. Teoremă. Considerăm seria de puteri a n x n cu raza de convergenţă R şi notăm S(x) n0 a n x n, Sunt adevărate afirmaţiile de mai jos: (i) S este derivabilă pe ] R, R[; (ii) Seria na n x n are raza R şi n ( ) x ] R,R[. S (x) n na n x n, ( ) x ] R,R[; (iii) Dacă [a,b] ] R,R[ are loc: b a S(x)dx n0 b a n x n dx a n0 a n b n+ a n+ n Exerciţii rezolvate. (Derivare şi integrare termen cu termen) Folosind derivarea sau integrarea termen cu termen, să se calculeze sumele următoarelor serii de puteri:

29 .9. Derivarea şi integrarea termen cu termen a seriilor de puteri 29 (i) (iii) (v) (vii) (ix) n n n n n nx n ; (ii) ( ) n (2n )x 2n 2 ; (iv) n n ( ) n xn n ; (vi) ( ) n x2n (x 3) n n 2 n. 2n ; n (viii) n nx n 2 n ; x n n ; n(n+) 2 x n ( ) n+ xn+ n(n+) ; Soluţie. (i) x n x, ( ) x ],[ n n nx n x n x x ( x), ( ) x ],[. n n 2 (ii) n 2 2 x, ( ) x ] 2,2[ n x 2 n x 2 Folosind derivarea termen cu termen se obţine: n n x 2 n 2 (2 x) 2, ( ) x ] 2,2[ (iii) Fie S (x) n E uşor de observat că ( ) n x 2n n x n x x, ( ) x ],[ n x 2 x, ( ) x ] 2,2[. nx n 2 n x (2 x) 2, ( ) x ] 2,2[. ( ) n (2n )x 2n 2 Ê S(x)dx n Folosind derivarea termen cu termen se obţine: S(x) n x +x 2, ( ) x ],[. x x 2 + x 2 ( + x 2, ( ) x ],[. ) 2 (iv) Ê x n x, ( ) x ],[ x n 0 ( ) x ],[ x n n n (v) ( ) n x n xê 0 n n t n dt x Ê 0 ( ) n x 2n. dt t ln x, ln( x), ( ) x ],[. Ê +x, ( ) x ],[ x ( ) n t dt n n 0 n dt +t ln(+x), ( ) x ],[ ( ) n xn n ln(+x), ( ) x ],[. n (vi) Pornind de la x n x, ( ) x ],[ şi aplicând de două ori derivarea termen cu termen, se obţine: n n(n + )x n 2x( x)2 + 2( x)x 2 ( x) 4

30 30. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii iar de aici: n n(n + ) 2 (vii) Este evidentă identitatea: n x n ( x) 3. ( ) n t 2n 2, ( ) t ],[. + t2 Folosind integrarea termen cu termen, rezultă: x 0 ( ) n t dt 2n 2 n x 0 dt arctg x, ( ) x ],[. + t2 Prin urmare: n x2n ( ) 2n n arctg x, ( ) x ],[. (viii) Se porneşte de la identitatea n ( ) n x n, ( ) x ],[ + x şi aplicând de două ori integrarea termen cu termen se găseşte: n ( ) n x n+ (x + )ln(x + ) x, ( ) x ],[. n(n + ) (ix) Se notează x 3 2 y; aplicând apoi integrarea termen cu termen se găseşte: n (x 3) n n 2 n.0 Serii Taylor ln 5 x 2, ( ) x ],5[..0. Definiţie. Fie I R un interval deschis, f : I R o funcţie e admite derivate de orice ordin în x 0 I. Se numeşte serie Taylor ataşată funcţiei f în punctul x 0 următoarea serie: f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n.

31 .. Serii Mac-Laurin 3 Are loc următorul rezultat:.0.2 Teoremă. Fie I R interval deschis, x 0 I iar f : I R. Dacă: (i) f are derivate de orice ordin în x 0 ; (ii) ( ) M > 0 a. î. f (n+) (x) < M, ( ) x V I (V V(x 0 )), atunci ( ) x V I are loc egalitatea: f(x) n0 f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n..0.3 Aplicaţii. (La serii Taylor) Să se dezvolte în serie Taylor într-o vecinătate a punctului x 0 4 funcţiile date prin: (i) f(x) x ; (ii) f(x) 2 x 2 +3x+2. Soluţie. (i) Se demonstrează (inducţie după n) că: de unde rezultă: f (n) (x) ( ) n(n + )! x n+2, ( ) x R, ( ) n N f (n) ( 4) (n + )! 4 n+2, ( ) n 0, n N. E uşor de văzut că ( ) V V( 4) pe care f (n+) e mărginită. Are deci loc egalitatea n + 4 n+2 (x + 4)n, ( ) x V R x2 n0 (rămâne în seama cititorului determinarea lui V ). (ii) x 2 + 3x n+ 2 n+ (n + 4) n, ( ) x V (R\{ 2, }) 6 n0 n+ (determinarea lui V rămâne în seama cititorului).. Serii Mac-Laurin.. Definiţie. Fie I R un interval deschis cu proprietatea că x 0 0 I iar f : I R o funcţie ce admite derivate de orice ordin în x 0 0. Seria Taylor ataşată funcţiei f în punctul x 0 0, adică seria n0 f (n) (0) n! se numeşte serie Mac-Laurin a funcţiei f. x n

32 32. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii..2 Teoremă. În ipotezele definiţiei.. are loc egalitatea: n0 f (n) (0) n! x n f(x), ( ) x A, unde A I e mulţimea de convergenţă a seriei Mac Laurin...3 Aplicaţii. (Dezvoltarea în serie de puteri a unor funcţii elementare). f : R R, f(x) e x, ( ) x R e uşor de văzut că f (n) (x) e x, ( ) x R, ( ) n N f (n) (0), ( ) n N; seria Mac-Laurin este n! xn, deci o serie de puteri cu coeficienţii n0 a n n!, ( ) n N şi raza de convergenţă R + ; domeniul de convergenţă este D C R; prin urmare, ( ) x R are loc egalitatea: e x n0 substituind x : x, se obţine: e x n0 x n n! + x! + x2 2! + + xn n! +... ( ) n xn n! x! + x2 2! + ( )n x4 n! f : R R, f(x) sinx, ( ) x R se demonstrează (inducţie după n) că: prin urmare f (n) (x) sin f (n) (0) x + n π 2, ( ) x R, ( ) n N; 0, n 2k ( ) k, n 2k + (k N); seria Mac-Laurin căutată este ( ) n (2n+)! x2n+ şi are raza de n0 convergenţă R + ; prin urmare D C R sinx ( ) k ( ) x R. 3. f : R R, f(x) cos x, ( ) x R n0 (2n+)! x2n+,

33 .. Serii Mac-Laurin 33 se demonstrează (inducţie după n) că: f (n) (x) cos x + n π, ( ) x R, ( ) n N; 2 prin urmare f (n) (0) ( ) k, n 2k; 0, n 2k + seria Mac-Laurin căutată este n0 R + ; prin urmare D C R cos x (k N); ( ) n (2n)! x 2n şi are raza de convergenţă n0 ( ) n (2n)! x 2n, ( ) x R. 4. f :],+ [ R, f(x) ( + x) α, ( ) x R (α R) se demonstrează (inducţie după n) că: f (n) (x) α(α )... (α n + )( + x) α n, ( ) x R, ( ) n N şi deci f (n) (0) α(α )... (α n + ), ( ) n N seria Mac-Laurin căutată este n0 f (n) (0) n! x n + n α(α )... (α n + ) n! raza ei de convergenţă este R iar domeniul de convergenţă D C ],[; prin urmare are loc egalitatea: ( + x) α + n α(α )... (α n + ) n! pentru α se obţine identitatea: + x ( ) n x n, ( ) x ],[ n0 x n x n, ( ) x ],[ folosind integrarea termen cu termen, din egalitatea precedentă rezultă: ln( + x) ( ) n xn+ n + n0, ( ) x ],[.

34 34. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii..4 Exerciţii propuse. (Devoltare în serie de puteri) Să se devolte în serie de puteri funcţiile date prin legile de mai jos: (i) f(x) shx ex e x 2 ; (ii) f(x) chx e x +e x 2 ; (iii) f(x) sin 2 x; (iv) f(x) cos 2 3 x; (v) f(x) ( x)(+2x). R. (i) shx n0 (ii) chx n0 x 2n+ (2n+)!, ( ) x R; x 2n (2n)!, ( ) x R; (iii) sin 2 cos 2x x 2 ; folosind apoi dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei cos se obţine: (iv) cos 2 x sin 2 x ( ) n 22n n (2n)! x2n, ( ) x R. +cos 2x 2 ; se procedează apoi ca la (iii), obţinându-se cos 2 x + (v) 3 ( x)(+2x) ( ) n22n (2n)! n, ( ) x R. n0 + ( ) n+ 2 n x n, ( ) x ],[\ 2.2 Utilizarea dezvoltărilor în serie de puteri la calculul limitelor şi la calculul aproximativ al integralelor definite n0 (2n+)! Prezentăm unele aplicaţii ale dezvoltării în serie de puteri. sinx arctg x A. Să se calculeze l lim. x 0 x 3 Soluţie. Se ştie că sin x ( ) n x2n+. Vom deduce mai întâi dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei arctg x. Pornim de la identitatea cunoscută din care deducem + t t + t2 + ( ) n t n +... ( ) t ],[ + t 2 t2 + t 4 t ( ) n t 2n +..., ( ) t ],[..

35 .2. Utilizarea dezvoltărilor în serie de puteri la calculul limitelor şi la calculul aproximativ al integralelor definite 35 Folosind teorema de integrare termen cu termen, putem integra identitatea precedentă pe intervalul [0, x] ], [ şi obţinem: arctg x x x3 3 + x5 5 x7 x2n+ + + ( )n +..., ( ) x ],[. 7 2n + Din cele de mai sus obţinem: sinx arctg x Limita căutată devine: l lim x 0 3 3! 3 3! x ! x ! x x ! x x 3 3 3! 6. 2e A2. Să se calculeze l lim x 2 2x x 2 x 0 x sin x. Soluţie. Folosind dezvoltările cunoscute avem: 2e x 2 2x x x 3 2 x sin x x Limita căutată devine n0 x! + x2 2! + x3 3! x x 2 3! + x5 5! +... ( ) n x2n+ (2n + )! x3 3! x5 5! + x7 7!... 2 x3 3! + x5 5! +... x 3 l lim 2 lim x 0 x 3 3! x5 5!... x 0 x 3 A3. Să se calculeze l lim x 0 x arctg x x 3. 3! + x2 3! x2 5! ! Soluţie. Se foloseşte dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei arctg x, obţinându-se l 3. A4. Să se calculeze o valoare aproximativă a integralei I 2 0 sinx x dx. Soluţie. Folosind dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei sin x deducem: sin x x x2 3! + x4 5! x6 7! +...

36 36. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Luând primii trei termeni ai dezvoltării precedente obţinem: 2 I x2 2 + x4 dx A5. Să se calculeze o valoare aproximativă a integralei I 2 0 cos x x 2 Soluţie. Folosind dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei cos x, se obţine: dx. cos x x 2 2! x2 4! + x4 6! cos x x 2 dx ! ! ! x2 4! + x4 dx 6!

37 Capitolul 2 Spaţiile R n 2. Spaţiul cu n dimensiuni Notăm R n R R R x (x,x 2,...,x n ) : x i R, ( ) i,n. În cazul n, mulţimea R este dreapta reală R. În cazul n 2, mulţimea R 2 este mulţimea perechilor de numere reale (x,x 2 ) (sau mulţimea punctelor din plan de abscisă x şi ordonată x 2 ). Punctele lui R 2 vor fi notate adesea (x,y) în loc de (x,x 2 ). În cazul n 3, mulţimea R 3 este mulţimea tripletelor de numere reale (x,x 2,x 3 ) sau mulţimea punctelor din spaţiu. Punctele din spaţiu vor fi notate adesea (x,y,z) în loc de (x,x 2,x 3 ). Prin analogie, R n se numeşte spaţiul cu n dimensiuni iar elementele sale se numesc puncte. Dacă x (x,...,x n ) R n, x,x 2,...,x n se numesc coordonatele (proiecţiile) punctului x. 2.2 Structura de spaţiu vectorial al lui R n Operaţia de adunare + : R n R n R n se defineşte prin: x+y(x +y,...,x n +y n ), ( )x(x,...,x n ) R n, ( )y(y,...,y n ) R n. Se verifică uşor: 2.2. Teoremă. (R n,+) este un grup abelian cu elementul neutru 0 (0,0,...,0) şi opusul fiecărui element x (x,...,x n ) R n elementul x ( x,..., x n ) R n. Operaţia de înmulţire a elementelor din R n cu numere reale : R R n R n se defineşte prin: α x (αx,...,αx n ), ( ) α R, ( ) x (x,...,x n ) R n. 37

38 38 2. Spaţiile R n Teoremă. Au loc egalităţile: (i) α(x + y) αx + αy, ( ) α R, ( ) x,y R n ; (ii) (α + β)x αx + βx, ( ) α,β R, ( ) x R n ; (iii) α(βx) (αβ)x, ( ) α,β R, ( ) x R n ; (iv) x x, ( ) x R n. Teoremele 2.2. şi asigură faptul că (R n,+, ) este un spaţiu vectorial real. De aceea elementele x R n se mai numesc şi vectori, iar coordonatele x,...,x n se numesc componentele vectorului x (x,x 2,...,x n ). 2.3 Produsul scalar în R n 2.3. Definiţie. Funcţia <, >: R n R n R x,y n i x i y i, ( ) x (x,...,x n ) R n, ( ) y (y,...,y n ) R n se numeşte produs scalar în R n. Din Definiţia 2.3. se obţin proprietăţile produsului scalar, exprimate în Teoremă. Produsul scalar în R n are proprietăţile: (i) x,x 0, ( ) x R n ; x,x 0 x 0; (ii) x,y y,x, ( ) x,y R n ; (iii) x + y,z x,z + y,z, ( ) x,y,z R n ; (iv) αx,y x,αy α x,y, ( ) α R, ( ) x,y R n. Din proprietatea (iii) rezultă egalitatea 0, x x, 0 0. Un rezultat important este Teoremă. (Inegalitatea lui Schwarz) x,y 2 x,x y,y, ( ) x,y R n. Demonstraţie. ( ) x (x,...,x n ) R n, ( ) y (y,...,y n ) R n inegalitatea enunţului revine la n 2 x i y i i n x 2 i i n yi 2 i. (*) n n Definim f : R R, f(t) x 2 i t 2 2 x i y i t + n yi 2. i i i Cum f(t) n n (tx i y i ) 2 0, ( ) t R şi x 2 i > 0 f 0 n i x i y i 2 n i x 2 i i y n. x y x 2 y 2 xn n yi 2 i i. Egalitatea are loc x i y i t, ( ) i,n

39 2.4. Norma în R n Norma în R n Pe dreapta reală R s-a definit distanţa între punctele x,y cu ajutorul modulului x y. În R n se va defini norma unui vector x, notată x iar cu ajutorul ei se va exprima distanţa între 2 puncte x,y R n Definiţie. Norma vectorului x (x,...,x n ) R este numărul real nenegativ x definit prin: x x,x n x 2 i i în Proprietăţile normei, asemănătoare cu cele ale modulului sunt exprimate Teoremă. (i) x 0, ( ) x R n ; x 0 x 0; (ii) αx α x, ( ) α R, ( ) x R n ; (iii) x + y x + y, ( ) x,y R n (inegalitatea triunghiului); (iv) xy x y, ( ) x,y R n (inegalitatea lui Schwarz transcrisă în limbajul normei) Observaţii. (i) În R, x x x x 2 x şi geometric reprezintă distanţa de la originea O la punctul de abscisă x. (ii) În R2, dacă x (x,x 2 ) x x 2 + x2 2, cu aceeaşi semnificaţie geometrică de la (i). (iii) În R3, dacă x (x,x 2,x 3 ) x x 2 + x2 2 + x Distanţa în R n Cu ajutorul normei se poate introduce distanţa între două puncte din R n aşa cum în R s-a introdus distanţa între 2 puncte cu ajutorul modulului Definiţie. Fie x,y R n. Atunci distanţa între x,y se exprimă prin: Observaţii. (i) În R, d(x,y) x y. d(x,y) x y.

40 40 2. Spaţiile R n (ii) În R2, distanţa între x(x,x 2 ), y(y,y 2 ) se exprimă prin: d(x,y) (x y ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. (iii) În R3, distanţa între x(x,x 2,x 3 ), y(y,y 2,y 3 ) se exprimă prin: d(x,y) (x x 2 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2. Distanţa în R n are proprietăţile din Teoremă. ( ) x,y,z R n au loc: (i) d(x,y) 0; d(x,y) 0 x y; (ii) d(x,y) d(y,x); (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (inegalitatea triunghiului). 2.6 Vecinătăţile unui punct din R n 2.6. Definiţie. Fie n intervale pe o dreaptă I,I 2,...,I n. Produsul lor cartezian I I I 2 I n se numeşte interval n-dimensional: I {(x,x 2,...,x n ) : x I,x 2 I 2,...,x n I n }. Intervalele I,I 2,...,I n se numesc laturile intervalului n-dimensional I Observaţii. (i) Laturile unui interval n-dimensional pot fi închise la un capăt sau la ambele capete, mărginite sau nemărginite. (ii) În planul R2 un interval bidimensional cu laturile mărginite e un dreptunghi. (iii) În spaţiul R3 un interval tridimensional cu laturile mărginite este un paralelipiped. (iv) Dacă toate intervalele I,I 2,...,I n sunt deschise, atunci I se numeşte interval n-dimensional deschis; dacă laturile intervalului n-dimensional sunt închise, intervalul se numeşte închis; dacă toate laturile sunt intervale mărginite, intervalul se numeşte mărginit. (v) În continuare, prin interval n-dimensional se va înţelege interval n-dimensional deschis şi mărginit, afară de cazul când se va specifica în mod expres contrarul Definiţie. Fie a R n şi r > 0; se numeşte sferă (deschisă) de centru a şi rază r, mulţimea: V r (a) {x R n : x a < r}.

41 2.7. Mulţimi deschise în R n Observaţii. (i) În spaţiul R R, V r (a) ]a r,a + r[ {x R : x a < r}. (ii) În spaţiul R2, V r (a) {x (x,x 2 ) R 2 : x a < r} x (x,x 2 ) R 2 : (x a ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 < r x (x,x 2 ) R 2 : (x a ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 < r 2, adică interiorul cercului de centru a(a,a 2 ) şi rază r. (iii) Analog, în R 3, V r (a) x(x,x 2,x 3 ) R 3 :(x a ) 2 +(x 2 a 2 ) 2 + (x 3 a 3 ) 2 < r 2, deci interiorul sferei de centru a(a,a 2,a 3 ) şi rază r Definiţie. Mulţimea W r (a) {x R n : x a r} se numeşte sferă închisă de centru a şi rază r. În continuare se vor face referiri la sfere deschise. Se demonstrează: Teoremă. Orice sferă de centru a conţine un interval n-dimensional care conţine a; reciproc, orice astfel de interval conţine o sferă de centru a Definiţie. Se numeşte vecinătate a lui a R n orice mulţime care conţine o sferă V r (a) de centru a. Se demonstrează: Teoremă. O mulţime V este o vecinătate a unui punct a R n dacă şi numai dacă există un interval n-dimensional I, astfel ca a I V. 2.7 Mulţimi deschise în R n 2.7. Definiţie. Fie A R n şi a A. Punctul a este un punct interior al mulţimii A dacă există o vecinătate V a lui a conţinută în A, a V A, adică mulţimea A este ea însăşi o vecinătate a lui a Observaţie. Mulţimea tuturor punctelor interioare lui A se numeşte interiorul mulţimii A şi se notează IntA; este evidentă incluziunea IntA A Definiţie. Mulţimea A R n este deschisă A IntA ( A este o vecinătate al fiecărui punct al său). Se demonstrează: Teoremă. (i) Reuniunea unei familii oarecare de mulţimi deschise este o mulţime deschisă. (ii) Intersecţia unei familii finite de mulţimi deschise este o mulţime deschisă.

42 42 2. Spaţiile R n 2.8 Mulţimi închise. Frontieră a unei mulţimi 2.8. Definiţie. Punctul a R n este aderent mulţimii A R n dacă orice vecinătate V a lui a conţine cel puţin un punct x A, adică: oricare ar fi vecinătatea V a lui a. V A Observaţii. (i) Dacă a A, atunci a este un punct aderent al lui A; pot exista puncte aderente ale lui A care să nu aparţină lui A. (ii) Mulţimea punctelor aderente lui A se numeşte aderenţa (închiderea) lui A şi se notează A; evident A A Definiţie. O mulţime A R n este închisă dacă este egală cu închiderea sa, A A. Se demonstrează: Teoremă. (i) Mulţimea A R n este închisă complementara sa CA este închisă. (ii) Reuniunea unei familii finite de mulţimi închise este o mulţime închisă. (iii) Intersecţia unei familii oarecare de mulţimi închise este o mulţime închisă Definiţie. Fie A R n ; punctul a R n este punct frontieră a lui A dacă a este punct aderent atât pentru A cât şi pentru CA, adică oricare ar fi V o vecinătate a lui a, V A, V CA. Mulţimea punctelor frontieră ale lui A se numeşte frontiera lui A şi se notează Fr A. Avem Fr A Fr CA şi Fr A A\IntA. 2.9 Puncte de acumulare 2.9. Definiţie. Fie A R n şi a R n. Punctul a este un punct de acumulare al lui A dacă orice vecinătate V a lui a conţine cel puţin un punct x a din A ( ( ) V - vecinătate a lui A, (V \{a}) A ).

43 2.0. Mulţimi mărginite. Mulţimi compacte. Mulţimi conexe Observaţii. (i) Orice punct de acumulare al lui A este punct aderent al lui A, deci mulţimea punctelor de acumulare e conţinută în închiderea A a lui A. (ii) Un punct aderent a A care nu aparţine lui A este în mod necesar punct de acumulare al lui A. (iii) Punctele lui A nu sunt în mod necesar puncte de acumulare ale lui A. (iv) Punctul b A e izolat dacă nu e punct de acumulare. Se demonstrează: Teoremă. A R n este închisă A îşi conţine toate punctele de acumulare. 2.0 Mulţimi mărginite. Mulţimi compacte. Mulţimi conexe 2.0. Definiţie. Mulţimea A R n e mărginită dacă există o sferă cu centrul în origine care conţine mulţimea A, adică: ( ) M > 0 a. î. x M, ( ) x A Definiţie. Mulţimea A R n e compactă dacă e mărginită şi închisă Definiţie. Mulţimea A R n este conexă dacă nu există nici o pereche de mulţimi deschise G şi G 2 astfel ca: A G G 2, A G, A G 2 şi (A G ) (A G 2 ). 2. Şiruri de puncte din spaţiul R n 2.. Definiţie. O funcţie f : N R n se numeşte şir de puncte din spaţiul R n. Se va nota prescurtat (x k ) k N Definiţie. Punctul x 0 R n este limita şirului (x k ) k N din R n dacă în afara oricărei vecinătăţi a lui x 0 se găsesc cel mult un număr finit de termeni ai şirului. Se utilizează notaţia lim k x k x Observaţie. Dacă V ε (x 0 ) e o vecinătate a lui x 0, atunci x k V ε (x 0 ) x k x 0 < ε. Se demonstrează următoarele rezultate:

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM IAŞI 27 2 Cuprins 1 Integrle improprii 9 1.1 Introducere............................ 9 1.2 Definiţi integrlei improprii................... 1 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu DIDACTICA MATEMATICĂ SUPLIMENT AL GAZETEI MATEMATICE ANUL al V-lea Nr. 2/2015 Modele de lecţii Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu de Eugen Păltănea Propunem o tematică

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - exerciţii

Statisticǎ - exerciţii Statisticǎ - exerciţii Ştefan Balint, Tǎnasie Loredana 1 Noţiuni de bazǎ Exerciţiu 1.1. Presupuneţi cǎ lucraţi pentru o firmǎ de sondare a opiniei publice şi doriţi sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care,

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

Maşina sincronă. Probleme

Maşina sincronă. Probleme Probleme de generator sincron 1) Un generator sincron trifazat pentru alimentare de rezervă, antrenat de un motor diesel, are p = 3 perechi de poli, tensiunea nominală (de linie) U n = 380V, puterea nominala

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ Anexa nr. 2 Extras din Metodologia organizării şi desfăşurării admiterii în Academia Forţelor Terestre Nicolae

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA 2 REDRESOARE ŞI MULTIPLICATOARE DE TENSIUNE

LUCRAREA 2 REDRESOARE ŞI MULTIPLICATOARE DE TENSIUNE CRAREA REDRESOARE ŞI MTIPICATOARE DE TENSINE 1 Prezentare teoretică 1.1 Redresoare Prin redresare înţelegem transformarea curentului alternativ în curent continuu. Prin alimentarea circuitelor electronice

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE COLEGIUL UCECOM SPIRU HARET BUCURESTI UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE Elev : Popa Maria Clasa :a-xi-a A Indrumator:prof.Chirescu Emil APLICATII PRACTICE CE POT FI REALIZATE

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode Cuprins I. Noţiuni teoretice: sursa de tensiune continuă, redresoare de tensiune, stabilizatoare de tensiune II. Modul de lucru: Realizarea practică a unui redresor de tensiune monoalternanţă. Realizarea

Διαβάστε περισσότερα

PROCEDEE UTILIZATE ÎN CONTABILITATEA DE GESTIUNE

PROCEDEE UTILIZATE ÎN CONTABILITATEA DE GESTIUNE PROCEDEE UTILIZATE ÎN CONTABILITATEA DE GESTIUNE Determinarea costurilor implică utilizarea, de cele mai multe ori, a unor algoritmi matematici ce generează obţinerea unor informaţii punctuale în momentul

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE 6 CICUITE BACULANTE BITABILE 6. Introducere Circuitele basculante bistabile sau, mai scurt, circuitele bistabile sunt circuite care pot avea la ieşire două stări stabile: logic şi logic. Circuitul poate

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ÑÏÕÌÁÍÉÁ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Εισαγωγή Η Δημοκρατία της Ρουμανίας έχει έκταση 238.000 χλμ² και πληθυσμό ο οποίος ξεπερνά τα 21 εκατομμύρια κατοίκους. Το επίσημο νόμισμά της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx. 3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

Senzori de temperatură de imersie

Senzori de temperatură de imersie 1 781 1781P01 Symaro Senzori de temperatură de imersie QAE21... Senzori pasivi pentru determinarea temperaturii apei în conducte sau vase. Utilizare Senzorii de temperatură de imersie QAE21 sunt destinaţi

Διαβάστε περισσότερα

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 _Toc9083498. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA.. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 3. ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 8 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA. 5. ΌΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium PVC &aluminium D oor Panels + accessories 1 index panels dimensions accessories page page page page 4-11 12-46 48-50 51 2 Η εταιρία Dorland με έδρα τη Ρουμανία, από το 2002 ειδικεύεται στην έρευνα - εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie Dragomirescu L., Drane J. W.,, Biostatisticã pentru începãtori. Vol I. Biostatisticã descriptivã. Editia a 6 revãzutã, Editura CREDIS, Bucureşti, 7p. ISB 78-7-74-46-8..6. Formule de calcul pentru medie

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ CUPRINS PARTEA I - NOTIUNI GENERALE DE DESEN TEHNIC CAPITOLUL 1 INFORMAŢII TRANSMISE PRIN INTERMEDIUL DESENULUI TEHNIC CAPITOLUL 2 REPREZENTAREA PIESELOR ÎN PROIECŢIE

Διαβάστε περισσότερα

Editura EduSoft Bacău

Editura EduSoft Bacău Bogdan Pătruţ Carmen Violeta Muraru APLICAŢII ÎN C şi C++ Editura EduSoft Bacău - 2006 Copyright 2006 Editura EduSoft Toate drepturile asupra prezentei ediţii sunt rezervate Editurii EduSoft. Reproducerea

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE GENERALE ALE LIMBAJULUI C

ELEMENTE GENERALE ALE LIMBAJULUI C Limbaje de programare Elemente generale ale limbajului C Lucrarea nr. 2 ELEMENTE GENERALE ALE LIMBAJULUI C 1. Scopul lucrării Lucrarea are ca scop prezentarea elementelor de bază ale limbajului C. 2. Noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Schema bloc ale unui stabilizator liniar de tensiune cu element de reglare serie, cu bucla de reactie.

Schema bloc ale unui stabilizator liniar de tensiune cu element de reglare serie, cu bucla de reactie. TABLZATOAE istemul electronic care menţine invariante în timp caracteristicile semnalelor de ieşire în condiţii de variaţie, în domenii specificate, a mărimilor de intrare poartă numele de stabilizator

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE AMPLIFICATORL C CIRCIT ACORDAT DERIVATIE 4 M IN OT OT Analizor spectru IN Fiura 6 (). Comutatorul K este pe poziţia de R mare. Comutatorul K scurtcircuitează rezistenţa R a. Cunoscând valoarea L a bobinei

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα