Παραδείγµατα από Modular forms

Transcript

1 Παραδείγµατα από Modular forms Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 16 εκεµβρίου 2014, 1/42

2 Modular forms Εστω Γ µια υποοµάδα της SL 2 (Z), πεπερασµένου δείκτη στην SL 2 (Z), και ένας k Z. Μια συνάρτηση f : H C που ικανοποιεί τις ιδιότητες: ( ) a b 1. f(γ(z)) = (cz + d) k f(z) για κάθε γ = Γ c d 2. η f είναι ολόµορφη στο H 3. η f είναι ολόµορφη στα cusps της Γ λέγεται modular form ( modular µορφή) ϐάρους k για την οµάδα Γ., 2/42

3 Χώροι Modular Forms Ο χώρος των modular forms ϐάρους k της Γ είναι C-διανυσµατικός χώρος και συµβολίζεται µε M k (Γ). Το γινόµενο µιας modular form ϐάρους n και µιας modular form ϐάρους m δίνει µια modular form ϐάρους n + m. Επεται ότι ο χώρος M(Γ) = M k (Γ), k=0 είναι ένας graded ring (ϐαθµωτός δακτύλιος)., 3/42

4 ιαστάσεις των χώρων M 2k (Γ) Θεώρηµα Αν Γ είναι µια πεπερασµένου δείκτη υποοµάδα της Γ(1), η διάσταση του M 2k (Γ) ισούται µε dimm 2k (Γ) = { 1, k = 0 (2k 1)(g 1) + 2ν k + [ ( )] P 2k 1 1 e P, k 1 όπου g είναι το γένος της X(Γ), ν το πλήθος των µη ισοδύναµων cusps για την Γ, το άθροισµα είναι πάνω από ένα σύνολων αντιπροσώπων των ελλειπτικών σηµείων P της Γ, e P είναι η τάξη του σταθεροποιητή του P στην εικόνα της Γ στην Γ(1)/ ± I, και µε [x] συµβολίζεται το ακέραιο µέρο του x., 4/42

5 Η περίπτωση Γ(1) για κάθε k 1. [ ] [ ] k 2k dim M 2k (SL 2 (Z)) = 1 k , 5/42

6 Σειρές Eisenstein Εστω L ο χώρος των lattices στο C. Με Λ(ω 1, ω 2 ) Λ συµβολίζουµε, όπως και προηγουµένως, το lattice µε ϐάση τα ω 1, ω 2, όπου ω 1 /ω 2 H. Λήµµα Εστω F : L C συνάρτηση τέτοια ώστε F(λΛ) = λ 2k F(Λ) για κάθε λ στο C. Τότε η f(z) = F(Λ(z, 1)) είναι weakly modular form ϐάρους 2k για τη Γ(1) = SL 2 (Z). Επιπλέον, η αντιστοιχία F f είναι 1-1 και επί., 6/42

7 Σειρές Eisenstein Απόδειξη: Εστω F(ω 1, ω 2 ) = F(Λ(ω 1, ω 2 )). Αφού η F είναι ϐάρους 2k, έχουµε F(λω 1, λω 2 ) = λ 2k F(ω 1, ω 2 ) για κάθε λ C, και, εξ ορισµού, έπεται ότι F(aω 1 + bω 2, cω 1 + dω 2 ) = F(ω 1, ω 2 ) για κάθε ( ) a b SL 2 (Z). c d Απο την πρώτη σχέση, έπεται ότι η ποσότητα ω 2k 2 F(ω 1, ω 2 ) είναι αναλλοίωτη υπό την απεικόνιση (ω 1, ω 2 ) (λω 1, λω 2 ),, 7/42

8 Σειρές Eisenstein άρα εξαρτάται µόνο από την ποσότητα ω 1 /ω 2. Εστω µια f(z) τέτοια ώστε Η πρώτη σχέση τώρα γράφεται ή αλλιώς F(ω 1, ω 2 ) = ω 2k 2 f(ω 1 /ω 2 ). (cω 1 + dω 2 ) 2k f(aω 1 + bω 2 /cω 1 + dω 2 ) = ω 2k 2 f(ω 1 /ω 2 ), (cz + d) 2k f( az + b cz + d ) = f(z) το οποίο δείχνει ότι η f είναι modular form. Αντιστρόφως, δοθείσης f, ορίζουµε την F από την τρίτη σχέση., 8/42

9 Σειρές Eisenstein Πόρισµα Για κάθε k > 1, οι σειρές Eisenstein 1 G 2k (z) = (mz + n) 2k (m,n):m,n Z\(0,0) είναι modular forms ϐάρους 2k για την SL 2 (Z)., 9/42

10 Σειρές Eisenstein Απόδειξη: Υπενθυµίζουµε ότι G 2k (Λ) = ω Λ,ω 0 1 ω 2k. Αυτό µας δίνει ότι G 2k (λλ) = λ 2k G 2k (Λ). Αρα, από το προηγούµενο λήµµα, η G 2k (z) = G 2k (Λ(z, 1)) είναι weakly modular., 10/42

11 Σειρές Eisenstein Λόγω οµοιόµορφης σύγκλισης G 2k (z), για k > 1, είναι ολόµορφες στο H. Τέλος, από την οµοιόµορφη σύγκλιση, για την τιµή στο cusp i έχουµε ότι lim G 2k(z) = z i n Z,n 0 1 n 2k = 2 1 = 2ζ(2k). n2k Αρα οι G 2k, για k > 1, είναι ολόµορφες παντού, το οποίο µας δίνει ότι οι G 2k είναι modular forms για την Γ(1)., 11/42

12 Σειρές Eisenstein Παρατηρήσαµε πως οι χώροι M 4 (Γ(1)), M 6 (Γ(1)), M 8 (Γ(1)) και M 10 (Γ(1)) έχουν διάσταση 1. Συνδυάζοντας το γεγονός αυτό µε το προηγούµενο πόρισµα ϐλέπουµε πως για k = 2, 3, 4, 5 M 2k (Γ(1)) = G 2k και αφού οι G 2k δεν µηδενίζονται στο άπειρο, έπεται πως για k = 2, 3, 4, 5. dim S 2k (Γ(1)) = 0, 12/42

13 Σειρές Eisenstein Ενας άλλος στόχος µας είναι να υπολογίσουµε, αν γίνεται, τους συντελεστές Fourier των modular µορφών που ορίζουµε. Για τις G 2k οι συντελεστές Fourier δίνονται από τον παρακάτω τύπο: Θεώρηµα Για κάθε k 2 ισχύει G 2k (z) = G 2k(q) = 2ζ(2k) + 2 (2πi)2k (2k 1)! όπου η συνάρτηση σ k (n) ορίζεται από τον τύπο σ 2k 1 (n)q n, σ k (n) = d n d k., 13/42

14 Συντελεστές Fourier Για να το αποδείξουµε, ϑα χρειαστούµε το επόµενο λήµµα. Λήµµα Για κάθε k 1, ζ(2k) = 22k 1 (2k)! B kπ 2k όπου οι αριθµοί Bernoulli ορίζονται από τον τύπο x e x 1 = 1 x 2 + ( 1) k+1 x 2k B k (2k)! k=1, 14/42

15 Συντελεστές Fourier Απόδειξη: Συνδυάζοντας τους τύπους παίρνουµε cos(z) = eiz + e iz, sin(z) = eiz e iz 2 2i cot(z) = i + 2i e 2iz 1. Αν στον τύπο που ορίζει τους αριθµούς Bernoulli αντικαταστήσουµε το x µε 2iz, ϐρίσκουµε zcot(z) = 1 k=1 B k 2 2k z 2k (2k)!., 15/42

16 Συντελεστές Fourier Από την άλλη µεριά, λογαριθµώντας και παραγωγίζοντας κατά µέλη στον τύπο του απειρογινοµένου για το sin(z): ) sin(z) = z (1 z2 n 2 π 2 λαµβάνουµε τον τύπο 2z 2 /n 2 π 2 zcot(z) = 1 1 z 2 /n 2 π = z 2 z 2 n 2 π = = 1 2 ( 1 n 2k k=1 ) z 2k π 2k = 1 2 οπότε, οι δύο τύποι για το zcot(z) µας δίνουν 2 2k z 2k 1 B k (2k)! = 1 2 ζ(2k) z2k π 2k k=1 ζ(2k) z2k π 2k k=1 z 2k n 2k π 2k, 16/42

17 Συντελεστές Fourier Απόδειξη του θεωρήµατος zcot(z) = z 2 z 2 n 2 π 2. Αντικαθιστώντας όπου z το πz και διαιρώντας µε z παίρνουµε πcot(πz) = 1 z + 2 z z 2 n = 1 2 z + ( 1 z + n + 1 z n είξαµε επίσης ότι cot(z) = i + 2i e 2iz 1. Αντικαθιστώντας τώρα όπου z το πz και πολλαπλασιάζοντας µε π παίρνουµε πcot(πz) = πi 2πi = πi 2πi q n. 1 q )., 17/42

18 Συντελεστές Fourier Εξισώνοντας παίρνουµε 1 z + ( 1 z + n + 1 ) = πi 2πi z n q n. Παραγωγίζοντας κατά µέλη, η (k 1)-οστή παράγωγος δίνει την εξίσωση n Z 1 (n + z) k = 1 (k 1)! ( 2πi)k n k 1 q n., 18/42

19 Συντελεστές Fourier Αρα, για τις σειρές Eisenstein παίρνουµε = 2ζ(2k)+2 m Z G 2k (z) = (m,n) (0,0) 1 (nz + m) 2k 1 = 2ζ(2k)+2( 2πi)2k (nz + m) 2k (2k 1)! = 2ζ(2k) + 2(2πi)2k (2k 1)! σ 2k 1 (n)q n a=1 n 2k 1 q an, 19/42

20 Συντελεστές Fourier Αµεσο πόρισµα των παραπάνω είναι το ακόλουθο: Πόρισµα G 2k = 2ζ(2k)E 2k (z), όπου E 2k (z) = 1 + γ k σ 2k 1 (n)q n και γ k = ( 1) k 4k B k. Οι E 2k (z) λέγονται κανονικοποιηµένες σειρές Eisenstein., 20/42

21 Συντελεστές Fourier Ενα πλήθος χρήσιµων ταυτοτήτων µπορούν αν αποδειχθούν µε χρήση των αναπτυγµάτων Fourier των σειρών Eisenstein. Για παράδειγµα, η σχέση E 2 4 = E 8 δίνει την ταυτότητα για n 1. n 1 σ 7 (n) = σ 3 (n) σ 3 (i)σ 3 (n i) i=1, 21/42

22 Η συνάρτηση Παρατηρήσαµε και πριν, όταν είδαµε ότι ο M(Γ) είναι graded ring, ότι ένας γραµµικός συνδυασµός δυνάµεων modular µορφών είναι modular µορφή. Ωστόσο, το επόµενο παράδειγµα, η συνάρτηση της διακρίνουσας, έχει ξεχωριστή σηµασία, µιας και, εξ ορισµού, η τιµή της στο z H ταυτίζεται µε την διακρίνουσα του lattice Λ(z, 1)., 22/42

23 Η συνάρτηση Εστω g 2 (z) = 60G 4 (z) και g 3 (z) = 140G 6 (z). Η συνάρτηση (διακρίνουσας) (z) ορίζεται από τον τύπο (z) = g 2 3 (z) 27g 3 2 (z) Πρόταση Η (z) είναι cusp form ϐάρους 12 για την Γ(1). Απόδειξη Το ότι η είναι modular µορφή ϐάρους 12 για την Γ(1) είναι άµεσο. Για το γεγονός ότι µηδενίζεται στο άπειρο, αρκεί να κάνει κανείς τον υπολογισµό ( ) = 60 3 G4( ) G6( ) 2 = π12 π = 0. 2 Αρα, η µηδενίζεται στο cusp., 23/42

24 Η συνάρτηση Η έχει ξεχωριστό ενδιαφέρον. Από τον ορισµό της έπεται ότι η τιµή της στο z ισούται, όπως τονίσαµε και προηγουµένως, µε την διακρίνουσα της ελλειπτικής καµπύλης που αντιστοιχεί στο lattice µε ϐάση {1, z}. Εφαρµόζωντας τον τύπο Riemann-Hurwitz για την Γ(1) και για k = 6, ϐλέπουµε ότι η έχει ϱίζα τάξης 1 στο, και καµία άλλη ϱίζα. Πρόταση Ο πολλαπλασιασµός µε ορίζει έναν ισοµορφισµό διανυσµατικών χώρων M 2k 12 (Γ(1)) = S 2k (Γ(1))., 24/42

25 Η συνάρτηση Η απεικόνιση µε M 2k 12 (Γ(1)) S 2k (Γ(1)) f f είναι, προφανώς, οµοµορφισµός. Εστω τώρα µια f S 2k (Γ(1)). Τότε: f/ ανήκει στον M 2k 12 (Γ(1)) επειδή η έχει έναν απλό πόλο στο και η f έχει πόλο εκεί. Οι απεικονίσεις f f/ και f/ f είναι η µία αντίστροφη της άλλης, άρα ο πολλαπλασιασµός µε είναι ισοµορφισµός., 25/42

26 Ενας ϐαθµωτός δακτύλιος Θεώρηµα Για τον graded ring M(Γ(1)) ισχύει M(Γ(1)) = M 2k (Γ(1)) = C[G 4, G 6 ] k=0 Απόδειξη Πρώτα ϑα δείξουµε ότι το σύνολο A 2k = (G m 4 G n 6 : 4m + 6n = 2k) είναι ϐάση του M 2k (Γ(1)). Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή στο k. Για k 3 είναι προφανές., 26/42

27 Ενας ϐαθµωτός δακτύλιος Εστω ένας k 4. ιαλέγουµε m 0 και n 0 τέτοιους ώστε 4m + 6n = 2k (τέτοιοι m και n υπάρχουν) και ϑέτουµε g = G4 m Gn 6. Η g δεν µηδενίζεται στο. Αν f είναι µια συνάρτηση M 2k, τότε η f f( ) g( ) g µηδενίζεται στο, άρα είναι cusp form ϐάρους 2k. Από την πρόταση 4.3.6, και αφού οι cusp forms ϐάρους 12 έχουν διάσταση 1, υπάρχει h M 2k 12 µε f f( ) f( ) g = h = f = g( ) g( ) g + h, οπότε, η επαγωγική υπόθεση µας δίνει ότι f στον χώρο που παράγει το A 2k., 27/42

28 Ενας ϐαθµωτός δακτύλιος Η απεικόνιση C[G 4 G 6 ] M 2k (Γ(1)) είναι επί. Θα δείξουµε ότι είναι και 1-1. Αν δεν ήταν, η G 3 4 /G2 6 ϑα ικανοποιούσε µια αλγεβρική εξίσωση πάνω απ το C, οπότε ϑα ήταν σταθερή. Αυτό είναι άτοπο γιατί G 4 (ρ) = 0 G 6 (ρ), ενώ G 4 (i) 0 = G 6 (i). k=0, 28/42

29 Ο τύπος του Jacobi Το επόµενο ϑεώρηµα εκφράζει την συνάρτηση της διακρίνουσας ως απειρογινόµενο, και ϑα µας οδηγήσει στην µελέτη των συντελεστών Fourier της. Θεώρηµα (Jacobi) Αν q=e 2πiz, τότε (z) = (q) = (2π) 12 q (1 q n ) 24., 29/42

30 Ο τύπος του Jacobi Απόδειξη: Θεωρούµε την συνάρτηση F(z) = f(q) = q (1 q n ) 24. Θα δείξουµε ότι η είναι πολλαπλάσιο της f. Για να το κάνουµε αυτό, αρκεί να δείξουµε ότι η f είναι µια cusp µορφή ϐάρους 12. Αν το δείξουµε, τότε, από το γεγονός ότι ο χώρος S 12 (Γ(1)) έχει διάσταση 1 ϑα έχουµε το Ϲητούµενο., 30/42

31 Ο τύπος του Jacobi Οτι η f είναι cusp, είναι άµεσο, µιας και το ανάπτυγµα της µηδενίζεται στο 0. Η ολοµορφία της στον δίσκο είναι επίσης προφανής. Για την F είναι επίσης προφανές ότι F(z + 1) = F(z). Η απόδειξη ϑα έχει ολοκληρωθεί αν δείξουµε ότι F( 1/z) = z 12 F(z)., 31/42

32 Ο τύπος του Jacobi Ορίζουµε τις σειρές H 1 (z) = n G 1 (z) = n G(z) = m m m n 1 (m + nz) 2, 1 (m + nz) 2, 1 (m + nz)(m 1 + nz), H(z) = 1 (m + nz)(m 1 + nz), m n όπου ο τόνος σηµαίνει, για τις µεν G και G 1 ότι το άθροισµα εκτείνεταιι πάνω από όλους τους m Z, n Z µε (m, n) (0, 0), για τις δε H και H 1 ότι το άθροισµα εκτείνεται πάνω από όλους τους m Z, n Z µε (m, n) (0, 0), (1, 0)., 32/42

33 Ο τύπος του Jacobi Τηλεσκοπικά, για της H και H 1 υπολογίζουµε Επειδή η σειρά µε γενικό όρο H 1 = 2, H = 2 2 πi z. 1 (m + nz)(m 1 + nz) 1 (m + nz) 2 = 1 (m + nz) 2 (m 1 + nz) συγκλίνει απολύτως, έπεται ότι G 1 H 1 = G H. Αρα, οι σειρές G και G 1 συγκλίνουν, και µάλιστα G 1 (z) G(z) = H 1 (z) H(z) = 2πi z., 33/42

34 Ο τύπος του Jacobi Από την σχέση G 1 ( 1/z) = z 2 G(z), έπεται ότι G 1 ( 1/z) = z 2 G 1 (z) 2πiz. Χρησιµοποιώντας την ίδια τεχνική που εφαρµόσαµε στην απόδειξη του ϑεωρήµατος 4.3.3, παίρνουµε το ανάπτυγµα G 1 (z) = π2 3 8π2 σ 1 (n)q n. Η λογαριθµική παράγωγος της f δίνει την εξίσωση: ( ) df F df = dq 1 24 σ 1 (n)q n, f q οπότε, συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες εξισωσεις, παίρνουµε την σχέση df F = 6i π G 1(z)dz., 34/42

35 Ο τύπος του Jacobi Η τελευταία εξίσωση, σε συνδυασµό µε την συναρτησιακή σχεση G 1 ( 1/z) = z 2 G 1 (z) 2πiz δίνουν ότι df( 1/z) F( 1/z) = df(z) F(z) + 12dz z. ηλαδή, οι F( 1/z) και z 12 F(z) έχουν την ίδια λογαριθµική παράγωγο. Επεται πως υπάρχει µια σταθερά C τέτοια ώστε F( 1/z) = Cz 12 F(z) για κάθε z H. Θέτοντας z = i παίρνουµε C = 1, που είναι ακριβώς η Ϲητούµενη σχέση., 35/42

36 Συντελεστές Fourier Ορισµός Θεωρούµε το ανάπτυγµα Fourier της (z) = (q) = (2π) 12 q (1 q n ) 24 = τ(n)q n. Η ακολουθία των συντελεστών Fourier τ(n) της ονοµάζεται συνάρτηση τ του Ramanujan. Το 1916 ο Ramanujan έκανε την εικασία, χωρίς να µπορέσει να την αποδείξει, πως η τ έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. τ(mn) = τ(m) τ(n) όταν µκδ(m, n) = 1 (δηλαδή η τ(n) είναι πολλαπλασιαστικκή συνάρτηση), 2. τ(p r+1 ) = τ(p)τ(p r ) p 11 τ(p r 1 ) για κάθε πρώτο p και r > 0, 3. τ(p) 2p 11/2 για κάθε πρώτο p., 36/42

37 Συντελεστές Fourier Οι δύο πρώτες ιδιότητες αποδείχθηκαν από τον Mordell το 1917, και η τρίτη, που ονοµάστηκε Εικασία τ του Ramanujan, αποδείχθηκε από τον Deligne το 1974 ως συνέπεια της απόδειξης της Εικασίων του Weil για τις Z-συναρτήσεις των αλγεβρικών varieties. Πιο συγκεκριµµένα, ο Deligne έδειξε την γενική εικασία Ramanujan-Petersson Θεώρηµα (Deligne) Αν η f = a n q n είναι cusp form ϐάρους 2k για την Γ(1) και είναι κανονικοποιηµένη οµοιόµορφη ιδιοµορφή για τους τελεστές Hecke, τότε για κάθε n 1 ισχύει a n σ 0 (n)n k 1 2., 37/42

38 Συντελεστές Fourier Ενα πλήθος αποτελεσµάτων είναι γνωστά για την ακολουθία τ(n), όπως κάποιες διάσηµες εικασίες του Ramanujan για τις ιδιότητες διαιρετότητας της τ(n). Απ την άλλη µέρια, υπάρχουν πλήθος ανοικτών εικασίων, όπως η ακόλουθη: Εικασία (Lehmer) Για κάθε n 1 ισχύει τ(n) 0. Ωστόσο, οι δύο πρώτες ιδιότητες της τ ϑα αποδειχθούν πιο ουσιαστικός παράγοντας για την εξέλιξη της ϑεωρίας. Η προσπάθεια για την απόδειξη τους ϑα µας οδηγήσει στον ορισµό των τελεστών Hecke, ενώ ϑα δούµε κι ότι είναι αυτές ακριβώς οι ιδιότητες που επιτρέπουν στην L-σειρά της να έχει γινόµενο Euler., 38/42

39 Η συνάρτηση j Πρόταση Υπάρχει µοναδική modular function J της SL 2 (Z), ολόµορφη στο H και µε απλό πόλο στο, τέτοια ώστε J(i) = 1 και J(ρ) = 0 Απόδειξη Εχουµε ήδη δει πως οι επιφάνεις Riemann Γ(1)\H και P 1 (C) είναι ισόµορφες. Θεωρούµε έναν ισοµορφισµό f : Γ(1)\H P 1 (C) Εστω f(ρ) = a, f(i) = b και f( ) = c. Τότε, υπάρχει µοναδικός µετασχηµατισµός Mobius από την P 1 (C) στον εαυτό της που να στέλνει τα a, b και c στα 0, 1 και αντίστοιχα. Συνθέτοντας µε την f παίρνουµε την J που επιθυµούµε. Για την µοναδικότητα, αρκεί να παρατηρήσουµε πως αν η g είναι µια δεύτερη συνάρτηση όπως στην εκφώνηση, τότε η g f 1 είναι ένας αυτοµορφισµός της P 1 (C) που σταθεροποιεί τα 0, 1 και, άρα είναι σταθερή., 39/42

40 Η συνάρτηση j Θεωρούµε την συνάρτηση j(z) = 1728 g3 2 (z) (z). Τότε η j είναι Γ(1)-αναλλοίωτη, αφού οι g2 3 (z) και (z) είναι και οι δύο modular forms ϐάρους 12. Αφού οι g2 3 (z) και (z) είναι ολόµορφες στο H και η δεν µηδενίζεται στο H, έπεται πως η j είναι ολόµορφη στο H. Επίσης, η g 2 δεν µηδενίζεται στο, ενώ η έχει ϱίζα τάζης 1 εκεί. Αρα, η j έχει στο απλό πόλο. Αρα η j : Γ(1)\H P 1 (C) είναι ισοµορφισµός επιφανειών Riemann. Πιο συγκεκριµµένα, ισχύει ότι j(z) = 1728J(z). Κάθε συνάρτηση στην επιφάνεια Riemann M(P 1 (C)) είναι ϱητή συνάρτηση της j. Η τιµή της j στο σηµείο z είναι j-αναλλοίωτη της ελλειπτικής καµπύλης, που αντιστοιχεί στο lattice µε ϐάση τα {1, z}. 40/42

41 Η συνάρτηση η(z) του Dedekind: Ορισµός Ορίζουµε την συνάρτηση η(z) = q 1/24 (1 q n ), όπου q = e 2πiz, δηλαδή η η ορίζεται έτσι ώστε (z) = (2π) 12 η(z) 24., 41/42

42 Η συνάρτηση η(z) του Dedekind: Η η(z) έχει σηµαντικές αριθµοθεωρητικές ιδιότητες. Για παράδειγµα, ικανοποιεί τους µετασχηµατισµούσ: Πρόταση Αν z H, τότε 1. ( η 1 ) = (iz) 1/2 η(z). z 2. η(z + 1) = e πi/12 η(z) 3. Για κάθε γ Γ(1) υπάρχει ɛ = ɛ(γ), τέτοιο ώστε ɛ 24 = 1 και η(γz) = ɛ{ i(cz + d)} 1/2 η(z) όπου ( ) a b γ = c d, 42/42