ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

Transcript

1 ΕΚΠ 43 / ΕΚΠ 66 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Χρονικά Πιθανοτικά Μοντέλα Temporal Probabilistic Models Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιτών Πολυτεχνείο Κρήτης

2 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Ε ανάληψη Ι Mobile robot navigation path planning motion control improvements eperiments Multi-Robot Coordination auction-based coordination multi-robot routing eperiments Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα

3 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Ε ανάληψη ΙΙ Συλλογιτική το χρόνο χρόνος και αβεβαιότητα παραδοχές Βαικές λειτουργίες υµ εραµού φιλτράριµα πρόβλεψη εξοµάλυνη πλέον πιθανή εξήγηη Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3

4 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Βαικές Εργαίες Συµ εραµού Φιλτράριµα (filtering) ή αρακολούθηη (monitoring) υπολογιµός της κατάταης πεποίθηης P(X t e :t ) Πρόβλεψη (prediction) εκ των υτέρων κατανοµή µελλοντικής κατάταης P(X t+k e :t ), k> Εξοµάλυνη (smoothing) ή ύτερη γνώη (hindsight) εκ των υτέρων κατανοµή παρελθούας κατάταης P(X k e :t ), k<t Πλέον ιθανή εξήγηη (most likely eplanation) εύρεη ακολουθίας κατατάεων που προκάλεε παρατηρήεις ( ) arg ma : P t : t : t e Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4

5 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Σήµερα Χρονικά ιθανοτικά µοντέλα κρυφά µοντέλα Markov φίλτρα Kalman δυναµικά δίκτυα Bayes φίλτρα ωµατιδίων Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 5

6 Κρυφά Μοντέλα Markov Hidden Markov Models

7 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Κρυφά Mοντέλα Markov Χαρακτηριτικά η κατάταη ε κάθε χρονική τιγµή περιγράφεται από µία µόνο τυχαία διακριτή µεταβλητή κατάταης π.χ. ο µικρόκοµος της οµπρέλλας (Βροχή) πολλές µεταβλητές ενοποιούνται ε µια µεγαµεταβλητή π.χ. ο κόµος του κινητού ροµπότ (Θέη, Ταχύτητα, Μ αταρία) αναπαράταη µοντέλων µε πίνακες και διανύµατα υµπεραµός µέω γραµµικής άλγεβρας Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 7

8 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Μοντέλα Μετάβαης/Παρατήρηης Μοντέλο µετάβαης πίνακας Τ, διατάεων S S, όπου S το πλήθος των κατατάεων T i,j = P( X t = j X t = i ) π.χ. για τον κόµο της οµπρέλας T, 7, 3 ( X ) t Xt =, 3, 7 = P Μοντέλο αιθητήρα η µαρτυρία e t είναι δεδοµένη ε κάθε χρονική τιγµή t διαγώνιοι πίνακες D t, διατάεων S S, µε τιµές P( e t X t = i ) π.χ. τον κόµο της οµπρέλας για t= (οπότε e =o =αληθές),9 D =, Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 8

9 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Εµ ρός Μηνύµατα Ανα αράταη διανύµατα τήλης, µήκους S, f :t+ = P(X t+ e :t+ ) π.χ., τον κόµο της οµπρέλας, όπου Χ=Β (Βροχή) f : t+ = P( X t+ e : t+ P( Bt ) = P( Bt = αληθές e = ψευδές e Αναδροµικός υ ολογιµός f :t+ = α D t+ T T f :t πολυπλοκότητα: χρονική O(S t), χωρική O(St) Οριµός Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα : t+ : t+ ( e ) ap( e X ) P( X ) P( e ) P X t+ : t+ = t+ t+ t+ t t t : t ) )

10 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Μικρόκοµος της Οµ ρέλας Φιλτράριµα θέλουµε να υπολογίουµε το f : = P(X e : ) µοντέλα T βάη αναδροµής, 7, 3 = P( Xt Xt ) =, 3, 7 f : = P X e ( :.5 ) =.5 D = D =,9, f : =P(X e : )= αd T T f : = αd T T (αd T T f : ) = αd T T D T T f :,9,7,3,9,7,3,5,3,883 f : = a = a =,,3,7,,3,7,5.4,7 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα

11 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Πίω Μηνύµατα Ανα αράταη διανύµατα τήλης, µήκους S, b k+:t = P(e k+:t X k ) π.χ., τον κόµο της οµπρέλας, όπου Χ=Β (Βροχή) b k+ : t = P( e k+ : t X P( e ) = P( e = αληθές k+ : t k ψευδ Αναδροµικός υ ολογιµός b k+:t = TD k+ b k+:t πολυπλοκότητα: χρονική O(S t), χωρική O(St) Οριµός e k X ) P( + : t k = k Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα k+ : t B k B = ές ) ) P( e k+ k+ ) P( ek+ : t k+ ) P( k+ Xk) k+

12 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Μικρόκοµος της Οµ ρέλας Εξοµάλυνη θέλουµε να υπολογίουµε το P(X o : ) = αf : b : f : = α D T T f : f,9 = a,7,,3,3,5,7,5 : a =,45.,88 =,8 b : =TD b 3: 3: = b b:,7,3,9,69 =,3,7 =,.4 P(X o : )=αf : b : =αp(x o )P(o X ),88, ,883 P( X o: ) = a,8, 4 = a, 75 =,7 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα

13 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Βελτιώεις Αλγόριθµος εµ ρός- ίω ένα εµπρός πέραµα για υπολογιµό του f :t+ ένα πίω πέραµα για ταυτόχρονο υπολογιµό f :k και b k+:t εξοµάλυνη µε δύο περάµατα χωρίς αποθήκευη µηνυµάτων ταθερός χώρος Ο(S) για τα δύο µηνύµατα f :k και b k+:t Fied Lag Smoothing online εξοµάλυνη µε ταθερή υτέρηη d αυξητικός υπολογιµός των µηνυµάτων υνήθης υπολογιµός για τα εµπρός µηνύµατα πίνακας µεταχηµατιµού d βήµατα πίω για τα πίω µηνύµατα χρονική πολυπλοκότητα ανεξάρτητη από το µήκος της υτέρηης Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3

14 Φίλτρα Kalman Kalman Filters

15 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Φίλτρα Kalman Παρακολούθηη (Tracking) εκτίµηη της πορείας (θέη, ταχύτητα) ενός φυικού υτήµατος µέα από ενθόρυβες παρατηρήεις το χρόνο πτήη πουλιού µέα από βλάτηη πορεία αεροκάφους µέα από ραντάρ κινήεις πλανητών µέα από γωνιακές µετρήεις Φιλτράριµα Kalman Rudolf E. Kalman ( ) Αµερικανο-Ούγγρος ερευνητής οι ιδέες του αρχικά αντιµετωπίτηκαν µε κεπτικιµό η NASA υιοθέτηε τα φίλτρα Kalman το πρόγραµµα Apollo Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 5

16 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Κανονική Κατανοµή Gauss Κανονική κατανοµή Ν(µ, ) (normal distribution) παράµετροι: µ (µέη τιµή) και (διακύµανη) N( µ, )( ) = e π µ t Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 6

17 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Πολυµεταβλητή Κανονική Κατανοµή Gauss Πολυµεταβλητή κανονική κατανοµή Ν n (µ,σ) (multivariate Gaussian) παράµετροι: µ (µέο διάνυµα, µήκους n) και Σ (πίνακας υνδιακύµανης, n n) N n ( µ, Σ )( ) = e n ( π ) Σ Τ ( µ µ ) ( ) Σ ( ) Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 7

18 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Φίλτρα Kalman Χαρακτηριτικά υνεχείς µεταβλητές κατάταης και µαρτυρίας π.χ. θέη (Χ,Υ,Ζ) και ταχύτητα (Χ,Υ,Ζ ) ηµειογραφία: η απότροφος και η τελεία υποδηλώνουν παράγωγο υπό υνθήκη πυκνότητες πιθανότητας για µοντέλα χρήη γραµµικών κατανοµών Gauss (linear Gaussian) π.χ. κίνηη ε µια διάταη X, ταθερή ταχύτητα, παρατηρήεις ανά Gaussian θόρυβος P X X Xɺ = t+ t + ( X = X =, Xɺ = ɺ ) = N( + ɺ, )( ) t+ t+ t t t t t t t+ Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 8

19 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 οµή ικτύου Bayes Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 9

20 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Φιλτράριµα Kalman Πρόβλεψη ενός βήµατος Φιλτράριµα ενός βήµατος Φιλτράριµα Kalman ( X e ) P( X ) P( e ) P + = t : t t+ t t : t οι κατανοµές παραµένουν κανονικές λόγω γραµµικότητας Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα t d ( X e ) P( e X ) ( X e ) P t + : t+ = a t+ t+ P t+ : t ( ) ( ) ( ) ( ) P X e P e X P X e = a P d t+ : t+ t+ t+ t+ t t : t t t t

21 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα Παράδειγµα Kalman Τυχαίος ερί ατος (random walk) κίνηη ε µία διάταη, π.χ. δείκτης εµπιτούνης καταναλωτή υνεχής µεταβλητή κατάταης X t, ενθόρυβη παρατήρηη Z t αρχική (εκ των προτέρων) κατανοµή µοντέλο µετάβαης µοντέλο παρατήρηης ( ) ( ) = ae P µ ( ) ( ) = + + t t t t e a P ( ) ( ) = z t t z t t e a z P

22 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα Παράδειγµα Kalman Πρόβλεψη ενός βήµατος Ολοκλήρωη ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P d e e a d P P = = µ ( ). ) ( + = d e a µ ( ) ( ) = + ae P µ

23 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3 Παράδειγµα Kalman Φιλτράριµα ενός βήµατος Α οτέλεµα ( ) ( ) P z ap ) z P( = ( ) ( ). = + z z e ae µ ( ) ( ) ( ) ( ). / = z z z z z ae z P µ

24 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Παράδειγµα Kalman Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4

25 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Ενηµέρωη Kalman Ενηµέρωη (update) µ = ( ) + z + µ t t+ z t t+ t + + z ( ) t z ( ) t + + z t + = + Μέη τιµή ταθµιµένη µέη τιµή νέας παρατήρηης και παλιάς µέης τιµής ιακύµανη ανεξάρτητη από την παρατήρηη µπορεί να υπολογιτεί εκ των προτέρων υγκλίνει ε ταθερή τιµή που εξαρτάται από τα και z Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 5

26 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Πολυδιάτατη Παρακολούθηη Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 6

27 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Εφαρµοιµότητα Εφαρµογή ύτηµα µε υνεχείς µεταβλητές και ενθόρυβες παρατηρήεις ευρύτατη εφαρµογή ε παρακολούθηη αεροκαφών, πυραύλων, υποβρυχίων, ανθρώπων,... εργοταίων, οικονοµιών, οικουτηµάτων,... µειονεκτήµατα: υπόθεη γραµµικότητας, µία «εκτίµηη» Etended Kalman Filter τοπική γραµµικοποίηη (προέγγιη) για µη γραµµικά υτήµατα Switching Kalman Filter παράλληλα φίλτρα Kalman που καλύπτουν όλες τις περιπτώεις εκτίµηη ως ταθµιµένος µέος όρος Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 7

28 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Παράδειγµα Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 8

29 υναµικά ίκτυα Bayes Dynamic Bayesian Networks

30 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 υναµικά ίκτυα Bayes (DBNs) Χαρακτηριτικά κάθε χρονική φέτα µπορεί να έχει οποιοδήποτε πλήθος µεταβλητών κατάταης X t και µεταβλητών µαρτυρίας E t υνήθως, τάιµες διαδικαίες Markov πρώτης τάξης Πλεονεκτήµατα ε αντίθεη µε τα HMM, εκµεταλλεύονται την αραιότητα τα µοντέλα τα DBNs µπορούν να έχουν πολλαπλές διακριτές «εκτιµήεις» τα ΗΜΜ και τα φίλτρα Kalman είναι ειδικές περιπτώεις DBN αποδοτικότερες αναπαρατάεις και διεργαίες υµπεραµού Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3

31 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Κατακευή ικτύων DBN Κατανοµές εκ των προτέρων κατανοµή P(X ) µοντέλο µετάβαης P(X t+ X t ) µοντέλο αιθητήρα P(E t X t ) ίκτυο τοπολογία υνδέεων δικτύου εξαρτήεις µεταξύ µεταβλητών κατάταης ε δύο φέτες εξαρτήεις µεταξύ µαρτυριών και κατατάεων την ίδια φέτα γνώη για το πεδίο Σταιµότητα υπό ταιµότητα, αρκεί να καθορίουµε τις κατανοµές για t= Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3

32 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Παράδειγµα: Οµ ρέλλα Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3

33 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Παράδειγµα: Κινητό Ροµ ότ Μεταβλητές κατάταης θέη X t =(X t,y t ) ταχύτητα X' t =(X' t,y' t ) Μ αταρία t {..5} Παρατηρήιµες µεταβλητές θέη GPS Z t ΜετρητήςΜΠ t {..5} Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 33

34 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Μοντέλο Σφάλµατος Gauss Μοντέλο αιθητήρα P(ΜετρητήςΜΠ t Μ αταρία t ) εάν δεν υπάρχει θόρυβος, τότε ο πίνακας CPT είναι "µοναδιαίος" Μοντέλο φάλµατος Gauss προέγγιη µε κατανοµή Gauss ώτε η πιθανότητα µεγάλου φάλµατος να είναι πολύ µικρή Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 34

35 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Παροδική Α οτυχία (Transient Failure) Πρόβληµα ο αιθητήρας περιταιακά τέλνει άχετα δεδοµένα Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 35

36 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Μοντέλο Παροδικής Α οτυχίας Λύη ορίζουµε µια χετικά µεγάλη πιθανότητα (ε χέη µε το µοντέλο Gauss) για υγκεκριµένες περιπτώεις αποτυχίας π.χ. P(ΜετρητήςΜΠ t = Μ αταρία t = 5) =,3 Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 36

37 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Μοντέλο Εξακολουθητικής Α οτυχίας Αντιµετώ ιη νέα µεταβλητή κατάταης: ΧαλαµένοςΜΜ t Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 37

38 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Ακριβής Συµ εραµός Εκτύλιξη (unrolling) κατακευή DBN από t= µέχρι την τελευταία χρονική τιγµή Πολυ λοκότητα γραµµικό κότος χώρου/χρόνου ως προς το t εκθετικό κότος χώρου/χρόνου ως προς το πλήθος των µεταβλητών Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 38

39 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Προεγγιτικός Συµ εραµός Αλγόριθµος προαρµογή τάθµιης πιθανοφάνειας Πρόβληµα καµία µεταβλητή µαρτυρίας δεν είναι γονέας µεταβλητής κατάταης! Βελτιώεις χρηιµοποιούµε τα ίδια τα δείγµατα ως µια προεγγιτική αναπαράταη της κατανοµής της τρέχουας κατάταης βαρύτητα ε κάθε δείγµα ύµφωνα µε τις παρατηρήεις απόρριψη των δειγµάτων που έχουν πολύ µικρή βαρύτητα πολλαπλαιαµός των δειγµάτων που έχουν µεγάλη βαρύτητα απόρριψη των υντελετών βαρύτητας µε επαναδειγµατοληψία Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 39

40 Φίλτρα Σωµατιδίων Particle Filters

41 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Φιλτράριµα Σωµατιδίων Αλγόριθµος δηµιουργία αρχικού πληθυµού Ν δειγµάτων από την P(X ) κύκλος ενηµέρωης Κάθε δείγµα διαδίδεται προς τα εµπρός µε δειγµατοληψία της τιµής της επόµενης κατάταης t+ µε δεδοµένη την τρέχουα κατάταη t του δείγµατος, και µε χρήη του µοντέλου µετάβαης P(X t+ t ). Κάθε δείγµα ταθµίζεται µε την πιθανότητα που αποδίδει τις νέες µαρτυρίες P(e t+ t+ ). Ο πληθυµός υποβάλλεται ε ε αναδειγµατοληψία (resampling) έτι ώτε να δηµιουργηθεί ένας νέος πληθυµός Ν δειγµάτων. Το κάθε νέο δείγµα επιλέγεται από τον τρέχοντα πληθυµό. Η πιθανότητα επιλογής ενός υγκεκριµένου δείγµατος είναι ανάλογη µε τη βαρύτητά του. Τα νέα δείγµατα δεν είναι ταθµιµένα. Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4

42 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Αλγόριθµος Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4

43 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Παράδειγµα: Οµ ρέλλα Οµ ρέλα t+ Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 43

44 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Χαρακτηριτικά Ορθότητα υνεπής αλγόριθµος για µεγάλα Ν ιχύει N( t e :t )/N = P( t e :t ) απόδειξη µε επαγωγή Πολυ λοκότητα ταθερή χρονική πολυπλοκότητα ανά ενηµέρωη Εφαρµογές παρακολούθηη ύνθετων προτύπων κίνηης ε βίντεο πρόβλεψη χρηµατιτηρίου πρόβληµα εντοπιµού τη Ροµποτική Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 44

45 ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες 7 Μελέτη Σύγγραµµα Ενότητες Μ. Γ. Λαγουδάκης Τµήµα ΗΜΜΥ Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 45