ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ ΤΟΥ ΑΝΘΡΑΚΑ ΣΠΑΤΑΛΟΥ ΕΛΕΑΝΑ ΑΜ: /4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 7 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ

2 Θα ήθελα να ευχαριτήω τον κ Χρήτο Νικολόπουλο για την εκπόνηη αυτής της διπλωματικής και για την βοήθεια του και τους κ Νίκο Καραχάλιο και κ Ευτράτιο Ιωαννίδη για την καλή διάθεη τους να υμμετάχουν την εξετατική επιτροπή Επίης θα ήθελα να ευχαριτήω όλους τους δικούς μου ανθρώπους που μου υμπαρατάθηκαν με τον δικό τους τρόπο

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ: Κεφάλαιο : Eιαγωγή Aναφορά τις χημικές αντιδράεις και τις αντιδράεις Michaelis Menton Κανονικοποίηη Κεφάλαιο : Eξιώεις μοντέλου για τον κύκλο του άνθρακα Κανονικοποίηη μοντέλου Κεφάλαιο : Αριθμητική επίλυη του μοντέλου για τον κύκλο του άνθρακα Μέθοδος Euler Μέθοδος Runge-Kutta Αριθμητικά αποτελέματα Συμπεράματα Κεφάλαιο 4: 4 Μια επέκταη του διευρυμένου μοντέλου 4 Κανονικοποίηη μοντέλου Κεφάλαιο 5: 5 Αριθμητική επίλυη του μοντέλου Μέθοδος πεπεραμένων διαφορών 5 Αριθμητικά αποτελέματα 5 Συμπεράματα Παράρτημα Βιβλιογραφία

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Eιαγωγή: Οι άνθρωποι ήταν ανέκαθεν ε ένταη με το περιβάλλον καθώς αναζητούν καλύτερες υνθήκες επιβίωης Η γη έχει καθαριτεί λόγω της γεωργίας ή του εμπορίου και πολλές οικογένειες ζώων έχουν εξαφανιτεί Η διαφορά την κατάταη την οποία βρικόματε ήμερα αντικατοπτρίζεται το μέγεθος των υγκρούεων μας Είματε πολύ πιο πολυάριθμοι: 57 διεκατομμύρια άνθρωποι αγωνίζονται για επιβίωη και πολλαπλαιάζονται Κάθε έξι μήνες γεννιέται πληθυμός ιοδύναμος με αυτόν της Γαλλίας περίπου 5 εκατομμύρια Φαντατείτε κάθε έξι μήνες ακόμη μία Γαλλία να ψάχνει να προμηθευτεί φαί τέγη δουλειά Κάθε δέκα χρόνια δημιουργείται πληθυμός ιάξιος το μέγεθος της Κίνας Η δραματική αύξηη του πληθυμού της γης αλλά και η αύξηη της κατά κεφαλής κατανάλωης πόρων ειδικά τις βιομηχανοποιημένες κοινωνίες έχει άμεες επιπτώεις το περιβάλλον Η πιο ημαντική ίως είναι αυτή που έχει να κάνει με την αλλαγή του κλίματος της γης Η απελευθέρωη μεγάλων ποοτήτων αερίων CO CH4 NO κτλ την ατμόφαιρα λόγω ανθρωπίνων δρατηριοτήτων (πχ εξατμίεις λιπάματα κτλ) προκαλεί μεταβολή της θερμοχωρητικότητας της ατμόφαιρας (εγκλωβίζεται θερμότητα) πράγμα που έχει αν αναμενόμενο αποτέλεμα την αύξηη της μέης θερμοκραίας της γης Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται φαινόμενο του θερμοκηπίου Ένα χετικά ακριβές μοντέλο χετικά με το φαινόμενο του θερμοκηπίου είναι ένα μοντέλο που θα προδιορίζει τη υγκέντρωη του CO την ατμόφαιρα Το CO είναι το πιο βαικό από τα αέρια του θερμοκηπίου και γι αυτό και θα μελετήουμε τον κύκλο του Προδιορίζοντας τη υγκέντρωη του CO την ατμόφαιρα μπορούμε να έχουμε μια εκτίμηη για την αύξηη της θερμότητας που εγκλωβίζεται την ατμόφαιρα και με μεγαλύτερη ακρίβεια να υπολογίουμε την επιφανειακή θερμοκραία της γης Ένα τέτοιο μοντέλο είναι το μοντέλο που παρουιάζεται το [] το μοντέλο δηλαδή που εξετάζει ο JLSchnoor και είναι αυτό που θα εξετάουμε κι εμείς (Μια χηματική αναπαράταη του μοντέλου είναι το Σχήμα ) Σε αυτό το μοντέλο θεωρούμε τρείς μεγάλες δεξαμενές άνθρακα την ατμόφαιρα τη γήινη βιόφαιρα και τον ωκεανό Η γήινη βιόφαιρα αποτελείται από τα έμβια όντα τη γη το έδαφος και τη βλάτηη Ο ωκεανός χωρίζεται τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα (ΘΕΥ) Κρύα Επιφανειακά Υδατα (ΚΕΥ) Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους (ΥΜΕΒ) και τα Έμβια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων (ΕΘΕΥ) και Εμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων (ΕΚΕΥ) Ανάμεα ε αυτές τις υνιτώες θεωρούμε ότι υπάρχει ροή του άνθρακα ή των 4

5 ενώεων του (κυρίως του CO ) Οι υνιτώες αυτές χηματικά υμβολίζονται με κιβώτια και οι ροές ανάμεα τους με βέλη που δείχνουν τη κατεύθυνη της ροής του άνθρακα Οι ροές κατά βάη είναι χημικές αντιδράεις πρώτης τάξης αλλά όον αφορά την αναπνοή έμβιων όντων της γης ή τη φωτούνθεη είναι αντιδράεις τύπου Michaelis-Menton Σχήμα Αυτή είναι μια χηματική αναπαράταη του μοντέλου που εξετάζουμε Τα κιβώτια αναπαρατούν τις υνιτώες του μοντέλου και οι ροές ανάμεα τους με βέλη δείχνουν τη κατεύθυνη της ροής του άνθρακα Οι μονάδες τα κιβώτια είναι γιγατόνοι άνθρακα (GT C) και τις ροές γιγατόνοι άνθρακα ανά χρόνο ( GT C / yr ) Σε αυτό το ημείο θα γίνει μια μικρή αναφορά τις χημικές αντιδράεις και τις αντιδράεις τύπου Michaelis-Menton: 5

6 Χημικές αντιδράεις: Ο βαικός νόμος που διέπει μια χημική αντίδραη είναι ο ακόλουθος : Ο ρυθμός μιας χημικής αντίδραης είναι ανάλογος με τη υγκέντρωη των αντιδρόντων που λαμβάνουν μέρος την αντίδραη υψωμένη ε δύναμη ίη με τη τοιχειωμετρική ταθερά τους Αν για παράδειγμα έχoυμε τη χημική αντίδραη: aa + bb cc + dd όπου A B C D είναι οι χημικές ενώεις ή τοιχεία που μετέχουν την αντίδραη και a b c d οι τοιχειωμετρικές ταθερές τους αντίτοιχα τότε ο ρυθμός της ευθείας a b αντίδραης ( ) είναι : k [ A] [ B ] p c και ο ρυθμός της αντίτροφης αντίδραης ( ) είναι: k [ C] [ D] a b c d O υνολικός ρυθμός της αντίδραης είναι: k [ A] [ B] k [ C] [ D] όπου k k είναι ταθερές αναλογίας p r a b c d Σε υνθήκες χημικής ιορροπίας ιχύει: k p[ A] [ B] = kr[ C] [ D] Θα αναφέρουμε κάποια παραδείγματα χημικών αντιδράεων Στοιχειώδης χημικές αντιδράεις είναι οι εξής: (α) A B : Σε αυτή την περίπτωη mole του A κατά την αντίδραη παράγει mole του B Ο ρυθμός της αντίδραης είναι k[ A] και η εξίωη για τη υγκέντρωη του A d[ A] = k[ A] όπου k η ταθερά της αντίδραης (β) A B : Σε αυτή την περίπτωη mole του A παράγουν mole του B d[ A] Η εξίωη για τη υγκέντρωη του A είναι: = k[ A] d[ A] (γ) Για την αντίδραη A + B C έχουμε: = k[ A][ B] Επίης η ταθερά k εξαρτάται από τη θερμοκραία Ο λόγος γι αυτό είναι ότι ύμφωνα με τη θεωρία αλλαγής φάης του Eyring [] μια χημική αντίδραη πρέπει να υπερβεί ένα ποό ενέργειας για να εξελιχθεί Έτι ύμφωνα με το νόμο του Arrhenious έχουμε E RT ότι k = Ae όπου E η ενέργεια ενεργοποίηης της αντίδραης R η παγκόμια E ταθερά αναλογίας A ταθερά και T η θερμοκραία Στην περίπτωη που >> RT για T μια θερμοκραία αναφοράς πράγμα που υμβαίνει υχνά ε περιβαλλοντικά υτήματα έχουμε για T = T ( + ε θ E ) k ; ce θ ε = όπου c ταθερά RT Για μια αντίδραη της μορφής: aa + bb + cc + Ύ Ύ προιόντα a b c o ρυθμός της αντίδραης είναι : k[ A] [ B] [ C] ΧΧΧ και η τάξη της a + b + c + d[ A] Μια αντίδραη της οποίας η εξίωη είναι της μορφής: = k είναι μηδενικής τάξης p r r d 6

7 d[ A] d[ B] k Η αντίδραη A Ύ Ύ B είναι πρώτης τάξης και = k[ A] = k[ A] όπου { k} = T όπου T : μονάδα χρόνου (με {Μ}υμβολίζουμε τις μονάδες του μεγέθους Μ) Λύνοντας τις εξιώεις έχουμε: kt d[ B] [ A] = [ A ] e kt kt και = k[ A ] e ή [ B] = [ A ]( e ) όπου[ A ] = [ A]() δηλαδή η υγκέντρωη για t = Παραδείγματα τέτοιων αντιδράεων έχουμε τη περίπτωη της μείωης ραδιοιοτόπων τη βιοχημική κατανάλωη οξυγόνου από ένα ρεύμα αέρα την αναπνοή βακτηριδίων άλγης κτλ d[ A] k ' Η αντίδραη A + A Ύ Ύ B είναι δεύτερης τάξης Έχουμε = k[ A] = k[ A] [ A ' ] k = k και [ A]( t) = [ A ] kt + Όμοια η αντίδραη A + B D είναι δεύτερης τάξης Παραδείγματα αντιδράεων δεύτερης τάξης έχουμε τη διαδικαία χηματιμού κρυτάλλων τον χηματιμό πυρήνων ωματιδίων την κινητική βακτηριδίων κτλ Η αντίδραη Michaelis-Menton είναι ένα παράδειγμα αντίδραης που η τάξη της είναι μεταξύ ένα και δύο Αυτή η αντίδραη ακολουθεί ένα μηχανιμό δύο βημάτων: k k k E + S Ύ Ύ [ ES] Ύ Ύ E + P όπου k k k οι ταθερές της αντίδραης και επιπλέον έχουμε ότι η αντίδραη k [ ES] Ύ Ύ E + P γίνεται αργά ε χέη με την E + S Ύ k Ύ [ ES] και την k E + S Ύ Ύ [ ES] όπου E : ένζυμο S : αντιδρών P : προιόν Ο ρόλος του ενζύμου είναι ότι μειώνει την ενέργεια της αντίδραης ενώ αυξάνει τον ρυθμό της Για τη υγκέντρωη της ένωης ES έχουμε: d[ ES] d[ P] = k[ E][ S] k[ ES] k[ ES] ενώ για το προιόν P ιχύει : = k[ ES] Επειδή η πρώτη αντίδραη E + S Ύ [ ES] γίνεται με πολύ πιο γρήγορο ρυθμό ε k χέη με τη δεύτερη [ ES] Ύ Ύ E + P ( k << k ) μπορούμε να υποθέουμε ότι η αντίδραη E + S Ύ Ύ ES βρίκεται ε ιορροπία ενώ εξελίεται η δεύτερη d[ ES] Δηλαδή για = και k << k έχουμε: ( k + k )[ ES] = k [ E][ S] ή k [ E][ S] km = = k [ ES] Επίης αν E T : η υνολική ποότητα ενζύμου που μετέχει την αντίδραη έχουμε: ET = E + ES [ ET ][ S] d[ P] [ ET ][ S] Άρα [ ES] = και = k k + [ S] k + [ S] M M 7

8 Ο όρος [ E T ] αυξάνει τον ρυθμό της αντίδραης και ο όρος k[ ET ] = µ max[ P] που είναι ο μέγιτος ρυθμός αύξηης του προιόντος και θεωρούμε ότι είναι ανάλογος του [ P ] και έτι η εξίωη γίνεται: d[ P] [ P][ S] = µ max [ S ] = [ S ] [ P ] k + [ S] M Στην περίπτωη όπου [ S ] << k M η εξίωη παίρνει τη μορφή: d[ P] µ max = [ P][ S]: η οποία είναι αντίδραη δεύτερης τάξης k M ενώ για [ S ] >> k M η εξίωη γίνεται: d[ P] = µ max[ P]: η οποία είναι αντίδραη πρώτης τάξης Επίης ο ρυθμός αύξηης της αντίδραης µ δίνεται από τη χέη: d[ P] µ max[ S] µ = = [ P] k + [ S] M Αυτή ήταν μια μικρή αναφορά τις χημικές αντιδράεις και τις αντιδράεις τύπου Michaelis-Menton Κανονικοποίηη: Για την αριθμητική επίλυη και γενικότερα τη διερεύνηη του μοντέλου θα χρηιμοποιήουμε τη μέθοδο της κανονικοποίηης για την οποία θα πούμε λίγα λόγια Κανονικοποίηη είναι η επιλογή νέων υνήθως αδιάτατων μεταβλητών και η επαναδιατύπωη του προβλήματος μέω αυτών των νέων μεταβλητών Έτι μπορούμε να υγκρίνουμε την τάξη μεγέθους διαφόρων όρων ε μια εξίωη για να δούμε τα χετικά μεγέθη των όρων της εξίωης να απλοποιήουμε το ύτημα των εξίώεων και πιθανά να παραλείψουμε αν χρειάζεται μικρούς όρους Αυτό βοηθάει τη ωτή εφαρμογή των μεθόδων διαταραχών Για παράδειγμα έτω ο χρόνος t μια μεταβλητή ε δευτερόλεπτα Τότε για την κίνηη του παγετώνα ο χρόνος t είναι γρήγορη μονάδα ενώ για μια πυρηνική αντίδραη είναι πολύ μεγάλη μονάδα Κάθε πρόβλημα έχει μια εγγενή κλίμακα χρόνου ή χαρακτηριτικό χρόνο αναφοράς t c Η ποότητα t c μπορεί να οριθεί το μικρότερο χρονικό διάτημα που απαιτείται για να παρατηρηθούν αναγνωρίιμες μεταβολές τα φυικά μεγέθη του προβλήματος Αν γνωρίζουμε τον χαρακτηριτικό χρόνο αναφοράς t c τότε αλλάζουμε την κλίμακα τ = t / t c και ο τ αδιάτατος χρόνος είναι της τάξης του ένα Οι χαρακτηριτικές ποότητες αναφοράς προδιορίζονται από υνδιαμούς διαφόρων διατατικών μεγεθών του προβλήματος και πρέπει χονδρικά να είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με την ποότητα που χαρακτηρίζουν Αναλυτικότερα θα εξετάουμε την κανονικοποίηη το επόμενο κεφάλαιο Θα πάρουμε λοιπόν το μοντέλο του Carbon Cycle που παρουιάζεται το [] που αποτελείται από οκτώ εξιώεις θα το κανονικοποιήουμε θα το επιλύουμε αριθμητικά και θα αναπαράγουμε τα αποτελέματα Στη υνέχεια θα αναπτύξουμε ένα 8

9 πιο ύνθετο μοντέλο με μερικές διαφορικές εξιώεις για να έχουμε ένα ακριβέτερο μοντέλο βαιμένο το [] δηλαδή τις μελέτες των Takashi Ikeda και Eiichi Tajika Έτι οι τρείς υνιτώες: Θερμά Επιφανειακά Ύδατα Έμβια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων και Ύδατα Μέου και Ενδιάμεου Βάθους θα αντικαταταθούν από μια υνιτώα και αντίτοιχα οι υνιτώες: Κρύα Επιφανειακά Ύδατα Έμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων και Ύδατα Μέου και Ενδιάμεου Βάθους θα αντικαταταθούν από μια άλλη υνιτώα τις οποίες θεωρούμε ότι έχουμε επιπλέον εκτός του χρόνου εξάρτηη και από τη χωρική μεταβλητή z δηλαδή το βάθος από την επιφάνεια της θάλαας Το αποτέλεμα θα είναι ένα καινούργιο μοντέλο που θα αποτελείται από τρείς υνήθεις διαφορικές εξιώεις και δύο μερικές διαφορικές εξιώεις Θα κανονικοποιήουμε και πάλι το καινούργιο μοντέλο θα το λύουμε αριθμητικά και θα ερμηνεύουμε τα αποτελέματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξιώεις Μοντέλου: Όπως ήδη αναφέραμε ε αυτό το μοντέλο θεωρούμε τρείς μεγάλες δεξαμενές άνθρακα την ατμόφαιρα τη γήινη βιόφαιρα και τον ωκεανό Η γήινη βιόφαιρα αποτελείται από τα έμβια όντα τη γη το έδαφος και τη βλάτηη Ο ωκεανός χωρίζεται τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα (ΘΕΥ) Κρύα Επιφανειακά Υδατα (ΚΕΥ) Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους (ΥΜΕΒ) και τα Έμβια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων (ΕΘΕΥ) και Εμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων (ΕΚΕΥ) Συνολικά έχουμε οκτώ υνιτώες και δεκαεννιά ροές και επιπλέον μια ροή προς το κιβώτιο της ατμόφαιρας που μοντελοποιεί τις ανθρωπογενείς εκπομπές Η μεταβολή αυτής της τελευταίας ροής είναι που θα μας δείξει πως αποκλίνει το ύτημα από τη φυική του ιορροπία λόγω της μόλυνης που προκαλείται από τον άνθρωπο Πιο υγκεκριμένα οι εξιώεις του μοντέλου παράγονται ως εξής: C : Η εξίωη για την περιεκτικότητα του άνθρακα τα έμβια της γης Έχουμε αν C η περιεκτικότητα του άνθρακα τα έμβια όντα της γης τότε η μεταβολή του άνθρακα είναι ανάλογη της απορρόφηης άνθρακα λόγω φωτούνθεης της αναπνοής των έμβιων όντων της μεταφοράς άνθρακα το έδαφος λόγω απούνθεης και της αποδάωης (βλ Σχήμα ) Τότε dc C Τ C Τ C A = [ k p C A θ p ] [ kbr C A θ br ] [ ke C A ] D( t) km + C km + C km + C Όπου: A : επιφάνεια γης ε L² L μονάδα μήκους k p : ταθερά μέγιτου ρυθμού φωτούνθεης ε T T μονάδα χρόνου 9

10 k m : ταχύτητα μέου κορεμού ε ML M μονάδα μάζας θ p : αδιάτατη ταθερά εξάρτηης από θερμοκραία ΔΤ: μεταβολή μέης θερμοκραίας γης από τη τάιμη κατάταη (Προβιομηχανική Εποχή) o C k : ταθερά αναπνοής έμβιων γης ε T br θ br : αδιάτατη ταθερά D( t ) : αποδάωη ε MT k e : ταθερά απούνθεης ε T C : η υγκέντρωη του άνθρακα την ατμόφαιρα Η ροή r :[ k p ( C /( km + C )) C A θ Τ p ] που χετίζεται με τη φωτούνθεη ακολουθεί την αντίδραη Michaelis-Menton με εξάρτηη από τη θερμοκραία T θ p Ανάλογη μορφή έχει και η ροή r :[ kbr ( C /( km + C )) C A θ Τ br ] που χετίζεται με την αναπνοή έμβιων όντων πάνω τη γη Η ροή r 4 :[ ke( C /( km + C)) C A ] χετίζεται με τη μεταφορά άνθρακα το έδαφος λόγω απούνθεης Η ροή r : D( t ) έχει να κάνει με τη μείωη άνθρακα τα έμβια της γης λόγω αποδάωης C : Eξίωη για την περιεκτικότητα του άνθρακα το έδαφος της γης Έχουμε ότι εάν C είναι η περιεκτικότητα του άνθρακα τα έδαφος της γης τότε αυτή μεταβάλλεται ανάλογα με την αναπνοή μικροοργανιμών και τη διαφυγή άνθρακα από το έδαφος προς τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα και τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα Έτι dc C V [ k C A ] [ k C V ] [ k C V ] = e sr θ Τ sr w km + C Όπου: V : όγκος εδάφους ε L C : υγκέντρωη CΟ το έδαφος ε ML k sr : ταθερά ρυθμού αναπνοής εδάφους (από μικροοργανιμούς κτλ) ε T T θ sr w : αδιάτατη ταθερά k : ταθερά διαφυγής άνθρακα προς τους ωκεανούς ε T T Η ροή r 7 : ksr CV θ sr έχει να κάνει με τη διαδικαία αναπνοής μικροοργανιμών ενώ η ροή r 5 +r 6 : kw CV χετίζεται με τη διαφυγή άνθρακα από το έδαφος προς τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα (κατά τα /) και προς τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα (κατά το /) C 4 : Εξίωη για την περιεκτικότητα άνθρακα τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα

11 (ωκεανοί την τροπική και εύκρατη ζώνη) Έχουμε εάν C 4 η περιεκτικότητα άνθρακα τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα τότε αυτή μεταβάλλεται ανάλογα με τη διαφυγή άνθρακα την ατμόφαιρα την κίνηη υδάτων από τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα και από τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα τα Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους λόγω θερμοκραίας τη διαδικαία αναπνοής φωτούνθεης και απούνθεης έμβιων τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα Τότε dc4 V4 = M [ k pwoc4 V5 ] + [ krwoc5 V5 ] + [ kupc8 A4 ] [ Q46C4 ]+[(/) kwc V ] Όπου: V 4 : όγκος Θερμών Επιφανειακών Υδάτων ε L V 5 : όγκος Έμβιων Θερμών Επιφανειακών Υδάτων ε L C 4 : υγκέντρωη άνθρακα ε ML M : η ροή από τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα πρός την ατμόφαιρα λόγω της διαφοράς μερικών πιέεων ( M ; GT C / yr ) k up : ταχύτητα ανόδου προς τα Θερμά Επιφανειακά Ύδαταε LT C 8 : υγκέντρωη άνθρακα ε Υδατα Μέου και Ενδιάμεου Βάθους ε ML A : επιφάνεια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων ε L² 4 Q 46 : ταχύτητα κίνηης υδάτων (από τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα) ε L T : ταθερά αναλογίας κατανάλωης άνθρακα από Έμβια Θερμών Επιφανειακών k pwo k rwo Υδάτων ε T : ταθερά αναλογίας χετίζεται με την αναπνοή έμβιων όντων ε Θερμά Επιφανειακά Ύδατα ε T Η ροή r : M χετίζεται με τη διαφυγή άνθρακα την ατμόφαιρα λόγω της διαφοράς μερικών πιέεων (βλ Σχήμα ) Επίης από τους ωκεανούς λόγω διαφοράς θερμοκραίας έχουμε κίνηη υδάτων από τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα προς τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα και κατόπιν από τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα προς τα Ύδατα Ενδιάμεου ή Μεγάλου Βάθους και πάλι προς τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα Οι ροές r : [ Q46C 4] και r 5 :[ kupc8 A 4] χετίζονται με αυτές τις διαδικαίες Επίης λόγω αναπνοής φωτούνθεης και απούνθεης έμβιων όντων τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα έχουμε τις ροές r 8 : [ k pwoc4 V 5] και r 9 :[ krwoc5 V 5 ] C 6 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα (ωκεανοί την Ανταρκτική και τη Γροιλανδία) Έχουμε εάν C 6 είναι η υγκέντρωη άνθρακα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα τότε η

12 μεταβολή της υγκέντρωης χετίζεται με την ανταλλαγή άνθρακα λόγω αναπνοής παραγωγής έμβιων ε Κρύα Επιφανειακά Ύδατα και με την κάθοδο υδάτων προς μεγαλύτερα βάθη Έτι dc6 V6 = M [ k pcoc6 V7 ] + [ krcoc7 V7 ] [ kdcc6 A6 ] + [ Q46 C4] + [(/ ) kw C V ] Όπου: V 6 : όγκος Κρύων Επιφανειακών Υδάτων ε L V 7 : όγκος Έμβιων Κρύων Επιφανειακών Υδάτων ε L M η ροή από την ατμόφαιρα προς τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα λόγω της διαφοράς : μερικών πιέεων ( M ; GT C / yr ) C 6 : υγκέντρωη άνθρακα ε Κρύα Επιφανειακά Ύδατα ε ML k : ταθερά αναλογίας παραγωγής άνθρακα ε Έμβια Κρύων Επιφανειακών pco Υδάτων ε T k : ταθερά αναλογίας αναπνοής Έμβιων ε Κρύα Επιφανειακά Ύδατα ε T rco C 7 : υγκέντρωη άνθρακα ε Έμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων ε ML k : ταχύτητα καθόδου υδάτων ε LT dc A : επιφάνεια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων ε L² 6 Η ροή r 4 : M έχει να κάνει με την ειροή CΟ τους ωκεανούς λόγω της διαφοράς μερικών πιέεων (βλ Σχήμα ) Οι ροές r : [ k pcoc6 V 7 ] και r :[ krcoc7 V 7 ] χετίζονται με την ανταλλαγή άνθρακα λόγω αναπνοής παραγωγής έμβιων ε Κρύα Επιφανειακά Ύδατα Επίης η ροή r 6 : [ kdcc6 A 6] χετίζεται με τη κάθοδο υδάτων προς μεγαλύτερα βάθη C 5 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα τα Έμβια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων Έχουμε ότι εάν C 5 είναι η υγκέντρωη άνθρακα τα Έμβια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων τότε η μεταβολή της είναι ανάλογη με την κάθοδο άνθρακα λόγω απούνθεης έμβιων όντων ε Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους Και τότε dc5 V5 = [ k pwoc4 V5 ] [ krwoc5 V5 ] [ kswoc5 A4 ] Όπου: k : ταθερά αναλογίας βύθιης έμβιων ε LT swo Η ροή r 7 :[ kswoc5 A 4] χετίζεται με τη κάθοδο άνθρακα λόγω απούνθεης Έμβιων Όντων ε Ύδατα Μεγάλου Βάθους

13 C 7 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα τα Έμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων Έχουμε ότι εάν C 7 η περιεκτικότητα άνθρακα τα Έμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων τότε η υγκέντρωη της μεταβάλλεται ε χέη με την απούνθεη-βύθιη έμβιων ε Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους Ετι dc7 V7 = [ k pcoc6 V7 ] [ krcoc7 V7 ] [ kscoc7 A6 ] Όπου: k : ταθερά αναλογίας ε LT sco Η ροή r 8 : [ kscoc7 A 6] χετίζεται με την απούνθεη- βύθιη Έμβιων ε Ύδατα Ενδιάμεου ή Μεγάλου Βάθους C 8 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα ε Ύδατα Ενδιάμεου ή Μεγάλου Βάθους Εάν C 8 είναι η υγκέντρωη του άνθρακα τα Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους τότε αυτή μεταβάλλεται ε χέη με την απόθεη άνθρακα τον πάτο των ωκεανών και τότε: dc8 V8 = [ kdcc6 A6 ] [ kupc8 A4 ] + [ kswoc7 A6 ] + [ kscoc7a6 ] [ ksedc8 A8 ] Όπου: V 8 : όγκος Υδάτων Ενδιάμεου ή Μεγάλου Βάθους ε L A : Επιφάνεια Υδάτων Ενδιάμεου ή Μεγάλου Βάθους ε L² 8 k : ταθερά αναλογίας απόθεης άνθρακα ε T sed Η ροή r 9 :[ ksedc8 A 8] χετίζεται με την απόθεη άνθρακα τον πάτο των ωκεανών C : Εξίωη για τη υγκέντρωη διοξειδίου του άνθρακα την ατμόφαιρα Έχουμε ότι εάν C η υγκέντρωη διοξειδίου του άνθρακα την ατμόφαιρα τότε αυτή μεταβάλλεται και ε χέη με ανθρωπογενείς παράγοντες και την αποδάωη δύο παράγοντες που παίζουν ημαντικό ρόλο το μοντέλο Έτι dc C Τ C Τ V = F( t) + D( t) [ k p C A θ p ] + [ kbr C A θ br ] k + C k + C Τ + [ ksrc V θ sr ] + M M Όπου: V : όγκος της ατμόφαιρας ε L m m

14 F( t ) : ανθρωπογενείς παράγοντες ε MT D( t ) : αποδάωη Συνοπτικά το μοντέλο αποτελείται από τις παρακάτω οκτώ εξιώεις με τις αντίτοιχες αρχικές υνθήκες: dc C Τ C Τ V = F( t) + D( t) [ k p C A θ p ] + [ kbr C A θ br ] km + C km + C Τ + [ ksrc V θ sr ] + M M ( ) ) dc C C C A = [ k C A θ ] [ k C A θ ] [ k C A ] D( t) Τ Τ p p br br e km + C km + C km + C ( ) ) dc C V [ k C A ] [ k C V ] [ k C V ] = e sr θ Τ sr w km + C dc4 V4 = M [ k pwoc4 V5 ] + [ krwoc5 V5 ] + [ kupc8 A4 ] [ Q46C4 ]+[(/) kwc V ] dc 5 V5 k pwoc4 V5 krwoc5 V5 kswoc5 A4 ) = [ ] [ ] [ ] ( (4 (5 dc6 V6 = M [ k pcoc6 V7 ] [ krcoc7 V7 ] [ kdcc6 A6 ] + [ Q46 C4] + [(/ ) kw C V ] (6) ) dc7 V7 = [ k pcoc6 V7 ] [ krcoc7 V7 ] [ kscoc7 A6 ] dc8 V8 = [ kdcc6 A6 ] [ kupc8 A4 ] + [ kswoc7 A6 ] + [ kscoc7a6 ] [ ksedc8 A8 ] (7 (8) 4

15 με C () = C για i = 8 i i Οι αρχικές υνθήκες είναι προεγγιτικά η τάιμη λύη του υτήματος για F(t)= D(t)= (είναι τα νούμερα τα κουτιά του χήματος ) Το ύτημα των εξιώεων αποτελεί ένα μη-γραμμικό ύτημα από υνήθη διαφορικές εξιώεις και μπορεί να λυθεί αριθμητικά με μία μέθοδο Runge-Kutta για την οποία γίνεται αναφορά ε επόμενο κεφάλαιο παίρνοντας τιμές για τις διάφορες ταθερές από μετρήεις που υπάρχουν τη χετική βιβλιογραφία του JLSchnoor Enviromental modelling [] Στη υνέχεια τους πίνακες αναφέρουμε τις τιμές των παραμέτρων που θα χρηιμοποιήουμε για την επίλυη του μοντέλου Πίνακας : Tιμές παραμέτρων Παράμετροι: ΤΙΜΈΣ: F( t ) 5 4GTC yr D( t ) GTC yr k p 4486 yr k br 9 yr 5

16 k e 49 yr k 546 yr sr k 4 yr w k 4 ppm M k 75 myr l k myr up k dc 45 myr Q m yr k pwo 448 yr k rwo 9 yr k 448 yr pco k rco 9 yr k myr swo k myr sco k 5 myr sed θ p θ 66 br θ 69 sr M GT C M GT C Πίνακας : Φυικά Μεγέθη: Επιφάνειες και Όγκοι του Μοντέλου του Άνθρακα: Μέγεθος: TIMH: Ογκος της ατμόφαιρας (V ) 8 99 m Επιφάνεια έμβιων γης ( A ) m 4 Όγκος εδάφους (V ) 6 65 m 4 Επιφάνεια ΘΕΥ ( A 4 ) 4 m 4 Όγκος ΘΕΥ (V 4 ) 4 m 6 6

17 4 Επιφάνεια ΚΕΥ ( A 6 ) m Όγκος ΚΕΥ (V 6 ) m Επιφάνεια ΥΜΕΒ ( A 8 ) m Ογκος ΥΜΕΒ (V 8 ) 8 m 8 Ο όγκος της ατμόφαιρας προέκυψε από τη υνολική μάζα του άνθρακα διαιρούμενη με τη υγκέντρωη του άνθρακα την ατμόφαιρα Οι υπόλοιπες μετρήεις για την επιφάνεια της γης και τον ωκεανό πάρθηκαν από το Medalion World Atlas Hammond Incorporated (985)To βάθος της επιφάνειας του ωκεανού έχει τεθεί 75- μέτρα και το υνολικό μέο βάθος 8 μέτρα Πίνακας : Σταθερές κανονικοποίηης: Συγκέντρωη: ΤΙΜΗ: t 5 yrs C 74 GT C / V C 56 GT C / A C GT C / V C 6 GT C / V 4 4 C GT C / V 5 5 C GT C / V 6 6 C GT C / V 7 7 C 8 GT C / V 8 8 Οι αρχικές υγκεντρώεις είναι το πηλίκο της υγκέντρωης κάθε υνιτώας με τον αντίτοιχο όγκο ή εμβαδό της (βλ Σχήμα ) : Κανονικοποίηη: Για το C τη υγκέντρωη την ατμόφαιρα: Kάνουμε κανονικοποίηη επιλέγουμε δηλαδή νέες αδιάτατες μεταβλητές και επαναδιατυπώνουμε το πρόβλημα μέω αυτών των νέων μεταβλητών Θα μπορέουμε τότε να δούμε τα χετικά μεγέθη των υντελετών ε κάθε εξίωη να υγκρίνουμε την τάξη μεγέθους των όρων κάθε εξίωης να απλοποιήουμε το ύτημα των εξιώεων και πιθανά να παραλείψουμε αν χρειάζεται μικρούς όρους Αυτό θα μας βοηθήει τη ωτή εφαρμογή των μεθόδων διαταραχών και την πιο 7

18 οικονομική αριθμητική επίλυη του υτήματος Για την πρώτη εξίωη για τη υγκέντρωη του άνθρακα την ατμόφαιρα θα διαλέξουμε καινούργια αδιάτατη μεταβλητή για το C και τον χρόνο t Για παράδειγμα αν γνωρίζουμε τον χαρακτηριτικό χρόνο αναφοράς t τότε αλλάζουμε την κλίμακα: τ = t / t ή t = tτ και τότε ο αδιάτατος χρόνος τ είναι της τάξης του Κάθε πρόβλημα έχει μια εγγενή κλίμακα χρόνου η χαρακτηριτικό χρόνο αναφοράς t Η ποότητα t μπορεί να οριθεί ως το μικρότερο χρονικό διάτημα που απαιτείται για να παρατηρηθούν αναγνωρίιμες μεταβολές τα φυικά μεγέθη του προβλήματος Έτω C η υγκέντρωη του άνθρακα την ατμόφαιρα ε χρόνο αναφοράς t η καινούργια αδιάτατη μεταβλητή για το C και τ η καινούργια αδιατατη μεταβλητή για τον χρόνο t Τότε κανονικοποιούμε το C με το C () = C την αρχική τιμή για τη υγκέντρωη του άνθρακα την ατμόφαιρα και τον χρόνο t με τον χρόνο αναφοράς t και έτι: C = C και t = tτ Συνεπώς dc d =( C /t ) Θέλουμε να δούμε τη υμπεριφορά του μοντέλου μετά από μία χρονική κλίμακα 5 χρόνων έτι παίρνουμε αν χρόνο αναφοράς t =5 χρόνια Άρα p ( m / ) + Τ Τ br br sr sr ( m / ) + V C d t t Τ = F( t) + D( t) ( t / V C )[ k C A θ p ] V C V C k C t t + [ k C A θ ] + [ k C V θ ] V C k C V C t + M V C t M Θεωρώντας ότι F( t) = F D( t) = D ταθερές (βλ Πίνακα ) θέτουμε: q = km / C ( όπου C μετριέται ε ppm C ; 8 ppm ) j = ( t / V C ) F j = ( t / V C ) D j = ( t / V C )[ k C A θ Τ ] p j 4 = ( t / V C )[ kbrc A θ Τ br ] j 5 = ( t / V C )[ ksr C V θ Τ sr ] j = ( t / V C ) M 6 p 8

19 j = ( t / V C ) M 7 και τότε η καινούργια αδιάτατη εξίωη για το C είναι: d = j + j - q + j + j 4 = j + j + j 5 + j 6 - j 7 -( j - j 4 ) q + q + + j 5 + j 6 - j 7 όπου τα j έως j 7 ταθερές και j είναι η αδιάτατη ταθερά για τις ανθρωπογενείς εκπομπές ενώ j η αντίτοιχη αδιάτατη ταθερά για την αποδάωη (Εν δυνάμει έχουμε ότι: j = j ( τ ) j = j ( τ ) ) Για το C την περιεκτικότητα του άνθρακα τα έμβια της γης C Κανονικοποιούμε το C με C και = C C = C και t = tτ Και τότε έχουμε: d t Τ t Τ = [ k p C A θ p ] [ k br C A θ br ] A C ( k / C ) + A C ( k / C ) + m m t t [ k e C A ] D A C ( km / C ) + A C Θέτουμε: a = t k θ p Τ p a = t k br θ Τ br a = t k e a 4 = ( t / A C ) D και παίρνουμε την αδιάτατη εξίωη: d = a - a - a q + q + q + =( a - a - a ) - a q + 4 όπου τα a a a a 4 ταθερές - a4 Για το C : Eξίωη για την περιεκτικότητα του άνθρακα το έδαφος της γης Κανονικοποιούμε το C με C = C και t = tτ και υνεπώς dc d =( C /t ) C δηλαδή 9

20 Έτι d t t = [ k C A ] [ k C V θ ] V C k C V C Τ e sr sr ( m / ) + t V C [ k C V ] w Θέτουμε: b = ( t / V C ) k e C A b = t k sr θ Τ sr b = t k w Άρα έχουμε d = b q + όπου τα b b b ταθερές -( b + b ) Για το C 4 : Εξίωη για την περιεκτικότητα άνθρακα τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα Κανονικοποιούμε το C 4 ως εξής: C 4 = C 4 4 t = tτ dc και άρα 4 d = (C 4 /t ) 4 Τότε: d 4 t t t = M [ k pwo 4 C4 V5 ] [ k rwo 5 C5 V5 ] V C V C V C t t t + [ k C A ] [ Q C ] + [( / ) k C V ] V C V C V C up w Θέτουμε: d = ( t / V4 C4 ) M d = ( t / V 4 )[ k pwo V 5 ] d = ( t / V C )[ k C V ] 4 4 rwo 5 5 d = ( t / V C )[ k C A ] up 8 4 d 5 = ( t / V 4 ) Q 46

21 d 6 = ( t / V4 C4 )[( / ) kw C V ] Επομένως: d 4 =- d - d 4 + d 5 + d4 8 - d d d d d d d ταθερές με d Για το C 5 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα ε Θερμά Επιφανειακά Ύδατα Κανονικοποιούμε το C 5 με C 5 C 5 = και t = tτ C5 5 dc και : 5 d = (t / C 5 ) 5 Άρα d 5 t t t = [ k pwo 4 C4 V5 ] [ k rwo 5 C5 V5 ] [ k swo 5 C5 A4 ] V5 C5 V5 C5 V5 C5 Θέτουμε: e = ( t / C )[ k C ] e = t k rwo 5 pwo 4 e = ( t / V 5 )[ kswo A 4 ] έτι προκύπτει ότι: d 5 = e 4 - e 5 - e 5 = e 4 -( e + e ) 5 όπου τα e e e ταθερές Για το C 6 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα Κανονικοποιούμε το C 6 με και έχουμε: dc 6 d = ( C 6 / t ) C 6 και τότε C 6 = 6 t = tτ C6 6 Και έτι d 6 t t t = M [ k pco 6 C6 V7 ] + [ k rco 7 C7 V7 ] V C V C V C t t [ k dc 6C6 A6 ] + [ Q 46C4 4] + ( t / V6 C6 )[(/ ) kw C V ] V6 C6 V6 C6 Θέτουμε: f = ( t / V C ) M 6 6 f = ( t / V 6 )[ k pco V 7 ]

22 f = ( t / V6 C6 )[ krco C7 V 7 ] f 4 = ( t / V 6 )[ kdc A 6 ] f = ( t / V C )[ Q C ] f = ( t / V C )[(/ ) k C V ] 6 6 w Και άρα η εξίωη είναι: d 6 = f - f 6 + f 7 - f f όπου τα f f f f4 f5 f 6 ταθερές f Για τη C 7 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα ε Κρύα Επιφανειακά Ύδατα dc Κανονικοποιoύμε το C 7 με C 7 και C 7 = C 7 7 και τότε 7 d = ( C 7 /t ) Έχουμε d 7 t t t = [ k pco 6 C6 V7 ] [ k rco 7 C7 V7 ] [ k sco 7 C7 A6 ] V7 C7 V7 C7 V7 C7 Για: g = ( t / C )[ k C ] 7 pco 6 g = t k rco g = ( t / V 7 )[ ksco A 6 ] η εξίωη γίνεται: d 7 = g 6 - g 7 - g 7 όπου τα g g g ταθερές 7 Για το C 8 : Εξίωη για τη υγκέντρωη άνθρακα ε Ύδατα Ενδιάμεου ή Μεγάλου Βάθους Όμοια έχουμε: C 8 =C 8 8 t = tτ dc και άρα: 8 d = (C 8 / t ) 8

23 Τότε: d 8 t t t = [ k dc 6 C6 A6 ] [ k up 8 C8 A4 ] + [ k swo 5 C5 A4 ] V C V C V C t t + [ k sco 7 C7 A6 ] [ k sed 8 C8 A8 ] V8 C8 V8 C8 Θέτουμε: h = ( t / V C )[ k C A ] 8 8 dc 6 6 h = ( t / V 8 )[ kup A 4 ] h = ( t / V C )[ k C A ] 8 8 swo 5 4 h = ( t / V C )[ k C A ] sco 7 6 h 5 = ( t / V8 )[ ksed A 8] και έχουμε: d 8 = h 6 - h 8 + h 5 + h όπου τα h h h h4 h 5 ταθερές h 8 Συνοψίζοντας έχουμε τις οκτώ πιο κάτω εξιώεις: d =( j + j + j 6 - j 7 )+ j 5 -( j - j 4 ) q + με ( τ ) = τ : αρχικός χρόνος () d = ( a - a - a ) - a q + 4 με ( τ ) = () d = b -( b q + + b ) με ( τ ) = () d 4 = - d - ( d - 5 d ) 4 + d 5 + d4 8 + d6 με 4( τ ) = (4) d 5 = e 4 -( e + e ) 5 με 5( τ ) = (5) d 6 = f - ( f + f 4 ) 6 + f 7 + f5 4 + f 6 με 6( τ ) = (6) d 7 = g 6 - (g + g ) 7 με ( τ ) = (7) 7

24 d 8 = h 6 - ( h 5 + h ) 8 + h 5 + h 4 7 με ( τ ) = (8) 8 Παρατηρώντας το ύτημα με τις οκτώ εξιώεις βλέπουμε ότι οι τρεις πρώτες εξιώεις αποτελούν ένα αυτόνομο ύτημα δηλαδή η λύη των τριών πρώτων εξιώεων δεν εξαρτάται από τη μεταβολή των C4 C5 C6 C7 C 8 και ουιατικά έχουμε δύο υτήματα εξιώεων μια παρατήρηη που θα μας βοηθήει την αριθμητική επίλυη του υτήματος Επίης μπορούμε να υμπεράνουμε ότι η περιεκτικότητα του άνθρακα τα έμβια της γης το έδαφος και την ατμόφαιρα δεν επηρεάζεται από τις μεταβολές της περιεκτικότητας του άνθρακα τα κρύα και θερμά ύδατα τα έμβια των υδάτων αυτών και τα ύδατα ενδιάμεου ή μεγάλου βάθους Επιπλέον το ύτημα των εξιώεων για τα είναι γραμμικό με όρους εξαναγκαμού εξαρτώμενοι από τα Παίρνωντας τιμές από το [] προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας για τις αδιάτατες μεταβλητές που εμφανίζονται το μοντέλο των εξιώεων ()-(8) Πίνακας 4: Tιμές αδιάτατων ταθερών κανονικοποίηης: 4

25 ταθερε: time: ταθερε: time: q f 4 65 a 9 f 5 4 a 9646 f 6 8 a 4555 g 57 a 4 8 g 45 b 586 g 5 b 59 h 49 b h 5 d 8 h 6 d 74 h 4 d 5 h 5 7 d 4 9 j 66 e 57 j 88 e 45 j 6897 e 5 j 4 76 f 667 j 5 44 f 74 j f 5 j Παρατηρώντας τις τιμές των παραμέτρων βλέπουμε ότι μπορούμε να κάνουμε κάποιες προεγγίεις Αρχικά όων αφορά την εξίωη για το 8 έχουμε ότι hi << για i = 7 επομένως έχουμε d 8 ; και η μεταβλητή 8 δεν περιμένουμε να μεταβάλλεται αιθητά ε χέη με τις υπόλοιπες Επιπλέον g i >> για i = και g άρα από την εξίωη για το 7 έχουμε: g 6 g 7 g 7 ; ή 7 ; 6 g + g επομένως η μορφή της 7 ( τ ) αναμένεται να είναι παρόμοια με αυτή της 6 ( τ ) Επίης e e >> e και e e >> άρα d e 5 ; e 4 e 5 ή e 4 : e 5 και τότε 5 : 4 e δηλαδή η μορφή της 5 ( τ ) θα είναι παρόμοια με τη μορφή της 4 ( τ ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αριθμητική Επίλυη: Σε αυτή την παράγραφο θα πούμε λίγα λόγια για τις δύο αριθμητικές μεθόδους που 5

26 θα χρηιμοποιήουμε για την επίλυη του υτήματος τη μέθοδο Euler και τη μέθοδο Runge-Kutta Μέθοδος Euler Σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο αν έχoυμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών της μορφής: d ψ = f (ψ t) α t b () ψ ( α ) = ψ υποθέτουμε ότι το πρόβλημα αυτό λύνεται μονοήμαντα και θεωρούμε μια διαμέριη: α= t < t < < t N =b του [α b] Οι αριθμητικοί μέθοδοι για την επίλυη του () i υνήθως δίνουν προεγγίεις ψ των τιμών ψ ( t i ) i = N Πολλές φορές χρηιμοποιείται μια ομοιόμορφη διαμέριη δηλαδή με N Ξ θέτουμε : h :=(b-α)/ N και t i = α + i Χ h i = N Οι προεγγίεις N ψ ψ τις οποίες δίνει η μέθοδος του Εuler για ομοιόμορφη διαμέριη με βήμα h προδιορίζονται από τον εξής αναδρομικό τύπο: n ψ + n = ψ + h f (t n n ψ ) n= N - με ψ = ψ δεδομένο Μια δυνατότητα για να κατακευάουμε τη μέθοδο Euler είναι η εξής: dψ Η ΔΕ δίνει n = f ( t n ψ ( t n )) dψ Προεγγίζουμε την παράγωγο n με το πηλίκο διαφορών: h [ n+ n ψ ( t ) ψ ( t ) ] n και υποθέτοντας ότι το ψ είναι μια καλή προέγγιη του ψ ( t n ) προεγγίζουμε το n+ n ψ ( t ) με τον αριθμό ψ + όπου n+ n ψ ψ n n = f ( t ψ ) h Όπως και ε κάθε άλλη αριθμητική μέθοδο έτι και τη μέθοδο Euler μας ενδιαφέρει κατ αρχήν η ακρίβεια της την προκειμένη περίπτωη το να δίνει μικρά φάλματα: n n n ε : = ψ ψ ( t ) και το κότος της δηλαδή το πλήθος των απαιτούμενων πράξεων για τον προδιοριμό προεγγίεων μιας οριμένης ακρίβειας Η μέθοδος του Euler είναι απλούτατο να εφαρμοθεί Σε κάθε βήμα απαιτείται ένας υπολογιμός της f υγκεκριμένα το n n ημείο ( t ψ ) ένας πολλαπλαιαμός και μια πρόθεη Κατά κανόνα η υνάρτηη f είναι αρκετά πολύπλοκη και το κότος υπολογιμού της τιμής της ένα ημείο είναι πολύ μεγαλύτερο από ένα πολλαπλαιαμό και μια πρόθεη Έχει λοιπόν επικρατήει να μετράμε ως κότος μιας αριθμητικής μεθόδου ανά βήμα μόνο το πλήθος υπολογιμών της f Το κότος της μεθόδου του Euler είναι υνεπώς πολύ χαμηλό ένας υπολογιμός της f ανά βήμα 6

27 Επιτρέφοντας τώρα το μοντέλο μας και χρηιμοποιώντας τη μέθοδο Euler για την αριθμητική επίλυη με χρονικό βήμα έχουμε: i + i i i i = + [ j + j + j + j j ( j j )( /( q + )) ] () i + i i i i = + [( a a a )( /( q + )) a ] () 4 i + i i i i i = + [ b ( /( q + )) ( b + b ) ] () i + i i i i i i = + [ d d + d + d d + d ] (4) i + i i i = + [ e ( e + e ) ] (5) i + i i i i i = + [ f ( f + f ) f + f + f ] (6) i + i i i 7 = 7 + ( g 6 -( g + g ) 7 (7) i + i i i i i = + [ h ( h + h ) + h + h ] (8) i όπου = ( t ) και j j i j = () για j = 8 j Μια πιο ακριβής μέθοδος για την επίλυη υνήθων διαφορικών εξιώεων αριθμητικά είναι η μέθοδος Runge-Kutta την οποία παρουιάζουμε τη υνέχεια Μέθοδος Runge-Kutta: Οι πιο γνωτοί μεθόδοι που χρηιμοποιούνται για ολοκλήρωη υνήθεις διαφορικών εξιώεων είναι οι μεθόδοι Runge-Kutta πρώτης δεύτερης τρίτης και τέταρτης τάξης Πιο γενικά ο τύπος ολοκλήρωης (the forward marching integration formula) για τη διαφορική εξίωη dy dx = f (ψ χ) δίνεται από την επαναληπτική εξίωη: ψ i + = ψ i + w k + w k + w k + +w m k m όπου κάθε μια από τις τροχιές k i υπολογίζονται από τις : k = h f (χ i ψ i ) k = h f (χ i +c h ψ i +α k ) k = h f (χ i +c h ψ i +α k +α k ) k m = h f (χ i +c m h ψ i +α m k +α m k + +α m m κ m ) Αυτές οι εξιώεις μπορούν να γραφτούν ως εξής: i + = ψ i + ε wjk j () ψ m j = 7

28 j k j = h f (χ i +c j h ψ i + ε a jlkl ) όπου c = και α j = l = Η τιμή του m που καθορίζει την πολυπλοκότητα και την ακρίβεια της μεθόδου τίθεται όταν οι m+ όροι διατηρούνται την άπειρη ειρά επέκταης του ψ i + : ψ i + = ψ i + h ψ ' + h ψ '' /!+h ψ ''' /!+ (n) n και αν υμβολίουμε με ψ = D ( ψ ) τότε: ψ i + = ψ i + hdψ i + h D ψ i /!+h D ψ i /!+ Η διαδικαία για την παραγωγή των Runge-Kutta μεθόδων μπορεί να χωριτεί ε πέντε βήματα που παρουιάζονται πιο κάτω για την παραγωγή της δεύτερης τάξης μεθόδου Runge-Kutta : Βήμα o : Διαλέγουμε την τιμή του m που ορίζει την ακρίβεια του τύπου που θα πάρουμε Για δεύτερης τάξης Runge-Kutta m= Απαλείφουμε τους όρους μετά τον ο όρο (m+) και: ψ i + = ψ i + hdψ i + h D ψ i /!+O(h ) () Βήμα o : Αντικαθιτούμε κάθε παράγωγο του ψ την () με τα αντίτοιχα την f έχοντας υπ όψην ότι η f είναι υνάρτηη των χ και ψ(χ): Dψ i = f i () D ψ i = df dx = ( f dx x dx + f dψ ) ψ i =( f x + f f ψ ) i dx (4) Συνδιάζοντας τις εξιώεις () και (4) έχουμε: ψ i + = ψ i + h f i + h f x /!+ h i fi f ψ /!+O(h ) (5) i Βήμα o : Γράφουμε την () με τους m όρους την άθροιη (αναλυτικά): ψ i + = ψ i + w k + w k (6) όπου : k = h f (χ i ψ i ) k = h f (χ i +c h ψ i +α k ) Βήμα 4 o : Υπολογίζουμε το ανάπτυγμα Taylor της υνάρτηης f : f (χ i +c h ψ i +α k ) = f i + c h f x + α i h f ψ i f i +O(h ) (7) Συνδιάζοντας τις εξιώεις (6) και (7) έχουμε: 8

29 ψ i + = ψ i + (w + w )h f i +(w c )h f x +(w i α )h fi f ψ +O(h ) (8) i Bήμα 5 o : Για να είναι οι εξιώεις (5) και (8) ίδιες πρέπει οι υντελετές των αντίτοιχων όρων να είναι ίοι μεταξύ τους Αυτό έχει αν αποτέλεμα ένα ύτημα μη-γραμμικών εξιώεων με αγνώτους τα w j c j α jl Για αυτήν της δεύτερης τάξης μέθοδο Runge-Kutta έχουμε τρείς εξιώεις με τέερις αγνώτους: w + w = w c =5 (9) w α =5 Πάντα έχουμε περιότερους αγνώτους από ότι εξιώεις Οι βαθμοί ελευθερίας μας επιτρέπουν να επιλέξουμε κάποιες από τις παραμέτρους Για δεύτερης τάξης Runge-Kutta έχουμε ένα βαθμό ελευθερίας για τρίτης και τέταρτης τάξης Runge- Kutta έχουμε δύο βαθμούς ελευθερίας και για πέμπτης τάξης Runge-Kutta έχουμε τουλάχιτον πέντε βαθμούς ελευθερίας Αυτή η ελευθερία επιλογής παραμέτρου αυξάνει τον αριθμό των διαφορετικών μορφών μεθόδων Runge-Kutta Συνήθως είναι προτιμότερο να επιλέγουμε πρώτα τις τιμές των υντελετών c j ταιριάζοντας έτι τις θέεις από τις ανεξάρτητες μεταβλητές όπου οι υναρτήεις f (χ i +c j h ψ i + j ε l = a k jl l ) θα υπολογιτούν Μια ημαντική κέψη τη διαλογή των ελεύθερων παραμέτρων είναι να ελαχιτοποιήουμε το φάλμα αποκοπής (roundoff error) του υπολογιμού Για της δεύτερης τάξης μέθοδο Runge-Kutta που θα παράξουμε διαλέγουμε c = Οι υπόλοιπες παράμετροι υπολογίζονται από την (9): w = w =/ και α = Με αυτές τις τιμές τις παραμέτρους η δεύτερης τάξης Runge-Kutta είναι: ψ i + = ψ i + (/)(k + k ) k = h f (χ i ψ i ) k = h f (χ i +h ψ i + k ) Mια διαφορετική μορφή δεύτερης τάξης Runge-Kutta παράγεται αν διαλέξουμε να υπολογίουμε τη υνάρτηη τα ενδιάμεα ημεία (midpoints) (όπου c =/) Τότε: ψ i + = ψ i + k k = h f (χ i ψ i ) k = h f (χ i +(/)h ψ i + (/)k ) 9

30 Υψηλότερης τάξης μέθοδοι Runge-Kutta παράγονται με ανάλογο τρόπο Στο Παράρτημα παρουιάζεται ένας πίνακας για κάποιες από αυτές Η τέταρτης τάξης Runge-Kutta που έχει ένα φάλμα τάξης Ο(h 5 ) είναι ίως αυτή που χρηιμοποιείται πιο πολύ τις Συνήθεις Διαφορικές Εξιώεις Αριθμητικά αποτελέματα: Στην προηγούμενη παράγραφο παρουιάαμε τις αριθμητικές μεθόδους Euler και Runge-Kutta Για την επίλυη του μοντέλου μας χρηιμοποιήαμε τη μέθοδο Runge- Kutta επειδή είναι δεύτερης τάξης Η μέθοδος Euler (πρώτης τάξης) θα χρηιμοποιηθεί ε επόμενο κεφάλαιο την επέκταη του μοντέλου το οποίο θα υμπεριλάβουμε μερικές διαφορικές εξιώεις τις οποίες θα λύουμε με άμεη μέθοδο πεπεραμένων διαφορών Σχήμα Στο γράφημα παρουιάζουμε το γράφημα των C C C ε χέη με το χρόνο που υπολογίτηκαν από την αριθμητική επίλυη των εξιώεων () έως (8) με τη μέθοδο Runge-Kutta Το χρονικό βήμα που χρηιμοποιήθηκε ήταν = και ο χρόνος Τ = που αντιτοιχεί ε 5 χρόνια Βλέπουμε ότι η C δηλαδή η υγκέντρωη του άνθρακα την ατμόφαιρα παρουιάζει χεδόν γραμμική αύξηη ενώ υγκριτικά τα C C η υγκέντρωη του άνθρακα τα έμβια και το έδαφος της γης παρουιάζουν μια χετική γραμμική μείωη

31 Σχήμα Στο χήμα βλέπουμε τη μεταβολή των C4 C 5 ε χέη με το χρόνο Βλέπουμε ότι η υγκέντρωη του άνθρακα τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα και τα Έμβια των Θερμών Επιφανειακών Υδάτων αρχικά μειώνεται και μετά ταθεροποιείται Σχήμα

32 Στο γράφημα παρουιάζουμε τη μεταβολή των C6 C 7 ε χέη με το χρόνο Αρχικά η υγκέντρωη του άνθρακα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα και τα Έμβια των Κρύων Επιφανειακών Υδάτων αυξάνεται πολύ μετά μειώνεται και το τέλος χεδόν ταθεροποιείται παρουιάζοντας πολύ μικρή αύξηη Σχήμα 4 Στο γράφημα 4 παρουιάζουμε τη γραφική παράταη του C 8 ε χέη με το χρόνο Παρατηρώντας την βλέπουμε ότι και η υγκέντρωη του άνθρακα τα Ύδατα Μέου Επιφανειακού Βάθους παρουιάζει αύξηη

33 Σχήμα 5 Στο χήμα αυτό έχουμε το γράφημα των C έως C 8 ε χέη με το χρόνο Εάν το παρατηρήουμε βλέπουμε ότι τη μεγαλύτερη αύξηη υγκριτικά παρουιάζουν τα C6 C 7 το οποίο ημαίνει ότι έχουμε μεγαλύτερη αύξηη τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα και τα Έμβια των Κρύων Επιφανειακών Υδάτων Συμπεράματα: Παρατηρώντας τις πιο πάνω γραφικές παρατάεις βλέπουμε ότι για την ατμόφαιρα τα Θερμά Επιφανειακά Ύδατα τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα και τα Ενδιάμεου και Μεγάλου Βάθους Ύδατα η υγκέντρωη του άνθρακα διπλαιάζεται Όων αφορά τα Έμβια της Γης και το Έδαφος η υγκέντρωη ε άνθρακα αρχικά μειώνεται μετά αυξάνεται και κατόπιν μειώνεται απότομα Η δρατική μείωη του άνθρακα τα Έμβια της Γης οφείλεται το ότι ο όρος D( t ) κατά την εξέλιξη της διαδικαίας αυξάνει την εκροή άνθρακα από αυτή τη υνιτώα Το υμπέραμα είναι ότι χωρίς ταθεροποίηη ή μείωη ανθρωπογενών εκπομπών CO την ατμόφαιρα η ποότητα CO αυξάνεται με αποτέλεμα να έχουμε αντίτοιχη αύξηη τη μέη θερμοκραία της Γης Επιπλέον αξίζει να ημειωθεί ότι ε αυτή την προομείωη έχουμε θεωρήει την ροή των ανθρωπογενών εκπομπών F ταθερή Μια ρεαλιτική ετήια αύξηη αυτών πχ της μορφής F = F + 5 % F t αναμένεται να δώει ακόμη μεγαλύτερη αύξηη του CO την ατμόφαιρα και άρα και μεγαλύτερη αύξηη τη μέη θερμοκραία της γης Ένας τρόπος εκτίμηης χετικά απλός της αύξηης της μέης

34 θερμοκραίας της γης δίνεται από τον τύπο ([]) : T ( t) ; 4 + [ C ( t) C()] β όπου η υγκέντρωη του CO την προβιομηχανική εποχή εκτιμάται να είναι C () και η θερμοκραία 4 ο C ε χέη με τη ημερινή Επιπλέον β είναι μια ταθερά o o αναλογίας η οποία εκτιμάται β ; C /( GT / m )(; C ppm ) Στο παράδειγμα μας για διπλαιαμό του CO την ατμόφαιρα τα επόμενα 5 χρόνια αναμένουμε μια αύξηη της θερμοκραίας κατά 6 o C 4

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: 4:Επέκταη του μοντέλου (θεώρηη διακύμανης άνθρακα τους ωκεανούς κατά βάθος): Για να έχουμε καλύτερη και πιο ακριβή ανάλυη του μοντέλου και πιο υγκεκριμένα γιατί θέλουμε μια καλύτερη θεώρηη της διακύμανης του άνθρακα τα ύδατα ε χέη με το βάθος παίρνουμε τις τρεις υνιτώες Θερμά Επιφανειακά Ύδατα Έμβια Θερμών Επιφανειακών Υδάτων και Ύδατα Μεγάλου και Ενδιάμεου Βάθους και τις ενωποιούμε ε μια υνιτώα C w η οποία εξαρτάται και από το βάθος δηλαδή Cw = Cw( x t) Αντίτοιχα παίρνουμε τις υνιτώες: Κρύα Επιφανειακά Ύδατα Έμβια Κρύων Επιφανειακών Υδάτων και Ύδατα Μεγάλου και Ενδιάμεου Βάθους και τις ενωποιούμε ε μια υνιτώα C c Cc = Cc ( x t) Επιπλέον προθέτουμε μια ροή r Q από τα Κρύα Ύδατα ( C c ) τα Θερμά ( C w ) που εκφράζει τη μεταφορά υλικού το βάθος των ωκεανών Μια τέτοια θεώρηη θα ήταν χρήιμη δεδομένου ότι η αύξηη της ποότητας του άνθρακα τους ωκεανούς είναι δυνατόν να διαταράξει το οικολογικό ύτημα Παρόμοιες προεγγίεις έχουν γίνει τις εργαίες [] και [5] για να διερευνηθεί η θερμική ιτορία της γης 5

36 Σχήμα 4 Έτι έχουμε τώρα ένα ύτημα εξιώεων που αποτελείται από τρεις υνήθεις διαφορικές εξιώεις και δύο μερικές διαφορικές εξιώεις: Έχουμε για τα C C C όπως προηγουμένως: dc C Τ C Τ V = F( t) + D( t) [ k p C A θ p ] + [ kbr C A θ br ] km + C km + C Τ + [ k C V θ ] + M M sr sr dc Τ Τ A = [ k p ( C /( km + C )) C A θ p ] [ kbr ( C /( km + C)) C A θ br ] [ ke( C /( km + C)) C A ] D( t) dc V = [ ke( C /( km + C )) C A ] [ ksrc V θ Τ sr ] [ kwc V ] Όων αφορά τη διακύμανη του άνθρακα τα θερμά ύδατα ε χέη με το βάθος θεωρούμε ότι έχουμε την εξίωη της διάχυης με έναν όρο μεταφοράς υδάτων από το βάθος ( z = ) προς την επιφάνεια ( z = h) Έτι η εξίωη γίνεται: Cw Cw Cw Vw = Vw k V w kx t z z < z < h t > όπου k ο υντελετής διάχυης και k x η ταχύτητα ανύψωης ( k = 8 m / yr kx = m / sec) Επιπλέον θεωρούμε ότι h = 8m (το μέο βάθος των ωκεανών) και θα θεωρήουμε το πρόβλημα για μια χρονική κλίμακα t = 5 έτη Όων αφορά τη υνοριακή υνθήκη για z = έχουμε ότι η ροή C w ( t) z θα είναι ίη με την καταβύθιη υλικού τον πάτο των ωκεανών R p / υν την ειροή άνθρακα από τα Κρύα Ύδατα Δηλαδή C R w p A4 k = + kβ Cc ( t) z όπου k β είναι ταθερά αναλογίας ( kβ = 9e + 4 ) και R p η ροή άνθρακα από τα Ύδατα Ενδιάμεου και Μεγάλου Βάθους ( Rp = 5 GT C / yr ) Cw Στο ημείο z = h (επιφάνεια) έχουμε ότι η ροή ( h t ) z είναι ανάλογη με τη ροή προς την ατμόφαιρα ' r ' τη ροή από τα έμβια της γης '( / ) kwc ' και τη ροή προς τα Κρύα Επιφανειακά Ύδατα ' Q C w ' (το Q εκτιμάται να είναι: 4 46 m / yr []) Επομένως η εξίωη γίνεται: Cw A4 k = Q Cw + kwv C r z Αξίζει να ημειωθεί ότι οι ταθερές Q k kx k β εκτιμήθηκαν με βάη τις εργαίες [] 6

37 [4] [5] αλλά περαιτέρω διερεύνηη θα χρειαζόταν προκειμένου να έχουμε ένα πιο ακριβές μοντέλο Όων αφορά την αντίτοιχη εξίωη για το C c τη διακύμανη του άνθρακα τα Κρύα Ύδατα παρόμοια προκύπτει ότι: Cc Cc Cc Vc = Vc k + V < z < c kx h t z z όπου εδώ η μεταφορά υλικού γίνεται προς τα κάτω (προς το z = ) και γι αυτό ο όρος μεταφοράς έχει πρόημο θετικό Επιπλέον για z = h έχουμε ότι η ροή ε αυτό το ημείο είναι: Cc A6 k = kwv C + Q Cw( h t) + r4 t Όπου ο όρος ' k V C ' υποδηλώνει τη μεταφορά υλικού από τα έμβια της γης ο όρος w r 4 ' τη μεταφορά άνθρακα από την ατμόφαιρα 4 ' ( r = GT C / yr) και ο όρος ' Q Cw( h t )' τη μεταφορά άνθρακα από την επιφάνεια των θερμών υδάτων τα Κρύα Ύδατα Τέλος για το ημείο z = (το μέο βάθος των ωκεανών) θεωρούμε ότι η ροή C c ( t) είναι ανάλογη του μέρους του άνθρακα που αποτίθεται τον πάτο των z ωκεανών ' R p / ' και την εκροή άνθρακα τα Θερμά Ύδατα C R c p A6 k = kβ Cc ( t) z Έχουμε δηλαδή τις εξιώεις της διάχυης για τα Cw C c με επιπλέον έναν όρο μεταφοράς C w και C z c που εκφράζει τη μεταφορά υλικού μέω υδάτων από z ρεύματα που κινούνται από την επιφάνεια προς το βάθος των ωκεανών 4: Κανονικοποίηη: Οι τρεις υνήθεις διαφορικές έχουν κανονικοποιηθεί πιο πριν έτι τώρα θα κανονικοποιήουμε τις δύο μερικές διαφορικές εξιώεις Η μερική διαφορική για τα ζετά ύδατα είναι: Cw Cw Cw Vw = Vw k V w kx t z z και αν απλοποιήουμε την εξίωη τότε έχουμε ότι: C w w w = k C C k x t z z Κανονικοποιούμε το C w με C w η υγκέντρωη του άνθρακα τα ζετά ύδατα ε τ ζ οι καινούργιες αδιάτατες μεταβλητές για τη χρόνο αναφοράς t και w υγκέντρωη το χρόνο και το βάθος αντίτοιχα Έτι 7

38 Cw t z w = ή C w = Cw w t t z h C τ = ή = w t τ ζ = ή = ζ Αντικαθιτώντας την αρχική εξίωη προκύπτει η ακόλουθη εξίωη: Cw w kcw w kxcw w = t τ h ζ h ζ Ϋ k t k t τ h ζ h ζ w w x w = Θέτουμε: tk kxt w = w = h h και τότε: C kc k C = t τ h ζ h ζ Ϋ w w w w x w w τ ζ ζ w w w = w w Συνοριακές υνθήκες: Για z = h η υνοριακή υνθήκη είναι: Cw A4 k = Q Cw + kwv C r z όπου r = M Κάνοντας την ίδια κανονικοποίηη όπως και πριν και αντικαθιτώντας την υνοριακή εξίωη για ζ = έχουμε ότι: A4 kcw w = Q Cw w + kwv C r h ζ Ϋ ζ w Q h k V C h = + A k A k C A k C w r h w 4 4 w 4 w Θέτουμε: Q h kwv C h r h w = w4 = w 5 = A k A k C A k C 4 4 w 4 w έτι ζ w = w + w w w 4 5 Για z = η υνοριακή υνθήκη είναι : 8

39 C R w p A4 k = + kβ Cc ( t) z Kανονικοποιούμε το C w και τότε η υνοριακή υνθήκη το ζ = είναι η εξής: A4 k Cw R w p = + kβ Cc c h ζ Ϋ ζ w R h h k C = + A k C p β c c 4 w A4 k Cw Θέτουμε: h R h k w = w = p β 6 7 A4 kcw A4 k w Έτι = w6 + w7 c η αδιάτατη εξίωη το ζ = ζ Η δεύτερη μερική διαφορική για τα κρύα ύδατα είναι η παρακάτω: Cc Cc Cc Vc = Vc k + V < z < c kx h t z z και αν απλοποιήουμε έχουμε ότι : C c c c = k C C + k x t z z Κανονικοποιούμε το C c με C c τη υγκέντρωη του άνθρακα τα Κρύα Ύδατα και c τ ζ οι αδιάτατες μεταβλητές για τη υγκέντρωη το χρόνο και το βάθος αντίτοιχα και προκύπτει ότι: Cc w kcc c kxcc c = + t τ h ζ h ζ c kt c kxt c Ϋ = + τ h ζ h ζ Θέτουμε: kt kxt t = t = h h και τότε η αδιάτατη εξίωη για τα κρύα ύδατα είναι : c c c t = + t τ ζ ζ Συνοριακές υνθήκες: Η υνοριακή υνθήκη το z = h είναι η εξής: Cc A6 k = kwv C + Q Cw( h t) + r4 t 9

40 Κανονικοποιούμε και τότε η καινούργια αδιάτατη υνοριακή υνθήκη το ζ = είναι: A6 kc h c ζ c kwv C = + Q Cw w( h t) + r h kwv C c hq Cw h r4 Ϋ = + w + ζ A6 kcc A6 kcc A6 kcc Θέτoυμε: h kwv C hq h r4 t = t 4 = t5 = A6 kcc A6 k A6 kcc και έτι c = t + t4 w + t5 ζ Επιπλέον η υνοριακή υνθήκη το z = είναι: C R c p A6 k = kβ Cc ( t) z και με την ίδια κανονικοποίηη που κάναμε και πριν προκύπτει η αδιάτατη υνοριακή υνθήκη: A6 kcc R c p = kβ Cc c h ζ h R c p h kβ Ϋ = c ζ A6 kcc A6 k Θέτω: h Rp h kβ t6 = t 7 = A6 kcc A6 k c και τελικά η αδιάτατη υνοριακή υνθήκη το ζ = είναι: = t6 t7 c ζ 4 Πίνακας 4: Σταθερές Κανονικοποίηης: Συγκέντρωη: ΤΙΜΉ: t 5 yrs h 8 m C 876 GTC / m c w 4 C 869 GTC / m 4 4

41 Συνοψίζοντας και χρηιμοποιώντας τις τρεις κανονικοποιημένες εξιώεις από το προηγούμενο μοντέλο με τις υνήθεις διαφορικές εξιώεις έχουμε το ακόλουθο κανονικοποιημένο ύτημα εξιώεων: d = ( j + j + j6 j7) + j5 ( j j4 ) q + με ( τ ) = τ : αρχικός χρόνος (4) d = ( a - a - a ) - a q + 4 με ( τ ) = (4) d = b -( b q + + b ) ( τ ) = (4) με w w w w = w < ζ < τ > τ ζ ζ w με υνοριακές υνθήκες: = w w + w4 w5 ζ w = w6 + w7 c ζ το ζ = και το ζ = (44) t = + t τ ζ ζ c c c < ζ < τ > c με υνοριακές υνθήκες: = t + t4 w + t5 ζ c = t6 t7 c ζ το ζ = και το ζ = (45) 4

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5: Αριθμητική επίλυη: Χρηιμοποιώντας τη μέθοδο Euler και τη μέθοδο πεπεραμένων διαφορών μπορούμε να επιλύουμε αριθμητικά το μοντέλο Σε αυτό το ημείο θα κάνουμε μια μικρή αναφορά για τη μέθοδο των πεπεραμένων διαφορών Μέθοδος πεπεραμένων διαφορών: Θεωρούμε μια χαρακτηριτική γραμμική παραβολική εξίωη την εξίωη της θερμότητας την αρχική διατατική μορφή: UT = ku XX όπου: U : θερμοκραία ε o C T : χρόνος ε λεπτά min X : απόταη ε μέτρα m k : υντελετής διάχυης ε m / min U ( X ) : γνωτή αρχική θερμοκραία U ( O T ) U ( L T ) : γνωτές υνοριακές υνθήκες Μεταχηματίζουμε το πρόβλημα ε ένα πρόβλημα με αδιάτατες ποότητες k Θέτουμε: x = X / L X L x και: = άρα U T = U xx για X L x L T t = L / k οπότε k = και έτι προκύπτει ότι: U T L t = U xx Τέλος διαλέγουμε μια t U χαρακτηριτική τιμή για την U έτω u και για u = η εξίωη γίνεται: ut = uxx u Αυτή είναι η αδιάτατη μορφή για την εξίωη της θερμότητας Τότε το πλήρες πρόβλημα είναι: ut = uxx u( x ) : δομένη αρχική υνθήκη u( t) = u( x) u( t): δομένες υνοριακές υνθήκες < x < t > Θα εξετάουμε την αριθμητική επίλυη του προβλήματος με τη μέθοδο πεπεραμένων διαφορών: Διαιρούμε το x t επίπεδο χρηιμοποιώντας ορθογώνιο πλέγμα με διαμέριη πλάτους k τον t άξονα και πλάτους h τον x άξονα Η προέγγιη με πεπεραμένες n διαφορές την ακριβή λύη u( xm t n ) το ( xm tn) υμβολίζεται με: u m Θέλουμε να προεγγίουμε τη λύη της εξίωης ut = uxx χρηιμοποιώντας μόνο τις n προεγγιτικές τιμές u m τα ημεία του πλέγματος Υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να γίνει αυτό και ο απλούτερος τρόπος είναι ο ακόλουθος: Παίρνουμε το ανάπτυγμα της ακριβούς λύης κοντά το ημείο του πλέγματος ( xm t n) κατά Taylor: 4

43 h h u( xm + h tn) = u( xm tn) + hux ( xm tn) + uxx ( xm tn ) + uxxx ( xm tn ) +!! h h u( xm h tn ) = u( xm tn) hux ( xm tn ) + uxx ( xm tn ) uxxx ( xm tn) +!! Προθέτουμε αυτές τις εκφράεις και έχουμε: 4 h u( xm + h tn) + u( xm h tn) = u( xm tn ) + h uxx ( xm tn ) + uxxx x ( xm tn ) + Λύνουμε ως προς: uxx ( xm t n ) : h uxx ( xm tn ) = [ u( x m+ tn) u( xm tn ) + u( xm tn)] uxxxx ( xm tn) + h Εάν απαλείψουμε τον όρο uxxxx ( xm t n) και τους όρους υψηλότερης τάξης έχουμε μια προέγγιη για το uxx ( xm tn ) ε χέη με την ακριβή λύη τα ημεία του πλέγματος: uxx ( xm tn ) ; [ u( x m+ tn ) u( xm tn) + u( xm tn)] () h Προεγγίζουμε την παράγωγο u t με παρόμοιο τρόπο Παίρνουμε το ανάπτυγμα Taylor για την u( x t + k) : m n k u( xm tn + k) = u( xm tn + ) = u( xm tn) + k ut ( xm tn) + utt ( xm tn) +! Λύνουμε ως προς ut ( xm t n ) : k ut ( xm tn ) = [ u( xm tn + ) u( xm tn )] utt ( xm tn) + k! Απαλείφουμε τον όρο utt ( xm t n) και του όρους ανώτερης τάξης και έχουμε: ut ( xm tn ) ; [ u( xm tn + ) u( xm tn )] () k Χρηιμοποιώντας τις προεγγίεις () και () για την εξίωη της θερμότητας έχουμε: n+ n n n n ut = uxx Ϋ ( um um ) = ( u m+ um + um ) ή k h n+ n k ( n n n u ) m = um + u m+ um + um h Για r = k / h έχουμε το χήμα: n + u n ( ) n n m = rum+ + r um + rum Αυτό είναι ένα απλό άμεο χήμα (forward difference scheme) για την εξίωη της θερμότητας Για το υγκεκριμένο πρόβλημα της εξίωης της θερμότητας έχουμε ότι: n n u = u( x ) u = u( t ) u = u( t ) είναι γνωτά εάν θεωρήουμε Dirichlet m m n M n n υνοριακές υνθήκες Για τον υπολογιμό των u m ακολουθούμε μια εγκάρια κίνηη ε κάθε χρονικό επίπεδο Δηλαδή οι τιμές για n = υπολογίζονται ως εξής: u = r u + ( r) u + r u για m = M m m + m m 4

44 Επαναλαμβάνουμε το ίδιο για το επόμενο χρονικό βήμα για m = M u = r u + ( r) u + r u m m + m m um = r um + + ( r) um + r um κτλ Εάν r = k / h >5 το χήμα δεν υγκλίνει Έχουμε ύγκλιη για r = k / h 5 γι αυτό το απλό άμεο χήμα [6] Για να διερευνήουμε τη ύγκλιη του χήματος ταθεροποιούμε τον χρόνο t έτω t = T και αλλάζουμε τα h και k έτι ώτε το r = k / h να είναι ταθερό Διερευνούμε το αριθμητικό φάλμα το t = T (θέτουμε N τέτοιο ώτε kn = T ) Εάν αυτό τείνει το μηδέν για h k r : ταθερό λέμε ότι το χήμα υγκλίνει για αυτή την τιμή του r Επιτρέφοντας την αριθμητική επίλυη του μοντέλου εφαρμόζουμε τη μέθοδο Euler τις τρεις υνήθεις διαφορικές εξιώεις και προκύπτει ότι: i + i i i i = + [ j + j + j5 + j6 j7 ( j j4)( /( q + )) ] (5) i + i i i i = + [( a a a)( /( q + )) a4] (5) i + i i i i i = + [ b ( /( q + )) ( b + b ) ] (5) Χρηιμοποιώντας την άμεη μέθοδο που αναπτύξαμε για την εξίωη της t θερμότητας με χρονικό βήμα t και χωρικό βήμα z έτι ώτε = r οι z εξιώεις (44) και (45) γίνονται: Για τα Θερμά Ύδατα: Όων αφορά τις υνοριακές υνθήκες οι οποίες το μοντέλο μας είναι Robin χρηιμοποιούμε την ακόλουθη θεώρηη Για παράδειγμα για την εξίωη των Θερμών Υδάτων το ζ = παίρνουμε το ημείο xm + = xm + dx το οποίο ονομάζουμε ψευδοημείο γιατί είναι εκτός του χωρίου μας Προεγγίζουμε την παράγωγο ως εξής: i i sm + sm i i = w4 w sm w5 οπότε παίρνουμε τη χέη: z s i s i z( w i = + w s i w ) (54) M + M 4 M 5 i Kατόπιν έχουμε ότι η εξίωη για το ημείο s M είναι η ακόλουθη: i i t i i i t i i sm = sm + w [ sm sm + sm + ] w ( sm + sm ) (55) z dz 44

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μελέτη εντατικοπαραµορφωιακής κατάταης ρηγµατωµένων τερεών ωµάτων µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων» ΤΣΟΥΤΣΟΥΒΑ ΜΑΡΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια.

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια. Μια ακόμη πιο δύκολη υνέχεια. Μόνο για καθηγητές. Σαν υνέχεια της ανάρτηης «Μια...δύκολη περίπτωη, αν φύλλο εργαίας.» ας δούμε μερικά ακόμη ερωτήματα, αφήνοντας όμως έξω τους μαθητές-υποψήφιους. Ένα ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

Νόµος των Wiedemann-Franz

Νόµος των Wiedemann-Franz Άκηη 7 Νόµος των Wiedemann-Franz 7.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η µέτρηη της ταθεράς Lorentz ε δύο διαφορετικά µέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ηµαντικά. Η ταθερά του Lorentz µετράται µέω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ Μέρος» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 6-7 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ, Αναπλ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη . Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής»

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «Αηεπίδραη Εδάφους Κατακευής» 8ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Διάνοιξη και προωρινή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes ΚΕΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιμάτν ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο τν Blk nd hol 6.. Το Μοντέλο τν Blk hol ή Blk hol Mon Έτ μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [0 ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάκοντα με λύεις προβλημάτων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής epapamic@civil.auth.gr Euripides apamichos Digitally signed y Euripides apamichos DN: c=gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

G G. = - +kr. 4 as. σ α s. Για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις ισχύει: 2. Η μορφή του δυναμικού μεταξύ δύο κουάρκ που χρησιμοποιείται συνηθέστερα είναι:

G G. = - +kr. 4 as. σ α s. Για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις ισχύει: 2. Η μορφή του δυναμικού μεταξύ δύο κουάρκ που χρησιμοποιείται συνηθέστερα είναι: Για τις ιχυρές αλληλεπιδράεις ιχύει: s gs 00 s = π Η μορφή του δυναμικού μεταξύ δύο κουάρκ που χρηιμοποιείται υνηθέτερα είναι: s V s = - kr r e - e Πειραματική μαρτυρία και για τους δύο όρους. Εγκλωβιμός

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 43 / ΕΚΠ 66 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Χρονικά Πιθανοτικά Μοντέλα Temporal Probabilistic Models Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιτών Πολυτεχνείο Κρήτης ΕΚΠ 43/66 Αυτόνοµοι Πράκτορες

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 5 η 6 η. Υποδειγµα Ιορροπίας τις Κεφαλαιαγορές Υπόδειγµα Αποτίµηης Περιουιακών Στοιχείων Γραµµή Αξιογράφων Συντελετής βήτα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής Στοχατική Προοµοίωη ιδιάτατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηη της Εµµονής Παρουίαη ιπλωµατικής Εργαίας 22/07/2004 Νίκος Θεοδωράτος Επιβλέπων:. Κουτογιάννης, Αν. Καθηγητής Εθνικό Μετόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Κεφάλαιο 1 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ο προδιοριμός του φυικού εντατικού πεδίου έχει α κοπό να δώει αφενός μεν τη βαική γνώη για το πεδίο των τάεων, αφετέρου δε τη υγκεκριμένη γνώη των υνοριακών υνθηκών που

Διαβάστε περισσότερα

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var (

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var ( Στο γραμμικό υπόδειγμα y = β + u, =,,, ο εκτιμητής LS είναι = β = = y Οι βαικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: E ( β ) = β, αμεροληψία, Var ( β ) = = Αν έχουμε =, τότε y = β =, ο δειγματικός μέος του y

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙΡΟΥ ΚΑΙ ΑΕΡΙΑΣ ΡΥΠΑΝΣΗΣ Σπύρος Ανδρονόπουλος Εργατήριο Περιβαλλοντικών Ερευνών Ιντιτούτο Πυρηνικής Τεχνολογίας και Ακτινοπροταίας ΕΚΕΦΕ «ηµόκριτος» sandron@ipta.demokritos.gr

Διαβάστε περισσότερα

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t ΛΥΣΕΙΣ. Οι ακήεις από το βιβλίο των Mrsden - Tromb.. 3.)e) Είναι t) sin t + t os t, os t t sin t, 3) οπότε t) sin t + t os t) + os t t sin t) + 3 t + 4 και το μήκος είναι ίο με t t) dt t + 4 dt t + 4 +

Διαβάστε περισσότερα

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων Συμμετρία πολυατομικών μορίων Τι μας χρειάζεται; Προβλέπει τη φαματοκοπία και τη υμπεριφορά ατόμων και μορίων Πράξεις Συμμετρίας: κινήεις του μορίου κατά τις οποίες η

Διαβάστε περισσότερα