Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από το συγγραφέα

Transcript

1

2 Κάθε γνήσιο ντίτυπο υπογράφετι πό το συγγρφέ ISBN Copright, Απρίλιος 0, Ο.-Θ. Ντίνης, Eκδόσεις Zήτη Tο πρόν έργο πνευμτικής ιδιοκτησίς προσττεύετι κτά τις διτάξεις του ελληνικού νόμου (N./993 όπως έχει τροποποιηθεί κι ισχύει σήμερ) κι τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευμτικής ιδιοκτησίς. Aπγορεύετι πολύτως η άνευ γρπτής άδεις του εκδότη κτά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο ντιγρφή, φωτοντύπωση κι εν γένει νπργωγή, εκμίσθωση ή δνεισμός, μετάφρση, δισκευή, νμετάδοση στο κοινό σε οποιδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχνική ή άλλη) κι η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσί Eκτύπωση Βιβλιοδεσί Π. ZHTH & Σι OE 8 ο χλμ Θεσσλονίκης - Περίς T.Θ. 47 Περί Θεσσλονίκης T.K Tηλ.: Fax: info@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσλονίκη Tηλ.: Fax sales@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIO ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχει 4 7, Aθήν Tηλ.-Fax: athina@ziti.gr ΗΛΕΚΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Εισγωγή Στην νώτερη γεωδισί όπου όλες οι μετρήσεις πργμτοποιούντι με τη χρήση ηλεκτρομγνητικών κυμάτων λμβάνοντι υπόψη η έντση της βρύτητς, η διεύθυνση της βρύτητς, δηλδή οι επιδράσεις του γήινου πεδίου βρύτητς, λλά κι η τμόσφιρ κυρίως όσον φορά τη μετβολή της θερμοκρσίς κι τον βθμό ιονισμού της με ποτέλεσμ κάθε ηλεκτρομγνητική κτινοβολί μέσ στην τμόσφιρ ν ποκλίνει πό την ευθύγρμμη διάδοση κι ν κθυστερεί. Οι οπογράφοι Μηχνικοί όμως στο πολύ μεγάλο φάσμ των εφρμογών, επιστημονικών ερευνών κι άλλων εργσιών με τις οποίες σχολούντι στο τοπογρφικό πεδίο έχουν βσική επιδίωξη την εύρεση των σχετικών γνώστων πρμέτρων με τη μέγιστη δυντή κρίβει. Γι την επίτευξη υτού του στόχου τόσο γι μετρήσεις που φορούν έν συγκεκριμένο είδος πρτήρησης π.χ. γωνί, πόστση, υψομετρική διφορά όσο κι γι σύνθετες πρτηρήσεις που γίνοντι στο πλίσιο δικτύων γι την ποτύπωση μις περιοχής νπτύχθηκν οι μέθοδοι συνόρθωσης ώστε ν κλύπτουν τις διάφορες περιπτώσεις οι οποίες είνι δυντό ν προυσιστούν πρκτικά. Στο βιβλίο υτό νλύοντι σε τρί κεφάλι όλ τ πρπάνω στοιχεί κτά τρόπο ώστε μετά τ θεωρητικά θέμτ που είνι στην ρχή ν υπάρχουν πολλές λυμένες σκήσεις γι κλύτερη κτνόηση των εννοιών κι σκήσεις προς λύση γι ν δοκιμάσει ο νγνώστης μόνος του ν εφρμόσει όλ όσ διάβσε. Έτσι στο πρώτο κεφάλιο γίνετι νφορά στην έννοι της συνόρθωσης, στις μεθόδους της, στους πίνκες στις εξισώσεις κι στους λγόριθμους εφρμογής της κάθε μεθόδου, στην σττιστική ξιολόγηση των ποτελεσμάτων, στη συνόρθωση οριζόντιων χωροστθμικών δικτύων κι στους μετσχημτισμούς (ομοιότητς φινικό). Στο δεύτερο κεφάλιο που σχολείτι με την σττιστική επεξεργσί των τοπογρφικών πρτηρήσεων εξετάζοντι οι τυχίες μετβλητές (δικριτές κι συνεχείς), η εκτίμηση των πρμέτρων, ο νόμος μετάδοσης των σφλμάτων (συμμετβλητοτήτων) ο οποίος έχει τον πιο σημντικό ρόλο σε πάρ πολλές περιπτώσεις κι τ διστήμτ εμπιστοσύνης έλεγχοι κρίβεις στοιχεί πάρ πολύ χρήσιμ σε πρκτικές εφρμογές. Πρτίθεντι επίσης κι οι πίνκες κτνομών γι τη λήψη στοιχείων που μπορούν ν χρησιμοποιηθούν κι γι σκήσεις πέρν υτού του βιβλίου. Στο τρίτο κεφάλιο όπου νπτύσσοντι τ τοπογρφικά δίκτυ προυσιάζοντι τ είδη τους, η κρίβει τους, ο πρμετρικός βθμός, η δυνμί βθμού, η

4 4 Εισγωγή ξιοπιστί τους, οι συνορθώσεις των οριζόντιων χωροστθμικών δικτύων κι ο σχεδισμός τους. Στο τέλος υπάρχει έν πράρτημ με μθημτικές σχέσεις (πράγωγοι, πίνκες, εξισώσεις, τυτότητες κ..) όπου είνι συγκεντρωμένοι ρκετοί τύποι που θ βοηθήσουν στις συγκεκριμένες σκήσεις λλά κι γενικότερ. Ελπίζω ότι με τον τρόπο που έχει γρφεί το βιβλίο θ ποτελέσει έν χρήσιμο εργλείο γι τους φοιτητές σπουδστές οι οποίοι σχολούντι με το ντικείμενο υτό γι ν το κτνοήσουν κλύτερ τόσο θεωρητικά όσο κι πρκτικά ποσφηνίζοντς τ περισσότερ δυντόν θέμτ. Θεσσλονίκη, Απρίλιος 0

5 Περιεχόμεν Κεφάλιο Συνόρθωση. ο πρόβλημ της συνόρθωσης... 9 ) Η έννοι της συνόρθωσης... 9 β) Μέθοδοι συνόρθωσης... 0 γ) Επιλογή μεθόδου συνόρθωσης... δ) Εξισώσεις μεθόδων συνόρθωσης... ε) Πίνκες μεθόδων... στ) Αλγόριθμοι μεθόδων... 5 ζ) Σύγκριση μεθόδων Σττιστική ξιολόγηση ποτελεσμάτων συνόρθωσης Εξισώσεις με δεσμεύσεις Συνόρθωση οριζόντιου δικτύου....5 Χωροστθμικό δίκτυο....6 Μετσχημτισμοί... 4 ) Ομοιότητς... 4 β) Αφινικός... 4 Ασκήσεις λυμένες... 5 Ασκήσεις γι λύση Κεφάλιο Σττιστική επεξεργσί τοπογρφικών πρτηρήσεων. Γενικά Εκτίμηση πρμέτρων υχίες μετβλητές Νόμος μετάδοσης σφλμάτων Διστήμτ εμπιστοσύνης Έλεγχοι κρίβεις Ασκήσεις λυμένες Ασκήσεις γι λύση... 77

6 6 Περιεχόμεν Πράρτημ ου κεφλίου: Πίνκες... 8 Κεφάλιο 3 οπογρφικά δίκτυ 3. Κτηγορίες δικτύων Πρμετρικός βθμός Αδυνμί βθμού δικτύου Βθμοί ελευθερίς Ακρίβει δικτύων Δεσμεύσεις Ποιότητ Αξιοπιστί δικτύου, είδη ξιοπιστίς Ανλλοίωτες ποσότητες δικτύων Συνόρθωση στθμού Συνόρθωση οριζόντιων δικτύων Συνόρθωση κτκόρυφων δικτύων Σχεδισμός δικτύων Βέλτιστο δίκτυο Αιτίες που προκλούν μεγάλες τιμές των συνορθωμένων σφλμάτων των πρτηρήσεων κτά τη συνόρθωση του δικτύου A-posteriori μετβλητότητ νφοράς σ Πίνκς συμμετβλητοτήτων των συνορθωμένων συντετγμένων Μετβλητότητ συνωμένης πόστσης, συνορθωμένου ζιμουθίου, σχετική γρμμική κρίβει Βθμός ελέγχου της κάθε πρτήρησης... Ασκήσεις λυμένες... 4 Ασκήσεις γι λύση Πράρτημ υπολόγιο Νόμοι γεωμετρίς ριγωνομετρικές σχέσεις Μερικές πράγωγοι Χρήσιμες εξισώσεις Περιπτώσεις δεσμεύσεων... 97

7 Περιεχόμεν 7 6 Βέλτιστες εξισώσεις Βσικές τυτότητες Βσικοί ριθμοί ημιτόνων συνημιτόνων Πράγωγοι Σύνθετες πράγωγοι Αντίστροφοι πίνκες Βιβλιογρφί Ευρετήριο όρων

8 Κεφάλιο : Συνόρθωση 9 Συνόρθωση Ντίνης Ορέστης - Θωμάς. ο πρόβλημ της συνόρθωσης ) Η έννοι της συνόρθωσης Η λογική που κολουθείτι στην οπογρφί είνι των διδοχικών προσεγγίσεων πό το γενικότερο προς το ειδικότερο. Γι ν φτάσουμε όμως στην ποτύπωση των σημείων λεπτομερειών πρέπει πρώτ ν προηγηθούν οι τριγωνισμοί διφόρων τάξεων κι η πολυγωνομετρί όπως κι οι ντίστοιχες εργσίες χωροστάθμησης. Η ποτύπωση ξεκινά πό τη δημιουργί ενός οριζόντιου κι ενός χωροστθμικού δικτύου που συνήθως λλά όχι νγκστικά συνδέοντι με πρόμοι δίκτυ νώτερης τάξης τ οποί προϋπάρχουν στην περιοχή. Επομένως: Σκοπός ποτύπωσης: προσδιορισμός σχήμτος κι μεγέθους δικτύου (νλόγως των πρτηρήσεων), Είδη δικτύων: νεξάρτητ (δε συνδέοντι με προϋπάρχοντ δίκτυ στην περιοχή) εξρτημέν ή εντγμέν (συνδέοντι με προϋπάρχοντ δίκτυ στην περιοχή) Ως άγνωστες πράμετροι στη συνόρθωση επιλέγοντι οι συντετγμένες κθώς είνι πολύ εύκολο πό υτές ν υπολογισθούν με τη βοήθει πλών σχετικά σχέσεων της Ανλυτικής Γεωμετρίς κι της ριγωνομετρίς όλ τ υπόλοιπ γεωμετρικά στοιχεί του δικτύου (γωνίες κι πλευρές). προβλήμτ που δημιουργούντι πό τη χρήση των συντετγμένων είνι τ εξής: i) Επιλογή των συντετγμένων σν εργλείο γι την περιγρφή της γεωμετρικής μορφής του δικτύου. ii) Δεν είνι δυντόν ν προκύψουν οι πργμτικές τιμές των μεγεθών τ οποί μετράμε, εξιτίς των νπόφευκτων σφλμάτων των μετρήσεων. Έτσι κι οι

9 0 Συνοπτική Θεωρί υπολογισμένες συντετγμένες θ είνι επηρεσμένες πό τ σφάλμτ των μετρήσεων. ο πρώτο πρόβλημ ξεπερνιέτι είτε εισάγοντς «έν υθίρετο σύστημ - νφοράς» (νεξάρτητ δίκτυ), είτε συμπεριλμβάνοντς στ δίκτυ σημεί που νήκουν σε προϋπάρχον δίκτυο κι έχουν γνωστές (υπολογισμένες) συντετγμένες. ο δεύτερο πρόβλημ γι ν ντιμετωπιστεί πρέπει: Ν νζητηθεί εκείνος ο συνδυσμός μετρήσεων τόσων όσες κι οι άγνωστες συντετγμένες με τη μεγλύτερη δυντή κρίβει, κάτι το οποίο συνήθως στην πράξη δε γίνετι. Ν γίνουν περισσότερες πό m μετρήσεις, όπου m είνι ο ριθμός των γνώστων. Ο ριθμός f = n m ονομάζετι βθμός ελευθερίς. ο πρόβλημ της επιλογής του ποιες κι πόσες πό τις δυντές μετρήσεις πρέπει ν γίνουν ώστε ν ικνοποιηθούν οι πιτήσεις κρίβεις των συντετγμένων είνι έν πρόβλημ βελτιστοποίησης. Πρέπει ν επιλεγεί η βέλτιστη μέθοδος υπολογισμού, εκείνη δηλδή που οδηγεί στις λιγότερο επηρεσμένες πό τ σφάλμτ των μετρήσεων συντετγμένες. Αυτό γίνετι με τη συνόρθωση των πρτηρήσεων. Δεν υπάρχει μί μέθοδος συνόρθωσης επειδή δεν υπάρχει ένς μονδικός τρόπος κθορισμός του τι κριβώς είνι βέλτιστη μέθοδος. β) Μέθοδοι συνόρθωσης ο πρόβλημ συνόρθωσης των πρτηρήσεων προκύπτει ότν έχουμε περισσότερες πρτηρήσεις πό τον ριθμό των γνώστων. Δηλδή: n > m, όπου n είνι ο ριθμός των πρτηρήσεων κι m είνι ο ριθμός των γνώστων. Ανλόγως του ριθμού m των γνώστων στο πρόβλημ κι της γενικής μορφής των εξισώσεων που συνδέουν τις πρτηρούμενες πρμέτρους n με τις άγνωστες πρμέτρους x m έχουμε τις πρκάτω μεθόδους συνόρθωσης: Εξισώσεις πρτηρήσεων Εξισώσεις συνθηκών Μικτές εξισώσεις Εξισώσεις πρτηρήσεων με k δεσμεύσεις Μικτές εξισώσεις με k δεσμεύσεις Σκοπός της συνόρθωσης είνι ο προσδιορισμός της βέλτιστης γρμμικής νεπηρέστης εκτίμησης οισδήποτε πρμέτρου q= q( ) του φυσικού συστήμ- τος.

10 Κεφάλιο : Συνόρθωση γ) Επιλογή μεθόδου συνόρθωσης Η μέθοδος συνόρθωσης που θ χρησιμοποιηθεί εξρτάτι ρχικά πό την ύ- πρξη ή μη γνώστων πρμέτρων x m. Αν δεν υπάρχουν επιλέγετι η μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών. Αν υπάρχουν άγνωστες πράμετροι x m εξετάζουμε ν είνι δυντό ν γρφούν οι πρτηρούμενες πράμετροι συνρτήσει των x, δηλ. = ( f x ). Αν υτό γίνετι επιλέγετι η μέθοδος των εξισώσεων πρτηρήσεων. έλος ν είνι πεπλεγμένη η σχέση τους κι δεν είνι δυντόν ο διχωρισμός τους σε δυο μέρη εκλέγετι η μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών. δ) Εξισώσεις μεθόδων συνόρθωσης ο πλήθος των εξισώσεων σε κάθε μέθοδο δίνετι πό τη σχέση: s= n+ m-r, όπου n είνι οι πρτηρήσεις, m οι άγνωστοι κι r ο πρμετρικός βθμός. Οι βθμοί ελευθερίς f σε έν πρόβλημ συνόρθωσης είνι: f = n-m Γι τις εξισώσεις πρτηρήσεων, συνθηκών κι τις μικτές εξισώσεις ισχύει ότι: Εξισώσεις Πρτηρήσεων =, = m r s n ( ) Εξισώσεις συνθηκών Γενική μορφή (μη γρμμικές εξισώσεις) = f x = Ax+ v Γρμμικές εξισώσεις Γενική μορφή (μη γρμμικές εξισώσεις) Γρμμικές εξισώσεις m= 0, s= n r g( ) = 0 Bv = w Μικτές εξισώσεις Γενική μορφή (μη γρμμικές εξισώσεις) Γρμμικές εξισώσεις 0< m r F(, x ) = 0 Ax Bv+ w = 0 n- r< s n Πρτήρηση : Στις εξισώσεις πρτηρήσεων κι στις μικτές εξισώσεις οι άγνωστες πράμετροι x είνι νεξάρτητες μετξύ τους. Πρτήρηση : Πρμετρικός βθμός r είνι ο ριθμός των ελάχιστων πιτούμενων πρτηρήσεων προκειμένου ν επιτύχουμε το ζητούμενο, π.χ. ότν μετράμε μόνο γωνίες ισχύει: r = κθώς με γωνίες βρίσκετι μόνο το σχήμ κι γι τον προσδιορισμό υτού ρκούν μετρήσεις γωνιών. Αντιστοίχως ότν μετρώντι γωνίες κι ποστάσεις είνι r = 3 κθώς με ποστάσεις κι γωνίες

11 Συνοπτική Θεωρί προσδιορίζετι σχήμ κι μέγεθος των οποίων η εύρεση επιτυγχάνετι με τη μέτρηση συνολικά 3 μεγεθών τους (με διάφορους συνδυσμούς). ε) Πίνκες μεθόδων Μέθοδος εξισώσεων πρτηρήσεων = m X X x X, όπου x είνι οι άγνωστες πράμετροι = n, όπου είνι οι πρτηρούμενες πράμετροι = n, όπου είνι οι μετρήσεις = n f f f f, όπου f είνι οι εξισώσεις των πρτηρήσεων m m n n nm Α =, όπου Α είνι ο πίνκς σχεδισμού κι ισούτι με τις μερικές πργώγους των πρτηρούμενων πρμέτρων προς τις άγνωστες πρμέτρους, δηλδή ισχύει: ( ) Α x x = - - = = - m m m x x δx δx x x x δx x x, όπου x είνι οι άγνωστες διορθώσεις των προσεγγιστικών τιμών των γνώστων πρμέτρων

12 Κεφάλιο : Συνόρθωση 3 Μέθοδος εξισώσεων συνθηκών = n, όπου είνι οι πρτηρούμενες πράμετροι = n, όπου είνι οι μετρήσεις = f g g g g, όπου g είνι οι εξισώσεις συνθηκών n n f f fn Β =, όπου Β είνι ο πίνκς των μερικών πργώγων των εξισώσεων συνθηκών ως προς τις πρτηρήσεις κι ισχύει: ( ) = g Β = f w w w w, όπου w είνι τ σφάλμτ κλεισίμτος κι ισχύει: = i i i in n w v v v Μέθοδος μικτών εξισώσεων = m X X x X, όπου x είνι οι άγνωστες πράμετροι = n, όπου είνι οι πρτηρούμενες πράμετροι

13 4 Συνοπτική Θεωρί =, όπου n είνι οι μετρήσεις v v v =, όπου v είνι τ σφάλμτ vn u u u =, όπου u είνι οι μικτές εξισώσεις us m m Α=, n n nm όπου Α είνι ο πίνκς σχεδισμού κι ισούτι με: (, ) u Α= x x δx x - x δx x - x x = =, δxm - xm xm w w w=, ws n n Β =, s s sn όπου x είνι οι άγνωστες διορθώσεις των προσεγγιστικών τιμών των γνώστων πρμέτρων όπου w είνι τ σφάλμτ κλεισίμτος κι ισχύει: (,,,,,,, ) w = u x x x i i n m όπου Β είνι ο πίνκς των μερικών πργώγων των μικτών εξισώσεων ως προς τις πρτηρήσεις κι τις άγνωστες πρμέτρους κι ισχύει: (, ) u Β= x.

14 Κεφάλιο : Συνόρθωση 5 στ) Αλγόριθμοι μεθόδων Μέθοδος εξισώσεων πρτηρήσεων C = σ Q v ο P = I γι συσχέτιστες κι ισοβρείς μετρήσεις P= σο Cv = σο Q fi P= Q, ότν σ ο άγνωστη σ - - v ο P= C = σ Q, ότν ο σ ο γνωστή Ν = Α P Α, u= Α P, x = x + x ο,, v= -Α x = Α x = + = - v Μέθοδος εξισώσεων συνθηκών P = I γι συσχέτιστες κι ισοβρείς μετρήσεις - - v ο P= C = σ Q, ότν ο σ ο γνωστή - ο σο P= σ Qfi P= Q - Μ = Β P Β, v, ότν σ ο άγνωστη - Μk = wfi k= Μ w, , v Cv = σο Q Q = P Β Μ Β P Q = P -Q Ότν C γνωστός ( ) v - fi = v - v= P Β k P C οπότε: C = Q κι v v C = Q Ότν C v άγνωστος (Q: γνωστός, v P v σ = f κι Μέθοδος μικτών εξισώσεων σ ο άγνωστη) C σ Q C σ Q v = v, = P = I γι συσχέτιστες κι ισοβρείς μετρήσεις - - v ο - ο σο P= C = σ Q, ότν P= σ Qfi P= Q -, ότν - σ ο γνωστή σ ο άγνωστη - fi P= Q οπότε: Μ = Β P Β, Ν= Α Μ Α, u = Α Μ w - x =-Ν u, ο = v= P Β Μ w+ Α x, = -v x x x, ( ) -

15 6 Συνοπτική Θεωρί - x = = x - ( v = ) = - v, =- x x Q Q Ν Q P Β Μ Μ Α Ν Α Μ Β P Q P Q Q Q Α Μ Β P Ότν C v γνωστός: C = Q = C = Q x x x x - P= C v οπότε: C = Q, C = Q, C = Q v v x x ο Ότν C v άγνωστος ( Cv = σ Q με γνωστό Q κι άγνωστο ισχύει: v P v σ =. Άρ: C x = σ Qx= C = σ Q = σ Q f x x x C σ Q C σ Q C σ Q. v = v, =, = x x σ ο ): - P= Q κι ζ) Σύγκριση μεθόδων συνόρθωσης Από τη σύγκριση των μεθόδων συνόρθωσης των οποίων οι πίνκες κι οι λγόριθμοι γράφηκν νλυτικά πρπάνω κτλήγουμε στ εξής συμπεράσμτ: Στη μέθοδο εξισώσεων πρτηρήσεων το πρώτο το οποίο υπολογίζετι είνι οι εκτιμήσεις των γνώστων πρμέτρων:, = +, = -, xx x x v Αx = -v ο Έτσι προσδιορίζοντι κτευθείν οι άγνωστες συντετγμένες. Στη μέθοδο εξισώσεων συνθηκών υπολογίζοντι πρώτ οι εκτιμήσεις των σφλμάτων κι μετά οι συνορθωμένες πρτηρήσεις: v, = -v. Ότν έχουμε συνορθώσει λοιπόν τις πρτηρήσεις (γωνίες, ποστάσεις) είνι δυντόν ν υπολογιστούν οι συντετγμένες των γνώστων σημείων (π.χ., 3, 4, κ..) ως εξής: x = x + S sin( G + ω ) = + S cos G + ω, (*) ( ) g όπου: G = GΑ + ω Γι ν βρούμε όμως τις κρίβειες των συντετγμένων εφρμόζουμε νόμο μετάδοσης συμμετβλητοτήτων (σφλμάτων) στη σχέση (*) πρπάνω, όπου προφνώς πρέπει ν έχει υπολογιστεί ο πίνκς C. Από όλ υτά πρτηρούμε ότι προς

16 Κεφάλιο : Συνόρθωση 7 το τέλος οι υπολογισμοί δυσκολεύουν ως προς τη μέθοδο των εξισώσεων πρτηρήσεων. Συνοψίζοντς η μέθοδος των εξισώσεων πρτηρήσεων (Μ.Ε.Π.) πλεονεκτεί ως προς τη μέθοδο των εξισώσεων συνθηκών (Μ.Ε.Σ.) γιτί είνι γνωστό εξ ρχής το μθημτικό μοντέλο. Από τις εξισώσεις πρτηρήσεων είνι δυντό ν οδηγηθούμε στις εξισώσεις συνθηκών ως εξής: ( ) = 0 f ( x ) g Ô Μη γρμμική μορφή πρτηρήσεων στη Μ.Ε.Σ.: fi g( f ( x )) = 0 = Ô g Ο πίνκς Β ορίζετι ως εξής: Β =. Ο πίνκς Α ορίζετι στη Μ.Ε.Π. ως εξής: Α=. x Ότν τ x, συνδέοντι γρμμικά το γινόμενο ΒΑ = 0 λλιώς ισχύει: ΒΑª 0. Από το σύστημ των εξισώσεων πρτηρήσεων = Αx+ v που ισχύει στη Μ.Ε.Π. πλείφοντς τις άγνωστες πρμέτρους κτλήγουμε στο σύστημ πρτηρήσεων των εξισώσεων συνθηκών: ΒΑ= 0 = Αx+ v fi Β = ΒΑx+ Βv ææææ Β = Βv fi w= Βv. Προτιμάτι το μθημτικό μοντέλο της μεθόδου των μικτών εξισώσεων ένντι του μθημτικού μοντέλου των εξισώσεων πρτηρήσεων διότι ντιστρέφετι πίνκς Ν μικρότερων διστάσεων στο πρώτο σε σχέση με το δεύτερο. Έν πράδειγμ στο οποίο φίνετι υτό είνι ένς κύκλος όπου άγνωστες πρά- x,, R κι λόγω της μορφής της εξίσωσης κύκλου μετροι είνι ( C C ) ( - C) + ( - C) = ρήσεις (x, ) πό τ άγνωστ (,, ) x x R βλέπουμε ότι είνι δύντο ν διχωριστούν οι πρτη- C C x R οπότε επιλέγετι ως μέθοδος συνόρθωσης η μέθοδος των μικτών εξισώσεων. Έτσι ο πίνκς Α θ είνι ένς πίνκς 3 όπου οι γρμμές θ είνι οι μικτές εξισώσεις :( C) ( C) :( ) ( ) = - C + - C = u x x R u x x R ( ) ( ) : Ν C Ν C u x - x + - = R,

17 8 Συνοπτική Θεωρί ενώ οι 3 στήλες θ είνι οι άγνωστοι (,, ) x R. C Ο πίνκς Ν που προκύπτει πό τη σχέση: Ν = Α Μ Α θ έχει διάστση 3 3. g Σημειώνετι ότι ο πίνκς Β υπολογίζετι πό τη σχέση Β = κι ο πίνκς Μ - πό: Μ = ΒP Β. Γι λυθεί το ίδιο πρόβλημ με τη Μ.Ε.Π. επιλέγετι άλλο μθημτικό μοντέλο, δηλδή ότι οι συντετγμένες των σημείων στην περιφέρει του κύκλου υπολογί- = f x : ζοντι με βάση τις πρκάτω σχέσεις που είνι της μορφής ( ) xi = xc + R cosθi = + R sinθ, i C i όπου θ i είνι η γωνί διεύθυνσης του εκάστοτε σημείου. xc C R Εδώ το διάνυσμ των γνώστων πρμέτρων x θ είνι: x = θ κι πό το θ θν οποίο κτλήγουμε στο ότι ο πίνκς Ν που πρέπει ν ντιστρφεί θ έχει διάστση (3+Ν) (3+Ν) οπότε προφνώς επιλέγετι η μέθοδος των μικτών εξισώσεων. Προτιμάτι το μθημτικό μοντέλο της μεθόδου των μικτών εξισώσεων ένντι του μθημτικού μοντέλου των εξισώσεων συνθηκών γιτί η ντιστροφή του πίνκ Μ είνι πιο δύσκολη εργσί πό την ντιστροφή του πίνκ Ν (3 3). Αυτό γίνετι πιο εύκολ κτνοητό ν στο πρπάνω πράδειγμ με τον κύκλο πό 3 μικτές εξισώσεις λύσουμε ως προς τις άγνωστες πρμέτρους ( xc, C, R ) κι τις ντικτστήσουμε στις υπόλοιπες οπότε πό Ν μικτές εξισώσεις πηγίνουμε σε Ν 3 εξισώσεις συνθηκών. Συνεπώς πρέπει ν ντιστρφεί πίνκς Μ ( 3 Ν 3) στις εξισώσεις συνθηκών που είνι σφώς δυσκολότερη εργσί πό την ντιστροφή του πίνκ Ν (3 3) στις μικτές εξισώσεις. C -

18 Κεφάλιο : Συνόρθωση 5 Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση. δ) Εξισώσεις μεθόδων συνόρθωσης, ε) Πίνκες μεθόδων συνόρθωσης 3. Πρμετρικός βθμός, δυνμί βθμού βθμοί ελευθερίς Α Στο διπλνό σχήμ μετρήθηκν οι γωνίες (Α, Β, Γ) κι οι πλευρές (, β, γ). Ν βρεθούν μετά πό συνόρθωση με τη μέθοδο εξισώσεων των πρτηρήσεων οι πλευρές (β, γ, ). Β γ β Γ ΛΥΣΗ Αφού μετρήθηκν γωνίες κι πλευρές μπορεί ν οριστεί το σχήμ κι το μέγεθος του τριγώνου οπότε ο πρμετρικός βθμός r είνι 3. Δηλ. 3 πλευρές ή 3 γωνίες ή γωνίες κι πλευρά ή πλευρές κι μί γωνί. Έτσι σε υτήν την περίπτωση ισχύει: m = r, όπου m είνι ο ριθμός των γνώστων. Άρ: s= n+ m-r fi s= n. Ν σημειωθεί ότι ο πρπάνω τύπος είνι ο γενικός τύπος εύρεσης εξισώσεων σε κάθε μέθοδο (εξισώσεων πρτηρήσεων, μικτών εξισώσεων, εξισώσεων συνθηκών). Άλλος τρόπος γρφής είνι: s= ( n- r) + m= f + m, όπου n είνι οι πρτηρήσεις κι f οι βθμοί ελευθερίς. Οι βθμοί ελευθερίς εκφράζουν πόσες μετρήσεις είνι πρπάνω πό τις ελάχιστες που πιτούντι. Οι εξισώσεις πρτηρήσεων έχουν τη μορφή: = f ( x ), προκύπτουν πό το νόμο των συνημιτόνων κι είνι: Ê β + γ - Α= arccosá Ë βγ

19 6 Λυμένες Ασκήσεις Ê + γ -β Β = arccosá Ë γ Ê + β -γ Γ = arccosá Ë β = β= β γ= γ Οι πίνκες της μεθόδου είνι: Α Β Γ =, β γ Α Β Γ =, β γ x β = γ είνι το διάνυσμ των άγνω- Σημειώνετι ότι όπως είνι γνωστό πό θεωρί στων πρτηρούμενων πρμέτρων, είνι το διάνυσμ των πρτηρήσεων κι x το διάνυσμ των γνώστων. Μετά συνεχίζετι κνονικά ο λγόριθμος της μεθόδου εξισώσεων πρτηρήσεων (βλέπε πράγρφο. στ). Άσκηση.4 Συνόρθωση οριζόντιο δικτύου 3.4 Δεσμεύσεις Σε έν δίκτυο που ποτελείτι πό 4 σημεί έγινν 8 πρτηρήσεις διευθύνσεων, 4 πρτηρήσεις γωνιών κι 5 πρτηρήσεις ποστάσεων. ι επισημάνσεις μπορείτε ν κάνετε γι τη συνόρθωσή του; ΛΥΣΗ Αρχικά δημιουργείτι ο πίνκς σχεδισμού Α γι την εύρεση των μερικών υπολογιζόμενων πργώγων. Στ στοιχεί που υπολογίζοντι, δηλδή προσδιορίζοντι μετά πό πράξεις, τοποθετείτι στερίσκος (*) ενώ στ υπόλοιπ στοιχεί, δηλδή που δεν υπολογίζοντι, τίποτ. Δε πρέπει ν μς διφεύγει ότι: δ= -θ Έτσι ισχύει:

20 Κεφάλιο : Συνόρθωση 7 Α= δ δ δ δ δ δ δ δ ω ω ω ω S S S S S x x x3 3 x4 4 θ θ θ3 θ 4 * * * * - * * * * - * * * * - * * * * - * * * * - * * * * - * * * * - * * * * - * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Οι επισημάνσεις που μπορούν ν γίνουν σε υτό το σημείο γι την περίπτωση μετρήσεων σε δίκτυο είνι οι εξής: Σημείωση : Στ δίκτυ διτηρούντι οι συντετγμένες κάποιων σημείων στθερές, δηλδή εισάγοντι ελάχιστες δεσμεύσεις. Σε κάθε σειρά διευθύνσεων (π.χ. δ, δ3, δ4, δ, δ3, δ4, δ 43) υπάρχει άλλη στθερά προσντολισμού θ οπότε σε υτή τη στθερά το στοιχείο του πίνκ σχεδισμού είνι. Σημείωση : Γι ν είνι δυντή η ντιστροφή του πίνκ Ν θ πρέπει ο πίνκς Α ν είνι πλήρης βθμού, δηλ. ν έχει ορίζουσ π 0. Στη συγκεκριμένη άσκηση το μοντέλο είνι μη πλήρους βθμού κθώς ο πίνκς Α έχει μικρότερο πρμετρικό βθμό r πό τον ριθμό των πρτηρήσεων. Σημείωση 3: προβλήμτ που προκύπτουν σε μοντέλ μη πλήρους βθμού ντιμετωπίζοντι με την εισγωγή ελχίστων δεσμεύσεων. Δηλδή ν κρτηθούν συντετγμένες κάποιων σημείων στθερές. Ο ριθμός τους 3 ή 4 εξρτάτι πό τις μετρήσεις. Έτσι γι μικτό δίκτυο είνι 3 ενώ γι τριγωνομετρικό 4. Οπότε υπάρχουν τελικά οι εξισώσεις (πρτηρήσεων ή μικτές) κι οι δεσμεύσεις.

21 8 Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση 3. ε) Πίνκες μεθόδων συνόρθωσης στ) Αλγόριθμοι μεθόδων συνόρθωσης.5 Χωροστθμικό δίκτυο Στο χωροστθμικό δίκτυο του πρκάτω σχήμτος έγινν οι μετρήσεις: Δh, Δh3, Δh43, Δh3, Δh 4. Πρκάτω δίνοντι τ βάρη τους κι τ υψόμετρ h, h 4. ΔΗ 3 ΔΗ ΔΗ ΔΗ Ν γίνει συνόρθωση του δικτύου με τη μέθοδο των εξισώσεων πρτηρήσεων γι τον υπολογισμό των υψομέτρων h, h 3. Επίσης ν βρεθούν τ στοιχεί: v,, σ x κι C. Δh =.899 m, p = 3.5 Δh = m, p = Δh =-.830 m, p = Δh =-.734 m, p = Δh = m, p = h = 0.00 m, h = 7.0 m 4 ΛΥΣΗ Αρχικά βρίσκοντι τ προσεγγιστικά υψόμετρ των κορυφών κι 3 όπως φίνετι πρκάτω: Δh = h -h fi h = h - Δh = fi h 8.0 m Δh3 = h3 -h fi h3 = h + Δh3 = fi h m Μετά σχημτίζετι η διδικσί κνονικά με το σχημτισμό των πρίτητων πινάκων κι ισχύει: = =

22 Κεφάλιο : Συνόρθωση 9 Δh Δh 3 = Δh 43 Δh3 Δh 4, Δh Δh3 = Δh 43 = Δh3 Δh4.899 m m m, m m x h = h 3, 8.0 m x = m.899 m m m m = f ( x ) = -.84 m, = - = 0.0 m -.74 m m m m Ο πίνκς σχεδισμού Α σχημτίζετι όπως είνι γνωστό έχοντς ως στοιχεί του τις μερικές πργώγους των πρτηρημένων υψομετρικών διφορών προς τ ά- γνωστ υψόμετρ h κι h 3. Η μορφή του λοιπόν θ είνι η εξής: h h3 Δh - 0 Δh 3 0 A= Δh43 0 Δh4-0 Δh 3 - Ο πίνκς των κνονικών εξισώσεων Ν, θεωρώντς τους πίνκες Α, πό πρπάνω είνι: Α θ είνι: = 0 0, P = Ν= Α P Α fi Ν = Η ορίζουσ του πίνκ Ν είνι: Ν = 0.50 Ο ντίστροφος του πίνκ Ν είνι: Ν = fi Ν - = P κι τον Α

23 30 Λυμένες Ασκήσεις Ο πίνκς u, λμβάνοντς υπόψη τους πίνκες Α, P, όπως γράφηκν πρπάνω, προκύπτει πό τη γνωστή σχέση: 0.06 u= Α P fi u = Οι εκτιμήσεις των γνώστων πρμέτρων προκύπτουν πό τη σχέση: - x = Ν u fi h x = h 3 Οι εκτιμήσεις των σφλμάτων υπολογίζοντι πό τη σχέση: v= -Α x = -Α x fi v= -Α x Οι εκτιμήσεις των πρτηρούμενων πρμέτρων προσδιορίζοντι πό τη σχέση: = + fi = + Α x ή = ( f x ) ή = -v Η εκτίμηση της μετβλητότητς νφοράς προκύπτει πό τη σχέση: v P v v P v σ = = f n-m Η εκτίμηση του πίνκ συμμετβλητοτήτων των γνώστων πρμέτρων υπολογίζετι πό τη σχέση: ( ) - C σ Q x σ Ν σ Α P Α - x = = = fi C = σ Ν -. x Άσκηση 4. ε) Πίνκες μεθόδων συνόρθωσης στ) Αλγόριθμοι μεθόδων συνόρθωσης 3. A-posteriori μετβλητότητ νφοράς Ν βρεθεί ο πίνκς συμμετβλητοτήτων των (Χ, Υ, Ζ) συντετγμένων σημείου της γήινης επιφάνεις ως προς τις γεωδιτικές συντετγμένες (λ, φ, h) με νφορά τη γήινη σφίρ κτίνς R. ΛΥΣΗ Οι γεωδιτικές συντετγμένες, ελλειψοειδείς κι κρτεσινές, συνδέοντι μετξύ τους μέσω των σχέσεων:

24 Κεφάλιο : Συνόρθωση 3 ( ) ( ) X = Ν + h cosφ cos λ = Ν + h cosφ sin λ, Z= ( - ) + e Ν h sinφ όπου Ν είνι η κτίν κμπυλότητς της πρώτης κάθετης τομής του ΕΕΠ κι e η πρώτη εκκεντρότητ του ΕΕΠ. Γι τον υπολογισμό του πίνκ συμμετβλητοτήτων C x υπάρχει η σχέση: - C = σ Ν x Επομένως γι την εύρεση του C x πιτείτι η κόλουθη διδικσί: Σχημτισμός του πίνκ σχεδισμού Α. Υπολογισμός του πίνκ Ν πό τον τύπο: Ν= Α P Α. σ πό τη σχέ- Προσδιορισμός της εκτίμησης της μετβλητότητς νφοράς ση: v P v σ =, όπου: f - f = n- m, v= -Α x, x= Ν u, u= Α P. Μπορεί ν θεωρηθεί ότι οι πρτηρήσεις δεν περιέχουν χονδροειδή ή συστημτικά σφάλμτ οπότε: σ = σ =. Συνεπώς: C = Ν -. x ο Έτσι γι την εύρεση του πίνκ συμμετβλητοτήτων C x ρκεί ρχικά ο προσδιορισμός του πίνκ Ν κι μετά η ντιστροφή του. Στον τύπο υπολογισμού του πίνκ Ν ( Ν = Α P Α) πρτηρείτι ότι πιτείτι η γνώση του πίνκ Α κι του πίνκ βάρους P. Θεωρώντς ότι όλες οι μετρήσεις που έγινν είνι συσχέτιστες κι ισοβρείς ο πίνκς βάρους είνι ο μονδιίος: P = I. Ο πίνκς σχεδισμού Α έχει ως στοιχεί του τις μερικές πργώγους των X,, Z ως προς τις λ, φ, h (γρμμές κι στήλες ντίστοιχ). Ανλυτικά τ στοιχεί του πίνκ Α βρίσκοντι ως εξής: X = [( Ν+ h) cosφ cos λ] fi λ λ X = [( Ν+ h) cosφ cos λ] fi φ φ X =- ( Ν + h) cosφ sin λ λ X =- ( Ν + h) sinφ cos λ φ X = [( Ν+ h) cosφ cos λ] fi h h X = cosφ cos λ h

25 3 Λυμένες Ασκήσεις = [( Ν+ h) cosφ sin λ] fi λ λ = [( Ν+ h) cosφ sin λ] fi φ φ =- ( Ν + h) cosφ cos λ λ Υ =- ( Ν + h) sinφ sin λ φ = [( Ν+ h) cosφ sin λ] fi h h ( ) Z = -e Ν+ h sin φ fi λ λ = cosφ sin λ h Z = 0 λ Z ( e ) Ν h Z = - + sin φ fi ( ) φ φ Z fi ( ) = -e Ν + h cosφ φ Z =sin φ h Άρ, ο πίνκς σχεδισμού Α είνι: = - e Ν cosφ + h cos φ fi φ -( Ν + h) cosφ sin λ -( Ν+ h) sinφ cos λ cosφ cos λ Α= - ( Ν+ h) cosφ cos λ -( Ν+ h) sinφ sin λ cosφ sin λ 0 ( e ) Ν h - + cosφ sinφ Ο πίνκς Ν φού ο πίνκς σχεδισμού Α είνι 3 3, ο διάστση 3 3 με την κόλουθη μορφή: Ν Ν Ν3 Ν= Ν Ν Ν 3 Ν3 Ν3 Ν33 στοιχεί του υπολογίζοντι ως εξής: = = Ν Α Α Α Ν Α Α Α Ν = Ν = Α Α + Α Α + Α3 Α3 Ν3 = Ν3 = Α Α3 + Α Α3 + Α3 Α33 Ν3 = Ν3 = Α Α3 + Α Α3 + Α3 Α33 Έτσι: Α 3 3 θ έχει κι υτός

26 Κεφάλιο : Συνόρθωση 33 ( ) ( ) Ν = Ν+ h cos φ sin λ+ Ν+ h cos φ cos φ fi fi Ν ( ) = Ν+ h cos φ ( cos φ+ sin λ) ( ) ( ) ( ) fi = ( + ) + + ( - ) + Ν = Ν+ h sin φ cos λ+ Ν+ h sin φ sin λ+ - e Ν+ h cos φ fi Ν Ν h sin φ cos λ sin λ e Ν h cos φ fi ( ) ( ) Ν = Ν+ h sin φ+ e Ν h - + cos φ ( ) ( ) Ν = Ν = Ν+ h cosφ cos λ sinφ sin λ+ Ν+ h cosφ sinφ cos λ sin λ+ 0 fi Ν = Ν = Ν+ h cosφ sinφ cos λ sin λ fi ( ) ( ) ( ) Ν3 = Ν3 =- Ν+ h cos φ sin λ cos λ- Ν+ h cos φ sin λ cos λ fi Ν3 = Ν3 =- Ν+ h cos φ sin λ cos λ fi ( ) Ν 3 = Ν 3 = Α Α 3 + Α Α 3 + Α 3 Α 33 fi Ν = Ν = fi 3 3 ( ) ( ) ( ) fi [ ( ) ]( ) ( ) fi Ν3 Ν3 ( Ν h) sinφ cosφ ( e ) Ν h sinφ cos φ fi Ν3 = Ν3 =-sinφ cosφ ( Ν+ h) + ( -e ) Ν+ h =- Ν + h sinφ cosφ cos λ- Ν+ h sinφ cosφ sin λ+ -e Ν+ h sinφ cosφ Ν3 = Ν3 = - Ν+ h sinφ cosφ cos λ+ sin λ + -e Ν+ h sin φ fi = = fi έλος η ντιστροφή του πίνκ Ν προκύπτει πό τη πρκάτω σχέση: Μ -Μ Μ3 - Ν = -Μ Μ -Μ 3, Ν Μ3 -Μ3 Μ33 όπου τ στοιχεί Μ, Μ, Μ 3, Μ, Μ, Μ 3, Μ 3, Μ 3, Μ 33 υπολογίζοντι ως εξής: Μ = Ν Ν33 -Ν3 Ν3 Μ = Ν Ν33 -Ν3 Ν3 Μ3 = Ν Ν3 -Ν Ν3 Μ = Ν Ν33 -Ν3 Ν3 Μ = Ν Ν33 -Ν3 Ν3

27 74 Ασκήσεις γι Λύση Ασκήσεις γι Λύση ) Στο χωροστθμικό δίκτυο που φίνετι πρκάτω γι τον προσδιορισμό των υψομέτρων των σημείων Γ, Δ μετρήθηκν οι εξής υψομετρικές διφορές: ΔH = m, σ = 5 mm ΑΒ ΔH ΑΒ ΔH =.584 m, σ = 4 mm ΒΔ ΔH ΒΔ ΔH =.950 m, σ = 5 mm ΑΓ ΔH ΑΓ ΔH = m, σ = 6 mm ΓΔ ΔH ΓΔ ΔH =.995 m, σ = 7 mm ΑΔ ΔH ΑΔ Δ Α Β Γ Δίνετι: Η Α = 35.8 m. Ν πντήσετε στ κόλουθ ερωτήμτ: ) Γιτί έχουμε συνόρθωση ; β) Ποι μέθοδος συνόρθωσης θ χρησιμοποιήσουμε; γ) Ποιες είνι οι εκτιμήσεις των υψομέτρων των σημείων Β, Γ, Δ; δ) Ποιες είνι οι εκτιμήσεις των σφλμάτων των πρτηρήσεων; ε) Ποι είνι η εκτίμηση της μετβλητότητς νφοράς; ΛΥΣΗ ) Γιτί ισχύει n > m fi 5> 3, οπότε ικνοποιείτι η πρίτητη συνθήκη γι ν γίνει συνόρθωση. β) Θ χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εξισώσεων πρτηρήσεων (Μ.Ε.Π.) κθώς δημιουργούντι εξισώσεις της μορφής = f () x. γ) Οι εκτιμήσεις των υψομέτρων των σημείων Β, Γ, Δ είνι: δh Β x = δh = Γ (m) δh Δ δ) Οι εκτιμήσεις των σφλμάτων των πρτηρήσεων είνι:

28 Κεφάλιο : Συνόρθωση v= -Αx fi v = (m) ε) Η εκτίμηση μετβλητότητς νφοράς είνι: σ = ) Ν κάνετε τον ολικό έλεγχο μετβλητότητς νφοράς ότν δίνοντι: f = 5, σ ο =±0cm κι έχει υπολογιστεί: ι συμπεράσμτ προκύπτουν; ΛΥΣΗ Επειδή: σ = 0.85, = ( -/) ( /) χ u χ fi , βγίνει το συμπέρσμ ότι f f υπάρχουν χονδροειδή ή συστημτικά σφάλμτ στις πρτηρήσεις. 3) Ότν δίνοντι: t =-0.55, t = 3.60, t 3 =-.5, t 4 =.95 γι f = 8 κι = 0.05 εφρμόζοντς τη διδικσί της σάρωσης δεδομένων σε τι συμπεράσμτ κτλήγετε: ΛΥΣΗ Η δεύτερη πρτήρηση δεν περνά γιτί: t > t - fi 3.60>.0 μετά την εφρμογή της σάρωσης οπότε χρκτηρίζετι ως περιέχουσ χονδροειδές σφάλμ. / f 4) ριγωνομετρικό δίκτυο που έχει 5 κορυφές εκ των οποίων 3 είνι γνωστά σημεί του κρτικού δικτύου κι τ άλλ είνι νεοϊδρυόμεν, χρησιμοποιήθηκε γι την ποτύπωση μις γροτικής περιοχής. Στο δίκτυο υτό πρτηρήθηκν 35 συνολικά διευθύνσεις πό όλ τ σημεί. Κάνοντς ολικό έλεγχο μετβλητότητς νφοράς κι σάρωση δεδομένων εντοπίστηκν 5 προβλημτικές πρτηρήσεις οι οποίες κι βγήκν πό τη συνόρθωση. Έτσι τώρ υπάρχουν 30 πρτηρήσεις (35 5 = 30) που θεωρούντι πλλγμένες πό χονδροειδή σφάλμτ. Αυτοί οι έλεγχοι έγινν με την προϋπόθεση ότι το δίκτυο συνορθώθηκε με ελάχιστες δεσμεύσεις ή εσωτερικές δεσμεύσεις. Γι ν γίνουν τ ποτελέσμτ της συνόρθωσης δεκτά σε κάθε πρόβλημ έ- ντξης δικτύου πρέπει ν ελεγχθεί η ποιότητ των πλεονζουσών δεσμεύσεων. Ν κάνετε τον πρίτητο έλεγχο ότν δίνοντι οι εκτιμήσεις των μετβλητο-

29 76 Ασκήσεις γι Λύση τήτων πό τις δύο πρκάτω λύσεις θεωρώντς επίπεδο σημντικότητς 0.05: σ = 0.90, πό τη συνόρθωση με ελάχιστες δεσμεύσεις, σ =.5, πό τη συνόρθωση με πλεονάζουσες δεσμεύσεις. Η ΛΥΣΗ Ελέγχοντς τη σχέση: F F k, f fi , κτλήγουμε στο συμπέρσμ ότι τ ποτελέσμτ της συνόρθωσης με όλες τις πλεονάζουσες δεσμεύσεις γίνοντι ποδεκτά με επίπεδο σημντικότητς ) Γι την εύρεση των πρμέτρων βέλτιστου κύκλου μετρήθηκν οι συντετγμένες xi, i πάνω στην περιφέρει κυκλικής πλτείς. Γι τέσσερ σημεί δίνο- ντι: ( x= 0.0, =.5 m ), ( x= 0.7 m, =. m ), ( x3=.0 m, 3=.9 m ), ( x4=.5 m, 4=.m) Θεωρώντς τις μετρήσεις με βάρος τη μονάδ ζητούντι: ) Ν υπολογίσετε τις εκτιμήσεις των πρμέτρων του βέλτιστου κύκλου, δηλδή του κέντρου του κύκλου κι της κτίνς του. β) Ν υπολογίσετε τις εκτιμήσεις των πρμέτρων του βέλτιστου κύκλου με τη συνθήκη ότι υτός, δηλδή ο βέλτιστος κύκλος πρέπει ν διέρχετι πό το x =.35, =.60. σημείο 5 ( ) 5 5 Οι πρτηρήσεις θεωρούντι συσχέτιστες μετξύ τους κι της ίδις λλά ά- γνωστης κρίβεις. ΛΥΣΗ ) Οι εκτιμήσεις των πρμέτρων του βέλτιστου κύκλου είνι: δx ο x= Ν u fi x= δ =0.99 ο m 0.6 δr β) Οι εκτιμήσεις των πρμέτρων του βέλτιστου κύκλου με τη συνθήκη ότι υτός πρέπει ν διέρχετι πό το σημείο 5, δηλδή ικνοποιώντς υτή τη δέσμευση, είνι: δx ο x= x + ( - ) fi = =0.69 ο Ν H S z H xο x δο m 0.55 δr