1. МЕРЕЊЕ, ГРЕШКЕ МЕРЕЊА И ВРСТЕ МЕРЕНИХ ВЕЛИЧИНА - ОСНОВНИ ПОЈМОВИ

Transcript

1 Школска 017/18 година 1. МЕРЕЊЕ, ГРЕШКЕ МЕРЕЊА И ВРСТЕ МЕРЕНИХ ВЕЛИЧИНА - ОСНОВНИ ПОЈМОВИ 1.1. ПОЈАМ МЕРЕЊА, ДИРЕКТНА И ИНДИРКТНА, ЗАВИСНА И НЕЗАВИСНА МЕРЕЊА Мерење је поступак количинског (квантитативног) упоређења једне величине са другом истородном величином. Прва величина назива се мерена величина док је величина са којом се врши упоређење јединица мере. Као резултат овог поступка добија се нумеричка вредност која се назива резултат мерења. Мерења која се изводе у циљу решавања геодетских задатака, одговарајућим геодетским инструментима и методама рада дефинишу се као геодетска мерења. Мерења се налазе у основи свих геодетских рачунања. Задатак геодетског стручњака јесте да пројектује - направи план рада, утврди тип, обим и технику (методу) мерења као и да изврши обраду и анализу резултата мерења. У геодетским применама мере се различите величине као што су: дужине, углови, висинске разлике, време, убрзање силе земљине теже, температура, атмосферски притисак и. т. д. У овом курсу биће детаљније обрађене технике мерења углова, дужина и висинских разлика, обзиром да су то величине које се у геодетским применама најчешће срећу, док ће о мерењу других величина бити више речи у другим курсевима током студија. Поступак мерења састоји се од више фаза (операција) као што су: Калибрација (еталонирање) мерних инструмената и прибора подразумева поступак усклађивања јединице мере мерног инструмента (прибора) са њеном теоријском вредношћу; Припрема за мерење подразумева материјализацију мерене величине, постављање инструмената и прибора за мерење и друге нопходне припремне радње за извршење мерења; Извршење мерења (опажање) подразумева поклапање (коинцидирање) мерног индекса и очитавање поделе мерног инструмента (прибора); Мерење помоћних величина неопходних за кориговање добијених резултата мерења, на пример температуре, армосферског притиска, влажности ваздуха или неких других величина. Важно је истаћи да се резултат мерења само у једноставнијим примерима може добити директно. Чешће се резултат мерења добија као индиректна величина која је резултат више елементарних мерења. Као илустрација процеса мерења послужиће једноставан пример мерења дужине помоћу мерне траке пантљике. 1

2 Школска 017/18 година Процес калибрације (еталонирања) подразумева одређивање стварне (реалне) вредности дужине пантљике у складу са дефиницијом јединице мере. Ово се постиже мерењем дужине (еталона) чија је вредност позната и барем за један ред величине тачнија од очекиване тачности мерења дужине пантљиком. Уколико се покаже да пантљика има дужину која од њене номиналне вредности значајније одступа, то значи да је у резултате мерења неопходно унети одговарајуће корекције (поправке) да би вредност резулатата мерења била у складу са дефиницијом њене јединице мере. Треба напоменути да се процес калибрације не мора вршити сваки пут када се врши мерење, већ се врши периодично у предвиђеним интервалима времена. Припрема за мерење подразумева да се пантљика размота, обзиром да је она при транспорту обично намотана на одговарајући котур, затим да се, на одговарајући начин, сигналишу крајње тачке мерене дужи, која у овом примеру представља мерену величину. Опажање подразумева постављање пантљике у правац мерене дужи (слика 1.1) и њено затезање одговарајућом силом. Сила затезања пантљике треба да буде тако прорачуната да се подела пантљике простире по правој линији а да при том не дође до њене деформације (промене дужине). Вредност мерене дужине може се затим добити из очитавања на пантљици на почетној и крајњој тачки мерене дужи. На пример, уколико на почетној тачки дужи очита вредност 11,95 m а на другом крају 4,83 m, резултат мерења дужине износи S 4,83 m 11,95 m 30,88 m. А m 4.83 m пантљика Слика 1.1. Пример мерења дужина мерном траком (пантљиком) Очитавања на пантљици у овом примеру се могу сматрати директним мерењима, док вредност измерене дужине представља пример индиректног мерења, јер се добија као разлика два очитавања поделе на пантљици. Алтернативно, могуће је нулу пантљике поклопити (коинцидирати) са почетном тачком 0,00 m и резултат мерења добити директно очитавањем пантљике на крајњој тачки дужи S 30,88 m. Помоћна величина коју би у овом случају евентуално требало измерити је температура при мерењу, уколико се температура при мерењу значајно разликује од температуре при калибрацији (еталонирању) пантљике. Још један пример, који илуструје разлику директних и индиректних мерења, јесте мерење углова. Претходно је неопходно раздвојити појмове угао и правац. Нека су на парчету хартије означене три тачке,, и C и оловком повучене дужи (правци) и C. Ако се изнад тачке (слика 1.) постави центар угломера тако да његова подела

3 Школска 017/18 година расте у смеру казаљке на сату онда се очитавањем угломера на правцима и C C добијају вредности праваца β и β. Вредност угла α C може се добити као њихова разлика α C β β. (1.1) C Такође, на основу истих вредности праваца, могуће је одредити и вредност угла α C, који је у ствари допуна угла α C до пуног круга ( π ) α β β C C π α C. (1.) Правци су фундаменталнија категорија од углова јер се углови изводе из праваца, тј. угао је разлика два правца. Угао α C може се добити директно читањем угломера на правцу C, уколико се нула угломера поклопи (коинцидира) са правцем. Дакле, углови се рачунају као линеарна функција опажаних праваца а особине тако добијених величина оцењују се на основу квалитета мерења праваца и познате функције везе праваца и углова. Треба напоменути да се само један од изведених углова α C, α C може третирати као резултат мерења јер је други функционално завистан од првог (допуна до π). Према томе, може се изабрати било који од њих који ће се третирати као резултат мерења али C се не могу користити оба. Мерени правци β и β у овом случају сматрају се независним мерењима. Слика 1.. Пример мерења угла угломером 3

4 Школска 017/18 година Ако се претпостави да су на исти начин од тачке измерени правци β, C β и према три тачке, C и D (слика 1.3), онда се из њих могу извести вредности углова D β, α α C CD β β C D C β β. и (1.3) Слика 1.3. Пример мерења више праваца са истог темена (станице) Из израза (1.3) може се видети да је резултат мерења правца индиректна мерења углова α C и α CD C β заступљен у оба. Према томе, иако ова два резултата мерења нису функционално зависни (уколико је познат један од њих други још увек није могуће израчунати) они нису ни потпуно независни, јер евентуална грешка мерења правца производи грешку у оба резултата мерења углова α C и α CD. Оваква мерења називају се онда корелативно зависна или корелисана мерења. Она су употребљива у геодетским рачунањима али се мора урачунати њихова зависност односно корелисаност. C D Уколико се из правца β, β и β изведе још неки угао, на пример α D, онда је он функционално завистан односно представља линеарну комбинацију претходно изведених углова α C и α CD. Према томе, сва директна мерења могу се сматрати међусобно независним, барем у математичким смислу. Независност значи да се на основу познатог резултата мерења једне величине не може извести резултат мерења друге величине нити да евентуална грешка прве величине на било који начин утиче на појаву грешке друге величине. Индиректна мерења могу се сматрати међусобно независним ако су изведена из потпуно одвојених скупова независних елементарних мерења. C β 4

5 Школска 017/18 година Уколико бар једно елементарно мерење учествује у извођењу више индиректних мерења онда су тако изведена мерења међусобно зависна или корелисана. Уколико у два индиректно изведена мерења учествују идентични скупови елементарних (директних или индиректних) мерења, онда су она функционално зависна и једно од њих мора се искључити. Зависност односно корелисаност два резултата мерења коефицијентом корелације, 0 k 1, где је j k 0, за међусобно независне резултате мерења, j и j изражава се 0 < k j <1, за међусобно корелисане резултате мерења и (1.4) k 1, за функционално зависне резултате мерења j 1.. МЕРНЕ ЈЕДИНИЦЕ Јединице за мерење дужина Међународна јединица за линеарна мерења (мерења дужина) јесте метар m. Од године, на предлог француске академије наука и уметности, Национална скупштина Француске одлучила је да прихвати метар као основу новог система стандарда мерења. Првобитно, метар је дефинисан као милионити део четвртине земљиног меридијана. Године у Паризу, у присуству представника 17 држава, потписан је споразум о формирању Међународног бироа за мере и тежине. Као директан резултат договора, успостављена је стандардна линеарна мера интернационални метар. Интернационални метар је дефинисан са две ознаке на летви састављеној од легуре платине (90 %) и иридијума (10 %). Оригинални прототип је одложен у Севру код Париза, а земљама потписницима конвенције додељене су његове копије које су представљале фундаменталне стандарде. На истом састанку формирана је и Генерална конференција за мере и тегове ( Coferece Geera de Pods et Mesures, CGPM ) која се састаје сваке шесте године. Године 1960., CGPM (11. седница) успоставља Међународни систем јединица ( Sstem Iteratoa d' Utes ) или SI систем. Стандардна јединица линеарне мере дефинисана од стране конференције био је метар који је тада дефинисан као дужина једнака ,73 таласних дужина специфичне спектралне линије криптона 86. Од године метар се дефинише као дужина коју пређе светлост у вакуму у временском интервалу од 1 : секунди. Метар се често реализује помоћу јонизујућег зрачења хелиум-неонског ласера. Несигурност овакве реализације метра износи од 10 7 до m. 5

6 Школска 017/18 година Мање мере од метра су дециметар dm, ( 1 m 10 dm ), центиметар cm, ( 1m 10 cm 3 ), милиметар mm, ( 1m 10 cm m, ( 9 1m 10 m ). 6 ), микрометар μm, ( 1m 10 μm ) и нанометар У Великој Британији и неким другим земљама, поред метра користе се и друге линеарне мере и то: terato a foot (међународна стопа) ft и ch (палац), где је 1 ft 1. Између ових јединица и метра важи следећи однос: 1,54 cm и 1 ft 30,48cm. Поред међународне стопе и палца, САД користи јединице са сличним или истим називима али нешто другачијих вредности. Однос америчких јединица и метра износи: 1 U.S. ft 30,48006cm и 1 m 39,37 U.S.. У неким деловима Србије (на пример, у Војводини) употребљавао се и хватски систем, са линеарним јединицама хват, стопа и палац, где важе следећи односи: 1 хват 6 стопа 1, m, 1 стопа 1 палаца 0,316081m и 1 палац,634 cm. У метарском систему јединица за површину је квадратни метар - m. Поред квадратног метра користе се и друге јединице, као што су ар а, хектар ha и квадратни километар km са вредностима: 1 a 1 ha 1 km 100 m, 100 a, и m m ha 100. У хватском систему као јединица за површину користе се чeтворни хват 1 čhv и јутро 1 ј са вредностима: 1 čhv 3, m, и 1 j 1600 čhv 0, ha. Као јединица запремине користи се кубни метар 3 m. 6

7 Школска 017/18 година 1... Јединице за мерење углова Јединица за угао у равни, према SI систему јесте радијан - rad. Један радијан (слика 1.4) се дефинише као централни угао чији је лук једнак полупречнику кружице (1 rad 1 m/m 1). Један пун круг садржи π радијана (π ). Иако ван SI система, при мерењу углова, из практичних разлога, користе се другачији угловни системи као што су сексгезимални и центезимални угловни системи. Јединице за мерење углова у сексагезималном систему су: лучни степен ( ), лучни минут ( ) и лучна секунда ( ). Пун угао у равни око неке тачке износи 360 (степени). Важе следећи односи између јединица: 1 (π/180) rad 60 ; Слика 1.4. SI Јединица за угао - радијан 1 (1/60) (π/10 800) rad 60 ; 1 (1/60) (π/ ) rad ; и 1 rad (180 /π) 57, ,8. У неким државама користе се центизималне угловне јединице градус (гон) - ( g ), центезимална минута - ( ) c и центезимална секунда - ( ) cc, при чему је: 1 g 100 c 0.9 ; и 1 c 100 cc ,4. У центезималном систему пун круг износи 400 g g c cc у децималном облику. На пример, пише се као радијана и градуса важи следећи однос: 360. Градуси се обично изражавају g Између 1 rad (00/π) g (0 000/π) c ( /π) cc. Постоји неколико основних правила код писања јединица SI система. Симболи се увек пишу малим словима, осим уколико назив јединице потиче од имена особе или се налази на почетку реченице; 7

8 Школска 017/18 година Симболи немају множину; Иза симбола се не ставља тачка, осим ако се њиме завршава реченица; Јединице састављене као производ неколико јединица одвајају се тачком или једним словним празним простором (на пример, N m или N m ); Јединице састављене као количник неколико јединица пишу се као m/s или -1 m s ; Код комбинованих јединица, само једном је дозвољено коришћење косе црте (на - пример, правилно је написати m/s или m s, а неправилно m/s/s ); Симболи се одвајају од нумеричке вредности једним празним простором (на пример, правилно је написати 1 m, а неправилно 1m ). Са обе стране децималног зареза групе од по три цифре одвајају се празним местом (на пример ,01 53). Код четвороцифрених бројева, празно место се изоставља. Тачке не треба користити за одвајање група цифара; Математичке операције треба примењивати над симболима јединица ( m ), а не и њиховим називима (метар) и Мора бити јасно на шта се нумеричка вредност симбола јединице односи и која се математичка операција примењује (на пример, исправно је написати 35 cm 48 cm, а неисправно g 100 ± ) cm или, исправно је написати g g 100 ±, а неисправно 1.3. ОПАЖАЊА И ГРЕШКЕ Ако се узме у разматрање једна мерена величина (на пример дужина) онда је она карактерисана својом тачном односно истинитом вредношћу L, израженој у усвојеној јединици мере, на пример у метрима. Како је вредност мерене величине по правилу добија мерењем, то истинита односно потпуно тачна вредност L најчешће није позната, јер је свако мерење подложно грешкама мерења. Коришћењем инструмената и прибора одговарајуће прецизности као и одговарајућих метода мерења грешке мерења се могу умањити до нивоа који ће задовољити сврху мерења али се никада не могу потпуно искључити. Мерењем величине L добиће се резултат мерења који се од истините вредности разликује за истиниту вредност грешке мерења ε, односно ε L. (1.5) Уколико би истинита вредност грешке мерења била позната тада би се истинита вредност мерене величине L могла добити као L ε + v, (1.6) 8

9 Школска 017/18 година где је v ε истинита вредност поправке резултата мерења. Како истинита вредност мерене величине L обично није позаната, не може бити позната ни истинита вредност грешке мерења ε као ни истинита вредност поправке резултата мерења v. Уколико се мерена величина L измери пута ( > 1), добиће се резултата мерења, 1,,, на основу којих се може онда израчунати њена највероватнија или оцењена вредност ˆ. Уколико су сва мерења изведена истим инструментима и прибором, истом методом мерења, онда се у сваки од резулата мерења може имати подједнако поверење. Оцењена вредност ˆ може се тада израчунати као проста аритметичка средина свих резултата мерења, односно ˆ 1. (1.7) 1 Сада се за сваки од резултата мерења може добити оцењена вредност грешке мерења εˆ као ˆ ε ˆ, (1.8) односно оцењена вредност поправке vˆ ˆ ε ˆ. (1.9) Грешке мерења настају из различитих разлога и имају различиту природу. Иако није могуће апсолутно тачно познавати њихове вредности, могу се анализирати њихови могући узроци и проучавати њихова основна својства односно карактер настанка. Према карактеру настанка и основним својствима, грешке мерења се деле на: грубе, систематске и случајне Грубе грешке Грубе грешке у ствари и нису грешке мерења у правом смислу већ би се пре могле карактерисати као промашаји. Немогуће је предвидети њихову величину и предзнак и оне по правилу производе значајна и непредвидива одступања резултата мерења од истините вредности мерене величине. Разлози за њихову појаву најчешће су: непажња извршиоца мерења (оператора), неисправност или неодговарајућа припремљеност инструмената или прибора или неодговарајућа или недоследно спроведена метода мерења. Настанак овакве врсте грешака потребно је благовремено уочити и резултате мерења оптерећене грубим грешкама искључити из даљег разматрања, односно, по потреби, 9

10 Школска 017/18 година таква мерења поновити. У том смислу, процедуре мерења и методологија рада дизајнирају се тако да се могућност појаве ових грешака што више умањи, практично искључи. У том смислу, користе се различити механизми као што су: пажљива контрола инструмента и прибора, више независних мерења, понављање мерења са другим инструментом, доследно спровођење методе мерења, независна мерења више оператера и сл. Откривање и елиминисање резултата мерења сумњивих на грубе грешке може се учинити, на пример: Мерењем исте величине више пута и рачунањем средње вредности, Појединачни резултат који значајно одступа од средње вредности третира се као резултат који одскаче односно садржи грубу грешку; Коришћењем две врсте мерних јединица (на пример, у метрима и стопама) и њиховим свођењем на исту; Коришћењем природних чињеница, на пример да је збир углова у равном троуглу једнак π, и. т. д Систематске грешке Систематске грешке (систематски утицаји, систематски ефекти) догађају се по некој законитости односно систему који може бити проучен и математички формулисан. Оне следе неко правило, и понављањем експеримента (мерења) под истим условима, мерења ће увек бити по истом правилу загађена. Присуство систематских грешака у низу од резултата мерења једне мерене величине, изведених истим инструментима и прибором неће произвести одскакање било које од њих у односу на средњу (оцењену) вредност ˆ али ће произвести значајно одступање оцењене вредности ˆ од истините вредности L. Узрок настанка систематских грешака може лежати у опажачу, инструменту (прибору) за мерење или физичким својствима амбијента у којем се експеримент (мерење) остварује. Било каква промена једног или више елемената система приликом понављања мерења (експеримента) изазваће промену карактера систематских ефеката. Мора се знати да понављање експеримента под истим условима неће елиминисати појаву систематске грешке. Да би се грешке елиминисале, мора се пронаћи њихов систем узрок. Дакле, систематске грешке као и грубе грешке, уколико се не открију, проуче и елиминишу, могу непоправљиво загадити резултате мерења. Разлика у односу на грубе 10

11 Школска 017/18 година грешке састоји се у томе да се овај вид грешака може отклонити док то са грубим грешкама није случај. Систематски ефекти имају различите форме, зависно од вредности и знака сваког од ефеката. Уколико су величина и предзнак једнаки у току процеса мерења, говори се о константној вредности систематске грешке. Уколико се вредност систематког ефекта од једне до друге мерене величине мења, резултујуће систематске грешке се називају променљивим. У геодетском премеру, систематске грешке се дешавају услед утицаја амбијента, инструменталних утицаја и утицаја оператера. Температура, влажност и притисак су примери природних извора систематских грешака (амбијента, околине). Када је реч о инструментима (прибору) за мерење мисли се на несавршеност конструкције или неадекватан преглед и припрему за мерење. И поред тога што се може претпоставити одакле потичу, и даље има оних систематских ефеката чије је порекло непознато. То се пре свих односи на скуп грешака чији је извор сам оператер и које зависе од прецизних физичких, психолошких и просторних услова за време трајања процеса мерења. Када се природа систематских утицаја утврди, они се могу компензовати или умањити: Адекватним математичким моделовањем и уношењем корекција (поправака) у резултате мерења; Пажљивом калибрацијом и подешавањем инструмената и прибора и мерењем у истим условима као и приликом калибрације инструмената (прибора) за мерење; Избором адекватне методе мерења и Проширењем функционалног модела резултата мерења тако да обухвати и систематске утицаје. На неколико примера илустроваће се начин отклањања систематских утицаја. При мерењу дужине пантљиком, стварна дужина може бити различита у односу на вредности добијених мерењем услед: Разлика температура приликом калибрације пантљике и за време мерења; Разлика сила затезања пантљике приликом њене калибрације и за време мерења; Недоследног спровођења методе мерења (коришћење различите помоћне опреме); Неадекватне материјализације мерене величине дужине. Нека је, на пример мерење пантљиком дужине S, изведено при температури t која се значајно разликује од температуре калибрације (компарисања) пантљике t 0. Уколико је познат коефицијент ширења материјала α од којег је пантљика израђена, онда се кориговани резултат мерења дужине може израчунати као S + δ S + α( t t )S, (1.10) SC t 0 11

12 Школска 017/18 година где је δ t корекција (поправка) за утицај температуре. Код описаног примера мерења углова на парчету хартије, појављују се следећи извори систематских утицаја: ексцентричност угломера т.ј. појава да тачка која означава центар угломера није тачно у центру поделе угломера, грешка због непоклапања центра круга угломера са теменом угла и грешке поделе угломера. Ови систематски утицаји не могу се компензовати уношењем корекција, већ се морају елиминисати или умањити методом рада. Елиминисање резултата мерења оптерећених грубим грешкама и корекцију (поправљање) мерења за вредност свих познатих систематских утицаја врши се у процесу претходне обраде резултата мерења Случајне грешке Након откривања и елиминисања резултата мерења оптерећених грубим грешакама и отклањања систематских утицаја, резултати мерења се у даљем поступку могу третирати као случајне променљиве и отуда носе назив случајне грешке ε. Случајне грешке од једног до другог мерења имају различиту вредност и предзнак који се не могу унапред знати али се може изучити њихова природа и опсег појављивања, односно у којој мери оне могу удаљити појединачни резултат мерења од истините вредности L. Случајне грешке, по дефиницији, поседују следеће особине: а) Ограниченост подразумева да је ε ε G, (1.11) где је ε G гранична вредност случајне грешке за дате услове при мерењу (инструменат, прибор, методу мерења, спољашње услове,...). Грешке, по апсолутноје вредности, веће од ε G третирају се као грубе грешке. б) Унимодалност подразумева да се грешке мање по апсолутној вредности јављају чешће од већих. Ако је ε 1 < ε онда је број појављивања или фреквенција ε 1 ± > ε ±, где је половина интервала груписања вредности случајних грешака, а такође, (1.1) * * ε ± > ε ± 1 где је ε релативна фреквенција односно * ± * ± ± ε ε, 1

13 Школска 017/18 година а укупан број мерења. в) Симетричност подразумева да се подједнако често јављају позитивне и негативне случајне грешке, односно ако је ε 1 ε онда је. (1.13) * * ε ± ε ± 1 Као последица, следи да се аритметичка средина случајних грешака исте величине измерене пута истим инструментима, прибором и методом мерења неограничено приближава нули при неограниченом повећању броја мерења, односно 1 и по вероватноћ ε ε 0, (1.14) 1 што се назива својство компензације случајних грешака. Такође важи 1 и j j по вероватноћ ε ε 0, (1.15) што се назива својство независности или својство некорелисаности случајних грешака. Илустрација распореда резултата мерења величине L, у односу на оцењену вредност ˆ приказана је на слици 1.5. на основу низа од 10 резултата мерења приказаних у табели 1.1. Kar Frеdrch Gauss је године доказао да случајне грешке мерења следе нормални закон расподеле односно где f ( ε ) ε 1 σ ε f e, (1.16) σ ε π ( ) ( L) σ 1 e, (1.17) σ π σ представља варијансу или дисперзију случајне променљиве ε односно а σ σ стандардну девијацију (стандардно одступање) које се могу познавати из анализе методе мерења или оценити из низа од резултата мерења, односно узорка резултата мерења 1 1 ˆ σ ε 1 1 ( L) ˆ σ ε, (1.18) односно уколико није познато L 13

14 Школска 017/18 година ( ) 1 1 ˆ σ ε, (1.19) ˆ σ ˆ ε ˆ где се ˆ може добити на основу (1.7), па је онда f ( ) ( ˆ ) 1 ˆ σ e. (1.0) ˆ σ π Табела 1.1: Резултати мерења величине L 1 31,7 16 8,9 31 3,5 46 9,3 61 9,8 76 8,7 91 9, , 31,9 17 8,8 3 7, ,5 6 8, 77 30,3 9 6, ,8 3 31, ,6 33 3, ,7 63 6,4 78 9,5 93 7, ,4 4 5,6 19 9,5 34 8, , ,7 79 9, 94 8, ,7 5 8,0 0 3,3 35 8,7 50 7, ,8 80 7,5 95 3, ,4 6 31,0 1 7, , ,5 66 8, 81 31, 96 9, ,1 7 31,3 31, ,9 5 8, ,0 8 31,4 97 8,9 11 9,8 8 9,9 3 30, 38 7,9 53 9, ,5 83 8, , ,3 9 9,0 4 7,4 39 8,4 54 9, ,5 84 6, , ,5 10 9,4 5 8,4 40 6, , 70 3, , , ,6 11 9, 6 8, , ,0 71 9,5 86 8, , ,5 1 8,3 7 31,5 4 7,9 57 3,4 7 9,7 87 3, , , ,7 8 9,6 43 9, , , 88 30, , , ,0 9 30, 44 31,3 59 9, 74 8,1 89 9, , , 15 9, ,0 45 9, , ,3 90 9, ,4 10 3, На основу узорка од 10 резултата мерења (табела 1.1) и израза (1.7) и (1.19) следе оцене за мерену величину L ˆ 1 1 9,8, 10 и стандардну девијацију ( ˆ ) 1,7 1 ˆ σ. 1 1 Уколико онда се говори о популацији односно бесконачно великом узорку резултата мерења (случајне променљиве). На основу узорка од 10 резултата мерења 14

15 Школска 017/18 година на основу погодно изабраног интервала 1 може се израчунати фреквенција (број појављивања) резултата мерења у сваком од интервала односно релативна фреквенција за сваки интервал * (табела 1.). / Табела 1.: Распон резултата мерења, број опажања у сваком интервалу и релативне фреквенције Интервал 5,4-6,3 6,4-7,3 7,4-8,3 8,4-9,3 9,4-30,3 30,4-31,3 31,4-3,3 3,4-33,3 33,4-34,3 Σ / * 0,05 0,033 0,158 0,175 0,08 0,00 0,158 0,033 0,008 1,000 Слика 1.5. Хистограм и крива распореда резултата мерења На слици 1.5 приказане су правоуглим стубићима релативне фреквенције за сваки од интервала из табеле 1., док је на основу (1.0) израчуната (теоријска) крива распореда резултата мерења у функцији средине распореда ( ˆ ) и оцене стандардне девијације σˆ. На слици 1.5 још се може видети да уколико резултати мерења следе нормални закон расподеле, онда се може очекивати да 68 % резултата мерења буде садржано у интервалу ˆ ˆ σ ˆ + ˆ σ, 95 % у интервалу ˆ ˆ σ ˆ + ˆ σ и 99.7 % у интервалу ˆ 3 ˆ σ ˆ + 3 ˆ σ. Резултати мерења изван овог интервала обично се квалификују као грубе грешке. 15

16 Школска 017/18 година Мере квалитета мерења За оцену квалитета резултата мерења и њихових оцена у геодетском премеру, најчешће се користе појмови: тачност и прецизност. Разлика између ова два појама илустрована је на слици 1.6. Тачност резултата мерења се дефинише као блискост (степен сагласности) резултата мерења и тачних (истинитих) вредности. Што је већа разлика између резултата мерења и истините вредности тачност је мања. Прецизност резултата мерења дефинише се као међусобна блискост резултата поновљених мерења исте физичке величине. Опажања су прецизна (али не морају бити тачна) уколико су груписана око вредности која може бити значајно померена од истините вредности (обично под утицајем систематских ефеката). Опажања су тачна (али не и прецизна) уколико су добро распоређена око истините вредности иако су значајно међусобно расута. На крају, опажања су прецизна и тачна ако су значајно груписана међусобно и око очекиване вредности. Пример који се често користи да укаже на разлике између наведена два концепта приказан је на слици 1.6. Слика 1.6: Груписање резултата мерења Може се констатовати да случај под (а) представља пример прецизних и тачних резултата мерења, под (b) прецизних и нетачних и под (c) тачних али мање прецизних (непрецизних) него под (а). За случај под (c) квалификацију тачних треба схватити условно јер су резултати веома расути. Оправдање за то јесте чињеница да се центар масе може визуализовати негде у средини и приближно се поклапа са средином мете МЕРЕНЕ ВЕЛИЧИНЕ У ГЕОДЕТСКОМ ПРЕМЕРУ Хоризонтални и вертикални углови Мерење углова у геодетском премеру има за циљ одређивање релативног положаја тачака на физичкој површи земље као и тачака изнад или испод те површи. Пошто је углове могуће мерити само у равни (дводимензионални простор) а тачке од интереса за геодетски премер cу у тродимензионалном простору, неопходно је дефинисати карактеристичне равни у којима се мерење углова врши. Тако разликујемо 16

17 Школска 017/18 година хоризонатане углове који се мере у хоризонталној равни, која садржи теме угла и вертикалне углове који се мере у вертикалној равни дефинисаној теменом угла, његовом вертикалом и још једном тачком у простору. На слици 1.7 разматрамо случај три тачке у простору, и C. Да би мерење углова дефинисаних тачкама у простору било могуће, те тачке треба материјализовати (стабилизовати). Тачке се могу стабилизовати трајним или привременим белегама у зависности од тога да ли су оне од интереса једнократно за решавање одређеног проблема или може постојати потреба да се оне Слика 1.7. Хоризонтални и вертикални углови користе и касније. Један од начина за трајну стабилизацију геодетских тачака јесте камена белега са обрађеном горњом површи и уклесаним крстом (како је то схематски приказано на слици 1.7). Тачка, у овом примеру, дефинише теме угла и обично се назива станица, док тачке и C, заједно са тачком, детерминишу кракове углова и називају се визурне тачке. Хоризонтални угао α C је угао у хоризонталној равни Π C, која саржи тачку. Теме угла a C је у тачки а краци су дефинисани ортогоналним пројекцијама просторних праваца и C на хоризонталну раван Π C. C C Вертикални углови α и α су углови у вертикалним равнима Π и Π, дефинисаних вертикалом тачке и тачкама и C респективно, између ортогоналних пројекција просторних правца и C на раван Π C и самих правца. Тачка налази се изнад хоризонталне равни Π C (хоризонта), па вертикални угао α има позитивну вредност C (елевациони угао), док се тачка C налази испод хоризонта па ће вертикални угао α имати негативну вредност (депресиони угао). Према томе, вертикални углови могу узети вредности од 0 (на хоризонту) до π/ (правац према зениту у тачки ), за тачке изнад хоризонта, односно 0 до - π/ (правац према надиру у тачки ), за тачке испод хоризонта. Уместо вертикалних углова, често се мере зенитни углови. Зенитни углови Z односно C Z су углови између правца према зениту у тачки и просторних праваца и C респективно (слика 1.7). Са слике 1.7 лако је видети да између вертикалних углова и зенитних углова важи релација 17

18 Школска 017/18 година j α + Z j π/ (1.1) односно да је реч о комплементарним угловима, где је 0 π. Z j Као што се из претходних разматрања може видети, мерење углова у простору неупоредиво је комплексније од случаја мерења угла на парчету хартије. Проблеми који се у овом случају јављају су следећи: Материјализација равни у којој се мери угао; Довођење равни угломера у жељену раван или паралелно са њом и поклапање центара поделе угломера са теменом угла; Материјализација кракова угла; Потреба за веома прецизним мерењем углова обзиром на велику удаљеност тачака у простору (на парчету хартије ова удаљеност обично је мања од 1 m, док у простору она може достићи и неколико десетина километара). Да би се стекла представа о неопходној прецизности мерења углова, размотриће се вредност грешке релативног положаја две тачке настале због погрешно измерене дужине односно због погрешно измереног угла. Код мерења дужина ситуација је јасна. Релативни положај две тачке биће погрешан тачно за вредност грешке резултата мерења дужине између њих. У случају мерења углова, грешка релативног положаја P може се израчунати као вредност тетиве кружног лука чији је полупречник једнак дужини крака угла d (растојању измeђу две тачке) а централни угао једнак грешки измереног угла α. Грешка релативног положаја две тачке тада је P d α, (1.) при чему је, због једноставности, изједначена дужина тетиве кружног лука са дужином самог кружног лука. У случају мерења угла на парчету хартије обично се располаже угломером чији је пуни круг издељен на 360 подеока (степени), лучне дужине реда милиметра. Према томе, прецизност очитавања која се може очекивати је око 0,, што представља минималну вредност грешке α која се при оваквом начину мерења углова може направити. У табели 1.3 приказане су релативне грешке положаја за вредност грешке мерења угла α 0, и различите вредности растојања d између две тачке. Табела 1.3: Грешке релативног положаја две тачке ( α 0, ) d [m] 0, P [m] 0,00 0,003 0,035 0,349 3,491 17,453 18

19 Школска 017/18 година ко се сада за захтевану релативну тачност положаја две тачке усвоји вредност P 0,0 m, која се у геодетском премеру често јавља, може се видети да ова прецизност мерења углова може бити задовољавајућа тек за растојања (дужину визуре) d до неколико метара. Како су растојања између тачака у простору далеко већа (и до неколико десетина километара), јасно је да је неопходно обезбедити већу прецизност мерења углова. Из израза (1.), за задато P и d може се израчунати неопходна прецизност мерења угла α P / d, (1.3) и она је за P 0,0 m и различите вредности d приказана у табели 1.4. Табела 1.4: Неопходна прецизност мерења углова ( P 0,0 m ) d [m] 0, α [ ' "] ,8 Због свих ових разлога за мерење углова у простору користе се специјално конструисани геодетски инструменти теодолити Косе дужине, хоризонталне дужине и висинске разлике Уколико се разматра растојање између две тачке по правој линији онда се таква дужина назива просторна или коса дужина ( S (слика 1.8), Овакве дужине ретко имају ) k примену у геодетским рачунањима, односно геодетском премеру. Чешће се користе хоризонталне дужине које се могу дефинисати као ортогонална пројекција косих дужина на хоризонталну раван и редуковане дужине ( S. ) r Π, тачке (слика 1.7). Овакве дужине називају се још Растојања по вертикали између тачке и тачке дефинише се се као висинска разлика, H. На основу слике 1.8 могу се написати релације 19

20 Школска 017/18 година Слика 1.8. Косе дужине, хоризонталне дужине и висинске разлике ( S ) ( S ) cos ( S ) s Z r α, (1.4) k k и H ( Sk ) sα + δ H ( Sk ) cos Z + δ H ( Sr ) taα + δ H ( S ) cot Z + δ, r H, (1.5) где је δ H утицај закривљености површи хоризонта (нивоске површи). Наиме, хоризонт тачке је површ која саржи тачку, управна је на вертикалу тачке и следи облик Земље као небеског тела. У првом приближењу може се усвојити да ова површ има облик лопте полупречника R. Хоризонтална раван тачке онда је раван која тангира хоризонт у тачки, односно управна је на вертикалу тачке. Утицај закривљености хоризонта може се израчунати по формули [( S ) ] δ r H R. (1.6) Ако се узме да је R 6378km (што одговара средњој географској ширини Србије) може се израчунати утицај закривљености хоризонта на висинску разлику за различите вредности дужине S r (табела 1.5). Табела 1.5: Утицај закривљености хоризонта на висинску разлику ( R 6378km ) S [m] r δ [m] H 0,000 0,001 0,003 0,00 0,078 1,960 0

21 Школска 017/18 година Из табеле 1.5 може се видети да се утицај закривљености хоризонта на краћим дужинама (обично за дужине краће од 500 m и за уобичајену тачност одређивања висинских разлика у геодетском премеру) може занемарити. 1