54. ДРЖАВНО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКА 2015/16. ГОДИНА

Transcript

1 ШКОЛСКА 015/16. ГОДИНА ЗАДАЦИ БОЗОНСКА КАТЕГОРИJА Таласна функциjа електрона у атому водоника jе одређена вредностима три квантна броjа (у овом задатку не узимати у обзир спински квантни броj), Ψ n,l,m (n - главни квантни броj, l - орбитални квантни броj, m - магнетни квантни броj). С друге стране, вредности енергиjе дискретних стања, E n, су одређене само главним квантним броjем n ( ) E n 1 n. Тако енергетском нивоу E1 одговара само jедно стање Ψ 1,0,0. Међутим, решења Шредингерове jедначине за атом водоника показуjу да за нивое виших енергиjа постоjе различита стања коjима одговараjу исте вредности енергиjе. Ова поjава се назива дегенерациjа енергетских нивоа, а броj стања коjа одговараjу истом енергетском нивоу се назива степеном дегенерациjе. (а) Написати коjим таласним функциjамa Ψ n,l,m (написати све одговараjуће индексе) су одређена стања електрона у атому водоника коjа одговараjу првом побуђеном енергетском нивоу. (5 поена) (б) Колики jе степен дегенерациjе енергетског нивоа коjи jе одређен главним квантним броjем n? (5 поена) (в) Таласна функциjа коjа одговара основном стању атома водоника jе облика Ψ 1,0,0 = C e r a 0, где jе a 0 Боров радиjус. Одредити вредност позитивне и реалне константе C. (10 поена) Помоћ: Можете користити идентитет: 0 t n e t dt = n!.. На хоризонтални сто фиксиран jе метални рам облика круга полупречника b. У темена правилног n тоугла уписаног у оваj круг причврсти се n лаких еластичних опруга за чиjе се друге краjеве веже мало тело масе m, као што jе приказано на слици 1 за случаj n = 6. У равнотежном положаjу тело се налази у центру круга. Тело се по столу креће без трења. Константе еластичности свих опруга су jеднаке и износе k, док jе дужина сваке од опруга у неистегнутом стању a, при чему важи a < b. Правац x осе се поклапа са правцем jедне од опруга у равнотежном стању. (a) Одредити еластичну потенциjалну енергиjу U система када се тело помери за мало растоjање r b из равнотежног положаjа. У изразу за U задржати само чланове закључно са другим редом по малоj величини r/b. Можете користити приближну jеднакост (1+x) α 1+αx+ α(α 1) x коjа важи за x 1, као и jеднакост ( ) π cos n j p+δ = 0, где jе p цео броj коjи ниjе дељив са n, а δ реалан броj. (10 поена) j=0 (б) Одредити кружну фреквенциjу ω малих осцилациjа тела око равнотежног положаjа. (6 поена) (в) У почетном тренутку, тело се помери из равнотежног положаjа дуж x осе за растоjање r 0 b и саопшти му се почетна брзина r 0 ω дуж y осе, а потом се пусти. Одредити наjмање и наjвеће растоjање тела од центра круга при његовом осциловању. (4 поена) Слика 1: уз задатак. (а) (б) (в) Слика : уз задатaк Сигурно сте приметили да у просториjи у коjоj се налази већи броj људи може да буде изузетно топло. Разлог томе jе што човек емитуjе топлоту и тиме загрева просториjу. У овом задатку ћемо размотрити упрошћени модел сферно-симетричног човека облика лопте полупречника r, док jе просториjа облика сфере полупречника R коjи jе много већи од r, при чему се центри двеjу сфера поклапаjу, као што jе приказано на слици (б). Сматрати да човек и унутрашњи зидови просториjе зраче као апсолутно црна тела, чиjе су температуре редом T c и T z. (a) Одредити израз за снагу зрачења коjе човек емитуjе. (3 поена) Страна 1 од

2 ШКОЛСКА 015/16. ГОДИНА ЗАДАЦИ БОЗОНСКА КАТЕГОРИJА (б) Одредити израз за снагу зрачења коjе човек апсорбуjе. (11 поена) (в) Одредити колико jе људи потребно да би загреjали просториjу до исте температуре као греjалица корисне снаге P g = 1,3 kw. Сматрати да се формуле изведене у претходним деловима задатка могу применити на сваког човека коjи се налази у просториjи и да људи размењуjу топлоту са околином искључиво путем зрачења. У овом делу задатка користити броjне вредности t c = 36,0 0 C, t z = 0,0 0 C (0 0 C = 73,15K) и сматрати да jе површина jедног човека jеднака S = 1,90m. (6 поена) Помоћ: У овом задатку можете користити следећу чињеницу. Интензитет у тачки X електромагнетног зрачења коjе емитуjе апсолутно црно тело у облику мале равне плочице произвољног облика jе дат формуломi = σt4 S cosθ d π, где jе T апсолутна температура тела, S површина jедне стране плочице, d растоjање од плочице до тачке X, a θ jе угао између правца коjи спаjа тачку X са плочицом и правца нормалног на раван плочице, као што jе приказано на слици (в). 4. Стање ваздуха у овоj просториjи може се веома добро описати законима стања класичног идеалног гаса коjе сте упознали у другом разреду. С друге стране, при опису стања проводних електрона у металу (коjи се у основноj апроксимациjи могу посматрати као гас неинтерагуjућих честица) на собноj температури неопходно jе урачунати квантне ефекте, коjи проистичу из немогућности истовременог тачног одређивања положаjа и брзине електрона. Квантитативна мера неопходности урачунавања квантних ефеката при опису стања многочестичних система jе однос λt a, где jе a растоjање међу суседним конституентима система (у овом задатку то су молекули ваздуха или електрони), док jе термална таласна дужина λ T мера неодређености положаjа честица система на температури T. (a) Проценити растоjање међу суседним конституентима система a. У циљу што jедноставниjе процене, у овом делу задатка можете сматрати да су честице система распоређене у чворовима кубне решетке чиjа jе елементарна ћелиjа (елемент кристалне решетке чиjим се транслаторним померањима покрива цела решетка) коцка. Концентрациjу конституeната n сматрати познатом. (6 поена) (б) Неодређености положаjа и импулса конституената повезане су Хаjзенберговом релациjом r p h, где jе неодређеност импулса p = p p. Процењуjући p користећи резултате за класични идеални гас на температури T, одредити термалну таласну дужину λ T коjа jе дефинисана као минимална неодређеност положаjа конституената система. Концентрациjу n, масу поjединачне честице m, као и температуру T, сматрати познатим. (8 поена) (в) Одредити броjну вредност односа λt a за гас проводних електрона у бакру на температури T = 3,0 10 K (n = 8, m 3, m = 9, kg) и за ваздух на температури T = 3,0 10 K (n =, m 3, m = 4, kg). ( поена) (г) Температура T d на коjоj jе λt a = 1 представља граничну температуру између области у коjима квантни ефекти долазе/не долазе до изражаjа. Одредити T d за гас проводних електрона у бакру. Може ли се у некоj области температура у коjоj бакар постоjи као метал стање гаса његових проводних електрона описати без урачунавања квантних ефеката? Температура топљења бакра jе T m = 1, K. Помоћ: Средња аритметичка брзина молекула класичног идеалног гаса масе на температури T jе v = где jе m маса поjединачног молекула. (4 поена) 8kB T πm, 5. На слици у прилогу су приказана три снимка америчког астронаута Нила Армстронга, начињена непокретном камером 0. jула током његовог хода на Месецу. Снимци су начињени редом у тренуцима t 0 = 0, t 1 = 0,67s и t = 1,34 s при чему jе у тренутку t 0 одскочио од подлоге, у тренутку t 1 jе био у наjвишоj тачки путање, а у тренутку t jе доскочио. Нил Армстронг jе био висок H = (180±1) cm. На основу ових снимака одредити убрзање силе теже на Месецу и проценити одговараjућу грешку. Занемарити грешке мерења наведених времена. Лист коjи вам jе дат у прилогу можете предати уз рад ако сте на њему нешто радили. (0 поена) Приликом решавања задатака можете користити следеће броjне вредности универзалних физичких константи: Болцманова константа k B = 1, J/K, Планкова константа h = 6, Js, Штефан-Болцманова константа σ = 5, W/(m K 4 ). У бозонскоj категориjи такмиче се ученици коjи похађаjу одељења коjа раде по програмима специjализованих гимназиjа за област математика и физика. Задатке припремили: др Ненад Вукмировић и Вељко Jанковић, Институт за физику, Београд др Никола Jованчевић, Природно-математички факултет, Нови Сад Рецензент: др Антун Балаж, Институт за физику, Београд Председник Комисиjе за такмичења ученика средњих школа: др Божидар Николић, Физички факултет, Београд Страна од

3 П : С e 5. а а а = У ај ај, ш ш :

4 ШКОЛСКА 015/16. ГОДИНА РЕШЕЊА БОЗОНСКА КАТЕГОРИJА (а) За дату вредност главног квантног броjа n, орбитални квантни броj l може имати вредности l = 0,1,...,, а за дату вредности l орбиталног квантног броjа магнетни квантни броj m може имати вредности m = 0,±1,..., ± l. Први побуђени енергетски ниво атома водоника одговaра вредности главног квантног броjа n =. На основу тога закључуjемо да су стања коjа одговараjу овом енергетском нивоу одређена таласним функциjама: Ψ,0,0,Ψ,1,0,Ψ,1,1,Ψ,1, 1 5п. (б) На основу вредности коjе могу имати квантни броjеви, добиjамо да jе степен дегенерациjе g n енергетског нивоa одређеног главним квантним броjем n: g n = (l+1) 3п. Даље добиjамо: g n = l + 1 = ( n() l+n = ) +n, g n = n п. (в) Константу C ћемо наћи из услова да jе укупна вероватноћа налажења електрона у простору jеднака 1 3п. Вероватноћа налажења електрона у сферноj љусци унутрашњег полупречника r и спољашњег полупречника r +dr jеднака jе dp = Ψ 1,0,0 dv, где jе dv = 4r πdr запремина те сферне љуске. Одатле jе Ψ 0 1,0,0 4r πdr = 1, односно 4πC r e r/a0 dr = 1 4п. Последњи интеграл се решава увођењем смене u = r/a 0 0, чиме се своди на интеграл дат у тексту задатка. Решавањем тог интеграла коначно добиjамо C = 1 3п. πa 3 0. (a) Нека jе тело изведено из равнотежног положаjа тако да jе угао коjи вектор положаjа тела затвара са позитивним смером x осе jеднак ϕ. Нека су опруге нумерисане броjевима 0,...,n 1 идући од опруге чиjи jе врх на позитивном делу x осе у смеру супротном од смера казаљке на сату. Дужина j те опруге jе тада l j = r +b rbcos (ϕ πn ) j, па jе укупна еластична потенциjална енергиjа система U = k (l j a) = k na + k lj k l j a 4п. j=0 Прва сума се непосредно израчунава користећи сумациону формулу из поставке задатка k lj = k n(r +b ) 1п. За израчунавање друге суме закључно са члановима другог реда по малоj величини r/b треба на таj начин наjпре изразити l j користећи приближну формулу дату у задатку: l j b (1 rb (ϕ cos πn ) j + 1 ( ( [ r 1 cos (ϕ 4 b) πn )])) j. Следи k l j a = knab+ k 4 nar b j=0 j=0 j=0 4п, па jе U = k n(a+b) + k ( n 1 a ) r 1п. b (б) Укупна механичка енергиjа система E jе збир израчунате еластичне потенциjалне енергиjе U и кинетичке енергиjе тела T = 1 mv x + 1 mv y. Како jе r = x +y, укупна механичка енергиjа jе E = T +U = k [ 1 n(a+b) + mv x + k (1 n a ] [ 1 )x + b mv y + k (1 n a ] )y. b Дакле, укупна механичка енергиjа jе (до на константу) jеднака збиру укупних механичких енергиjа два идентична jеднодимензионална хармониjска осцилатора чиjи су правци осциловања нормални. Зато jе 1 mω = k (1 n a ) k, па jе фреквенциjа малих осцилациjа ω = (1 b m n a ) 6п. b (в) На основу почетних услова датих у поставци задатка, закони кретања тела дуж x и y осе су редом x = r 0 cos(ωt) y = r 0 sin(ωt). Тело се креће по елипси x круга r 0, а наjвеће r 0 4п. r 0 j=0 + y = 1, па jе наjмање растоjање тела од центра (r 0 ) Страна 1 од

5 ШКОЛСКА 015/16. ГОДИНА РЕШЕЊА БОЗОНСКА КАТЕГОРИJА (а) С обзиром да човек зрачи као апсолутно црно тело, снага зрачења коjе емитуjе jеp em = σt 4 cs c, где jеs c = 4r π површина човека, одакле jе P em = σt 4 c4r π 3п. (б) Размотримо наjпре колику снагу зрачења коjе емитуjе делић зида мале површине S z апсорбуjе човек. Означимо ту снагу са P pr. Интензитет зрачења тог делића зида на растоjању R jе према формули датоj у задатку I = σt4 z Sz R π 3п. На човека ће пасти сво зрачење коjе би пало на плочицу површине r π постављену нормално на правац коjи спаjа делић зида са човеком. Зато jе P z = I r π, одакле jе P z = σt4 z Szr R 5п. Укупна снага зрачења коjу апсорбуjе човек добиjа се сабирањем свих P z, одакле се, имаjући у виду да jе S z = 4R π, добиjа P pr = σtz4πr 4 3п. (в) Снага коjу човек размени са околином jеднака jе P r = P em P pr = σ ( Tc 4 Tz) 4 4πr п. Да би људи загреjали просториjу до исте температуре као греjалица, потребно jе да снага коjу они размене са околином буде jеднака снази греjалице, одакле jе P g = NP r, где jе N тражени броj људи п. Одатле се, узимаjући у обзир да jе S = 4πr P, добиjа N = g )S 7 п. σ(t 4 c T4 z 4. (a) Свака честица у кубном кристалу се налази у укупно 8 елементарних ћелиjа облика коцке, па jе броj честица по елементарноj ћелиjи jеднак = 1. Дакле, укупан броj елементарних ћелиjа jеднак jе укупном броjу честица N, па jе запремина jедне ћелиjе jеднака V/N, где jе V запремина система. Растоjање између суседних конституената система jе онда jеднако дужини ивице елементарне ћелиjе и износи a = (V/N) 1/3 = n 1/3 6п. (б) Неодређеност импулса jе jеднака p = m ( v v ), при чему су средње вредности v и v процењене редом резултатима за средњу квадратну v = 3k BT 8kB T и средњу артиметичку брзину v = m πm молекула класичног идеалног гаса на температури T. Применом Хаjзенбергове релациjе неодређености, за неодређеност h положаjа важи неjеднакост r π(3π 8)mk B T, па jе термална таласна дужинаλ h T = π(3π 8)mk B T 8п. (в) Однос λ T a = hn 1/3 π(3π 8)mk B T за гас проводних електрона у бакру на температури T = 3,0 10 K износи λ T a = 11, док за ваздух на истоj температури износи λ T a = 3, п. 1 h n /3 (г) Температура T d = за гас проводних електрона у бакру износи T d = 3, K. Квантни 4π(3π 8) mk B ефекти долазе до изражаjа за λt a > 1, односно у области температураt < T d. TемператураT d за гас проводних електрона у бакру знатно jе већа од температуре T m топљења бакра, па се гас проводних електрона у бакру, на свим температурама на коjима бакар постоjи као метал, мора описивати уз урачунавање квантних ефеката 4п. 5. Време кретања астронаута од одскока до доскока jе jеднако t t 0 = vy0 g, где jе v y0 y-компонента брзине астронаута у тренутку одскока. Притом jе ова брзина повезана са максималном висином h коjу астронаут достигне jедначином vy0 = gh. Из претходних jедначина следиg = 8h 5п. На слици у прилогу су тачке одскока и доскока означене (t t 0) са A и B. Права коjа спаjа ове две тачке одређуjе проjекциjу равни у коjоj се креће астронаут на подлогу. Да би се одредило h, повучена jе вертикална права CD коjа се приближно поклапа са осом астронаута и хоризонтална права у равни у коjоj се налази дно стопала астронаута. Висина h тада одговара дужини дужи CD. Са слике очитавамо да jе та дужина h s = 6 подељака на скали. На слици jе висина астронаута H s = 30 подељака на H h скали. Из пропорциjе тада налазимо h = h s H s 6п, одакле jе g = 8 s H (t t 0) H s = 1,60 m s п. Процењуjемо да су грешке очитавања величина h s и H s jеднаке jедном подељку на скали, односно h s = 1 и H s = 1 п. Грешка одређивања g се тада добиjа из формуле g + g = hs H s + H h s H s H, где jе H = 1cm 3п. Након прорачуна се добиjа g = 0,39 m s, па jе коначни резултат g = (1,6±0,4) m s п. Задатке припремили: др Ненад Вукмировић и Вељко Jанковић, Институт за физику, Београд др Никола Jованчевић, Природно-математички факултет, Нови Сад Рецензент: др Антун Балаж, Институт за физику, Београд Председник Комисиjе за такмичења ученика средњих школа: др Божидар Николић, Физички факултет, Београд Страна од

6 П : С e ш њ 5. а а а = A B D C A B

7 ШКОЛСКА 015/16. ГОДИНА ЗАДАЦИ ФЕРМИОНСКА КАТЕГОРИJА Рендгенова цев се користи за добиjање Х-зрачења. У Рендгеновоj цеви електрони се убрзаваjу електричним пољем а затим удараjу у антикатоду. Х-зрачење настаjе кочењем брзих електрона на антикатоди Рендгенове цеви при чему своjу кинетичку енергиjу електрони губе путем електромагнетног зрачења. Одредити Де Брољеву таласну дужину електрона чиjим заустављањем се добиjа спектар Х-зрачења са минималном таласном дужином од λ X = 0,050nm. (0 поена). На метални рам облика круга полупречника b причврсти се n лаких еластичних опруга у тачкама коjе представљаjу темена правилног n тоугла уписаног у круг. За друге краjеве опруга веже се мало тело масе m, као што jе приказано на слици 1 за случаj n = 6. Константе еластичности свих опруга су jеднаке и износе k, док jе дужина сваке од опруга у неистегнутом стању a, при чему важи a < b. У равнотежном положаjу тело се налази у центру круга. Занемаруjући деловање силе Земљине теже, као и силе отпора средине, одредити кружну фреквенциjу малих осцилациjа тела дуж правца нормалног на рам коjи пролази кроз центар рама. (0 поена) Слика 1: уз задатак. 3. Таласна функциjа електрона у атому водоника jе одређена вредностима три квантна броjа (у овом задатку не узимати у обзир спински квантни броj), Ψ n,l,m (n - главни квантни броj, l - орбитални квантни броj, m - магнетни квантни броj). С друге стране, вредности енергиjе дискретних стања, E n, су одређене само главним квантним броjем n ( ) E n 1 n. Тако енергетском нивоу E1 одговара само jедно стање Ψ 1,0,0. Међутим, решења Шредингерове jедначине за атом водоника показуjу да за нивое виших енергиjа постоjе различита стања коjима одговараjу исте вредности енергиjе. Ова поjава се назива дегенерациjа енергетских нивоа, а броj стања коjа одговараjу истом енергетском нивоу се назива степеном дегенерациjе. (а) Написати коjим таласним функциjамa Ψ n,l,m (написати све одговараjуће индексе) су одређена стања електрона у атому водоника коjа одговараjу првом побуђеном енергетском нивоу. (5 поена) (б) Колики jе степен дегенерациjе енергетског нивоа коjи jе одређен главним квантним броjем n? (5 поена) (в) Таласна функциjа коjа одговара основном стању атома водоника jе облика Ψ 1,0,0 = C e r a 0, где jе a 0 Боров радиjус. Одредити вредност позитивне и реалне константе C. (10 поена) Помоћ: Можете користити идентитет: 0 t n e t dt = n!. 4. Стање ваздуха у овоj просториjи може се веома добро описати законима стања класичног идеалног гаса коjе сте упознали у другом разреду. С друге стране, при опису стања проводних електрона у металу (коjи се у основноj апроксимациjи могу посматрати као гас неинтерагуjућих честица) на собноj температури неопходно jе урачунати квантне ефекте, коjи проистичу из немогућности истовременог тачног одређивања положаjа и брзине електрона. Квантитативна мера неопходности урачунавања квантних ефеката при опису стања многочестичних система jе однос λt a, где jе a растоjање међу суседним конституентима система (у овом задатку то су молекули ваздуха или електрони), док jе термална таласна дужина λ T мера неодређености положаjа честица система на температури T. (a) Проценити растоjање међу суседним конституентима система a. У циљу што jедноставниjе процене, у овом делу задатка можете сматрати да су честице система распоређене у чворовима кубне решетке чиjа jе елементарна ћелиjа (елемент кристалне решетке чиjим се транслаторним померањима покрива цела решетка) коцка. Концентрациjу конституeната n сматрати познатом. (6 поена) Страна 1 од

8 ШКОЛСКА 015/16. ГОДИНА ЗАДАЦИ ФЕРМИОНСКА КАТЕГОРИJА (б) Неодређености положаjа и импулса конституената повезане су Хаjзенберговом релациjом r p h, где jе неодређеност импулса p = p p. Процењуjући p користећи резултате за класични идеални гас на температури T, одредити термалну таласну дужину λ T коjа jе дефинисана као минимална неодређеност положаjа конституената система. Концентрациjу n, масу поjединачне честице m, као и температуру T, сматрати познатим. (8 поена) (в) Одредити броjну вредност односа λt a за гас проводних електрона у бакру на температури T = 3,0 10 K (n = 8, m 3, m = 9, kg) и за ваздух на температури T = 3,0 10 K (n =, m 3, m = 4, kg). ( поена) (г) Температура T d на коjоj jе λt a = 1 представља граничну температуру између области у коjима квантни ефекти долазе/не долазе до изражаjа. Одредити T d за гас проводних електрона у бакру. Може ли се у некоj области температура у коjоj бакар постоjи као метал стање гаса његових проводних електрона описати без урачунавања квантних ефеката? Температура топљења бакра jе T m = 1, K. (4 поена) 8kB T Помоћ: Средња аритметичка брзина молекула класичног идеалног гаса масе на температури T jе v = πm, где jе m маса поjединачног молекула. 5. На слици у прилогу су приказана три снимка америчког астронаута Нила Армстронга, начињена непокретном камером 0. jула током његовог хода на Месецу. Снимци су начињени редом у тренуцима t 0 = 0, t 1 = 0,67s и t = 1,34 s при чему jе у тренутку t 0 одскочио од подлоге, у тренутку t 1 jе био у наjвишоj тачки путање, а у тренутку t jе доскочио. Нил Армстронг jе био висок H = (180±1) cm. На основу ових снимака одредити убрзање силе теже на Месецу и проценити одговараjућу грешку. Занемарити грешке мерења наведених времена. Лист коjи вам jе дат у прилогу можете предати уз рад ако сте на њему нешто радили. (0 поена) Приликом решавања задатака можете користити следеће броjне вредности универзалних физичких константи: Болцманова константа k B = 1, J/K, елементарно наелектрисање e = 1, C, eнергиjа мировања електрона m 0 c = 511keV, брзина светлости c = 3, m/s, Планкова константа h = 6, Js. У фермионскоj категориjи такмиче се ученици коjи похађаjу одељења коjа раде по програмима средњих стручних школа, уметничких школа и свих врста гимназиjа осим специjализованих гимназиjа за области математика и физика. Задатке припремили: др Ненад Вукмировић и Вељко Jанковић, Институт за физику, Београд др Никола Jованчевић, Природно-математички факултет, Нови Сад Рецензент: др Антун Балаж, Институт за физику, Београд Председник Комисиjе за такмичења ученика средњих школа: др Божидар Николић, Физички факултет, Београд Страна од

9 П : С e 5. а а а = У ај ај, ш ш :

10 ШКОЛСКА 015/16. ГОДИНА РЕШЕЊА ФЕРМИОНСКА КАТЕГОРИJА Када електрон своjу кинетичку енергиjу изгуби емитовањем jедног фотона важи T = hc λ X 5п. Интензитет импулса електрона можемо одредити из формуле коjа узима у обзир релативистичке ефекте: p = c 1 T +E 0 T 7п, где jе E 0 енергиjа мировања електрона. Де Брољева таласна дужина jе дата изразом λ = h p 3п. Из претходних jедначина следи λ = hc ( hc λ ) + hc X λ X E 0 3п, односно λ = 0,0077nm п.. Када се куглица помери из центра рама дуж правца нормалног на рам за растоjање x, дужине свих опруга су jеднаке и износе l = x +b 5п. Компоненте сила еластичности опруга у равни рама се међусобно потиру 5п, док се проjекциjе дуж правца нормалног на рам сабираjу, тако да jе интензитет укупне повратне силе F = n k(l a) x l = n kx n kax (1 b 1+(x/b) n k a ) x, при чему смо у последњем кораку задржали само линеарне чланове по x. Зато jе кружна фреквенциjа малих осцилациjа jеднака ω = n k m 1 b ( a b) 10п. 3. (а) За дату вредност главног квантног броjа n, орбитални квантни броj l може имати вредности l = 0,1,...,, а за дату вредности l орбиталног квантног броjа магнетни квантни броj m може имати вредности m = 0,±1,..., ± l. Први побуђени енергетски ниво атома водоника одговaра вредности главног квантног броjа n =. На основу тога закључуjемо да су стања коjа одговараjу овом енергетском нивоу одређена таласним функциjама: Ψ,0,0,Ψ,1,0,Ψ,1,1,Ψ,1, 1 5п. (б) На основу вредности коjе могу имати квантни броjеви, добиjамо да jе степен дегенерациjе g n енергетског нивоa одређеног главним квантним броjем n: g n = (l+1) 3п. Даље добиjамо: g n = l + 1 = ( n() l+n = ) +n, g n = n п. (в) Константу C ћемо наћи из услова да jе укупна вероватноћа налажења електрона у простору jеднака 1 3п. Вероватноћа налажења електрона у сферноj љусци унутрашњег полупречника r и спољашњег полупречника r +dr jеднака jе dp = Ψ 1,0,0 dv, где jе dv = 4r πdr запремина те сферне љуске. Одатле jе Ψ 0 1,0,0 4r πdr = 1, односно 4πC r e r/a0 dr = 1 4п. Последњи интеграл се решава увођењем смене u = r/a 0 0, чиме се своди на интеграл дат у тексту задатка. Решавањем тог интеграла коначно добиjамо C = 1 3п. πa (a) Свака честица у кубном кристалу се налази у укупно 8 елементарних ћелиjа облика коцке, па jе броj честица по елементарноj ћелиjи jеднак = 1. Дакле, укупан броj елементарних ћелиjа jеднак jе укупном броjу честица N, па jе запремина jедне ћелиjе jеднака V/N, где jе V запремина система. Растоjање између суседних конституената система jе онда jеднако дужини ивице елементарне ћелиjе и износи a = (V/N) 1/3 = n 1/3 6п. (б) Неодређеност импулса jе jеднака p = m ( v v ), при чему су средње вредности v и v процењене редом резултатима за средњу квадратну v = 3k BT 8kB T и средњу артиметичку брзину v = m πm молекула класичног идеалног гаса на температури T. Применом Хаjзенбергове релациjе неодређености, за неодређеност h положаjа важи неjеднакост r π(3π 8)mk B T, па jе термална таласна дужинаλ h T = π(3π 8)mk B T 8п. (в) Однос λ T a = hn 1/3 π(3π 8)mk B T за гас проводних електрона у бакру на температури T = 3,0 10 K износи λ T a = 11, док за ваздух на истоj температури износи λ T a = 3, п. 1 h n /3 (г) Температура T d = за гас проводних електрона у бакру износи T d = 3, K. Квантни 4π(3π 8) mk B ефекти долазе до изражаjа за λt a > 1, односно у области температураt < T d. TемператураT d за гас проводних електрона у бакру знатно jе већа од температуре T m топљења бакра, па се гас проводних електрона у бакру, на свим температурама на коjима бакар постоjи као метал, мора описивати уз урачунавање квантних ефеката 4п. Страна 1 од

11 ШКОЛСКА 015/16. ГОДИНА РЕШЕЊА ФЕРМИОНСКА КАТЕГОРИJА Време кретања астронаута од одскока до доскока jе jеднако t t 0 = vy0 g, где jе v y0 y-компонента брзине астронаута у тренутку одскока. Притом jе ова брзина повезана са максималном висином h коjу астронаут достигне jедначином vy0 = gh. Из претходних jедначина следиg = 8h 5п. На слици у прилогу су тачке одскока и доскока означене (t t 0) са A и B. Права коjа спаjа ове две тачке одређуjе проjекциjу равни у коjоj се креће астронаут на подлогу. Да би се одредило h, повучена jе вертикална права CD коjа се приближно поклапа са осом астронаута и хоризонтална права у равни у коjоj се налази дно стопала астронаута. Висина h тада одговара дужини дужи CD. Са слике очитавамо да jе та дужина h s = 6 подељака на скали. На слици jе висина астронаута H s = 30 подељака на H h скали. Из пропорциjе тада налазимо h = h s H s 6п, одакле jе g = 8 s H (t t 0) H s = 1,60 m s п. Процењуjемо да су грешке очитавања величина h s и H s jеднаке jедном подељку на скали, односно h s = 1 и H s = 1 п. Грешка одређивања g се тада добиjа из формуле g + g = hs H s + H h s H s H, где jе H = 1cm 3п. Након прорачуна се добиjа g = 0,39 m s, па jе коначни резултат g = (1,6±0,4) m s п. Задатке припремили: др Ненад Вукмировић и Вељко Jанковић, Институт за физику, Београд др Никола Jованчевић, Природно-математички факултет, Нови Сад Рецензент: др Антун Балаж, Институт за физику, Београд Председник Комисиjе за такмичења ученика средњих школа: др Божидар Николић, Физички факултет, Београд Страна од

12 П : С e ш њ 5. а а а = A B D C A B