РИЗИК ОД МЕХАНИЧКИХ ДЕЈСТАВА

Transcript

1 Ризик од механичких дјстава Увод РИЗИК ОД МЕХАНИЧКИХ ДЕЈСТАВА Ризик је вероватноћа настанка повреде, обољења или оштећења здравља запосленог услед опасности; ризик на раду се односи на могућност и на тежину повреде или обољења насталог као резултат излагања опасности. Правни основ за процену ризика Закон о безбедности и здрављу на раду ( Сл. гласник РС, бр. /5) и Правилници у вези примене и спровођења Закона; Правилник о начину и поступку процене ризика на радном месту и у радној околини ( Сл.гласник РС, бр. 7/6 и 84/ 6 ). Опасност јесте околност или стање које може изазвати потенцијалну штету. Опасности могу да утичу на људе, имовину, процесе производње; оне могу изазвати повреде на раду и болести, губитак производње, оштећење машина и итд. Процена ризика јесте систематско евидентирање и процењивање свих фактора у процесу рада који могу узроковати настанак повреде на раду, обољења или оштећења здравља и утврђивања могућности, односно начина спречавања, отклањања или смањења ризика. Основни циљ процене ризика на раду је заштита безбедности и здравља запослених односно минимизирање могућности да запослени или окружење буду угрожени током активности у вези са процесом рада. Препознавање и одређивање опасности је део процеса процене ризика који се често означава и као идентификација опасности. Опасности на радном месту су Законом о безбедности и здрављу на раду груписане на следећи начин:. Механичке опасности: Ротирајући-покретни делови Слободно кретање делова материјала Унутрашњи транспорт Опасна средства која могу изазвати пожар и експлозију Немогућност или ограниченост правовременог уклањања са радног места Други фактори. Карактеристике радног места Опасне површине Рад на висини или у дубини Рад у скученом простору Могућност клизања, спотицања, падова Физичка нестабилност радног места Сметње услед ношења ЛЗС Неодговарајућа метода рада Друго 3. Електрична енергија Ризик од механичких дејстава дефинишемо као вероватноћу настанка повреде, обољења или оштећења здравља човека, као и губитак производње, оштећење машина или имовине, услед механичких опасности, као и неких неповољних карактеристика радног места. Механичке опасности су последица механичких дејстава. Дакле, механичка дејства представљају узрок настанка многих акцидентних ситуација, несрећа, катасрофа, кадкад са трагичним исходом по људство или са великим материјалним губицима. Стога, предмет под овим називом, би обухватио теорију о настанку механичких опасности услед механичких дејстава. Теоријско објашњење настанка механичких опасности треба тражити у Механици, науци која се бави изучавањем стања мировања и кретања тела при различитим механичким дејствима.

2 Ризик од механичких дјстава ОСНОВНИ ПОЈМОВИ МЕХАНИКЕ ПОДЕЛА МЕХАНИКЕ Процеси у Васељени (Универзуму) представљају непрекидно и непрестано кретање и трајање, тако да постоје различите врсте кретања у зависности од процеса који се посматра и анализира. Једно од таквих кретања јесте и механичко кретање. Под механичким кретањем подразумева се промена положаја у простору, током времена, једног материјалног тела у односу на друго материјално тело, за које сматрамо да је непокретно. Специјални случај механичког кретања је механичко мировање, под којим се подразумева, да тело које се посматра не мења свој положај у односу на друго тело за које се сматра да је непокретно. Тада се каже да су ова два тела, или систем тела у равнотежи. Дефиниција: Теоријска механика је наука о општим законима кретања и равнотеже материјалних тела, односно она изучава односе између следећих основних физичких величина: дужине, времена и масе. У филозофији се под материјом подразумева све оно што постоји ван наше свести, јер су материја и свест основни ентитети Универзума. Суштинским процесима егзистенције материје својствено је кретање, простор, и трајање које се манифестује преко времена, а то значи, да се кретање и постојање материје не могу да замисле без простора и времена, и обрнуто. У класичној, Њутновој механици, анализирају се кретања у тзв. непокретном, апсолутном простору Њутнова дефиниција: Непокретани, односно апсолутани простор је простор, чија својства не зависе од кретања материје у њему. такав Аналогно непокретном простору уводи се и апсолутни, непокретни координатни систем, у односу на који се, по дефиницији класичне, Њутнове механике, посматра кретање материјалне тачке и тела. На исти начин уводи се и појамови апсолутног и релативног кретања. Дефиниција: Апсолутно кретање је такво кретање које се посматра у односу на систем референције који је непокретан, тј. апсолутан. Како у природи нема апсолутно непокретних тела, сва су кретања релативна, па се дефиниција апсолутно непокретног простора и апсолутно непокретног система референције узима условно. Аналогно апсолутном, непокретном простору, Њутн уводи и тзв. универзално време. Дефиниција: Универзално време је такво време, које се једнако мења, тече, у свим деловима простора (Универзума) и не зависи од било каквих спољашњих или унутрашњих утицаја. У природним наукама и у техници, под појмом материје подразумева се конкретна слика структуре и својства материје на одређеном степену развоја људског знања и развоју људске праксе. У природи, у процесу непрекидног кретања, тела узајамно дејствују једна на друга, на различите начине. У механичком смислу, ова дејства огледају се у промени механичког кретања тела, или дела тела, као и у промени узајамног положаја тела или дела тела. Због тога се уводи један нови појам, сила, чија је једна од дефиниција. Дефиниција: Сила представља дејство једног тела на друго тело. То дејство карактерише се величином, правцем и смером дејства. Из претходне дефиниције закључује се, да је сила векторска величина. Класична, Њутновска механика, која се изучава у техници, проучава кретање тела чија је брзина знатно мања од брзине светлости у вакууму, тј. подрелативистичка брзина. Она се заснива на три основна закона, или аксиоме Механике, (тзв. закони о кретању Axomata sve leges motus ), које је објавио славни енглески физичар, математичар и филозоф Исак Њутн

3 Ризик од механичких дјстава 3 (Isac ser Newto, ) у делу Phlozophe Naturals Prcpa Mathematca), 686. године ( Математички принципи филозофије природе ) или краће Принципије, који гласе: I Закон - Закон инерције Свако тело остаје у стању мировања или равномерног (једноликог) и праволинијског кретања све док под дејством сила не буде принуђено да то своје стање промени. Закон инерције, први је поставио велики италијански физичар Галилео Галилеј (Galleo Galle, ), јер је први приметио особину тела да тежи да задржи стање мировања или стање кретања и ту особину назвао инерција - erta (лењост). Координатни систем у коме важи принцип инерције назива се инерцијални координатни систем, или Галилејев триједар. Први Њтнов закон назива се и закон егзистенције-закон постојања силе. Кретање у одсуству силе, назива се кретање по инерцији, при чему се константује једнакост мировања и кретања по инерцији. II Закон - Закон еквиваленције Промена кретања - убрзање, пропорционално је сили која дејствује на тело и врши се у правцу силе. Под променом кретања (mutatoнem motus) Њутн, сматра промену количине кретања. Дефиниција: Количина кретања материјалне тачке подразумева производ масе (m) материјалне тачке и вектора брзине (v) тачке, тј. m* v. Други Њутнов закон може d да се изрази у аналитичком облику m v F. У случају када је маса константн, други Њутнов закон може да се напише F m* a. На основу тога, према Кирхофу (Robert Krchoff, ), маса m је коефицијент пропорционалности између убрзања а и силе F. У додатку за други закон, Њутн даје и начин сабирања сила: под дејством удружених сила тело описује дијагоналу паралелограма у истом времену у коме дејством појединих сила описује стране. III Закон - Закон акције и реакције Дејству (акцији) увек је једнако противдејство (реакција) или, дејства два тела једног на друго увек су једнака и супротно су усмерена. Сва три Њутнова закона служе за потпуно дефинисање силе. Први закон, закон инерције, показује могућност постојања силе, други закон, показује могућност мерења, упоређивања сила, и са додатком показује како се оперише силама. Трећи закон показује извор силе без кога она не може да постоји. Механика обухвата већи број научних дисциплина: а) Механика крутог тела. Под појмом круто тело подразумева се такво тело, које у простору и током времена, не мења ни облик ни запремину у току кретања. Растојање између ма које две тачке тела, у току кретања остаје непромењено, тј. растојање између две тачке на телу, односно димензије тела и облик тела су инваријантни, у односу на кретање, односно на силе и време њиховог дејства на круто тело. Механика крутог тела подразумева и она тела, чије димензије могу да се занемаре, тако да се тело посматра као материјална тачка која има масу тела, тј. целокупна маса тела концентрисана је у једној тачки, која се назива, материјална тачка. Дефиниција: Материјална тачка је такво тело чије димензије могу да се занемаре и сматра се да је целокупна маса тела концентрисана у једној тачки. б) Механика тела променљиве масе. Поједина тела у току кретања мењају своју масу, тако на пример, ракета у току лета мења масу, при транспортовању потке кроз зев код разбоја за ткање, носиоцу потке (пројектилу или чунку), у току кретања додаје се маса.

4 Ризик од механичких дјстава 4 в) Механика чврстог тела. Чврста тела су реална тела која нас окружују. Она се у току кретања, више или мање деформишу, зависно од утицаја других тела. Проучавањем кретања деформабилног (чврстог тела) бави се Теорија еластичности, чија је практична грана Отпорност материјала и Теорија пластичности. Дефиниција: Чврста тела су таква тела која се под дејством сила деформишу, у времену и простору. г) Механика течног тела. Дисциплина која се бави проучавањем кретања течног тела јесте Хидромеханика. д) Механика гасовитог тела. Дисциплине које с баве проучавањем кретања гасовитих тела су Аеродинамика и Гасна динамика. Механике крутог тела дели се на три одвојене дисциплине: Статику, Кинематику и Динамику. Статика испитује специјалан случај кретања тела, тј. мировање тела и услове који су неопходни да би тело остало у стању мировања. Кинематика испитује кретање крутих тела не водећи рачуна о њиховој материјалности, као ни о узроцима кретања. Динамика испитује кретање крутих тела водећи рачуна о материјалности тела и о узроцима који изазивају та кретања.

5 Ризик од механичких дјстава 5 СТАТИКА ЗАДАТАК И ПОДЕЛА СТАТIКЕ Дефиниција: Статика је наука која анализира и изучава, равнотежу тела и услове, који треба да буду испуњени, да би тело, или систем тела остао у равнотежи, односно Статика проучава односе између двеју физичких величина, силе и дужине. Сила и дужина су основне физичке величине које се јављају у статици. У Статици није објашњен физички појам силе, већ се она дефинише као узрок промене стања кретања или стања мировања тела. У Статици се сила дефинише на основу првог Њутновог закона, као узрок промене стања кретања или стања мировања тела, па се силе које изазивају кретање тела називају активне силе, док се силе, које се противе промени стања тела (кретања или мировања) називају унутрашње силе, реактивне силе. Сл. Сл. На сликама и приказано је разлагање силе у равни и у простору и одређивање интензитета и правца силе у равни и у простору. У Статици се срећу (дефинишу) три врсте вектора: Дефиниција: а) Клизећи вектор (сила наших руку када се вуче уже), је такав вектори, за чије је потпуно дефинисање, неопходно да се знају три податка: интензитет, правац и смер. Из дефиниције клизећег вектора проистиче, да се особине клизећег вектора не мењају, тј. дејство на тело се не мења, ако се клизећи вектор помера, односно клизи дуж нападног правца, Дефиниција: б) Везани вектор за тачку (сила тежине, момент силе за тачку), је такав вектор, за чије је потпуно дефинисање, неопходно да се знају четири податка: интензитет, правац, смер и нападна тачка, Дефиниција: в) Слободни вектор (момент спрега), за чије је потпуно дефинисање, неопходно да се знају два податка, и то, интензитет и смер, ако је позната раван дејства спрега. Ако нападни праваци сила које нападају тело леже у једној равни, такав систем се назива равански; а ако су праваци произвољни, онда се такав систем сила назива просторни. Према томе Статика се дели на Статику у равни и Статику у простору. На тело истовремено може да делује више сила, па пошто је тешко радити са великим бројем сила одједном, основни задатак Статике је: а) да дејство система од ( =, 3, 4..) сила замени дејством једне силе. Та сила назива се резултанта. Статика проучава и тела у миру, те произилази и други основни задатак Статике: б) да проучи услове под којима ће тело, на кога делује систем сила, да остане у равнотежи. Сила може бити: концентрисана (сл. 3) линијска (сл.4 ) површинска (цл. 5) запреминска (сл.6)

6 Ризик од механичких дјстава 6 Концентрисана сила представља механички утицај између два механичка објекта који имају додир само у једној тачки. Сл.3 Концентрисана сила Сл.4 Линијска сила Сл.5 Површинска сила Сл.6 Запреминска сила Ако је додир два тела остварен по линији користи се термин линијска сила. Ако је додир два тела остварен по површини користи се термин површинска сила. Ако је сила расподељена на целу област тела, делујући на сваки елементарни део масе тела, ради се о запремински подељеној сили (нпр. тежина тела). У механици се ради са крутим (недеформабилним) телима. Круто тело је модел материјалне средине који непрекидно испуњава запремину тела, а која има особину да су растојања између било ког пара материјалних тачака те средине непроменљива у времену и простору без обзира на спољашња дејства.. СТАТIКА У РАВНИ.. АКСИОМЕ СТАТИКЕ Класична механика заснива се на три основна, Њутнова закона механике, који се често схватају и називају основним аксиомама Механике ( Axomata sve leges motus ), јер се њихова исправност непрестано доказује и проверава на основу низ експеримената и вековног искуства. Пошто се у Механици изучавају односи између масе, дужине, времена и силе, а како се у Статици изучавају односи између силе и дужине, као специјални случајеви три основна закона Механике, проистиче пет твређења Статике, која су прихваћена као Аксиоме Статике.. Аксиома инерције мировања тела Тело које се налази у стању мировања неће се покренути само од себе, односно, без дејства сила. Ова аксиома представља специјалан случај првог мировање тела. Из ње проистиче следеша последица. Њутновог закона и односи се на Последица: Ако се тело налази у стању мировања, и ако на њега не делују силе, оно остаје у стању мировања.. Аксиома равнотеже двеју сила Тело које нападају две силе остаје у стању мировања, тада и само тада, ако су силе истог интензитета, истог правца и супротног смера. Сл.7. Док прва аксиома и њена последица даје услове који мора да се испуне, за промену стања мировања тела, или одржања тела у стању мировања, из друге аксиоме проистиче услов равнотеже под дејством двеју сила, тј. да би тело било у равнотежи под дејством двеју сила, те силе мора да имају исти интензитет, исти правац и супротан смер (сл.7). Из друге аксиоме проистичу две последице. Последица I: Ако је тело било у стању мировања и на њега почне да делује сила F, да би тело задржало стање мировања, тој сили треба придружити силу истог интензитета, истог правца и супротног усмерења.

7 Ризик од механичких дјстава 7 Последица II: Ако на тело делује систем од две силе истог интензитета, истог правца и супротног смера, стање мировања тела се неће променити ако се телу дода или одузме уравнотежен систем сила. Сл.8. На основу друге последице може да се објасни особина силе као клизећег вектора, тј. да се дејство силе на тело не мења ако се сила помера, клизи дуж свог нападног правца, Сл.8. У тачки А, нека дејствује на тело сила F. У било којој произвољној тачки на нападном правцу силе F, нпр. у тачки B, нека се дода пар уравнотежених сила чији су интензитети једнаки интензитету силе F, тј. F F F. На основу друге последице друге аксиоме Статике дејство на тело се не мења, без обзира што сада на тело делује систем од три силе. Сада силе F и F представљају уравнотежен систем сила. Дејство на тело се не мења ако се од њега уклони овај систем уравнотежених сила. На тај начин остаје само сила F, која је једнака сили F, али је сада њена нападна тачка, тачка B. На тело осим једне или две силе може да делује и више сила истовремано, нпр. систем од н сила,,,3,...,). Због тога је неопходна дефиниција система сила. F где је ( = Дефиниција: Систем сила чине све силе које делују на тело, ( F ).,где је =,,3,..., Два система сила могу да имају на једно тело исто или различито дејство. Ако два система сила изазивају исто дејство на тело, тј. ако је дејство једног система сила једнако дејству другог система сила, таква два система сила су еквивалентна. Дефиниција: Два система сила су еквивалентна, ако је дејство једног система сила на тело, једнако дејству другог система сила на тело. 3. Аксиома о паралелограму сила Трећа аксиома Статике уствари је додатак уз други закон Механике, који је Њутн објавио у Принципијама, па пошто су силе векторске величине, две силе се сабирају по правилу сабирања вектора. Под дејством удружених сила тело описује дијагоналу паралелограма у истом времену у коме дејством појединих сила описује стране, односно, резултанта двеју сила F и F, које дејствују на круто тело у тачки А, одређена је по интензитету, правцу и смеру, дијагоналом паралелограма конструисаног над страницама, Сл.3. Сл.3 Резултанта двеју сила једнака је векторском збиру тих сила. F R F F () Интензитет резултанте налази се квадрирањем израза () и одређивањем квадратног корена добијеног резултата, тј:

8 Ризик од механичких дјстава 8 FR F F F cos F. () На основу синусне теореме из троугла ABD (Сл.3) следи: F F FR FR. (3) s s s( ) s Ако на тело делују три силе, тело је у равнотежи ако те три силе чине троугао сила. 4. Аксиома акције и реакције ( дејства и противдејства) Дејству (акцији) увек је једнако противдејство (реакција) или, дејства два тела једног на друго увек су једнака и супротно су усмерена. Ова аксиома представља чувени трећи Њутнов закон акције и реакције. Ако тело А делује на тело B силом F, тада и тело B делује на тело А силом - F истог интензитета и правца, а супротног смера. Проучавајуćи круто тело, а на основу прве аксиоме, унутрашње силе које нападају крут тело представљају уравнотежен систем сила и као логична последица друге аксиоме овај систем може да се уклони. Према томе за анализу остају само спољашње силе, које се увек посматрају. Сл.4 5. Аксиома о крутом телу Ако се чврсто, деформабилно тело налази у равнотежи под дејством датог система сила, равнотежа ће се одржати и тада ако тело постане апсолутно круто. Ова аксиома примењује се у техници при анализи конструкција.

9 Ризик од механичких дјстава 9. ОБЛИЦИИ ВЕЗА И РЕАКЦИЈА ВЕЗА. АКСИОМА О ВЕЗАМА Сл.. и Сл.3. У природи и техници сусрећу се тела која су у контакту, односно у вези са другим телима. Тела која нису у никаквој вези са другим телима могу слободно да се крећу под дејством сила. Таква тела називају се слободна тела, док она тела која су у вези са другим телом или са дугим телима, не могу слободно да се крећу под дејством сила и она се називају неслободна тела. Дефиниција: Слободно тело је такво тело, које није у контакту са другим телима и које може да се из датог положаја премести у било који положај под дејством сила. Дефиниција: Неслободно тело је такво тело, које је везано за друга тела, и које под дејством сила, не може да се премести у произвољи положај. Ако су тела неслободна, онда су у контакту са другим телима која им спречавају слободно кретање, па се тела која спречавају слободно кретање називају везе. Дефиниција: Везе су тела која спречавају (ограничавају) померање датог тела под дејством спољашњих сила у простору. У простору круто слобдно тело има шест степени слободе кретања (три транслације и три ротације) Сл.. У равни слободно круто тело има три степена слободе кретања (две транслације у правцу координатни оса и једну ротацију у равни коју чине координатне осе Сл 3). Ако су тела неслободна, онда им је кретање ограничено везама. Везе су сва тела која ограничавају кретање посматраног тела Сл.4. Под дејством сила тело оптерећује везе које не дозвољавају померање тела. Пошто тело под дејством сила оптерећује везе и реакције везе делују на тело силама истих праваца, истих интензитета и супротних смерова Сл.5. За разлику од активних сила које унапред знамо и које не зависе једна од друге, реактивне силе зависе од активних сила и карактера веза. Ређи је случај да се унапред зна правац и смер, али им се интензитет никада не зна унапред. Реактивне силе постоје само док постоје везе, па се због тога често и називају пасивне силе. При проучавању равнотеже тела узимају се у обзир и активне и реактивне силе, те је основни задатак Статике и одређивање реактивних сила. Неслободно (везано) тело може да се посматра као слободно тело на основу принципа ослобађања од веза: Свако неслободно тело може да се посматра као слободно тело ако се замисли да су одстрањене везе, а њихов утицај замени силама реакција веза Сл.5.. Сл.4 и Сл.5

10 Ризик од механичких дјстава На сл.4 приказан је штап АВ. Тежине G који се у тачкама А и В ослања на глатку подлогу. У тачкама А и В јављају се реакције F A и F B које су управне на тангенту додирних површина у тачкама додира. Смер ових сила је супротан од смера дејства активних сила ( у овом случају само делује сила G ). После укалањања ослонаца утачкама А и B активне и реактивне силе имају задатак да одрже тело у претходном стању, стању равнотеже. Сл.6 и Сл.7 На сл.6 приказана је проста греда са непокретним ослонцем А и покретним ослонце В, на коју делује коса сила. Непокретни ослонац А спречава транслаторно кретање у правцу оса x и z, па се у њему јављају реакције у правцу осе х и у. Ослонац В је покретан, може да се креће у правцу осе х, па је реакција у њему у правцу осе у. Резултујућа реакција у тачки А је коса сила F A. На сл.6 приказана је проста греда АВ у равнотежи под дејством активних и реактивних сила. Сл.8 и Сл.9 На сл.8 приказан је штап АВ, тежине G који је у тачки А везан за непокретни ослонац А, а у тачки В ослања се на куглу. У ослонцу А као реакције јављају се силе у правцу оса х и у. Реакција у тачки В је управна на заједничку тангенту на површине које се додирују, а смер је супротан од смера дејства активне силе G, односно смер је такав да одржава штап у равнотежни положај после уклањања свере, и замене њеног дејства дејством реактивне силе F B. Под дејством активних и реактивних сила штап АВ је у равнотежи (сл.9). Сл. и Сл. На слици приказан је штап тежине G који у тачки А везан за покретни ослонац А, а преко тачке В ужетом BD везан је за зид у тачки D. Реакција у ослонцу А је вертикална навише, а у тачки В има правац ужета BD док је смер такав да одржава штап у претходни положај после уклањања ужета BD (од В ка D). На слици приказан је штап АВ у равнотежи под дејством активних и реактивних сила. На основу четврте аксиоме Статике, два тела која су у контакту делују једно на друго, силама истог интензитета, истог правца и супротног смера, па сила којом веза делује на дато тело назива се реакција веза. Дефиниција: Реакција веза је сила, којом веза (материјално тело) дејствује на дато тело, и на тај начин спречава слободно кретање датог тела у простору под дејством спољашњих сила. Реакција веза увек је усмерена у супротном смеру од смера у коме веза спречава померање датог тела.у случају када веза истовремено спречава кретање тела у више праваца, онда

11 Ризик од механичких дјстава правац реакције није познат и одре ује се решавањем конкретног задатка у зависности од врсте веза којом је дато тело везано. Тело у равни има три срепена слободе кретања (три могушности кретања), и то: две транслације у правцу координатних оса и једну ротацију у равни Оxy око з-осе, Сл.5. Да би се спречило транслаторно кретање тела потребно је да се једна тачка на телу учини непокретном. ) Веза се остварује преко глатке површи (раван) Сл.7а,б Глатке површине су такве површине код којих може да се занемари тење. Такве површине спречавају померање у правцу заједничке нормале на површине, у тачки додира. На слици (7а-ц) приказани су различити случајеви ослањања тела тежине G о глатке површине и уцртане су реакције веза. ) Веза се остварује гипким нерастегљивим телом Сл.7ц Оваква веза спречава померање тела А под дејством сопствене тежине G, у смеру дејства силе тежине, па сила реакције у концу, сила S, има супротан смер Сл.8. Сл.8 3) Веза је остварена помоћу цилиндричног зглоба Цилиндрични зглоб А је тако изведен да се спречи транслаторно кретање тела АБ у правцу осе x и у правцу осе y Сл.6., док може да се окреше око осе која пролази кроз тачку А и управна је на раван Сл.6 Аxy. На тај начин постоје две компоненте реакције везе, тј. силе F A у правцу осе Аx, компонента XА, и у правцу осе Аy, компонента YА. Укупна реакција одре ује се на основу треше аксиоме о паралелограму сила. Аксиома о везама, При проучавању равнотеже тела узимају се у обзир и активне и реактивне силе, те је основни задатак Статике и одре ивање реактивних сила. Неслободно (везано) тело може да се посматра као слободно тело на основу Принципа ослоба ања од веза, односно на основу Аксиоме о везама: Свако неслободно тело може да се посматра као слободно тело ако се замисли да су одстрањене везе, а њихов утицај замени силама реакција веза..3 СИСТЕМ СИЛА НАПАДА ЈЕДНУ ТАЧКУ (СИСТЕМ СУЧЕЉНИХ СИЛА) Дефиниција: Систем сучељних сила назива се такав систем сила који дејствује на тело и чији се нападни правци секу у једној тачки тела (Сл.9).

12 Ризик од механичких дјстава Ако тело Q напада више сила F, F, F3, F 4 чији се правци секу у тачки P тада је реч о систему сучељних сила (Сл.9). Силе, као клизећи вектори могу да се померају дуж правца дејства тако да им је тачка Р нападна тачка. На тај начин се добија систем сила које нападају једну тачку тела Q. У овом случају први задатак Статике може да се реши графичким и аналитичким путем..3. Графички поступак одређивања резултанте Постоје два начина за одређивање резултанте графичким поступком: - Паралелограм сила и - Полигон сила. У књизи се обрађује само други поступак помоћу Полигона сила..3.а. Полигон сила На врх вектора силе F F, тј. у тачку, А паралелно се премешта сила без промене смера, и на исти начин у тачку B надовезује се сила F 3, а на њен крај C, сила F4. Тако се добија полигон сила OABCD (Сл.). Завршна страница OD овог полигона Сл.3 представља резултанту F R, по правцу, смеру и интензитету. Тело на које дејствује сучељни систем сила је у равнотежи ако је резултанта таквог система сила једнака нули, тј. ако је полигон сила затворен. На овај начин доказана је следеша теорема: Теорема: Сучељни систем сила је у равнотечи ако је полигон сила затворен. Из ове теореме проистиче услов равнотеже сучељног система од три силе. Последица: Систем од три сучељне силе је у равнотежи ако је троугао сила затворен..3.б. Теорема о пројекцији резултанте Пројекција резултанте једнака је алгебарском збиру пројекција компонената на исти правац. Доказ: Нека је F R резултанта система сила F, F, F 3, F 4 (Сл.) и нека је L произвољан правац у равни полигона сила, орјентисан јединичним вектором u. Пројектовањем свих сила полигона на правац L, закључије се да, је збир свих пројекција једнак пројекцији резултанте F R на правац L, тј., a ab bc cd a ab bd d. (5).3. Аналитичка метода одређивања резултанте Теорема: Пројекција резултанте једнака је алгебарском збиру пројекција компонената.

13 Ризик од механичких дјстава 3.3. Аналитичка метода одређивања резултанте Теорема: Интензитет резултанте сучељног система сила једнак је квадратном корену из квадрата сума пројекција свих сила на осе x и y (8), а њен правац и смер одређени су изразима (9 и ). Нека је нападна тачка N координатни почетак координатног система Оxy, Сл.3. Пројекције сила F на осе x и y, су: X F cos, X F cos,..., X Y F cos, Y F cos,..., Y F s На основу теореме о пројекцији резултанте добија се: F cos (6) X Y R R X X... X Y Y... Y Y F s. X F cos. (7) где су X R и Y R пројекције резултанте на осе x и y. Интензитет резултанте одређује се на основу Питагорине теореме: R R R F X Y X Y Смер резултанте одређен је косинусом угла кога правац резултанте заклапа са x - осом. X R X cos R. (9) Y R X Y Једначина нападног правца резултанте одређена је једначином: y Y X R R x. (8) F cos m x.. () F s где је m - коефицијент правца. Нападна тачка сучељног система сила N, у равни има могућност кретања у правцу осе x и осе y. Тачка или тело остаје у мировању ако је резултанта сучељног система сила једнака нули, односно ако су пројекције резултанте система сила на осе x и y једнаке нули, тј. ако су испуњен услов: F. () Овој векторској једначини одговарају две скаларне једначине: X R. Y. R R

14 Ризик од механичких дјстава 4.4 МОМЕНТ СИЛЕ ЗА ТАЧКУ Дефиниција: Момент силе за тачку О, једнак је векторском производу вектора положаја r нападне тачке N силе F, у односу на моментну тачку О, и вектора силе F. Момент изазива обртно кретање тела око моментне тачке, при чему се сматра да је моментна тачка непомична тачка. Момент силе за тачку је векторска величина. Јединица за момент је Nm. У општем случају тело у равни може да врши транслаторно кретање (транслацију) и обртно кретање (ротацију). Сила као клизеши вектор изазива транслацију док ротацију изазива нови статички елемент - момент силе. Нека је тело Q, кога напада сила F у тачки Н, зглобно везано у тачки О. Нападна тачка Н силе F одре ена је вектором положаја r у односу на тачку О. Део тела који се поклапа са r може да се у мислима издвоји као полуга зглобно везана у тачки О. Под дејством силе, полуга мења правац па самим тим и сила мења правац, јер је круто везана за полугу. Пошто је полуга круто везана за тело променом правца дејства силе, тело се обрше око осе која пролази кроз тачку О и нормална је на раван вектора F и r. На основу овога следи да сила која не пролази кроз тачку О изазива обртање тела. Обртање тела се објашњава интензитетом, правцем (осом око које се врши обртање) и смером обртања. Обртно дејство силе је векторска величина и назива се момент силе F за тачку О, која представља моментну тачку. Сила F може да се разлажи на компоненте F cos у правцу вектора положаја r, и F s управно на правац вектора r, Сл.4. Компонента F cos тежи да транслаторно помери тело у правцу свог дејства оптерешујуши зглоб О. Компонента F s мења правац свог дејства и изазива обртање тела те је она меродавна за израчунавање величине обртања. Интензитет обртања дефинише се производом компоненте F s и интензитета вектора F r означава се M o, па је: Пошто је обртање, тј. момент силе F M o F s r,. () M F F o F h. за тачку О, векторска величина онда је: F Mo r F. (3) Интензитет вектора момента силе једнак је, по дефиницији векторског производа, двострукој површини троугла ОАН док правац овог вектора лежи на правац нормале равни у којој леже вектори F и r и пролази кроз моментну тачку О. Уобичајено је да се бира смер обртања. Момент силе за тачку је везани вектор за тачку, јер ако се узме друга тачка за моментну тачку онда се мења и момент силе. Ако се нападна тачка силе помера дуж правца дејства силе момент силе за моментну тачку О се не мења. Нека је нова нападна тачка силе Н, Сл.5. По дефиницији момент силе за тачку О биће:

15 o r F, како је r r NN, бише, M F M F ( N) o r F r ( NN F ( N ) M o F Ризик од механичких дјстава 5 F) r F NN F јер је NN, пошто су вектори колинеарни. Нека се сила F (4) NN и F међусобно налази у хоризонталној равни Оxy и нека је координатни почетак моментна тачка, сл.6. Како вектор силе F може да се напише у облику F X Y j где су X и Y компоненте силе F дуж x и y осе, момент силе F за тачку О биће једнак: Сл.5 M F o r F x X j y Y k k Y x X y. (5) Сл.6.5 ВАРИЊОНОВА ТЕОРЕМА (Perre Vargo, 645-7) Теорема: Момент резултанте раванског система сила чији правци секу у једној тачки, једнак је алгебарском збиру момената свих сила за исту моментну тачку која се налази у равни дејства система сила. тачке N у односу на моментну тачку О. Доказ: Нека се правци система од сила у једној равни секу у тачки N, Сл.7. Силе као клизећи вектори могу де се помере дуж својих праваца тако да им нападна тачка буде тачка N. Тако се добија систем сила у равни чија је нападна тачка N. Тачка N одређена је у односу на моментну тачку вектором положаја r. Резултанта система сила нека је сила F R F R F F F F 3 4. (6) Збир момената система сила изражава се као збир векторских производа сила система и вектора положаја F F F3 F4 M o M o M o M o r F r F r F3 r F4 r F F F3 F4 На овај начин доказана је Варињонова теорема, тј. F R Mo r FR M F o 7. СПРЕГ СИЛА r F. (8) R M F R o (7) Дефиниција: Спрег сила чине две паралелне силе у равни, истог интензитета, истог правца и супротног смера, F у којој делују силе назива се раван спрега сила (сл.9). ' F Раван

16 Ризик од механичких дјстава 6 Интензитет разултанте двеју сила чији су правци паралелни а смер супротан, једнак је алгебарском збиру интензитета датих сила:ако су силе паралелних праваца, супротног смера и истог интензитета, резултанта сила једнака је нули, тј. F R F F ', а њена нападна тачка налази се у бесконачности. На основу овога закључује се да механичко дејство сила неће да изазове транслаторно померање тела. Под дејством спрега сила слободно круто тело врши обртно кретање (чисту ротацију). Механичко дејство спрега на тело бише веше ако је интензитет сила веши и ако је крак спрега веши. Под краком спрега подразумева се нормално растојање правца сила спрега (l). Механичко дејство спрега на тело одре ује се производом интензитета силе спрега и крака спрега, F l, (5) који се назива интензитет момента спрега, затим, смером тог дејства, који може бити узет са знаком (+) или знаком (-) без обзира на смер обртања. Уобичајено је да се смер супротан смеру казаљке на сату узима са знаком (+). Трећи податак који одре ује механичко дејство сила спрега на тело јесте правац тог дејства, односно положај равни дејства спрега сила. Механичко дејство спрега сила на тело је векторске природе и назива се момент спрега. Пошто је позната раван дејства спрега момент спрега је слободни вектор који је дефинисан интензитетом и смером, односно: r F M r F s F l Вектор положаја r увек је усмерен од F ка F..7. Еквивалентност спрегова сила Дејство спрега на тело се не мења ако се спрег који делује на круто тело F, F замени било којим другим спрегом F, F који лежи у истој равни и има исти момент спрега, односно M M r F M r F Спрегови M и M су еквивалентни спрегови..6. Слагање силе и спрега Теорема: Сила и спрег који дејствују у истој равни, слажу се у једну силу истог интензитета и смера као дата сила чији је правац паралелан правцу дате силе на растојању F r r. (7) F Сl..4. Нека у једној равни делују сила F и спрег F, F, Сl..4а. Познатим трансформацијама спрег може да се премести тако да се тачка N поклопи са тачком N, а да правац силе F падне на правац силе F, Сл..4б. Крак спрега r може да се замени краком r, тако да је интензитет силе новог спрега једнак интензитету дате силе F, Сl..4в. Момент спрега чији је крак r једнак је моменту датог спрега M r F r F. Тачка N прешла је у положај N'. Сила F, са растојање r F r F нападном тачком N, и сила F, са истом нападном тачком, су супротне силе, па је њихово дејство на тело еквивалентно нули. Остаје само сила F са нападном тачком N' Сл..5., која је паралелно померена на у односу на свој првобитни правац кроз тачку N.

17 Ризик од механичких дјстава 7.7. Редукција силе на дату тачку Теорема: Сила се редукује на произвољну тачку ако се паралелно помери у ту тачку и дода јој се момент дате силе за дату тачку. Нека тело напада сила F у тачки P, Сл..6а. Nа основу друге аксиоме у тачку A доводе се две уравнотежене силе. Сл..6б. Нека је интензитет супротних сила једнак интензитету дате силе, а правац паралелан правцу дате силе. Сила -F, са нападном тачком A, и сила F, са нападном тачком P, чине спрег чији је момент интензитета М = F* a. Као слободан вектор момент спрега може да се пренесе у равни дејства у тачку A. На тај начин је сила F пренета у тачку A у којој делује још и момент спрега М, Сл..6в. Овакав поступак преношења силе назива се редукција силе на дату тачку..7 ПРОИЗВОЉНИ СИСТЕМ СИЛА F F,..., F,... F, Нека систем од сила ( произвољних праваца у једној равни напада тело у нападним тачкама N, N,...,N,..., N.Да би лакше одредили услове равнотеже тела под дејством равнског система сила произвољних праваца, дејство система треба заменити резултујућим дејствима. Зато се бира произвољна редукциона тачка у равни дејства сила, тачка О. На ову тачку врши се редукција свих сила. Тачка О је непокретна тачка..7. Редукција произвољног система сила на дату тачку Цео систем може да се редукује на дату тачку О, Сл..7б, тако се у тачки О добију два прамена вектора, један прамен је сучељни систем сила у тачки О, а други прамен су вектори редукционих момената који дејствују у правцу нормале на раван у тачки О. Сучељне силе са заједничком нападном тачком О могу да се сложе по правилу полигона или паралелограма сила у једну силу F R - главни вектор, Сл..7в. Главни вектор по интензитету и смеру једнак је резултанти датог система сила, Сл.7а. Вектори момената M су колинеарни и леже на нормали равни дејства сила која пролази кроз тачку О. Резултујући вектор M o назива се главни момент и он пада на правац нормале Сл..7в. На овај начин систем од сила сведен је на простији облик главни вектор и главни момент, који су одређени: F R M o F F... F... F M o F M F o... M o F F ;... M F o M F M o Главни момент једнак је моменту резултанте за исту тачку у равни дејства сила..(8) r F.8.3 Услови равнотеже раванског система произвољних сила Произвољни равански систем сила који делује на слободно тело је у равнотежи тада и само тада када су главни вектор F R и главни момент M o система сила једнаки нули

18 Ризик од механичких дјстава 8 F F R F ;... M M, (33) o где је О било која тачка тела која се налази у равни дејства сила, јер када је F R главног момента M o не зависи од избора редукционе тачке. Из услова равнотеже (33) проистичу три облика услова равнотеже. o, интензитет Први облик услова равнотеже Интензитет главног вектора и главног момента одређен је изаразима: FR X Y o M F o Услови равнотеже сада могу да се напишу у облику:. (34) F X ;.. Y ;... M (35) Равански систем сила који напада круто тело налази се у равнотежи тада и само тада ако је алгебарски збир пројекција свих сила на два произвољно изабрана управна правца једнак нули и ако је збир момената свих сила у односу на било коју изабрану тачку О, која се налази у равни дејства сила, једнак нули Други облик услова равнотеже Произвољни равански систем сила који дејствује на слободно круто тело је у равнотежи тада и само тада ако је, алгебарски збир момената свих сила за било које две тачке А и B које леже у равни дејства сила и алгебарски збир пројекција свих сила на било коју осу О x која није управна на АB, једнак нули. F F A B M ;.. M ;... X. (36) Ако су задовољене прве две једначине система једначина (36) онда је то потребан услов за равнотежу али не и довољан. Тада се систем сила своди на резултанту F r, која пролази кроз тачке А и B, док је главни момент једнак нули o. Да би био и главни вектор једнак нули, односно, F R, мора бити задовољена и трећа једначина система једначина (36). При томе оса Оx не сме да буде управна на правац АB, јер ће тада бити задовољен услов X вектор једнак нули, односно, F R Трећи облик услова равнотеже o R X само ако је главни Произвољни равански систем сила који делује на слободно круто тело биће у равнотежи ако је алгебарски збир момената свих сила у односу на произвољне три неколинеарне тачке А,B и C, које леже у равни дејства силе, једнак нули. F F F M ;. M ;.. M.(37) A B Било које две једначине система (37) обезбе ују да је главни момент једнак нули, односно, o. Све три једначине обезбе ују да је и главни вектор једнак нули, односно, F R систем свео на једну силу различиту од нуле FR Fr кроз три неколинеарне тачке А, B и C истовремено што је немогуће. C, онд би резултанта F r, јер уколико би се морала да пролази

19 Ризик од механичких дјстава Равански систем паралелних сила Нека на слободно круто тело делује равански систем паралелних сила F, F,..., F, Сл.7. Услови равнотеже система паралелних сила своди се на : Y F ;... M...(39) o F Сл.7 Произвољни равански систем паралелних сила који делује на слободно круто тело биће у равнотежи ако је алгебарски збир свих сила и алгебарски збир момената свих сила у односу на произвољно изабрану тачку О која лежи у равни дејства сила једнак нули. Трећи облик услова равнотеже раванског система паралелних сила своди се на: M A F B F ;... M, (4) при томе тачке А и B не леже на правој која је паралелна нападним линијама сила Тело везано непокретним зглобом у једној тачки Тело везано у једној тачки О тако да може да се окреше око осе која пролази кроз тачку О, а управна је на раван дејства сила F, F,..., F, назива се полуга Сл.8. Тачка О око које моè да се обрше полуга назива се тачка ослонца полуге. Полуга ćе бити у равнотежи под дејством раванског система сила ако је алгебарски збир момената свих активних сила за тачку ослонца једнак нули. Сл.8.9 ТРЕЊЕ F M O. (4) Из искуства је познато да када се једно тело креће по површини другог, тело по чијојсе површини одвија кретање пружа известан отпор телу које се креће. Тај отпор назива се трење..9. Трење клизања Када тело мирује на хоризонталној подлози, Сл.9а реакција подлоге F је вертикална без обзира да ли су додирне површене идеално глатке или су храпаве. Ако се та иста подлога искоси Сл.9б, постоји могућност кретања тела низ стрму раван. Ако је угао нагиба мали тело остаје у стању мировања, али ако се угао нагиба довољно повећа тело почиње да клизи низ стрму раван. У том случају реакција подлоге, ако се узме у обзир и сила трења која се јавља између додирних површина, није више управна на подлогу, већ је нека коса сила чије су компоненте F и F. Сл.9а,б На основу искуства утврђено је да сила трења зависи од храпавости површина које се додирују и претпоставља се да зависи од врсте материјала тела која се додирују, температуре и подмазаности додирних површина. Ова појава до данашњих дана није детаљно истражена. На Сл.3 приказано је тело тежине G на хоризонталној подлози на кога делује сила F. Реакција храпаве подлоге је сила F Сл.3 Сл.3 F. При малој вредности силе F тело се налази у равнотежи па из

20 услова Ризик од механичких дјстава X следи F F. Са повећањем интензитета силе F тело се још увек одржава у F, те се самим тим повећава равнотежном положају и све док је у равнотежном положају важи F и сила трења што је представљено правом АB на Сл.3. У току повећавања интензитета силе F достиже се критично стање у коме равнотежа тела само што није нарушена и у коме сила трења достиже максималну вредност F m, при чему је још увек F F F m, тачка B на Сл.3. Експерименталним путем утврђено је, да је критична сила пропорционална нормалној сили притиска на подлогу, односно, да је F F, (4) m где је константа - статички коефицијент трења. Ако се интензитет силе F повећа изнад вредности F F m настаје клизање тела, сила трења нагло пада, правац BC, и после тога остаје скоро константна и независна од силе F правац CD при чему је њен интензитет F F,.(43) k k где се константа k - назива кинематски коефицијент трења. Нека се на стрмој равни налази терет тежине G, и нека се при малом углу нагиба стрме равни налази у равнотежи, Сл.9б. Једначине равнотеже могу да се напишу у облику: X F G s Из система једначина (44) следи: одакле је: F F m F tg. Y F G G cos G s G cos Коефицијент статичког трења једнак је тангенсу угла који чини стрма раван са хоризонталом у критичном тренутку губитка равнотеже. Овај критични угао назива се угао трења. Тело које се налази на стрмој равни биће у равнотежном положају док је угао нагиба стрме равни мањи од угла трења, односно, док је испуњен услов: *. Коефицијент трења не зависи од величине додирних површина. Коефицијент статичког трења за клизање метала по металу има вредност од. до.6. У пракси се често постављка проблем коликом минималном Сл.3 силом треба да се делује на тело које се налази на стрмој равни да би се одржало у равнотежном положају. Сила трења је усмерена навише пошто тело има тенденцију да се креће наниже. Једначине равнотеже у том случају биће: X Fm F G s, (45) Y F G cos одакле следи да је F G m s cos. F Свака сила која је већа од минималне силе F m и даље ће држати тело у равнотежи. Поставља се питање колика је сила F маx потребан да тело почне да се креће уз стрму раван. У том случају сила трења је усмерена наниже па једначине равнотеже имају облик: X F F G s па је F G. max s cos Y F G cos max.9.3 Трење котрљања, (46) На Сл.34 приказан је цилиндар полупречника r, тежине G, на који делује хоризонтална сила F може да се котрља по равној површини. У тачки контакта А, делује нормална реакција F и који подлоге. У

21 Ризик од механичких дјстава тачки А нема силе трења клизања, јер се та тачка, ако нема проклизавања по равној површини, не креће у односу на подлогу, тј. њена брзина једнака је нули па не постоје услови за појаву трења клизања. Из тога произилази апсурдни закључак да ће цилиндар и при најмањој вредности силе F почети да се транслаторно креће јер је нарушен услов равнотеже X. Искуство међутим показује да се цилиндар при дејству силе F малог интензитета уопште не покреће. Ако у пракси при дејству Сл.34 силе F малог интензитета нема померања цилиндра тада може да се изведе закључак да у тачки А делује и нека хоризонтална сила F' F, као на Сл.35. Међутим ове две силе чине спрег сила који би почео да обрће цилиндар. Али у пракси не долази ни до обртања цилиндра. Ова појава може да се објасни на следеши начин. Наиме, при додиру цилиндра и додирне површине увек долази до мање или веше деформације додирне површине, Сл.36, па се додир остварује по луку DE, а не у једној тачки. Резултанта F r Сл.35 сила контактног притиска померена је у односу на тачку А у смеру у коме цилинтар тежи да се помери, и може да се као на Сл.36, растави на две компоненте: F F F. Цилиндар се сада налази под дејством раванског система од три силе и оне мора да се секу у једној тачки, тачки C, јер је систем у равнотежи. За еквивалентни систем сила, Сл.36б у граничном положају равнотеж, када је F Fmax F m једначине равнотеже имају облик: X Fm F (47) Y G F M C F r F Из ових једначина следи: F Fm ;... F G. (48) F F r F m Ако је F F m цилиндар мирује и ако је F F m он се обрће. Величина зове се коефицијент трења котрљања. Он има димензију дужине и одређује се експериментално на основу једначине (48). Вредност коефицијента трења котрљања за котрљање делова од челика (челик по челику) износи. cm. Како је при клизању F F а при котрљању F r F, често се за исте вредности нормалне силе упоре ују величине и. Утвр ено је да је r r, односно, да је отпор при котрљању много мањи од отпора при клизању, па се у пракси препоручује, да се у свим склоповима где је то могуше клизање замени котрљањем. У многим уџбеницима се због лакшег упоређивања са коефицијентом Сл.36а,б r трења клизања, неименовани однос r назива коефицијент трења котрљања..9.4 Трење обртања Ако на неко тело, које се налази у контакту са другим телом делује спрег сила чији је момент М који настоји да обрне тело око осе управне на заједничку тангентну раван Т, Сл.37, практично искуство указује да се за мале вредности М тело неће обртати. То значи да на месту додира, без обзира колико је додирна површина мала, делује други спрег који га уравнотежава и који је резултат силе трења која се супроставља том обртању. Експерименталним путем утвр ено је да је тај отпор пропорционалан нормалној додирној сили притиска F и да ће тело почети да се обрће када момент спрега М достигне неку граничну вредност

22 Ризик од механичких дјстава Сл.37 Ако на неко тело, које се налази у контакту са другим телом делује спрег сила чији је момент М који настоји да обрне тело око осе управне на заједничку тангентну раван Т, Сл.37, практично искуство указује да се за мале вредности М тело неће обртати. То значи да на месту додира, без обзира колико је додирна површина мала, делује други спрег који га уравнотежава и који је резултат силе трења која се супроставља том обртању. Експерименталним путем утвр ено је да је тај отпор пропорционалан нормалној додирној сили притиска F и да ће тело почети да се обрће када момент спрега М достигне неку граничну вредност M m k F. Коефицијент трења обртања к има димензију дужине и неколико пута је мањи од коефицијента трења котрљања. Овакав отпор јавља се код кугличних лежајева... СТАТIКА У ПРОСТОРУ... Разлагање силе у три некомпланарна правца Нека кроз тачку N пролазе три некомпланарна правца (, и 3) и правац силе F. Сила F треба да се разложи на дата три некомпланарна правца. Сила F и један од дата три правца, на пример правац (), нека чине раван R а остала два правца нека чине раван R, Сл.4. Равни R и R секу се по траси t. Сила F сада може да се разложи на правац (), на компоненту F и на правац трасе t, на компоненту F t. Сл.4 Пошто траса t припада и једној и другој равни, сила F t ( и 3), које чине раван R, на компоненте F и F 3. Сила F једнака је: сада може да се разложи на правце F F F t F F F 3. (5)... Момент силе за тачку Дефиниција: Момент силе за тачку једнак је векторском производу вектора положаја ON r нападне тачке силе и вектора силе F, Сл.4. F M r F. (5) o Нека сила F напада тачку Н, која је вектором положаја r одређена у односу на тачку О, Сл.4. Интензитет момента једнак је

23 Ризик од механичких дјстава 3 F M F r s ( F, r) F h. (53) Правац вектора момента силе за тачку поклапа се са правцем нормале равни коју образују вектори F и r. Вектор момента силе за тачку има позитиван смер (поклапа се са смером нормале ако се вектор положаја r обртањем у смеру супротном од смера казаљке на сату, по мањем углу, доведе до пклапања са вектором силе F. Момент силе за тачку О као векторска величина може да се пројектује на осе координатног система. Ове пројекције обележавају се са М x, М y и М з, и једнаке су: M M M j M k o x y z j k x y z, (54) X Y Z где су, j, k ортови координатног система, x,y,z пројекције вектора положаја r на координатне осе и X,Y,Z пројекције силе F на координатне осе. M x y Z z Y M z X x Z. (55) M z x Y y X Iнтензитет момента силе за тачку може да се одреди изразом: y M M M M. (56) o x y z Косинуси смерова вектора момента силе за тачку одре ени су изразима: M M x y M z cos m ;cos m ;cos m.(57) M M M o o o..3. Момент силе за осу Под појмом момента силе F за произвољну осу u подразумева се обртни ефекат изазван силом F, који тежи да помери тело око осе u. Дефиниција: Момент силе F за осу u је скаларна величина и једнак је моменту пројекције F, силе F, на раван (R), управну на осу u, за тачку О, која представља продор осе u кроз раван (R), Сл.4. Сл.4 На осу u конструише се произвољна раван (R) која је управна на ту осу и сила F пројектује се на ту раван. Момент ове пројекције ( F ) за тачку О јесте момент силе F за осу u. M * u F h. (58)

24 Ризик од механичких дјстава 4. КИНЕМАТИКА УВОД У КИНЕМАТИКУ Дефиниција: Кинематика је наука која анализира и изучава кретања не узимајући у обзир материјалност објекта кретања, односно не узимајући у обзир узроке који изазивају то кретање. Кнематика испитује само кретање геометријских облика, по чему је слична геометрији. Од геометрије се разликује по томе што узима у обзири време, тако да су у кинематици геомеитријски облици променљиви и зависе од времена. Кинематика изучава односе између двеју основних физичких величина, дужине и времена. Кинематика се дели на два дела: а) кинематика тачке б) кинематика крутог тела. Кинематика тачке испитује кретање геометријске тачке. Кинематика крутог тела испитује кретање система непрекидно распоређених тачака. Тачке могу имати линијски, равански и просторни распоред. У општем случају посматра се кретање у простору са три димензије - Еуклидском простору, претпостављајући да је хомоген и изотропан, тј. да у свим тачкама има исте карактеристике и да су сви правци са истим особинама. Дефиниција: Тродимензионални Еуклидски простор је такав простор у коме је квадрат елемента лука, тј. метричка форма, одређен изразом ds dx dy dz, (5) где су дx, дy и дз пројекције елементарног лука на осе Декартовог координатног система. Основни елементи у кинематици су пут, брзина и убрзање.. КИНЕМАТИКА ТАЧКЕ.. Векторски начин одређивања произвољног криволинијског кретања тачке Дефиниција: Тачка се креће ако у односу на неку сталну (непокретну) тачку, коју сматрамо непокретном, мења свој положај. У току кретања у времену и простору, покретна тачка поклапа се са неком тачком простора у сваком тренутку времена. С обзиром на непрекидност времена и кретање је непрекидно. Ако се зна положај тачке простора у којој се налази покретна тачка, зна се и положај покретне тачке. Да би се дефинисало кретање тачке потребно је одредити њен положај према одабраном непокретном координатном систему (систему референције) у сваком тренутку времена. За то је могуће применити једну од следеће три методе: Помоћу вектора положаја (радијус вектора); Помоћу координатног система (аналитичка);

25 Пмоћу природних координата. Ризик од механичких дјстава 5. Вектор положаја Дефиниција: Вектором положаја r покретне тачке М, је вектор чији се почетак поклапа са координатним почетком О (пол) а врх се поклапа са посматраном тачком М. Пошто вектор OM r током времена мења интензитет, правац и смер онда је он векторска функција времена, тј. r r ( t). (5а) Једначина (5) представља коначну једначину криволинијског кретања у векторском облику или закон кретања тачке у векторском облику. Сл.4. Координатни системи а) Дефиниција : Декартов ортогонални праволинијски триједар чине три осе Оx, Оy и Оz које су међусобно управне и које се секу у координатном почетку О, Сл.4. Сл.4.

26 Ако су, j и k Ризик од механичких дјстава 6 јединични вектори оса ортогоналног триједра, положај проиzвољне тачке М одређује се са три броја x, y и z, који су једнаки пројекцијама вектора положаја r координатне осе, док је кретање тачке одређено функцијом времена вектора положаја тачке М, r r ( t) : r x y j z k;. (53) r ( t) x( t) y( t) j z( t) k Једначина кретања (53) у векторском облику може да се сведе на три скаларне једначине кретања у облику: x x( t) y y( t). (53а) z z( t) Ако вектор положаја чини углове, и са координатним осама, пројекције вектора положаја р на те осе биће: Углови су повеzани релацијом: x r cos y r cos z r cos. (54) cos cos cos. У случају раванског кретања, Сл.4а једначине (53а) своде се на две скаларне једначине: x x( t) y y( t). (54б) б) Дефиниција: Поларно-цилиндричне координате су ортогоналне криволинијске координате, дефинисане јединичним векторима у радијалном ( r ), циркуларном ( c ) и акцијалном ( k ) правцу према слици. Положај тачке М одређен је координатама М=М(r, φ,z). на Сл.4 Положај произвољне тачке М у простору одређује се помоћу три координате: р,, z, односно вектором положаја: где су r o r r z k x y j z k, (55) o и k јединични вектори радијалног и аксијалног правца. Вектор c o, Сл.4 је јединични вектор циркуларног правца. Он је

27 Ризик од механичких дјстава 7 управан на радијални правац. Везе између координата поларно - цилиндричног и Декартовог координатног система су: x r cos y r s z z. (56) Ако се тачка креће у равни Оxy, тада је z = и такав систем координата наzива се поларни координатни систем. Тада важи x r cos y r s Дефиниција ц): Природни триједар zа линију путање тачке L је ортогонални правоугли триједар који се поставља у посматраној тачки М на путањи тачке М тако да се тангента Т триједра поклапа са тангентом линије путање, док су остале две осе, нормала (N) и бинормала (B) управне на тангенту, Сл.43. Сл.43 Јединични вектори оса природног триједра су редом: T јединични вектор тангенте криве, N јединични вектор главне нормале криве и B јединични вектор бинормале. Координате (s) које одређују положај покретне тачке, на кривој L, zову се природне координате. Nека се покретна тачка М иz почетног положаја креће по линији L, Сл.44. Тачка О је непокретна тачка на линији L, у одноsу на коју меримо раsтојање тачке М и М по линији L. У односу на тачку О један sмер кретања је поzитиван, а супротан sмер кретања је негативан. У положају М може да се постави нови природни триједар. Дефиниција: Линија путање је линија по којој се креће покретна тачка током времена. Дефиниција: Путања или трајекторија је део линије путање (ММ ) коју опише покретна тачка у току одређеног времена (времена посматрања).

28 Ризик од механичких дјстава 8 Дефиниција: Пређени пут је бројна вредност дужине путање. Путања је део линије путање и све тачке путање леже на линији путање, док обратно не важи. Покретна тачка почиње кретање иz положаја М и удаљава се од сталне тачке О. У сваком тренутку времена њен положај у односу на тачку О се мења, па је растојање покретне тачке од сталне тачке О функција времена Једначином (57) одређен је положај s f (t). (57) покретне тачке у сваком тренутку времена, и представља директну везу између пређеног пута и времена. Израз (57) назива се закон пута. Дефиниција: Закон пута представља аналитички израз између пређеног пута и времена, и на основу њега, може да sе одреди положај покретне тачке у сваком тренутку времена. Разликује се дужина пута s од закона пута s. Координата s једнака је дужини пута само у случају када тачка почиње кретање из тачке О у једном смеру. Дужина пређеног пута једнака је: s OM OM s s.. Једначина кретања координатном систему, и то; y f Положај покретне тачке у сваком тренутку времена може да се одреди вектором положаја r чији се интензитет, правац и смер могу мењати у времену, односно r r(t). Овој векторској једначини одговарају по три скаларне једначине у одговарајућем x z f ( t) 3 ( t) f ( t), r g ( t) z g ( t), у Декартовим координатама, и g ( t) у поларноцилиндричним координатама. Ове једначине се називају и параметарским једначинама. Елиминисањем параметра t из ових једначина долази се до једначине две површине у облику: F ( x, y, z), које представљају једначину линије путање која се налази у пресеку F ( x, y, z) ове две површине. БРЗИНА 3 У односу на непокретни координатни систем Оxyz креће тачка М по линији путање L и њен положај је у сваком тренутку времена одређен вектором положаја r r(t). У посматраном трнутку t, положај тачке М одређен је вектором положаја r r(t), а у тренутку t налази се у

29 Ризик од механичких дјстава 9 положају М којиј је одређен вектором положаја r r ( t ). Током кретања из положаја М временског интервала t t t : v sr t у положај М протекло је елементарно време t, док се вектор положаја променио (померио) за елементарну вредност r, односно: r r r r( t t) r( ). t Дефиниција: Средња брзина тачке v sr неком временском интервалу је вектор, чији је интензитет једнак количнику прираштаја вектора положаја MM r r r r r r t t t Средња брзина је векторска величина чији чији је интензитет одређен количником правац и смер су одређени вектором r. у и r, а t У општем случају померање тачке није исто у јединици времена те нису ни исте брзине. Зато је неопходно одредити брзину тачке у посматраном и у сваком тренуту времена кретања, односно одредити трнутну брзину кретања тачке. Зато је неопходно да се одреди промена вектора положаја када је то померање бесконачно мало, када из елементарно мале вредности r прелази у бесконачно малу вредност dr, и то за бесконачно кратко време, а не за коначни елементарни временски интервал t. Зато треба наћи граничну коначне вредност елементарне промене вектора положаја када елементарно време тежи нули: r dr L v lm vsr lm = r t t t T Дефиниција: Тренутна брзина v материјалне тачке је први извод вектора положаја по времену. Правац вектора поклапа се са тангентом на линију путање у посматраној тачки, смер вектора је у смеру кретања док је интензитет одређен је диференцијалном dr ds количнику померања и времена v, где је ds бесконачно мали елемент лука. Када се две тачке налазе на бесконачно малом растојању (на диференцијалном растојању), прираштај вектора положаја и вектор лука се поклапају па је: dr ds ds T. Брзина може да се напише и у следећем облику:

30 Ризик од механичких дјстава 3 dr ds ds v T v T. У Декартовим координатама брзина може да се напише у облику: dr d v ( x y j z k ) Интензитет брзине једнак је: dx dy j dz k x j y j z k v x j v y j v z k. v v x v y v z x y z У поларно-цилиндричним координатама брзина може да се напише у облику: v r r r c z k vr r vc c vz k. Где су: v r r r - радијална брзина v c v z r - циркуларна брзина, c z k - аксијална брзина. Угаона брзина ds d v ( r ) R R Ова брзина назива се обимна или периферијска брзина. Где су: s R - дужина лука Нека се тачка N креће по кружној линији полупречника R. Положај покретне тачке одређен је је углом кога опише полупречник положаја тачке у току кретања. Нека је позната нормала равни у којој се врши кретањ и нека се поклапа са осом z, Декартовог правоугаоног координатног система Оxyz. У почетку кретања тачка N нека се налази у положају N. После извесног времена нека пређе у положај N, полупречник R нека опише угао. Израз за брзину тачке може да се напише у облику: d - угаона брзина.

31 Ризик од механичких дјстава 3 Дефиниција: Угаона брзина је векторска величина чији је интензитет одређен изводом угла по времену, правац се поклапа са правцем нормале на раван у којој се врши кретање а смер је у позитивноm смеру нормале. d. Интеграљењем леве и десне стране израза за угаону брзину добија се: o t d t, ако је cost. Нека тачка опише пун круг за време Т, T, одакле следи: T. Пошто је Т време за које тачка опише пун круг, број обртаја у једној секунди биће: f T, и назива се фреквенција или учестаност. Број обртаја (осцилација) у минути једнак је: f 6. Угаона брзина преко броја обртаја може да се одреди из предходног израза у облику: / 3 s УБРЗАЊЕ Дефиниција средњег убрзања и тренутног убрзања тачке Дефиниција: Средња убрзање тачке a sr неком временском интервалу је вектор, чији је интензитет једнак количнику прираштаја вектора брзине v v v и временског v v v интервала t t t : a sr t t t у Средње убрзиње тачке је вектор једнак количнику прираштаја вектора брзине покретне тачке и интервала времена у коме је настао тај прираштај. Да би се одредило убрзање тачке у посматраном тренутку времена посматра се гранични процес промене прираштаја брзине када је промена времена бесконачно мала величина, односно када је диференцијлно велика и када тежи нули. Тада коначно мала вредност

32 Ризик од механичких дјстава 3 времена t прелази у диференцијалну величину, која тежи нули али никада није једнака нули, тј. у. Прираштај брзине v прелази у диференцијал брзине dv, односно: v dv a lm asr lm t t t ; dv d r a v r (m/s ). Тренутно убрзање тачке је вектор одредјен првим изводом по времену вектора брзине, одн. другим изводом вектора положаја покретне тачке по времену. Вектор убрзања тачке показује промену вектора брзине. Убрзање покретне тачке у Декартовом координатном систему Nека је кретање тачке задато у Декартовим правоуглим координатама x x( t), y y( t), z z( t). Вектор положаја може да се напише у облику: r x y j z k. a dv d r d x d y d z j k a x a Компоненте убрзања дуж одговарајућих оса биће: y j a z k Вектор убрзања одређен је другим изводом вектора положаја по времену, односно: Интензитет вектора убрзања једнак је: a a a x y z dvx dv y dvz d x x; d y y d z z a a x a y a z x y z Угао нагиба вектора убрзања према координатним осама једнак је: a a x y az cos ;cos, cos. a a a

33 Ризик од механичких дјстава 33 Убрзање тачке у поларно-цилиндричном координатном систему У поларно-цилиндричним координатама, после диференцирања по времену израз за брзину, убрзање може да се напише у облику: a. a r a c a k ( r r ) r (r r c r c z ).... zk. Где су: a ( r r r ) r - радијално убрзање c c... ( r r ) c - циркуларно убрзање, a z z k - аксијално убрзање. a a x a y az x y z. Ако је кордината z једнака нули онда се кретање одвија у равни, и посматра у поларним координатама: a a r r. a c c... ( r r ) r ( r r ) c Убрзање тачке у природном координатном систему Nека је кретање дато законом пута s f (t), израз за брзину је дат формулом ds v T v T. Диференцирањем овог израза по времену добија се убрзање у облику: dv d dv dt a ( v T) T v Извод јединичног вектора тангенте по времену једнак је: dt dt ds dt ds v K N ds ds У претходном изразу са К је обележена кривина првог реда и она је једнака реципрочној вредности полупречника кривине R к, тј. K. R k v R k N.

34 Израз за убрзање сада може да се напише у облику: dv dt dv v a T v T N an N at T R k Ризик од механичких дјстава 34 Убрзање тачке у природним координатама има две компоненте, нормалну и тангенцијалну. Nормално убрзање једнако је a N v R k N и усмерено је у правцу нормале природног координатног система. Тангенцијално убразање једнако је a T dv T и усмерено је у правцу тангенте природног триједра. У правцу бинормале B, нема убрзања. Тангенцијално убрзање карактерише промену брзине по времену, односно промену интензитета вектора брзине по времену и усмерено у правцу тангенте, у позитивном ако је реч о прираштају брзине, односно, у негативном смеру тангенте ако је реч о опадању брзине, док нормално убрзање карактерише промену правца вектора брзине по времену, и оно је усмерено ка центру кривине. На слици су приказана убрзања код кружног кретања. Нормално убрзање је усмерено ка центру обртања, док се правац тангенцијалног убрзања поклапа са правцем тангенте, а смер зависи од прираштаја или опадања брзине. Угаоно убрзање Укупно (тотално убрзање) једнако је: Диференцирањем израза за угаону брзину добија се израз за угаоно убрзање: d d d d ( ) ( ). Вектори угаоне брзине и угаоног убрзања су колинеарни вектори. Нормално и тангенцијално убрзање биће: v dv an N R N a T T RT R k a t a N a T a t 4 R ( )

35 Ризик од механичких дјстава 35 ДИНАМИКА Дефиниција:Динамика је наука јоја изучава кретање материјалних тела под дејством сила. Механичко кретање је најпростије кретање материје које се састоји у простом померању елемената материје (материјалне тачке или система материјалних тачака) из једног у други положај у времену и простору. С обзиром да проучавање кретања материјалне тачке претходи проучавању кретања система материјалних тачака, а у посебном случају кретања крутог тела, курс динамике се обично дели на два дела, и то на: a) динамику тачке, и b) динамику система материјалних тачака. Постоје два основна задаткаа Динамике:. познат је распоред сила које дејствују на тело, треба да се одреде закони кретања. познати су закони кретања треба да се одреди сила (резултанта) која изазива то кретање. Основни закони динамике И Закон - Закон инерције: Свако тело остаје у стању мировања или равномерног (једноликог) и праволинијског кретања све док под дејством сила не буде принуђено да то своје стање промени. Закон инерције је први поставио велики италијански физичар Галилео Галилеј (Галилео Галилеи, ), јер је први приметио особину тела да тежи да задржи стање мировања или стање кретања. Ту особину је назвао инерција - инертиа (лењост). Координатни систем у коме важи принцип инерције се назива инерцијални координатни систем, или Галилејев триједар. Први Њутнов закон се назива и Закон егзистенције или Закон постојања силе. Кретање у одсуству силе се назива кретање по инерцији, при чему се констатује једнакост мировања и кретања по инерцији. II Закон - Закон еквиваленције: Промена кретања - убрзање је пропорционално сили која дејствује на тело и врши се у правцу силе. Њутн под променом кретања (mutatoem motus) сматра промену количине кретања. Дефиниција: Количина кретања K материјалне тачке подразумева производ масе (m) mатеријалне тачке и вектора брзине ( v ) тачке, тј. K mv. Други Њутнов закон mоже да се изрази у аналитичкоm облику као d dm m v F v m a F У случају када је mаса d константна, t други Њутнов закон mоже да се напише као F ma. На основу тога, преmа Кирхофу (Robert Krchoff, ), mаса m је коефицијент пропорционалности изmеђу убрзања a и силе F.

36 Ризик од механичких дјстава 36 У додатку за други закон, Њутн даје и начин сабирања сила: тело под дејством удружених сила описује дијагоналу паралелограма у истом времену у коме дејством појединих сила описује стране. Ако на материјалну тачку делује систем од н сила тада се њихово дејство замењује дејством резултанте система сила F III Закон - Закон акције и реакције: R F F... F F m a Дејству (акцији) увек је једнако противдејство (реакција), или, дејства два тела једног на друго су увек једнака и усmерена супротно. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ КРЕТАЊА МАТЕРИЈАЛНЕ ТАЧКЕ Ако је положај материјалне тачке масе м одређен вектором положаја r r у односу на једну сталну тачку у простору, онда је на основу другог Њутновог принципа, сила која дејствује на ту материјалну тачку, одређена изразом: d r F ma m - Сила може бити функција вектора положаја, вектора брзине и времена, појединачно или комбиновано на различите начине: F Fr,v,t, r r t а кретање је започето под условиmа: vt v Диференцијална једначина другог реда је основна динамичка једначина кретања материјалне тачке изражена у векторском облику, која се може заменити системом скаларних диференцијалних једначина другог реда у зависности од изабраног координатног система. Да би се то спровело потребно је да вектор силе и вектор убрзања изразе помоћу пројекција на осе изабраног координатног система, о чему је било речи у статици и кинематици. Формирање скаларних једначина показано је на примерима кретања материјалне тачке у Декартовом и природном координатном систему. Диференцијалне једначине кретања материјалне тачке у Декартовом координатном систему mx X my Y mz Z x, y, z ; x, y, z; t F. ; x, y, z ; x, y, z; t F. j ; x, y, z ; x, y, z; t F. k. Диференцијалне једначине кретања материјалне тачке у природном координатном систему dv m FT mv F,T ; F F,N ; F F, B R k N B t

37 Ризик од механичких дјстава 37 Под почетним условима подразумева се да су у тренутку t познати вектор положаја и вектор r r t v t, у облику својих пројекција на осе изабраног координатног брзине: v система у односу на који се анализира динамика тачке. Праволинијско кретање материјалне тачке под дејством силе константног интензитета Код праволинијиског кретања путања је права линија. Најједноставније је да се координатни систем бира тако да се координатни почетак поклопи са почетним положајем покретне материјалне тачке, мада може и да тачка у почетном положају буде на неком растојању од координатног почетка, и да се оса Оx поклопи са путањом. Применом другог Њутновог принципа проблем се своди на само једну скаларну диференцијалну једначину, која се зове основна динамичка једначина. Пошто је сила константног интензитета ( X cost. ) и има правац осе Оx, уз укључивање почетних услова t : x x v v, одређује се једноставно брзина и коначна једначина кретања тачке после два корака интеграције основне динамичке једначине: X cost. F X ma m x X x a ; a x dx x a dx a x a t dx a t C dx C a t a t C x C t C x x Из почетних услова одређују се интеграционе константе t x v Закони промене брзинае и пута сада могу да се напишу у облику: v x v at C C x v x x at vt a -jedakoubrzao kretaje a - jedakousporeo kretaje Из изложеног се закључује да је код праволинијског кретања сила увек колинеарна са путањом, да се једнолико праволинијско кретање врши по инерцији и да равномерно променљиво кретање изазива сила константног интензитета са смером убрзања одн. успорења материјалне тачке.

38 Слободан пад у безваздушном простору Ризик од механичких дјстава 38 Тешка тачка, масе m, пада са висине h, вертикално наниже. Диференцијална једначина кретања је: z F mg mgk Zk ; t z ma F ; a zk m z mg ; z g ; z gt C ; z gt C t C Интеграционе константе одређују се из почетних услова: z t z C C Закон пута и закон брзине имаће облик: gt z ; z gt v Време падања материјалне тачке Т одређено је релацијоm из које се закључује да оно зависи од висине падања h и убрзања зеmљине теже g а не зависи од mасе m. z h za t T T h g Брзина материјалне тачке v k у тренутку удара о подлогу зависи од истих величина: h v z kr g t T v gt g gh Вертикалан хитац увис у безваздушном простору Слободна материјална тачка врши вертикалан хитац увис уколико јој се саопшти нека почетну брзину у вертикалном правцу са смером навише. Координатна оса Oz усмерена је увис и нека су почетни услови; у тренутку времена t= тачка се налази у координатном почетку z и има почетну брзину z v. Тачка се креће од земље навише све док јој у једном тренутку времена брзина буде једнака нули. Тада је она постигла највећу висину пењања крећући се вертикално увис константним успорењем, које је једнако убрзању земљине теже (гравитационом убрзању) и супротног је смера. Поступак интеграљења одговарајуће диференцијалне једначине и одређивање интеграциониh константи спроводи се на следећи начин: z F mg mgk ; t z v ma F ; a zk

39 m z mg Ризик од механичких дјстава 39 gt ; z g ; z gt C ; z Ct C Интеграционе константе одређују се из почетних услова: g t z C C C t z o v C C v v g Закон брзине и закон пута биће: z v g t g t z v t Материјална тачка достиже максималну висину h, у тренутку када је њена брзина једнака нули, а после времена Т. тј. v z v g T T g И она је једнака: h v g T T v Почетна брзина једнака је: v g v g g v g v g h За време Т, када тачка достигне највећу висину пењања, брзина јој је једнака нули. Пошто је слободна, она се затим креће слободним падом. У идеалним условима, време пењања једнако је времену падања и оно зависи од почетне брзине и убрзања земљине теже, брзина удара при паду једнака је почетној брзини и једнака је брзини при слободном паду материјалне тачке са исте висине. Време слободног пада једнако је времену кретања материјалне тачке увис, за исту висину падања као и кретања увис. Слободан пад у ваздуху (сила зависи од брзине) Поред активне силе тежине тела јавља се и отпорна сила ваздуха, која спада у пасивне силе, а супротсавља јој се и дејствује у супротном смеру од ње. Отпорна сила ваздуха се одређује експериментом јер је теоријско одређивање веома сложено. Експериментима је доказано да сила отпора ваздуха (средине у којој се одвија слободан пад тела) зависи од брзине и облика тела, као и од густине средине ваздуха. На томе је први радио Њутн и успоставио следеће законитости по којима се мења сила отпора ваздуха: - Fw clv, ако је брзина тела мала (до v m s ), gде су c-константа, L-дужина тела и v- брзина тела;

40 - Fw Ризик од механичких дјстава 4 cav, за веће брзине али мање од брзине звука, где су c-константа, - густина средине у којој се одвија слободан пад тела, А-површина највећег попречног пресека покретног тела у правцу управном на правац кретања тела и v-брзина тела. Нека тело масе м и тежине G m g ( g - убрзање земљине теже) пада са у ваздуху са висине која није велика у поређењу са пречником Земље (густина ваздуха и маса тежина тела могу сматрати константним). Диференцијална једначина слободног пада тела у отпорној средини биће: ma F Fw; a zk; F mg mgk ; Fw cav k, када је координатни почетак у тачки која се поклапа са почетним положајем средишта тела које пада и оса Oz усмерена ка Земљи. Тада диф. једн: z z g где јеb b Како је dz dz dz z z, dz z mg c A константа. mz mg caz, постаје: Диференцијална једначине своди се на диф. једначину која раздваја променљиве: z dz b z g b dz Интеграцијом леве и десне стране претходне једначине добија се: l( b z g ) b C Из почетних услова кретања (за z= и v=) одређује се константа израза у претходну једначину добија се: b z l b g b g z b b z e b v b Константа e g z b z, или, одакле је коначан израз за брзину C l b. Заменом овог b има кинематичко значење. Кретање је успорено због дејства отпорне силе тако да ће наступити тренутак када отпорна сила достигне вредност активне силе ( mg c Az ) и убрзање постане једнако нули ( z ). Тада ће брзина достиже највећу вредност једнаку константи b ( v max наставља да се креће једнолико брзином vmax b) и отпор средине се више неће повећавати. Тело b. У томе је разлика између кретања тела у средини без отпора и са отпором. У првом случају се брзина стално повећава са временом и тело се креће једнакоубрзано, у другом се брзина повећава само до граничне вредности vmax bи даље се кретање одвија максималном постигнутом брзином.

41 Ризик од механичких дјстава 4 У стварним условима, а и према решењу диф.једн. брзина се стално повећава и тежи максималној вредности, коју би постигла после бесконачно великог временског размака, па стварно кретање неће бити никада једнолико. Криволинијско кретање у равни У општем случају, вектор силе може да зависи од више независно променљивих величина, и то од вектора положаја, вектора брзине и времена. Другим Њутновим принципом одређена је једна диференцијална једначина у векторском облику којој одговарају три скаларне диференцијалне једначине, које се могу написати у односу на изабрани координатни систем. Оне чине, у општем случају, систем спрегнутих диференцијалних једначина другог реда и некада је њихово решавање веома компликовано или се може наћи само приближно решење. У специјалном случају, када свака од тих скаларних диференцијалних једначина садржи само координате положаја, брзине и убрзања које одговарају једној координати, тада се интеграљење може спровести за сваку диференцијалну једначину посебно, оне чине систем скаларних независних диференцијалних једначина другог реда. Коначне једначине кретања се могу добити по поступку одређивања интеграционих константи применом почетних услова на решења диференцијалних једначина. Ако на материјалну тачку М, масе м, дејствује сила F X Yj, која се налази у равни Оxy та тачка ће се кретати у тој равни, у општем случају по криволинијској путањи, која представља геометријско место крајњиh тачака вектора положаја r xyj. Тада, на основу другог Њутновог принципа, могу се написати две скаларне диференцијалне једначине кретања материјалне тачке масе м, које у потпуности одређују кретање уколико су два пута диференцијабилне: F X Yj; a x yj m x X ; x X m ; ma F ; x m y Y; y X m Y m C ; y X m ; x C C Y m C Y m 3 ; y C3 C4 Скупом релација показано је како се у општем случају решава проблем криволинијског кретања ако се оно одвија у једној равни и у односу на Декартов координатни систем. За одређивање интеграциониh константи неопhодни су почетни услови. Криволинијско кретање тачке у простору може се посматрати у односу на Декартов координатни систем Oxyz, ако се изрази допуниме трећом координатом и одговарајућим интегралима по тој координати. Тада би било шест интеграла и шест интеграциониh константи.

42 Ризик од механичких дјстава 4 Коси хитац Проблем косог хица у безваздушном простору је проблем кретања материјалне тачке, масе м, тежине G=мg, којој је саопштена почетна bрзина v. Вектор почетне брзине гради угао са hоризонталном осом Оx, који се зове елевациони угао. Кретање се одвија услед саопштене почетне брзине и под дејством силе земљине теже, која има супротан смер кретању тешке тачке, те гравитационо убрзање дејствује као константно успорење на покретну материјалну (тешку) тачку. Због тога ће се тачка кретати по кривој линији у равни у којој се налази вектор почетне брзине и сила тежине материјалне тачке. Коси хитац у безваздушном простору Поставља се Декартов координатни систем Оxy са координатним почетком О у почетном положају тешке тачке и осе се оријентишу према сл.4.6. Да би се одредиле коначне једначине кретања материјалне тачке, полази се од другог Њутновог принципа и применимо општег поступка на овај случај: F mg mgj Yj m x yj mgj ; a x yj ; ma F; m x ; x ; x C ; x C t C m y mg gt ; y -g ; y -gt C3 ; y - C3t C 4 Интеграционе константе се одређују применом почетниh услова: x ; y t x v cos α ; y v s α C v C cos α ; C 3 ; C v 4 s α а затим коначне једначине кретања тачке, од којиh прва показује да је кретање пројекције тачке на Оx осу једнолико, а на Оy осу једнакоуспорено до тренутка максималног пењања покретне тешке тачке y и затим једнакоубрзано: x vt cos α gt y vt s α a b Пројекције брзине покретне тачке на осе Декартовог координатног система су:

43 Ризик од механичких дјстава 43 x v y v cos α s α gt x v cos a t ; b y xtg v g x cos Тачка Е, у којој настаје промена кретања из стања криволинијског пењања у криволинијско падање тачке, је теме параболе. Њена координата је, због симетрије путање, у правцу Оx осе једнака половини домета тачке. У правцу Оy осе, максималну висину пењања тачке можемо да одредимо и из услова екстремума функције x y f. g v s α y ; x ; xmax D ; xtgα x D x E v cos α g y x D v y s max max y ye ; g α Време кретања тачке до темена Е је: T E v s α. g Време летења тачке је укупно време кретања тачке: T T E v s α g Домет је највећи за : 4 v Dmax. g Максималну висину пењања постиже тачка којој је саопштена почетна брзина под углом π α,, што је заправо случај вертикалног hица: v H max g. Хоризонталан хитац Специјалан случај косог хица је хоризонталан хитац. Тада је елевациони угао једнак нули ( =). Ако осу Оy оријентишемо наниже и координатни почетак се поклапа са почетним положајем материјалне тачке, тада су коначне једначине кретања материјалне тачке: F mg mgj Yj ; a x yjb ; ma F; m x yj mg j m x ; x ; x C ; x C t C m y mg gt ; y g ; y gt C3 ; y C3t C 4

44 Ризик од механичких дјстава 44 Интеграционе константе се одређују применом почетних услова: x t x ; y v ; y C C ; C v ; C 3 4 Заменом добијених вредности за интеграционе константе, коначне једначине добијају коначан облик: gt x vt; y ; x v; y gt; а путања је парабола са теменом у координатном почетку: g y x. v Полазећи од тога да се зна са које висине тачка почиње да се креће и колика јој је почетна брзина у том положају саопштена, висина падања h и почетна bрзина v су познате величине, онда су домет и време падања у облику следећиh израза потпуно одређени: v h h h D D v ; T. g g g v Принудно кретање тачке Материјална тачка на коју дејствује нека сила F или више сила са одговарајућом резултантом F креће се у простору искључиво на начин одређен другим Њутновим принципом и њено кретање је одређено једино силом и почетним условима. За материјалну тачку, чије кретање није подвргнуто никаквим другим условима, каже се да је слободна у простору. Слобода кретања тачке може се ограничити на део простора, тада је принуђена да се креће само у одређеном делу простора, она није слободна већ се каже да је везана. Ограничење кретања зове се веза или принуда, а кретање је неслободно или принудно. Према природи веза има их две врсте. Прво, везана тачка може бити принуђена да се креће тако да њен положај у сваком тренутку времена задовољава неке дате услове. Такве везе називају се геометријске, коначне или холономне. Ове везе захтевају да се тачка креће по некој површи или линији, и оне су коначне и нису исказане диференцијалним релацијама већ неком функцијом, на пр. ако је веза x, y, z f то значи да се тачка креће све време по површи која је одређена том функцијом. Друго, везана тачка може бити принуђена да се креће тако да њена брзина у сваком тренутку времена задовољава неке дате услове. Такве везе називају се диференцијалне, кинематичке или нехолономне. Ове везе су исказане диференцијалним једначинама које ограничавају пројекције брзине.

45 Ризик од механичких дјстава 45 Друга подела веза извршена је према томе да ли су оне променљиве у току времена или не. Веза која се не мења у току времена или је непокретна назива се склерономна или стационарна, док се веза која се мења са временом назива назива реономна или нестационарна. Релације које одређују реономне везе увек садрже експлицитно време x, y, z, t f. Везе могу да ограничавају кретање само са једне стране, тада се изражавају неједнакостима и зову се једностране (унилатералне) или незадржавајуће. Ако су везе изражене једначинама онда су оне двостране (билатералне) или задржавајуће. Ако постоји само једна коначна веза, тачка се креће по површи. Кад постоје две коначне везе тачка се креће по кривој линији, која је пресек површи одређениh појединачним једначинама веза. Утицај веза на кретање материјалне тачке може да се представи силом везе, тако да се Њутнов други (аксиом) принцип може да примени узимајући силу везе и силу дејства. Тада се сила дејства назива активна сила а сила везе је реакција или пасивна сила. Материјална тачка ће се кретати под утицајем резултанте овиh двеју сила (сл.4.5): ma F F W Погодно је да се за принудно кретање тачке по глаткој кривој линији користе природне координате, тј.: dv dv v a T R K N ; F F T F T N N F B ; F B W F WN N F На тај начин добијене су диференцијалне једначине принудног кретања материјалне тачке по глаткој кривој линији у природним координатама: dv v m FT ; m FN FWN ; F R k B F WB Прва једначина не садржи непознату силу везе и омогућује да се одреди закон кретања дуж криве, тј. да одредимо s(t), а друга и трећа служе за одређивање силе везе. Ове једначине могу да се искористе за слободно кретање тачке када је сила везе једнака нули као и за кретање по храпавој кривој линији када треба додати силу трења. Диференцијалне једначине принудног кретања материјалне тачке по храпавој кривој линији, када треба додати силу трења: FWTT Fμ μfnt, одакле следи: F W dv v FWTT FWN N FWBB m FT FWT ; m FN FWN ; FB FWB R k WB B

46 Ризик од механичких дјстава 46 ДИНАМИКА Дефиниција:Динамика је наука јоја изучава кретање материјалних тела под дејством сила. Механичко кретање је најпростије кретање материје које се састоји у простом померању елемената материје (материјалне тачке или система материјалних тачака) из једног у други положај у времену и простору. С обзиром да проучавање кретања материјалне тачке претходи проучавању кретања система материјалних тачака, а у посебном случају кретања крутог тела, курс динамике се обично дели на два дела, и то на: c) динамику тачке, и d) динамику система материјалних тачака. Постоје два основна задаткаа Динамике: 3. познат је распоред сила које дејствују на тело, треба да се одреде закони кретања 4. познати су закони кретања треба да се одреди сила (резултанта) која изазива то кретање. Основни закони динамике И Закон - Закон инерције: Свако тело остаје у стању мировања или равномерног (једноликог) и праволинијског кретања све док под дејством сила не буде принуђено да то своје стање промени. Закон инерције је први поставио велики италијански физичар Галилео Галилеј (Галилео Галилеи, ), јер је први приметио особину тела да тежи да задржи стање мировања или стање кретања. Ту особину је назвао инерција - инертиа (лењост). Координатни систем у коме важи принцип инерције се назива инерцијални координатни систем, или Галилејев триједар. Први Њутнов закон се назива и Закон егзистенције или Закон постојања силе. Кретање у одсуству силе се назива кретање по инерцији, при чему се констатује једнакост мировања и кретања по инерцији. II Закон - Закон еквиваленције: Промена кретања - убрзање је пропорционално сили која дејствује на тело и врши се у правцу силе. Њутн под променом кретања (mutatoem motus) сматра промену количине кретања. Дефиниција: Количина кретања K материјалне тачке подразумева производ масе (m) mатеријалне тачке и вектора брзине ( v ) тачке, тј. K mv. Други Њутнов закон mоже да се изрази у аналитичкоm облику као d dm m v F v m a F У случају када је mаса d константна, t други Њутнов закон mоже да се напише као F ma. На основу тога, преmа Кирхофу (Robert Krchoff, ), mаса m је коефицијент пропорционалности изmеђу убрзања a и силе F.

47 Ризик од механичких дјстава 47 У додатку за други закон, Њутн даје и начин сабирања сила: тело под дејством удружених сила описује дијагоналу паралелограма у истом времену у коме дејством појединих сила описује стране. Ако на материјалну тачку делује систем од н сила тада се њихово дејство замењује дејством резултанте система сила F III Закон - Закон акције и реакције: R F F... F F m a Дејству (акцији) увек је једнако противдејство (реакција), или, дејства два тела једног на друго су увек једнака и усmерена супротно. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ КРЕТАЊА МАТЕРИЈАЛНЕ ТАЧКЕ Ако је положај материјалне тачке масе м одређен вектором положаја r r у односу на једну сталну тачку у простору, онда је на основу другог Њутновог принципа, сила која дејствује на ту материјалну тачку, одређена изразом: d r F ma m - Сила може бити функција вектора положаја, вектора брзине и времена, појединачно или комбиновано на различите начине: F Fr,v,t, r r t а кретање је започето под условиmа: vt v Диференцијална једначина другог реда је основна динамичка једначина кретања материјалне тачке изражена у векторском облику, која се може заменити системом скаларних диференцијалних једначина другог реда у зависности од изабраног координатног система. Да би се то спровело потребно је да вектор силе и вектор убрзања изразе помоћу пројекција на осе изабраног координатног система, о чему је било речи у статици и кинематици. Формирање скаларних једначина показано је на примерима кретања материјалне тачке у Декартовом и природном координатном систему. Диференцијалне једначине кретања материјалне тачке у Декартовом координатном систему mx X my Y mz Z x, y, z ; x, y, z; t F. ; x, y, z ; x, y, z; t F. j ; x, y, z ; x, y, z; t F. k. Диференцијалне једначине кретања материјалне тачке у природном координатном систему dv m FT mv F,T ; F F,N ; F F, B R k N B t

48 Ризик од механичких дјстава 48 Под почетним условима подразумева се да су у тренутку t познати вектор положаја и вектор r r t v t, у облику својих пројекција на осе изабраног координатног брзине: v система у односу на који се анализира динамика тачке. Праволинијско кретање материјалне тачке под дејством силе константног интензитета Код праволинијиског кретања путања је права линија. Најједноставније је да се координатни систем бира тако да се координатни почетак поклопи са почетним положајем покретне материјалне тачке, мада може и да тачка у почетном положају буде на неком растојању од координатног почетка, и да се оса Оx поклопи са путањом. Применом другог Њутновог принципа проблем се своди на само једну скаларну диференцијалну једначину, која се зове основна динамичка једначина. Пошто је сила константног интензитета ( X cost. ) и има правац осе Оx, уз укључивање почетних услова t : x x v v, одређује се једноставно брзина и коначна једначина кретања тачке после два корака интеграције основне динамичке једначине: X cost. F X ma m x X x a ; a x dx x a dx a x a t dx a t C dx C a t a t C x C t C x x Из почетних услова одређују се интеграционе константе t x v Закони промене брзинае и пута сада могу да се напишу у облику: v x v at C C x v x x at vt a -jedakoubrzao kretaje a - jedakousporeo kretaje Из изложеног се закључује да је код праволинијског кретања сила увек колинеарна са путањом, да се једнолико праволинијско кретање врши по инерцији и да равномерно променљиво кретање изазива сила константног интензитета са смером убрзања одн. успорења материјалне тачке.

49 Слободан пад у безваздушном простору Ризик од механичких дјстава 49 Тешка тачка, масе m, пада са висине h, вертикално наниже. Диференцијална једначина кретања је: z F mg mgk Zk ; t z ma F ; a zk m z mg ; z g ; z gt C ; z gt C t C Интеграционе константе одређују се из почетних услова: z t z C C Закон пута и закон брзине имаће облик: gt z ; z gt v Време падања материјалне тачке Т одређено је релацијоm из које се закључује да оно зависи од висине падања h и убрзања зеmљине теже g а не зависи од mасе m. z h za t T T h g Брзина материјалне тачке v k у тренутку удара о подлогу зависи од истих величина: h v z kr g t T v gt g gh Вертикалан хитац увис у безваздушном простору Слободна материјална тачка врши вертикалан хитац увис уколико јој се саопшти нека почетну брзину у вертикалном правцу са смером навише. Координатна оса Oz усмерена је увис и нека су почетни услови; у тренутку времена t= тачка се налази у координатном почетку z и има почетну брзину z v. Тачка се креће од земље навише све док јој у једном тренутку времена брзина буде једнака нули. Тада је она постигла највећу висину пењања крећући се вертикално увис константним успорењем, које је једнако убрзању земљине теже (гравитационом убрзању) и супротног је смера. Поступак интеграљења одговарајуће диференцијалне једначине и одређивање интеграциониh константи спроводи се на следећи начин: z F mg mgk ; t z v ma F ; a zk

50 m z mg Ризик од механичких дјстава 5 gt ; z g ; z gt C ; z Ct C Интеграционе константе одређују се из почетних услова: g t z C C C t z o v C C v v g Закон брзине и закон пута биће: z v g t g t z v t Материјална тачка достиже максималну висину h, у тренутку када је њена брзина једнака нули, а после времена Т. тј. v z v g T T g И она је једнака: h v g T T v Почетна брзина једнака је: v g v g g v g v g h За време Т, када тачка достигне највећу висину пењања, брзина јој је једнака нули. Пошто је слободна, она се затим креће слободним падом. У идеалним условима, време пењања једнако је времену падања и оно зависи од почетне брзине и убрзања земљине теже, брзина удара при паду једнака је почетној брзини и једнака је брзини при слободном паду материјалне тачке са исте висине. Време слободног пада једнако је времену кретања материјалне тачке увис, за исту висину падања као и кретања увис. Слободан пад у ваздуху (сила зависи од брзине) Поред активне силе тежине тела јавља се и отпорна сила ваздуха, која спада у пасивне силе, а супротсавља јој се и дејствује у супротном смеру од ње. Отпорна сила ваздуха се одређује експериментом јер је теоријско одређивање веома сложено. Експериментима је доказано да сила отпора ваздуха (средине у којој се одвија слободан пад тела) зависи од брзине и облика тела, као и од густине средине ваздуха. На томе је први радио Њутн и успоставио следеће законитости по којима се мења сила отпора ваздуха: - Fw clv, ако је брзина тела мала (до v m s ), gде су c-константа, L-дужина тела и v- брзина тела;

51 - Fw Ризик од механичких дјстава 5 cav, за веће брзине али мање од брзине звука, где су c-константа, - густина средине у којој се одвија слободан пад тела, А-површина највећег попречног пресека покретног тела у правцу управном на правац кретања тела и v-брзина тела. Нека тело масе м и тежине G m g ( g - убрзање земљине теже) пада са у ваздуху са висине која није велика у поређењу са пречником Земље (густина ваздуха и маса тежина тела могу сматрати константним). Диференцијална једначина слободног пада тела у отпорној средини биће: ma F Fw; a zk; F mg mgk ; Fw cav k, када је координатни почетак у тачки која се поклапа са почетним положајем средишта тела које пада и оса Oz усмерена ка Земљи. Тада диф. једн: z z g где јеb b Како је dz dz dz z z, dz z mg c A константа. mz mg caz, постаје: Диференцијална једначине своди се на диф. једначину која раздваја променљиве: z dz b z g b dz Интеграцијом леве и десне стране претходне једначине добија се: l( b z g ) b C Из почетних услова кретања (за z= и v=) одређује се константа израза у претходну једначину добија се: b z l b g b g z b b z e b v b Константа e g z b z, или, одакле је коначан израз за брзину C l b. Заменом овог b има кинематичко значење. Кретање је успорено због дејства отпорне силе тако да ће наступити тренутак када отпорна сила достигне вредност активне силе ( mg c Az ) и убрзање постане једнако нули ( z ). Тада ће брзина достиже највећу вредност једнаку константи b ( v max наставља да се креће једнолико брзином vmax b) и отпор средине се више неће повећавати. Тело b. У томе је разлика између кретања тела у средини без отпора и са отпором. У првом случају се брзина стално повећава са временом и тело се креће једнакоубрзано, у другом се брзина повећава само до граничне вредности vmax bи даље се кретање одвија максималном постигнутом брзином.

52 Ризик од механичких дјстава 5 У стварним условима, а и према решењу диф.једн. брзина се стално повећава и тежи максималној вредности, коју би постигла после бесконачно великог временског размака, па стварно кретање неће бити никада једнолико. Криволинијско кретање у равни У општем случају, вектор силе може да зависи од више независно променљивих величина, и то од вектора положаја, вектора брзине и времена. Другим Њутновим принципом одређена је једна диференцијална једначина у векторском облику којој одговарају три скаларне диференцијалне једначине, које се могу написати у односу на изабрани координатни систем. Оне чине, у општем случају, систем спрегнутих диференцијалних једначина другог реда и некада је њихово решавање веома компликовано или се може наћи само приближно решење. У специјалном случају, када свака од тих скаларних диференцијалних једначина садржи само координате положаја, брзине и убрзања које одговарају једној координати, тада се интеграљење може спровести за сваку диференцијалну једначину посебно, оне чине систем скаларних независних диференцијалних једначина другог реда. Коначне једначине кретања се могу добити по поступку одређивања интеграционих константи применом почетних услова на решења диференцијалних једначина. Ако на материјалну тачку М, масе м, дејствује сила F X Yj, која се налази у равни Оxy та тачка ће се кретати у тој равни, у општем случају по криволинијској путањи, која представља геометријско место крајњиh тачака вектора положаја r xyj. Тада, на основу другог Њутновог принципа, могу се написати две скаларне диференцијалне једначине кретања материјалне тачке масе м, које у потпуности одређују кретање уколико су два пута диференцијабилне: F X Yj; a x yj m x X ; x X m ; ma F ; x m y Y; y X m Y m C ; y X m ; x C C Y m C Y m 3 ; y C3 C4 Скупом релација показано је како се у општем случају решава проблем криволинијског кретања ако се оно одвија у једној равни и у односу на Декартов координатни систем. За одређивање интеграциониh константи неопhодни су почетни услови. Криволинијско кретање тачке у простору може се посматрати у односу на Декартов координатни систем Oxyz, ако се изрази допуниме трећом координатом и одговарајућим интегралима по тој координати. Тада би било шест интеграла и шест интеграциониh константи.

53 Ризик од механичких дјстава 53 Коси хитац Проблем косог хица у безваздушном простору је проблем кретања материјалне тачке, масе м, тежине G=мg, којој је саопштена почетна bрзина v. Вектор почетне брзине гради угао са hоризонталном осом Оx, који се зове елевациони угао. Кретање се одвија услед саопштене почетне брзине и под дејством силе земљине теже, која има супротан смер кретању тешке тачке, те гравитационо убрзање дејствује као константно успорење на покретну материјалну (тешку) тачку. Због тога ће се тачка кретати по кривој линији у равни у којој се налази вектор почетне брзине и сила тежине материјалне тачке. Коси хитац у безваздушном простору Поставља се Декартов координатни систем Оxy са координатним почетком О у почетном положају тешке тачке и осе се оријентишу према сл.4.6. Да би се одредиле коначне једначине кретања материјалне тачке, полази се од другог Њутновог принципа и применимо општег поступка на овај случај: F mg mgj Yj m x yj mgj ; a x yj ; ma F; m x ; x ; x C ; x C t C m y mg gt ; y -g ; y -gt C3 ; y - C3t C 4 Интеграционе константе се одређују применом почетниh услова: x ; y t x v cos α ; y v s α C v C cos α ; C 3 ; C v 4 s α а затим коначне једначине кретања тачке, од којиh прва показује да је кретање пројекције тачке на Оx осу једнолико, а на Оy осу једнакоуспорено до тренутка максималног пењања покретне тешке тачке y и затим једнакоубрзано: x vt cos α gt y vt s α a b Пројекције брзине покретне тачке на осе Декартовог координатног система су:

54 Ризик од механичких дјстава 54 x v y v cos α s α gt x v cos a t ; b y xtg v g x cos Тачка Е, у којој настаје промена кретања из стања криволинијског пењања у криволинијско падање тачке, је теме параболе. Њена координата је, због симетрије путање, у правцу Оx осе једнака половини домета тачке. У правцу Оy осе, максималну висину пењања тачке можемо да одредимо и из услова екстремума функције x y f. g v s α y ; x ; xmax D ; xtgα x D x E v cos α g y x D v y s max max y ye ; g α Време кретања тачке до темена Е је: T E v s α. g Време летења тачке је укупно време кретања тачке: T T E v s α g Домет је највећи за : 4 v Dmax. g Максималну висину пењања постиже тачка којој је саопштена почетна брзина под углом π α,, што је заправо случај вертикалног hица: v H max g. Хоризонталан хитац Специјалан случај косог хица је хоризонталан хитац. Тада је елевациони угао једнак нули ( =). Ако осу Оy оријентишемо наниже и координатни почетак се поклапа са почетним положајем материјалне тачке, тада су коначне једначине кретања материјалне тачке: F mg mgj Yj ; a x yjb ; ma F; m x yj mg j m x ; x ; x C ; x C t C m y mg gt ; y g ; y gt C3 ; y C3t C 4

55 Ризик од механичких дјстава 55 Интеграционе константе се одређују применом почетних услова: x t x ; y v ; y C C ; C v ; C 3 4 Заменом добијених вредности за интеграционе константе, коначне једначине добијају коначан облик: gt x vt; y ; x v; y gt; а путања је парабола са теменом у координатном почетку: g y x. v Полазећи од тога да се зна са које висине тачка почиње да се креће и колика јој је почетна брзина у том положају саопштена, висина падања h и почетна bрзина v су познате величине, онда су домет и време падања у облику следећиh израза потпуно одређени: v h h h D D v ; T. g g g v Принудно кретање тачке Материјална тачка на коју дејствује нека сила F или више сила са одговарајућом резултантом F креће се у простору искључиво на начин одређен другим Њутновим принципом и њено кретање је одређено једино силом и почетним условима. За материјалну тачку, чије кретање није подвргнуто никаквим другим условима, каже се да је слободна у простору. Слобода кретања тачке може се ограничити на део простора, тада је принуђена да се креће само у одређеном делу простора, она није слободна већ се каже да је везана. Ограничење кретања зове се веза или принуда, а кретање је неслободно или принудно. Према природи веза има их две врсте. Прво, везана тачка може бити принуђена да се креће тако да њен положај у сваком тренутку времена задовољава неке дате услове. Такве везе називају се геометријске, коначне или холономне. Ове везе захтевају да се тачка креће по некој површи или линији, и оне су коначне и нису исказане диференцијалним релацијама већ неком функцијом, на пр. ако је веза x, y, z f то значи да се тачка креће све време по површи која је одређена том функцијом. Друго, везана тачка може бити принуђена да се креће тако да њена брзина у сваком тренутку времена задовољава неке дате услове. Такве везе називају се диференцијалне, кинематичке или нехолономне. Ове везе су исказане диференцијалним једначинама које ограничавају пројекције брзине.

56 Ризик од механичких дјстава 56 Друга подела веза извршена је према томе да ли су оне променљиве у току времена или не. Веза која се не мења у току времена или је непокретна назива се склерономна или стационарна, док се веза која се мења са временом назива назива реономна или нестационарна. Релације које одређују реономне везе увек садрже експлицитно време x, y, z, t f. Везе могу да ограничавају кретање само са једне стране, тада се изражавају неједнакостима и зову се једностране (унилатералне) или незадржавајуће. Ако су везе изражене једначинама онда су оне двостране (билатералне) или задржавајуће. Ако постоји само једна коначна веза, тачка се креће по површи. Кад постоје две коначне везе тачка се креће по кривој линији, која је пресек површи одређениh појединачним једначинама веза. Утицај веза на кретање материјалне тачке може да се представи силом везе, тако да се Њутнов други (аксиом) принцип може да примени узимајући силу везе и силу дејства. Тада се сила дејства назива активна сила а сила везе је реакција или пасивна сила. Материјална тачка ће се кретати под утицајем резултанте овиh двеју сила (сл.4.5): ma F F W Погодно је да се за принудно кретање тачке по глаткој кривој линији користе природне координате, тј.: dv dv v a T R K N ; F F T F T N N F B ; F B W F WN N F На тај начин добијене су диференцијалне једначине принудног кретања материјалне тачке по глаткој кривој линији у природним координатама: dv v m FT ; m FN FWN ; F R k B F WB Прва једначина не садржи непознату силу везе и омогућује да се одреди закон кретања дуж криве, тј. да одредимо s(t), а друга и трећа служе за одређивање силе везе. Ове једначине могу да се искористе за слободно кретање тачке када је сила везе једнака нули као и за кретање по храпавој кривој линији када треба додати силу трења. Диференцијалне једначине принудног кретања материјалне тачке по храпавој кривој линији, када треба додати силу трења: FWTT Fμ μfnt, одакле следи: F W dv v FWTT FWN N FWBB m FT FWT ; m FN FWN ; FB FWB R k WB B

57 Ризик од механичких дјстава 57 VII ДИНАМИЧКА ДЕЈСТВА: КОЛИЧИНА КРЕТАЊА, ИМПУЛС СИЛЕ, ЗАМАХ, РАД СИЛЕ, СНАГА, МЕХАНИЧКА ЕНЕРГИЈА 6. Количина кретања Производ масе материјалне тачке и вектора брзине назива се количина кретања (промена кретања, налет, импулс кретања) покретне тачке, и он је вектор колинеаран са вектором брзине само је m пута већег интензитета, пошто је маса м скалар (сл.6.). K m v У Декартовом координатном систему количина кретања се може представити помоћу пројекција K, K, K : x y K K x z K y j K z k С обзиром на пројекције вектора брзине на осе декартовог координатног система може се написати следеће: K m ; K y m vy x v x K m v ; z z сл.6. Количина кретања (импулс кретања, налет) покретне тачке Извод вектора количине кретања материјалне тачке по времену једнак је сили која дејствује на материјалну тачку, јер је маса константна (извод масе по времену једнак је нули) : dk d dv m v m m a F или K F Ова векторска једначина представља диференцијални облик закона о количини кретања, који се може исказати на следећи начин: Извод количине кретања по времену једнак је сили која дејствује на материјалну тачку. Диференцијал количине кретања из претходне релације може да се напише у облику: dk F di, di диференцијал импулса силе I. За коначан временски интервал, импулс силе је једнак где је разлици количина кретања у тренуцима времена на крају и на почетку временског интервала. t K-K F I t Ово је интегрални облик закона о промени количине кретања, који гласи: Прираштај количине кретања за коначан временски интервал једнак је импулсу силе која дејствује на материјалну тачку у том времену.

58 Ризик од механичких дјстава 58 сл.6. Дијаграм:сила-време; di -елементарна површина импулса силе Ако сила зависи само од времена, површина омеђена овом кривом и двема ординатама, које одговарају тренуцима почетка и завршетка временског интервала, представља тотални импулс односно, укупну промену количине кретања у датом временском интервалу (сл.6.). Правац импулса силе се у општем случају не поклапа са правцем силе. Ако је сила једнака нули, тада је импус силе једнак нули а количина кретања је константан вектор, па је и брзина константна и тада се кретање одвија по инерцији. K cost. c m x c m z c ; m y c; 3. Димензије количине кретања и импулса су исте MLT и обично се мере јединицом grcms, kgms итд. 6. Закон о моменту количине кретања (замаху) Под моментом количине кретања (кинетичким моментом или замахом) подразумева се момент вектора количине кретања материјалне тачке за једну сталну тачку, коју зовемо пол. Нека је пол О координатни почетак, онда је положај материјалне тачке масе m одређен вектором положаја r (сл.6.3), и момент количине кретања је векторски производ вектора положаја материјалне тачке и вектора K : L r K сл.6.3 Момент количине кретања материалне тачке за тачку О Пошто је момент количине кретања векторски производ двају вектора то је и он вектор који је одређен по правилу векторског производа (сл.6.3), и може се разложити на компоненте у односу на изабрани координатни систем: L L L j L k x Први извод момента количине кретања по времену је: dl F r K r K v mv r K r F M L Претходна релација изражава закон о промени момента количине кретања (замаха) за непокретни пол. Извод момента количине кретања за пол по времену једнак је моменту силе, која дејствује на материјалну тачку, за исти пол као моментну тачку. Овај вектор такође се може разложити на компоненте, на пр. у Декартовом координатном систему би било: L L L j L k M M x y z y x z y M F j M Пројекција замаха на осу је замах за осу или момент количине кретања за осу. У статици је дефинисан момент силе за тачку и момент силе за осу. Аналогија је очигледна. Пројекција извода момента количине кретања материјалне тачке (замаха) на сталну осу једнака је моменту силе за исту осу. Момент количине кретања за тачку је вектор а момент количине кретања за осу је скалар. Ако је момент силе за непокретни пол једнак нули, онда је и момент количине кретања константан у сваком тренутку времена: L O C cost. У случају централног кретања, када правац силе под чијим се дејством одвија кретање увек пролази кроз непокретни центар, момент силе за тај центар једнак је нули, тада јр је момент количине кретања константан. Димензија момента количине кретања је ML T и обично се мери јединицом grcm s, kgm s. 5.8 Диференцијалне једначине обртног кретања крутог тела око непокретне осе Ако на круто тело дејствује систем датих сила F s (,,..., ) и оно се може обртати око z k F B, и оне су непознате (Сл.5.9). непокретне осе, тада се јављају реакције у лежиштима F A и Моменти реакција за осу обртања једнаки су нули. Применимо закон о промени момента количине кретања за осу з обртног кретања крутог тела:

59 dl z L z M F z s M s z где је момент спољашњих сила за обртну осу, Ризик од механичких дјстава 59 M s z Замах за z осу крутог тела одређује се узимањем у обзир да све тачке тела врше кружна кретања у равнима управним на осу обртања, истом угаоном брзином, по кружницама полупречника r који су једнаки нормалним растојањима тачака од непокретне осе обртања, те су им брзине v r r : L z M K z r m v r m r M m r Диференцирањем овог израза по времену добија се израз: L z J z J z F z s. J z J z и на основу претходног израза добија се први односно други облик диференцијалне једначине обртног кретања крутог тела.: J z M s F z или M s z J z M s F z M Производ аксијалног момента инерције тела (за осу обртања крутог тела) и угаоног убрзања тела једнак је моменту спољашњих сила за исту осу. Из једначине се види да за одређени момент спољашњих сила већем моменту инерције одговара мање угаоно убрзање и обрнуто. Дакле, момент инерције тела за осу је мера инертности тела при обртном кретању. Сл.5.9 Обртно кретање крутог тела око непокретне осе, силе оптерећења и реакције Ако је момент спољашњих сила једнак нули тело се обрће равномерно, ако је момент спољашњих сила константан тада се тело обрће равномерно променљиво. 5.9 Диференцијалне једначине равног кретања крутог тела Равно кретање крутог тела је у потпуности дефинисано кретањем једна његове равни. Динамички задатак решава се на најједноставнији начин ако за пол изаберемо средиште маса крутог тела и ако се положај тела одреди координатама x, yc, (Сл.5.). Ако на круто тело дејствује систем спољашњих сила F s (,,..., ), тада положај и кретање средишта маса (центар инерције Сл.5. Равно кретање пресека крутог тела диференцијалном једначином: M a C r C F m r M s F. "s R ) се одређује Обртно кретање око те тачке одређује се помоћу једначине обртног кретања тела око осе s J z M z. С обзиром да та оса пролази кроз тачку C и управна је на сталну раван Оxy, то диференцијална једначина може да се напише у облику: J C s s F M C M C Према томе, диференцијалне једначине равног кретања крутог тела у односу на непокретни систем референције Оxy су: C s z

60 M x C X s ; M y C Y s Ризик од механичких дјстава 6 ; J C ζ M s FI C Помоћу ових једначина и датих сила може се одредити закон кретања тела, или обрнуто, ако нам је познат закон кретања тела може се одредити главни вектор и главни момент спољашњих сила које дејствују на тело. 6.3 Рад силе. Кинетичка енергија и закон о промени кинетичке енергије Да би се окарактерисало дејство силе на материјалну тачку коју помера користи се појам рада силе. Дејство силе, при томе, изазива само промену интензитета брзине кретања материјалне тачке. сл.6.4 Елементарно померање Скаларни производ силе F и елементарног померања ds (сл.6.4), који се поклапа са правцем тангенте на линији путање, назива се елементарни рад силе на том померању: da F ds. Према скаларног производа, елементарни рад је величина, коју се може написати у који граде вектори силе и елементарно облику: da F ds F ds cos F,ds. Рад силе може бити позитиван, негативан у зависности од вредности косинуса угла. Рад силе једнак је нули, ако је силе управна у односу на елементарно Производ силе и косинуса захваћеног представља тангенцијалну компоненту сл.6.5 Природне компоненте силе F дефиницији скаларна функцији угла, померање, у или једнак нули захваћеног нападна линија померање. угла силе па елементарни рад можемо написати у облику: da F T ds. Према томе, елементаран рад силе једнак је производу интензитета силе, елементарног померања и косинуса захваћеног угла или елементаран рад силе једнак је производу пројекције силе на правац померања тачке и елементарног померања. За веома мале величине елементарно померање по луку једнако је прираштају вектора положаја: ds dr ; ds dx dy j dz k ; F X Y j Z k а вектор силе је:, тако да се може написати израз за елементарни рад у облику збира производа пројекције силе и елементарног померања у правцима оса Декартовог координатног система: da F r X dx Y dy Zdz Рад силе на коначном померању једнак је интегралу елементарног рада на том померању: A F ds X dx Y dy Z dz. ( M M ) M M T M M Рад силе једак је нули ако су нападна линија силе и правац померања ортогонални: A F s. Снагом (P) назива се величина која одређује рад силе у јединици времена: da FT ds P FT v Снага је једнака производу интензитета тангенцијалне компоненте силе и брзине кретања материјалне тачке. Јединица за рад силе је џул, који одговара раду који изврши сила од једног њутна на померању тачке за један метар у смеру дејства силе. Јединица за снагу је ват, који одговара снази од једног џула у секунди: Ј=Nm; W=Ј/s.

61 Ризик од механичких дјстава 6 Кинетичка енергија (жива сила) је скаларна величина која се срачунава као полупроизвод масе m и квадрата брзине којом се креће материјална тачка масе m: Ek mv Јединица за кинетичку енергију је такође џул, јер је: ML T FL Да би се извео закон о промени кинетичке енергије, полази се од израза за елементарни рад силе: F dr da и диференцијалне једначине кретања материјалне тачке у векторском облику dv F m a. С обзиром да је a dv облику F m, и унешењем у израз за елементарни рад силе da F dr, где је dr v своди се на израз који је једнак диференцијалу кинетичке енергије: јер је вектора: v v dv d v v v v dv d E k то се диференцијална једначина можеме написати у следећем dv v m v da m v m v dv m d d de k, с обзиром да је скаларни производ вектора самим собом једнак квадрату тог, па се диференцирањем овог израза добија се v dv d v v v d.,, одн. Диференцијални облик закона о промени кинетичке енергије за материјалну тачку гласи: Диференцијал кинетичке енергије материјалне тачке једнак је елементарном раду силе која дејствује на материјалну тачку на одговарајућем померању. de k da Интеграљењем израза, за остварени рад на коначном померању од положаја M до M, у коначном времену, добија се закон о живој сили за материјалну тачку у интегралном облику: E E k k MM Једначина изражава закон о промени кинетичке енергије за материјалну тачку у интегралном облику: Прираштај кинетичке енергије материјалне тачке на одређеном путу једнак је укупном раду силе на истом путу. Ако диференцијални облик закона подели диференцијалом времена, добија се да је снага једнака изводу кинетичке енергије по времену, одакле следи да је једнака скаларном производу вектора силе и брзине: da P P F T dek d FT v ds A dv m v m v m v a F v F v T T, 6.4 Закон о одржању механичке енергије Закон о конетичкој енергији у коначном облику за кретање материјалне тачке под дејством само одређених сила може се написати у облику: E k E ko da где је U Ux, y, z F ds ( s gradu, ds), скаларна функција која зависи само од координата тачке. Сила у општем случају зависи од положаја, брзине и времена. Међутим, ако зависи само од положаја, део простора у коме се посматра сила је поље силе и у том случају она је функција вектора F F r положаја, или у Декартовом координатном систему изражено у скаларном облику пројекције силе зависе само од координата вектора положаја. F X Y j Z k; X X x, y, z, Y Yx, y, z, Z Zx, y, z Скаларна функција U Ux, y, z је конзервативна:, чији је градијент једнак сили F, назива се функција силе а сила

62 Ризик од механичких дјстава 6 U U U U U U F gradu U j k X ; Y ; Z x y z x y z U U x, y, z - U. Функција супротног знака од функције E p Сада се коначни прираштај кинетичке енергије може изразити: E k E ko da s F ds U U U dx dy dz x y z Одакле је: E k E p Ek E p h cost. ( gradu, ds) du U U U U x y назива се потенцијална енергија: E p E A. U j k, dx dy j dz k z Овај израз представља закон о одржању механичке енергијепо коме је збир кинетичке и потенцијалне енергијеу произвољном тренутку времена једнак збиру кинетичке и потенцијалне енергије у почетном тренутку времена, тј. jеднак је константи. Ово важи само ако се кретање одвија под дејством сила која имају функцију силе. Такве се силе називају конзервативне силе, пасе и закон о одрежању механичке енергије назива закон о конзервацији енергије. Када се кретање материјалне тачке врши под дејством конзервативне силе, збир кинетичке и потенцијалне енергије је константан. Рад силе не зависи не зависи од облика путање већ већ само од положаја и једнак је разлици потенцијала (потенцијалних енергија) у почетној и последњој тачки. Ако на материјалну тачку дејствују и силе које немају функције силе, закон о одржању механичке енергије не важи, те ће наступити деградација механичке енергије. Међутим, како је закон о одржавању енергије универзални закон природе, тада ће наступити претварање једног дела механичке енергије у друге облике енергије као на пр. у топлотну, електричну, звучну итд. Следеће силе су конзервативне:. Сила земљине теже; G mg. Сила сразмерна растојању; F c r 3. Њутнова гравитациона сила; 4. Сила која произвољно зависи од растојања; m F r r F f ( r) r. p Сила еластичности опруге конзервативна јер она зависи од растојања, и њена нападна линија има правац осе дуж правца по коме се креће материјална тачка. Рад силе еластичности опруге на коначном померању A F dx c је: e x M M x сл.6.8 Сила еластичности опруге Рад силе еластичности опруге једнак је половини производа крутости опруге и разлике квадрата почетног и крајњег положаја тачке, тј. почетног и крајњег издужења или скраћења опруге. У случају када је x материјална тачка се налази у положају који одговара недеформисаном x x x dx c x c x x стању опруге, онда је рад силе успостављања: c A x, где координата x одређује положај тачке на путањи као растојање од почетног положаја (недеформисаног стања опруге). Ако се материјална тачка креће по непокретној храпавој површи или храпавој кривој, онда на њу дејствује сила трења клизања F FN T, где је коефицијент трења клизања а F N сила притиска у правцу нормале природне координате N. Сила трења клизања увек има смер супротан смеру кретања материјалне тачке и тада је сила везе са трењем једнака векторском збиру силе трења клизања, која има правац тангенте а супротног је смера, и силе отпора подлоге, која има правац силе притиска а супротног је смера на основу принципа акције и реакције. Рад силе трења клизања је одређен изразом

63 A F ds x F ds Ризик од механичких дјстава 63 N M M x Ако је сила трења константна, за случајеве исте храпавости подлоге која је непокретна, онда је њен рад:. A M M F N s На основу израза за рад следи да сила трења није конзервативна (зависи од закона пута). Тада настаје губитак механичке енергије и може се применити само закон о промени кинетичке енергије али не и закон о одржању механичке енергије. 6.5 Кинетичка енергија крутог тела Кинетичку енергијa при транслаторном кретању крутог тела срачунава се из општег израза за кинетичку енергију система материјалних тачака када све материјалне тачке имају једнаке брзине ( v v ). E k tr m v m vc vc m M vc, јер је v vc C Кинетичка енергија при транслаторном кретању крутог тела једнака је енергији средишта маса у коме је сконцентрисана целокупна маса система. Кинетичку енергију при обртном кретању крутог тела срачунавамо из општег израза за кинетичку енергију система материјалних тачака када све материјалне тачке имају брзине ( кретања на нормалном растојању r од осе обртања угаоном брзином обртања крутог тела. E k rot m r m r J z ; v r v r ) кружног Кинетичка енергија при обртном кретању крутог тела једнака половини производа аксијалног момента инерције за осу обртања крутог тела и квадрата угаоне брзине крутог тела. Кинетичка енергија крутог тела које врши равно кретање (сл.6.9) може се написати по логици да равно кретање јесте тренутно обртно кретање око осе која пролази кроз тренутни пол брзине: E k rk J P По Хајгенс-Штајнеровој теореми, момент инерције за осу која пролази кроз пол једнак је збиру сопственог момента инерције и положајног момента: J P J C M d ; d PC Кинетичка енергија равног кретања крутог тела једнака је збиру кинетичке енергије транслаторног кретања крутог тела и обртног кретања око осе која пролази кроз средиште маса (центар инерције), односно кроз тежиште хомогеног тела. E k rk J M d J M d J M v C 6.5 Рад спољашњих сила које дејствују на круто тело C Рад сила које дејствују на круто тело при његовом транслаторном кретању једнак је раду спољашњих сила, јер је рад унутрашњих сила једнак нули с обзиром на то да је круто тело неизменљиви систем материјалних тачака. При транслаторном кретању крутог тела све тачке тела се крећу на истоветан начин, па су и вектори елементарних померања свих тачака тела једнаки међу собом: dr dr. Елементарни рад спољашње -те силе и укупни рад спољашњих сила на елементарном померању су: da F s dr; da F s dr F ' s R dr; da F ' s R dr C C Елементарни рад спољашњих сила које дејствују на круто тело које врши транслаторно кретање једнак је елементарном раду главног вектора спољашњих сила које дејствују на круто тело. Елементарни рад спољашње -те силе на елементарном угаоном померању d, према дефиницији за елементарни рад једне силе, добија се у C

64 Ризик од механичких дјстава 64 s s s s s облику da F ds F r d cos F, dr r F cos F, dr d da s F M d сл.6. Елементарно померање z по луку и елементарно угаоно померање Укупни рад -те силе при обртању око непокретне осе за одређени угао: A M s F z d коначном угаоном померању: A s A s, а рад свих спољашњих сила једнак је збиру радова сваке силе на истом M s F z d; da s M Cz d Елементарни рад спољашњих сила које дејствују на круто тело које врши обртно кретање око непокретне осе једнак је производу главног момента спољашњих сила у односу на ту осу и елементарног угла обртања тела око те осе. Елементарни рад спољашњих сила које дејствују на круто тело које врши равно кретање једнак је збиру елементарног рада главног вектора спољашњих сила и елементарног рада главног момента спољашњих сила у односу на осу која пролази кроз центар инерције тог тела. ' s R da F dr C M Cz d 6.6 Закон о промени кинетичке енергије крутог тела Прираштај кинетичке енергије тела које врши транслаторно кретање једнак је диференцијалу рада спољашњих сила које дејствују на то тело: M v C s d FR dr C de ktr da S Прираштај кинетичке енергије тела које врши обртно кретање око непокретне осе једнак је диференцијалу рада спољашњих сила обртања тела око непокретне осе: J z s Cz k d M d de d A s Прираштај кинетичке енергије тела које врши равно кретање једнак је диференцијалу рада спољашњих сила које дејствују на то тело: VII ОПШТИ ПРИНЦИПИ МЕХАНИКЕ de X s dx Y s dy M s d de da s. k R C R C C k До сада су решавани проблеми динамике помоћу диференцијалних једначина кретања према другом Њутновом закону, или пооћу једначина које су изведене на основу општих закона динамике. Међутим, постоје принципи из којих семогу извести једначине кретања. Они спадају у опште принципе механике и показују особине кретања материјалне тачке или система материјалних тачака. Према математичкој формулацији, принципи се могу поделити на диференцијалне и интегралне. Диференцијални принципи су везани за једну уочену али произвољну конфигурацију система у неком уоченом али произвољном тренутку времена, па се посматрају елементарна померања на ту конфигурацију. Дакле, диференцијални принципи важе за мале просторе и тренутак времена док интегрални важе за коначан простор или време. У диференцијалне принципе спадају Даламберов, Лагранжов и Лагранж-Даламберов принцип, а у интегралне Хамилтонов и Лагранж-Мопертијев принцип итд 7. Даламберов принцип. Посматра се везана материјална тачка у покрету. Нека је ознаком F обележена резултанта свих активних сила које дејствују на посматрану материјалну тачку. Нека је везе уклоњене у мислима а њихово дејство на тачку замењено силом везе, реакцијом, F, која представља резултанту свих сила W веза које дејствују на посматрану материјалну тачку, онда према другом Њутновом аксиому диференцијална једначина кретања материјалне тачке гласи: ma F F W (7.) Тада ће се та тачка кретати у правцу и смеру резултанте ових сила (Сл.7.), која се зове ефективна сила ( F ma ). e

65 Ефективна сила F e Ризик од механичких дјстава 65 једнака је векторском збиру резултанти активних сила и сила везе које дејствују на посматрану везану материјалну тачку: F F (7.) e F W сл.7. Ефективна сила и сила инерције Величина ma назива се сила инерције материјалне тачке и она је по интензитету једнака производу масе материјалне тачке и њеног убрзања, а као вектор усмерена је у смеру супротном од вектора убрзања тачке, одн. једнака је ефективној сили а супротног смера. Дакле, сила инерције ma је једнака ефективној сили а супротног смера, па је њихов геометријски збир F j једнак нули: F j F e Једначина (7.3), на основу једначине (7.), своди се на облик: F j F F W Ова једначина изражава Даламберов принцип за везану материјалну тачку и може се исказати речима на следећи начин: Ако у сваком тренутку активним силама и реакцијама веза које дејствују на материјалну тачку придодамо силу инерције онда ће векторски збир тих сила бити једнак нули. Сила инерције не дејствује на материјалну тачку, већ на тело које саопштава убрзање посматраној материјалној тачки, па се она условно додаје активним силама и силама везе. Израз (7.4) је познат као кинетостатичка једначина помоћу које можемо да проучавамо динамичке процесе. Из израза (7.4) узимањем у обзир израза за инерцијалну сила ma добијамо диференцијалну једначину кретања везане материјалне тачке: ma F ma F. (7.) F W F W Сила везе може да представља силу којом веза дејствује на материјалну тачку или резултанту унутрашњих сила које дејствују на материјалну тачку система. Због тога се за и-ту тачку система материјалних тачака може написати једначина о геометријском збиру сила у облику: F j где су: F F u u, тј. m a F F F резултанта активних сила које дејствују на -ту тачку, материјалну тачку и F j F j m a (7.5) (7.3) (7.4) -инерцијална сила за -ту u F -резултанта унутрашњих сила које дејствују на -ту материјалну тачку. После сабирања једначина (7.5) по (=,...,) добија се математички облик Даламберовог принципа за систем од материјалних тачака: F j F F F j, (7.6) u јер је из једначине збира F искључен векторски збир унутрашњих сила који је једнак нули. Израз Даламберовог принципа, у облику моментног правила, добија се векторским множењем векторских једначина (7.5) вектором положаја r, и то множењем једначине (7.4) за материјалну тачку: Fj F FW r F r F r F M M M, (7.7) j W а множењем израза (7.5) за -ту материјалну тачку: r F j r F r F u O F u j F F M M M и за цео систем, сабирањем претходне једначине по (=,...,): r F j r F O r F u O O O O F u j F F M M M O O O (7.8), (7.9) јер је главни момент унутрашњих сила једнак нули. Даламберов принцип омогућава да се динамички проблеми решавају кинетостатичком методом, применом једначина о геометријском збиру активних сила, сила везе и сила инерције, као и о о геометријском збиру момената тих сила за исту моментну тачку при кретању материјалне тачке или система материјалних тачака.

66 Ризик од механичких дјстава Лагранжев принцип виртуалних померања (виртуалног рада) Виртуалним (могућим) померањима неслободне материјалне тачке назива се скуп било којих бесконачно малих померања тачке, која, у датом тренутку времена, допуштају везе којима је подвргнута тачка. На пример, куглица, која лежи на хоризонталној површи, може да се помери на тој површи у бесконачно много праваца. Међутим, било које могућно померање, обележено је вектором s, може дпа се добије као збир двају померања s и s дуж оса које су узајамно управне. Та два померања су међусобно независна, а то је највећи број независних померања куглице по тој равни тако да се каже да куглица има два степена слободе кретања. Број виртуалних (могућих) померања клипног механизма је један (угаоно померање криваје дефинише кретање спојне полуге и клипа) а условљен је везама. s A x r cosl cos B x r s l s B r r r r s l s r l l l r r xb ( r s l s ( )) l l Број међусобно независних виртуалних (могућих померања) тачке или система назива се број степена слободе кретања дате тачке или датог система. Слободна материјална тачка има три степена слободе кретања-три померања дуж трију оса узајамно управних, нпр.дуж оса Декартовог координатног система у простору. Слободно круто тело има шест степени слободе кретања, три независна померања дуж трију оса и три независна угаона померања око тих оса. Виртуалним (могућим) померањима једног система назива се скуп било којих бесконачно малих померања тачака система, која, у датом тренутку времена, допуштају везе којима је подвргнут систем. Виртуално (могуће) померање било које тачке система приказује се елементарним вектором s, који је усмерен у страну померања. То су померања која могу да изврше поједине тачке посматраног система, када се систем изведе из равнотеже. Виртуална померања морају да испуне следеће услове: -мора да буду бесконачно мала, јер при коначном померању тачака, систем може да пређе у други положај (са другачијим распоредом сила па једначине о геометријском збиру сила не би биле истоветне); - мора да буду таква да се све везе, којима је подвргнут систем, одрже и даље не смеју да се наруше јер би се тако прешло на неки други механички систем. Лагранжов принцип се односи на неслободну материјалну тачку или на систем материјалних тачака у стању мировања, што значи да су инерцијалне силе једнаке нули. На неслободну (везану) материјалну тачку масе m дејствују активна сила ( F ) и сила везе ( F W ). Ове две силе су у равнотежи: F F Множењем услова равнотеже могућним (виртуалним) померањем δ s, W које је увек различито од нуле, следи: F s F W s A A W, (7.)

67 где је δ A F δ s δa F δs W Ризик од механичких дјстава 67 рад активне силе на виртуалном померању, тј. виртуални рад активне силе и виртуални рад силе везе. Добија се услов да је укупан рад активних сила и сила W веза једнак нули. За систем материјалних тачака, који мирује, важи једначина равнотеже за сваку материјалну тачку: F F W, као и F δs F δs δa δa W а затим, и за цео систем материјалних тачака сабирањем претходне једначине по и (и=,...,н): F s F W s A A W W (7.) Лагранжев принцип виртуалних померања (виртуалног рада): У положају равнотеже, укупни рад на произвољним виртуалним померањима (виртуални рад) везане материјалне тачке (7.) или система материјалних тачака (7.) једнак је нули. Пример : Одредити реакцију у десном ослонцу Б просте греде, распона л, оптерећене концентрисаним силама F и F на растојањима h и h, редом, од левог ослонца А. Поступак решавања задатка:-уклонимо ослонац Б а греду учврстимо у ослонцу А; -реакција F на могућем померању yb врши виртуални рад FB yb ; -силе F и F на могућим померањима y и y врше виртуалне радове - F y и - F y ;-укупан рад активних сила и силе везе треба да буде једнак нули: F y F y F B yb Овде су виртуална померања узајамно зависна, ово је пример са једним степеном слободе y h; y h ; yb l, кретања.. Применом ових веза на претходну једначину, написану сагласно Лагранжовом принципу, добија се реакција у ослонцу. l B: F F h F h B B 7.3 Лагранж-Даламберов принцип виртуалних померања (виртуалног рада) Увођењем појма силе инерције, динамичка једначина ma F F своди се на једначину о векторском збиру сила: F F F. Према томе, Лагранжов принцип може се применити на j W претходну једначину коју треба да се помножи скаларно могућим (виртуалним) померањем дате материјалне тачке δ s : F j δs F δs F δs A δa δa W δ (7.) j Лагранжов принцип може се применити и на -ту материјалну тачку система: F j δs F δs F δs A δa δa W j W δ, а затим и за цео систем материјалних тачака сабирањем претходне једначине по (=,...,): W δ A δa δa, (7.3) j што показује да је збир радова активних, унутрашњих сила и сила инерције на могућим (виртуалним) померањима система материјалних тачака једнак нули. W W

68 Ризик од механичких дјстава 68 На тај начин су Лагранж и Даламбер поставили принцип: Збир радова силе инерције, активне силе и силе везе на могућим (виртуалним) померањима једнак је нули. Ако су везе идеалне тада је збир радова сила веза једнак нули, тада се добија δ A j δa, што заправо значи да је збир радова инерцијалних и активних сила на могућим (виртуалним) померањима једнак нули и то представља општу динамичку једначину система материјалних тачака са идеалним везама. У Декартовом координатном систему, општа диференцијална једначина гласи: X m x x Y m y y Z m z z (7.4 ) Пример 3: Преко котура О, полупречника р, који се може обртати око непокретне осе О, пребачено је лако нерастегљиво уже о чијем су крајевима обешени терети G и G, G > G. Одредити убрзање терета и силу у ужету (Атвудова машина): а) ако је котур лак ( мале масе у односу на масе терета па се може занемарити); б) ако је котур у облика точка масе М. a) Примена Даламберовог принципа: z z a G g G Fu Fj ; Fj a G g G Fu Fj ; Fj a Примена опште једначине динамике: j j F F z F F z G m z z G m z z ; z z l z z z ; z z a Сл.7.5 Решење: G G ; a a G G g g a g Fu G G b) Примена Даламберовог принципа: z z a r G g G Fu Fj ; Fj a G g G Fu Fj ; Fj a F F r m m J Mr u u j ; j o

69 Ризик од механичких дјстава 69 Примена опште једначине динамике: F F z F F z j j m j G m z z G m z z m ; z z l z z z r ; z z a r Решење: G G a a ; ; ; G G G g g a g G Mg Fu G Fu G j III ПРИНУДНЕ ОСЦИЛАЦИЈЕ. РЕЗОНАНЦА Теорија осцилација представља основу читавог низа области у физици и техници. Иако су осцилације које се проучавају у различитим областима (нпр. у механици, радиотехници, акустици и др.), различите физичке природе, ипак основни закони којима се оне покоравају остају свуда исти. Из тог разлога, проучавање механичких осцилација важно је не само због тога што те осцилације заузимају врло важно место у техници, већ и због тога што резултати који се на тај начин добијају могу врло корисно да се употребе при проучавању свих других осцилаторних појава у другим областима. Осцилације могу бити слободне, када дејствује привлачна (реституциона) сила или сила успостављања-еластична сила и принудне, када поред реституционе силе дејствује и поремећајна (пертурбациона) сила. Када поред привлачне силе дејствује и сила отпора, која има улогу пригушивања осцилација, осцилације могу бити пригушене и то: слободне пригушене (амортизоване) принудне пригушене. 8. Слободне осцилације (Хармонијске осцилације) Ако се тачка креће једнолико по кружници полупречника R (сл.), њена пројекција на централну осу креће се праволинијски по пречнику тамо амо до крајњих тачака пречника, који се поклапа са правцем централне осе. Тада то праволинијско кретање тачке по пречнику зове осцилаторно кретање. Ако је та оса, хоризонтална оса Оx, тада тачка врши осцилаторно кретање по њој, положај тачке на кружници одређује се фазним углом док положај пројекције тачке одређује дуж од координатног почетка до те тачке и зове се елогација, која се представља изразом: x Rcos φ Rcos ωt (8.) Највеће растојање тачке од центра кружнице-центра осциловања зове се амплитуда. Кинематичке једначине су: v x Rωs ωt; x Rω cos ωt ω x (8.) Време за које тачка направи пуну осцилацију зове се период осциловања и оно је једнако времену за које тачка пређе кружницу: T π ω. (8.3) Ако се последња једначина из (8.) помножи са масом добија се израз за силу:

70 Ризик од механичких дјстава 7 d x F X m x cx. (8.4) Где је c m позитивни коефицијент пропорционалности, јединице kg/cm, који представља величину силе на удаљењу cm. Пример хармонијског осцилатора представљен схематски на сл.8.. Маса m је везана опругом за непокретни зид и изведена из равнотежног положаја за растојање x, саопштена јој је почетна брзина x, и пуштена да се креће без отпора. Сила у опрузи је пропорционална растојању масе од равнотежног положаја и увек усмерена ка том положају као центру. Коефицијент пропорционалности c једнак је јединичној сили у опрузи и зове се крутост опруге. Диференцијална једначина кретања је: m x cx или x ω x (8.5) c где је: ω ( квадрат кружне фреквенције сопственог осциловања). m (8.6) Диференцијална једначина (8.5) је хомогена са константним коефицијентима и њена карактеристична једначина је λ ω са коренима λ ω, где је, који су имагинарни бројеви, па је општи интеграл облика: x Acos ωt Bs ωt (8.7) где су А и B интеграционе константе, и његов извод: x Aωs ωt Bωcos ωt (8.8) За задате почетне услове:, одређују се интеграционе константе у облику: A x, x B, па су закон кретања и брзина осцилаторне масе m облика: ω x x x cost st ; (8.9) x xωs ωt x cos ωt (8.) Увођењем нових величина R и, израз (8.9) може се свести на облик: x x Rsωt φ ; где су x Rs φ; Rcos φ. ω (8.) Применом израза (8.6) на израз (8.3) одређује се период осцилације: π m T π ω c (8.) Период осцилације зависи од масе и крутости опруге, а не зависи од амплитуде осциловања те је изохрон. Ове се осцилације зову слободне хармонијске освилације. 8. Слободне осцилације терета окаченог о опругу Када се о опругу окачи терет, опруга се издужује за величину z и тада при мировању терета сила у опрузи уравнотежава

71 Ризик од механичких дјстава 7 дејство силе тежине. Величина z назива се статичко издужење и обележава се f st. Сл.8. Слободне осцилације терета окаченог о опругу У произвољном положају терет масе m одређен је координатом z и на њега дејствују сила тежине и сила успостављања у опрузи чији је интензитет сразмеран укупној деформацији опруге. Диференцијална једначина кретања масе m, обешене о опругу крутости c, има облик: mz G c f z (8.3) st У положају статичке равнотеже је: G Z G cfst G cfst ; c (8.4) fst па диф.једн. (8.3) постаје: c c mz cz z z z z ;, (8.5) m m у којој је кружна фреквенција слободних непригушених осцилација терета, која зависи од крутости опруге и масе. 8.3 Слободне пригушене осцилације масе Диференцијална једначина кретања материјалне тачке масе m под дејством силе отпора, која линеарно зависи од брзине, и силе успостављања, која је линеарна функција растојања од равнотежног положаја представља модел слободно прогушених осцилација: mz bz cz b c z z z m m b c,. m m b Пригушење: cm z z z а) Слаба амортизација Код малог пригушења, односно када је p или, амплитуда опада експоненцијално са временом и фреквенција осциловања је мања од сопствене фреквенције, па је опште решење диференцијалне једначине: t z( t) A e s( pt ) где је ω фреквенција пригушених вибрација. b c, ; p m m Почетни услови кретања: t t z( t) Ae s( pt ) Ae cos( pt ) zt ( ) t : zt ( ) Фактор e t зове се фактор амортизације (пригушења). На основу израза за померање (елонгацију) следи да за случај када време тежи бесконачности z тежи нули јер и e t па се кретање тачке зове пригушено. Ово кретање је осцилаторно јер се елонгација мења са временом и периодично јер интервал времена између било која два узастопна проласка материјалне тачке кроз

72 Ризик од механичких дјстава 7 максималне отклоне јеста константан и једнак. Ово кретање се зове пригушено осцилаторно, са p условно названим периодом слободних пригушених осцилација који је одређен изразом T p. p Сл. 8.3а Дијаграм пут-време слабе амортизоване осцилације 8.4 Принудне осцилације. Резонанса Нека на материјалну тачку осим реституционе силе F делује и периодична сила зависи од времена и чија је пројекција на осу Оx једнака: F s t. (*) F p F p, која Оваква сила зове се поремећајна или пертубациона сила, а осцилације које изазива називају се принудне осцилације. Величина назива се фреквенца поремећајне силе. Поремећајна сила у току времена може да се мења и по неком другом закону. Ако се мења према закону (*) назива се хармонијска поремећајна сила. Диференцијална једначина кретања може да се напише у облику: d x m cx F s t / m Дељењем леве и десне стране једначине масом m, увођењем ознаке F h, једначина се m своди на облик: x x hs t где је c / m. Ово је нехомогена диференцијална једначина другог реда и представља диференцијалну једначину принудних осцилација без отпорне силе. Опште решење ове једначине као што је познато из теорије диференцијалних једначина једнако је збиру решења хомогеног x и партикуларног x дела једначине и може се h потражити у облику h x xh x p R s( t ) s t Где су R и h интеграционе константе које се одређују на основу почетних услова. На основу решења може се закључити да се осцилације материјалне тачке састоје из два дела:. из осцилација које се врше амплитудом R (која зависи од почетних услова кретања) и фреквенцијом, и ове осцилације зову се сопствене осцилације. h. из осцилација које се врше амплитудом C (која не зависи од почетних услова кретања) и фреквенцијом, и оне се зову принудне осцилације. У инжењерској пракси увек се појављују у већој или мањој мери извесни отпори, па се сопствене осцилације врло брзо амортизују. Зато је важна анализа принудних осцилација. Израз за амплитуду принудних осцилација може да се напише у облику: h f C st, где је h F c f st, величина статичког померања тачке под дејством силе F. p

73 Ризик од механичких дјстава 73 Амплитуда зависи од односа фреквенција сопствених и принудних осцилација. Када је h F или амплитуда је једнака или блиска вредности f st. Када су c сопствена и принудна фреквенца једнаке, амплитуда има бесконачну вредност, наступа појава која се назива резонанса. Када је амплитуда је блиска нули и у овом случају осцилације практично не постоје. Ако се вратило AB обрће великом угаоном брзином, услед постојања екцентричности е која је изазвана неурвнотеженим деловима на вратилу, може се појавити подручје критичне угаоне брзине, односно критичног броја обртаја k. Нека је тежина обртног дела k (зупчаника, фрикционог точка итд.) G масе m, услед дејства центрифугалне силе F c долази до угиба вратила y. Центрифугална сила изазива у вратилу силу птпора еластичним деформација c y и она је једнака: F C F e m ( y e). Из услова равнотеже, да је сума свих сила у правцу вертикалне осе диска једнака нули, односно: F F c y m ( y e) e C следи израз за угиб y, (деформација вратила), и биће једнак: e y c m Са повећањем угаоне брзине расте и величина угиба, када достигне вредност c угиб расте у бесконачност и m долази до појаве рзонанце па може доћи до лома вратила. Критична угаона брзина и критични број обртаја су одређени изразима: c kr 3 c g c kr kr 3 m 3 G G где је g=9,8 m/s/s убрзање земљине теже, G тежина обртних делова у N, а c (N/cm) крутост вратила. У близини критичног броја обртаја вратило јако осцилује, те се подручје броја обртаја између,7 kr и,3 kr не сме користити у дужем временском периоду. Услед различитих отпора који прате рад вретила (отпори у рукавцу, спољњи отпори) лом вратила ни у условима критичног броја обртаја не наступа тренутно. А како за број обртаја угиб вратила постаје коначан, то значи да после проласка кроз подручје критичног броја обртаја постаје стабилно. Користећи ову појаву конструишу се тзв. еластична вратила код центрифуга са бројем обртаја ( 3). Број обртаја код центрифуга креће се и до 4 o/m. kr kr IX ОСНОВИ ТЕОРИЈЕ УДАРА. СУДАР 9. Основна једначина удара (судара) Под ударом се подразумеа краткотрајно механичко дејство између тела које се креће и тела које мирује. Ако краткотрајно механичко дејство настаје између покретних тела тада говоримо о судару. Терминолошки разликујемо удар и судар, иако се ради о истоветном механичком феномену-дејству ударног импулса. Тада настају тренутне

74 Ризик од механичких дјстава 74 силе у контакту механичких објеката (тела), покретних и/или непокретних. Тренутне ud силе се називају ударне силе F. Експериментима је утврђено да је време удара од неколико милисекунди до неколико микросекунди. Као мера механичког узајамног дејства, у теорији удара где се сила тренутно мења од нуле до великих вредности и опада до нуле, узима се тренутни ударни импулс. То је коначна величина одређена изразом: импулс: I t F (9.) t I ud t ud F (9.) t Сл.9. Дијаграми промене сила у истом интервалу времена:а) импулс ударне силе, б) импулс резултанте спољашњих сила Ако истовремено дејствују неударне спољашње коначне силе чија је резултанта F, тада је њен Промена сила и одговарајући импулси за интервал удара приказани су на сл.9.. Импулс резултанте спољашњих сила-неударне силе је далеко мањи у односу на импулс ударне силе. Импулс ударне силе за исти интервал је коначна величина тако да је ud I односно I I. Према томе, при удару могу се занемарити друге неударне силе и може се сматрати да се центри маса тела не померају и да нема обртања око центара маса. Према томе, може се посматрати дејство ударне силе на материјалну тачку. Диференцијалне једначине које описују кретање материјалне тачке пре удара, за време удара и после удара, редом, су облика: за t t, за t t t, за tt, dv m F (9.3) dv ud m F F (9.4) dv m F (9.5) Интеграљењем диференцијалне једначине (9.4), добија се за интервал (од почетка до краја удара) промена количине кретања: mv mv I I Основна једначина за описивање динамике удара добија се из (9.6) и изражава теорему о промени количине кретања материјалне тачке при удару за I : ud K K mv mv I Промена (прираштај) количине кретања материјалне тачке за време удара једнака је ударном импулсу који дејствује на ту тачку. Уколико на тачку једновремено дејствује више ударних импулса, онда је промена количине кретања материјалне тачке једнака векторском збиру ударних импулса. Из релације (9.6) следи: ud (9.6) ud I v v (9.7) m помножимо са dт и интегралимо, затим укључимо v dr тада следи: где су: rt r rt а I sr ud r r ( v ) m (9.8) r вектори положаја тачке на крају и на почетку удара, редом, ud I sr - средња вредност ударног импулса за време удара. Пошто су v и ud I sr коначне величине, а време удара бесконачно мало, то је ( v ), па се једначина (9.8) своди на облик: ud I sr m

75 Ризик од механичких дјстава 75 r r (9.9) r r r Претходна релација показује да за време удара материјална тачка остаје непокретна. Према томе, у тренутку удара (судара) настаје тренутна промена брзине кретања материјалне тачке према изразу (9.7) а положај ударне материјалне тачке (сударајућих тачака) остаје непокретан. Према претходној анализи следе основне претпоставке у теорији удара: - дејство неударних сила се може занемарити за време удара; - померање материјалне тачке за време удара се такође може занемарити, односно сматра се да је тачка за време удара непокретна; - промена вектора брзине кретања материјалне тачке за време удара је коначна и одређује се једначином (9.7). Према томе, проблем динамике ударног дејства своди се на интеграљење диференцијалних једначина (9.3) и (9.5) уз укључивање граничних услова: r r( t); v v( t); r r( t ) r ; (9.) ud I v( t ) v. m С обзиром да је импулс резултанте спољашњих сила веома мали у односу на импулс ударне силе, може се занемарити а да се ознака за ударни импуилс поједностави тако што би писали ud I I. 9. Удар о непокретну преграду. Коефицијент реституције Управни удар о непокретну преграду настаје у тренутку када кугла масе m удари о непокретну раван. Централни управни удар тела о непокретну преграду назива се онај удар када нормала у тачки удара тела о непокретну преграду пролази кроз тежиште тела, у противном је удар нецентрични. Проблеми удара се не могу решавати само на основу основне једначине удара о промени количине кретања материјалне тачке при удару јер се у њој јављају две непознате величине, брзина на крају удара и ударни импулс. Према томе, потребна је још једна једначина. Да би се добила једначина која ће се прикључити основној једначини теорије удара, Њутн је у теорију удара увео кеофицијент реституције (успостављања) или коефицијент удара, којим се у анализу уводе особине еластичности тела. На тај начин у проблемима теорије удара класична механика одступа од хипотезе о апсолутно крутом телу и у анализу уводи еластично тело. У том циљу се процес удара дели на две фазе. У првој фази управног удара, фаза компресије, наступа деформација тела и брзина v на почетку удара смањује се до нуле а кинетичка енергија тела у том периоду прелази у унутрашњу потенцијалну енергију деформисаног тела. У току друге фазе, фазе реституције, унутрашње еластичне силе тела теже да успоставе ранији облик телу и том приликом унутрашња потенцијална енергија тела прелази у кинетичку енергију материјалних честица тела. На крају друге фазе тело има брзину v а то је брзина коју тело има на крају удара, и она је у општем случају мања од брзине v тела на почетку удара. Према томе, на крају фазе реституције успоставља се само део кинетичке енергије коју је тело имало пре удара, остали део кинетичке енергије троши се на деформацију и загревање тела које настаје у току удара. Однос интензитета брзина тела при управном удару на крају и на почетку удара тела о непокретан ограничивач Њутн је назвао коефицијент реституције (успостављања) или коефицијент удара, који је неименовани број: v k. (9.) v Вредности коефицијента реституције к за различите материјале одређују се експериментално и сагласно тим резултатима коефицијент реституције креће се у границама k. За тела простих геометријских облика експериментално је утврђено да коефицијент реституције зависи од особина еластичности тела а не зависи од њихових димензија.

76 Ризик од механичких дјстава 76 У случају када је v = онда је к= и тада имамо случај потпуно пластичног удара, а када је v = v, онда је к= и удар је потпуно еластичан. Из израза за коефицијент реституције, када се једначина (9.6) ud mv mv I I пројектује на правац кретања и њој придода коефицијент реституције (9.) (брзина мења смер услед удара па v има негативан знак), када је импулс резултанте спољашњих неударних сила једнак нули, и импус ударних сила обележи кратко, само словом I, могуће је одредити непознате величине: -ударни импулс I mv( k) (9.) -брзину тачке на крају удара k v I (9.3) mk ( ) Иако се применом Њутнове теорије о коефицијенту реституције решавају основни елементи удара, треба нагласити да се при удару јавља сложен процес трансформације енергије и до сада није још постављена тачна теорија удара, већ се одређеним претпоставкама уводи идеализација у проблеме удара. За проблеме удара (судара) тела простих геометријских облика основна једначина теорије удара (9.4) и коефицијент реституције (9.) омогућавају проучавање проблема удара у класичној механици. Дејство које неком телу дају тренутне силе коначног импулса назива се удар. Удар карактеришу три елемента: брзина у тренутку непосредно пре удара v, брзина у тренутку непосредно после удара v и ударни импулс I. На основу једначине (9.) следи да величина ударног импулса при удару тела не зависи само од масе и брзине тела пре удара, већ и од особина еластичности материјала тела, што се карактерише коефицијентом реституције. 9.3 Врсте судара. Управни централни судар два тела. Губитак кинетичке енергије Ударни импулс настаје у контакту два тела. Ако су оба тела покретна говоримо о судару тела. Нека су масе тела m и m и долазне брзине њихових тежишта (брзине непосредно пре судара) v и v онда ће се та тела у тренутку судара додирнути у заједничкој тачки у којој оба тела имају заједничку тангенцијалну раван, а затим ће се удаљити одлазним брзинама ' ' (брзинама непосредно после судара) v и v, или ће неко од њих остати у миру. Нормала повучена у тачки судара на тангенцијалну раван (додирну раван) назива се нормала или правац судара. Ако су у тренутку судара тежишта тела на овој нормали, судар се назива централан, у противном је ексцентричан. Буду ли вектори долазних брзина оба тела колинеарни са нормалом судара, судар се назива прави (управни), у противном је коси судар. Ако је тачка судара (додира) на правој која спаја тежишта а брзине нису колинеарне тада се судар назива коси централни. ud I Сл.9. При судару двају тела, судар је управни и централни ако заједничка нормала на контурне површи тела у тачки додира пролази кроз средишта маса тела и ако брзине средишта маса тела у почетку судара имају правац те заједничке нормале. У тренутку судара оба тела се деформишу. Време судара се дели на две фазе: фазу компресије и фазу реституције. Тела услед судара мењају брзине, брже тело губи брзину а спорије добија брзину.

77 Ризик од механичких дјстава 77 Задатак, који се у проблему управног централног судара двају тела решава, састоји се у томе да ако су познате масе тела, m и m, и брзине средишта маса на почетку судара v и ' ' v ( v v ) и коефицијент реституције к, потребно је одредити брзине средишта v и v на крају судара, при коме се тела крећу транслаторно (сл. 9.) Сл. 9. Управни централни судар два тела: а) тренутак пре судара б) тренутак непосредно после судара За решавање овог проблема примењује се теорема о промени количине кретања материјалног система при судару. У овом случају ударне силе су реакције у тачки додира два тела и то су унутрашње силе. Спољашњих ударних сила нема, па су и ударни импулси који се јављају унутрашњи, и сагласно теореми о одржању количине кретања, следи да је: ' ' m v mv m v mv (9.4) Пројектовањем једначине (9.4) на правац нормале осе C x (Сл.9.3) добија се: ' ' m v x mv x m v x mv (9.5) x У једначини (9.5) постоје две непознате величине v x и v x,, и за њихово одређивање потребно је придодати јој још једну једначину која ће повезивати ове величине. Та допунска једначина одређана је коефицијентом реституције. При судару двају тела интензитет удара не зависи од апсолутних величина брзина сваког од тела, већ од вишка брзине којим располаже тело које удара према телу које је ударено, тј. од разлике v x - v x. Ако је при управном централном судару двају тела v x >v x, а v x <v x,, према сл.9., онда је коефицијент реституције: ' ' vx vx k (9.6) v v x x Изрази за брзине средишта тела на крају судара су: ' m v x v x ( k) ( v x vx ) m m m v v ( k) ( v v ) ' x x x x m m Тада је израз за ударни импулс: I I k mm v v x x x x m m (9.7) Једначине за одређивање брзина тела на крају судара (9.7) изведене су под претпоставком да се тела крећу транслаторно у истом смеру и да је коефицијент реституције <к<. Међутим, те исте једначине добјају се и у случају да се тела крећу транслаторно једно другом у сусрет. Ако је друго тело до судара било у стању мировања, онда је v x = па су једначине (9.7) једноставније. Апсолутно пластичан судар (к=) У случају апсолутно пластичног судара (к=), из једначина система (9.7), следи да се оба тела после судара крећу као једно тело (имају једнаке одлазне брзине). Ако је једно тело мировало до удара, и тада ће наставити да се крећу као једно тело. Ако се тела, једнаких маса, крећу једно према другом у сусрет брзинама једнаких интензитета онда после судара оба тела остају непокретна. Апсолутно еластичан судар (к=) При апсолутно еластичном судару два тела вредности за брзине тела после судара, на основу израза(9.7), би биле:

78 m v v ( v v ) ' x x x x m m m v v ( v v ) ' x x x x m m Ударни импулс је: I I mm v v m m x x x x Ризик од механичких дјстава 78 У случају да су масе тела једнаке међу собом, при апсолутно еластичном судару тела ће разменити узајамно брзине. Уколико би друго тело било у стању мировања v x, а прво тело удари о њега брзином v x, онда, при једнаким масама тела, друго тело после удара прелази у кретање брзином која је једнака брзини првог тела до удара а прво тело остаје у стању мировања. Губитак кинетичке енергије Уколико судар тела није потпуно еластичан, тела неће након судара успоставити у потпуности свој ранији облик, па се један део кинетичке енергије коју су тела имала на почетку судара троши на деформацију тела и на загревање тела. Губитак кинетичке енергије при судару два тела одређен је изразом: k Ek Ek m ( v x v' x) m ( vx v' x) k (9.8) У једначини (9.8) величине ( v x v' x) ( v x v' x) показују за колико се смањи брзина сваког тела при судару и због тога се називају изгубљене брзине, па се може рећи: Губитак кинетичке енергије при управном централном нееластичном судару двају тела једнак је k -том делу оне кинетичке енергије коју би систем имао када би се кретао k изгубљеним брзинама. У случају да је судар апсолутно еластичан, онда је к=, па из формуле (9.8) следи да је Ek Ek, тј. губитник кинетичке енергије једнак је нули. То значи да се после прве фазе судара, фазе компресије, тело деформише а по истеку друге фазе реституције тело у потпуности успоставља свој ранији облик. Највећи губитак кинетичке енергије настаје при апсолутно пластичном судару (к=), ' ' ' тада је v x vx vx и једначина (9.8) своди се на облик: Ek Ek m ( v x v' x) m ( vx v' x), (9.9) тј. губитак кинетичке енергије при управном централном апсолутно пластичном судару двају тела једнак је оној кинетичкој енергији коју би систем имао када би се кретао изгубљеним брзинама. Ако је при апсолутно пластичном судару једно тело до судара било у стању мировања, рецимо друго тело ( v x ), губитак кинетичке енергије система у овом случају је: m m Ek Ek Ek Ek E (9.) k m m m m Ако је маса тела, које је до удара мировало, много већа од масе тела која се до удара m кретало m >>m, тада је m m, па је Ek и следи да се целокупна кинетичка енергија система троши на деформацију тела која се ударају, па се може сматрати да су тела непокретна на крају удара. Овакав случај наступа при ковању јер је маса наковња много пута већа од масе чекића и целокупна кинетичка енергија система троши се на деформацију тела које се кује.

79 Ризик од механичких дјстава 79 Ако је маса тела, које се креће, много пута већа од масе тела које је до удара мировало m m >>m, тада је m m, не долази до губитка кинетичке енергије и систем се после судара креће истом кинетичком енергијом коју је имао и на почетку судара, па следи да се тела приликом судара не деформишу. Овакав случај настаје, на пример, при забијању клина када је маса чекића много пута већа од масе клина, па ће на крају удара наступити померање клина и чекића, тј. продирање клина у одређени материјал. X СТАБИЛНОСТ РАВНОТЕЖЕ. РИЗИК ОД ГУБИТКА СТАЊА СТАБИЛНОСТИ ПОЛОЖАЈА И ПОЈАВЕ ПРЕТУРАЊА, КЛИЗАЊА, ПАДАЊА, УДАРА ИЛИ СУДАРА КРУТИХ ТЕЛА.. Појам стабилности Појам стабилности има широк спектар значења. Може се говорити о стабилности равнотеже (равнотежног стања), стабилности кретања, стабилности решења диференцијалних једначина, стабилности конструкција као стабилности еластичних тела. Стабилност се може схватити као одређено својство кретања неког система: термодинамичког, биолошког или механичког. Стабилност равнотеже можемо сматрати статичком стабилношћу а стабилност кретања динамичком стабилношћу. С обзиром на то постављају се статички критеријуми стабилности и динамички (кинетички) критеријуми стабилности.. Врсте равнотеже Слободно круто тело је у равнотежи ако су главни вектор и главни момент сила које дејствују на тело једнаки нули. То су потребни и довољни услови да би тело било у равнотежи. У практичним условима, за одређивање равнотеже тела под дејством система сила, које су произвољно распоређене у равни, тј. нападају тело у различитим тачкама и њихове нападне линије не секу се у једној тачки, користе се једначине равнотеже. У том случају могу се написати три једначине равнотеже или две за систем паралелних сила, и оне могу послужити за одређивање само три или две непознате величине. Ако је тело везано, применом аксиома (А5) и (А6), треба уклонити везе и њихове утицаје заменити силама везе. Активне силе и силе веза нападају слободно тело и оно ће имати равнотежно стање ако су задовољене једначине равнотеже. Уколико је број сила веза једнак броју једначина тада је задатак решив и онда се назива статички одређеним, у супротном случају задатак је статички неодређен. У стварним условима, веома је битно да се одреди облик положаја равнотеже који може бити: стабилан, нестабилан (лабилан) и индиферентан (Сл..). Сл.. Положаји равнотеже: а) стабилан; б) нестабилан; ц) индиферентан Положај равнотеже тела је стабилан ако тело, које је изведено из тог равнотежног положаја под дејством силе, тежи да се врати у првобитан положај по престанку дејства те силе. Положај равнотеже је нестабилан ако се тело, које је изведено из тог положаја равнотеже под дејством силе, удаљава од тог положаја по престанку дејства те силе. Положај равнотеже тела је индиферентан ако тело, које је изведено из тог равнотежног положаја под дејством силе у неки други положај, задржава тај положај по престанку дејства те силе..3 Критеријуми стабилности равнотеже

80 Ризик од механичких дјстава 8.3. Коефицијент стабилности Питање стабилне равнотеже је од битног значаја у случају ослањања тела о глатке површи (покретне дизалице, возила итд.). Таква тела, под дејством активних сила могу се обртати око одређене осе и њихови моменти могу бити такви да теже да врате тело у првобитан положај. Такви моменти сила у односу на тачку ослонца називају се моментима стабилности. Да би посматрано тело било статички стабилно, потребно је да момент стабилности буде већи од момента претурања рачунато за тачку ослонца око које може доћи до претурања. Однос момента стабилности и момента претурања зове се коефицијент (степен) стабилности. За стабилан положај равнотеже, коефицијент стабилности мора бити већи од јединице а у практичним условима те вредности могу бити, до 3. M s s M Примери: p а) б) ц) Сл.. Момент претурања и момент стабилности: а) M Fh; M Ga ; б) M Fh; M Ga ; ц) M Fh; M Ga p s s p p s.3. Лангранж-Дирихле критеријум стабилности равнотеже Лагранжев принцип виртуалних померања (виртуалног рада): У положају равнотеже, укупни рад на произвољним виртуалним померањима (виртуални рад) везане материјалне тачке или система материјалних тачака једнак је нули. Услов за мировање неслободне материјалне тачке је познат из статике. На неслободну (везану) материјалну тачку масе m дејствују активна сила ( F ) и сила везе ( F W ). Ове две силе су у равнотежи: F + F W =, па и збир радова активних сила и сила веза на могућем (виртуалном) померању δ s, мора бити једнак нули што је услов за равнотежу неслободне материјалне тачке: F s FW s A AW, где је δ A F δ s виртуални рад активне силе и δ A F δ s виртуални рад силе везе. Услов за мировање слободне материјалне тачке је да је резултанта свих активних сила, које дејствују на тачку, једнака нули. Слободна материјална тачка ће бити у равнотежи ако је, при сваком могућем померању, збир радова активних сила једнак нули. W W

81 Ризик од механичких дјстава 8 Ако активна сила има функцију силе ( F grad U ), тада је услов равнотеже у пољу конзервативне силе да функција силе има екстремум. За систем материјалних тачака, који мирује, важи једначина равнотеже за сваку материјалну тачку: F + F W =, као и F δs F δs δa δaw, и за цео систем при мировању: W F s FW s A AW. У случају равнотеже система морају силе бити једнаке нули. Ако су оне конзервативне и имају функцију силе, која зависи од генералисаних координата q, онда та функција силе мора да има екстремну вредност у положају равнотеже. Лангранж је први указао на ову теорему, касније ју је формулисао Дирихле: Ако у положају равнотеже конзервативног холономног склерономног система функција силе има максимум (потенцијална енергија минимум) онда је равнотежа система стабилна, у противном је лабилна или пак индиферентна. Ако се тело (кугла или ваљак) ослања о глатку површ, положај равнотеже је стабилан ако тежиште тела заузима најнижи могући положај што одговара минимуму потенцијалне енергије, одн. нестабилан ако тежиште заузима највиши могући положај што одговара максимуму потенцијалне енергије тела. Према овој теореми је постављен критеријум стабилности равнотеже (статички критеријум стабилности): E E E E ; stabla ; dfereta ; labla q q q q P P P P где су q генералисане координате. Овај критеријум стабилности се користи у статичким проблемима. Пример : Услов стабилности хомогеног штапа, чију тежину занемарујемо, који се ослања на две тачке, у тачки А својим крајем о вертикални зид и у тачки Б о ивицу зида а на крају Ц дејствује вертикално надоле сила Ф на вертикалном растојању з, одређујемо постављањем израза за потенцијалну енергију и тражењем првог и другог извода. Први извод изједначимо са нулом и за добијену вредност генералисане координате одредимо знак другог извода:, E a F lcos P cos E p Сл..3 Пример Овде је генералисана координата угао нагиба штапа. E Fz F l s a tg ; P, одакле је cos 3 a ; l 3 3 s cos s s cos F l a F l a l F s l a 3Fl s ; 9 a Други извод потенцијалне енергије је негативан па је равнотежа лабилна (нестабилна). Пример. Прост штап АB, зглобно везан у тачки B, оптерећен теретом G, придржава се нерастегљивим ужетом које је пребачено преко малог котура C, а на чијем крају виси терет тежине Q. Оса зглоба А и котура C налази се на истој вертикали AB AC. Занемарујући штап и димензије котура, за равнотежни положај одредити угао и силу у штапу АB. Коментарисати стабилност равнотеже.

82 Ризик од механичких дјстава 8 Сл..4 Пример Пошто се трење занемарује, тежина Q преноси се у правцу ужета на тачку B штапа АB. Прост штап може бити оптерећен само у аксијалном правцу, па је правац реакције зглоба А у правцу осе штапа. Када се уклонили везе, распоред дејства сила на штап АB је као на (сл..4б). Силе које нападају штап АB су сучељне силе, па су је дначине равнотеже у облику: X FA cos( 9 ) Q cos ; Y FA s( 9 ) Q s G ; Q Решавањем овог система се добија: s ; F A G. G До истих резултата може се доћи применом синусне теореме на троугао сила, (сл..4ц). Сила везе не зависи од генералисане координате-угла. EP Gl cos Q l s E P Gl s Ql cos ( G s Q) cos Q Q cos G s Q s arcs( ) G G E P Gl cos Ql s Други извод потенцијалне енергије је негативан па је равнотежа лабилна (нестабилна) ако је. Ако је Q=G тада је - положај стабилне равнотеже.. Равнотежа система крутих тела Сложени раван систем чини систем крутих тела, која су међусобом везана унутрашњим везама система, а у неким тачкама за непокретне равни, спољашњим везама. Према томе, везе помоћу којих су спојена тела међусобом су унутрашње везе (Сл..5: унутрашња веза C за систем два тела) и везе помоћу којих је дати систем тела везан на непокретне ослонце називају се спољашње везе (Сл..5: спољашње везе А и B за систем два тела). Приликом уклањања веза којима је подвргнут систем крутих тела по аксиому (А6), увек се јављају силе веза у парном броју и при томе су истих интензитета и праваца а супротних смерова. Приликом ослобађања од спољашњих веза, реакције спољашњих веза своде се на једну силу која дејствује од везе ка телу, јер се утицај тела на везу не узима у обзир при испитивању равнотеже тела. Према томе, ако се систем крутих тела ослободи само спољашњих веза, тада се на систем тела, ако она образују круту конструкцију, примењују једначине равнотеже као за једно тело. Приликом ослобађања система крутих тела од унутрашњих веза јављају се реакције унутрашњих веза у парном броју, које се називају унутрашњим силама и имају следећа својства: -главни вектор унутрашњих сила једнак је нули; -главни момент унутрашњих сила једнак је нули.

83 Ризик од механичких дјстава 83 С обзиром на ова својства унутрашњих сила, следи да за систем крутих тела који је у равнотежи важе једначине равнотеже као за једно тело без декомпозиције система и одређивања унутрашњих сила. Уколико је потребно да се одреде унутрашње силе система крутих тела, мора да се изврши декомпозиција система на поједина крута тела, да се утицај уклоњених веза замени силама веза и да се поставе једначине равнотеже за свако тело појединачно узимајући у обзир спољашње и унутрашње силе. У спољашње силе спадају и силе оптерећења поред сила спољашњих веза. Тада се проблем своди на испитивање услова равнотеже н крутих тела на која дејствују дате силе помоћу 3 једначина равнотеже, из којих је могуће одредити највише 3 непознатих ако је систем статички одређен и број крутих тела посматраног система. Сл..5 Спољашње и унутрашње везе и силе веза Критеријуми стабилности се могу применити на цео систем или појединачно на тела система ако се претходно изврши декомпозиција система. Возило као узрочник саобрашајне незгоде Возило може да утиче на повећан број и последице саобраћајних незгода:. својом неодговарајућом и недовољном стабилношћу и неприлагођеношћу радним особинама и експлоатационим својствима пута и возача;. изненадним неиспрвностима уређаја и делова од нарочитог значаја за безбедност саобраћаја (кочиони уређај, уређај за управљање итд.); 3. конструкцијом унутрашњости кабине са много истурених и оштрих делова; 4. отежаном могућношћу за излаз из оштећеног возила у процесу судара; 5. недовољном прегледношћу из возила ограниченом малим застакљеним површинама; 6. слабом светлосном сигнализацијом; 7. лошом конструкцијом фарова (могућност заслепљивања возача ноћу); 8. неефикасним радом брисача и перача ветробранског стакла и др. СТАБИЛНОСТ ВОЗИЛА Под стабилношћу возила, у суштини се подразумева његова способност да се креће задржавајући свој смер кретања без обзира на дејство спољних сила. У том смислу може да се говори о стабилности са аспекта: - превртања - проклизавања (попречна) - дејства центрифугалне силе при вожњи у кривини - под утицајем силе бочног ветра Подужна стабилност Под подужном стабилношћу подразумева се способност кретања возила без превртања око предње или задње осовине, али и без проклизавања и клизања на успону. Превртање око задње осовине обзиром да су услови, које треба да испуни да се неби преврнуло око задње осовине, скоро увек задовољени. Теоријски гледано, превртање око задње осовине ће наступити када се испуни услов да се предња осовина потпуно растерети, односно да је:

84 Ризик од механичких дјстава 84 Из једначине равнотеже силеа за тачку ослонца задње осовине следи: односно, да би се возило преврнуло око задње осовине, треба да буде испуњен услов: С обзиром да у практичним условима при кретању на успону, на коме може да дође до превртања, нема убрзања и да је брзина врло мала, једначина (7.3) се поједностављује узимајући даје, те се има Узимајући даје отпор приколице, уз занемаривање отпора котрљања приколице, који је на максималним успонима занемарљиво мали у односу на отпор успона, добија се максималан (критичан) успон, који возило са приколицом може да савлада на граници превртања случај кретања "соло" возила (без приколице) биће:, односно. С обзиром да је чак и за успоне од % ( = 45 ) једнако, превртање око задње осовине би наступило за случај да висина тежишта буде виша или бар једнака растојању тежишта до задње осовине, што је код возила практично немогуће. Како је чак и код путничких теренских возила скоро увек. следи да практично на друмовима, за савремена возила, не може да дође до превртања око задње осовине. Међутим, у пракси је забележено доста примера превртања трактора око задње осовине у висе различитих прилика. Узрок овим несрећама, најчешће трагичним, је увек исти - потезница приколице или вучног ужета била је прикључена на трактор нестручно и обично самостално од стране руковаоца, на висини већој од висине задње осовине од тла или чак од висине тежишта. Наиме, приликом извлачења балвана или чупања пањева, неуки људи прикључе уже доста високо, тако да најчешће већ на самом поласку или при трзају трактора, доде до превртања уназад, поготову када се то чини тракторима са малим међуосовинским растојањем, који су обично мале масе. Није редак случај у селима, да се чак импровизоване потезнице трактора нестручно прикључују ради вуче приколице или терета. С обзиром да је најчешћи случај вуче приколице која је лакша од трактора и обично на мањим успонима, до превртања није долазило. Међутим, када људи "охрабрени" својом лажном умешношћу, при превозу тешких терета на шумским путевима или стазама, качење приколице за трактор учине на потезницу, прикључену за трактор на високом месту, несрећа је тада обично неминовна. Другим речима рећено, да до превртања око задње осовине не би дошло, потезница на вучно возило увек треба да буде на нижем растојању од тла од висине тежишта (7.7)

85 .3 Превртање возила око предње осовине Ризик од механичких дјстава 85 Разматрање оваквог случаја нестабилности возила има смисла само када се возило креће низбрдицом и да је возач из неких разлога приморан да интензивно кочи. У таквим случајевима сила инерције, због мењања смера, растерећује задњу осовину а оптерећује предњу. Постављањем моментне једначине за тачку ослонца предње осовине А, следи: Услов за потпуно растерећење задње осовине, када може да дође до превртања око предње осовине наступа када је: односно Слика ВИИ. Спољне и динамичке силе на возило при кретању на низбрдици Из услова равнотеже хоризонаталних сила следи: и сменом у ( 7. 9 ) следи односно максимални угао када долази до превртања једнак је: Укупна вредност кочне силе износи онолико колика је адхезиона сила у таквом случају, односно односно максимални угао, када долази до клизања је. До превртања ће доћи пре појаве клизања када је, при чему су (када долази до превртања) и када долази до проклизавања. Вредности углова дефинисане су неједначинама (7.) и (7.), те је односно,. Како је услов из претходне једначине најчешће задовољен код возила, с обзиром да је, а такође ни коефицијент трења (пријањања) никада не може да буде, практично превртање око предње осовине има само теоријски карактер. Попречна стабилност возила

86 Ризик од механичких дјстава 86 У случају попречне (бочне) стабилности, може да се говори о превртању преко точкова леве или десне стране или проклизавњу у страну. Када се говори о попречној стабилности возила, у суштини се ради о стабилности са аспекта кретања у два случаја: - кретање возила на путу са попречним нагибом - кретање возила на равном хоризонталном путу у кривини И у једном и у другом случају возило може да буде нестабилно са аспекта попречног проклизавања или бочног (попречног) превртања. В.. Кретање возила на путу са попречним нагибом У овом случају сила која изазива нестабилност возила са аспекта превртања или проклизавања низ страну, једнака је компоненти тежине са слике VII.3. Слика VII.3 Силе на попречно нагнуто возило. Превртање возила на путу са попречним нагибом Из услова равнотеже момената за десну страну возила према слици VII.3 следи: Превртање возила према слици VII.3 наступа када се леви точкови потпуно растерете, односно када је реакција тла на леве точкове једнака нули ( то јест када је Из наведене једначине следи да су стабилнија шира возила од оних код којих је траг точкова" узак. Исто тако следи и чињеница, да превртање неби наступило ни под бочним нагибом од 45 да је неопходно да висина тежишта буде мања од половине трага" точкова.. Проклизавање возила на путу са попречним нагибом Да би клизање могло да наступи, потребно је да сила адхезије између тла и точкова буде мања од компоненте силе тежине односно када је Другим речима када је. Да би проклизавање наступило пре превртања, треба да је задовољен услов: Практична испитивања су показала да се погонски и гоњени точкови возила налазе у различитим условима. Код теретних возила увек је задња осовина погонска, осим код светочкаша, те стога она (погонска осовина) увек претходно пре проклиза од предње осовине. Ово стога што погонски точкови већ користе један део адхезионе силе као тангенцијалну реакцију тла, те је остатак, који би се супротставио сили која.вуче возило низ страну знатно мањи... Кретање возила на равном хоризонталном путу у кривини

87 Ризик од механичких дјстава 87 Приликом кретања возила на равном путу, у кривини, јављају се центрифугална сила, која својом компонентом са дејством из тежишта возила, има тенденцију да растерећује точкове који су на унутрашњој страни кривине, односно за исту вредност оптерећују спољне" точкове. И у оваквом случају може да се говори о нестабилности возила са аспекта превртања и са аспекта проклизавања у кривини. VH... Превртање возила на равном хоризонталном путу у кривини Величина центрифугалне силе сразмерна је маси возила и квадрату брзине, а обрнуто пропорционална полупречнику кривине, дакле Из једначине момената за леве точкове следи За случај превртања потребно је да унутрашњи точкови буду потпуно растерећени, то јест да је, те уношењем вредности за центрифугалну силу једначина 7.3 добија облик односно дељењем једначине са следи У коначном облику следи облик претходне једначине за случај превртања возила код коловоза са нагибом (7.33) Другим речима, са повећањем угла нагиба коловоза, повећава се и брзина стабилног кретања возила. Да ни при којој брзини кретања неби дошло до превртања, потребно је да израз 7.33 буде бесконачан, односно да је то јест да угао бочног нагиба коловоза буде У случају коловоза без нагиба да неби дошло до превртања, потребно је да брзина буде мања од

88 Ризик од механичких дјстава 88 Из горње анализе јасно произилази и закључак да је проклизавање на равном хоризонталном коловозу критичнији случај од случаја када је коловоз са нагибом. Да би дошло до проклизавања точкова, потребно је да збир хоризонталних реакција тла буде већи од адхезионе силе на коловоз,, односно Другим речима, бочно проклизавање наступа када је. На хоризонталном путу клизање настаје већ када је: Поређењем израза 7.35 и 7.4 може да се изведе закључак да ли ће проклизавање на коловозу без нагиба да наступи пре клизања или обрнуто. У сваком случају мања брзина кретања сматрасе критичном.. 3 Стабилност возила на бочни ветар Када се говори о стабилности возила на бочни ветар, мисли се пре свега на лака, путничка возила. Наиме чињеница је да подужни облик возила и величина бочне површине има битног утицаја на способност возила да задржи правац кретања под утицајем бочног ветра Већ је речено да сила ветра (чеоног - и бочног ) дејствују у метацентрима својих површина "М", чији се положај одређује искључиво на основу облика површине на коју ветар дејствује, тако да може да буде изнад или испод тежишта "Т" (при чеоном ветру) или испред односно иза тежишта, при дејству бочног ветра. Дејство бочне силе на возило условљава његово скретање са правца и то тако, да када је метацентар бочне површине испред тежишта возила (као на слици ВИИ.5 ), исто почиње скретање у правцу дејства ветра. Ово скретање проузрокује центрифугалну силу, која дејствује у тежишту возила и притом, са силом ветра, образује момент, који још више увећава тенденцију скретања са правца. Насупрот напред реченом, када је метацентар бочне површине иза тежишта возила, дејством бочног ветраи скретање супротно од смера дејства ветра. У, возило почиње овом случају центрифугална сила која је изазвана скретањем и сила бочног ветра Slka VII. 5. Shema sla pr dejstvu bočog vetra a

89 Ризик од механичких дјстава 89 дејствују у истом смеру, стварајући збир сила, који сада тежи да смањи скретање возила са смера кретања. Из наведеног следи и закључак, да мању тенденцију скретања са правца под дејством бочног ветра имају возила чија је бочна површина иза тежишта већа од површине испред, односно кадаје положај тежишта ближи предњој осовини него задњој. С тим у вези, возила типа "караван", на пример "ВW пасат караван", "Шкода октавиа караван" су стабилнија на дејство бочног ветра од одговарајућих њима сличних типова возила облика "лимузина". Електронски систем стабилности ESP регулација амортизера. Активни системи безбедности смањују могућност саобраћајних незгода и побољшавају општу сигурност вожње; основни елементи су: атиблокадни систем кочница ABS, систем за регулацију проклизавања погонских точкова АSR, тј.систем за спречавање блокирања точкова при интезивном кочењу, систем за регулацију динамике вожње ЕSP, електронска регулација диференцијала, тј.преноса снаге на погонске точкове ЕDS и електронска Систем за регулацију динамике вожње ЕSP побољшава стабилност возила у критичним ситуацијама независно од тога да ли се делује на педалу за гас (ASR) или на кочницу (ABS), или су обе педале слободне. Овај систем, индивидуалним кочењем појединих точкова и подешавањем рада мотора, стабилизује возило у критичним ситуацијама (нагли заокрети, у оштрим кривинама када се превише или премало окрене управљач, поготово на клизавом коловозу).за разлику од ABS и ASR, којима се регулише првенствено уздужна динамика возила, са ESP системом додатно се регулише стабилност возила у односу на његову вертикалну осу. ESP систем регулише жиро-момент који тежи да возило обрне око своје вертикалне осе. ESP систем надгледа факторе као што су угао закретања волана, брзину заокрета и попречно убрзање возила да би одредио понашање возила. Када ЕSP систем открије да се понашање возила разликује од намере возача и жељене путање, систем се активира да би одржао возило на путањи. Ако је премало окренут управљач у кривини, предњи део возила наставља право и не прати кривину, потребно је закочити више задњи унутрашњи точак. Ако је превише окренут управљач у кривин, зиадњи део возила се заноси ка спољној страни кривине, зато је потребно закочити више предњи спољни точак. На слици је шематски приказ елемената ЕSP система са местом уградње:. хидро-агрегат са сензором притиска. сензори броја обртаја 3.сензор угла окретања управљача 4. сензор угла заношења са сензором бочног (попречног) убрзања 5. ЕUJ (комуникација са системом за управљање мотором) Хидраулична јединица управља побудом магнетних вентила у три различите фазе током ЕSP-регулације: успостављање, задржавање и смањење кочионог притиска. ABS антиблокадни систем кочења У случају кочења на клизавом коловозу, због смањеног трења, дешава се да точкови блокирају и возило неконтролисано клизи и заноси се. ABS ( skraćeca za At-lock Brakg System, што у преводу значи систем против блокирања кочница), регулацијом кочионог притиска спречава блокирање точкова и омогућава возачу да и даље управља возилом. На слици су приказани елементи ABS-а:. сензор броја обртаја,. кочиони цилиндри на точковима, 3. хидро-агрегат са главним кочионим цилиндром, 4. EUJ, 5. сигнална лампица

90 Ризик од механичких дјстава 9 Принцип рада: EUJ прикупља податке од сензора броја обртаја на точковима, на основу којих израчунава обимну брзину точкова, а логичка кола у EUJ одређују референтну брзину возила. Свака промена броја обртаја једног или више точкова у односу на референтну брзину региструје се као опасност од блокирања. Да би се спречила блокада неког точка најпре се заустави пораст и задржи притисак у кочионом цилиндру на достигнутом нивоу; ако се обртно кретање точка и даље смањује притисак уља у кочионом цилиндру се мора и смањивати да би точак мање кочио и тако олакшало управљање возилом. Зависно од стања коловозне траке просечно се одвија 4 до регулационих циклуса у секунди. Доња граница регулације је када брзина возила опадне испод 4 Km/h. Током различитих фаза циклуса регулације, као што су задржавање притиска, смањење притиска и повећање притиска, EUJ регулише рад електромагнетних вентила, који са хидроагрегатом чине целину. Возач ову промену притиска осећа као лако подрхтавање педале, али само при наглом кочењу. Када се возило након заустављања поново покрене, чује се кратко звук електромотора који обавља самоконтролу ABS-а. Три су варијанте ABS-а:. Један предњи точак и задњи точак који се налази њему дијагонално, регулишу се заједно. Предњи точкови се регулишу појединачно и одвојено а задњи точкови заједно; то је тзв. селективна регулација када се регулише увек онај точак који је најближе граници блокирања; ова варијанта је најчешће у примени и 3. Засебна и независна регулација сва четири точка, најбоље али и најскупље решење.