P A R A D O X U R I M A T E M A T I C E U N D E E S T E G R E Ş E A L A?

Transcript

1 P A R A D O X U R I M A T E M A T I C E U N D E E S T E G R E Ş E A L A? INTRODUCERE Un paradox matematic este un raţionament matematic care, deşi aparent este correct, conţine o greşeală care duce la o concluzie absurdă. Provocarea elevilor este de a găsi hiba din demontraţiile de mai jos. Exerciţiul de a găsi greşeala este deopotrivă amuzant, plăcut şi chiar provocator, dovedindu-se totodată şi un examen de verificare al cunoştinţelor generale de matematică şi al talentului elevilor pentru această disciplină. ÎNCĂLZIREA Pentru început vom da câteva metode prin care arătăm că toate numerele naturale sunt egale. Este suficient să arătăm că Apoi, adunînd la această egalitate, obţinem că, apoi şi aşa mai departe... 1=2 Să considerăm două numere egale:. Atunci: simplificând cu factorul comun obţinem: Pornim cu o egalitate de necontestat: care devine, dacă scoatem factor comun în primul membru şi descompunem diferenţa în al doilea, Suprimându-se factorii egali, rezultă unde simplificîndu-se cu considerat nenul se obţine: 1

2 π=3 Să considerăm numarul definit ca mai jos, de unde. Înmulţim relaţia cu şi obţinem UN PIC DE TRIGONOMETRIE Vom arăta un lucru la fel de eronat ca şi cele demontrate până acum: orice număr este egal cu. De data aceasta folosind nu doar operaţii algebrice, ci şi formule trigonometrice: Ţinând seama că se poate scrie, pentru orice numar real că Împărţind prin factorul comun rezultă de unde: Numărul deci fiind oarecare, rezultă că toate numerele sunt nule. Cum este posibil aşa ceva? 2

3 MATEMATICĂ APLICATĂ Înmulţire bizară Nimeni nu poate tăgădui că sticlă goală echivalează cu sticlă plină. Scriind acest adevar sub formă de egalitate şi înmulţind cu ambii membrii, obţinem: sticlă goală = sticlă plină x x sticlă goală = sticlă plină A doua înmulţire bizară Egalitatea exprimă un adevăr indiscutabil. De asemanea, egaliatatea exprimă un adevăr indiscutabil. Ştim că dacă înmulţim două egaliatăţi membru cu membru, se obţine tot o egalitate. Să scriem aceste doua egalităţi de mai sus una sub alta şi să înmulţim membru cu membru: Ciudate rezultate! Cum se explică? Extragerea de rădăcini Egalitatea este strict adevărată. Extrăgând rădăcină pătrată membru cu membru, ar trebui să rezulte tot o egalitate. Dar ce constatăm? Cum adică? Un leu are numai, nu? 3

4 LIMITE Inegalitatea triunghiulară contrazisă Fie un triunghi oarecare şi mijloacele laturilor lui. Ducem dreptele si. Se ştie că în orice triunghi, în cazul acestei construcţii. Deci linia frântă este egală cu linia frântă Repetând operaţia în triunghiurile şi rezultă, tot aşa, că linia frântă este egală cu linia frântă şi,deci, şi cu linia frântă Continuând astfel, ne dăm seama că liniile frânte obţinute succesiv sunt toate egale cu linia frântă deci cu suma La limită, perimetrul liniei frânte se va confunda cu aşa încât vom avea Deci într-un triunghi oarecare una din laturi este egală cu suma celorlalte două laturi. π=1 Fie un cerc cu centrul în şi cu diametrul Considerăm două cercuri tangente în centrul cercului iniţial şi având diametrele şi iar centrele. 4

5 Suma lungimilor acestor 2 cercuri va fi adică va fi egală cu lungimea circumferinţei cercului iniţial. Tot aşa considerăm alte 4 cercuri cu diametrele, adică având fiecare diametrul de lungime Suma lungimilor acestor 4 circumferinţe va fi, adică va fi tot egală cu Continuând astfel, ne dăm seama că lungimile circumferinţelor fiecărei serii au ca sumă lungimea circumferinţei iniţiale. La limită, aceste circuferinţe se vor confunda cu diametrul, iar suma lor va fi π=4 Întrucât, însă, rezultă că, adică În desenele de mai jos observăm cum pătratul având latura de care este circumscris cercului poate fi transformat prin "îndoirea colţurilor" într-un poligon care are acelaşi perimetru şi este circumscris, de asemenea, cercului. Repetând procedeul observăm că linia frântă, al cărei perimetru este permanent, tinde să se suprapună peste cerc a cărui circumferinţă este. Aşadar. TOATE NUMERELE POZITIVE SUNT NEGATIVE 5

6 Se dă proporţia Conform regulilor de derivare a proporţiilor, avem (A) Se dă egalitatea (B) Conform relaţiei (A) avem: Numărătorii fiind identici, rezultă că şi numitorii sunt identici aşa încât: Conform relaţiei (B) de mai sus avem: Numărătorii fiind identici, rezultă că şi numitorii sunt identici aşa încât: UNICITATEA PERPENDICULAREI CONTROVERSATĂ Vom da două demonstraţii diferite pentru această afirmaţie: Demonstraţia 1 Fie două cercuri inegale având centrele si care se intersectează în şi. Ducem dreptele si şi le prelungim până ce întâlnesc circumferinţele în punctele şi. Ducem dreapta care intersectează circumferinţele în şi. Unghiurile şi fiind înscrise fiecare în câte o semi-circumferinţă, sunt drepte aşa încat dreptele şi sunt amandouă perpendiculare pe dreapta 6

7 Demonstraţia 2 Să considerăm segmentul de lungime, ca diametru al unui cerc şi să reţinem un semicerc. În mijlocul al razei ( fiind centrul cercului considerat) se duce perpendiculara ( fiind situat în acelaşi semiplan, delimitat de suportul diametrului, ca şi semicercul) pe care luăm un punct astfel ca ; dreptele şi intersectează semicercul în şi Din triunghiurile dreptunghice şi, prin teorema lui Pitagora, se deduce: Rezultă prin urmare, triunghiul este dreptunghic în : Pe de altă parte unghiurile, fiind înscrise într-un semicerc sunt drepte. Din consideraţiile de mai sus tragem concluzia că sunt ambele perpendiculare pe şi, de asemenea, şi sunt amandouă perpendiculare pe Teorema conform căreia printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură perpendiculară la dreaptă este astfel contrazisă. 7

8 INEGALITĂŢILE TRIUNGHIULUI CONTROVERSATE DIN NOU Vom arăta în prima deomonstraţie că există triunghiuri pentru care, iar în a doua că există triunghiuri pentru care unde sunt lungimile laturilor triunghiului. Ambele relaţii contrazic inegalităţile triunghiulare care afirmă că: pentru orice triunghi având lungimile laturilor Unde este greşeala? a=b+c Pentru a realiza un astfel de triunghi, ne imaginăm o piramidă patrulateră regulată cu feţele laterale limitate de triunghiuri dreptunghice în. Fie lungimea muchiilor ei laterale. Triunghiul isoscel are: Pentru a determina lungimea bazei lui, :, se foloseste teorema lui Pitagora în triunghiul şi în triunghiul : Aşadar, la triunghiul măsurile laturilor satisfac egalitatea c+b<a Se consideră triunghiul dreptunghic isoscel având vârful conţinut într-un plan şi ale cărui catete formează cu unghiuri de. Notând cu proiecţiile ortogonale pe planul ale vârfurilor triunghiul este cel la care se referă afirmaţia. 8

9 Într-adevar fie atunci: Cum se obţine: Din dreptunghiul reţinem: Rezultă 9

10 Dar deci MISTERUL PĂTRATULUI LIPSĂ Cele două triunghiuri din figură sunt congruente, în consecinţă ar trebui să aibă aceeaşi arie. Cu toate acestea, unul dintre triunghiuri are aria mai mare cu o unitate decât celălalt. Cum poate fi posibil? Explicaţia acestui aparent paradox constă în aceea că nici unul dintre cele două "triunghiuri" dreptunghice, avand o cateta de cealaltă catetă, nu este cu adevărat un triunghi deoarece ipotenuza este curbată (de fapt frântă), chiar dacă la prima vedere nu se poate afirma acest lucru. Un triunghi având dimensiunile precizate, nu poate fi de fapt alcătuit din formele geometrice respective. Ipotenuzele celor două triunghiuri mici (cel albastru şi cel roşu) nu au ambele aceeaşi înclinare. Cele două triunghiuri par a fi asemenea, dar dacă calculăm panta ipotenuzei triunghiului albastru obţinem: si, în timp ce pentru triunghiul roşu raportul este ceea ce demonstrează că ipotenuza triunghiului mare este de fapt frântă. Deoarece raporturile calculate sunt aproape egale, diferenţa este greu de sesizat cu ochiul liber cu atât mai mult cu cât marginile figurilor sunt destul de groase. Dacă realizăm o imagine exactă a celor două triungiuri, eventual suprapuse, vom vedea că cele doua "ipotenuze" frânte formează un paralelogram al cărei arie este, adică exact diferenţa de arie dintre cele două triunghiuri. 10