B Λυκείου Άλγεβρα. 4 ο ΓΛΧ Μ. I. Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Άλγεβρα] 15-08

Transcript

1 B Λυκείυ Άλγεβρ ΓΛΧ 5-6 Μ. I. Ππγρηγράκης Χνιά [Άλγεβρ] 5-8

2 Τξη: Β Γενικύ Λυκείυ Άλγεβρ Έκδση 8 Η συλλγή υτή δινέμετι δωρεάν σε ψηφική μρφή μέσω διδικτύυ πρρίζετι γι σχλική χρήση κι είνι ελεύθερη γι ξιπίηση ρκεί ν μην λλάξει η μρφή της Μίλτς Ππγρηγράκης Μθημτικός MEd Χνιά 5 e mail : papagrigorakism@gmail.com: Ιστσελίδ:

3 Β Λυκείυ - Άλγεβρ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΑ. Δίν λ. Ν υπλγίσετε τις τιμές τυ λ ώστε γι τη λύση (,y) τυ συστήμτς ν ισχύει y. Λύσ. Δίν ετι τ σύστημ: στε τ σύστημ: 7 y y ετι τ (Σ): μ 5yy 5 μ y 5, μ Αν τ σύστημ έχει μνδική λύση υπλγίσετεε τ ώστε ν ισχύει λ y λ, λy λ o o,y, ι: yo 5..8 Δίνετι τ (Σ) λ τριώνυμ f Α. Α Εάν η τ Σ έχει μνδική λύση, y γι την πί ισχύει ότι y, ν λυθεί η νίσω Γ.. Βρείτεε τη λύση τυυ συστήμτς D λ D λ D D όπυ y λ λy λ, g λ. ση f είνι ι τιμές γι γ τις πίες τ Σ είνι δύντ κι έχει έ άπειρες λύσεις ντίστιχ g. y Σ κι τ λ κι λ. Έστ (λ ) y, λ (λ )yy (χ,y ) κι ισχύει τω ότι τ σύστημ : έχει μνδική λύση y. Ν βρεθεί...9 Γι τις συστήμτς δύ εξισώσεωνν με γνώστυς, y ισχύει: τ,y. D ς ρίζυσες ενός γρμμικύ y D D D D 5. Ν βρεθύν.5 Δίν ετι η συνάρτηση : ν f() με λ λ ν Ν βρεθύν λ ώστε f(). Γι τη μεγλύτερη τιμή τυ λ πυ βρήκτε ν βρεθύν τ f( ), f(,5),.. Δίνετ ρίζυσες D,DD,D.Αν τ σύστημ έχει έ μνδική λύση κι ισχύει: : y D D D(D D 5D) τότε ν βρείτε την λύση υτή. ι τ γρμμικό σύστημ με y y Γ) Ν λύσετε τ σύστημ : f( ) y 6f(,5)y.. Σε έν σύστημ δύ γρμμικών εξισώσεων με γνώστυς,y ισχύει:.6 Δίν γρμμικών εξισώσεων με γνώστυς,y πυ έχει μνδική λύση, ενώ κόμ ισχύυν ότι: D D DD 7DD ετι έν γρμμικό σύστημ (Σ) δύ y y D. Ν βρεθεί η λύση λ τυ (Σ)) D y D D D D κι D. Αν y 6, ν βρεθύν τ,, y... Ν βρ y ρεθύν ι, β γι ν είνι ρίζες της εξίσωσης β ίσες με κι β.7 Γι πιες τιμές των κι y η εξίσωση y λ( y) ληθεύει γι κάθε λ.. Ν λύ ύσετε τ σύστημ y 5 y

4 Συνρτήσεις ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. Ν συνρτήσεων g. Ν συνρτήσεων h κι g(),. Ν γνησίως ύξυσ στ. Ν συνάρτησης.5 Μι στ κι διέρχετι πό τ σημεί,. Ν πδείξετε τη μντνί της. τ.6 Γι 5 f () f Ν λυθεί η νίσωση f.7 Ν κάθε γνησίως μνότνης συνάρτησης τέμνει σε έν τ πλύ σημεί τν.8 Οι σ στ, είνι γνήσι μνότνες κι έχυν έ διφρετικό είδς μντνίς. Ν πδείξετε ότι ι γρφικές τυς πρστάσεις έχυν τ πλύ έν κινό σημεί. μελετήσετε τη μντνί των f ( ( ),, t() μελετήστε τη μντνί των πδείξετε ότι η μελετηθεί η μντνί της f() (λ ), λ. συνάρτησηη f είνι γνήσι μνότνη τη συνάρτηση f ισχύει ότι f γι κάθε. Ν πδείξετε ότι η f είνι γνήσι ύξυσ πδείξετε ότι η γρφική πράστσηη άξν. συνρτήσεις f κι g είνι ρισμένεςς, κι είνιι φθίνυσ κι f() γι κάθε, δείξτε ότι η f () g() είνι γνησ σίως φθίνυσ στ f() ιδιότητ: f y f Δίνετι κόμ ότι ισχύει η ισδυνμί: «Α η f είνι περιττή ) η f είνι γνησίως ύξυσ. Γ) ) Ν λύσετεε την νίσωσηση f κι ισχύει ff() ότι f(), ύξυσ στ. Ν λύσετε την εξίσωση f μεε σύνλ τιμών τ ώστε ν ισχύει f( () f () γι κάθε Ν Ν δείξετε ότιι η f είνι γνησίως ύξυσ.9 Αν η συνάρτηση σ f : είνι γνησίως Α ). Έστω συνάρτηση f: μεε την f». Ν πδείξετε ότι: 5 Γ) ) Αν f νισώσεις f f. Η συνάρτηση f είνι γνησίωςς ύξυσ. Δίνετι ότι η συνάρτηση f είνι γνήσι f. Έστω f μι συνάρτηση ρισμένη στ. N λύσετε τις νισώσεις: f 5 f 8 γι κάθε Ν δείξετε f f , ν λύσετεε τις f y,,y 8 στ,. κι f( ) f( )

5 Β Λυκείυ - Άλγεβρ.6 Έστ Γι κάθε, A με, ρίζυμεε f( ) f( ) λ. Ν δείξετε ότι: ) η f είνι γν. ύξυσ ν κι μόν ν λ. β) η f είνι γν. φθίνυσ ν κι μόν ν λ Αν A κι γι κάθε, με, ισχύει f ότι η g f είνι γνησίωςς φθίνυσ στ κι ότι η h ύξυσ στ. Γ) Αν η συνάρτησηη γνήσι ύξυσ στ, ν βρεθεί λ..7 Δίν f(), Aπδείξτε ότι η f είνι γνησίως ύξυσ Ν λυθεί η νίσωση 8.8 Η σ 6 ( ) στ κι η γρφική της πράστση διέρχετι πό τ σημεί,. Ν λύσετε τις νισώσεις f.9 Οι σ f κι Ν πδείξετε ότι η συνάρτηση f g γνήσι μνότνη. Ν λύσετε την νίσωση f g f g. Ν πυ είνι γνήσι ύξυσ στ κι ισχύει ότι f τω συνάρτηση f:a. f η f ετι η συνάρτηση f: με συνάρτηση f κι f συνρτήσεις f κι g είνι γνήσι g γι κάθε., ν πδείξετε είνι γνησίως k() (λ ) είνι ( ) ( ) είνι γνήσι φθίνυσ υξυσες έχυν πεδί ρισμύ τ κι ισχύει είν ι βρείτε τ πρόσημ της συνάρτησης f. Αν f( νίσωση f(. Αν f : φθίνυσ στ με f(f() )) γι κάθε, ν δείξετε ότι f(), γνήσι μνότνη κι η γρφική της πράστση π διέρχετι πόό τ σημεί, κι, Ν πδείξετε ότιι είνι γνήσι φθίνυσ ) Ν λύσετε την νί Γ) ) Ν λύσετε την νί Δ) Ν βρείτε τ σημεί όπυ η γρφική πράστση της f τέμνει τν άξν τη μντνί της f κι ν λύσετε την νίσωση f 8 9,β με σύνλ τιμών τ γι κάθε,β. Αν η συνάρτηση f είνι γνήσι ύξυσ, ν πδείξετε ότι g g() f f( ),,,β. ιδιότητ f επιπλέν ισχύει ότι «) Ν λύσετε την εξίσωση f. Έστω συνάρτηση.5 Έστω ι συνρτήσεις f,g ρισμένες στ 7 5 ), ν λύσετε την f f ) f( ( ) περιττή κι γνησίως. Έστω συνάρτηση f, ρισμένη στ, f β f γι κάθε,β Αν β f ίσωση ίσωση f f: γνησίως μνότνη με f 5 9 κι f. Ν πδείξετε,β ώστε g.6 * Έστωω συνάρτηση f:, με την η f» πδείξτε ότι η f είνι γνήσι ύξυσ f 5 f,

6 6 ΑΚΡΟΤΑΤΑ.7 Ν μελετηθύν ως πρς τ κρόττ ι συνρτήσεις f f Γ) f Δ) f 5.8 Ν μελετηθύν ως πρς τη μντνί κι τ κρόττ ι συνρτήσεις f στ, f Γ) f Ν πδειχτεί ότι η συνάρτηση f, έχει μέγιστ τ. Ν πδειχτεί ότι η συνάρτηση f έχει ελάχιστ τ. Ν πδειχτεί ότι η συνάρτηση f 6 8 έχει μέγιστ. Έστω η συνάρτηση Απδείξτε ότι η ελάχιστη τιμή της f είνι τ. Αν f, f, στ, στ,5 f f,. Ν δείξετε ότι: Γ) Η ελάχιστη τιμή της f είνιι τ. Έστω η συνάρτηση f,. Απδείξτε ότι η ελάχιστη τιμή της f είνι τ..5 Έστω η συνάρτησηη f,. Απδείξτε ότι η ελάχιστη τιμή της f είνι τ.6 Έστω δείξετε ότι: Γ) ) η μέγιστη τιμή τηςς f είνι τ.7 Αν η γρφική γ πράστση της συνάρτησης f : διέρχετι πό τ τ σημεί Α,, Β, κι ισχύειι, πδείξτε ότι έχει μέγιστη κι ελάχιστη ε τιμή ισχύει τ κρόττ της τ f.9 Δίνετι η συνάρτηση f A) Ν πδείξετε ότιι η f έχει ελάχιστ τ B) Ν λυθεί η εξίσωση f f 6 Γ) ) Ν βρείτε τυς,,β ώστε ν ισχύει f ) f f, f ff5 κι f f5, ν βρείτε η f β f β 6,. Ν. Έστω f: συνάρτηση μεε f() Α Ν πδείξετε ότιι η συνάρτηση γι κάθε. Αν f() g() έχει μέγιστη τιμή τ. f () ) Ν βρείτε τ μέγιστ της συνάρτησης, f 5 Συνρτήσεις γι κάθε.8 Έστω συνάρτηση f: γι την πί Φ() 9

7 Β Λυκείυ - Άλγεβρ ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ. Ν βρείτε πιες πό τις πρκάτω συνρτήσεις είνι περιττές κι πιεςς άρτιες: f f ( ) ()). Ν βρείτε πιες πό τις πρκάτω συνρτήσεις είνι περιττές κι πιεςς άρτιες: f:, με f Γ) f. Ν βρείτε πιες πό τις πρκάτω συνρτήσεις είνι περιττές κι πιεςς άρτιες: f g Ν πδείξετε ότι η άρτι..5 Αν η συνάρτησηη f είνι περιττή με πεδί ρισμύ Α, δείξτε ότι η g() f() είνι άρτι.6 Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω γρμμές ώστε ν πριστάνυν γρφικές πρστάσεις: ) άρτις συνάρτησης κι β) περιττής συνάρτησης g. Η συνάρτηση f έχει πεδί ρισμύ τ. f f είνι.7 Δίνετι συνάρτησηση f: ισχύει f y ff y γι κάθε Δείξτε ότι η f είνι περιττή.8 Έστω μι συνάρτηση ρισμένη πί είνι συγχρόνως άρτι κι περι ότι γι κάθε είνι f..9 Δίνετι η συνάρτηση f γι τη ισχύει ότι f. N βρεθεί τ f γνωρίζετε ότι : η f είνι άρ ΓΡΑΦΙΚΕΣΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.5 Ν πρστήσετε γ συνρτήσεις: g() Β Γ) ).5 Ν πρστθύν συνρτήσεις f.5 Ν πρστήστε γρ f. Γ) f() Β η f είνι περιττή Δ), ) ) f f γρφικά τις k() m() γρφικά ι g ώστε ν,y. η στ, η ιττή. Δείξτε ην πί ν ρτι 6 7 ρφικά τις συνρτήσεις:.5 Έστω η συνάρτηση Ν γρφεί τύπς της συνάρτησης χωρίς πόλυτ. ) ν πρστθεί γρφικά. Γ) ) ν μελετηθεί ως πρς την μντνί. Δ) Ν βρεθεί η ελάχιιστη τιμή τηςς.5 Η συνάρτηση f εί πδείξετε ότιι f η f(). ίνι περιττή στ. Ν

8 8 Τριγωνμετρί ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Σε π πι τετρτημόρι βρίσκετι τ σημεί.. Ν υπλγίσετε τις πρστάσεις : M ν ΟΜ Μ ω κι ημω συνω> ημ9 ημ8 ημ7 ημ6. Αν 5 π 5π εφ ημ συν σφ. ν πδείξετε ότι ) Γ) ) εφ 8-5( - συν 9 ) εφ6 εφ5 εφ εφ εφ6 Ανισότητες Μέγιστ Ελάχιστ. Ν β τιμή των πρστάσεων : A=ημ 5.5 Ν σφω κ κ βρείτε την μέγιστη κι την ελάχιστη B=-συν Γ ημ συνy βρείτε γι πιες τιμές τυ κ κ υπάρχει γωνί ω ώστε ν ισχύει: εφ φω κι κ..8 Δείξτεε ότι ) β) ) γ) ) δ) )..9 Ν εξηγήσετε γιτί δεν υπάρχει γωνί τέτι ώστε ν ισχύει: ημ συν.6 Ν β υπάρχει γωνί ω ώστε ν ισχύει: εφ φω κ κ σφω κ κ.7 Ν βρείτε γι πιες τιμές τυ κ πδείξετε ότι ημ ημ,, κι ) ημ. ) Γ) ) συν συν. Ν πδείξετε ότι: συν +συν β+ημημβ συν + συν εφ + +σφ Ν βρεθύν ι άλλι τριγωνμετρικί ριθμί. Αν είνι συνω κι 9 ω 8, 5 υπλγίστε την πράστση ημω συνω εφω. Αν υπλγίστε τυς άλλυς τριγωνμετρικύς ριθμύς 6συν ω 5 κι 9 ω 8,.. Αν ω 9 ημω συνω Α ημω 9σ συνω κι ι.. Αν 7συνω 8 εφω ν υπλγίσετε την τιμή της πράστσηςς κι 9 ω 8 ν ημω συνω υπλγίσετε την πράστση Α εφωε

9 Β Λυκείυ - Άλγεβρ Βσικές Τυτότητες.5 Ν συνθ ημθ συνν θ ημ θ.6 Ν ημωσυνφ.7 Ν πδείξετε ότι: πδείξετε ότι: ημ θ συνθ ημ θ συνθθ ημ θ συν ημωημφφ πδείξετε ότι: 5 συνω θ..7 Δείξτεε ότι: συν + +συν β+ημ ημβ.8 Δείξτεε ότι ημ συν ημ συν ημ συν. ημ..9 ωημωσυν ω Απδείξτε ότι εφω συνω.. Ν πδείξετε ότιι: εφ ημ 6 εφ σφ συν 9.8 Απ.9 Ν δείξτε ότι εφω ημω συ υνω εφω πδείξετε ότι: ημ συν συν ημ.. Ν πδείξετε ότιι.. Ν πδείξετε ότιι 7 εφ εφ 7 +σφ +σφ συν + συν 7. Απδείξτε ότι: ημω συνω εφω ημω - συνω εφω -. Απ. Ν π ν. Απ σ. Δείξτε ότι.5 Απ.6 Ν δείξτε ότι: σ συν ω ημ ω εφ ω ημω συνω εφω πδείξετε ότι δείξτε ότι εφ ημ -συν εφ + δείξτε ότι ημ συνσ εφ + +συν + ημ η πδείξετε ότι συν- ημ εφ+ εφ συ υν φ, ημ+ συν ημ συν εφ+σφ ημ συν.. Aπδείξετε ότι.. Δίνετι η εξίσωση π ημ συν με Ν πδείξετε ότιι έχει δύ ρίζες πργμτικές κι κ άνισες. ) Αν, ι ρίζεςς της, ν βρείτε τ ημ ώστε ν ισχύει..5 Ν δείξτε ότι Ν δείξετε ότι έχειι ρίζες πργμτικές κι άνισες τις,, ι πίεςς ν βρεθύν. ) Ν υπλγίσετε την τιμή της πράστσης A = - Γ) ) Αν f( () = -. σφθ ημθ σφθ ημθ συν ημ ημ συν..6 Δίνετι η εξίσωση εφ θ. ν δείξετε ότι ημθ συνθ f( ( )f() εφ θ ημ θ.

10 Ανγωγή στ Τετρτημόρι.7 Ν υπλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς ριθμύς των γωνιών 5, π, π, 5ππ 6 κπ, π.8 Ν υπλγίσετε την τιμή τηςς πράστσης: π π 7π ππ εφ σφ ημ συν 6 6 π π 7π ππ ημ εφ συν ημ Σε κάθε τρίγων ABΓ ν πδείξετε ότι : εφα Β εφγ ημα Β ημγ Γ) συν Α Β συνγ. Ν πδείξετε ότι ημ π π, π, 6 συν 8 π 8 ημ με κ Ζ π π συν Ν υπλγίσετε την τιμή τυ γινμένυ: συν π σφ πθ εφ θ.. Δείξτεε ότι π σφ πθ εφ θ.. Αν θ, ν πδείξετε ότι π 5π συν θεφπ θ ημ θ.. Δείξτεε ότι ημ συν συν π συν6 π θ ημ π..5 Αν εφφ - +εφ π φ + 6 ν υπλγίσετε την τιμή της πράστσης π εφ - + π εφ + 6 Τριγωνμετρί π θ 6 π τριγωνμετρικες συνρτησεις.6 Ν βρείτε τ κρόττ κι την τ περίδ tπ της συνάρτησης f(t) η ημ..7 κι π συν Αν π τιμές [,π] κι ημβ.8 Αν ημθ συνθ βρείτε π Ν συγκρίνετε τυς ριθμύς συν π β 7π Την περίδ κι τ πλάτς της συνάρτησης Τ t,π ώστε f(t). ν συγκρίνετε τις, t,π. Ν..9 Δίνετι περιδικήή συνάρτησηη f με περίδ T, κι κι A f,t η συνάρτηση πρυσιάζει μέγιστη τιμή τ π γι τ μνδικό μ κι στ διάστημ T,T η συνάρτηση πρυσιάζει μέγιστη τιμή 9π γι. Α. Είνι σωστό ή λάθς ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είνι τ ; κι ν σχεδιάσετε την γρφική πράστση της συνάρτησης στ σ διάστημ,t.. Στ διάστημ Β.. Αν f() ημ(ω) ν βρείτε τ κι τ ω

11 Β Λυκείυ - Άλγεβρ Εξισώσεις.5 Ν λύσετε τις εξισώσεις : ημ( π) συν ( π) π π B) συν ημ Γ) σφ π εφ.5 Ν λύσετε τις εξισώσεις : A) o ημ συ 5 B) ημ π συν Γ) ημ π π συν.5 Ν λύσετε τις εξισώσεις: 5ημμ συν στ [ π, π] εφ ημεφ ημ Γ) εφ σφ5 στ [,π] Δ) ημ συν συν ημ.5 Ν λύσετε τις εξισώσεις: ημ ημ συν.5 Ν λύσετε τις εξισώσεις: ημ εφ ημ εφ εφ.55 Ν λύσετε τις εξισώσεις: εφ σφ o..56 Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ των ημ συνρτήσεων f() συν, g() εφε, h() συν..57 Ν λυθύν ι εξισώσεις στ [,π] ημ ημ Γ) ) ημθθ συνθ..58 Ν λύσετε τις εξισώσεις ημ(συν) ) ημ Γ) ) ημ συν Δ) ) ημ(π συν)..59 Ν βρείτε τις κινές λύσεις των εξισώσεων: ημ κι συν ) εφ κι εφ..6 Ν λύσετε τις πρκάτω εξισώσεις ημ ) ημ συν συν Γ) ) ημ π Δ) συν π π Ε) ) ημ κπ, κ Z..6 Ν λύσετε τις εξισώσεις εφ(σφ ) ημ ) εφ ημ συν συν e εφ σφ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ.6 Ν λύσετε τις νισώσεις: ημ συν..6 Ν λύσετε τις νισώσεις: σφ εφ

12 Τριγωνμετρικί Αριθμί +β.6 Ν πδείξετε ότι γι κάθε ισχύει ότι.65 Ν πδείξετε ότι η πράστση είνι νεξάρτητη τυ..66 Ν πδείξετε ότι: συ (5 υνω - ημω ) συνω + ημω Γ) ( 5 ) (5 ) ( 5 ) (5 ).67 Ν δείξετε ότι εφ - εφβ ( ) ( ) - εφ εφ β Γ) εφ - εφ - εφ εφ.68 Ν πδείξετε ότι: ημ( β) συν(β) συν(-β) ( ) ( ).69 Δείξτε ότι ν τότε.7 N πδείξετε ότι ν ( ) v( ), τότε.7 Αν ν πδείξετε ότι: )..7 Γι τιςς γωνίες, ισχύει πδείξετε ότιι..7 Αν ν βρείτε τ ( y)..75 Αν,..76 Ν βρεθεί γωνί με ν ισχύειι Αν ισχ πδείξετε ότι:..78 Αν η εξίσωση ε 8 9, έχει έ ρίζες τυς ριθμύςς κι, δείξτε ότι..79 N πδείξετε ότιι ν σε τρίγων AB ισχύει ότι τότε είνι ρθγώνι...8 Ν πδείξετε ότιι ν σε έν τρίγων τ AB ισχύει ότι ό 6 y κι y π π, y, χύυν 8, κι κι ν τότε Τριγωνμετρί..7 Αν 9 ν πδειχθεί ότι: Ν, 5 5 κι y, τότε y

13 Β Λυκείυ - Άλγεβρ Τριγωνμετρικί ριθμί.8 Ν πδείξετε ότι: ημ ημβ Γ) εφ π π εφ εφ.8 Ν πδείξετε ότι : A) B) ημ συν εφ ημ συν ημ συν εφ + συν + συν.8 Ν πδείξετε ότι : ημ ημ εφ συν συν συν συν σφ ημ ημ.8 Ν πδείξετε ότι: ημ σφ + συν σφ - - ημ.85 Ν πδείξετε ότι.86 Ν πδείξετε ότι ημ8 συν συν συν 8ημ.87 Αν σε μη μβλυγώνι τρίγων ΑΒΓ Α ισχύει ότι ημβημ ημα, δείξτε ότι είνι ισσκελές συν ημ σφ συν ημ συν συνβ β συν συνθ θσυν θ ημ ημ εφ συν συν..88 Ν πδείξετε ότι: B) π Γ) ) Αν, τότε 6 συν..89 Ν πδείξετε ότιι A) B) 6συν Δ) )..9 Γι τηη γωνί είνι γνωστό ότι υπλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς ριθμύς της γωνίς. σφ (σφ - ) ημ ( + σφ ) ημ συν ημ συν π π ημ ημ ημ 8 8 εφ π θ ημθ ημθ..9 Αν σετρίγων ΑΒΓ ισχύει η ισότητ: ι ημαημβ συνασυν Α Γ, ν πδείξετε ότι είνι ρθγώνι...9 Ν υπλγίσετε τις πρστάσεις : A συν ημμ συν B ημ συν..9 Ν πδείξετε ότι εφ ημ ημ συν συν εφ συν συν συν6 συν8 συν 5π ημ 8 7 π 8 ημ6 Γ) ) συν συνσυνσυν8. 6 ημ π, π κ ι ότι 9συν 6συν 5. Ν

14 Τριγωνμετρικές Εξισώσεις.9 Ν λύσετε τις εξισώσεις : ημμ συν ημ εφ Γ) ημ ημ συν συν Δ) ημ συν.95 Ν λύσετε τις εξισώσεις: συν ημ συν συν π Γ) ημ ημ στ π, 5π 5.. Αν γι τις γωνίες τριγώνυ AB ισχύυν:, A) A ( ) B) ˆ 5.. Αν y 6 κιι εφ.. Ν λυθεί στ διάστημ π συν, ν πδείξετε ότι: συν. εφy Τριγωνμετρί ν βρεθεί η o, η εξίσωση:.96 Ν λύσετε τις εξισώσεις: A) ημ ημ συν στ,π..5 Ν λυθεί η εξίσωση : π εφ 7 B) συνημ Γ) στ,π εφ εφ ν π,π...6 Ν λυθεί η εξίσωση : π σφ συν..97 Ν λύσετε την εξίσωση ημ π συν π στ,π...7 Ν λυθεί η εξίσωση : ημ συν ημ συν συν..98 Ν λύσετε τις εξισώσεις: συν 8 7ημ ημμ 8συν ημ 5 Γ) ημσυν (συν ) ημ.99 Αν εφ6 ν λυθεί η εξίσωση : ημσυν συν. Ν βρείτε τ κινά σημεί των γρφικώνν πρστάσεων των συνρτήσεων f() ) ημ κι g() συν στ διάστημ (,π)...8 Ν Ν πδείξετε ότι η εξίσωση: ημ ημ π π έχει λύσεις τις κπ, κ. 6 ) Πιες πό υτές περιέχντι στ π,5π...9 Ν λυθεί η εξίσωση: ημσυν (συνν ) ημ.. Ν λυθύν ι πρκάτω εξισώσεις : ) ) ημ συνσ συν β) ) συν ημ συν στ διάστημ,π. N λύσετε την εξίσωση v v

15 Β Λυκείυ - Άλγεβρ Γενικές 5. Δίνετι η συνάρτηση f κ λσυν, π κ, λ πυ έχει μέγιστ τ 7 κι είνι f. 8 Ν Ν βρείτε τ ελάχιστ κι τη περίδ τηςς f. Γ) Ν λύσετε την εξ. Αν f() ημ συν με τότε: Α. Ν δείξετε ότι f( () συν ημ συν γι κάθε Β. Ν βρείτε τις τιμές τυ,π γι τιςς πίες ισχύει f() Γ. Γι τις τιμές τυ πυ βρήκτε στ β ερώτημ ν πδείξετε ότι:. Δίνετι η συνάρτηση f() συν ημ ημ συν με. Ν πδείξετε ότι: f() ημ η Ν λύσετε την εξίσωση π π f() εφ f 8 Γ) Ν βρείτε την μέγιστη κι την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης: g( () 8f().. Δίνντι ι πρστάσεις: ημ συν A ημ μ συν υπλγιστύν τ κ, λ,π Ν δείξετε ότι ι είνι νεξάρτητες τυ. π Αν, ν πδείξετε ότιι ξίσωση f συν συνσ εφ κι B συν,π f(π ) σφ f()..5 Έστω η συνάρτησηη εφ εφ f( () εφ Α. Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της f Β.. Ν πδείξετε ότιι f() ημ συν Γ.. Ν λύσετε την εξίσωση f() Δ. Η εξίσωση f() κι η εξίσωση ημ συν είνι ισδύνμες;..6 Δίνετι η Ν βρεθεί η μέγιστη κι η ελάχιστη τιμή της ) Γι πιά έχυμεε την μέγιστη τιμή της Γ) ) Ν λυθεί η εξίσωση:..7 Αν f κ λσυν κ λ κι g g κ λ συν κλ5, όπυ κ, λ θετικί ριθμί τότε ν βρείτε τυς κ, λ ώστε ι συνρτήσεις f κι g ν έχυν την ίδι μέγιστη π 5π..8 Δίνετι η f() ημ ημ 8 8 π A) Ν δείξετε ότι : f() ημ. B) Ν λυθεί η εξίσωση : f() f π. Γ) ) Ν πδείξετε ότιι π ημ g g π τιμή, κι η περίδς της f ν είνι διπλάσι της περιόδυ της g π f 8 εφ π f 8 AB

16 6 Τριγωνμετρί.9 Η γρφική πράστση της συνάρτησης f() συν ν β, κι,β διέρχετι πό τ σημε π A π, κι B,. εί Ν υπλγίσετε τυς πργμτικύς, β. Ν βρείτε τη μέγιστη κι την ελάχιστη τιμή κθώς κι την περίδ της f. Γ) Ν λύσετε την εξίσωση f π. Δίνετι τ γρμμικό σύστημ (Σ) με γνώστυς,y. ημθ συνθ y (Σ), συνθ ημθ y θ Ν δείξετε ότι τ σύστημ έχει μνδικήή λύση,y, την πί κι ν βρείτε. Ν λυθεί η νίσωση:. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπ: f() συν συν Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της τ f. Ν πδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι άρτι. Γ) Ν πδείξετε ότι η f είνι περιδική, μεε περίδ T π. Δ) Ν βρείτε τ κινά σημεί της γρφικήςς πράστσης της f με τυς άξνες.. Δίνετι η συνάρτηση f() ημ συν εφ σφ. Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της τ Ν πδείξετε ότι f() εφ σφ. Γ) Ν λύσετε την εξίσωση f(). y.. Τ ετήσι έξδ μις επιχείρησης σε χιλιάδες ευρώ δίνντι πό τη συνάρτηση πt Ε(t) 5ημ όπυ t χρόνς σε έτη. Η 6 επιχείρηση λειτυργεί πόό την ρχή τυ 99 έως κι τ τέλς τυ έτυς Πι έτη τ έξδ φτάνυν τ 5 ευρώ ) Πι έτς έ έχυμε τ μέγιστ πσό εξόδων;.. Οι πωλήσεις, σε εκτντάδες χιλιάδες, ενός σχλικύύ πρϊόντς πό μι ετιρεί με σχλικά είδη δίνντι δ πόό τη συνάρτηση πt πt f( (t) ημ εφε συν εκτντάδες χιλιάδες 6 6, όπυ t χρόνς σε μήνεςς πό την ένρξη της σχλικής χρνιάς, (Σεπτέμβρις) κι στθερός π πργμτικός ριθμός με,. πt Α. Α Ν δείξετε ότι f(t) ) ημ συν 6 Β.. Αν γνωρίζυμε ότι ι μέγιστεςς πωλήσεις της ετιρείς είνι ε μνάδες πρϊόντς ν υπλγίσετε την τιμή της στθεράς κι κτόπιν ν πντήσετε στ πρκάτω ερωτήμτ: ) Πις Π είνι ελάχιστς ριθμός των πωλήσεων τυυ πρϊόντς; β) Γιτί Γ ι πωλήσεις τυ πρϊόντς στν ίδι μήν κάθε χρόν είνι ι ίδιες; γ) Σε Σ πιόν μήν τυ χρόνυ ι πωλήσεις τυ πρϊόντς είνι μέγιστεςς κι σε πιν ελάχιστες;..5 Τ διπλνό τρίγων είνι ρθγώνι στ Α κι ισχύει ότι ΑΒ ΑΔ. Ν πδείξετεε ότι: εφβ εφω εφβ ) Αν η ΒΔ είνι διχτόμς τηςς γωνίς Β τότε εφβ

17 Β Λυκείυ - Άλγεβρ 7 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Έννι τυ πλυωνύμυ - πράξεις..6 Ν βρεθεί πλυώνυμ P γι τ πί. Ν πδείξετε ότι τ πλυώνυμ P κ λ 6 κλ δεν μπρείί ν είνι τ μηδενικό γι πιυσδήπτε πργμτικύς ριθμύς κ κι λ.. Ν βρεθεί γι πιες τιμές των κ, λ, μ είνι ίσ τ πλυώνυμ: λ P Q λκ μ λ κι μ λ κ λ.. Ν πρσδιριστεί ώστε τ πλυώνυμ. Ν βρεθεί πλυώνυμ τυ πίυ τ τετράγων ν ισύτι με τ P 9 P τη μρφή 8 7 ν πίρνει 9. ισχύει ( ) )P()..7 Δίνετι τ πλυώνυμ Ν βρεθεί πργμτικός ριθμός ν ισχύει P..8 Ν πρσδιρίσετεε τ A, B,,β, γ ώστε ) A B..9 Πρσδιρίστε τ Α, Β ώστε: A ν ν ν φυσικύ ριθμύ ν. Ν υπλγίστε τ ν ν 9 5 7, β B ν P γι κάθε τιμή τυ γ.5 Δίνντι τ πλυώνυμ P, Π, κι Φ β γ, ν βρείτε τ, β, γ ώστε P Π( ) Φ γι.. Ν βρείτε γι τ βθμό κάθενός πό τ πλυώνυμ γι κάθε λ ή με λ, P λ λ. κάθε ) P() ( ) ( ) Διίρεση Πλυωνύμων. Αν τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωνύμ είνι. Ν πδείξετε ότι τ υπόλιπ της διίρεσης τυ λ P υ P, ν υπλγίσετε τ. 999 λ λ λ με τ είνι νεξάρτητ τυ λ..... δι.. Γι τ πλυώνυμ P ισχύει ότι P P. Δείξτε ότιι P() ( )π().. Αν τ υπόλιπ της διίρεσης ενός πλυωνύμυ P δι τυυ είνιι 5 κι τ υπόλιπ της διίρεσης τυ P με τ τ είνι, ν βρεθεί τ υπόλιπ της διίρεσης τυ P δι τυ

18 8.5 Δίνντι τ πλυώνυμ Φ λ κι P Βρείτε τ λ ώστε ι διιρέσεις P : κι Φ : ν δίνυν τ ίδι υπόλιπ..6 Ν βρείτε τ,,β ν τ πλυώνυμ P β διιρείτιι με 6.7 Αν τ πλυώνυμ f διιρείτι κριβώς με τ κι εάν ε επιπλένν f 8, ν πρσδιριστύν τ, β..8 Έστω, β ν τ είνι ρίζ τυ P, κι τ υπόλιπ της διίρεσης τυ P δι ( ) ισύτι με 9..9 Ν βρεθύν τ,β, ν τ πλυώνυμ P() τ g() β διιρύμεν μεε. Ν πρσδιρίσετε τυς πργμτικύς ριθμύς κ, λ ώστε τ πλυώνυμ P,. Ν βρεθύν ι πργμτικίί ριθμί κ, λ ώστε τ πλυώνυμ P() κ (λ ) 5 ν έχει πράγντ τ.. Δίνντι τ πλυώνυμ P P() δίνει υπόλιπ υ() 7. ν διιρεθεί με τ κ λ ν φήνει υπόλιπ. λ 5 κι Φ λ. Αν υ, υ είνι τ υπόλιπ των ντίστιχ ν βρεθεί τ λ ώστε : Α λ λ. β 6. Βρείτε τ ι διιρέσεων P : κι Φ : β λ, υ υ.. Αν τ υπόλιπ των διιρέσεων P() :( ) κι κ P() : ( ) είνι ντίστιχ κι ν βρεθεί τ υπόλιπ της διίρεσης τυ P() :( )( ).. Αν τ πλυώνυμ P έχει πράγντ τ 5 ν δείξετε τι τ πλυώνυμ P έχει πράγντ τ. Τ πηλίκ P διιρoύμενo με τ δίνει πηλίκ κι διιρύμεν με τ β δίνει..6 Ν βρείτε τ, β ν τ πλυώνυμ P πράγντ τ..7 Τ πλυώνυμ P διιρύμεν με κι δίνει υπόλιπ κι 5 ντίστιχ. Ν Ν βρεθεί τ υπόλιπ της διίρεσης τυ P με..8 Αν τ πλυώνυμ P ν, τότε πδείξτε ότι διιρείτι κι με τ..9 Αν ρ είνι ρίζ τυ P, πδείξτε ότι ρ είνι ρίζ τυ πλυωνύμυυ P( ).. Πλυώνυμ. Ν βρείτε τ β έχει γι ν ν ν Y. Πι υπόλιπ πρκύπτει ν διιρεθεί δι, δι κι δι ντίστιχ στην κάθε περίπτωση P..5 'Eστω πλυώνυμ P με στθερό όρ P διιρείτι με τ δίνειι υπόλιπ Πλυώνυμ διιρύμεν δι τυ κι τ, β. υ υ Γ) υ υ

19 Β Λυκείυ - Άλγεβρ. Αν τ πλυώνυμ P πδείξτε ότι τ ίδι ισχύει κι γι τ τ Κ. Τ ντίστρφ ισχύει;. Έν πλυώνυμ P() διιρύμεν με δίνει πηλίκ π () κι διιρύμεν με δίνει πηλίκ π (). Ν πδείξετε ότι: π () π ( ) 5. Δίνετι η εξίσωση κ λ. Ν πρσδιριστύν ι κ, λ ώστε τ πλυώνυμ ν Μετά ν βρεθύν κι ι άλλες ρίζες της εξίσωσης.. Ν βρεθύν ι πργμτικί ριθμί κι β έτσι ώστε η εξίσωση ν έχει τ νώτερ δυντό πλήθς κερίων ριζών..5 Ν βρεθύν ι πργμτικίί ριθμί,ββ ώστε τ ν είνι πράγντς τυ πλυωνύμυ : P().6 Ν βρεθύν τ πλυώνυμ f(),g() νν f( ) g( ) ) Δίνετι πλυώνυμ τη συνθήκη: P( ) [P()]. Αν P, ν βρείτε τ έχει ρίζ τ ν P, έχει ρίζ τ με πλλπλότητ (διπλή ρίζ). P, 5 P πυ ικνπιεί β ( β) ι P 5 κι P 6 ισχύει ότι Φ Φ. Ν πδείξετε ότι τ πλυώνυμ P..9 Αν τ πλυώνυμ P έχει την ιδιότητ: P P κι P, ν δείξετε ότι τ υπόλιπ της διίρεσης P : στθερός ριθμός... Δίνντι τ πλυώνυμ Q β. Ν βρείτε τυς, β ώστε τ P ν διιρείτι κριβώς με τ Q... Δίνντι τ πλυώνυμ διίρεσης Ρ : ν είνι τριπλάσι πό τ υπόλιπ της διίρεσης Q :... Αν ισχύει P( ) P() 8 κι P() κ γι έν έ πλυώνυμ P, ν βρεθεί η τιμή τυ κ ώστε P( 5) )... Αν η πλυωνυμικήπ ή εξίσωση δείξετε ότι.. Ν βρεθεί πλυώνυμ υ βθμύ ώστε ν ισύυν ότι β έχει πράγντ τ 7 Φ Φ διιρείτι με τ β P..8 Έστω πλυώνυμ Φ γι τ πί P P γι κάθε P λ Ρ λ, Q με λ. Ν βρεθεί τ λ ώστε τ υπόλιπ της κι είνι 9 κι λ, ν ) Ν υπλγίσετε τ S... ν

20 Πλυωνυμικές Εξισώσεις - Εξισώσεις πυ νάγντι σε πλυωνυμικές Πλυώνυμ.5 Ν λύσετε τις εξισώσεις: A) 9 8 B) Ν λύσετε τις νισώσεις..9 Ν λύσετε τις νισώσεις Ν πδείξετε ότι γι κάθε κ κ, λ Ζ ι πρκάτω εξισώσεις δεν έχυν κέριες ρίζες: Ν λύσετε τις νισώσεις v 8λ 9κ v κ ) ) β) Ν λύσετε τις εξισώσεις Ν λύσετε τις εξισώσεις 8 ) 5 Συνδυστικές Πλυώνυμ με Τριγωνμετρί Γ) ) Αν τ πλυώνυμ Ρ ημ ημ ημ.5 Αν τ πλυώνυμ P() (συν) (ημ ) έχει πράγντ τ ( συν), βρείτε τ ( π, π)..5 Βρείτε τις τιμές τυ, ώστε τ πλυώνυμ P διιρείτι κριβώς με τ. π.55 Ν βρείτε τ, ν τ τ είνιι πράγντς τυ P.56 Ν βρεθεί τ ω με ω 6 ώστε ν ημ ημ ημ, ημ ημ ισύει 5ημ ω ημ ω ημω. είνι υ βθμύ, ν βρεθεί τ,π. ημ ημ..57 Ν λυθεί η εξίσωση π π κπ, κπ μεε κ Ζ..58 Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) ) ημ 6 ημ 7 β) ) γ) )..59 'Εστω τιμές τυ μηδενίζετι τ πλυώνυμ...6 Δίνετι τ πλυώνυμ P κ λλ τ πί έχει πράγντ Ν βρεθύν ι πργμτικί ριθμί κ, λ ) Ν λυθεί η εξίσωση Γ) ) Ν λυθεί η ως πρς η νίσωση: ημ P ημ 5ημ 5ημ συν P, με π 5συν 5συν τ πλυώνυμ. f συν κι τ πλυώνυμ συν P f() f f(). Ν βρεθύ ύν γι πιες P συν ν

21 Β Λυκείυ - Άλγεβρ Γενικές Ασκήσεις στ Πλυώνυμ.6 Έστω ότι τ πλυώνυμ P() (κκ ) (κ ) κ, κ έχει πράγντ τ ( ). Α. Ν βρίτε την τιμή τυ κ. Β. Ν λυθεί η εξίσωση P(). Γ Ν.6 Τ πλυώνυμ P διιρύμεν δι κι φήνει υπόλιπ υ() Α Β Γ Ν υπλγιστύν τ, β. Ν λυθεί η νίσωση P().6 Δίνντι τ πλυώνυμ: P κ κ λ Q 9 6 όπυ κ, λ Α. Ν βρείτε γι πιες τιμές των κ, λ τ πλυώνυμ Β. Ν πδείξετε ότι ριθμόςς είνι ρίζ τυ πλυωνύμυ Γ. Ν πδείξετε ότι η εξίσωση έχει θετική ρίζ..6 Δίνετι τ πλυώνυμ P κ, όπυ κ. Γι κ, ν βρείτε τ πηλίκ κι τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωνύμυ P με τ πλυώνυμ. Ν βρείτε τις τιμές τυ κ ώστε τ ν έχει μί τυλάχιστν κέρι ρίζ. Γ) Γι λύσετε την νίσωση P Ν βρεθεί τ Π. λ P, κ Q είνι ίσ. Q., ν λύσετε την εξίσωση P() β δίνει πηλίκ Π, Q δεν P P...65 Έστω τ πλυώνυμ P() ( ) Α. Ν διερευνηθεί βθμός τυ P γι τις διάφρες τιμές τυ Β.. Στην περίπτωση π πυ είνι τρίτυ βθμύ, βρείτε την τιμή τυ β ώστε τ ν είνι ρίζ τυ P κι ν λύσετε την εξίσωση Ρ()...66 Έστω τ πλυώνυμ όπυ πργμτικός ριθμός. Ν πδείξετε ότιι τ υπόλιπ της ) Ν βρείτε την τιμήή τυ ώστε υτό τ υπόλιπ ν είνι ε τ μικρότερ δυντό...67 Δίνετι τ πλυώνυμ: P κ κ, τ πί ισχύει ότι Ρ. Ν πδείξετε ότιι κ. ) Ν λύσετε την εξίσωση..68 Δίνετι τ πλυώνυμ, όπυ, β Ν πδείξετε ότι ) Ν γράψετε την τυτότητ της διίρεσης τυ πλυωνύμυ P με ε τ πλυώνυμ Γ) ) Ν πδείξετε ότιι τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωνύμυ πλυώνυμ είνι υ β. Δ) ) Αν κι τ πλυώνυμ P έχει ρίζ τν ριθμό, τότε ν υπλγίσετε τ β κι ν λύσετε την εξίσωση P () β P, διίρεσης P : είνι υ P ι P P β P με τ τ κ, γι P Q

22 Εκθετική Συνάρτησηη 5 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Βρείτε τις τιμές τυ ώστε ι πρκάτω συνρτήσεις ν ρίζντι στ f. Έστω η συνάρτηση f() κ. Γι πιες τιμές τυ κ η f ρίζετι στ ; Ν εξετάσετε ν υπάρχυν τιμές τυ κ γι τις πίες η f είνι γνησίως ύξυσ. Γ) Ν βρείτε τις τιμές τυ κ ώστε η γρφική πράστση της f ν περνάει πό τ σημεί, Δίνετι η συνάρτηση f λ Δίνετι η συνάρτηση f λ Γι πιές τιμές τυ λ ρίζετι, Ν υπλγίσετεε τις τιμές τυ λ γι τις πίες ισχύει f() f() f() f(). Γ) Αν γι κάθε ισχύει f() ν βρείτε τις τιμές τυ λ. 5 Αν f() e τότε ν πδείξετε ότι: Γι κάθε, y ισχύυν: f( y) f() f( (y) f() f(y) f(y). v Γ) f() f(v) γι κάθε, v f() f(y) y Δ) f με y f(). πεδί ρισμύ τ. Ν βρείτε τις τιμές τ τυ γι τις πίες η συνάρτηση: είνι γνησίως ύξυσ είνι στθερή.. N με Εξισώσεις.6 Ν λύσετε τις εξισώσεις Α ) Γ) ).7 Ν λύσετε τις εξισώσεις ) Γ) ) Δ) ).8 Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) Γ) ).9 Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) Γ) ). Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) Γ) ). Ν λύσετε τις εξισώσεις: e e e e 66 )

23 Β Λυκείυ - Άλγεβρ Ν λύσετε τις εξισώσεις:.5 Ν λύσετε τις νισώσεις: 9 συν συν Γ) ) Γ) ) ημ 7 8 συν Ανισώσεις Ν λύσετε τις νισώσεις Γ) (,5) Ε) ΣΤ) 5 Ν λύσετε τις νισώσεις Γ) Δ) 6 8 e e,5 e e e (e )e Δ) e Δ) 9.6 Ν λύσετε τις νισώσεις: Γ) ) Συστήμτ.7 Ν λύσετε τ συστήμτ: y y 7 Γ) ) Ε) ) e e e e e e e y y y y 8. y y Δ) Δ) e e ee e 6 Στ) y 5 y.. y y y y 5 y 6 y 6 Πρβλήμτ 8 Σ έν σθενή με υψηλό πυρετό χρηγείτι έν ντιπυρετικό φάρμκ. Η θερμκρσί Θ t τυ σθενύς t ώρες μετά τηνν λήψη τυ φρμάκυ δίνετι πό τν τύπ Θ(t) 6 t βθμί Κελσίυ. Ν βρείτε πόσ πυρετό είχε σθενής τηη στιγμή πυ τυ χρηγήθηκε τ φάρμκ. Ν βρείτε σε πόσες ώρες η θερμκρσί τυ σθενύς θ πάρει την τιμή 6.5 C Γ) Αν η επίδρση τυ ντιπυρετικύ διρκεί ώρες πόση θ είνι η θερμκρσί τυ σθενύς μόλις στμτήσει η επίδρσή τυ o.9 Μελετώντς την βκτηριδίων πρτηρήθηπ ηκε ότι ώρες μετά την ένρξη της πρτήρησης τ βκτηρίδι ήτν ενώ ώρες μετά την ένρξη της πρτήρησης ήτν. Αν ριθμός των βκτηριδίων είνι ct P(t) Ρ, o, όπυ Pt νάπτυξη ενός είδυς ριθμός των βκτηριδίων σε σ χρόν t, P ρχικός ριθμός κι c στθεράά τότε: Ν βρείτε τη στθερά c κι τν ρχικό ριθμό των βκτηριδίων. Γ) ) Σε πόσ λεπτά ρχικός ριθμός των βκτηριδίων είχε ε διπλσιστεί; o

24 Λγριθμική Συνάρτησηη ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΗ Ν ln lnln ln 7 Γ) log log log log Ν log log log, 6 π π π Γ) log ημ log ημ log ημ 6 Ν ln ln e e Ν (log 5) Αν (log) πδείξετε ότι β γ. 5 Ν log Αν, β, γ τότε 6 Αν πδείξετε ότι: log 7 Ν ln ln ln ln πδείξετε τις πρκάτω ισότητες : 5 5 ln ln ln ln 77 πδείξετε τις πρκάτω ισότητες υπλγίσετεε την πράστση: ln(ln e) ln log (log ) πδείξετε ότι log8 log, 5, β, γ διάφρι μετξύ τυς θετικί β πδείξετε ότι log... log, y> κι πδείξετε ότι y log log y γ ln log π ημη logg 6 log e ριθμί, κι ισχύει: log logβ logl γ ν β γ γ β β log γ β y γ log log β γ 7y, ν Εξισώσεις.8 Ν λύσετε τις εξισώσεις: ln ln ln ) log log.9 Ν λύσετε τις εξισώσεις : log g log 5 log 6 ) log 7 log Γ) ) (log log 5) log( ). Ν λύσετε τις εξισώσεις ln.5 lnn 5ln9ln 5 ) Γ) ). Ν λύσετε τις εξισώσεις: log log( ) ln ln. Ν λύσετε τις εξισώσεις: log log8 log log ) Γ) ) A) log B) ln συν Γ) 9 log 7. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) 5 logl 9 5log 8 log log Δ) ) log 8 log 6 log log log 5log 6

25 Β Λυκείυ - Άλγεβρ Ν λυθύν ι εξισώσεις: lo og log log( ) log( ) log( ) log Ανισώσεις. Ν βρεθεί τ πρόσημ των ριθμών: log, log 5, log 5, log Ν Απδείξτε ότι: Γ) Ν λύσετε τις εξισώσεις ) β) 6 Ν ν λύσετε την εξίσωση log 5 Ν υπλγίσετε τν ριθμό 5 log log 5 κι log 5 5 υπλγίσετε τν ριθμό κι log log log κιι 5 log log 5 log 5 log log log. Ν συγκριθύν ιι ριθμί: log 6, log 5 5 Γ) ) log κι log. ) ) 6 log, log5.. Ν λύσετε τις νισώσεις: 5 5 log log 7 Δίν ετι η συνάρτηση f με Γ) ) f ln ln Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της, Ν λύσετε την εξίσωση f. 8 Ν συνρτήσεων f ln f Γ) f Δ) f ln 9 Ν 6 8 log 7 68 Ν A) log βρείτε τ πεδί ρισμύ των ln ln e λύσετε τις εξισώσεις: λύσετε τις εξισώσεις: B) lnln 9. Ν λυθύν ι νισώσεις: ) ln(ln( )). ) Δ) ) [log( )] log( ) ) log[log(log )]. ln ln..5 Ν πδειχτεί ότι: log..6 Ν λύσετε τις νισώσεις: ln 5ln6 ln ln ln(.7 Ν λυθύν ι νισώσεις:.8 Έστω Γ) ) (log ) log Ν πδείξετεε ότι: ) ) ln.,β, ώστε 5 (log β) β. β) β log.

26 6 Συστήμτ Α.Β. Λγριθμική Συνάρτησηη 9 Ν λύσετε τ συστήμτ :.57 Ν πδειχθεί ότιι γι κάθε,β log y log y logg logy B) y y 9. 8 ισχύει: log (β) log β (β) 5 Ν λύσετε τ σύστημ y 5 log logy.58 Ν πδειχτεί ότι: log β θ logg θ logβ θ, με,β, 5 Ν φυσικί τυς λγάριθμι έχυν άθρισμ κιι γινόμεν 8. 5 Ν logy log y Ν λύσετε τ σύστημ: log y Γ) Αν ι λύσεις τυ (ii) είνι ρίζες της εξίσωσης: log log τ * θ + 5 Aν log log πδείξετε ότι 5 *Ν 55 Ν,y βρείτε δύ θετικύς ριθμύς πυ ιι Ν δείξετε ότι ι ρίζες τις εξίσωσης logθ πτελύν λύσηη log z logy y z τυ συστήμτς: ν log yz θ logy y e y e λυθεί στ τ (Σ): yy λύσετε τo σύστημ: y log y y y με,y logθ = ν βρείτε με θ..59 Αν lo πδείξετε ότι: log Β log ν δείξετε ότι log log log όρι γεωμετρικής πρόδυυ με,β, γ,θ, ν πδειχτείί ότι: β.6 Αν,β, ν πδειχτείί ότι: β log β..6 Αν κι.6 Αν ι ριθμί, β, γ είνι διδχικί.6 Αν log,logg ψ,log ω με, ν ν πδειχτεί ότι: ψω ψω. og κι,β,, ν β β log θ log θ log θ. β logβ,β log. log β κι ισχύει: γ β 56 Ν A) ln y λύσετε τ σύστημ: ln y e ln y log y logl y.6 Αν log, y log, κι πδειχτεί ότι:yz yz. z log, ν

27 Β Λυκείυ - Άλγεβρ Συνδιστικές με τριγωνμετρί Συνδυστικές με πλυώνυμ 7 π 65 Αν, ln ημ ln ln ημ 66 Ν e 67 Ν συν ln π log(ημ ) log(συν ) log,, 68 Ν ημ 9 69 Ν 6 log ημ 7 Ν συν e 7 Ν 7 Έστ log Β. Ν πδείξετε ότι f() εφ π. Γ. Λύστε την εξίσωση f() f( ) συν 7 Έστ λύσετε τις εξισώσεις συν ln 7e λύσετε την εξίσωση λύσετε την εξίσωση ημ λύσετε την εξίσωση e ln συν τις εξισώσεις f() κι f(ημ) f(συν). λύσετε στ,π την εξίσωση: λύσετε τις νισώσεις: log log log συν τω ότι f() ημ τω η f() e ν πδείξετε ότι: ln συν στ,π 6 στ π,, Α. Απδείξετε ότι η f γνησίως φθίνυσ στ e e ν σύσετε π,.7 Ν βρείτε τ, ώστε τ πλυώνυμ P() τ P με θ,π, κ, έχει πράγντ τ Ν βρείτε τ κ κι θ ) Ν λύσετε την νίσωση P Γ) ) Ν βρείτε τ διστήμτ πυ η γρφική πράστση τη βρίσκετι κάτω πό τν άξν. P θετικύς κέριυς συντελεστές κι ρνητική κέρι ρίζ. Τότε Ν βρείτε τ,β ) Γι e, β ν βρείτε τ διστήμτ πυ η γ.π. της συνάρτησης κάτω πό τη γ.π. γ της g 9 ν έχει πράγντ.75 Δίνετι ότι τ πλυώνυμ lnκ e ee ημθ ε,.76 Έστω ότι τ πλυώνυμ.77 Δίνντι ι πρστάσεις συν ημ 5συνσ 5 ης f e β συν 5 ημ. Α. Ν πρσδιρίσετε τη συνάρτηση f κι ν δείξετεε ότι η f είνι γνησίως β φθίνυσ.. Ν Ν λυθεί η νίσωση f f. β. Ν Ν λυθεί η εξίσωση f συν θ ημθ f. Β. Αν κι β είνι τρίτυ βθμύ κι e e lnβ ln ln έχει ς f e : P e e κι βρίσκετι

28 8 Γενικές Ασκήσεις ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΘΕΤΙΚΗ & ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 78 Βρε συνρτήσεων f() ln(e e ) g() ln(ln( Γ) f() 7 79 Ν log log 8 Ν (log ) log( ) log. 8 Ν λ Γ) Ε) e 8 Δίν f() lne Α ln ln ln log συνάρτησης f Β Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της Ν δείξετε ότι η συνάρτησηη f πίρνει την μρφή : f() ln e e Γ είτε τ πεδί ρισμύ των Ν βρείτε τ σημεί γι τ πί η γρφική πράστση της f βρίσκετιι πάνω πό την γρφική πράστση της g() λύσετε τ συστήμτ: λυθύν ι νισώσεις: log λύσετε τις νισώσεις: ln ln ln log νετι η συνάρτηση f με τύπ τ. e ( e) e)). 7 ψ. log logl ψ log 5 Δ) 6 8 ln e e ln (mathematica.gr).8 Δίνετι η f() log log( ). Ν βρείτε: Τ πεδί ρισμύ της. ) Γι πιές τιμές τυυ η γρφική πράστση της f τέμνει τν άξν. Γ) ) Τις κέριες τιμές ς τυ γι τις πίες ισ σχύει Ν βρείτεε τ πεδί ρισμύ της ) Ν βρείτε τ διστήμτ τυ πυ η γρφική πράστση της συνάρτησης f βρίσκετι πάνω πό τνν άξν Γ) ) Ν συγκρίνετε τυς f ln κι f Δ) ) Ν λύσετε την εξίσωση f..8 Έστω.85 Έστω ι συνρτήσεις f( () log( ) log(6),g() log( ), Αν ι C, C τετμημένη Ν πδείξετε ότι ) Ν συγκρίνετε τυς ριθμύς f()κι g() Γ) ) Ν λύσετε την εξίσωση g() ln f() f (log e) Δ) ) Ν πρστήσετε την f στ επίπεδ.86 Δίνετι η συνάρτηση f() = ln ln f, με β η πί είνι lnβ lnl γνησίως φθίνυσ στ Α. Ν πδείξετε ότιι β Β.. Αν κι β τότε: ) ) ν δεί f g η συνάρτησ τέμνντι στ σημεί M με ίξετε ότι f ση f η f f ln e. f β) ) ν λύσετε την εξίσωση f( ) 9

29 Β Λυκείυ - Άλγεβρ 87 Έστ Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της Ν λύσετε την ε Γ) Ν λύσετε την νίσωση f 88 Δίν Ν βρεθεί τ πεδί ρισμύ της f B) N λυθεί η εξίσωση f() f 89 Δίδ ln f() 5 Α B 9 Δίν 5 Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της f. Ν λύσετε την ε βρείτε τ πεδί ρισμύ της κι ν υπλγίσετε τ ώστε ν ισχύει 9 Έστ Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της. Ν λύσετε την εξίσωση Γ) Aν νίσωση f 9 Δίν είνι γνησίως φθίνυσ κι η συνάρτηση g() f() e τω η συνάρτηση f() ln e log ετι η συνάρτηση f() log ετι η συνάρτηση με τύπ ln Ν πδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι γνησίως μνότνη στ Ν λυθεί η νίσωση ln ln log(logg ) ετι η f(). Ν log e f(y ) f(y). τω η συνάρτηση g με g. ετι η συνάρτηση f: η πί, εξίσωση f. εξίσωση f 6 ln( ) f(). ln(l 5) f., ν λύσετε την f(ln ) f() ) e ln. f 5 Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της Γ) ) Ν λύσετε την νί Δ) ) Λύστεε τις εξισώσει Ε) ) Ν λύσετε την νίσωση f ημ f.9 Δίνετι η συνάρτηση,. Ν βρεθύν ι τιμές τυ ώστε ν ρίζετι στ η συνάρτηση. ) Ν βρεθύν ι τιμές τυ ώστε η συνάρτηση ν είνι γνησίως φθίνυσ στ. Γ) ) Αν η f είνι γνησίως φθίνυσ, ν βρεθεί η τιμή τυ τ πργμτικύ ώστε ν ισχύει f f f Δ) ) Αν, ν λυθεί η νίσωση f e e fe e με Ν βρείτε τις τιμέςς τις πρμέτρυ γι τις πίες ρίζετι η συνάρτηση. ) Ν εξετάσετε τη μντνί τηςς g γι τις διάφρες τιμές τυ Γ) ) Ν βρείτε την τιμήή τυ γι την πί η γρφική πράστση της g διέρχετι πό τ, Α Β Γ Δ.9 * Δίνετι η συνάρτηση.95 Έστω η συνάρτησηη.96 Έστω 5 ) Απδείξτε ότι η f είνι γνήσι ύξυσ η συνάρτηση f() ln Ν πρσδιρίσετεε τ πεδί ρισμύ της f Ν πδείξετε ότιι f() ln (ln ). Ν λυθεί η εξίσωση f() f e Ν λυθεί η νίσωση ίσωση ις f f κ Στ) Λύστεε την εξίσωση f f η g ln κι f() f e 9 f ln ln.

30