B Λυκείου. Άλγεβρα Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Transcript

1 B Λυκείου Άλγεβρα 6-7 Μίλτος Πααγρηγοράκης Χανιά

2 Ταξη: B Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 7.8 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου ροορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοοίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Πααγρηγοράκης Μαθηματικός M.Ed. Χανιά 6 Ιστοσελίδα: mail : papagrigorakism@gmail.com

3 Β Λυκείου - Άλγεβρα ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΑ. Δίνεται το σύστημα: λ. Να υολογίσετε τις τιμές του λ ώστε για τη λύση (,y) του συστήματος να ισχύει y. Λύστε το σύστημ. Δίν εται το (Σ): μ 5y 5 μ y 5, μ Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση υολογίσετεε το ώστε να ισχύει λ y λ, λy λ μα: 7 y y o o,y, ι: ο yo 5.8 Δίνεται το (Σ) λ y λ λy. τριώνυμα f Α. Εάν η το Σ έχει μοναδική λύση, y για την οοία ισχύει ότι y, να λυθεί η ανίσω Γ.. Βρείτεε τη λύση τουυ συστήματος D λ D λ D D όου λ, g λ. ση f είναι οι τιμές για γ τις οοίες το Σ είναι αδύνατο και έχει έ άειρες λύσεις αντίστοιχα g. y Σ και τα λ και λ. Έστω ότι το σύστημα : (λ ) y, λ (λ )yy (χ,y ) και ισχύει έχει μοναδική λύση y. Να βρεθεί ο...9 Για τιςς ορίζουσες ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεωνν με αγνώστους, y ισχύει: τα,y. D D Dy D D 5. Να βρεθούν.5 Δίνεται η συνάρτηση : αν f() με λ λ αν Να βρεθούν ο λ ώστε f(). Για τη μεγαλύτερη τιμή του λ ου βρήκατε να βρεθούν τα f( ), f(,5),.. Δίνεται το γραμμικό σύστημα με ορίζουσες D,DD,D.Αν το σύστημα έχει έ μοναδική λύση και ισχύει: : y D D D(D D 5D) τότε να βρείτε την λύση αυτή. y y Να λύσετε το σύστημα : f( ) y 6 f(,5)y.. Σε έναα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους,y ισχύει:.6 Δίνεται ένα γραμμικό σύστη γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους,y ου έχει μοναδική λύση, ενώ ακόμα ισχύουν ότι: D D D 7D y y ημα (Σ) δύο D. Να βρεθεί η λύση λ του (Σ)) D D D D D και D. Αν y 6, να βρεθούν τα,,y.. y y. Να βρεθούν οι α, β για να είναι ρίζες της εξίσωσης α β ίσες με α και β.7 Για οιες τιμές τ των και y η εξίσωση yλ( y) αληθεύει γιαα κάθε λ.. Να λύσετε το σύστημα y 5 y 6-7

4 Συναρτήσεις ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων f ( ),, g t(). Να μελετήστε τη μονοτονία των συναρτήσεων h και g(),. Να αοδείξετε ότι η f γνησίως αύξουσα στο. Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f() (λ ), λ. είναι.5 Μια συνάρτηση f είναι γνήσια μονότονη στο και διέρχεται αό τα σημεία, και,. Να αοδείξετε τη μονοτονία της..6 Για τη συνάρτηση f ισχύει ότι 5 f () f για κάθε. Να αοδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα Να λυθεί η ανίσωση f.7 Να αοδείξετε ότι η γραφική αράσταση κάθε γνησίως μονότονης συνάρτησης τέμνει σε ένα το ολύ σημείο τον άξονα..8 Οι συναρτήσεις f και g είναι ορισμένες στο, είναι γνήσια μονότονες και έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας. Να αοδείξετε ότι οι γραφικές τους αραστάσεις έχουν το ολύ ένα κοινό σημείο..9 Αν η συνάρτηση f: είναι γνησίως φθίνουσα και f() για κάθε, δείξτε ότι η f () g() είναι γνησίως φθίνουσα στο f(). Έστω συνάρτηση f: με την ιδιότητα: fy f fy,,y. Δίνεται ακόμα ότι ισχύει η ισοδυναμία: «f». Να αοδείξετε ότι: η f είναι εριττή η f είναι γνησίως αύξουσα. Να λύσετε την ανίσωση f 5 f 5 f 8. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και ισχύει ff() ότι f(), για κάθε Να δείξετε. Δίνεται ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο. Να λύσετε την εξίσωση f f f f. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο με σύνολο τιμών το ώστε να ισχύει f() f () για κάθε Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Nα λύσετε τις ανισώσεις: στο, 7.5 Αν f, να λύσετε τις ανισώσεις f f και f( ) f( )

5 Β Λυκείου - Άλγεβρα.6 Έστ Για κάθε, A με, ορίζουμεε f( ) f( ) λ. Να δείξετε ότι: α) η f είναι γν. αύξουσα αν και μόνο αν λ. β) η f είναι γν. φθίνουσα αν και μόνο αν λ Αν A και για κάθε, με, ισχύει f ότι η g f είναι γνησίωςς φθίνουσα στο και ότι η h αύξουσα στο. Αν η συνάρτησηη γνήσια αύξουσα στο, να βρεθεί ο λ..7 Δίν f() Aοδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα Να λυθεί η ανίσωση 8.8 Η σ 6 ( ) στο και η γραφική της αράσταση διέρχεται αό το σημείο,. Να λύσετε τις ανισώσεις f.9 Οι σ f και Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f g γνήσια μονότονη. Να λύσετε την ανίσωση f g f g. Να ου είναι γνήσια αύξουσα στο και ισχύει ότι f τω συνάρτηση f:a. f f εται η συνάρτηση f: με, συνάρτηση f και f συναρτήσεις f και g είναι γνήσια g για κάθε., να αοδείξετε είναι γνησίως k() (λ ) είναι ( ) ( ) είναι γνήσια φθίνουσα αυξουσες έχουν εδίο ορισμού το και ισχύει είναι ι βρείτε το ρόσημο της συνάρτησης f ανίσωση f(. Αν f : γνήσια μονότονη και η γραφική της αράσταση διέρχεται αόό τα σημεία, και, Να αοδείξετε ότιι είναι γνήσια φθίνουσα ) Να λύσετε την ανί ) Να λύσετε την ανί Δ) Να βρείτε τα σημεία όου η γραφική αράσταση της f τέμνει τον άξονα τη μονοτονία της f και ναα λύσετε την ανίσωση f α,β με σύνολο τιμών το για κάθε α,β. Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα, να αοδείξετε ότι g g() f f( ), α,,β. ιδιότητα f α ειλέον ισχύει ότι «) Να λύσετε την εξίσωση f 7 5. Αν f(), να λύσετε την. Έστω συνάρτηση Έστω οι συναρτήσεις f,g ορισμένες στο f f ) f( ( ) εριττή και γνησίως φθίνουσα στο με f(f() )) για κάθε, να δείξετε ότι f(),. Έστω συνάρτηση f, ορισμένη στο, α f β f για κάθε α,β Αν β ίσωση f ίσωση f f: γνησίως μονότονη με f 5 9 και f. Να αοδείξετε α,β ώστε g.6 * Έστωω συνάρτηση f:, με την η f» αοδείξτε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα f 5 f, 6-7

6 6 Συναρτήσεις ΑΚΡΟΤΑΤΑ.7 Να μελετηθούν ως ρος τα ακρότατα οι συναρτήσεις f f f Δ) f 5.5 Έστω η συνάρτηση f,. Αοδείξτε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι το.6 Έστω η f δείξετε ότι: f, f,,. Να.8 Να μελετηθούν ως ρος τη μονοτονία και τα ακρότατα οι συναρτήσεις f στο, στο, f f 7 6 στο,5.9 Να αοδειχτεί ότι η συνάρτηση f, έχει μέγιστο το. Να αοδειχτεί ότι η συνάρτηση f έχει ελάχιστο το. Να αοδειχτεί ότι η συνάρτηση f 6 8 έχει μέγιστο. Έστω η συνάρτηση f. Αοδείξτε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι το. Αν f f, f,,. Να δείξετε ότι: Η ελάχιστη τιμή της f είναι το. Έστω η συνάρτηση f,. Αοδείξτε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι το η μέγιστη τιμή της f είναι το.7 Αν η γραφική αράσταση της συνάρτησης f: διέρχεται αό τα σημεία Α,, Β, και ισχύει f 5 για κάθε, αοδείξτε ότι έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.8 Έστω συνάρτηση f: για την οοία f ισχύει για κάθε. Αν και f f 5 τα ακρότατα της f.9 Δίνεται η συνάρτηση f f f 5, να βρείτε A) Να αοδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το B) Να λυθεί η εξίσωση f f 6 Να βρείτε τους α,β ώστε να ισχύει f α β fαβ 6. Έστω f: συνάρτηση με f() Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f() g() έχει μέγιστη τιμή το. f () Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης Φ() 9

7 Β Λυκείου - Άλγεβρα ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ. Να συναρτήσεις είναι εριττές και οιεςς άρτιες: f f ( ) (). Να συναρτήσεις είναι εριττές και οιεςς άρτιες: f:, με f f. Να συναρτήσεις είναι εριττές και οιεςς άρτιες: f g. Η σ Να αοδείξετε ότι η άρτια..5 Αν εδίο ορισμού Α, δείξτε ότι η g() f() είναι άρτια.6 Να ώστε να αριστάνουν γραφικές αραστάσεις: α) άρτιας συνάρτησης και β) εριττής συνάρτησης βρείτε οιες αό τις αρακάτω βρείτε οιες αό τις αρακάτω βρείτε οιες αό τις αρακάτω συνάρτηση f g έχει εδίο ορισμού το. f f είναι η συνάρτηση f είναι εριττή με η συμληρώσετε τις αρακάτω γραμμές.7 Δίνεται συνάρτησηση f: ώστε να ισχύει f y ff y για κάθε, y. Δείξτε ότι η f είναι εριττή ιδιότητες: αοδείξετε ότιι η f είναι άρτια και η g εριττή..9 Δίνεται η συνάρτηση f για την οοία ισχύει ότι f. Nα βρεθεί το f αν γνωρίζετε ότι : η f είναι άρτια ΓΡΑΦΙΚΕΣΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ συναρτήσεις: g() k() ) συναρτήσεις f.8 Δύο συναρτήσειςς f,g : έχουν τις f Β η f είναι εριττή.5 Να αραστήσετε γραφικά τις f() Δ).5 Να αρασταθούν γραφικά οι,.5 Να αραστήστε γραφικά τις συναρτήσεις: ) ) f f και g g g για κάθε. Να f. f f m() g 6 7 Να γραφεί ο τύος της συνάρτησης χωρίς αόλυτα. ) να αρασταθεί γραφικά. ) να μελετηθεί ως ρος την μονοτονία. Δ) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή τηςς.5 Έστω η συνάρτησηη f()..5 Η συνάρτηση f είναι εριττή στο. Να αοδείξετε ότι f ι 6-7

8 8 Τριγωνομετρία ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Σε οιο τεταρτημόριο βρίσκεται το σημείο M αν ΟΜ ω και ημω συνω>. Να υολογίσετε τις αραστάσεις : ο ο ο ο ημ9 ημ8 ημ7 ημ6. Αν 5 να αοδείξετε ότι εφ ημ συν σφ. ο ο εφ 8-5( - συν 9 ) εφ6 εφ εφ5 εφ εφ6 Ανισότητες Μέγιστα Ελάχιστα. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των αραστάσεων : A=ημ 5 B=-συν Γ ημ συνy.5 Να βρείτε για οιες τιμές του κ κ υάρχει γωνία ω ώστε να ισχύει: εφω και κ σφω κ κ.8 Δείξτε ότι α) ημ συν β) γ) δ).9 Να εξηγήσετε γιατί δεν υάρχει γωνία τέτοια ώστε να ισχύει:.6 Να βρείτε για οιες τιμές του κ κ υάρχει γωνία ω ώστε να ισχύει: εφω κ σφω κ κ.7 Να αοδείξετε ότι ημ αημ α, α, και συν συν ημ. Να αοδείξετε ότι: συν α+συν β+ημα ημβ συν α+ συν α εφ α+σφ α Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί. Αν είναι συνω και 9 ω 8, υολογίστε την αράσταση. Αν 6συν ω 5 και 5 ημω συνω εφω ο ο 9 ω 8, υολογίστε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Αν ω 9 και εφω να υολογίσετε την τιμή της αράστασης ημω συνω Α ημω 9συνω. Αν 7συνω 8 και ο 9 ω 8 να ημω συνω υολογίσετε την αράσταση Α εφω ο

9 Β Λυκείου - Άλγεβρα Βασικές Ταυτότητες 9.5 Να α συνθ ημθ συν θ ημ θ.6 Να α ημωσυνφ.7 Να α αοδείξετε ότι: αοδείξετε ότι: ημ θ συνθ ημ θ συνθθ ημ θ συν ημωημφφ αοδείξετε ότι: 5 συνω θ..7 Δείξτεε ότι: συν α+ +συν β+ημα ημβ.8 Δείξτεε ότι ημ συν ημ συν ημ συν. ημ..9 ωημωσυν ω Αοδείξτε ότι εφω συνω.. Να αοδείξετε ότιι: εφ ημ 6 εφ σφ συν.8 Αο.9 Να α οδείξτε ότι εφω ημω συ υνω εφω αοδείξετε ότι: ημ συν συν ημ.. Να αοδείξετε ότιι.. Να αοδείξετε ότιι 7 εφ εφ 7 +σφ +σφ συν α+ συν α 7. Αοδείξτε ότι: ημω συνω εφω ημω - συνω εφω -. Αο. Να α αν. Αο σ. Δείξτε ότι.5 Αο.6 Να α οδείξτε ότι: συν ω ημ ω εφ ω ημω συνω εφω αοδείξετε ότι οδείξτε ότι εφ ημ -συν εφ + οδείξτε ότι ημα συνα εφα + +συνα + ημα αοδείξετε ότι συν- ημ εφ+ εφ συ υν φ, ημ+ συν ημα συνα εφα+σφα ημα συνα.. Aοδείξετε ότι.. Δίνεται η εξίσωση ημα συνα με α Να αοδείξετε ότιι έχει δύο ρίζες ραγματικές και κ άνισες. ) Αν, οι ρίζεςς της, να βρείτε το ημα ώστε να ισχύει..5 Να δείξτε ότι. Να δείξετε ότι έχειι ρίζες ραγματικές και άνισες τις,, οι οοίεςς να βρεθούν. ) Να υολογίσετε την τιμή της αράστασης A = - ) Αν f( () = -. σφθ ημθ σφθ ημθ συνα ημα ημαα συνα.6 Δίνεται η εξίσωση εφ θ. να δείξετε ότι ημθ συνθ f( ( )f() εφ θ ημ θ. 6-7

10 Τριγωνομετρία Αναγωγή στο ο Τεταρτημόριο.7 Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών κ,, ο 5,,, 5 6, με κ Ζ 6.8 Να υολογίσετε την τιμή της αράστασης: 7 εφ σφ ημ συν ημ εφ συν ημ 6 6. Να υολογίσετε την τιμή του γινομένου: ο ο ο ο συν συν συν συν6 σφ θεφ θ. Δείξτε ότι σφ θεφ θ. Αν θ, να αοδείξετε ότι 5 συν θεφ θ ημ θ.9 Σε κάθε τρίγωνο ABΓ να αοδείξετε ότι : εφα Β εφγ συν Α Β συνγ ημ Α Β ημγ. Δείξτε ότι ημ θημ θ 6. Να αοδείξετε ότι ημ συν ημ συν Αν εφ - +εφ + 6 να υολογίσετε την τιμή της αράστασης εφ - + εφ + 6 τριγωνομετρικες συναρτησεις.6 Να βρείτε τα ακρότατα και την ερίοδο t της συνάρτησης f(t) ημ..7 Να συγκρίνετε τους αριθμούς και συν Αν 7 α β να συγκρίνετε τις τιμές [,] και ημβ συν.8 Αν ημθ συνθ, t,. Να βρείτε Την ερίοδο και το λάτος της συνάρτησης Το t, ώστε f(t)..9 Δίνεται εριοδική συνάρτηση f με ερίοδο T, και και Af. Στο διάστημα,t η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστη τιμή το για το μοναδικό και στο διάστημα T,T η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστη τιμή 9 για. Α. Είναι σωστό ή λάθος ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το ; Β. Αν f() αημ(ω) να βρείτε το α και το ω και να σχεδιάσετε την γραφική αράσταση της συνάρτησης στο διάστημα,t.

11 Β Λυκείου - Άλγεβρα Εξισώσεις.5 Να λ ημ( ) συν ( ) B) συν ημ σφ εφ.5 Να λύσετε τις εξισώσεις : A) o ημ συ 5 B) ημ συν ημ συν.5 Να λ 5ημμ συν στο [,] εφ ημεφ ημ εφ σφ5 στο [,] Δ).5 Να λ ημ συν συν ημ ημ ημ συν.5 Να λ ημ εφ.55 Να λ εφ εφ εφ σφ λύσετε τις εξισώσεις : λύσετε τις εξισώσεις: λύσετε τις εξισώσεις: ημ λύσετε τις εξισώσεις: λύσετε τις εξισώσεις: o..56 Να βρείτε τα εδίαα ορισμού των ημ συναρτήσεων f() συν, g() εφε, h() συν..57 Να λυθούν οι εξισώσεις στο [,] ημ ημ ) ημθθ συνθ..58 Να λύσετε τις εξισώσεις ημ(συν) ) ημ ) ημ συν Δ) ) ημ( συν)..59 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων: ημ και συν ) εφ και εφ..6 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις ημ ) ημ Δ) συν Ε) ) ημ κ, κ Z. ) ημ συν συν.6 Να λύσετε τις εξισώσεις εφ(σφ ) ημ ) εφ ημ συν συν e εφ σφ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ.6 Να λ ημ λύσετε τις ανισώσεις: συν..6 Να λύσετε τις ανισώσεις: σφ εφ 6-7

12 Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί Αριθμοί α+β.6 Να αοδείξετε ότι για κάθε ισχύει ότι.65 Να αοδείξετε ότι η αράσταση είναι ανεξάρτητη του..66 Να αοδείξετε ότι: συνω - ημω (5 ) συνω + ημω (5 ) (5 ) (5 ) (5 ).67 Να δείξετε ότι εφ α - εφ β ( ) ( ) - εφ α εφ β εφ α - εφ α - εφ αεφ α.68 Να αοδείξετε ότι: ημ(α β) συν(αβ) συν(α-β) ( ) ( ).69 Δείξτε ότι αν τότε.7 Nα αοδείξετε ότι αν ( ) v( ), τότε.7 Αν να αοδείξετε ότι:.7 Αν 9 να αοδειχθεί ότι:.7 Για τις γωνίες, ισχύει αοδείξετε ότι.7 Αν να βρείτε το ( y).75 Αν, Να y και y, y,, 5 5 και y, τότε y.76 Να βρεθεί γωνία με αν ισχύει Αν ισχύουν 8, και αοδείξετε ότι:.78 Αν η εξίσωση και να 89, έχει ρίζες τους αριθμούς και, δείξτε ότι.79 Nα αοδείξετε ότι αν σε τρίγωνο AB ισχύει ότι τότε είναι ορθογώνιο..8 Να αοδείξετε ότι αν σε ένα τρίγωνο AB ισχύει ότι 6 τότε

13 Β Λυκείου - Άλγεβρα Τριγωνομετρικοί αριθμοί α.8 Να α ημα ημβ αοδείξετε ότι: συνα συνβ α β συν εφ α εφ α εφαα συν ημ σφ συν ημ..88 Να αοδείξετε ότι: B) σφα (σφ α - ) ημα ( + σφ α) ημα συνα ημα συνα ) Αν α, τότε 6.8 Να α αοδείξετε ότι : συνα συνα συνα A) B) ημα συνα α εφ ημα συνα ημα συνα α εφ + συνα + συνα..89 Να αοδείξετε ότιι A) ημ ημ ημ 8 8 B) 6συν 5 ημ συν συν6 συν8.8 Να α.8 Να α ημ ημ εφ συν συν συνα συν α σφα ημα ημα ημ.85 Να α.86 Να α σφα + συνα σφα - - ημα ημ8 συν συν συν 8ημ.87 Αν σ Α ισχύει ότι ημβημ ημα, δείξτε ότι είναι ισοσκελές αοδείξετε ότι : αοδείξετε ότι: συνθ θσυν θ αοδείξετε ότι αοδείξετε ότι α ημα ημη α εφ α συν συνα σε μη αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ημ6α ) συνασυνασυνασυν8α. 6 ημα Δ) ). υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α.. ημαημβ συνασυν Α Γ, να αοδείξετε ότι είναι ορθογώνιο.. A συν ημμ συν B ημ συν. εφ θ ημθ ημθ.9 Για τηη γωνία α είναι γνωστό ότι α, κα αι ότι 9συνα 6συνα 5. Να.9 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα: ι.9 Να υολογίσετε τις αραστάσεις :.9 Να αοδείξετε ότι α εφ ημα ημαα συνα συνα εφ α 6-7

14 Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικές Εξισώσεις.9 Να λύσετε τις εξισώσεις : ημ συν ημ εφ ημ ημ συν συν Δ) ημ συν.95 Να λύσετε τις εξισώσεις: συν ημ συν συν ημ ημ στο,5. Αν για τις γωνίες τριγώνου AB ισχύουν:,, να αοδείξετε ότι: A) ( ) B). Αν εφ y 6 και ˆ 5 o εφy να βρεθεί η. Να λυθεί στο διάστημα, η εξίσωση: συν συν..96 Να λύσετε τις εξισώσεις: A) ημ ημ συν στο,.5 Να λυθεί η εξίσωση : εφ 7 B) συνημ στο,. εφ εφ αν,.6 Να λυθεί η εξίσωση : σφ συν..97 Να λύσετε την εξίσωση ημ συν στο,..7 Να λυθεί η εξίσωση : ημ συν ημ συν συν..98 Να λύσετε τις εξισώσεις:.99 Αν συν 8 7ημ ημ 8συν ημ 5 ημσυν (συν ) ημ ημσυνσυν ο εφ6 να λυθεί η εξίσωση :. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων f() ημ και g() συν στο διάστημα (,)..8 Να αοδείξετε ότι η εξίσωση: ημ ημ έχει λύσεις τις κ, κ. 6 Ποιες αό αυτές εριέχονται στο,5..9 Να λυθεί η εξίσωση: ημσυν (συν ) ημ. Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις : α) ημ συν συν β) συν ημ συν στο διάστημα,. Nα λύσετε την εξίσωση v v

15 Β Λυκείου - Άλγεβρα Γενικές 5. Δίνε κ, λ ου έχει μέγιστο το 7 και είναι f. 8 Να Να βρείτε το ελάχιστο και τη ερίοδο τηςς f. Να λύσετε την εξ. Αν f τότε: Α. Να δείξετε ότι f( () συν ημ συν για κάθε Β. Να βρείτε τις τιμές του, για τιςς οοίες ισχύει f() Γ. Για τις τιμές του ου βρήκατε στο β ερώτημα να αοδείξετε ότι:. Δίνε f() συν ημ ημ συν με. Να αοδείξετε ότι: f() ημ Να λύσετε την εξίσωση f() εφ f 8 Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης: g( () 8f().. Δίνο εται η συνάρ ημα συνα A ημ μα συνα υολογιστούν τα κ, λ f() ημ συν με,, Να δείξετε ότι οι είναι ανεξάρτητες του. Αν α, να αοδείξετε ότιι εται η συνάρτηση ρτηση ξίσωση f ονται οι αραστάσεις: f κ λσυν, συν f( ) σφ f() συνασ εφ α και B συνα..5 Έστω η συνάρτησηη εφ εφ f( () εφ Α. Να βρείτε το εδίοο ορισμού της f Β.. Να αοδείξετε ότιι f() ημ συν Γ.. Να λύσετε την εξίσωση f() Δ. Η εξίσωση f() και η εξίσωση ημ συν είναι ισοδύναμες;..6 Δίνεται η Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της ) Για οιά έχουμεε την μέγιστηη τιμή της ) Να λυθεί η εξίσωση:..7 Αν f κ λσυν κ λ και g κ λ συν κλ5, όου κ, λ θετικοί αριθμοί τότε να βρείτε τους κ, λ ώστε οι συναρτήσεις f και g να έχουν την ίδια μέγιστη. g 5.8 Δίνεται η f() ημ ημ 8 8 A) Να δείξετε ότι : f() ημ. B) Να λυθεί η εξίσωση : f() f. ) Να αοδείξετε ότιι ημ g g τιμή, και η ερίοδος της f να είναι διλάσια της εριόδου της g f 8 εφ f 8 AB 6-7

16 6 Τριγωνομετρία.9 Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() ασυν β, και α,β διέρχεται αό τα σημε A, και B,. εία Να υολογίσετε τους ραγματικούς α, β. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή καθώς και την ερίοδο της f. Να λύσετε την εξίσωση f. Δίνεται το γραμμικό σύστημ αγνώστους,y. ημθ συνθ y (Σ), θ συνθ ημθ y Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδικήή λύση,y, την οοία και να βρείτε. Να λυθεί η ανίσωση:. Δίνεται η συνάρτηση f με τύο: f() συν συν Να βρείτε το εδίο ορισμού της τ f. Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια. Να αοδείξετε ότι η f είναι εριοδική, μεε ερίοδο T. Δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικήςς αράστασης της f με τους άξονες.. Δίνεται η συνάρτηση f() ημ συν εφ σφ. Να βρείτε το εδίο ορισμού της τ Να αοδείξετε ότι f() εφ σφ. Να λύσετε την εξίσωση f(). α (Σ) με y.. Τα ετήσια έξοδα μιας ειχείρησης σε χιλιάδες ευρώ δίνονται αό τη συνάρτηση t Ε(t) 5ημ όου t ο χρόνος σε έτη. Η 6 ειχείρηση λειτουργεί αόό την αρχή του 99 έως και το τέλος του έτους Ποια έτη τα έξοδαα φτάνουν τα 5 ευρώ ) Ποιο έτος έ έχουμε το μέγιστο οσό εξόδων;.. Οι ωλήσεις, σε εκατοντάδες χιλιάδες, ενός σχολικούύ ροϊόντος αό μια εταιρεία με σχολικά είδη δίνονται δ αόό τη συνάρτηση t t f( (t) ημ εφαε συν εκατοντάδες χιλιάδες 6 6, όου t ο χρόνος σε μήνεςς αό την έναρξη της σχολικής χρονιάς, (Σετέμβριος) και α σταθερός ραγματικός αριθμός με α, t Α. Α Να δείξετε ότι f(t) ) ημ α συνα 6 Β.. Αν γνωρίζουμε ότι οι μέγιστεςς ωλήσεις της εταιρείας είναι ε μονάδες ροϊόντος να υολογίσετε την τιμή της σταθεράς α και κατόιν να ααντήσετε στα αρακάτω ερωτήματα: ωλήσεων τουυ ροϊόντος; ίδιο μήνα κάθε χρόνο είναι οι ίδιες; ωλήσεις του ροϊόντος είναι μέγιστεςς και σε οιον ελάχιστες;..5 Το διλανό τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α και ισχύει ότι ΑΒ ΑΔ. Να αοδείξετεε ότι: εφβ εφω εφβ ) Αν η ΒΔ είναι διχοτόμος τηςς γωνίας Β τότε α) Ποιος Π είναι ο ελάχιστος αριθμός των β) Γιατί Γ οι ωλήσεις του ροϊόντος στον γ) Σε Σ οιόν μήνα του χρόνου οι εφβ.

17 Β Λυκείου - Άλγεβρα 7 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Έννοια του ολυωνύμου - ράξεις..6 Να βρ ρεθεί ολυώνυμο P για το οοίο. Να αοδείξετε ότι το ολυώνυμο P κ λ 6 κλ δεν μορείί να είναι το μηδενικό για οοιουσδήοτε ραγματικούς αριθμούς κ και λ.. Να βρεθεί για οιες τιμές τω είναι ίσα τα ολυώνυμα: λ P Q λκ μ λ και μ λ κ λ.. Να ροσδιοριστεί ο α ώστε το ολυώνυμο. Να βρεθεί ολυώνυμο του οοίου το τετράγωνο να ισούται με το P 9 P τη μορφή α 8 7 να αίρνει ν κ, λ, μ 9. ισχύει ( ) )P()..7 Δίνετα Να βρεθεί ο ραγματικός αριθμός α αν ισχύει P α..8 Να ρ ). A B.9 Προσδιορίστε τα Α, Β ώστε: A ν ν ν φυσικού αριθμού ν. Να υολογίστε το ν ν 5 7, αι το ολυώνυμο P ροσδιορίσετεε τα A, B,α,β, γ ώστε 9 α β B ν για κάθε τιμή του γ.5 Δίνονται τα ολυώνυμα P, Π κάθε, και Φ α β γ α, να βρείτε τα α, β, γ ώστε P Π( ) Φ γιαα.. Να βρείτε για το βαθμό κάθενός αό τα ολυώνυμα για κάθε λ ή α με λ,α Α ) P λ λ. P() (α α α) (α α) α Διαίρεση Πολυωνύμων. Αν το υόλοιοο της διαίρεσης του ολυωνύμο είναι. Να αοδείξετε ότι το υόλοιο της διαίρεσης του λ P ου P, να υολογίσετε το α. λ 999 λ λ με το είναι ανεξάρτητο του λ. α.... α α δια.. Για τοο ολυώνυμοο P ισχύει ότι. P P. Δείξτε ότιι P() ( )(). Αν το υόλοιο της διαίρεσης ενός ολυωνύμου P δια τουυ είναιι 5 και το υόλοιο της διαίρεσης του P με το τ είναι, να βρεθεί το υόλοιο της διαίρεσης του P δια του 6-7

18 8 Πολυώνυμα.5 Δίνονται τα ολυώνυμα Φ λ και P λ λ. Βρείτε το λ ώστε οι διαιρέσεις P : και Φ : να δίνουν το ίδιο υόλοιο..6 Να βρείτε τα α,β αν το ολυώνυμο P α β διαιρείται με 6.7 Αν το ολυώνυμο f α β διαιρείται ακριβώς με το και εάν ειλέον f 8, να ροσδιοριστούν τα α, β..8 Έστω P() α β 6. Βρείτε τα α, β αν το είναι ρίζα του P, και το υόλοιο της διαίρεσης του ισούται με 9..9 Να βρεθούν τα α,β P δια ( ), αν το ολυώνυμο P() α β διαιρούμενο με το g() δίνει υόλοιο υ() 7.. Να ροσδιορίσετε τους ραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε το ολυώνυμο P, αν διαιρεθεί με το υόλοιο. κ λ να αφήνει. Να βρεθούν οι ραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το ολυώνυμο έχει αράγοντα το. P() κ (λ ) 5 να. Αν τα υόλοια των διαιρέσεων P() : ( ) και P() : ( ) είναι αντίστοιχα και να βρεθεί το υόλοιο της διαίρεσης του P() : ( )( ). Αν το ολυώνυμο P έχει αράγοντα το 5 να δείξετε οτι το ολυώνυμο P έχει αράγοντα το.5 'Eστω ολυώνυμο P με σταθερό όρο. Το P διαιρoύμενo με το α δίνει ηλίκο και διαιρούμενο με το β δίνει ηλίκο. Να βρείτε το P και τα α, β.6 Να βρείτε τα α, β αν το ολυώνυμο P α β έχει για αράγοντα το.7 Το ολυώνυμο P διαιρούμενο με και δίνει υόλοιο και 5 αντίστοιχα. Να βρεθεί το υόλοιο της διαίρεσης του P με.8 Αν το ολυώνυμο ν ν P ν ν α διαιρείται με το, τότε αοδείξτε ότι διαιρείται και με το..9 Αν ρ είναι ρίζα του P, αοδείξτε ότι ο ρ είναι ρίζα του ολυωνύμου P( ). Δίνονται τα ολυώνυμα P λ 5 και Φ λ, λ. Αν υ, υ είναι τα υόλοια των διαιρέσεων P : και Φ : αντίστοιχα να βρεθεί το λ ώστε : υ υ. Πολυώνυμο P διαιρούμενο δια του δίνει υόλοιο Y. Ποιο υόλοιο ροκύτει αν διαιρεθεί δια, δια και δια αντίστοιχα στην κάθε ερίτωση υυ υ υ

19 Β Λυκείου - Άλγεβρα. Αν P αοδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το τ Κ. Ένα α. Το αντίστροφο ισχύει; δίνει ηλίκο () και διαιρούμενο με δίνει ηλίκο (). Να αοδείξετε ότι: () (). Δίν ροσδιοριστούν οι κ, λ ώστε το ολυώνυμο να Μετά να βρεθούν και οι άλλες ρίζες της εξίσωσης.. Να και β έτσι ώστε η εξίσωση να έχει το ανώτερο δυνατό λήθος ακεραίων ριζών..5 Να ώστε το να είναι αράγοντας του ολυωνύμου : P().6 Να f( ).7 Δίν g( ) ) 9 6 τη συνθήκη: P( ) [P()]. Αν P, να βρείτε τα το ολυώνυμο α αα έχει ρίζα το να α ολυώνυμοο P() διαιρούμενο με εται η εξίσωση κ λ. Να α βρεθούν οι ραγματικοί αριθμοί α βρεθούν οι ραγματικοίί αριθμοί α,ββ βρεθούν τα ολυώνυμα f(),g() ανν εται ολυώνυμο P ου ικανοοιεί P, P, 5 έχει ρίζα το με ολλαλότητα (διλή ρίζα). 5 α β α (α β) P 5 και P 6 ι. ισχύει ότι Φ Φ. Να αοδείξετε ότι το ολυώνυμο P. P P και P, να δείξετε ότι το υόλοιο της διαίρεσης P : σταθερός αριθμός.. Q α β. Να βρείτε τους α, β ώστε το P να διαιρείται ακριβώς με το Q.. διαίρεσης Ρ : ναα είναι τριλάσιο αό το υόλοιο της διαίρεσης Q :.. P() κ για ένα έ ολυώνυμο P, να βρεθεί η τιμή του κ ώστε P( 5) ).. δείξετε ότι. ώστε να ισύουν ότι.9 Αν το ολυώνυμοο P έχει την ιδιότητα:. Δίνονται τα ολυώνυμα. Δίνονται τα ολυώνυμα. Αν ισχύει P( ) P() 8 και. Αν η ολυωνυμική ή εξίσωση α β έχει αράγοντα το α 7. Ναα βρεθεί ολυώνυμο ου βαθμού Φ διαιρείται με το β P.8 Έστω ολυώνυμο Φ για το οοίο P P για κάθε Φ P λ Ρ λ, Q με λ. Να βρεθεί το λ ώστε το υόλοιο της και είναι 9 και λ, να ) Να υολογίσετε τοο S... ν 6-7

20 Πολυώνυμα Πολυωνυμικές Εξισώσεις - Εξισώσεις ου ανάγονται σε ολυωνυμικές.5 Να λύσετε τις εξισώσεις: 6 A) B).6 Να αοδείξετε ότι για κάθε κ, λ Ζ οι αρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ρίζες:.8 Να λύσετε τις ανισώσεις.9 Να λύσετε τις ανισώσεις Να λύσετε τις ανισώσεις v 5 9κ v 8λ κ α) + - β) Να λύσετε τις εξισώσεις Να λύσετε τις εξισώσεις 8 5 Συνδυαστικές Πολυώνυμα με Τριγωνομετρία Αν το ολυώνυμο Ρ ημ α ημα ημα είναι ου βαθμού, να βρεθεί το α,..5 Αν το ολυώνυμο P() (συνα) (ημ α) έχει αράγοντα το ( συνα), βρείτε το α (,)..5 Βρείτε τις τιμές του α, ώστε το ολυώνυμο Pημα ημα ημα, διαιρείται ακριβώς με το..55 Να βρείτε το α, αράγοντας του αν το είναι P ημα ημ α ημα ημα..56 Να βρεθεί το ω με ισύει ημ ω 5ημ ω ημω. ο ω 6 ώστε να ο.57 Να λυθεί η εξίσωση κ,κ με κ Ζ.58 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) γ) συν συν αν ημ 6 ημ 7 ημ 5ημ 5ημ συν 5συν 5συν.59 'Εστω f συν και το ολυώνυμο P f() f f(). Να βρεθούν για οιες τιμές του μηδενίζεται το ολυώνυμο..6 Δίνεται το ολυώνυμο P κ λ το οοίο έχει αράγοντα το ολυώνυμο. Να βρεθούν οι ραγματικοί αριθμοί κ, λ Να λυθεί η εξίσωση P Να λυθεί η ως ρος η ανίσωση: ημα P P, με α

21 Β Λυκείου - Άλγεβρα Γενικές Ασκήσεις στα Πολυώνυμα.6 Έστω ότι το ολυώνυμο P() (κκ ) (κ ) κ, κ έχει αράγοντα το ( ). Α. Να βρίτε την τιμή του κ. Β. Να λυθεί η εξίσωση P(). Γ Να.6 Το διαιρούμενοο δια και αφήνει υόλοιο υ() Α Β Γ Να υολογιστούν τα α, β. Να λυθεί η ανίσωση P().6 Δίνονται τα ολυώνυμα: P κ κλ Q 9 6 όου κ, λ Α. Να βρείτε για οιες τιμές των κ, λ τα ολυώνυμα Β. Να αοδείξετε ότι ο αριθμόςς είναι ρίζα του ολυωνύμου Γ. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση έχει θετική ρίζα..6 Δίνεται το ολυώνυμο P κ, όου κ. Για κ, να βρείτε το ηλίκο και το υόλοιο της διαίρεσης του ολυωνύμου P με το ολυώνυμο. Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε το να έχει μία τουλάχιστον ακέραια ρίζα. Για λύσετε την ανίσωση P ολυώνυμο P() α β Να βρεθεί το Π. λ P, κ Q είναι ίσα. Q., να λύσετε την εξίσωση δίνει ηλίκο Π, Q δεν P P...65 Έστω το ολυώνυμο P() (α ) α Α. Να διερευνηθεί ο βαθμός του P για τις διάφορες τιμές του α Β.. Στην ερίτωση ου είναι τρίτου βαθμού, του P και να λύσετε την εξίσωση Ρ().. όου α ραγματικός αριθμός. Να αοδείξετε ότιι το υόλοιοο της ) Να βρείτε την τιμήή του α ώστε αυτό το υόλοιο να είναι ε το μικρότερο δυνατό.. P κ κ, το οοίο ισχύει ότι Ρ. Να αοδείξετε ότιι κ. ) Να λύσετε την εξίσωση..66 Έστω το ολυώνυμο.67 Δίνεται το ολυώνυμο:, όου α,β Να αοδείξετε ότι ) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του ολυωνύμου ) Να αοδείξετε ότιι το υόλοιοο της διαίρεσης του ολυωνύμου ολυώνυμο είναι υ αβ. Δ) ) Αν α και το ολυώνυμο P έχει ρίζα τον αριθμό, τότε ναα υολογίσετε το β και να λύσετε την εξίσωση.68 Δίνεται το ολυώνυμο P με P ( α) β βρείτε την τιμή του β ώστε το να είναι ρίζα P α α, διαίρεσης P : α είναι υ α P ι P P α β το ολυώνυμο P με το τ κ, για P Q 6-7

22 Εκθετική Συνάρτηση 5 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Βρείτε τις τιμές του α ώστε οι αρακάτω συναρτήσεις να ορίζονται στο f α α. α f() α. Έστω η συνάρτηση f() κ. Για οιες τιμές του κ η f ορίζεται στο ; Να εξετάσετε αν υάρχουν τιμές του κ για τις οοίες η f είναι γνησίως αύξουσα. Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε η γραφική αράσταση της f να ερνάει αό το σημείο, Δίνεται η συνάρτηση f α α εδίο ορισμού το. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οοίες η συνάρτηση: είναι γνησίως αύξουσα είναι σταθερή. Δίνεται η συνάρτηση f λ λ Για οιές τιμές του λ ορίζεται, Να υολογίσετε τις τιμές του λ για τις οοίες ισχύει f() f() f() f(). Αν για κάθε ισχύει f() να βρείτε τις τιμές του λ. 5 Αν f() e τότε να αοδείξετε ότι: Για κάθε, y ισχύουν: f( y) f() f(y) f() f(y) f( y). f() v f(v) για κάθε, v N με Εξισώσεις 6 Να λύσετε τις εξισώσεις Α Να λύσετε τις εξισώσεις Δ) Να λύσετε τις εξισώσεις: 9 e ee e Να λύσετε τις εξισώσεις: Να λύσετε τις εξισώσεις: Δ) f() f(y) y f με y Να λύσετε τις εξισώσεις:

23 Β Λυκείου - Άλγεβρα Να λύσετε τις εξισώσεις:.5 Να λύσετε τις ανισώσεις: 9 συν συν ) ) ημ 7 8 συν Ανισώσεις Να 7 6 (,5) Ε) 5 Να Δ) e e λύσετε τις ανισώσεις,5 ΣΤ) λύσετε τις ανισώσεις e e e (e )e Δ) e Δ) 9.6 Να λύσετε τις ανισώσεις: ) Συστήματα y y 7 ) Ε) ) e e e e e e e.7 Να λύσετε τα συστήματα: y y Δ) y y 8. y y e Δ) e e e 6 Στ) y 5 y.. y y y y 5 y 6 y 6 Προβλήματα 8 Σ έ χορηγείται ένα αντιυρετικό φάρμακο. Η θερμοκρασίαα Θ t του ασθενούς t ώρες μετά τηνν λήψη του φαρμάκου δίνεται αό τον τύο Θ(t) 6 ένα ασθενή με υψηλό υρετό t βαθμοί Κελσίου. Να βρείτε όσο υρετό είχε ο ασθενής τηη στιγμή ου του χορηγήθηκε το φάρμακο. Να βρείτε σε όσες ώρες η θερμοκρασία του ασθενούς θα άρει την τιμή 6.55 C Αν η είδραση του αντιυρετικού διαρκεί ώρες όση θα είναι η θερμοκρασία του ασθενούς μόλις σταματήσει η είδρασή του o.9 Μελετώντας την ανάτυξη ενός είδους βακτηριδίων αρατηρήθη ηκε ότι ώρες μετά την έναρξη της αρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν ενώ ώρες μετά την έναρξη της αρατήρησης ήταν. Αν ο αριθμός των βακτηριδίων είναι ct P(t) Ρ, o, όου Pt ο αριθμός των βακτηριδίων σε σ χρόνο t, P o ο αρχικός αριθμός και c σταθεράά τότε: Να βρείτε τη σταθερά c και τον αρχικό αριθμό των βακτηριδίων. ) Σε όσα λετά ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων είχε ε διλασιαστεί;

24 Λογαριθμική Συνάρτηση ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Να αοδείξετε τις αρακάτω ισότητες : lnlnln ln 5 5 ln ln ln ln 77 7 log log log log Να αοδείξετε τις αρακάτω ισότητες log log log,6 log ημ log 6 log ημ log ημ log ημ 6 Εξισώσεις 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: ln ln ln log log log 9 Να λύσετε τις εξισώσεις : log log 5 log 6 log 7 log (log log 5) log( ) Να υολογίσετε την αράσταση: log e e ln ln e ln(ln e) ln log (log ) Να λύσετε τις εξισώσεις ln.5 ln 5 ln 9 ln 5 9 Να αοδείξετε ότι (log 5) (log ) log 8 log,5 9 Αν α, β, γ διάφοροι μεταξύ τους θετικοί log α logβ log γ αριθμοί, και ισχύει: β γ να γα αβ αοδείξετε ότι α β γ. 5 Να αοδείξετε ότι α β γ log log... log Αν α, β, γ τότε 6 Αν, y> και β log γ γ log α α log β α β γ y 7y, να y αοδείξετε ότι: log log log y 7 Να αοδείξετε ότι α α α lnln ln ln ln Να λύσετε τις εξισώσεις: ln ln log log( Να λύσετε τις εξισώσεις: log log 8 log log log 5log 7 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: A) B) ln συν log 5 log 5 log 5log 6 log log log 8 log 6 log 8 9 Δ)

25 Β Λυκείου - Άλγεβρα Να λυθούν οι εξισώσεις: ogloglog( ) log( ) log( ) log Ανισώσεις. Να βρεθεί το ρόσημο των αριθμών: log, log 5, log 5, log Ν Αοδείξτε ότι: Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) 6 Να να λύσετε την εξίσωση log 5 Να υολογίσετε τον αριθμό 5 log log 5 και log 5 5 α υολογίσετε τον αριθμό και log log log καιι 5 log log 5 log 5 log log log. Να συγκριθούν οιι αριθμοί: log 6, log 5 5 ) log και log. ) ) 6 log, log5.. Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 5 log log 7 Δίν εται η συνάρτηση f με ) f ln ln Να βρείτε το εδίο ορισμού της, Να λύσετε την ε 8 Να συναρτήσεων f ln f f Δ) f ln 9 Να 6 8 log 7 68 Να βρείτε τα εδία ορισμού των ln ln e λύσετε τις εξισώσεις: λύσετε τις εξισώσεις: log A) 9 B) lnln εξίσωση f.. Να λυθούν οι ανισώσεις: ) ln(ln( )). ) Δ) ) [log( )] log( ) ) log[log(log )]. ln ln..5 Να αοδειχτεί ότι: log..6 Να λύσετε τις ανισώσεις: ln 5ln6 ln ln ln(.7 Να λυθούν οι ανισώσεις:.8 Έστω ) (log ) log Να αοδείξετεε ότι: α) ) ln. α,β, ώστε 5 (log β) β α. β) β log α. α 6-7

26 6 Λογαριθμική Συνάρτηση Συστήματα Α.Β. 9 Να λύσετε τα συστήματα : 57 Να αοδειχθεί ότι για κάθε α,β log y log y log logy B) y y 9. 8 ισχύει: log α(αβ) log β(αβ) 5 Να λύσετε το σύστημα y 5 log logy 58 Να αοδειχτεί ότι: log αβ θ logα θ logβθ, με α,β, 5 Να βρείτε δύο θετικούς αριθμούς ου οι φυσικοί τους λογάριθμοι έχουν άθροισμα και γινόμενο 8. 5 Να δείξετε ότι logy log y με,y log y log y Να λύσετε το σύστημα: log y Αν οι λύσεις του (ii) είναι ρίζες της εξίσωσης: το * θ + log log log θ = να βρείτε 5 Aν οι ρίζες τις εξίσωσης log log log θ αοτελούν λύση log z log y y z του συστήματος: να log yz αοδείξετε ότι θ y e ye 5 *Να λυθεί στο το (Σ): yy 55 Να λύσετε τo σύστημα:,y y y y με θ. 59 Αν logβ α και α,β,, να αοδείξετε ότι: log α β log αβ logα. log β 6 Αν α,β, να αοδειχτεί ότι: α β log log α. β 6 Αν και α,β και ισχύει: να δείξετε ότι log log log α β α αβ 6 Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής ροόδου με α,β,γ,θ, να αοδειχτεί ότι:. log θ log θ log θ β α γ 6 Αν log α,log α ψ,log α ω α α α με α, να αοδειχτεί ότι: ψω ψω. 56 Να λύσετε το σύστημα: A) ln y ln y e ln y log y log y 6 Αν α και α α α log α, y log α, z log α, να αοδειχτεί ότι: y z yz.

27 Β Λυκείου - Άλγεβρα Συνδιαστικές με τριγωνομετρία Συνδυαστικές με ολυώνυμα 7 65 Αν, ln ημ ln ln ημ 66 Να e 67 Να συν ln log(ημ ) log(συν ) log,, 68 Να ημ ημ 9 69 Να 6 log ημ 7 Να συν e 7 Να log συνα 7 Έστω ότι f() ημα Α. Αοδείξετε ότι η f γνησίως φθίνουσα στοο Β. Να αοδείξετε ότι f() εφ α. Γ. Λύστε την εξίσωση f() f( ) συνα 7 Έστ λύσετε τις εξισώσεις συν ln 7e λύσετε την εξίσωση λύσετε την εξίσωση λύσετε την εξίσωση e ln συν τις εξισώσεις f() και f(ημ) f(συν). λύσετε στο, την εξίσωση: λύσετε τις ανισώσεις: log log log τω η f() e να αοδείξετε ότι: ln συν στο, 6 στο, α, e e να σύσετε,.7 Να βρείτε το α, ώστε το ολυώνυμο P() το με θ,, κ, έχει αράγοντα το Να βρείτε τα κ και θ ) Να λύσετε την ανίσωση P ) Να βρείτε τα διαστήματα ου η γραφική αράσταση τη βρίσκεται κάτω αό τον άξονα. P θετικούς ακέραιους συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα. Τότε Να βρείτε τα α,β ) Για α e, β να βρείτε τα διαστήματα ου η γ.. της συνάρτησης κάτω αό τη γ.. γ της g συν α ημ 5συνσ 5 Α. Να ροσδιορίσετε τη συνάρτηση f α φθίνουσα. 9 να έχει αράγοντα.75 Δίνεται ότι το ολυώνυμο P lnκ e e ημθ ε,.76 Έστω ότι το ολυώνυμο.77 Δίνονται οι αραστάσεις β συν 5 ημ. α ης f e α και να δείξετεε ότι η f είναι γνησίως β α. Να Ν λυθεί η ανίσωση f f. β. Να Ν λυθεί η εξίσωση f συν θ ημθ f. Β. Αν α και β είναι τρίτου βαθμού και e e lnβ lnα lnα α έχει ς f e : P e e και βρίσκεται 6-7

28 8 Γενικές Ασκήσεις ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΘΕΤΙΚΗ & ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 78 Βρείτε τα εδία ορισμού των συναρτήσεων f() ln(e e ) g() ln(ln( ( e) e)). f() Να λύσετε τα συστήματα: log log ψ 8 Να λυθούν οι ανισώσεις: (log ) log 5 log( ) log.. log log ψ log 8 Δίνεται η f() log log( ). Να βρείτε: Το εδίο ορισμού της. Για οιές τιμές του η γραφική αράσταση της f τέμνει τον άξονα. Τις ακέραιες τιμές του για τις οοίες ισχύει f. 8 Έστω η συνάρτηση f lne Να βρείτε το εδίο ορισμού της. Να βρείτε τα διαστήματα του ου η γραφική αράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται άνω αό τον άξονα Να συγκρίνετε τους fln και f Δ) Να λύσετε την εξίσωση f f f 8 Να λύσετε τις ανισώσεις: Ε) ln ln ln log 6 8 ln e e e ln ln Δ) ln ln log (mathematica.gr) 8 Δίνεται η συνάρτηση f με τύο f() ln e e. Α Να βρείτε το εδίο ορισμού της συνάρτησης f Β Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αίρνει την μορφή : Γ f() ln e e Να βρείτε τα σημεία για τα οοία η γραφική αράσταση της f βρίσκεται άνω αό την γραφική αράσταση της g() 85 Έστω οι συναρτήσεις f() log(α ) log(6), g() log( ), Αν οι C, C τέμνονται στο σημείο M με f g τετμημένη Να αοδείξετε ότι α Να συγκρίνετε τους αριθμούς f()και g() Να λύσετε την εξίσωση g() ln f() (log e) Δ) Να αραστήσετε την f στο είεδο 86 Δίνεται η συνάρτηση f() = lnα ln f lnβ lnα, με α β η οοία είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. Να αοδείξετε ότι α β Β. Αν α και β τότε: α) να δείξετε ότι f β) να λύσετε την εξίσωση f( ) 9

29 Β Λυκείου - Άλγεβρα 87 Έστ Να βρείτε το εδίο ορισμού της Να λύσετε την ε Να λύσετε την ανίσωση f 88 Δίν Να βρεθεί το εδίο ορισμού της f B) Nα λυθεί η εξίσωση f() f 89 Δίδ ln f() 5 Α B 5 Να βρείτε το εδίο ορισμού της f. Να λύσετε την ε log(logg ) 9 Δίνεται η f() loge βρείτε το εδίο ορισμού της και να υολογίσετε το ώστε να ισχύει 9 Έστ Να βρείτε το εδίο ορισμού της. Να λύσετε την εξίσωση Aν ανίσωση f 9 Δίν είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση g() f() e τω η συνάρτηση f() ln e log εται η συνάρτηση f() log εται η συνάρτηση με τύο ln Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως μονότονη στο Να λυθεί η ανίσωση ln ln f(y ) f(y). τω η συνάρτηση g με g. εται η συνάρτηση f: η οοία α, εξίσωση f. εξίσωση f 6 ln( ) f(). ln( 5) f., να λύσετε την f(ln ) f() e ln.. Να f 5 Να βρείτε το εδίοο ορισμού της ) Να λύσετε την ανί Δ) ) Λύστεε τις εξισώσει Ε) ) Να λύσετε την ανίσωση f ημ. Να βρεθούν οι τιμές του ώστε να ορίζεται στο η συνάρτηση. ) Να βρεθούν οι τιμές του ώστε η συνάρτηση ναα είναι γνησίως φθίνουσα στο. ) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα, να βρεθεί η τιμή του τ ραγματικού ώστε να ισχύει f f f Δ) ) Αν, να λυθεί η ανίσωση f e e fe e με Να βρείτε τις τιμέςς τις αραμέτρου α για τις οοίες ορίζεται η συνάρτηση. ) Να εξετάσετε τη μονοτονία τηςς g για τις διάφορες τιμές του α ) Να βρείτε την τιμήή του α για την οοία η γραφική αράσταση της g διέρχεται αό το, Α Β Γ Δ.9 * Δίνεται η συνάρτηση.9 Δίνεται η συνάρτηση f.95 Έστω η συνάρτησηη.96 Έστω 5 ) Αοδείξτε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα η συνάρτηση f() ln Να ροσδιορίσετεε το εδίο ορισμού της f Να αοδείξετε ότιι f() ln(ln ). Να λυθεί η εξίσωση f() f e Να λυθεί η ανίσωση ίσωση ις f f κ Στ) Λύστεε την εξίσωση f f η g ln και f() f e 9 f ln, α ln. 6-7

30