απέναντι ) έτσι ώστε ο άξονα Ox να είναι η

Transcript

1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙ 5 ΚΕΦΑΛΑΙ 5 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ 6.. Τριγνµετρικί ριθµί. ρισµός τυς σε ρθγώνι τρίγν ρίζ ηµβ= Β= Β= σφβ= β ένντικάθετη υτείνυσ γ ρσκείµενη κάθετη υτείνυσ β ένντικάθετη γ ρσκείµενη κάθετη γ β ρσκείµενη κάθετη ένντικάθετη Γ ένντι Α β υτείνυσ γ ρσκείµενη Β β. ρισµός σε σύστηµ τετγµένν Σε έν σύστηµ O τθετώ µί γνί ( ) έτσι ώστε άξν O ν είνι η ρχική της γνί. Η άλλη λευρά της λέγετι τελική λευρά της. Αν Μ(,) σηµεί τυχί της τελικής λευράς της υ έχει ό τ όστση ρ. ρίζ ηµ= ρ = ρ = ( 0) σφ= ( 0) γ. Πρσντλισµός γνίς Στ κρτεσινό σύστηµ ρίζετι θετική κι ρνητική γνί νάλγ ν η τελική λευρά της κινήτι ντίθετ ό την κίνηση τν δεικτών ρλγίυ ή κτά τη φρά της κίνησης, ντίστιχ. Πράδειγµ: Ψ Μ(, ) ρ θετική ρνητική δ. Γνίες µεγλύτερες τν 60 Αν η τελική λευρά της γνίς συµληρώσει µί εριστρφή (60 ) κι εριστρφεί ειλέν κτά γνί τότε η γνί είνι µεγλύτερη ό 60, είνι φ=60 +. Γενικά γι κ εριστρφές (θετικές ή ρνητικές) σχηµτίζντι ι γνίες φ =κ.60 +, κ Ζ. Γι υτές ισχύει: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ:

2 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙ 5 ηµ(κ.60 +)=ηµ (κ.60 +)= (κ.60 +)= σφ(κ.60 +)=σφ ε. Τριγνµετρικό κύκλς Αυτός έχει: - Κέντρ την ρχή τν ξόνν O. - Ακτίν ίση µε την µνάδ (ρ=). - Φρά θετική την ντίθετη της κίνησης τν δεικτών ρλγιύ. - Πάν σ υτόν τθετύντι γνίες ρς υλγισµό τν τριγνµετρικών τν ριθµών. Ισχύυν: - ηµ κι - Η Ε Σ άξνς τµένν άξνς ηµιτόνν άξνς ηµιτόνν άξνς τµένν στ. Τ κτίνι µζί µε τη µίρ είνι µνάδ µέτρησης γνιών Συµβλισµός: rad Σχέση rad κι (µίρς): Έστ γνί µ κι rad. Ισχύει η σχέση = µ 80 ζ. Πίνκς γνστών τριγνµετρικών ριθµών Γνί Τριγνµετρικί ριθµί σε µίρες σε rad ηµ σφ Τριγνµετρικές τυτότητες Βσικές ηµ + = ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ:

3 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙ 5 ηµ = σφ= ηµ.σφ= = ηµ = Ανγγή στ τετρτηµόρι. Γνίες ντίθετες Γι τις ντίθετες γνίες κι - ισχύυν: ηµ(-)=-ηµ (-)= (-)=- σφ(-)=-σφ β. Γνίες µε άθρισµ rad Είνι ι γνίες κι - κι ισχύει: ηµ(-)=ηµ (-)=- (-)=- σφ(-)=-σφ γ. Γνίες υ διφέρυν κτά rad Είνι ι γνίες κι + κι ισχύει: ηµ(+)=-ηµ (+)=- (+)= σφ(+)=σφ δ. Γνίες µε άθρισµ rad Είνι ι γνίες κι - κι ισχύει: ηµ( -)= ( -)=σφ ( -)=ηµ σφ( -)= Σηµείση: Γι ι εύκλη µνηµόνευση τν σχέσεν υτών ισχύυν ι εξής κνόνες:. Ότν έχ τριγνµετρικός ριθµός λλάζει κι τ ηµ γίνετι, η γίνετι σφ κι ντίστρφ. Ότν έχ τριγνµετρικός ριθµός δεν λλάζει. β. Γι ν βρ τ ρόσηµ, εξετάζ σε ι τετρτηµόρι τελειώνει η γνί υ θέλ ν νάγ στ τετρτηµόρι. Πρδείγµτ: - Ν υλγιστύν τ ηµ50, 5. Έχ: ηµ50 -ηµ(80-0 )=ηµ0 = 5 =(80 +5 )=5 = ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ:

4 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙ ηµ + - Ν υλγιστεί η τιµή της ράστσης: Α= 7 5 σφ + ηµ 9 Έχ: ηµ =ηµ 8 + =ηµ + =ηµ = 9 = =σφ =- 5 =ηµ ηµ Άρ: Α= 9 = =ηµ =ηµ + + = + ( ) = = + = =σφ + =ηµ + Α=- =-ηµ =- + 7 =σφ ι τριγνµετρικές ρτήσεις ρισµός: Η άρτηση f µε εδί ρισµύ τ Α ΙR λέγετι ΠΕΡΙ ΙΚΗ, ν υάρχει ργµτικός ριθµός Τ>0, τέτις, ώστε γι κάθε A, ν ισχύει:. +T, -T A β. f(+t)=f(-t)=f() O T λέγετι ΠΕΡΙ Σ της f Σηµείση: έλεγχς ς ρς την εριδικότητ µίς άρτησης θ γίνετι εδώ εµειρικά ό τη γρφική της ράστση..χ. f(-t)=f()=f(+t) f -T +T T. Η άρτηση f()=ηµ / Α=IR - Είνι εριδική µε ερίδ Τ= γιτί ισχύει ηµ(-)=ηµ(+)=ηµ. - Είνι εριττή γιτί: ηµ(-)=ηµ. - Πίνκς µετβλών: ηµ - ma min ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ:

5 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙ 5 - Γρφική ράστση β. Η άρτηση f()= / Α=IR - Είνι εριδική µε ερίδ Τ= γιτί (-)=(+)=. - Είνι άρτι γιτί: (-)=. - Πίνκς µετβλών: T= - ma min ma - Γρφική ράστση T= ηµ γ. Η άρτηση f()==, - Είνι εριδική µε ερίδ Τ= γιτί (+)=(-)=-. - Είνι εριττή γιτί: (-)=-. - Η γρφική της ράστση έχει σύµττες ευθείες = κι =- κι ερνάει ό την ρχή τν ξόνν (0,0) γιτί 0=0. - Γρφική ράστση ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ:

6 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙ Βσικές τριγνµετρικές εξισώσεις. Η εξίσση ηµ=, - Ζητάµε δηλδή τις τετµηµένες τν σηµείν τµής της κµύλης =ηµ κι της ευθείς =. Υάρχυν άειρ τέτι σηµεί γιτί η =ηµ είνι εριδική µε ερίδ Τ=. Έτσι: Βρίσκ µόνν υτά υ υάρχυν σε διάστηµ λάτυς. Με τη βήθει τυ τριγνµετρικύ κύκλυ βρίσκ ότι ι λύσεις της ηµ= είνι στ [-,] ι γνίες θ κι -θ γιτί -ηµ(θ)=ηµ(-θ)=. Έτσι έχ: ηµ= ηµ=ηµθ. όε ι λύσεις της εξίσσης στ IR θ είνι: =κ+θ ή =κ+(-θ), κ Ζ β. Η εξίσση =, - Σκετόµστε ός ρηγυµένς, ότε στ διάστηµ [,-] (λάτυς Τ-) υάρχει σδήτε γνί θ ώστε ν είνι θ=(-θ)=. Στ IR ι λύσεις της εξίσσης δίνντι ό τυς τύυς: =κ+θ ή =κ-θ, κ Ζ γ. Η εξίσση =, IR Η = είνι εριδική µε ερίδ Τ= ότε στ διάστηµ θ ώστε θ=. Άρ θ έχ: =θ κι ι λύσεις της στ IR δίνετι ό τν τύ: =κ+θ, κ Ζ δ. Η εξίσση σφ=, IR τύς τν λύσεν υτής στ IR είνι άλι: =κ+θ, κ Ζ Πρδείγµτ τριγνµετρικών εξισώσεν:. Ν λυθεί η εξίσση: ηµ + =ηµ 6 Λύση Έχ ηµ + =ηµ =κ+-(+ ) () κ Ζ 6 7 () =-κ-, κ Ζ κ () = +, κ Ζ =κ++ () κι 6, υάρχει. + 5 =ηµ 5- =κ Λύση () κ Ζ 5- =κ- () κ Ζ 5 = 6 5 = ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ:

7 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙ 5 () = κ κ () =, κ Ζ, κ Ζ. Ν λυθεί στ [0,] η εξίσση (- )=. 6 Λύση κ (- )= (- )= - =κ+ = +, κ Ζ Ν λυθεί η εξίσση σφ =σφ Λύση σφ = 5 =σφ + 8 κ +, κ Ζ =κ =- +κ+ 8 Ασκήσεις στην τριγνµετρί. Ν υλγιστύν ι τριγνµετρικί ριθµί: 7. ηµ 6-7 β. 5 γ. 7 δ. σφ. Ν βρεθύν τ εδί ρισµύ τν ρτήσεν:. f()=5-ηµ β. g()=5+ γ. h()=ηµσφ. Βρείτε τη µέγιστη κι ελάχιστη τιµή τν ρστάσεν: Α=5ηµ+7 Β=+ Γ=ηµ+5 =6+. Χρίς ν υλγιστύν ι τριγνµετρικί ριθµί τν ρκάτ γνιών, ν βρεθύν τ ρόσηµά τυς: =69, φ =75, =5, β =7, γ =9 5. ίνετι ρθγώνι τρέζι ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) υ έχει Α = =90, ΑΒ=9cm, Γ =6,7cm κι φέρν τ ύψς τυ ΓΚ. Αν ΚΓΒ=, ν βρεθεί η λευρά ΒΓ κι τ εµβδόν τυ τρεζίυ. 6. ι διγώνιες ενός ρόµβυ είνι 6cm κι 6 cm. Ν βρεθύν ι γνίες τυ κι η ερίµετρός τυ. 7. Ν βρεθύν ι τριγνµετρικί ριθµί της γνίς. Μ=(-,-) β. Μ=(,-8) OM =, όυ: 8. Ν υλγιστύν ι τριγνµετρικί ριθµί της γνίς =0. 9. Ν βρεθεί η τιµή της ράστσης: Α= 0 + ηµ ηµ + 0. Αν είνι σφ.>0 κι ηµ<0, ν βρεθεί σε ι τετρτηµόρι βρίσκετι η τελική λευρά της γνίς.. Ν βρεθεί τ ρόσηµ της διφράς Α=ηµ-, ν =68.. είξτε ότι: 660 ηµ(-690 )+ηµ = ηµ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ:

8 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙ 5. είξτε ότι δεν υάρχει ΙR, τέτις ώστε ν ισχύει ηµ=. Εξετάστε ν υάρχει ΙR, έτσι ώστε ν είνι:. Μ=(-,-) β. Μ=(,-8) 5. Αν << δείξτε: + ηµ+ηµ< Αν << κι ηµ=- ν βρεθύν ι άλλι τριγνµετρικί ριθµί. 7. Αν << κι =, ν βρεθύν ι άλλι τριγνµετρικί ριθµί. 8. Αν 0<< κι =, ν υλγιστεί η τιµή της ράστσης Α=7(ηµ - )+. << κι =6, ν βρεθύν ι άλλι τριγνµετρικί ριθµί της 9. Αν γνίς. 0. Αν 0<,< κι ηµ=, = + κ κ + κ, δείξτε ότι: =. Ν δειχθύν ι τριγνµετρικές τυτότητες: ηµ. -ηµ =.ηµ. + = σφ -ηµ +. =.ηµ. = ηµ - ηµ (ηµ+) +(ηµ-) ηµ+ = 6. ηµ(+)+(+σφ)= ηµ 7. (ηµ+6) +(ηµ-) =5 8. -σφ σφ = ηµ ηµ ηµ 9. ηµ + σφ+ηµ=+σφ 0. (-ηµ) +(- ) =.+σφ= ηµ ηµ. = σφ +. ηµ (+σφ )+ (+ )=.Ν δειχθεί ότι: (κηµ+λ) +(ληµ-κ) =κ +λ 5.Αν = ηµ ηµ κι β=, δείξτε ότι ισχύει η σχέση: 6.Αν 0<<, ηµ=,,β IR + *, ν δειχθεί ότ: = (+ β) + β+ β 7. είξτε ότι: = ( ηµ ) ( ) ( + ) β + (β + ) + β β+ β 8. είξτε ότι ι ρκάτ ρστάσεις είνι νεξάρτητες τυ, δηλδή στθερές: - (ηµ +. Α= A = 6 - (ηµ + 6 ) ) β. Β=ηµ + -(-ηµ ) (B=-). =. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ:

9 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙ 5 γ. f()=(ηµ +ηµ + ) -(ηµ ) (f()=) 9. Ν βρεθεί τ λ IR ώστε η άρτηση: f()=ηµ λ(ηµ + ) ν είνι στθερή. 0. Αν -5β=8, βρείτε τ,β IR ώστε ν είνι στθερή η άρτηση µε: f()=(ηµ )-6(ηµ + )+ηµ +.. Ν δειχθεί ότι γι κ+ ισχύει: 6. Γι κάθε,β IR, δείξτε ότι ισχύει η σχέση: (+ηµ)(+ηµβ)<-( + β).. είξτε ότι Α= µε Α=ηµ ηµ Ν βρεθύν ι τριγνµετρικί ριθµί τν γνιών 50, 5, είξτε ότι: Α=(50 +)+σφ(60 +)+σφ(70 +)+σφ(90 -)=0. 6. Βρείτε την τιµή της ράστσης: Α=ηµ 68 +ηµ -ηµ o (A=-). 7. Αν A=ηµ0 +ηµ +ηµ + +ηµ58 +ηµ59 δείξτε ότι Α=0. 8. Όµι ν: Β= Β=0. (70 9. είξτε ότι: + = ηµ+. 0. Αν Α= σφ(80 σφ(70 -(90 ) + ηµ(80 + (70 ) -(90. Ν λιηθεί η ράστση:. Α= β. Β= γ. Γ= β. = ηµ(-0 σφ560 )ηµ50 ηµ(5+ )(9+ ) ( -)(6+ )ηµ ηµ(90 (60 ηµ(60 (70 ηµ(900 (80 ) ηµ0, Β= (-60 )(00 σφ(-00 ) ηµ(50 ηµ(50 )(70 ) )σφ(70 )( - 90 ) ηµ(90 (70 )σφ(80 ηµ(80 ) (-) ) δείξτε ότι Α=Β. Ν λυθύν ι τριγνµετρικές εξισώσεις:. =-. -=0. ηµ =. ηµ + = 5. + =ηµ σφ = 7. = [0,] 8. 6 = 5 + [0,] 9. +( -)- =0 0.ηµ -ηµ +ηµ=0.σφ -( +)σφ+ =0. - +=0.ηµ 5-ηµ (- )=0. - (+ )=0 5.ηµ + =(+ )ηµ 6. σφ +σφ+ =0 7.ηµ (+ 6 )+ = 8. (+ ) = + ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ:

10 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙ 5 9.ηµ(5 -)=-(5 -) [0,60 ] σφ =0 + 8 Τριγνµετρικές ρτήσεις. Ν βρεθεί η ερίδς της άρτησης:. f()= β. f()=ηµ γ. f()=ηµ7 5 5 ηµ+. είξτε ότι η άρτηση f()= έχει ερίδ. + σφ. είξτε ότι η άρτηση f()=+σφ έχει ερίδ στ εδί ρισµύ της.. είξτε ότι ι ρτήσεις δεν είνι εριδικές:. f()=ηµ( -+5) β. f()=5+ηµ Ν γίνει µελέτη κι γρφική ράστση τν ρκάτ ρτήσεν µε τύυς:. f()=-ηµ. f()=-ηµ+. f()=+. f()=- (-,) 5. f()= ηµ στ διάστηµ [0,] 6. f()=ηµ. ************ ******* *** * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΣ. ΙΩΛΚΥ 05- ΒΛΣ. ΤΗΛ: