POTENCIAL VECTORIAL. DESENROLO MULTIPOLAR DO CAMPO MAGNÉTICO

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "POTENCIAL VECTORIAL. DESENROLO MULTIPOLAR DO CAMPO MAGNÉTICO"

Βερενίκη Ασπάσιος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Apntes de Eectoagnetiso. Capíto 8 POTENCAL ECTOAL. EENOLO MULTPOLA O CAMPO MAGNÉTCO egún o teoea de Hehotz, ψ A, sendo ψ A isto qe e, qeda A con A. O potencia vectoia tén oita ipotancia no desenoo teóico do eectoagnetiso. Po conta, as súas posibiidades na esoción de pobeas pácticos son bastante iitadas, en copaación coas do potencia escaa en eectostática. POTENCAL ECTOAL ea a distibción de coente, contida no voen. Cacaos o otaciona Poo tanto (tendo en conta qe na intega soo depende de pntos fonte, ). e faceos obteos (8.) A A (8.) O potencia vectoia é n instento ateático qe peite caca o capo, qe é o capo agnético con sentido físico. A condición (8.) define o potencia vectoia. O dado en (8.) é soo n dos posibes potenciaes vectoiaes. Pa distibciós de coentes speficiaes e ineaes teos, nataente A A C K da ds (coente speficia) (coente inea) (8.) Popiedades do potencia vectoia O potencia vectoia (8.) cacado tén divexencia ceo:

2 Apntes de Eectoagnetiso. Capíto 8 A ( ) (ota vez saos qe é soo fnción do pnto ). Coo é ceo fóa do voen onde existe a coente, podeos extende a intega a todo espacio sin cabia o estado. Adeáis a identidade vectoia ( ) ( ) sabendo qe o otaciona dn gadente é sepe ceo, peite escibi A da A gandes distancias das fontes cai áis ápidaente ca /, o qe significa qe o integando devaa áis ápidaente ca / 4. Logo no íite a intega é ceo. e onde A A ecación difeencia qe debe cpi A en agnetostática dedúcese do teoea de Apèe: escopoñendo o dobe otaciona A. A A A (8.4) e aceptando a condición A, chaada condición de Coob, a ecación é foaente iga a nha ecación de Poisson: A. (8.5) peo esto non significa qe A sea tan fáci de caca coa o potencia escaa φ. O apaciano vectoia defínese po A ( A), (8.6) o qe significa qe as copoñentes de A nnha diección fixa cpen nha ecación de Poisson. Esto peitiía caca A en coodenadas ectangaes: A x x A y y A z z peo en coodenadas cviíneas é necesaio acdi ó desenoo (8.4). Peo a condición A non é xenea. En eaidade é abitaia, e a soción de (8.5) é sipeente n dos posibe potenciaes vectoiaes. A única condición qe debe necesaiaente cpi A é qe A. e feito se, dado n capo escaa χ, faceos A A χ, (8.7) po se no o otaciona dn gadente, cúpese taén qe A, ogo A taén é n potencia vectoia váido. esta aneia en cada caso podeeos escoe dos posibes potenciaes vectoiaes o qe io se adapte ó pobea.

3 Apntes de Eectoagnetiso. Capíto 8 Exepo ea n fío ecto infinito ó ongo do eixe z, poo qe cica nha coente. e toaos o potencia vectoia (8.), A teá diección z po se esta a diección da coente, Po sietía, dependeá soo de ζ. Logo Coo (8.) debe cpise sepe: A z A( ζ ) da ϕ ϕ, ζ d ζ de onde, intodcindo a constante de integación n ζ, o potencia vectoia é A z ζ n ζ CONCÓ E FONTEA O POTENCAL ECTOAL poñaos nha speficie de discontinidade, na qe se antén acotado. Poos estados xeneaes de teoía de capos, se A, a copoñente de A tanxente á speficie é contina: n ( A A ) (8.8) e aditios a condición de Coob A, taén seá contina a copoñente noa, óxicaente, peo esto non é n estado xenea. EENOLO MULTPOLA O POTENCAL ECTOAL Un tipoo agnético é nha soción do pobea do capo po sepaación de vaiabes en coodenadas esféicas, con índices e deteinados, qe coesponde a nha distibción ideaizada de coente é tén asociado n capo tipoa deteinado. seginte γ Fig. 8. O capo agnético dn sistea de coentes de extensión iitada pódese descopoñe nnha seie de téinos tipoaes, é dici, pódese expesa coo nha cobinación inea de capos tipoaes, con coeficientes tipoaes dependentes da distibción de coente peo independentes do pnto capo. A identidade ateática y xy y P ( x), y <, onde P son os poinoios de Legende, peite face o desenoo cosγ P ( cosγ ), < A condición < significa qe a seie convexe pa todo no exteio dnha esfea qe conteña o voen das fontes (fig. ). Logo o potencia vectoia (8.) póde se expesado coo Eeentos de teoía de capos. Tea, ec..4.

4 Apntes de Eectoagnetiso. Capíto 8 cos 4 P γ A (8.9) Os pieios téinos da seie son, de foa expícita: [ ] L 4 A (8.) Pa cada vao de a intega póde se edcida á foa cos 4 P Q γ (8.) sendo Q n ceto opeado tensoia qe depende únicaente da distibción de coente. Po este pocedeente o potencia vectoia expésase coo nha seie A Q (8.) chaada desenoo tipoa do potencia vectoia. Os téinos da seie cháanse téinos tipoaes. ececen coa distancia tanto áis ápidaente canto aio é, poo qe a distancia sficiente pedoinaá o pieio non no. exaos qe foa teñen os dos pieios. Téino onopoa O pieio téino de (8.), coespondente a é o téino onopoa A M. Pa caqea vecto fixo ( ): [ ] { } d v d a Túvose en conta qe ( ), e pa coentes estacionaias, e qe. Logo, o téino onopoa é no: A M (8.) TÉMNO POLA. MOMENTO MAGNÉTCO Escibaos a segnda intega de (8.) coo v d (8.4) eostaeos qe a útia intega de (8.4) é ceo., ( v d ) Usando qe ( ) e, o paéntesis qeda coo n gadente. A continación apicaos a identidade vectoia (ψ ) ψ ψ e obteos 4

5 Apntes de Eectoagnetiso. Capíto 8 ( ) [ ( ) ] ( ) Ota vez teos qe. A intega da divexencia eqivae a nha intega de speficie, qe é ceo po se. Poo tanto, po (8.4), d v ( ) ( ) ntodcindo o oento dipoa agnético : o téino dipoa esta expesado coo (8.5) A (8.6) 4 En coodenadas poaes, poñendo na diección z: A senθ ϕ (8.7) Moento dipoa dn cicito de coente estacionaia poñanos n cicito ceado C poo qe cica nha coente. egún (8.5): Chaando ó vecto áea da cva C Fig. 8. ds (8.8) C C ds o oento dipoa é o podcto da coente poo vecto áea e, no caso dn cicito pano, o podcto da coente poa áea odinaia, coa diección da noa á speficie: n Exepo O oento agnético dnha espia cica pana de adio a sitada no pano xy, coa coente cicando no sentido positivo, é z a. e o dn soenoide de sección cica de adio a con N espias, co eixe na diección z, z Na 5

6 Apntes de Eectoagnetiso. Capíto 8 Capo agnético do dipoo pnta Fig. 8. O potencia (8.6) é váido no exteio dnha esfea qe conteña as coentes. e teos n dipoo pnta no oixen de coodenadas, podeos obte o capo agnético en todo pnto excepto no oixen. Opeando coa pate vaiabe de (8.6), sabendo qe e (F ) F: [ ] 4 obtense o capo agnético, 4 > (8.9) coa esa dependencia espacia ca o capo dipoa eéctico. Evidenteente, se o dipoo está nn pnto, facendo :, 4 > (8.) En coodenadas esféicas, consideando n dipoo no oixen de coodenadas con na diección z (fig. ), θ θ sen θ cos 4 (8.) Obsévese qe, savo constantes, os capo dipoaes eéctico e agnético son idénticos. Foza sobe n dipoo agnético nn capo exteno A foza sobe nha distibción caqea de coentes pódese obte po edio do tenso de Maxwe (.). Consideeos nha speficie esféica de adio odeando o dipoo, qe sitaeos no oixen. O capo agnético nesta speficie é a sa do capo exteno (qe non seá necesaiaente nifoe) e o do dipoo (8.9). esenoando o tenso: T M Os téinos da segnda ínea coesponden ó capo exteno sin dipoo e ó dipoo sin capo exteno. A intega destes téinos sobe é ceo, xa qe a foza agnética tota sobe nha distibción de coentes aisada é ceo. Poo tanto a foza sobe o dipoo seá da n F e coo a noa á speficie é o vecto nitaio adia, 6

7 Apntes de Eectoagnetiso. Capíto 8 ( ) da [ ( ) ( ) ( ) ] da F ( ) da ntegeos po sepaado cada téino: da n da [ ( ) ] ( ) ( é constante). poqe ; da da, Po se esféica a speficie e desenoando o gadente: da d ( ) [ ( ) ] a Xntando todo: F ( ) ( ) 4 onde epesenta o vao edio no voen. e o dipoo é pnta podeos face, co qe, spoñendo qe as deivadas de son continas na posición do dipoo, o sea qe a coente qe podce non é singa neste pnto, chegaos a F ( ) Noaente as coentes seán extenas ó dipoo. Neste caso (8.) F ( ) (8.) Moento das fozas agnéticas sobe n dipoo agnético e iga aneia cacaeos o oento qe actúa sobe o dipoo. Xa qe o tenso de Maxwe dá a foza po nidade de speficie, o oento desta foza debe se τ ( ) n da poñeos qe é nha esfea con cento no dipoo. ntodcindo as expesiós dos capos: 7

8 Apntes de Eectoagnetiso. Capíto 8 [ ] da [ ( ) ] da [ ( ) ( ) ] da [ ] n n da τ A útia intega é dás veces o vao edio de sobe a speficie,. A ota cacúase sando a fóa de integación po pates: ( ) n da [( ) ( )( ) ] da τ C f F f Fig. 8.4: Fozas sobe n dipoo xa qe e ( ) ( ) [( ) ] [ ( )] ( ) ( ) O oto téino é ( ) { ( ) [( ) ] } [ ( ) ] [ ( ) ] n da (, evidenteente). Logo τ ( ) Po se o dipoo pnta, podeos face tende a ceo o adio da esfea. Con esto o pieio téino, po i tipicado po, dá vao edio ceo. O esto é. Logo τ (8.4) Este oento ténde a oienta o dipoo paaeaente ó capo. Na fig. 4 epeséntanse as fozas f po nidade de onxitde nn cicito, o oento τ desas fozas, a estante F e o sentido en qe ténde a xia o cicito. 8

Σχετικά έγγραφα

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto