FORMULACIÓN DO CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

Transcript

1 Apuntes de Electrodinámica. Tema : conceptos previos. FORMULACIÓN DO CAMPO ELECTROMAGNÉTICO ECUACIÓS DE MAXWELL NO ESPACIO LIBRE A deinición de partida dos campos eléctrico E e magnético B básase na orza de Lorentz sobre unha carga puntual q movéndose con velocidade u: F = q(e + u B) (.) A non ser no caso estático, E e B non existen independentemente, senon solo combinados ormando o campo electromagnético. As relaciós entre E e B, e deles coas ontes ρ e J, están dadas polas ecuaciós de Maxwell ρ B E = E = ε E B = B = µ J + µ ε As constantes ε e µ, características do espacio libre, chámanse respectivamente permitividade eléctrica e permeabilidade magnética do espacio libre. (.) FONTES DO CAMPO ELECTROMAGNÉTICO Según o teorema de Helmholtz, un campo vectorial F deinido nun volumen V pódese expresar como sendo F = ψ + A, (.3) ψ F = χ π dv 4 r r + e V A = 4π V F dv r r e χ unha certa solución da ecuación de Laplace, determinada salvo unha constante pola compoñente normal do campo na supericie: χ = ( ψ + A) = n F ˆ S S F chámase onte escalar de F, e F, onte vectorial de F.. (.4 a) (.4 b) (.4 c) Docencia / Asignatura de Electromagnetismo / Tcampos3, en O teorema de Helmotz describe a dependencia espacial dun campo vectorial tridimensional deinido nun volumen tamén tridimensional. V e V representan o mesmo volumen ísico, pero descrito por conxuntos de coordenadas distintos (vector r e en V e vector r en V ). As magnitudes sin primas supóñense unciós de r. As magnitudes con primas serán unciós de r. Cando non haxa ambigüedade, poderanse omitir as primas. Un operador dierencial representa derivadas con respecto ás compoñentes de r ou de r, según non leve ou leve prima, respectivamente.

2 Apuntes de Electrodinámica. Tema : conceptos previos. Se F e F decaen a grandes distancias máis rápidamente ca /r, V póde ser todo o espacio. Neste caso χ é unha constante calquera, e o seu gradente é cero. Deínense as compoñentes lonxitudinal ou irrotacional, F l e transversal ou solenoidal, F t dun campo F polas relaciós seguintes Fl = F Fl = Ft = (.5) Ft = F A relación (.3) é unha descomposición F = F l + F t do campo. Está claro que F l = ψ F t = A (.6) As ontes escalares producen campos lonxitudinales, e as ontes vectoriales producen campos transversales. Exemplo O campo electrostático é lonxitudinal. O campo magnético B é sempre transversal, independentemente de que sea estático ou non. No espacio libre en ausencia de ontes tamén E é transversal (ρ = E = ). Debido a esto é consistente dicir que as ondas electromagnéticas, ormadas por dous campos transversales, son transversales 3. Desde un punto de vista clásico, as ontes do campo electromagnético ρ e J teñen naturaleza continua, dando lugar a campos continuos e derivables. Pero en certos problemas é ventaxoso usar modelos matemáticos discontinuos que teñen un tratamento matemático especíico 4. Neste caso aparecen singularidades nas distribuciós de carga e corrente (distribuciós supericiales, lineales e puntuales) En todo caso, a ormulación matemática é o límite da correspondente á distribución continua, polo que os desenrolos matemáticos nesta asignatura suporán normalmente distribuciós continuas. Según (.) ρ e J son as ontes do campo electromagnético 5. A onte escalar é a densidade de carga. Deínese como o campo escalar ρ tal que a carga Q contida nun volumen V sea Q = ρ dv, V V (.7) A onte vectorial é a densidade de corrente J: J = ρ i v i (.8) i sendo i un índice que denota os tipos de portadores móviles de carga e v i o campo de velocidades promediadas da distribución ρ i. As ontes escalar e vectorial están relacionadas pola ecuación de continuidade: ρ J + = (.9) 3 A pesar de que poidan ter unha compoñente na dirección de propagación. Estudiaranse algunhos destes casos. 4 Docencia/Asignatura de Electromagnetismo, Cap. e Cap Independentemente de que o campo poida existir tamén con ρ = e J =. As constantes multiplicativas ε e µ son irrelevantes na deinición das ontes. De eito a súa introducción depende do sistema de unidades usado.

3 Apuntes de Electrodinámica. Tema : conceptos previos. que expresa matemáticamente o eito experimental da conservación da carga 6. Débese notar que a ecuación de continuidade non é independente das ecuaciós de Maxwell, senon que se póde deducir delas: E = = µ J + ε = µ J + ε J B ρ ( E) = µ + ECUACIÓS DE MAXWELL EN MEDIOS CONTINUOS Medio continuo é un medio material considerado desde un punto de vista macroscópico, no que se deinen unhos campos macroscópicos como algún tipo de promedio dos campos e magnitudes microscópicos sobre volúmenes suicientemente grandes pra que se poidan despreciar as variaciós espaciales a nivel atómico e as luctuaciós temporales térmicas. A contribución do medio ós campos pódese expresar en unción da polarización P e a imanación M, deinidas polas relaciós p = m = V P dv M dv V, V, (.6) onde p é o momento dipolar eléctrico e m o momento dipolar magnético do volumen V. Os campos (macroscópicos) E e B pódense deinir no medio material de orma compatible cos correspondentes óra del introducindo as ontes ligadas de polarización ρ p e J p e de imanación J m ρ p = J m P ; = J M p P =, (.6) Desta maneira, as ecuaciós de Maxwell (.) conservan a validez prós campos macroscópicos E e B en medios materiales, supoñendo que en ρ e J se inclúen as cargas e correntes ligadas: ρ = ρ + ρ p J = J + J p + J m. (.9) As densidades de carga ρ e de corrente J que non son ligadas chámanse libres. Deínindo os campos desplazamento eléctrico D e excitación ou intensidade magnética H polas relaciós D = ε E + P H = B M µ obtéñense as ecuaciós de Maxwell macroscópicas (.6) 6 A única maneira de que cambie a carga contida nun volumen é que entre ou saila pola supericie que o limita. 3

4 Apuntes de Electrodinámica. Tema : conceptos previos. D = ρ B = B E = D H = J + (.7) Pra determinar un campo vectorial necesítase conocer del a diverxencia e o rotacional. Consecuentemente os catro campos E, D, B e H (cada un tén tres compoñentes) non se póden determinar en unción das ontes libres con solo as catro relaciós (.7). Logo é necesario completalas con outras dúas. Son as ecuaciós constitutivas, características do medio, normalmente da orma D(E) e B(H) ou P(E) e M(H), e que dependen das propiedades do medio concreto. Fontes aplicadas e inducidas. Son aplicadas as cargas e correntes que se introducen nun sistema electromagnético e sobre as que se tén control (por exemplo, a carga que se aplica a un condensador, a corrente que se ai circular por un conductor), e inducidas se aparecen como consecuencia da reacción do sistema ás ontes aplicadas (como as cargas supericiales nos conductores sometidos a campos electrostáticos, ou as correntes inducidas en conductores por campos magnéticos variables). Fontes reales e virtuales As cargas e correntes chámanse reales, cando existen ísicamente, e virtuales ou equivalentes, cando se trata de artiicios matemáticos, como as cargas imaxen, pra resolver un determinado problema. CONDICIÓS DE FRONTEIRA S r F Fig.. ( E E ) ( D D ) ( B B ) F K σ = ε = σ = Supoñamos un campo F deinido en dous medios V e V separados por unha supericie S, admitindo que F poida ser discontinuo en S. Como consecuencia desta discontinuidade aparecen singularidades supericiales nas distibuciós de carga e corrente 7, que póden considerarse como o límite de distribuciós volúmicas concentradas na supericie. Nas ecuaciós que siguen suponse que F S e F S son os valores límite dun campo F(r) cando r tende a un certo punto r da supericie S, desde os medios respectivos, e a normal á supericie nese mesmo punto r, dirixida cara ó medio (ig. ). Das ecuaciós de Maxwell obtemos as seguintes condiciós de ronteira: ( E E ) = ( B B) = µ ( H H) = K K (.8) 7 Docencia / Asignatura de Electromagnetismo / Tcampos3. 4

5 Apuntes de Electrodinámica. Tema : conceptos previos. onde as densidades supericiales de carga σ representa as singularidades supericiales de ρ, e as densidadedes supericiaes de corrente K representan as singularidades supericiales de J. Da ecuación de continuidade dedúcese unha condición de ronteira prá densidade de corrente. Se non hai correntes supericiales, ténse n ˆ ( J J ) σ = S (.9) As ontes supericiales tamén póden ser libre ou ligadas, e cumplen as relaciós 8 σ = σ + σ p K = K + K m. (.9) ECUACIÓS DE MAXWELL EN MEDIOS LINEALES Un medio é lineal desde os puntos de vista eléctrico, magnético e de conducción de corrente se cumplen as ecuaciós constitutivas lineales seguintes: 9 D = ε E B = µ H J = σ E (.) sendo ε e µ, e σ no caso máis xeneral, magnitudes de tipo tensorial que dependen do punto do espacio. Levando esto ás ecuación de Maxwell, obtemos un sistema de ecuaciós, na orma igual ca o inicial, pero onde xa se poden determinar os campos en unción das ontes. Nun medio homoxéneo, lineal e isótropo: ρ E = ε B = B E = E B = µ σ E + ε (.) Campos con variación temporal sinusoidal A evolución dos sistemas lineales está descrita por ecuaciós dierenciales lineales. Xa que a derivada dunha unción coseno é unha unción seno e viceversa, resulta útil combinar as dúas nunha unción exponencial complexa, usando a relación de Euler: i( ω t+ φ ) ( ω t + φ ) + isen( ω t + φ) = e cos (.) Supoñamos que nun medio lineal un campo escalar ísico ψ ís tén unha variación sinusoidal co tempo, ou sea, ψ ís (r, t) = ψ (r) cos [ωt+φ (r)], con ω ixa (réximen estacionario sinusoidal) e ψ R. En notación complexa este campo represéntase por ψ (r), onde o campo ψ = ψ e iφ 8 Supoñendo a polarización inita, non aparece ningunha corrente supericial de polarización. 9 Aquí σ representa a conductividade. Excluiremos a posibilidade de que ε teña dependencia temporal. 5

6 Apuntes de Electrodinámica. Tema : conceptos previos. está deinido en R 3 e toma valores en C (o módulo ψ e o argumento φ dependen de r), pero non depende do tempo. Análogamente podemos acer cun campo vectorial F ís (r, t) = F (r) cos ωt F (r) sen ωt, que se representaría polo campo, deinido en R 3 con valores en C 3 F = F + i F. Nesta notación opérase según as seguintes reglas:. As parte real e imaxinaria de ψ (ou F), e calquera combinación lineal delas,determinan campos ísicos admisibles. Ordinariamente tómase como solución ísica: ψ ís = Re [ψ e iωt ] (.3 a). No caso de campos vectoriales, as compoñentes nunha dirección arbitraria son campos escalares, e pódese aplicar o mesmo ormalismo, téndose F ís = Re [F e iωt ] (.3 b) 3. Os operadores vectoriales espaciales actúan independentemente sobre as partes real e imaxinaria de ψ ou F. 4. A derivación con respecto ó tempo actúa multiplicando o campo complexo por iω, xa que iωt iω t iω t iω t ( ψ e ) = Re( iωψ e ) Re( Fe ) Re( iω Fe ) Re = (.4) 5. O producto de dous campos de recuencia ω é suma dunha compoñente constante e outra de recuencia ω, e non é representable directamente en notación complexa. Os campos con valor instantáneo igual ó producto de dous campos represéntanse polo promedio temporal do producto: ψ ψ [ ] τ = lím, * () r ψ ( r, t) ψ ( r, t) dt = ψ () r ψ () r Re τ τ τ onde ψ * representa o complexo conxugado de ψ. De maneira parecida anse os productos escalares e vectoriales de campo vectoriales: ψ * * * ( ψ ) F F = Re( F F ) F F = ( F F ) ψ = Re ψ Re Este tratamento pódese extender a campos con variación non sinusoidal usando a transormada de Fourier F (r, ω): (.5) F( r, t) = π (, ω ) (, ω ) = F( r, t) F r F r e iωt e dω iωt dt (.6) Nótese que F e F son campos vectoriales de valores reales. Por exemplo, en coordenadas rectangulares, F = xˆ F x + ŷ F y + ẑ F z e F = xˆ F x + ŷ F y + ẑ F z. Lóxicamente, as compoñentes de F son campos complexos: F x = F x + if x, F y = F y + if y e F z = F z + if z. 6

7 Apuntes de Electrodinámica. Tema : conceptos previos. No caso particular das ecuaciós de Maxwell en medios lineales, homoxéneos e isótropos, cos campos E, B, ρ, e J variando sinusoidalmente con recuencia ω e representados en orma complexa, obtemos as seguintes : ρ E = ε B = E = iωb B = µ ( J + iωεe) (.7) Se as perdas no medio son debidas exclusivamente á conducción e existe ademáis unha corrente J A aplicada, J = J A + σ E, a última ecuación pódese escribir: B = µ J + σ iωε E (.8) [ ( ) ] A + FORMULACIÓN EQUIVALENTE: FONTES ELÉCTRICAS E MAGNÉTICAS Os campos electromagnéticos son producidos por cargas e correntes libres eléctricas. Pero moitos problemas simpliícanse introducindo, como ontes virtuales, unhas unhas cargas e correntes magnéticas icticias. Supoñamos que os campos producidos polas cargas eléctricas ρ e as correntes eléctricas J son de tipo eléctrico, e distingámolos co superíndice (E). Cumplirán as ecuaciós de Maxwell: D B ( E ) ( E) = ρ = ( E ) ( E ) B E = ( E ) ( E ) D H = J + As ecuación dos campos de tipo magnético deberían ser D B = = ρ M E = M H = B D (.9) (.3) Os campos totales serán a suma dos de tipo eléctrico e os de tipo magnético: ( E ) E = E + E ( E ) D = D + D (.3) ( E ) B = B + B ( E ) H = H + H As ecuaciós que cumplen obtéñense sumando (.9) e (.3) D = ρ B = ρ M E = M H = J B D + (.3) A posibilidade de ontes magnéticas esixe modiicar as condiciós de ronteira dos campos. Se M s é a corrente supericial magnética e σ M a densidade supericial de carga magnética, ( E E ) = s ; ( B B ) = σ M M (.33) As correntes magnéticas non existen ísicamente, pero póden representar as orzas electromotrices de orixen non electromagnética. Se o campo magnético é constante, a integral de circulación de E sobre unha curva cerrada, calculada a partir de (.), é cero. Pero acendo As constantes constitutivas ε e µ póden ser tamén complexas, e neste caso a parte imaxinaria representa unha compoñente de perdas. 7

8 Apuntes de Electrodinámica. Tema : conceptos previos. ε = C E ds = S B M + da (.34) admítese a posibilidade de ter circulación non nula tamén no caso de B constante. En medios lineales a corrente libre J póde ser descomposta nunha corrente aplicada J A e unha corrente inducida σe. A corrente magnética póde ser considerada toda aplicada. Os rotacionales dos campos quedan, en consecuencia ( σ + iωε ) H = J A + E E = M iωµ H (.35) A POTENCIALES ELECTROMAGNÉTICOS Os campos electromagnéticos con sentido ísico son E e B. As ecuaciós de Maxwell, unidas ás deiniciós dos campos D e H, conteñen todo o electromagnetismo clásico. A partir delas deínense unhos campos en sentido matemático que son os potenciales electromagnéticos. Deduciremos unhas condiciós suicientes que nos permiten deinir estes potenciales. Se, de acordo con (.3), acemos B = ψ + A, de B = dedúcese ψ =. Logo, se ψ non é uniorme, debe ter singularidades, ou diverxer no ininito 3, o que conduciría respectivamente a que B tén singularidades ou non tende a cero no ininito 4. Como ψ non depende das ontes, concluimos que é uniorme. Consecuentemente, B = A (.36) A chámase potencial vectorial. Ademáis B A A E = = ( A) = E + =. t t t t O paréntesis na última ecuación debe ser o gradente dun potencial escalar: A E + = φ. Logo t A E = φ t Os campos φ e A que cumplen (.36) e (.37) son os potenciales electromagnéticos. (.37) FORMULACIÓN DO ELECTROMAGNETISMO EN FUNCIÓN DOS POTENCIALES As ecuaciós inhomoxéneas de Maxwell estarán garantizadas se impoñemos condiciós adicionales ós potenciales. Consideremos campos no vacío. Expresándoos en unción dos potenciales: E = ρ ε ( A) ρ φ + = t ε 3 Basta considerar a dependencia radial das soluciós da ecuación de Laplace en coordenadas eséricas. 4 É conveniente supoñer que E e B non teñen singularidades independentes das ontes, e que en puntos alonxados delas (o que se chama o ininito ) ténden a cero. 8

9 Apuntes de Electrodinámica. Tema : conceptos previos. E A B = µ J + µ ε A A = µ J µ ε φ + t t t A φ A µ ε A µ ε = µ J + As dúas ecuaciós ρ φ + ( A) = ε A φ A µ ε = µ J + A + µ ε (.38) suposto que E e B están dados por (.36) e (.37), constitúen unha ormulación do Electromagnetismo en unción dos potenciales equivalente ás ecuaciós de Maxwell no vacío. TRANSFORMACIÓS DOS POTENCIALES Xa indicamos que os campos ísicos son E e B. Estes campos deben ser os mesmos pra calquera par de potenciales φ e A que collamos. Pero inda queda moita arbitrariedade na determinación dos potenciales. Sean A = A+ α φ = φ+ β outros potenciales que cumplan tamén (.36) e (.37). Como A = A = B, α =. Ou, equivalentemente α = λ, sendo λ (r, t) algún campo escalar, que póde depender do tempo. Xa que φ e A deben representar o mesmo campo eléctrico ca φ e A, λ = ( φ φ ) + ( A A) = β +. Un campo con gradente nulo debe ser uniome (constante no espacio), pero non á orza constante no tempo. Sea λ λ λ β + = k() t β = k() t = t (tomando λ = λ kdt non cambiamos a dependencia espacial, co que α = λ = λ). En deinitiva, resultan as relaciós A = A+ λ λ φ = φ (.39) chamadas transormaciós de representación (tamén de norma, de calibración, de contraste ou gauges ), que converten unhos potenciales noutros equivalentes desde o punto de vista ísico. As magnitudes electromagnéticas que non cambian anque os potenciales se transormen según (.39) chámanse invariantes gauge. As magnitudes con sentido ísico deben ser invariantes gauge. 9

10 Representación de Coulomb Coa condición de Coulomb A = : Apuntes de Electrodinámica. Tema : conceptos previos. ρ φ = ε A A µ ε = µ J + µ ε ( φ ) Esto aporta unha simpliicación notable no cálculo do potencial escalar φ, pero xeneralmente complica o do potencial vectorial. En electrostática e magnetostática temos ρ φ = ε A= µ J (.4) En xeneral, usando a ecuación de continuidade e acendo J = J l + J t, polas relaciós (.5), φ φ ρ = = = J l ε ε φ Tamén = J l =, así que a ecuación do potencial vectorial na ε representación de Coulomb queda A A µ ε = µ J Esto xustiica o nombre de gauge transversal que se lle dá recuentemente. t (.4) Representación de Lorentz A máis usada en Electrodinámica é a representación de Lorentz. Resulta de impoñerlle ós potenciales a condición de Lorentz A + µε φ (.4) = Con esto temos dúas ecuaciós ormalmente iguales prós potenciales escalar e vectorial, que resultan ser as dúas ecuaciós de ondas: φ ρ φ µ ε = ε (.43) A A µ ε = µ J Débese observar que unha transormación do tipo (.39), sendo λ unha solución da ecuación de ondas homoxénea: λ λ µ ε = respeta a condición de Lorentz. Consecuentemente, a condición de Lorentz non é suiciente pra determinar os potenciales.