SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI
|
|
- Χλόη Τρικούπης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 VI SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI KARAKTERISTIČNI POLINOM I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI U ovom poglavlju ćemo opisati kako se traži ''najprikladnija'' baza vektorskoga prostora X, baza u kojoj će linearni operator A : X X imati najjednostavniji prikaz U čitavom poglavlju, X će biti n-dimenzionalni vektorski prostor i svi operatori biće definisani i uzimaće vrijednosti u istome prostoru X Definicija Neka za vektor v 0 i skalar λ vrijedi A(v) = λv () Tada: (i) vektor v 0 zovemo svojstvenim vektorom operatora A; (ii) skalar λ nazivamo svojstvena vrijednost operatora A, koja odgovara svojstvenom vektoru v Primjedbe ) Pojam svojstvena, (sopstvena ili karakteristična) vrijednost u engl eigenvalue, njem Eigenwert, franc valeur propre, rus sobstvenoe značenie ) Prema definiciji je jasno da je za svako a 0 i av svojstveni vektor, ako je v svojstveni vektor Svi ti vektori odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti λ 3) Neka su x, y dva svojstvena vektora (ako postoje, ali ne obavezno kolinearna) koji odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti λ Tada vrijedi A(ax + by) = aa(x) + ba(y) = aλx + bλy = λ(ax + by) te je i ax + by (ukoliko je različit od 0) svojstveni vektor za istu svojstvenu vrijednost 4) Uopštavajući ovo razmatranje, možemo za svaku svojstvenu vrijednost λ promatriti potprostor Ker(λE - A), jezgro operatora λi A Svaki vektor, različit od nule, iz toga potprostora svojstveni je vektor operatora A Naime, (λe A)(v) = 0 povlači A(v) =λv Ovaj se potprostor naziva svojstveni potprostor koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ Primjer Za operator E svaki je vektor svojstveni, a zajednička svojstvena vrijednost je broj, pošto vrijedi E(v) = v za svaki v Primjer Neka je operator A zadan matricom Iz jednačine Av = λv dobijemo sljedeći sistem x + x =λx, x A = 0 = λx Nađimo njegove svojstvene vrijednosti i vektore Iz druge jednačine čitamo λ = ili x = 0 Ako je λ =, iz prve slijedi x + x = x, te je x = 0, x proizvoljno Ako je x = 0 tada iz prve jednačine vidimo da je λ = i opet x proizvoljno (različito od nule) Postoji zato jedna svojstvena vrijednost λ = i jednodimenzionalni svojstveni potprostor a koji odgovaraju toj 0 svojstvenoj vrijednosti Umjesto da govorimo o jednodimenzionalnom potprostoru, radije ćemo izabrati jedan (bilo koji) njegov vektor i govoriti o svojstvenom vektoru koji pripada toj svojstvenoj vrijednosti Nalaženje svojstvenih vektora Ovaj primjer pokazuje da će se nalaženje svojstvenih vektora svesti na rješavanje homogenoga linearnoga sistema Zaista, jednačine A(v) = λ v ekvivalentna je s (λe - A)(v)=0 () Dakle, v je svojstveni vektor ako i samo ako pripada jezgri operatora λe A Ovaj uslov govori o načinu na koji se mora birati skalar λ
2 Karakteristični polinom Da bi jednadžba () imala netrivijalno rješenje, operator λe - A ne smije biti regularan Neka je A matrica operatora A u nekoj bazi Matrica jediničnog operatora (u svakoj bazi) jedinična je matrica E Zato operatoru λe - A odgova matrica λe - A Kako operator λe - A nije regularan, determinanta njegove matrice mora biti jednaka nuli, tj λ a a a n a λ a a n λe A = = 0 an an λ Ova determinanta je polinom po promjenljivoj λ, stepena n Nazivamo ga karakteristični polinom operatora A (ili matrice A) i označavamo (obično) s k(λ), k(λ) = det(λe - A) Vodeći koeficijent ovoga polinoma (uz potenciju λ n ) je Stoga on ima oblik n n k ( ) λ = λ σλ σn λ σn Jednačina k(λ) =det(λe - A)=0 naziva se karakteristična jednačina operatora A (matrice A) Rješenja karakteristične jednačine su svojstvene vrijednosti operatora A Karakteristični polinom ne ovisi o izboru baze Karakteristični se polinom računa preko determinante matrice koja odgovara operatoru λe - A Ta matrica ovisi o izabranoj bazi, međutim, njezina determinanta ne! Svake takve dvije matrice su slične i stoga imaju istu determinantu Kako su svojstvene vrijednosti nule karakterističnog polinoma, to niti one ne ovise o izboru baze Zato pri računanju svojstvenih vrijednosti možemo uzeti bilo koju bazu za prikaz operatora A Računanje svojstvenih vrijednosti Svojstvene vrijednosti su nula polinoma stepena n Da bismo ih odredili, moramo odrediti najprije taj polinom Kako je on determinanta matrice reda n, suočeni smo s dva ozbiljna problema: (i) Kako odrediti determinantu matrice reda n, čiji elementi nisu numerički, već se u njoj pojavljuje i nepoznata λ? (ii) Nakon što je taj polinom izračunat (na neki način!), kako odrediti njegove nule? Na prvo se pitanje ne može dati zadovoljavajući odgovor Razvoj novih računalskih programa, s razvijenim simboličkim (a ne samo numeričkim) računnanjem omogućava računanje i ovakvih determinanti Postoji nekoliko načina za određivanje koeficijenata karakterističnog polinoma koji ne koriste direktno računanje determinanti, međutim svi su oni efikasni samo za matrice maloga reda Sto se nalaženja svojstvenih vrijednosti tiče, nule polinoma velikoga stepena mogu se računati samo iterativnim metodama Razlog tome je što eksplicitne formule za nalaženje nula polinoma stepena većeg od četiri ne postoje Za polinome stepena tri i četiri, formule postoje ali su praktički neuporabljive Sve ovo ukazuje na to da se svojstvene vrijednosti (i vektori) matrica velikoga reda nalaze posve drukčijim metodama Tim se problemom bavi posebno područje matematike, tzv numerička linearna algebra Značenje kompleksnih brojeva Polje realnih brojeva je nedovoljno u problemu nalaženja svojstvenih vrijednosti Razlog tomu je što polinom (čak i onaj s realnim koeficijentima) ne mora imati niti jedan realni korijen Ako je to karakteristični polinom, tad odgovarajući operator nema (realnih) svojstvenih vrijednosti S druge strane, prema osnovnom stavu algebre svaki polinom stepena n ima točno n kompleksnih nula (uvažavajući njihovu višestrukost) Stoga je korisno pri nalaženju svojstvenih vrijednosti dozvoliti račun u polju kompleksnih brojeva Na taj će način svaki operator imati bar jednu svojstvenu vrijednost i bar jedan svojstveni vektor (koji ne mora imati geometrijsku interpretaciju) Primjer 3 Za matricu A = 0 odredimo njezin karakteristični polinom: k(λ) = λ + 0 Njegove su nule λ = i te λ = - i Svojstveni vektori će također imati kompleksne koordinate
3 Birajući koju alternativu prihvatiti, nesumnjivo ćemo odabrati račun s kompleksnim brojevima Stoga riječ skalar u definiciji svojstvenih vrijednosti i vektora s početka ovoga poglavlja znači kompleksan broj Dakako, skup realni brojevi je podskup skupa kompleksnih brojeva 6 DIJAGONALIZACIJA OPERATORA Dokažimo jednu osobinu svojstvenih vektora Stav Svojstveni vektori koji odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima međusobno su linearno nezavisni Dokaz Tvrdnju dokazujemo indukcijom po broju različitih svojstvenih vrijednosti Ako je taj broj jednak, nemamo što dokazivati Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za (k )-nu svojstvenu vrijednost Neka su sad λ,, λ k različite svojstvene vrijednosti i v,, v k odgovarajući svojstveni vektori Pogledajmo njihovu linearnu kombinaciju koja se poništava: a v + a v + + a k v k = 0 (3) Operator A preslikava ovu kombinaciju ponovo u nula-vektor Kako su gornji vektori svojstveni za operator A, to vrijedi a λ v + a λ v + + a k λ k v k = 0 (4) Pomnožimo relaciju (3) s λ i oduzmimo od (4) Dobijemo a (λ - λ )v + + a k (λ k - λ )v k = 0 Vektori v,, v k po pretpostavci su linearno nezavisni Stoga su svi koeficijenti jednaki nuli Kako su svojstvene vrijednosti međusobno različite, to vrijedi a == a k = 0 Sad iz (3) slijedi i a = 0, čime je tvrdnja dokazana Dijagonalizacija operatora Izvedimo odmah važnu posljedicu ovog teorema: Ako su sve nule karakterističnog polinoma različite, tada postoji baza prostora koju čine svojstveni vektori promatranog operatora Neka su to vektori v,, v n Kako izgleda matrica operatora A u toj bazi? Vrijedi A(v ) = λ v,, A(v n ) = λ n v n Zato je njegova matrica u ovoj bazi dijagonalna Uobičajen redoslijed postupaka je sljedeći: zadana je matrica A operatora u početnoj (obično kanonskoj) bazi Računajući svojstvene vektore te matrice mi odabiremo drugu bazu u kojoj će operator imati dijagonalni prikaz U jeziku matrica, tražimo da li postoji dijagonalna matrica slična početnoj Algoritam za dijagonalizaciju matrice Korak Odredimo karakteristični polinom k (λ) matrice A Korak Odredimo nule λ,, λ n karakterističnog polinoma To su svojstvene vrijednosti matrice A Korak 3 Riješavamo homogene sisteme (λ i E - A)v = 0, čija su rješenja svojstveni vektori matrice A Ako postoji n linearno nezavisnih svojstvenih vektora, tad je matrica slična dijagonalnoj (operator se može dijagonalizirati) Svojstvene vektore zapisimo kao stupce matrice prijelaza P Korak 4 Matrica operatora u novoj bazi je dijagonalna λ 0 0 λ ' A = P AP= λ n Dijagonalni elementi su svojstvene vrijednosti matrice A Vrijedi i obrnut stav, koji navodimo bez strogog dokaza Stav Operator se može dljagonalizirati onda i samo onda ako postoji baza koju čine njegovi svojstveni vektori
4 - 6 - Zaista, ako je matrica operatora (u nekoj bazi) dijagonalna, tad su vektori te baze svojstveni vektori, a elementi na dijagonali svojstvene vrijednosti To slijedi iz načina kako operatoru pridružujemo matricu Primijetimo nadalje da pri tom nije bilo važno da su sve svojstvene vrijednosti različite! Potreban i dovoljan uslov da bi se A dao dijagonalizirati je da posjeduje n linearno nezavisnih svojstvenih vektora Pokazali smo da će se to sigurno dogoditi ukoliko su svojstvene vrijednosti različite, no taj uslov nije uvijek potreban Primjer 4 Jedinični je operator najdrastičniji primjer: on posjeduje samo jednu svojstvenu vrijednost, ali vrijedi E(v) = v za svaki vektor v, stoga je odgovarajući svojstveni potprostor čitav prostor X Matrični polinom Pretpostavimo da je matrica A slična dijagonalnoj: postoji matrica P takva da je P - AP = D dijagonalna (Primijetite da pri tom ne zahtijevamo da su svojstvene vrijednosti različite, s obzirom na činjenicu da postoje matrice slične dijagonalnoj čije sve svojstvene vrijednosti nisu različite) Računanje s dijagonalnim matricama iznuzetno je lagan posao; takve se matrice ponašaju poput skalara Tako napr vrijedi p d d d p d d p d D= 0 0 D = 0 0 D = 0 0 p d 0 0 n 0 0 d n 0 0 dn Općenitije, ako je p(λ) bilo koji polinom, tad je vrijednost toga polinoma u dijagonalnoj matrici D ponovno dijagonalna matrica: p(d ) p(d ) pd ( ) = 0 0 (5) 0 0 p(d n ) Kako se koristi ovaj rezultat? Iz veze P - AP = D slijedi: A = PDP - (6) Zato je A = (PDP - )( PDP - )= PD P - Ponavljajući taj postupak,da za svaku potenciju vrijedi A k = PD k P - Stoga za polinom P(λ) stepena k možemo pisati P(A) = P p(d)p - (7) pri čemu p(d) računamo prema (5) 000 Primjer 5 Izračunajmo 5 6 Da bismo odredili ovu potenciju, potražit ćemo dijagonalnu matricu sličnu matrici A (ukoliko postoji!) i primijeniti formulu (7) Najprije moramo odrediti svojstvene vrijednosti: λ 5 k(λ) = = λ 3 λ+ 6 λ + Nule svojstvenoga polinoma su λ = i λ = One su različite i stoga smo sigurni da je matrica slična dijagonalnoj Sad određujemo svojstvene vektore Onaj koji odgovara prvoj svojstvenoj vrijednosti nalazimo iz sistema (E - A)v = 0, odnosno 4x x x = 0 = a 6x + x = x 3 0 Drugi svojstveni vektor je rješenje jednačine (E A)v =0, odnosno
5 - 63-3x x x = 0 = a 6x + x = x Zato je P i P 3 = Sad vrijedi A = PDP - =, gdje je D dijagonalna matrica sa 3 dijagonalom (λ, λ ) = (, ) Dakle: = Provjeriti taj dobijeni rezultat direktnim računanjem! Formula (6) sad glasi A = PDP -, što je ekvivalentno sa = Potenciju A 000 računamo po formuli (7): A 000 = PD 000 P -, tj = = CAYLEY-HAMILTONOV STAV Dokažimo sad sljedeći stav koji se pripisuje Arthur-u Cayley-u (8-895), engleskom matematičaru i Williamu Rowan Hamilton-u ( ), irskom matematičaru Stav 3 (Cayley-Hamilton) Matrica A poništava svoj svojstveni polinom, tj vrijedi k(a) = 0 Dokaz Neka je B(λ) adjungovana matrice λe - A, tj matrica za koju vrijedi B(λ)[λE - A] = det(λe - A)E Ako matricu B posmotrimo kao funkciju nepoznate λ, tad je B(λ) polinom (n )-vog stuepena: B(λ) = λ n- B 0 + λ n- B + + B n- (jer je svaki njezin element determinanta matrice reda n - l dobijene brisanjem jedne vrste i jedne kolone u matrici λe - A) Usporedimo jednake potencije na obe strane identiteta: (λ n- B 0 + λ n- n n B + + B n- )( λe - A) = ( λ σλ σn λ σn)e Dobijamo sljedeće relacije: B 0 = E B B0A= σe B B A= σ E B B A= σ E n n n B A= σ E Pomnožimo prvu jednakost s A n, drugu s A n-,, pretposljednju s A i saberimo dobijene rezultate: 0 = A n - σ A n- - - σ n- A - σ n E = k(a); što smo i trebali dokazati n n Svojstvene vrijednosti i regularnost operatora Operator A je regularan ako i samo ako broj 0 nije njegova svojstvena vrijednost Naime, jednadžba A (x) = 0 ima netrivijalno rješenje onda i samo onda ako je λ = 0 svojstvena vrijednost operatora
6 U jeziku matrica, A ima inverznu ako i samo ako su sve njezine svojstvene vrijednosti različite od nule U tom se slučaju njena inverzna može dobiti, primjenom Cayley-Hamiltonova stava, po formuli A - = B n- /σ n (9) Primijetimo pri tom da je slobodni član σ n u karakterističnom polinomu jednak ±λ λ λ n, te formula (9) ima smisla samo onda kad su sve svojstvene vrijednosti različite od nule Primjer 6 Odredimo karakteristični polinom i svojstvene vrijednosti matrice 0 0 A = Razvojem po trećoj koloni dobijemo: λ 0 λ 3 k ( λ ) = 4 λ 4 0 = ( λ ) = ( λ ) 4 λ 4 λ Matrica ima trostruku svojstvenu vrijednost λ = Po Cayley-Hamiltonovu stavu je A 3-6A + A 8E = 0 Množenjem s A - slijedi A - 6A + E=8A -, te odavde možemo lako odrediti inverz A - = 8 - (A - 6A + E) Primjer 7 Odredi svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore matrice 4 A = Karakteristični polinom je λ 4 k ( λ ) = λ 5 3 = λ 8λ + λ 8 = λ+ Eventualne cjelobrojne nule mogu bili samo cjelobrojni djelitelji broja 8 Provjeravajući unutar skupa {±,±±3,±6, ±9, ±8}, brzo otkrivamo da je jedna nula λ = (ili možda pogodimo λ = 3) Nakon toga je lako odrediti potpunu faktorizaciju: k(λ) = (λ - )( λ - 3) Stoga je i λ 3 = 3 Prva svojstvena vrijednost λ = je jednostruka Njoj će odgovarati jedan svojstveni vektor Provjeri da je to v = [,,4] T Druga svojstvena vrijednost je dvostruka: λ = λ 3 = 3 Svojstveni potprostor koji odgovara ovoj svojstvenoj vrijednosti može biti jednodimenzionalan ili možda dvodimenzionalan To znači da ćemo sigurno dobiti barem jedan odgovarajući svojstveni vektor, ali nismo unaprijed sigurni da će ih biti onoliko kolika je višestrukost svojstvene vrijednosti Iz sistema (λ E - A)x = 0, slijedi x 0 y = 0, z 0 tj sistem se svodi na samo jednu jednačinu x + y - z = 0, čije je rješenje oblika
7 x s t + y = s = s + t 0 z t 0 Dakle, dvostrukoj svojstvenoj vrijednosti λ = λ 3 = 3 odgovaraju dva linearno nezavisna svojstvena vektora v =, v 3 = 0 i već određeni v = 0 4 Primjer 8 Svedi na dijagonalni oblik matricu A iz primjera 7 Vidili smo da matrica A dvije različite svojstvenoj vrijednosti: λ = je jednostruka i dvostruka svojstvena vrijednosti λ = λ 3 = 3 Odgovarajući svojstveni vektori su: v = (,,4) T, v = ( 0,, ) T, v = ( 0,, ) T Tako dobijemo matricu koja dijagonalizira matricu A, tj 3 P= ( v v v ) = Za vježbu izračunati P - i provjeriti zadnji rezultat P AP = =
8 VII ANALITIČKA GEOMETRIJA VEKTORSKI PROSTOR ORIJENTISANIH DUŽI Pored skalarnih veličina (dužina, površina, zapremina, temperatura, pritisak, masa, kinetička energija, gustina itd) čije su vrijednosti izkazane samo brojem (tj skalarom), među osnovnim pojmovima koji se javljaju u geometriji, fizici, mehanici i elektrotehnici postoje i oni (translacija, sila, brzina, ubrzanje, električno polje i slično) čije se vrijednosti ne mogu izkazati samo brojnim vrijednostima, već ih karakteriše i pravac i smijer Takve veličine nazivamo vektorskim veličinama ili vektorima Nas će ovde interesovati geometrijski analogon takvih veličina Nećemo se upuštati u razmatranje i definisanje nekih osnovnih geometrijskih pojmova kao što su prava, ravan, prostor, ugao i translacija Smatraćemo ih intuitivno jasnim Koristićemo slijedeća oznake: E za skup svih tačaka prostora koji opažamo; Π, P, R, S itd za ravni u E; a, b, p, q itd za prave u E; tačke u E označavaćemo velikim slovima A, B, C, M, T itd Definicija vektora Neka su A i B proizvoljne tačke iz E Ako A smatramo početnom a B krajnjom tačkom duži AB, on da je duž usmjerena (ili orjentisana) od A ka B i nazivamo je vektorom i označavamo sa AB (Ako je neophodno naglasiti početnu i krajnju tačku vektora, koristi se notacija AB ; u protivnom, moguće vektor označiti sa a ) Intenzitetom ili normom vektora nazivamo rastojanje tačaka A i B, tj mjerni broj duži AB i označavamo sa AB ili da,b ( ) ili a Smjerom (orijentacijom) vektora a nazivamo smjer (orijentaciju) od A ka B (određen je strelicom kod B, vidi sla) B p a B B A A Slika a Slika b Pravac p na kome se nalaze tačke A i B naziva se pravac ili nosač vektora a Primjedbe Svaki vektor AB je potpuno određen uređenim parom tačaka (A,B) E E, tako da ćemo nadalje promatrati skup vektora, tj skup orjentisanih duži : = AB A, B E E V ( ) A { } koji ćemo snabdjeti odgovarajućim operacijama tako da V postane realni vektorski prostor Za lakše prihvatanje slijedećih (ekvivalentnih) definicija jednakosti u skupu V viditi slb: Definicije jednakosti vektora Neka su AB i AB iz V, tada je (i) AB = AB, tj vektori AB i AB su jednaki akko je četvorougao ABB A paralelogram;
9 (ii) AB = AB akko se translacijom AB može dovesti do poklapanja sa AB, tako da se poklope početna sa početnom, a krajnja sa krajnjom tačkom, (pritom je vektor translacije vtr = A A= BB, gdje ta jednakost slijedi na osnovu definicije (i)); (iii) AB = AB akko vrijedi: (a) AB A B, = (b) imaju jednake nosače (gdje jednaki nosači znači da su nosači paralelni ili da se poklapaju; jasno paraleni nosači se translacijom mogu dovesti do poklapanja), (c) jednako su usmjereni; dakle, dva vektora ai b su jednaka, tj a= b akko imaju jednake intenzitete, nosače i smjerove Primjedba Ovako definisana jednakost je relacija ekvivalencije u skupu V, (uostalom kao i jednakost u svakom skupu) Zaista, lako provjeravamo refleksivnost, simetričnost i tranzitivnost jednakosti u V Jednakost u V nije ''istovjetnost'' u V, ali se jednaki vektori translacijom mogu dovesti do poklapanja, tj postaju ''istovjetni'' Jednakost u V, kao relacija ekvivalencije (viditi paragraf 5), proizvodi particiju skup V na disjunktne klase ekvivalencije To znaći da bilo koji vektor a poistovjećujemo sa njegovom klasom ekvivalencije, tj sa skupom Va = { b V b= a} kojem pripadaju svi vektori iz V jednaki vektoru a Dakle, vrijedi ( a V )(!V a V) V= V a; ( V a = V b) ( a= b ); ( V a V b) ( a b), gdje je uslov Va V b možemo zamjeniti sa V a V = b Zato vektore skupa V nazivamo slobodni vektori Definisaćemo skupove vezanih vektora: a Vektori vezani za tačku je podskup skup vektora koji imaju jedinstvenu početnu tačku O, tj V = V E : = OM M E O O( ) { } Kolinearni vektori su vektori koji imaju iste nosače Jasno je, da sve kolinearne vektore možemo translacijom dovesti na jedan zajednički nosač p i da imaju zajedničku početnu tačku O p, te ih promatrati kao vektore vezane za pravu p i označiti sa V = V (p) = OA O p,a p ; O { } Komplanarni vektori su oni vektori čiji su nosači paralelni nekoj ravni Π Dakle, komplanarne vektore možemo translacijom dovesti u tu ravan Π, tako da imaju zajedničku početnu tačku O Π i promatrati kao vektore vezane za ravan Π i označiti sa V = V Π = OA O Π,A Π gdje je O tačka prostora E; O ( ) { } Primjedba Očigledna je bijekcija prostora E i V O (E), tj svakoj tački M E odgovara jedan i samo jedan vektor = OM r i obrnuto Taj vektor nazivamo radijus vektor (ili vektor položaja) tačke M u odnosu na tačku O Analogne bijekcije postoji izmrđu tačaka ravni Π i skupa V O (Π) vektora vezanih za ravan Π, kao i bijekcije tačaka prave p sa skupm V O (p) Ova činjenica je polazište ideja o koordinatnim sistemima vezanim za tačku O (u Euklidovim prostorima E, Π i p) Toj ideji vratićemo se nešto kasnije da izgradimo analitičku geometriju ravni i analitičku geometriju prostora
10 Nula vektor je vektor 0 = MM, tjkod nula vektora se krajnja i početna tačka poklapaju te je 0 = Primjetimo da nula vektor nema jedinstven pravac i smijer, tj pavac i smjer nula vektora su proizvoljni Primjedba Očito nula vektor 0 = OO pripada svakom od podskupova vektora vezanih za tačku, pravu ili ravan Jedinični vektor ili ort vektora a, označavamo sa a 0 ili ort a, je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici, a ima isti smjer i pravac kao vektor a Suprotan vektor vektoru a= PQ je vektor a= QP Definicija Sabiranje vektora definiše se na slijedeći načina (vidi sla): Neka su a i b proizvoljni vektori i neka je a= AB, b= BC, tj translacijom je vektor b ''nadovezan'' na vektor a (tako da se početna tačka vektora b poklopila sa krajnjom tačkom vektora a ) Tada je a+ b = AC Primjedba Dakle, ako nadovezivanjem vektora a= A B, b= BC konstruišemo trougao ABC, gdje su vektori a= A B, b = BC dvije uzastopne stranice trougla, tada je treća orjentisana stranica AC = a + b Za ovako dobijeni trougao ABC, koji je jerinstven, kažemo da je ''konstruisan nad vektorima a i b '' Pravilo paralelograma za sabiranje vektora Nad vektorima a= A Bi b= AD, koji su translacijom dovedeni na zajedničku početnu tačku A, konstruisan je paralelogram ABCD (Vidi slb) Tada dijagonala AC predstavlja zbir vektora a i b D a b b A a b C b A a b+ a a + b a b C B B Sl a sl b Svojstva operacije sabiranja (+) iskažimo kao: Stav Algebarska struktura (V, +) je Abelova grupa Dokaz Dovoljno je dokazati: ( a,b,c V) ( a+ ( b+ c) = ( a+ b) + c ), asocijativnost; ( a V)( a+ 0= a= 0+ a ), postoji neutralni element; 3 ( a V)( a V) ( a+ ( a) = 0= a+ a ), egzistencija suprotnog elementa; 4 a,b V a+ b= b+ a, komutativnost ( )( )
11 c a+ b + c a+ b b+ c b a a n R= a k= k a n a Sl3a Sl3b Na osnovu definicija: sabiranja, nula i suprotnog vektora dokazujemo osobine i 3, tj egzistencije neutralnog i suprotnih elemenata Neka je a= AB, tj 0 = AA = BB; -a = BA izlazi: a+ 0= AB+ BB= AB= a= AA+ AB= 0+ a Analogno: a + ( a) = AB + BA = 0 = BA + AB = a + a Dokaz osobine (asocijativnost) proizlazi iz sl3a Način sabiranja nadovezivanjem n (> 3) vektora vršimo tako da početak svakog narednog vektora dovedemo n translacijom do poklapanja sa krajnjom tačkom predhodnog vektora Zbir n vektora (rezultanta R = ak, vidi k= sl 3b) je vektor koji počinje u početnoj tački prvog vektora a završava u završnoj tački n-tog vektora a Slb, pored dokaza komutativnosti sabiranja vektora, služi da uvedemo definicija sabiranja vektora po pravilu paralelograma (ekvivalentna definiciji ) Oduzimanje vektora definiše se jednakošću: a,b V a b : = a + ( b), ( ) tj oduzimanje vektora svodi se na dodavanje suprotnog vektora a n Primjedba Oduzimanje vektora interpretiramo tako da ih dovedemo na zajedničku početnu tačku A (vidi sl4) Ako je a = AB i b= AD, tada je treća strana trougla ABD DB = a b ; to je istovremeno i druga dijagonala paralelograma konstruisanog nad vektorima a= ABi b= AD b b D C DB = a b A a B AC = a + b
12 Sl 4 Množenje vektora skalarom je eksterna operacija :R V V, tj množenje skalara k ( R) i vektora a V jeste vektor k a, koji je definisan na slijedeći način: (i) nosač vektora k a je jednak nosaču od a, tj vektori a i k a su kolinearni; (ii) smijer vektora k a je isti kao kod a za k > 0, suprotan za k < 0, ( 0 a = 0 ); (iii) intenzitet ka = k a A O A Sl5 Na sl5, koja ilustruje množenje vektora skalarom, je: OA= a; OA = k a (k 0); OA = k a (k < 0) A Množenje vektora skalarom ima osobine: Stav 3 Eksterno množenje :R V V ima osobine ( α, β R)( a,b V) : (i) α ( a+ b) =α a+ αb; ( ii)( α + β ) a = α a + βb; (iii) ( αβ ) a = αβa ( ); (iv) a= a Dokaz je lako izvesti (tj obrazložiti grafički) Tako je, naprimjer, osobina (i) ilustrovana sa slijedečom slikom: > a+ b b a b α + ( a b) αa Sl 5 αb Na osnovu stavova i izlazi da je skup slobodnih vektora V realni vektorski prostor (vidi definiciju vektorskog prostora u glavi )
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραNumerička analiza 26. predavanje
Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραx n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...
1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραMatematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora
Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012. Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραVektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Διαβάστε περισσότεραDrugi deo (uvoda) Vektori
Drugi deo (uvoda) Vektori Vektori i skalari Skalar je običan broj. Vektor je lista (uređena n-torka) skalara (komponente vektora). Pomeranje (recimo, 10 koraka prema zapadu) izražavamo vektorom. Rastojanje
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
Διαβάστε περισσότερα2 Jordanova forma. 2.1 Nilpotentni operatori
2 Jordanova forma 2 Nilpotentni operatori Definicija Neka je V vektorski prostor Operator N P LpV q je nilpotentan indeksa p (p P N) ako vrijedi N p, N p Propozicija Ako je e P V takav da je N p e, onda
Διαβάστε περισσότεραVektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Διαβάστε περισσότερα