x 1 x 2 x 3 glasi: x yý x T yþ odnosno x yý x 1 y 1 û x 2 y 2 û x 3 y 3 (6) (2) (3) Promatramo li skup

Transcript

1 KoG 5 / J. Beban Brkić, I. edved: Opća teorija centralnih ploha. reda Vea imedu linearnog operatora s prostora X u X i matrica ostvaruje se na osnovu činjenice da je svaki linearni operator A : X øõù X potpuno odreden svojim vrijednostima na vektorima bae prostora X (6,str.6;,str.8). Neka je npr. e e e 3 baa (,str.44) 3-dimenionalnog vektorskog prostora X i A : X øõù X linearni operator odreden svojim vrijednostima Ae Ae Ae 3 na bai. Rastavimo li vektore Ae Ae Ae 3 po vektorima bae e e e 3 dobivamo Ae ý a e a e a 3 e 3 Ae ý a e a e a 3 e 3 () Ae 3 ý a 3 e a 3 e a 33 e 3 gdje smo komponente vektora Ae u bai e e e 3 onačili sa a a a 3, itd. atricu a Aý a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 ovemo matricom operatora A u bai e e e 3. Dakle, u bai e e e 3 je svakom linearnom operatoru A : X øõù X pridružena matrica (3) i obratno, a matricu (3) postoji jedinstveni linearni operator A takav da vrijedi (), što je posljedica teorema o jedinstvenom prikau vektora u bai (6,str.59). Jednakost linearnih operatora kao i operacije s linearnim operatorima svode se na jednakost i operacije s matricama. Služit ćemo se sljedećim operacijama s linearnim operatorima (6,str.56): - Zbroj linearnih operatora; - Produkt skalara i linearnog operatora; - Kompoicija linearnih operatora. Navest ćemo be dokaa svojstva tih operacija: (3) - Zbroj linearnih operatora je linearni operator; - Produkt skalara i linearnog operatora je linearni operator; - Kompoicija linearnih operatora linearni je operator (produkt operatora) (6,str.59). Osim toga, potrebna je i operacija skalarnog produkta te pojam ranga i defekta operatora. Skalarni produkt Definicija Neka su a b adani vektori i vektorskog prostora X i neka je ϕ kut medu njima. Skalarni produkt (umnoˇak) vektora a b definira se sa: a bý a b cosϕ (4) Time je definirano preslikavanje: X X øuù R. Skalarni umnožak dvaju vektora danih u matričnom apisu sa ý ý (5) glasi: 3 3 ý T odnosno ý 3 3 (6) Rang i defekt operatora. Regularni operator Neka je A matrica pridružena linearnom operatoru A : X øõù X. Tada je jednadžba Aý (7) ekvivalentna homogenom linearnom sustavu (3, str.63) Aý (8) Promatramo li skup KerAý ÿ X Aú üåý (9) koji naivamo jegrom ili nulpotprostorom operatora A, vidimo da je potprostor rješenja homogenog linearnog sustava jednak jegri operatora. Taj je potprostor raapet s nø r vektora, gdje je n dimenija prostora X, a r rang matrice A (3, str.48). Dimeniju tog potprostora odnosno jegre naivamo defektom operatora i onačavamo k. Svakom linearnom operatoru pridružen je i skup ImAý ÿ X ý Aú üo a neki ÿ X () koji naivamo slikom operatora A, a koji je i sam vektorski potprostor. Njegovu dimeniju onačavamo r. Nije teško dokaati sljedeći teorem koji je sada intuitivno jasan: Teorem Ako je n dimenija prostora X, k dimenija jegre, a r dimenija slike operatora A : Xøuù X, tada vrijedi: ný r k. Doka (3,str.38). Posebnu skupinu operatora tvore takovani regularni operatori. To su bijektivna preslikavanja pa stoga postoji njihov inver i mora biti dimú KerAüÕý. Kao što smo i ranije napomenuli, operacije s linearnim operatorima svode se na operacije s matricama pa stoga vrjedi: Operator je regularan ako i samo ako je pripadna matrica regularna. 38

2 KoG 5 / J. Beban Brkić, I. edved: Opća teorija centralnih ploha. reda 3. Slične matrice Linearnom operatoru su u raličitim baama pridružene raličite matrice. Bit će od posebnog interesa potražiti takvu bau u kojoj će prika linearnog operatora biti najjednostavniji. Postavljamo stoga pitanje koja je vea imedu dviju matrica A i B koje su prika istog operatora A : X øù X ali u raličitim baama e e e 3 odnosno e e e3. Ponato je (3,str.9;,str.48) da, ako je A prika operatora A u bai e e e 3 prostora X i T matrica prijelaa (3,str.9) i te bae u novu bau e e e3, u novoj bai operatoru A odgovara matrica Bý T AT () Za dvije matrice A i B, a koje postoji regularna (invertibilna) matrica T sa gornjim svojstvom kažemo da su slične. Dakle, operatoru A odgovaraju u raličitim baama slične matrice. Od ajedničkih svojstava sličnih matrica ovdje ćemo idvojiti da slične matrice imaju istu determinantu (3,str.9; 6,str.95), tj. det B det T AT det T det A det T det A () jer a regularne matrice vrijedi: detú T üåý detú Tü. 4. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Neka je A : X øõù X linearni operator, a vektor i X. Općenito djelovanje linearnog operatora prikaano je slikom. Jednakost (3) može se napisati u obliku Aø λý (4) odnosno matrično Aý λý ú λiø AüXý (5) gdje je A matrica pridružena operatoru A, čime se nalaženje svojstvenih vrijednosti λ svodi na rješavanje linearnog homogenog sustava jednadžbi. Ponato je (3,str.45) da takav sustav ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je det λi A λi A λ a a a 3 a λ a a 3 a 3 a 3 λ a 33 (6) Jednadžba (6) po λ - karakteristiˇcna (svojstvena) jednadˇba matrice A (operatora A); k A ý detú λiø Aü - karakteristiˇcan (svojstven) polinom matrice A (operatora A). Gornju tvrdnju možemo sada ireći i ovako: Skalar λ ÿ R je svojstvena vrijednost operatora A (matrice A) ako i samo ako je λ korijen karakteristične jednadžbe k A ý. Važno je napomenuti da karakteristični polinom ne ovisi o iboru bae. Naime, karakteristični polinom se računa preko determinante matrice ú λiø Aü. Sama matrica ovisi o iboru bae, ali ne i njena determinanta. Svake takve dvije matrice su slične i bog toga imaju isti svojstveni polinom tj. λiø A «ý λiø T BT. Kako su svojstvene vrijednosti nul-točke karakterističnog polinoma, to ni one ne ovise o iboru bae. Zato pri računanju svojstvene vrijednosti možemo ueti povoljniju bau a prika operatora A. 5. Dijagonaliacija Slika. Slika. Definicija Za realan broj λ kaˇemo da je svojstvena (karakteristiˇcna) vrijednost linearnog operatora A : X øõù X ako postoji vektor ý takav da je Aý λ (3) Za takav vektor kažemo da je svojstven (karakteristiˇcan) vektor operatora A i da pripada svojstvenoj vrijednosti λ (slika ). U ovom ćemo se dijelu posvetiti problemu pronalaženja bae vektorskog prostora X koja se sastoji od svojstvenih vektora dane matrice A (operatora A). Tako odabrana baa može se upotrijebiti a iučavanje geometrijskih svojstava dane matrice kao i a pojednostavljenje računa u koji je ona uključena. Definicija 3 Za matricu A (operator A) kaˇemo da dopušta dijagonaliaciju ako postoji regularna matrica T takva da je T AT dijagonalna matrica. Za matricu T se kaˇe da dijagonaliira A. Sljedeći teorem pokauje da je problem svojstvenih vrijednosti ekvivalentan problemu dijagonaliacije. Teorem Za kvadratnu matricu A reda n su sljedeće tvrdnje ekvivalentne: 39

3 KoG 5 / J. Beban Brkić, I. edved: Opća teorija centralnih ploha. reda (i) A dopušta dijagonaliaciju. (ii) A ima n linearno neavisnih svojstvenih vektora. Doka (, str. 365). Navedeni teorem osigurava da se svaka matrica reda n sa n linearno neavisnih svojstvenih vektora može dijagonaliirati, dok je njihova linearna neavisnost osigurana sljedećim teoremom. Teorem 3 Svojstveni vektori koji odgovaraju raliˇcitim svojstvenim vrijednostima medusobno su linearno neavisni. Doka (3,str.47). Važna posljedica ovog teorema: Ako su sve nul-točke karakterističnog polinoma raličite, tada postoji baa prostora koju čine svojstveni vektori promatranog operatora. Neka su to, a n ý 3, vektori v v v 3. Budući da vrijedi Aú v üxý λ v, Aú v üxý λ v, Aú v 3 üý λ 3 v 3, njegova je matrica u ovoj bai dijagonalna (3,str.48). Napomenimo, ako je v svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ, odgovaraju joj i svi vektori αv ú α ý ü. Osim toga, ako su v, v svojstveni vektori koji odgovaraju svojstvenoj vrjednosti λ, tada je bog linearnosti operatora i λ v λ v svojstveni vektor a istu vrijednost λ. Drugim riječima, a svaku svojstvenu vrijednost λ je svaki vektor ú svojstveni vektor operatora A, budući da ý ü i potprostora Kerú λiø Aü ú λiø Aü ú vüxý Aú vüåý λv. Potprostor Ker ú λi ø Aü naivamo svojstveni potprostor koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ. Postupak nalaženja matrice T koja dijagonaliira matricu A, ukratko je, a ný 3, sljedeći: Korak. Odredimo karakterističan polinom k A ú λü ý matrice A; Korak. Odredimo nul-točke λ λ λ 3 karakterističnog polinoma, što su svojstvene vrijednosti matrice A; Korak 3. Rješavanjem homogenih sustava ú λ i Iø Aü vý, i ý 3 dobiju se svojstveni vektori matrice A; Korak 4. Ukoliko matrica dopušta dijagonaliaciju formiramo matricu T kojoj su stupci svojstveni vektori v, v, v 3 ; Korak 5. atrica T AT (operatora A) je dijagonalna sa svojstvenim vrijednostima λ λ λ 3 na glavnoj dijagonali: T ATý λ λ λ 3 (7) Primjer: Za danu matricu F odredimo matricu T koja ju dijagonaliira. Fý 4 ø ø 3 ø Korak. Karakterističan polinom matrice F glasi λ 3 ø 4λ λ 6ý Korak. Nul-točke karakterističnog polinoma, odnosno svojstvene vrijednosti matrice F su: λ ýø λ ý λ 3 ý 3 Korak 3. Rješavanjem homogenih sustava dobiju se tri linearno neavisna svojstvena vektora: v ý 5 v ý v 3 ý 7 Korak 4. Formiranje matrice T: Tý 5 7 Korak 5. atrica T FT glasi: ø T FTý 3 6. Simetrični operator, simetrična matrica Jedan od specijalnih tipova linearnih operatora je simetriˇcan operator. Za linearni operator A : X øõù X kažemo da je simetričan, ako vrijedi Aa bý a Ab (8) a sve a b ÿ X. atrica pridružena simetričnom linearnom operatoru je simetrična s obirom na glavnu dijagonalu. Neka je operatoru A pridružena realna matrica A. Onačimo li s A T transponiranu matricu polane matrice, A će biti simetrična onda i samo onda ako vrijedi A T ý A (9) Navest ćemo neka važnija svojstva simetrične matrice. Teorem 4 Ako je A simetriˇcna matrica, onda su sve njeine svojstvene vrijednosti realne. Doka (4.str.47). Teorem 5 Ako je A simetriˇcna matrica, tada su svojstveni vektori koji odgovaraju raliˇcitim svojstvenim vrijednostima medusobno okomiti. Doka (4.str.47). 4

4 KoG 5 / J. Beban Brkić, I. edved: Opća teorija centralnih ploha. reda 7. Ortonormirana baa, ortogonalne matrice Za bau prostora X kažemo da je ortonormirana ako su vektori bae medu sobom okomiti (ortogonalni) i svaki ima duljinu (normu) jedan. I ortogonalnog skupa ne-nul vektora možemo dobiti ortonormirani, dijeljenjem svakog vektora njegovom normom. ilj nam je dalje pokaati da je svaka simetrična matrica slična dijagonalnoj matrici te da postoji ortogonalna baa koju čine njeni svojstveni vektori. Neka je T matrica čiji su stupci ortonormirani svojstveni vektori matrice A. Definicija 4 Za matricu T kaˇemo da je ortogonalna ako su njeni stupci ortonormirani vektori. I svojstva simetrične matrice možemo aključiti da postoji ortogonalna matrica T takva da je T AT dijagonalna. Za ortogonalne se matrice može pokaati da vrijedi: ) T ý T T, tj. inverna matrica matrice T jednaka je transponiranoj matrici od T; ) Determinanta ortogonalne matrice jednaka je ili ø. (3,str.7) I definicije ortogonalnog operatora (ortogonalne matrice) lako se može provjeriti da ortogonalni operator prevodi ortonormiranu bau ponovno u ortonormiranu bau. Da bi bae bile jednako orjentirane mora determinanta operatora (matrice) biti veća od nule (6, str. 4), što u jeiku ortogonalnih operatora nači da determinata mora biti jednaka. 8. Dijagonaliacija simetrične matrice Željeli bismo dalje pokaati da je svaka simetrična matrica slična dijagonalnoj matrici. U teorem 4 nameće se pitanje što se dogada sa svojstvenim vektorima koji odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti, tj. kolika je dimenija svojstvenog potprostora koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ čija je kratnost veća od. Odgovor ćemo preueti i (3, str.73), naime, ima li svojstvena vrijednost kratnost k, odgovarajući svojstveni potprostor će biti k-dimenionalan i unutar njega možemo pronaći k medusobno okomitih vektora. Kao aključak svega do sada rečenog, a ný 3, vrijedi: Svaka simetrična matrica A trećeg reda posjeduje točno 3 realne svojstvene vrijednosti (brojeći njihovu višestrukost) i 3 medusobno okomita svojstvena vektora. Ona je dakle slična dijagonalnoj matrici B tj. postoji ortogonalna matrica T i realni brojevi λ, λ, λ 3, tako da je λ Bý T ATý T λ () λ 3 Odnosno, a svaku simetričnu matricu postoji ortonormirana baa koju čine normirani svojstveni vektori te matrice. 9. Kvadratna forma, dijagonaliacija kvadratne forme Linearna forma. Linearna forma od 3 varijable je ira oblika Lú 3 ü ý n a i i "$# a a a 3% i! 3 () To je funkcija od 3 varijable,, 3 prvog stupnja, pa u ravoju ne može biti članova koji bi sadržavali umnožak varijabli. Kvadratna forma. Kvadratna forma od 3 varijable,, 3 je ira koji se može apisati kao Kú 3 üåý # 3% A 3 gdje je A matrica reda 3. U onaku ý 3 može se pisati u obliku () K & & 3 T A a ' a ' a 33 3 ' a i j i j * (3) i( ) j Članove oblika a i j i j, ú iý jü ovemo mješovitim ˇclanovima kvadratne forme. Dijagonaliirati kvadratnu formu podraumijeva riješiti se mješovitih članova, čime se postiže takovana kanonska forma.. Plohe drugog reda Pod pojmom ploha drugoga reda podraumijevamo skup točaka u prostoru koji je odreden jednadžbom drugog stupnja u karteijevim pravokutnim koordinatama,, tj. Fú ü " a a a 33 a a 3 a 3 a 4 a 4 a 34 a 44 ý (4) 4

5 3 5 KoG 5 / J. Beban Brkić, I. edved: Opća teorija centralnih ploha. reda gdje su koeficijenti a +,+j a 44 realni brojevi i barem jedan od brojeva a, a, a 33, a, a 3, a 3 raličit od nule. Funkciju F možemo apisati matrično: Fú ü ý # % atrice A a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 34 a 44 su realne i simetrične. - - a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 34 a i A 44 Jednadžbu (4) moguće je apisati i u obliku: 6 a Fú ü8ý a a 3 # % a a a 3 a 3 a 3 a 33 # a 4 a 4 a 34% /.. a 44 ý - - /.. (5) a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 (6) (7) Postupak svodenja kvadratne forme unutar jednadžbe (4) na kanonski oblik je sljedeći: Realna i simetrična matrica A 44 može se napisati u obliku A 44 ý TBT T (8) gdje su matrice B i T oblika: Bý λ λ λ 3 Tý # v v v 3% (9) Napomenimo da a centralnu kvadriku matrica A 44 mora biti regularna i da su u tom slučaju sve svojstvene vrijednosti λ, λ, λ 3 matrice B raličite od nule. Osim toga, budući da se radi o realnoj simetričnoj matrici svojstvene su vrijednosti realne. Stupci ortogonalne matrice T komponente su jediničnih svojstvenih vektora v, v, v 3 matrice A 44 koji pripadaju svojstvenim vrijednostima λ, λ, λ 3, poredani tako da bude dettý. atrica T predstavlja matricu prelaa i jednog desnog karteijevog sustava u drugi takoder desni karteijev sustav. Neka su sustavi ú O; ü i ú O;à ü. S pravom se može postaviti pitanje kako odrediti svojstvene vektore u slučaju da svojstvene vrijednosti λ, λ, λ 3 nisu medusobno raličite. Ukoliko su sve medusobno jednake, lako se vidi da je svaki vektor u prostoru svojstven vektor matrice A 44. Ako su dvije svojstvene vrijedosti medusobno jednake, na primjer λ ý λ ý λ 3, odrede se pripadni svojstveni vektori, v i v 3, dok se treći vektor dobije kao njihov vektorski produkt, u uvijet da v, v, v 3 čine desni sustav vektora, tj. det # v v v 3% ý. Dakle, transformacijom Tý # v v v 3% (3) prelaimo na nove koordinate à : ý T T (3) Zbog ortogonalnosti matrice T vrijedi ý T (3) dok ira (7) prelai u ABD ABD F ;:=< > TBT T?@ < a 4 a 4 a 34 >?@ a 44 : 8 ABJ ABK F 7 EF8 EG8 E/9H:I< E E E > B?@ E E < a 4 a 4 a 34 > T?@ E E a 44 : 8 E E ABJ ABD F 7 EF8 EG8 E/9H:I< E E E > B?@ E E E < αβγ>?@ E a 44 : 8 E E F 7 EF8 EG8 E/9H: λ E λ E λ 3 E αe βe γe a 44 : 8 (33) gdje smo onačili α a β ý 4 T T a 4 γ a 34 (34) Linearni se članovi,,, u (33) mogu eliminirati translacijom koordinatnog sustava: α dý ø λ _ý β ø λ γ dý ø α dý «λ β _ý b λ odnosno (35) γ dý «λ 3 λ 3 Jednadžba kvadrike poprima kanonski oblik Fú ü8ý λ λ λ 3 ý (36) gdje je ý a 44 ø α λ ø β λ ø γ λ 3 (37) Nije teško pokaati da vrijedi: ý detú Aü detú A 44 ü (38) 4

6 KoG 5 / J. Beban Brkić, I. edved: Opća teorija centralnih ploha. reda. Klasifikacija centralnih kvadrika Kanonski oblik jednadžbe kvadrike (36) apišimo u obliku λ λ i onačimo aý L ýø (39) λ 3 λ bý L λ cý$l (4) λ 3 Vrijednosti a, b, c naivamo poluosima kvadrike. ) Ako je sgnλ ý sgnλ ý sgnλ 3 ý ý sgn i a 44 tada (39) možemo napisati u obliku ýø a b c (4) koju naivamo jednadžbom imaginarnog elipsoida s poluosima a, b, c. ý ý sgn i a 44 tada ) Ako je sgnλ ý sgnλ ý sgnλ 3 (39) možemo napisati u obliku ý a b c (4) koju naivamo jednadžbom realnog elipsoida s poluosima a, b, c. 3) Ako je sgnλ ý sgnλ ý sgnλ 3 i ý tada (39) možemo napisati u obliku ý a b c (43) koju naivamo jednadžbom točke ili imaginarnog stošca s poluosima a, b, c. 4) Ako je ú sgnλ ün ú sgnλ ü ý i ú sgnλ 3 ün ú sgnü8ý i ú sgnλ ük ýlú sgnλ 3 ü tada (39) možemo napisati u obliku ø ý a b c (44) koju naivamo jednadžbom jednoplošnog hiperboloida s poluosima a, b, c. 5) Ako je ú sgnλ üo ú sgnλ üõý i ú sgnλ 3 üo jú sgnüõýæø i ú sgnλ ük ýlú sgnλ 3 ü tada (39) možemo napisati u obliku ø ýø a b c (45) koju naivamo jednadžbom dvoplošnog hiperboloida s poluosima a, b, c. 6) Ako je ú sgnλ üp dú sgnλ üàý i ú sgnλ üq ý ú sgnλ 3 ü i ý tada (39) možemo napisati u obliku a b ø ý c (46) koju naivamo jednadžbom realnog stošca s poluosima a, b, c.. Primjeri Primjer. Neka je ploha adana jednadžbom: ø ý. Karakteristična jednadžba: λ 3 ø 5λ 66λø 8ý Svojstvene vrijednosti: λ ý 5, λ ý 8, λ 3 ý. v ý ø v ý det # v v v 3% ý ý 5 ø v 3 ý ø ø sgnλ ý sgnλ ý sgnλ 3 ý sgn & a 44 Radi se o imaginarnom elipsoidu. Kanonski oblik jednadžbe: 5 Primjer. 8 Neka je ploha adana jednadžbom: ý 5ý ø ø 7ý. Karakteristična jednadžba: λ 3 ø 5λ 66λø 8ý Svojstvene vrijednosti: λ ý 5, λ ý 8, λ 3 ý. v ý ø v ý det # v v v 3% ý ýø 3 ø sgnλ ý sgnλ ý sgnλ 3 Radi se o realnom elipsoidu. Kanonski oblik jednadžbe: 5 v 3 ý ø ø ý ý sgn & a 44 8 ø 3ý. 43

7 KoG 5 / J. Beban Brkić, I. edved: Opća teorija centralnih ploha. reda det # v v v 3% ý ý ú sgnλ ü oú sgnλ üåý &sgnλ ý sgnλ 3 & ý Radi se o realnom stošcu. Kanonski oblik jednadžbe: ø 6 44 ý. Primjer 3. Neka je ploha adana jednadžbom: ý. Karakteristična jednadžba: λ 3 ø 6λ 7λø 66ý Svojstvene vrijednosti: λ ý 5834, λ ý 6, λ 3 ý v ý ø 3 v ý det # v v v 3% ý ý ø v 3 ý sgnλ ý sgnλ ý sgnλ 3 & ý Radi se o imaginarnom stošcu. Kanonski oblik jednadžbe: ý. Primjer 4. Neka je ploha adana jednadžbom: ø 6 ø 8 8 4ý. Karakteristična jednadžba: λ 3 ø 8λ ø 38λ 3ý Svojstvene vrijednosti: λ ýø 6 443, λ ý 6, λ 3 ý ø 48 v ý 6834 v ý ø v 3 ý 4 3 Primjer 5. Neka je ploha adana jednadžbom: 6 ø 6 4 8ø 4ø 8 ý. Karakteristična jednadžba: λ 3 ø λ 8λ 64ý Svojstvene vrijednosti: λ ý 4, λ ý 8, λ 3 ýø. ø v ý v ý det # v v v 3% ý v 3 ý ýø 5 ú sgnλ ü oú sgnλ üåý &ú sgnλ 3 ür oú sgnüåý & sgnλ ý sgnλ 3 Radi se o jednoplošnom hiperboloidu. Kanonski oblik jednadžbe: 4 8 ø ø 5ý. 44

8 KoG 5 / J. Beban Brkić, I. edved: Opća teorija centralnih ploha. reda Primjer 6. Neka je ploha adana jednadžbom: 5 ø 6 ø ø 4 8ø 4ý. Karakteristična jednadžba: λ 3 ø 7λ 36ý Svojstvene vrijednosti: λ ý 3, λ ý 6, λ 3 ýø. ø v ý v ý ø v 3 ý - -5 det # v v v 3% ý ý 6 ú sgnλ üs lú sgnλ ü\ý &ú sgnλ 3 üt lú sgnü\ý ø &sgnλ ý sgnλ 3 Radi se o dvoplošnom hiperboloidu. Kanonski oblik jednadžbe: ø 6ý. Literatura [] ANTON, H., RORRES,.: Elementar Linear Algebra, John Wile & Sons, Inc., New York, 994. [] BLANUŠA, D.: Viša matematika, dio, drugi sveak, Tehnička knjiga, Zagreb, 965. [3] ELEZOVIĆ, N.: Linearna algebra, Element, Zagreb, 995. [4] GURSKIJ, E. I.: Osnove linearne algebre i analitiˇcke geometrije, (na ruskom), Višejšaja škola, insk, 98. [5] HORVATIĆ K.: Linearna algebra, II dio, atematički odjel PF-a, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, 995. [6] KUREPA, S.: Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb, 978. [7] LAPAINE,., JOVIČIĆ, D.: Grafiˇcki prika konika pomoću raˇcunala, KOG, broj, Zagreb, 996. U eb o]ntv afqafmv^ẅ aoxv^vm;yzw\e dg [ ] [\]_^a`/b/crd,ef[aeg^ihfjpka[mlna[popq k;[plfr+q/sit u ^vmï a {v _a {TvOw ogn;[fho [\]_^a`/b/ck]{[nf g[mni}~gjkslao]_^a`/b/q pl] g[fa `/b ` w o [ƒ= ^gkt [fei [pln;[o wpˆ ìr ^ ˆ ib o [o 45