Quantum mechanics 1 - Lecture ožujka 2013.

Transcript

1 Quantum mechanics 1 - Lecture 3 UJJS, Dept. of Physics, Osijek 14. ožujka 2013.

2 Contents 1 Schrödingerova valna jednadžba 2 Princip korespondencije 3 Interpretacija valne funkcije 4 Ehrenfestov teorem 5 Kritika kopenhagenske interpretacije 6 Literature

3 Schrödingerova valna jednadžba Contents 1 Schrödingerova valna jednadžba 2 Princip korespondencije 3 Interpretacija valne funkcije 4 Ehrenfestov teorem 5 Kritika kopenhagenske interpretacije 6 Literature

4 Schrödingerova valna jednadžba

5 Schrödingerova valna jednadžba Valna funkcija ψ(r, t) Svojstva: 1 interferira sama sa sobom 2 velika je gdje se najvjerojatnije nalazi čestica, a mala drugdje 3 opisuje ponašanje jedne čestice Kako bi izgledala ψ? Znamo p i E i smjer x = cos(kx ωt), sin(kx ωt), e i(kx ωt), e i(kx ωt) ili lin. komb. ovih.

6 Schrödingerova valna jednadžba Tražimo jednadžbu pod uvjetima: 1 linearna 2 koeficijenti mogu sadržavati, m, e,... ali ne i p, E, k, ν,... 3 diferencijalna Pitanje Možete li se dosjetiti jednadžbe koja zadovoljava ove uvjete?

7 Schrödingerova valna jednadžba Tražimo jednadžbu pod uvjetima: 1 linearna 2 koeficijenti mogu sadržavati, m, e,... ali ne i p, E, k, ν,... 3 diferencijalna Pitanje Možete li se dosjetiti jednadžbe koja zadovoljava ove uvjete? Pitanje 2 ψ t 2 = γ 2 ψ x 2 Pod kojim uvjetom harmonijske funkcije cos(kx ωt), sin(kx ωt), e i(kx ωt), e i(kx ωt) zadovoljavaju ovu valnu jednadžbu?

8 Schrödingerova valna jednadžba Pitanje Možete li se dosjetiti jednadžbe koja zadovoljava ove uvjete? Tražimo jednadžbu pod uvjetima: 1 linearna 2 koeficijenti mogu sadržavati, m, e,... ali ne i p, E, k, ν,... 3 diferencijalna Pitanje 2 ψ t 2 = γ 2 ψ x 2 Pod kojim uvjetom harmonijske funkcije cos(kx ωt), sin(kx ωt), e i(kx ωt), e i(kx ωt) zadovoljavaju ovu valnu jednadžbu? γ = ω2 k 2 = E 2 p 2 = p2 4m 2

9 Schrödingerova valna jednadžba Tražimo jednadžbu pod uvjetima: 1 linearna 2 koeficijenti mogu sadržavati, m, e,... ali ne i p, E, k, ν,... 3 diferencijalna Rješenje E = p2 2m ω = k 2 2m ψ t = γ 2 ψ x 2 Pitanje Pod kojim uvjetom funkcija e i(kx ωt) zadovoljava ovu jednadžbu?

10 Schrödingerova valna jednadžba Rješenje Tražimo jednadžbu pod uvjetima: 1 linearna 2 koeficijenti mogu sadržavati, m, e,... ali ne i p, E, k, ν,... 3 diferencijalna E = p2 2m ω = k 2 2m ψ t = γ 2 ψ x 2 Pitanje Pod kojim uvjetom funkcija e i(kx ωt) zadovoljava ovu jednadžbu? γ = iω k = i E 2 p 2 = i 2m

11 Schrödingerova valna jednadžba Tražimo jednadžbu pod uvjetima: 1 linearna 2 koeficijenti mogu sadržavati, m, e,... ali ne i p, E, k, ν,... 3 diferencijalna Schrödingerova jednadžba i ψ t = 2 2 ψ 2m x 2

12 Schrödingerova valna jednadžba Schrödingerova jednadžba za slobodnu česticu u 3 dimenzije p = k e i(k r ωt) = i ψ t = 2 2m ψ

13 Schrödingerova valna jednadžba Ukupna sila F(r, t) = E = p2 + V (r, t) 2m Schrödingerova jednadžba za česticu mase m u polju sila F(r, t) i ψ t = 2 ψ + V (r, t)ψ 2m

14 Schrödingerova valna jednadžba Tražimo jednadžbu pod uvjetima: 1 linearna 2 koeficijenti mogu sadržavati, m, e,... ali ne i p, E, k, ν,... 3 diferencijalna

15 Schrödingerova valna jednadžba Tražimo jednadžbu pod uvjetima: 1 linearna 2 koeficijenti mogu sadržavati, m, e,... ali ne i p, E, k, ν,... 3 diferencijalna Princip superpozicije Ako su ψ 1,..., ψ n rješenja Schrödingerove jednadžbe, tada je i linearna kombinacija tih rješenja ψ = c 1ψ 1 + c nψ n = n c i ψ i i=1 opet rješenje Schrödingerove jednadžbe.

16 Princip korespondencije Contents 1 Schrödingerova valna jednadžba 2 Princip korespondencije 3 Interpretacija valne funkcije 4 Ehrenfestov teorem 5 Kritika kopenhagenske interpretacije 6 Literature

17 Princip korespondencije Klasična mehanika E = p2 + V (r, t) 2m Kvantna mehanika i ψ t = 2 ψ + V (r, t)ψ 2m Pitanje Što možete, iz usporedbe ovih dvaju izraza, zaključiti o E i p?

18 Princip korespondencije Klasična mehanika E = p2 + V (r, t) 2m Kvantna mehanika i ψ t = 2 ψ + V (r, t)ψ 2m Pitanje Što možete, iz usporedbe ovih dvaju izraza, zaključiti o E i p? E i ψ t, p i

19 Princip korespondencije Princip korespondencije Fizikalnim veličinama q iz klasične mehanike odgovaraju pripadajući (linearni) operatori ˆq u kvantnoj mehanici. E ψ Ê = i t, p ˆp = i, r ˆr = r, L ˆL = ˆr ˆp

20 Interpretacija valne funkcije Contents 1 Schrödingerova valna jednadžba 2 Princip korespondencije 3 Interpretacija valne funkcije 4 Ehrenfestov teorem 5 Kritika kopenhagenske interpretacije 6 Literature

21 Interpretacija valne funkcije Pitanje Što predstavlja ψ? Gar Manches rechnet Erwin schon Mit senier Wellenfunktion Nur wissen möcht man gerne wohl Was man sich dabei vorstell n soll. Erich Hückel, Zürich, ljeto 1926

22 Interpretacija valne funkcije Pitanje Što predstavlja ψ? Bohr, Kramers, Slater (1924); Einstein - svjetlost = val vjerojatnosti P aps/emis = I A 2 Schrödinger (1926) kopenhagensko tumačenje (proljeće 1927) Solveyeva konferencija (jesen 1927) many-world interpretacija.

23 Interpretacija valne funkcije Pitanje Što predstavlja ψ? Elektron Bohr, Kramers, Slater (1924); Einstein - svjetlost = val vjerojatnosti P aps/emis = I A 2 Schrödinger (1926) kopenhagensko tumačenje (proljeće 1927) Solveyeva konferencija (jesen 1927) many-world interpretacija. Wilsonova maglena komora.

24 Interpretacija valne funkcije Pitanje Što predstavlja ψ? Bohr, Kramers, Slater (1924); Einstein - svjetlost = val vjerojatnosti P aps/emis = I A 2 Schrödinger (1926) kopenhagensko tumačenje (proljeće 1927) Solveyeva konferencija (jesen 1927) many-world interpretacija.

25 Interpretacija valne funkcije Max Born (1927) Göttingen - Hilbert & Minkowski 7 njegivih asistenata - 7 Nobelovih nagrada (Delbrück, Fermi, Heisenberg, Goeppert-Mayer, Herzberg, Pauli, Wigner) statistička interpretacija ( Kopenhagener Geist der Quantentheorie ) Einstein: The Old One does not play dice. Utjecaji 1 rad Schrödingera 2 rad Heisenberga - matrična mehanika, relacije neodredenosti 3 radovi de Brogliea, Einsteina,...

26 Interpretacija valne funkcije Interpretacija valne funkcije ψ ψ(r, t) = Re(ψ) + Im(ψ)i ρ = ψ (r, t)ψ(r, t) = ψ(r, t) 2 0 gustoća vjerojatnosti nalaženja P = V elektrona na mjestu r u trenutku t ψ amplituda vjerojatnosti ρ(r, t)dv vjerojatnost nalaženja

27 Interpretacija valne funkcije

28 Interpretacija valne funkcije Pitanje Koliko iznosi vjerojatnost nalaženja čestice bilo gdje u prostoru?

29 Interpretacija valne funkcije Pitanje Koliko iznosi vjerojatnost nalaženja čestice bilo gdje u prostoru? ρ(r, t)dv = 1 V Normiranje valne funkcije Ako je ψ rješenje S.J., onda je i Nψ, N C. N 2 ρ(r, t)dv = 1 N konstanta normiranja V

30 Interpretacija valne funkcije Normiranje valne funkcije Ako je ψ rješenje S.J., onda je i Nψ, N C. N 2 ρ(r, t)dv = 1 N konstanta normiranja V non-normalizable square-integrable

31 Interpretacija valne funkcije Očuvanje normiranosti (Dokaz naučite iz ref. [6]) ψ S.J. c.c.s.j. ψ = = d dt ρ t + j = 0 jednadžba kontinuiteta V ρdv = 0 / dv

32 Interpretacija valne funkcije Primjer 1. U trenutku t = 0 čestica je predstavljena valnom funkcijom A x a, 0 x a, gdje su A, a i b konstante. ψ(x, 0) = a) Normirajte valnu funkciju ψ. b) Skicirajte valnu funkciju ψ. A b x b a, a x b, 0, inače, c) Gdje je najvjerojatnije da će se naći čestica u t = 0? d) Kolika je vjerojatnost nalaženja čestice lijevo od a? Izračunajte i za slučajeve b = a i b = 2a.

33 Interpretacija valne funkcije Primjer 1. (nast.) a) U.N. = a 0 b a ψ 2 dx = 1 = A 2 x 2 a 2 dx = 1 3 a A }{{} a A 2 (b x) 2 (b a) dx = 1 (b 2 a) A b a + b }{{} ψ = 0 ψ = a A (b a) A 2 = 1 3 = A = ± b

34 Interpretacija valne funkcije Primjer 1. (nast.) b) a = 2, b = 5

35 Interpretacija valne funkcije Primjer 1. (nast.) c) P ρ

36 Interpretacija valne funkcije Primjer 1. (nast.) d) P = a ψ 2 dx = 0 a + = 3 a x 2 0 b 0 a dx = a 2 b }{{} ψ = 0 b = a = P = 1 b = 2a = P = 1 2

37 Interpretacija valne funkcije Hidrodinamika, elektrodinamika,... Jednadžba kontinuiteta ρ t + j = 0 ρ gustoća vjerojatnosti - direktno opažljiva veličina j = 1 2m [ψ ( i ψ) + ( i ψ) ψ] gustoća struje vjerojatnosti

38 Interpretacija valne funkcije ψ ρ P ˆQ(r, t) - kvantno-mehanički operator (ˆr, ˆp, Ê, ˆV,...) Očekivanje operatora ˆQ ˆQ = ψ (r, t) ˆQψ(r, t)dv ˆQ R - srednja vrijednost rezultata mjerenja na nezavisnim sustavima Npr. E = p = ψ i t ψdv ψ ( i ) ψdv

39 Interpretacija valne funkcije ψ ρ P ˆQ(r, t) - kvantno-mehanički operator (ˆr, ˆp, Ê, ˆV,...) Očekivanje operatora ˆQ ˆQ = ψ (r, t) ˆQψ(r, t)dv ˆQ - srednja vrijednost rezultata mjerenja na nezavisnim sustavima Pitanje Protumačite što znači očekivanje kvantno-mehaničkog operatora.

42 Interpretacija valne funkcije Primjer 2 Izračunajte očekivanje od x za česticu iz Primjera 1. x = ψ xψdx = x ψ 2 dx = a 0 x DZ = 2a + b 4 x 3 b x 2 a 2 dx + b a x 3 b (b x) 2 (b a) 2 dx

43 Interpretacija valne funkcije Primjer 3. Izračunajte očekivanje i neodredenost položaja za česticu u stanju: ψ(x) = Ae (x x 0 ) 2 4a 2

44 Interpretacija valne funkcije Primjer 3. (nast.) 1 Normiranje valne funkcije ψ 2 dx = 1 = A 2 = 1 a 2π

45 Interpretacija valne funkcije Primjer 3. (nast.) 1 Normiranje valne funkcije 2 Očekivanje ψ 2 dx = 1 = A 2 = 1 a 2π x = ψ xψdx = x 0

46 Interpretacija valne funkcije Primjer 3. (nast.) 1 Normiranje valne funkcije 2 Očekivanje x 3 Neodredenost x ψ 2 dx = 1 = A 2 = 1 a 2π x = ψ xψdx = x 0 ( x) 2 = x 2 x 2 x 2 = a 2 + x0 2 ( x) 2 = a 2 = Var(x)

47 Ehrenfestov teorem Contents 1 Schrödingerova valna jednadžba 2 Princip korespondencije 3 Interpretacija valne funkcije 4 Ehrenfestov teorem 5 Kritika kopenhagenske interpretacije 6 Literature

48 Ehrenfestov teorem Pitanje Što se dogada s očekivanjem (npr. x ) kako teče vrijeme, te da li to uopće ima smisla pitati?

49 Ehrenfestov teorem Detalje izvoda možete naučiti iz ref. [6] i [8]. d dt x = d ψ ψ xψdx = dt t xψdx + i ψ t i ψ t d i x = dt 2m = 2 2m ψ + V ψ = 2 2m ψ + V ψ d i x = dt 2m S.J. c.c.s.j. (ψ x ψ ψ xψ) dx = i 2m x φ dx }{{} x x (xφ) φ ψ x ψ t dx x (ψ ψ ψ ψ) dx }{{} ( ) ψ ψ x x ψ x ψ }{{} φ

50 Ehrenfestov teorem d [ i x = dt 2m (xφ) dx } x {{} S V (xφ) nds d ( i x = ψ ψ dt 2m x d dt x = i m d dt x = i m ] φdx = Sv ψ 0 φ 0 ψ x ψ }{{} x (ψ ψ) ψ ψ x ψ ψ i dx + x 2m ψ ψ x dx = 1 m ) dx x (ψ ψ)dx }{{} S V (ψ ψ) nds ψ ( i x = Sv ψ 0 ) ψdx = 1 m ψ p xψdx

51 Ehrenfestov teorem Ehrenfestov teorem U kvantnoj mehanici srednje vrijednosti (očekivanja) operatora odgovaraju veličinama u klasičnoj mehanici. Klasična mehanika se dobiva kao granični slučaj kvantne mehanike: ako srednje vrijednosti dobro opisuju fizikalni sustav, tada je primjenjiva klasična mehanika, i srednje vrijednosti operatora fizikalnih veličina su jednake klasičnima; ako ne, tada je potrebno slijediti zakone kvantne mehanike. Klasična mehanika dr dt = p m, dp dt = V Kvantna mehanika d dt r = 1 m p, d p = V dt

52 Kritika kopenhagenske interpretacije Contents 1 Schrödingerova valna jednadžba 2 Princip korespondencije 3 Interpretacija valne funkcije 4 Ehrenfestov teorem 5 Kritika kopenhagenske interpretacije 6 Literature

53 Kritika kopenhagenske interpretacije 5. Solvayeva konferencija Electrons et photons (listopad 1927)

54 Kritika kopenhagenske interpretacije Einstein (realisti) Bohr (instrumentalisti) Misaoni eksperimenti pokus s dvije pukotine Schrödingerova mačka Wignerov prijatelj EPR paradoks

55 Kritika kopenhagenske interpretacije Pokus s dvije pukotine

56 Kritika kopenhagenske interpretacije Pokus s dvije pukotine Bohrov odgovor In particular, it must be very clear that...the unambiguous use of spatiotemporal concepts in the description of atomic phenomena must be limited to the registration of observations which refer to images on a photographic lens or to analogous practically irreversible effects of amplification such as the formation of a drop of water around an ion in a dark room.

57 Kritika kopenhagenske interpretacije Schrödingerova mačka [9,10]

58 Kritika kopenhagenske interpretacije Schrödingerova mačka [9,10] Odgovor kopenhagenske škole Problema ustvari nema. Valna funkcija opisuje samo naše znanje o stanju sustava, a ne stvarno stanje. Čak i objektivni promatrač (npr. Geigerov brojač) može ostvariti iskapljivanje valne funkcije. To vodi k tzv. problemu mjerenja. Odgovor many worlds interpretacije Superponirano stanje se činom promatranja razdvaja na dva dekoherentna stanja.

59 Kritika kopenhagenske interpretacije Wignerov prijatelj

60 Kritika kopenhagenske interpretacije Wignerov prijatelj Odgovor Iskapljivanje valne funkcije je relativno s obzirom na promatrača. Treba razlikovati objektivnu prirodu realnosti i subjektivnu prirodu vjerojatnosti. Vodi k pitanju svjesti.

61 Kritika kopenhagenske interpretacije Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) eksperiment (1935) [11,12]

62 Kritika kopenhagenske interpretacije Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) eksperiment (1935) [11,12] Objašnjenje paradoksa Iskapljivanje valne funkcije je subjektivno. Prijenos informacije drugom motritelju podliježe zakonima relativnosti. teorija skrivenih varijabli Bellove nejednakosti

63 Literature Contents 1 Schrödingerova valna jednadžba 2 Princip korespondencije 3 Interpretacija valne funkcije 4 Ehrenfestov teorem 5 Kritika kopenhagenske interpretacije 6 Literature

64 Literature Literature 1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, San Francisco, L. I. Ponomarev, Kvantna kocka, Školska knjiga, Zagreb, Rad de Brogliea 4 Rad Schrödingera 1 5 Rad Schrödingera 2 6 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ, Bornovo predavanje prilikom uručenja Nobelove nagrade 8 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Comapny, New York, Rad Schrödingera Quantum Leap (minute 17:00-37:40) 12 T. Petković, Moderna eksperimentalna fizika i spoznajna teorija, Školska knjiga, Zagreb, 1990.