FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO

Transcript

1 FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO v Braislave Ekonomická a finančná maemaika DIPLOMOVÁ PRÁCA 2004 Anon Malesich

2 FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO v Braislave Ekonomická a finančná maemaika DIPLOMOVÁ PRÁCA Modelovanie reálneho efekívneho výmenného kurzu Auor: Anon Malesich Vedúci diplomovej práce: RNDr. Juraj Zeman, CSc.

3 Česne vyhlasujem, že som úo diplomovú prácu vypracoval samosane, len s použiím uvedenej lieraúry. V Braislave 5.apríla 2004 Anon Malesich

4 Poďakovanie Ďakujem vedúcemu diplomovej práce RNDr. Jurajovi Zemanovi, CSc. za všesrannú pomoc a cenné rady pri vorbe ejo práce. Ďakujem svojim rodičom, korí mi boli veľkou oporou počas celého vysokoškolského šúdia.

5 OBSAH Úvod 5. Základné vlasnosi časových radov 6. Sacionárne časové rady 6.2 Inegrované procesy 7.3 Vizuálne porovnanie sacionárnych a nesacionárnych časových radov 8 2. Tesovanie procesov I() 9 2. Sochasický proces I() Dickey-Fullerove esy 0 3. Koinegrácia 5 3. Lineárna kombinácia inegrovaných premenných Koinegrácia a vzťah medzi rendovými zložkami Vzťah koinegrácie a error correcion modelov Hodnosť maice a charakerisické korene Tesovanie hypoéz v koinegračnom vzťahu Tesovanie koinegrácie Johansenova meodológia Reálny efekívny výmenný kurz SR Základné pojmy a eoreické východisko modelu Konšrukcia časových radov a vybrané makroekonomické ukazovaele Priebeh časových radov Ekonomerická meodológia a nájdené modely Analýza cilivosi koeficienov Predikcie reálneho efekívneho výmenného kurzu 50 Záver 56 Použiá lieraúra 58 Prílohy 59

6 Úvod V diplomovej práci sa snažíme popísať vývoj rovnovážneho reálneho výmenného kurzu Slovenskej republiky meraného cenami sporebieľov. Tako zadefinovaný by mal odrážať kúpnu silu obyvaeľov v domácej krajine v porovnaní so zahraničím. Keďže po vsupe SR do EMU bude nominálny výmenný kurz pevne zafixovaný na euro, odchýlky akuálneho reálneho výmenného kurzu od rovnovážneho budú môcť byť korigované len zmenou cenových hladín. Z oho dôvodu sa objavuje oázka, aký by mal byť rovnovážny výmenný kurz SKK voči EUR pri vsupe do menovej únie. Ak by sme do EMU vsúpili s podhodnoeným výmenným kurzom, ak rovnovážny sav by bolo možné dosiahnuť rýchlejším rasom cien doma ako v zahraničí. Znamenalo by o väčšiu infláciu v domácej krajine. Za predpokladu, že by vyššia inflácia nervala príliš dlho, ak prevzaie eura pri mierne podhodnoenom výmennom kurze nepredsavuje príliš veľké riziko. Opačný prípad nasáva, keď do eurozóny vsúpime s nadhodnoeným výmenným kurzom. Teraz je na dosiahnuie rovnováhy nuné, aby ceny v domácej krajine rásli pomalšie ako v zahraničí. V prípade, že v Európskej únii bude inflácia veľmi nízka, pomalý náras cien na Slovensku môže vyúsiť do deflácie a s ňou spojeného znižovania produkcie či zvyšovania nezamesnanosi. Preo oázka správneho nasavenia pariy slovenskej koruny voči euru zohráva podsanú úlohu. Diplomová práca je rozdelená do šyroch kapiol. Prvé ri slúžia ako eoreický podklad pre švrú, korú by sme mohli označiť prakickou časťou ejo práce. Prvá kapiola podáva sručné vysvelenie základných pojmov. Popisuje niekoré rozdiely medzi sacionárnymi a nesacionárnymi časovými radmi. V druhej kapiole sa súsredíme hlavne na nesacionárne premenné a spôsob ich esovania. Treia kapiola je zameraná na popis koinegrácie - ekonomerickej meódy, korá slúži ako základný násroj nie len v poslednej časi ejo diplomovej práce, ale aj pri mnohých iných ekonomerických modeloch. Švrá - záverečná kapiola, využíva aplikovanie eoreických poznakov z predošlých časí na modelovanie reálneho efekívneho výmenného kurzu SR. Pomocou vhodných makroekonomických ukazovaeľov podložených ekonomickou eóriou sa snažíme nájsť modely, koré vysveľujú správanie sa výmenného kurzu. Pokúsime sa zisiť, v korom období bol kurz nadhodnoený a kedy podhodnoený. Záverečnú časť venujeme predikciám a pokúsime sa zodpovedať vyššie položenú oázku rovnovážneho pomeru slovenskej koruny voči euru pri vsupe do EMU.

7 . Základné vlasnosi časových radov. Sacionárne časové rady Nech ( Ω, F, P) je ľubovoľný pravdepodobnosný priesor a nech T je podmnožina E. () Nech X je pre každé T náhodná veličina definovaná na pravdepodobnosnom priesore ( Ω, F, P). Poom množinu X = { X () ; T} náhodných premenných X () nazývame náhodný (sochasický) proces. Náhodný proces X = { X () ; T} môžeme chápať aj ako funkciu dvoch premenných, eda môžeme písať: X = { X (, ω) ; T, ω Ω}, pričom pre každé fixné T je funkcia X (, ω ) náhodná premenná na ( Ω, F, P). Ak T obsahuje len konečne alebo spočíaeľne veľa hodnô, ak hovoríme o sochasickom procese s diskrénym časom, korý sa v praxi zvykne označovať aj ako časový rad. Pre každé fixované ω Ω sa funkcia X (, ω paramera nazýva rajekória alebo realizácia náhodného procesu. ) Pre náhodný proces { y } sú definované základné šaisické charakerisiky ako funkcie premennej T : T. Sredná hodnoa E[ y ] = µ T 2. Variancia 2 D[ y] = E[( y E( y)) ] 3. Kovariancia ( )( Cov( y, y s) = E y E( y) y s E( y s) Sochasický proces { y} T s konečnou srednou hodnoou a s konečnou varianciou sa nazýva sacionárny (slabo sacionárny), ak pre každé a s plaí: ). E( y ) = E( y ) = µ 2. s y µ = y s µ = σ y ( ) 2 Var[ y ] = Var[ y ] = σ s y E[( ) ] E[( ) ] 3. E[( y µ )( y s µ )] = E[( y j µ )( y j s µ )] = γ s ( Cov[ y, y ] = Cov[ y, y ] = γ s j j s s) 2 kde µ, σ a všeky γ sú konšany. y s

8 Kapiola : Základné vlasnosi časových radov 7 Všimnime si, že sredná hodnoa ani variancia slabo sacionárneho procesu nezávisia na čase. Kovariancia, korá sa zvykne označovať aj ako kovariančná funkcia, závisí len od vzdialenosi argumenov. Bielym šumom budeme nazývať sochasický proces { } aký, že plaia nasledovné vzťahy: E( ε ) = 0 ε 2 σ 0 (.) ε k = E( ε, ε + k) = 0 k 0 Pre sacionárny časový rad { y } s konšannou srednou hodnoou E[( y )] = µ T 2 a varianciou Va r[( y )] σ definujeme hodnou auokovariančnej funkcie v bode k : = y γ k γ = E[( y µ )( y µ )] = Cov( y, y ) k k k (.2) Následne môžeme zadefinovať auokorelačnú funkciu (ACF) v bode k : ρ γ k k = (.3) γ 0 Z predošlých dvoch vzťahov vidno, že auokovariančná a auokorelačná funkcia sú párne. Keďže ρ = a ρ, ak korelogram, graf auokorelačnej funkcie, sačí vykresľovať len 0 k pre kladnú polos. Vo všeobecnosi var auokorelačnej funkcie slúži ako násroj pre vhodnú idenifikáciu modelu..2 Inegrované procesy Sochasický proces nazývame inegrovaný rádu d, (označ. I(d)) ak jeho diferencovaním rádu d získame sacionárny rad. Proces náhodnej prechádzky je proces varu kde ε predsavuje biely šum. µ = µ + ε (.4)

9 Kapiola : Základné vlasnosi časových radov 8 Ak do predošlého vzťahu pridáme konšanu, dosaneme akzvaný proces náhodnej prechádzky s lineárnym deerminisickým rendom s drifom. µ = δ + µ + ε (.5) Poznámky:. Vzťah (.4) predsavuje proces AR(). Nie je však splnená podmienka sacionariy, korá pre proces y = ϕ y + má var ϕ <. ε 2. Proces náhodnej prechádzky definovaný v (.4) je inegrovaný rádu ; µ I, preože až po diferencovaní získame sacionárny rad: µ = µ µ = ε I(0) 3. Sacionárne sochasické procesy budeme označovať I(0). Príkladom je: ε I( 0) ().3 Vizuálne porovnanie sacionárnych a nesacionárnych časových radov V ďalších časiach diplomovej práce sa budeme zaoberať nesacionárnymi časovými radmi. Dôležiým fakorom bude určiť rád inegrácie daného časového radu. Najzákladnejšie vizuálne rozdiely medzi sacionárnymi a nesacionárnymi časovými radmi môžeme zhrnúť do niekoľkých bodov. Sacionárny časový rad vo všeobecnosi: V dlhodobom časovom horizone flukuuje okolo svojej konšannej srednej hodnoy Má konečnú varianciu, korá je časovo invarianná Má eoreický korelogram, korý klesá Na druhej srane, pre nesacionárny časový rad plaí: Z dlhodobého hľadiska u neexisuje sredná hodnoa, ku korej by rad konvergoval Variancia je závislá od času a rasie spolu s časom. Pre konečný časový rad (vzorku) korelogram klesá veľmi pomaly Hoci korelogram je dobrým prosriedkom pre posúdenie sacionárnosi modelu, niekedy môže byť značne nepresný. Prakická časť diplomovej práce si bude vyžadovať časové rady ypu I(). Skôr než s nimi začneme pracovať, bude reba overiť, či spĺňajú úo podmienku. Lepšou alernaívou ako porovnávať korelogramy je použiť šaisický es, korý si predsavíme v ďalšej kapiole. V prílohe č. uvádzame príklad grafického rozdielu medzi sacionárnym a nesacionárnym časovým radom.

10 2. Tesovanie procesov I() V ejo kapiole popíšeme spôsob ako overiť, či je proces inegrovaný alebo sacionárny. Zameriame sa hlavne na I() procesy, koré sa v lieraúre zvyknú označovať aj ako procesy obsahujúce uni roo. Popíšeme Dickey-Fullerove esy a všeobecnú procedúru esovania I() procesov. 2. Sochasický proces I() Príkladom, kedy reba overovať, či sú procesy inegrované alebo sacionárne, je prípad ich použiia v regresnej rovnici. Siuáciu si môžeme predsaviť pomocou dvoch sochasických procesov {y } a {z }. Uvažujme, že chceme spraviť regresiu y a a z ε = (2.) Môžu nasať nasledovné siuácie: Oba procesy {y } aj {z } sú sacionárne. Poom môžeme použiť klasické meódy odhadovania. {y } aj {z } sú inegrované rôzneho rádu. Vedy regresia (2.) nedáva zmysel a nemá žiadnu logickú inerpreáciu {y } aj {z } sú inegrované rovnakého rádu, ale rezíduá obsahujú sochasický rend. Takáo regresia iež nie je vhodná, preože chyby sú permanenné. Časo sa doporučuje odhadnúť rovnicu v diferenciách. Za predpokladu že {y } aj {z } sú I(), prvé diferencie sú sacionárne a rovnicu odhadujeme v vare y = a z + ε. Ak jeden z rendov je deerminisický a druhý sochasický, diferencovanie nie je správna voľba riešenia. {y } aj {z } sú nesacionárne, inegrované rovnakého rádu a rad rezíduí je sacionárny. V akomo prípade môžeme {y } aj {z } odhadovať meódou koinegrácie, korú popíšeme v ďalšej kapiole. Má preo zmysel uvažovať o esoch na inegráciu. Predsavme si sochasický proces varu y = a y + ε (2.2)

11 Kapiola 2: Tesovanie procesov I() 0 Ak a =, proces {y } je inegrovaný rádu jedna - I(). Keď rasie čas, rasie aj variancia. V akomo prípade, za predpokladu nulovej hypoézy (H 0 : a =), nemôžeme použiť klasické meódy na odhad koeficiena a. Použiie klasického esu pod nulovou hypoézou pripúšťajúcou nesacionárnosť je akiež neprípusné. Preo bolo nuné vymyslieť násroj na esovanie procesov I(). Dickey a Fuller (979, 98) odvádzajú formálnu meodológiu na vykonanie ýcho esov. Je založená na Mone Carlo simuláciách: V prvom kroku vygenerujeme množinu náhodných čísel, koré budú normálne rozdelené a nekorelované. Tieo hodnoy predsavujú rad {ε }. V druhom kroku pomocou množiny vygenerovaných hodnô {ε } vypočíame podľa (2.2) hodnoy radu {y }, pričom položme y 0 = 0 a a =. Ak zopakujeme oba kroky isíckrá, dosaneme isíc procesov predsavujúcich náhodnú prechádzku. Pre každú z nich môžeme odhadnúť koeficien a. Analogicky posupovali aj Dickey a Fuller. V rovnici y = a 0 + a y - + ε odhadovali koeficien a a na základe experimenov zisili, že pre rad {y } dĺžky 00 plaí: 90% odhadovaných hodnô a je menších ako 2.58-násobok šandardnej odchýlky od jednoky 95% odhadovaných hodnô a je menších ako 2.89-násobok šandardnej odchýlky od jednoky 99% odhadovaných hodnô a je menších ako 3.5-násobok šandardnej odchýlky od jednoky 2.2 Dickey-Fullerove esy V predošlej časi sme naznačili, že ak a =, ak proces (2.2) y = a y - + ε je inegrovaný rádu jedna 2. Na omo základe sú založené aj Dickey-Fullerove esy. Od obidvoch srán rovnice (2.2) odpočíajme výraz y -. To vedie k varu y = γ y +, kde γ = a. Tesovanie hypoézy a = je ekvivalenné s esovaním γ = 0. Dickey a Fuller uvádzajú nasledovné vary rovníc na esovanie inegrácie rádu jedna: ε 2 Aby bol proces y = a y - + ε sacionárny, je nuné, aby < a <. Ak γ = a, ak ekvivalenná podmienka sacionárnosi procesu y = a y - + ε je: 2 < γ < 0.

12 Kapiola 2: Tesovanie procesov I() y = γ y + ε y = a + γ y + ε 0 y = a0 + γ y + a2+ ε (2.3) (2.4) (2.5) Prvá rovnica predsavuje základný var, druhá a reia obsahujú aj deerminisické členy - priesečník a 0 a lineárny časový rend a 2. Vo všekých roch rovniciach je paramerom záujmu γ. Za predpokladu nulovej hypoézy H 0 : γ = 0 je {y } inegrovaný I(). Ak chceme zisiť, či náš skúmaný rad {y } je I(), odhadneme niekorú z vyššie uvedených rovníc meódou najmenších švorcov. Dosaneme odhad koeficienu γ a aj jeho šandardnú odchýlku. Na základe porovnania príslušnej hodnoy -šaisiky s ou, korú uvádza Dickey a Fuller sa rozhodneme, či: zamieame H 0 : γ = 0 {y } je sacionárny proces nezamieame H 0 : γ = 0 {y } je proces I() Tieo kriické hodnoy môžeme nájsť v priloženej abuľke v prílohe č.2. Závisia od ypu použiej regresie a dĺžky časového radu. Pre regresiu v vare (2.3) sa kriické hodnoy nachádzajú v časi τ, pre (2.4) v časi τ µ a pre rovnicu (2.5) sú zaznamenané v časi τ τ. V sekcii τ µ vidíme, že pre časový rad dĺžky 00 sú kriické hodnoy -šaisiky 2.58, 2.89 a 3.5 na 0%, 5% a % nej hladine významnosi. Príklad: Predsavme si, že skúmame časový rad {y } varu y = a + a y + ε. Nech po preransformovaní pomocou (2.4) dosaneme odhad koeficiena γ = Ďalej predpokladajme, že šandardná odchýlka oho člena je Poom pri esovaní hypoézy H 0 : γ = 0 zisťujeme, že hodnoa nami vypočíanej -šaisiky je: ( ) / = Preo H0 nezamieame na žiadnej zo šandardných hladín významnosi a môžeme vrdiť, že {y } je proces I(). Kriické hodnoy osanú nezmenené, ak namieso (2.3), (2.4) a (2.5) budeme uvažovať rovnice y = γ y + β y + ε p i i+ i= 2 p y = a + γ y + β y + ε 0 i i+ i= 2 p y = a + γ y + a + β y i i+ i= 2 ε (2.6) (2.7) (2.8)

13 Kapiola 2: Tesovanie procesov I() 2 Ak náš skúmaný časový rad esujeme pomocou ýcho regresií, používame zv. rozšírený Dickey-Fullerov es. Na esovanie hypoézy γ = 0 používame už spomenué šaisiky τ, τ µ a τ τ. Okrem oho, Dickey a Fuller poskyujú aj F-šaisiky označované φ, φ 2 a φ 3. Pomocou φ šaisiky esujeme v rovnici (2.4) alebo (2.7) nulovú hypoézu γ = a 0 = 0. φ 2 šaisiky esujeme v rovnici (2.5) alebo (2.8) nulovú hypoézu γ = a 0 = a 2 = 0. φ 3 šaisiky esujeme v rovnici (2.5) alebo (2.8) nulovú hypoézu γ = a 2 = 0. φ, φ 2 a φ 3 sú konšruované ako všeobecné F-esy: * (RSS RSS)/ r φ i = RSS/( T k) kde RSS = suma švorcov rezíduí v nerešringovanom modeli RSS * = suma švorcov rezíduí v rešringovanom modeli r = poče rešrikcií T = poče použieľných pozorovaní k = poče odhadovaných paramerov v nerešringovanom modeli T k = poče supňov voľnosi v nerešringovanom modeli Porovnajme vypočíané hodnoy φ i s ými, čo uvádzajú Dickey a Fuller v abuľke 2.. Nulová hypoéza je, že dáa sú generované rešringovaným modelom. Alernaíva znie, že dáa sú generované nerešringovaným modelom. Ak nami vypočíané φ i prevyšujú ie v abuľke, nulovú hypoézu zamieame. Podrobnejšie uvádzame kriické hodnoy φ i šaisík v prílohe č.3. Takiež môžeme esovať významnosť priesečníka a 0 alebo časového rendu a 2 pod nulovou hypoézou γ = 0. Za predpokladu γ = 0: na esovanie hypoézy a 0 = 0 v rovnici (2.7) používame kriickú hodnou τ αµ na esovanie hypoézy a 0 = 0 v rovnici (2.8) používame kriickú hodnou τ ατ na esovanie hypoézy a 2 = 0 v rovnici (2.8) používame kriickú hodnou τ βτ. Nasledovná abuľka sručne popisuje spomenué šaisiky a ich kriické hodnoy na najpoužívanejších hladinách významnosi pre časový rad dĺžky 00.

14 Kapiola 2: Tesovanie procesov I() 3 Tabuľka 2.: Model y = a 0 + γy - + a 2 + ε y = a 0 + γy - + ε Hypoéza Tesovacia šaisika Kriické hodnoy pre 95% a 99% inerval spoľahlivosi γ = 0 τ τ -3,45 a -4,04 a 0 = 0 za podmienky γ = 0 τ ατ 3, a 3,78 a 2 = 0 za podmienky γ = 0 τ βτ 2,79 a 3,53 γ = a 2 = 0 φ 3 6,49 a 8,73 a 0 = γ = a 2 = 0 φ 2 4,88 a 6,50 γ = 0 τ µ -2,89 a -3,5 a 0 = 0 za podmienky γ = 0 τ αµ 2,54 a 3,22 a 0 = γ = 0 φ 4,7 a 6,70 y =γy - + ε γ = 0 τ -,95 a -2,60 Doposiaľ sme sa nikde nezmienili, korú z rovníc (2.6), (2.7) a (2.8) použiť pri esovaní neznámeho procesu {y }, o korom nevieme, či v skuočnosi obsahuje časový rend alebo priesečník a 0. Nesprávny výber môže viesť k chybnému záveru o posúdení rádu inegrácie. Z oho dôvodu popíšeme všeobecný posup esovania premennej I(). Schemaicky si ho znázorníme na obrázku 2.. Obrázok 2.: Odhadnúť: y = a + γ y + a + β y + ε 0 2 i i Nie Je γ = 0? + STOP: Proces { }nie je I(). y Je a 2 = 0 za predpokladu γ = 0? Áno: Nasleduje es príomnosi rendu Nie Je γ = 0 použiím normálneho rozdelenia? Nie Áno STOP: Proces { } je I(). y Áno Odhadnúť y = a 0 + γ y + β i y + ε Nie STOP: Proces { y }nie je I(). Je γ = 0? Je a 0 = 0 za predpokladu γ = 0? Áno: Nasleduje es príomnosi priesečníka Nie Je γ = 0 použiím normálneho rozdelenia? Nie Áno STOP: Proces { } je I(). y Áno Odhadnúť y = γ y + β y + ε Je γ = 0? i Nie Áno STOP: Proces { }nie je I(). y STOP: Proces { } je I(). y

15 Kapiola 2: Tesovanie procesov I() 4 Krok : Začneme s modelom (2.8), korý má najmenej rešrikcií. Na esovanie nulovej hypoézy H 0 : γ = 0 použijeme τ τ šaisiku. Ak zamieame H 0, nereba ďalej pokračovať a prehlásime, že proces {y } nie je I(). Krok 2: Ak H 0 nebola zamienuá, reba oesovať, či v predošlom kroku nebolo zahrnuých príliš veľa premenných. Tesujeme významnosť časového rendu (člena a 2 ) za predpokladu planosi H 0. Používame na o kriické hodnoy τ βτ šaisiky, koré sú uvedené v abuľke 2.. Mali by sme o overiť aj esovaním hypoézy a 2 = γ = 0 použiím φ 3 šaisiky. Ak rend nie je šaisicky významný, posupujeme do Kroku 3. Ak rend je šaisicky významný, esujeme znova hypoézu γ = 0 použiím šandardného normálneho rozdelenia. Ak úo hypoézu zamieame, môžeme vrdiť, že proces {y } nie je I(). V opačnom prípade prehlásime, že {y } je I(). Krok 3: Odhadneme (2.8) bez rendovej zložky, eda v vare (2.7). Tesujeme H 0 : γ = 0 pomocou τ µ. Ak H 0 zamieame, ak {y } nie je I(). V opačnom prípade, keď H 0 nezamieame, esujeme významnosť konšany (člena a 0 ) za predpokladu planosi H 0 použiím šaisiky τ αµ. Mali by sme o povrdiť esovaním a 0 = γ = 0 použiím φ šaisiky. Ak priesečník nie je šaisicky významný, prejdeme na Krok 4. Ak priesečník je šaisicky významný, esujeme znova hypoézu γ = 0, ale použiím šandardného normálneho rozdelenia. Ak úo hypoézu γ = 0 zamieame, môžeme vrdiť, že proces {y } nie je I(). Ak ju nezamieame, prehlásime, že {y } je I(). Krok 4: Odhadneme model v vare (2.6). Na esovanie H 0 : γ = 0 použijeme kriické hodnoy τ šaisiky. Ak H 0 zamieame, ak {y } nie je I(). V opačnom prípade proces {y } prehlásime za I(). V prípade predpokladu, že časový rad by mohol byť väčšieho rádu inegrácie ako, používame es, korý navrhli Dickey a Panula (987). Keďže viac-menej ide len o vykonanie príslušných Dickey-Fullerovych esov na diferencie časového radu {y }, nebudeme ho v ejo časi popisovať. V praxi sa však ukazuje, že ekonomické časové rady obyčajne nie je poreba diferencovať viac ako dva razy.

16 3. Koinegrácia Táo kapiola sa zaoberá modelmi, koré pozosávajú z nesacionárnych premenných. Ako sme už spomenuli, môže exisovať aká lineárna kombinácia inegrovaných premenných, korá je sacionárna. Poom hovoríme, že dané premenné sú koinegrované. V nasledovných riadkoch predsavíme posupne eóriu koinegrácie, popíšeme vzťahy medzi koinegrovanými premennými ako aj ich správanie sa pri vychýlení sa z rovnovážneho savu. Nemenej dôležié bude esovanie príomnosi koinegrácie. 3. Lineárna kombinácia inegrovaných premenných Pre formálne zadefinovanie pojmu koinegrácia uvažujme množinu premenných, koré v rovnováhe z dlhodobého časového hľadiska spĺňajú vzťah β β β x + 2x2 + + nxn = 0 (3.) Ak si a označíme ako vekory x = x, x2,, xn a β = β, β2,, βn, ak vzťah (3.) môžeme písať ako β = 0. Nech sú aké odchýlky od dlhodobej rovnováhy, že môžeme písať x β ( ) T x e e = β x Poom rovnováha je zmysluplná iba vedy, ak proces { je sacionárny. Engle a Granger (987) ponúkajú nasledovnú definíciu koinegrácie. ( ) e } ) ) ( ) (3.2) Hovoríme, že zložky vekora x = x, x2,, xn sú koinegrované rádu d, b, označ.: x CI( d, b), ak. Všeky komponeny vekora x sú inegrované rádu d. ( 2 2. Exisuje vekor β = β, β,, βn aký, že lineárna kombinácia βx = β x + β x + +β x je inegrovaná rádu (d b, kde b > Vekor β nazývame koinegračný vekor n n 3. T β 3 Keďže je v skuočnosi riadok, ak podľa správnosi by sme nemali hovoriť o vekore, ale o ransponovanom vekore, resp. maici ypu ( x n). V lieraúre sa však zvykne napriek omu označovať len ako vekor, preo aj my sa držíme ejo konvencie.

17 Kapiola 3: Koinegrácia 6 Poznámky:. Koinegrácia sa vzťahuje iba na lineárnu kombináciu nesacionárnych premenných. 2. Koinegračný vekor nie je daný jednoznačne. Ak β = β, β,, βn je koinegračný vekor, ak aj pre každé nenulové λ je λβ = ( λβ, λβ2,, λβn ) koinegračný vekor. Táo vlasnosť sa mnohokrá využíva na normalizovanie koinegračného vekora vzhľadom na niekorú premennú vekora x ( 2. Ak chceme normalizovať koinegračný vekor vzhľadom na xi (vzhľadom na i-u premennú vekora x ), volíme λ = β i. 3. O koinegrácii uvažujeme len vedy, ak všeky premenné sú rovnakého rádu inegrácie. Neznamená o však, že všeky premenné rovnakého rádu inegrácie musia byť auomaicky koinegrované. T 4. Pre n -rozmerný vekor x = ( x, x2,, xn) môže exisovať až n- lineárne nezávislých koinegračných vekorov. Poče lineárne nezávislých koinegračných vekorov sa zvykne označovať ako koinegračná hodnosť (coinegraing rank) vekora x. 5. V lieraúre sa zvykne označovať pojmom koinegrácia prípad CI(, ). Ide zrejme o najčasejší prípad koinegračného vzťahu, preože v ekonomických úlohách sa vyskyujú väčšinou premenné ypu I(). My sa ďalej v exe budeme akiež zaoberať len ýmo špecifickým prípadom. ) 3.2 Koinegrácia a vzťah medzi rendovými zložkami V nasledovnej sekcii sa pokúsime zdôvodniť, aký je skuočný vzťah medzi rendovými zložkami koinegrovaných premenných. Pre jednoduchosť uvažujme najprv príklad dvoch nesacionárnych radov I(). y = µ y + εy (3.3) z = µ + ε z z kde µ i predsavuje proces náhodnej prechádzky a ε i je sacionárny rad (nie nune biely šum). Ak premenné y a z majú byť CI(, ), ak musia exisovať nenulové β a β 2 aké, že lineárna kombinácia β y + β2z je sacionárna. Po dosadení ( ) ( ) ( ) ( β y + β z = β µ + ε + β µ + ε = β µ + β µ + βε + β ε 2 y y 2 z z y 2 z y 2 z ) (3.4) Člen ( βε y 2 ) + βεz na pravej srane rovnice je sacionárny. Ak má byť βy + β2z ) sacionárne, ak výraz ( βµ + βµ na pravej srane sa v rovnici nesmie vyskyovať. Inými slovami, musí plaiť y 2 z

18 Kapiola 3: Koinegrácia 7 ( βµ y + βµ 2 z )= 0 (3.5) Vzťah (3.5) je v omo prípade nunou aj posačujúcou podmienkou, aby {y } a {z } boli CI(,). Keďže sme predpokladali, že β a β 2 sú nenulové, ak (3.5) plaí práve vedy, ak µ y β 2 = µ z β (3.6) Teno vzťah nám hovorí, že ak dva I() sochasické procesy sú koinegrované rádu CI(,), ak až na skalár -β 2 /β musia mať rovnaké sochasické rendy. Predošlú úvahu môžeme ľahko zovšeobecniť pre prípad n premenných. Nech pre i i n je xi inegrovaný proces pozosávajúci zo sochasického rendu µ i a nejakej rušivej sacionárnej zložky ε i. Označme si x, µ a ε ako vekory. Poom môžeme písať x = µ + ε (3.7) = ( ) T = ( ) T ( ) T kde x x, x,, x, µ µ, µ,, µ a ε = ε, ε,, ε. 2 n 2 n 2 n Ak jeden z rendov sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia osaných rendov, ak exisuje ( ) vekor β = β, β2,, βn aký, že βµ βµ βµ n n = 0 (3.8) Prenásobením každého i - eho riadku v (3.7) číslom β i a sčíaním dosaneme β = βµ + β x ε (3.9) Keďže podľa (3.8) βµ = 0, vzťah (3.9) sa nám redukuje na var βx = βε, z čoho vyplýva, že lineárna kombinácia βx je sacionárna, eda β je koinegračný vekor. Opačne by sme mohli vrdiť, že ak pre premenné x,, x n exisuje koinegračný vekor β, ak zrejme niekorá rendová zložka sa dá napísať ako lineárna kombinácia osaných. Nech vekory x, µ a ε sú sále rovnako definované ako v (3.7). Uvažujme ale prípad, že medzi rendovými zložkami exisuje r < n lineárnych vzťahov akých, že plaí

19 Kapiola 3: Koinegrácia 8 β µ + β µ + + β µ 2 2 n n β µ + β µ + + β µ n n β µ + β µ + + β µ r r2 2 rn n = 0 = 0 = 0 (3.0) Označme si eraz β ako maicu β β n β = βr β rn (3.) Poom (3.0) sa dá prepísať na var βµ = 0 (3.2) Podobnou úvahou ako pred chvíľou prídeme k záveru, že musí plaiť βx = βε, z čoho vyplýva, že βx je sacionárne. Ale kedže eraz β bola maica ypu (r x n), ak výraz βx nám predsavuje r sacionárnych lineárnych kombinácií, resp. každý riadok výrazu βx je sacionárny. Konkréne: βx β β n x βx + + β nxn = = = βε I βr β rn x n βrx + + βrnx n ( 0) β x + + β x n n β x + + β x r rn n I I I ( 0) ( 0) ( 0) Inými slovami, každý riadok maice β predsavuje koinegračný vekor. V prílohe č.4 uvádzame jednoduchý príklad koinegrovaných premenných. 3.3 Vzťah koinegrácie a error correcion modelov V predošlých časiach sme zisili, že koinegrované premenné vhodnou lineárnou kombináciou v dlhodobom časovom horizone majú endenciu približovať sa k nejakému rovnovážnemu savu, korý je sacionárny. Schopnosť sysému nevychýliť sa príliš od dlhodobej rovnováhy môže byť zaručená len vedy, ak aspoň niekoré premenné vhodne

20 Kapiola 3: Koinegrácia 9 reagujú na výkyvy od vyváženého savu. Túo siuáciu by mal maemaicky popisovať errorcorrecion model. Hovoríme, že vekor x = (x, x 2,, x n ) T, korého zložky sú I() má error-correcion reprezenáciu, keď sa dá vyjadriť vo forme: x = π + πx + π x + π x + + π x + ε p p (3.3) kde π 0 - je (n x ) vekor priesečníkov so zložkami π i0 π i - maica (n x n) s elemenami π jk (i) π - maica s elemenami π jk akými, že jedno alebo viac π jk 0 ε - vekor (n x ) s elemenami ε i Keďže všeky premenné x,, x n ako zložky vekora x sú I() a exisuje error-correcion model (3.3), ak exisuje lineárna kombinácia premenných x,, x n, korá je sacionárna. Ukážeme o úpravou (3.3), kedy dosávame: πx = x π 0 π i x i ε (3.4) Každý výraz na pravej srane je sacionárny, preo aj πx - je sacionárne. Tým pádom riadky maice π predsavujú koinegračné vekory. Výraz πx - popisuje dlhodobý rovnovážny sav, prípadne niekoľko rovnovážnych savov v závislosi od poču lineárne nezávislých koinegračných vekorov. Príklad: Pre prípad dvoch premenných vzťah (3.3) môže nadobúdať nasledovný var: ( ) ( ) y = π α y βz + π () i y + π () i z + ε 0 y i 2 i y z = π + α y βz + π () i y + π () i z + ε 20 z 2 i 22 i z Ak predpokladáme, že premenné y a z spĺňajú dlhodobý rovnovážny sav z, ak rovnice popisujú dynamiku správania sa daných premenných, ak sa momenálne nenachádzajú vo svojom rovnovážnom save y β z = 0. Vzťah medzi error-correcion modelmi a koinegráciou je preo nasledovný: Keďže o y a z predpokladáme, že sú I(), ak ich diferencie, ľavé srany rovníc, sú sacionárne. Ak rovnice majú dávať zmysel, ak aj pravé srany musia byť sacionárne, y = β

21 Kapiola 3: Koinegrácia 20 eda ( y β z ) musí byť I(0), z čoho vyplýva, že ( y, z ) sú koinegrované rádu CI(,) s koinegračným vekorom (, -β), korý vlasne udáva dlhodobý rovnovážny sav. Členy α y a α z sa zvyknú inerpreovať ako koeficieny popisujúce rýchlosť zmeny (speed of adjusmen parameers). čím je α y väčšie, o o viacej y reaguje na výchylky z rovnovážneho savu. Ak oba koeficieny α y aj α z sú nulové, ak dlhodobý rovnovážny sav medzi y a z neexisuje a daný výraz nepredsavuje error-correcion model. V praxi pri odhadovaní akéhoo modelu sa nám môže sať, že niekorý z paramerov α y a α z nebude mať aké znamienko, aké sa od neho eoreicky očakáva. Poom hovoríme, že daný parameer a zároveň jemu prislúchajúca premenná pôsobí desabilizujúco. Mohlo by sa eda zdať, že reálny model nie je celkom v súlade s eóriou. Zvykne sa preo esovať, či koeficien s nesprávnym znamienkom je šaisicky významný. V súvislosi s rovnicou (3.3) by sa mohla vyskynúť oázka, akým spôsobom vlasne vznikne akýo var modelu. Pre zodpovedanie sačí uvažovať rovnicu x = Ax + ε (3.5) kde x - je (n x ) vekor (x,, x 2 ) T ε A - je (n x ) vekor (ε,, ε 2 ) T - je (n x n) maica paramerov Odpočíanie x - z každej srany rovnice (3.5) vedie ku vzťahu x x = x + Ax + ε ( I ) x = A x + ε kde I predsavuje jednokovú (n x n) maicu. Ak si označíme π = - (I A), ak pôvodná rovnica (3.5) nadobúda var x = πx + ε (3.6) čo je špeciálny prípad všeobecného modelu (3.3), v korom by boli všeky π i nulové. Pre naše účely sa však sačí zaoberať aj ýmo modelom, keďže dôležiú úlohu zohráva práve maica π.

22 Kapiola 3: Koinegrácia 2 V prípade, že hodnosť maice π by bola nulová, čo zodpovedá siuácii, že všeky jej prvky sú nulové, ak rovnica (3.6) sa redukuje na var x = ε. Nevysupuje u člen πx -, korý by nám popisoval dlhodobú rovnováhu. Okrem oho, ak x = ε, ak pre každé i plaí, x i = ε i, čiže x i ~ I(0) a preo x i ~ I(). ( x = x + ε ). Vidíme, že každý proces {xi} je inegrovaný rádu i i i jedna a neexisuje medzi nimi lineárna kombinácia, korá by bola sacionárna. Iný prípad nasáva, ak maica π má plnú hodnosť. Poom rovnica (3.6) osáva zachovaná a výraz πx - popisuje dlhodobý rovnovážny sav, v korom plaí πx - = 0. Po rozpísaní dosávame n rovníc; n nezávislých rešrikcií πx + π2x2 + π3x3 + + π nxn π2x + π22x2 + π23x3 + + π2nxn = 0 = 0 π x + π x + π x + + π x = 0 n n2 2 n3 3 nn n pričom rovnováhu sme kvôli prehľadnosi vyjadrili v čase a nie v čase -. My sme však predpokladali, že maica π má plnú hodnosť, eda je regulárna, a preo sysém rovníc πx = 0 má len jediné, riviálne riešenie: x = 0 (x = x 2 = = x n = 0) To implikuje sacionárnosť premenných x, x 2,, x n. Osal nám už len posledný prípad, kedy hodnosť maice je r, pričom 0<r< n. Vedy exisuje r koinegračných vekorov, koré sú určené r lineárne nezávislými riadkami maice π. Napríklad, ak r =, ak exisuje jediný koinegračný vekor daný ľubovolným riadkom maice π. Každý rad {x i } môže byť vyjadrený v vare errorcorrecion. Príkladom môže byť zápis pre x, x = π x + π x + π x + + π x n n ε čo sa dá po subsiúcii α = π, β j = π j /π normalizovať vzhľadom na premennú x ( ) x = α x + β x + β x + + β x + ε n n Poom v dlhodobom horizone {x i } spĺňajú vzťah: x + β2x2 + β3x3 + + βnxn = 0 kde normalizovaný koinegračný vekor je (, β 2, β 3,, β n ).

23 Kapiola 3: Koinegrácia 22 Teraz, keď už rozumieme pojmu koinegrácia, osáva nám eše vysveliť spôsob esovania a hľadania koinegračných vzťahov. Too bude náplňou ďalších riadkov, pričom zameriame sa na najznámejší spôsob, na Johansenovu meodológiu. Tá je založená na správnom odhade hodnosi maice π vysupujúcej v error-correcion modeli. 3.4 Hodnosť maice a charakerisické korene Pripomeňme si rovnicu (3.6), korá bola varu x = πx + ε Došli sme k záveru, že ak hodnosť švorcovej maice π ypu (n x n) bude r, pričom 0 < r < n, ak zrejme bude exisovať r lineárne nezávislých koinegračných vekorov. Preo, ak budeme vedieť vhodným spôsobom oesovať hodnosť maice π, ak budeme vlasne vedieť poče koinegračných vzťahov v rovnovážnom save. Eše predým ako popíšeme samoný spôsob esovania, pozrime sa na mierne modifikovaný prípad rovnice (3.6). x = A + πx + 0 ε (3.7) Na pravú sranu sme zahrnuli deerminisický člen, korý sa v lieraúre zvykne označovať ako drif. Je o vekor konšán ypu (n x ): A 0 = (a 0, a 20,, a n0 ) T. Vekory x, ε a maica π sú zadefinované rovnako ako v (3.6). Vzťahom (3.7) pripúšťame možnosť, že dáa zahŕňajú časový rend. Ak premenné vykazujú určiú endenciu rásť alebo klesať, ak má zmysel hľadať model v omo vare. Poom v dlhodobom horizone v rovnovážnom save, keď πx - = 0, má rad { x i } očakávanú hodnou a i0. Niekedy sa nám môže podariť zahrnúť vekor A 0 do maice π ak, že dosaneme nejakú novú maicu π * a člen A 0 už nebude vysupovať v rovnici (3.7) ako deerminisický rend. Dá sa o, ak prvky vekora A 0 spĺňajú medzi sebou podobné vzťahy ako koinegračné vekory. Napríklad, ak hodnosť maice π je, ak riadky maice π sa sa líšia len nejakým násobkom, eda (3.7) môžeme písať v vare x = π x + π x + + π x + a + ε 2 2 n n 0 ( ) x = s π x + π x + + π x + a + ε n n 20 2 ( ) x = s π x + π x + + π x + a + ε 2 n 2 2 n n n0 n

24 Kapiola 3: Koinegrácia 23 kde s i predsavuje aký skalár, že plaí s i π j =π ij. Ak a i0 sú aké, že a i0 = s i a 0, ak predošlý vzťah môžeme napísať s konšanou v koinegračnom vekore: Ak zavedieme nasledovné označenie ( ) ( π π π ) x = π x + π x + + π x + a + ε 2 2 n n 0 x = s x + x + + x + a + ε n n 0 2 ( π π π ) x = s x + x + + x + a + ε x = ( x, x,, x ) 2 n 2 n 2 2 n n 0 n x = ( x, x,, x,) * T 2 n T π π π π a π π π a π π π a 2 n 0 * n 20 = ak (3.7) sa dá za vyššie uvedených predpokladov napísať v vare n n2 nn n0 x = π x + * * ε (3.8) Tako sa nám podarilo odsrániť časový rend pre všeobecné riešenie každého {x i } a do rovnovážneho savu sme zahrnuli priesečník. Tým pádom je v rovnovážnom save očakávaná hodnoa všekých x i opäť nulová. Podobným spôsobom ako sme v predošlých časiach odvodili vznik rovnice (3.6), môžeme odvodiť aj zovšeobecnený prípad. Vychádzajme z varu x = Ax + A x + + A x + ε 2 2 p p (3.9) kde x je (n x ) vekor (x, x,, x n ) T rovnako rozdelenými zložkami ε i, koré predsavujú biely šum. a ε je (n x ) vekor (ε, ε,, ε n ) T s nezávislými Po subsiúcii: i p π = A I i= π = p i j=+ i A j

25 Kapiola 3: Koinegrácia 24 rovnica (3.9) nadobúda var: p x = πx + π x + ε i i i= (3.20) Keby sme chceli, mohli by sme v akejo rovnici uvažovať aj príomnosť iných členov, napr. rendu A 0. Siuáciu by o nezmenilo, preože kľúčovú úlohu zohráva maica π. Opäť plaia už spomínané závery. V prípade, že jej hodnosť je nulová, rovnica (3.20) nepredsavuje errorcorrecion model a neexisuje medzi premennými žiaden rovnovážny sav. Ak má plnú hodnosť, ak premenné sú sacionárne. Ak jej hodnosť je r, 0<r<n, ak aj poče nezávislých koinegračných vekorov je r. Preo musíme vedieť odhadnúť hodnosť maice π. Z algebry vieme, že hodnosť švorcovej maice sa rovná poču jej nenulových vlasných hodnô. Z oho vyplýva, že ak budeme poznať poče nenulových vlasných hodnô maice π, budeme poznať aj poče nezávislých koinegračných vzťahov. Predpokladajme, že máme maicu π a jej n usporiadaných vlasných hodnô akých, že λ > λ 2 > > λ n. Ak premenné x i nie sú koinegrované, hod(π)=0 a všeky ieo charakerisické korene sú iež rovné nule. Preo všeky výrazy ln(-λ i ) = ln() = 0. Podobne, ak hod(π)=, 0<λ <, ak prvý výraz ln(-λ ) je záporný, a keďže osané λ i = 0, ak aj ln(-λ i ) = 0 pre (i =2,, n). Na základe ohoo sú skonšruované nasledovné šaisiky. n λrace ( r) ( i= r+ ( ) ( = T ln ˆ λ rr, + = Tln ˆ λr λ max + ) i ) (3.2) (3.22) kde λ = odhadnué vlasné hodnoy maice π ˆi T = poče použieľných 4 pozorovaní Prvá šaisika esuje nasledovnú nulovú hypoézu: H 0 : poče rozličných koinegračných vekorov je menej alebo rovné r. 4 Poče použieľných pozorovaní znamená poče všekých pozorovaní mínus sraa spôsobená napríklad použiím lagov. Ak máme časové rady dĺžky 00 a odhadujeme rovnice, v korých sa vyskyuje posun času až do -2, ak poče použieľných pozorovaní je T = 00 2 = 98.

26 Kapiola 3: Koinegrácia 25 Príklad: Predpokladajme, že v skuočnosi exisuje veľa koinegračných vekorov. Poom zrejme ˆi λ nebudú nulové, resp. nebudú blízko pri nule. V dôsledku oho bude veľa výrazov ln ( ˆ λi ) záporných. Ak by sme my esovali, či exisuje maximálne jeden koinegračný vekor (H0: r ), ak súče výrazov ln ( ˆ λi ) bude dosaočne záporné číslo. Po vynásobení T dosaneme zrejme veľké kladné číslo. Teda šaisika (3.2) bude veľká, akže budeme môcť zamienuť hypoézu, že je am koinegračných vekorov. Podobným spôsobom je reprezenovaná aj druhá šaisika, λ max, korá esuje: H 0 : poče koinegračných vekorov je r oproi alernaíve H : poče koinegračných vekorov je r +. Príklad: Ak v skuočnosi exisujú dva koinegračné vekory, ak zrejme ˆ λ, ˆ λ2 budú dosaočne vzdialené od nuly. Hodnoa 3 ˆλ by mala byť už blízka nule. Ak esujeme hypoézu, že exisujú dva koinegračné vekory oproi alernaíve, že sú ri (H 0: r = 2, H: r = 3), ak v dôsledku oho, že ˆλ 3 je akmer nula, výraz T ln ( ˆ λ ) bude iež blízky nule, resp. 3 dosaočne malý na o, aby sme nezamieli nulovú hypoézu H0: r = 2. Johansen a Juselius (990) poskyujú kriické hodnoy pre ieo šaisiky. Tie závisia: od poču nesacionárnych komponenov pod nulovou hypoézou (eda od n - r) na forme vekora A 0. či predsavuje drif či predsavuje konšanu v koinegračnom vekore alebo neuvažujeme ani konšanu ani drif v danom modeli Poznámky:. Tabuľku s kriickými hodnoami šaisík λ race a λ max uvádzame v prílohe č Je dôležié, aby sme pri používaní ýcho šaisík mali odhadnué vlasné hodnoy usporiadané podľa veľkosi: ˆ λ ˆ > λ2 > > ˆn λ 3. Ak máme napríklad päť premenných (n = 5) a pomocou šaisiky λ race esujeme, či exisuje nula alebo jeden koinegračný vekor (H 0 : r ), ak vo výraze (3.2) sumujeme od 2 po 5. Ak pripúšťame možnosť, že koinegračný vzťah obsahuje konšanu, ak nami vypočíanú hodnou porovnávame s kriickou hodnou uvedenou v priloženej abuľke v časi λ race s konšanou v riadku n r (= 5 = 4). Kriické hodnoy sú na 95% úrovni a na 99% hladine.

27 Kapiola 3: Koinegrácia Ideálny prípad je, keď obe šaisiky indikujú rovnaké závery pre poče koinegračných vekorov. V praxi sa však môže sať, že výsledky sú rôzne (napr.: λ race nezamiea, že exisuje nula koinegračných vekorov, ale λ max zamiea, že ich je nula). Tes λ max má osrejšiu alernaívnu hypoézu. Používa sa časejšie na definiívne sanovenie poču koinegračných vekorov. 3.5 Tesovanie hypoéz v koinegračnom vzťahu Dobrou vlasnosťou Johansenovej procedúry je, že umožňuje esovať rozličné rešrikcie na nájdené koinegračné vekory. Dôležié je mať sále na pamäi, že ak exisuje r koinegračných vekorov, ak len ýcho r lineárnych kombinácií premenných je sacionárnych. Uvedieme niekoré základné esy: Tesovanie príomnosi konšany v koinegračnom vzťahu: Vychádzajme z modelu (3.7). Ten bol varu x = A0 + πx + ε Spomenuli sme, kedy je možné člen A 0 zahrnúť do koinegračného vzťahu, kde vysupuje ako konšana a nemá charaker rendu. Získali sme ak model (3.8). Keď však eše len odhadujeme model, nevieme, aký charaker bude mať v konečnom dôsledku člen A 0. Preo odhadnime najprv všeobecný - nerešringovaný model s členom A 0. Odhadnué a usporiadané vlasné hodnoy maice π označme ako ˆ λ, ˆ λ2,, ˆ λn. Poom odhadneme vlasné hodnoy rešringovaného modelu modelu s priesečníkom v koinegračnom vzťahu. Tie usporiadame podľa veľkosi a označíme ako ˆ* * λ, ˆ λ, ˆ. Predpokladajme, že nerešringovaný eoreický model má r nenulových vlasných hodnô. Exisuje eda r koinegračných vzťahov. Nulová hypoéza je varu: H 0 : V koinegračnom vzťahu sa nachádza priesečník 2 *, λn Na jej esovanie sa používa šaisika n ( ) ( * T ln λ ln λi) i i= r+ (3.23) korá má asympoicky χ 2 rozdelenie s (n - r) supňami voľnosi.

28 Kapiola 3: Koinegrácia 27 Voľná inerpreácia správania ejo šaisiky znie: V prípade, že model má mať naozaj rešrikcie (priesečník v koinegračnom vzťahu), ak poče koinegračných vekorov v rešringovanom modeli by mal osať r, čiže aký isý, aký sme odhadli vo všeobecnom modeli. Teda maica π (bez rešrikcií) a π * (s rešrikciami) by mali mať rovnakú hodnosť a preo aj vlasné čísla ˆi λ a ˆi* λ by mali byť približne rovnaké (rovnako veľa by ich malo * byť nenulových). Poom výrazy ln ( λi ) a ln ( λi ) by mali byť približne rovnaké, a preo šaisika (3.23) bude vykazovať malé hodnoy, čo implikuje, že hypoézu H nezamieame. Na druhej srane vieme, že pravdepodobnosť nájdenia sacionárnej lineárnej kombinácie n premenných je väčšia s príomnosťou priesečníka v koinegračnom vzťahu ako bez neho. Ale vo všeobecnom modeli sme odhadli, že rovnovážnych vzťahov je r. Preo v modeli s rešrikciami ich nemôže byť zrazu viac. Z oho vyplýva, že ak nasane prípad, že v rešringovanom modeli nám vychádza väčší poče koinegračných vekorov, ak hod(π * * )>hod(π) λ nenulových je viac ako λ nenulových šaisika (3.23) je veľká a preo zamieame nulovú hypoézu. i i 0 Tesovanie rešrikcií na paramere normalizovaného koinegračného vekora: Na vykonanie oho esu musíme najprv poznať normalizovaný koinegračný vekor. Johansen definuje dve maice α a β ypu (n x r), kde r je hodnosť π. α a β sú aké, že π = αβ T Maica α sa dá inerpreovať ako maica váh, s korými každý koinegračný vekor vsupuje do modelu error-correcion, resp. ako maica s koeficienmi, koré udávajú rýchlosť zmeny danej premennej, ak je súsava v nerovnovážnom save. Maica β pozosáva z normalizovaných koinegračných vekorov. V prípade exisencie jedného koinegračného vekora sú riadky maice π násobkom prvého. Ak vychádzame z rovnice (3.20), siuácia vyzerá nasledovne: x = + π x + π x + + π x + ε 2 2 n n ( ) x = + s π x + π x + + π x + ε n n 2 ( ) x = + s π x + π x + + π x + ε n n 2 2 n n n kde neuvádzame členy π i x -i. Ak označíme α = s π, pričom s =, ak pre i-y riadok v predchádzajúcej súsave plaí: i i

29 Kapiola 3: Koinegrácia 28 ( ) xi = + αi x + β2x2 + + βnxn + εi i=,, n kde β j = (π j / π ) pre j = 2,, n. V maicovom vare o môžeme zapísať p T αβ πi i i= x = x + x + ε kde β = (, β 2, β 3,, β n ) T a α = (α, α 2, α 3,, α n ) T. Akonáhle máme α a β T sanovené, môžeme prejsť k samonému esovaniu. Môžeme esovať rozličné vzťahy medzi zložkami koinegračného vekora, napr. či β i = 0 alebo β2 + β3 = 0 a podobne. Opäť, nech ˆ λ, ˆ λ2,, ˆ λn sú usporiadané vlasné hodnoy maice π nerešringovaného modelu a ˆ* * * λ, ˆ λ2,, ˆ λn sú usporiadané vlasné hodnoy maice π * pre rešringovaný model. Na esovanie rešrikcií pre maicu β použijeme esovaciu šaisiku r ( ) ( * T ln λ ln λi) i i= (3.24) korá má asympoicky χ 2 rozdelenie so supňami voľnosi rovným poču rešrikcií kladených na β. r je predpokladaný poče koineračných vzťahov v nerešringovanom modeli. Posup pri esovaní je nasledovný: Vo všeobecnom modeli odhadneme pomocou šaisík λ race a λ max poče koinegračných vekorov. Nech ich je eda r; 2 r β, β,, β. Chceme ( ) oesovať nejaké rešrikcie, napr., že pre vekor β = β,, β2 β3,, βn plaí nulová hypoéza H0: β = β3 = 0. Poče koinegračných vekorov má však s akýmio rešrikciami endenciu klesať. Ak zosane rovnaký, eda ak hod(π) = hod(π * ) poče nenulových λ = poče nenulových ˆi* λ šaisika (3.24) je malá a preo nezamieame H0. Rešrikcie sú zrejme oprávnené, lebo nám nezmenšili poče koinegračných vzťahov. V opačnom prípade, ak rešrikcie zmenšujú poče koinegračných vzťahov, ak hod(π * )<hod(π) poče nenulových ˆi* λ < poče nenulových λ šaisika (3.24) by mala dosahovať veľké hodnoy zamieame H0 a rešrikcie neuvažujeme. Túo šaisiku môžeme rovnakým spôsobom použiť aj na esovanie koeficienov maice α. Ak r = a esujeme len jedinú hodnou maice (vekora) α, ak klasická -šaisika je asympoicky ekvivalenná Johansenovému esu. ˆi ˆi

30 Kapiola 3: Koinegrácia Tesovanie koinegrácie Johansenova meodológia Posup esovania koinegrácie Johansenovou meodológiou uvedieme v šyroch základných krokoch: Krok - Overenie rádu inegrácie premenných a sanovenie základného varu modelu: Najprv sa pokúsime zisiť rád inegrácie všekých premenných. Nebudeme miešať dohromady premenné rôzneho rádu inegrácie. Na oo posúdenie môžeme použiť Dickey-Fullerove esy. Niekedy môžeme získať dobrý odhad o dáach aj ich vykreslením. Vizuálna analýza nám navyše môže pomôcť pri rozhodovaní sa, či do modelu zahrnieme rend alebo nie. Po omo prvom výbere reba sanoviť, do akej doby sa premenné budú oneskorovať v čase, eda dĺžku časového oneskorovania sa daného modelu. Výsledky esov môžu byť nesprávnym posúdením značne ovplyvnené. Pre určenie dĺžky časového posunu odhadneme najprv vekor auoregresie bez diferencovaných premenných, určíme jeho správnu dĺžku a ú poom použijeme ako východiskovú aj v ďalších krokoch. Začíname najprv s dlhším modelom a esujeme, či sa dá skráiť. Napríklad, ak chceme oesovať, či oneskorovanie -3 až -4 je dôležié, sformulujeme rovnice v nasledovnom vare: x = A0 + Ax + Ax Ax Ax ε (3.25) x = A + Ax + A x + ε (3.26) kde x = (n x ) vekor premenných A 0 A i = (n x ) maica (vekor) priesečníkov = (n x n) maice koeficienov ε a ε 2 = (n x ) vekor rušivých členov Odhadneme obe rovnice a označíme kovariančnú maicu rezíduí v rovnici (3.25) ako Σ4 a v rovnici (3.26) ako Σ2. Sims (980) odporúča na esovanie použiť šaisiku ( T c)( ln 2 Σ ln Σ 4 ) (3.27) kde T = poče pozorovaní c ln Σ i = poče paramerov v nerešringovanom modeli = prirodzený logarimus deerminanu maice Σi

31 Kapiola 3: Koinegrácia 30 Šaisiku (3.27) porovnávame s χ 2 rozdelením so supňami voľnosi rovným poču rešrikcií kladených na koeficieny. Keďže v našom prípade maica A i má n 2 koeficienov a nulová hypoéza je: H 0 : A 3 = A4 = 0, dosávame dohromady 2n rešrikcií. Ak nami vypočíaná hodnoa šaisiky (3.27) nepresahuje kriickú hodnou, nemôžeme zamienuť nulovú hypoézu. Môžeme preo ďalej skúsiť pracovať s modelom, korý obsahuje oneskorovanie len do času Krok 2 - Odhad modelu a určenie hodnosi maice π Predpokladajme, že v kroku sme zisili, že je vhodné použiť oneskorovanie do času -2. Preo sanovíme hodnou p = 2 a podľa (3.20) model odhadujeme v vare x = A + πx + π x + ε 0 (3.28) Ak má mať model zmysel, ak po odhadnuí (3.28) by sa rezíduá dlhodobého rovnovážneho savu mali javiť ako sacionárne a odhadnué hodnoy ako biely šum. Ďalším krokom je odhad hodnosi maice π a určenie poču koinegračných vekorov. Ako sme sa už v predošlých časiach zmienili, použijeme na o šaisiky λrace (3.2) a λ max (3.22). ˆ ε Okrem oho, v ejo časi sa musíme rozhodnúť, v akom vare bude náš model, so všekými elemenmi vekora A 0 nulovými s vekorom A 0 vysupujúcim ako rend s konšanou v koinegračnom vzťahu Pri posúdení nám môže pomôcť napr. vyššie uvedená šaisika (3.23). Krok 3 - Analyzovanie koinegračných vekorov V ejo časi normalizujeme nájdené koinegračné vekory a môžeme sa pokúsiť esovať niekoré rešrikcie na ich zložky. Jedná sa najmä o aké obmedzenia, koré dávajú inerpreáciu, ekonomický zmysel alebo ich očakávame na základe eoreického podkladu. Tesovanie ýcho vzťahov sme uviedli v sekcii (3.5) predovšekým pomocou šaisiky (3.24). Takiež má zmysel esovať koeficieny predsavujúce rýchlosť reakcie konkrénej premennej, ak je súsava v nerovnovážnom save. Posudzujeme aj koreknosť znamienka.

32 Kapiola 3: Koinegrácia 3 Krok 4 - Vylepšovanie modelu V záverečnej časi sa snažíme povrdiť exisenciu daného modelu, prípadne ho eše vylepšiť. Kladieme dôraz aj na o, aby dával zmysel. V prípade, že je nereálny a nie je ekonomicky inerpreovaeľný, reba skúsiť zahrnúť inú skupinu premenných a predošlé kroky zopakovať.

33 4. Reálny efekívny výmenný kurz SR Nasledovná kapiola sa zaoberá modelovaním rovnovážneho reálneho výmenného kurzu. Na základe eórie popísanej v predošlých kapiolách sa snažíme charakerizovať jeho vývoj. Uvedieme východiskový predpoklad, z korého je samoný model odvodený a predsavíme jednolivé premenné. Poom popíšeme získané výsledky a pokúsime sa skonšruovať predikcie. 4. Základné pojmy a eoreické východisko modelu Skôr ako začneme pracovať so samonými časovými radmi, zadefinujme si nominálny výmenný kurz S i medzi domácou a i-ou zahraničnou krajinou. S i predsavuje poče jednoiek i-ej zahraničnej meny pripadajúci na jednu jednoku domácej meny: # jednoiek meny v krajine i S i = (4.) Sk Nominálny výmenný kurz sme zadefinovali ak, že zvyšovanie S i znamená zhodnocovanie výmenného kurzu (domácej meny voči zahraničnej) a pokles S i znehodnocovanie. Poom reálny výmenný kurz Q i zohľadňujúci cenovú hladinu doma a v i-ej zahraničnej krajine zadefinujeme predpisom: P Q = (4.2) i Si P * i kde P = cenová hladina v domácej krajine meraná indexom sporebieľských cien P * i = cenová hladina v i-ej zahraničnej krajine meraná indexom sporebieľských cien Ak predpokladáme, že zahraničie je vorené n krajinami, ak nominálny efekívny výmenný kurz S E medzi domácou krajinou a zahraničím ako celkom predsavuje geomerický priemer kde w i = váhové koeficieny S E n = i= ( S ) i wi (4.3)

34 Kapiola 4: Reálny efekívny výmenný kurz SR 33 Reálny efekívny výmenný kurz Q E medzi domácou krajinou a zahraničím je určený vzťahom P = (4.4) D E E Q S P Z kde S E = nominálny efekívny výmenný kurz definovaný vzťahom (4.3) P D = cenová hladina v domácej krajine meraná indexom sporebieľských cien. (V našom prípade je P D = P, koré sme definovali vo vzťahu (4.2)) P Z = cenová hladina v zahraničí ako celku meraná indexom sporebieľských cien. Predsavuje geomerický priemer jednolivých P * i s váhovými koeficienmi w i. P Z n = i= * ( Pi ) wi Uvedomme si, že hodnoy Q E sú pozorované hodnoy. Ak poznáme v určiom časovom období dĺžky T hodnoy nominálnych výmenných kurzov S i a jednolivé cenové hladiny sporebieľských košov P a P * i, ak pomocou (4.4) vieme ľahko skonšruovať časový rad hodnô Q E, eda { } E T Q = Ťažiskom práce bude odvodiť rovnovážny reálny efekívny výmenný kurz slovenskej koruny, korý sa zvykne označovať ako BEER (Behavioral Equilibrium Exchange Rae). Teno predsavuje akúsi rovnovážnu úroveň, korá je vysvelená pomocou vhodných ekonomických veličín. V prípade, že pozorované hodnoy reálneho efekívneho výmenného kurzu Q E budú v určiom období značne prevyšovať hladinu rovnovážneho reálneho efekívneho výmenného kurzu (BEER), eda ak Q E > Q BEER, bude o indikácia oho, že v danom období bol zrejme reálny výmenný kurz nadhodnoený. Opačný prípad svedčí o podhodnoenom reálnom výmennom kurze. Meóda výpoču BEER je založená na nájdení dlhodobého vzťahu medzi reálnym efekívnym výmenným kurzom a zodpovedajúcimi ekonomickými veličinami. Vychádza predovšekým z rovnice nekryej úrokovej pariy (UIP), korá sa najčasejšie definuje medzi dvoma krajinami. Keďže my budeme pracovať so zahraničím ako celkom, úo rovnicu rocha modifikujeme a budeme ju chápať ako rovnicu medzi domácou krajinou a celým zahraničím. Ak zanedbáme rizikovú prémiu domácej krajiny, rovnicu UIP môžeme zapísať ako: R Z E E E S D + S R + (4.5) E S

35 Kapiola 4: Reálny efekívny výmenný kurz SR 34 kde R D = nominálna úroková miera v domácej krajine R Z E S = nominálna úroková miera v zahraničí = nominálny efekívny výmenný kurz S E v čase definovaný vzťahom (4.3) pričom jednolivé S i sú definované ako v (4.)) E [ E E ]= očakávaná hodnoa v čase. S + S + Po zahrnuí inflácie, prejdení k logarimickým hodnoám a za predpokladu, že c>0 je riziková prémia domácej krajiny, predošlá rovnica nadobúda var 5 ( ) q E q + r r E E D Z + c (4.6) kde r D = reálna úroková miera v domácej krajine r Z E q = reálna úroková miera v zahraničí = prirodzený logarimus reálneho efekívneho výmenného kurzu v čase E E [ ]= očakávanie v čase. q + Keďže nominálny výmenný kurz sme zadefinovali ako množsvo zahraničnej meny na jednu jednoku domácej meny, ak plaí, že ras q E znamená zhodnocovanie reálneho efekívneho výmenného kurzu. Z rovnice (4.6) vidíme, že kladný úrokový diferenciál (domáci reálny úrok - zahraničný) zhodnocuje reálny efekívny výmenný kurz. V praxi sa však ťažko dajú modelovať očakávania. Preo výraz [ E q + ] sa zvykne nahrádzať niekorými vhodnými ekonomickými veličinami (fundamenmi), koré by mali správanie sa výmenného kurzu vhodne vysveľovať. To je zároveň ďalším predpokladom konšruovania BEER. V konečnom dôsledku nadobúda rovnica nasledovný var: E ( 2 q = f fund, fund,, fund BEER n ) (4.7) kde fund i sú vhodné ekonomické veličiny, pričom jedna z nich je väčšinou úrokový diferenciál. f ( ) predsavuje lineárnu kombináciu fundamenov, korá nám určuje rovnovážny reálny efekívny výmenný kurz BEER. q BEER je logarimus rovnovážneho reálneho efekívneho výmenného kurzu určeného lineárnou kombináciou fundamenov fund i. 5 Odvodenie rovnice UIP ako aj zahrnuie inflácie a prechod k rovnici (4.6) uvádzame v prílohe č.6