»imbenici rizika za infarkt srca i moædani udar
|
|
- Σεβαστιανός Καλλικράτης Βουγιουκλάκης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Prof. dr. sc. Æeljko Reiner»imbenici rizika za infarkt srca i moædani udar VodiË za bolesnika i njegovu obitelj Uvod 3 to su Ëimbenici rizika? 7 Æivotna dob kao Ëimbenik rizika 9 Spol kao Ëimbenik rizika 9 Naslijeapplee kao Ëimbenik rizika 10 Preæivjeli infarkt ili moædani udar 11 to je ateroskleroza i zaπto je vaæna? 12 PoveÊane masnoêe u krvi 17 Kome treba odrediti masnoêe u krvi? 18 Normalne vrijednosti masnoêa u krvi 20 Zaπto masnoêe u krvi mogu biti poveêane? 21 Dijeta za poveêani kolesterol u krvi 23 Dijeta za poveêane trigliceride u krvi 33 "Narodni lijekovi 35 Vitamini i minerali 37 Tjelesna aktivnost 37 Kada uzimati lijekove za poveêani kolesterol u krvi 39 Lijekovi za poveêani kolesterol u krvi 40 Lijekovi za poveêane trigliceride u krvi 42 Omega-3 masne kiseline 42 Poviπeni krvni tlak 46 Puπenje 50 eêerna bolest 54 Debljina 58 Nedovoljna tjelesna aktivnost 61 Stres 62
2 lijekovi i kozmetika d.o.o. Koprivnica, Hrvatska 2
3 Uvod Bolesti srca i krvnih æila glavni su uzrok smrti u Hrvatskoj. Od njih umire svaki drugi stanovnik naπe zemlje. Od 10 vodeêih uzroka smrti u Hrvatskoj sedam ih je iz skupine bolesti srca i krvnih æila. Pri tome te bolesti zauzimaju prva Ëetiri mjesta, a tek na petom mjestu je jedna od zloêudnih bolesti, tj. rak pluêa. Daleko najveêi broj bolesti srca i krvnih æila uzrokovan je aterosklerozom. Glavne bolesti iz te skupine su one koje zahvaêaju srce, odnosno krvne æile srca. To su koronarna bolest i akutni infarkt miokarda (infarkt srëanog miπiêa). Ipak, najëeπêi uzrok smrtnosti u Hrvatskoj veê je godinama moædani udar (apopleksija, moædana kap, πlag, kolaps, cerebrovaskularni inzult). Pri tome valja znati da iako u jednoj treêini sluëajeva moædani udar zavrπava smrêu, druga treêina bolesnika postaje teπkim invalidima, a samo se jedna treêina oporavi ili kod njih zaostane tek manja invalidnost. Aterosklerozom uzrokovana suæenja krvnih æila nogu su pak glavni uzrok gangrena i amputacija udova. Posebni je problem πto poveêani broj oboljelih i umrlih od tih bolesti sve viπe pogaapplea mlaapplee skupine bolesnika oba spola koji su u najproduktivnijoj æivotnoj dobi, pa je jasno ogromno javno zdravstveno znaëenje borbe protiv Ëimbenika rizika koji ih uzrokuju. Te su bolesti i glavni odnosno vodeêi uzrok invalidnosti u naπem puëanstvu. Stoga one, iako predstavljaju velik problem za pojedinca, njegovu obitelj i okolinu, nisu samo njegov problem veê imaju itekako velik utjecaj na gospodarske i svekolike druπtvene prilike. To se 3
4 posebno odnosi na goleme troπkove lijeëenja infarkta srca i moædanog udara, rehabilitacije bolesnika od tih teπkih bolesti, te odsustva s posla i naknada za bolovanja. Valja spomenuti i velike troπkove neprivreappleivanja ako primjerice netko s 45 ili 50 godina æivota zbog bolesti umre ili prestane raditi te bude izgubljeno, uz æivot i zdravlje koji su sigurno neprocjenjivi i nenadoknadivi, i 15 ili 20 godina koje bi ta osoba inaëe radila i privreappleivala. Stoga je zapravo nedopustivo i neoprostivo ne ukloniti odnosno ne smanjivati Ëimbenike rizika koji uzrokuju infarkt srca i moædani udar. Naime, rijeë je o bolestima koje se uistinu suzbijanjem Ëimbenika rizika mogu izbje- Êi. Da je tako, najbolje govore podaci iz Sjedinjenih AmeriËkih Dræava. Tamo se u razdoblju od do godine smrtnost od aterosklerozom uzrokovane koronarne bolesti srca smanjila gotovo na polovicu. Ta se znaëajna promjena na bolje u zemlji koja je ranije prednjaëila po uëestalosti infarkta srca objaπnjava upravo istodobnim bitnim promjenama æivotnih navika puëanstva SAD-a. Naime, tamo je puëanstvo, osobito muπkarci, znaëajno smanjilo puπenje (26%), znaëajno su smanjili uzimanje æivotinjskih masti (40%), te kolesterola hranom (sa 800 na 500 mg dnevno), a time i prosjeënu koliëinu kolesterola u krvi 3-8%. Osim toga, bitno se poboljπalo i lijeëenje poveêanog krvnog tlaka. SliËne promjene æivotnih navika dogodile su se i u veêini zapadnoeuropskih zemalja u kojima se takoappleer smrtnost od infarkta srca i moædanog udara smanjila zahvaljujuêi bitnom smanjenju Ëimbenika rizika u puëanstvu. Te Ëimbenike rizika, a poglavito poveêanu koliëinu masti u krvi, meappleutim, u nas i bolesnici, ali nerijetko i lijeënici, naæalost, zanemaruju pa je i to nedvojbeno jedan od razloga tako velike uëestalosti kardiovaskularne i cerebrovaskularne smrt- 4
5 nosti u Hrvatskoj. Stoga nema dovoljno rijeëi kojima bi se naglasila potreba suzbijanja Ëimbenika rizika. Time se bespomoêna pasivna uloga pojedinca koji zatvarajuêi oëi pred rizikom Ëeka da se bolest moæda pojavi nadajuêi se da ipak neêe ("neêe baπ mene"), moæe i mora preobratiti u aktivni stav suzbijanja onih Ëimbenika koji bolest izazivaju i u osjeêaj odgovornosti za vlastito zdravlje i æivot. Naime, upravo se kod Ëimbenika rizika za bolesti srca i krvnih æila najbolje potvrappleuje ona stara narodna "bolje je sprijeëiti nego lijeëiti" jer se zdravim æivotnim navikama i lijeëenjem Ëimbenika rizika bolest uistinu moæe izbjeêi ili, ako veê postoji, moæe sprijeëiti njeno pogorπanje te ponovni infarkt srca ili moædani udar. Pri tome je kljuëno aktivno sudjelovanje osobe koja ima jedan ili viπe Ëimbenika rizika jer ni najpoærtvovniji i najbolji lijeënik neêe moêi mnogo uëiniti ako se ugroæena osoba i sama ne pobrine za svoje lijeëenje i u njemu aktivno ne sudjeluje te ne promijeni nezdrav naëin æivota. Posebni je problem pri tome πto niti jedan od glavnih Ëimbenika rizika za infarkt srca ni moædani udar ne boli. Koliko je to dobro, toliko je i loπe jer su mnogi skloni zanemariti i ne obratiti potrebnu pozornost lijeëenju neëega πto im zapravo ne smeta i zbog Ëega uglavnom nemaju veêih tegoba. Meappleutim, æalosno je to πto je, kada se bolest pojavi u obliku angine pektoris, infarkta srca ili moædanog udara, nerijetko prekasno da se stanje bitnije popravi pa se tada moæe samo pokuπati sprijeëiti ponovna pojava infarkta ili moædanog udara. Prema tome, valja se upoznati sa Ëimbenicima rizika i shvatiti zaπto su pogibeljni iako ne bole i prividno odnosno privremeno ne izazivaju veêe zdravstvene smetnje te zaπto se moramo boriti protiv njih. 5
6 Svrha ove knjiæice je upravo da se osobe koje imaju jedan ili viπe Ëimbenika rizika upoznaju s tim Ëimbenicima i bolestima koje oni uzrokuju te nauëe kako se mogu protiv njih boriti i time oëuvati svoje zdravlje. Ova je knjiæica namijenjena i Ëlanovima obitelji tih osoba jer je njihova uloga golema u pruæanju podrπke ugroæenoj osobi da ustraje u zdravim æivotnim navikama kao πto su zdrava prehrana, redovita tjelesna aktivnost i prestanak puπenja te da po potrebi uzima lijekove. Ona je namijenjena i svima drugima koje zanima ovo vaæno a nerijetko zanemareno podruëje medicine koje je Ëesto manje prisutno u svijesti puëanstva i medijima od mnogo rjeappleih bolesti koje za javno zdravstvo naπe zemlje sigurno nemaju niti izdaleka takvu vaænost. Napokon, ona je namijenjena lijeënicima, poglavito opêe odnosno obiteljske medicine, medicinskim sestrama i ostalom zdravstvenom osoblju koje sudjeluje u lijeëenju, savjetovanju i uopêe zbrinjavanju osoba s rizikom za infarkt srca i moædani udar. 6
7 to su Ëimbenici rizika Istraæivanja su veê prije nekoliko desetljeêa pokazala da postoje odreappleene znaëajke osoba i njihovih æivotnih navika koje su povezane s nastankom ateroskleroze, poglavito onom koronarnih krvnih æila srca i moædanih krvnih æila, te pogoduju njezinom napredovanju. Stoga te osobe mnogo ËeπÊe i ranije od drugih obolijevaju od infarkta srca i moædanog udara, najvaænijih i najpogibeljnijih od bolesti kojima je podloga ateroskleroza. Razvitak ateroskleroze osobito je ubrzan ako netko ima istodobno nekoliko Ëimbenika rizika pri Ëemu dva ili viπe Ëimbenika umnoæavaju a ne zbrajaju svoje uëinke. Stoga je pogubnije imati viπe riziënih Ëimbenika nego jedan, makar i jako izraæen. Tako je primjerice rizik osobe koja ima poveêani kolesterol u krvi, poviπeni krvni tlak i puπi Ëak 18 puta veêi nego osobe koja nema niti jedan Ëimbenik rizika, ali je takoappleer i znaëajno veêi nego u osobe koja primjerice ima samo poviπeni krvni tlak. Stoga bi upravo osobe koje imaju viπe Ëimbenika rizika trebale obratiti posebnu pozornost na njihovo uklanjanje odnosno lijeëenje jer Êe i uspjeh u njih biti veêi buduêi da inaëe imaju veliku πansu preuranjene smrti od infarkta srca ili moædanog udara. Pri tome valja znati da 7
8 postoje Ëimbenici rizika na koje moæemo utjecati i oni na koje, na æalost, ne moæemo. aterosklerotiëni plak ugruπak desna koronarna arterija lijeva koronarna arterija Meappleu onima na koje moæemo utjecati najvaæniji su: 1. PoveÊana koliëina masti (kolesterola i/ili triglicerida) u krvi 2. Poviπeni krvni tlak 3. Puπenje 4. eêerna bolest 5. Debljina 6. Nedovoljna tjelesna aktivnost 7. Stres.»imbenici rizika na koje ne moæemo utjecati su: 8
9 1. Æivotna dob 2. Spol 3. Naslijeapplee, odnosno obiteljska sklonost aterosklerozi 4. Preæivjeli infarkt srca ili moædani udar. Najprije Êemo ukratko reêi neπto o ovima potonjima, tj. onim Ëimbenicima rizika na koje se ne moæe utjecati. Æivotna dob kao Ëimbenik rizika Starija æivotna dob sama je po sebi odreappleeni Ëimbenik rizika za infarkt srca i moædani udar, iako ne vrlo snaæan. Treba meappleutim naglasiti da i u starijoj æivotnoj dobi lijeëenje poveêanih masnoêa u krvi i poviπenog krvnog tlaka te prestanak puπenja bitno poboljπavaju πanse da se izbjegne smrt od infarkta srca ili moædanog udara. Spol kao Ëimbenik rizika Rizik infarkta srca i moædanog udara znaëajno je veêi u muπkaraca nego u æena dok u njih ne nastupi menopauza. Tako se primjerice veê desetljeêima zna da muπkarci mlaapplei od 60 godina obolijevaju od bolesti srca i krvnih æila dva puta ËeπÊe od jednako starih æena. Zna se takoappleer da se koronarna bolest srca izazvana aterosklerozom u æena javlja u prosjeku desetak godina kasnije nego u muπkaraca. Meappleutim, u æena se rizik nakon menopauze ne samo izjednaëuje, veê u æivotnoj dobi iznad 65 godina od infarkta umire viπe æena nego muπkaraca. To se u kasnijoj æivotnoj dobi dodatno poveêava pa s 85 godina æivota od infarkta srca umire Ëak 9
10 dva puta viπe æena nego muπkaraca. Relativna zaπtiêenost æena u plodnom razdoblju æivota, tj. do menopauze objaπnjava se ponajprije povoljnim utjecajem æenskih spolnih hormona estrogena na masti u krvi te izravnim zaπtitnim djelovanjem na stijenku krvnih æila. Meappleutim, nakon menopauze se koliëina tih hormona u organizmu æene znaëajno smanji pa nestane i taj "zaπtitni" uëinak æenskih spolnih hormona. Prema tome, ako æena ima neke Ëimbenike rizika kao πto su poveêana koliëina masti u krvi, poviπen krvni tlak i sliëno, oni Êe donekle biti (osim ako nisu uistinu jako izraæeni) umanjeni samom Ëinjenicom da je rijeë o æeni, no nakon menopauze taj Êe Ëimbenik ili Ëimbenici rizika itekako doêi do izraæaja i æivotno ugroæavati tu bolesnicu. Naslijeapplee kao Ëimbenik rizika VeÊ se odavno zna da se infarkt srca i moædani udar ËeπÊe javljaju u nekim obiteljima. To se objaπnjava Ëinjenicom da su neki oblici jaëe poveêane koliëine kolesterola u krvi nasljedni, tj. genski su uzrokovani pa se prenose iz generacije u generaciju. BuduÊi da se i neki oblici πeêerne bolesti nasljeappleuju, i to moæe doprinositi poveêanom riziku infarkta srca i moædanog udara u odreappleenim porodicama. Meappleutim, obitelj nije vaæna samo zbog moguêeg nasljeappleivanja metaboliëkih poremeêaja koji poveêavaju rizik ateroskleroze. Obitelj je vaæna i za podræavanje obiëaja i navika kao πto su puπenje, nedovoljna tjelesna aktivnost odnosno sjedilaëki naëin æivota, pretjerano konzumiranje hrane i debljina, πto sve poveêava rizik. Stoga bi svatko trebao pri procjeni svoga rizika za infarkt srca i moædani udar razmisliti i raspitati se jesu li roditelji, djedovi i bake te braêa i sestre, ali 10
11 i ujaci i striëevi te tete imali poveêan kolesterol u krvi ili πeêernu bolest, jesu li umrli od infarkta srca ili moædanog udara (pri Ëemu je osobito vaæno jesu li umrli u æivotnoj dobi mlaappleoj od 55 godina), odnosno jesu li umrli naglom smrêu kojoj uzrok nije poznat i u kojoj æivotnoj dobi. Takoappleer je vaæno znati je li netko od spomenute rodbine imao operaciju ugradnje premosnice ("by-pass"), odnosno nije li nekome na- Ëinjeno πirenje aterosklerozom suæene krvne æile uz pomoê katetera s balonom ili je u æilu postavljen tzv. stent (valjëiê od metalne mreæice koji se uz pomoê katetera postavlja nakon πirenja aterosklerozom suæene æile da se ne bi ponovo suzila). Preæivjeli infarkt ili moædani udar Osobe koje su veê preboljele infarkt srca ili moædani udar kao i oni kojima je koronarografijom dokazana ateroskleroza koronarnih krvnih æila te oni kojima su aterosklerozom suæene koronarne krvne æile πirene uz pomoê katetera s balonom ili im je postavljen stent imaju daleko veêi rizik ponovnog infarkta srca i moædanog udara i smrti od tih bolesti nego one osobe koje neπto takvog nisu preæivjele. Upravo zbog toga, ako takvi bolesnici imaju bilo koji Ëimbenik rizika na koji se moæe utjecati, mora ga se vrlo agresivno i intenzivno suzbijati, odnosno lijeëiti kako bi se uklonila pogibelj. 11
12 to je ateroskleroza i zaπto je vaæna? Mnogi pojam "ateroskleroza" povezuju iskljuëivo sa zaboravljivoπêu, senilnoπêu, starijom æivotnom dobi i sl. To je, meappleutim, daleko od istine. Naime, to πto mnogi povezuju s aterosklerozom su zapravo odlike i simptomi senilne demencije koja je tek ponekad (odnosno samo njen tzv. vaskularni oblik) uzrokovana aterosklerozom. Ateroskleroza je pak daleko znaëajnija kao podloga koronarne bolesti, infarkta srca i moædanog udara i niti izdaleka nije povezana samo sa starijom æivotnom dobi. DapaËe, u osoba s jaëe izraæenim Ëimbenicima rizika javlja se veê u tridesetim ili Ëetrdesetim godinama æivota uzrokujuêi po æivot pogibeljne posljedice. Ateroskleroza zapoëinje tako πto Ëimbenici rizika, u prvom redu poveêana koliëina kolesterola u krvi, poveêani krvni tlak te tvari nastale puπenjem koje dospiju u krv, oπtete i izmijene unutarnji sloj stijenke krvnih æila - arterija koji se naziva endotel. To poveêa propusnost ovog sloja pa lipoproteinske Ëestice male gustoêe koje su glavni prenosioci kolesterola krvlju (LDL Ëestice) ulaze kroz njega u stijenku arterije. Lipoproteinske Ëestice su onaj oblik u kojem se masnoêe prenose krvlju, tj. s jednog mjesta u organizmu na drugo, gdje se iskoriπtavaju. Sastoje se od lipida ili masnoêa (poglavito kolesterola i/ili triglicerida), te proteina ili 12
13 bjelanëevina. Neke lipoproteinske Ëestice sadræe viπe kolesterola, a druge pak viπe triglicerida. pjenasta stanica kapljica masnoêa Kad lipoproteinske Ëestice male gustoêe (LDL) uappleu iz krvi u stijenku arterije dolazi do stvaranja slobodnih radikala koji ih oksidiraju. Zbog poveêane propusnosti endotela u stijenku ulaze i stanice nazvane makrofazi koji u velikoj koliëini unose u sebe oksidirane LDL Ëestice bogate kolesterolom. Takvi se makrofazi pretrpani kolesterolom nazivaju "pjenaste stanice" jer pod mikroskopom mjehuriêi masti kojima su pretrpani izgledaju poput pjene. Nakupina takvih pjenastih stanica na stijenci æile naziva se "masna pruga" i predstavlja rani stupanj nastanka ateroskleroze. Ona moæe nestati ako se uklone Ëimbenici koji su taj proces zapoëeli, tj. ako lijeëimo poveêane masnoêe u krvi i visoki krvni tlak, prestanemo puπiti i sl. Meappleutim, ako Ëimbenici koji su taj proces i pokrenuli dalje djeluju, postupno iz masne nakupine nastane vezivnomasna nakupina koju nazivamo aterom ili aterosklerotiëni plak (francuski "plaque - ploëa, jer na stijenci æile aterosklerotiëne naslage Ëesto izgledaju poput ploëe). Svaki se aterom sastoji od meke kaπaste jezgre graappleene od masti, poglavito kolesterola i raspadnutih stanica, koju 13
14 prekriva vezivna "kapa". Zbog takva je izgleda nakupine bolest i dobila ime. Naime, rijeë ateroskleroza potjeëe od starogrëke rijeëi "athera", πto znaëi kaπa, i rijeëi "skleros", πto znaëi otvrdnuo, jer je zbog veziva stijenka æile na tom mjestu u pravilu tvrapplea i neelastiëna, pogotovo ako doapplee do odlaganja kalcija u aterosklerotiënu nakupinu. AterosklerotiËna nakupina suæava promjer arterije pa tkivo koje ona opskrbljuje (dio srëanog miπiêa ili dio mozga) dobiva manje krvi. Zbog smanjene elastiënosti stijenke poveêava se dodatno krvni tlak i moguênost da tako promijenjena stijenka æile pukne. Takvo pucanje æile moæe se zbiti prigodom naglijeg i veêeg porasta krvnog tlaka (primjerice zbog uzbuappleenja), pa doapplee do krvarenja u okolno tkivo i tako nastaje jedan oblik moædanog udara (hemoragijski inzult ili "izljev krvi u mozak"). AterosklerotiËna nakupina, odnosno njena kapa, meappleutim, moæe i puknuti pa zbog toga na njoj nastane ugruπak. Taj ugruπak moæe samo strπati unutar koronarne arterije koja opskrbljuje dio srëanog miπiêa krvlju i to se oëituje kao napad angine pektoris, odnosno jaka ili prolazna bol u prsima koja se gdjekada πiri u lijevo rame ili ruku ili pak u donju Ëeljust. Do toga moæe doêi i kada se stegne koronarna krvna æila suæena ateroskleroznom nakupinom (primjerice pri izlasku zimi iz toploga u hladno). Bol nastaje zbog manjka kisika u srëanom miπiêu a uzrokovana je nerazmjerom izmeappleu potreba srëanog miπiêa za kisikom i moguênosti opskrbe krvlju, odnosno kisikom putem koronarnih arterija koje su suæene aterosklerotiënim nakupinama. Bol uglavnom traje nekoliko minuta, a gotovo nikada duæe od pola sata. Napadaj bolova zbog angine pektoris redovito popusti nakon stavljanja pod jezik nitroglicerola. 14
15 Meappleutim, ugruπak moæe biti i tako velik da zaëepi arteriju i time potpuno onemoguêi dolazak krvi u dio srëanog miπiêa koji stoga propada. To se naziva infarkt srca. I infarkt srca obiljeæen je jakom boli u prsima koja vrlo nalikuje onoj u angini zdrava arterija masna pruga aterom ugruπak u suæenoj krvnoj æili pektoris, ali ta bol traje po nekoliko sati i ne popuπta na nitroglicerol. Bolesnik s infarktom je obiëno istodobno oroπen hladnim znojem, diπe ubrzano, ima osjeêaj smrtnog straha i Ëesto je u vrlo loπem opêem stanju. Ako se pak zaëepi arterija u mozgu, tada nastaje jedan oblik moædanog udara (ishemijski inzult). Znaci moædanog udara kako onog ishemijskog tako i onog hemoragijskog su utrnulost, slabost ili oduzetost ruke, lica ili noge, osobito ako je zahvaêena samo jedna strana tijela, oteæano izgovaranje ili 15
16 "zaplitanje jezika", gubitak ravnoteæe, vrtoglavica uz nesigurnost u hodu i iznenadno padanje, naglo zamagljenje ili gubitak vida, osobito ako je samo na jednom oku ili nagla, jaka glavobolja bez jasnog uzroka nerijetko praêena povraêanjem. Moædanom udaru mogu prethoditi "prolazni moædani udari" koji se nazivaju tranzitorne ishemijske atake (ili TIA). Oni su praêeni istim tegobama, odnosno simptomima kao i moædani udar, ali te tegobe traju kraêe od 24 sata. TIA-e su vrlo vaæna upozorenja da prijeti pravi i trajni moædani udar jer osobe koje su imale TIA-u imaju Ëak 10 puta veêu vjerojatnost da dobiju moædani udar nego osobe istog spola i æivotne dobi koji je nisu doæivjeli. Zapravo, TIA u odnosu na moædani udar donekle predstavlja ono πto angina pektoris predstavlja u odnosu na infarkt srca. Danas se zna da za sudbinu bolesnika nije toliko vaæna veliëina aterosklerotiëne nakupine veê je najvaæniji njezin sastav. Naime, na malim aterosklerotiënim nakupinama koje se preteæito sastoje od masnoêa i imaju tanku vezivnu kapu koja lako pukne, lakπe nastaju ugruπci koji onda mogu zaëepiti arteriju. Takvi se ateromi stoga nazivaju nestabilnim. Za razliku od toga i relativno veliki ateromi koji mogu i znaëajno suæavati promjer arterije, ako imaju debelu vezivnu kapu i sadræavaju manje masti stabilni su i rijetko pucaju. Stoga i rjeapplee uzrokuju pogibeljne posljedice kao πto je infarkt srca. Kao πto je veê reëeno, postoji niz Ëimbenika rizika koji dovode do infarkta srca i moædanog udara na koje se itekako moæe utjecati. U nastavku su detaljno opisani upravo ti Ëimbenici te naëini kako ih moæemo ukloniti, odnosno ublaæiti i time ukloniti pogibelj po zdravlje. 16
17 PoveÊane masnoêe u krvi PoveÊane masti u krvi (hiperlipidemije) su uz poveêani krvni tlak, puπenje i πeêernu bolest (dijabetes) nedvojbeno jedan od najvaænijih Ëimbenika rizika za aterosklerozu, a time i bolesti srca i krvnih æila koje su njome uzrokovane. Brojnim je istraæivanjima dokazana izravna povezanost izmeappleu poveêane koncentracije ukupnog kolesterola u krvi (hiperkolesterolemije), a posebno LDL-kolesterola i poveêane uëestalosti koronarne bolesti. LDL-kolesterol je onaj kolesterol koji sadræavaju LDL Ëestice, glavni prenosioci kolesterola u organizmu. Pri tome se kolesterol iz tih Ëestica taloæi u stijenke krvnih æila i tamo izaziva aterosklerotiëne naslage. Stoga je posebno opasno imati poviπeni LDL-kolesterol jer πto je on viπi, to je rizik bolesti srca i krvnih æila veêi. Dokazana je i povezanost smanjene koliëine HDL-kolesterola s poveêanom uëestaloπêu i uznapredovaloπêu aterosklerotiënih promjena koronarnih i moædanih krvnih æila. BuduÊi da su HDL Ëestice ili lipoproteini velike gustoêe, Ëestice koje poput svojevrsnih ËistaËa kruæe krvotokom i na sebe nakupljaju kolesterol sa mjesta na kojima ga ima u suviπku, kolesterol u tim Ëesticama je zapravo pokazatelj naπe zaπtiêenosti od ateroskleroze odnosno njome izazvanih bolesti srca i krvnih æila. Naime, πto imamo viπe HDL- kolesterola, to znaëi da su te Ëestice sakupile viπe kolesterola iz masnih naslaga na stijenkama krvnih æila pa smo zaπtiêeniji od koronarne bolesti, infarkta srca i moædanog udara. 17
18 I poveêana koliëina triglicerida u krvi (hipertrigliceridemija) je Ëimbenik rizika za aterosklerozom izazvane bolesti srca i krvnih æila. Upravo je stoga vaæno da osobe koje imaju poveêanu koliëinu ukupnog i LDL-kolesterola odnosno triglicerida i/ili smanjenu koliëinu zaπtitnog HDL-kolesterola u krvi normaliziraju svoje vrijednosti masnoêa u krvi. Na temelju niza istraæivanja ustanovljeno je da smanjenje koliëine kolesterola u krvi za 1% ima kao neposrednu posljedicu smanjenje uëestalosti koronarne bolesti srca za 2%. ZnaËenje poveêane koliëine triglicerida u krvi je pak prvenstveno u tome πto je ona redovito praêena sniæenjem koncentracija zaπtitnog HDL-kolesterola u krvi. Dokazano je, meappleutim, da se nakon poveêanja koliëine HDL-kolesterola u krvi uzrokovanog ispravnim lijeëenjem poveêane koliëine triglicerida u krvi smanjuje uëestalost infarkta srca za 3%. Vaænost jako izraæenog poveêanja triglicerida u krvi (iznad 8 mmol/l) je i u tome πto to predstavlja rizik za nastanak akutne upale guπteraëe (pankreatitisa), bolesti koja moæe biti pogibeljna po æivot. Naime, teπki oblici pankreatitisa su Ëak smrtonosni, a ponavljane upale guπteraëe uzrokovane jako poviπenim trigliceridima dovode do oπteêenja onih dijelova guπteraëe iz kojih se luëi inzulin pa Êe kao posljedica nastati πeêerna bolest (dijabetes). Kome treba odrediti masnoêe u krvi? Zbog svega navedenog odreappleenim osobama obvezno bi se morale odrediti masnoêe u krvi. To se prvenstveno odnosi na one s veê dokazanom koronarnom bolesti, anginom pektoris, preboljelim infarktom srca, preboljelim moædanim udarom ili dokazanom aterosklerotiënom bolesti perifernih krvnih æila, 18
19 poglavito onih nogu. Osim toga masnoêe u krvi bi se obvezno morale odrediti kliniëki zdravim osobama koje imaju simtome odnosno jasno prepoznatljive znakove jako izraæenog pove- Êanja kolesterola u krvi. U te se simptome ubrajaju ksantelazme - æuêkaste nakupine na nosnoj strani vjeapplea, ksantomi - - æuêkasti ËvoriÊi po koljenima, laktovima ili podruëju Ahilove tetive, odnosno iznad pete te "arcus corneae" ili "gerontoxon"- - bjelkasti prsten uz rub πarenice oka. Meappleutim, valja naglasiti da takve znakove imaju samo bolesnici koji imaju uistinu jako poviπenu razinu kolesterola u krvi, a ti su vrlo rijetki. DapaËe, su ËeπÊi bolesnici s umjereno ili Ëak jako poviπenim kolesterolom u krvi koji nemaju nikakvih oëitih znakova niti tegoba, a kad doæive prvi infarkt srca ili moædani udar, nerijetko je veê prekasno. MasnoÊe u krvi takoappleer bi valjalo odrediti osobama Ëiji su roditelji ili bliski roappleaci (braêa, sestre, bake, djedovi, ujaci, tetke) bolovali od poveêanog kolesterola u krvi, koronarne bolesti, preæivjeli infarkt srca ili moædani udar, ili su pak umrli naglom smrêu iz nepoznatog razloga u 40-im i 50-im godinama æivota. MasnoÊe u krvi obvezatno se moraju odrediti svima koji boluju od πeêerne bolesti, bolesnicima kojima je luëenje hormona πtitnjaëe smanjeno (koji boluju od hipotireoze) te bolesnicima s kroniënim zatajenjem bubrega. MasnoÊe u krvi bi takoappleer valjalo odrediti svima koji imaju poviπeni krvni tlak ili puπe. Ako se pronaappleu poviπene koncentracije kolesterola i/ili triglicerida, toj bi osobi za 2 tjedna (zbog promjena unutar normalnog raspona razine masnoêa u krvi) trebalo ponovno odrediti koncentraciju ukupnog kolesterola i triglicerida, te LDL-kolesterola i HDL-kolesterola u krvi nataπte. Iako za mjerenje koncentracije ukupnog kolesterola bolesnik ne bi morao biti nataπte, buduêi da za odreappleivanje triglicerida u krvi 19
20 to mora biti, i to od 12 do 14 sati, naveëer prije vaappleenja krvi osoba smije pojesti tek manji i lakπi obrok i to najkasnije oko 17 ili 18 sati. Nakon toga do jutra, kada se vadi krv, ne smije se niπta jesti i niπta piti osim vode (ne smije se piti niti mlijeko, sokovi, Ëaj, kava itd.). MasnoÊe u krvi ne treba odreappleivati tijekom akutnih bolesti (ukljuëujuêi gripu, upalu krajnika i sl.), neposredno nakon kirurπkih zahvata, te tijekom redukcijske dijete (pri jakom mrπavljenju) i trudnoêe jer su tada vrijednosti izmijenjene. Normalne vrijednosti masnoêa u krvi Ukupni kolesterol, trigliceridi i HDL-kolesterol su pretrage koje se rade u svakom biokemijskom laboratoriju i ubrajaju u jeftine pretrage pa ne valja zazirati od odreappleivanja ovih vaænih pokazatelja zbog straha od prevelikog troπka. Osim spomenutih pretraga, vrlo je koristan pokazatelj rizika i LDL-kolesterol. BuduÊi da LDL-kolesterol ne odreappleuju svi biokemijski laboratoriji, njegovu vrijednost svaki lijeënik opêe prakse pa i sam bolesnik lako moæe izraëunati pomoêu tzv. Friedwaldove jednadæbe koja glasi: LDL kolesterol = ukupni kolesterol - HDL kolesterol - trigliceridi/2,2 (sve u mmol/l). Meappleutim, izraëun po ovoj jednadæbi je toëan samo ako je vrijednost triglicerid u krvi nataπte manje od 4,6 mmol/l. Ako je ta vrijednost veêa, LDL-kolesterol se ne moæe izraëunati. Sukladno preporukama o prevenciji koronarne bolesti srca koje su zajedniëki donijela europska druπtva za aterosklerozu, kardiologiju, hipertenziju, opêu i obiteljsku medicinu i u primarnoj i u sekundarnoj prevenciji bolesti srca i krvnih æila, trebala bi koliëina: 20
21 ukupnog kolesterola u krvi biti manja od 5,0 mmol/l, LDL-kolesterola manja od 3,0 mmol/l, HDL-kolesterola veêa od 1,0 mmol/l, triglicerida manja od 2,0 mmol/l. Dakle, te se vrijednosti smatraju normalnima i pozornost valja obratiti iskljuëivo ako vrijednosti na nalazu masnoêa u krvi dobivenom iz biokemijskog laboratorija odudaraju od njih, a ne ako se razlikuju od onih vrijednosti koje su na nalazu napisane kao normalne. Naime, mnogi biokemijski laboratoriji iz nepoznatih razloga joπ uvijek navode razliëite druge vrijednosti kao normalne iako bi zapravo smjeli navoditi samo ove gore spomenute. Zaπto masnoêe u krvi mogu biti poveêane? Hiperlipidemije ili poveêane masnoêe u krvi se mogu podijeliti na nekoliko naëina. Joπ uvijek se rabi podjela po Fredricksonu, kojom se poremeêaji masnoêa u krvi dijele na tip I, IIa, IIb, III, IV i V. Ako se æeli doznati neπto viπe o samoj biti promjene metabolizma masti u ljudskom organizmu, hiperlipidemije se dijele na primarne i sekundarne. Primarne su uzrokovane priroappleenim nasljednim greπkama metabolizma masti u organizmu odnosno Ëestica koje te masti prenose i od njih je najvaænija porodiëna hiperkolesterolemija. To je ujedno i najëeπêa od svih nasljednih metaboliëkih bolesti u ljudi uopêe. Ta je bolest uzrokovana promjenom gena koji daje uputu za sintezu posebnih bjelanëevina koje postoje na svim stanicama a posebno stanicama jetara - LDL-receptora. Zbog toga LDL Ëestice koje su glavni prenosioci kolesterola u organizmu ne mogu biti unesene i razgraappleene u stanicama raznih tkiva veê se nagomilavaju u krvi. Stoga dolazi i 21
22 do poveêanja glavnog sastojka LDL Ëestica - kolesterola u krvi, a to potiëe nastanak aterosklerotiënih nakupina na stijenkama arterija. Zbog toga homozigoti koji su gensku greπku za tu bolest naslijedili i po oëevoj i po majëinoj strani veê u djetinjstvu ili mladosti, a heterozigoti (koji su gensku greπku naslijedili samo od jednog roditelja) neπto kasnije, umiru od infarkta srca ako ih se na vrijeme ne otkrije i ne lijeëi. Treba spomenuti da je uëestalost heterozigota za ovu bolest u puëanstvu otprilike 1:500, πto znaëi da u Hrvatskoj takvih bolesnika ima viπe od Ostali primarni poremeêaji metabolizma masti znatno su rjeapplei pa im je, bez obzira na to πto i neki od njih dovode do preuranjene i jako izraæene ateroskleroze, javno zdravstveno znaëenje manje. Vaæno je istaknuti da, iako debljina dovodi do umjerenog poveêanja masnoêa u krvi, oni sa jako poveêanim kolesterolom u krvi najëeπêe nisu debeli. DapaËe, usprkos opêem dojmu da je poveêanje kolesterola vezano uz pretilost, veêina bolesnika s priroappleenim greπkama metabolizma masti i stoga jako poviπenim kolesterolom ne samo da nije debelo, nego se Ëesto radi o izrazito mrπavim osobama. Sekundarne hiperlipidemije nastaju kao popratne pojave nekih bolesti kao πto su πeêerna bolest (dijabetes), smanjeno luëenje hormona πtitnjaëe (hipotireoza), pojaëano luëenje hormona nadbubreæne ælijezde - kortizola (Cushingov sindrom), poveêana koliëina mokraêne kiseline u krvi koja dovodi do uloga ili gihta (hiperuricemija), autoimune bolesti, nefrotski sindrom, uremija, hepatitis, pretilost odnosno debljina, nervozna anoreksija i alkoholizam. PoveÊana koliëina kolesterola u krvi moæe nastati i kao posljedica uzimanja nekih lijekova, poglavito kortikosteroida, u veêim koliëinama i kroz dulje razdoblje te daleko manje i rjeapplee tiazidskih diuretika (lijekova koji potiëu 22
23 mokrenje), blokatora beta-receptora (lijekova za smanjenje poviπenog krvnog tlaka i za poremeêaje ritma rada srca), retinoida (lijekova za psorijazu), i ciklosporina (lijeka iz skupine imunosupresiva koji se daje za sprjeëavanje odbacivanja transplantiranih organa te lijeëenje nekih drugih teπkih bolesti). Najjednostavnija je, a za svakodnevnu uporabu ipak sasvim dostatna, podjela poveêanih masti u krvi na hiperkolesterolemiju (poveêan je samo kolesterol), hipertrigliceridemiju (poveêani su samo trigliceridi) i kombiniranu hiperlipidemiju kod koje su poveêani i kolesterol i trigliceridi u krvi. Meappleutim, nije toliko vaæna samo koliëina masti u krvi, veê uvijek valja procijeniti ukupnu ugroæenost bolesnika. Naime, i razmjerno blago poviπena razina ukupnog kolesterola i LDLkolesterola u krvi vaæan su Ëimbenik rizika ako se primjerice naappleu u osobe koja puπi i/ili ima poveêani krvni tlak jer se, kao πto je veê reëeno, uëinci dvaju ili viπe Ëimbenika rizika ne zbrajaju, veê umnoæavaju. Dijeta za poveêani kolesterol u krvi Dijeta je u svakom sluëaju prvi i osnovni pristup u lijeëenju poveêane koliëine masti u krvi. Pri tome valja istaknuti da razliëitu vrstu dijete moraju provoditi oni koji imaju poveêani kolesterol, a razliëitu oni koji imaju poveêane trigliceride u krvi. Osobe koje imaju poveêani i kolesterol i trigliceride u krvi moraju se pridræavati dijete koja obuhvaêa sastavnice i jedne i druge dijete. U svakom sluëaju osobe s poveêanim mastima u krvi trebale bi smanjiti unos masti na najviπe 30% od ukupnog unosa energije. Pri tome bi zasiêene masti smjele Ëiniti najviπe 10%, viπestruko nezasiêene masti 6-10%, a jednostruko nezasiêene 10-15% od ukupnog unosa energije. 23
24 U tom smislu valjalo bi smanjiti unos kolesterola na najviπe 300 mg dnevno. Kolesterola osobito mnogo ima u æumanjku jaja (samo jedan æumanjak sadræi mg kolesterola), iznutricama kao πto su mozak, jetra i bubrezi, rakovima, te govedini i svinjetini. PoveÊani unos kolesterola hranom, naime, nedvojbeno poveêava koncentraciju kolesterola u krvi, osobito ako u hrani ima mnogo zasiêenih, a malo viπestruko nezasiêenih masnih kiselina. Treba, meappleutim, reêi da se kolesterol iz hrane u crijevu tek djelomiëno apsorbira (30-60%). Slijedom toga, osobe s poveêanim kolesterolom u krvi jaja ne bi smjele uopêe jesti, a osobito ne æumanjke. Ako ih 24
25 uistinu jako vole i ne mogu ih se nikako odreêi, onda si mogu priuπtiti najviπe jednom mjeseëno 1-2 tvrdo ili meko kuhana jaja, odnosno kajganu od jednog cijelog jaja (i æumanjak i bjelanjak) i nekoliko bjelanjaka peëenih u tavi koja ne zahtijeva masnoêe. Naime, i osobe s poviπenim kolesterolom u krvi mogu jesti bjelanjaka koliko æele. Valja misliti na to da se æumanjci jaja nalaze "skriveni" u raznim namirnicama, primjerice tjestenini, kolaëima i sl. Osobito je velika koliëina kolesterola u majonezi koja ga sadræi Ëak viπe nego svinjska mast. Kolesterola ima mnogo, osim u raznim vrstama crvenog mesa i u divljaëi, primjerice srnetini, a valja reêi da ga ima mnogo i u mesu pitomih kuniêa, Ëak viπe nego u svinjetini, govedini, teletini i janjetini, πto mnogi ne znaju. Stoga te vrste mesa treba jesti najviπe u jednom obroku tjedno. Kolesterola i zasiêenih masti najmanje ima u ribi i mesu pileêih, odnosno pureêih prsa, pa tjedni jelovnik treba sloæiti tako da se tri puta tjedno jede za glavni obrok riba (najbolje plava i to skuπe, sardine, tuna, haringe, losos i sl., ali moæe i bijela) a 2-3 puta piletina ili puretina bez koæe i samo jednom tjedno crveno meso jer ono sadræi zabranjene æivotinjske masnoêe (govedina, teletina, svinjetina itd.). Nikako ne smijete jesti viπe od ukupno 200 g crvenog mesa i mesnih preraappleevina tjedno. Od naëina pripreme nedvojbeno je najzdravije jesti kuhanu ribu ili meso, ali se moæe svaki drugi ili treêi dan jesti riba odnosno meso præeno na tavi bez ulja ili masti odnosno na roπtilju (gradele). Pri tome treba naglasiti da, iako se u nas svinjetinu smatra osobito masnim mesom, govedina ne sadræi niπta manje masti nego svinjetina. Prema tome, najviπe jednom tjedno moæe se, ako se baπ æeli, jesti i svinjetina u manjoj koliëini, ali tako da se sva vidljiva mast obreæe s mesa, a meso ispeëe u posuappleu koje ne zahtijeva masnoêu ili na roπtilju. 25
26 ZasiÊenih masti æivotinjskog podrijetla koje su bolesnicima s poveêanim kolesterolom joπ daleko opasnije od kolesterola iz hrane ima mnogo u maslacu, slatkom i kiselom vrhnju, tuëenom vrhnju (πlag), punomasnim i topljenim sirevima (sa 30 i viπe % masti), svinjskoj masti i preraappleevinama koje je sadræe pa te namirnice valja potpuno izbaciti iz prehrane. Posebno valja izbjegavati paπtete, mesne konzerve (mesni doruëak), slaninu, Ëvarke, kobasice, salame, jezik, itd., te goveapplei i ovëji loj. Ako se osoba s poveêanim kolesterolom u krvi baπ nikako ne moæe odreêi narezaka, najbolje je jesti pileêa ili pureêa prsa u ovitku odnosno dimljena, te (ali ne preëesto) preπanu πunku ili Ëak prπut kojem je uklonjena sva vidljiva mast. Treba naglasiti da kolesterol i zasiêene masti uopêe nisu neophodni sastojak hrane i da organizam moæe sintetizirati dovoljne koliëine tih masti za sve svoje potrebe te da se oni mogu prenositi od jednog tkiva do drugoga pa se tako nedostatak u nekom tkivu moæe brzo nadomjestiti masno- Êama sintetiziranim u drugom dijelu organizma. Glavni razlog zbog kojeg se u bilo kojem obliku prehrane, ukljuëujuêi i dijete za bolesnike s poveêanom koliëinom masti u krvi, ipak unose odreappleene male koliëine kolesterola i zasiêenih masti jest taj πto bi hrana koja bi bila potpuno bez tih masti bila neukusna. Na temelju svega navedenoga osobama s poveêanim kolesterolom u krvi preporuëuje se jesti preteæito ribu (osobito plavu), meso peradi bez koæe te πto viπe povrêa i voêa, a od ugljikohidrata proizvode od cjelovitih æitarica. PreporuËuje se takoappleer umjesto crvenog mesa jesti soju. Dokazano je da konzumiranje bjelanëevina iz soje umjesto æivotinjskih bjelanëevina smanjuje donekle koliëinu kolesterola u krvi. Zanimljivo je napomenuti da neki sastojci sojinih 26
27 bjelanëevina izgleda imaju i neke druge protuaterosklerotiëke uëinke osim sniæenja koliëine masti u krvi. Od mlijeënih proizvoda bolesnici s poveêanim kolesterolom smiju, ako to æele i vole, piti mlijeko, ali samo ono obrano (s najviπe 0,9% mlijeëne masti) i to ne viπe od 2 dl dnevno te jogurt i kiselo mlijeko od obranog mlijeka (sa najviπe 0,1% mlijeëne masti), takoappleer ne viπe od 2 dl dnevno. Te osobe smiju povremeno i u umjerenoj koliëini jesti svjeæi kravlji posni sir, ali bez vrhnja te ga, ako je rijeë o suhoj vrsti svjeæeg kravljeg sira, mogu preliti s malo jogurta od obranog mlijeka (s najviπe 0,1% mlijeëne masti). Kao πto je veê reëeno, maslac valja potpuno izbaciti iz prehrane. Iako ne sadræi æivotinjske masnoêe, iz prehrane valja izbaciti i margarin ili ga valja koristiti tek u malim koliëinama jer i on poveêava πtetni LDL-kolesterol, a snizuje zaπtitni HDL-kolesterol u krvi. Pri tome se smiju konzumirati samo one vrste margarina koje i u hladioniku ostaju mekane jer one sadræe manje πtetnih trans-masnih kiselina. Ipak, osobe s poveêanom koliëinom kolesterola u krvi svoju prehranu trebaju prvenstveno temeljiti na povrêu i voêu. Pri tome smiju jesti sve vrste povrêa, najbolje sirovog, kuhanog odnosno pripremljenog bez masnoêa ili sa πto manje masnoêa. Posebice se preporuëuje jesti grahorice kao πto su graπak, grah, bob, mahune, slanutak, leêa i sl., ali takoappleer i zeleno lisnato povrêe kao πto su zelena salata, πpinat, kupus, kelj, blitva, kelj pupëar i sl. U neograniëenim koliëinama moæe se jesti i ostalo povrêe primjerice paprika, rajëica, krastavac, πparoge, tikvice, brokula, cvjetaëa, mrkva, cikla, repa, rotkvice, bamija, gljive, celer, koloraba, komoraë, poriluk, crveni luk itd. Dnevno treba jesti najmanje 500 g povrêa (bez 27
28 krumpira) u 4 ili 5 obroka. Krumpir kojeg te osobe smiju jesti valja pripremati samo kuhanog u kori ili kao krumpir na salatu (eventualno samo s malo maslinovog ulja ali bez ograniëenja u drugim zaëinima primjerice octu, crvenom i bijelom luku, papru, kaparima, perπinu i td.). Valja izbjegavati præeni krumpir, pomfrit, restani i pire od krumpira jer su to sve naëini pripreme kod kojih se krumpir natopi ili izmijeπa sa uljem ili drugim, primjerice mlijeënim mastima. U svakom sluëaju jela se nipoπto ne smiju prireappleivati na svinjskoj masti, maslacu ni margarinu, niti se njima smiju zaëinjati. Za pripravu jela valja iskljuëivo koristiti ulje, no i njega u πto manjoj koliëini. Ulja ovisno o podrijetlu i naëinu priprave, imaju razliëite uëinke na masnoêe u krvi. Naime, neka ulja i biljne masti sadræe dosta zasiêenih masnih kiselina pa poveêavaju koliëinu ukupnog kolesterola i osobito πtetnog LDL-kolesterola u krvi. U tu se skupinu ulja ubrajaju kokosovo ulje i palmino ulje. Iako se u nas ove vrste ulja ne koriste u kuêanstvu (naæalost u novije vrijeme se na naπem træiπtu sve viπe pojavljuje pa se i poëinje rabiti jeftinije palmino ulje), valja znati da je veêina industrijske hrane pripremljena upravo uz pomoê ovih ulja, osobito industrijski naëinjenih kolaëa, sladoleda i nekih gotovih jela. To zabrinjava stoga πto se u svijetu potroπnja palmina ulja u zadnjih 10 godina poveêala s 1% na 15% ukupne potroπnje masnoêa, a u istom se razdoblju potroπnja sojina ulja smanjila s 20% na 15%. Konzumiranje suncokretova i maslinova ulja nije se bitno mijenjalo i iznosi 5%, odnosno 1%, πto je kudikamo premalo. To posebno vrijedi za Hrvatsku u kojoj je, iako se u nas proizvodi kvalitetno maslinovo ulje, potroπnja tog ulja daleko premala. Naime, od svih je ulja maslinovo ulje nedvojbeno najzdravije. Valja reêi i to da prema novijim spoznajama sastojci maslinova ulja, poglavito fenoli, odnosno flavonoidi sprjeëavaju 28
29 oksidaciju LDL Ëestica. Stoga se moæda i antioksidacijskim svojstvima maslinova ulja, a ne samo nezasiêenim masnim kiselinama iz maslinova ulja moæe pripisati manja uëestalost koronarne bolesti u mediteranskim zemljama gdje se ono koristi gotovo iskljuëivo. Ako netko baπ nikako ne voli maslinovo ulje, odnosno ne voli neku vrstu jela pripravljenu s tim uljem, mogu se takoappleer koristiti neka druga biljna ulja, primjerice sojino ulje, ulje od suncokretovih sjemenki i ulje od kukuruznih klica. Ta ulja osobe s poveêanim kolesterolom u krvi mogu koristiti u prehrani bez veêe pogibelji pod uvjetom da unose tek manje koliëine ulja hranom. Ipak se uporaba svih tih ulja moæe manje preporuëiti nego maslinova. BuduÊi da se biljnim uljima unosi mnogo energije, preveliko konzumiranje tih ulja dovesti Êe do pretilosti pa i njih treba tek umjereno koristiti. Treba, meappleutim, reêi i to da ponovljeno zagrijavanje ulja s viπestruko zasiêenim masnim kiselinama (primjerice u fritezi), poveêava njihovu hidrogenaciju pa ona postaju πtetna. Stoga nikada ne valja rabiti za pripravu jela ulja koja su veê bila koriπtena, odnosno zagrijavana. VoÊe se moæe jesti u neograniëenim koliëinama i to bilo koje vrste. Najbolje je jesti πto viπe jabuka koje, ponajviπe u kori, sadræe dosta pektina. To je vrsta biljnih vlakana koja sama po sebi smanjuje donekle ukupni kolesterol u krvi (za najviπe 10%), pa stoga jabuke treba jesti neoguljene. Meappleutim, i sve ostale vrste voêa mogu se jesti, primjerice treπnje, viπnje, marelice, breskve, kruπke, πljive, naranëe, mandarine, grejp, limun, jagode, maline, borovnice, ribiz, kupine, ogrozd, groæapplee, lubenice, dinje, ananas. Kruh valja jesti u umjerenoj koliëini, pri Ëemu je za bolesnike s poveêanim kolesterolom u krvi najbolji onaj od zobi, ali se moæe jesti i graham, te crni, polubijeli ili bijeli, kao i pecivo u 29
30 umjerenim koliëinama. Korisno je jesti zobne pahuljice, te zobne i riæine mekinje jer one umjereno (najviπe za oko 5%) smanjuju kolesterol u krvi. Mogu se jesti i druge æitarice, primjerice jeëam, raæ, proso, heljda, kukuruz, no niti s jednom vrstom æitarica ukljuëujuêi i zob ne valja pretjerivati jer Êe u prevelikim koliëinama predstavljati poveêani unos energije, odnosno kalorija u organizam, πto nije poæeljno. Od slatkiπa, osobe s poveêanom koliëinom kolesterola u krvi mogu jesti suhe kolaëiêe peëene bez masnoêe, marmelade za dijabetiëare ili s manje πeêera od bilo kojeg voêa, te sladoled bez vrhnja u manjim koliëinama (najbolje "sorbeto"). Valja izbjegavati kolaëe s kremama, sladoled s vrhnjem, palaëinke, uπtipke i drugo tijesto præeno u masnoêi, lisnato tijesto, masleno tijesto te Ëokoladu i proizvode od nje. Svakako valja izbjegavati grickalice poput Ëipsa, smokija i sl., koje sadræe dosta masti. Prije nekoliko godina objavljeni su rezultati velikih istraæivanja u kojima je pokazano da konzumiranje oraha, badema i leπnjaka moæe donekle smanjiti rizik koronarne bolesti. Prema tome, konzumiranje oraπastog voêa moæe se preporuëiti u sklopu dijete bolesnicima s poveêanim kolesterolom u krvi. Pri tome ipak valja voditi raëuna da Êe, ako jedu puno takvog voêa, unositi i puno energije (kalorija) pa se mogu udebljati πto im se sigurno ne preporuëuje. to se tiëe zemnog oraπ- ËiÊa ili kikirikija, koji je botaniëki gledano mahunarka a ne oraπasto voêe, Ëini se da je njegovo konzumiranje viπe πtetno nego korisno pa ga se ne preporuëuje bolesnicima s pove- Êanim masnoêama u krvi. UoËeno je da neke tvari iz biljaka donekle smanjuju masnoêe u krvi. Tako primjerice psilium, πto je zapravo sluz sjemenki biljke Plantago ovata, ako se uzima u koliëini od 5-45g na 30
31 dan smanjuje koliëinu ukupnog i LDL-kolesterola u krvi i to za oko 8%. Pri tome se za svaki gram psiliuma LDL-kolesterol smanjivao za oko 0,7 mmol/l. Treba naglasiti da psilium nema nikakvih uëinaka ako se ne uzima zajedno s obrokom hrane. I guar, tvar iz sjemenki mahunarke Cyamopsis tetragonobola, koja se najviπe rabi u industrijskoj pripravi gotove i polugotove hrane, sniæava ukupni i LDL-kolesterol u krvi i to za Ëak do 12%, te sniæava koncentraciju glukoze u krvi. Bolesnici s poveêanim kolesterolom u krvi smiju bez ograniëenja piti mineralnu vodu te, ako to izriëito æele, umjereno piti alkohol, ali najviπe do g na dan (2 dl vina, po mogu- Ênosti crnog ili 0,3 dl æestokog piêa). VeÊe koliëine se ni u kojem sluëaju ne mogu preporuëiti veê, naprotiv, treba naglasiti da Êe konzumiranje veêih koliëina alkohola djelovati suprotno, tj. poveêati Êe koliëinu masnoêa u krvi. Osobe s poveêanim kolesterolom mogu piti voêne sokove bilo koje vrste te crnu kavu i Ëaj, ali ne viπe od 2 πalice dnevno. Provoappleenje dijete zahtijeva upornost i trud bolesnika da ustraje u dijeti i pridræavanje uputa o naëinu pripremanja hrane (primjerice da treba izbjegavati naëine priprave pri kojima se hrana natopi mastima, kao πto je to pri pohanju i præenju, a poticati konzumiranje kuhane hrane ili pripremljene u posuappleu koje ne zahtijeva masnoêe). Hrana ni u kojem sluëaju ne treba biti neukusno pripremljena, veê je valja zaëiniti zaëinima koji joj mogu dati zanimljiviji okus. Tako se primjerice moæe hranu zaëiniti paprom, paprikom, te svim vrstama zaëinskih biljaka, od bosiljka, kopra, perπina, mravinca (origana), majëine duπice, kumina, metvice, timijana, ruæmarina, vlasca, maæurana do bijelog i crvenog luka. Najvaænije pri dijeti je da osoba koja je se mora pridræavati ne gladuje jer za time nema nikakve potrebe (osim ako nije 31
32 izrazito debela). Prema tome valja izbjegavati konzumiranje samo jednog ili dva obroka dnevno. DapaËe, treba jesti viπe puta, barem Ëetiri ili pet puta na dan, no kljuëno je πto se jede. Obrok tijekom posla ne treba biti sendvië ili masni gulaπ u restoranu, veê bi bilo dobro ponijeti od kuêe oëiπêeno nekoliko mrkvi, celer, rajëicu, dvije jabuke. To Êe biti obrok koji Êe osobu na dijeti zasititi, a zdrav je i ne utjeëe negativno na masti u krvi. Ako Ëesto iz poslovnih razloga jedete u restoranu, a imate poveêni kolesterol, umjesto predjela uzmite neku salatu, za glavno jelo ribu uz prilog od povrêa, a slatkiπe nemojte jesti. Prema tome, nema razloga da se niti u takvim prigodama ne pridræavate dijete. Dijetu bolesnik mora provoditi najmanje 2 mjeseca prije no πto se uopêe i pomisli na davanje lijekova protiv poviπenih masnoêa u krvi. Razlog za to nije samo Ëinjenica da treba neπto vremena kako bi se uëinci dijete mogli oëitovati na koncentracije masnoêa u krvi, veê viπe to πto zapravo treba promijeniti prehrambene navike, a za to ipak treba dosta vremena. Tek ako se uz doista striktno pridræavanje dijete tijekom tog razdoblja koliëine masnoêa u krvi ne smanje na zadovoljavajuêe, smije se zapoëeti lijeëenje lijekovima. Meappleutim, i tada treba obvezno nastaviti s provoappleenjem dijete, a bolesnik mora znati da lijeëenje lijekovima nema puno smisla ni uspjeha ako se ne pridræava dijete. Meappleutim, valja jasno reêi i to da se i najstroæom dijetom koncentracija kolesterola u krvi moæe smanjiti samo 10-15% pa Êe se dijetom uspjeti normalizirati koliëina kolesterola u krvi samo onih bolesnika u kojih nije izrazito poviπena, dok Êe oni s jako poviπenim kolesterolom u krvi morati uzimati lijekove kako bi se zaπtitili od infarkta srca i moædanog udara. 32
33 Dijeta za poveêane trigliceride u krvi Bolesnici s poveêanim trigliceridima u krvi moraju u sklopu dijete potpuno izbaciti iz prehrane alkohol, slatkiπe i znatno smanjiti unos ugljikohidrata. To je vaæno istaknuti jer se Ëesto dogaapplea da lijeënici i njima savjetuju samo smanjenje unosa æivotinjskih masnoêa, a zaboravlja se da im je kudikamo vaænije smanjiti unos kruha, tjestenine, krumpira, a odreêi se slatkiπa i alkohola. Treba osobito naglasiti da se na hipertrigliceridemiju naëelno uspjeπnije moæe utjecati samo strogom dijetom nego na hiperkolesterolemiju, pa te bolesnike treba posebno poticati da se pridræavaju dijete jer Êe ona najëeπêe biti potpuno dostatna da im se koncentracija triglicerida u krvi normalizira. Dakle, ti bolesnici osim potpune apstinencije od alkohola trebaju iz prehrane potpuno iskljuëiti slatkiπe bilo koje vrste, ukljuëujuêi kolaëe svih vrsta, torte, kekse, Ëokoladu, bombone svih vrsta, sladoled, palaëinke, uπtipke i druga tijesta præena u masnoêi a takoappleer i πeêer te med. Jedino slatko koje se eventualno moæe ponekad konzumirati je marmelada za dijabetiëare, no i nju valja jesti tek u manjim koliëinama. Osobe s poveêanim trigliceridima u krvi smiju jesti najviπe jednu tanku kriπku kruha ili jedno manje pecivo na dan. Pri tome je najbolje jesti crni ili raæeni kruh te kruh od cijelog zrnja, odnosno grahamov kruh. Meappleutim, najvaænija je koliëina, jer mnogi pogreπno misle da ako ne jedu bijeli kruh, mogu pojesti veêu koliëinu crnog ili raæenog kruha, πto nije toëno. Ako obrok sadræi krumpir, riæu, ægance (palentu) ili tjesteninu, tih namirnica se smije jesti tek malo, a uz obrok se ni u kojem sluëaju ne smije jesti kruh. Osobe s poveêanim trigliceridima u krvi mogu jesti razliëito voêe, ali ne viπe od pola 33
34 kilograma dnevno. Pri tome najbolje je jesti jabuke, a mogu se jesti i jagode, maline, kupine, ribiz, borovnice, limun i viπnje. Tek ponekad smiju se jesti treπnje, kruπke, dinje i lubenice, a valja izbjegavati groæapplee, banane i smokve. Takoappleer, ne smiju se jesti groæappleice, suπeno i kandirano voêe, datulje, sve vrste kompota sa πeêerom kao ni slatko tropsko voêe. Ni osobe s poveêanim trigliceridima u krvi ne bi trebale piti viπe od dvije πalice crne kave ili Ëaja dnevno, a te napitke valja piti bez πeêera ili zaslaappleene umjetnim sladilom. Smije se piti mineralna voda i voêni sokovi koji ne sadræe πeêer, no ni ti se voêni sokovi ne smiju piti u koliëinama veêim od pola litre dnevno. Nikakvi voêni sokovi s dodanim πeêerom ili pak oni od slatkoga voêa ne smiju se piti. Takoappleer, ne smije se piti kola i sliëna piêa, te kakao i Ëokolada. VeÊ je spomenuto da se ni u kojem sluëaju ne smiju piti nikakva alkoholna piêa, u πto se ne ubrajaju samo æestoka piêa, likeri i vino, veê i pivo. Ako se koncentracija triglicerida dijetom ne uspije normalizirati, u bolesnika s poveêanom koliëinom triglicerida u krvi odluka o prijelazu na lijeëenje lijekovima donijet Êe se mnogo teæe i s viπe razmiπljanja nego odluka o prijelazu na lijeëenje lijekovima u bolesnika s poveêanim kolesterolom u krvi, jer je povezanost poveêanih triglicerida sa infarktom srca i moædanim udarom izgleda ipak manja nego li je to povezanost poveêanog kolesterola s ovim bolestima. Bolesnici koji imaju poveêani i kolesterol i trigliceride u krvi trebaju se pridræavati dijete koja u sebi sadræava elemente obiju gore navedenih dijeta, odnosno izbjegavati hranu i piêa koja su navedena kao zabranjena i u sklopu jedne i u sklopu druge dijete. 34
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Briga o zdravlju TIJEKOM CIJELE GODINE
v o d i» z a z d r a v i j i æ i v o t POSEBNO I Z D A N J E Briga o zdravlju TIJEKOM CIJELE GODINE BROJ 11 listopad 2006. impresum Autori: Mimi Vurdelja, mr. pharm. Zoran Vatavuk, dr. med. Roberta Straπek
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml)
RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL 198-1 Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) */200 ml Hrana za posebne medicinske potrebe Prehrambeno cjelovita
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
v o d i» z a z d r a v i j i æ i v o t listopad Vitamini i minerali dobri duhovi zdravlja
Vaπe zdravlje v o d i» z a z d r a v i j i æ i v o t POSEBNO I Z D A N J E BROJ 5 listopad 2005. Vitamini i minerali dobri duhovi zdravlja impresum Autor: Sanja SoviÊ, mr. pharm. IzdavaË Oktal Pharma
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
GODINA XLVIII, BROJ /2006, RUJAN-LISTOPAD, CIJENA 7,00 kn, ISSN Poπtarina plaêena u poπti Rijeka
GODINA XLVIII, BROJ 560-561/2006, RUJAN-LISTOPAD, CIJENA 7,00 kn, ISSN 0351-9384 Poπtarina plaêena u poπti 51000 Rijeka N A R O D N I Z D R A V S T V E N I L I S T mjeseënik za unapreappleenje zdravstvene
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
IZRAČUNAVANJE ENERGETSKE I NUTRITIVNE VREDNOSTI
IZRAČUNAVANJE ENERGETSKE I NUTRITIVNE VREDNOSTI Prost procentni račun 1g proteina = 4,1kcal 1g uglj.hidrata = 4,1kcal 1g lipida = 9,3kcal 1 Primer 1 Izračunati energetsku vrednost obroka (kcal) ako je
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija
Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
ARIEL NOLTZE SKALPEL I KRIŽ DVA SJEČIVA ZA NOVI POČETAK
1 ARIEL NOLTZE SKALPEL I KRIŽ DVA SJEČIVA ZA NOVI POČETAK 2 OPERACIJA»OVJEK Nakladnik ZNACI VREMENA www.znaci-vremena.com Izvornik Operation Mensch ISBN: 978-3-900160-63-0 Ÿ Top Life-Wegwieser, A-2014
DISLIPIDEMIJE. Croatian version. Odbor za smjernice u praksi za poboljπanje kvalitete kliniëke prakse i bolesniëke skrbi u Europi.
roatian version SAÆETE SMJERNIE EUROPSKOG KARDIOLO KOG DRU TVA Odbor za smjernice u praksi za poboljπanje kvalitete kliniëke prakse i bolesniëke skrbi u Europi DISLIPIDEMIJE ES/EAS smjernice za lije»enje
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
æivjeti s epilepsijom
æivjeti s epilepsijom Autori: prim. dr. sc. Ivan Bielen prim. dr. sc. Ljerka CvitanoviÊ- ojat prof. dr. sc. Vera Dürrigl dr. sc. Sanja Hajnπek-Propadalo, dr. med. prim. dr. sc. Danilo Hodoba doc. dr. sc.
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva