f : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), u, v : R 2 R, u(x, y) = Rew, v(x, y) = Imw

Transcript

1 1. Funkcije kompleksne varijable f : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x y) + iv(x y) u v : R R u(x y) = Rew v(x y) = Imw Elementarne funkcije kompleksnog argumenta. 1. Eksponencijalna funkcija w = e z z C w = e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y) e z = e x arg e z = y za eksponencijalnu funkciju vrijedi e z1 e z = e z 1+z e z 1 e = z ez 1 z e z = 1 + z + z + + zn +... apsolutno konvergira u! n! cijeloj Gaussovoj ravnini e z+kπi = e z k Z periodična funkcija s periodom πi. Trigonometrijske funkcije sin z = z z3 3! + + ( 1) n zn+1 (n+1)! +... sin(z + π) = sin z sin z = 0 z = kπ k Z cos z = 1 z! + + ( 1) n zn (n)! +... cos(z + π) = cos z cos z = 0 z = π + kπ k Z Računanje trigonometrijskih funkcija korištenjem funkcija realnog argumenta: sin z = sin xchy + i cos xshy cos z = cos xchy i sin xshy Veza eksponencijalne i trigonometrijskih funkcija cos z = eiz + e iz sin z = eiz e iz i tgz = sin z cos z ctgz = cos z sin z 1

2 3. Hiperbolne funkcije chz = ez + e z shz = ez e z thz = shz chz chz cthz = shz Veza trigonometrijskih i hiperbolnih funkcija sin z = ishiz shz = i sin iz cos z = chiz ch = cos iz tgz = ithiz thz = itgiz ctgz = icthiz cthz = ictgiz. 4. Logaritamska funkcija ln z = ln z + iargz z 0 glavna vrijednost Lnz = ln z + kπi k Z ( z 0) w = Lnz z = e w PAZI: općenito je Lna b blna 5. Arkus funkcije Arcsinz = i Ln(iz + 1 z ) Arccosz = i Ln(z + z 1) Arctgz = i + iz Ln1 1 iz Arcctgz = i Lnz + i z i 6. Area funkcije Arshz = Ln(z z ) Archz = Ln(z + z 1) Arthz = 1 Ln1 + z 1 z Arcthz = i Lnz + 1 z 1 7. Opća potencija w = f(z) = z a a C z a = e alnz glavna vrijednost z a = e a ln z Opća eksponencijalna funkcija w = f(z) = a z a C a 0

3 3. Limes niza i funkcije kompleksne varijable. Neprekidnost funkcije kompleksne varijable Definicija 1. Za niz kompleksnih brojeva (z n ) kažemo da konvergira kompleksnom broju a ako ( ɛ > 0)( n z N) n > n z z n a < ɛ Tada a zovemo limes niza (z n ) i pišemo a = lim z n. Teorem 1. Niz kompleksnih brojeva (z n ) z n = x n + iy n konvergira kompleksnom broju a = α + iβ ako i samo ako niz (x n ) konvergira ka α i niz (y n ) konvergira ka β; z n = x n + iy n a = α + iβ : z n a x n α i y n β. Ako je z n zadan u polarnom obliku z n = ρ n e iφn lim ρ } n = ρ 0 lim φ lim z n = φ n = ρ 0 e iφ 0 0 Definicija. A = lim z z0 f(z) ( ɛ > 0)( δ > 0) z z 0 < δ f(z) f(z 0 ) < ɛ. Teorem. f(z) = u(x y)+iv(x y) z 0 = x 0 +iy 0 Teorem 3. lim f(z) = A i lim g(z) = B z z 0 z z0 lim f(z) = lim z z0 x x0 u(x y)+i x x0 lim v(x y). y y 0 y y 0 lim z z 0 (f(z) ± g(z)) = A ± B lim z z 0 (f(z) g(z)) = A B f(z) lim z z 0 g(z) = A g(z) 0 B 0. B Definicija 3. Za funkciju f(z) kažemo da je neprekidna u točki z 0 ako ( ɛ > 0)( δ > 0) z z 0 < δ f(z) f(z 0 ) < ɛ z D f. Funkcija f(z) = u(x y) + iv(x y) je neprekidna u točki z 0 = x 0 + iy 0 ako i samo ako su u(x y) i v(x y) neprekidne u (x 0 y 0 ). Funkcija f(z) je neprekidna u z 0 ako je lim z z0 f(z) = f(z 0 ).

4 4 3. Redovi kompleksnih brojeva Definicija 4. Red z n konvergira ako konvergira niz parcijalnih suma n (S n ) S n = z i. i=1 Teorem 4. Red realnih brojeva Ako je z n konvergira ako i samo ako konvergiraju redovi Rez n i Rez n = S 1 i Imz n. Imz n = S onda je z n = S = S 1 +is. Ako je red z n konvergentan onda je i z n konvergentan i kažemo da je z n apsolutno konvergentan. Obrat ne vrijedi. da Ako je red z n konvergentan a red z n konvergira uvjetno. z n divergentan kažemo Područje konvergencije reda funkcija f 1 (z) + f (z) + + f n (z) +... čine svi z C za koje red funkcija konvergira. Radijus konvergencije reda potencija n=0 c n(z z 0 ) n (c i C i N 0 ) računamo iz sljedećih formula: R = lim c n c n + 1 ili R = lim cn. 1 n Red potencija konvergira apsolutno u području z z 0 < R; divergira za z z 0 > R. Za točke granice z z 0 = R može konvergirati i divergirati.

5 5 4. Deriviranje funkcije kompleksnog argumenta Definicija 5. Kažemo da je w = f(z) diferencijabilna u točki z 0 C f(z) f(z 0 ) ako postoji konačan limes lim = f (z 0 ). z z0 z z 0 Teorem 5. Funkcija w = f(z) = u(x y) + iv(x y) je diferencijabilna u točki z C ako i samo ako vrijede Cauchy-Riemannovi uvjeti u x = v u i y y = v x. Tada je f (z) = u x + i v x = v y i u y. Definicija 6. Ako je funkcija f(z) diferecijabilna na nekom skupu Ω D f gdje je Ω otvoren skup kažemo da je funkcija analitička na Ω i pišemo f A(Ω). Svaka analitička funkcija f(z) = u(x y) + iv(x y) odreduje dvije porodice ortogonalnih krivulja u(x y) = konst. i v(x y) = konst.. Definicija 7. Za funkciju φ(x y) kažemo da je harmonička u području D ako na D ima neprekidne parcijalne derivacije drugog reda i zadovoljava Laplaceovu jednadžbu (jednadžbu potencijala) φ = 0 ( φ = φ x + φ y ). Realni i imaginarni dio analitičke funkcije zadovoljavaju Laplaceovu jednadžbu ( u = 0 v = 0). Za realni i imaginarni dio analitičke funkcije kažemo da čine par konjugirano harmoničkih funkcija. Uvjeti u = 0 i v = 0 medutim nisu dovoljni za analitičnost funkcije f = u + iv jer svaki par rješenja Laplaceove jednadžbe ne mora zadovoljavati Cauchy-Riemannove jednadžbe.

6 Primjeri analitičkih funkcija. 1. P (z) = P (z) = n a n z n A(C) a i C i = 0... n i=0 n na n z n 1 i=1. f(z) = e z A(C) f (z) = e z 3. ln(z) = ln z + i argz A(C\{(x 0) x 0}) ln (z) = 1 z 4. φ 1 k(z) = n arg z + kπ arg z + kπ z (cos +i sin )... k-ta grana n n n n-tog korijena iz z φ 1 k A(C\{(x 0) x 0}) n ( ) 1 φ 1 (z) = n k nz φ 1 k(z) n 5. sin (z) = cos(z) cos (z) = sin(z) 6. sh (z) = ch(z) ch (z) = sh(z). 4.. Geometrijska interpretacija modula i argumenta derivacije. Neka je f(z) analitička u točki z 0 i f (z 0 ) 0. Tada je λ = f (z 0 ) modul ekspanzije (rastezanja) u točki z 0 pri preslikavanju u w-ravninu. Ako je λ < 1 radi se o stezanju a za λ > 1 o rastezanju. Argument arg f (z 0 ) je kut zakreta za koji rotira tangenta na neku krivulju u z-ravnini u točki z 0 do tangente na sliku te krivulje u točki f(z 0 ). Ako je argf (z 0 ) > 0 rotacija je u pozitivnom smjeru a za argf (z 0 ) < 0 rotacija je u negativnom smjeru.

7 5. Konformna preslikavanja Definicija 8 (Konformno preslikavanje (1.vrste)). Preslikavanje w = f(z) je konformno u točki z 0 ako je f analitička u nekoj okolini točke z 0 i ako vrijedi f (z 0 ) 0. Konformna preslikavanja dakle imaju svojstvo čuvanja kutova i svojstvo stalnosti rastezanja. Preslikavanje koje ima svojstvo stalnosti rastezanja a kutove čuva po apsolutnoj vrijednosti ali ne i po orijentaciji je konformno preslikavanje. vrste. Ako je w = f(z) konformno preslikavanje tada je w = f(z) konformno preslikavanje. vrste. Ako je funkcija f(z) analitička na D i preslikava D na D bijektivno te krivulju L iz D preslikava na L u D tada je duljina krivulje L u w-ravnini: l(l ) = f (z) dz. Površina područja D u w-ravnini je: S(D ) = f (z) dxdy L D gdje je f (z) modul (koeficijent) distorzije područja D transformacijom f(z). Teorem 6. Neka je G područje omedeno konturom γ i f konformna funkcija na G γ. Neka je γ = f(γ) slika konture γ. Tada je γ kontura i f preslikava jednoznačno G na G koje je omedeno konturom γ. 7