f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0
|
|
- Αφροδίσια Κεδίκογλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija kompleksne varijable. Koeficijenti ravoja te kompleksne funkcije su upravo elementi nia {f[n]}. Sama vrijednost reda Z [ f[n] ] može biti konačna ili beskonačna. Skup vrijednosti kompleksne varijable a koje je red Z [ f[n] ] konačan naiva se područje konvergencije, dok se skup vrijednosti od a koje je red Z [ f[n] ] beskonačan naiva područje divergencije. Primjer 9.. Odredi Z transformaciju δ nia. Računamo prema definiciji 9.): Z [ f[n] ] = δ[n] n = 0 =. Primjer 9.. Odredi Z transformaciju jedinične stepenice s[n]. Jednična stepenica s[n] je definirana kao { 0, a n < 0 s[n] =, a n 0. Računamo prema definiciji 9.): Z [ s[n] ] = s[n] n = n = ) n =. Pri tome adnja jednakost vrijedi samo na području konvergencije dobivenog reda. Kako se radi o geometrijskom redu, područje konvergencije je odredeno s <, odnosno s >. Područje konvergencije je dio ravnine ivan jedninične kružnice slika 9..). Primjer 9.3. Odredi Z transformaciju diskretne eksponencijale. Diskretna eksponencijala je definirana kao { 0, a n < 0 f[n] = a n, a n 0. 55
2 Računamo prema definiciji 9.): Z [ f[n] ] = f[n] n = a n n = a ) n = a. Pri tome adnja jednakost vrijedi samo na području konvergencije dobivenog reda. Kako se radi o geometrijskom redu, područje konvergencije je odredeno s a <, odnosno s > a. Područje konvergencije je dio ravnine ivan kružnice polumjera a. Primjer 9.4. Odredi Z transformaciju jedinične kosine. Jedinična kosina je definirana kao { 0, a n < 0 f[n] = n, a n 0. Red definiran prema 9.) može se proivoljno mnogo puta derivirati i njegove derivacije ostaju konvergentne. Deriviranjem dobivamo odnosno d d Z[ f[n] ] = + f[n] d d n d d Z[ f[n] ] = + f[n]n n d d Z[ f[n] ] = nf[n] n. 9.3) Ira 9.3) nam poveuje Z transformaciju nia {f[n]} s Z transformacijom istog nia pomnoženog s n. Da bi odredili transformaciju jedninčne kosine promatramo jediničnu kosinu kao jediničnu stepenicu s[n] pomnoženu s n. Sada je Z [ f[n] ] = Z [ ns[n] ] = d d = ) = ). Područje konvergencije je opet dio ravnine ivan jedinične kružnice. Primjer 9.5. Pomoću definicije Z transformacije odredi trasformaciju nia { 0, a n < 0 f[n] = sinan), a n 0. Vrijedi Primjetite da funkciju f[n] možemo apisati i kao f[n] = sinan)s[n]. Z [ f[n] ] = Z [ sinan)s[n] ] = = = j = j sinan) n = e jan n j e ja ) n j sinan)s[n] n e jan e jan) n j e jan n e ja ) n 56
3 Dobivene sume konvergiraju a e ja = e ja = < i e ja = e ja = <, pa obje sume konvergiraju a >. Područje kovergencije Z transformacije funkcije f[n] = sinan)s[n] je područje kompleksne ravnine ivan jedinične kružnice slika 9..). područje konvergencije 0 -kompleksna ravnina Slika 9..: Područje konvergencije Za > možemo svaku od suma promatrati kao konvergentni geometrijski red. Tada je Z [ f[n] ] = j pa je konačno rješenje e ja ) n j e ja ) n = j e ja j e ja = e ja + e ja j e ja e ja + sina) = cosa) + = sina) cosa) + Z [ f[n] ] = sina), >. cosa) + Primjer 9.6. Koristeći rješenje prethodnog adatka odredi Z transformaciju nia f[n] = pomoću svojstva deriviranja slike Z transformacije { 0, a n < 0 n sinan), a n 0. Z [ nf[n] ] = d d Z[ f[n] ]. 57
4 Polaimo od svojstva deriviranja slike: Z [ nf[n] ] = d d Z[ f[n] ] = d d sina) cosa) + = sina) cosa) + ) sina) cosa) ) cosa) + ) = sina) cosa) + + cosa) cosa) + ). Nakon sredivanja dobivamo konačno rješenje Z [ n sinan) ] = ) sina) cosa) + ), >. Zadatak 9.. odredite Z transformacije Primjer 9.7. Koristeći svojstvo deriviranja slike i ponavajući transformacije Z [ s[n] ] = Z[n], Z[n ], Z[n 3 ] i Z [ a n] = a Z[na n ], Z[n a n ], Z[n 3 a n ]. Odredite Z transformaciju Z [ a n f[n] ] ako je ponato da je Z [ f[n] ] = F ). Vrijedi Z [ a n f[n] ] = a n f[n] n = Z [ f[n] ] = F ) = i f[n]/a) n f[n] n Uvodenjem supstitucije = /a ili jednostavnom usporedbom iraa) dobivamo Z [ a n f[n] ] = F /a). Primjer 9.8. Odredite Z transformaciju nia pomaknutog lijevo a jedan, tj. odredite Z [ f[n + ] ] ako je ponato da je Z [ f[n] ] = F ). Vrijedi Znamo da je Z [ f[n + ] ] = Z [ f[n + ] ] = f[n + ] n i Z [ f[n] ] = F ) = f[n + ] n = f[n + ] n+) = f[n] n. f[n + ] n+). Uvodenjem supstitucije n = n + uočavamo da nedostaje jedan član i to prvi) da bi dobili F ): Z [ f[n + ] ] = f[n + ] n+) = 58 n = f[n ] n.
5 Uvodimo član f[0] na slijedeći način: f[n ] n = f[0] f[0] + n = n = f[n ] n. Sada je Z [ f[n + ] ] = f[0] + n =0 f[n ] n = F ) f[0]. Zadatak 9.. Ako je ponato da je Z [ f[n] ] = F ) pokažite da vrijedi Z [ f[n + m] ] m = m F [] f[n] n m. Primjer 9.9. Odredite Z transformaciju nia pomaknutog desno, tj. odredite Z [ f[n m] ] ako je ponato da je Z [ f[n] ] = F ). Vrijedi Znamo da je Z [ f[n m] ] = Z [ f[n m] ] = n =0 f[n m] n i Z [ f[n] ] = F ) = f[n] n. + f[n m] n = m f[n m] n m). Uvodenjem supstitucije n = n m vidmo da moramo odbaciti prvih m članova broja bi dobili F ): Z [ f[n m] ] + = m f[n m] n m) = m = m n = m + n = m + f[n ] n + m f[n ] n. n =0 f[n ] n Drugi član preponajemo kao F ) dok u prvom vraćamo stari indeks sumacije n. Dobivamo: Z [ f[n m] ] m = m F ) + f[n m] n. Primijetite da je a kaualne funkcije f[n] = 0 a n < 0 pa dobiveni ira a Z transformaciju nia pomaknutog desno postaje Z [ f[n m] ] = m F ). Primjer 9.0. Odredi Z transformaciju nia f[n] = n + )a n. Z transformacija je linearna pa je stoga Z [ n + )a n] = Z [ na n] + Z [ a n]. 59
6 Z transformacija drugog člana je ponata i tablica, Z [ a n] = a, dok Z transformaciju prvog člana odredimo u pomoć svojstva deriviranja slike, Z [ na n] = d d Konačno rješenje je tada a = a a) = a a). Z [ n + )a n] = a). Primjer 9.. Ako su f i g kaualne funkcije i ako je ponato da je Z [ f[n] ] = F ) i Z [ g[n] ] = G) odredi Z transformaciju konvolucije f g)[n] = i= f[i]g[n i]. Prema definiciji Z transformacija konvolucije je Z [ f g)[n] ] = n Zamjenom redoslijeda sumacija dobivamo Z [ f g)[n] ] = = n i=0 Z transformacija konvolucije je + i= + i= f[i]g[n i] = f[i] i G) = G) i=0 f[i]g[n i]. i= Z [ f g)[n] ] = F )G) f[i] n g[n i] f[i] i = F )G). 9.. Inverna Z transformacija Z transformacija definirana je kao Z [ f[n] ] = f[n] n = F ). 9.4) Invernu Z transformaciju koristimo pri odredivanju nia f[n] čiju Z transformaciju F ) ponajemo. Pišemo Z [ F ) ] = f[n]. 9.5) 60
7 9... Inverna Z transformacija racionalnih funkcija U primjeni su najvažnije racionalne funkcije oblika F ) = b k k + b k k + + b 0 a l l + a l l + + a ) Iravno preponavanje nia f[n] a bilo koju racionalnu funkciju oblika 9.6) nije praktično. Uobičajeno se racionalna funkcija F ) rastavlja na parcijalne ralomke. Jednom kada je ponat rastav funkcije F ) a odredivanje inverne Z transformacije koriste se tablice osnovnih funkcija. Prije rastava na parcijalne ralomke moramo odrediti polove racionalne funkcije F ). Tek kada su ponati polovi i njihova kratnost odreduje se rastav funkcije. Svaki parcijalni ralomak u rastavu će odgovarati Z transformaciji nekog elementarnog nia, dok traženi ni f[n] dobivamo kao broj tih elementarnih niova. Ako su stupanj brojnika i naivnika jednaki te ako su svi polovi medusobno raličiti i raličiti od nule rastav na parcijalne ralomke je oblika: F ) = b k k + b k k + + b 0 a k k + a k k = b k k + b k k + + b a 0 a k ) )... k ) = α 0 + α + + α k k Koeficijente u ovom rastavu odredujemo na sljedeći način: α 0 = F ) = b 0 =0 a 0 α i = i F ) =i = i b k k + b k k + + b 0 a k )... i )... k ), i 0 =i Za slučaj višestrukih polova raličitih od nule funkcija F ) ima rastav nešto drugačijeg oblika. Radi jednostavnosti pretpostavimo da je samo jedan od ukupno k polova raličitih od nule pol višestrukosti m i neka to bude baš. U tom slučaju je rastav oblika F ) = b k k + b k k + + b 0 a k k + a k k + + a 0 = b k k + b k k + + b 0 a k ) )... k ) = α 0 + α + α ) + + α m m ) m + + α m+ + + α k k m+ Općenito svaki pol i kratnosti m > urokuje pojavljivanje članova oblika i s višim potencijama sve do potencije m. Koeficijente α i u ovom rastavu odredujemo na sljedeći način: α 0 = F ) = b 0 =0 α i = m i)! F ) α i = i a 0 d m i dw m i =i ) m F ) m = i = w ), i =,..., m w=0 b k k + b k k + + b 0 a k )... i )... k ), =i i = m +,..., k 6
8 Kako je ira a koeficijente veane u višestruki pol dosta kompliciran obično te koeficijente računamo na slijedeći način. Najprije odredimo koeficijent α m koji je vean u najveću potenciju, α m = F ). = Osim njega odredimo i sve ostale koeficijente veane u jednostruke polove. Sada je potrebno odrediti još preostalih m koeficijenata u višestruki pol. Kako rastav funkcije F ) vrijedi a svaki tako vrijedi i a neki odabrani j raličit od nule i raličit od polova funkcije F ). Ako odaberemo m raličitih brojeva j koji su usto raličiti od nule i polova funkcije F ) dobivamo sustav od m jednadžbi j F j ) = α 0 + α + α j j ) + + α m j ) m + j j + α m+ + + α k, j =,..., m j j k m+ Rješenja ovog sustava jednadžbi su upravo traženi koeficijenti α,...,α m. U slučaju jednostrukog ili višestrukog pola u nuli postupak je sličan opisanom a višestruki pol raličit od nule, samo što umjesto članova rastava oblika j i ) j imamo članove oblika j, gdje potencije j idu od do m. Pri tome valja primijetiti da sada više nije moguće jednostavno iračunati slobodni član rastava α 0. Svaki pol doprinosi rastavu kako je prikaano u tablici 9.. dok se koeficijenti rastava odreduju prema iraima danim u tablici 9... Osim koeficijenata u tablici 9.. u rastavu se nalai još jedan slobodan koeficijent. jednostruki pol raličit od nule α m-struki pol raličit od nule α + α ) + + α m m ) m j m j jednostruki pol jednak nuli α m-struki pol jednak nuli α + α + + α m Tablica 9..: Doprinos pola rastavu na parcijalne ralomke m Primjer 9.. Odredi ni f[n] čija je Z transformacija Z [ f[n] ] = a cosb) ) a cosb) + a. Funkcija F ) ima dva pola. Ako su polovi medusobno raličiti očekujemo rastav oblika F ) = α 0 + α + α. 6
9 jednostruki pol raličit od nule α = F ) m-struki pol raličit od nule α = m i)! = d m i dw m i ) m F ) jednostruki pol jednak nuli α = F ) =0 d m i m-struki pol jednak nuli α i = m m i)! d m i F ) ) m w=0 Tablica 9..: Koeficijenti u rastavu na parcijalne ralomke = w ) w=0 Najprije odredujemo polove:, = a cosb) ± 4a cos b) 4a = a cosb) ± ja sinb) = ae ±jb Kako smo dobili dva raličita korijena rastav je oblika kojeg smo pretpostavili. Odredujemo koeficijente rastava α 0, α i α : α 0 = F ) = 0 0 a cosb) ) =0 0 a0 cosb) + a = 0 α = aejb F ) = aejb a cosb) ) ae jb ) ae jb ) =ae jb =ae jb = aejb a cosb) ae jb ae jb = ejb ejb + e jb ) e jb e jb = α = ae jb F ) = ae jb a cosb) ) ae jb ) ae jb ) =ae jb = ae jb a cosb) ae jb ae jb = e jb ejb + e jb ) e jb e jb = Uvrštavamo dobivene α 0, α i α u rastav i dobivamo F ) = a cosb) ) a cosb) + a = 0 + ae jb + ae jb. Sada odredimo traženi ni f[n] = aejb ) n + ae jb ) n = a n cosbn), n 0 =ae jb Primjer 9.3. Odredi invernu Z transformaciju [ Z m a) m ] a m = i m = 3 koristeći ponatu relaciju a transformaciju konvolucije Z [ f g)[n] ] = F )G) ako je ponato da je [ ] Z = a n. a 63
10 Računajmo prvo invernu transformaciju a m = : [ Z ] [ ] a) = Z = a n a n a a n n = a i a n i = a n = n + )a n i=0 Kod računanja inverne transformacije a m = koristimo prethodno dobiveni reultat a m = : [ Z 3 ] [ a) 3 = Z ] a a) = a n n + )a n n n = a i n + i)a n i = a n n + i) i=0 = a n n + ) i=0 nn + ) ) = i=0 n + )n + ) a n.! Zadatak 9.3. Primjer 9.4. Pokaži da vrijedi [ Z m ] a) m = n + )n + )... n + m ) a n. m )! Odredi invernu Z transformaciju [ Z 3 + ] polove: Potrebno je odrediti rastav na parcijalne ralomke. Prvo tražimo = 0 ) + 3) = 0 Zadana racionalna funkcija ima jedan dvostruki pol, = i jedan jednostruki pol 3 = 3. Rastav na parcijalne ralomke je oblika F ) = α 0 + α + α ) + α Odredujemo koeficijente α 0, α i α 3 prema iraima i tablice 9..: α 0 = F ) =0 = = ) α = ) + 3) = = = 9 + 3) 0 α 3 = ) + 3) = = ) = 75 Odredili smo α 0 i α i α 3 te je još potrebno odrediti koeficijent α. Umjesto iraa i tablice 9.. odabrati ćemo neki raličit od nule i raličit od polova, = i 3 = 3. Odaberimo npr. = : F ) = = + α )
11 5 4 = α α = 9 50 Konačni rastav na parcijalne ralomke je F ) = ) , pa je tražena inverna Z transformacija f[n] = δ[n] 9 50 n n + )n )n, n 0 što nakon grupiranja postaje f[n] = 9 δ[n] + 0 n + 77 ) n )n, n 0. Primjer 9.5. Odredi invernu Z transformaciju [ ] + Z. ) Opet je potrebno odrediti rastav na parcijalne ralomke. Zadana racionalna funkcija ima jedan dvostruki pol, = 0 i jedan jednostruki pol 3 = te je rastav oblika F ) = + ) = α 0 + α + α + α 3. Zbog dvostrukog pola u nuli ne možemo jednostavno odrediti slobodni koeficijent α 0 u ravoju funkcije na parcijalne ralomke. Na jednostavan način je mguće odrediti samo koeficijente α i α 3 : α = F ) =0 = + ) = 0 + =0 0 = α 3 = F ) = + = ) = + = = Da bi odredili preostale koeficijente ravoja α 0 i α odabiremo dvije raličite vrijednost koje su u to raličite od polova adane racionalne funkcije. Neka to budu vrijednosti i. Sada rješavamo sustav jednadžbi: + F ) = ) ) = α 0 + α ) + F ) = + ) = α 0 + α + 0 = α 0 α 3 = α 0 + α α 0 = α = Odredili smo sve koeficijente te je konačni rastav F ) = + ) = +. 65
12 f[n] Slika 9..: Periodički ni n Invernu Z transformaciju sada jednostavno očitamo i tablica f[n] = δ[n] δ[n ] δ[n ] + n, n 0. Primjer 9.6. Odredi analitički ira a periodički ni adan slikom 9... Ni f[n] možemo prikaati kao ni impulsa f[n] = δ[n] + δ[n ] + δ[n 4] +... Zbog periodičnosti možemo odrediti ira a ovaj ni u Z domeni: F ) = = n =. Odredivanje analitičkog iraa a ni f[n] sada se svodi na odredivanje inverne Z transformacije. Rastav racionalne funkcije F ) na parcijalne ralomke je oblika F ) = = α 0 + α + α +. Odredujemo koeficijente rastava: α 0 = ) + ) = 0 =0 α = ) + ) = = α = + ) + ) = = Konačan rastav je F ) = pa je traženi analitički ira a ni f[n] + +, f[n] = n + ) n, n Inverna Z transformacija dijeljenjem Z transformacija je definirana kao Z [ f[n] ] = f[n] n = F ) 9.7) 66
13 što možemo raspisati na način F ) = f[0] + f[] + f[] ) Ukoliko je potrebno pronaći invernu Z transformaciju neke racionalne funkcije oblika 9.6) možemo se koristiti djeljenjem polinoma. Naime, djeljenjem brojnika racionalne funkcije s naivnikom dobivamo polinom oblika 9.8) koji predstavlja upravo naš traženi ni. Najveći nedostatak ove metode jest u tome što ne dobivamo opći ira a diskretni ni, već računamo taj ni član po član počevši od prvoga. Primjer 9.7. Dijeljenjem odredi prvih pet članova nia f[n] a adanu racionalnu funkciju F ) = Da bi odredili prvih pet članova nia potrebno je podijeliti brojinik s naivnikom te iračunati prvih pet članova reultata: ) : ) = Kao reultat dobivamo F ) = te su prvih pet članova nia f[n] f[0] =, f[] = 3, f[] =, f[3] = 5 i f[4] = 85. Ovaj reultat obično apisujemo kao f[n] = δ[n] + 3δ[n ] + δ[n ] + 5δ[n 3] + 85δ[n 4]
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραf n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z).
Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραLaplaceova transformacija
Laplaceova transformacija Laplaceova transformacija je integralna transformacija s brojnim primjenama u matematici, fizici, elektrotehnici, teoriji vjerojatnosti i drugdje. Koristi se za rješavanje diferencijalnih
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραObične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότεραOPIS LINEARNIH DISKRETNIH SUSTAVA. 5. Opis linearnih diskretnih sustava pomoću jednadžbi diferencija. Nedjeljko Perić i Ivan Petrović
OPIS LINEARNIH DISKRENIH SUSAVA 5. Opis linearnih diskretnih sustava pomoću jednadžbi diferencija * raži se odnos imeđu ulanih i ilanih slijedova impulsa - Za kontinuirane sustave 6 diferencijalne jednadžbe
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijski prikaz kompleksnog broja
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Ono sto znamo od prije jest da svakom kompleksnom broju mozemo pridruziti sljedeci uredjeni par: z Re z, Im z Sto znaci da ako je kompleksan broj oblika z = x
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA
IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA Izlaganje - Seminar za matematičare, Fojnica 2017.g. Prof. dr. MEHMED NURKANOVIĆ Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli 13.01.2015. godine
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότερα5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA
5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραRedovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi Zadaci za vježbu. III. tjedan
Signali i sustavi Zadaci za vježbu III. tjedan 1. Neka je kontinuirani kompleksni eksponencijalni signal. Neka je diskretni eksponencijalni signal dobiven iz kontinuiranog signala uniformnim otipkavanjem
Διαβάστε περισσότερα