Matematika, hudba a diferenciálne rovnice
|
|
- Ῥόδη Φωτόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematika, hudba a diferenciálne rovnice Milada Kazdová* Školiteľ: Mária Slavíčková Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky, FMFI UK, Mlynská Dolina, ratislava Abstrakt V predloženom článku ukážeme, ako pomocou projektového vyučovania motivovať žiakov k hľadaní súvislostí medzi jednotlivými predmetmi. Predstavíme, že aj zdanlivo rozdielne obory ako sú hudba, matematika, fyzika a biológia majú veľa spoločného. Kľúčové slová: projektové vyučovanie, diferenciálna rovnica, vnímanie zvuku, šírenie zvuku. Úvod Na prvý pohľad by sa mohlo zdať, že matematika, hudba a diferenciálne rovnice nemajú nič spoločné. Keď sa troška zamyslíme, zistíme, že sme všetci na strednej škole počuli vo fyzike čosi o kmitaní a vlnení, v biológii čosi o ľudskom uchu, v hudobnej výchove o výške tónu a hudobnej stupnici. Všetci poznáme pojmy príma, sekunda, tercie, kvarta, kvinta, sexta, septima, oktáva. Na vysokej škole sme sa (aspoň okrajovo) zoznámili s diferenciálnymi rovnicami. Na nasledujúcich niekoľkých stranách si skúsime ukázať, že všetky tieto pojmy spolu celkom zaujímavo súvisia. Aj keď budeme diskutovať matematické aspekty hudby, nesmieme stratiť pohľad, ktorý vyvoláva sila hudby, ako média hudobnej interpretácie nálady a emócií.,,prečo rytmy a melódie, ktoré sú zložené zo zvukov sa podobajú pocitom, aj keď hudba nie je prípadom chutí, farieb a vôní? Môže to tak byť lebo pohyb ako dej je tiež pohyb? Energia tohto patrí pocitom a vytváraniu pocitov. Ale chuti a farby nie sú tými istými dejmi. Aristoteles. Veľmi dobou možnosťou ako motivovať žiakov, aby sa nad pozadím hudby zamysleli je projektové vyučovanie. Žiaci môžu samostatne a tvorivo pracovať, plánovať vlastnú prácu, niesť za svoju prácu zodpovednosť, spolupracovať, komunikovať, prezentovať svoju prácu a hodnotiť ako vlastnú prácu, tak i prácu kolegov. Cieľom tejto práce je prezentovať súvis medzi hudbou, matematikou a fyzikou a ponúknuť tak atraktívnu formu práce so študentmi s využitím medzipredmetových vzťahov. Projektové vyučovanie Hlavným cieľom projektového vyučovania je aktívne zapojiť žiakov do poznávacieho procesu. Učitelia vytvárajú problémové scenáre a otázky, ktoré vedú žiakov k tomu, aby rozmýšľali o tom, čo sa vlastne učia. Realizácia projektu závisí od žiakov samotných, najmä od ich tvorivosti, fantázie, kritického myslenia, vnútornej motivácie, záujmov a potrieb. Typ projektu: krátkodobý plánovaný čas je -3 mesiace Veková skupina: Tento projekt sa dá realizovať na strednej alebo vysokej škole. Stredná škola: -3 ročník podľa zaradenia učiva mechanické kmitanie a vlnenie, goniometrické funkcie. Vysoká škola: v rámci predmetov didaktika matematiky, didaktika fyziky. Vyučovacie predmety: Matematika, fyzika, hudobná výchova, biológia. Počet riešiteľov: Skupina žiakov (cca 3-4). Téma, úloha:,,ako možno zachytiť hudbu? Nájsť súvis medzi matematikou a hudbou; funkciami, resp. rovnicami opísať zvuk, melódiu,... Stredná škola: V rámci matematiky využiť goniometrické funkcie, využiť znalosti z fyziky a biológie a opísať, ako vzniká zvuk, ako vníma zvuk ľudské ucho, ako fungujú hudobné nástroje atď. Vysoká škola: Využiť poznatkov zo strednej školy a aplikovať ich vo vysokoškolskom učive, najmä diferenciálnych rovniciach. Opísať vznik a vnímanie zvuku, fungovanie hudobných nástrojov. Pomocou vhodného softvéru ilustrovať niektoré tvrdenia. Výchovno-vzdelávacie ciele: ) prehlbovať a rozširovať poznanie zainteresovaných predmetov, medzipredmetové vzťahy ) rozvoj organizačných schopností a tímovej spolupráce žiakov 3) vytváranie posterov a prezentácií * mika7@seznam.cz Maria.Slavickova@fmph.uniba.sk
2 Čo je to zvuk? Sprostredkovateľom prenosu hudby je zvuk. Vlastné porozumenie hudbe je založené na elementárnych znalostiach podstaty zvuku a jeho vnímania. Zvuk je pozdĺžne vlnenie vzduchu. Vzduch je plyn, t.j. jeho atómy a molekuly vzduchu nie sú tak viazané ako v pevných látkach a kvapalinách. Priemerná rýchlosť molekúl vzduchu pri normálnych podmienkach je približne metrov za sekundu, čo je výrazne rýchlejšie než expresný vlak pri plnej rýchlosti. Necítime kolízie s našou pokožkou, pretože molekuly vzduchu sú extrémne ľahké. Vzduch sa skladá z veľkého počtu viazaných molekúl, ktoré do seba narážajú čo sa prejavuje ako tlak vzduchu. Keď objekt kmitá, spôsobuje to zvýšení alebo znížení tlaku vzduchu. Tieto vlny vníma ucho ako zvuk. Zvukové vlny prenášajú energiu. Energie je tým väčšia, čím sa v zvukovej vlne zväčšuje a zmenšuje tlak. Zvuk sa prenáša vzduchom rýchlosťou približne 340 metrov za sekundu. Neznamená to, že by sa konkrétne molekuly pohybovali v smere vlny touto rýchlosťou, ale ide skôr o lokálnu zmenu tlaku. Niečo podobné sa odohráva na povrchu mora pri pohybe vĺn. Je však jeden veľký rozdiel medzi zvukovým vlnením a vlnami na mori. Jednoducho povedané, v prípade vodných vĺn ide o to, že pohyb vlny je hore a dole, čo je v pravom uhle k smeru šírenia vĺn. Takéto vlnenie sa nazýva priečne vlnenie. Ďalším príkladom priečneho vlnenia je elektromagnetické vlnenie. V prípade zvuku je šírenie pohybu vlny rovnaké ako smer šírenia vĺn. Toto vlnenie sa nazýva pozdĺžne. Zvukové vlny majú štyri hlavné vlastnosti, ktoré ovplyvňujú spôsob ich vnímania. Amplitúda veľkosť kmitov (vibrácií), je vnímaná ako hlasitosť. Amplitúda bežného zvuku je iba malá časť milimetra. Frekvencia kmitov/vibrácií udáva výšku alebo polohu tónu. Frekvenčnému spektru zvuku zodpovedá farba zvuku. Doba trvania dĺžka doby, po ktorú zaznamenávame zvuky. Teda stručne: Charakteristické vlastnosti zvuku: Fyzikálne Percepčné Amplituda Hlasitosť zvuku Frekvencia Výška/poloha tónu/hlasu Spektrum Zafarbenie hlasu/tónu Doba trvania Dĺžka zvuku 3 Ľudské ucho 3. Anatomický opis Aby sme dokázali porozumieť zvuku, potrebujeme poznať vlastnosti a vnímanie ľudského ucha. Ucho je rozdelené na tri časti: vonkajšie ucho, stredné ucho alebo tympanon a vnútorne ucho alebo labyrint. Vonkajšie ucho je viditeľná časť na vonkajšej strane hlavy. Obr.3.. Ľudské ucho [Zdroj obrázka: [4]] Ľudské ucho prijíma zvuky v širokom rozsahu. Zvuk prichádza z okolia, ušným boltcom je nasmerovaný do zvukovodu, dopadne na ušný bubienok. ubienok je blana (niečo ako tamburína), ktorá sa dopadom zvukovej vlny rozkmitá. ubienku sa dotýka sústava kostičiek kladivko, nákovka a strmienok. Kostičky prenášajú chvenie na oválne okienko, ktoré oddeľuje stredné a vnútorne ucho. Chvenie okienka spôsobuje zmeny tlaku vo vnútornom uchu (slimáku), ktoré je vyplnené kvapalinou. Dno slimáka tvorí bazilárna membrána, na ktorej je uložený tzv. Cortiho orgán. Na ňom sa nachádzajú vláskové bunky. azilárna membrána reaguje na chvenie vnútornej tekutiny rozkmitaním na danom mieste membrány (v závislosti od frekvencie). Na tom mieste dochádza k vzájomnému pohybu vláskových buniek, čo spôsobuje zmenu ich elektrického potenciálu; chvenie vnútornej tekutiny. Zmeny tlaku zachycujú nervy. Nervové impulzy sú potom vysielané do mozgu. [Spracované podľa [3]a [5].] Prenos zvuku sprostredkúva najčastejšie vzduch, ale šíri sa aj vo vode, prípadne v iných kvapalinách a pevných látkach.
3 Obr. 3..: Vnútorne ucho [Zdroj obrázka: [6]] 3. Limity ľudského ucha V hudbe meriame frekvenciu Hertzoch (Hz) alebo v cykloch za sekundu. Ľudské ucho reaguje na frekvencie v približnom rozsahu od 0Hz do 0 000Hz. Pre porovnanie v tabuľke [podľa[]] nájdeme, aký rozsah je počuteľný pre niektoré zvieratá: Druh Rozsah (Hz) Korytnačka Žaba Človek Šimpanz Králik Pes Mačka Myš Delfín Intenzitu zvuku meriame v decibeloch (d). Nula decibelov reprezentuje silovú intenzitu 0 - Wattov na meter štvorcový, ktorá je niekde na hranici počuteľnosti pre ľudské ucho. 3.3 Definície hudobných pojmov využitím znalostí z fyziky Základný tón Definuje [3] ako nosný tón zvuku (hlasu alebo hudobného nástroja). Je to tón, ktorý pri počutí zvuku subjektívne vnímame ako hlavný. Táto základná frekvencia je zároveň najnižšia frekvencia vo zvuku, pričom ostatné prítomné frekvencie sú jej násobkami. Alikvótne tóny sú frekvencie prítomné vo zvuku, ktoré sú násobkami základnej frekvencie. Ak je tento násobok celočíselný, hovoríme o harmonickom tóne. Prvý harmonický tón je zhodný so základným tónom, druhý harmonický (alebo prvý alikvótny) má dvojnásobnú frekvenciu, tretí harmonický (druhý alikvótny) má trojnásobnú frekvenciu,... Ak násobok nie je celočíselný, nazývame tón čiastkový[podľa[3]]. 3.4 Človek a vnímanie hudby Podľa [] možno povedať, že sluchom rozlišujeme predovšetkým periodické a neperiodické zvuky. Periodické zvuky sa nazývajú tiež hudobné zvuky alebo tóny. Medzi ne patria zvuky hudobných nástrojov a samohlásky reči. Najjednoduchší periodický zvuk je zvuk ladičky, ktorý má harmonický priebeh. Taký zvuk sa nazýva jednoduchý tón. Periodický zvuk, ktorý má zložitejší priebeh, voláme zložený tón. Neperiodické zvuky vnímame ako hluk. Zvuk ovplyvňujú vlastnosti zdroja zvuku, prostredie, v ktorom sa zvuk šíri, a subjektívne vlastnosti sluchu. Pri vnímaní viacerých hudobných zvukov vieme rozlíšiť, ktorý zvuk je vyšší a ktorý nižší. Zvuk má tým väčšiu výšku, čím vyššia je frekvencia chvenia zvuku zdroja. Výšku zvuku určuje jeho frekvencia. Pokiaľ máme jednoduchý tón (harmonický priebeh zvuku), určuje frekvencia absolútnu výšku tónu. Ak ide o zložený tón (zvuk nie je harmonický), obsahuje zložky s rôznymi frekvenciami a jeho výšku určuje najnižšia frekvencia. Absolútnu výšku nevieme určiť priamo sluchom, preto výšku tónov navzájom porovnávame a určujeme relatívnu výšku tónu, čo je pomer frekvencie daného tónu k frekvencii základného tónu. Základný tón bol medzinárodnou dohodou stanovený na 440 Hz a v hudbe ho značíme A. V hudbe vyjadrujeme relatívne výšky hudobnými intervalmi. Základný interval je oktáva tej zodpovedá pomer frekvencií : (relatívna výška je -násobok základnej frekvencie). Na klaviatúre klávesových nástrojov je medzi prvým tónom (prímou) a ôsmym tónom (oktávou) kláves 7 bielych a 5 čiernych. Obr Príklad klávesové nástroje - vľavo klavír, vpravo akordeón (ľudovo harmonika) [Zdroje obrázkov: [8],[0]]
4 prirodzená výška struny (presne dvakrát takej frekvencie). Keď polovica struny kmitá čistou sínusoidou, pohyb bodu, ktorý nie je stredom struny, opisuje funkcia y = Acos( t k / m) + sin( t k / m). Obr Klaviatúra klávesových nástrojov Relatívna výška je teda rozdelená na rovnakých intervalov (poltónov) s relatívnou výškou =,06. Relatívne výšky hudobných intervalov sa vyjadrujú aj pomerom celých čísel kvinta 3/, kvarta 4/3, veľká tercia 5/4, malý poltón 5/4. 4 Kmitajúca struna Uvažujme kmitajúcu strunu, ktorá je uchytená na oboch koncoch. Predpokladajme najprv, že na strune je v strede zavesené závažie s hmotnosťou m. (obr. 4.) Struna vyvíja silu F vzhľadom k rovnovážnej polohe, ktorá je úmerná vzdialenosti y od rovnovážnej polohy. Ak k je tuhosť pružiny, potom F = - ky Z Newtonových zákonov pohybu vieme, že: F = m a, pričom d y a =. dt Kombináciou oboch rovníc dostávame diferenciálnu rovnicu d y ky + = 0, dt m ktorej riešením je y = Acos( t k / m) + sin( t k / m), kde konštanty A, sú určené počiatočnou rýchlosťou na okrajoch. Obr.4. [Zdroj obrázka: []] Keď je hmotnosť na strune rovnomerne rozložená, je možných viacej kmitajúcich módov. Napríklad stred struny má ostať stacionárny, pretože obe polovice kmitajú s opačnými fázami. Na gitare toho docielime stlačením stredu struny a brnknutím. Efektom bude zvuk presne o oktávu vyššie než je Obr.4. [Zdroj obrázka: []] Keď je bod presne v tretine dĺžky struny od jedného konca stlačený, je výsledkom zvuk oktávy a presnej pätiny nad pôvodnou výškou struny resp. presne trojnásobnej frekvencie. Keď tri časti struny kmitajú ako čistá sínusoida a stredná tretina má opačnú fázu, potom je pohyb nestacionárneho bodu na strune opísaný funkciou Obr.4.3 [Zdroj obrázka: []] Vo všeobecnosti platí vzťah: n= [Spracované podľa [].] 5 Prečo sínusové vlnenie Aký je význam sínusových vĺn v diskusii o vnímaniu výšky (polohy) tónu? Mohli by sme diskutovať podobným spôsobom, keby sme použili nejakú inú skupinu periodických vĺn, ktoré idú podobne hore a dole? Odpoveď spočíva v diferenciálnej rovnici pre jednoduchý harmonický pohyb, ktorý budeme rozoberať neskôr. Stručne povedané, riešením diferenciálnej rovnice sú funkcie ( n n ) y = A cos( nt k / m) + sin( nt k / m). d y dt alebo ekvivalentne y = csin( κt + φ) = κ y y = Acos κt + sin κt
5 Obr. 5. [Zdroj obrázka: []] Uvedená diferenciálna rovnica ukazuje, čo sa stane, keď objekt je predmetom sily voči rovnovážnej polohe a veľkosť sily je úmerná vzdialenosti od rovnováhy. V prípade ľudského ucha môže byť diferenciálna rovnica považovaná za aproximáciu pohybovej rovnice konkrétneho bodu na bazilárnej membráne alebo niekde inde na prenosovom reťazci medzi vonkajším vzduchom a slimákom. Teraz si uvedieme niekoľko postrehov čo sa týka nepresností: Môžeme použiť parciálnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu na opis pohybu na povrchu bazilárnej membrány. To nemôže reálne ovplyvniť výsledky analýzy okrem vysvetlenia vzniku konštanty κ. Môžeme uvažovať pohyb ako nútený tlmený harmonický pohyb, v ktorom je doba tlmenia úmerná rýchlosti, čo plynie z viskozity kvapalín a faktu, že bazilárna membrána nie je perfektne elastická. Nútený tlmený harmonický pohyb je tiež sínusoidný, ale skladá sa z rýchlo sa rozpadajúcich premenlivých častí. Rezonantná frekvencia odpovedá maximálnej odozve tlmiaceho systému na prichádzajúcu sínusovú vlnu. Pre dosť hlasitý zvuk môže byť obnovenie sily nelineárne. To je vidno na možnom vzniku niektorých zaujímavých akustických javov. Väčšina hudobných nôt sa neskladá z jednoduchých sínusových vĺn. Napríklad keď hráme na gitaru, je výsledkom periodická vlna, ktorú ale obvykle tvorí suma zo sínusových vĺn s rozdielnymi amplitúdami. Teda máme rozdielne vrcholy amplitúd vibrácií bazilárnej membrány a komplex signálov je poslaný do mozgu. 6 Harmonický pohyb V časti 4 sme si odvodili vznik diferenciálnej rovnice. rádu d y ky + = 0. dt m Označme dy d y y =, y =. dt dt Dostávame y + ky / m = 0. Riešením tejto rovnice sú funkcie y = Acos( t k / m) + sin( t k / m) Skutočnosť, že sa jedná o riešenie tejto diferenciálnej rovnice je vysvetlením, prečo je sínusoida, a nie dajaká iná pravidelne oscilujúca vlna, základom harmonickej analýzy periodických vĺn. Teda diferenciálnou rovnicou pre pohyb konkrétneho bodu sa na bazilárnej membráne v slimákovi riadi ľudské vnímanie zvuku. 7 Sínusové vlny a frekvencia spektra Uhly sa v matematike meria v radiánoch a v jednom cyklu máme π radiánov. Sínusová vlna s frekvenciou ν v Hertzoch, vrcholom amplitúdy c a fázou φ bude korešpondovať so sínusovou vlnou formy csin( πν + φ). Veličina ω = πν sa nazýva uhlová rýchlosť. Uhol φ nám určuje, kde sínusoida pretne časovú os. Napríklad kosínusoida je príbuzná sínusoide platí totiž vzťah π cos x = sin( x + ), teda kosínusoida je sínusoida s rozdielnou fázou. Obr.7. [Zdroj obrázka: []] V súčasnosti sa všetky nástroje ladia na tzv. komorné A, ktorému odpovedá frekvencia 440Hz. Vlna, ktorá reprezentuje túto ladiacu konštantu má formu csin(880 πt + φ). Toto môžeme previesť na lineárnu kombináciu sínusov a kosínusov použitím štandardných vzorcov pre sínus a kosínus súčtu: sin( A + ) = sin Acos + cos Asin cos( A + ) = cos Acos sin Asin. Teda máme csin( ωt + φ) = a cosωt + bsin ωt, kde a = csinφ a b = c cos φ. Obrátene, pokiaľ poznáme a,b,c; vieme φ získať pres a c = a + b, tgφ =. b Teraz si vysvetlíme pojem spektrum, ktorý hrá dôležitú úlohu v porozumení hudobným notám.
6 Spektrum zvuku je graf ukazujúci amplitúdy premenlivých rozdielnych frekvencií zvuku. Teraz to ponecháme ako intuitívnu predstavu ilustrovanú obrázkom spektra kmitajúcej struny s frekvenciou základného tónu k ν = m. π Obr.7. [Podľa []] Tento graf ilustruje zvuk s nespojitým frekvenčným spektrom s frekvenciou zloženou z celočíselných násobkov frekvencie základného tónu a s amplitúdou zníženou vo vyšších frekvenciách. Niektoré zvuky, ako napríklad biely šum, majú spojité frekvenčné spektrum ako v diagramu nižšie. Tieto pojmy nadobudnú hlbší zmysel vo Fourierovej teórii a teórii rozdelenia. Obr.7.3 [Podľa []] 8 Trigonometrické identity a rytmus Čo sa stane, keď sa zahrajú dve vlny sínusoida a kosínusioda v rovnakom čase? Odpoveď na túto otázku leží v trigonometrických identitách sin( A + ) = sin Acos + cos Asin Pretože cos( A + ) = cos Acos sin Asin. sin( ) = sin cos( ) = cos, nahradíme za a dostaneme sin( A ) = sin Acos cos Asin cos( A ) = cos Acos + sin Asin. Keď sčitujeme rovnice sin(a + ) = sinacos + cosasin sin (A - ) = sinacos - cosasin sin (A + )+sin(a ) = sinacos čo môžeme prepísať ako sin Acos = sin( A + ) + sin( A ) Podobné úpravy urobíme pre rovnice cos( A + ) = cos Acos sin Asin cos( A ) = cos Acos + sin Asin a dostaneme cos( A + ) + cos( A ) = cos Acos Alebo ( ) cos( A ) cos( A + ) = sin Asin, cos Acos = (cos( A + ) + cos( A )) sin Asin = (cos( A ) cos( A + )). To nám umožňuje napísať súčin sínusov a kosínusov ako súčet alebo rozdiel sínusov a kosínusov. Teraz nás bude zaujímať opačný proces: nech u = A +, v = A. Riešením pre A a dostávame A = ( u + v ) = ( u v ). Substitúciou v rovniciach sin( A + ) + sin( A ) = sin Acos cos( A + ) = cos Acos sin Asin cos( A ) = cos Acos + sin Asin získame sin u + sin v = sin ( u + v) cos ( u v) cosu + cos v = cos ( u + v) cos ( u v) cosv cosu = sin ( u + v)sin ( u v). Toto nám umožňuje písať súčty a rozdiely sínusoid a kosínusoid ako súčiny sínusov a kosínusov. Príklad (prebraný z []): Pri ladení piana sa porovnávajú dve z troch strún toho istého tónu a počujeme päť úderov za sekundu. Keď jedna alebo dve noty majú výšku A (440 Hz), čo sa stane s frekvenciou kmitania struny?
7 Obr.8. [Zdroj obrázka: []] Riešenie: Predpokladajme, že ladička piana ladí jednu z troch strún odpovedajúci tónu A na 440Hz. Druhá struna je stále mimo ladenia a rezonuje na 436Hz. Tretia struna je tĺmená, aby nezasahovala do ladenia druhej struny. V tomto momente budeme ignorovať fázu a amplitúdu, dve struny dohromady majú zvuk sin(880 πt) + sin(87 πt). Použitím rovnice sin u + sin v = sin ( u + v)cos ( u v) môžeme prepísať tento súčet ako sin(876 πt) cos(4 π t). To znamená, že dostaneme sínusoidu s frekvenciou 438Hz (priemer frekvencií oboch strún), ale s amplitúdou prispôsobenou,,pomalej kosínusoide s frekvenciou Hz (polovica rozdielu medzi frekvenciami dvoch strún). Kosínusoida má dva extrémy v rámci periódy, teda počet úderov za sekundu je štyri, nie dva. Počet úderov za sekundu je presne rozdiel medzi dvoma frekvenciami. Ladič piana ladí druhú strunu až kým neeliminuje počet úderov. 9 Ako fungujú niektoré hudobné nástroje Existuje veľa hudobných nástrojov. ežne rozlišujeme tieto typy nástrojov: Strunové Sláčikové Kovové Dychové Klávesové Atď. Zobcová flauta Zvuk rezonuje medzi otvorom pri zobci a ústím flauty. Prvotným impulzom je stlačenie vzduchu, ktoré zabezpečí fúknutie do zobca nástroja. Vlnovú dĺžku základného tónu určuje dĺžka tubusu hudobného nástroja, v ktorého vnútri sa nachádza stĺpec vzduchu. Vďaka konštantnej rýchlosti zvuku meníme otváraním dierok jeho vlnovú dĺžku a frekvenciu. V tubuse vznikajú stojaté vlnenia, ktoré v závislosti od rezonančných vlastností nástroja, delia jeho dĺžku na polovicu, tretinu,... V jeho zvukovom prejave sa objavujú zvukové frekvencie, ktorých hlasitosť charakterizuje zvuk (farbu) hudobného nástroja a vďaka ktorému ho vieme odlíšiť od iných. Gitara Patrí medzi strunové nástroje. Gitara patrí medzi inštrumenty, ktorých povrch sa chveje, a tak rozkmitáva vzduch vo svojom okolí. rnknutím do struny sa táto rozozvučí svojou typickou frekvenciou. Keďže ide o kmitanie, vznikajú na strune tiež stojaté vlnenia, ktoré dodávajú zvuku gitary harmonické tóny. Ale nielen chvejúca sa struna vytvára akustický vnem gitarového zvuku. Vlnenie zosilnené rezonanciami v ozvučnici sa prenáša na celú konštrukciu nástroja a prispieva k celkovému dojmu zo zvuku. Činela tvorí celé spektrum alikvótnych tónov od základnej frekvencie v závislosti od priemeru činely a použitého materiálu. Akordeón je hudobný nástroj, pri ktorom sú zdrojom zvuku kovové jazýčky, ktoré sú rozochvievané prúdom vzduchu. Ten je získavaný pohybom mechu. Pre ovládanie nástroja slúžia dve skupiny kláves. Klavír je strunový úderový hudobný nástroj, ktorého zvuk vzniká chvením strún rozkmitaných úderom drevených kladiviek. Veľký klavír nazývame krídlo podľa tvaru rezonančnej skrine, struny sú v ňom umiestnené vodorovne. Menší, bežný klavír voláme pianíno jeho rezonančná skriňa, a teda aj struny, je umiestnená zvisle. Klavírna mechanika sa skladá z rady pák, ktoré prepojujú klávesu s kladivkom a dusítkom strún. Pri stisku klávesy sa zo struny zdvihne dusítko, plstená krátka lišta, ktorá bráni strune znieť. Ako náhle sa struna uvoľní, dopadne na ňu plstené kladivko a rozoznie ju. Po dopade odskočí, aby strunu netlmilo a mohlo uderiť znova. Keď hráč pustí klávesu, dopadne dusítko späť na strunu a tá stíchne. [Spracované podľa [3] a [9].] 0 Projekt na SŠ Otázky, na ktoré sa v rámci zadaného projektu na SŠ budeme snažiť odpovedať: Čo je zvuk? Ktorý je pre nás príjemný, resp. nepríjemný? Čo to ovplyvňuje? Nakoľko je vnímanie zvuku subjektívne? Či existuje objektívne meranie zvuku, jeho kvality,...
8 Ako funguje ľudské ucho? Prečo niektoré zvuky bolia? Ktoré sú to...? Kmitanie a vlnenie > sínudoida vlastnosti tejto funkcie posuny, a.sin(bx+c) čo možno priradiť jednotlivým parametrom Ako delíme hudobné nástroje a aký je princíp ich fungovania? Ako funguje gitara, resp. iný zvolený nástroj, priama demonštrácia pri prezentovaní projektu Študenti by mali svoje zistenia prezentovať vo forme posterov ako aj na hodine pred spolužiakmi, resp. vytvoriť celoškolskú prednášku, kde by tieto zaujímavosti mohli prezentovať aj ostatným študentom školy a ďalším záujemcov o problematiku. Projekt na VŠ Projekt na VŠ sa od projektu na SŠ bude líšiť len tým, že študenti by mali dotiahnuť stredoškolské riešenie využitím vyššej matematiky (diferenciálne rovnice). Ako sme spomínali v úvode, projekt je vhodný pre budúcich učiteľov matematiky, no to nevylučuje zapojenie záujemcov aj z iných odborov, ktorých prezentovaná problematika zaujíma. Ďalším využitím je aj motivácia pre preberanie diferenciálnych rovníc na matematickej analýze. Pri zavedení ďalších pojmov, ako Superpozícia, Tlmený harmonický pohyb, Rezonancia, a pod. vznikajú ďalšie zaujímavé rovnice a úlohy, ktoré môžu študenti na hodine riešiť. Predpokladáme, že iný kontext úlohy by mohol byť motivačný a viesť študentov k prehĺbeniu záujmu o počítanie diferenciálnych rovníc a hľadanie súvislostí aj v iných, napr. humanitných predmetoch. Literatúra [] ENSON D., 008. Music: A Mathematical Offering. bens ondj/html/maths-music.html [] LEPIL O., HOUDEK V., PECHO A., 986. Fyzika pre 3. ročník gymnázia. Slovenské pedagogické nakladateľstvo ratislava. [3] ADAM P., 006. Diplomová práca Úvod do metód spracovania zvuku v súčasnom multimediálnom prostredí. Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, Univerzita Komenského ratislava. [4] Ľudské telo [online, marec 03] [5] Zvuk [online, marec 03] 9H/Zvuk_07.pdf [6] Ľudské ucho [online, marec 03] ugust/pr%c3%adrodoveda%0z%c5%a0 %07%0-%0SLuch_html_55e74acd.png [7] Zvuk [online, marec 03] [8] Akordeón [online, marec 03] [9] Wikipedia [online, apríl 03] [0] Klavír [online, marec 03] OSakbNqnEv3aChnto_DCsqSgaNrzpldXU9s dirtetlxv6tiivgg Záver V článku sme prezentovali súvis medzi hudbou, matematikou a fyzikou. Spísali sme stručne základnú teóriu ohľadom vnímania a šírenia zvuku, ktorá môže byť pomôckou pre učiteľa, ktorý by sa so svojimi žiakmi, resp. študentmi chcel do projektu pustiť. Ďalej sme navrhli sadu otázok, ktoré by projekt mohol riešiť. Je na každom učiteľovi, aby si projekt prispôsobil nielen po časovej stránke (môže ísť o projekt dlhodobý), ale aj po obsahove (môže sa venovať ďalším aspektom, napr. kultúrnym, sociálnym,...). Poďakovanie V tejto časti by som chcela poďakovať mojej školiteľke PaedDr. Márii Slavíčkovej, PhD. za pomoc, odborné vedenie, pripomienky a čas, ktorý mi venovala pri písaní tejto práce.
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραNečakané súvislosti vo fyzike
vo fyzike Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI, UK Šoltésovej dni, FMFI UK, 3.11.2016 Čo je to fyzika? zdroj : http://abstrusegoose.com/275 zdroj : http://abstrusegoose.com/275 O čom to bude
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραElektromagnetické pole
Elektromagnetické pole Elektromagnetická vlna. Maxwellove rovnice v integrálnom tvare a diferenciálnom tvare. Vlnové rovnice pre E a. Vjadrenie rýchlosti elektromagnetickej vln. Vlastnosti a znázornenie
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραVzorce a definície z fyziky 3. ročník
1 VZORCE 1.1 Postupné mechanické vlnenie Rovnica postupného mechanického vlnenia,=2 (1) Fáza postupného mechanického vlnenia 2 (2) Vlnová dĺžka postupného mechanického vlnenia λ =.= (3) 1.2 Stojaté vlnenie
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραRočník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín
OKTÓBER SEPTEMBER Skúmanie vlastností kvapalín,, tuhých látok a Mesiac Hodina Tematic ký celok Prierezo vé témy Poznám ky Rozpis učiva predmetu: Fyzika Ročník: šiesty 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραZDROJE ZVUKU PRÍRODNÉ ZDROJE ZVUKU
ZDROJE ZVUKU Každé kmitajúce teleso s frekvenciou kmitania v akustickom pásme Základná koncepcia: Rozdelenie: generované spontánne/cielene, periodické/neperiodické, hudobné/nehudobné... PRÍRODNÉ ZDROJE
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραKLP-100 / KLP-104 / KLP-108 / KLP-112 KLP-P100 / KLP-P104 / KLP-P108 / KLP-P112 KHU-102P / KVM-520 / KIP-603 / KVS-104P
Inštalačný manuál KLP-100 / KLP-104 / KLP-108 / KLP-112 KLP-P100 / KLP-P104 / KLP-P108 / KLP-P112 KHU-102P / KVM-520 / KIP-603 / KVS-104P EXIM Alarm s.r.o. Solivarská 50 080 01 Prešov Tel/Fax: 051 77 21
Διαβάστε περισσότεραZrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili
Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru
Διαβάστε περισσότεραLaboratórna úloha č. 21. Chvenie struny
Laboratórna úloha č. 21 Chvenie struny Úlohy: A Zmerať základnú frekvenciu chvenia struny a závislosť tejto frekvencie od dĺžky struny a od sily, ktorou je struna napínaná. B Teoretický úvod Zo smernice
Διαβάστε περισσότεραVysvetliť rozdiel medzi kmitaním a vlnením Definovať vlnenie, opísať spôsob jeho vzniku Vysvetliť vznik postupného priečneho a pozdĺžneho vlnenia
V L N E N I E Vysvetliť rozdiel medzi kmitaním a vlnením Definovať vlnenie, opísať spôsob jeho vznik Vysvetliť vznik postpného priečneho a pozdĺžneho vlnenia Vysvetliť pojmy vlnoplocha a lúč Formljte a
Διαβάστε περισσότεραAkusticko-auditívna komunikácia Akustika a reč. Autor:Július Zimmermann
Akusticko-auditívna komunikácia Akustika a reč Autor:Július Zimmermann 1 Jazyk a reč 2 Jazyk abstraktný systém lexikálnych a gramatických znakov, určený na myslenie a dorozumievanie. Reč fyzicko-psychická
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραu R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραBudený oscilátor s tlmením
Budený oscilátor s tlmením Špeciálny prípad Možná realizácia: Nabité teliesko na nevodivej pružine v homogénnom striedavom elektrickom poli Budený oscilátor s tlmením Použijeme trik s komplexnými fázormi
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραModul pružnosti betónu
f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραOdporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότερα10 Kmitanie Harmonický pohyb
149 10 Kmitanie S kmitavými pohbmi sa stretávame všade okolo nás. Nieked je kmitanie žiaduce (chvenie v prípade hudobných nástrojov), inoked je nežiaduce (napr. kmitanie auta, práčk). Nieked ho vnímame
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραMocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník
1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότερα18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Διαβάστε περισσότεραRozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003
Rozsah akreditácie 1/5 Názov akreditovaného subjektu: U. S. Steel Košice, s.r.o. Oddelenie Metrológia a, Vstupný areál U. S. Steel, 044 54 Košice Rozsah akreditácie Oddelenia Metrológia a : Laboratórium
Διαβάστε περισσότεραSIRÉNY A REPRODUKTORY SIRÉNY A REPRODUKTORY SIRÉNY A REPRODUKTORY
Katalóg výstražnj optickj a akustickj signalizáci www.sanitky-majaky.tk sanitky.majaky@gmail.com DOSTUPNÉ TÓNY NEPRETRŽITÁ FUNKCIA MODULOVANÝ ZVUK DVOJ-TÓN MULTI-TÓN *PREDPOKLADANÉ TLMENIE ZVUKU Katalóg
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότερα7 Multimediálny obsah a jeho získavanie
GMS L7 7 Multimediálny obsah a jeho získavanie Multimédiá predstavujú integráciu textu, obrazu, grafiky, zvuku, animácií a videa za účelom sprostredkovania informácií. Pri prehrávaní multimediálnej aplikácie
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno - vzdelávací plán
Tematický výchovno - vzdelávací plán Stupeň vzdelania: ISCED 2 Vzdelávacia oblasť: Človek a príroda Predmet: Fyzika Školský rok: 2016/2017 Trieda: VI.A, VI.B Spracovala : RNDr. Réka Kosztyuová Učebný materiál:
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραSTATIKA STAVEBNÝCH KONŠTRUKCIÍ I Doc. Ing. Daniela Kuchárová, PhD. Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov
Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov zaťaženia Prostý nosník Konzola 31 Príklad č.14.1 Vypočítajte a vykreslite priebehy vnútorných síl na nosníku s previslými koncami,
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραOdrušenie motorových vozidiel. Rušenie a jeho príčiny
Odrušenie motorových vozidiel Každé elektrické zariadenie je prijímačom rušivých vplyvov a taktiež sa môže stať zdrojom rušenia. Stupne odrušenia: Základné odrušenie I. stupňa Základné odrušenie II. stupňa
Διαβάστε περισσότερα