ZÁKLADY POČ ÍTAČ OVEJ GRAFIKY

Transcript

1 Ř ÍRODOVĚ DECKÁ FAKULTA ZÁKLADY OČ ÍTAČ OVEJ GRAFIKY ALEXEJ KOLCUN OSTRAVA

2 Obsah Obsah Úvod Vekorová grafka Rasrová grafka 5 Sprevodca exom 6 Formalzáca vnímana fareb černobele vdene 8 Inenza žarena 8 Emuláca šedých odeňov 8 Meóda konšanného prahu Meóda náhodného rozpýlena Macové rozpýlene Korekca veľkos obrázku 5 Dsrbúca chyby Formalzáca vnímana fareb farebné vdene 6 Adívny a subrakívny model mešana fareb 6 Grassmannove zákony 6 Chromacký dagram 7 Trochu geomere 5 Farebné modely 5 5 RGB model 6 5 HSL model 7 5 HSV model 7 Spracovane rasrového obrazu rama zmena škály nenzy Konvolučné meódy Deekca hrán Bezsraová komprmáca 5 Komprmáca so sraou 5 5 Trochu vysokej maemaky 5 5 Mechanzmus JEG formáu 8 Rýchly algormus raserzáce krvek Jednoduchý algormus s reálnou armekou DDA Celočíselný (Bresenhamov) algormus Raserzáca kužeľoseček 7 5 Krvky v počíačovej grafke 5 Maemacký formalzmus generovana krvek 5 Bézerove krvky 5 5 Spájane bézerovych krvek 5 5 Implemenačná efekva 5 6 Algormy orezávana 56 6 Orezávane zolovaných bodov 57 6 Orezávane úsečky 58 6 Trválne orezávane 58 6 Cohen Suherlandov algormus (Co-Su) 5 6 Algormus Skala Bu (Sk-Bu) 6 6 Algormus Cyrus Beck (Cy-Be) 6

3 6 Orezávane plošných úvarov 65 7 Vyplňovace algormy 66 7 Scan-lne algormus 66 7 Inverzné vyplňovane 68 7 Zobecnené vyplňovane Z-buffer 6 7 Rasrové vyplňovane 7 8 Telesá a ch reprezenáce 7 8 Objemové reprezenáce 7 8 ovrchové reprezenáce 7 8 Reprezenáca mnohosenov 7 8 Vdeľnosť konvexných mnohosenov 7 8 Okrídlená hrana 75 8 aramercké plochy 75 Tuhé ransformáce v rovne a presore 78 Transformáce v D 78 Macové vyjadrene 78 Transformáce v D 7 Transformačný reťazec 8 5 Urýchlene operácí 8 Leraura 8

4 Úvod Človek vníma vonkajší sve na základe pach zmyslov: zrak sluch hma čuch chuť rom prvé dva nformačné kanály obrazový a zvukový majú pre nás domnanné posavene ovedané jazykom nformaky zrak využívame hlavne ako obrovskú vonkajšu pamäť zvukový kanál je náš domnanný prosredok pre nerakívny vsup-výsup Keď sa zamyslíme nad ým aké echnológe používal človek v mnulos na uchovane vzuálnej a zvukovej nformáce zsíme že s konzervovaním vzuálnej nformáce s poradl podsane skôr ako so zvukom Napr kým verné uchovane obrazového vnemu zvládal človek už od pradávna (odhaduje sa že napr násenné maľby v jaskynach Lescaux sú zhruba 7 síc rokov saré) verné zachovane zvukovej nformáce sa prpsuje až TAEdsonov v pol soroča fonograf reo je as zákoné že pre komunkácu s novým sveom korý je posavený na realzác algormov a žje vďaka počíačom sveom korý v nedávnej dobe dosal módny názov vruálna reala s človek zvoll zrakovú komunkácu: najprv vo forme symbolov no s posupujúcm zdokonaľovaním používaného hardveru sa presadzuje čím ďalej ým vac skuočne grafcká komunkáca očíačová grafka zahŕňa meódy a echnky konšrukce manpuláce ukladana a zobrazena obrazov pomocou počíača [Ferko] V skuočnom svee sú naše vzuálne vnemy výsledkom fyzkálnych zákonosí korým sa eno náš sve rad V prípade vruálneho svea musíme eo zákonos sam vyvárať ak aby bol v súlade s našou skúsenosťou Nasledujúc ex ukazuje nekoré základné algormcké posupy nuné k omu aby počíačový sysém oo zvládal V počíačovom svee pracujeme s grafckou nformácou dvojakým spôsobom preo sa používajú dva pojmy: vekorová grafka rasrová grafka Vekorová grafka Vo vekorovom vyjadrení je objek určený podobne ako sme zvyknuí z geomerckých konšrukcí v deskrpívnej geomer: bod je daný svojm súradncam úsečka svojm krajným bodm lneárne lomená čara je daná usporadanou množnou bodov n-uholník je určený svojou hrancou j uzavreou lneárne lomenou čarou mnohosen je daný množnou svojch sen aď Nezasupeľné meso má vekorový prísup napr v konšrukčných sysémoch CAD/CAM (Compuer Aded Desgn/Machnery) (napr v srojnícve archekúre) pr radení manpuláorov a roboov kde rajekóre sú dané ako krvky resp lneárne lomené čary a sú určené príslušnou posupnosťou bodov odobne v geografckých nformačných sysémoch

5 (GIS) veľa geografckých objekov prírodného charakeru (výškové zolíne vodné oky ) alebo človekom vyvorené (cesy nžnerske see ) majú charaker krvek Správnejše by bolo as používať názov procedurálna reprezenáca Napr úsečku charakerzujeme jej krajným bodm a arbúm (yp hrúbka a farba čary prípadne eše spôsob akým sa realzujú konce úsečky) Vo svojej podsae je geomera daná len koncovým bodm všeko osané je vec určých čnnosí procedúr: krajné body spoj rovnou čarou použ pr om zadanú farbu konce úsečky označ predpísaným spôsobom I zložejše objeky sa dajú charakerzovať podobne Napr časo používaná CSG-reprezenáca (Consrucve Sold Geomery) vychádza z vopred defnovaných prmívnych eles (napr kolmý kváder valec roačný elpsod) paramerov určujúcch eo prmívne elesá (napr dĺžky hrán kvádra polomer a výška valca veľkos hlavných poloosí elpsodu) polohy vybraného bodu prmívneho elesa (napr ťažska) množnových operácí nad prmívnym elesam (pre dvojce eles generujeme zjednoene prenk rozdel) Keďže použé množnové operáce sú bnárne áo reprezenáca vede k použu formalzmu ohodnoený bnárny srom Edáca eles je v ejo reprezenác veľm jednoduchá a nuívne pochopeľná Nevýhodou akej reprezenáce je skuočnosť že pre zobrazovane eles porebujeme nformácu o povrchu elesa Kým pre jednolvé prmívne elesá oo spravdla ne je problém množnové operáce (hlavne zjednoene a rozdel) o komplkujú reo sa vo veľkej mere používajú aké reprezenáce eles koré pramo pracujú s povrchm (resp hrančným prvkam eles) podrobnejše sa omu budeme venovať v kapole 8 Rasrová grafka Je veľa grafckých aplkácí kde sa na obraz pozeráme ako na sysém malých farebne homogénnych plôšok Konec koncov akýmo spôsobom pracujú malar eno mechanzmus je využívaný pr foograf ako regsruje grafckú nformácu oko V počíačovej grafke je pre eo účely vyvorená pravdelná šrukúra pravouhlá mrežka zvaná raser s ďalej nedeleľným bunkam koré nesú názov pxel (cure Elemen) V ejo reprezenác je každá zobrazovaná suáca vyjadrená celou rasrovou mrežkou Rozdel vo vyjadrení rôznych suácí je v om koré pxely majú akú farbu (Napr pr reprezenác jedného bodu na farebne homogénnom pozadí sú všeky pxely až na jeden rovnakej farby) Rasrová reprezenáca je pravdaže pamäťovo veľm náročná amäť kde sa áo nformáca ukladá sa nazýva VdeoRAM (VRAM) Napr u dgálnych fooaparáov je ch kvala daná hlavne charakerskou rozlíšena j počom bodov (v megapxeloch) koré je fooapará schopný regsrovať Časo (hlavne v prípade lačarní) sa sreneme s charakerskou rozlíšena udávaného v jednokách DI (Dos er Inch) j poče bodov na jeden palec (cca 5cm) Napr dnes používané lačarne mávajú rozlíšene od do DI

6 Koľko pamä porebujeme v prípade rasrovej mrežky x pxelov v prípade že pre každý pxel porebujeme bye pamä? Vyjadre rozlíšene v DI pre 7 monor korý má rozlíšene x768 pxelov Vyjadre rozlíšene v pxeloch pre formá A pr husoe bodov 6 DI Rozvoj príslušných echnológí (pamäe a rýchly prísup do nch) spôsobl že základné výsupné grafcké zaradena (obrazovka lačareň) sú dnes realzované práve rasrovým spôsobom K omu prspeva fak že mnohé algormy sú pre rasrovú reprezenácu oveľa jednoduchše ako pre reprezenácu vekorovú V žadnom prípade však nemožno povedať že rasrová grafka vylačí grafku vekorovú Vekorová grafka ponúka v mnohých prípadoch jednak úspornejší záps jednak dovoľuje väčše možnos grafckej edáce celých objekov Rozdely medz rasrovou a vekorovou grafkou demonšrujeme na jednoduchom príklade: V aplkác anbrush (Malování) korá je súčasťou MS Wndows vygeneruje úsečku Keďže daná aplkáca je rasrová jedná možnosť ako s úsečkou ďalej pracovať je edovať každý pxel zvlášť (Jednou výnmkou je posunue celej úsečky v zmysle presunua celej -uholníkovej oblas v korej sa úsečka nachádza) Na druhej srane jednoduchú grafku má v sebe mplemenovanú napr MS Word Tu však môžeme v prípade úsečky dodaočne menť polohu krajných bodov menť farbu prípadne hrúbku čary To je možné práve preo že nformáca o úsečke je uchovávaná vo vekorovom vare j: súradnce krajných bodov arbúy (farba yp a hrúbka čary) Skúse sa zamysleť nad ým ako bude vyzerať zväčšený deal obrázku korý je zadaný vekorovo a obrázku korý je zadaný rasrovo Sprevodca exom redkladaný ex ukazuje základné problémy koré počíačová grafka reš Úvodné kapoly sú venované rasrovej grafke Keďže základom rasrovej grafky je pxel a pxel má jedný arbú farbu ak v prvých dvoch kapolách sú ukázané prísupy pre formalzácu fareb Trea kapola sa venuje základným prísupom pr spracovaní rasrového obrazu Táo problemaka sa s rozšrovaním prísrojov ako sú napr scanner a dgálny fooapará sáva akuálnou pre čoraz šrší okruh ľudí Nasledujúce kapoly pojednávajú o raserzác obrazu j o prechode od vekorovej grafky k rasrovej Dôležosť oho procesu je v om že základné výsupné zaradena sú rasrového charakeru a preo sa raserzác vekorových dá nevyhneme Švrá kapola demonšruje akým spôsobom sa prevádza vekorový obraz do rasrovej formy v najjednoduchšej forme j pre prípad úsečky rísup je zovšeobecnený na kužeľosečky a je ukázané obmedzene použej dey aa kapola parí svojm obsahom vac do poslednej čas exu vekorovej grafky no logcky nadväzuje na predošlú kapolu: je v nej vysvelený mechanzmus aký sa používa pre generovane krvek paramercké vyjadrene Sú sformulované

7 základné vlasnos Bézerovych krvek koré sú v dnešnej dobe veľm rozšíreným násrojom na generovane krvek Nasledujúca kapola ukazuje záludnos počíačového svea v suác keď je vykresľovaný objek mmo zobrazovanú oblasť Sú popísané meódy ako sa akéo problémy reša (pravdaže opäť na jednoduchých príkladoch úsečkách) Sedma kapola je venovaná vyplňovacím algormom Záverečná časť exu je venovaná -rozmernej vekorovej grafke V kap 8 sú ukázané prncípy na korých sú konšruovanéd modely osledná kapola popsuje základné operáce pr prác s vekorovo orenovaným daam s uhým ransformácam Te nám dovoľujú s objekom hýbať j roovať posúvať prblžovať a akež zobrazť D objek na D plochu Nebolo ceľom oho exu podať vyčerpávajúce nformáce z oblas počíačovej grafky Záujemcom o dealnejše prenkue do problemaky nech poslúž zoznam použej leraúry Neoddeleľnou súčasťou oho učebného exu sú zdrojové exy okomenovaných programov u korých sa predpokladá že ch čaeľ využje pr vorbe vlasných grafckých procedúr v súlade s exom Z hľadska dnešného supňa vývoja je použá plaforma (MS DOS) archacká rogramy pracujú v základnom grafckom mode prčom sa využívajú len r elemenárne grafcké procedúry: ch_gr_mode() pre prepnue počíača do grafckého módu pu_56_xel(xycolor) pre vykreslene pxelu pal_56_se() pre nasavene farebnej paley Daná plaforma je zvolená preo že ex klade dôraz na algormzácu a oo nám dáva mnmálne no dosaočné prosredky pre precvčene ejo problemaky o úspešnom prešudovaní oho exu by se mal byť schopn vyvorť jednoduchý sysem na spracovane rasrového obrazu a akež sysem pre manpulácu s vekorovo orenovaným daam

8 Formalzáca vnímana fareb černobele vdene Všeky naše vzuálne vnemy majú jedného spoločného menovaeľa svelo Vo svojej fyzkálnej podsae je o elekromagnecké žarene Jeho prrodzeným zdrojom je Slnko Na rozhraní rôznych prosredí sa svelo môže lámať odrážať pohlcovať prípadne ohýbať Napr na rozhraní sklo-vzduch môžeme pozorovať lom svela prčom uhol lomu vzrasá so zmenšujúcou sa vlnovou dĺžkou Tako sa dá ukázať že prrodzené svelo je zmesou sveel s vlnovým dĺžkam v rozpäí cca 8-78 nm (odobný jav dúhu môžeme pozorovať v prírode na rozhraní kvapek vody a vzduchu) Svelo s konkrénou vlnovou dĺžkou budeme nazývať monochromacké Rôzne monochromacké svelá vnímame ako rôzne farby rrodzené slnečné svelo nazývame ež achromacké resp bele č bezfarebné Možno o nerpreovať ak že v achromackej zmes ne sme schopní rozlíšť korá z fareb je domnanná j všeky sú vo vzájomnej rovnováhe Rozklad zmes sveel rôznych fareb na monochromacké svelá nazývame spekrum U sveel ak prrodzeným spôsobom rozlšujeme r vlasnos: nenzu j meru energe žarena farebný ón korý súvsí s vlnovou dĺžkou sýosť j meru prmešavana achromackého svela k svelu monochromackému Inenza žarena U monochromackého svela a ež u achromackého vnímame len jeden arbú nenzu Je o mera energe daného žarena Vzťah medz vnímanou nenzou svela I a jeho energeckou blancou W (Lamber-Beerov zákon) je logarmcký ( ) I log(w ) Znamená o že aby sme dosahl vnemy posupne sa zväčšujúcej nenzy musíme znásobovať dodanú energu: I I W W V prípade beleho svela nenzu popsujeme ako rôzne úrovne šed Bežne sme schopní rozlíšť prblžne supňov Z dôvodov používaných číselných reprezenácí sa spravdla používajú škály -supňová ( b) 6-supňová ( by) 56 supňová (8b bye) Napr VGA grafcká kara dovoľovala využívať 6-supňovú škálu (6 bov) Emuláca šedých odeňov Typcké HW zaradene koré pracuje s -supňovou škálou šedých fareb je ČB lačareň Táo používa len jeden černy oner Naprek omu lačareň dokáže šedé farby vyrobť Meódy koré oo realzujú j vyrábajú šrokú škálu odeňov pr obmedzenej farebnej palee nazývame polónovace meódy (halfonng) resp rozpyľovace meódy (dherng) K omu sa využíva negračná schopnosť oka Ako pre každý ný recepor aj pre oko exsujú obmedzena geomerckého energeckého vnímana Tj objeky koré sú menše ako nejaká medzná hodnoa nevdíme odobne objeky korých celková vyžarovaná energa je menša ako nejaká prahová hodnoa sú pre

9 nás černe No eo podprahové hodnoy oko negnoruje ale je schopné ch sčíať Napr na nočnej oblohe voľným okom vdíme Mlečnu cesu svelý pás ahnúc sa celou oblohou (najlepše vdeť v lee) V skuočnos je o obrovské množsvo hvezd z korých každá je z hľadska nášho vnímana podprahová (možno sa presvedčť pohľadom cez ďalekohľad) Nemusíme však čakať na bezoblačnú noc a zháňať ďalekohľad skúse sa pozreť na šedú plochu výsup z černobelej lačarne za pomoc lupy V prípade emuláce šedých odeňov budeme posupovať ak že každý pxel nahradíme švorcom n n pxelov (Tým pravdaže pôvodný obrázok zväčšíme n-krá) redpokladáme prom že zrakom neregsrujeme jednolvé pxely ale väčše celky prom supeň šed budeme vnímať ako pomer poču belych a černych pxelov v danom švorc lochu o veľkos n n pxelov sme ak schopní vnímať v n odeňoch šedej farby Tako vyvorená škála šed je však z hľadska zrakového vnemu nerovnomerná Je o spôsobené ým že na rozdel od ( ) v omo prípade aplkujeme pre nenzu a energu lneárny vzťah ( ) I W Nesúlad medz ( ) a ( ) sa reš zv gamma korekcou korá býva mplemenovaná v sofvéroch na úpravu obrazu vď kapola o spracovaní obrazu V nžšeopísaných meódach uvažujeme elemenárnu oblasť veľkos x pxely rom emulujeme 7-supňovú škálu šedých odeňov { 6} C n V prípade lače -vý supeň považujeme bely (čsý paper) a posupným prdávaním nenzí vyrábame mavše šedé odene Hodnoe 6 bude zodpovedať černa farba V prípade výsupu na obrazovku je o naopak j -vý supeň je černy a maxmálnej hodnoe zodpovedá bela farba Meóda konšanného prahu Najjdednoduchša meóda je založená na pramom nahradení vsupnej hodnoy nejakou výsupnou cou C ou oužé krérum má var: c C n n ( ) f ( c [x][y]>h){ c [x][y];} n else { [x][y];} ou c ou kde H je prahová hodnoa H c M napr H c M / Vo svojej podsae áo meóda šedé odene neemuluje no je východskovou pre osané meódy Meóda náhodného rozpýlena Myšlenka spočíva v náhodnom rozmesňovaní černych pxelov na bely podklad prčom k- emu supňu zodpovedá k černych pxelov Tako sa emulujú šedé odene na ryskových lačarňach kde sa pgmenové zrnká rozprašujú j umesňujú náhodne

10 Myšlenka spočíva v nahradení dosaočne veľkej farebne homogénnej plochy s N pxelam kde každý pxel má nenzu c n plochou s náhodne rozmesneným černym a belym pxelam Vzájomný pomer poču černych a belych pxelov je vybalancovaný ak aby výsledná energa žarena plochy zodpovedala žarenu pôvodnej plochy Krérum je nasledujúce ( ) f ( c [x][y]>random( c )) { c [x][y];} n else { [x][y];} rom predpokladáme že funkca random() generuje hodnoy z C n s rovnomerným rozdelením od vzťahom ( ) s môžeme predsavť nasledujúc mechanzmus: na nervale A c označíme podnerval B M cn Budeme náhodne sreľať do nervalu A a v prípade že sa rafíme do B vezmeme černy pxel Každému pxelu plochy odpovedá jeden pokus r N-násobnom opakovaní pokusu (j pre farebne homogénnu plochu B cn s N pxelam) dosaneme N N černych pxelov z celkového poču N pxelov čo A c odpovedá supňu šedého odeňa c n M M ou c ou Obr Emuláca škály šedých odeňov náhodným rozpýlením Nevýhodou ejo meódy je že náhodné rozmesnene černych a belych pxelov spôsobuje že vznkajú väčše černe resp bele súvslé plôšky Majú rôzne vary a rozmery koré už sú nad prahom nášho presorového rozlíšena reo výsledný obraz je slne zrný Budeme sa eda snažť radť vzájomnú polohu rozmesňovana černych a belych pxelov podľa nejakej pravdelnej schémy napr ak aby bol podľa možnosí rozmesnené rovnomerne Macové rozpýlene Budeme používať pravdelné vzory Každý vzor vyjadríme macou korá obsahuje prvky s hodnoam rom sa využíva aký spôsob generovana vzorov že dvojc susedných odeňov šed zodpovedajú mace koré sa líša len v jednej pozíc Supeň šed zodpovedá poču nenulových prvkov mace vzoru M Teno mechanzmus dovoľuje všeky vzory vyjadrť jednou kódovacou macou ( ) kde pre daný supeň šed h bude vzor obsahovať všeky e prvky pre koré m j h re rozlíšene vsupných hodnô šedí a výsupných hodnô mace vzorov budeme mace vzorov písať bez závorek Napríklad pre elemenárnu oblasť x pxely j pre 5 supňov šedej farby môžeme použť nasledujúce vzorovace mace m j

11 ( 5) koré vyjadríme kódovacou macou M Iný možný spôsob je určený napr kódovacou macou M V prax sa používajú spravdla väčše mace napr 8x8 my pre sa pre jednoduchosť obmedzíme na mace x I II Kódovaca maca I vznká rekurenným vnorením vyššeuvedenej mace Môžeme o nerpreovať aj ak že M aplkujeme macu pre prípad výsupnej 5-supňovej škály šed Dosávame nasledujúcu posupnosť kódovacích maíc M L každý supeň šed nahradíme príslušnou vzorovacou macou z ( 5) Tak napr pre prvých šesť supňov šed (vynechajúc belu korej zodpovedá maca s nulovým prvkam) dosaneme nasledujúce vzory Vyjadrene ejo posupnos kódovacou macou dáva macu I odobne maca II vznká z rekurenným vnorením s pooočením o M o v smere hodnových ručček

12 Obr Meódy macovej emuláce šedej farby: a) emuláca maskou I b) emuláca maskou II Na obrázku vdíme že maska I rozmesňuje černe subpxle čo najrovnomernejším spôsobom kým maska II zväčšuje černy subpxel ozre sa pod lupou na šedý výsup z ČB lačarne a urče korý z ypov emuláce bol použý Zamysle sa prečo je zvolený daný yp emuláce Korekca veľkos obrázku Ako už bolo uvedené prama aplkáca vyššeuvedených meód očvdne zväčšuje veľkosť výsledného obrázku re zachovane pôvodného rozmeru je možné posupovať dvojakým spôsobom: a) najprv zmenšíme pôvodný obrázok (j pre 7 odeňov bereme vždy zo švorca x pxelov napr ľavý horný ) a poom aplkujeme emulácu b) najprv vykonáme emulácu a poom obrázok zmenšujeme Na prvý pohľad by sa mohlo zdať že oba posupy sú rovnocenné No ne je omu ak osup b) dáva lepše výsledky Overme s o na suác keď orgnálny obrázok obsahuje nasledujúcu oblasť veľkos x Aplkovaním posupu a) dosaneme pxel s hodnoou a aplkovaním ľubovoľnej z uvedených meód emuláce dosaneme výslednú oblasť z Obr a) Keď použjeme posup b) j nahradíme každú hodnou nulovou macou x a hodnou 6 macou x korá obsahuje samé jednoky a až poom budeme obraz redukovať výsledkom bude oblasť z Obr b) a) b) Obr Redukca veľkos obrazu r redukc obrazu v prípade posupu b) musíme byť obozrení Keď je použá náhodná emuláca pr zmenšovaní môžeme ež použť náhodný výber pxelu alebo bereme vždy

13 napr pxel z oblas vľavo hore Keď ale bolo použé macové emulovane musíme posupovať podľa schémy z Obr Obr Redukca mace rozpýlena: pxel (svelošedý) nahradíme macou z nej vybereme len príslušný jeden elemen (mavošedý) korý zobrazujeme Keby sme napr vo farebne homogénnej oblas Obr 5a) po nahradení každej vsupnej hodnoy vzorovou macou Obr 5b) z ejo vybral vždy konšanne umesnený pxel napr ľavý horný výsledkom by bol evdenne nesprávny vzor Obr 5c) osupujúc podľa schémy z Obr dosávame požadovaný výsledok Obr 5d) a) b) c) d) Obr 5 Redukca veľkos obrazu Schému redukce z Obr môžeme vyjadrť v vare ( 6) f( c [x][y]>m[x mod ][y mod ]){ c [x][y];} n else { [x][y];} ou c ou 5 Dsrbúca chyby Vráťme sa na chvíľu k meóde konšanného prahu Nahradene vsupnej hodnoy výsupnou vede k srae farebnej nformáce Najväčšej chyby sa prom dopúšťame u hodnô z okola prahu Napr pr 6 supňovej vsupnej škále a prahu H sa vsupná hodnoa c zmení na cou a jej blízka vsupná hodnoa c n sa zmení na c ou Myšlenka ako oo elmnovať spočíva v prenose nformáce korá sa prahovaním sraí do eše neanalyzovaného okola Tj keď pr použí konšanného prahuvsupnej hodnoe c n < h c n všekých jasových jednoek nenávrane sraíme eraz sa budeme snažť vznknuý jasový defc elmnovať ak že o práve úo sraenú hodnou zvýšme hodnou jasu v eše neanalyzovanom okolí n

14 Naopak v prípade že pôvodná hodnoa je väčša ako prahová dosadením maxmálnej možnej výsupnej hodnoy neúmerne zvýšme jas daného pxelu Teraz chybu elmnujeme ak že prebyok jasu ubereme z okola Týmo posupom vyrovnáme globálnu blancu vyžarovaného svela v okolí daného pxelu roces spracovana prebeha spravdla z ľava do prava z hora dole preo okole kam dsrbuujeme chybu prahovana je pravé dolné Keďže susednosť dvoch pxelov môže byť daná buď celou spoločnou hranou alebo len vrcholom chybu dsrbuujeme spravdla nerovnomerne hranovo susedným pxelom vac ako susedom cez vrchol Hodnoy príslušných delacch pomerov sú podľa rôznych auorov rôzne v [Žára] sú napr uvedené nasledujúce (Floyd-Senberg): 7 /6 /6 5 /6 /6 Schéma korá dsrbúcu chyby realzuje je nasledujúca: * f (c n [x][y]< h) {e c n ; c ou [x][y];} ( 7) else {e h c M ; c ou [x][y];} c n [x][y] c n [x][y] 7/6*e; c n [x][y] c n [x][y] /6*e; c n [x][y] c n [x][y] 5/6*e; c n [x-][y] c n [x-][y] /6*e; Výsledkom pre 7-supňovú škálu šedých odeňov je Obr 6 Obr 6 Dsrbúca chyby pre 7-supňovú škálu šedých odeňov opísal sme rôzne meódy emulovana šedých odeňov Hovoríme omu emulovane fareb pr obmedzenej palee Konšanné prahovane je vo svojej čsej podobe nepoužeľné ale je základom pre ďalše meódy Náhodné rozpýlene dáva dobrý výsledok len v prípade veľm jemného rasru v opačnom prípade je výsledok prílš zrný Macové rozpýlene sa používa pomerne časo musíme ale rešť zväčšene pôvodného obrázku ravdelná šrukúra masky môže nekedy pôsobť rušvo Dsrbúca chyby z uvedených posupov dáva as najlepší výsledok Ne je lepšej meódy pre pochopene problému ako skúsť ho vyrešť vlasným slam

15 re jednoduchý rasrový obraz so vsupnou škálou 6 šedých odeňov L realzuje meódy emuláce šedých odeňov macovým rozpýlením a meódou dsrbúce chyby U macového rozpýlena použje masky I a II rípadne skúse vyvorť nejakú vlasnú masku r realzác použje prložené procedúry Výsledok musí byť zhodný s Obr Obr Obr 6 o úspešnej realzác na esovacom príklade aplkuje uvedené meódy na reálnych obrázkoch vo formáe *SBM

16 Formalzáca vnímana fareb farebné vdene Farebné vdene bereme ako žvonú samozrejmosť no je o vec veľm nerválna Je zarážajúce aké obrovské nevedomos prípadne skreslené vedomos z ejo oblas poznana sú všeobecne rozšírené I v odbornej leraúre z počíačovej grafky sú v nej medzery reo je áo kapola dosť podrobne vysvelená Záujemc o dealnejše znalos z oblas fyzológe farebného vnímana nech sahnu napr po knhách [Novák] [Feynman] My sa budeme venovať len základným oázkam formalzáce farebných vnemov Adívny a subrakívny model mešana fareb Každý z nás má ú skúsenosť že zmešaním červenej a zelenej vodovej farby nkdy nedosaneme farbu žlú Napro omu všade nás usťujú že žlá farba na monoroch je výsledkom zmešavana červenej a zelenej A skuočne sa o om môžeme presvedčť napr pohľadom na obrazovku s použím lupy Ako je o vlasne možné vyplýva z nasledujúceho Keď na bely paper sveme červeným reflekorom paper sve červene Analogcky pr použí zeleného reflekoru bude paper sveť zelene To znamená že keď budeme súčasne sveť oboma reflekorm budú sa odrážať obe svelá a my vnímame ch zmes A eno vnem nazývame žlou farbou odobne sa správa monor keď z rojce základných farebných bodov (zelený červený a modrý) svea len prvé dva My ak vdíme zmes červeno-zelenej j žlú Too je mechanzmus nazývaný adívne mešane fareb a uplaňuje sa u farebného výsupu na monor V prípade mešana vodových fareb je suáca úplne ná gmenové zrnká koré farbu vora sú vlasne farebné flre Napr červený fler prepusí zo zmes sveel len červené svelo osané farby sa pohla Keď eše pred neho umesnme fler zelený korý prepúšťa len zelené svelo a osané pohlcuje súsava ýcho flrov neprepusí žadne svelo reo výsledný vnem mešana červenej a zelenej vodovej farby by mal byť farba černa Že o ak ne je je dôsledkom oho že ne sme schopní zasť aby jednolvé pgmenové zrnká bol rovnakého varu a veľkos a navac ne sme schopní docelť presné prekrye pgmenových zŕn Teno mechanzmus nazývame subrakívne mešane fareb Too je podsaa fungovana farebných lačarní Vyššeuvedené ež objasňuje prečo sa okrem farebných pgmenov používa aj pgmen černy (Nehľadac na o že v prípade dokonalých pgmenov by dvojfarebné generovane černej farby bolo zbyočne drahé) Ďalej v celej ejo budeme uvažovať adívny farebný model Grassmannove zákony Významnou vlasnosťou nášho farebného vnímana je skuočnosť že napr v zmes dvoch monochromackých sveel ne sme schopní rozlíšť jednolvé zložky a vnímame o ako jednú farbu Napr na jednej srane exsuje žlé monochromacké svelo j monochromacké žarene konkrénej vlnovej dĺžky (napr 58 nm) no na druhej srane žlé svelo môžeme získať aj ako zmes červeného a zeleného monochromackého svela Oba eo prípady sú z hľadska fyzkálnej podsay rôzne no z hľadska nášho vnímana rovnaké

17 (Úplne ná suáca je u vnemov zvukových koré majú ež charaker vlnena no z akordu j zmes ónov vždy veme vyseparovať jednolvé óny koré daný akord vora a žadny z akordov nemožno nahradť jedným ónom) odsané rysy nášho farebného vnímana sú sformulované v Grassmannových zákonoch napr [Horňák]: Ľubovoľná švorca fareb je lneárne závslá (j ľubovoľný farebný podne možno nahradť adívnou zmesou roch lneárne nezávslých ale ľubovoľne zvolených merných sveelných podneov) r spojej zmene spekrálneho zložena svela sa spoje mení aj náš vnem farba Farba zmes je určená len farbou mešaných zložek a nezávsí od ch spekrálneho zložena (j napríklad vo vyššeuvedenom príklade je jedno č budeme k nejakej farbe prdávať monochromackú žlú alebo žlú korá je zmesou červenej a zelenej - výsledný farebný vnem bude rovnaký) Chromacký dagram Kvanaívne vyjadrene Grassmannovho zákona je dané kolormerckým vzťahm a je výsledkom nasledujúceho expermenu: Zobereme r reflekory rôznych fareb Za základ kolormerckej súsavy bol Medznárodnou komsou pre osvelene - CIE - v r vzaé žarena o vlnových dĺžkach 7 nm (R-červená) 56 nm (G-zelená) 58 nm (B-modrá) Teo svelá (farby) nazveme ealónové Sveme nm na jedno meso rom nenzy jednolvých reflekorov môžeme rôzne menť dosaneme ak rôzne sveelné zmes Na druhej srane zoberme monochromacké svelo vybranej vlnovej dĺžky (označme ho X) Budeme sa snažť namešať sveelnú zmes ak aby jej farba zodpovedala vybranému monochromackému svelu X Formálne vyjadrené dosaneme X rr gg bb kde r g b sú reálne nezáporné čísla vyjadrujúce nenzu príslušných ealónových sveel Môžeme sa obmedzť na r g b Ukazuje sa však že pre dosahnue ekvvalennos farebných vnemov pre nekoré monochromacké svelá je nuné expermen modfkovať: hľadá sa farebná rovnosť zmes skúmaného a jedného z ealónových sveel so zmesou osaných dvoch ealónových sveel Najmarkannejše sa o prejavuje v oblas vlnových dĺžok 5-55 nm kde ku skúmanému monochromackému svelu X reba prdať červené svelo Tenokrá eda hľadáme rovnosť r prepse do varu X rr gg bb X - rr gg bb ak dosávame zápornú hodnou koefcen -r Treba s uvedomť že r g b sú nenzy a preo samy nemôžu byť záporné

18 Výsledné hodnoy koefcenov r g b pre jednolvé vlnové dĺžky sú uvedené v ab [Horňák] [Skala] resp v grafe - Obr Všmnme s napr farebné vnemy zodpovedajúce L > 6 nm Všeky sa dajú vyjadrť len na základe červeného podneu s rôznou nenzou oho podneu Ináč povedané všeky eo farby môžeme vyjadrť ako výsledok vzájomného pomeru R : G : B : : no pr rôznej nenze samoného vnemu odobne aj u osaných vlnových dĺžok je vo vyjadrení z ab zahrnuá okrem vzájomného pomeru aj celková nenza jednolvých zložek rgb 5 Farebné koefceny 5 b g r λ [nm] - Obr Farebné koefceny r g b v závslos na vlnovej dĺžke λ

19 λ r g b λ r g b ab Numercké hodnoy farebných koefcenov r g b v závslos na vlnovej dĺžke λ [nm] revzaé zo [Skala] Aby sme sa prblížl popsu vnímana v zmysle úvodu kap reba oddelť vzájomné pomery základných vnemov a nenzu výsledného vnemu reo sa nameso hodnô r g b používajú normované hodnoy s normou rgb:

20 r ρ r g b g γ r g b b β r g b ρ γ β Normované farebné koefceny 5 β γ ρ λ [nm] - -5 Obr Normované farebné koefceny Vzhľadom na o že ργβ normované farebné koefceny vyjadrujú pomerné zasúpene ealónovej farby pre danú konkrénu farbu čže môžeme ak používať ermnológu aká je bežná pr defnovaní zmesí Z Obr je vdeť že naše oko je rôzne clvé na rôzne farby napr clvosť na modrú farbu je v porovnaní s červenou veľm malá: k modrej farbe sačí prdať len veľm málo červenej a výsledný vnem bude falový Normované koefceny majú ďalšu veľm užočnú vlasnosť Keďže ργβ na vyjadrene každej farby spekra nám sača len dva koefceny napr ρ a γ Koefcen β jednoznačne vyjadríme ako β- ρ-γ Dve velčny sa dajú názorne zobrazť grafcky Obr chromacký dagram vyjadruje vzťah normovaných farebných koefcenov ρ a γ

21 Chromacký dagram 5 5 γ ρ Obr Chromacký dagram vzájomná závslosť normovaných (pomerných) farebných zložek ρ a γ Spekrálne farby dávajú ovorenú krvku (susedné body na krvke zodpovedajú rozdelu vlnovej dĺžky 5nm) re ďalše vysvelene s porebujeme uvedomť jednu veľm dôležú algebrackú vlasnosť úsečky: úsečka je váženým premerom svojch krajných bodov Vskuku body úsečky a Q sa dajú vyjadrť v vare X a ( a)q kde a alebo rochu náč ( ) X a bq kde a b a b Znamená o že vnúorné body úsečky reprezenujú rôzne zmešavace pomery krajných bodov rom rôznym bodom zodpovedajú rôzne váhy a b a váhy musa byť zvazané vzťahom ab V našej nerpreác o znamená že keď zobereme dve farby z krvky na Obr ak na úsečke korá ch spája dosávame všeky možné farebné zmes ýcho fareb Napr úsečka spájajúca oba konce krvky (červený a falový) vyjadruje rôzne zmes červeno-falových j purpurových fareb (Na rozdel od fareb z krvky pre koré exsujú vlnové dĺžky j exsujú pre ne monochromacé svelá purpurové farby nemajú svoju vlnovú dĺžku sú o vždy len zmes monochromackých sveel) reo farby z krvky na Obr nazývame spekrálne a purpurové farby nazývame nespekrálne Všeky eo farby j spekrálne a purpurové sa označujú ako čsé (sýe) farby a hovoríme že poloha bodu na uzavreej krvke z Obr určuje farebný ón analyzovaného farebného vnemu Celú plochu korá je ohrančená práve analyzovanou uzavreou krvkou nazývame chromacký dagram

22 Vznká zákone oázka: dá sa nejakým spôsobom v chromackom dagrame vyjadrť bela farba? V úvode kap sme uvedl že achromacké svelo j svelo koré sa prejavuje belou farbou je zmesou všekých monochromackých sveel prčom žadne z nch neprevláda čže všeky sú v ejo zmes rovnocenné revedené do formálneho vyjadrena o znamená že achromacké svelo je armeckým premerom všekých uvažovaných monochromackých sveel preo jeho normovaný farebný koefcen ρ a získame ako armecký premer hodnô normovaných koefcenov ρ uvažovaných monochromackých sveel odobným spôsobom dosaneme aj γ a a β a ρ a L ρl γ a γ L βa L L L L L β L rom L znamená poče uvažovaných monochromackých sveel V našom prípade (ab ) L 8 (vlnové dĺžky nm s krokom po 5 nm) dosávame hodnoy normovaných koefcenov achromackého svela ρ a 68; γ a ; β a Keďže z geomerckého (a akež mechanckého) hľadska je armecký premer množny bodov ťažskom uvažovanej množny bodov belej farbe zodpovedá ťažsko bodov na základe korých sme skonšruoval chromacký dagram na Obr Obr Body určujúce chromacký dagram (mavomodré) a ťažsko (červené) zodpovedajúce belej farbe Každá z úseček reprezenuje farby s rovnakým farebným ónom Na úsečke korá spája ťažsko a hrančný bod chromackého dagramu ak dosávame farby koré sa vzájomne líša ba merou achromackej zložky Majú eda jeden farebný ón Čím blžše k okraju ým menej achromackej zložky ým vac je farba výrazná (čsá sýa) Vdíme že chromacký dagram dovoľuje formalzovať dva arbúy všekých farebných vnemov prrodzeným spôsobom: farebný ón je daný polohou hrančného bodu v chromackom dagrame

23 čsoa (sýosť) farby je daná polohou na spojnc ťažska a hrančného bodu (čím blžše k hranc ým sýejša farba) Čaeľov možno príde na myseľa možno napadne oázka: keď sme našl v chromackom dagrame belu farbu kde sa nachádza šedá farba? r hľadaní odpovede s reba uvedomť že u šedej farby podobne ako u belej ne je žadna farebná zložka prevládajúca Takže povedané obrazne šedá je vo svojej podsae bela ale nžšej nenzy rom pr konšrukc chromackého dagramu sme sa nenzy zámerne zbavl prechodom od farebných koefcenov k normovaným farebným koefcenom reo v chromackom dagrame ne sme schopní rozlíšť farebné vnemy líšace sa len svojou nenzou Zákone vznkne však ďalša oázka ako je o s farbou černou? Celý expermen vedúc k chromackému dagramu vychádzal z predpokladu exsence svela Keďže černa farba znamená neexsencu žadneho svela prncpálne nemožno černu farbu v danom konexe j pomocou chromackého dagramu vyjadrť V počíačovej leraúre sa sreneme s rochu ným varom chromackého dagramu kde koefceny sú vybrané ak aby farby monochromackých sveel na krajoch krvky nebol ak zhusené koefceny nadobúdal len nezáporné hodnoy Too sa dá dosahnuť nasledujúcou ransformácou farebných koefcenov koré sú sanovené CIE normou [Skala] ( ) x 76 y z r 6 g 55 b a následným normovaním x y ξ x y z ω x y z Kým vo vyjadrení na základe ργ je škálovane rovnomerné vzhľadom na vzájomné energecké pomery jednolvých zložek vyjadrene na základe ξω dáva rovnomernejšu škálu vzhľadom na naše vnímane Vyjadrene fareb pomocou hodnô ξω môžeme nájsť v leraúre pod názvom CIE kolormercká súsava omocou bežne dosupných prosredkov (napr abuľkový procesor Excel) ransformuje hodnoy farebných koefcenov (ab ) do CIE kolormerckej súsavy a pre ako získané hodnoy vyvore chromacký dagram Trochu geomere V predošlej podkapole sme s ukázal že váženému premeru dvoch bodov Q zodpovedá nejaký vnúorný bod ejo úsečky ( ) rom poloha oho bodu závsí od hodnô zvolených

24 váh Sred úsečky je zároveň jej ťažskom Jemu zodpovedá armecký premer krajných bodov úsečky Zovšeobecnením ejo konšrukce na r body QR dosávame ( ) X a bq cr kde a b c a b c čomu zodpovedá celý rojuholník vyýčený bodm QR Ťažsku rojuholníka odpovedá armecký premer jeho vrcholov Túo konšrukcu môžeme pravdaže zovšeobecňovať ďalej Tj zobereme množnu bodov n a budeme vyvárať ch všeky možné vážené premery a a a n n čo znamená že od koefcenov požadujeme aby a zároveň a a L an a a a n Tako dosaneme konvexný obal danej množny bodov n Ťažsko ejo množny bodov je prosý armecký premer uvedených bodov Teno apará využívame pr formalzác farebných vnemov a sreneme sa s ním ež v kapole venovanej generovanu krvek Vráťme sa naspäť k rojuholníku a vyvorme navonok veľm podobnú konšrukcu: ( ) X a bq cr kde a b c To znamená že enokrá neklademe podmenku abc Takáo konšrukca má ež veľm názornú geomerckú nerpreácu: keď body QR nerpreujeme ako bázové vekory D presoru () Q() R() poom pr menacch sa koefcenoch abc vyplníme celý jednokový kváder

25 Obr 5 Vzájomný vzťah konšrukcí ( ) vyznačený rojuholník a ( ) jednokový kváder 5 Farebné modely Ako bolo popísané v čas ľubovoľnú farbu síce môžeme vyjadrť na základe roch vhodne zvolených základných fareb no pre nekoré z nch musíme využť mechanzmus záporných koefcenov Monor (a podobne všeky osané výsupné zaradena) ne je schopný eno mechanzmus realzovať Rôzne odene môžeme vyrábať len ako vážené premery vybraných základných fareb oužme r základné farby nech m v chromackom dagrame zodpovedajú body ABC (Keďže chromacký dagram vyjadruje všeky možné farebné odene vyskyujúce sa v reálnom svee body ABC nemôžu byť mmo chromacký dagram) Farebné odene koré môžeme vyrobť sa nachádzajú vo vnúr rojuholníka ABC Kvala farebného výsupu j množsvo reprodukovaeľných farebných odeňov závsí od voľby základných fareb r ch výbere sú preo prrodzené dve podmenky Snažíme sa aby: plocha rojuholníka ABC bola čo najväčša oblasť belej farby bola vo vnúr rojuholníka ABC Časo sa môžee srenúť s meodcky nesprávnym nerpreácam chromackého dagramu: farebne sa vypĺňa celá jeho plocha ako je o na príklade Obr 6b) To však prncpálne ne je možné farebne správne sa môže vyplnť len vnúro rojuholníka voreného vrcholm koré zodpovedajú základným farbám (pgmenom) daného zaradena Napr nemôžeme na monor vyrobť vac červenú farbu ako je základný červený bod monora (korý sa zobrazí do vrcholu rojuholníka) aj keď s akú farbu veme predsavť a v reálnom svee ju môžeme regsrovať(resp nachádza sa v reálnom spekre)

26 a) b) Obr 6 Chromacký dagram v CIE kolormerckej súsave a) Správne nerpreovaný b) nesprávne nerpreovaný: všeky zobrazené farby musa byť vo vnúr vyznačeného rojuholníka (rom vrcholy rojuholníka by mal mať najvac červenú najvac zelenú a najvac modrú farbu dosahueľnú daným výsupným zaradením) Farby koré sú v chromackom dagrame mmo rojuholník ne sme schopní v skuočnos zobrazť hoc v prírode ch dokážeme vdeť To znamená že pre dané konkréne výsupné zaradene sú čsé farby e koré vora hrancu rojuholníka základných fareb oho zaradena (a chromackým dagramom daného zaradena môžeme nazývať práve eno rojuholník) ak o budeme chápať v ďalšom exe ravdaže čaeľov príde na myseľ pochybnosť z bežného žvoa máme akú skúsenosť že dnešné monory ale osané výsupné zaradena sú schopné verne zobrazovať farby (a reklama nás usťuje pravdaže nesprávne!!! že najnovše monory zobrazujú všeky farby) To je práve preo že základné farby vora rojuholník korý pokrýva veľkú časť chromackého dagramu a preo pre bežný žvo nám vlasne nezobrazeľné farby an veľm nechýbajú Ale na pochopene problému je možné vykonať nasledujúc expermen z oblas chuťových vnemov: na krabčke sacharínu sa dočíae že je zhruba -krá sladší ako bežný cukor Tým síce získae nejakú predsavu ako as je sacharín sladký (j môžee o nejako dokonca grafcky zobrazť oo je v prípade fareb chromacký dagram) ale skuočnú jeho sladkosť môžee vnímať len jeho ochunaním Ochunaním cukru v žadnom prípade ne! (Cukor v omo konexe predsavuje základný pgmen nášho výsupného zaradena Teraz keď už veme aký formalzmus sa používa pre vyjadrene farebnos (farebný odeň a sýosť resp čsoa farby) pozrme sa na mechanzmus korý nám dovolí zahrnúť aj reí arbú nenzu 5 RGB model Vyššeuvedené farby ABC nerpreujme ako bázové vekory D presoru A () B() C() Všeky dosahnueľné farby sa dajú vyjadrť v vare

27 kde X aa bb a b c cc Ako sme uvedl vyšše ako defnovaná oblasť vorí jednokový kváder Keďže za bázové farby sa vyberajú červená zelená a modrá nameso všeobecného označena ABC abc sa zaužívalo RGB rgb (RRed GGreen BBlue) RGB model je základným modelom pre formálne spracovávane fareb počíačom Každý z farebných kanálov sa uvažuje ako nezávslý Vrcholy sa zvyknú označovať ako KblacK RRed YYellow GGreen CCyan BBlue MMagena WWhe Obr 7 a) Na elesovej uhloprečke KW sú šedé odene Farby na uzavreej lneárne lomenej čare RYGCBMR (všmne s že je presorová!) sú čsé farby pre dané výsupné zaradene j práve e koré sú v chromackom dagrame výsupného zaradena na hranc rojuholníka reo v skuočnos nemožno vložť chromacký dagram výsupného zaradena do jeho RGB modelu ak jednoducho ako by čaeľ očakával z Obr 5 A práve preo sa konšruujú nasledujúce modely 5 HSL model Hue (odeň) Sauraon (čsoa) Lghness (sveelnosť) Transformácu RGB modelu do modelu HSL s môžeme predsavť nasledujúcm spôsobom: budeme deformovať RGB kocku ak že vrcholy R Y G C B M vorace presorový 6- uholník presuneme do jednej rovny a vrchol W umesnme symercky (podľa ejo rovny) k vrcholu K Výsledkom je 6-boký dvojhlan s vrcholm W a K Obr 7 b) Záverečnou deformácou zmeníme eno dvojhlan na dvojkužeľ Obr 7 c) 5 HSV model Vyšše vyvorený dvojkužeľ budeme ďalej deformovať ak že bely vrchol W vlačíme do rovny vrcholov RYGCBM do sredu podsavy Obr 7 d) a) b) c) d) Obr 7 Schémacké porovnane modelov a) RGB b)c) HSL d) HSV Umesníme ako vyvorený kužeľ s polomerom podsavy r a výškou h do cylndrckej súsavy r φ z ak aby vrchol kužeľa bol v bode ( ) a os kužeľa bola oožná s osou " z " poom pre bod Q (Obr 8) získame hodnoy farebných charakersík φ H (Hue - farebný odeň) r / z S (Sauraon - sýosť) z V (Value - nenza)

28 Obr 8 Geomercké vyjadrene farebných charakersík modelu HSV Oba modely HSL a HSV sú prrodzenejše pre pre ľudské vnímane ako RGB prčom očvdne HSL je blžší modelu RGB kým HSV model je blžší fyzkálnej podsae chromackému dagramu Napr L - lghness vyjadruje symeru belej a černej pr mešaní farebných pgmenov: z červenej vyrobíme ružovú prdaním beleho pgmenu Tmavočervenú naopak prdaním černeho pgmenu reo je z hľadska echnológí mešana fareb HSL model prrodzený HSV model vac vyshuje fyzkálnu podsau: horzonálny rez kužeľom dáva vlasne chromacký dagram zaradena pre fxovaný supeň nenzy žarena (ravdaže deformovaním sme zmenl rojuholník na kružncu) Z ďalších farebných modelov soja za zmenku sysémy koré pracujú zároveň vo farebnom černo-belom režme re prevod fareb na adekvánu škálu šedých odeňov ak aby výsledok zosal prrodzený je používaný emprcký vzťah ( 5) Y R 578 G B ozor y zo vzťahu ( ) a Y zo vzťahu ( 5) nesúvsa! Napr pr prenose TV sgnálu z dôvodu spänej kompably ČB príjmačov na farebný sgnál ne je prame používane RGB modelu vhodné reo jedna z prenášaných zložek je oožná s uvedenou zložkou Y v () Napr podľa normy AL sa farebný sgnál prenáša v zložkách YUV: Y 587 R ( 6) U 8 7 G V B Exsujú ďalše modely pre podobné účely (SECAM NTSC YCBCR) Spoločným pre nch je práve prenos zložky Y

29 Na záver kráke zhrnue: Exsujú dva základné mechanzmy pre mešane fareb adívny a subrakívny Formalzmus farebného vdena popsujú Grassmannove zákony Na jednoznačné určene farby porebujeme r hodnoy Chromacký dagram formalzuje dve zložky farebného vnímana ľudského oka čsou farby a farebný ón Farebné modely zjednodušujú mechanzmus mešana fareb A eše nekoľko konrolných oázok: Čo znamená lneárna závslosť fareb (ukáže v chromackom dagrame rojcu akých fareb z korých sa nedá namešať ľubovoľná farba) Akú hodnou y v ( 5) má žlá farba maxmálnej nenzy (jasu)? Aký musí byť vzájomný pomer nenzí červenej a modrej farby aby sa v Č/B zobrazení javl rovnako? V MS-wndows-ovských aplkácách nájdee pre prácu s farbam grafcký násroj z Obr prezenovaný ako HSL model Ako by se našl vzťah medz ním a HSL modelom vysveleným v exe? Obr HSL model v MS-wndows-ovských aplkácách

30 Spracovane rasrového obrazu Medz ypcké úlohy spracovana rasrového obrazu para zmena nenzí jednolvých farebných zložek odsránene nežadúcch náhodných chýb - šumu polačene nežadúcej "schodovos" použého vzorkovana kompresa obrazu S akým úloham sa sreávame čoraz časejše keďže zaradena produkujúce rasrové obrazy (dgálne fooaparáy a scannery) sú čím ďalej ým vac dosupné: nezredka auomacká expozíca fooaparáu nezvládne naše požadavky najmä v exrémnych sveelných podmenkach () pr záchrane sarých foografí sa spravdla nevyhneme nunos odsránť dôsledky poškodena č ušpnena () veľké dáové súbory sú pre manpulácu (napr elekroncký spôsob poselana) nevhodné () V ejo kapole sa zmenme o meódach podobných gamma-korekc koré porebujeme pre úlohy ypu ukážeme prncípy jednej veľm dôležej maemackej operáce konvolúce korá nám pomôže rešť úlohy ypu a Tež s vysvelíme nekoré posupy využívané pr kompres rasrových obrázkov úloha ypu K rešenu ýcho úloh môžeme používať prame meódy j aké že vsupný obraz sa úpravam mení bezprosredne na výsupný obraz alebo neprame meódy keď k obrazu vyvoríme určú charakersku ú zmeníme a na základe oho vyvoríme ransformovaný obraz Z mnulej kapoly veme že na jednoznačné určene farby porebujeme r hodnoy Keď budeme uvažovať napr RGB model obraz môžeme rozložť na r monochromacké obrazy a každý farebný kanál spracovávať zvlášť reo úplne sačí keď dey koré sú v pozadí meód na spracovane obrazu vysvelíme na achromackých obrázkoch j akých koré používajú len škálu šedých odeňov Rasrový obraz sa vyznačuje ým že je v ňom obsahnuá dvojaká dskrezáca: presorová dskrezáca vzorkovane j rozklad plochy na pxely jasová dskrezáca kvanovane j dskrezáca oboru hodnô obrazovej funkce Ľudské oko je schopné rozlíšť zhruba supňov šed prčom veľakrá menša škála sačí k omu aby prechody medz jednolvým supňam sme vnímal spoje skúse s o overť pr nasavení rôznych farebných pale Kvanovane o je práve určene poču supňov šed koré v obrázku vyžadujeme Z maemackého hľadska je rasrový obraz (obrazová funkca) po časach konšanná funkca dvoch premenných prčom oblas konšannej hodnoy sú z oboch srán obmedzené (z jednej srany veľkosťou pxelu z druhej srany veľkosťou obrazu) Dskrezáca vede k určému nesúladu reálnej predlohy a výsledného rasrového obrázku alasng Spravdla sa pod alasngom rozume chyba vzorkovana

31 rama zmena škály nenzy V ejo meóde de o bezprosrednú zmenu oboru hodnô obrazovej funkce meníme eda kvanovane To znamená že hodnou nenzy každého pxelu zameníme novou hodnoou podľa vopred zvoleného pravdla Sem parí gamma korekca meóda korá polačuje nežadúc efek lnearzáce nenzy (korý je spôsobený rozdelom logarmckej škály vnímana a lneárnej škály emuláce nenzy) Obr b) a) b) c) d) Obr Zmena nenzy: a) orgnál b) výrazné zosvelene mavších šedých odeňov (gamma korekca číselná hodnoa gamma vyjadruje meru odchýlena danej krvky) c) výrazné zosvelene svelejších šedých odeňov d) auomacké vyvážene šedých odeňov (spracované pomocou Corel HOTO-AINT v) V grafoch je na horzonálnej os vynášaná pôvodná hodnoa nenzy na verkálnej os nová hodnoa nenzy Táo meóda býva v určej forme mplemenovaná spravdla do každého bežného SW pre spracovane obrázkov Funkce pre zmenu nenzy bývajú preddefnované prípadne nerakívne modfkovaeľné Konvolučné meódy Konvolúca parí medz veľm dôležý násroj používaný pr spracovávaní obrazu Ukážeme s jeho využe pre rešene roch rozdelnych problémov: polačene kosrbaos rasrovej reprezenáce j an-alasng polačene šumu v rasrových obrazoch nájdene hrance oblas

32 Konvolúcu s môžeme predsavť ako pohľad cez okenko korým sa na rasrovú mrežku pozeráme xelu korý je uprosred okenka prradíme armecký premer hodnô všekých pxelov koré cez okenko vdíme re najjednoduchší prípad okno veľkos x pxely o formálne zapsujeme ako: F( x y) aj f ( x y j) j oužíva sa vac skraková symbolka kde a F ( x y) ( a f )( x y) a je konvolučná maska f(xy) je pôvodná hodnoa pxelu so súradncam (ndexam) xy Operáca sa nazýva konvolúca rosý armecký premer znamená že všeky pxely okenka považujeme za rovnocenné V skuočnos však nekoré pxely majú spoločnú celú hranu nekoré len jeden vrchol Teda mera ch vzájomnej blízkos je rôzna reo pre zachyene rôznej mery susednos a ým pre vyjadrene rôznej mery vplyvu pxelov z okola na hodnou obrazovej funkce v danom bode (xy) sa časo používa konvolučná maska a 6 j nameso prosého premeru sa používa vážený premer hodnô z okola Takéo premerovane má za následok že veľké rozdely hodnô susedných pxelov sa zmenšujú čím sa zmenšuje efek kosrbaos rasrového obrazu S polačením chyby vzorkovana eo meódy zároveň polačujú náhodný šum v obraze Vskuku napr na černom pozadí ( x y) ( x y) 6 f n f bude mať zolovaný bely pxel s hodnoou po aplkovaní prosého premerovana hodnou x y Je ale pravdou že f ou ( ) 7 plocha zolovaného bodu sa po premerovaní zväčší hodnou 7 budú mať bezprosrední suseda pxelu (xy) Aplkuje konvolučnú meódu prosého premerovana s maskam rôznych veľkosí napr x 5x5 a meódu váženého premerovana s maskou x na obrázok so vsupnou škálou nenzí

33 Obr Jednoduchá predloha rasrového obrázku Konvolúca je defnovaná len na vnúorné pxely obrázku Hrančné pxely je možné najjednoduchše ošerť ak že pôvodný obraz rozšírme z každej srany o jeden pxel jednoduchým prekopírovaním hodnô pôvodnej hrance a konvolúcu aplkujeme na vnúorné pxely ako vznknuého obrázku Čo sa sane s rozhraním hodnô a? Ako budú jednolvé masky reagovať na náhodný šum dodaný do obrázku? Vac o ejo problemake čaeľ nájde napr v knhe [Ferko] Deekca hrán V konexe konvolučných meód sojí za zmenku meóda korá vo svojej podsae parí do nej veľm dôležej oblas úlohy rozpoznávana obrazu Deekovaním hrán sme ož schopn vyseparovať z rasrového obrazu vekorový objek Ako bolo v úvode povedané rasrová reprezenáca nemôže úplne nahradť reprezenácu vekorovú S rozšrovaním použa scannerov dgálnych kamer a dgálnych fooaparáov j rasrových vsupných zaradení úloha rozpoznávana obrazu j jeho prevod z rasrovej do vekorovej formy sa sáva veľm rozšírenou v rôznych oblasach redpokladajme že oblas sa vyznačujú emer konšannou hodnoou svojej farby j rozdel hodnô susedných pxelov bude malý Naopak rozdel hodno susedných pxelov na hranc oblas bude veľký Vdíme ak že rozdel dobre ndkuje hrancu oblas re výpoče rozdelu je vhodné uvažovať všeky možné smery Najjednoduchša forma rozdelových konvolučných masek R h R v R d R d vede k charakerske zvanej Robersov operáor korý má var: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x f R y x f R y x f R y x f R y x R d d h v kde d d h v R R R R Aplkuje Robersov operáor na vyššeuvedený príklad

34 Vac o ejo problemake čaeľ nájde napr v knhe [Ferko] Bezsraová komprmáca Základný spôsob reprezenáce rasrového obrazu je sekvenčný záps hodnô jednolvých pxelov rčom buď uchovávame každú farebnú zložku pre každý pxel osobne (j pre každý pxel uchovávame r číselné hodnoy) alebo vyvoríme paleu fareb j každej použej farbe prradíme jej ndex a pre každý pxel uchovávame len eno ndex Teno prípad pravdaže vyžaduje pre každý obraz uchovávať nekde nformácu o použej palee Skúse sa zamysleť nad ým za akých podmenok bude pamäťovo výhodnejše použť prvý a kedy druhý spôsob V ďalších úvahách pre jednoduchosť predpokladáme že obraz je reprezenovaný pomocou paley j jednou číselnou hodnoou pre každý pxel Takúo reprezenácu budeme nazývať základnou reprezenácou Keďže nároky na pamäť pr reprezenác sú pomerne vysoké (napr pr použí Bye na pxel porebujeme pre obrázok s rozlíšením x pxelov MB pamä) je snaha o používane úspornejších spôsobov ako je základná reprezenáca komprmačné meódy oužívajú sa jednak všeobecné komprmačné meódy použeľné pre ľubovoľnú nformácu jednak meódy vyslovene grafcké Základná vlasnosť všeobecných komprmačných meód spočíva v bezsraovos komprmovana j že pr komprmác odsraňujeme len ú časť nformáce korá je v kódovanej sekvenc nejakým spôsobom vacnásobne uložená r spänej rekonšrukc dosávame dáa dencké s orgnálom Napr Huffmanovo kódovane využíva nerovnomernú dĺžku bového kódu pre každý znak prčom znaky s najväčším výskyom majú najkraší bový kód a naopak Dá sa prom zosrojť aké kódovane že bový kód žadneho znaku ne je zároveň predponou bového kódu ného znaku čo dovoľuje jednoznačné dekódovane bez použa oddeľovača Táo vlasnosť sa volá prefxnosť kódu Hlavná myšlenka LZW kódovana (Lempel-Zv-Welch) spočíva v om že každé opakovane slova v dáovej sekvenc je nahradené denfkáorom daného slova rom prvý výsky je vo výsupnej sekvenc nekomprmovaný - vedy mu prradzujeme denfkáor Tako dynamcky generovaný slovník denfkáorov ne je nuné uchovávať Slovník sa generuje podobne aj pr dekompres Teno spôsob je použý u šandardného komprmovana ypu zp Blžše s popíšeme veľm rozšírenú komprmačnú meódu korá je vyslovene grafcká RLE (Run Lengh Encodng) je bezsraová meóda korá vychádza z predpokladu že v obrázku sú spravdla vždy väčše plochy ako jeden pxel koré sú jednej farby oom napr nameso posupnos hodnô pxelov je výhodnejše použť záps

35 5 j obrázok je kódovaný dvojcam čísel: poče farba Kompresný pomer (čže pomer veľkosí súboru pred a po komprmác) závsí na smere načíavana dá: spravdla sa používa načíavane po radkoch resp po sĺpcoch Avšak ne vždy musí vesť áo meóda ku komprmác Skúse nájsť príklad keď výsledok komprmáce bude horší ako nekomprmovaná predloha RLE kompresa sa uplaňuje napr pr formáoch gf ff bmp 5 Komprmáca so sraou re grafcké aplkáce je možné používať sraové komprese j aký spôsob uchovana pôvodného obrazu pr korom jeho rekonšrukca z komprmovaného kódu ne je oožná s orgnálom V prax sa ukazuje že napr znížene kvaly obrazu na 75% je vo väčšne prípadov nepozorovaeľné prom možno dosahnuť kompresné pomery až 5 : Násroj pre kreslene MS anbrush používa formá *BM v základnej forme j základnú reprezenácu bez komprmácí Vygeneruje obrázok a posupne ho uchovávaje (režm Ulož jako) s rôznou škálou použej paley Zredukovaním použej paley môžeme výrazne skomprmovať základnú reprezenácu Rozumným zredukovaním použej paley môžeme napr vyrobť varany komprese RLE so sraou redým než s vysvelíme ako funguje meóda korá je základom dnes veľm časo používaného formáu JEG musíme aspoň rochu ozrejmť nuný maemacký apará 5 Trochu vysokej maemaky To čo s budeme chceť vysvelť je vyjadrene jednej funkce pomocou posupnosí ných z určého hľadska jednoduchších funkcí rom sa obmedzíme na bodové jednorozmerné funkce redsavme s ož jeden radok rasrového obrazu kde na os x je ndex príslušného pxelu a na os y vynášame hodnou nenzy jasu daného pxelu Dosaneme ak bodovú funkcu j funkcu defnovanú v zolovaných bodoch V pozadí ýcho meód je prísup korý je možné lusrovať geomercky: každý n rozmerný r r vekor sa dá vyjadrť ako lneárna kombnáca bázových prvkov (vekorov) e r r r ( ) x a e a n en e n kde a sú projekce vekora na príslušné bázové prvky zložky vekora odobným spôsobom sa dá pracovať aj s funkcam Napr hodnoy funkce sn x sa dajú vypočíať pomocou mocnnového radu (Taylorov rozvoj):

36 5 x x ( ) sn x x L 5 Z hľadska vyššeuvedeného o môžeme nerpreovať ak že máme bázové prvky funkce v x v x x v x x v x x n ( ) ( ) ( ) ( ) L ( ) L n zložky ( a a L a L) L n! 5! 7! a vzťah ( ) je vlasne vyjadrením funkce sn x pomocou bázy ( ) analogcky vyjadrenu ( ) len nameso konečnej sumy máme sumu nekonečnú: ( x) a v ( x) L a v ( ) L sn x a v x Je užočné s uvedomť že ak o vlasne vypočíavajú počíače prčom sa využíva vlasnosť konvergence radu ( ) j samozrejme nameso nekonečného radu sa spočía rad konečný Dá sa dokázať že pre dobré funkce (kam para naše bodové funkce) je vhodnejše nekedy používať nameso ( ) nú sadu bázových funkcí Napr ( ) u ( x ) u ( x) cosπ x u ( x) cosπx L u ( x) cos( nπ ) L n x n n kde x sa nazýva Fourerova cosínusová báza Teo bázové funkce majú charaker vĺn rôznych frekvencí preo záps ( 5) f ( x) a u ( x) lm a u ( x) sa nekedy nazýva rozklad na spekrum j j n j j Keďže frekvence bázových funkcí sa mena skokom používa sa ež označene dskréna Fourerova ransformáca s bázou ( ) Odpoveď na oázku prečo je vhodná práve báza ( ) ako všeobecná formuláca podmenok koré funkca f(x) musí splnť aby lma ( 5) vôbec exsovala je vec veľm nerválna a ďaleko presahuje rámec oho predmeu Záujemc nech sahnu napr po knhe [Kufner] re nás je ale dôležé že na naše bodové funkce vzťah ( 5) aplkovať môžeme V posupnos konečných súčov S n n ( x) a u ( x) j j j n j j

37 s rasúcm n prblžujeme pôvodnú funkcu zachyením čím ďalej ým jemnejších jej dealov Too je podsaou komprmačných meód (nameso zápsu obrazovej funkce bod po bode vyjadrujeme ju prblžne pomocou n bázových funkcí j sačí s pamäať práve n koefcenov a a La n a mera komprese je daná práve počom uvažovaných koefcenov) odsraňovana náhodného bodového šumu Na vyjadrene zolovaného beleho pxelu porebujeme bázové funkce vysokej frekvence j gnorovaním vysokých frekvencí šum elmnujeme (ale bohužaľ môžeme srať jemné dealy koré sú považované za šum ) re obrazové funkce (vďaka konečnej veľkos mnmálneho delena - pxelu) dokonca plaí že na jej presné vyjadrene neporebujeme nekonečnú sumu ( 5) ale sačí nám len konečný poče bázových funkcí (Shannonova vea) [Žára] Vplyv modfkáce spekra ukážeme na jednoduchom príklade re výpočy sa obmedzíme na 8-bodovú obrazovú funkcu (Také obmedzene sa použje preo že napr pr realzác JEG formáu sa analogckým spôsobom D obraz rozdelí na podobrazy 8x8 pxelov a každý eno podobraz sa spracováva zvlášť) V omo prípade uvažujeme bázové funkce ( 6) ( x ) jπ u ( x) u j ( x) cos j L7 6 re výpoče spekra plaa vzťahy a j 7 f x a pre späný výpoče funkce máme vzťahy Napríklad pre funkcu dosávame spekrum f 7 ( x) j ( x) u ( x) a u ( x) j j j x f(x) j a j a časočné súčy sú nasledujúce S n n ( x) a u ( x) n K 7 j j j

38 X S (x) S (x) S (x) - S (x) 7 S (x) 8 S 5 (x) 8 S 6 (x) 8 S 7 (x) 5 Mechanzmus JEG formáu Medz najvýznamnejše dnes používané sraové meódy parí meóda navrhnuá skupnou JEG (Jon hoographc Exper Group) Hlavná myšlenka spočíva vo využí vyššeopísanej dskrénej Fourerovej ransformáce (ale dvojrozmerný varan!) sraovej úprave spekra bezsraovej komprmác upraveného spekra rblížme hlavné myšlenky meódy na -rozmernom príklade z mnulej kapoly Vdíme že S 7 presne rekonšruuje pôvodnú funkcu čo je síce dobré (bezsraovosť) ale samoný rozklad funkce na spekrum sám o sebe eše neprnáša komprmácu: na plné určene funkce porebujeme 8 hodnô; v prípade použého spekra porebujeme ež 8 hodnô odsaný je fak že napr už časočná suma S (na jej generovane porebujeme vedeť ba šyr koefceny a a!) dosaočne dobre aproxmuje pôvodnú funkcu Tu nasáva jednak komprmáca no bohužaľ sraovosť Z abuľky časočných súčov vdíme že s rasúcm ndexom časočnej sumy zlepšuje sa samoný výsledok avšak na druhej srane rasú pamäťové nároky (na výpoče časočnej sumy S porebujeme vedeť koefcenov a a a ) Dvojrozmerný varan funguje podobne: obraz sa rozdelí na podobrazy 8x8 pxelov a na každom z nch sa realzuje D dskréna cosínusová ransformáca s bázou ( 6)Výsledkom sú mace speker veľkos 8x8 a j 7 7 x y f ( x y) u ( x) u ( y) odľa požadavkov na kvalu sa každé spekrum A upravuje počlenným celočíselným aj delením vopred defnovanou macou E j b j n kde maca E je jedna pre celý ej obraz Napr podľa [Žára] pre 75% kvalu obrazu je maca j

39 6 E Tako upravené spekrum B obsahuje nenulové členy len v okolí nízkych frekvencí (okolo ľavého horného prvku) preo pre jeho uchovane sa dá využť napr RLE kódovane po uhloprečke Späná ransformáca je opäť realzovaná podobne ako D prípad: f 7 7 ( x y) a u ( x) u ( y) x y odrobnejší pops nájde záujemca v [Žára] re lusrácu uvedeme príklad spracovana pr 75% kvale komprmovaného obrazu pôvodný obrázok: spekrum A ( a j ) A j j uchovávané spekrum B (b j ) rekonšruované spekrum aj kde b j n A ( a ) j a j ej bj ej 8 7 B A

40 rekonšruovaný obraz rozdel pôvodného a výsledného obrázku Obr Grafcká reprezenáca pôvodného a rekonšruovaného obrázku Záporné hodnoy v rekonšruovanom obraze sú nahradené nulou hodnoy väčše ako 6 sú nahradené hodnoou 6 Na záver ejo náročnej kapoly príde vhod zhrnue Medz dôležé úlohy spracovana obrazu para: zmena nenzí jednolvých farebných zložek odsránene nežadúcch náhodných chýb - šumu polačene nežadúcej "schodovos" použého vzorkovana kompresa obrazu Významnú úlohu hrajú konvolučné meódy koré dokážu elmnovať šum polačť schodovosť konúr korá je spôsobená raserzácou Najvac presoru sme venoval meódam založeným na myšlenke rozkladu obrazovej funkce na bázové funkce Teo prísupy dovoľujú elmnovať šum korý sa nachádza v obraze významným spôsobom komprmovať grafckú nformácu

41 o zvládnuí rasrových problémov prejdeme eraz k problemake prevodu vekorovej grafckej nformáce na rasrovú Dôležosť oho kroku je daná ým že základné výsupné zaradena sú rasrového ypu preo pr prác s vekorovou grafkou v každom prípade musíme proces raserzáce podsúpť Rýchly algormus raserzáce krvek Úsečka je as najčasejše sa vyskyujúc objek v počíačovej grafke Jej dôležosť spočíva v om že posupnosťou úseček ( )( ) K ( ) kde ( x y ) m m j lneárne lomenou čarou môžeme pr vhodnom výbere bodov dosaočne dobre aproxmovať ľubovoľnú spojú krvku Významným je o že úsečka je vlasne grafcká reprezenáca lneárnej nerpoláce najjednoduchšeho a prom veľm účnného spôsobu prenosu hodnô z zolovaných uzlov do ch okola Keďže dnes bežné výsupné zaradena sú rasrové nevyhneme sa operác keď úsečku musíme ransformovať z vekorovej reprezenáce do rasrovej V kap sme sa srel s úsečkou z pohľadu algebrackého j ako s množnou vážených premerov krajných bodov Vzhľadom na veľm časý výsky úsečky je užočné ukázať eno jednoduchý geomercký objek z pohľadu nformackého j z pohľadu efekvy algormckej realzáce r rešení oázky efekvy s musíme uvedomť koré operáce sú lacné a koré ne Skúse sa zamysleť nad ým ako by se zsťoval náročnosť jednolvých elemenárnych operácí V nasledujúcom exe budeme predpokladať že operáce v celočíselnej armeke sú jednoduchše ako operáce v reálnej armeke z armeckých operácí je najnáročnejše delene operáca porovnana je jednoduchá r rasrovej reprezenác porebujeme nájsť e uzly rasrovej mrežky koré sú najblžše skuočným bodom zobrazovanej úsečky Vychádzame z predpokladu že úsečka je daná svojm krajným bodm Z ( x Z y Z ) K ( x K y K ) a že hodnoy súradníc sú celočíselné Budeme používať vyjadrene úsečky v vare kde y Ax B resp Ax B y yk yz A B y Z Ax Z x Z x x K x x K Z Je dosaočné obmedzť sa na prípady keď xz < xk A < preože

42 sngulárne x Z x K resp y Z y K sa reša rválne prípad x Z > x K prevedeme na požadovaný prehodením krajných bodov v prípade A > použjeme záps v vare B x y Cy D kde C < A A a vo výslednom algorme vzájomne zameníme x a y Jednoduchý algormus s reálnou armekou DDA Budeme vypočíavať uzly rasrovej mrežky koré reprezenujú úsečku re hodnoy dosávame x x x Z x x n x K Keďže dvojce A y y y Ax B AX A B y A Z ne je celočíselné (vď vyššeuvedený predpoklad) rasrovú reprezenácu vora ( x n( y )) n Z uvedeného vdíme že podsaným rysom výpoču (v leraúre sa uvádza pod názvom DDA j Dgal Dfferenal Analyzer) je použe reálnej armeky (výpoče hodnoy y ) nunosť použa delena reálných čísel (výpoče hodnoy A ) Zdrojový kód algormu možno vyjadrť napr ako: h*(xk-xz); hh-*(yk-yz); hh-(yk-yz); A(yk-yz)/(xk-xz); yyz; for (xxz; x<xk; xx) { uxel(xin(y)); yya; } kde procedúra uxel(xy) vykresľuje bod na pozíc (xy) Operáce v reálnej armeke sú však v porovnaní s armekou celočíselnou spravdla podsane pomalše a môžu byť zdrojom nepresnos (zaokrúhľovaca chyba) reo algormy využívajúce len celočíselnú armeku (am kde je o pravdaže možné) môžeme považovať

43 za kvalnejše Takže aj keď z pohľadu formulovana je uvedený algormus jednoduchý z pohľadu výpočovej zložos o ak ne je Ukážeme že exsuje algormus korý využíva ba celočíselnú armeku a z hľadska náročnos realzovaných výpočov je podsane lepší Celočíselný (Bresenhamov) algormus Hlavnou myšlenkou oho ako sa zbavť reálnej armeky je nasledujúca: Keď máme pramku v vare y Ax B znamená o že výraz φ ( ) φ( x y) Ax B y klasfkuje body rovny ( x y) do roch red: ( ) < ( ) ( ) > φ je nad pramkou φ je na pramke φ je pod pramkou Úsečku určujú jej krajné body ( x y ) ( x y ) hodnoy A y y K Z B yz AxZ xk xz Z koefceny A B majú preo Z Z re zvolenú hodnou x pre korú xz x xk hľadáme akú dvojcu bodov rasrovej mrežky ( x y) ( x y ) že φ ( ) a zároveň φ ( ) Tako nájdený bod budeme považovať za bod rasrovej reprezenáce úsečky Keďže súradnce krajných bodov môžeme uvažovať celočíselné (de o body rasrovej a b mrežky) koefceny AB sú raconálne čísla A B kde abc sú celé a c c c x K xz Nameso reálneho výrazu φ ( ) u korého nás zaujíma len znamenko ak môžeme vyhodnocovať celočíselný výraz ψ ( ) c( Ax B y) ( x x ) φ( ) K Z Nasleduje dealné odvodene algormu korý okrem oho že používa len celočíselnú armeku mnmalzuje poče armeckých operácí To sa dosahuje ým že ψ sa vypočíava rekurenne vyhodnocovaný výraz ( ) K K K

44 redpokladajme že máme uzol rasru ( x y ) analyzovanej úsečky Takým bodom je napr ( x y ) korý parí do rasrovej reprezenáce Z Z Z Obmedzíme sa na prípad ( ) xz < xk yz < yk yk yz < xk xz j na úsečky so sklonom menším ako 5 re bod dosávame nasledujúce dve možnos: { } ' '' ( ) ( x y ) { } ( x y ) ( x y ) Ináč povedané plaí: x { y y } x y re rozhodnue o om korá z uvedených alernaív v( ) nasane budeme sa snažť nájsť čo najjednoduchše krérum oužjeme mplcný var pramky Ax B y Výraz ( ) φ ( ) φ( x y) Ax B y klasfkuje body rovny do roch red: ( ) < ( ) ( ) φ je nad pramkou φ je na pramke ( ) > φ je pod pramkou ' '' Využjeme nasledujúcu úvahu: Vezmme sred Q úsečky ( ): Q ' '' y x a analyzujme do krorej z red ( ) bod nasledujúce rozhodovace krérum: Q parí Na základe obr 5 má zmysel ( 5) φ φ ( Q ) < y y ( Q ) y y

45 Obr ríklad kroku pre korý φ ( Q ) > Vzhľadom na ( ) o znamená že bod Q je pod pramkou j bod je k pramke blžše ako bod reo v omo prípade určíme y y re výpoče charakersky q φ ( Q ) odvodíme rekurenný vzťah: (keďže je z pramky φ ( ) ) Všeobecne pre dosadíme do ( ): Q ( 6) q ( Q ) Formálnym prepísaním vzťahu ( 6) pre ( ) q φ ( Q ) φ x y Ax B y A x B y Ax B y A φ ( ) A A ( ) φ φ x y Ax B y Odčíaním posledných dvoch vzťahov dosaneme q q A y y -vý krok máme q Ax B y Ax A B y ( ) Charakersky q ak môžeme vypočíať posupne: ( 7) q A q q A ( y y ) Využím vzťahu ( 5) v ( 7) dosaneme

46 q A ( 8) q q Keďže A ( y y ) ( x x ) > y y q q A y y q q A K Z / K Z schéma ( 8) pracuje v reálnej armeke reo až doeraz áo meóda v porovnaní s DDA nedáva žadne výhody (ba naopak je eše zložejša)! oužé krérum je však zbyočne zložé: hodnou č charakerska q zbavť delena q y ož určujeme len na základe oho je kladná resp záporná Z oho dôvodu sa snažíme pr výpoče hodnoy dosadíme v ( 8) za A ( y K y Z )/( x K x Z ) vynásobíme všeky vzťahy v ( 8) hodnou ( x K x Z ) použjeme subsúcu h ( x x ) q K Z Realzované operáce sú korekné preože podľa náško predpokladu ( ) x K x > Dosávame ak výslednú schému korá používa len celočíselnú armeku: x x Z y y Z h x x ( y y ) ( x x ) ( ) h y y h h ( y y ) h K Z K Z K Z ( yk yz ) ( xk xz > y h h y ) Z Ako bolo uvedené v predpoklade ( ) schéma ( ) pracuje pre úsečky so sklonom menším ako 5 Osané prípady sa reša jednoduchou modfkácou uvedenej schémy Napr pre x Z < x y < y K Z K x K x Z < y K y Z dosaneme x x Z y y Z h y y ( x x ) ( y y ) ( ) h x x h h ( x x ) h K Z K Z K Z ( x K x Z ) ( y K y Z > x h h x ) Vdíme že cesa k výslednému algormu síce nebola aká pramočara ako v prípade DDA ale odmenou je mplemenačne nenáročná procedúra korá využíva len celočíselnú armeku:

47 hodnou x zväčšujeme v každom kroku o jednoku k pomocnej charakerske h prpočíavame buď jednu alebo druhú konšanu v závslos na znamenku akuálnej hodnoy h hodnou y nemeníme alebo zmeníme o jednoku v závslos na znamenku akuálnej hodnoy h re prípad ( ) zdrojový ex vyzerá nasledujúco: h*(xk-xz); hh-*(yk-yz); hh-(yk-yz); for (xxz; x<xk; xx) { f (h>) {yz; hh;} else hh; uxel(xyz); } Túo meódu v leraúre nájdee pod názvom Bresenhamov algormus re svoju jednoduchosť je mplemenovaná hardverovo v grafckých karách čo eše zvyšuje výslednú rýchlosť realzáce Raserzáca kužeľoseček Vznká zákone oázka č neexsuje prama analóga Bresenhamovho algormu pre zložejše krvky alebo č ch musíme realzovať v vare lneárne lomenej čary ak ako bolo spomínané v úvode ejo kapoly? odobným prísupom ako je opísaný vyšše pre elpcký oblúk x a b y dosaneme schému: x y b h a b x x ( ) y y h h b ( x ) h a b y y h h b ( x ) 8a ( y ) h > Skúse odvodť sam rom posupuje ak so ako v prípade úsečky akurá nameso vyhodnocovana výrazu ( ) je enokrá nuné vyhodnocovať výraz φ ( ) φ( x y) b x a y a b generovane začíname v bode Z (b) podmenka obmedzeného sklonu má var x x y { y y } odmenka obmedzeného sklonu však vede k omu že schéma ( ) je použeľná len pre o ú časť elpsy korá má sklon doyčnce menší ako 5 j pre

48 a x ( a b ) a Na úseku x a musíme použť symerckú schému (podobne ako u úsečky ( a b ) vzťah medz schémam ( ) a ( ) ) Obr Bod v korom musíme prejsť od schémy ( ) k symerckej Analýza oho kde pre danú krvku používame schému ypu x x y { y y d} a kde ypu y y x { x x d} d { } môže byť u obecnejších krvek naoľko zložá že celková efekva ako koncpovaného algormu sa sráca reo všeobecnejša krvka sa generuje ne pramou raserzácou ale ak ako bolo uvedené na začaku kapoly ako lneárne lomená čara určená dosaočne veľkou množnou bodov krvky

49 5 Krvky v počíačovej grafke V mnulej kapole sme ukázal ako vyrobť úsečku A uvedl sme akež že všeobecná krvka sa v konečnom dôsledku realzuje ak že vygenerujeme dosaočne reprezenaívnu množnu bodov krvky a e spojíme lneárne lomenou čarou Teraz sa budeme venovať práve vygenerovanu reprezenaívnej množny bodov požadovanej krvky Generovane krvek je problemaka veľm dôležá Dá sa povedať že vorí základ CAD sysémov (Compuer Aded Desgn) Ich rozvoj bol smulovaný porebam hlavne srojárenského premyslu ráve vývoj CAD sysémov bol jedným z hlavných fakorov rýchleho vývoja počíačovej grafky Hlavné myšlenky sú z 5-6 rokov soroča a možno povedať že podsaným spôsobom zmenl prácu konšrukérov a návrhárov V dnešnej dobe CAD/CAM (Compuer Aded Machnery) sysémy prenkl prakcky do všekých premyselných odveví S krvkam sa sreneme v geografckých nformačných sysémoch (GIS) krvky sú napr základom pre generovane písmenných fonov exových edorov a DT sysémov (Desk Top ublshng) 5 Maemacký formalzmus generovana krvek Východskom pr generovaní krvek je maemacké vyjadrene používajúce paramercký var ( 5) ) f ( ) f ( ) L f n ( ) n ( kde n sú konrolné body body koré zadáva užívaeľ Z užívaeľského hľadska je dôležé aby korolných bodov nebolo veľa a aby ch vplyv na výsledný var krvky bol ľahko predsaveľný je parameer u korého spravdla plaí (a v nam uvažovaných prípadoch je o výslovne ak) odľa oho aké množsvo rôznych hodnô budeme uvažovať akú veľkú výslednú množnu bodov krvky dosaneme f (x) f (x) f n (x) sú určujúce funkce Kým konrolné body majú zásadný vplyv na var konkrénej realzáce krvky určujúce funkce defnujú všeobecné vlasnos danej redy krvek Vyjadrene ( 5) dáva predps pre výpoče každej súradnce j x ) f ( ) x f ( ) x L f ( ) ( ( ) f ( ) y f( ) y n x n y L f ( ) n y n a v prípade -rozmerných krvek eše z ) f ( ) z f ( ) z L f ( ) ( n z n Geomercký význam derváce funkce je smernca doyčnce V nam použej formalzác je derváca určená dervácam určujúcch funkcí

50 L ) ( ) f ( ) f ( ) f n ( n a má podobný význam určuje smerový vekor krvky v bode () 5 Bézerove krvky V prax sú veľm populárne Bézerove krvky Defnujú ch nasledujúce určujúce funkce: ( 5) n f ( ) ( ) n Väčšnou sa používajú Bézerove krvky do supňa my sa obmedzíme na eo prípady rečo je o ak pokúsme sa vysvelť v nasledujúcch radkoch odrobnejše nformáce o danej problemake nájde čaeľ napr v [Kolcun] V prípade Bézerovych krvek supňa (n) porebujeme dva radace body Z ( 5) dosávame určujúce funkce: f ) ( ) f ( ) ( Dosadením do ( 5) ak vdíme že Bézerova krvka supňa je úsečka V prípade Bézerovych krvek supňa porebujeme r radace body a určujúce funkce sú: f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) Dosadením krajných hodnô pre parameer do ( 5) dosávame () () Smer krvky v bode () je daný prvou dervácou () () f () f () f () -(-) (-) V krajných bodoch ak dosávame () ( - ) () ( - ) Analogcky pre prípad Bézerovych krvek supňa porebujeme šyr radace body Určujúce funkce v omo prípade sú:

51 f ( ) ( ) f( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) re krajné body krvky eraz dosávame () () Smer krvky v krajných bodoch je ( 5) () ( - ) () ( - ) Všeobecne pre Bézerovu krvku n-ého supňa plaí () () n () n( - ) () n( n - n- ) Z uvedeného vdíme že vplyv radacch bodov na var krvky je ľahko pochopeľný: krajným radacm bodm krvka prechádza bezprosredne susedné radace body určujú smer krvky v koncových bodoch Ďalšou veľm dôležou vlasnosťou Bézerových krvek je že krvka nevychádza mmo konvexný obal svojch radacch bodov Dôkaz vyplýva z oho že určujúce funkce sú nezáporné j f ( ) pre n f ( ) všeky možné vážené premery bodov pr nezáporných váhach vora konvexný obal ýcho bodov Nezápornosť funkcí f ( ) pre je celkom zrejmá Druhý vzťah dosaneme z bnomckej vey: dosadením A(-) B n n ( A B) A B n n Určujúce polynómy ak majú charaker váh jednolvých radacch bodov a výsledný bod () v ( 5) je vlasne váženým premerom radacch bodov Vdíme že kým v prípade Bézerovej krvky supňa zmena radaceho bodu zmení smer krvky v oboch krajných bodoch Obr 5a) ak v prípade Bézerovych krvek od supňa vyšše môžeme smery krvky v koncových bodoch menť vzájomne nezávsle smer v bode

52 nezávsí na bodoch a a podobne smer v bode nezávsí na bodoch a (pozr vzťah ( 5) Obr 5b) ) A oo je dôvod veľm časého používana Bézerovych krvek supňa a mplemenáce oho ypu krvek v grafckých sofvéroch Napr generovane krvek v už spomínanej aplkác MS-an (Malování) je založené na Bézerovych krvkách a supňa a) b) Obr 5 Edovane Bézerovej krvky a supňa V prípade a) (Bézerova krvka supňa) posun radaceho bodu zmení smer krvky v oboch koncových bodoch v prípade b) (Bézerova krvka supňa) posun radaceho bodu zmení smer krvky v koncovom bode ale nezmení smer v bode 5 Spájane bézerovych krvek Keď chceme spojť dve bézerove kubcké krvky určené radacm bodm Q Q Q Q ak aby výsledná krvka bola hladká j aby na spojení nebol osrý roh reba splnť nasledujúce podmenky: Q o zabezpečí že oblúky budú spojené body Q leža na jednej pramke o zabezpečí že spojene bude hladké a) b) Obr 5 a) Nehladké a b) hladké spojene Bézerovych kubckých oblúkov Mnohé grafcké sofvéry podmenku b) auomacky konrolujú 5 Implemenačná efekva Na výpoče bodov Bézerovej krvky je možné ukázať zmysel a dôležosť dsrbuívneho zákona pre urýchlene výpočov

53 r výpoče vnúorných bodov krvky supňa pramo podľa vzorca ( 5) ( 5 ) ) ( ) ( ) ( ) ( by cyklus výpoču ýcho bodov vyzeral as ako: for ( ; <; d) { f(-)*(-)*(-); f*(-)*(-)*; f*(-)**; f**; xf*x f*x f*x f*x; yf*y f*y f*y f*y; zf*z f*z f*z f*z; } j musíme pre každé nájsť šyr polynómy supňa Treba s uvedomť že súradnce radacch bodov sa nemena j vo výpočoch fgurujú ako konšany Roznásobením vzťahu ( 5 ) dosávame ) ( ) ( ) ( ) ( a preskupením jednolvých členov ak že združíme čnele s rovnakým supňom mocnny dosávame výsledný var: ) ( ) ( ) ( ) ( Uvedenému posupu odpovedá nasledujúc macový záps Bézerovej krvky ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ) ( ) ( ) ( f f L Využjúc asocavu násobena maíc dosávame ) ( Q Q Q Q kde ) ( ) ( ) ( Q Q Q Q Vdíme že v omo vare je výpoče podsane jednoduchší: qxx; qx(x-x); qx(x-*xx); qxx-xx-x; qyy; qy(y-y); qy(y-*yy); qyy-yy-y; qzz; qz(z-z); qz(z-*zz); qzz-zz-z; for ( ; <; d) { *; *; xqx qx* qx* qx*; yqy qy* qy* qy*; zqz qz* qz* qz*; }

54 j konšany závsace len od radacch bodov vypočíame ba raz a vo vnúr cyklu sa realzuje podsane menej operácí

55 Ďalše urýchlene sa dá získať rekurenným výpočom hodnô: ( ) ( ) ( ) ( ) d Q d Q d Q Q d Q d dq Q d Q d Q d Q d ) ( ) ( Označac Q d R d Q Q R Q d Q d dq R ) ( ak máme elo cyklu eše jednoduchše: for ( ; <; d) { *; x(rx rx* rx*); y(ry ry* ry*); z(rz rz* rz*); } Uvedená schéma spočívajúca v roznásobení prípadne využí rekurenného vyjadrena hodnô je všeobecne planá pre ný yp krvek (j pre ľubovoľný výber určujúcch funkcí) re Bézerove krvky exsuje eše ďalše podsané zefekívnene celého výpoču schéma de Caseljau [Kolcun] [Žára]

56 6 Algormy orezávana r zobrazovaní objekov časo vznká úloha zobrazť len nejaký deal daného rozsahleho objeku Keď samoné vymedzene presoru odkaľ chceme deal zobrazť nerpreujeme ako určý objem časť celého presoru môžeme akú úlohu formulovať ako nájdene prenku dvoch eles (zobrazovaného objeku a elesa vymedzujúceho požadovaný deal) Budeme skúmať jednoduchú varanu sformulovaného problému j prípad keď objek je úsečka v D a deal je pravoúhlý švoruholník Táo úloha vznká esne pred zápsom do obrazovej pamä: do nej zapsujeme dvojrozmernú projekcu pôvodného objeku a samoná obrazová pamäť sa dá nerpreovať ako pravouhlé okno V ejo kapole uvedeme nekoľko algormov koré eno problém reša Snahou oho je ukázať ako spolu vzájomne súvsa o akým spôsobom zmenené predpoklady zmena výsledné rešene Nevyhnunosť rešť problém orezávana je daná spôsobom výpoču adresy pre každý pxel pr raserzác objeku v scéne Vdeopamäť je vorená súvslou oblasťou pamäťových bunek s adresam adr adr adr adrm adr M V prípade že adresa požadovaného pxelu adr sa dosane mmo uvedený nerval určí sa hodnoa skuočnej adresy ako adr adr mod M čo spôsobí navnue obrazu do obrazovej pamä a) b) Obr 6 Navnue úsečky na obrazovku a) Skuočná suáca b) Výsledné vykreslene Že je omu skuočne ak presvedče sa sam využjúc program G56_CL Bude nás však zaujímať zobecnene ejo jednoduchej varany orezávane obecnejším oknom v D v D Takéo úlohy vznkajú v snahe urýchlť celý proces vykresľovana (kým vo vyšše opísanom prípade všeky procedúry zobrazovaceho reťazca predchadzajúce zápsu do obrazovej pamä robíme s celým objekom v prípade že budeme orezávať na úrovn D modelu j nekde na začaku zobrazovaceho reťazca zobrazovací reťazec aplkujeme len na daný deal čo môže značne urýchlť celý proces zobrazovana)

57 v prípade zobrazena s prhladnuím na nekoré špecálne aspeky (napr vykreslene eňa vrhnuého vybraným objekom na osané objeky v scéne vede ku konšrukc eňového elesa a hľadanu prenku osaných objekov scény s ním) 6 Orezávane zolovaných bodov Uvažujme pravoúhlé okno Ω zadané hodnoam x m xma ym yma Najjednodušší spôsob orezávana spočívá v om že esne pred zápsom do vdeopamä esujeme č adresa pxelu je z požadovaného okna: f ( x x )& &( x x )& &( y y )& &( y y ) uxel ( y) m ma m ma x ; re zolované body je oo jedný spôsob V prípade složejších objekov sa budeme snažť využť určé geomercké vlasnos resp budeme chceť používať akú redu objekov korá dovoľuje jednoduché rešene orezávana re eo účely sa ukazujú byť vhodné konvexné objeky rom pre rešene orezávana sa nenzívne využívá pramo vlasnosť korá defnuje konvexu: A je konvexná (body Q A úsečka Q A) Využjeme nasledujúcu vlasnosť konvexných množín A B - konvexné množny A B - konvexná množna ako rválný fak že pre ľubovoľné množny A B plaí A B A A B B Uvažujme pravuhlé okno Ω ako prenk polrovín Ω π π π π kde π x y : x x y R x y : x Ry {( ) m } {( ) y m } {( x y) : x x y R} {( x y) x Ry } π ma π : y ma π Hrančné pramky polrovín π π π π označíme p p p p Obr 6 Okno ako prenk polrovín

58 6 Orezávane úsečky re body A B budeme používať nasledujúce značene: AB - pramka AB - úsečka AB - polopramka z bodu A v smere bodu B Uvažujme nervalny prípad úsečky AB korý nune vyžaduje realzovať orezávane napr A Ω B Ω V akom prípade musíme najsť presečk AB p s nekorou z hrančných pramok p re AB p dosáváme ( 6) B A ( x y ) x y ( x x ) B A ( x y ) x ( y y ) B A ( x y ) x y ( x x ) B A ( x ) ( ) y x A yma y A yma yb y A m A ma A x y A x B y x B x y y x B x y x A A y x m A m ma A A y A m 6 Trválne orezávane Keďže oblasť je ohrančena pramkam p p p p musí byť časťou úsečky AB jej krajné body sú nekoré z bodov A B onúka sa nasledujúc rválny algormus orezavana úsečky Ak Ω B Ω Konec Spočíaj body A poom vykresl úsečku AB hľadaná orezaná úsečka Usporadaj body A B napr vzosupne podľa x ovej súradnce (usporadane označíme ) Ak žaden z bodov A B neleží v Ω poom úsečka nemá s oknom Ω prenk Konec 5 Ak A Ω A B poom kresl úsečku A { } kde A a je bezprosredný pravý sused bodu A Konec 6 Ak B Ω A B poom kresl úsečku B { } kde B a je bezprosredný ľavý sused bodu B Konec 7 Ak A Ω B Ω poom nájd dvojcu bodov Q { } akú že Q Ω Kresl úsečku Q Konec

59 re koreknosť uvedeného algormu je reba a) ošerť prípady x A x B resp y A yb v kroku b) zabezpečť exsencu bodu v krokoch 5 resp 6 c) zabezpečť exsencu dvojce bodov Q v kroku 7 d) nájsť jednoduchý spôsob vyhodnoena vzťahu Ω odmenka a) znamená úsečku rovnobežnú s osou x resp rválne y Orezane akých úseček je Nad prípadm b) c) d) nech sa zamyslí čaeľ Hlavné rysy uvedeného algormu spočívajú v om že najprv spočíame všeky presečky (s výnmkou prípadu A B Ω ) a až poom na základe usporadana poencálnych krajných bodov A B rozhodneme o výsledku orezávana onúka sa oázka č exsuje efekívnější spôsob orezávana: jednako je vhodné preskúmať č podobne ako v kroku keď vykresľujeme úsečku bez nunos hľadať body neexsujú prípady keď úsečku môžeme vylúčť z vykresľovana akež bez nunos hľadať body Ďalše meso možného zefekívnena je fak že hľadané rešene závsí na výsledku usporadana poencálnych krajných bodov Vynasnažíme sa preo zaradť bod do daného usporadana bezprosredne po jeho výpoče a ým vylúčť nekoré zbyočné výpočy presečkov Nezanedbaeľným fakom je samoný výpoče presečíkov korý vyžaduje náročnú operácu reálne delene reo premyslená organzáca oho výpoču akež môže významne prspeť k celkovej efekve orezávaceho procesu 6 Cohen Suherlandov algormus (Co-Su) Každému bodu ( x y) prradíme -bový kód c c c c nasledujúcm spôsobom: c x < xm j π c y < y j π m c x < x j π ma y yma j π c < V osaných prípadoch je c c Dosávame ak rozklad rovny na oblasí s rôznym kódam ríznaky charakerzujú polohu bodu vzhľadom k oknu korú môžeme vyjadrť ako vľavo pod vpravo nad K vylúčenu úsečky z orezávana sa využíva konvexa polorovny a úsečky: napr ak krajné body úsečky sú pod oknom poom celá úsečka je pod oknom Zobecnením ak dosávame

60 (6) ( c A & c B ) ( AB Ω / ) kde B c A A B A B & c je bový súčn kódov j ( c & c ) c c Z druhej srany A B (6) ( c ) ( c ) ( AB Ω AB) Máme ak veľm jednoduché krérum pre úsečky koré môžeme úplne vylúčť z vykreslovana (6) bez úpravy celé vykresľujeme (6) V prípade že plaí A B A (6) ( / ) ( c / ) ( c & c B ) c nemôžeme jednoznačne rozhodnúť o orezávaní vď Obr 6 Obr 6 Úsečky korých krajné body splňujú podmenku(6) oknom neprechádza A B oknom predchádza a B A V ejo suác sa nevyheneme hľadanu presečkov konšrukcu: oužjeme prom nasledujúcu (65) AB Ω AB ( π π π π ) ( AB BA) ( π π π ) r π r To znamená že vyjadríme úsečku ako prenk polpramok každú z polpramok konfronujeme s vybraným polrovnam koré defnujú Ω výsledok orezávana hľadáme ako prenk ako upravených polpramok V prípade že pre nekorú polrovnu plaí π n n n { π π π π } A π B π

61 znamená o že celá úsečka AB π n j AB π n AB reo aké polrovny môžeme z orezávana (65) vylúčť Je reba s opäť uvedomť že suáca π ou { π π π π } ou ou A π B π nasať nemôže preože oo je prípad (6) korý už je analyzovaný vyšše V (65) ak pre krajné body úsečky a polrovny defnujúce okno plaí nasledujúc vzťah: { } π ( 66) π π π π π A π B olrovnu π jednoducho určíme z kódu A hodnoa c A c je o aká polrovna π korej odpovedá Označme ( 67) AB π B je ak prvý bod z polpramky AB korý leží v polrovne π a je o eda prvý bod korý prpadá do úvahy aby bol v okne Ω Teno proces ( 66) ( 67) nazveme je projekca bodu A na polrovnu π Keďže kód ľubovoľného bodu A obsahuje hodnou maxmálne na dvoch pozícach znamená o že v najhoršom prípade je bod A vonkajší vzhľadom k dvom polrovnám a preo projekcu bodu môžeme spravť maxmálne -krá Nech napr A c j A π π π A π A A V prípade že B Ω j B π B π B π B π znamená o že B π π π B π π π a preo B B π π π π Ω j maxmálne po dvoch projekcách bodu A nájdeme hľadanú orezanú úsečku (odobnú konšrukcu môžeme spravť pre ľubovoľný bod A A s c ) V prípade že B Ω j π ' : B π ' spravíme projekcu bodu B na π BA π ' A

62 laí eda: ' ( AB ) ( BA π ) B A AB Ω π Skúsme zsť v akom prípade plaí r r ' ( 68) B A ' Too nasáva vedy keď zároveň s bodom B leží mmo π aj bod (korý je projekcou B bodu A na nekorú polrovnu) obr 7 a o plaí práve vedy keď c & c Keďže projekce bodu A sú maxmálne dve znamená o že vzťah (77) j suácu že úsečka nepreína okno zsíme najneskôr po dvoch projekcách jedného krajného bodu úsečky ležaceho mmo okna Obr 6 ríklad prázdného orezávana pre krajné body s kódam (6): o druhej projekc bodu A sú oba konce orezávanej úsečky j B mmo okno Na základe uvedených vlasnosí je sformulovaný algormus v leraure známy pod názvom Cohen-Suherlandov algormus orezávana (Co-Su) c B úsečky AB A c A úsečky AB B c AB B Spočíaj kód krajného bodu Spočíaj kód krajného bodu A Ak ( c ) ( ) poom kresl úsečku Konec A B Ak c & c úsečka nepreína okno Konec A 5 Keď c prehoď označene krajných bodov 6 Nájd projekcu bodu A AB r p 7 rraď : A a pokračuj krokom Ako vyplýva z vyšše uvedených úvah eno algormus je podsane efekívnější ako rválny algormus preože úsečky koré oknom neprechádzajú rozpozná maxmálne po dvoch projekcách j po nájdení max dvoch presečíkov Bohužaľ v suác keď úsečka okno preína vždy exsujú aké prípady že projekcu koncového bodu musíme realzovať -krá ( krá projekca každého krajného bodu pôvodnej úsečky) Necháva sa čaeľov aké prípady ukázať

63 6 Algormus Skala Bu (Sk-Bu) Z operácí koré sú nuné v procese orezávana je najdrahšou delene v reálnej armeke re každú projekcu (krok 6 algormu Co-Su je nuné jedno delene (kap 6) Maxmálny poče delení však môžeme zredukovať na polovcu vzhľadom na o že orezávace pramky sú navzájom rovnoběžné p p p p Výpoče presečíkov ( 6) zorganzujeme nasledujúco: ( xb x A )/( yb y A ) D / D x A D ( ym y A ) x x A D ( yma y A ) y D ( x x ) y y D ( x x ) D x y A m A A ma A Okrem oho ďalše urýchlena sa dá získať nezávslou analýzou všekých do úvahy prchádzajúcch možnosí dvojíc kódov koncových bodov orezávanej úsečky Expermenálne sa dosahlo až dvojnásobné zrýchlene opro Co-Su algormu [Bu] 6 Algormus Cyrus Beck (Cy-Be) ozrme sa eraz na rochu obecnejší prípad uvažujme okno ako konvexný m uholník v D Ukážeme ako sa pr akomo zobecnení prejaví analogcký posup ako v prípade Co Su algormu j posup keď úsečku predsavujeme ako prenk dvoch polpramok orezávane realzujeme ako posupnú projekcu polpramok defnujúcch okno a príslušných polpramok koré defnujú úsečku Nech je okno dané posupnosťou bodov O O O O ( x y ) m prčom áo posupnosť orenuje hrancu okna pro smaru pohybu hodnových ručček Každá z polrovín π koré oo okno určujú ( Ω π π π m ) je daná hrančnou pramkou p OO K m OmO m a vonkajšou normálou n r y ( y y x x ) y m x m x m m AB { : R} re vonkajšu normálu n polrovny π a smerový vekor r ν B A pramky plaí práve jeden zo vzťahov: Uvažujme pramku A ( B A) r r ( v n ) ( v n ) > ( v n ) r r < r r

64 v r r Obr 65 V danom prípade ( n ) > osané skalárne súčny sú záporné ( ) < Budeme sledovať pohyb bodu po pramke s rasúcm : prvý prípad j v r r n nasává keď s rasúcm v nekorom momene pramka vsupuje do polrovny π Druhý prípad ( v r n r ) > nasáva vedy keď v nekorom momene pramka vysupuje z polrovny π V reťom prípade ( v r n r ) celá pramka je buď vo vnúr alebo mmo polrovnu π renkom polrovny a pramky je ak v prvom prípade { : A ( B A) } AB π Keďže zo všekých ýcho prípadov hľadáme prenk zo všekých ýcho prípadov nás bude zaujímať max m {} V druhom prípade je prenkom polrovny a pramky { : A ( B A) } AB π Opäť nás zaujímá prenk ýcho prípadov čo vede enokrá k nájdenu mn Výsledkom orezana pramky AB a okna Ω je ak úsečka { A ( B A) } : m M Hľadaný parameer prom spočíame podľa vzťahu r ( O A n ) ( r B A n ) Algormus možno eda sformulovať nasledujúcm spôsobom: {} M

65 Incalzuj m M re každý hrančný segmen vykonaj kroky 8 r r Spočíaj s ( O A n ) u ( B A n ) f u hen 5 f s< hen Konec endf else 6 s/u 7 f u< hen max{ m } else mn{ M } endf 8 f m > M hen Konec Krajné body úsečky majú paramere m M Konec Necháva sa čaeľov dôkladne preanalyzovať prípad u (kroky 5) Spoločným rysom oboch algormov (Co-Su Cy-Be) je posupné projekovane hrančných bodov úsečky na polorovny generujúce okno Co-Su algormus prom nenzívne využíva paralelnosť orezávacích pramok so súradncovou súsavou čo dovoľuje zredukovať poče delení v reálnej armeke na dva (Sk-Bu) re Cy-Be korý aplkujeme na obecné n-uholníkové konvexné okno vždy exsuje prípad keď musíme bohužaľ realzovať všekých n delení Výhodou algormu Cy-Be je fak že sa dá aplkovať akež na D suáce pr orezávaní úsečky konvexným mnohosenom Zamysle sa nad ým ako je reba v omo prípade zmodfkovať uvedený algormus Zamysle sa nad ým kde sa v uvedenom algorme využíva podmenka konvexy orezávaceho okna Tj je podmenka konvexy nuná? Nedal by sa algormus použť aj na nekonvexný prípad? 6 Orezávane plošných úvarov Orezávane plošných úvarov sa realzuje podobne ako orezávane úsečky: posupne hľadáme prenk objeku s polorovnam koré defnujú okno odsané pr om je s uvedomť že nesačí len orezať všeky úsečky vorace hrancu Necháva sa čaeľov oo ukázať Spoločným rysom algormov orezávana úsečky konvexným oknom je posupné projekovane hrančných bodov úsečky na polorovny generujúce okno Co-Su Cy- Be V D prípade pravouhlého okna vysačíme len s dvom operácam delena v reálnej armeke Sk-Bu Cy-Be algormus funguje prakcky bezo zmen na D D prípady r orezávaní plošných úvarov že nesačí len orezať všeky úsečky vorace hrancu

66 7 Vyplňovace algormy Ďalša veľm dôležá čnnosť pr raserzác obrazu je vyplňovane oblas Samoná dea je veľm prosá: predsavme s enké pero a pomocou neho poďme vyplnť požadovanú oblasť Jedné čo môžeme robť je šrafovať vnúro oblas prčom čary budeme klásť ak blízko aby spolu splynul do jedného celku Keďže hrúbka našej čary je rovná rozmeru jedného pxelu zdá sa všeko jednoduché Aby však vyplňovane bolo dosaočne efekívne je reba prekonať nekoré úskala roblém vyplňovana oblas zahrnuje dve rôzne úlohy Buď rešme problém raserzáce j zároveň s raserzácou hrančnej krvky oblas chceme vyplňovať aj vnúorné pxely oblas alebo de o úlohu čse rasrovú j chceme vyplnť všeky vnúorné pxely oblas keď hranca je už predým raserzovaná Ukážeme základné algormy oboch ypov 7 Scan-lne algormus Teno algormus reš úlohu ypu pre uzavreé polygóny V podsae je základná myšlenka veľm jednoduchá: šrafujeme danú oblasť horzonálnym čaram prčom eo čary (scan-lne) sú od seba vzdalené na veľkosť pxelu To zabezpečí že pr raserzác eo čary súvsle vyplna oblasť Keď scan-lne prene hrancu oblas ak pr každom nepárnom presečku sa dosávame do vnúra oblas a pr každom párnom vychádzame z oblas von Algormus je eda nasledujúc: re všeky možné scan-lnes vykonaj : nájd presečíky scan-lne a hrančných úseček oblas usporadaj presečíky vyplňuj medz nepárnym a párnym presečíkom Takýo algormus ovšem nebude korekne pracovať na ých scan-lnes koré prechádzajú vrcholam vyplňovaného polygónu Konfguráce možných polôh susedných úseček vzhľadom na horzonálny smer scan-lne sú nasledujúce

67 Obr 7 Konfguráce susedných úseček vzhľadom na horzonálne scan-lnes Keďže je vykreslená len časť vyplňovaného objeku je znázornená príslušná vnúorná oblasť Osané možné prípady sú osovo symercké s uvedeným Susedné hrančné úsečky sú pre prehľadnosť znázornené rôznym farbam Spoločný bod je znázornený ako černy Je reba s uvedomť že vo vrcholoch sa sreávajú vždy dve hrančné úsečky j nájdené presečíky sú dvojnásobné reo fungovane algormu v suác z Obr 7 a) a Obr 7 c) keď scan-lne prechádza vrcholom (černym pxelom) nebude správne V prípade a) vpravo od vrcholu sa lína nevyplní preože vpravo od vrcholu je oblasť za druhým presečíkom V prípade c) sa naopak vpravo do vrcholu lína vyplní (vďaka dvojnásobnos vrcholu) Vychádzajúc z oho že dve susedné scan-lnes sú v podsae doýkajúce sa obdlžníky rešene oho problému je jednoduché: a) pred aplkácou algormu skráme pr raserzác každú hrančnú línu o poslednú úroveň b) po skončení algormu znovu vykreslíme celú hrancu roces vyplňovana lusruje nasledujúc príklad

68 Obr 7 Scan-lne vyplňovane a) Hranca s vyznačením dvojnásobných hrančných bodov (černe) b) Skráene každej hrančnej úsečky o spodnú línu Vdíme že zosal len dvojnásobné vrcholy ypu Obr 7 b) Obr 7 d) c) Vyplnene vnúra oblas Hrančné pxely nemeníme Za hrančný pxel úsečky na danej scanlne považujeme vždy len en pxel korý je najvac vľavo d) Záverečné vykreslene hrance (re názornosť sme zvoll farbu hrance rôznu od farby vnúra Kroky a uvedeného algormu sa dajú realzovať rýchle vychádzajúc z oho že scan-lne preína len nekoré z hrančných úseček (nazveme ch akívne hrany) prechodom na novú scan-lne sa presečk s akívnou hranou (xy) zmení na Q(x/A y) kde A je smernca danej akívnej hrany Usporadane exsujúcch presečíkov sa nezmení roblém sa ak skoncenruje na analýzu prípadov keď prechodom na novú scan-lne sa zmení množna akívnych hrán 7 Inverzné vyplňovane r defnovaní farby pre daný pxel sa časo využíva režm XORu korý značí že opäovné prekreslene pxelu ou sou farbou zmení výslednú farbu na nverznú Too dosahneme bovým sčíaním mod pôvodnej a novej hodnoy pxelu Ďalšou významnou skuočnosťou je fak že pr vykresľovaní zolovaného pxelu je časovo najnáročnejša samoná alokáca pxelu Z oho pohľadu je napr vyplnen jedného pxelu so súradncam (xy) zrovnaeľné s vyplnením horzonálnej úsečky (xy) (nxy) reo z pohľadu rýchlos je nakreslene úsečky zrovnaeľné s vyplnením lchobežníka vpravo od úsečky (vyplnene oho lchobežníka označíme ako fll_) Too dovoľuje realzovať vyplňovane polygonálnej oblas ak že každú hrančnú úsečku kreslíme v režme

69 vyplnena jej pravého lchobežníka v režme XORu Úsečky musíme podobne ako u ScanLne algormu pred vyplňovaním skráť Z hľadska procesu vyplňovana rozdel medz ScanLne a InversFll je v organzác cyklov Kým ScanLne je vo forme for (horzonal_lnes) do {for (hrance) do { fll_}} InversFll má cykly prehodené: for (hrance) do {for (horzonal_lnes) do { fll_}} Nasledujúc rozdel je v zložos vnúorných cyklov: kým v prvom prípade vnúorný cyklus fll_ musí nájsť presečíky hrance s vyplňovacím línam v druhom prípade fll_ je oo auomacky zabezpečené použím režmu XORu Významnou vlasnosťou algormu InversFll je jeho jednoduchá paralelzáca vyplývajúca z oho že vyplnene pravého lchobežníka jednej hrančnej úsečky nezávsí na žadnej ďalšej hrančnej úsečke 7 Zobecnené vyplňovane Z-buffer Okrem vyššeopísaného problému vyplnť oblasť konšannou hodnoou časo vznká úloha nerpolovať hodnoy z hrance do vnúra oblas Nech okrem vrcholov vyplňovaného n-uholníka je v každom vrchole zadaná číselná hodnoa oom pre nerpolácu hodnô do vnúra možno ScanLne modfkovať: pr hľadaní polohy presečíka hrančnej úsečky a scan-lne nerpolujeme súčasne aj číselnú hodnou krajných bodov danej hrančnej úsečky každý vyplňovaný úsek vyplníme hodnoam koré sú nerpolácou hodnô príslušných presečíkov Šandardný ScanLne funguje na ľubovoľnej j nekonvexnej oblas bez problémov Modfkovaný algormus sa pre nekonvexné oblas môže správať ne úplne podľa našch predsáv Skúse sa zamysleť prečo omu ak je Zobecnené vyplňovane ukazuje ďalší rozdel medz ScanLne a InversFll InversFll sa pre zobecnené vyplňovane použť nedá zamysle sa prečo omu ak je ríkladom konkréneho použa zobecneného vyplňovana je rasrové rešene problému vdeľnos blneárnych plôch Vdeľnosť vnímame ako problém usporadana: ( 7) z dvoch rôznych bodov rôznych plôch koré sa premeajú do jedného spoločného premeu vdíme en korý je k nám blžše

70 r použí kolmého premeana a orenác súradncových osí z Obr 7 je o en korý ma väčšu z-súradncu Obr 7 Schémacké znázornene z-bufferu Body z červenej líne sa premenu do jedného pxelu na plochu ozorovaeľ je znázornený vpravo Zsene z-súradníc pxelov danej plochy môžeme nerpreovať ako určý spôsob vyplňovana keď hodnoa vnúorných pxelov plochy ne je konšanná ale je o lneárna nerpoláca hodnô z-súradníc vrcholov plochy r vykresľovaní plochy musíme pre každý pxel analyzovať krérum ( 7) j musíme pre každý pxel vedeť aká je jeho najväčša hodnoa z-súradnce korá vznkla pr kreslení predošlých plôch Too vyžaduje okrem vdeopamä (VRAM[nx][ny]) dodaočnú pamäť korú nazývame z-buffer (ZB[nx][ny]) Jej veľkosť je úmerná veľkos vdeopamä a závsí na om s akou jemnosťou chceme rozlíšť z-súradnce jednolvých plôch Algormus možno sformulovať nasledujúcm spôsobom: Incalzuj z-buffer j ZB(xy) max pre všeky pxely (xy) re každú vykresľovanú plochu vykonaj kroky Vyber farbu plochy c Raserzuj plochu modfkovaným ScanLne algormom pre z-súradncu vrcholov Zároveň pre každý pxel (xy) analyzuj podmenku f z(xy) > ZB[x][y] hen 6 ZB[x][y]z(xy) 7 VRAM[x][y]c 8 end f Vdíme že šrukúra algormu je prosá čo dovoľuje jednoduchú HW mplemenácu ráve aký spôsob rešena vdeľnos je v dnešnej dobe používaný prčom uvedený algormus býva realzovaný v grafckých karách

71 7 Rasrové vyplňovane redpokladajme že exsuje vnúorný bod z korého začíname proces vyplňovana ncalzačný pxel roblém je vo svojej podsae rekurzívny a dá sa jednoducho sformulovať napr ako: Def Vypln(x y c n c ) ou Ak (xy) c n a zároveň (xy) c ou poom vykonaj kroky 5 (xy) c n Vypln(x-y c n c ou ) Vypln(xy c n c ou ) Vypln(xy- c n c ou ) 5 Vypln(xy c n c ou ) Už pr pomerne malých oblasach je však hĺbka rekurze ak vysoká že procedúra je prakcky nepoužeľná reo je nuné zredukovať poče rekurzívnych vnorení napr ak že v jednom kroku rekurze pre sanovený pxel nájdeme na om som radku vnúorný pxel korý je najvac vľavo prvý vnúorný pxel od prvého vnúorného pxelu vyplňujeme všeky pxely smerom do prava až kým nenarazíme na hrancu pr vyplňovaní každého pxelu zsťujeme č pxel pod a nad ne sú krcké krcké pxely uchováme rom krcký pxel je aký korý súčasne spĺňa nasledujúce r podmenky: a) je vnúorný bod oblas b) je nevyplnený c) je nad alebo pod prvým vnúorným pxelom na radku alebo vľavo od neho je hrančný pxel alebo je o ncalzačný pxel Kroky vykonávame dovedy kým exsujú krcké pxely Mera rekurze v omo prípade závsí od oho koľko nových krckých pxelov vznká pr vyplňovaní jedného radku Skonšruuje suácu keď pr vyplňovaní radku vznkajú krcké pxely

72 8 Telesá a ch reprezenáce V úvodnej kapole sme vysvell pojem vekorovej (procedurálnej) a rasrovej grafky Ako príklad zovšeobecnena vekorovej reprezenáce sme uvedl CSG reprezenácu eles korá parí medz redu objemových reprezenácí Keďže elesá vdíme prosrednícvom ch povrchov dôležú redu reprezenácí vora povrchové reprezenáce reo sa budeme práve ýmo reprezenácam v ejo kapole venovať 8 Objemové reprezenáce Základnou objemovou reprezenácou je analóg rasrovej reprezenáce vyjadrene elesa pomocou pravdelnej orogonálnej D mrežky voxelovej mrežky (voxel VOLume Elemen) Táo reprezenáca je používaná napr pr CT snímkoch V echnckej prax sa časo používajú reprezenáce založené na rozklade presoru na jednoduchše vzájomne sa neprekrývajúce prvky Väčšnou sa používajú kvádre a švorseny Teno yp reprezenáce je vhodný pre dnes veľm nenzívne používané numercké modelovane meódou konečných prvkov MK Uvedené ypy reprezenáce sú očvdne veľm náročné na pamäť Jednou z možnosí ako oo elmnovať je použe herarchckej šrukúry Konšrukca vychádza z dchoomckého delena nervalu D varan sa zvykne nazývať kvadracký srom D varan okálový srom Vychádzame z pravdelného kvádra Jeho objem delíme (každý rozmer na polovcu) rekurzívne dovedy kým nedosaneme homogénne čas ríklad D varanu je na 8 ovrchové reprezenáce 8 Reprezenáca mnohosenov Časo používané elesá sú konvexné mnohoseny s rovnným povrchovým plocham Táo reda eles je dosaočne rôznorodá aby vyjadrla presne alebo aspoň prblžne veľké množsvo reálnych eles manpuláca s mnohosenm je jednoduchá pre špecálnu podredu konvexné mnohoseny exsuje veľm jednoduchý algormus na rešene vdeľnos Spôsob reprezenáce mnohosenov s ukážeme na príklade švorsenu Informáca o zobrazovanom elese sa delí na geomerckú je daná súradncam vrcholov opologckú - korým vrcholm sú určené seny elesa Výsledkom sú dve abuľky: zoznam vrcholov korý obsahuje súradnce vrcholov a ch ndexácu (geomercká nformáca) a abuľka koncdence vrcholov a sen (opologcká nformáca) Napr pre švorsen z Obr 8 máme nasledujúcu abuľku koncdence vrcholov a sen:

73 Obr 8 Kódovane vrcholov a sen švorsenu Vrcholy I II III sena ab 8 Incdenčná abuľka vrcholov a sen švorsenu odobným spôsobom možno kódovať zložejše elesá Obmedzíme sa na elesá s rovnným senam Také elesá sa nazývajú mnohoseny Treba rozlšovať dva ypy sen: a) rojuholníkové b) mnohouholníkové V prípade rojuholníkových sen je suáca jednoduchá: keďže rovna je jednoznačne určená roma bodm aké seny sú preo auomacky rovnné U mnohouholníkových sen je porebné ch rovnnosť konrolovať rečo rváme na rovnných sanách vyplýva z oho že smer normály k rovne je konšanný A ako uvdíme v ďalšom úo vlasnosť podsaným spôsobom využjeme Každá rovnná sena má dve normály U hrančných sen D eles ch nazývame vonkajša a vnúorná Všme s že seny sú dané orenovanou posupnosťou vrcholov ak že orenáca de v smere hodnových ručček pr pohľade z vnúra elesa Ukážeme s že jednoná orenáca sen je nuná pre poreby vdeľnos 8 Vdeľnosť konvexných mnohosenov V reálnom žvoe príroda všeko vyreš za nás: v neprehľadných elesách vdíme len nekoré predné povrchy resp e ch čas koré ne sú prekryé ďalším elesam V prípade že rojrozmerné neprehľadné elesá máme v počíač my musíme určť korá povrchová plocha je vdeľná a korá ne S konvexným elesom sme sa už srel v predchádzajúcch kapolách A predsavť s konvexný mnohosen môžeme ak že ak sa na neho pozeráme z akejkoľvek srany ak povrchové seny buď celé vdíme alebo celé nevdíme j nemôže nasať suáca že by sme vdel len časť nekorej povrchovej seny Krérum vdeľnos sen pre konvexné mnohoseny sa dá názorne vyjadrť ak že vdíme práve e seny korých vonkajše normály smerujú pro nám

74 Obr 8 Orenáca súradncovej súsavy švorsen a jeho vonkajše normály rom smer pro nám je na Obr 8 daný kladnou hodnoou z-súradnce Uvažujme eda konvexný mnohosen s rovnným senam S S S m plochy sú orenované j u každej z nch poznáme vonkajšu normálu n n K n m súradncový sysém je pravoočvý a orenovaný ak že výsupné zaradene predsavuje rovnu xy a os z smeruje z výsupného zaradena smerom k nám Krérum vdeľnos pre plochu je v omo prípade nasledujúce: locha M je vdeľná práve vedy keď uhol medz vonkajšou normálou n a vekorom určujúcm smer pro pozorovaeľov (jsmer daný vekorom () ) je osrý Využjúc skalárny súčn a vlasnosť že cos osrého uhla je vždy kladné číslo máme veľm jednoduché krérum: Nech n ( nx ny nz ) oom sena S je vdeľná práve vedy keď nz > Kľúčovým momenom je eda určene vonkajšej normály plochy K omu sa využíva vekorový súčn w u v kde wx u yvz uzv y wy uzvx uxvz wz uxv y u yvx Orenáca vekorového súčnu je prom daná ak ako ukazuje Obr 8: keď prsy pravej ruky ukazujú v smere prvého vekora a druhý vekor vychádza z dlane poom ch vekorový súčn je kolmý na oba vekory a je orenovaný ým smerom kam ukazuje palec Obr 8 Orenáca vekorového súčnu

75 re výpoče normálových vekorov použjeme vekory u a v koré získame z ncdenčnej abuľky re náš prípad je vekor u daný rozdelom sĺpcov II a I vekor v je daný rozdelom sĺpcov III a I Z uvedeného je zrejmé že porade vrcholov v ab 8 je dôležé: zámena porada vekorov zmení orenácu vekorového súčnu 8 Okrídlená hrana Vyššeuvedené krérum vdeľnos sen je možné modfkovať na vdeľnosť hrán Je reba s uvedomť že hrana je prenk dvoch susedných sen Hrany môžeme klasfkovať do roch red: predné hrany koré sú prenkom vdeľných sen obrysové hrany koré sú prenkom vdeľnej a nevdeľnej seny zadné hrany koré sú prenkom nevdeľných sen Too krérum je užočné vprípade nekonvexných eles preože časočná vdeľnosť hrany je spôsobená očvdne prekryím nekorou z obrysových hrán Z uvedeného dôvodu je veľm časo používaná aká daová šrukúra pre povrchovú reprezenácu eles korá defnuje hrany ne ako spojnce dvoch vrcholov ale ako prenk dvoch sen re švorsen z Obr 8 ab 8 môže byť oo realzované napr ako: Hrana Seny ab 8 Incdenčná abuľka hrán a sen švorsenu 8 aramercké plochy Časo používaným spôsobom pre defnovane plochy je nasledujúca konšrukca: uvažujme dve krvky v presore koré sú zadané paramercky ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) L L f ( ) n f ( ) n n n a pr zafxovanej hodnoe * spojme body ( * ) a ( * ) úsečkou: ( s) s ( s) ( * ) s ( Zopakujúc oo pre všeky možnos parameru dosávame plochu ( 8) ( s) ( s ) ( ) s ( ) s * )

76 korú nazývame pramková plocha V najjednoduchšom prípade keď () a () sú úsečky ak získame blneárnu plochu ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ) ( s s s s Vyjadrené skráene v macovej forme dosaneme var ( 8) ( ) ) ( s s s s Keď vyseparujeme polynomckú bázu máme výsledný var ( 8) ( ) ) ( s s s odobnou konšrukcou keď budeme spájať napr bézerové kubcké krvky ne usečkam ale bézerovým kubckým krvkam dosaneme bézerovú bkubckú plochu ( ) 6 6 ) ( s s s s V omo prípade spájame bézerovu krvku korá je určená radacm bodam s bézerovou krvkou určenou radacm bodam rom spojene je aké že každá dvojca bodov sa spája bézerovou krvkou určenou bodam Aj keď áo konšrukca generovana plôch je vcelku jednoduchá a zrozumeľná výsledné plochy už v najjednoduchšom prípade môžu mať na prvý pohľad neočakávané vlasnos Napr valcovú plochu dosaneme ako pramkovú plochu dvoch paralelných kružníc V prípade keď ale usečka korá spája odpovedajúce s body ne je rovnobežná so spojncou sredov dosávame roačný hyperbolod a) b) Obr 8 ramkové plochy dvoch paralelných kružníc rovnakého polomeru a) valcová plocha b) roačný hyperbolod