Z A D A C I SA DRUGOG PARCIJALNOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 2 Akademska godina Sarajevo,

Transcript

1 Elekroehnički fakule Univerziea u Sarajevu Z A D A C I SA DRUGOG PARCIJALNOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Akademska godina Sarajevo, IME I PREZIME STUDENTA :... BROJ INDEKSA :... JEDINSTVENI MATIČNI BROJ :... NASTAVNA GRUPA (BROJ) :... UPUTSTVO:. Za svaki od prva čeiri zadaka ponuđena su čeiri odgovora od kojih je samo jedan ačan. Riješie ove zadake, a zaim za svaki od zadaaka koji se riješili zaokružie redni broj pod kojim je naveden ačan odgovor za aj zadaak, pa aj broj upišie na odgovarajuće mjeso u dole navedenoj abeli. Zaokruživanje više od jednog odgovora vrednuje se kao i neačan odgovor. Svaki ačan odgovor za koji je dao odgovarajuće obrazloženje se boduje sa po,5 boda, a svaki neačan odgovor se vrednuje sa po 0 bodova. Ukoliko se ne zaokruži nii jedan od ponuđena čeiri odgovora, kao i u slučaju kada za zaokruženi ačan odgovor nije dao zadovoljavajuće obrazloženje, za aj zadaak suden osvaruje 0 bodova.. Riješie dealjno pei zadaak, koji je s ovorenim odgovorom. Tačno urađen aj zadaak donosi 0 bodova. Boduju se i ačno urađeni dijelovi og zadaka (pri om bodovanju najmanja jedinica mjere je 0,5 bodova). 3. Nije dozvoljeno korišenje bilježaka, knjiga, kalkulaora, mobilnih elefona i bilo kakvih elekronskih uređaja, nii drugih pomagala, kao ni drugih papira osim uvezanih papira dobijenih za ovaj ispi. Takođe nije dozvoljen nikakav razgovor sa kolegama/sudenima i dežurnim na ovom ispiu, j. svaku izradu bilo kojeg od zadaaka na ovom parcijalnom ispiu mora svaki kandida samosalno uradii. Svaki od kandidaa koji prekrši bilo ša od ovdje navedenog, bi će isključen sa ovog ispia i ovaj njegov parcijalni ispi vrednovan sa 0 bodova. Rezulai drugog parcijalnog ispia iz IM: Zad Zad Zad Zad Zad Ukupan broj osvarenih bodova: Vlasoručni popis sudena: Predmeni nasavnik: Van. Prof. Dr. Sc. Huse Fakić

2 Z A D A C I - Gr. A za Drugi parcijalni ispi iz IM, Sarajevo, Zad.. Nađie inverznu Laplaceovu ransformaciju funkcije F zadane formulom F(p) : =. ( p + )( p ) I. ( ( F) ) () = ( sin cos e + + ). III. ( ( F) ) () = ( e sin + cos ). II. ( ( F) ) () (sin cos ) = + e. IV. ( ( F) ) () = ( sin cos + e ). (Zad., sr., iz «Pripremni zadaci [. dio]», a i sa ispinih rokova od..,. 7., i ) Zad.. Izračunaje volumen v ijela omeđenog površima z= x y i z = x + y ( z 0). I. v = II. v =. III. v =. IV. v =. ( (Vidi [Dragičević, V. i Fakić, H., Određeni i višesruki inegrali, IGKRO ''Svjelos'', Sarajevo, 987] Glava III. VIŠESTRUKI INTEGRALI Zad... (sr. 9). ) Zad. 3. Nađie jednačinu oskulaorne ravnine kružnice zadane jednačinama x + y + z =, x + y + z = 0 u njenoj ački M(,, -). I. x + y z= 0. II. x + y+ z=. III. x + y+ z= 0. IV. x + y z=. (Primjer.., sr. 8, u maerijalima za Predavanja iz IM u. sedm.) x Zad.. Razvije funkciju f( x): = ch, x (, ) u Fourierov red, pa pomoću dobijenog rezulaa nađie sumu S reda n. n = I. S = ch. II. S = ch. 8 8 III. S = ch. IV. S = ch. 8 (Zad., sr. 8, iz «Pripremni zadaci [. dio]»,

3 3 Zad. 5. a) Treba naći opše rješenje sisema diferencijalnih jednačina (svođenjem na jednu jednačinu višeg reda ili Eulerovom meodom) y ( x) = y( x) z( x) + + x, z ( x) = y( x) + z( x) + x. (Rezula. x 3x 5 x 3x y= Ce + x, z = Ce + x +. ) b) Riješie (sa ili bez primjene maričnog računa) nehomogeni sisem linearnih diferencijalnih jednačina 3 x x y + z =, y x 3 y z =, z + x 7 y 5 z =, gdje su x, y, z realne funkcije realne promjenljive. (Zad.. zadan u DZ 3., a i iz «Pripremni zadaci [. dio]») c) Koriseći Laplaceovu ransformaciju riješie Cauchyjev problem: y'' + y =θ( x ) θ( x ), y(0) = 0, y'(0) =,, za 0, gdje je θ() zv. Heavisideova funkcija, definirana formulom θ () = 0, za < 0. (Zad.. b) zadan u DZ. Rezula. yx ( ) = sin x+ (+ cos x) θ( x ) ( cos x) θ( x ). )

4 Z A D A C I - Gr. B za Drugi parcijalni ispi iz IM, Sarajevo, Zad.. Sa ili bez primjene Laplaceove ransformacije riješie diferencijalnu jednačinu 3x y '' 9 y = e cos x. 3x 3x 3x 3x 3x 3x I. y = C e + e sin x cos x. III. y = C e + e sin x cos x x 3x 3x 3 II. y = C e + e sin x cos x IV. 3x 3x 3x 3 y = C e + e sin x cos x (Primjer 5.5.3, sr. 0, u maerijalima za Predavanja 9. iz IM.) 3 Zad.. Izračunaje rojni inegral ( x + y) dv, ako je V oblas u prosoru R ograničena površima: y = 0, z = 0, x =, y = x, x + y +z =. V I.. II.. III.. IV. 3. (Primjer 9.5., sr. 0, u maerijalima za Predavanja iz IM u 3. sedm..) Zad. 3. Izračunaje zapreminu v ijela V omeđenog s površi: x + y + z =, z = x + y ( z x + y ). I. v = (7 3). II. v = (3 ). III. v = (8 7). IV. v = (7 5). (Zad.. zadan u DZ 5 ; Zadaak sa Tuorijala (Vidi [Dragičević, V. i Fakić, H., Određeni i višesruki inegrali, IGKRO ''Svjelos'', Sarajevo, 987] Glava III. VIŠESTRUKI INTEGRALI Zad (sr. 5). ) Zad.. Odredie Fourierov inegral funkcije f zadane formulom 0, < 0, f ( ) = e, 0. + i I. ( ) ω f = e dω. II. + + f () = e dω. + + i III. f () e ω + i = dω. IV. ( ) ω f = e dω (Primjer 8.., sr. 5, sa α =, u maerijalima za Predavanja iz IM u. sedm..)

5 5 Zad. 5. Zadana je kriva C kao presjek paraboloida čija je jednačina jednačina y = z. a) Nađie orove, n, b prirodnog rijedra zadane krive C.. z = x + y i ravni kojoj je b) Nađie sve ačke zadane krive C u kojima je (prva) krivina κ jednaka broju. c) Napišie Frene - Serreove formule (j. formule koje opisuju promjenu prirodnog rijedra od ačke do ačke po dijelovima glake krive čija je vekorska jednačina r= r(), pri čemu funkcija r () ima izvode do uključivo rećeg reda, a koje u proizvoljnoj ački krive imaju oblik: d dn db = κ n, = κ + τ b, = τ n, ds ds ds gdje je τ orzija /druga krivina / krive ) u svakoj od ačaka zadane krive C nađenim pod b). d) Napišie jednačine angene, glavne normale i binormale zadane krive C u jednoj od njenih ačaka nađenih pod b). e) Nađie jednačine (u skalarnom ili vekorskom obliku) osnovnih ravni prirodnog rijedra zadane krive C u jednoj od njenih ačaka nađenih pod b). (Zad. 3. zadan u DZ 5., a i iz «Pripremni zadaci [. dio]» i sa Dodanog ispinog roka od )

6 Z A D A C I - Gr. C za Drugi parcijalni ispi iz IM, Sarajevo, Zad.. Nađie inverznu Laplaceovu ransformaciju funkcije F zadane formulom ω Fs (): = ln +. s I. ( ( F) ) () = (sin cos ) ω. III. ( ( F) ) () = ( cos ω ). II. ( ( F) ) () = (sin ω cos ω ). IV. ( ( F) ) () = (sin cos ω ). (Zad.. zadan u DZ.) Zad.. Izračunaje zapreminu v ijela V u prosoru R 3 sa (Dekarovim pravouglim) koordinanim sisemom ograničenog paraboloidom (zadanim jednačinom) z = x + y, cilindarskim površima (čije su jednačine) x + y = x, x + y = x i Oxy ravni I. v =. II. v =. III. v =. IV. 3 (Primjer 9.., sr., u maerijalima za Predavanja iz IM za 3. sed.) v 5 =. 3 Zad. 3. Primjenom dvojnog inegrala nađie površinu P oblasi D u ravni Oxy ograničene pravcima y = x, y= x i kružnicom x + y = x ( y x ). 5 3 I. P = +. II. P = +. III. P = +. IV. P = +. ( Zadaak sa Tuorijala (Vidi [Dragičević, V. i Fakić, H., Određeni i višesruki inegrali, IGKRO ''Svjelos'', Sarajevo, 987] Glava III. VIŠESTRUKI INTEGRALI Zad... (sr. 09.) Zad.. Primjenom krivolinijskog inegrala druge vrse (odnosno formule P = xdy ydx l koja se dobije iz Greenove formule) izračunaje površinu P lika u xy ravni ograničenog krivom l koja je zadana jednačinom ( x + y ) = x y. I. P =. II. P = 3. III. P = IV. P =. (Zad., za a =, zadan u DZ 5., a i iz «Pripremni zadaci [. dio]» i sa ispinog roka od )

7 7 Zad. 5. Zadana je realna funkcija f jedne realne promjenljive formulom: cos x, x 0,, () f (x) = [ ] i zadan je red + +. () a) Nacraje grafik zadane funkcije f, a zaim zadaje analiički njeno - periodičko proširenje f* i prikažie ga grafički. b) Dokažie da se funkciji () može pridružii Fourierov red, koji konvergira ka oj 0,, i da je red () konvergenan. funkciji na segmenu [ ] c) Razvije u Fourierov red funkciju () i ispiaje da li dobijeni red konvergira ka njenom periodičkom produženju f* (zadanom u a)) na R, a zaim koriseći dobijeni razvoj nađie sumu reda (). d) Odredie (ili usanovie da se ne može odredii) Fourierovu ransformaciju zadane funkcije f* i funkcije f koja je proširenje zadane funkcije f ako da je f (x) = 0 za svaki x [ 0, ] R\. e) Odredie (ili usanovie da se ne može odredii, odnosno usanovie da ne posoji) Fourierov inegral zadane funkcije f* i funkcije f koja je proširenje zadane funkcije f ako da je f (x) = 0 za svaki x [ 0, ] R\. (Zad. 3. zadan u DZ., a i iz «Pripremni zadaci [. dio]» (Upua. Vidjei zad. 5. na sr. 5 /Rez. s upuom na sr. 5/ i zad.. na sr.53. sa ispia od. IX 989. /Rez. s upuom na sr. 7/ u knjizi [Huse Fakić, Vinko Dragičević, Diferencijalni račun funkcija dviju i više promjenljivih, I.P. Svjelos, Sarajevo, 00.] ). Napomena. Svaki od zadaaka sa ovog ispinog roka je iz maerijala za predavanja i/ili sa uorijala ili/i zadan za DZ ili/i maerijala «Pripremni ispini zadaci», a neki su i sa prehodnih ispinih rokova!