Primjene odreženog integrala

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Primjene odreženog integrala"

Τασούλα Βλαβιανός
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl

2 Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te prvcim x = i x = b treb odrediti njegovu povr²inu P (vidi sliku). Koristimo injenicu d je povr²in tog lik jednk rzlici povr²in lik omeženog prvcim x =, x = b, osi x i krivuljom y = f(x) te lik omeženog s x =, x = b, osi x i krivuljom y = g(x). Zklju ujemo: tj. f(x)dx (f g)(x)dx. g(x)dx, Ov jednostvn formul temelj je r un povr²in rvninskih likov gore opisnog tip. Slik.: Povr²in P jednk je rzlici povr²in odreženih grfovim Γ f i Γ g Gornj formul vrijedi i u slu ju d nije f(x) i g(x) z sve x [, b], li uz uvjet d je f(x) g(x) z sve x [, b]. Nime, prem slici je o ito d moºemo trnsltirti krivulje Γ f i Γ g duº y osi koliko je potrebno (recimo

z neku veli inu m) do situcije s slike.., n kojoj su sve vrijednosti funkcij f i g n intervlu [, b] nenegtivne (vidi sliku..). Nime, td se povr²in P koju trºimo o ito ne e promijeniti, moºemo primijeniti pozntu formulu: [f(x) + m]dx [g(x) + m]dx = (f g)(x)dx.

: Formulu rzlike povr²in moºemo primijeniti i n funkcije kojim nisu sve vrijednosti n integrcijskom podru ju nenegtivne. Primjer Izr unjte povr²inu podru j ogrni enog s y = 4 x i y = x x.

3 z neku veli inu m) do situcije s slike.., n kojoj su sve vrijednosti funkcij f i g n intervlu [, b] nenegtivne (vidi sliku..). Nime, td se povr²in P koju trºimo o ito ne e promijeniti, moºemo primijeniti pozntu formulu: [f(x) + m]dx [g(x) + m]dx = (f g)(x)dx. Dkle, moºemo primijeniti ve postoje u formulu k i u slu ju d nisu sve vrijednosti podintegrlnih funkcij n intervlu integrcije nenegtivne. Slik.: Formulu rzlike povr²in moºemo primijeniti i n funkcije kojim nisu sve vrijednosti n integrcijskom podru ju nenegtivne. Primjer Izr unjte povr²inu podru j ogrni enog s y = 4 x i y = x x. Grfovi ovih funkcij omežuju lik (ozn imo mu povr²inu s P ) odrežen to km presjek ovih krivulj, to su to ke s pscism x = i x = vidi sliku. Ozn imo f(x) := 4 x ("gornj funkcij"), g(x) := x x ("donj funkcij").

4 Sd je (f g)(x)dx = = ( 3 x3 + x + 4x) = 9. ( x + x + 4)dx = Primjer Izr unjte povr²inu P omeženu krivuljm y = x i y = x. Formul koju smo do sd primjenjivli podrzumijevl je d funkcije iji grfovi omežuju rvninski lik iju povr²inu trºimo moºemo eksplicitno npisti u integrcijskoj vrijbli. Ovdje mormo uo iti d krivulj y = x im dv krk (dvije mogu nosti z eksplicitni zpis), f (x) := x i f (x) := x. Ako ncrtmo sliku, vidjet emo d uz kori²tenje ovko zpisnih podintegrcijskih funkcij moºemo primijeniti pozntu formulu. Vrijedi: = ( x 3 3 ( x ( x))dx + ) + ( x x + x) 4 = 9. ( x (x ))dx = Mežutim, postoji i jednostvniji n in d se ovj zdtk rije²i. Nime, ko ve ne moºemo iz y = x dobiti eksplicitni izrz z y ko funkciju od x, moºemo obrtno eksplicitno izrziti x pomo u y: x = y. Tkožer, iz y = x izlzi x = y +, iz slike je odmh vidljivo d je integrciju po vrijbli y lk²e provesti, jer "gledno s strne osi y" vidimo d se rdi o dvjem funkcijm u vrijbli x koje n intervlu integrcije (sd zdnom donjom grnicom y = i gornjom grnicom y = ) poprimju smo nenegtivne vrijednosti, p immo (y + y )dy = ( y3 3 + y + y) = 9. Sd moºemo npisti jo² jednu formulu: z funkcije f i g zdne u vrijbli y n intervlu [c, d] povr²in P lik omeženog krivuljm Γ f i Γ g te prvcim 3

5 y = c i y = d je dn s d c (f g)(y)dy. Ponekd je pri rje²vnju zdtk s povr²inm pogodnije pre i n polrne koordinte, ko u sljede em primjeru. Ako pritom r unmo povr²inu lik odreženog krivuljm r = r (ϕ) i r = r (ϕ) te rubnim poluprvcim integrcijskog podru j ϕ = ϕ, ϕ = ϕ, koristit emo sljede u formulu: ϕ ϕ (r r )dϕ. Z vjeºbu emo rije²iti pomo u ove formule i jedn zdtk koji se in e moºe lko rije²iti elementrnim metodm. Primjer 3 Koriste i odreženi integrl izr unjte povr²inu P odreženu krivuljm zdnim jedndºbm x + y + 8x =, x + y + 4x =. Nkon ²to trnsformirmo jedndºbe ovih krivulj vidimo d se rdi o kruºnicm: x + y + 8x = / + 6 (x + 4) + y = 4 x + y + 4x = / + 8 (x + ) + y =, i to kruºnicm s sredi²tim u ( 4, ) i (, ) te rdijusim r = 4 i r =, redom. Trnsformirjmo ove jedndºbe u polrni oblik kori²tenjem formul x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Dobiv se: r = 8 cos ϕ z prvu kruºnicu i r = 4 cos ϕ z drugu kruºnicu. Treb jo² odrediti grnice integrcijskog podru j. ϕ = π, ϕ = 3π, p je S slike se vidi d je = 4 3π π 3π π 3π ((8 cos ϕ) (4 cos ϕ) )dϕ = 4 cos ϕdϕ = π cos ϕ + dϕ = 4 ϕ (sin + ϕ) 3π π = π. 4

6 Primjer 4 Koriste i odreženi integrl izr unjte povr²inu P odreženu krivuljm zdnim jedndºbm x =, y = rctn ( ) x, y = π 4. Prvo skicirmo zdne krivulje i uzmemo u obzir lim x rctn ( ) x = (jer x ide u nulu) te lim x rctn ( ) x = π (jer x ide u + ) Sd je povr²in dn s (rdi se o neprvom integrlu): ( ( ) rctn π ) ( ( ) dx = lim rctn π ) dx = x 4 x 4 ( ( ) = lim x rctn + x ln( + x ) π ) 4 x = ( π = lim 4 + ln π ( ) 4 rctn ln( + ) + π4 ) = ln pri emu smo uzeli u obzir d je rctn ( ) dx = x u = rctn ( ) x = x rctn dv = dx du = +x v = x ( ) + x ln( + x ) = x rctn ( ) + x x + x dx = i lim rctn = π = Zdtk Izr unjte povr²inu lik omeženog krivuljm: () y = x, y = 4x () y = x, y = 4 x 5 (3) y = x(x )(x ) i x osi. (4) y = π 6, y = rcsin x (5) y = x, y = x 3 x 5

7 (6) x + y = x + y i nejednkostim x, y (7) 4x 7y =, 4y x = 4 (8) 4x + y = 4, x + 4y = 4 (9) y = x rctn x 3, y = π 4 x. Volumen rotcijskog tijel Grf funkcije f rotirmo oko x osi. Postvlj se pitnje: koji je volumen V tijel dobivenog rotcijom lik odreženog dijelom grf funkcije f te prvcim x =, y = b i x osi (vidi sliku)? Odgovor dje sljede formul: V x = π f(x) dx. Mežutim, postoji formul i z rotciju lik odreženog grfom funkcije f n intervlu [, b] n x osi oko y osi. T formul glsi: V y = π xf(x)dx. Tkožer, ko immo funkciju x = g(y) (gdje je x eksplicitno izrºen preko y) i rotcijski intervl [c, d] n y osi te rotirmo oko y osi, imt emo: V y = π d c g(y) dy. Ako rotirmo lik odrežen grfom funkcije f n intervlu [c, d] n y osi oko x osi, imt emo formulu V x = π d c g(y)ydy. Sºeto ove etiri formule moºemo pregledno iskzti jednom tblicom: 6

8 integr. po / rot. oko x osi y osi [, b] n x osi V x = π f(x) dx V y = π xf(x)dx [c, d] n y osi V x = π d c g(y)ydy V y = π d c g(y) dy Tkožer, immo i formulu z volumen rotcijskog tijel koje je dobiveno rotcijom podru j izmežu dviju krivulj. U tom slu ju koristimo sli ne formule ko u gornjoj tblici, uz primjenu model iz dijel o povr²ini podru j omeženog dvjem krivuljm. Npr. z volumen V tijel nstlog rotcijom podru j omeženog krivuljm y = f (x) i y = f (x) n intervlu [, b] oko x osi koristimo formulu i sli no z ostle formule. Primjer 5 V = π (f (x) f (x) )dx Izr unjte volumen tijel nstlog rotcijom oko x osi lik omeženog prbolom y = 4x i prvcem x =. N² funkcij nije eksplicitno izrºen preko integrcijske vrijble x, li to formul niti ne zhtijev: immo y = f(x), ²to je uprvo izrz koji se trºi u formuli. O ito je s slike d mormo koristiti formulu z integrciju duº intervl [, ] n x osi z rotciju oko x osi, p immo V x = π y dx = π 4xdx = π(x ) = π. Ponekd se zdje rotcij oko prvc prlelnih s x osi, odnosno s y osi. U tom slu ju primjenjujemo iste formule, li mormo izvr²iti trnslciju cjelokupnog koordintnog sustv, ko u donjem primjeru. Primjer 6 Izr unjte volumen V tijel nstlog rotcijom oko prvc x = 3 lik omeženog prbolom y = 4 x i x osi. 7

9 Rotcij oko prvc x = 3 zn i d emo zhtijevti d u to ki Õ(3, ) bude ishodi²te novog koordintnog sustv (Õ, x, ỹ) ij je vez s strim dn s x = x 3, ỹ = y. Tko u novom koodintnom sustvu to k (3, ) (zpisn u strom sustvu) postje (, ). Formulu z volumen primijenit emo u odnosu n novi sustv. To zn i d trebmo npisti nove grnice integrcije, novu podintegrlnu funkciju i novi diferencijl u skldu s gornjim trnsformcijskim formulm (x, y) ( x, ỹ). Kko se rdi o rotciji oko prvc x = 3, to je prvc prleln s y osi, rije je u biti o rotciji oko novonstle ỹ osi, p primjenjujemo formulu z V y. Jo² se trebmo odlu iti koju emo integrciju koristiti. S obzirom d se trnsformcijom koordintnog sustv ne mijenjju y koordinte (jer je ỹ = y), smim time niti diferencijl, koristit emo z integrciju duº ỹ osi. Volumen V izrzimo ko rzliku volumen V i V koji se dobiju rotcijom redom lijevog, odnosno desnog krk prbole oko ỹ osi. O ito je jo² preostlo smo d funkcijski izrzimo lijevi i desni krk u novim koordintm, i to u smislu ovisnosti x o ỹ (jer integrirmo duº ỹ osi). Lijevi krk: u strim koordintm rije je funkcijskoj vezi x = g (y) = 4 y, kko je x = x + 3, y = ỹ, u novim koordintm vez glsi g (ỹ) = 4 ỹ 3. Desni krk: sli no ko z lijevi krk u strim koordintm immo x = g (y) = 4 y, u novim g (ỹ) = 4 ỹ 3. R unmo sd volumen: V = V V = π = π 4 = π = 64π. 4 4 (g (ỹ) g (ỹ) )dỹ = (( 4 ỹ 3) ( 4 ỹ 3) )dỹ = 4 ỹdỹ = 8π Primjer 7 Trokut zdn vrhovim A(, ), B(5, 3), C(, 4) rotir oko y osi. Odredite volumen V nstlog tijel. S slike vidimo d se rdi o trokutu simetri nom obzirom n prvc y = 3, p volumen V moºemo r unti ko dvostruki volumen V lik nstlog rotcijom 8

10 "donje polovice" trokut odrežene s dv prvc: prvi prvc prolzi to km A i B (prvc y = 3x 4), drugi to km A i P (prvc x = ). "Gornj" funkcij (gledno s y osi) dn je s x = g (y) = y+4 3, "donj" s x = g (y) =. O ito je integrcijsko podru je dno s y =, y = 3, p immo V = V = π = π 3 3 (g (y) g (y) )dy = (( y ) 4)dy = π 3 (y y + 4y) 3 = 8 9 π. Zdtk () Podru je odreženo krivuljm y = x, 3y = (x + ) rotir oko x osi. Izr unjte volumen tko dobivenog tijel. () Odredite volumen tijel koje nstje rotcijom lik odreženog s sin x+ y, π x π oko x osi. (3) Nžite volumen tijel nstlog rotcijom kruºnice x + (y b) = oko osi x (b > ). (4) Izr unjte volumen tijel nstlog rotcijom krivulje x + y = x + y oko x osi. Zdtk 3 () Izr unjte volumen tijel nstlog rotcijom podru j (x ) y x oko y osi. () Izr unjte volumen tijel nstlog rotcijom podru j y x 5y, y 6 x oko osi y. (3) Izr unjte volumen tijel nstlog rotcijom podru j 3 5π x y sin x oko y osi. (4) Izr unjte volumen tijel nstlog rotcijom podru j zdnog nejedndºbm + sin x y, π x π oko y osi. 9

11 (5) Skup odrežen krivuljm x + y = x, y = x, y = x/ 3 rotir oko y osi. Izr unjte volumen dobivenog tijel. (6) Odredite volumen tijel nstlog rotcijom podru j y ( x)(4 + x) oko y osi. (7) Odredite volumen tijel nstlog rotcijom krivulje (y ) = x(4 x) oko y osi. Zdtk 4 () Izr unjte volumen tijel nstlog rotcijom podru j y sin x, x [, π] oko prvc y =. () Izr unjte volumen tijel nstlog rotcijom podru j y sin x x [, π] oko prvc y =. (3) Lik odrežen krivuljm y = x, y = x, x [, 4] rotir oko prvc x =. Izr unjte volumen tko dobivenog tijel. (4) Odredite volumen tijel nstlog rotcijom krivulje y = x(4 x) oko prvc x =.

Σχετικά έγγραφα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine