3. Rubni problem za obične diferencijalne jednadžbe Egizstencija i jedinstvenost rješenja... 64

Transcript

1 Sdržj 1. Numeričk integrcij Općenito o integrcijskim formulm Newton Cotesove formule Trpezn formul Simpsonov formul Produljene formule Primjeri Formul srednje točke (midpoint formul) Rombergov lgoritm Težinske integrcijske formule Gussove integrcijske formule Guss Legendreove integrcijske formule Druge Gussove integrcijske formule Metode z rješvnje običnih diferencijlnih jedndžbi Uvod Runge Kutt metode Vrijbilni kork z Runge Kutt metode Runge Kutt metode z sustve jedndžbi Višekorčne metode Krute (stiff) diferencijlne jedndžbe Rubni problem z obične diferencijlne jedndžbe Egizstencij i jedinstvenost rješenj i

2 SADRŽAJ MAT 9 ii 3.. Metod gdnj z linerne diferencijlne jedndžbe. red Nelinern metod gdnj Metod končnih rzlik Rješvnje prcijlnih diferencijlnih jedndžbi Prboličke PDJ Provodenje topline Eksplicitn metod Crnk Nicolsonov metod Hiperboličke PDJ Vln jedndžb Eksplicitn metod

3 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 1 1. Numeričk integrcij 1.1. Općenito o integrcijskim formulm Zdn je funkcij f : I R, gdje je I obično intervl (može i beskončn). Želimo izrčunti integrl funkcije f n intervlu [, b], I(f) = f(x) dx. (1.1.1) Svi znmo d je derivirnje (brem nlitički) jednostvn postupk, dok integrirnje to nije, p se integrli nlitički u lijepoj formi mogu izrčunti smo z mlen skup funkcij f. Zbog tog, u većini slučjev ne možemo iskoristiti osnovni teorem integrlnog rčun, tj. Newton Leibnitzovu formulu z rčunnje I(f) preko vrijednosti primitivne funkcije F od f u rubovim intervl I(f) = f(x) dx = F(b) F(). Drugim riječim, jedino što nm preostje je približno, numeričko rčunnje I(f). Osnovn idej numeričke integrcije je izrčunvnje I(f) korištenjem vrijednosti funkcije f n nekom končnom skupu točk. Recimo odmh d postoje i integrcijske formule koje koriste i derivcije funkcije f, li o tome kko se one dobivju i čemu služe, bit će više riječi nešto ksnije. Opć integrcijsk formul im oblik I(f) = I m (f) + E m (f), pri čemu je m +1 broj korištenih točk, I m (f) pripdn proksimcij integrl, E m (f) pritom nprvljen grešk. Ovkve formule z približnu integrciju funkcij jedne vrijble (tj. n jednodimenzionlnoj domeni) često se zovu i kvdrturne formule, zbog interpretcije integrl ko površine ispod krivulje.

4 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA Ako koristimo smo funkcijske vrijednosti z proksimciju integrl, ond proksimcij I m (f) im oblik I m (f) = m k=0 w (m) k f(x (m) k ), (1.1.) pri čemu je m neki unprijed zdni prirodni broj. Koeficijenti x (m) k integrcije, w (m) k težinski koeficijenti. zovu se čvorovi U općem slučju, z fiksni m, mormo nekko odrediti m + nepozntih koeficijent. Uobičjen nčin njihovog odredivnj je zhtjev d su integrcijsk formule egzktne n vektorskom prostoru polinom što višeg stupnj. Zšto bš tko? Ako postoji Tylorov red z funkciju f i ko on konvergir, ond bi to znčilo d integrcijsk formul egzktno integrir početni komd Tylorovog red, tj. Tylorov polinom. Drugim riječim, grešk bi bil ml, tj. jednk integrlu greške koji nstje kd iz Tylorovog red nprvimo Tylorov polinom. Zbog linernosti integrl ko funkcionl (αf(x) + βg(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx, (1.1.3) dovoljno je gledti egzktnost tih formul n nekoj bzi vektorskog prostor, recimo n {1, x, x, x 3,...,x m,...}, jer svojstvo (1.1.3) ond osigurv egzktnost z sve polinome do njvišeg stupnj bze. Ako su čvorovi fiksirni, recimo ekvidistntni, ond dobivno tzv. Newton Cotesove formule, z koje mormo odrediti m + 1 nepoznti koeficijent (težine). Uvjeti egzktnosti n vektorskom prostoru polinom td vode n sustv linernih jedndžbi. Ksnije ćemo pokzti d se te formule mogu dobiti i ko integrli interpolcijskih polinom stupnj m z funkciju f n zdnoj (ekvidistntnoj) mreži čvorov. S druge strne, možemo fiksirti smo neke čvorove, ili dozvoliti d su svi čvorovi slobodni. Ove posljednje formule zovu se formule Gussovog tip. U slučju Gussovih formul (li može se i kod težinskih Newton Cotesovih formul) uobičjeno je (1.1.1) zpisti u obliku I(f) = w(x)f(x) dx, (1.1.4) pri čemu je funkcij w 0 tzv. težinsk funkcij. On im istu ulogu gustoće mjere ko i kod metode njmnjih kvdrt. Idej je rzdvojiti podintegrlnu

5 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 3 funkciju n dv dijel, tko d singulriteti budu uključeni u w. Gussove se formule nikd ne rčunju direktno iz uvjet egzktnosti, jer to vodi n nelinerni sustv jedndžbi. Pokzt ćemo d postoji vez Gussovih formul, funkcije w i ortogonlnih polinom obzirom n funkciju w n intervlu [, b], koj omogućv efiksno rčunnje svih prmetr z Gussove formule. N krju ovog uvod spomenimo još d postoje primjene u kojim je korisno tržiti egzktnost integrcijskih formul n drugčijim sustvim funkcij, koji nisu prostori polinom do odredenog stupnj. 1.. Newton Cotesove formule Newton Cotesove formule ztvorenog tip imju ekvidistntne čvorove, s tim d je prvi čvor u točki x 0 :=, posljednji u x m := b. Preciznije, z ztvorenu (to se često ispušt) Newton Cotesovu formulu s (m + 1)-nom točkom čvorovi su x (m) k = x 0 + kh m, k = 0,..., m, h m = b m. Drugim riječim, osnovni je oblik Newton Cotesovih formul f(x) dx I m (f) = m k=0 w (m) k f(x 0 + kh m ). (1..1) Trpezn formul Izvedimo njjednostvniju (ztvorenu) Newton Cotesovu formulu z m = 1. Z m = 1, proksimcij integrl (1..1) im oblik pri čemu je I 1 (f) = w (1) 0 f(x 0 ) + w (1) 1 f(x 0 + h 1 ), h := h 1 = b = b, 1 p je x 0 = i x 1 = b. D bismo olkšli pisnje, kd znmo d je m = 1, možemo izostviti gornje indekse u w (1) k, tj., rdi jednostvnosti, pišemo w k := w (1) k. Dkle, mormo pronći težine w 0 i w 1, tko d integrcijsk formul egzktno integrir polinome što višeg stupnj n intervlu [, b], tj. d z polinome f što višeg stupnj bude f(x) dx = I 1 (f) = w 0 f() + w 1 f(b).

6 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 4 Stvimo, redom, uvjete n bzu vektorskog prostor polinom. Ako je f neki od polinom bze vektorskog prostor, mort ćemo izrčunti njegov integrl. Zbog tog je zgodno odmh izrčunti integrle oblik x k dx, k 0, ztim rezultt koristiti z rzne k. Vrijedi Z f(x) = 1 = x 0 dobivmo x k dx = xk+1 k + 1 b = b = bk+1 k+1. (1..) k + 1 x 0 dx = w w 1 1. Odmh je očito d iz jedne jedndžbe ne možemo odrediti dv nepoznt prmetr, p mormo zhtjevti d integrcijsk formul bude egzktn i n polinomim stupnj 1. Z f(x) = x izlzi b = xdx = w 0 + w 1 b. Sd immo dvije jedndžbe s dvije nepoznnice w 0 + w 1 = b w 0 + bw 1 = b. Pomnožimo li prvu jedndžbu s i dodmo drugoj, dobivmo (b )w 1 = b (b ) = b b + Budući d je b, dijeljenjem s b, dobivmo w 1 = 1 (b ) = h. = (b ). Drugu težinu w 0 lko izrčunmo iz prve jedndžbe linernog sustv w 0 = b w 1 = 1 (b ) = h,

7 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 5 p je w 0 = w 1. Vidimo d je integrcijsk formul I 1 (f) dobiven iz egzktnosti n svim polinomim stupnj mnjeg ili jednkog 1, i glsi f(x) dx h (f() + f(b)). T formul zove se trpezn formul. Odkle joj ime? Npišemo li je n mlo drugčiji nčin, ko f(x) dx f() + f(b) (b ), odmh ćemo vidjeti d je (f() + f(b))/ srednjic, b visin trpez s slike. y f(b) f() b x Drugim riječim, površinu ispod krivulje zmijenili smo (tj. proksimirli) površinom trpez. Koliko je t zmjen dobr? Ovisi o funkciji f. Sve dok prvc rzumno proksimir oblik funkciju f, grešk je ml. N primjer, z funkciju y f() f(b) b x

8 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 6 prvc nije dobr proksimcij z oblik funkcije f. D smo ncrtli funkciju f simetričnije oko sjecišt, moglo bi se dogoditi d je grešk vrlo ml, jer bi se ono što je previše určunto u površinu s jedne strne skrtilo s onim što je premlo určunto s druge strne. S numeričkog stnovišt, tkv pristup je opsn. Trpezn integrcijsk formul neće egzktno integrirti sve polinome stupnj. To nije teško pokzti, jer već z f(x) = x vrijedi b = x dx I 1 (x ) = + b (b ). Slik ns upućuje n još jednu činjenicu. Povučemo li kroz (, f()), (b, f(b)) linerni interpolcijski polinom, ztim g egzktno integrirmo od do b, dobivmo trpeznu formulu. Pokžimo d je to tko. Interpolcijski polinom stupnj 1 koji prolzi kroz zdne točke je Njegov integrl n [, b] je p 1 (x) dx = p 1 (x) = f() + f[, b] (x ). (f()x f[, b]x + f[, b] x = (b )f() + (b ) ) b f[, b] = (b ) f() + f(b). Ovj nm pristup omogućv i ocjenu greške integrcijsk formule, preko ocjene greške interpolcijskog polinom, uz uvjet d možemo ocijeniti grešku interpolcijskog polinom (tj. ko f im dovoljn broj neprekidnih derivcij). Nek je funkcij f C [, b]. Grešk interpolcijskog polinom stupnj 1 koji funkciju f interpolir u točkm (, f()), (b, f(b)) n intervlu [, b] jednk je Drugim riječim, vrijedi e 1 (x) = f(x) p 1 (x) = f (ξ) (x ) (x b). E 1 (f) = f (ξ) (x ) (x b) dx.

9 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 7 Ostje smo izrčunti E 1 (f). Iskoristit ćemo generlizciju teorem srednje vrijednosti z integrle. Ako su funkcije g i w integrbilne n [, b] i ko je w(x) 0 n [, b], ond vrijedi m m = inf x [,b] g(x), w(x) dx Prethodn formul lko se dokzuje, jer je M = sup g(x), x [,b] w(x)g(x) dx M w(x) dx. m g(x) M = mw(x) g(x)w(x) Mw(x), p je m w(x) dx w(x)g(x) dx M w(x) dx. (1..3) Digresij z nemtemtičre. inf (čitti infimum) je minimum funkcije koji se ne mor dostići. N primjer, funkcij nem minimum, li je g(x) = x n (0, 1) (1..4) inf x = 0. x (0,1) Slično vrijedi i z sup (čitti supremum). Supremum je mksimum funkcije koji se ne mor dostići. N primjer, funkcij iz relcije (1..4) nem ni mksimum, li je sup x = 1. x (0,1) Korištenjem relcije (1..3), lko dokzujemo integrlni teorem srednje vrijednosti s težinm. Teorem Nek su funkcije g i w integrbilne n [, b] i nek je m = inf x [,b] g(x), M = sup g(x). x [,b] Ndlje, nek je w(x) 0 n [, b]. Td postoji broj µ, m µ M tkv d vrijedi w(x)g(x) dx = µ w(x) dx.

10 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 8 Posebno, ko je g neprekidn n [, b], ond postoji broj ζ tkv d je w(x)g(x) dx = g(ζ) w(x) dx. Dokz: Ako je ond je po (1..3) i w(x) dx = 0, w(x)g(x) dx = 0, p z µ možemo uzeti proizvoljn reln broj. Ako je w(x) dx > 0, ond dijeljenjem formule (1..3) s prethodnim integrlom dobivmo m w(x)g(x) dx w(x) dx M, p z µ možemo uzeti µ = w(x)g(x) dx. w(x) dx Posljednji zključk teorem slijedi iz činjenice d neprekidn funkcij n segmentu postiže sve vrijednosti izmedu minimum i mksimum, p mor postići i µ. Drugim riječim, postoji ζ tkv d je µ = g(ζ). Prisjetite se, već smo pokzli d je E 1 (f) = f (ξ) (x ) (x b) dx. Primijetite d je funkcij (x ) (x b) 0 n [, b],

11 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 9 p možemo uzeti w(x) = (x ) (x b), g(x) = f (ξ). Po generlizirnom teoremu srednje vrijednosti, ko je f C [, b], (što znči d je f C 0 [, b]), vrijedi d je E 1 (f) = f (ζ) (x ) (x b) dx. Ovj se integrl jednostvno rčun. Integrirnjem dobivmo p je (x ) (x b) (b )3 dx = 1 E 1 (f) = f (ζ) h3 1. = h3 1, 1... Simpsonov formul Izvedimo sljedeću (ztvorenu) Newton Cotesovu formulu z m =, pozntu pod imenom Simpsonov formul. Z m =, proksimcij integrl (1..1) im oblik pri čemu je I (f) = w () 0 f(x 0 ) + w () 1 f(x 0 + h ) + w () f(x 0 + h ), h := h = b. Ponovno, d bismo olkšli pisnje, kd znmo d je m =, možemo, rdi jednostvnosti, izostviti gornje indekse u w k := w () k. Oprez, to nisu isti w k i h ko u trpeznoj formuli! Kd uvrstimo znčenje h u proksimcijsku formulu, dobivmo ( ) + b I (f) = w 0 f() + w 1 f + w f(b). Stvimo uvjete n egzktnost formule n vektorskom prostoru polinom što višeg stupnj. Mormo postviti njmnje tri jedndžbe, jer immo tri nepoznt koeficijent. Z f(x) = 1 dobivmo b = x 0 dx = w w w 1.

12 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 10 Z f(x) = x izlzi b = Končno, z f(x) = x dobivmo xdx = w 0 + w 1 + b + w b. b = x dx = w 0 + w 1 ( + b) 4 + w b. Sd immo linerni sustv s tri jedndžbe i tri nepoznnice Rješvnjem ovog sustv, dobivmo w 0 + w 1 + w = b w b w 1 + bw = b ( + b) w 0 + w 1 + b w = b w 0 = w = h 3 = b 6, w 1 = 4h 3 4(b ) =. 6 Drugim riječim, integrcijsk formul I (f) dobiven je iz egzktnosti n svim polinomim stupnj mnjeg ili jednkog, i glsi f(x) dx h ( ( ) + b f() + 4f 3 ) + f(b). Simpsonov formul im još jednu prednost. Iko je dobiven iz uvjet egzktnosti n vektorskom prostoru polinom stupnj mnjeg ili jednkog, on egzktno integrir i sve polinome stupnj 3. Dovoljno je pokzti d egzktno integrir Egzktni integrl jednk je f(x) = x 3. x 3 dx = b4 4, 4 po Simpsonovoj formuli, z f(x) = x 3 dobivmo I (x 3 ) = b 6 = b 4 ( ( ) + b 3 + b 3) ( 3 + b + b + b 3 ) = b4 4. 4

13 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 11 Ponovno, nije teško pokzti d je i ov formul interpolcijsk. Ako povučemo kvdrtni interpolcijski polinom kroz (, f()), ( +b, f(+b )) i (b, f(b)), ztim g egzktno integrirmo od do b, dobivmo Simpsonovu formulu. Ako pogledmo kko on funkcionir n funkcijm koje smo već integrirli trpeznom formulom, vidjet ćemo d joj je grešk bitno mnj. Posebno, n prvom primjeru, kvdrtni interpolcijski polinom tko dobro proksimir funkciju f, d se one n grfu ne rzlikuju. y f(b) y f() f() f(b) b x b x Grešku Simpsonove formule rčunmo slično ko kod trpezne, integrcijom greške kvdrtnog interpolcijskog polinom e (x) = f(x) p (x) = f (ξ) 6 Dkle, z grešku Simpsonove formule vrijedi Nžlost, funkcij E (f) = ( (x ) x + b ( (x ) e (x) dx. ) (x b) x + b ) (x b). nije više fiksnog znk n [, b], p ne možemo direktno primijeniti generlizirni teorem srednje vrijednosti. Pretpostvimo d je f C 4 [, b]. Oznčimo i definirmo w(x) = x c := + b (t ) (t c) (t b) dt.

14 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 1 Tvrdimo d vrijedi w() = w(b) = 0, w(x) > 0, x (, b). (1..5) Skicirmo li funkciju f(t) = (t )(t c)(t b) odmh vidimo d je on centrlno simetričn oko srednje točke f(t) c b t p će integrl rsti od 0 do svog mksimum (plv površin), ztim pdti (kd dode u crveno područje) do 0. Ostje smo još npisti grešku interpolcijskog polinom ko podijeljenu rzliku. To smo pokzli općenito u poglvlju o Newtonovom interpolcijskom polinomu, posebno z n = 3 vrijedi f[, b, c, x] = f (ξ). 6 Uz oznku (1..5), grešku Simpsonove formule, ond možemo npisti ko E (f) = w (x)f[, b, c, x] dx. Prcijlnom integrcijom ovog integrl dobivmo E (f) = w(x)f[, b, c, x] b w(x) d f[, b, c, x] dx. dx Prvi čln je očito jednk 0, jer je w() = w(b) = 0. Ostje još srediti drugi čln. Kod spljnov smo objšnjvli d je podijeljen rzlik s dvostrukim čvorom jednk derivciji funkcije. N sličn je nčin derivcij treće podijeljene rzlike

15 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 13 f[, b, c, x] po x, četvrt podijeljen rzlik s dvostrukim čvorom x. Prem tome, dobivmo formulu greške u obliku E (f) = w(x)f[, b, c, x, x] dx. Sd je funkcij w nenegtivn i možemo primijeniti generlizirni teorem srednje vrijednosti. Izlzi E (f) = f[, b, c, η, η] w(x) dx, gdje je η b. Npišemo li f[, b, c, η, η] ko derivciju, dobivmo E (f) = f(4) (ζ) 4! Ostje još smo integrirti funkciju w. Vrijedi Ndlje je w(x) = w(x) dx = = = = x x c h ( y 4 h ( y 4 w(x) dx. (t ) (t c) (t b) dt = zmjen vrijble y = t c (y h)y(y + h) dy = 4 hy ( (x c) 4 h ( h 5 = 4 ) x c = h h (x c) 4 hy + h4 4 0 h5 6 + h5 4 x c h (x c)4 4 (y 3 h y) dy h (x c) + h4 4. ) + h4 dx = zmjen vrijble y = x c 4 ) ( y 5 dy = 0 hy3 6 + h4 y 4 ) = 4 15 h5. Kd to uključimo u formulu z grešku, dobivmo E (f) = f(4) (ζ) h5 = h5 90 f(4) (ζ). ) h h Primijetite, grešk je z red veličine bolj no što bi po upotrijebljenom interpolcijskom polinomu trebl biti.

16 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA Produljene formule Nije teško pokzti d su sve Newton Cotesove formule integrli interpolcijskih polinom n ekvidistntnoj mreži. Ako ne vlj diznje stupnjev interpolcijskih polinom n ekvidistntnoj mreži, ond neće biti dobri niti njihovi integrli. Pokžimo to n primjeru Runge. Prv vrijednost integrl je 5 5 dx = rctg x Sljedeć tblic pokzuje proksimcije integrl izrčunte Newton Cotesovim formulm rznih redov i pripdne greške. Red formule m Aproksimcij integrl Grešk Očito je d proksimcije ne konvergirju prem prvoj vrijednosti integrl. Potpunije oprvdnje ovog ponšnj djemo nešto ksnije. I što sd? Ne smijemo dizti red formul, jer to postje opsno. Rješenje je vrlo slično onome što smo primijenili kod interpolcije. Umjesto d dižemo red

17 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 15 formule, podijelimo intervl [, b] n više dijelov, recimo, jednke duljine, i n svkom od njih primijenimo odgovrjuću integrcijsku formulu niskog red. Tko dobivene formule zovu se produljene formule. N primjer, z funkciju koju smo već rzmtrli, produljen trpezn formul s podintervl izgledl bi ovko. y x 0 x 1 x x Općenito, produljenu trpeznu formulu dobivmo tko d cijeli intervl [, b] podijelimo n n podintervl oblik [x k, x k ], z k = 1,..., n, s tim d je = x 0 < x 1 < < x n < x n = b, i n svkom od njih upotrijebimo običnu trpeznu formulu. Znmo d je td f(x) dx = n k=1 x k x k f(x) dx, p n isti nčin zbrojimo i obične trpezne proksimcije u produljenu trpeznu proksimciju. Njjednostvniji je slučj kd su točke x k ekvidistntne, tj. kd je svki podintervl [x k, x k ] iste duljine h. To znči d je x k = + kh, k = 0,...,n, h = b n. Aproksimcij produljenom trpeznom formulom je 1 f(x) dx = h( f 0 + f f n + 1 ) f n + En T (f), pri čemu je En T (f) grešk produljene formule. Nju možemo zpisti ko zbroj grešk osnovnih trpeznih formul n podintervlim E T n (f) = n k=1 f (ζ k ) h3 1.

18 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 16 Grešk ovko npisn nije nročito lijep i korisn, p ju je potrebno npisti mlo drugčije ( En T (f) = h3 n 1 n ) f (ζ k ). 1 n Izrz u zgrdi je ritmetičk sredin vrijednosti drugih derivcij u točkm ζ k. Tj se broj sigurno nlzi izmedu njmnje i njveće vrijednosti druge derivcije funkcije f n intervlu [, b]. Budući d je f neprekidn n [, b], ond je broj u zgrdi vrijednost druge derivcije u nekoj točki ξ [, b], p formulu z grešku možemo pisti ko k=1 En T (f) = n h3 1 f (b )h (ξ) = f (ξ). 1 Iz ove formule izvodimo vžnu ocjenu z broj podintervl potrebnih d se postigne zdn točnost z produljenu trpeznu metodu E T n (b )h (b )3 (f) M = M 1 1n, M = mx f (x). x [,b] Želimo li d je En T (f) ε, ond je dovoljno tržiti d bude odnosno d je n (b ) 3 1n M ε, (b ) 3 M, n cijeli broj. 1ε N sličn se nčin izvodi i produljen Simpsonov formul. Primijetite, osnovn Simpsonov formul im 3 točke, tj. podintervl, p produljen formul mor imti, tkoder, prn broj podintervl. Pretpostvimo stog d je n prn broj. Ogrničimo se smo n ekvidistntni slučj. Ond je ponovno h = b n, x k = + kh, k = 0,...,n. Aproksimciju integrl produljenom Simpsonovom formulom dobivmo iz f(x) dx = n/ k=1 x k x k f(x) dx, tko d n svkom podintervlu [x k, x k ], duljine h, primijenimo običnu Simpsonovu formulu, z k = 1,..., n/. Zbrjnjem izlzi f(x) dx = h ) (f 0 + 4f 1 + f + 4f 3 + f f n + f n + En S 3 (f),

19 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 17 pri čemu je En S (f) grešk produljene formule. Nju možemo zpisti ko zbroj grešk osnovnih Simpsonovih formul n podintervlim n/ En S (f) = k=1 Opet je grešku korisno npisti mlo drugčije f (4) (ζ k ) h5 90. ( En(f) S = h5 (n/) n/ ) f (4) (ζ k ). 90 n k=1 Sličnim zključivnjem ko kod trpezne formule, izrz u zgrdi možemo zmijeniti s f (4) (ξ), ξ [, b], p dobivmo En S (f) = n (b )h4 h5 180 f(4) (ξ) = f (4) (ξ). 180 Ponovno, iz ove formule izvodimo ocjenu z broj podintervl potrebnih d se postigne zdn točnost z Simpsonovu metodu E S n(f) (b )h4 (b )5 M 4 = n M 4, 4 M 4 = mx x [,b] f(4) (x). Želimo li d je En S (f) ε, ond je dovoljno tržiti d bude odnosno d je (b ) 5 180n 4 M 4 ε, n 4 (b )5 M 4, n prn cijeli broj. 180ε Primjeri Primjer Izrčunjte vrijednost integrl 1 xe x dx korištenjem (produljene) Simpsonove formule tko d grešk bude mnj ili jednk Ndite prvu vrijednost integrl i pogreške. Koliko je podintervl potrebno z istu točnost korištenjem (produljene) trpezne formule?

20 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 18 Prmo, mormo ocijeniti pogrešku z produljenu trpeznu i produljenu Simpsonovu formulu. Z to su nm potrebni mksimumi psolutnih vrijednosti druge i četvrte derivcije n zdnom intervlu. Derivcije su redom f (1) (x) = (1 x)e x, f (4) (x) = (x 4)e x, f () (x) = (x )e x, f (5) (x) = (5 x)e x. f (3) (x) = (3 x)e x, Ndimo mksimume psolutnih vrijednosti derivcij n zdnom intervlu. Prvo ocijenimo grešku z produljenu trpeznu formulu. N intervlu [1, ] je f (3) (x) > 0, što znči d f () rste. Uočimo još d je n zdnom intervlu f () (x) 0, p je mksimum psolutne vrijednosti druge derivcije u lijevom rubu, tj. M = mx x [1,] f() (x) = f () (1) = e Broj podintervl n T z produljenu trpeznu formulu je n T (b ) 3 M 1ε p je njmnji broj podintervl n T = 176. e = , Sd ocijenimo grešku z produljenu Simpsonovu formulu. N intervlu [1, ] je f (5) (x) > 0, što znči d f (4) rste. Tkoder je i f (4) (x) < 0, što znči d je njen mksimum po psolutnoj vrijednosti ponovno u lijevom rubu, tj. M 4 = mx x [1,] f(4) (x) = f (4) (1) = 3 e Z grešku produljene Simpsonove formule immo n S 4 (b ) 5 M 4 180ε tj. treb njmnje n S = 10 podintervl. = 4 3 e 8.85, Sd možemo upotrijebiti produljenu Simpsonovu formulu s 10 podintervl (11

21 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 19 čvorov). Immo Sd je k x k f(x k ) S 0 = f(x 0 ) + f(x 10 ) = , S 1 = 4(f(x 1 ) + f(x 3 ) = f(x 5 ) + f(x 7 ) + f(x 9 )) = , S = (f(x ) + f(x 4 ) + f(x 6 ) + f(x 8 )) = Vrijednost integrl po Simpsonovoj formuli je I s = (S 0 + S 1 + S ) = U ovom konkretnom slučju možemo bez puno npor izrčunti i egzktnu vrijednost integrl. Jedin korist od tog je d vidimo koliko je zist ocjen z Simpsonovu metodu blisk s stvrnom greškom. Prcijln integrcij dje 1 xe x dx = { u = x, dv = e x dx, Drugim riječim, prv pogrešk je du = dx v = e x } = xe x 1 + = e e e x = e e e + e = e 3e I I S = = , tj. ocjen greške nije dleko od prve pogreške. 1 e x dx

22 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA Formul srednje točke (midpoint formul) Ako u Newton Cotesovim formulm ne interpolirmo (p ond niti ne integrirmo) jednu ili obje rubne točke, dobili smo otvorene Newton Cotesove formule. Ako definirmo x :=, x m+1 := b i h m = b m +, ond otvorene Newton Cotesove formule imju oblik f(x) dx I m (f) = m k=0 w (m) k f(x 0 + kh m ). (1..6) Vjerojtno njkorištenij i njpozntij otvoren Newton Cotesov formul je on njjednostvnij z m = 0, poznt pod imenom midpoint formul (formul srednje točke). Dkle z bismo odredili midpoint formulu, mormo nći koeficijent w 0 := w (0) 0 tkv d je ( ) + b f(x) dx = w 0 f egzktn n vektorskom prostoru polinom što višeg stupnj. Z f(x) = 1, immo odkle odmh slijedi d je b = 1 dx = w 0, ( ) + b f(x) dx = (b )f. Grešk te integrcijske formule je integrl greške interpolcijskog polinom stupnj 0 (konstnte), koji interpolir funkciju f u srednjoj točki. Ako definirmo w(x) = x (t c) dt, c := + b, ond koristeći istu tehniku ko kod izvod greške z Simpsonovu formulu, izlzi d je grešk midpoint formule E 0 (f) = e 0 (x) dx = f (ξ) (b )3. 4

23 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 1 D bismo izveli produljenu formulu, podijelimo intervl [, b] n n podintervl i n svkom upotrijebimo midpoint formulu. Td vrijedi I n (f) = h(f f n ) + E M n (f), pri čemu je E M n (f) ukupn grešk koj je jednk E M n (f) = n k=1 ( f (ξ k ) h3 4 = h3 n 1 4 n k= Rombergov lgoritm h = b ( n, x k = + k 1 ) h, n ) f (ξ k ) = h3 n 4 f (ξ) = h (b ) f (ξ). 4 Pri izvodu Rombergovog lgoritm koristimo se sljedećim principim: udvostručvnjem broj podintervl u produljenoj trpeznoj metodi, elimincijom čln greške iz dvije susjedne produljene formule. Ponovljen primjen ovog princip zove se Richrdsonov ekstrpolcij. Asimptotski rzvoj ocjene pogreške z trpeznu integrciju dje Euler Mc- Lurinov formul. Teorem Nek je m 0, n 1, m, n cijeli brojevi. Definirmo ekvidistntnu mrežu s n podintervl n [, b], tj. h = b n, x k = + kh, k = 0,...,n. Pretpostvimo d je f C (m+) [, b]. Z pogrešku produljene trpezne metode vrijedi m E n (f) = f(x) dx In T d i (f) = n + F n,m, i gdje su koeficijenti osttk je F n,m = i=1 d i = B i (i)! (b )i (f (i) (b) f (i) ()), (b )m+ (m + )!n m+ ( ) x B m+ f (m+) (x) dx. h

24 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA Ovdje su B i Bernoullijevi brojevi, 1 B i = 0 B i (x) dx, i 1, B i je periodičko proširenje običnih Bernoullijevih polinom { Bi (x), z 0 x 1, B i (x) = B i (x 1), z x 1. Ovo je jedn od klsičnih teorem numeričke nlize i njegov se dokz može nći u mnogim knjigm. Umjesto dokz, nekoliko objšnjenj. Bernoullijevi polinomi zdni su implicitno funkcijom izvodnicom t(e xt 1) = B e t i (x) ti 1 i!. Prvih nekoliko Bernullijevih polinom su: B 0 (x) = 0 B 3 (x) = x 3 3x + x B 4 (x) = x (1 x). Uvijek vrijedi B i (0) = 0 z i 0. Rekurzivne relcije su i=0 B 1 (x) = x B i (x) = { ibi (x), z i prn i i 4, i(b i (x) + B i ), z i neprn i i 3. B (x) = x x Iz prethodne se formule integrcijom mogu dobiti B i (x), jer je slobodni čln jednk 0. Bernoullijevi brojevi tkoder su definirni implicitno t e t 1 = t i B i i!, odkle se integrcijom n [0, 1] po x u rekurziji z B i (x) dobiv 1 B i = Prvih nekoliko Bernoullijevih brojev: B 0 = 1, B 1 = 1, 0 B = 1 6, i=0 B i (x) dx, i 1. B 8 = 1 30, B 10 = 5 66, B 1 = , i dlje vrlo brzo rstu po psolutnoj vrijednosti B 4 = 1 30, B 14 = 7 6, B B 6 = 1 4, B 16 =

25 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 3 Npomen U literturi se može nći i mlo drugčij definicij Bernoullijevih polinom, oznčimo ih s B i (x). Oni su zdni implicitno funkcijom izvodnicom te xt e t 1 = i=0 B i (x) ti i!. Vez izmedu jednih i drugih Bernoullijevih polinom je B i (x) = B i(x)+b i, z i 0. Rombergov lgoritm dobivmo tko d eliminirmo čln po čln iz red z ocjenu greške n osnovu vrijednosti integrl s duljinom kork h i h/. Z podintegrlne funkcije koje nisu dovoljno gltke, tkoder, se može (uz blge pretpostvke) simptotski dobiti rzvoj pogreške. Posebno to vrijedi z funkcije s lgebrskim (x α ) i/ili logritmskim (lnx) singulritetim. Izvedimo sd Rombergov lgoritm. Oznčimo s I n (0) trpeznu formulu s duljinom intervl h = (b )/n. Iz Euler McLurinove formule, ko je n prn, z simptotski rzvoj greške immo I I (0) n I I (0) = d(0) n/ = 4d(0) n n + d(0) 4 n + + d(0) m 4 n + F m n,m + 16d(0) m d (0) m n 4 n + F n/,m. m Ako prvi rzvoj pomnožimo s 4 i oduzmemo mu drugi rzvoj, skrtit će se prv grešk s desne strne d (0), tj. dobit ćemo d(0) 4(I I n (0) ) (I I(0) n/ ) = 4 n 4 60d(0) 6 +. n 6 Izlučivnjem člnov koji imju I n lijevu strnu, ztim dijeljenjem, dobivmo I = 4I(0) n I(0) n/ 3 4d(0) 4 n 4 0d(0) 6 +. n 6 Prvi čln zdesn možemo uzeti ko bolju, poprvljenu proksimciju integrl, u oznci I (1) n = 4I(0) n I(0) n/ 3, n prn, n. Niz I n (), I n (4), I n (6) je novi integrcijski niz. Njegov je grešk gdje je I I (1) n = d(1) 4 n + d(1) 6 4 n +, 6 d (1) 4 = 4d (0) 4, d (1) 6 = 0d (0) 6.

26 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 4 Ndimo eksplicitnu formulu z I n (1). Zbog podjele n odgovrjući broj podintervl, ko je h duljin podintervl z I n (0), ond je h 1 := h duljin podintervl z I (0) n/, p vrijede sljedeće formule I (0) n = h (f 0 + f 1 + f n + f n ) I (0) n/ = h 1 (f 0 + f + f n + f n ). Uvrštvnjem u I (1) n, dobivmo I (1) n = 4h 3 ( 1 f 0 + f 1 + f n + 1 n) f h 3 ( 1 f 0 + f 1 + f n + 1 f n) = h 3 (f 0 + 4f + f 4 + 4f n + f n ), što je Simpsonov formul s n podintervl. Td je odnosno Sličn rgument ko i prije možemo upotrijebiti i dlje. Vrijedi I I (1) n/ = 16d(1) 4 n d(1) 6 +. n 6 16(I I n (1) ) (I I (1) n/ ) = 48d(1) 6 +, n 6 I = 16I(1) n I(1) n/ 48d(1) n 6 Ponovno, prvi čln s desne strne proglsimo z novu proksimciju integrl I () n = 16I(1) n I(1) n/ 15, n djeljiv s 4, n 4. Induktivno, ko nstvimo postupk, dobivmo Richrdsonovu ekstrpolciju I (k) n pri čemu je grešk jednk = 4k I n (k) 4 k 1 I (k) n/, n k, E (k) n = I I (k) n = d(k) k+ n k+ + = β k(b )h k+ f (k+) (ξ), ξ b.

27 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 5 Sd možemo definirti Rombergovu tblicu I (0) 1 I (0) I (1) I (0) 4 I (1) 4 I () Ako pogledmo omjere grešk člnov u stupcu, uz pretpostvku dovoljne gltkoće, ond dobivmo E n (k) = k+, E (k) n tj. omjeri pogrešk u stupcu se morju ponšti ko Pokžimo n primjeru d prethodni omjeri pogrešk u stupcu vrijede smo ko je funkcij dovoljno gltk. Primjer Rombergovim lgoritmom s točnošću 10 ndite vrijednosti integrl e x dx, x 3/ dx, x dx 0 i pokžite kko se ponšju omjeri pogrešk u stupcim. 0 Pogledjmo redom funkcije. Eksponencijln funkcij im beskončno mnogo neprekidnih derivcij, p bi se rčunnje integrl morl ponšti po predvidnju. Ko vrijednost, nkon 5 podintervl u trpeznoj formuli, dobivmo umjesto prve vrijednosti integrl I, približnu vrijednost I 5 = I = e 1 = I I 5 = 0. 0

28 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 6 Pokžimo omjere pogrešk u stupcim, ztim smo eksponente omjer pogrešk (eksponenti od, koji bi ko je funkcij gltk morli biti k + ) Što je s drugom funkcijom? Funkciji f(x) = x 3/ puc drug derivcij u 0, p bi znimljivo ponšnje morlo početi veću drugom stupcu (z trpez je funkcij dovoljno gltk z ocjenu pogreške). Ko vrijednost, nkon 15 podintervl u trpeznoj formuli, dobivmo umjesto prve vrijednosti integrl I, približnu vrijednost I 15 = I = /5 = I I 15 = Primijetite d je broj intervl poprilično velik! Što je s omjerim pogrešk? Primjećujemo d su se nkon prvog stupc omjeri pogrešk stbilizirli. Bit će nm mnogo lkše provjeriti što se dogd ko npišemo smo eksponente omjer

29 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 7 pogrešk Primijetite d su eksponenti omjer pogrešk od drugog stupc ndlje točno z 1 veći od eksponent sme funkcije (integrirmo!). Situcij s funkcijom f(x) = x mor biti još gor, jer njoj puc prv derivcij u 0. Nkon 15 podintervl u trpeznoj formuli (što je ogrničenje zbog veličine polj u progrmu), ne dobivmo željenu točnost Omjeri pogrešk u tblici su: I 15 = I = /3 = I I 15 = Pripdni eksponenti su

30 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 8 Ipk, u ov dv jednostvn primjer, može se Rombergovom lgoritmu pomoći tko d supstitucijom u integrlu dobijemo gltku funkciju. U ob slučj, ko stvimo supstituciju x = t, podintegrln će funkcij imti beskončno mnogo neprekidnih derivcij, p će se lgoritm ponšti po ocjeni pogreške. U literturi postoji i mlo drugčij oznk z proksimcije integrl u Rombergovoj tblici T m (k) = 4m T (k+1) m T (k) m. 4 m 1 Sm tblic im oblik T (0) 0 T (1) 0 T (0) 1 T () 0 T (1) 1 T (0) Pokžimo sd nekoliko primjer kko treb, odnosno ne treb koristiti Rombergov lgoritm. Primjer Izrčunjte korištenjem Rombergovog lgoritm približnu vrijednost integrl 1 sin(17πx) dx 0 Tko d grešk bude mnj ili jednk Npišimo tblicu (smo prvih pr deciml, ostle pmtimo u rčunlu, li nemmo prostor z ispis)

31 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 9 Što je rzlog stbilizcije oko jedne, p oko druge vrijednosti? Nedovoljn broj podintervl u trpezu, koji ne opisuju dobro ponšnje funkcije. y x Produljen trpezn formul s podintervl. y x Produljen trpezn formul s 4 podintervl. y x Produljen trpezn formul s 8 podintervl.

32 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 30 y x Produljen trpezn formul s 16 podintervl Težinske integrcijske formule Dosd smo detljno nlizirli smo nekoliko osnovnih Newton Cotesovih integrcijskih formul s mlim brojem točk i pripdne produljene formule. U ovom odjeljku nprvit ćemo opću konstrukciju i nlizu točnosti z neke klse integrcijskih formul, uključujući opće Newton Cotesove i Gussove formule. Želimo (približno) izrčunti vrijednost integrl I w (f) = f(x)w(x) dx, (1.4.1) gdje je w pozitivn (ili brem nenegtivn) težinsk funkcij z koju pretpostvljmo d je integrbiln n (, b), s tim d dozvoljvmo d w nije definirn u rubovim i b. Intervl integrcije može biti končn, li i beskončn. Drugim riječim, promtrmo opći problem jednodimenzionlne integrcije zdne funkcije f po zdnoj neprekidnoj mjeri dλ generirnoj težinskom funkcijom w n zdnoj domeni. Ktkd koristimo i skrćenu oznku I(f), umjesto I w (f), z integrl u (1.4.1), ko je w(x) = 1 n cijelom [, b], ili kd je težinsk funkcij jsn iz kontekst, d skrtimo pisnje. Ko i rnije, ovj integrl proksimirmo težinskom sumom funkcijskih vrijednosti funkcije f n končnom skupu točk, Z rzliku od rnijih oznk, ovdje je zgodnije točke numerirti od 1, ne od 0. Dkle, opć težinsk integrcijsk ili kvdrturn formul z proksimciju integrl I w (f) im oblik I n (f) = n k=1 w (n) k f(x(n) k ), (1.4.)

33 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 31 gdje je n prirodni broj. Ko i prije, gornje indekse (n) z čvorove i težine često ne pišemo, ko su očiti iz kontekst, li ne treb zborviti n ovisnost o n. Dkle, ssvim općenito možemo pisti I w (f) = gdje je E n (f) grešk proksimcije. f(x)w(x) dx = I n (f) + E n (f), (1.4.3) Osnovnu podlogu z konstrukciju integrcijskih formul i ocjenu greške E n (f) dje sljedeći rezultt. Teorem Ako je I w (f) iz (1.4.1) Riemnnov integrl, i ko je f bilo koj drug funkcij z koju postoji I w ( f), ond vrijedi ocjen I w (f) I w ( f) w 1 f f, (1.4.4) i postoji funkcij f z koju se ov ocjen dostiže. Dokz: Prvo uočimo d w ne mor biti nenegtivn, jer je riječ o Riemnnovom integrlu, li zto treb pretpostviti d je w integrbiln. Ocjen izlzi direktno iz osnovnih svojstv Riemnnovog integrl jer podintegrlne funkcije morju biti ogrničene. Dobivmo Iskoristimo ocjenu I w (f) I w ( f) = f(x)w(x) dx w(x) f(x) f(x) dx. f(x)w(x) dx f(x) f(x) sup f(x) f(x) = f f, x [,b] x [, b], i definiciju L 1 norme funkcije w (koj je psolutno integrbiln po pretpostvci) w 1 = w(x) dx, p dobivmo trženu ocjenu. Ako z perturbirnu funkciju f uzmemo f(x) := f(x) + c sign(w(x)),

34 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 3 gdje je c > 0 bilo koj konstnt, ond u ocjeni (1.4.4) dobivmo jednkost, uz f f = c. U ovoj formulciji, z klsični Riemnnov integrl, domen [, b] integrcije mor biti končn. Teorem ond kže d je psolutni broj uvjetovnosti z I w (f) uprvo jednk w 1 i ne ovisi o f, već smo o I w. Ovj rezultt može se proširiti i n neprve Riemnnove integrle (beskončn domen, singulriteti funkcij), i td više ne vrijedi zključk o broju uvjetovnosti. Medutim, trenutno nm to nije bitno, već je ključn mlo drugčij interpretcij ocjene (1.4.4). Zmislimo d je f nek proksimcij ( ne perturbcij) funkcije f, koju želimo iskoristiti z približno rčunnje integrl. Ond (1.4.4) dje ocjenu (psolutne) pogreške u integrlu, preko greške proksimcije funkcije u uniformnoj (L ) normi n [, b]. Ono što stvrno želimo dobiti je niz proksimcij integrl koji konvergir prem I w (f). Jedn od putev d to postignemo je izbor odgovrjućeg niz proksimcij f n, n N, z funkciju f. Prethodn ocjen upućuje n to d, u ovisnosti o n, z proksimcijske funkcije f n treb uzimti tkve funkcije z koje znmo d možemo postići po volji dobru uniformnu proksimciju funkcije f, jer td f f n 0 = I w (f) I w ( f n ) 0, n. Uočimo d ove proksimcije, nrvno, ovise o konkretnoj funkciji f. D ne bismo z svki novi f posebno konstruirli odgovrjući niz proksimcij, poželjno je d bilo koju funkciju f, z koju postoji integrl I w (f), možemo dovoljno dobro proksimirti nekim prostorom funkcij. Tj. umjesto niz pojedinčnih proksimcij, koristimo niz vektorskih prostor proksimcijskih funkcij V n, z svki pojedini f ndemo pripdnu proksimciju f n V n. Weierstrßov teorem o uniformnoj proksimciji neprekidnih funkcij polinomim n končnom intervlu [, b] sugerir d treb uzeti V n ko prostor polinom P d stupnj mnjeg ili jednkog d, gdje d ovisi o n (i rste s n). Ko što ćemo vidjeti, korisno je dozvoliti d bude d n. Isti princip koristimo i z beskončne domene, smo treb osigurti d su polinomi integrbilni s težinom w. To postižemo dodtnim zhtjevom n težinsku funkciju w, tko d pretpostvimo d svi momenti težinske funkcije µ k := x k w(x) dx, k N 0, (1.4.5) postoje i d su končni. U nstvku pretpostvljmo d težinsk funkcij w zdovoljv ovu pretpostvku. Tkve težinske funkcije obično zovemo (polinomno) dopustivim.

35 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 33 Npomenimo odmh d se ovj pristup može generlizirti i n bilo koji drugi sustv funkcij proksimcijskih funkcij { f n n N} koji je gust u prostoru C[, b] neprekidnih funkcij n [, b]. Pripdni prostori V n generirni su početnim komdim ovog sustv funkcij (ko linerne ljuske). Z prktičnu primjenu ovog pristup mormo moći efektivno izrčunti integrl I w ( f n ) proksimcijske funkcije, i to z bilo koju funkciju f. To se njlkše postiže tko d konstruirmo pripdnu integrcijsku formulu I n koj je egzktn n cijelom prostoru V n = P d proksimcijskih funkcij. Dkle, uvjet egzktnosti z I n je I w (f) = I n (f) ili E n (f) = 0, z sve f V n. Iz relcij (1.4.3) i (1.4.4) odmh dobivmo i ocjenu greške pripdne integrcijske formule I n (f), z bilo koji f E n (f) = I w (f) I n (f) = I w (f) I w ( f n ) w 1 f f n Gussove integrcijske formule Ko što smo već rekli, Gussove formule imju dvostruko više slobodnih prmetr nego Newton Cotesove, p bi zbog tog treble egzktno integrirti polinome približno dvostruko većeg stupnj od Newton Cotesovih. Z rzliku od Newton Côtesovih formul, Gussove integrcijske formule su oblik n f(x) dx w i f(x i ), u kojim točke integrcije x i nisu unprijed poznte, nego se izrčunju tko d grešk tkve formule bude njmnj. Motivirni prktičnim rzlozim, promtrt ćemo mlo općenitije integrcijske formule oblik i=1 n w(x) f(x) dx w i f(x i ), i=1 gdje je w težinsk funkcij, pozitivn n otvorenom intervlu (, b). Koeficijente w i zovemo težinski koeficijenti ili, skrćeno, težine integrcijske formule. Gornji specijlni slučj u kojem je w 1 čine formule koje se zovu Guss Legendreove. Težinsk funkcij u općem slučju utječe n težine i točke integrcije, li se ne pojvljuje eksplicitno u Gussovoj formuli. Bitno je znti d se z neke težinske funkcije n odredenim intervlim, čvorovi

36 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 34 i težine stndrdno tbelirju u priručnicim. To su težinsk funkcij w intervl formul Guss 1 [, 1] Legendre 1 1 x [, 1] Čebišev 1 x [, 1] Čebišev. vrste e x [0, ) Lguerre e x (, ) Hermite Glvni rezultt je sljedeći: ko zhtijevmo d formul integrir egzktno polinome što je moguće većeg stupnj, ond su točke integrcije x i nultočke polinom koji su ortogonlni n intervlu (, b) obzirom n težinsku funkciju w, težine w i mogu se eksplicitno izrčunti po formuli w i = w(x) l i (x) dx, i = 1,...,n. Pritom je l i posebn polinom Lgrngeove bze kojeg smo rzmtrli u poglvlju o polinomnoj interpolciji, definirn uvjetom l i (x j ) = δ ij. Primijetimo smo d je kod numeričke integrcije zgodnije čvorove numerirti od x 1 do x n, (z rzliku od numercije x 0 do x n u poglvlju o interpolciji), p je i l i polinom stupnj n 1. Ko što se Newton Côtesove formule mogu dobiti integrcijom Lgrngeovog interpolcijskog polinom, tko se i Gussove formule mogu dobiti integrcijom Hermiteovog interpolcijskog polinom. Tkv pristup ekvivlentn je s pristupom u kojem zhtijevmo d Gussove formule integrirju egzktno polinome što je moguće višeg stupnj, tj. d vrijedi n w(x) x j dx = w i x j i, j = 0, 1,..., n 1. i=1 Mogli bismo iskoristiti ovu relciju d npišemo n jedndžbi z n nepoznnic x i i w i, medutim nepoznnice x i ulze u sistem nelinerno, p je ovkv pristup teži. Čk i dokz d tj nelinerni sistem im jedinstveno rješenje nije jednostvn. Npišimo još jednom formulu z Hermiteov interpolcijski polinom h n, stupnj n 1, koji u čvorovim integrcije x i interpolir vrijednosti f i = f(x i )

37 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 35 i f i = f (x i ), z i = 1,...,n (vidjeti poglvlje o interpolcijskim polinomim) h n (x) = = Integrcijom dobijemo gdje su n ( hi,0 (x) f i + h i,1 (x) f i) i=1 n i=1 A i = B i = ( ) [1 (x xi )l i(x i )] l i(x) f i + (x x i ) l i(x) f i. w(x) h n (x) dx = n ( ) Ai f i + B i f i, (1.5.1) i=1 w(x) [1 (x x i )l i (x i)] l i (x) dx, w(x) (x x i ) l i (x) dx. (1.5.) Integrcijsk formul (1.5.1) sliči n Gussovu integrcijsku formulu, osim što im dodtne člnove B i f i, koji koriste i derivcije funkcije f u čvorovim integrcije. Kd bi, ko u Newton Cotesovim formulm, čvorovi x i bili unprijed zdni, iz uvjet egzktne integrcije polinom treblo bi odrediti n prmetr težinskih koeficijent A i, B i. Zto očekujemo d ovkv formul egzktno integrir polinome do stupnj n (dimenzij prostor je n). No, z upotrebu ove formule trebmo znti ne smo funkcijske vrijednosti f(x i ) u čvorovim, već i vrijednosti derivcije f (x i ) funkcije u tim čvorovim. Zto je idej d probmo izbjeći korištenje derivcij, tko d izborom čvorov x i poništimo koeficijente B i uz derivcije f i. Točnost integrcijske formule mor ostti ist (egzktn integrcij polinom stupnj do n 1), li tko dobiven formul koristil bi smo funkcijske vrijednosti u čvorovim, tj. postl bi Gussov integrcijsk formul. Zist, odgovrjućim izborom čvorov x i može se postići d težinski koeficijenti B i uz derivcije budu jednki nul. D bismo to dokzli, uvodimo posebni polinom čvorov (engl. node polynomil ) ω n, koji im nultočke u svim čvorovim integrcije ω n := (x x 1 )(x x ) (x x n ). Tj polinom smo već susreli u poglvlju o Lgrngeovoj interpolciji. Sljedeći rezultt govori o tome kko treb izbrti čvorove.

38 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 36 Lem Ako je ω n (x) = (x x 1 ) (x x n ) ortogonln s težinom w n sve polinome nižeg stupnj, tj. ko vrijedi w(x) ω n (x) x k dx = 0, k = 0, 1,..., n 1, (1.5.3) ond su svi koeficijenti B i u (1.5.) jednki nul. Dokz: Lgno provjerimo identitet Supstitucijom u izrz (1.5.) z B i slijedi (x x i )l i (x) = ω n(x) ω n (x i). (1.5.4) B i = 1 ω n (x w(x) ω n (x) l i (x) dx. i) Kko je l i polinom stupnj n 1, i po pretpostvci je ω n ortogonln s težinom w n sve tkve polinome, tvrdnj slijedi. Lko se vidi d vrijedi i obrt ove tvrdnje, tj. d su svi koeficijenti B i = 0 u (1.5.1), ko i smo ko je polinom čvorov ω n ortogonln n sve polinome nižeg stupnj (do n 1), s težinskom funkcijom w. Rzlog tome je što su funkcije l i, i = 1,...,n, Lgrngeove bze zist bz prostor P n. Iz rnijih rezultt o ortogonlnim polinomim znmo d ortogonlni polinom stupnj n obzirom n w postoji i jednoznčno je odreden do n (recimo) vodeći koeficijent. D bismo dobili Gussovu integrcijsku formulu u (1.5.1), polinom čvorov ω n mor biti ortogonlni polinom s vodećim koeficijentom 1, tj. ω n postoji i jedinstven je. Ndlje, uvjet ortogonlnosti (1.5.3) jednoznčno odreduje rspored čvorov z Gussovu integrciju. Iz teorem o ortogonlnim polinomim slijedi d ω n im n jednostrukih nultočk u otvorenom intervlu (, b) (što nm bš odgovr z integrciju). Njegove nultočke x 1,...,x n možemo smo permutirti (drugčije indeksirti), uz stndrdni dogovor x 1 < < x n, one su jednoznčno odredene. Time smo dokzli d postoji jedinstven Gussov integrcijsk formul oblik n w(x) f(x) dx w i f(x i ), i=1 Čvorovi integrcije x i su nultočke ortogonlnog polinom stupnj n n [, b] s težinskom funkcijom w, težinske koeficijente možemo izrčunti iz (1.5.), budući d je td w i = A i, z i = 1,...,n.

39 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 37 Iskoristimo li pretpostvku ortogonlnosti iz leme , možemo pojednostvniti i izrze z koeficijente w i = A i u (1.5.). Ssvim općenito, koristeći relciju z B i, koeficijent A i možemo npisti u obliku A i = w(x) [1 (x x i )l i(x i )] l i(x) dx = w(x) l i(x) dx l i(x i )B i. Uz uvjet ortogonlnosti (Gussov integrcij) je B i = 0 i A i = w i, p je w i = w(x) l i(x) dx. Podintegrln funkcij je nenegtivn i l i je polinom stupnj (n 1) koji nije nul-polinom, p desn strn mor biti pozitivn. Dkle, slijedi d su svi težinski koeficijenti u Gussovoj integrciji pozitivni, w i > 0, z i = 1,..., n, što je vrlo bitno z numeričku stbilnost i konvergenciju. Pokžimo još d vrijedi i w i = Očito, to je isto ko i dokzti w(x) l i(x) dx w(x) l i(x) dx = w(x) l i (x) dx = w(x) l i (x) dx. w(x) l i (x) (l i (x) 1) dx = 0. Ali polinom l i (x) 1 se poništv u točki x = x i, po definiciji polinom l i, jer je l i (x j ) = δ ij. Znči d l i (x) 1 mor sdržvti x x i ko fktor, tj. možemo npisti l i (x) 1 = (x x i )q(x), gdje je q neki polinom stupnj n, z jedn mnje od stupnj polinom l i. Dkle, l i (x) (l i (x) 1) = ω n (x) ω n (x i)(x x i ) (l i(x) 1) = 1 ω n (x i) ω n(x) q(x), p je zbog ortogonlnosti ω n n sve polinome nižeg stupnj w(x) l i (x) (l i (x) 1) dx = 1 ω n (x w(x) ω n (x) q(x) dx = 0. i)

40 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA 38 Pokzli smo d Gussovu integrcijsku formulu možemo dobiti ko integrl Hermiteovog interpolcijskog polinom, uz odgovrjući izbor čvorov, z težinske koeficijente vrijedi w i = w(x) l i (x) dx. (1.5.5) Primijetimo d je ov formul z koeficijente ist ko i on u Newton Côtesovim formulm, što je ovdje posljedic pretpostvke o ortogonlnosti. U ob slučj do integrcijskih formul dolzimo interpolcijom funkcije u čvorovim. Pokžimo i primjerom d ortogonlnost produkt korijenskih fktor, tj. funkcije ω n (x) n sve polinome nižeg stupnj zprvo odreduje točke integrcije x i. Primjer Nek je w(x) = 1 i n = 3. Odredimo točke integrcije iz uvjet ortogonlnosti. Uobičjeno je d z intervl integrcije uzmemo (, 1), budući d integrle n drugim intervlim možemo lgno rčunti, ko podintegrlnu funkciju trnsformirmo linernom supstitucijom. Problem se dkle svodi n to d odredimo nultočke kubične funkcije ω 3 (x) = + bx + cx + x 3 z koju vrijedi 1 ω 3 (x) x k dx = 0, k = 0, 1,. Nkon integrcije dobivmo sustv jedndžbi z koeficijente, b, c + 3 c = 0, 3 b + 5 = 0, c = 0, odkle ndemo = c = 0 i b = 3/5. Dobivmo ω 3 (x) = x 3 3 ) ( ) 3 3 (x 5 x = + x x, 5 5 odkle slijedi d su točke integrcije x i = 3/5, 0, 3/5. Teorijski, ovj pristup možemo iskoristiti z sve moguće intervle integrcije i rzne težinske funkcije. Z veće n potrebno je odrediti nule polinom visokog stupnj, što je egzktno nemoguće, numerički u njmnju ruku neugodno. Stog je potrebno z specijlne težine i intervle integrcije doći do dodtnih informcij o ortogonlnim polinomim. N krju, bilo bi dobro izrčunti formulom i težinske fktore w i u Gussovim formulm. Anlitički je moguće doći do ovkvih rezultt z mnoge specijlne težine w(x) koje se pojvljuju u primjenm. Riješimo n početku vžnu situciju w 1, =, b = 1. Pripdne formule nzvli smo Guss Legendreovim; u gornjem primjeru izrčunli smo točke integrcije z Guss Legendreovu formulu red 3. Zdtk Iz uvjet egzktnosti i pozntih točk integrcije z n = 3 izrčunjte težinske koeficijente w i. Primijetite d je sustv jedndžbi linern, p stog rčunnje ovih fktor ne predstvlj veće probleme.

41 NUMERIČKA INTEGRACIJA NUMERIČKA INTEGRACIJA Guss Legendreove integrcijske formule Prepostvimo u dljnjem d je w 1 n intervlu (, 1) i izvedimo specijlnu Gussovu formulu, tj. Guss Legendre-ovu formulu 1 n f(x) dx w i f(x i ). i=1 Ko što znmo, Legendreov polinom stupnj n definirn je Rodriguesovom formulom P n (x) = 1 d n 1) n. n n! dx n(x Tko definirni polinomi čine ortogonlnu bzu u prostoru polinom stupnj n, tj. oni su linerno nezvisni i ortogonlni obzirom n sklrni produkt P, Q := 1 P(x) Q(x) dx. (1.5.6) Pojvljuju se prirodno u prcijlnim diferencijlnim jedndžbm, kod metode seprcije vrijbli z Lplceovu jedndžbu u kugli. Z ns je bitno smo jedno specijlno svojstvo, iz kojeg slijede sv ostl: Lem Legendreov polinom stupnj n ortogonln je n sve potencije x k nižeg stupnj, tj. vrijedi 1 x k P n (x) dx = 0, z k = 0, 1,..., n 1, i vrijedi 1 x n P n (x) dx = n+1 (n!) (n + 1)!. Dokz: Uvrštvnjem Rodriguesove formule, nkon k (k < n) prcijlnih integrcij dobivmo 1 x k dn 1) n dx = x k dn 1) n 1 dx n(x dx n(x }{{} =0 = = () k k! 1 1 k dn kx 1) n dx dx n(x d n k dx n k(x 1) n dx = 0,