Računarska grafika. Transformacije u 3D i projekcije

Transcript

1 Računarska grafika Transformacije u 3D i projekcije

2 I ove se pretpostavlja konvencija pokretne virtuelne kamere Postoji formalna sličnost sa transformacijama u 2D grafici: oaje se jean član jenačina (a koorinatu ), oaje se jena jenačina (a ) posleica je a matrica transformacije postaje 44 A B C D A2 B2 C2 D2 A3 B3 C3 D3 [ ] [ ] D D D C C C B B B A A A Transformacije u 3D

3 Translacija Koorinatni početak O(,,) se translatorno pomera u tačku O(,,): T

4 Rotacije 4 U 2D grafici jena elementarna rotacija (oko koorinatnog početka) U 3D grafici 3 elementarne rotacije (oko svake ose koorinatnog sistema) Poitivan smer rotacije oko ose koorinatnog sistema oređen pravilom esne avojnice Matrice rotacije oko X ose (R) a ugao α, oko Y ose (R) a ugao β i oko Z ose (R) a ugao γ: R cosα sin α sin α cosα cosβ R sin β sin β cosβ cos γ γ R sin sin γ cos γ

5 Skaliranje Faktori skaliranja a ose X,Y,Z su S, S i S, respektivno Matrica skaliranja po sve tri ose: S S S S

6 Složene transformacije Kao i ko transformacija u 2D grafici složena transformacija se može ekomponovati na elementarne oređuje se kompoitna matrica složene transformacije množenjem matrica elementarnih transformacija Reosle elementarnih transformacija u složenoj transformaciji je bitan, množenje nije komutativno

7 Rotacija oko proivoljne ose () Problem: ivršiti rotaciju a ugao α oko ose koja spaja tačke P(,,) i P2(2,2,2). Rešenje: translacija koorinatnog sistema u tačku P(,,). rotacija sistema a ugao -θ (u smeru kaaljke) oko ose X tako a se ata linija PP2 ovee a leži u XoZ ravni D2- D2- D2- Z D Y D Y 2 D D D 2 sin θ D / D cosθ D/ D Z D D θ P L P2 X

8 Rotacija oko proivoljne ose (2) rotacija sistema oko Y a poitivan ugao ϕ tako a se ata linija PP2 poklopi sa Z-osom L D D D D D sin ϕ D / L cosϕ D/ L rotacija sistema oko Z a ugao α. rotacija sistema oko Y a ugao -ϕ. rotacija sistema oko X a ugao θ. translacija u originalni koorinatni početak. Kompoitna matrica totalne transformacije: RT*R*R*R*R*R*T (M je matrica inverne transformacije a M) 2 Z D D Z P2 ϕ L YY P X XX

9 Projekcija Generalno, projekcija je transformacija koja preslikava tačku i koorinatnog sistema sa N imenija u koorinatni sistem sa manje o N imenija Ograničenja (na kursu): na preslikavanje 3D objekta na 2D površinu na planarne geometrijske projekcije Planarna geometrijska projekcija 3D tačke se obija tako što se: prav projekcioni rak (projektor) emituje se i centra projekcije projektor prolai kro željenu 3D tačku orei se presek projektora sa projekcionom ravni centar projekcije A A

10 Osnovne klase projekcija Povoljna okolnost je što je projekcija linije takođe linija, te se projektovanje svoi na krajnje tačke Dve osnovne klase planarnih geometrijskih projekcija su perspektivna i paralelna Ko perspektivne projekcije centar projekcije i projekciona ravan su na konačnom rastojanju Ko paralelne projekcije centar projekcije je beskonačno ualjen o projekcione ravni

11 Perspektivna projekcija Priroan viuelni efekat kao ko fotografije i čovekovog viuelnog sistema Efekat se naiva perspektivnim skraćenjem (perspective foreshortening): veličina projekcije objekta se menja inverno sa rastojanjem objekta o centra projekcije Mane su što se na projekciji ne mogu meriti užine i uglovi uglovi su realni samo a stranice objekta koje su paralelne sa projekcionom ravni Karakteristika perspektivne projekcije svakog skupa paralelnih linija (koje nisu paralelne projekcionoj ravni) skup konvergira u ajeničku "iščeavajuću" (vanishing) tačku

12 Osna iščeavajuća tačka Osna iščeavajuća tačka (AVP) tačka iščeavanja linija paralelnih osi koorinatnog sistema Broj osnih iščeavajućih tačaka je jenak broju osa koje preseca projekciona ravan čest slučaj: centar projekcije na Z-osi a projekciona ravan XoY postoji samo jena AVP U arhitekturi i inženjeringu projekcija sa 2 AVP se koristi često projekcija sa 3 AVP se koristi ređe

13 Paralelna projekcija Projekcioni raci (projektori) su paralelni Oređen je samo pravac i smer projektora vektor: smer projekcije (irection of projection) Generalno, vektor je ralika tačaka u homogenom sistemu: v(,,,) (,,,) (a, b, c, ) Perspektivna projekcija sa centrom u beskonačnosti je paralelna projekcija Paralelna projekcija ima sleeće osobine: na njoj se mogu meriti rastojanja iako i ove mogu biti raličita (ali konstantna) skraćenja po svakoj o osa paralelne linije ostaju paralelne (ne postoje iščeavajuće tačke) uglovi su očuvani samo na stranicama tela koje su paralelne projekcionoj ravni

14 Klasifikacija paralelnih projekcija Ortogonalne (ortografske) smer projekcije normalan na projekcionu ravan pogle oogo (top, plan view), sprea (front view), sa strane (sie view) projekciona ravan je koorinatna ravan aksonometrijske koriste projekcionu ravan koja nije normalna na ose koor. sistema iometrijske: normala na proj. ravan aklapa jenake uglove sa sve 3 ose Iskošene (oblique) smer projekcije nije normalan na projekcionu ravan kavaljer smer projekcije aklapa ugao o 45 sa projekcionom ravni, be skraćenja kabinet smer projekcije aklapa ugao o arctg(2)63.4 linije normalne na projekcionu ravan se skraćuju faktorom

15 Matematičko moeliranje projekcija Projekciona ravan je XoY ravan Centar projekcije se nalai na poitivnoj Z osi i to: ako je centar u tački P(,, ) projekcija je ortogonalna (paralelni raci, normalni na ravan) ako je centar u tački P(,, ) projekcija je sa perspektivom Ieja je a se i projekcija tretira kao elementarna transformacija, kako bi matematički aparat bio jenoobraan

16 Ortogonalna projekcija Svoi se na ignorisanje komponente tačke (projekciona ravan je ): Slika tačke treba a bue iražena u 2D: Q 2D P 3D *Po Po Po [ ] [ ]

17 Projekcija sa perspektivom () Centar projekcije V(,,) leži na poitivnoj Z osi V - P P Y Z X ) ( ) ( w ) ( w

18 Projekcija sa perspektivom (2) U matričnom obliku: Matrica projekcije sa perspektivom: Koorinate tačke projekcije se obijaju: Napomena: a (centar projekcije u koorinatnom početku) projekcija je neefinisana [ ] [ ] w Pp [ ] w w

19 Primer Tačka P(3,5,7) se projektuje u tačku Q Centar projekcije je u tački V(,,), a projekciona ravan je XoY [ ] [ 3 5.3] [ 3 5.3] /.3 Q(, )