KLASIFIKACIJA STRUJANJA FLUIDA

Transcript

1 MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 47 KASIFIKACIJA STRJANJA FIA Treba naglasiti da se prije izvedene Navier-Stokesove jednadžbe odnose na strujanje newtonskog, jedno-komponentnog jednofaznog fluida (dakle bez kemijske reakcije) i bez utjecaja elektro-magnetskih sila. Jasno je da se u praksi pojavljuju i višekomponentna strujanja, npr. pri miješanju dvaju (ili više) plinova. takvim situacijama bi se kao nove varijable pojavile koncentracije svakog pojedinog plina, te novi članovi koji označuju masenu difuziju pojedinih komponenti. Treba naglasiti da je i zrak smjesa plinova, ali je koncentracija svake sastavnice zraka konstantna i jednaka u svim točkama fluida (dakle nema difuzije mase), pa se zrak tretira kao jednokomponentni fluid. Ako se u strujanju istovremeno pojavljuje više agregatnih stanja (kruto, kapljevito i plinovito), strujanje se naziva višefaznim. Pri pojavi kavitacije strujanje vode postaje dvofazno, jer se osim kapljevite faze pojavljuje i plinovita faza. tom se slučaju pojavljuje razdjelna površina između dvaju faza u kojoj se pojavljuju dodatne sile površinske napetosti, a u takvom strujanju bi također trebalo definirati brzinu pretvorbe kapljevite u plinovitu fazu, i obrnuto. Tipičan primjer višefaznog strujanja je i strujanje u kotlovskim cijevima, u kojima voda isparava zbog dovođenja topline. akako da postoje i višekomponentna višefazna strujanja. Primjer za to je pneumatski transport krutih čestica (strujanje mješavine zraka i krutih čestica). Ako se ograničimo samo na Navier-Stokesove jednadžbe, još uvijek možemo razlikovati nekoliko podjela strujanja. Jedna od podjela koju smo već do sada spominjali je s obzirom na gustoću. Ako gustoća ostaje konstantna u strujanju, strujanje zovemo nestlačivim, inače je stlačivo. Treba naglasiti da je pojam stlačivosti bolje vezati uz strujanje, jer se i strujanje plinova (kao izrazito stlačivih fluida) pri niskim vrijednostima Machova broja može smatrati nestlačivim, a strujanje vode (kao izrazito nestlačivog fluida) se tretira stlačivim za slučaj pojave enormne razlike tlakova (npr. za slučaj podvodne eksplozije). Strujanje u kojem nema izmjene topline među česticama fluida se naziva adijabatskim, a u protivnom je strujanje dijabatsko. Za dijabatsko strujanje u kojem temperatura ostaje konstantna u svim točkama fluida se kaže da je izotermičko. S obzirom na viskoznost strujanje može biti neviskozno (viskoznost je jednaka nuli) ili viskozno. Jednadžbe gibanja neviskoznog strujanja se dobiju iz Navier-Stokesovih jednadžbi u kojima se viskoznost izjednači s nulom, a takve se jednadžbe nazivaju Eulerovim jednadžbama. Posebnu klasu neviskoznog strujanja čine potencijalna strujanja, u kojima se dodatno pretpostavlja da nema rotacije čestica fluida, što ima za posljedicu da se polje brzine može prikazati gradijentom skalarne funkcije (skalarnog potencijala brzine). akle neviskozno strujanje je općenito opisano Eulerovim jednadžbama koje su nelinearne (zbog nelinearnog inercijskog člana u jednadžbi količine gibanja). z pretpostavku potencijalnog nestlačivog strujanja linearna jednadžba kontinuiteta prelazi u linearnu aplaceovu jednadžbu, a nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba količine gibanja prelazi u nelinearnu algebarsku jednadžbu (Euler-Bernoullijev integral), pa je potencijalno strujanje puno jednostavnije riješiti od općenitog neviskoznog strujanja opisanog nelinearnim Eulerovim jednadžbama. Viskozno strujanje u prirodi se pojavljuje kao laminarno ili turbulentno. aminarno strujanje je uredno strujanje u kojem se čestice fluida gibaju u slojevima (po glatkim trajektorijama), za razliku od turbulentnog strujanja u kojem se

2 MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 48 pojavljuju slučajne pulzacije brzine, tako da su čestice fluida u stanju burnog komešanja. prirodi se laminarno strujanje održava pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja (pri značajnijem utjecaju viskoznih sila). praksi su strujanja najčešće turbulentna, a zbog njihove stohastičke prirode, turbulentna strujanja fluida se ne mogu opisati analitički pa ih se nužno rješava numeričkim putem. Naravno da se na temelju nabrojanih podjela mogu definirati različite klase strujanja fluida, npr. nestlačivo, izotermičko laminarno; ili stlačivo, adijabatsko potencijalno, i sl. S obzirom na rubne uvjete strujanja se dijele na vanjska (problemi optjecanja tijela jedan od rubova je stijenka) i unutarnja (problemi protjecanja, npr. kroz kanale i cijevi dva ruba područja strujanja su stijenke). OPTJECANJE TIJEA TEORIJA GRANIČNOG SOJA Jedna od tipičnih zadaća mehanike fluida je određivanje sile koja djeluje na gibajuće tijelo uronjeno u fluid. Tipični primjeri su gibanje automobila, vlaka, zrakoplova, broda, rotora turbostroja itd. Za slučaj gibanja tijela konstantnom brzinom, problem se obično promatra u koordinatnom sustavu vezanom na tijelo, te bi se promatraču u tom koordinatnom sustavu činilo da tijelo miruje, a fluid nastrujava na njega brzinom koja je jednaka brzini gibanja tijela. Primjer ravninskog strujanja. ρ, F i S Rezultantna sila fluida na tijelo jednaka je integralu površinskih sila po površini tijela. Gdje je F = σ n ds = p nds+ Σ n ds i ji j i ji j S S S p n i ds doprinos sila tlaka, a Σ jinjds doprinos viskoznih sila. S S Sila fluida na tijelo obično se za slučaj ravninskog strujanja rastavlja na dvije komponente. Komponenta (ili F ) u smjeru brzine (označuje silu otpora, prema engl. "rag") i komponentu ili ( F ) okomito na brzinu (označuje silu uzgona, prema engl. "ift").

3 MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 49 Sile otpora i uzgona se najčešće prikazuju u bezdimenzijskim oblicima koeficijenta otpora i koeficijenta uzgona, koji su definirani izrazima C 1 gdje je ρ Površine = 1 ρ v A i C dinamički tlak, a A i = 1 ρ v A i A A površine. A se mogu definirati različito, a kod sile otpora je to najčešće projekcija površine tijela suprotstavljena strujanju. "Mehanici Fluida I" su dani koeficijenti otpora nekih elementarnih tijela, dobiveni mjerenjem. općem slučaju koeficijent otpora zadanog tijela, u nestlačivom strujanju zavisi od Reynoldsova broja, a u stlačivom od Reynoldsova i Machova broja. oprinos sili otpora od tlačnih sila se naziva otpor oblika, a od viskoznih sila otpor trenja. Slijedeće dvije slike prikazuju dva ekstremna slučaja optjecanja tanke ploče. p 100 % otpor trenja. 100 % otpor oblika. x x = τ σ 1 w p σ 1 = τ w x 1 p x 1 prvom su slučaju sile tlaka okomite na smjer strujanja, pa sili otpora doprinose samo viskozne sile, a u drugom slučaju je obrnut slučaj, smične sile su okomite na smjer strujanja, pa sili otpora doprinose samo tlačne sile. realnim slučajevima uvijek imamo i jedan i drugi doprinos otporu. Primjer ravninskog strujanja. α p τ Ako se kao primjer uzme ravninsko optjecanje profila, onda će otpor oblika rasti s debljinom profila i s porastom napadnog kuta α.

4 MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 50 Polje brzine pri optjecanju tijela zavisi od inercijskih sila, sila tlaka i viskoznih sila (utjecaj masenih sila se obično zanemaruje). Odnos inercijskih i viskoznih sila je prikazan Reynoldsovim brojem, pri čemu niske vrijednosti Reynoldsova broja označuju zanemariv utjecaj inercijskih sila (odnosno značajan utjecaj viskoznih sila). takvim slučajevima se inercijske sile (nelinearni konvekcijski član u jednadžbi količine gibanja) mogu zanemariti, čime se od Navier-Stokesovih jednadžbi dobiju Stokesove jednadžbe. Stokesove jednadžbe su linearne pa se može naći analitičko rješenje npr. optjecanja kugle, koje vrijedi za slučaj Re 1. Primjer strujanja kojeg opisuju Stokesove jednadžbe je i strujanje ulja u zračnosti ležaja (vidjeti primjer s vježbi, gdje su inercijske sile zanemarene na temelju procjene reda veličine pojedinih članova u jednadžbi količine gibanja). rugi primjer primjene Stokesovih jednadžbi je ulijevanje npr. polimera u kalup. takvim problemima viskoznost je obično velika, a brzine relativno male, pa je Reynoldsov broj mali. Međutim polimer najčešće nije newtonski fluid pa se koristi neka druga relacija za zavisnost tenzora viskoznih sila od tenzora brzine deformacije. praktičnim problemima optjecanja tijela (strujanje oko zrakoplova, automobila, vlaka ili broda) Reynoldsov broj poprima vrijednosti puno veće od jedinice, što znači da je utjecaj viskoznih sila mali. Ipak viskozne sile se neće moći zanemariti u čitavom području strujanja, nego je samo njihov utjecaj sveden na područje u neposrednoj blizini tijela, u kojem će se brzina fluida mijenjati od nule (na samoj površini tijela) do brzine optjecanja. To područje se naziva područje graničnog sloja. akle pri optjecanju tijela pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja, viskozne sile su bitne samo unutar tankog graničnog sloja, a izvan graničnog sloja utjecaj viskoznosti se može zanemariti. Sljedeća slika shematski prikazuje primjer graničnog sloja uz ravnu ploču pri visokoj ρv vrijednosti Reynoldsova broja Re = ( je duljina ploče). ebljina graničnog sloja μ (osjenčanog područja unutar kojeg se brzina znatno mijenja, odnosno područja u kojem su viskozne sile bitne) je mala u odnosu na duljinu ploče. Veliki Re y područje vanjskog strujanja mali gradijent brzine = zanemariv utjecaj viskoznosti x ρ, μ = konst. područje graničnog sloja = veliki utjec aj viskoznosti zb og velikog gradijenta brzine Međutim, ako promatramo strujanje u okolišu samog vrha ploče (ili imamo posla s kratkom pločom, tako da je Reynoldsov broj mali (što odgovara velikom utjecaju viskoznosti), debljina područja unutar kojeg će viskozne sile biti značajne u odnosu na inercijske sile će biti velika u odnosu na duljinu ploče, kao što shematski prikazuje sljedeća slika. Ako se Reynoldsov broj općenito definira kao Re= ρv x/ μ, gdje je x udaljenost od vrha (prednjeg brida) ploče, odmah je jasno da će veći utjecaj viskoznosti biti bliže vrhu, gdje je Reynoldsov broj manji.

5 MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 51 Mali Re (promatramo vrh ploče) ρ, μ= konst. utjecaj viskoznosti je značajan u okolini vrha Slično se da zaključiti i iz primjera optjecanja kugle promjera. Za optjecanje pri niskim ρv vrijednostima Reynoldsova broja Re =, recimo Re 1, postoji analitičko rješenje, po μ kojemu se utjecaj viskoznosti u polju brzine osjeti daleko od tijela (prva slika), a za slučaj Mali Re utjecaj viskoznosti se širi daleko od kugle Veliki Re granični sloj zona utjec aja viskoznosti vrtložni trag Neviskozno strujanje bilo bi i bezvrtložno (aplac e-o va jednadžba )

6 MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 5 visokih vrijednosti Reynoldsova broja, utjecaj viskoznosti na polje brzine, sveden je u usko područje graničnog sloja uz samu površinu kugle. Što god je Reynoldsov broj veći to je područje relativno tanje. Temeljem rečenoga sama od sebe se nameće Prandtlova ideja, da se za slučaj optjecanja tijela pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja, polje strujanja rastavi na dva područja: Područje neposredno uz površinu tijela (granični sloj) gdje je utjecaj viskoznosti bitan i vanjsko neviskozno strujanje opisano Eulerovim jednadžbama (odnosno uz dodatnu pretpostavku bezvrtložnog strujanja, nelinearne Eulerove jednadžbe prelaze u linearnu aplaceovu jednadžbu i algebarsku Bernoullijevu jednadžbu - točnije Euler-Bernoullijev integral). Strujanje unutar graničnog sloja je viskozno, što znači da je opisano Navier-Stokesovim jednadžbama. Međutim, činjenica da je granični sloj tanak u odnosu na duljinu tijela, ima za posljedicu da svi članovi u Navier-Stokesovim jednadžbama neće biti jednako veliki. Procjenom reda veličine pojedinih članova u tim jednadžbama i zanemarivanjem članova koji malo doprinose rješenju dolazi se do skupa pojednostavljenih jednadžbi koje opisuju strujanje fluida unutar graničnog sloja, a koje se nazivaju Prandtlovim jednadžbama. Prandtlove jednadžbe za granični sloj Pri izvodu Prandtlovih jednadžbi ograničit ćemo se na ravninsko strujanje oko blago zakrivljene stjenke (što pretpostavlja da je polumjer zakrivljenosti stijenke puno veći od debljine graničnog sloja). Nadalje uvode se sljedeće pretpostavke - Strujanje je nestlačivo uz konstantnu viskoznost ( ρ = konst., μ = konst. ) - Strujanje je stacionarno: = 0 t - Zanemarujemo masene sile: f i = 0 y y granični sloj R> > debljina granič nog sloja Strujanje se promatra u 0xy koordinatnom sustavu, gdje se os x poklapa s konturom površine tijela (stijenke), a os y je u svakoj točki okomita na os x (stijenku). Komponentu brzine u smjeru osi x, označit ćemo s u, a komponentu u smjeru osi y s v. x

7 MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 53 Polazne jednadžbe su jednadžba kontinuiteta (JK) i jednadžbe količine gibanja (JKG), koje uz navedene pretpostavke glase u v JK + = 0 x y JKG x - komponenta u + v = + υ + x y ρ x x y u u 1 p u u JKG y - komponenta u x y ρ y x y v v 1 p v v + v = + υ + cilju procjene veličine pojedinih članova u jednadžbi, uvodimo karakteristične veličine za pojedine varijable u obliku u = u v = Vv x = x y = y S obzirom da je strujanje nestlačivo za tlak se uzima p = ρ p (pretpostavimo da je red veličine maksimalne promjene tlaka unutar graničnog sloja jednak dvostrukom dinamičkom tlaku). Gdje su i V maksimalne brzine u pojedinim smjerovima, tako da su vrijednosti bezdimenzijskih komponenti u i v brzine u rasponu nula do jedan (kažemo da su bezdimenzijske komponente brzine reda veličine jedan). S obzirom da su duljina i debljina graničnog sloja maksimalne dimenzije u smjeru osi x i y, jasno je da su i bezdimenzijske koordinate x i y također reda veličine jedinice (jer se kreću u rasponu nula do jedan). vrštavanjem gornjih relacija u jednadžbu kontinuiteta, ona prelazi u oblik u V v + 0 x y = Bezdimenzijski članovi u jednadžbi kontinuiteta su reda veličine jedinice (jer je maksimalna promjena komponenti reda veličine jedinice, a maksimalna promjena bezdimenzijske koordinate je također reda veličine jedinice). S obzirom da zbroj članova u gornjoj jednadžbi mora biti jednak nuli, zaključujemo da su koeficijenti uz članove istog reda veličine, tj. vrijedi V =, odakle je V = (a) Jasno da je za slučaj strujanja pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja, kako je prije objašnjeno, debljina graničnog sloja puno manja od duljine, pa je i maksimalna vrijednost v -komponente brzine puno manja od maksimalne vrijednosti u -komponente, što znači da je strujanje u graničnom sloju uglavnom paralelno sa stijenkom. Prikazom x -komponente jednadžbe količine gibanja s pomoću bezdimenzijskih veličina dobije se

8 MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 54 u V u ρ p u u u + v = + υ + υ x y ρ x x y υ Ponovo su bezdimenzijski članovi reda veličine jedinice, a većina koeficijenata je reda veličine. S obzirom da je predzadnji član gornje jednadžbe je zanemariv u odnosu na zadnji član, pa ostaje da je red veličine viskoznih sila υ. a bi viskozne sile bile značajne unutar graničnog sloja, moraju biti istog reda veličine kao i inercijske sile, tj. vrijedi 1 tj. vrijedi υ = υ = =, odnosno Re = = (b) Re υ 6 akle, ako je Reynoldsov broj reda veličine 10 onda je debljina graničnog sloja tri reda veličine manja od duljine. Ako se x -komponenta jednadžbe količine gibanja podijeli s /, dobije se u u p 1 u u u + v = + + x y x Re x y u kojoj je predzadnji član očito zanemariv, za slučaj strujanja pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja. Konačno prikazom y -komponente jednadžbe količine gibanja s pomoću bezdimenzijskih članova, uvažavajući relacije (a) i (b) dobije se V v V v ρ p V v V v u + v = + υ + υ x y ρ y x y 3 Re Re Re Re Re ijeljenjem gornje jednadžbe koeficijentom uz derivaciju tlaka sijedi 1 v v p 1 v 1 v u + v = + + Re x y y Re x Re y Očito su svi članovi ove jednadžbe za slučaj strujanja pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja zanemarivi, te od polaznog sustava ostaju sljedeće bezdimenzijske Prandtlove jednadžbe u v JK + = 0 x y JKG x - komponenta p JKG y - komponenta = 0 y u u p u u v + = + x y x y υ

9 MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 55 Rekapitulacija modela graničnog sloja Sljedeća slika prikazuje dio područja strujanja pri optjecanju nekog dijela, koje smo podijelili na područje graničnog sloja ( 0 < y < ( x) ) i područje vanjskog neviskoznog strujanja ( y > ( x) ). Brzinu na granici između ta dva područja (na rubu graničnog sloja) smo označili s v. Pretpostavlja se da se profil brzine u graničnom sloju glatko nastavlja na profil brzine u v vanjskom neviskoznom strujanju, tako da vrijedi = 0, tj. zaključujemo da će u y ravninskom stacionarnom strujanju brzina v biti funkcija samo koordinate x, tj. v v ( x) =. y v y (x) granični sloj Strujanje fluida unutar graničnog sloja je opisano Prandtlovim jednadžbama, koje za slučaj stacionarnog, ravninskog strujanja, u dimenzijskom obliku glase u v + = 0 x y u u 1 p u u + v = + υ x y ρ x y p = 0 y Iz treće jednadžbe se zaključuje da je tlak po presjeku graničnog sloja konstantan, odnosno da je u stacionarnom ravninskom strujanju tlak funkcija samo koordinate x, tj. p = p( x). akle ostaju nam prve dvije jednadžbe u kojima su tri nepoznata polja: u, v i p, pa je jasno da se Prandtlove jednadžbe ne mogu riješiti neovisno o vanjskom neviskoznom strujanju, koje je opisano Eulerovim jednadžbama (odnosno ako se može pretpostaviti bezvrtložno strujanje aplaceovom jednadžbom). Za brzinu v na rubu graničnog sloja, uzimajući da vrijedi ( ) v = v x, iz Eulerove jednadžbe za stacionarno ravninsko strujanje vrijedi dv 1 dp v = dx ρ dx Na taj način je usklađen broj jednadžbi i broj nepoznatih polja, a jednoznačno rješenje je definirano zadavanjem rubnih uvjeta. Prandtlove jednadžbe su paraboličkog tipa, pa je potrebno zadati sljedeće rubne uvjete 1) na ploči: za y = 0; u = v= 0 (viskozni fluid se lijepi na stijenku) ) dovoljno daleko od tijela: za y ; u = u ; v= v (ne osjeća se utjecaj tijela) 3) ulazni presjek: na x = 0 ; zadati profile komponenti brzine u i v. x

10 MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 56 Pri optjecanju tijela, se na prednjoj strani pojavljuje točka zastoja u kojoj se strujanje račva na dvije strane. Kao što je prije rečeno u okolišu točke zastoja je brzina mala, pa Reynoldsov broj poprima niske vrijednosti, što znači da u okolišu točke zastoja Prandtlove jednadžbe (koje su izvedene uz pretpostavku visokih vrijednosti Reynoldsova broja) ne vrijede. Stoga presjek x = 0 od kojeg se počinju integrirati Prandtlove jednadžbe treba odabrati dovoljno daleko od točke zastoja, gdje je Reynoldsov broj dovoljno velik. Valja primijetiti da su Prandtlove jednadžbe također nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe, za koje ne poznamo opće analitičko rješenje, te će ih se trebati rješavati numeričkim putem. Postavlja se pitanje što se dobilo zamjenom Navier-Stokesovih jednadžbi, jednadžbama graničnog sloja, ako se one opet moraju rješavati numerički. Jedna od dobrobiti pojednostavljivanja jednadžbi je da su one promijenile karakter. Navier-Stokesove jednadžbe su eliptičkog tipa, a Prandtlove jednadžbe su paraboličnog tipa. Eliptičnost jednadžbi fizikalno znači da će promjena stanja u nekoj promatranoj točki strujanja izazvati promjenu stanja u svim ostalim točkama strujanja, i obrnuto, promjena u bilo kojoj točki strujanja izazvat će promjenu i u promatranoj točki (ili kažemo da stanje u promatranoj točki utječe na stanje u čitavom području strujanja i istovremeno zavisi od stanja u svim točkama strujanja). tom slučaju rubne uvjete je potrebno zadavati po svim rubovima područja strujanja. slučaju paraboličnih jednadžbi, kakve su Prandtlove jednadžbe, stanje u promatranoj točki područja strujanja zavisi samo o stanju uzvodno od točke, a utječe na stanje u nizvodnim točkama. Zbog toga se kod Prandtlovih jednadžbi ne mora zadavati rubni uvjet na izlaznom presjeku x =, jer što god mi zadali na tom rubu, to ne može imati nikakvog utjecaja na uzvodno polje strujanja. Numerički postupak za rješavanje paraboličkih jednadžbi ima marširajući karakter u kojem se polazi od ulaznog presjeka ( x = 0 ) u kojem su zadani profili komponenti brzine, te se na temelju tih profila odrede profili u susjednom presjeku udaljenom za Δx. Nakon toga se prelazi na susjedni presjek udaljen od ovoga za Δx, i sve tako dok se ne dođe do kraja graničnog sloja. Kod eliptičkog problema bi nepoznanice u svim točkama unutra graničnog sloja bile povezane simultanim sustavom jednadžbi, čije rješavanje zahtijeva puno više računalnog vremena. Redoslijed rješavanja jednadžbi graničnog sloja je sljedeći: 1) Riješiti vanjsko neviskozno (potencijalno) strujanje i odrediti d p. Rubni uvjet dx nepromočivosti stijenke se primjenjuje na površini tijela. ) S dobivenim d p integrirati profile komponenti brzine u i v dx 3) Za slučaj jako zakrivljene geometrije treba ponoviti proračun pod 1) s korekcijom rubnih uvjeta zbog postojanja graničnog sloja, čime se dobije korigirani d p dx. Nakon toga se ponovi integracija pod ) Naravno da parabolični karakter jednadžbi graničnog sloja pretpostavlja da je strujanje fluida u graničnom sloju "priljubljeno uz stijenku", što nije uvijek slučaj, kao što će biti objašnjeno u nastavku. Naime, kod optjecanja jako zakrivljenih tijela dolazi do odvajanja strujanja, i tada je profil brzine u graničnom sloju takav da u određenom dijelu presjeka imamo strujanje prema nazad, što je protivno paraboličkom karakteru Prandtlovih jednadžbi, pa je jasno da u tom slučaju Prandtlove jednadžbe neće vrijediti, nego će za opis takva strujanja trebati primijeniti Navier-Stokesove jednadžbe.

11 MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 57 Prandtlove jednadžbe izražene strujnom funkcijom Prandtlove jednadžbe se mogu izraziti i s pomoću strujne funkcije ψ, za koju vrijedi ψ ψ u = ; v= y x vrštavanjem gornjih izraza u jednadžbu kontinuiteta, ona se svodi na identitet 0=0, te ostaje samo x -komponenta jednadžbe količine gibanja, koja prelazi u 3 ψ ψ ψ ψ dv ψ = v + υ 3 y xy x y dx y 1dp ρ dx Ovo je parcijalna diferencijalna jednadžba 3. reda, čijim se rješavanjem uz odgovarajuće rubne uvjete dobije strujna funkcija ψ, iz koja se nađu u, v. Jednadžba je nelinearna i nema općeg analitičkog rješenja. OVAJANJE STRJANJA Eksperimenti pokazuju da se u graničnom sloju može pojaviti odvajanje strujanja, tj. strujnice prestaju slijediti konturu tijela. Kao što je već rečeno nakon točke odvajanja Prandtlove jednadžbe više ne vrijede. Slijedeće slike shematski prikazuju slike strujnica pri ravninskom optjecanju profila pod dva različita napadna kuta. ρ, A B v max. A B C Na gornjim slikama je s A označena točka zastoja, a s B točka u kojoj je brzina prema rješenju neviskoznog strujanja maksimalna. Od točke A do točke B brzina v na rubu graničnog sloja

12 MEHANIKA FIA II Što valja zapamtiti 58 se povećava, a prema Bernoullijevoj jednadžbi tlak se smanjuje. Nakon točke B brzina v se smanjuje a tlak raste. Na čestice fluida između točaka B i djeluje sila tlaka koja je suprotna smjeru gibanja, što jasno dovodi do smanjenja brzine (kinetičke energije) čestica fluida, tako da se može pojaviti odvajanje strujanja, što se redovito događa pri većim napadnim kutovima, kao što prikazuje druga slika, na kojoj se odvajanje strujanja pojavljuje u točki C. Nakon pojave odvajanja, u području između točaka C i nema povećanja tlaka, dakle tlak ostaje niži, što povećava silu otpora oblika. Sljedeće slike shematski pokazuju još neke primjere odvajanja strujanja. Kratki cilindar y vrtložni trag x točke ponovnog nalijeganja strujanja ugi cilindar vrtložni trag y zona recirkulacijskog strujanja točka ponovnog nalijeganja strujanja x točkama odvajanja i ponovnog nalijeganja strujanja je smično naprezanje jednako nuli.