6. Vježbe. Rubni uvjeti : (1) (2)

Transcript

1 6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II / 6. Vježbe 7. Za rješavanje problema optjecanja složenih geometrija upotrebljavaju se numeričke metode. Za slučaj potencijalnog optjecanja najčešće se koristi metoda panela. Primjenom metode panela odredite raspodjelu tlaka i silu pri ravninskom potencijalnom optjecanju beskonačnog cilindra polumjera R =. Za modeliranje strujanja uzmite četiri panela s konstantnom raspodjelom izvora. Rezultate usporedite s analitičkim rješenjem. U dosadašnjim primjerima dolazili smo do rješenja problema strujanja iskorištavanjem svojstva linearnosti Laplaceove jednadžbe i pogodnim superponiranjem elementarnih rješenja iz čega je uslijedilo strujanje oko neke geometrije. Postavlja se pitanje kako dobiti potencijalno strujanje oko zadane geometrije? Iz čisto matematičkih razmatranja slijedi opće rješenje (vidi sliku) koje kaže da na zadanoj površini tijela treba smjestiti raspodjele elementarnih rješenja Laplaceove jednadžbe oblika izvora, dipola ili njihovu kombinaciju ovisno o tome da li je riječ o strujanju sa uzgonskom silom ili bez nje. Oblik i intenzitet raspodjela treba biti takav da zadovolji rubni uvjet u beskonačnosti (jedn.()) i rubni uvjet nepropusnosti na površini tijela (jedn.()). Ukupni potencijal φ rastavljamo na potencijal neporemećene struje φ i potencijal uzrokovan od strane spomenutih raspodjela elementarnih rješenja sa površine tijela φ B : ϕ ϕb ϕ = ϕ + ϕb ; = vi, = vbi. xi xi Rubni uvjeti : ϕ Na S ( u beskonačnosti ): = v i + vb i = vi, tj. lim vb i = x xi i ϕ Na SB ( u svakoj točki površine SB) : vn i i =, tj. ni = vini + vbini = x i () () Iskazano riječima, rubni uvjet () znači da raspodjele elementarnih rješenja po površini tijela S B moraju biti takve da polje brzine v Bi kojeg induciraju, sa odmicanjem u beskonačnost teži ka nuli, odnosno da se odmicanjem od tijela njegov utjecaj osjeća sve slabije. Također, prema rubnom uvjetu (), polje brzine v Bi mora poništavati normalnu komponentu neporemećene brzine v i n i i to u svakoj točki površine tijela S B, što predstavlja rubni uvjet nepropusne stjenke. Raspodjele elementarnih rješenja koje zadovoljavaju ova dva uvjeta nije moguće dobiti analitički, već ova teorijska razmatranja služe samo za formulaciju numeričke metode.

2 6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II / Metoda panela je numerička metoda rješavanja potencijalnog strujanja u kojoj se površina tijela S B modelira konačnim brojem segmenata. U ravninskom strujanju to mogu biti ravni segmenti, dijelovi parabole ili dijelovi krivulja višeg reda. Kontinuirana raspodjela elementarnih rješenja po površini također se zamjenjuje po segmentima konstantnom raspodjelom, linearnom raspodjelom ili nekom raspodjelom višeg reda. Segment površine s raspodjelom elementarnih rješenja naziva se panel. Rubni uvjet () zadovoljen je samom upotrebom raspodjela elementarnih rješenja kao što su izvor i dipol koja daju polje brzine oblika C ln(r), odnosno C/r. Drugi rubni uvjet (jedn. ()) zadovoljava se u konačnom broju točaka koje se nazivaju kolokacijske točke. One se kod većine metoda nalaze na polovici panela (ili u težištu kod trodimenzijskog strujanja). Na taj se način dobiva sustav linearnih algebarskih jednadžbi od kojih svaka jednadžba izražava rubni uvjet () za odgovarajuću kolokacijsku točku, a nepoznanice su koeficijenti raspodjele elementarnih rješenja. Uradak: Budući da strujanje oko cilindra bez cirkulacije ne stvara uzgonsku silu, u ovom primjeru primjenjujemo panele s konstantnom raspodjelom izvora. Izrazi za potencijal i polje brzine kojeg inducira konstantna raspodjela izvora izvedeni su u 5. vježbama u primjeru 6. Za ovaj zadatak trebat ćemo samo komponente polja brzine, u Gibbsovoj notaciji. ( ) ( ) a = + b = + r x a y, r x b y, y y ϑa = arctg, ϑb = arctg x a x b u = r a ln 4π rb, w = ( ϑb ϑa) π za točku na polovici panela: r = r, ϑ = π, ϑ = a b b a u =, w=

3 6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 3 / Nadalje, pri postavljanju rubnog uvjeta (), trebat ćemo računati skalarni produkt vektora, izraženih u različitim koordinatnim sustavima, što zahtijeva svođenje njihovih komponenti u isti koordinatni sustav. Pravilo za transformaciju komponenta vektora v iz koordinatnog sustava ()= x y u koordinatni sustav ()= xy je: () () cosα sinα vx vx v = y sinα cosα v y tj. v = C v () (), Uz ovakvu diskretizaciju, za R = duljina svakog panela iznosi l p =. U potencijalnom strujanju proračun je moguće izvršiti s brzinom v =, a dobivene rezultate preračunati na za bilo koju brzinu v. Odabirom v = ručni proračun se bitno olakšava. Rubni uvjet () zadovoljili smo samim odabirom panela s raspodjelom izvora koji i sami za sebe i u integralu induciraju polje brzine čiji iznos s udaljavanjem od tijela u beskonačnost teži k nuli. Rubni uvjet () trebamo zadovoljiti u svakoj od četiri kolokacijske točke. Rubni uvjet () za kolokacijsku točku na panelu broj gasi: v n v n B + = (3) pri čemu je v B brzina u kolokacijskoj točki panela, inducirana od strane raspodjela izvora sa sva četiri panela: v B = v + v + v 3 + v. Nakon što uvrstimo ovaj izraz u (3) i raspišemo 4 prvi član dobivamo jednadžbu za rubni uvjet nepropusnosti () u kolokacijskoj točki panela : v n v n v n v n v n = Ovdje prvi indeks označuje broj panela u čijoj se kolokacijskoj točki računa brzina, a drugi indeks označuje broj panela koji je inducirao tu brzinu. Odredimo pojedine članove gornje jednadžbe: Prvi član izraza (4) je brzina u kolokacijskoj točki panela, u normalnom smjeru panela, inducirana od strane panela, v n : (4) r = r u = a b () ϑa =, ϑb = π w =.5 ()

4 6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 4 / Ovdje su i komponente brzine i komponente normale izražene u koordinatnom sustavu panela, pa skalarni umnožak možemo obaviti bez transformacije: () () n x v n = [ u w ] = [.5] = ( +.5 ) =.5 n y v n =.5 = a =.5. Drugi član izraza (4) (brzina u kolokacijskoj točki panela, u normalnom smjeru panela, inducirana od strane panela ):

5 6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 5 / v n : () 5 ra = 5, rb = u = ln =.88 4π r 3π () ϑa = π arctg = π arctg, ϑb = w = ( ϑb ϑa) =.76 l π p U ovom slučaju, komponente brzine i komponente normale nisu dane u istom koordinatnom sustavu. Da si olakšamo račun, transformirat ćemo komponente normale n panela dane u koordinatnom sustavu tog panela u komponente kojima je ona određena u koordinatnom sustavu panela. Koordinatni sustav panela dobiva se rotiranjem koordinatnog sustava panela za kut α=π/, pa je matrica transformacije (vidjeti gornju tablicu): C cosα sinα = sinα cosα, pa komponente normale panela u koordinatnom sustavu panela glase: () () nx cosπ sinπ nx + n = sinπ cosπ n = = = +. y y Konačno, član v n glasi: () () n x v n = [ u w ] = [.88.76] =.88 n y v n =.88 = a =.88. v n : 3 (3) 3 ra = rb u3 = ln = 3, 4π 3π lp 3π 3π ϑa = + arctg = + arctg = , l p 3π lp 3π ϑb = arctg =.46365, l p 3π 3π w = ( ϑ ϑ ) = = =.4758 π π π (3) b a 3 3

6 6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 6 / I ovdje ćemo radije transformirati komponente normale panela : (3) () C cosπ sinπ 3 = = sinπ cosπ ; nx nx n = y n = = y (3) (3) n x v3 n = [ u3 w3 ] = 3 [.4758] = n y v n =.4758 = a = v n : 4 v n : 4 (4) 4 ra =, rb = 5 u4 = ln =.88 4π 5 3π lp (4) 4 ϑa =, ϑb = π + arctg = π + arctg, w = ( ϑb ϑa) =.76 l π p 4 4 Koordinati sustav panela 4 može se dobiti rotacijom koordinatnog sustava panela bilo za α=3π/, bilo α=-π/: π π cos sin (4) n x C 4 = = π π ; sin cos n = y = (4) (4) n x v n = [ u w ] = [.88.76] =.88 n y v n =.88 = a =.88. v n : Ovdje bi trebali prebaciti bilo normalu panela u globalni koordinatni sustav, bilo brzinu neporemećene struje iz globalnog u sustav panela. U globalnom sustavu: v n = [ ] = v n =.

7 6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 7 / Uvrštavanjem izračunatih članova u izraz (4) dobivamo rubni uvjet nepropusnosti na panelu : a + a + a + a = v n (5) Koeficijenti u izrazu (5) nazivaju se utjecajni koeficijenti. Primjerice, koeficijent a 3 predstavlja brzinu induciranu konstantnom raspodjelom elementarnih izvora jedinične jakosti panela 3 u kolokacijskoj točki panela u smjeru normale panela. Procedura koju smo prošli u izvodu jednadžbe (5) opisuje stvarnu proceduru koja se primjenjuje u računalnim programima. Jednadžbe za rubni uvjet nepropusnosti u preostale tri kolokacijske točke, izvest ćemo koristeći se očitom činjenicom simetričnosti problema. Nastavljajući opisani postupak, zadovoljavanje rubnog uvjeta nepropusnosti za kolokacijsku točku panela rezultira jednadžbom: a + a + a + a = v n Na slici je prikazano polje brzine kojeg inducira panel s konstantnom raspodjelom izvora, jedinične jakosti. Krivulje sa brojčanim iznosima predstavljaju skalarno polje apsolutne vrijednosti brzine u [m/s]. Iz slike vidimo da je polje brzine simetrično. Osim toga, strujanje oko cilindra želimo opisati uz pomoć četiri panela istih dimenzija i istog oblika raspodjele izvora. Zbog toga će međusobni utjecaj panela za jedinične jakosti biti isti. To znači da će normalna komponenta brzine inducirana panelom (jedinične jakosti izvora) na panelu, biti jednaka onoj na panelu induciranoj panelom (jedinične jakosti izvora). To znači da je utjecajni koeficijent a =a. Za dva panela istih dimenzija i oblika raspodjele izvora, npr. za panel i i panel j, uvijek vrijedi: a ij =a ji. Osim toga, paneli i 4 su raspoređeni simetrično obzirom na pravac kroz kolokacijsku točku panela, u smjeru njegove normale, te smo zato dobili a 4 =a. Na taj su način određeni svi ostali koeficijenti u preostale 3 jednadžbe. Općenito, za slučaj kada problem optjecanja rješavamo uz pomoć np panela dobivamo np jednadžbi za rubni uvjet nepropusnosti, po jednu za svaku od np kolokacijskih točaka: np j= a = v n ; i=, np. ij j i

8 6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 8 / U matričnom obliku takav sustav glasi: a a.. a v n np a a.. a np v n..... = anp anp.. a npnp np v n np. (6) A=B Matrica A naziva se matricom utjecajnih koeficijenata, vektor je vektor nepoznatih intenziteta izvora po panelima, a vektor B je desna strana. Pri rješavanju problema koji podrazumijevaju pojavu sile uzgona, potrebno je primijeniti raspodjele vrtloga u nekom obliku. To može biti i raspodjela dipola jer se svaka raspodjela dipola može prikazati odgovarajućom raspodjelom vrtloga. U takvim se slučajevima, do matrice utjecajnih koeficijenata dolazi na isti način kako je to učinjeno u ovom zadatku, naravno uz upotrebu odgovarajućih izraza za inducirane brzine. Također, pri rješavanju takvih problema, metoda se mora prilagoditi tako da sustav (6) sadrži i jednadžbu koja će osigurati uvjet Kutta-Žukovskoga na izlaznom bridu. U našem slučaju imamo np = 4 panela, iste veličine i iste raspodjele izvora, pa sustav (6) glasi: = sim..5 4 Ovakav sustav rješava se pomoću računala nekom od direktnih metoda, a rješenje našeg sustava glasi:.8376 =.8376 Vidimo da je zbroj jakosti raspodjela jednak nuli, što je prvi pokazatelj da je rješenje ispravno jer su paneli jednake duljine, a imamo zatvoreno tijelo. Jednom kada znamo jakosti raspodjela izvora, možemo izračunati ukupnu brzinu u bilo kojoj točki jednostavnim zbrajanjem neporemećene brzine s induciranim brzinama od strane svakog pojedinog panela. Iz Bernoullijeve jednadžbe tada možemo izračunati tlak..

9 6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 9 / Na slikama su podebljanim crtama prikazani paneli i strujnice polja brzine koje nastaje kombinacijom paralelnog strujanja i ova četiri panela. Možemo vidjeti da čak i uz ovako grubu diskretizaciju dobivamo sliku strujanja, koja gledano izdaleka sliči strujanju oko cilindra. Kada se strujanje gleda u neposrednom okolišu panela, možemo vidjeti da je rubni uvjet nepropusnosti osiguran samo u kolokacijskim točkama. Za određivanje raspodjele tlaka po konturi smijemo se koristiti brzinama dobivenim isključivo u tim točkama. Zbog toga što je rubni uvjet (uvjet nepropusnosti) zadovoljen u kolokacijskim točkama, rezultirajuća brzina u njima ima samo tangencijalnu komponentu. Radi smanjenja potrebnog broja operacija, umjesto da se u kolokacijskim točkama određuju obje komponente brzine uputno je odmah uz formiranje matrice utjecajnih koeficijenata A formirati i matricu induciranih brzina od strane raspodjela jedinične jakosti u tangencijalnom smjeru A T. Komponente matrice A T se dobiju prema sljedećim izrazima. Ukupna brzina u kolokacijskoj točki panela : v t : v = v t ; v t = v t + v t + v t + v t + v t 3 4 v t : v t = = a T T =. [ ] ( ) ( ) v t = u w =.76 T =.76. Vidimo da će zbog simetričnosti problema, utjecajni koeficijent u tangencijalnom smjeru a T3 također biti jednak nuli dok koeficijent a T4 iznosi a T4 =-a T. Također, zbog toga što izvori daju simetričnu sliku strujanja, a tangente panela su okrenute u smjeru kazaljke na satu vrijediti će : čime su sve brzine određene. a Tij = a, Tji

10 6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II / U matričnom obliku one glase, općenito: v at at.. atnp v t v at at.. a Tnp v t. = v a a.. a v t np Tnp Tnp Tnpnp np np U našem slučaju : v v = +. v v v = v = v 3 = v 4 = Treba napomenuti da su ovako izračunate brzine u svojoj naravi u komponente brzine, svaka iskazana u svom lokalnom koordinatnom sustavu. Ako želimo saznati smjer strujanja trebali bi ih prebaciti u globalni koordinatni sustav. Za određivanje koeficijenta tlaka to nije potrebno. U numeričkom području nemamo kontinuiranu raspodjelu tlaka, već je ona dana diskretno, u kolokacijskim točkama c pi v = i v Sila se također računa kao suma sila: np ρv F = -cpinl i pi i= Za naš primjer c pi = v : i F F ρv ρv = - = + ( 3) + ( ) + ( 3) = 4 x cpinixlpi i= 4 y cpiniylpi i= ( ) ρv ρv = - = + ( 3) + + ( 3)( ) = ( )

11 6. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II / Prisjetimo se da je raspodjela tlaka po površini beskonačnog cilindra dana izrazom: te konačno usporedimo rezultate; c p (ϑ)=-4sin ϑ=-+cosϑ, analitički numerički ϑ c p (ϑ) i c pi -π π/ π 3 3π/ Vidimo da se rezultati vrlo dobro poklapaju s analitičkim. To je posljedica upotrebe panela istih duljina, dok u općem slučaju vrijedi da finijom diskretizacijom dobivamo točnije rješenje.