Capitolul FF.04 Difracţia luminii

Transcript

1 Cpitolul FF.4 Difrcţi luminii Cuvinte-cheie difrcţie Frunhofer, difrcţie Fresnel, figură de difrcţie, tehnic zonelor semiundă, difrcţi Frunhofer pe o fntă dreptunghiulră, difrcţi Frunhoher pe o fntă circulră, difrcţi Fresnel pe o fntă circulră, disc Airy, criteriul Ryleigh, reţe de difrcţie, reţe de difrcţie în reflexie, reţe de difrcţie în trnsmisie, putere de rezoluţie, dispersi reţelei, spectroscop cu reţe FF.4. Introducere Difrcţi luminii este un fenomen dtort crcterului ondultoriu l cestei şi constă în btere de l propgre luminii în linie dreptă, descrisă în optic geometrică. Fenomenul de difrcţie fost descoperit de F. Grimldi cre i- dt şi numele (din ltinescul diffringere însemnând sprge în bucăţi, cu referire l împrăştiere frgmentelor dincolo de o fntă îngustă într-un ecrn). Deşi principiul lui Huygens (678) fost dt l puţin timp după priţi trttului De lumine, în cre eru publicte postum studiile despre difrcţie le lui Grimldi (665), o justificre corectă fenomenului, în cdrul unei teorii ondultorii luminii, nu fost dtă decât în 88. Motivul cestei lungi întârzieri pote fi explict prin influenţ covârşitore în epocă teoriilor mecniciste, bzte pe principiile lui Newton. Timp de mi bine de un secol difrcţi, un fenomen cre nu îşi găse justificre în teori corpusculră luminii dtortă lui Newton, fost trecută cu vedere. L începutul secolului l XIX-le A. Fresnel, dept l ipotezei că lumin este undă electromgnetică (dtortă lui R. Mxwell), doptt şi îmbunăţăţit principiul lui Huygens, tocmi pentru justific difrcţi luminii pe obstcole de dimensiuni mici. În 89 el primit un premiu cordt de Acdemi Frnceză pentru lucrre dedictă subiectului difrcţiei Figur 4. Figur de difrcţie observtă l mrgine unui obiect opc cu simetrie circulră; în centru se vede punctul luminos l lui Poisson luminii. În încercre de discredit rezulttele lui Fresnel, S. Poisson, membru l juriului şi dept convins l teoriei corpusculre luminii, făcut clcule bzte pe teori lui Fresnel şi rătt că în conformitte cu ceste, în centrul zonei de umbră obţinute prin incidenţ luminii pe o sferă opcă r trebui să se formeze un mxim luminos! Acest fpt er în contrdicţie flgrntă cu experienţ de zi cu zi şi cu teori corpusculră luminii. - -

2 Punctul luminos l lui Poisson r fi trebuit să constituie elementul experimentl lipsă, cre să de peste cp nou teorie. Existenţ cestui fost însă demonstrtă curând de D. Argo, un lt membru l juriului, ir Fresnel primit premiul meritt. În figur 4. se pote observ că într-devăr, rezulttul difrcţiei luminii pe un obstcol cu simetrie circulră (o sferă opcă, de exemplu) conţine punctul luminos l lui Poisson în poziţie centrlă. Acest fost un moment hotărâtor în istori fizicii. Ulterior s- dezvoltt o rmură extrem de importntă fizicii, cu numerose plicţii prctice optic ondultorie, ir limitările opticii newtoniene u făcut c cest să devină desuetă. Abi l începutul secolului l XX-le conceptul de prticulă de lumină fost redus în discuţie, de către Einstein. Totuşi cunt de lumină lui Einstein (95), fotonul de mi târziu ( G. Lewis, 96) nu mi veu crcteristicile imginte de Newton. Aşdr fenomenul de difrcţie constă în redistribuire energiei luminose incidente l trecere printr-o fntă îngustă su l depăşire unui obstcol de dimensiuni mici. Acest fpt ne minteşte de interferenţ luminii studită în secţiune F.3. În relitte nu există o diferenţă de principiu între fenomenul de interferenţă şi cel de difrcţie. Ambele constu în suprpunere de unde coerente, suprpunere cre conduce l redistribuire energiei incidente în zone luminose, numite mxime, în cre undele secundre se întăresc reciproc (interferă constructiv) şi zone întu necte, numite minime, în cre undele se scd reciproc (interferă destructiv). Este o chestiune de convenţie să numim interferenţă fenomenul produs de surse de lumină punctiforme şi difrcţie fenomenul de suprpunere undelor secundre provenind de l o sursă cu extindere spţilă bine definită, dică de l un continuum de surse punctiforme. F.4. Difrcţi Frunhofer şi difrcţi Fresnel prezentre clittivă Dcă lumin monocromtică provenind, de exemplu, de l un lser este incidentă pe o Figur 4. Figur de difrcţie obţinută l incidenţ luminii lser pe o fntă lungă şi îngustă. fntă îngustă dreptunghiulră, prctictă într-un ecrn opc, în spţiul de dincolo de ecrn pote fi observtă o succesiune de zone luminose şi întunecte, c în figur 4.. Acest este semănătore cu figur de interferenţă descrisă în FF3.6, cu diferenţ că frnjele obţinute nu sunt - -

3 nici echidistnte, nici de eglă intensitte. Exminând figur 4. de difrcţie luminii monocromtice pe o fntă lungă si îngustă, se pote observ o btere clră de l propgre în linie dreptă. Acest din urmă este reprezenttă în figur 4.3 şi 4.3b. Distribuţi intensităţii luminii dincolo de ecrn pentru Umbr Umbr Penumbr Lumină Lumină Umbr Umbr Penumbr ) b) Figur 4.3 Propgre luminii în linie dreptă: ) sursă punctiformă; conul de lumină este bine delimitt de regiune de umbră b) sursă cre re o intindere spţilă; zon de lumină este delimittă de umbră printr-o zonă penumbră czul sursei punctiforme plste în drepul unei fnte lrgi este descrisă printr-o zonă de lumină şi un de umbră bine delimitte figur 4.3. Pentru o surs de lumin cu extindere spţilă bine determintă, zon de lumin şi ce de umbră sunt seprte printr-o zonă de penumbră, c în figur 4.3b, dr în niciun cz nu se pote vorbi de o succesiune de frnje Figur 4.4 Figur de difrcţie observtă l iluminre unei lme de rs cu rdiţie lser semene celor prezentte în figur 4.. Un fctor cheie în producere fenomenului de difrcţie îl reprezintă dimensiune fntei. Dcă cest este mre în rport cu lungime de undă luminii incidente, figur de difrcţie dispre, ir distribuţi intensităţii luminii este în conformitte cu legile opticii geometrice, c în figur 4.3 şi b, de exemplu. Difrcţi se produce nu numi l incidenţ luminii pe fnte, ci şi pe obstcole de dimensiuni mici. Astfel, dcă lăsăm lumin de l un lser să cdă pe un fir de păr su pe muchi scuţită unei lme de rs, dincolo de obstcolul - 3 -

4 respectiv pote fi observtă o figură de difrcţie de lcătuită din mxime şi minime succesive, c în figur 4.4. Pătrundere luminii în zon de umbră geometrică pote fi înţelesă dcă plicăm principiul Huygens-Fresnel: punctele de pe frontul de undă incident flte l limit de seprre între obstcol şi mediu, devin centre de emisie undelor secundre sferice. Prin interferenţ cestor se produce figur de difrcţie, cre se extinde şi în sptele obstcolului. Am rătt că producere difrcţiei este condiţiontă de dimensiune fntei/obstcolului în rport cu lungime de undă incidentă. Un lt fctor îl constituie dimensiune sursei primre de lumină. Astfel, punctele diferite le unei surse de lumină cu extindere spţilă finită, cum r fi o lmpă cu descărcre în mercur vor produce figuri de difrcţie cre, prin suprpunere, pot să se nihileze reciproc dcă poziţi mximului de l un punct coincide cu poziţi minimului de l un lt punct, pentru ceeşi lungime de undă. Totuşi, dcă lumin incidentă vine de l o sursă cu extindere spţilă bine definită cre se flă l o distnţă forte mre fţă de fntă/obstcol, lumin incidentă este prctic prlelă şi Fntă Lentilă Ecrn f Figur 4.5 Arnjment experimentl utilizt pentru studiul difrcţiei lser pe o fntă îngustă. Lentil foclizeză rzele difrctte in direcţii prlele, sub un unghi orecre, într-un singur punct pe ecrn. Pe figură sunt reprezentte două stfel de direcţii, dr numărul lor este infinit. Acest este regimul de difrcţie Frunhoffer. suprpunerile despre cre vorbem nu mi sunt posibile. Dcă priviţi un tub folosit pentru iluminre sălii de curs prin spţiul dintre două degete propite (ceste produc, evident, fnt) dispuse prlel cu tubul, veţi pute observ o figură de difrcţie lcătuită dintr-un - 4 -

5 mxim centrl lb şi mxime colorte, de l violet l roşu, dispuse simetric, de o prte şi de lt cestui. Un fenomen semănător pote fi observt şi dcă priviţi surs de lumină printr-o ţesătur fină, c cee unei btiste, de exemplu. În cele ce urmeză, vom studi modul în cre se difrctă lumin l trecere printr-o fntă îngustă. Vom vede cum se formeză figur de difrcţie şi cre este poziţi mximelor şi minimelor tunci când lumin de l fntă este proximtiv prlelă. Acest regim de difrcţie în lumină prlelă este cunoscut sub numele de difrcţie Frunhofer. E pote fi studită fie folosind un ecrn situt l distnţă mre fţă de obstcol/fntă, fie folosind o lentilă şi plsând ecrnul de observre l o distnţă eglă cu distnţ foclă lentilei. În cest din urmă Ecrn cu fntă. Ecrn de observre Figur 4.6 Arnjment experimentl utilizt pentru studiul difrcţiei lser pe o fntă ingustă. Conform principiului Huygens-Fresnel, undele secundre produse l incidenţ frontului de undă primr pe fntă interferă pe ecrnul de observre. Iluminre fiecărui punct de pe ecrn este rezulttul rezulttul cestui proces. Acest este regimul de difrcţie Fresnel. cz, în fiecre punct de pe ecrn se vor suprpune rze cre se difrctă sub celşi unghi dincolo de fntă, c în figur 4.5. Observând figur de difrcţie într-o zonă sitută în propiere fntei/obstcolului, rzele de lumină cre se suprpun nu mi sunt prlele. Regimul de difrcţie în lumină divergentă este cunoscută sub denumire de difrcţie Fresnel. Deorece înclinre rzelor cre se suprpun nu mi este ceeşi (vezi figur 4.6), nliz cntittivă difrcţiei Fresnel este dificilă. De cee ne vom rezum l discut difrcţi Fresnel pe o fntă circulră, cz în - 5 -

6 cre putem folosi simetri circulră întregului dispozitiv experimentl pentru explic spectul figurii de difrcţie Fresnel. În secţiune dedictă difrcţiei Fresnel pe o fntă circulră vom găsi o relţie de clcul pentru distnţ cre delimiteză cele două regimuri de difrcţie luminii l o numită lungime de undă incidentă şi l o numită dimensiune fntei. C regulă generlă, dcă plsăm ecrnul de observre în vecinătte fntei/obstcolului, cee ce observăm este figur de difrcţie Fresnel. Pe măsură ce ne îndepărtăm de plnul fntei, figur de difrcţie se trnsformă treptt în figur Frunhofer. Prin urmre, regimul de difrcţie Frunhofer este un cz limită l regimului de difrcţie Fresnel, cre reprezintă ce mi generlă bordre posibilă cestui fenomen l opticii ondultorii. difrcţie FF.4.3 Difrcţi Frunhofer pe o fntă - distribuţi intensităţii ȋn figur de În cest prgrf vom folosi metod zonelor semi-undă pentru determin poziţi minimelor în figur de difrcţie Frunhofer obţinută l incidenţ luminii monocromtice pe o fntă dreptunghiulră îngustă şi infinit lungă. Distribuţi intensităţii luminii în figur de difrcţie v fi investigtă cu jutorul metodei fzorile. Dcă în cle luminii monocromtice cu intensitte I se plseză un ecrn cu o fntă infinit lungă şi îngustă, de lăţime, pe ecrnul de observre situt l distnţ L, se v pute observ o distribuţie intensităţii luminose similră celei din figur 4.. Ce mi mre prte energiei luminose incidente este concentrtă într-un mxim centrl. De o prte şi de lt cestui există lte mxime, dispuse simetric, cu mplitudini scăzătore, seprte prin zone întunecte (minime de difrcţie). Acest mod de redistribuire energiei purtte de undele luminose incidente pote fi explict pornind de l principiul Huygens-Fresnel: tunci când fronturile de undă plne incidente ting plnul fntei, fiecre suprfţă elementră fntei devine centrul de emisie l unor unde secundre sferice. Dincolo de fntă, undele secundre se suprpun şi produc interferenţă. Funcţi de distribuţie intensităţii luminii observte pe ecrn este proporţionlă cu pătrtul mplitudinii câmpului electric în und rezultntă, obţinută prin suprpunere undelor secundre. Pentru găsi poziţi minimelor de difrcţie se pote plic o metodă simplă şi elegntă numită metod zonelor semi-undă. Pentru început, împărţim lăţime fntei în două regiuni egle şi luăm în considerre dor rzele cre sunt difrctte sub celşi unghi, θ, les stfel încât prin suprpunere lor pe ecrn să rezulte un minim de interferenţă în m. Fiecre punct - 6 -

7 l zonei I v ve un punct corespundent în zon II, situt l distnţ de primul. Pe desen m reprezentt dor rzele pornind din punctele cre mrcheză extremitte de sus zonelor Fntă Lentilă Ecrn I P M P Figu M sinθ θ θ ' m ' m O m m I şi II, cre sunt, evident l distnţ unul de celăllt. Imginţi-vă că P lunecă în jos, pe distnţ x ; tunci punctul său corespondent se v fl l distnţ x sub P! Este importnt să înţelegem că întreg lăţime fntei este coperită prin ceste perechi de puncte corespondente, începând cu P, P şi sfârşind cu pereche de puncte flte în extremitte de jos fiecărei dintre cele două zone semi-undă M,M două rze difrctte sub celşi unghi corepondente este dtă de relţi. Diferenţ de drum dintre oricre θ şi cre pornesc din oricre pereche de puncte l sin θ. (4.) - 7 -

8 Conform principiului Huygens-Fresnel, undele secundre se suprpun, dând efecte de interferenţă. Noi m făcut construcţi prezenttă în figur 4.7, stfel încât diferenţ de drum să fie o semi-undă: l. (4.) Din relţiile (4.) şi (4.) rezultă condiţi pe cre trebuie să o îndeplinescă unghiul de difrcţie θ l undelor secundre provenind din perechile de puncte secundre stfel încât să Fntă Lentilă Ecrn ' m 4 P P sin 4 ' m O m m Figur 4.8 Poziţi minimelor de difrcţie pe o fntă îngustă prin metod zonelor semi-undă. Al doile minim ( m ) se obţine împărţind imginr fnt în două ptru zone egle. Fiecre punct l unei zone re un singur punct corespondent în zon dicentă, stfel încât diferenţ de drum dintre rzele cre pornesc din ceste puncte este mereu /. jungă în punctul m de pe ecrn cu o diferenţ de drum de o semi-undă: sin θ. Observţi că m considert tote rzele provenind de l tote punctele fntei. Deorece sunt prlele, ele se vor întâlni într-un singur punct de pe ecrnul de observre flt l distnţă infinită fţă de fntă su, echivlent, în plnul focl l lentilei cre dună rzele difrctte pe ecrnul de observre. În punctul respectiv se formeză un minim de difrcţie

9 Într-devăr, undele provenind de l perechi de puncte corespondente sunt în opoziţie de fză, deorece diferenţ de fză k l dintre ele este eglă cu π : unghi π k l π. Dcă cum luăm în considerre undele secundre difrctte în plnul fntei sub celşi θ, dr în sus (vezi figur 4.5), ceste vor produce un minim de difrcţie dispus l ceeşi distnţă fţă de x de simetrie fntei, în punctul Din ceste observţii rezultă că relţi determină poziţi unghiulră ( θ ' m. sin θ. (4.3) ) primului minim în figur de difrcţie luminii monocromtice cu lungime de undă, pe o fntă dreptunghiulră îngustă, de lăţime. Este vorb despre primul minim de difrcţie deorece împărţire fntei în două părţi egle conduce l cel mi mic unghi de difrcţie, θ rcsin, ş cum vom vede în cele ce urmeză. De semene, se pote observ că figur este simetrică în rport cu x de simetrie fntei şi dispusă pe o direcţie perpendiculră pe fntă. Într-devăr, în figur 4.7 este reprezenttă o secţiune orizontlă prin plnul fntei, cre este orienttă după direcţi verticlă. Să ne imginăm cum că este posibil să împărţim lăţime fntei în 4 zone egle, stfel încât diferenţ de drum dintre perechile de rze difrctte în punctele corespondente (prţinând l două zone vecine) sub unghiul θ să fie tot (vezi figur 4.8). Lăţime fiecărei zone stfel obţinute v fi 4. Şi în cest cz, diferenţ de drum trebuie să fie eglă cu, pentru c prin suprpunere rzelor provenind de l puncte corespondente două zone învecinte să se obţină un minim. Condiţi este c diferenţ de drum să fie din cre rezultă l sin θ, 4 sin θ. Corespunzător, expresi unghiului de difrcţie pentru minimul de ordinul l doile este θ rcsin. Evident, şi în cest cz se produc de fpt două minime dispuse simetric fţ de x de simetrie fntei (vezi figur 4.8)

10 Procedeul se pote relu împărţind lăţime fntei în 3 6 zone egle, de lăţime, 6 stfel încât diferenţ de drum dintre punctele corespondente le zonelor dicente să fie eglă cu o semi-undă: treile: 3 l sin θ. Rezultă condiţi de obţinere minimului de ordin l 6 3 sin θ 3 Aşdr, în esenţă, tehnic zonelor semi-undă constă în împărţire imginră lăţimii fntei într-un număr pr de zone m, stfel încât diferenţ de drum dintre oricre două unde secundre provenind de l oricre două puncte corespondente prţinând l două zone învecinte să fie. Îndeplinire cestei condiţii, exprimtă prin relţi m sin θ, su, m echivlent, sin θ m m sigură interferenţ destructivă undelor provenind de l fiecre pereche de zone semi-undă lăturte. Dcă există un număr întreg de stfel de perechi de zone (dică un număr pr de zone), rezulttul suprpunerii totle undelor secundre v fi un minim. Am obţinut poziţionre precisă minimelor în figur de difrcţie luminii monocromtice pe o fntă îngustă fără folosi un prt mtemtic complict. Rezulttul plicării tehnicii zonelor semi-undă este exprimt prin ecuţi unde este lăţime fntei, m sin θ m ( m,, ) (4.4) θ m este unghiul de difrcţie corespunzător minimului de ordin m, ir este lungime de undă luminii incidente. Numărul m indică ordinul de difrcţie şi pote lu vlorile,,, dtorită simetriei problemei. Este bine să nu confundăm cestă condiţie cu relţi mximelor în figur de interferenţă obţinută cu dispozitivul lui Young. Forml ele sunt l fel, dr sensul fizic este cu totul ltul. Rezulttul (4.4) ne permite să fcem predicţii supr lărgimii mximului centrl în figur de difrcţie luminii pe o fntă. Acest se extinde pe distnţ cuprinsă între poziţiile minimelor de ordin întâi ( m ) situte de o prte şi de lt xei de simetrie fntei. Unghiul θ sub cre se vede minimul de ordin întâi defineşte semi-lărgime mximului centrl, şi de cee introducem notţi θ θ sl, Pentru unghiuri mici, sin θ θ, şi, conform condiţiei (4.3), θsl. (4.5) - -

11 Este interesnt că semilărgime mximului centrl se obţine punând condiţi c diferenţ de drum dintre cele două rze cre părăsesc extremităţile fntei sub unghiul θ sl să fie eglă cu lungime de undă (vezi figur 4.9). sin θsl sin θ sl θ sl Fntă cu lătime L Ecrn Figur 4.9 Rzele cre părăsesc extremităţile fntei sub unghiul θ sl se suprpun în primul minim de difrcţie. Astfel, θ sl defineşte semi-lărgime (unghiulră, fireşte) mximului centrl. În figură se pote observ funcţi de distribuţie intensitătii luminii reprezentre prţilă În relţi de clcul semilărgimii mximului centrl intervin doi prmetri: dimensiune fntei şi lungime de undă incidentă. Din cest rezultă că o fntă îngustă produce difrcţi puternică luminii, mximul centrl depăşind mult lărgime fntei. Invers, o fntă cu lărgime mult mi mre decât lungime de undă incidentă pote conduce l dispriţi figurii de difrcţie, dică minimul de difrcţie de ordin întâi nu este seprt unghiulr de mximul centrl, ir lumin se propgă în linie dreptă dincolo de fntă. Dependenţ de lungime de undă lui θ sl ne spune că semilărgime corespunzătore lungimilor de undă mici (limit violet din vizibil) este mi mică decât semilărgime lungimilor de undă mri (limit roşie). Astfel, dcă o fntă este ilumintă cu lumin lbă, ne şteptăm c mximul centrl să fie lb pe zon cu semilărgime corepunzătore violetului, violet θ sl (pentru că colo se suprpun tote mximele centrle de ordin zero), după cre se văd culorile disperste de l violet către roşu în cestă ordine, de o prte şi de lt xei de simetrie fntei, până l rosu θ sl. Pentru găsi o relţie cre să exprime distribuţi intensităţii luminii în figur de difrcţie, vom folosi metod fzorilă de însumre vectorilor intensitte câmp electric în undele secundre provenind de l diferitele zone le fntei. Să considerăm că lăţime fntei este împărţită într-un număr orecre N de zone de lăţime forte mică x. N Situţi este semănătore cu cee descrisă pentru tehnic zonelor semi-undă, cu diferenţ că cum nu mi punem condiţi să vem un număr pr de zone şi diferenţ de drum dintre rzele - -

12 provenind de l zone învecinte nu mi trebuie să fie eglă cu o semi-undă, ci este pur şi simplu l xsin θ. Conform principiului Huygens-Fresnel, fiecre stfel de zonă v fi centrul de emisie l unor unde secundre sferice, prin suprpunere căror se obţine o undă rezultntă. Pentru că ne intereseză distribuţi intensităţii luminii după unghiul de difrcţie, vom consider dor undele secundre difrctte sub un unghi rbitrr θ fţă de direcţi luminii incidente pe fntă. Amplitudine cestor v fi ceeşi, proporţionlă cu diferenţ de fză dintre undele secundre provenind de l două zone dicente v fi corespunzător diferenţei de drum δ θ x, ir π kl x sin θ, (4.6) l x sin θ. Aceste observţii ne permit să scriem expresiile mtemtice le oscilţiilor vectorului câmp electric în undele secundre. Dcă notăm cu E mplitudine fiecărei unde secundre tunci câmpul electric în undele secundre provenind de l cele N zone vor fi de form E E sin ωt sin ω δ,..., E E t N E E t 3 N, E E t sin ω δ, sin ω δ. Fiecre dintre ceste relţii este E E E sin ωt δ E E sin ωt δ E mx ) b) Figur 4. ) Digrm fzorilă corespunzătore împărţirii fntei în şpte zone egle; se pote observ compunere fzorilor individuli pentru direcţi îninte (rezultnt E mx ) şi compunere fzorilor cre descriu vibrţiile după o direcţie orecre θ (rezultnt E ) - observţi defzjul δ cre este mereu celşi între fzorii corespunzători l două zone vecine. Lini puncttă mrcheză fz zonei curente b) Detliu în cre sunt reprezentţi dor fzorii sociţi primelor două zone. socită unui fzor cre portă informţii despre mplitudine şi fz vectorului intensitte - -

13 câmp electric l undei secundre emise de un dintre zonele definite prin împărţire imginră lărgimii fntei în zone egle de lăţime x. Rezultnt fzorilor individuli reprezintă fzorul câmpului electric în und obţinută prin suprpunere. Să nu uităm că ne referim l un singur punct de suprpunere pe ecrnul de observre, cre corespunde unei singure direcţii de difrcţie definită de unghiul θ. Acest punct se flă l o distnţă forte mre în rport cu lărgime fntei, su în plnul focl l lentilei cre colecteză lumin difrcttă (vezi figur 4.5). Pentru direcţi îninte unghiul de difrcţie este θ, cee ce determină un defzj δ pentru oricre două zone dicente vecine. Altfel spus, fzorii individuli sunt în fză. Rezultnt este pur şi simplu un fzor orientt după direcţi θ, cărui mplitudine este sum mplitudinilor individule. Indicele mx indică fptul că nu există nicio posibilitte c rezultnt să fie descrisă printr-un fzor cu mplitudine mi mre (vezi figur 4.). Altfel spus, cest este mplitudine rezultntă mximă. N E E NE. (4.7) mx k k În czul în cre defzjul δ este diferit de zero, dică pentru un unghi θ orecre, se foloseşte regul conturului poligonl pentru efectu sum fzorilor. Fzorii individuli sunt plsţi stfel încât punctul de plicţie l unui fzor cre descrie o zonă dtă să coincidă cu vârful fzorului tşt zonei nteriore, ir direcţiile celor doi fzori să difere prin defzjul δ (vezi figur 4.b). Rezultnt uneşte punctul de plicţie l fzorului câmp electric l primei zone cu vârful fzorului câmp electric l ultimei zone, zon N (vezi figur 4.): N E Ek. k (4.8) În figur 4. este reprezentt czul unui număr mic de fzori ( N 7 ). Cu cât N creşte, cu tât dimensiune zonelor individule scde şi, în consecinţă, scde mărime fzorilor individuli E k. L limită, mplitudinile vibrţiilor în undele secundre sunt tât de mici încât se pote consider că ele se dispun pe un rc de cerc. Digrm fzorilă pote fi proximtă printr-un rc de cerc, ir cord cre subîntinde cest rc este tocmi rezultnt E cre descrie câmpul electric în rezultnt undelor secundre. Acestă reprezentre simplifictă împreună cu câtev considerţii de ordin geometric ne vor permite să evluăm mplitudine câmpului electric în punctul în cre se suprpun undele secundre difrctte sub unghiul θ, E θ, pentru c ulterior să putem fce predicţii supr intensităţii luminii în punctul respectiv

14 Arcul de cerc AO B descrie, ş cum m rătt, conturul formt prin plsre fzorilor individuli cp l codă, respectănd defzjul. Este o situţie semănătore cu figur 4., cu diferenţ că numărul de fzori este forte mre, stfel încât fiecre dintre ceşti este un mic rc de cerc. Lungime cestui rc este eglă cu lungime obţinută tunci cănd fzorii O R A φ φ R O O Figur 4. Digrm fzorilă corespunzătore împărţirii fntei într-un număr forte mre de zone identice. Fzorii individuli se dispun pe rcul de cerc AO B de lungime E mx, ir rezultnt este secnt AB de lungime E. R M E φ B individuli sunt în fză, dică este eglă cu E mx. Secnt AOB este rezultnt suprpunerii fzorilor individuli, dică este E. Defzjul totl φ este unghiul dintre direcţi primului fzor (dtă de segmentul de dreptă AM ) şi direcţi ultimului fzor (dtă de tngent BM dusă l rc prin vârful ultimului fzor, dică prin ultimul punct B. Arcul AO B fce prte din cercul de rză R. Dcă ducem rzele cre unesc centrul cestui cerc cu punctul de plicţie A l primului fzor şi vârful B ultimului fzor, ceste rze fc un unghi φ (din considerente de geometrie plnă elementră). Ducând perpendiculr din O pe segmentul AB, unghiul AOO φ. În triunghiul AOO putem scrie relţi cre exprimă cest unghi: φ AO E sin. AO R (4.9) Pe de ltă prte, putem folosi fptul că lungime rcului de cerc AO B este eglă cu rz cercului înmulţită cu unghiul l centru, φ, în figur 4., dică E mx Rφ. (4.) (O verificre rpidă: lungime cercului este π (unghiul l centru) R(rz) ) Eliminând rz cercului între relţiile (4.9) şi (4.), obţinem după clcule elementre mărime rezultntei E c funcţie de mplitudine mximă E mx şi defzjul totl φ : - 4 -

15 φ sin φ E φ. (4.) φ φ mx E Rsin sin Emx Să nu uităm însă că defzjul totl este sum defzjelor individule π δ xsin θ, i.e. φ N δ. Atunci câmpul electric în und rezultntă în punctul unde se întâlnesc rzele difrctte sub unghiul θ, E θ, pote fi exprimt prin relţi N δ sin π sin sin θ N x E θ E mx E mx N δ π N x sin θ. π π sin N sin θ sin sin θ N E mx E mx π π N sin θ sin θ N În eglităţile de mi sus m înlocuit dimensiune fntelor, x şi, în plus, m simplifict N prin N, deorece l vlori mri le numărului N de zone individule este devărtă proximţi N N. Prin urmre, folosind dunre fzorilor m reuşit să găsim rezultnt E cre descrie câmpul electric în rezultnt undelor secundre difrctte sub unghiul θ, fără să efectuăm integrl de difrcţie. Acest este E θ π sin sin θ E mx. (4.) π sin θ Totuşi, mărime cre ne intereseză este intensitte luminii în figur de difrcţie şi distribuţi s după unghiul θ de difrcţie. Ştim că cest este proporţionlă cu pătrtul mplitudinii câmpului electric l undei. Notând cu I θ intensitte luminii în punctul în cre sunt dunte rzele difrctte sub unghiul θ şi cu I - intensitte luminii în centrul figurii de difrcţie, situt pe x de simetrie, putem scrie că I I π sin sin θ E E π sin θ mx - 5 -

16 su, echivlent, I θ I π sin sin θ. (4.3) π sin θ Funcţi de distribuţie intensităţii exprimtă prin relţi de mi este reprezenttă în figur 4.. E constă dintr-un mxim centrl forte pronunţt M şi lte mxime cu mplitudine rpid descrescătore. În figură sunt reprezentte dor două stfel de mxime. Zonele luminose învecinte (mximele) sunt seprte prin zone întunecte (minime). În figur 4.3 sunt reprezentte digrmele fzorile cre corespund producerii mximelor şi minimelor reprezentte în figur 4.. S ne mintim că spirlele reprezentte sunt de fpt rezulttul punerii cp l codă fzorilor vectorilor câmp electric E în undele secundre provenind de l zonele forte înguste în cre m împărţit fnt. Acolo unde punctul de plicţie l primului fzor coincide cu punctul de plicţie l ultimului fzor, se obţin minime. I k M M ' M ' M M m ' m ' m m O θ Figur 4. Reprezentre funcţiei de distribuţie intensităţii luminii în figur de difrcţie luminii pe o fntă. Cu litere mri su nott mximele şi cu litere mici minimele. Defzjul totl corespunzător minimului de ordin întâi ( m pe figur 4.3) este π. (În fiecre cz, minimele şi mximele cre pr de prte celltă mximului centrl - 6 -

17 corespund prcurgerii spirlei în sens invers celui reprezentt în figur 4.3, dcă ne mintim convenţi de semn pentru unghiurile fzorilor). Similr, pentru m, φ 3 min φ min 4π, ir pentru m 3, 6π. În situţiile în cre defzjul totl este un număr impr de π, se produc mxime. Funcţi de distribuţie intensităţii prezintă minime colo unde dică colo unde este stisfăcută condiţi sin sin θ, π su, echivlent, π sin θ π,,, m m m min sin θ m, m,, (4.4) Atenţie! Notţi θ m min reprezintă unghiurile de difrcţie corespunzătore minimelor intensităţii şi nu vlori minime le unghiurilor! Aş cum er de şteptt, cest rezultt coincide cu cel pe cre l-m obţinut tunci când m plict tehnic zonelor semi-undă pentru locliz minimele în figur de difrcţie luminii pe o fntă. Clculul prin cre se determină poziţi mximelor funcţiei de distribuţie intensităţii exprimtă prin relţi (4.3) este mi complict, însă îl putem ocoli folosind o proximţie rezonbilă: poziţi fiecărui mxim de ordin m este l jumătte distnţei dintre două minime succesive, m şi m. (În relitte, poziţi este puţin deplstă către minimul de ordin m.) Atunci condiţi de mxim se exprimă prin relţi m sin θmx m, m,, (4.5) Acestă condiţie este sugestiv ilustrtă în figur 4.3. Într-devăr, o diferenţ totlă de drum cre este număr impr de semi-unde este echivlentă cu o diferenţă totlă de fză cre este număr impr de π (vezi secţiune despre interferenţ luminii). Aş se întâmplă în M din figur 4.3, unde φ deprte. mx 3π, în M, unde φ mx Introducând ceste vlori le unghiurilor 5π su în M 3, unde θ m mx φ 3 mx 7π, şi ş mi sub cre se produc mximele de difrcţie, găsim rpid vlorile cre reprezintă o bună proximţie intensităţii luminii în mximele de difrcţie pe o fntă: - 7 -

18 π π sin m sin m m m I θ mx mx I I 4I. (4.6) π π m π m m - 8 -

19 M m M m M m 3 Figur 4.3 Digrmele fzorile cre descriu obţinere mximelor şi minimelor în figur de difrcţie luminii pe o fntă. Notţiile sunt c în figur

20 În relţi m nott cu m I intensitte luminii în mximul de ordin m, it mx I este intensitte în mximul centrl. Un clcul direct ne permite să observăm că I mx.45 I, I mx.6 I ir I 3 mx.83 I. Altfel spus, intensitte luminii în mximul de ordinul întâi este 4.5% din I, în mximul de ordinul l doile este.6% din I, ir în mximul de ordinul l treile, dor.83% din I. Aşdr vem o dovdă clră că energi luminosă incidentă este concentrtă în principl în mximul centrl l figurii de difrcţie. Difrcţi luminii pe o fntă cu dimensiuni finite v modul orice figură de interferenţă obţinută în ipotez surselor punctiforme de lumină. Vom studi cest efect l difrcţiei în următorul exemplu. Exemplu Un dispozitiv de tip Young este lcătuit din două fnte identice, fiecre cu lărgime.5 mm, situte l distnţ d.5mm. Câte frnje luminose de interferenţă pot fi observte pe spţiul primului mxim de difrcţie ȋn figur de interferenţă-difrcţie observtă tunci când sistemul este ilumint cu lumină monocromtică glbenă ( 59 nm )? Rezolvre Clculele din prezentre teoretică dispozitivului Young iu ȋn considerţie czul surselor secundre punctiforme. Se neglijeză complet dimensiune finită fntelor şi se studiză exclusiv fenomenul de interferenţă produs prin suprpunere undelor coerente de l cele două surse punctiforme. Rezulttul cestui este observre pe ecrn unei succesiuni de mxime cu mplitudine eglă şi minime nule. În czul fntelor rele, de dimensiuni finite, se produce simultn cu interferenţ un lt fenomen, şi nume difrcţi luminii pe fiecre fntă. Am văzut că distribuţi intensităţii ȋn cestă figură constă dintr-un mxim centrl, cre conţine prope totă energi incidentă şi cre este delimitt spţil de restul figurii de difrcţie prin cele două minime de ordin ȋntâi situte de o prte şi de lt xei de simetrie sistemului. Mximul cest re semilărgime unghiulră 9 59 m rd.8mrd 5 m cre este mult mi mre decât semilărgime unghiulră mximului de interferenţă de ordin zero, de exemplu, cre este 9 59 m rd.59mrd d 5 m. Prin urmre, cee ce observăm pe ecrnul - -

21 plst l distnţă mre de fnt dublă este figur de interferenţă modultă de figur de ) b) Figur 4.4 ) Figur de difrcţie luminii pe o fntă de lăţime. b) Figur de difrcţie interferenţă luminii pe un sistem de două fnte identice cu cee cre produs figur ), situte l distnţ d un de celltă. Observţi cum funcţi de distribuţie intensităţii în figur de difrcţie moduleză mlitudinile mximelor de intensitte în figur de interferenţă (cre r trebui să fie egle). Ambele figuri sunt din Atls of Opticl Phenomenon, M. Cgmet et l., Springer Verlg 96 difrcţie pe o fntă (vezi figur 4.4 şi b). Pe spţiul mximului centrl de difrcţie se există un număr finit de frnje echidistnte. Modulre ȋn mplitudine fce c intensitte luminii ȋn mximele de interferenţă să nu fie constntă, ci să scdă cu depărtre fţă de x optică sistemului (vezi şi figur 4.5) Să presupunem că mximul de interferenţă de ordinul m coincide cu primul minim nul din figur de difrcţie pe o fntă. Acest se exprimă mtemtic prin stisfcere simultnă două condiţii: l unghiul sin θ - condiţi pentru relizre minimului de difrcţie de ordinul ȋntâi d sin θ m - condiţi pentru relizre mximului de interferenţă de ordin m m θ θ θ. Eliminând unghiul prin ȋmpărţire celor două eglităţi membru cu - -

22 membru, obţinem că ordinul mximului de interferenţă cre coincide c poziţie cu primul minim ȋn figur de difrcţie pe o fntă este d.5 mm m.5 mm d Mximul de ordin m nu se mi vede. Ultimul ordin de interferenţă cre se vede este ordinul 9 m. De o prte şi de lt mximului de ordin zero se flă m m frnje luminose vizibile. Dcă l ceste dugăm şi mximul situte pe x optică sistemului, rezultă că numărul de frnje de interferenţă luminose cre se văd pe spţiul primului minim de difrcţie este N m m. Numeric, ȋn problem nostră I I 4 p Figur 4.5 Intensitte luminii în figur de difrcţie - interferenţă obţinută cu un dispozitiv Young în cre rportul dintre distnţ l cre se flă cele două fnte un fţă de celltă şi lătime unei fnte este q d N

23 Verificţi tote ceste vlori pe figur 4.5 în cre m reprezentt grfic funcţi de distribuţie intensităţii luminii în figur de difrcţie interferenţă dtă de un dispozitiv Young neidelizt. În principiu, cest este descrisă prin funcţi de distribuţie intensităţii I δ 4I cos δ (formul 3.64 din FF.3.7), unde vribil este diferenţ de fză π δ sin θ d. C să punem în evidenţă modulre în mplitudine dtă de difrcţi pe fiecre fntă, vom înlocui vlore constntă I utiliztă în czul în cre dimensiune fiecărei fnte er neglijbilă cu funcţi de distribuţie (4.3) intensităţii luminii difrctte pe o fntă cu dimensiune : π π π δ sin sin θ sin sin θ sin d sin θ sin d d d q Idifr δ I I I I. π π π δ sin θ d sin θ d sin θ d d q În relţi de mi sus m introdus prmetrul numeric d q, cre reprezintă rportul dintre distnţ dintre cele două fnte şi dimensiune unei fnte individule. Astfel, I δ I difr ir intensite luminii în figur de difrcţie interferenţă v fi δ sin q, (4.7) δ q δ sin δ q δ I δ 4Idifr δcos 4I cos. (4.8) δ q Pentru reprezentre grfică mi sugestivă vom exprim intensitte c funcţie de vribil dimensionlă Cu cestă definiţie, diferenţ de fză se pote scrie: ir intensitte luminii este d sin θ p. (4.9) π δ sin θ π d p, (4.) - 3 -

24 δ πp sin sin q δ q I p I I p δ πp q q 4 cos 4 cos π. (4.) d În figur 4.5 este reprezenttă cestă funcţie pentru q, corespunzător exemplului nostru concret. În czul difrcţiei Frunhofer luminii pe o fntă circulră de dimetru, intensitte luminii difrctte rezultă, c şi pentru fnt dreptunghiulră, dintr-un clcul nlitic cre porneşte de l rezolvre integrlei de difrcţie. Acest depăşeşte cdrul mterilului de fţă. Rezulttul este totuşi importnt prin implicţiile sle, ş încât îl vom discut în cele ce urmeză. Se demonstreză că intensitte luminii I θ este o funcţie de form: I θ I π J sin θ, (4.) π sin θ unde J este funcţi Bessel de speţ întâi, ordinul întâi, I - intensitte luminii incidente, ir este lungime de undă incidentă. Dcă notăm vribil funcţiei Bessel cu x π sin θ, tunci funcţi de distribuţie intensităţii luminii în figur de difrcţie Frunhofer cpătă form simplifictă J I x I x x fnt circulr, pe cre o puteţi vede reprezenttă în figur 4.6, în prlel cu distribuţi intensităţii corespunzătore fntei dreptunghiulre. În termenii vribilei x, cest sin x din urmă este de form Ifnt dreptunghiulr x I. Asemănre dintre cele două figuri x este evidentă. Şi în czul fntei circulre ce mi mre prte energiei incidente este distribuită în în zon mximului centrl, cre re spectul unui disc luminos cunoscut sub denumire de discul Airy. Discul Airy este seprt de restul figurii de difrcţie printr-o zonă de minim cre re spectul unui cerc întunect. Se pote demonstr că rzele difrctte cre se suprpun pentru d punctele cre formeză cest minim stisfc condiţi: sin θ.. (4.3) min - 4 -

25 Pentru unghiuri mici este devărtă proximţi sin θ unghiulră punctelor flte l limit discului Airy este: θ min min θmin şi, prin urmre, poziţi.. (4.4) Acestă relţie este semănătore cu cee cre exprimă unghiul de difrcţie corespunzător minimului de ordinul întâi în figur de difrcţie pe o fntă dreptunghiulră de lăţime, (4.5), cu diferenţ fctorului numeric., dtort simetriei circulre fntei. Exemplu Lumin de l un lser cu He-Ne ( 63.8nm ) este incidentă pe o pertură circulră cu dimetrul de. mm. Clculţi dimetrul discului Airy formt pe un ecrn situt l distnţ de m fţă de plnul perturii. Rezolvre Poziţi unghiulră punctelor flte l limit discului Airy se clculeză cu relţi m 3 (4.4): θmin rd. În proximţi unghiurilor mici, 4 m tgθ D Airy D, unde m nott cu D Airy dimetrul discului Airy. Atunci L Airy min θmin Lθ m m 5mm. Observţi că redistribuire spţilă 3 3 min energiei incidente este importntă chir şi l o distnţă reltiv mică, de m. Aş cum se pote vede şi din exemplul de mi sus, imgine unei surse de lumină punctiforme printr-o pertură este mărită dtorită efectului de difrcţie, ir ce mi mre prte energiei trnsportte de undele luminose este distribuită pe suprfţ discului Airy. Acest însemnă că dcă două surse punctiforme sunt forte propite, există posibilitte c discurile lor Airy să se suprpună tât de mult încât ele să nu se mi vdă distinct (se mi spune: imginile lor să nu fie rezolvte ), ci să se vdă c un singură. Criteriul lui Ryleigh stbileşte că dcă mrgine discului Airy unei dintre surse coincide cu centrul discului Airy l celeillte, cele două surse sunt bi distincte (bi rezolvte). Acestă situţie l limită corespunde czului în cre seprre unghiulră celor două surse este dtă tocmi de θ min.. Altfel spus, mximul centrl l figurii de difrcţie unei dintre surse coincide ce primul minim în figur de difrcţie produsă de surs vecină - 5 -

26 (vezi figur 4.7 b). Într-un montj c cel prezentt în figur 4.9 şi în proximţi unghiurilor mici, distnţ de seprre l limită celor două surse rezultă din condiţi: şi este xlim sin θmin tg θmin. (4.5) L xlim. L. (4.6) Dcă distnţ dintre centrele celor două discuri Airy depăşeşte vlore limită xlim, tunci cele două surse se văd distinct, ş cum pre în figur 4.7. Alfel spus, imginile celor două surse sunt rezolvte. L polul opus, dcă distnţ este mi mică decât xlim, tunci cele două figuri se dună ir rezulttul este o imgine unică, mi strălucitore, c în figur 4.7c. Consecinţ prctică imedită este cee că funcţionre sistemelor optice cre formeză imgine directă su mărită obiectelor (ochi, lupă, microscop, telescop) este limittă de difrcţie. Chir dcă un instrument este lipsit de berţii, el nu pote perform sub limit de difrcţie. C să înţelegem cest lucru, să ne mintim că vizulizre unui obiect este posibilă dcă cest este ilumint su dcă este el însuşi o sursă de lumină. În mbele czuri, fiecre punct l obiectului studit pote fi considert o sursă punctiformă de lumină. Idel r fi c fiecărui punct obiect să îi corespundă un punct imgine distinct în rport cu punctele imgine produse prin instrument de oricre dintre punctele obiect vecine. Dr instrumentele optice (şi ici putem lu în considerţie şi ochiul) sunt în esenţă lcătuite din lentile, su oglinzi, su combinţii le cestor. Fiecre lentilă/oglindă este de fpt o pertură/obstcol cre permite luminii de l sursă să pătrundă/ să reflecte lumin, şi stfel formeză imgine prin refrcţie/reflexie. Dcă două puncte le obiectului studit, flt l distnţ L fţă de instrumentul optic sunt seprte printr-o distnţă mi mică decât vlore limită xlim. L, instrumentul v fi incpbil să deceleze cele două puncte şi ele vor fi observte prin suprpunere discurilor Airy corespunzătore, c fiind unul singur. Aş se fce că unele dintre stelele cre se văd pe cer c entităţi singulre, l observre prin telescop se dovedesc fi stele duble, su chir vând structuri şi mi complexe

27 ) b) c) Figur 4.7 Criteriul lui Ryleigh. Figurile conţin în stâng reprezentre funcţiei de distribuţie intensităţii şi în drept figur de difrcţie corespunzătore ) surse bine rezolvte distnţ dintre centrele celor două discuri Airy depăşeşte vlore limită b) surse bi rezolvte - distnţ dintre centrele celor două discuri Airy coincide cu vlore limită; c) surse nerezolvte distnţ dintre centrele celor două discuri Airy este sub vlore limită, de cee nu se mi văd distinct - 7 -

28 Exemplu Unul dintre cele mi performnte telescope din lume este telescopul Hle de l Observtorul Plomr din Sttele Unite. Oglind cestui Ochi gigntic, cum fost numit telescopul, re un dimetru de proximtiv 5m. Să considerăm czul unei stele duble flte l o distnţ de 4 ni lumină Pământ. Ce distnţă r trebui să sepre cele două stele componente pentru imginile lor să fie rezolvte de telecopul Hle? Vom consider czul idel în cre difrcţi este unicul proces fizic cre limiteză rezoluţi instrumentului, ir lungime de undă 63.8nm Rezolvre Aş cum m rătt, distnţ de seprre l limit de seprre imginilor este: 9 5 L 63.8 m 4 ni lumin 9.46 m / ni lumin xlim.. 5m 5.84 m Acestă distnţă este cm de 4 ori mi mre decât distnţ de l Pământ l Sore, cre este de proximtiv.496 m. Ochiul însuşi este un dispozitiv cu o pertură cre produce difrcţie şi, prin urmre, limiteză distnţ dintre două puncte cre pot fi văzute seprt. În funcţie de cntitte de lumină incidentă, dimetrul pupilei unui ochi norml i vlori cuprinse între şi 5 mm. După cum se vede din relţi (4.6), în proximţi rzelor de lumină prxile, distnţ limită între două puncte cre mi pot fi văzute seprt este direct proporţionlă cu lungime de undă luminii, cu distnţ de l punctele obiect până l pertură şi invers proporţionlă cu dimetrul perturii, dică l pupilei dcă este vorb despre observre directă. În rtă cest efect fost folosit de pictorii pointilişti pentru reliz efecte de culore cre nu pot fi obţinute prin mestecre directă vopselelor pe pletă. Un tblou pictt în cest stil constă din numerose puncte (în frnceză point însemnă punct), pete de dimensiuni forte mici şi forte propite un de celltă. Privitorul cre se propie de pânză pote să observe cu clritte punctele colorte cre compun, semene pieselor unui puzzle, imgine redtă de rtist. Îndepărtându-te de tblou, dtorită efectului de difrcţie luminii pe pupilă, punctele nu se mi văd distinct, ci se suprpun, producând culori cre există dor dtorită vlorilor prticulre le prmetrilor cre le determină: lungime de undă (culorile propriu-zise le vopselelor utilizte), distnţ dintre centrele petelor, dimensiune pupilei şi distnţ l cre se plseză privitorul fţă de tblou

29 Este interesnt că l o numită distnţă dtă se pote c nunţele de roşu (lungimi de undă mri), de exemplu, să fie mestecte prin efectul de suprpunere discurilor Airy, în timp ce punctele în culori fl l limit lungimilor de undă mici din vizibil (lbstru, violet) se văd încă distinct deorece pentru ele nu fost tinsă limit de difrcţie. Exemplu S clculăm distnţ l cre trebuie să se plseze un privitor stfel încât tote culorile să se mestece dtorită efectului de difrcţie. Vom consider două czuri limită: pupil mică mm (corespunzând unei intensităţi mri luminii, c tunci când tbloul este într-o cmeră bine lumintă) şi pupil dilttă 5mm (corespunzând situţiei în cre fluxul de lumină este mic, tbloul fiind într-o cmeră mi întunectă. Limitele domeniului vizibil sunt 4 nm pentru violet şi 7 nm pentru roşu. Presupunem că distnţ medie dintre centrele micilor pete de culore cre lcătuiesc tbloul este de mm. Rezolvre Punem condiţi c unghiul sub cre se văd punctele de pe mrgine discului Airy să fie unghiul sub cre se văd două puncte vecine, situte l distnţ cre se flă observtorul: de unde rezultă x 4 mm din poziţi în x sin θmin. tg θmin, (4.7) L x L, (4.8). Observăm că distnţ ce mi mre se obţine pentru lungime de undă ce mi mică. ) b) x m m rosu m m L 8.m L 9 4.6m m. 7 m x 5 m m rosu 5 m m L.5m L 9.7m m. 7 m Distnţ L corespunde czului iluminării puternice, când pupil re dimensiuni mici. Observţi că distnţ necesră este forte mre! Dcă iluminre este mi slbă, distnţ este încă şi mi mre. În concluzie, idee de expune un tblou pictt în stilul pointilist într-o cmeră de dimensiuni mici şi nu pre bine lumintă nu este bună, limit de difrcţie neputând fi tinsă

30 FF.4.4 Reţele de difrcţie. Spectroscopul cu reţe Reţeu de difrcţie este un dispozitiv cu o structură periodică lcătuit dintr-o succesiune de fnte identice, înguste, echidistnte. Rolul reţelelor de difrcţie este cel de sepr lungimile de undă componente le luminii incidente. Principl plicţie prctică reţelor de difrcţie este în construcţi spectrometrelor. Reţelele de difrcţie u înlocuit prism optică folosită în primele tipuri de stfel de prte. Fntele sunt zone trnsprente, în czul reţelelor de difrcţie cu trnsmisie luminii su perfect reflectătore, în czul reţelelor cu reflexie. Fscicul lser Film fotogrfic pe plcă de sticlă Figur 4.8 Obţinere unei reţele hologrfice Oglindă Reţelele cu trnsmisie pot fi relizte pe plăci de sticlă su plstic, pe suprfţ căror se trseză linii (zgârieturi) prlele, echidistnte, folosind mşini specilizte cre u un cp trsor cu dimnt. Zon zgârită devine opcă, ir spţiul dintre două trăsături vecine rămâne trnsprent şi constituie o fntă. Dt fiind numărul uriş de trăsături necesre pe unitte de lungime, obţinere unei reţele de cest tip, numită mster, este o operţie costisitore. Reţeu mster este folosită pentru cre replici mi ieftine. Aceste sunt obţinute în esenţă prin turnre unei răşini specile, cre după întărire rămâne trnsprentă în zon fntelor. Evident, răşin nu se pune direct peste reţeu mster, ci peste două strturi lcătuite dintr-un ntideziv şi o depunere metlică uniformă, cre se produce prin evporre în vid. Un lt mod de fbric reţele cu trnsmisie de bună clitte, constă, în esenţă, în fotogrfiere unei figuri de interferenţă. De exemplu, se pote expune un film fotosensibil depus pe un substrt de sticlă l lumin obţinută prin suprpunere unui fscicul lser expndt şi colimt cu fsciculul reflectt pe o oglindă dispusă perpendiculr pe direcţi fsciculului incident, c în figur 4.8. Există şi lte montje, de tip hologrfic, în cre fsciculele lser cre se suprpun pentru d figur de inteferenţă pe plc fotogrfică rezultă prin incidenţ luminii pe un divizor de fscicul. Fsciculele se suprpun după ce direcţiile lor sunt modificte cu un sistem de oglinzi. Tote reţelele obţinute prin fotogrfiere unei figuri de interferenţă (după developre, zonele de mxim devin opce, ir cele de minim, - 3 -

31 trnsprente) sunt numite reţele hologrfice în virtute fptului că hologrm unei surse punctiforme, sitută l infinit este o figură de interferenţă cu mxime si minime prlele, echidistnte. O reţe dtă este crcteriztă prin numărul de trăsături pe unitte de lungime. Constnt reţelei este o mărime numeric eglă cu inversul cestui număr. Reţelele de difrcţie cre opereză în reflexie reprezintă o succesiune de obstcole în cle luminii. Rolul fntelor este prelut de dârele cre împiedică reflexi luminii. Astfel de reţele sunt de obicei obţinute prin trsre unor urme înguste, echidistnte pe o suprfţă reflectătore, cum r fi un strt uniform, subţire de luminiu, obţinut prin depunere în vid. Un exemplu din viţă de zi cu zi de obiect cărui comportre este similră cu cee unei reţele de difrcţie cu reflexie este suprfţ unui DVD (digitl video disk). Discul re un şnţ lung în formă de spirlă, cre creeză pe suprfţ s urme (trck-uri) prope concentrice, mi puţin reflectătore decât spţiul dintre ceste. Trck-urile reprezintă fel un sistem forte semănător cu o reţe de difrcţie, cre disperseză lumin lbă incidentă în componentele sle spectrle, în funcţie de incidenţ cestei, c în figur lăturtă. Importnţ prctică reţelelor de difrcţie constă în cestă cpcitte lor de sepr lungimile de undă diferite, dică de dispers lumin în componentele sle spectrle. Anliz d d sin θ C R L E Figur 4.9 Montj experimentl de tip spectroscopic cu reţe. C colimtor, R - reţe de difrcţie cu 7 fnte, L lentilă convergentă, E - ecrn - 3 -

32 spectrlă este o tehnică extrem de utilă în ştiinţă şi prctic tote spectrometrele optice moderne u drept piesă principlă o reţe de difrcţie. Pentru discut mi detlit modul de lucru l cestei, să exminăm figur 4.9. În cest este reprezentt schemtic un montj experimentl cre pote fi folosit pentru observre figurii de difrcţie luminii pe o reţe. Lumin de l sursă este colimtă (trnsformtă într-un fscicul prlel), poi este lăstă să cdă pe reţeu dispusă perpendiculr pe direcţi de incidenţă. Lumin difrcttă este focliztă prin intermediul unei lentile convergente pe ecrnul de observre prlel cu reţeu. Aspectul figurii de difrcţie în fiecre punct l ecrnului este rezulttul interferenţei undelor secundre provenind de l tote fntele reţelei. Stre de iluminre unui punct orecre de pe ecrn este rezulttul suprpunerii undelor difrctte sub o numită direcţie θ. Diferenţ de fză dintre undele secundre de l oricre două fnte dicente este ceeşi, şi nume este eglă cu d sin θ (vezi figur 4.9), dcă incidenţ luminii este normlă. Condiţi c în punctul respectiv să fie lumină (dică să se obţină colo un mxim de difrcţie) este c diferenţ de fză să fie un număr pr de π rdini, su, echivlent, condiţi c diferenţ de drum să fie un număr întreg de lungimi de undă: d sin θ m, m,,, (4.9) L incidenţă normlă, funcţi de distribuţie intensităţii luminii se pote obţine rpid dcă ne mintim că m studit dej în prgrful FF.3.8 interferenţ fsciculelor multiple. În cel cz m determint funcţi de distribuţie intensităţii luminii provenind de l un sistem de N fnte unidimensionle, seprte prin ceeşi distnţă d (relţi 3.76 su 3.77) c funcţie de π diferenţ de fză δ sin θ d : I δ I δ sin N. (4.3) δ sin Reţeu de difrcţie este un sistem semănător, cu diferenţ că fntele nu sunt unidimensionle ci u fiecre ceeşi lărgime. C şi în czul figurii de difrcţie interferenţă dtă de dispozitivul Young neidelizt, difrcţi luminii pe o fntă moduleză funcţi de distribuţie intensităţii luminii în figur de interferenţă N fscicule de lumină. În relţi (4.3) locuim intensitte luminii incidente I cu intensitte luminii difrctte pe o fntă cu dimensiune, I δ : difr - 3 -

33 π π d sin sin θ sin sin θ q Idifr δ I I π π d sin θ sin θ q I δ I δ sin q difr δ q (4.3) Obţinem în cre d q. δ δ δ sin sin N sin N q I δ Idifr δ I, (4.3) δ δ δ sin sin q I I p Figur 4. Funcţi de distribuţie intensităţii luminii în figur de difrcţie luminii pe o reţe de difrcţie cu N 7 fnte şi q d 3. Lini puncttă este intensitte luminii difrctte pe o singură fntă de lăţime, cre moduleză în mplitudine intensitte luminii în figur de interferenţă luminii de un sistem de 7 fnte (observţi cele N 5 mxime secundre situte între oricre două mxime principle succesive)