2.Žiro kompasi. Slika 9.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.Žiro kompasi. Slika 9."

Transcript

1 2.Žiro kompasi Opcenito o zvrku Žiro kompas je instrument koji za identifikaciju meridijana koristi odredena fizicka svojstva masivnog tijela koje rotira (žiroskopa ili zvrka). Pojavio se u prvoj dekadi XX st. za potrebe polarnih ekspedicija. Žiroskop je dinamicko tijelo koje slobodno rotira velikom brzinom. Najcešce je izveden kao simetricni rotor s velikom obodnom brzinom koji je ovješen u kardanskom sustavu (slika 9). Os rotacije zvrka je glavna ili osnovna os (broj 1 na Osi u kojima su ucvršceni prstenovi kardanskog sustava su horizontalna ekvatorijalna os (broj 2) i vertikalna ekvatorijalna os (broj 3). Kod zvrka s tri stupnja slobode sve se osi sjeku u istoj tocki, tako da je takav zvrk uravnotežen. Zvrk pokazuje dva osnovna svojstva, inerciju i precesiju. Inercija je svojstvo žiroskopa da os rotacije uvijek zadržava isti smjer u prostoru, o tome u kojem smjeru se postavila platforma na koju je zvrk s tri stupnja slobode pricvršcen. Pri tome to svojstvo zvrk zadržava s obzirom na sva kretanja, pa tako i na kretanja Zemlje, što znaci da ce os rotacije zvrka zadržati pravac u prostoru neovisno i o kretanjima Zemlje. Precesija je svojstvo zvrka da se os rotacije otkloni za 90 od smjera djelovanja sile koja djeluje na tu os. Ta dva osnovna svojstva iskorištena su za rad žiro kompasa: ogranicavanjem slobodnog rotiranja zvrka postiže se da se os rotacije postavlja u prevcu meridijana. Za postavljanje osi rotacije u horizontalni položaj na os rotacije djeluje se silom teže, a za usmjeravanje u meridijan sila ustrajnosti u smjeru rotacije Zemlje. Inercija (ustrajnost) Slika 9. To je svojstvo žiroskopa da njegova glavna os (os rotacije) zadržava nepromjenjen položaj u prostoru. Inercija je definirana momentom kolicine kretanja zvrka ( H): kg H = I Ω 2 m s 15

2 I je moment inercije koji je ovisan o masi zvrka ( m) i polumjeru mase zvrka ( r): = m r S obzirom da zvrk ima oblik kružnog prstena s unutrašnjim polumjerom ( poolumjerom ( r 2 ), srednji je polumjer zvrka r = (r 1 + r 2 )/2: = m r 1 + r 2 2 Wje kutna brzina, ovisna o broju okretaja u minuti (n): Uvrštavanjem dobije se moment kolicine kretanja zvrka: H = I Ω = m r 1 + r 2 2 Ako se broj okretaja izrazi u sekundi: I I Ω = 2 p 2 p n = m (r 1 + r 2 ) p n = m (r 1 + r 2 ) p H n 60 ) i vanjsim Prema tome moment kolicine kretanja ovisi o: masi zvrka ( m) broju okretaja ( n) rasporedu masa što više prema obodu ( r 1 r 2 ) Povoljan kineticki moment žiro kompasa u praksi se postiže izborom zvrka male mase i velikog broja okretaja ( Anshütz) ili zvrka velike mase i malog broja okretaja (starija verzija žirokompasa Sperry). Ako se na ekvatoru glavna os žiroskopa s tri stupnja slobode usmjeri horizontalno prema istoku rotacijom Zemlje ona ce se stalno izdizati iznad horizonta s obzirom da zauzima nepomican položaj dok Zemlja rotira. Da bi se vratila u prethodni položaj Zemlja mora izvršiti jednu rotaciju u vremenu trajanja tropskog dana (23:56:04). S obzirom da opažac na ekvatoru ne doživljava rotaciju Zemlje kao stalnu izmjenu vlastitog položaja u prostoru, njemu ce se ciniti da se os žiroskopa uzdiže iznad horizonta i da kruži u ravnini koja je okomita na ravninu horizonta. Ako se os žiroskopa u 0 sati orjentira paralelno s horizontom i prema istoku u šest sati os ce biti okomita na ravninu horizonta i pokazivat ce položaj zenita. U 12 sati os ce ponovo biti horizontalna, ali ona strana osi koja je prije bila orjentirana prema istoku sad ce biti orjentirana prema zapadu itd (slika 10.) r 1 16

3 Slika 10. Ako se na ekvatoru glavna os žiroskopa s tri stupnja slobode usmjeri horizontalno prema sjeveru ona ce se stalno pokazivati sjever (slika 11). Slika 11. Ako žiroskop koji je na ekvatoru usmjeren u pravcu pola promijeni geografsku širinu sjeverni kraj njegove glavne osi izdignut ce se iznad a ako se os rotacije žiroskopa na nekoj geografskoj širini usmjeri prema istoku, rotacijom Zemlje njegova ce glavna os pratiti nepomicnu tocku na nebeskoj sferi i elipticku putanju zatvorit ce za vrijeme jednog zvjezdanog dana (slika 12). Slika 12. Ako se os rotacije žiroskopa na nekoj geografskoj širini usmjeri prema sjeveru, rotacijom Zemlje njegova ce glavna os pratiti kretanja Zemlje (slika 13). 17

4 Slika 13. Prema tome žiroskop s tri stupnja slobode koji koristi samo svojstvo inercije (ustrajnosti)ne može se koristiti kao kompas. Precesija Precesija je svojstvo žiroskopa da se pod utjecajem neke vanjske sile os rotacije otklanja za 90 od smjera djelovanja sile. Ako sila djeluje na vertilaknu os zvrka precesija ce postaviti os rotacije u horizontalnu ravninu. Ako sila djeluje na horizontalnu os precesija ce os rotacije postaviti u vertikalnu ravninu. Prema tome da bi se od žiroskopa napravio kompas potrebno je nekom silom djelovati na vertikalnu os da bi se glavna os zvrka (os rotacije) postavila horizontalno, i u pravcu istok - zapad da se glavna os postavi u pravcu sjever - jug (u pravcu meridijana). U tu svrhu koriste se gravitacijska sila Zemlje za usmjeravanje osi u horizontalnu ravninu i sila ustrajnosti zbog rotacije Zemlje u smjeru istok - zapad za postavljanje osi žirokompasa u meridijan. U stvarnim uvjetima žiroskop se nalazi negdje na površini Zemlje koja rotira oko svoje osi i u vremenu od jednog tropskog dana ( sekunde izvrši punu rotaciju od 2 π radijana ili 360, pa prema tome rotira kutnom brzinom: W = W = 2 p = 7,29 x 10-5 radijana u sekundi = 4,18 x 10-3 stupnjeva u sekundi Kutna brzina predstavljena je vektorom paralelnim s pravcem osi rotacije zvrka. Na površini Zemlje, na nekoj geografskoj širini vektor kutne brzine Zemlje paralelan je s osi Zemlje (slika 14). Slika 14. Na nekoj geografskoj širini na površini Zemlje vektor brzine može serastaviti na dvije komponente: horizontalnu W 1 = W cos j vertikalnu W 2 = W sin j Horizontalna komponenta pokazuje stalnu rotaciju horizonta, istocna strana horizonta se 18

5 spušta a zapadna podiže pa postoji nagib horizonta koji je najveci na ekvatoru (najveca kutna brzina rotacije horizonta) a nema ga na polu. Linearna brzina neke tocke na ekvatoru ( B E ) može se izracunati iz kutne brzine (W = 4,18 x 10-3 stupnjeva u sekundi) i polumjera Zemlje ( m): B = 2 r W E p 360 = 2 x 3,14 x x 0, = 464 m/ s Ako se linearna brzina tocke ekvatora (izražena u metrima na sekundu) izrazi u cvorovima dobit ce se: B E = 464 x 3600 = [ m/sat ] = 902 cv Linearna brzina neke tocke na odredenoj geografskoj širini ( B) razlikovat ce se za vrijednost cosinusa geografske širine: B = B E cos ϕ = 902 cos ϕ Da bi se zvrk pretvotrio u žirokompas kao precesijska sila koristi se ustrajnost zbog linearnog kretanja tocke na nekoj geografskoj širini u smjeru zapad - istok. Pretvaranje žiroskopa u žirokompas Žiroskop se u praksi koristi kao usmjerivac kojim je moguce krace vrijeme držati pravac kretanja, na primjer let avionom preko pola, ali se ne može koristiti kao kompas. Ako se na nekoj geografskoj širini os rotacije zvrka postavi u ravninu horizontana, ali ne i u pravcu meridijana (položaj a na slici 15), rotacijom Zemlje ona ce se postepeno izdizati iznad horizonta. Nagib osi rotacije može se registrirati te iskoristiti za stabilizaciju ravnine osnovne osi u ravnini horizonta. Za to se koriste razna tehnicka rješenja, najcešce razni senzori gravitacijskog djelovanja, njihala ili balisticke posude. Ako se na os djeluje zakretnom silom osjetila nagiba os rotacije ce zbog precesije skrenuti prema meridijanu (tocka a na slici 15). Os rotacije ce biti usmjerena u meridijanu u tocki b, ali ce nastaviti kretanje prema zapadu (jer se os i dalje uzdiže iznad horizonta). Kad se os rotacije poravna s ravninom horizonta precesijski moment ce prestati djelovati (tocka c), a kad os rotacije pocne ponirati pod horizont precesijski moment promijenit ce smjer, tako da opet usmjerava os rotacije prema meridijanu kojeg dostiže u tocki d, a ciklus se dalje nastavlja. Da bi os rotacije ponovo zauzela isti pocetni položaj (tocka a) mora proci 84,4 minute 1. Na taj ce nacin os žiroskopa oko pola opisivati elipticnu putanju cija ce velicina biti ovisna o otklonu od meridijana u trenutku pokretanja žiroskopa. 1 To je period koje ima tzv Schülerovo klatno, naime oscilacije klatna - pod utjecajem zemljine gravitacijske sile - ovise o dužini klatna i gravitacijskoj konstanti g. Ako bi klatno imalo dužinu jednaku polumjeru Zemlje osciliralo bi s periodom od 84,4 minute. Zvrk kojem je, spuštanjem težišta ili nekim od ostalih nacina, ogranicen jedan stupanj slobode ponaša se kao klatno s gravitacijskom silom koja djeluje na vertikalnu os i oscilira s periodom Schülerova klatna. 19

6 Slika 15. Oscilacije osi rotacije oko pola zovu se neprigušene oscilacije i one bi se, protokom vremena, a zbog sila trenja u ležajima žiroskopa, ipak smanjivale do trenutka stabilizacije osi žiroskopa u meridijanu. Tako bi se od zvrka s ogranicenim stupnjem slobode u vertikalnoj ravnini ipak mogao dobiti žiro kompas, ali za stabilizaciju osi bilo bi potrebno mnogo vremena. Zbog toga se oscilacije prigušuju umjetnim putem, tako da se odstupanja od meridijana u svakom ciklusu sve više smanjuju do trenutka dok se os rotacije ne stabilizira u meridijanu. Pretvaranje žiroskopa u žirokompas moguce je na tri nacina: 1. djelovanjem na vertikalnu os spuštanjem težišta žiroskopa (žirokompas tipa Anshütz), 2. djelovanjem na vertikalnu dodavanjem žiroskopu spojenih posuda (žirokompas tipa Sperry), 3. djelovanjem na vertikalnu os elektricnim korektorima. Prigušivanje oscilacija kod žirokompasa kojem se na vertikalnu os djeluje sustavom spojenih posuda izvedeno je pomakom tog sustava (spojenih posuda) izvan vertikalne osi za neki mali kut (1 do 2 ). Na takav nacin balisticke posude djeluju u pravcu vertikalne osi (stvarajuci neprigušene oscilacije) i u pravcu horizontalne osi cime se ubrzava prigušivanje oscilacija. Svaki naredni ciklus oscilacija imat ce upola manju amplitudu od prethodnog dok se konacno os rotacije zvrka ne smiri u pravom meridijanu (slika 16). Pritom se nivo tekucine u sustavu spojenih posuda stabilizira (jer žiroskop više ne oscilira). Isti se efekt može postici i ako se na horizontalnu os djeluje dodavanjem utega kucištu zvrka, ali se taj nacin rijetko koristi. Kod novijih izvedbi žirokompasa prigušivanje oscilacija postiže se dovodenjem elektricnog momenta. Kod žirokompasa s dva zvrka oscilacije se prigušivaju hidraulicnim prigušivacem s likvidom (u obliku spojenih posuda) koje prelijevanjem ulja iz jedne u drugu posudu takoder koriste efekt klatna. Pogreške žirokompasa Devijacija žiro kompasa je ukupni otklon glavne osi (osi rotacije) od pravog meridijana. Pozitivna je ako je os žirokompasa otklonjena prema istoku a negativna ako je otklonjena prema zapadu. Na otklon osi rotacije iz pravog meridijana mogu utjecati slijedece pogreške: poreška vožnje pogreška geografske širine balisticka pogreška kvadrantalna devijacija pogreška instalacije Slika

7 U plovnim podrucjima planeta (do ϕ = ± 70 ) najvece odstupanje osi rotacije od pravog meridijana izaziva pogreška vožnje ( slika 17). Os žirokompasa postavlja se u rezultantu brzine linearnog kretanja Zemlje izražene u cvorovima ( 902 cos j ) i meridijalne brzine broda izražene u cvorovima ( b cos K), tako da je kut otklona ( d): tg (- d ) = b cos K 902 cos j + b sin K Kut otklona (deklinacija d) ima negativni predznak jer je na slici otklon osi rotacije zapadno od meridijana. Ako se u formuli zanemari drugi clan u nazivniku (b sin K) jer je mnogo manji u odnosu na prvi clan ( 900 cos j ), te uzimajuci u obzir da je d mali kut ciji se tangens može zamijeniti s vrijednošcu kuta pomnoženom tangensom jednog stupnja ( tg d = d tg 1 ), formula se pretvori u oblik: Odnosno: d = - b cos K 902 cos j tg 1 Slika 17. d tg 1 = b cos K 902cosj = - 1 0, b cos K cos j Iz toga se dobije izraz za utjecaj pogreške vožnje na devijaciju žiro kompasa: d = - 0,06347 b cos K cos j Pogreška vožnje je negativna za kurseve u prvom i cetvrtom kvadrantu a pozitivna za kurseve u drugom i trecem kvadrantu. U kursu 90 i 270 nema greške vožnje, dok je ona najveca u kursevima 0 i 180. U praksi se ispravlja korektorom ili racunski (iz formule ili posebnih tablica). Pogreška geografske širine nastaje zbog konvergencije na nekoj geografskoj širini a srazmjerna je vrijednosti pomaka spoja balisticke poluge (spojenih posuda) od vertikalne osi ( ε) i tangensa geografske širine: d = etg j Ova pogreška na polovima postaje beskonacna, a kompas zbog nje neupotrebljiv u visokim geografskim širinama. Ispravlja se mehanickim korektorom (pomakom pramcanice), elektricnim korektorom (dovodenjem signala proporcionalnog s tg ϕ) ili racunski. Balisticka pogreška nastaje pri naglim promjenama kursa ili brzine kad se, zbog

8 ustrajnosti, javljaju dodatni momenti u balistickim posudama. U praksi se može zanemariti. Kvadrantalna devijacija javlja se kod valjanja broda kad se težište osjetljivog elementa premješta od vertikale prema istoku ili zapadu. Nema je u kardinalnim kursevima, najveca je u interkardinalnim. Smanjuje se posebnim kompenzacijskim utezima, a kod novih kompasa je zanemariva. Pogreška instalacije nastaje kod pogrešno instaliranog kompasa, a ispravlja se zaokretom pramcanice ili stalka, odnosno njezinim uracunavanjem. Kontrola devijacije žirokompasa je obavezna i to najmanje jedanput tijekom cetverosatne vožnje u istom kursu. Tipicni predstavnici žiro kompasa Žirokompasi marke Sperry pojavili se još godine. Kompas ovog tipa sastavljen je od tri osnovna dijela: matice, kompasnih ponavljaca i elektricnog napajanja. Matica se sastoji od osjetljivog elementa, balistickog elementa, prateceg elementa i noseceg elementa. Osjetljivi element obješen je u pratecem elementu pomocu 9 niti. Zvrk je rotor trofaznog asinhronog motora s okretaja u minuti (stariji tipovi imali su zvrk mase 40 kg i okretaja u minuti). Nalazi se u vakumiranom kucištu. U stvarnosti to je zvrk sa tri stupnja slobode ciji jedan stupanj ogranicavaju spojene posude s likvidom (balisticki element) koje istovremeno služe i kao prigušivac oscilacija, a sastoji se od dvije posude s po 170 g žive. Prelijevanje žive stvara usmjeravajuci moment. Noseci element leži u kardanskom sustavu i nosi maticu i ostale pomocne djelove (korektore, azimutalni motor itd). Korektor greške vožnje i korektor greške geografske širine smješteni su na nosecem elementu. Na korektor greške vožnje rucno se postavlja vrijednost brzine broda, ostali elementi podešavaju se automatski. Na korektor greške geografske širine postavlja se vrijednost geografske širine. Neki tipicni predstavnici žirokompasa tipa Sperry prikazani su na slici 18. Slika 18. Tipicni predstavnici žirokompasa marke Sperry Kardanski sustav drži maticu u vodoravnom položaju do od 60 i trima do 20, a sastavljen je od tri prstena s prigušivacima vibracija. Žirokompasi marke Anschütz znacajno se razlikuju od prethodnih. Koriste dva zvrka s medusobno suprotnim pravcima rotacija, a umjesto kardanskog sustava osjetljivi element pluta u likvidu. Osim toga znacajno se razlikuju i po zvrka (kod ovih je tipova mala, kod nekih svega 2,2 kg) kao i po broju okretaja zvrka (žirokompasi marke Anschütz imaju velik broj okretaja, preko okretaja u minuti). Komplet sadrži maticu, ponavljace i izvor napajanja. Matica se sastoji od osjetljivog i prateceg elementa koji su smješteni u kortao s likvidom. Osjetljivi element ima oblik 22

9 lebdece kugle i dva zvrka. Zvrkovi su trofazni asinhroni motori koji rotiraju brzinom od okretaja u minuti, a mogu precisirati oko vertikalne osi samo u suprotnim smjerovima. Ogranicenost vertikalnog stupnja slobode postignuta je ekscentricnim težištem osjetljivog elementa, a prigušivanje oscilacija sustavom spojenih posuda. Osjetljivi element slobodno lebdi u likvidu, mješavini destilirane vode, glicerina i benzolove kiseline. Glicerin stvara uzgon i onemogucava smrzavanje a benzolova kiselina sprovodi elektricnu struju za napajanje. Položaj lebdece kugle u likvidu odreduje magnetsko polje koje proizvodi posebna zavojnica. Radna temperatura likvida je 53 ± 3 C a ta se temperatura održava termostatom. Pogreška geografske širine ne postoji zbog dvostrukog zvrka, a pogreška vožnje korigira se racunski tako da ovi tipovi žiro kompasa nemaju korektor. Na kompas se može prikljuciti do 12 ponavljaca. Slika 19. Osjetljivi element i jedan tip kompasa Anschütz Žirokompasi tipa Plath umnogome su slicni, a razlika je sadržana u tome što osjetljivi element tih kompasa ne lebdi u likvidu vec pliva na živi, a na vrhu je uprt. Iznad žive smješten je likvid koji sadrži benzolovu kiselinu radi elektricne provodljivosti. Takoder posjeduju dva zvrka, ali su oni u stanju mirovanja razmaknuti za 60. Identican tip kompasa je i japanski Hokushin - Plath. Žirokompasi tipa Brown slicni su žiro kompasima tipa Sperry. Za izazivanje precesije koriste se komunikacijske radne spojene posude, a za prigušivanje oscilacija drugi sustav spojenih posuda, takozvane prigušene spojene posude. Oba sustava aktiviraju se mlazevima zraka. Žirokompasi tipa Arma koristi ista tehnicka rješenje kao i kompasi marke Anschütz, uz neke neznatne razlike. 23

10 Slika 20. Neki od tipicnih predstavnika žirokompasa Žiro kompas mora se ukljuciti 4 do 5 sati prije isplovljenja. Nakon ukljucivanja napajanja ukljuci se motorgenerator koji napaja zvrk. je pricekati oko 5 min dok zvrk ne dobije potreban broj oktretaja, nakon cega se otkoci osjetljivi element. Ponavljaci se ukljucuju neposredno pred polazak, a svakog je potrebno podesiti. Uredaji koji rade u sprezi s žirokompasom Ponavljaci žirokompasa su instrumenti koji se koriste u razlicite svrhe. Cesta upotreba ponavljaca potrebna je kod mjerenja azimuta u svrhu odredivanja pozicije ili kontrole devijacije. Na svakom krilu mosta montiran je po jedan ponavljac na koji je montiran smjerni aparat preko kojeg se opažaju terestricki objekti ili nebeska tijela. Podatak s osjetljivog elementa na plocu ponavljaca prenosi se putem selsina. Svaki ponavljac nalazi se u kardanskom sustavu, posjeduje vlastito osvjetljenje i mehanizam za uskladivanje s ružom kompasa (slika 21). Slika 21. Ponavljac žirokompasa na krilu mosta Autopilot je uredaj za automatsko kormilarenje. S jedne je strane spojen na žiro kompas a s druge na eleketricni ili hidraulicni kormilarski stroj. Ako brod skrene s kursa aktivira se kormilarski stroj koji broda vrati u kurs. U kompasnom ponavljacu nalazi se kontakt koji uspostavlja spoj sa lijevim ili desnim kontaktnim prstenom, zavisno o skretanju broda. Kad se kormilo pocne okretati preko povratne veze aktiviraju se kontaktni prstenovi koji prekidaju vezu s kormilarskim strojem. Naizmjenicnim ukljucivanjem i iskljucivanjem može se pri kormilarenju po mirnom 24

11 vremenu održavati kurs s oscilacijama od ± 0,5. Osjetljivost autokormila postavlja se rucno. Kod plovidbe pri nemirnom vremenu osjetljivost potrebno je smanjiti. Automatskim kormilarenjem smanjuju se gubici i povecava srednja brzina broda. Kursograf je uredaj koji na papirnoj traci koja je pokretana satnim mehanizmom, ili na displeju ispisuje vrijednosti kursa i sva skretanja. Upotrebljava ponavljac žirokompasa, a služi za kontrolu kormilarenja. Radiogoniometar je instrument elektronske navigacije koji omogucava smjeranje izvora elektromagnetskog impulsa (radiofara) na udaljenostima do 150 M. Posebno je koristan kod emitiranja poziva pogibelji na srednjevalnom frekventnom podrucju. Smjeranjem izvora elektromagnetskog impulsa odreduje se pramcani kut ako radiogoniometar nije snabdjeven žirokompasnim ponavljacem, odnosno pravi azimut ako je na uredaj prikljucen ponavljac žiro kompasa. Radar je navigacijski uredaj za detekciju terestrickih objekata, mjerenje kutova, mjerenje udaljenosti i izbjegavanje sudara. Ako radarska slika nije sinhronizirana s žiro kompasom ( nestabilizirana radarska slika) radar pokazuje situaciju s relativnim pomacima, a mjere se pramcani kutovi. Ako je radarska sinhronizirana s žirokompasom ( stabilizirana radarska slika) radarom se mjere direktno azimuti, pramcanica je orjentirana na pravi kurs, a slika može relativne pomake ( relative motion) ili prave pomake okolnih brodova ( thrue motion). Ako takav radar radi u sprezi s racunalom koje može pratiti i unaprijed proracunavati pojedinih objekata omogucno je sustavno automatsko pracenje, alarmiranje nadzor svih parametara važnih za navigaciju i izbjegavanje sudara ( ARPA - Automatic Radar Plotting Aid). Inercijalni navigacijski sustav je najnoviji visoko sofisticirani autonomni navigacijski sustav koji omogucava orijentaciju registracijom svih u trodimenzionalnom koordinatnom sustavu, a koji se registriraju komponentnim pomacima masa u hiperosjetljivim akcelerometrima. Za rad sustava upotrebljava se stabilizirana platforma za ciju stabilizaciju se koristi veci broj žiroskopa. U punoj mjeri sustav još nije zastupljen u navigacijskoj praksi. Osim u spomenutim žirokompas se koristi i u drugim instrumentima, uredajima i sustavima važnim za navigaciju i sigurnost plovidbe. Ostale vrste brodskih kompasa Žiromagnetski kompasi manje se upotrebljavaju. Koriste pozitivna svojstva magnetskog kompasa (nije mu potrebna priprema, stalno magnetski meridijan) i žiroskopa (mogucnost prijenosa podataka o kursu, stabilizacija kursa). Magnetska igla daje zvrku precesijski moment za usmjeravanje u meridijan. u obzir sve utjecaje zvrk se postavlja u pravi a ne magnetski meridijan. Žiromagnetskim kompasima izbjegnuti su nedostaci magnetskog kompasa (nema mogucnost prijenosa, nemirnoca ruže uslijed magnetskih i nemagnetskih utjecaja) i žirokompasa (priprema do 5 sati, pogreška vožnje, pogreška geografske širine). Ovi kompasi nisu našli veliku primjenu u pomorskoj navigacijskoj praksi. Indukcijski kompas objedinjuje osobine smjernog uredaja (direkcijskog zvrka) i magnetskog kompasa. Kao osjetljivi element koristi namotaje detektora za stvaranje elektricnih signala koji se mijenjaju promjenom kursa, a koji koriste indukciju Zemljinom magnetskog polja (a ne direktno magnetski kompas kao kod žiromagnetskog kompasa). Tipicni je predstavnik Gyrosyn kod kojeg je detektor koji prenosi indukciju magnetskog polja Zemlje smješten u kardanskom sustavu na vrhu jarbola ili nekom drugom mjestu gdje 25

12 je utjecaj brodskog magnetizma najmanji. Tocnost pokazivanja kursa iznosi ± 1, a vrijeme potrebno za pripremu je oko deset minuta. Astro-kompas nastao je od suncanog kompasa koji se, u kombinaciji s magnetskim, koristio za odredivanje varijacije. Tim se kompasom smjera nebesko tijelo cije su ekvatorske koordinate (deklinacija i mjesni satni kut) poznate i postavljene na odgovarajuce brojcanike, jednako kao i vrijednost geografske širine. Postavljanjem alhidade prema nebeskom tijelu ispod oznake pramcanice otcitava se kurs broda. Obratnim postupkom brod se postavlja u kurs: vrijednost kursa postavi se pramcanicu pa se brodom okrece dok alhidada ne dode prema nebeskom tijelu. Mnogo se koristio pri ekspedicijama na sjeverni i južni pol Zemlje, u polarnim podrucjima u kojima su magnetski i žiro kompas neupotrebljivi, a danas se koristi u zrakoplovstvu u visokim geografskim širinama. Nedostatak mu je što je za detekciju meridijana potrebno poznavati tocnu poziciju (geografsku dužinu radi izracuna mjesnog satnog kuta). Laserski kompas je zapravo osjetljivi instrument kojim se ne identificira meridijan (kao kod svih ostalih vrsta kompasa) vec se registira svaka i najmanja promjena kursa. Prednosti ovog pokazivaca smjera kretanja su u njegovoj velikoj osjetljivosti, jednostavnosti (nema pokretnih djelova) i siguranosti u odnosu na sve vanjske utjecaje. Najveci mu je nedostatak što nema momenta koji bi ga usmjerio u pravcu meridijana, tako da se zapravo i ne radi o kompasu vec o instrumentu koji registrira svaku i najmanju promjenu smjera kretanja (slika 22). Slika 22. Laserski pokazivac promjene smjera kretanja Dvije laserske zrake emitiraju se na poluprozirno ogledalo. Jedna se lomi prema jednom a druga prema drugom sustavu ogledala i ako nema zakretnog momenta istovremeno dolaze u senzor, u suprotnom pokazuju velicinu zakretnog kuta što se koristi kao pokazivac promjene smjera kretanja. 26

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

TERESTRIČKA NAVIGACIJA. Zemaljski magnetizam Brodski magnetizam Brodski magnetski kompasi Korekcije magnetskih kompasa

TERESTRIČKA NAVIGACIJA. Zemaljski magnetizam Brodski magnetizam Brodski magnetski kompasi Korekcije magnetskih kompasa TERESTRIČKA NAVIGACIJA Zemaljski magnetizam Brodski magnetizam Brodski magnetski kompasi Korekcije magnetskih kompasa Magnet Osnovno svojstvo magneta je dipol (dva pola) Južni (S) i sjeverni (N) pol Polovi

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 2. vežbe 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 Proračuni trajektorija koso-usmerenih bušotina 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 2 of 50 Proračun

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić

Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika Zdravka Šimić Visinski prikaz terena - konfiguracija dio plana dio karte 2 Visinski prikaz terena Izohipse ili slojnice povezuju točke iste visine.

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ), Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije

1. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Nastavna jedinica. Gibanje tijela je... tijela u... Položaj točke u prostoru opisujemo pomoću... prostor, brzina, koordinatni sustav,

Nastavna jedinica. Gibanje tijela je... tijela u... Položaj točke u prostoru opisujemo pomoću... prostor, brzina, koordinatni sustav, 1. UVOD 1. * Odgovorite na sljedeća pitanja tako da dopunite tvrdnje. 1.1 Što je gibanje tijela? Gibanje tijela je... tijela u... 1.2 Osnovni parametri u kinematici su... i... 1.3 Na koji način opisujemo

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα