Ocenjivanje volatilnosti Itoovih slučajnih procesa

Transcript

1 UNIVERZIE U BEOGRADU ELEKROEHNIČKI FAKULE Ocejivaje volailosi Ioovih slučajih procesa MASER RAD meor: Dr. Mila Merkle, redovi profesor kadida: Dipl.iž.El. Ireaešjak Beograd, 1.

2 Sadržaj. Spisak korišćeih ozaka... IV. Spisak korišćeih skraćeica... VII. Spisak slika... VIII. Uvod Slučaji procesi Raspodele slučajog procesa Slučaji proces geerala eorija Osovi pojmovi i osobie slučajog procesa Pojam filracije i filriraog prosora u eprekidom i diskreom vremeu Merljivos, adapiraos, progresivos i predvidljivos slučajog procesa Vreme zausavljaja (Soppig ime) Neke klase slučajih procesa Slučaji procesi sa ezavisim vredosima Slučaji procesi sa ezavisim prirašajima Gausovski procesi Markovski procesi Marigali Brauovo kreaje Defiicija Brauovog kreaja Osobie Brauovog kreaja Objašjeje i moivacija kosrukcije Brauovog kreaja Harove i Šauderove fukcije (alasići)....5 Reprezeacija Brauovog kreaja pomoću alasića....6 Kosrukcija Brauovog kreaja a proizvoljom iervalu Ioov iegrali raču Defiicija i kosrukcija Ioovog iegrala Uslovi egzisecije Ioovog iegrala... 9 I

3 Sadržaj 3.1. Klase i L LOC Ioov iegral deermiisičke prose fukcije Ioov iegral prose slučaje fukcije Prošireje defiicije Ioovog iegrala sa skupa prosih a skup složeih slučajih procesa Osobie Ioovog iegrala a klasi Ioov iegral kao proces Ioova formula Objašjeje Ioove formule Defiicija Ioovog procesa Kvadraa varijacija i kovarijacija Ioovog procesa Formula za parcijalu iegraciju (Sohasičko pravilo proizvoda) Geerala Ioova formula (Ioova formula za Ioov proces) Ioova formula za fukcije više procesa Sohasičke diferecijale jedačie Defiicija, uslovi egzisecije i jedisveosi srikog rešeja Slaba rešeja SDJ Primeri sohasičkih diferecijalih jedačia Sohasički ekspoe i sohasički logariam Defiicija, uslovi egzisecije i jedisveosi rešeja liearih SDJ Primeri i rešeja izabraih liearih SDJ Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike Srukura berze Modeli ržiša Biomi model ržiša Osovi pojmovi biomog modela Pricip odreďivaja cea u biomom modelu Pricip odreďivaja cea u biomom modelu (posupkom replikacije porfolia) Pricip odreďivaja cea u biomom modelu (posupkom marigalske mere) Složei modeli ržiša Diskrei modeli ržiša Neprekidi modeli ržiša Određivaje iegrisae volailosi iz gusog skupa fiasijskih podaaka u prisusvu šuma Aaliza ocee realizovae volailosi u prisusvu šuma (brza vremeska skala) Posavka problema (defiicije i preposavke) Ocea (esimaor) realizovae volailosi (RV) ProreĎeo uzorkovaje Ukupa greška proreďeog uzorkovaja Opimala frekvecija proreďeog uzorkovaja II

4 Sadržaj 6. Poduzorkovaje i usredjavaje duž višesrukih podmreža (spora vremeska skala) Noacija višesrukih mreža (defiicije i preposavke) Greška zbire ocee usled šuma mikrosrukure Greška zbire ocee usled efeka diskreizacije Kombiacija dva izvora greške Opimala frekvecija uzorkovaja a višesrukim mrežama Najbolja ocea Najbolja ocea - objašjeje Ukupa greška ajbolje ocee (usled šuma i usled diskreizacije) Opimali korak uzorkovaja ajbolje ocee Simulacija Posupak simulacije Rezulai simulacije Zaključak Prilog A: Maemaičke dopue Pojmovi iz verovaoće Kvadraa varijacija i kovarijacija reale fukcije Kvadraa varijacija i kovarijacija slučajog procesa L p -prosori fukcija L p - prosori slučajih promeljivih Osobia kompleosi L p - prosora Orogoalos fukcija Prilog B: Programi u Malab-u Lieraura III

5 Sadržaj Spisak korišćeih ozaka Simbol/ozaka Prilog A σ(x) π limsup {A } = =1 k= (A k ) supess f Začeje σ polje geerisao slučajom promeljivom X Norma podele Limes superior Esecijali supremum fukcije f V g ([a,b]) Varijacija fukcije g a iervalu [a,b] [g,g]()= [g]() Kvadraa varijacija fukcije g a iervalu [,] [ f,g]() Kvadraa kovarijacija fukcija f i g a iervalu [,] [X,X]()=[X,X] =[X] Kvadraa varijacija procesa X [X,Y]()= [X,Y] Kvadraa kovarijacija procesa X i Y L p (S,Σ,μ) L p (Ω,,P). p L (Ω[,],B([,]), P ) f,g := S f gdμ X,Y := E(X Y) Prosor p-iegrabilih fukcija za 1 p< Prosor p-iegrabilih slučajih promeljivih za 1 p< Norma u prosoru L p Prosor kvadrao iegrabilih procesa Skalari proizvod a prosoru L (S,Σ,μ) Skalari proizvod a prosoru L (Ω,,P) Poglavlje 1. {X, } ili X Slučaji proces sa ideksim skupom F( 1,..., ; x 1,...,x ) Koačo-dimezioale raspode slučajog procesa {X } B Borelovo σ polje a skupu R (R,B) Fazi prosor realog procesa R Skup realih -dimezioalih vekora R Prosor realizacije ili prosor rajekorija s.p. (prosor realih fukcija) Borelovo σ-polje podskupova prosora R B (R,B ) Beskoačo-dimezioala merljiv prosor C 1,..., (B) Cilidriča skup a prosoru R sa osovom B IV

6 Sadržaj C[,] D[,] σ(x u : u ) F={ }, + (Ω,, F, P) ε ili ξ() τ Skup svih eprekidih fukcija a iervalu [,] Skup svih Cadlag fukcija a iervalu [,] Najmaje σ-polje geerisao slučajim procesom X u Filracija a iervalu [,] Filracija eprekida sa dese srae Filrirai prosor verovaoće Beli šum Vreme zausavljaja Poglavlje. {B }, < Brauovo kreaje a iervalu [,] N(μ,σ ) Normala slučaja promeljiva sa očekivajem μ i varijasom σ PlimX Limes u verovaoći {H (x)} = Familija Harovih fukcija (Harova baza) {Δ (x)} = Familija Šauderovih fukcija (Šauderova baza) υ X (θ) Karakerisiča fukcija vekora X Poglavlje 3. f(ω,s)dx(s) Sohasički iegral slučajog procesa f (ω,s) I(f )(ω)= f(ω,s)db(s) Ioov iegral slučajog procesa f (ω,s) {I } ili I Ioov proces 1 (a,b] () Idikaorska fukcija a iervalu (a,b] [,] L LOC[,] { B } C (R) B([,]) B([,]) P Poglavlje 4. μ(x,) σ(x,) L(X) (X) Klasa progresivo merljivih, adapiraih i iegrabilih sl. procesa Klasa adapiraih i merljivih s.p. koji zadovoljavaju uslov lokalizacije Klasa prosih procesa koji zadovoljavaju osobie adapiraosi, progresive merljivosi i iegrabilosi Sadarda filracija Brauovog kreaja Skup eprekidih i dva pua diferecijabilih fukcija a skupu R Borelovo σ-polje formirao a iervalu [,] Najmaje σ-polje formirao ad skupovima Dekarovog proizvoda. Predvidljivo σ-polje Koeficije drifa (mera prosečog rasa) Koeficije volailosi Sohasički logariam procesa X Sohasički ekspoe procesa X Poglavlje 5. M = (S,BΦ) Biomi model V

7 Sadržaj S, B ϕ=(α,β) V S u (S d ) S * P * Vredosi cea akcije i obvezice u daom reuku Porfolio Proces bogasva (proces vredosi porfolia) Vredosi akcije kada jihova cea rase (opada) Diskoovai proces cea akcija Marigalska mera (verovaoća euralog rizika) Poglavlje 6. X,X = σ d Iegrisaa volailos (IV) [X,X] Realizovaa volailosi - RV (kvadraa varijacija procesa X) [Z,Z] ε X G G (k) [Y,Y] (all) Δ sparse (sparse) [Y,Y] [Y,Y] (sparse,op) * sparse (avg) [Y,Y] D η c op K op Kvadraa varijacija procesa X a proizvoljoj mreži (podmreži) Veličia ε je ezavisa od procesa X Celokupa mreža (podela) vremeskih reuaka k - a podmreža mreže G Ocea realizovae volailosi (RV) (celokupa vremeska mreža) Vremeski ierval uzorkovaja podaaka Ocea realizovae volailosi (RV) proreďeog uzorkovaja Ocea RV sa opimalom frekvecijom uzorkovaja Opimala frekvecija uzorkovaja Ocea (esimaor) usredjavaja ili zbira ocea Proces koji opisuje diskreizacioi efeka Diskreizacioa varijasa Opimala vredos kosae c Opimali broj podmreža XX, Zbira ocea (esimaor) sa korekcijom ili ajbolja ocea VI

8 Sadržaj Spisak korišćeih skraćeica Ime skraćeice pu aziv začeje a srpskom RRC RCLL (Cadlag) Regular righ coiuous fucio; Righ coiuous wih lef limis Fukcije eprekide s desa koje poseduju leve limese NULL Pogledai defiiciju 1.7 a sedmoj srai AWGN Addiive whie Gaussia oise Adiivi beli Gausov šum (adiiva saisička greška) ODJ Ordiary differeial equaios (ODE) Običe diferecijale jedačie SDJ Sochasic differeial equaios (SDE) Sohasičke diferecijale jedačie KONB Komplea oroormiraa baza MK eorema o mooooj kovergeciji NASDAQ Naioal Associaio of Securiies Dealers Auomaed Quoaios CBOE Chicago Board Opios Exchage ROR (ROI, ROA, ROE) Rae of reur Sopa priosa (reur o ivesme /asse /equiy) B.k. Browia moio Brauovo kreaje RV Realized volailiy Realizovaa volailos IV Iegraed volailiy Iegrisaa volailos NIR Ideical ad idepedely disribued radom variables (IID) Niz ideičih slučajih promeljivih sa ideičim raspodelama MSE Mea square error Sredja kvadraa greška BVS Fas ime scale Brza vremeska skala SVS Slow ime scale Spora vremeska skala S.s. Almous shurely (a.s) Skoro siguro Akko If ad oly if (Iff) Ako i samo ako VII

9 Sadržaj Spisak slika Broj Ime slike Kraak opis slike Slika.1. Brauovo kreaje Na slici.1 prikazae su rajekorije Brauovog kreaja u vremeskom iervalu od =5. Slika.. Šauderove fukcije Grafici Šauderovih fukcija Slika 6.1. Najbolja ocea (esimaor) Prikaz kosrukcije ajbolje ocee Slika 7.1. Proces šuma Prikaz rajekorije Belog Gausovog šuma Slika 7.. Proces volailosi Hesoovog modela Prikaz rajekorija procesa volailosi (HM) Slika 7.3. Proces cea u Hesoovom modelu Prikaz rajekorija procesa cea (HM) Slika 7.4. Odsupaje_1 Odsupaje prve ocee od IV duž M puaja Slika 7.5. Odsupaje_ Odsupaje druge ocee od IV duž M puaja Slika 7.6. Odsupaje_3 Odsupaje reće ocee od IV duž M puaja Slika 7.7. Odsupaje_4 Odsupaje čevre ocee od IV duž M puaja Slika 7.8. Odsupaje_5 Odsupaje pee ocee od IV duž M puaja Slika 7.9. PoreĎeje prve i druge ocee Slika 7.1. Grafik reće ocee Grafici reće ocee a svih M =1 rajekorija Slika Grafik ocee druge Grafici druge ocee a svih M =1 rajekorija Slika 7.1. Grafik prve ocee Grafici prve ocee a svih M =1 rajekorija Slika 9.1. Dijagram srukure glavog programa Dijagram srukure programa i jihove uzajame povezaosi Slika 9.. Prikaz povezaosi i oka podaaka u g.p Prikaz ivoa povezaosi i oka podaaka izmeďu fukcija i glavog programa. VIII

10 Uvod I eresovaje za korišćeje meoda iz oblasi sohasičkog račua je u eprekidom porasu u posledjih dvadese godia. Modeli sohasičkog račua alaze primeu u razim oblasima, kao šo su fiasije, biologija (DNK aaliza), fizika i moge druge. Jeda od velikih oblasi primee jese fiasijska maemaika u kojoj se sohasički raču, izmeďu osalog, korisi za zadavaje cea fiasijskih isrumeaa (predmei rgovie a fiasijskom ržišu), za smajeje i korolu rizika (zv. hedžig), kao i za modelovaje razih drugih pojava a ržišu. Posmarao sa saoviša primee, sohasički raču može se opisai kao oblas maemaike koja se bavi ifiiezimalim račuom, iegracijom fukcija koje su igde diferecijabile, dok eophodos sohasičkog račua proizilazi iz porebe da se u modeliraje pojava, pomoću diferecijalih jedačia, uključe fakori eizvesosi, odoso fakori koji se e mogu uapred predvidei. Zbog oga se u posupke modeliraja uključuju slučaje fukcije, koje zovemo slučajim procesima. Pozai primeri slučajih procesa su Markovski procesi, Brauovo kreaje, Puasoov proces, id. Slučaji procesi kojima ću se bavii u ovom radu su Ioovi (Iô) slučaji procesi, koji mogu da se predsave kao suma deermiisičke kompoee (kompoea koju možemo da predvidimo) i sohasičke (slučaje) kompoee, koja uosi odreďeu meru eizvesosi u aš model. Ioovi procesi su rešeja sohasičkih diferecijalih jedačia difuzioog ipa, kod kojih je sohasička kompoea baziraa a procesu Brauovog kreaja. Ovi procesi imaju mogobroje primee u razim oblasima, a u ovije vreme, posebo je u lierauri domiaa primea u modeliraju cea fiasijskih isrumeaa. Prilikom proučavaja fiasijskih podaaka, predviďaje kompoee eizvesosi i kosrukcija modela koji je opisuju zauzima važo meso u fiasijskoj maemaici. U primeama se za meru eizvesosi 1 korisi aziv volailos i oa se defiiše kao koeficije kojim se moži diferecijal Brauovog kreaja u modelu Ioovog procesa. U zavisosi od modela, volailos može bii kosaa fukcija, fukcija koja zavisi od vredosi procesa ili fukcija koja zavisi od dodaih izvora slučajosi (zv. sohasička volailos). Volailos je eopservabila veličia i mora se ocejivai a osovu posmaraja Ioovog procesa u diskreim vremeskim reucima. Klasiča ocea volailosi je zasovaa a kvadraoj varijaciji procesa. MeĎuim, u realim primeama uvrďeo je da ova meoda e daje dobre rezulae u slučaju kada je frekvecija uzorkovaja veoma velika, šo je ipiča siuacija sa podacima sa berze. Radi posizaja bolje ocee volailosi, u praksi se 1 Mera eizvesosi se u fiasijskoj ermiologiji ierpreira kao rizik. 1

11 Uvod primejuje odbacivaje velikog dela raspoloživih podaaka, šo je u suproosi sa osovim saisičkim pricipima. U ovom radu baviću se sisemaizacijom zaja iz oblasi Ioovih slučajih procesa i jihove primee, kao i razmarajem relaivo ovog meoda za ocejivaje volailosi, publikovaog 5. godie [1]. Novi model razmara prisusvo šuma prilikom obraďivaja fiasijskih podaaka, zbog čega se prilikom jegove kosrukcije preposavlja da se opservabili proces (proces koji se posmara) može predsavii u obliku zbira Ioovog procesa i šuma. Navedei model akoďe uosi korekciju odsupaja u odosu a prehode ocee volailosi i za razliku od jih korisi sve raspoložive podake sa ržiša. Efikasos ovog meoda ispiuje se pomoću Moe Karlo simulacije i korišćejem Hesoovog modela sohasičke volailosi. Ovaj rad orgaizova je u dese poglavlja. U uvodom poglavlju je defiisa pojam slučajog procesa i jihovih specifičih karakerisika, a zaim su avedee klase slučajih procesa. Drugo poglavlje objašjava proces Brauovog kreaja i opisuje jegove ajzačajije osobie. U ovom poglavlju je, radi boljeg razumevaja simulacija, razmara i posupak kosrukcije Brauovog kreaja pomoću alasića. U rećem poglavlju će bii predsavljea eorija Ioovog iegrala, odoso jegova egzisecija i kosrukcija, a poom će bii dealjo izvedea Ioova formula. U ovom poglavlju akoďe ćemo objasii i pojmove Ioovog procesa, kvadrae varijacije i kovarijacije Ioovog procesa, kao i formulu za sohasičku parcijalu iegraciju. U čevrom poglavlju su avedei elemei eorije sohasičkih diferecijalih jedačia i dealjo reirai pozai primeri sohasičkih jedačia, kao šo su Laževiova i Blek-Šolsova jedačia. U peom poglavlju su opisai osovi pojmovi berze, jea defiicija i ači fukcioisaja. Radi kocizijeg izlagaja u ovom poglavlju, apravila sam malu digresiju i umeso eprekidih modela dealjo sam opisala biomi maemaički model ržiša. S obzirom da se aproksimacijom biomog modela uz još ekoliko ovih preposavki dobija eprekida model ržiša, ova mala digresija eće as mogo skreui sa ašeg cilja, odoso eprekidog modela ržiša kojim se u ovom radu bavimo. Ovim sam želela da aglasim složeos prelaza sa ekoomskih čijeica i opisa a maemaičku formalu posavku modela, kao i da šo slikoviije objasim sam posupak razmišljaja okom formale kosrukcije ržiša. Zaim, u šesom poglavlju će bii izložea meoda ocee volailosi, koja je glavi predme rada, kao i rezulai Moe Karlo simulacije. U prilogu A avedee su dodae maemaičke defiicije i eoreme, eophode za razumevaje ovog rada, a u prilogu B alaze se programi pisai u Malabu, koji su korišćei za simulacije i dobijaje avedeih rezulaa. Pored sisemaizacije zaja iz ovih oblasi, ovaj rad ima za cilj demosraciju primee avedee meode za oceu volailosi, kao i povrdu eorijskih rezulaa puem simulacije.

12 1. Slučaji procesi O bjasićemo pojam slučajog procesa a primeru. Zamislimo da se u svakom reuku, ekog vremeskog iervala posmara jeda karakerisikax fizičkog sisema i eka je oa slučajog karakera. ada, skup svih slučajih veličia X,, možemo posmarai kao slučaju veličiu koja se meja u vremeu, gde za svako fiksirao važi da je X slučaja promeljiva, ref. [11] i [13]. Slučaji proces (slučaja fukcija) je kolekcija slučajih promeljivih X, koje su za svako fiksirao defiisae a isom prosoru verovaoća (Ω,,P), u ozaci:{x, }. Ako je, za svako, prosor vredosi procesa skup realih brojeva R, ada proces azivamo realim procesom, a merljiv prosor (R,B) azivamo fazim prosorom procesa. Skup se aziva paramearskim ili ideksim skupom. Običo se ideks ierpreira kao vreme, a za skup se uzima ierval [,+ ) ili eki jegov podskup. U zavisosi od oga kakav je ideksi skup, procese delimo a dve grupe: (i) Ako je skup diskrea skup, ada proces predsavlja iz slučajih promeljivih, kaže se i slučaji proces sa diskreim vremeom. Ako je skup koača, ada proces{x }predsavlja slučaja - dimezioali slučaji vekor, oblika (X 1, X,...,X ); (ii) Ako je skup ierval, ada proces predsavlja slučaji proces sa eprekidim vremeom. Pojam procesa može da se ierpreira a još jeda ači, ako se za skup svih ishoda eksperimea Ω izabere baš skup deermiisičkih fukcija, defiisaih a iervalu. Zamislimo dalje da se iz og skupa deermiisičkih fukcija ekim slučajim mehaizmom bira jeda akva fukcija i obeležimo je sa X. Na pokaza ači dobija se slučaja proces. Svaka fukcija X izabraa a ovaj ači, aziva se rajekorija ili realizacija slučajog procesa. Prosor R je prosor realizacije ili prosor rajekorija slučajog procesa. Posoji i reća ierpreacija procesa, ako zamislimo da se u svakom reuku, ekim slučajim mehaizmom bira vredos fukcije X. Objašjeje za posojaje dve ierpreacije procesa alazi se u čijeici da je proces fukcija dva argumea: i ω Ω, j.fukcija oblika: X (,ω). Za fiksirao vreme dobija se fukcija X(, ) koja je slučaja promeljiva, merljiva u odosu a σ-polje. MeĎuim, ako se fiksira argume ω, dobija se reala deermiisička fukcija (rajekorija daog procesa), koja zavisi od vremea i oblika je: X(,ω): R. 3

13 1. Slučaji procesi Napomea Navedea ierpreacija u kojoj skup ishoda eksperimea Ω izjedačavamo sa skupom vredosi koje uzima proces X a ekom iervalu, može da se korisi samo u slučaju kada proces posmaramo izolovao u odosu a druge procese. MeĎuim, česo se dešava u primei da se skup ishoda ekog eksperimea Ω sasoji iz velikog broja procesa, pr. u fiasijskoj primei skup ishoda Ω je skup svih mogućih saja fiasijskog ržiša. Prema ome, u daom slučaju skup ishoda Ω predsavlja skup svih procesa koji opisuju kreaje cea svih fiasijskih isrumeaa a daom ržišu, u om slučaju druga ierpreacija procesa ije koreka. Napomea Kada se defiiše proizvolja slučaji proces, mora uapred da se defiiše i fiksira prosor jegovih rajekorija.prema ome,skoro uvek se preposavlja da su rajekorije proizvoljog procesa regulare,šo zači da oe u svim ačkama poseduju i desi i levi limes i da su ili fukcije eprekide zdesa ili eprekide sleva, [15]. 1.1 Raspodele slučajog procesa Defiicija 1.1 (Raspodele slučajog procesa). Neka je{x } slučaji proces. ada važi: Za svako fiksirao dobija se jeda slučaja promeljiva X, koja ima svoj zako raspodele odreďe odgovarajućom fukcijom raspodele oblika: F 1 (;x)=p{x x}. Dau fukciju raspodele azivamo jedodimezioala fukcija raspodele 3 slučajog procesa{x }. Svakoj fiksiraoj vremeskoj -orci: ( 1,..., ) odgovara jeda slučaja vekor (X 1, X,...,X ), gde se raspodele ovako dobijeih slučajih vekora azivaju koačo-dimezioalim raspodelama 4 slučajog procesa {X } i sledećeg su oblika: F(,,, ; x, x,, x ) { X x, X x,, X x } Pokazuje se da će za proizvolja dai skup koačo-dimezioalih raspodela posojai slučaja proces čije su o raspodele, ali pod uslovima kompaibilosi koji su dai u sledećoj eoremi, ref. [11]. eorema 1.1 (eorema Daijel-Kolmogorova). Neka je daa familija fukcija{f 1 ( 1,..., ; x 1,...,x )}, za koje važi =1,,... ; 1,..., i x 1,..., x R, ako su još ispujei sledeći uslovi: (i) Za svaku fiksirau vremesku -orku ( 1,..., ), važi da je sledeća fukcija: ( x,, x ) F (,,, ; x, x,, x ), zajedička fukcija raspodele ekog slučajog vekora. (ii) Uslov simerije. Svaka fukcija F osaje isa pri proizvoljoj permuaciji parova ( i,x i ). Drugim rečima, za svaku permuaciju (j 1,..., j ) skupa (1,...,) važi sledeća jedakos: F (,, ; x,, x ) F (,, ; x,, x ) 5. j1 j j1 j Jedodimezioali zakoi raspodele isu dovolji za karakerizaciju slučajog procesa, osim u slučaju kada su vredosi procesa,u različiim vremeskim reucima ezavise.zbog oga je eophodo zai višedimezioale zakoe raspodele slučajog procesa, videi [11]. 4 Iako su eophode za karakerizaciju procesa, koačo-dimezioale raspodele e odreďuju jedozačo da li će rajekorija daog procesa bii eprekida. Dešava se da posoje dve verzije procesa sa zajedičkom koačodimezioalom raspodelom i da jeda verzija procesa ima eprekide rajekorije a druga verzija da ima prekide u vremeu (akvi prekidi se azivaju skokovi). 5 Uslov simerije zači da je fukcija F ivarijaa u odosu a permuacije svih parova ( i,x i ). 4

14 1. Slučaji procesi (iii) Uslov saglasosi. Za svako N, važi: lim F (,, ; x,, x ) F (,, ; x,, x ) 6. x ada posoji slučaji proces X,, akav da fukcije F predsavljaju jegove koačo-dimezioale fukcije raspodele. Drugo i reće svojsvo karakerišu raspodele(verovaoća) beskoačih familija slučajih promeljivih. 1. Slučaji proces geerala eorija Slučaji proces {X },, u opšem slučaju može da se posmara i kao preslikavaje izmeďu dva proizvolja merljiva prosora (Ω,,P) i (E,), gde skup E predsavlja skup vredosi procesa, a skup ideksi skup. U om slučaju, procesx predsavljaće kolekciju /-merljivih slučajih promeljivih, koje uzimaju vredosi iz skupa E. Radi uopšeijeg sagledavaja pojma slučajog procesa pogledai referece [15], [1] i []. Za fiksirao ω Ω dobija se odgovarajuća rajekorija procesa X, oblika x(ω)=(x (ω)),. Daa rajekorija, u avedeom geeralom slučaju, može da se posmara i kao fukcija sa domeom i vredosima u skupu E, j. kao fukcija oblika:x(ω): E. Prema ome, za svako fiksirao ω slučaji proces X predsavlje je fukcijom x(ω), pa može da se ierpreira i kao slučaja fukcija koja preslikava skup ishoda Ω u eki proizvolja podskup prosora fukcija E. U ovom slučaju prosor ishoda procesa je beskoačo-dimezioala. Ako preposavimo da je ierval realih brojeva, j. da je proces X reala, ada za skup ishoda Ω uzimamo podskup prosora svih realih fukcija, koje su oblika: x(ω): R. U slučaju realog procesa prosor svih realih fukcija obeležavaćemo ozakom R. Razmorimo kosrukciju verovaosog modela za proces X kada se vreme eprekido meja izmeďu i. Budući da je prosor vredosi slučajog procesa jedak skupu svih jegovih rajekorija, možemo da zaključimo da će prosor fukcija S=R, u koji se proces preslikava zavisii od vrse rajekorija koje proces poseduje, videi referece [9], [15]. Prema ome, Ako su rajekorije procesa eprekide, oda je prosor fukcija S jedak skupu svih eprekidih fukcija a daom iervalu, koji ćemo ozačii sa C[,]. Opšiji model ovog prosora obuhvaa procese čije su rajekorije eprekide zdesa i za koje posoji levi limes u svakoj ački (Righ Coiuous fucios wih Lef Limis RCLL; RRC). Navedee fukcije pozaije su pod azivom Cadlag fukcije (od fracuskog Coiue à droie, limiée à gauche).nadalje u eksu za prosor S korisićemo skup svih Cadlag fukcija a iervalu [,], koji ćemo ozačii sa: S=D[,]. Budući da se proces ierpeira kao slučajo preslikavaje sa beskoačo-dimezioalim prosorom ishoda, prirodo je da se posave sledeća piaja: Kako reba da se defiiše σ-polje a prosoru fukcija E? Kako se zadaju verovaoće 7 u beskoačo-dimezioalim prosorima? OdreĎivaje σ-polja i verovaoće a prosoru fukcija E direko je vezao sa uvoďejem mere u dai prosor,kao i odreďivajem krierijuma merljivosi podskupova daog prosora E.Zao uvodimo pojam cilidričog skupa, j. skupa fukcija a kojem će se kasije formirai σ-polje daog prosora, ref. [16] i []. 6 Iz uslova saglasosi sledi, da zadavaje fukcije F, za isovremeo odreďuje i F k, 1 k Podseimo se da smo u koačo-dimezioalim prosorima, verovaoće odreďivali pomoću fukcija -dimezioalih raspodela. 5

15 1. Slučaji procesi Neka je B proizvolja podskup, za koji važi B R i eka je ( 1,..., ) proizvolja -orka. ada, skupove: {x(ω) R : (x 1, x,...,x ) B} azivamo cilidrima prosora R ad osovom B ili cilidričim skupovima. Ako je osova B B(R ) Borelov skup, ada se avedei skup aziva Borelov cilidar. Precizije objašjeje avodimo u sledećoj defiiciji. Defiicija 1. Skupove fukcija: C 1,..., (B)={X(ω)(.) R : X(ω)( 1 ) B 1,..., X(ω)( ) B } zovemo cilidričim skupovima a prosoru R, sa osovom B = (B 1,B,...,B ), duž koordiaa ( 1,..., ). Pri ome, važi da su skupovi B i proizvolji Borelovi skupovi u R, sledećeg oblika 8 : B i =(-,a], odoso B 1 ={- < X(.)( 1 ) a}. Defiicija 1.3 Miimalo σ-polje formirao ad kolekcijom 9 svih Borelovih cilidara zove se Borelovo σ-polje podskupova prosora R i ozačava se ozakom B. Elemei σ-polja B azivaju se Borelovi skupovi u beskoačo-dimezioalom prosoru (R,B ). Primeimo da pojam slučaje promeljive može da se geeralizuje do pojma slučajog elemea, ako šo skup vredosi slučaje promeljive (skupr) zamei proizvoljim merljivim prosorom (E,), videi [1] i []. Defiicija 1.4 (Slučaji eleme). Neka su (Ω,) i (E,) dva proizvolja merljiva prosora.ada, fukciju f koja preslikava: f :(Ω,) (E,) azivamo slučajim elemeom prosora E, ako je fukcija f /-merljiva. Drugim rečima, ako je: f 1 (B), B. (1.1) Prema ovoj defiiciji slučaji proces je slučaji eleme prosora (R,B ), odoso slučaji proces je preslikavaje oblika: X(ω,): Ω (R,B ), koje je /B - merljivo. Fukcija verovaoće se u beskoačo-dimezioale prosore uvodi ako šo se prvo defiiše a cilidričim skupovima, a zaim se proširuje a σ-polje geerisao daim cilidričim skupovima, odoso σ-polje B, pogledai referecu [16]. Pri ome, mora se vodii račua da fukcija verovaoće bude dosleda prilikom dodeljivaja jeih vredosi različiim cilidričiim skupovima, da e bi došlo do ekih koradikcija.prema ome, kako je sprovede posupak uvoďeja mere i krierijuma merljivosi a prosoru fukcija, možemo sa lakoćom da opišemo meru verovaoće a prosoru (R,B ). Verovaoća je daa sledećim izrazom: ( B ) : ({ X : X ( ) B }), gde je B. (1.) Na ovaj ači smo defiisali prosor verovaoće, koji se odosi a skup vredosi slučajog elemea X. Prosor verovaoće slučajog elemea se u geeralom slučaju obeležava ozakom: ( E,, X ),dok se u slučaju kada se prosor ishoda poklapa sa prosorom fukcija, obeležava ozakom: (R,B,P X ). Prema ome, u ajopšijem slučaju važi da je slučaji eleme preslikavaje riplea, koje ispujava uslove (1.1) i (1.) i oblika je: X : (,, ) ( E,, ). ada, u zasebim slučajevima važi: Ako je skup vredosi slučajog elemea X oblika: E=R, ada jex slučaja promeljiva; Ako je skup vredosi slučajog elemea X obllika: E=R, ada je X slučaji vekor, gde je dimezija daog vekora; Ako je skup vredosi slučajog elemea X oblika: E=R, ada je X slučaji proces; Pri ome, ako je E=D[,], ada je X slučaji Cadlag proces, a ako je E=C[,], ada je X slučaji proces sa eprekidim rajekorijama. X 8 Borelovi cilidri mogu da se posmaraju i kao iverze slike Borelovih skupova prosora R. 9 Kolekcija svih Borelovih cilidara je algebra, odoso polje. 6

16 1. Slučaji procesi 1.3 Osovi pojmovi i osobie slučajog procesa U osove pojmove slučajog procesa spadaju: Pojam filracije i filriraog prosora u eprekidom i diskreom vremeu Merljivos, adapiraos, progresivos i predvidljivos Vreme zausavljaja Pojam filracije i filriraog prosora u eprekidom i diskreom vremeu Neka je vreme u kome se posmara eka pojava diskreo, ada filracijom azivamo rasući iz σ-polja koji je oblika: F { }. Primer.1 Za primer diskree filracije avešćemo eksperime uzasopog bacaja ovčića, u kome filracija k sadrži sve dogaďaje koji mogu da se dobiju iz prvih k-bacaja ovčića. Drugi primer koji avodimo za diskreu filraciju je kada k čie svi dogaďaji koji su uvrďei vredosima akcija u reucima od 1,,...,k (gde se vredosi akcija posmaraju u diskreom vremeu), ref. [9]. Napomea Filracija u diskreom i u eprekidom vremeu može da se korisi kao model za prook iformacija. Jer, kako vreme prolazi, posmarač dobija sve dealjiji uvid u moguće ishode eksperimea, odakle zaključujemo da se skup iformacija vremeom povećava. Osobia filracije da rase s vremeom odgovara čijeici da se iformacija pami u vremeu. Prema ome, σ-polja filracije opisuju reui sepe iformisaosi o mogućim ishodima eksperimea. Defiicija 1.5 (Filracija). Neka je Ω epraza skup. Ako za svako posoji σ-polje i ako za svako s i važi: s s, ada familiju rasućih σ-polja, u ozaci: F={ },, azivamo filracijom 1. Paramear može da uzima vredosi iz koačog diskreog ili beskoačog diskreog skupa: {,1,...,N}, N ili može da uzima vredosi iz eprekidog skupa: [,], [,+ ). Prosor verovaoće sabdeve filracijom svojih σ-polja aziva se filrirai prosor verovaoće i obeležava kao ureďea čevorka (Ω,,F,P). Defiicija 1.6 (σ-polje geerisao slučajim procesom). σ-polje oblika: =σ(x u : u ), aziva se σ-polje geerisao slučajim procesom X u, u i predsavlja ajmaje σ-polje koje sadrži sve skupove oblika: {ω: X u (ω) a}, u, a R. Navedeo σ-polje sadrži sve iformacije o procesu X, od ulog reuka zaključo sa reukom, pogledai ref. [9]. Defiicija 1.7 (Uobičajei uslovi filracije). Neka je F ={ },, filracija a iervalu [,]. Uvodimo sledeće pojmove: (i) Neka je C kolekcija svih skupova B iz σ-polja, akvih da je: { B : ( B) i B = { X : u }}. ada, kolekciju N={A: A B i B C}, azivamo kolekcijom NULL skupova. u 1 Filracija opisuje kako se iformacija okriva s vremeom. 7

17 1. Slučaji procesi (ii) Za filraciju F kažemo da je eprekida sa dese srae 11, ako za svako važi:,. s s (iii) Za filraciju F kažemo da je komplea ako sadrži sve NULL skupove 1. Ako za filraciju F važe osobie (ii) i (iii) oda kažemo da F ispujava uobičajee uslove filracije, za svako vreme [,], pogledai [9] i [18]. Napomea Uobičajei uslovi filracije su preposavke koje se dodao uvode, uglavom iz ehičkih razloga. Objasimo kako se formira filracija F ={ },, sa uobičajeim uslovima. Defiišimo prvo σ-polje geerisao procesom {X s }, s [,] do reuka i ozačimo ga ozakom: =σ(x u : u ). Dalje, formirajmo ajmaje σ-polje koje sadrži sledeće skupove: σ-polje i kolekciju Null skupova (koji e pripadaju σ-polju ). Novo σ-polje ozačimo ozakom 1.Navedei posupak dodavaja kolekcije Null skupova posojećem σ-polju azivamo kompleirajem σ-polja. Da bi uobičajei uslovi filracije bili ispujei, mora da važi još jeda uslov, a o je da daa filracija bude eprekida sa dese srae. Prema ome, formirajmo ovo σ-polje, u ozaci, koje mora da sadrži saro σ-polje 1 i za koje se dodao zaheva da bude epekido zdesa, j. za σ-polje mora da važi sledeće: = ε> +ε Merljivos, adapiraos, progresivos i predvidljivos slučajog procesa Defiicija 1.8 (Merljivos procesa). Neka je{x }, [,] slučaja proces defiisa a merljivom prosoru (Ω,,P) sa vredosima u prosoru (R,B). Za slučaja proces kaže se da je merljiv (u odosu a proizvod σ- polja) ili merljiv po paru promeljivih (ω,), ako za svako B B, važi: {(, ) : X (, ) B} ([, ]), (1.3) gde je B([,]) Borelovo σ-polje formirao a iervalu [,], dok B([,]) predsavlja ajmaje σ-polje formirao ad skupovima Dekarovog proizvoda. eorema 1. (Fubiijeva eorema). Neka je{x }, [,] merljiv slučaji proces. ada važe sledeće osobie: (i) Skoro sve rajekorije procesa su merljive fukcije. (ii) Ako maemaičko očekivaje E(X ) posoji za svako,ada je fukcija E(X ) merljiva po promeljivoj. (iii) Ako je S merljiv podskup i ako važi: S E X d, ada su skoro sve rajekorije procesa X iegrabile i sa verovaoćom jeda važi sledeći ideie: E X d E( X ) d. (1.4) S S Neka je F filracija rasućih σ-polja a prosoru Ω. Kao posledica merljivosi procesa u odosu a različia σ-polja podskupova prosora Ω[,] javljaju se različie klase procesa kao šo su: adapirai, progresivo merljivi procesi, predvidljivi procesi, id. Defiicija 1.9 (Adapirai proces). Za proces{x }se kaže da je adapira ili prilagoďe filraciji F, ako je za svako slučaja promeljiva X -merljiva. 11 Ierpreacija ove osobie je da se za svaku iformaciju koja se okrije u malom vremeskom iervalu odmah ako vremeskog reuka podrazumeva da je pozaa i u reuku. 1 Ideja se sasoji u ome da se svi podskupovi skupova mere ula uključe u počeu filraciju bilo da su merljivi ili e. 8

18 1. Slučaji procesi Defiicija 1.1 (Progresiva merljivos procesa). Neka je{x }, [,] slučaja proces defiisa a merljivom prosoru (Ω,,P) sa vredosima u prosoru (R,B) i eka je { } eprekida filracija a (Ω,). Za slučaja proces se kaže da je progresivo merljiv ili progresiva, ako za svako B i za svako važi: { (, s) : s, X (, s) B } ([, ]). (1.5) Drugim rečima, za proces{x }, [,] kažemo da je progresiva, ako za svako, važi da je preslikavaje iz merljivog prosora Ω[,] u merljiv prosor (R,B), B([,]) - merljivo. Napomea Svaki progesivo merljiv proces{x }, [,], u odosu a filraciju { } je ujedo i merljiv i adapira proces u odosu a dau filraciju, ali obruo, u opšem slučaju e mora da važi. Može se pokazai da je svaki adapirai proces sa osobiom eprekidosi sa leve ili dese srae progresivo merljiv proces. S obzirom da se procesi dele a procese sa eprekidim i oe s diskreim vremeom, avešćemo dve defiicije predvidljivosi procesa, pogledai [9]. Defiicija 1.11 (Predvidljivos procesa sa diskreim vremeom). Neka je daa filracija F sledećeg oblika: F={, 1,...,,..., }. ada, za proces s diskreim vremeom X, kažemo da je predvidljiv (predicable) u odosu a dau filraciju F, ako za svako važi da je slučaji proces X, -1 - merljiv 13. Defiicija 1.1 (Predvidljivos procesa sa eprekidom vremeom). σ-polje a prosoru R + Ω koje je geerisao svim adapiraim procesima, čije su rajekorije eprekide sleva, aziva se predvidljivo σ-polje i obeležava se ozakom P. Za reala slučaji proces, koji se defiiše kao preslikavaje: X : R + Ω R, kažemo da je predvidljiv, ako je merljiv u odosu a predvidljivo σ-polje P. eorema 1.3 (Dovolji uslovi za predvidljivos procesa). Dovolji uslovi za predvidljivos procesa X u eprekidom vremeu glase: (i) (ii) (iii) X je adapira i eprekida sleva (specijalo, može da bude adapira i epekida proces). X je graiča vredos procesa, koji je adapira i eprekida sleva. X je Borel-merljiva fukcija predvidljivog procesa. Primer. Kao primer predvidljivog procesa avodimo proces koji opisuje broj akcija (deoica), koje ivesior poseduje u reuku. Količia akcija/deoica koju ćemo, u daom reuku, kupii ili prodai uvrďuje se a osovu iformacija koje imamo do i zaključo sa reukom -1, pa je prema ome ovaj proces predvidljiv u odosu a filraciju koja je geerisaa procesom cea, [9]. Defiicija 1.13 (Modifikacija/Verzija procesa). Neka su slučaji procesi X i Y defiisai a isom prosoru verovaoće (Ω,,P). ada, za slučaji proces {X }, [,] kažemo da je modifikacija procesa Y, ako za svako [,] važi izraz: { X Y } { : X (, ) Y(, )} Može da se kaže da je proces predvidljiv ako je vredos procesa X u reuku odreďuje se a osovu iformacija koje smo sakupili do i zaključujući sa reukom 1. 9

19 1. Slučaji procesi Vreme zausavljaja (Soppig ime) Defiicija 1.14 (Vreme zausavljaja ili mome zausavljaja). Neka je F={ }, filracija a skupu Ω. Neegaivu slučaju promeljivu τ, koja uzima vredosi iz skupa {+ } azivamo vreme zausavljaja u odosu a filraciju F, ako važi da je dogaďaj {τ }, za svako 14. Neke osobie vremea zausavljaja: (i) Ukoliko se i za jedo R + e desi dogaďaj {τ }, oda se za vredos slučaje promeljive τ uzima vredos +.o je razlog zašo je skup vredosi slučaje promeljive τ oblika {+ }. Koriso je defiisai ozaku kao ajmaje σ-polje koje sadrži sve, i u om slučaju za skup, važi da je: [,+ ]. (ii) S obzirom a o da je ideksi skup vremeske promeljive i da je σ-polje kolekcija svih dogaďaja posmaraih do reuka, uključujući i reuak, ada se uslov iz defiicije1.14, svodi a čijeicu da je ishod dogaďaja{τ }poza u reuku, odoso da se a osovu dae iformacije sadržae u σ- polju može uvrdii da li se dogaďaj{τ }desio ili ije. (iii) U slučaju kada je vreme diskreo: ={,1,,...}, dobija se da je uslov {τ } ekvivalea uslovu {τ = }, pogledai ref. [17]. U slučaju eprekidog vremea, kada je ideksi skup ierval realih brojeva i samim im eprebrojiv, ekvivalecija eće važii zbog čijeice da σ-algebra ije zavorea u odosu a eprebrojivu primeu operacije uija, odoso važi: { } { i }, { } { } { 1}. i (iv) Slučaja promeljiva τ je vreme zausavljaja u odosu a slučaja proces X, ako oa predsavlja vreme zausavljaja u odosu a jegovu prirodu filraciju, j. ako važi: {τ } = σ(x s : s ). Primer.4 Neka slučaja promeljiva predsavlja prvi vremeski reuak kada adapirai proces X dosige eku vredos a. U slučaju da τ ikada e dosige dau vredos, oda važi: τ =. Ako am je proces X s poza u svim vremeskim reucima s, ada zamo da li je proces dosigao dau vredos pre, posle ili baš u reuku, j. pozao je da li je dogaďaja {τ } bilo ili ije posmarajući samo prošlos daog procesa do reuka. Prema ome, ova veličia jese vreme zausavljaja. Navodimo primer veličie koja ije vreme zausavljaja. Neka je vreme kada proces dosige svoj maksimum a iervalu [,1]. Da bismo sazali da li se dogaďaj{τ }svaro desio ili ije,ije dovoljo pozavai vredosi procesa samo do reuka, već moraju da se pozaju sve vredosi a iervalu [,1]. Prema ome veličia ije vreme zausavljaja. 14 Vreme zausavljaja je preslikavaje oblika τ: Ω {+ } [,+ ], gde je ideksi skup. 1

20 1. Slučaji procesi 1.4 Neke klase slučajih procesa Slučaji procesi sa ezavisim vredosima Slučaji procesi sa ezavisim prirasajima Gausovski procesi Markovski procesi Marigali Slučaji procesi sa ezavisim vredosima Slučaji proces {X }, je proces sa ezavisim vredosima, ako za svako N i za svaku -orku: ( 1,..., ) važi da su slučaje promeljive X 1, X,...,X ezavise. Procesi sa ezavisim vredosima ubrajaju se u procese kod kojih je pozavaje jedodimezioalih raspodela dovoljo za pozavaje celokupog procesa, kao i za pozavaje proizvolje -dimezioale raspodele og procesa. Uzrok ome je šo usled ezavisosi sledi da se proizvolja fukcija -dimezioale raspodele procesa može apisai kao proizvod jedodimezioalih raspodela og procesa: F (,,, ; x, x,, x ) F ( ; x ) F ( ; x ) Geeralo posmarajući, slučaji procesi koji su eprekidi u vremeu i čije su vredosi u različiim vremeskim reucima ezavise isu zaimljivi i u primei i u eoriji. Najpozaiji primer slučajog procesa sa ezavisim vredosima je zv. sigal belog šuma, koji se opisuje kao slučaja sigal, odoso slučaja proces koji ima podjedako raspodeljeu sagu a svim svojim frekvecijama koje se alaze u ekom koačom opsegu. Naziv beli šum poiče od pojma bele svelosi, u kojoj je spekrala saga svelosi podjedako raspodeljea duž frekvecija vidljivog spekra, odoso bela svelos sadrži sve svelose frekvecije vidljivog spekra sa isim iezieom. U primejeim aukama pojam belog šuma je veoma česa pojava i predsavlja maemaičku idealizaciju feomea koji podrazumeva izeade i velike flukuacije. Na slici 7.1 prikazaa je jeda realizacija procesa belog šuma u diskreom vremeu koji je geerisa programom u Malab-u. Beli šum defiisa a beskoačo velikom opsegu je čiso eorijska kosrukcija, jer kako prema defiiciji ima podjedako raspodeljeu sagu a svim frekveicijama, sledi da će ukupa saga ovog sigala (procesa) bii beskoača. o zači da je emoguće geerisai ovakav proces. U praksi je moguće realizovai ovakav proces jedio ako se defiiše a majem opsegu frekvecija. Maemaička ierpreacija belog šuma je slučaja proces sa uzajmo ekorelisaim vredosima u razlličiim vremeskim reucima, pri ome se običo preposavlja da je očekivaje ovog procesa jedako uli. Prema ome, zbog ekorelisaosi jegovih vredosi u razlličiim vremeskim reucima, odoso Cov(ε s,ε )=, zaključujemo da je proces belog šuma emoguće predvidei, bez obzira a o koliko su vremeski reuci bliski. Uz preposavku da je očekivaje ula dobijamo da je varijasa belog šuma beskoača. Može se pokazai da su, sa verovaoćom jeda, sve rajekorije prekide u svakoj ački. Prema ome fizička realizacija ovog procesa ije moguća, [13]. Napomijemo da osobia da su vredosi Belog šuma ekorelisae u vremeu e ograičava vredosi koje sigal može da uzima, šo zači da je bilo koja raspodela ih vredosi u fiksiraom reuku moguća, ali uz preposavku da je očekivaje procesa ula. Na primer, proizvolja biara sigal, koji može da uzima jedio vredosi 1 i -1 može da bude beli šum, ukoliko su jegove vredosi u različiim vremeskim reucima ekorelisae. 11

21 1. Slučaji procesi Prema ome i šum sa ormalom raspodelom može da bude beli šum. akav šum aziva se Gausov beli šum. Pored Gusovog belog šuma posoje i Poisoov, Košijev, id. Gausov beli šum se veoma česo korisi za aproksimaciju većie realih problema sa kojima se susrećemo u praksi. Zao se izraz adiivi beli Gausov šum već uveliko korisi kao sadarda skraćeica, u ozaci AWGN (addiive whie Gaussia oise). Napomijemo još, da beli Gausov šum ima korisu karakerisiku koja proizilazi iz ekorelisaosi jegovih vredosi: Cov(s,)=, a o je da su jegove vredosi ujedo i ezavise, odoso umeso pojma ekorelisaosi možemo da korisimo i pojam ezavisosi. Beli šum može da se ierpreira i kao izvod Brauovog kreaja, o kojem će ek bii reči. Prema eksperimeu Robera Braua, Brauovim kreajem se opisuje eregularo kreaje česica rasvoreih u rasvoru, dok se u maemaici proces Brauovog kreaja defiiše kao eprekida i sacioara slučaji proces sa ekorelisaim (ezavisim) ikremeima, koji u svakom fiksiraom reuku predsavlja Gausovu (ormalu) slučaju promeljivu sa očekivajem ula i varijasom. Može se pokazai da je Brauovo kreaje igde diferecijabila fukcija i o bi bilo maemaičko objašjeje visokog sepea eregularosi u kreaju česica, koje je R. Brau video u svom eksperimeu. Prema ome, kako se za beli šum smara da je izvod Brauovog kreaja možemo još jedom da povrdimo da beli šum u svarosi e posoji, odoso da fizička realizacija procesa defiisaog a ovaj ači ije moguća Slučaji procesi sa ezavisim prirašajima Neka je{x } proizvolja slučaji proces, ada razlike X X s azivamo prirašajima (ikremeima) daog procesa. Za proces{x } kažemo da je proces sa ezavisim prirašajima (ikremeima), ako za svaki izbor vremeskih reuaka: < 1 < <...< važi da su odgovarajući prirašaji ezavise slučaje promeljive, odoso da su avedei prirašaji ezavis: X,X 1 X,..., X X 1. Za pozavaje procesa {X }, sa ezavisim prirašajima dovoljo je zai fukcije raspodele slučajih veličia X, X X s. Prema ome, procesi sa ezavisim prirašajima spadaju u procese kod kojih je pozavaje dvodimezioalih raspodela dovoljo za pozavaje slučajog procesa, videi ref. [11]. Napomea Proučavaje iza sa ezavisim prirašajima svodi se a izučavaje iza ezavisih slučajih veličia sledećeg oblika: Y =X, Y 1 = X 1 X,..., Y = X X 1. Zajući raspodele verovaoća za iz Y a a osovu izraza X =Y +...+Y, 1, jedosavo se odreďuju koačo-dimezioale raspodele procesa {X },. 1

22 1. Slučaji procesi Gausovski procesi Slučaji proces {X }, čije su sve koačo-dimezioale raspodele ormale azivamo Gausovim slučajim procesom. Budući da je višedimezioala Gausova raspodela odreďea svojom kovarijasom i vekorom maemaičkog očekivaja, zaključujemo da je i Gausov proces akoďe odreďe (u smislu koačodimezioalih raspodela) svojom fukcijom očekivaja i kovarijacioom fukcijom, koje su dae izrazima: ( ) E[ X ] ; Cov( X, X ) E( X ( s)) ( X ( )) 15. s s Zbog oga je Gausov proces pogoda za direka izračuavaja Markovski procesi Proizvolji slučaji proces {X }, aziva se Markovskim procesom, ako za svako N i za svaku - orku vremeskih reuaka iz iervala [,], s 1 <s <...<s <, kao i za svaki Borelov skup B važi sledeći uslov: P ( X B X, X,, X ) P ( X B X ). s1 s s s Ukoliko reuak proumačimo kao sadašjos, oda bi ierpreacija ove defiicije bila da budućos procesa zavisi od prošlosi isključivo preko sadašjeg reuka. Drugim rečima, ukoliko pozajemo sadašju vredos procesa oda am pozavaje prehode isorije procesa ije porebo, jer budućos uopše e zavisi od prošlosi. Za dealjije objašjeje Markovskih procesa pogledai referece [11] i [13]. Primer.5 Pozai primer Markovskih procesa jese proces raďaja i umiraja, koji opisuje veličiu populacije u zavisosi od vremea, s im šo ćemo veličiu populacije u daom reuku ozačii sa X. Kako je uobičajea pojava da eke jedike esaju, dok se ove pojavljuju, zaključujemo da veličia proizvolje populacijex mora da bude promeljiva veličia. U ovom primeru, prirodo je preposavii da buduća veličia populacije zavisi od populacije iz prošlosi samo preko sadašje populacije. Drugim rečima, za izračuvaje populacije u budućosi uopše am isu porebe iformacije iz prošlosi, već samo iformacije iz sadašjosi. Napomea Neka je počea vredos skupa. Za opisivaje Markovskih procesa dovoljo je pozavaje uslovih raspodela P(X B X s ), za sve s<, kao i počee raspodele P(X B), jer se pomoću jih mogu aći sve osale koačo-dimezioale raspodele. Svaki proces {X }, sa ezavisim prirašajima, gde je X = jese Markovski proces, videi [13]. 15 Fukcija Cov(X s, X )=Cov(s,) aziva se još i korelacioom fukcijom. 13

23 1. Slučaji procesi Marigali Defiicija 1.15 (Marigali). Neka je M proizvolja slučaji proces adapira daoj filraciji F={ }, gde vremeska promeljiva može da bude eprekida, ili diskrea,1,... Proces M azivamo marigalom, ako važe oba uslova: (i) Ako je za svako proces M iegrabila, odoso očekivaje procesa M je koačo: E X () <. (ii) Ako je za svako i s, s, ispuje marigalski ideie: E M M. (1.6) s s Za procese sa diskreim vremeom marigalski ideie je sledećeg oblika: E M M. 1, Napomea Marigali eprekidi u vremeu su oi procesi M, za koje posoji skup Ω Ω sa verovaoćom P(Ω )=1, akav da za svako ω Ω, važi da je fukcija f: M (ω), koja je defiisaa a iervalu [, ), eprekida fukcija.akve procese azivamo eprekidim marigalima 16. Defiicija 1.16 (Submarigali i supermarigali). Ako za proces X, važi da je adapira filraciji F i iegrabila i ako za svako i s, s, važi sledeći ideiei: (i) EX s Xs, oda proces X azivamo submarigalom. (ii) EX X, oda proces X azivamo supermarigalom. s s Napomea Fukcija očekivaja za supermarigale je erasuća fukcija po promeljivoj, a za submarigale je eopadajuća fukcija po promeljivoj, dok je fukcija očekivaja za marigale kosaa fukcija u vremeu. Ako je proces X supermarigal, ada je proces -X submarigal. 16 Neprekidos može da se defiiše i a sledeći ači. Za proces kažemo da je eprekida ako važi da je: P({ω X (ω) je eprekida fukcija a iervalu [,]})=1. 14

24 . Brauovo kreaje P ozai škoski boaičar Rober Brau ( ), radio je a israživaju feomea koji je daas poza pod imeom Brauovo kreaje, u kome su pod odreďeim uslovima male česice rasvoree u ečosi izložee eprekidom i epravilom kreaju. Maemaički model koji opisuje ovaj feome, meďu prvima su primeili L. Bašelijer i A. Ajšaj. L. Bašelijer je primeio Brauovo kreaje u kosrukciji modela, koji opisuje kreaje cea proizvoljih vredosi a ržišu, dok je A. Ajšaj, a osovu israživaja Robera Braua, procesom Brauovog kreaja modelovao kreaje česica rasvoreih u ečosi. Pozai maemaičar Norber Vier je 193. godie dao popui maemaički opis ovog procesa i dokaz jegove egzisecije kao maemaičkog objeka, zbog čega se proces Brauovog kreaja zove i Vierov proces. U smislu maemaičkog modela, posojaje ovog procesa ije očigledo, zbog čega se vrďeje o egziseciji Brauovog kreaja dokazuje kroz posupak kosrukcije Brauovog kreaja. Dealjo obrazlože proces Brauovog kreaja možee aći u ref. br. [14]..1 Defiicija Brauovog kreaja Defiicija.1 (Defiicija Brauovg kreaja). Neprekidi slučaji proces {B }, < azivamo sadardim Brauovim kreajem a iervalu [,), ako poseduje sledeće osobie: (i) B = 17. (ii) (Nezavisos ikremeaa). Ikremei procesa Brauovog kreaja B su ezavisi; o zači da su za proizvolja koača skup vremeskih reuaka: 1 < <...< < slučaje promeljive B B 1, B 3 B,..., B B 1 su ezavise. (iii) (Gausova raspodela ikremeaa). Za bilo koji vremeski reuak iz iervala s,, proizvolja ikreme B B s ima Gausovu raspodelu sa očekivajem ula i varijasom s, j. za svako a<b važi: 1 b x ( s) P{ a B Bs b} e dx. ( s) a (iv) (Neprekidos rajekorija). Za proizvoljo ω iz skupa verovaoće jeda, važi da je B (ω) eprekida fukcija po vremeu. 17 Počea vredos Brauovog kreaja može da bude proizvolja ačka x, ali kada je u piaju Sadardo Brauovo kreaje oda je počea vredos procesa ula. 15

25 . Brauovo kreaje Na slici.1. prikazae su rajekorije procesa Brauovog kreaja u vremeskom iervalu od =5. Primeimo da se obe rajekorije alaze u oblasi koja je ograičea zeleim liijama, šo je posledica zakoa o Ieriraom logarimu, videi u [14] sep versio of Browia moio ad is mea slika.1. Brauovo kreaje. Lema.1 (Kovarijasa Brauovog kreaja). Kovarijasa Brauovog kreaja izosi: Cov( B, B ) mi( s, ), s,. s Dokaz: Ako preposavimo da je s, ada dobijamo: Cov(B s, B ) =E(B s B ) E(B s ) E(B ). Na osovu osobie (iii) iz defiicije Brauovog kreaja sledi da je E(B )=, odakle dobijamo: Cov( B, B ) E( B ( B B B )) E( B ( B B )) E( B ) E( B ) s. s s s s s s s s Defiicija. (Druga verzija defiicije Brauovg kreaja). Neprekidi slučaji proces {B }, < azivamo Sadardim Brauovim kreajem a iervalu [,), ako poseduje sledeće osobie: (i) B =. (ii) (Kovarijasa Brauovog kreaja). Kovarijasa procesa B izosi: Cov(B s, B ) = mi(s,), za sve s,<. (iii) (Gausova raspodela ikremeaa). Za bilo koji vremeski reuak iz iervala s< <, proizvolja ikreme B B s ima Gausovu raspodelu sa očekivajem ula i varijasom s. (iv) (Neprekidos rajekorija). Za proizvoljo ω iz skupa verovaoće jeda, važi da je B (ω) eprekida fukcija po vremeu. 16

26 . Brauovo kreaje Pozivajući se a Defiiciju.1, može se pokazai da iz uslova (iii) avedee defiicije, zajedo sa vrďejem:cov(b s,b )=mi(s,), sledi uslov (ii) o ezavisosi ikremeaa Brauovog kreaja. Dakle, defiicija. se dobija iz defiicije.1 kada se uslov (ii) o ezavisosi ikremeaa zamei uslovom o kovarijasi Brauovog kreaja i obrao, šo zači da su avedee defiicije.1 i. Brauovog kreaja ekvivalee. Ovo vrďeje ćemo pokazai u sledećoj lemi. Lema. (Uslov ezavisosi ikremeaa). Ako je proces {X }, < Gausov proces i ako važe sledeće preposavke: E(X )=za svako < i Cov(X s,x ) = mi(s,), za sve s,<, ada sledi da proces {X } ima ezavise ikremee. Šaviše, ako za dai proces važe dodai uslovi: X = i da proces {X } ima eprekide rajekorije, ada {X } predsavlja sadardo Brauovo kreaje a iervalu [,). Dokaz: S obzirom a o da važi vrďeje da su koordiae višedimezioalog Gausovog vekora {V i : 1 i d } ezavise ako i samo ako je marica kovarijase Gausovog vekora Σ dijagoala marica, možemo da zaključujemo da će proces {X } imai ezavise ikremee ako i samo ako je marica kovarijase proizvoljog koačog vekora ikremeaa:(x X 1,X 3 X,...,X X 1 ) dijagoala marica. o zači da reba da pokažemo da su elemei izva dijagoale e marice jedaki uli. Prema ome, ako preposavimo da je i< j, ada za kovarijasu ikremeaa dobijamo: Cov ( X X, ) ( ) ( ) ( ) ( ) i X i 1 X j E X j 1 X i X i 1 X j E X j 1 X i E X i 1 X j j1. Kako je E [( X )] i Cov(X s,x )=mi(s,) imamo: j Xj 1 E ( X X ) ( X X ) E X X E X X E X X E X X i i1 j j1 i j i j1 i1 j i1 j1. i i i 1 i 1 vrďeje u drugom delu leme, da je proces {X } uz eke dodae uslove iso šo i Brauovo kreaje sledi iz defiicije Brauovog kreaja i ime je dokaz leme završe, pogledai ref. [18]. 17

27 . Brauovo kreaje. Osobie Brauovog kreaja eorema.1 (Osobie Brauovog kreaja).neka je{b }, < proces Brauovog kreaja, ada važe sledeće osobie daog procesa: (i) Proces Brauovog kreaja B pripada klasi procesa sa ezavisim prirašajima. (ii) Proces Brauovog kreaja B pripada klasi Markovskih slučajih procesa. (iii) Proces Brauovog kreaja pripada klasi Gausovih procesa, pri čemu važi: E(B )= i važi da je Cov(X s,x ) = mi(s,). (iv) (raslacioa ivarijaos Brauovog kreaja). Za svako važi da je slučaji proces B B B Brauovo kreaje. Dao vrďeje je ekvivaleo vrďeju da proces B pripada klasi sacioarih procesa. (v) (Ivarijaos skaliraja Brauovog kreaja). Za svaki reala broj, važi da je slučaji proces B B Brauovo kreaje. eorema. (Osobie rajekorija Brauovog kreaja). Ako se posmara Brauovo kreaje{b }, < kao fukcija koja zavisi od vremea, ada za skoro sve rajekorije Brauovog kreaja važi: (i) rajekorije B.k. su eprekide fukcije po promeljivoj (ii) rajekorije B.k. isu moooe i a jedom iervalu, bez obzira a dužiu og iervala (iii) rajekorije B.k. isu diferecijabile fukcije i u jedoj ački (iv) rajekorije B.k. imaju beskoaču varijaciju a proizvoljom iervalu bez obzira a dužiu og iervala (v) Kvadraa varijacija Brauovih rajekorija a iervalu [,] izosi, odoso važi: i i1. i 1 [ B, B]( ) B, B ([, ]) P lim B( ) B( ) Pogledai referece [9], [14] i [18]. 18

28 . Brauovo kreaje.3 Objašjeje i moivacija kosrukcije Brauovog kreaja Proces Brauovog kreaja može da se prikaže kao slučaja suma iegrala fukcija iz L [,1] prosora i ime se pokazuje egzisecija procesa Brauovog kreaja. Navedea kosrukcija, pored oga šo se korisi za kosrukciju Brauovog kreaja,može da se korisi i za kosrukciju proizvoljog slučajog procesa, a akoďe ima primeu i u izvoďejima pojediih osobia Brauovog kreaja. Prema ome, cilj je da predsavimo proces Brauovog kreaja kao razvoj po fukcijama prosora L [,1], ali ako da koeficijei razvoja budu slučaje promeljive. Za dealjije obrazložeje kosrukcije Brauovog kreaja pomoću alasića pogledai referece [4], [5] i [18],dok Pol Levijevu kosrukciju Brauovog kreaja (Paul Levy s cosrucio) možee pogledai u ref. [14]. Kada bi posojao proces belog šuma, koji predsavlja izvodi proces Brauovog kreaja, oda bi važilo: X lim ( X X ), gde je ε ozaka za beli šum, a X Brauovo kreaje. Iz avedee jedakosi i osobia Brauovog kreaja proizilazi da su ε ezavise veličie u vremeu sa očekivajem ula i beskoačom varijasom. Prema ome, zaključujemo da je ε klasiča beli šum u eprekidom vremeu, čija je realizacija emoguća. Ako primeimo L eoriju a ε dobijamo sledeću jedakos: ( ) a ( ) ( s), (.1) s Iz posledje jedačie dobija se razvoj Brauovog kreaja koji je oblika: X ( ) a ( ) ( s) ds. (.) Iako je emoguće realizovai jedačiu (.1), iz razloga šo Beli šum e može da se opiše modelom slučajog procesa, isposavlja se da, se koeficijei jedačie mogu odredii, šo je objašjeo u sledećoj eoremi. eorema.3 (Razvoj Brauovog kreaja). Neka je {φ } proizvolja KONB prosora L [,1] i eka je Z i iz ideičih, ezavisih Gausovih slučajih promeljivih oblika Z i ~N(,1) defiisaih a prosoru (Ω,,P). ada, za svako važi da iz defiisa izrazom: i i i X Z ( x) dx,, (.a) predsavlja Košijev iz u prosoru L (Ω,,P), čija je graiča vredos Gausova slučaja promeljiva sa očekivajem jedakim uli i varijasom jedakom. Dau graiču vredos ćemo ozačii sa X ~N(,). Za proizvolja dva reuka i s, važi da je kovarijasa od X jedaka: Cov(X s, X ) =E(X s X )=mi(s,). Napomea Iz eoreme.3 zaključuje se da razvoj(.a) kovergira prema procesu X, kada.za proces X pokazuje se da je Gausov proces sa fukcijom kovarijase jedakom mi(s,). Na osovu leme. sledi da je Gausov proces sa osobiama: Cov(X s,x )=mi(s,) i E(X )= proces sa ezavisim ikremeima. Prema ome, da bi se pokazalo da je graiča vredos procesa X jedaka procesu Brauovog kreaja, osaje još samo da se pokaže da X ima eprekide rajekorije sa verovaoćom jeda,kao i da je X =. Pošo eprekidos rajekorija zavisi od izbora baze {φ }, sa amerom se odabire oroormiraa baza Harovih fukcija, koje pripadaju prosoru L [,1]. Osobie fukcija iz L [,1] prosora kao i osobia oroormiraosi dodao su objašjee u prilogu A, u odeljku

29 . Brauovo kreaje.4 Harove i Šauderove fukcije (alasići) Defiicija.3 (Harove fukcije). Familija Harovih fukcija {H (x)} = a iervalu 1 defiiše se a sledeći ači: H ()=1, za 1, 1 j k 1k 1 za, za, j j 1 j 1 k 1k H1( ) 1 za 1, H ( ) za, za j j, u suproom., u suproom. Naglasimo specijalo, da svako 1 može da se jedozačo predsavi u obliku: = j +k, gde se kosae k i j alaze u graicama: k< j, j. Napomea Proizvolja Harova fukcija H (),za >1može da se predsavi raslacijom i skalirajem osove Harove fukcije H 1 () i o a sledeći ači: j j j j 1 H ( ) H ( k), k, j i k. U slučaju kada se korisi sledeći zapis:= j +k i k< j dobija se drugačija reprezeacija serije Harovih fuckija {H } i o u vidu dvosruko idekisraog iza, pogledai referecu [18].Ozaka j predsavlja broj vrse,dok ozaka k predsavlja pomeraj u fiksiraoj vrsi: j H 1 j 1 H H 3 j H H H H j 3 H H H H H H H H Sa ovakvom predsavom Harovih fukcija eke karakerisike baze {H } posaju očigledije. Kao pr. da sve fukcije u isoj vrsi (j. fukcije sa isim ideksom j) predsavljaju raslaciju prve fukcije u om redu, kao i da su skupovi a kojima su proizvolje dve fukcije iz ise vrse različie od ule disjuki skupovi. Lema.3 (Harova baza). Familija Harovih fukcija {H (x)} = čii kompleu oroormirau bazu prosora L [,1]. Defiicija.4 (Šauderove,rouglase fukcije). Familiju Šauderovih fukcija {Δ (x)} =, a iervalu 1 defiišemo kao eodreďee iegrale Harovih fukcija: H ( u) du ( ), 1, (.3) gde se koeficijei uz Šauderove fukcije račuaju izrazom: λ = (1/) j/, = j +k i k< j, za 1.

30 . Brauovo kreaje Grafici Šauderovih fukcija, prikazai a slici., predsavljaju rougliće visie jeda koji leže izad iervala dužie j i koji su oblika: [k/ j, (k+1)/ j ]. Prema ome, za svako važiće sledeća jedakos: max Δ () =1, za 1. slika (.): Na slici su prikazai grafici Šauderovih fukcija (). Grafici Šauderovih fukcija koji imaju ise vredosi promeljive j, odoso oi grafici koji se alaze u isoj vrsi, e preklapaju se za različie vredosi k. Šauderove fukcije mogu da se apišu i u sledećem obliku: 1 za, 1 1( ) (1 ) za 1, u suproom. ( ), za 1. j 1 k k k 1 ( ) za j j j j 1 k 1 k 1 k 1 ( ) ( ), za, j j j, u suproom. za. Svako 1može da se jedozačo predsavi u obliku:= j +k,gde su kosae k i j u graicama: k< j, j. Napomea Šauderove fukcije (), za 1 možemo da predsavimo raslacijom i skalirajem osove Šauderove fukcije 1 () a sledeći ači: ()= 1 ( j k), = j +k, k< j, j. Posupak kosrukcije u kojem je Brauovo kreaje predsavljeo kao razvoj po fukcijama oroormirae baze jese vid Vejvle aalize, odoso aalize alasića u kojoj Harove fukcije predsavljaju vrsu alasića, videi ref. [18]. Osova Harova fukcija H 1 (), iz koje se posupkom raslacije i skaliraja dobijaju osali člaovi Harove serije alasića azivamo majkom alasića. 1

31 . Brauovo kreaje.4 Reprezeacija Brauovog kreaja pomoću alasića Zbog jedosavosi posupka kosruisaćemo Brauovo kreaje a iervalu [,1], a zaim proširii a ceo vremeski ierval. Cilj je da se pokaže da razvoj (.a) kovergira uiformo i skoro siguro ka X, kada se za oroormirau bazu {φ } izabere serija Harovih fukcija. Pokazaćemo da je graiča vredos daog razvoja Brauovo kreaje [4]. eorema.4 (Kovergecija vejvle reprezeacije/ kovergecija reprezeacije Brauovog kreaja pomoću alasića). Neka je {Z }, < iz ezavisih Gausovih slučajih promeljivih oblika Z i ~N(,1). ada, kada N, razvoj defiisa izrazom: N N X Z () (.4) kovergira uiformo po, a iervalu [,1], sa verovaoćom jeda. Proces defiisa kao graiča vredos daog razvoja: X = limx N, kada, jese sohasički proces sa eprekidim rajekorijama. Dokaz: S obzirom da je oblika: = j +k, sledi da dai razvoj možemo da apišemo i drugačije: j N 1 N () j k X Z, kada N. Da bismo pokazali da dai razvoj kovergira kada, reba da pokažemo da su člaovi og razvoja ograičei kada. Prema ome, pokazaćemo da je iz daih Gausovih slučajih promeljivih Z ograiče odozgo izom koji zavisi od paramera i o ako šo ćemo dokazai da je maksimala vredos iza Z ograičea, u ozaci: b j max j Z. k (Dau vredos b j posmaraćemo u opsegu za koji je j fiksirao, a paramear k se meja: k< j, jer u om opsegu fukcije () imaju jedake maksimume i e preklapaju se). Lema: Za proizvolju sadardu Gausovu slučaju promeljivu, u ozaci Z ~N(,1) i za proizvoljo x x e važi: P( Z x). x Dokaz: u S obzirom da je 1, x x imamo: x u u u e P( Z x) P( Z x) e du e du x x. Primeimo lemu a zadai iz Gausovih slučajih promeljivih Z i dobićemo izraz: x x e, za proizvoljo x. x P Z x x

32 . Brauovo kreaje Prema ome, imamo: 1.. P b x max { } { } j P Z x P Z x P Z x j k j j k k j P{ Z x } j x e (.5) x Jedakos 1. se oslaja a jedosava sav, koja vrdi da je maksimala vredos iza Z a ekom iervalu veća od x, ako je barem jeda vredos og iza veća od x. Jedakos. je posledica osobie subadiivosi verovaoće. Posledja ejedakos (.5) važi za proizvolju kosau x,prema ome važiće i za izabrau kosau x = j. Zameimo kosau u dau ejedakos i dobićemo: Sabirajem ovih ejedakosi za j 1,,..., dobijamo: j j e P bj j. j P b j j1 j1 j j e j j. S obzirom a o da red sa dese srae kovergira 18, primeom Borel-Kaelijeve leme dobijamo da je verovaoća da će se dogaďaj {b j > j} desii beskoačo mogo pua jedaka uli, j. mora da važi: P( ) 1 J( ) j J( ) b ( ) j. Kako je max( ( )) 1, 1, ada za j J ( ) imamo: J ( ) 1 J ( ) 1 J ( ) 1 1 Z ( ) Z ( ) b ( ) max J ( ) 1 j j j j J ( ) k j J ( ) k j J ( ) k j J ( ) k 1 j j. Kako posledeji čla eži uli kada J, dobili smo da za svako, razvoj X N (ω) kovergira uiformo po promeljivoj, prema graičoj vredosi X. Neprekidos rajekorija procesa {X (ω); 1},sledi iz uiformosi kovergecije i primeom leme o graičoj vredosi eprekidih fukcija [lema 8.1; priloga]. eorema.5 (Vejvle reprezeacija Brauovog kreaja / reprezeacija Brauovog kreaja pomoću alasića). Proces {X }, 1 koji se defiiše kao graiča vredos razvoja {X N }, N je sadardo Brauovo kreaje a iervalu [,1]. Dokaz 18 Kovergecija se dokazuje Dalamberovim krierijumom. 3

33 . Brauovo kreaje Prema lemi. proizvolja Gausov proces sa eprekidim rajekorijama, počeom vredošću X = i sa očekivajem i kovarijasom kao u jedačiama (.6) jese sadardo Brauovo kreaje. E(X )=, za svako < i Cov(X s,x ) = mi(s,), za sve s,<, (.6) U prehodoj lemi o graičoj vredosi eprekidih fukcija [lema 8.1; priloga] pokazali smo da razvoj X N uiformo kovergira prema procesu X i da su rajekorije og procesa eprekide u vremeu. Osalo am je još da pokažemo da je proces {X } Gausov proces, zaim da je X =, kao i da su jegovo očekivaje i kovarijasa dai uslovom (.6). ada će važii da je proces X Brauovo kreaje. Pokažimo prvo da je E(X )=. Za kovarijasu dobijamo: E( X ) E Z ( ) E Z ( ). Cov( X s, X ) E( X s X ) E Z ( s) m Zm m( ) m m E Z Z ( ) ( s) m m m Iz preposavke da su {Z } ezavise i da imaju Gausovu raspodelu Z i ~N(,1), sledi: ( ) ( ) E Z Z E Z E Z i m m EZ ( ) 1. Prema ome, primeom defiicije.4 o Šauderovim fukcija a prehodi izraz, dobijamo kovarijasu: Cov( X, X ) E Z Z ( s) ( ) ( s) ( ) s, m s H ( u) du H ( u) du (.7) mi( s, ). Posledji korak u ovom dokazu bio bi da pokažemo da za proizvolja koača iz vremeskih reuaka 1 < <...< m slučaja vekor (X 1, X,...,X m ) ima višedimezioalu Gausovu raspodelu, odakle, a osovu defiicije Gausovog procesa, sledi da je{x } zaisa Gausov proces. Da bismo o pokazali, jedosavo ćemo da izračuamo karakerisiču fukciju daog slučajog vekora (X 1, X,...,X ). Dakle, eka je X m-dimezioali slučaji vekor i eka je θ = (θ 1,θ,...,θ m ) reala vekor, ada karakerisiču fukciju vekora X račuamo prema formuli: m m X ( ) E[exp( i X )] E exp i j X E exp i j Z ( j ) j j 1 j 1 m m E exp i j Z ( j ) E exp i Z j ( j ). j 1 j 1 4

34 . Brauovo kreaje Kako su slučaje promeljive Z ezavise dobijamo: m X ( ) E[exp( i X )] E exp i Z j ( j ). j 1 Primeimo da posledji izraz podseća a formulu za karakerisiču fukciju jedodimezioale slučaje promeljive Ee is, gde bi u ašem slučaju slučajoj promeljivoj S odgovarala baš Gausova slučaja promeljiva Z. Prema ome, možemo da iskorisimo formulu za karakerisiču fukciju jedodimezioale Gausove slučaje promeljive koja glasi: Odakle dobijamo: Z i Z ( ) E e exp( i ), za, 1, m m 1 E exp i ( ) Z exp ( ). j j j j j1 j1 Prikažimo ope proizvod ekspoeaa kao sumu člaova u argumeu: m 1 m E exp i j ( j ) Z exp ( ) j ( j ) j 1. j 1 Napišimo kvadrai izraz u drugom obliku, a zaim primeimo Parsevalov ideie [(8.13); priloga] i dobijamo: ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m ( ) j j k k ( ) jk j k j 1 k 1 j 1 k 1 m m m m ( ) ( ) mi(, ). j k j k j k j k j 1 k 1 j 1 k 1 Prema ome, a kraju dobijamo izraz za karakerisiču fukciju slučajog vekora X : m m m 1 X ( ) E[exp( i X )] E exp i j X exp jk mi( j, k ) j j 1 j 1k 1. Na osovu oga vidimo da posledji izraz predsavlja karakerisiču fukciju višedimezioalog Gausovog slučajog vekora sa očekivajem ula i maricom kovarijase =mi( i, j ). ime smo pokazali da slučaja vekor X=(X 1, X,...,X m ) ima višedimezioalu Gausovu raspodelu, odakle je X Gausov proces, a a osovu osalih dokazaih osobia proces X je i Brauovo kreaje, videi referecu [18]. 5

35 . Brauovo kreaje.5 Kosrukcija Brauovog kreaja a proizvoljom iervalu Budući da je pokazao da sadardo Brauovo kreaje posoji a iervalu [,1], sada može da se kosruiše sadardo Brauovo kreaje i a iervalu od [, ). Posupak se sasoji u ome da se geeriše prebrojivo mogo (ezavisih) isečaka Brauovog kreaja a jediičom iervalu, a zaim da se izvrši spajaje, ali ako da se počea ačka rajekorije svakog ovog isečka poklapa sa krajjom ačkom prehode rajekorije, ref. [18]. Lema.4 (Kosrukcija Brauovog kreaja a iervalu [,]). Neka je ( k B ) () iz geerisaih Brauovih kreaja a jediičom iervalu, gde je k=,1,,... Brauovo kreaje B() a proizvoljom iervalu [,], defiiše se spajajem porebog broja Brauovh kreaja a jediičim iervalima a sledeći ači: (i) Ako je [,], važi: B( ) B ( ). (1) ( k) ( 1) (ii) Ako je 1 i [], ada B () defiišemo izrazom: B( ) B (1) B ( ). (.8) k 1 Npr. vredos Brauovog kreaja u reuku 3.5 predsavljamo a sledeći ači: (1) () (3) (4) B(3.5) B (1) B (1) B (1) B (.5). 6

36 3. Ioov iegrali raču U običom iegralom račuu, Rimaov iegral se kosruiše graičim posupkom koji podrazumeva da se prvo defiiše Rimaov iegral prose (sepease) fukcije 19, a zaim se defiicija proširuje a klasu složeijih, zv. Rima-iegrabilih fukcija. U daljem posupku se dae složee fukcije, zbog osobia prosora kojem pripadaju, proizvoljo precizo aproksimiraju prosim fukcijama. Cilj graičog posupka je da se Rimaov iegral fukcije f, koja pripada klasi Rima-iegrabilih fukcija, defiiše kao limes iegrala prosih fukcija, za koje je dokazao da posoje i da kovergiraju prema složeoj fukciji f. Aaloga posupak primejuje se a Rima-Siljesov iegral, koji je sledećeg oblika: f(s)dg(s), gde su f i g fukcije ograičee varijacije. Prema ome, Rima-Siljesov iegral se defiiše kao graiča vredos iegralih suma: f (s i )[g(s i ) g(s i-1 )], i=1,.., gde je:s 1 < s <..< s, proizvolja paricija iervala [,]. Koriseći eoremu sredje vredosi, kao i čijeicu da je fukcija g diferecijabila, može se pokazai sledeći ideie: f (s)dg(s)= f (s)g (s)ds. Zbog velike primee slučajih procesa u razim oblasima, kao i pojave modelovaja pojava slučajim procesima, pojavila se poreba za iegracijom po rajekorijama slučajih procesa, kao šo poreba za iegracijom po fukcijama ograičee varijacije već uveliko posoji. Navedei iegral slučajog procesa aziva se sohasički iegral, a odgovarajući iegrali raču aziva se sohasički iegrali raču. Prilikom iegracije slučajih procesa važo je odredii koje osobie reba da poseduju procesi po kojima se vrši iegracija (iegraori), a koje procesi koji se iegrale (podiegrali procesi), uz uslov da polazi iegral mora da posoji. Običo se prilikom sohasičke iegracije za iegraor korisi proizvolja marigalski proces, dok se u ajuopšeijem slučaju za iegraor korise semimarigalski procesi, ada je sohasički iegral oblika: f (, s) dx ( s). (3.1) Napomijemo da podiegrala fukcija može da bude, kako deermiisička fukcija koače varijacije j. fukcija oblika: f (ω,)= f (), ako može da bude i slučaji proces, j. fukcija oblika: f (ω,) =X. 19 Priseimo se da smo Rimaov iegral prose fukcije defiisali kao površiu ispod grafika podiegrale fukcije. 7

37 3. Ioov iegrali raču U ovom poglavlju želimo da dokažemo egziseciju i pokažemo kosrukciju sohasičkog iegrala, koji za iegraor korisi Brauovo kreaje i koji je sledećeg je oblika: f (, s) db( s), (3.) Sohasički iegral oblika (3.) aziva se Ioov iegral, a odgovarajući raču aziva se Ioov iegrali raču. Dalje u radu korisićemo samo Ioove iegrale. Sušiska razlika zbog koje Ioove iegrale e možemo da predsavimo pomoću Siljesovog iegrala je u ome šo rajekorije Brauovog kreaja e pripadaju klasi fukcija ograičee varijacije sa verovaoćom jeda, odoso rajekorije Brauovog kreaja su fukcije koje isu diferecijabile i u jedoj ački, ili drugačije rečeo igde diferecijabile fukcije. Prema ome, Ioov iegral mora izova da se defiiše i kosruiše. Najprirodiji ači je da se korisi isi graiči posupak kao prilikom kosrukcije Rimaovog i Siljesovog iegrala, s im šo će aalog prosoj fukciji, ovoga pua bii pros proces (ili slučaja sepeasa fukcija). Prilikom kosrukcije daog iegrala moramo vodii račua da Ioov iegral mora da zadrži i eke osove osobie iegrala (videi ref. [9]) a o su: (i) Ako je f (ω,) = c (c=cos), oda je: c db( s) c( B( ) B()) ; (ii) Adiivos: (iii) Liearos: a f (, s) db( s) f (, s) db( s) f (, s) db( s) ; (3.3) [ f (, s) g(, s)] db( s) f (, s) db( s) g(, s) db( s) ; a Sve ri avedee osobie (i)-(iii) ozačićemo brojem (3.3). 8

38 3. Ioov iegrali raču 3.1 Defiicija i kosrukcija Ioovog iegrala Uslovi egzisecije Ioovog iegrala Klase i L LOC Ioov iegral deermiisičke prose fukcije Ioov iegral prose slučaje fukcije Prošireje defiicije Ioovog iegrala Osobie Ioovog iegrala a klasi Uslovi egzisecije Ioovog iegrala Pojam apsrakog iegrala u ekom prosoru uvodi se u odosu a dau meru. Prema ome, važo je izdvojii klasu fukcija a koje se može primeii posupak iegracije i u klasu čie baš merljive fukcije. ako da se prvi uslov egzisecije iegrala odosi a osobiu merljivosi fukcija, dok se drugi uslov odosi a iegrabilos fukcija. Pod pojmom iegrabilih fukcija podrazumevamo merljive fukcije sa koačom L 1 ormom oblika [PrilogA]: S f dμ <+. S obzirom a o da posoji aalogija izmeďu posupka kosrukcije apsrakog iegrala a proizvoljom prosoru iegrabilih fukcija i kosrukcije Ioovog iegrala a prosoru slučajih fukcija, odoso slučajih procesa zaključujemo da kosrukcija Ioovog iegrala ima smisla, ukoliko je podiegrala fukcija f(ω,) merljiva fukcija a prosoru Ω[,] i ako ispujava uslov iegrabilosi (j. pripada prosoru iegrabilih fukcija). U radu avodimo kako se defiiše Ioov iegral deermiisičke prose fukcije, slučaje prose i slučaje složee fukcije. Kako je slučaj deermiisičke prose fukcije ajedosaviji, samim im su i uslovi koje moraju da ispue e fukcije elemeari, a o su merljivos i iegrabilos. Naproiv, kod slučajih fukcija (i prosih i složeih) ameću se dodaa ograičeja koje procesi moraju da ispujavaju, odoso javljaju se sroži vidovi merljivosi, u koje spadaju adapiraos i progresiva merljivos procesa. Ako je podiegrala fukcija slučaji proces, oda daa fukcija mora da zadovoljava i osobiu adapiraosi. MeĎuim, da bi sohasički iegral posedovao još eke dodae željee osobie uvodi se jači uslov od adapiraosi procesa, a o je: uslov progresive merljivosi. Na primer, prehodi uslov adapiraosi procesa X ije dovolja da bi očekivaje i iegral mogli da mejaju mesa (Fubiijeva eorema), ali uslov progresive merljivosi am o obezbeďuje, videi ref. [9]. Progresiva merljivos podiegrale fukcije obezbeďuje, izmeďu osalog i osobiu adapiraosi Ioovog iegrala, pogledai ref. [1] i [15]. Napomea Geeralo govoreći kosrukcija sohasičkog iegrala posupkom aproksimacije prosim fukcijama mogla bi da se izvede i samo za merljive procese, jer je skup prosih procesa gus u skupu merljivih fukcija. MeĎuim, ada e bi bio ispuje uslov da je sohasički iegral marigalski proces, odoso da je Ioov iegral. Pojam merljivosi fukcije e zavisi od dae mere a polazom prosoru, već od izbora σ-polja a om prosoru. 9

39 3. Ioov iegrali raču 3.1. Klase [,] i L LOC[,] U prvom koraku razvoja i defiisaja Ioovog iegrala korisićemo samo podiegrale fukcije koje pripadaju klasi merljivih, iegrabilih i adapiraih slučajih procesa, koje opisujemo sledećom defiicijom, referece [15] i [18]. Defiicija 3.1 (Klasa procesa [,]). Prosor = [,] je skup svih slučajih procesa f (ω,), [,], koji su progresivo merljivi (merljivi), adapirai u odosu a filraciju{ } i za koje važi uslov iegrabilosi: (, ) E f d. (3.3a) Napomea Vekorski prosor iegrabilih slučajih procesa L (Ω [,],P ) je adskup podprosora, j. važi: L (Ω [,],P ). Može se pokazai da je zavore lieari podprosor skupa L (Ω [,],P ). Klasa merljivih, adapiraih i iegrabilih procesa je edovolja da bi obuhvaila sve fukcije od ieresa, jer se dešava da eke uobičajee eprekide fukcije e ispujavaju sroge uslove iegrabilosi, pa samim im e pripadaju klasi. Zao se uvodi slabiji uslov od uslova iegrabilosi, koji azivamo uslovom lokalizacije. Na klasi procesa za koje važi uslov lokalizacije, moguće je defiisai Ioov iegral a široj klasi podiegralih fukcija ego šo je klasa. MeĎuim, ime smo oslabil iuslov iegrabilosi,zbog čega se dešava da Ioov iegral, defiisa a klasi procesa sa uslovom lokalizacije, poseduje samo ajosovije osobie iegrala, dok se druge korise osobie Ioovog iegrala gube. Prema ome, oslabljejem uslova iegrabilosi gubimo korise osobie Ioovog iegrala kao šo su Ioova izomerija, marigalske osobie Ioovog procesa, id, videi ref [18]. Defiicija 3. (Klasa procesa sa uslovom lokalizacijel LOC[,]). Klasa L LOC [,] je skup svih adapiraih i merljivih fukcija oblika f(ω,): Ω[,] R, koje zadovoljavaju uslov lokalizacije:. (3.4) P( f (, ) d ) 1 Napomea Primeimo da važi: L LOC[,]. Prema ome, ako je g reala i eprekida fukcija, ada sve fukcije: f(ω,)=g(b ) pripadaju prosoru L LOC[,] Ioov iegral deermiisičke prose fukcije Kosrukciju Ioovog iegrala počećemo od ajedosavijeg slučaja, a o je kada za podiegralu fukciju izaberemo deermiisičku prosu fukciju iz prosora L [,], koja predsavlja fukciju po promeljivoj i e zavisi Brauovog kreaja: f (ω,) = f (). Možemo da je zovemo i e slučajim, odoso deermiisičkim prosim procesom. Lako se pokazuje da je Ioov iegral deermiisičke fukcije iz prosora L [,] marigalski proces, pogledai ref. [9], [18]. Defiicija 3.3 (Deermiisička prosa fukcija). Fukcijuf() azivamo prosom deermiisičkom fukcijom, ako posoji srogo rasući iz realih brojeva = < 1 <...< = proizvolje kosae c i, akve da fukcija može da se predsavi u vidu koače sume oblika: 1 f ( ) c 1 ( ). (3.5) i (, 1] i i i 3

40 3. Ioov iegrali raču Defiicija 3.4 (Ioov iegral deermiisičke prose fukcije).imajući u vidu osove osobie iegrala (3.3) defiiše se Ioov iegral prose deermiisičke fukcije prema formuli: 1 I f ( ) db c ( B B ) (3.6) i i1 i Zbog osobie da se proizvolja fukcija merljivog prosora može aproksimirai prosom fukcijom, sledi da se Ioov iegral proizvolje (složee) deermiisičke fukcije može izračuai kao graiča vredos Ioovih iegrala iza prosih deermiisičkih fukcija, kojima smo aproksimirali polazu fukciju. Zamea mesa iegrala i limesa sledi a osovu eoreme o mooooj kovergeciji, zv. MK eorema. Napomea Kako Ioov iegral prose deermiisičke fukcije predsavlja liearu kombiaciju Brauovih ikremeaa za koje zamo da imaju Gausovu raspodelu i da su meďusobo ezavisi, sledi da je Ioov iegral prose deermiisičke fukcije Gausova slučaja promeljiva sa očekivajem ula. Pri račuaju varijase daog iegrala korisimo osobiu ezavisosi Brauovih ikremeaa i dobijamo: i 1 i i i1 i Var( f ( ) db ) c ( ). Drugim rečima, Ioov iegral prose deermiisičke fukcije (3.6) može da se predsavi u vidu Gausove slučaje promeljive, oblika: I~ N(,σ) Ioov iegral prose slučaje fukcije Prvo ćemo defiisai Ioov iegral a klasi prosih slučajih procesa 1, koji zadovoljavaju osobie adapiraosi,merljivosi i iegrabilosi, ref. [9].Klasu procesa sa avedeim osobiama ozačićemo sa, pri čemu važi. Dalje u eksu, podrazumevaćemo da se osobia adapiraosi procesa uvek posmara u odosu a sadardu filraciju Brauovog kreaja { B }. Defiicija 3.5 (Pros slučaji proces). Proizvolja proces {X }, [,] azivamo prosim adapiraim slučajim procesom, ako posoji srogo rasući iz vremeskih reuaka = < 1 <...< = i proizvolje slučaje promeljive a i, sa osobiama a i i i E(a i )<, akve da važi: 1 X f (, ) a ( ) 1 ( ). (3.7) i i i 1 i Defiicija 3.6 (Ioov iegral prosog slučajog procesa). Ioov iegral prosog adapiraog slučajog procesa defiiše se prema formuli: 1 I ( f )( ) a ( ) { } i B B. (3.8) i Napomea U slučaju kada je podiegrala fukcija slučaja proces, slučaja promeljiva koja se dobija kao rešeje Ioovog iegrala e mora da ima Gausovu raspodelu,kao šo je o bilo u slučaju deermiisičkog prosog procesa. i 1 i 1 Pros slučaja proces ima oblik sepease fukcije. 31

41 3. Ioov iegrali raču Prošireje defiicije Ioovog iegrala sa skupa prosih a skup složeih slučajih procesa ( ) Sledeći korak u defiiciji Ioovog iegrala sasoji se u ome da se proširi dome operaora I(f) sa skupa a skup, a za o je eophodo pokazai da je Ioov operaor eprekida, ref. [18]. Pošo je lieara operaor I eprekida ako i samo ako je ograiče, rebalo bi da pokažemo da važi sledeća ejedakos za Ioov operaor: I( f ) M f. (3.9) Navedea ejedakos je posledica arede eoreme. eorema 3.1 (Ioova izomerija a skupu ). Ako je f, ada važi: I f. (3.1) ( ) f L (,, P) L ( [, ], P ) Dokaz Ako posoji bilo koje M<+ za koje je ispujea ejedakos (3.9), sledi da je operaor eprekida. Ioova izomerija se svodi a podslučaj kada je kosaa M=1, odakle se dobija da je I ograiče i eprekida. Zao, pokažimo gorju jedakos ormi. Na osovu defiicija 8.1 i 8.13 iz priloga A, dobijamo orme fukcije f u prosorima iegrabilih slučajih procesa L (Ω[,],P ) i iegrabilih slučajih promeljivih L (Ω,,P): Neka je daa fukcija f (ω,), oblika: ada je: 1 f (, ) a i ( ) ( i 1 i 1 ) i 1 ( (, ) ) L ( [, ], P ) f E f d i 1 I( f ) (,, ) ( ( )) L P E I f. 1 i 1 i i 1. i f (, ) a ( ) ( ) 1 ai ( ) ( i i1 ) ai ( ) a j ( ) ( i i 1 ) ( j j 1 ). i i j 1 Na osovu sledećih čijeica: 1( ) 1 ( ) i i1 i i1 dobijamo koača izraz za kvadra dae fukcije: 1( ) 1 ( ), i j, i i1 j j1 1 i i i1 i f (, ) a ( ) 1 ( ). 3

42 3. Ioov iegrali raču Dalje, račuamo ormu prema formuli: 1 f E f (, ) d E a ( ) ( ( [, ], ) i i i 1) d L P 1 i 1 E ai ( ) 1( i i 1) d i 1 i dobijamo: f ( ) ( ( [, ], ) i i 1 i ) L P E a. Da bismo izračuali ormu u prosoru L (Ω,,P), reba da izračuamo prvo veličiu I (f ). i 1 I ( f ) E[ I ( f )] E ( ) { } L ( d P) ai B B i 1 i i 1 E ai ( B B ) ( ) ( ) ( ) ( ) i 1 a i i a j B B i 1 B i B j 1 j i i j 1 1 E a B B E a a B B B B i i j 1 1 i i ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i i i j i 1 i j 1 j E a ( B B ). i i 1 i Na osovu ezavisosi Brauovih ikremeaa: (B i+1 B i) i (B j+1 B j) i ezavisosi koeficijea a i (ω) od (B i+1 B i) i zbog E(B i+1 B i) =, zaključujemo da je suma očekivaja uakrsih proizvoda jedaka uli. Daljim sreďivajem posledjeg izraza dobijamo: E( X Y ) E( X ) E( Y ) 1 1 E( ai ( B ) ) ( ) 1 i i B i i E a E B i B i1 i Iz izraza za varijasu ikremeaa: X i Y ezavise E B B E B B B B, dobija se izraz za ormu L (Ω,,P): ( ) ( ) i 1 i i 1 i 1 i i i1 i i i1 i L (,, P) 1 i i i1 i I ( f ) E ( a ) ( ). Na osovu čega, zaključujemo da su orme u različiim prosorima jedake, j. da važi M=1. Napomea Iz eoreme o Ioovoj izomeriji zaključili smo da je Ioov iegral I( f) lieara i eprekida operaor, koji preslikava prosor u prosor L (Ω,,P). Prilikom og preslikavaja Ioov iegral čuva rasojaje izmeďu elemeaa, šo zači da Košijev iz iz preslikava u Košijev iz u prosoru L (Ω,,P). Ovaj zaključak će bii od pomoći prilikom prošireja domea Ioovog operaora, kada pokažemo da elemei klase mogu da se aproksimiraju elemeima iz klase. ; 33

43 3. Ioov iegrali raču Lema 3.1 (Skup je svuda gus skup u prosoru ). Za proizvolji proces f (ω,) posoji iz prosih procesa oblika {f }, f, akav da važi: lim f f. (3.11) L ( [, ], P ) Lema 3.1 može drugačije da se proumači: Za proizvolji proces f (ω,) iz skupa posoji iz prosih procesa {f } iz, koji kovergira ka fukciji f (ω,) u ormi L (Ω[,],P ). Prema ome, a osovu leme 3.1 zaključujemo da se proizvolja eleme f može prikazai kao graiča vredos iza {f } iz skupa. Na osovu čega sledi da je iz {f } kovergea iz u kompleom prosoru L (Ω[,],P ), pa je ujedo i košijev iz u om prosoru. Uz dodau čijeicu da Ioov operaor čuva rasojaje izmeďu elemeaa, zaključujemo da je preslikai iz {I(f )}, u svari, Košijev iz u prosoru L (Ω,,P). S obzirom a o da je L (Ω,,P) komplea merički prosor, oda svaki Košijev iz iz og prosora kovergira, odakle sledi da i Košijev iz{i(f )}kovergira ka ekom eodreďeom elemeu iz og prosora i jega ćemo ozačii sa I(f), [18]. Drugačije se kaže i da košijev iz {I(f )} kovergira ka elemeu I(f) u ormi L (Ω,,P)),j. važi sledeći ideie: lim I( f ) I( f ), (3.1) L (,, P) I( f ) lim I( f ) Prema ome, Ioov iegral procesa iz skupa je koreko defiisa. Napomea Svi prehodo avedei pojmovi koji se iču kompleosi prosora (kao šo su defiicija gusog skupa, Košijevog iza, id.) dealjo su izložei i objašjei u prilogu A, odeljak 8.6. Napomea Primeom Markovljeve ejedakosi a izraz (3.1) sledi da iz {I(f )} kovergira ka I(f ) u verovaoći. Prilikom aproksimacije elemeaa f elemeima{f },prirodo je posavii sledeća piaja: Ša se dešava ukoliko odaberemo eki drugi iz f, f f, koji kovergira ka fukciji f? Da li će u om slučaju Ioovi iegrali bii jedaki? Da bismo pokazali da je Ioov iegral I(f) dosledo defiisa, moramo da pokažemo da izovi I(f ) i I(f ) imaju isu graiču vredos u prosoru L (Ω,,P) i da je a graiča vredos jedaka baš I(f). eorema 3. (Jedisveos). Neka su {f }i{f }dva različia iza iz, j. f, f, akvi da važe izrazi: ' f f L ( [, ], P ), L P ( [, ], ) f f, kada. (3.1a) ada, Ioovi iegrali daih izova, koji su oblika:i(f ) i I(f ) imaju isu graiču vredos u prosoru L (Ω,,P). Dokaz Ozačićemo graiče vredosi izova I(f ) i I(f ) sledećim ozakama: I (f) i I(f ).reba da se dokaže u eoremi da su oe jedake, odoso da važi sledeći ideie: I ( f ) I ( f ). L (,, P) Iz čijeice da je Ioov iegral I koreko defiisa za prose procese f, sledi da su za svako elemei I(f ) koreko defiisai elemei prosora L (Ω,,P). 34

44 3. Ioov iegrali raču Zao, primeimo ejedakos rougla a formulu izad i dobijamo sledeću ejedakos: ' L (,, P) L (,, P) L (,, P) I( f ) I( f ) I( f ) I( f ) I( f ) I( f ) ' I( f ) I( f ) L (,, P) (3.13) Iz izraza (3.1a), koji su dai kao preposavke polaze eoreme, zaključujemo da su dai izovi {f }i{f } kovergei. Dalje, ako primeimo formulu (3.1) a dae izove {f } i {f }, dobijamo da prvi i reći čla gorje ejedakosi eže uli.osaje am još da odredimo drugi čla e ejedakosi. Zao primeimo ejedakos rougla a izraz ' f f ' i dobijamo izraz: ' L ( [, ], P ) L ( [, ], P ) L ( [, ], P ) f f f f f f. Na osovu (3.1a) iz gorjeg izraza dobijamo: ' f f,. (3.14) L ( [, ], P ) Iz čijeice da izovi f, f pripadaju prosoru, sledi da i jihova razlika pripada om prosoru, odoso važi f f, odakle sledi da a u razliku možemo da primeimo eoremu o Ioovoj izomeriji, odakle dobijamo: ' ' I f f f f. L (,, P) Dalje, a osovu liearosi Ioovog iegrala i izraza (3.14) sledi: ' I( f ) I( f ). L (,, P) L ( [, ], P ) Odakle dobijamo: I ( f ) I ( f ). L (,, P) Napomea ime šo smo Ioov iegral defiisali kao graiču vredos kovergeg iza uspeli smo da dokažemo samo egziseciju Ioovog iegrala, odoso da pokažemo da Ioov iegral posoji kao eleme prosora L, j. da posoji kao slučaja promeljiva koja pripada om prosoru, ali e i da aj eleme kokreo odredimo.na osovu dobijeog izraza: I( f ) I( f ), L (,, P) možemo da zaključimo da orma razlike slučajih promeljivih eži uli u verovaoći. Posledica oga je da je razlika slučajih promeljivih jedaka uli a svim skupovima P-mere jeda (dok a skupovima P-mere ula razlika može da bude bilo ša, jer am skupovi P-mere ula isu bii). Zači da Ioov iegral može da uzima vredosi različiih slučajih veličia koje se razlikuju samo a skupovima P-mere ula i da L (Ω,,P)-orma razlike i dalje zadrži vredos ula. Odavde sledi da Ioov iegral ije jedozačo odreďe a skupovima mere ula, ref. [18]. Pošo je pokazao da je Ioov iegral defiisa i a skupu, sledi da se avedea erorema 3.1 o Ioovoj izomeriji a skupu, može proširii i a skup i ako dobijamo sledeću eoremu: eorema 3.3 (Ioova izomerija a skupu ). Ako je f, ada važi: Ovu eoremu avodimo bez dokaza. I f ( ) f L (,, P) L ( [, ], P ). 35

45 3. Ioov iegrali raču Osobie Ioovog iegrala a klasi eorema 3.4 (Osobie Ioovog iegrala za procese iz klase ). Neka je X = f (ω,) progresivo merljiv proces 3, akav da je ispuje uslov lokalizacije (3.4). ada, je Ioov iegral daog procesa defiisa i poseduje sledeće osobie: (i) Liearos. Ako su Ioovi iegrali procesa f (ω,) i g(ω,) defiisai i ako su α i β proizvolje kosae, ada važi: [ f (, ) g(, )] db( ) f (, ) db( ) g(, ) db( ). (ii) Ioov iegral idikaorske fukcije a iervalu (a,b]. (iii) Očekivaje Ioovog iegrala. (iv) Ioova izomerija. b 1 ( ) db B B, 1 ( ) f (, ) db f (, ) db. 4 ( a, b] b a ( a, b] a E( f (, ) db ).. E( f (, ) db ) E( f (, )) d Osobie (i) i (ii) važe uvek, dok aproiv, osobie (iii) i (iv) važe samo u slučaju kada podiegrali proces ispujava uslov iegrabilosi (3.3a), pogledai referece [9] i [1]. 3 Napomeuli smo već da progesiva merljivos podrazumeva merljivos i adapiraos procesa. 4 1 (a,b] ()- je idikaorska fukcija iervala (a,b]. 36

46 3. Ioov iegrali raču 3. Ioov iegral kao proces Napomeuli smo, da za fiksirao vreme, Ioov iegral I(f)(ω) a iervalu [,] predsavlja slučaju promeljivu iz prosora L (Ω,,P). Prema ome, Ioov iegral posmara u proizvoljom vremeskom periodu može da se ierpreira kao proces, uz uslov da je defiisa u svakom reuku og vremeskog perioda. Neformala kosrukcija diskreog slučajog procesa I bi podrazumevala spajaje svih vredosi Ioovog iegrala, koje su račuae u svakom vremeskom reuku. S obzirom a o da je Ioov operaor, koji smo do sada opisivali, preslikavao proces u slučaju promeljivu, rebalo bi defiisai ovo preslikavaje I koje će preslikavai proces u proces. Pogledai referece [9], [18]. Za počeak defiišimo fukciju odsecaja oblika: 1, s[, ] m (, s) 1{ s }, u suproom. Za avedeu fukciju odsecaja m važi da je eleme prosora m [,]. Neka je f proizvolja fukcija iz skupa [,], ada za svako [,] važi da je fukcija f = m f, akoďe iz og skupa [,]. Na osovu oga, sledi da je Ioov iegral e fukcije I( f ) = I(m f) pravilo defiisa eleme prosora L (Ω,,P). Prema ome, Ioov iegral se defiiše kao proces a sledeći ači: d e f I ( f )( ) f (, s) db f (, s) db I( m f )( ). s s Napomea Prema ref. [18] posupak kosrukcije Ioovog iegrala kao procesa je koreka, ali uz ekoliko dodaih prepravki. Problem je isi kao i kod Ioovog iegrala, jer je u svakom fiksiraom reuku, proces I defiisa samo kao eleme prosora L (Ω,,P), j. kao slučaja promeljiva, koja ije jedozačo odreďea a skupovima P-mere ula. Drugim rečima, defiicija procesa je eodreďea a klasi NULL skupova. Kada bi posmarali diskrea proces, eodreďeos defiicije e bi predsavljala problem, jer verovaoća uije prebrojivo mogo skupova P-mere ula osaje skup P-mere ula, odoso povremee i prebrojive eodreďeosi e mogu da uiču a puaju čiavog procesa. Nažalos, pošo je ideksi skup [,] Ioovog procesa eprebrojiv skup, može da se dogodi da uija eprebrojivo mogo skupova P-mere ula obuhvai čak ceo skup ishoda Ω. Dakle, ukoliko a ovaj ači kosruišemo proces I od iegrala I( f ), može da se dogodi da kosruisai proces bude eodreďe za svako ω Ω, odoso može da se dogodi da kao verziju Ioovog procesa dobijemo proces koji uopše e posoji (j. ema puaju), jer svaka rajekorija og procesa pripada skupu P-mere ula. Ovaj problem se rešava ako šo se od svih mogućih modifikacija (verzija) procesa I izabere eprekida marigalska modifikacija (verzija) procesa I. eorema 3.5 (Marigalska osobia Ioovog iegrala). Za proizvolju fukciju f, posoji proces {I }, [,], koji je eprekidi marigal u odosu a sadardu Brauovu filraciju, akav da dogaďaj oblika: { : X ( ) I( m f )( )} ima verovaoću jeda za svako [,]. 37

47 3. Ioov iegrali raču 3.3 Ioova formula Objašjeje Ioove formule Defiicija Ioovog procesa Kvadraa varijacija i kovarijacija Ioovog procesa Formula za sohasičku parcijalu iegraciju Geerala Ioova formula Ioova formula za fukcije više procesa Objašjeje Ioove formule U običom iegralom račuu reko kada se direko primejuje defiicija iegrala prilikom jegovog izračuavaja. Najčešće se korisi Nju-Lajbicova formula, šo je mogo efikasiji posupak za račuaje iegrala. Shodo ome i u sohasičkom iegralom račuu se reko primejuje defiicija Ioovog iegrala I. Budući da Nju-Lajbicova eorema običog iegralog račua e važi u sohasičkom iegralom račuu, za izračuavaje sohasičkih iegrala korise se drugi maemaički aparai. Najčešće se u praksi se za izračuavaje sohasičkih iegrala korisi Ioova formula 5. Najedosavija verzija Ioove formule glasi: eorema 3.6 (Ioova formula za Brauovo kreaje). Neka je proces B Brauovo kreaje a iervalu [,] i eka je f : R R eprekida i dva pua diferecijabila fukcija a skupu R, ada za svako važi: 1 f ( B ) f () f ( B ) db f ( B ) ds s s s. (3.15) Dokaz Počimo ako šo ćemo podelii ierval [,] a ekvidisaih ačaka: i =i /, i, i = i i 1, a poom ćemo razliku fukcije f a krajevima iervala razvii u sumu, kao u refereci [18]: f ( B ) () { ( ) ( )} f f B f B i i. (3.16) 1 ejlorova eorema: Ako fukcija f ima eprekida drugi izvod, ada za svako realo x i y važi: i 1 1 f ( y) f ( x) ( y x) f ( x) ( y x) f ( x) r( x, y), y gde se osaak r račua formulom: r( x, y) ( y u)( f ( u) f ( x)) du. (3.16a) Osaak uejlorovoj eoremi može da se prikaže i drugačije: 1 y f() c 3 r1 ( x, y) ( y u) f ( u) du ili r ( x, y) ( y x).! x 3! x Primeićemo zaim ejlorovu aproksimaciju sa osakom a dau razliku f (B i) f (B i-1), ali pre ego šo o uradimo prodiskuovaćemo osaak r iz ejlorove formule. Dakle, prema posavci polaze eoreme imamo da je f eprekida fukcija i uz dodau preposavku da je defiisaa a kompakom skupu (iervalu) dobija se da je f uiformo eprekida fukcija. Na osovu avedeih preposavki, iz formule za osaak r iz ejlorove formule izvodi se sledeća ejedakos ejedakos: r(x,y) (y x) h(x,y), gde je h uiformo eprekida i 5 Ioova formula se a egleskom česo korisi i pod azivima: chage of variable formula ili chai rule. 38

48 3. Ioov iegrali raču ograičea fukcija i za svako x važi jedakos: h(x,x)=. Dalje, primeimo ejlorovu eoremu a razliku iz jedačie (3.16), odoso a razliku: f (B i) f (B i-1) i dobijamo: 1 f ( B ) f ( B ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) i f B i 1 B i 1 B i f B i 1 B i 1 B i r B i 1 B i. i 1 Novodobijei izraz vraimo azad u isu jedačiu (3.16), a zaim je predsavimo kao zbir ri člaa, koja ćemo redom obeležii ozakama A, B, C. Prema ome, iz izraza (3.16) dobijamo: 1 f ( B ) f () f ( B ) ( B B ) f ( B ) B B r ( B, B ) ( ) i 1 i i 1 i 1 i i 1 i i 1 i 1 i 1 i 1. (3.17) 1. A. B 3. C Sređivaje člaa A : Budući da je fukcija f eprekida, kada pusimo da dobijamo da prvi čla A predsavlja Ioov iegral: A p f( B ) db. s s Sređivaje člaa B : Drugi čla B liči a kvadrau varijaciju Brauovog kreaja. Prema ome, možemo iuiivo da preposavimo oblik og člaa, a zaim i da ga dokažemo: 1 1 B f ( B ) ( B ) ( ) ( ) i B i f B i i i i i 1 i 1. Dakle, reba da pokažemo da razlika izraza sa leve i izraza sa dese srae eži uli, pri čemu ćemo dau razliku ozačii sa B.ada dobijamo: 1 1 B f ( B ) ( B ) ( ) ( ) i B i f B i i i i i 1 i 1 1 f ( B ) {( B ) ( 1 1 1)}. i B i i i i i 1 Kako je EB ( ), sledi da se za varijasu člaa B dobija izraz: 1 i1 i i1 i i1 4 i 1 Var( B) E( B ) E f ( B ) { ( B B ) ( ) } i 1 j1 i 1 ( E f B i 1 ) f ( B j 1 ) ( B B i i 1 ) ( i i 1 ) ( B B j j 1 ) 4 i j j 1 j 1 ( ). j 39

49 3. Ioov iegrali raču S obzirom a o da je B j B j-1 ezaviso od σ polja j-1 sledi: 1 i1 i i1 i i1 4 i 1 E( B ) E f ( B ) { ( B B ) ( ) } i j 1 E f ( B ) f ( B ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1). i B j B i i i i E B B j j j j Dakle, zaključujemo da usled orogoalosi svojih sabiraka sledi da je suma očekivaja uakrsih proizvoda jedaka uli. Kako je (B i B i-1) ezaviso od B i-1 za varijasu B dobijamo sledeći izraz: i1 i i1 i i1 1 4 i 1. (3.18) E( B ) E f ( B ) E ( B B ) ( ) Nasavimo sa sreďivajem izraza (3.18), ako šo ćemo prvo odredii čla: E( B B ) ( 1 1) i i i i E( B B ) ( 1 1) i i i i 4 E( B B ) ( ) ( 1 1 1) ( 1) i B i B i i i i i i Proverimo da li je varijasa B ograičea? : 4 i i1 i i1 i i1 i i1 E( B B ) ( ) E( B B ) ( ) E( B B ) ; i i 1 Var( B B ) ( ) ; i E B i 1 B i i 1 i 4 E( B B ) 3 ; i i 1 i 3i i i. Pošo fukcija f,( f ) u izrazu (3.18) uzima raze vredosi a svom iervalu defiisaosi K, aći ćemo je supremum: Sup f ( x). xk Zaim, iz jedakosi Sup f ( x) xk f, dobija se koača izraz za varijasu: 1 4 i 1 E( B ) f f. Kada pusimo da, iz posledeg izraza dobija se da očekivaje i da varijasa eže uli, odoso: EB ( ), Var( B ) E( B ). Odakle, primeom Čebiševljeve ejedakosi dobijamo da koeficije p B eži uli u verovaoći: B. 4

50 3. Ioov iegrali raču Sređivaje člaa C : Osala je još da se uradi procea osaka u izrazu (3.17), j. da se pokaže da reći čla C eži uli: C r ( B, B ) i i. 1 i 1 Već je rečeo, da se za eprekidu fukciju f defiisau a kompakom skupu, osaak u ejlorovoj formuli dobija iz izraza: r(x,y) (y x) h(x,y), odakle se dobija da je reći čla C sledećeg oblika: C ( B B ) (, ) i h B i 1 B i1. i i 1 Izračuajmo očekivaje gorjeg izraza i primeimo Košijevu ejedakos a izraz sa dese srae: i ( ) (, ) i i1 i1 i p E C E B B E h B B. (3.19) Prvi fakor se jedosavo izračuava: E( B B ) 3. (3.) i i 1 4 Ako iskorisimo čijeicu da je fukcija h uiformo eprekida i da je h(x,x)= za svako x, možemo da proceimo i drugi fakor u jedačii (3.19). Kako je h fukcija dve promeljive, oda će za sve ureďee parove važii ejedakos (3.a), a ako važi za sve ureďee parove (a 1,a ), oda mora da važi i za sve ureďee parove oblika (a 1,a 1 ). Prema ome imamo: ( )( ( ))( ( x, y),( a, a ) R ) ( x, y) ( a, a ) h( x, y) h( a, a ). (3.a) Na osovu daog izraza možemo da apravimo proceu fukcije h (B i-1, B i ), kao i jeog očekivaja. Prema ome, očekivaje fukcije h (B i-1, B i ) rasavićemo a zbir vredosi dae fukcije kada je razlika y x < δ i kada je razlika x y δ, odakle dobijamo: E h ( B, B ) P( B B ) P( B B ) i 1 i i h i 1 i i 1 h E( B B ) i i 1 (3.1) h. Kada primeimo rezulae iz izraza (3.) i (3.1) u ejedakos (3.19), dobijamo gorje ograičeje za E C : h E C 3 lim sup E C 3. Na osovu defiicije uiforme eprekidosi sledi da je gorji izraz ača za svaku poziivu vredos, a o zači da će i za proizvoljo malu vredos posojai vredos (), počev od koje će gorja ejedakos bii ispujea, odakle sledi da E( C ), kada. Ako još jedapu primeimo Markovljevu ejedakos dobijamo C, šo je i rebalo dokazai. p 6 6 U drugom člau sa dese sraje ejedakosi izabrali smo supremum fukcije h (B i-1, B i) kao jeo gorje ograičeje,a zaim smo iskorisili Markovljevu ejedakos da u daom izrazu zameimo verovaoću sa očekivajem. 41

51 3. Ioov iegrali raču Napomea Dokazali smo da Ioova formula važi za sve C fukcije defiisae a kompakom skupu. Ako fukcije sa om osobiom obeležimo ozakom f M C, dobijamo Ioovu formulu u sledećem obliku, koja važi samo za fuckije sa evedeom osobiom: Ioova formula a skupu f C (R): 1 f ( B ) f () f ( B ) db f ( B ) ds M M M s s M s. (3.) Na osovu [18], da bi pokazali da Ioova formula važi u opšijem slučaju, moramo da pokažemo da važi za sve fukcije iz skupa C (R). Drugim rečima, moramo ekako da predsavimo fukcije iz skupa C (R) pomoću fukcija sa kompakim osačem f M, šo ćemo učiii pomoću arede leme: Lema: Za svaku fukciju f C (R), posoji fukcija sa kompakim osačem f M C, akva da važi: f(x)=f M (x), za svako x M. Dalje, ako primeimo avedeu Lemu a eprekide fukcije oblika f(b ) C (R), sledi da posoji kompaka fukcija f M C, akva da važi: f(b )=f M (B ), za svako B M. Zaim, defiišemo slučaju promeljivu koja predsavlja prvi vremeski reuak kada rajekorija Brauovog kreaja preďe vredos M, odoso defiišemo slučaju promeljivu koje je oblika: τ M = mi{ : B M} 7.ada za svako ω { τ M }važe sledeće jedakosi: f (B )=f M (B ), f (B )=f M (B ). Na osovu eoreme o posojaosi Ioovog iegrala u skupu L LOC (zv. Persisece of ideiy heorem) sledi da će za svako ω { τ M} važii sledeći ideiei: f ( B ) ( ) s dbs f M Bs dbs, f ( B ) ds f ( B ) ds. s M s Kada primeimo gorje ideiee u Ioovoj jedačii (3.) dobijamo da za svako ω { τ M}, važi jedakos: 1 f ( B ) f () f( B ) db f ( B ) ds s s s. (3.3) S obzirom da je P(τ M )=1 sledi da je jedačia (3.3) isprava sa verovaoćom jeda. Prema ome, dokaz Ioove formule je komplea i završe. Primer 3.1. Rešii Ioov igral B db? Rešeje s s Posoji više ačia da se reši dai sohasički iegral. Prvi je malo složeiji, jer podrazumeva direku primeu defiicije Ioovog iegrala. Shodo ome, rebalo bi poovii isi posupak koji je korišće u defiiciji Ioovog iegrala, odoso rebalo bi izvršii aproksimaciju podiegrale fukcije prosim slučajim procesima, defiisaim a koačim vremeskim iervalima. Nako sreďivaja formule za Ioov iergal daih prosih procesa dobijamo izraz koji će ežii ražeom iegralu kada broj paricija eži beskoačosi. Drugi ači rešavaja polazog sohasičkog iegrala je mogo jedosaviji i korisi Ioovu formulu (eorema 3.6). Posmarajmo deermiisičku kvadrau fukciju i jee izvode: f (x)=x, f (x)=x, f (x)=. Zaim, primeimo Ioovu formulu a kvadrau fukciju sledećeg oblika f (B ) = B i dobićemo: 1 f ( B ) f () f( B ) db f( B ) ds s s s 7 Primeimo da je slučaja promeljiva τ M vreme zausavljaja. 4

52 3. Ioov iegrali raču s s s s B B db ds B db B. Posoji i reći ači za rešavaje avedeog sohasičkog iegrala, koji korisi pravilo za sohasičku parcijalu iegraciju, o kojem će bii reči u poglavlju za parcijalu iegraciju. eorema 3.7 (Ioova formula za fukciju vremeske i prosore promeljive).za proizvolju fukciju f iz skupa f C 1, (R + R) važi sledeća jedačia: f f 1 f f (, B ) f (,) ( s, B ) db ( s, B ) ds ( s, B ) ds. s s s s x x Napomea Ako je f proizvolja fukcija za koju važi f C 1, (R + R),ada a osovu eoreme 3.7 zaključujemo da proizvolja proces X oblika:x =f (,B ), može uvek da se predsavi a sledeći ači: f f 1 f (, s ) s (, s ) (, ) s x (3.4) x X X s B db s B ds s B ds Ovakav zapis procesax aziva se sohasički iegrali zapis.posoji i skraćei zapis ove formule,zv. sohasički diferecijali zapis Ioove formule,koji se zbog svoje jedosavosi mogo češće korisi u lierauri od iegralog zapisa. Pri ome, apomijemo da sohasički diferecijal fukcije ismo defiisali, ako da reba vodii račua o ome da iza ovakvog zapisa uvek soji iegrala jedačia. Diferecijali oblik Ioove formule glasi: f f 1 f dx (, B ) db (, B ) d (, B ) d. (3.5) x x Ioova eorema običo se korisi za alažeje diferecijala fukcije ekog procesa i oa je aalog izvodu složee fukcije u običom iegralom račuu(chai rule). Kao i Nju-Lajbicova formula u običom ieralom račuu, Ioova formula se defiiše i u složeijim oblicima, pogledai [18]. 43

53 3. Ioov iegrali raču 3.3. Defiicija Ioovog procesa Defiicija 3.7 (Defiicija Ioovog procesa). Proces{X }, [,] je sadarda ili Ioov proces, ako može da se predsavi u sledećem iegralom obliku: X X a(, s) ds b(, s) db, za. (3.6) gde su a(, ) i b(, ) adapirai i progresivo merljivi procesi (merljivi procesi), koji ispujavaju uslove lokalizacije: (i) (ii) P( a(, s) ds ) 1, P( b(, s) ds ) 1. Uslovi lokalizacije za procese a(, ) i b(, ) mogu i drugačije da se posave. ako da za svako < + moraju da važe sledeći uslovi:{a s 1 (,] (s)} L 1 LOC, {b s 1 (,] (s)} L LOC, ref. [9] i [18]. Napomea Ioov proces (3.7) može da se predsavi i u sohasičkom diferecijalom obliku, koji se zbog svoje jedosavosi češće korisi od iegralog zapisa i sledećeg je oblika: s dx a(, ) d b(, ) db, za. (3.7) Diferecijali oblik Ioovog procesa, apisa bez iegralog zapisa ema ekog posebog smisla, odoso diferecijali zapis sam za sebe ema ikakvog smisla. Razlog ome jese šo je Brauovo kreaje igde diferecijabila fukcija. Prema ome iegrali zapis se uvek podrazumeva. Napomeimo da je skup Ioovih procesa (skup svih procesa koji su oblika (3.7)) prirodi dome za eoriju Ioove iegracije. o zači da proizvolja proces koji se defiiše kao glaka fukcija Ioovog procesa i vremeske promeljive, j.proces oblika:u =g(x,) pripada skupu Ioovih procesa i prema ome, može eksplicio da se predsavi kao sohasički iegral. Drugačije može da se kaže da je skup Ioovih procesa zavore. Napomea Ioovi procesi mogu da se umače i kao rešeja sohasičkih diferecijalih jedačia (SDE), videi ref. [1]. Prema ome, ako Ioov proces {X } zadovoljava iegralu jedačiu (3.6), ada ujedo rešava i sohasičku diferecijalu jedačiu oblika: dx = a d +b db, za. (3.8) 44

54 3. Ioov iegrali raču Kvadraa varijacija i kovarijacija Ioovog procesa U poglavljima 8. i 8.3 priloga A, dae su osove defiicije i eoreme iz oblasi varijacije i kovarijacije reale fukcije i slučajog procesa, a za dealjije umačeje varijacije i kovarijacije Ioovog procesa i iegrala pogledai ref. [9]. U ovom poglavlju ćemo obrazložii varijaciju i kovarijaciju Ioovog iegrala i Ioovog procesa. Za Ioov iegral korisićemo sledeću ozaku: I = X s db s. eorema 3.8 (Kvadraa varijacija Ioovog iegrala). Kvadraa varijacija Ioovog iegrala I daa je formulom: [ I, I] X s dbs, X s db s ( ) X s ds 8. (3.9) Napomea Sličo procesu Brauovog kreaja i Ioov iegral je eprekida i igde diferecijala fukcija. Prema ome, Ioov iegral I ima beskoaču varijaciju a iervalu [,], za svako, ako važi sledeća ejedakos X ds. s eorema 3.9 (Kvadraa kovarijacija Ioovog iegrala).kvadraa kovarijacija Ioovih iegrala I (1) i I (),koji su defiisai a iervalu [,], daa je formulom: (1) (1) s s gde su: I X db i I X db. (1) () (1) () [ I1, I] X s dbs, X s db s ( ) X s X s ds. (3.3) () () s s eorema 3.1 (Kvadraa varijacija Ioovog procesa). Neka je X Ioov proces: X X ds db. ada kvadraa varijacija procesa X, posoji i daa je formulom: Dokaz s s s [ X, X ]( ) [ X ] s db s ( ) s ds. (3.31) Kako su Ioov proces X i Ioov iegral oblika: db slučaje eprekide fukcije i kako je iegral: ds s s eprekida fukcija po promeljivoj kao i fukcija ograičee varijacije, ada za varijaciju procesa X dobijamo: [ X, X ] [ X ] s ds s db s ( ) [ X, X ] [ X ] s ds s db s ( ) s s s s 9. s ds ( ) s ds, s db s ( ) s db s ( ) db ( ) ds. Na osovu eoreme 8.3 iz priloga A, sledi da su kovarijacija i varijacija u kojima se javlja iegral ds s jedake uli. Prema ome dokazali smo varijaciju Ioovog procesa. 8 Lako je pokazai validos dae formule za prose procese.uopše slučaj se dokazuje aproksimaicijom složeog procesa prosim procesima. 9 Ovde se korisi formula za varijasu zbira slučajih promeljivih: var(x+y)= var(x)+var(y)+cov[x,y]. 45

55 3. Ioov iegrali raču eorema Ako su X i Y Ioovi procesi i ako je X ograičee varijacije, ada je jihova kovarijacija jedaka uli [ X, Y]( ). Napomea Na osovu osobia kvadrae varijacije i kovarijacije (eorema 8.3; Prilog A) i a osovu osobia kvadrae varijacije Brauovog kreaja,imamo:[b,b]()=, [B,]()=, odakle izvodimo eformala pravila 3 za račuaje diferecijala kvadrae varijacije i kovarijacije Brauovog kreaja i deermiisičke fukcije vremea. Na osovu ih pravila se kasije izvode aaloga pravila za Ioove procese, pogledai ref. [9] i [18]. Navedea pravila su sledećeg oblika: d[ B, B]( ) db db d, d[ B, ]( ) db d, d[, ]( ) d d. Na osovu avedeih pravila, kovecijom se uvodi formala posupak za račuaje i maipulaciju sa sohasičkim diferecijalima, koji u mogome pojedosavljuje sohasički raču. Navedei posupak se aziva Boks algebra i izvede je iz Egleskog aziva Box algebra i glasi: d db d db d (3.3) Već smo spomeuli da se a osovu Boks algebre, kao i osobia kvadrae varijacije i kovarijacije Ioovog procesa izvodi još jeda skup eformalih pravila, koja se odose a Ioove procese,umeso a Brauov proces: d[ X, X ]( ) dx dx, d[ X, Y]( ) dx dy. (3.3a) eorema 3.1 (Kvadraa kovarijacija Ioovog procesa). Neka su dai Ioovi procesi sledećeg oblika: dx =μ X ()d+σ X ()db i dy =μ Y ()d+σ Y ()db. ada se kvadraa kovarijacija daih procesa račua prema formuli: d[x,y]()= σ X σ Y () d. Dokaz Prema pravilima Boks algebre za račuaje sohasičkih diferecijala, kvadrau kovarijaciju dva Ioova procesa dobijamo iz formule d[x,y]()= dx dy, odoso kao proizvod diferecijala ih procesa. Prema ome, za kovarijaciju daih procesa dobijamo: d[ X, Y]( ) dx dy ( ( ) d ( ) db ) ( ( ) d ( ) db ) ( ) ( ) ( db ) ( ) ( ) d. X X Y Y X Y X Y 3 Ovde se korisi osobia da je fukcija eprekida fukcija ograičee varijacije, kao i da je proces Brauovog kreaja eprekida fukcija sa kvadraom varijacijom. 46

56 3. Ioov iegrali raču Formula za parcijalu iegraciju (sohasičko pravilo proizvoda) Pravilo proizvoda za sohasičku iegraciju, odoso parcijala iegracija u sohasičkom iegralom račuu je aalog formuli za diferecijal proizvoda u običom iegralom račuu. S obzirom da u običom iegralom račuu raspolažemo samo fukcijama ograičee varijacije, a u sohasičkom iegralom račuu raspolažemo fukcijama i ograičee i beskoače varijacije sledi da bi rebalo da se apravi uopšeje ovog posupka koje bi važilo za sve fukcije i ograičee i beskoače varijacije, ref. [9]. eorema 3.13 (Sohasička parcijala iegracija). Dokaz (i) Formula za sohasičku parcijalu iegraciju u iegralom obliku glasi: (ii) Formula u diferecijalom obliku glasi: X Y X Y X dy Y dx [ X, Y]( ) s s s s. (3.33) d( X Y ) X dy Y dx d[ X, Y]( ). (3.34) Prvi ači za izvoďeje formule za sohasičku parcijalu iegraciju, odoso diferecijal proizvoda je da se korisi Ioova formula za fukciju dve promeljive f (x,y)= x y, j. Ioova formula za fukcije više procesa o kojoj će bii reči u aredim poglavljima. Drugi ači za izvoďeje formule (3.33) je pomoću formule za kvadrau kovarijaciju i ovaj dokaz je popuo ezavisa od već avedeog ačia koji korisi Ioovu formulu za fukcije više procesa. Dakle, poďimo od formule za kvadrau kovarijaciju procesa X i Y : 1 X, Y lim ( X X )( Y ) i Y i i. i1 i1 Ako se avedeoj sumi doda, a zaim oduzme čla: 1 i X Y i i, dobija se: lim ( X Y ) ( ) ( ) i 1 X i 1 Y i X i Y i Y i 1 Y i X i X i 1 i i i i 1 1 lim ( X Y ) ( ) ( ) X Y X Y i Y i 1 Y i X i X i1 i i i 1 1 lim ( X Y X Y ) X ( ) ( ) Y i Y i 1 Y i X i X i1 i i i. Posledje dve sume kovergiraju u verovaoći ka Ioovim iegralima, odakle dobijamo željei izraz: [ X, Y]( ) X Y X Y X dy Y dx s s s s Napomea Na osovu formule za sohasičku parcijalu iegraciju dobija se još jeda izraz za račuaje s s kvadrae varijacije procesa i glasi: [X,X]()= X X X dx. (3.35) 47

57 3. Ioov iegrali raču Primer 3. Izrazii Ioov iegral: f (s)db s preko iegrala: B s (ω)df(s)? Preposavii da je f deermiisička, eprekida i diferecijabila fukcija. Rešeje Počimo od izraza za sohasički diferecijal proizvoda fukcije f () i Brauovog kreaja, odoso sohasičke parcijale iegracije, odoso d(f() B )=f()db +B df()+d[f(),b ]. S obzirom a o da je fukcija f () deermiisička i eprekida, a a osovu (eoreme 8.3; Prilog A) sledi da je kovarijacija: [f(),b ]=. Prema ome, iz polaze formule dobijamo sledeći izraz: d(f () B ) = f ()db +B df (), koji u iegralom obliku glasi: f ( ) B f () B f ( s) db B df ( s) šo je i rebalo dokazai. f ( s) dbs f ( ) B f () B Bs df ( s), s s Napomea Primeimo, da ako je jeda proces eprekida i ograičee varijacije, ada je kovarijacioi čla u izrazu za sohasičku parcijalu iegraciju (3.33) jedak uli, pa se daa formula svodi a formulu za običu parcijalu iegraciju. Primer 3.3. Rešii iegral B db, iz primera 3. koriseći sohasičku parcijalu iegraciju? Rešeje s s Primeimo formulu za sohasičku parcijalu iegraciju da bismo izračuali kvadrau varijaciju Brauovog kreaja. o je formula (3.35) koja glasi: s s [ X, X ]( ) X X X dx, za X = B. Daljim sreďivajem dae formule dobijamo: [ B, B ]( ) B B B db. s s Kako je kvadraa varijacija Brauvog kreaja: [B,B ] =, kao i da važi: B = dobijamo: 1 s s s s B B db B db ( B ). 48

58 3. Ioov iegrali raču Geerala Ioova formula (Ioova formula za Ioov proces) Defiicija Ioovog iegrala u kojoj se kao iegraor korisi Brauovo kreaje može da se proširi ako šo se umeso Brauovog kreaja za iegraor izabere Ioov proces, pogledai referece [1] i [18]. U om slučaju, dobija se uopšeiji sohasički iegral od Ioovog, koji smo pomeuli u jedačii (3.1). Prema ome, eka je X Ioov proces oblika: dx =a d+b db, za koji su ispujei uslovi (i) i (ii) iz defiicije 3.7 i eka jey adapira proces, akav da za svako < + važe sledeći uslovi 31 : (i) (ii) P( Y a ds ) 1, odoso {Y s a s 1 (,] (s)} L 1 LOC. s s s s P( Y b ds ) 1, odosoo {Y s b s 1 (,] (s)} L LOC. s s ada, sohasički iegral oblika: I Y dx posoji i defiiše se sledećom formulom: I Y dx : Y a ds Y b db, za. (3.36) s s s s s s s eorema 3.14 (Ioova formula za fukciju f(x )). Neka je{x }, [,] Ioov proces sledećeg oblika: dx =μ()d+σ()db. Ako je f(x) dva pua eprekida i diferecijabila fukcija a R (f C (R)), ada sohasički diferecijal procesa Y = f(x ) posoji i da je izrazom: 1 d f ( X ) f( X ) dx f( X ) d[ X, X ]. (3.37) 1 f( X ) dx f( X ) ( ) d 1 f ( X ) ( ) f ( X ) ( ) d f ( X ) ( ) db. 1 Iegrali oblik ove jedakosi glasi: f ( X ) f ( X ) f( X s ) dx s f( X s ) ( s) ds. eorema 3.15 (Ioova formula za fukciju f (,X )). Neka je f C 1, (R + R) 3 i eka je{x }, [,] Ioov proces oblika (3.6), pri čemu je X =,ada fukcija Ioovog procesa i vremeske promeljive, odoso fukcija f (,X ), može da se predsavi u sledećem iegralom obliku: f f 1 f s s s s x. (3.38) x f (, X ) f (,) ( s, X ) ds ( s, X ) dx ( s, X ) b (, s) ds Diferecijali zapis formule (3.38) glasi: 1 df (, X ) f (, X ) d fx (, X ) dx fx x (, X ) dx dx 1 fx (, X ) b(, ) db fx (, X ) a(, ) b (, ) fx x(, X ) f (, X ) d. 31 Ukoliko su avedei uslovi ispujei sledi da su oba iegrala a desoj srai jedačie (3.36) ispravo defiisaa. 3 Drugim rečima fukcija f (,x) je dva pua eprekida i diferecijabila fukcija po promeljivoj x i jedom eprekida i diferecijabila fukcija po promeljivoj. 49

59 3. Ioov iegrali raču eorema 3.16 (Kada je Ioov proces marigal).neka je{x }, [,] Ioov proces čija je iegrala jedačia oblika (3.6). U eoremi se preposavlja da slučaja promeljiva X ima koača prvi momea, da slučaji proces{a s }pripada klasi 1 i da slučaji proces{b s }pripada klasi.ada, važi da je Ioov proces{x } marigal u odosu a sadardu Brauovu filraciju akko važi da je a = skoro siguro, za skoro svako Ioova formula za fukcije više procesa Ukoliko proizvolja dva procesa X i Y poseduju sohasički diferecijal u odosu a Brauovo kreaje i ako fukcija f (x,y) ima eprekide sve parcijale izvode prvog i drugog reda, ada fukcija oblika f (X,Y ) akoďe poseduje sohasički diferecijal, videi ref. [9] i [18]. Da bismo proašli sohasički diferecijal slučaje fukcije koja zavisi od dva procesa, rebaće am, pre svega ejlorov razvoj deermiisičke fukcije drugog reda, koji je oblika: f ( x, y) f ( x, y) 1 f ( x, y) f ( x, y) f ( x, y) df ( x, y) dx dy ( dx) ( dy) dx dy. x y ( x) ( y) xy Podseimo se pravila izvedeih iz Boks algebre (3.3a), u poglavlju o kvadraoj varijaciji i kovarijaciji, koja glase: ( dx ) dx dx d[ X, X ] ( ) d, X ( dy ) dy dy d[ Y, Y] ( ) d, Y dx dy d[ X, Y] ( ) ( ) d, X Y gde su koeficijei: σ X () i σ Y () difuzioi koeficijei procesa X i Y respekivo. eorema 3.17 (Ioova formula za fukcije dva procesa). Neka fukcija f (x,y) ima eprekide sve parcijale izvode prvog i drugog reda, odoso f C (R) i eka slučaji procesi X iy imaju sohasičke diferecijale sledećeg oblika: dx =μ X ()d+σ X ()db i dy =μ Y ()d+σ Y ()db.ada sohasički diferecijal fukcije f (X,Y ) dobijamo iz formule: f ( X, Y ) f ( X, Y ) 1 f ( X, Y ) 1 f ( X, Y ) df ( X, Y ) dx dy dx dx dy dy x y x y f ( X, Y) dx dy. xy Napomea Specijala slučaj Ioove formule za fukcije dva procesa f (X,Y ) dobije se kada se Ioova formula za fukcije dva procesa primei a fukciju oblika f (X, ). Primeimo da a ovaj ači može da se izvede Ioova formula sa vremeskim i prosorim promeljivim, odoso eorema

60 4. Sohasičke diferecijale jedačie D iferecijale jedačie česo se korise za opisivaje evolucije ekog sisema. Sohasičke diferecijale jedačie (sochasic differeial equaios; SDE) se dobijaju kada se u običe diferecijale jedačie uvede slučaja kompoea šuma, odoso kada se asumičo izvrši perurbacija sisema običih diferecijalih jedačia, pogledai referece [5] i [9]. Defiicija 4.1 (Rešeje običe diferecijale jedačie).neka je x() diferecijabila fukcija defiisaa za i eka je μ(x,) fukcija dveju promeljivih x i. Ako za svako važi relacija: dx()/d = x () =μ(x(),), gde je x()=x, ada x() azivamo rešejem običe diferecijale jedačie (ODJ) sa počeim uslovom x 33. Gorja jedačia može da se apiše i u drugačijem obliku: dx()=μ(x(),)d, a ukoliko je ispuje zahev da je x () eprekida fukcija, oda važi: x( ) x() ( x( s), s) ds. Iako je Brauovo kreaje igde-diferecijabila fukcija, česo se u lierauri pojavljuje pojam procesa, koji je jedak izvodu Brauovog kreaja po vremeu i koji spada u procese eprekide u vremeu sa meďusobo ezavisim vredosima, zv. proces belog šuma, oblika:ξ()=db()/d=b (). S obzirom da izvod Brauovog kreaja e posoji, e posoji i proces belog šuma. Ako sa σ(x,) ozačimo iezie šuma u ački x u reuku, ada prema dogovoru važi: ( X, ) ( ) (, ) ( ) (, ) d X B d X db, gde je posledji izraz Ioov iegral. Sohasičke diferecijale jedačie (SDJ) asaju pr. kada se koeficijei običih diferecijalih jedačia perurbuju belim šumom. 33 Običo se dodaje i zahev da je x () eprekida fukcija. 51

61 4. Sohasičke diferecijale jedačie 4.1 Defiicija, uslovi egzisecije i jedisveosi srikog rešeja Neka je B, za proces Brauovog kreaja μ(x,) i σ(x,)su dae fukcije, a X je epozai proces, ada jedačiu oblika: dx =μ (X,) d + σ(x,) db, (4.1) azivamo sohasička diferecijala jedačia voďea Brauovim kreajem ili SDJ difuzioog ipa. Fukcije μ(x,) i σ(x,)se azivaju koeficijeima jedačie, gde je μ(x,) mera prosečog rasa X (average rae of growh), kaže se i koeficije drifa (pomeraja), dok je σ(x,) koeficije volailosi, koji meri disperziju procesa X 34, videi ref. [9]. Defiicija 4. (Sriko rešeje SDJ). Neka je B, za zada proces Brauovog kreaja. Proces X aziva se sriko rešeje (Srog soluio) sohasičke diferecijale jedačie oblika (4.1), ako za svako >, posoje iegrali: μ(x s,s)ds, σ(x s,s)db s i ako važi sledeća relacija: gde je X počei uslov 35. X X ( X, s) ds ( X, s) db s s s, (4.) S obzirom da rešeje X zavisi od rajekorije Brauovog kreaja do reuka, sledi da sriko rešeje SDJ (4.1) može da se proumači i kao fukcioal F(,(B,s )) zadaog Brauovog kreaja B, videi ref. [9]. Napomea Napomijemo da je samo kod ekih ipova SDJ moguće aći rešeja u zavoreom obliku (closed form soluio), dok je u velikom broju slučajeva ovaj posupak ili emoguć ili veoma komplikova, zbog čega se pribegava korišćeju razih umeričkih meoda za izračuavaje rešeja SDJ. Prilikom korišćeja umeričkih meoda važo je da su uslovi egzisecije i jedisveosi rešeja zadovoljei, jer ema svrhe umerički ražii rešeje koje e posoji ili koje ije jedisveo. Uslovi egzisecije i jedisveosi rešeja su akoďe bii jer am a eki ači opisuju SDJ. Napomea Posoji uopšeiji oblik SDJ: dx (ω)=μ(,ω)d+σ(,ω)db, (4.3) gde koeficijei μ(x,) i σ(x,) mogu da zavise i od promeljive i od celokupe prošlosi procesa X i B, u ozaci: (X s,b s, s ), ada su koeficijei jedačie oblika: μ((x s,s ),), σ ((X s,s ),).Jedia resrikcija koja koju moraju da zadovolje koeficijei μ(,ω) i σ(,ω) jese da budu adapirai procesi sa defiisaim odgovarajućim iegralima. eorema 4.1 (Egzisecija i jedisveos srikog rešeja SDJ). Neka su μ i σ merljive fukcije koje ispujavaju sledeće uslove: (i) Koeficijei μ i σ su lokalo Lipšicovi po x i uiformo Lipšicovi po. o zači da za svako i N posoji kosaa K, koja zavisi samo od i N, akva da za x, y N i za svako, važe sledeći uslovi: ( x, ) ( y, ) K x y, ( x, ) ( y, ) K x y 36. (4.4) (ii) Koeficijei μ i σ ispujavaju uslove maksimalog liearog rasa: ( x, ) K(1 x ) i ( x, ) K(1 x ), za svako 37. (4.5) 34 Primeimo da kada je paramear, SDJ posaje običa diferecijala jedačia (ODE). 35 Ako malo malo ublažimo uslove za sriko rešeje SDJ (4.1) dobijamo, zv. slabo rešeje o kojem će bii reči. 36 Dai uslovi mogu da se zamee jedim zajedičkim uslovom: μ(x,) μ(y,) + σ(x,) σ(y,) < K x y, pogledai [5]. 37 Kao i u prvom slučaju, dva uslova mogu da se zamee jedim ekvivaleim uslovom: μ(x,) + σ(x,) < K (1+ x ). 5

62 4. Sohasičke diferecijale jedačie Slučaja promeljiva X je ezavisa od Brauovog kreaja (B, ) ili drugim rečima slučaja promeljiva X je ezavisa od σ-polja geerisaog slučajim procesom B s, s. akoďe, za X mora da bude ispuje i uslov iegrabilosi, koji glasi: E(X ) <+. (4.6) U om slučaju sohasička diferecjala jedačia oblika: dx =μ(x,)d+σ(x,)db ima jedisveo sriko rešeje X koje je eprekido po. Dao rešeje poseduje i osobiu da je adapirao filraciji geerisaoj slucajom promeljivom X i procesom B s ( ), s, kao i osobiu iegrabilosi: E X d. Pored avedeih osobia sriko rešeje zadovoljava i sledeću ejedakos, videi u ref. [9]: Pri čemu kosaa C zavisi samo od promeljivih K i. 4. Slaba rešeja SDJ E sup X C 1 E( X ), (4.7) Kocep slabog rešeja am omogućava da damo začeje sohasičkoj diferecijaloj jedačii kada sriko rešeje e posoji. Slaba rešeja su rešeja u raspodeli i oa mogu bii defiisaa a ekom drugom prosoru verovaoće, gde uslovi za koeficijee SDJ koji se odose a egziseciju slabih rešeja su maje srogi od uslova za egziseciju srikih rešeja, pogledai ref. [9]. Defiicija 4.3 (Egzisecija slabog rešeja). Ako posoji prosor verovaoće sa filracijom, Brauovo kreaje B ^ defiisao a om prosoru, kao i proces X ^ adapira daoj filraciji, akvi da: X ^ ima dau raspodelu, za svako važi da su iegrali u formuli (4.8) defiisai i ako za X ^ važi sledeća jedačia: Xˆ Xˆ ( Xˆ, u) du ( Xˆ, u) db u u u. (4.8) ada proces X ^ azivamo slabim rešejem SDJ, čiji je diferecijali oblik: dx =μ(x,)d+σ(x,)db. Defiicija 4.4 (Jedisveos slabog rešeja). Za slabo rešeje kažemo da je jedisveo, ako važi sledeći sav: Kada god imamo dva rešeja X i X (mogu da budu defiisaa i a različiim prosorima verovaoće), akva da su im raspodele od X i X jedake, ada su i sve koačo-dimezioale raspodele od X i X jedake. Napomea Iz defiicije zaključujemo da je svako sriko rešeje ujedo i slabo rešeje.jedisveos srikog rešeja (j. jedisveos prema puajama) podrazumeva i jedisveos slabih rešeja. 53

63 4. Sohasičke diferecijale jedačie 4.3 Primeri sohasičkih diferecijalih jedačia U sledećim primerima prikazaćemo eke od osovih ipova SDJ kao i dve ajedosavije meode za rešavaje SDJ, koje se sasoje u korišćeju Ioove formule ili sohasičkog pravila proizvoda. Primer 4.1 (Blek-Šolsov model; Black-Scholes-Mero-ov model). Prvo ćemo avesi Black-Scholes-Mero-ov model, u kome se sopa priosa dx /x opisuje slučajom fukcijom. Neka je x() vredos koju će imai $1 ako odreďeog vremeskog perioda, pošo je ulože a šedi raču u baci, gde se paramear r umači kao kamaa sopa. Ako preposavimo da se okamaćivaje vrši eprekido u vremeu, vredos x() se dobija kao rešeje običe diferecijale jedačie: dx()/x()=rd i izosi: r x( ) e, x() 1 x()=1. Ako je sopa priosa dx /x podloža slučajim flukuacijama (koje predsavljaju slučaje fukcije), ada se umeso kosaog člaa r, uzima čla perurbova šumom, koji je oblika: r+ξ(). ada se dobija SDJ, oblika: dx /d=(r+σξ())x, čiji je ekvivalei zapis oblika: dx =rx d+σx db, (4.9) gde se r i σ azivaju koeficije drifa (pomeraja) i koeficije volailosi. Model oblika (4.9), čiji su koeficijei r i σ kosai, aziva se model Geomerijskog Brauovog kreaja, dok je rešeje ove SDJ proces koji azivamo Geomerijsko Brauovo kreaje i oblika je: X ( r ) B e, gde je X =1. (4.1) Pokažimo da je Geomerijsko Brauovo kreaje rešeje dae SDJ: dx =rx d+σx db. Zao posmarajmo izvode logariamske fukcije f (x)=l(x), f (x)=1/x, f (x)= -1/x. Koriseći Ioovu formulu izračuaćemo sohasički diferecijal fukcije f (x)=l(x) a sledeći ači: d(l X ) dx ( ) X d X X 1 1 rx d X db d X 1 ( r ) d db. Proces lx dobijamo primeom Ioove formule za Brauovo kreaje (3.15): Odakle jedosavo dobijamo rešeje ove SDJ u obliku: X 1 l X l X ( r ) ds db e 1 l X ( r ) ( B B) 1 X r B l ( ) ( ) s 1 r B X e. Napomea Slučaj kada je koeficije volailosi σ=, odgovara siuaciji kada u modelu ema šuma i ada dobijamo običu deermiisičku jedačiu dx =rx d i jeo rešeje izosi: x()=e r, x()=1. 54

64 4. Sohasičke diferecijale jedačie Primer 4. (Laževiova jedačia i Orsaj-Ulebekov proces). Neka je B, za proces Brauovog kreaja, ada SDJ oblika: dx =-αx d+σdb, (4.11) azivamo Laževiovom jedačiom, gde su koeficijei α i σ proizvolje eegaive kosae, a X epozai proces. Primeimo prvo da u slučaju kada je koeficije volailosi σ=, dobijamo sliču siuaciju kao kod modela Geomerijskog Brauovog kreaja, kada u modelu ema šuma, j. dobija se dobija običa diferecjala jedačia čije rešeje izosi: x()= x e α. Pokažimo kako se alazi rešeje Laževiove jedačie, ako šo ćemo razmorii proces: Y = X e α. Ako iskorisimo pravilo za sohasički diferecijal proizvoda i ako imamo u vidu da je kovarijacija procesa e α i procesa X jedaka uli (e α ima ograičeu varijaciju), ada dobijamo: dy e dx e X d. Daljim sreďivajem dae jedačie imamo: dy e ( X d db ) e X d e db, Odakle dobijamo proces: s Y Y e db. S obzirom da važi: X =Y e α i X = Y, dobijamo rešeje Laževiove SDJ, koje se aziva Orsaj-Ulebekov proces i oblika je: s s s X e X e db. (4.1) Napomea Posoji uopšei oblik Laževiove sohasičke diferecjale jedačie i da je formulom: dx X d db. (4.13) s Rešeje uopšee Laževiove SDJ dobija se iz formule: X e X e db s. Napomea Napomijali smo već da ukoliko posoji sriko rešeje SDJ, ada a osovu defiicije 4. oo je adapirao filraciji zadaog Brauovog kreaja, šo zači da je sriko rešeje fukcija rajekorije Brauovog kreaja do reuka, j.oblika je:(b s,s ), [9].Na osovu rezulaa Jamade i Vaaabe (Yamade i Waaabe) (1971), izvedeo je da, ukoliko su uslovi egzisecije i jedisveosi eoreme ispujei, ada posoji fukcija F, akva da je sriko rešeje sledećeg oblika: X =F(,(B s, s )).Nalažeje fukcije F u ekspliciom obliku ije jedosavo, čak i za prosije oblike Ioovih iegrala kao šo je o iegral sledećeg oblika: X s s 1 s s f ( B ) db, odoso u odreďeijem obliku: X B db. Već smo pokazali da rešeje Laževiove jedačie posoji i da je oblika (4.1). Probajmo dalje da aďemo oda fukcioalu zavisos og rešeja od rajekorije Brauovog kreaja, ako šo ćemo primeii parcijalu iegraciju a sledeći čla: e α s db s. Odakle dobijamo ovi izraz: s s e db s e B B se ds. s s s s e B e B e db B e ds Nako sreďivaja posledje jedačie, dobija se željei oblik rešeja Laževiove SDJ: ( s) (, ( s, )) s X F B s e X B e B ds. 55

65 4. Sohasičke diferecijale jedačie 4.4 Sohasički ekspoe i sohasički logariam eorema 4. (Sohasički ekspoe). Neka proces X ima sohasički diferecijal i eka za proces U važi sledeća sohasička diferecijala jedačia: du = U dx, iz koje se dobija formula za proces U : 1, s s 1. (4.14) U U dx U Proces U aziva se sohasički ekspoe procesa X i obeležava se ozakom (X), pogledai ref. [9]. Za sohasički ekspoe važe sledeća vrďeja: Dokaz : (i) Ako je proces X Ioov proces, ada je jedisveo rešeje SDJ (4.14) dao formulom: 1 X X [ X, X ]( ) ( X )( ) e. (4.15) (ii) Ako je proces X ograičee varijacije ada je jedisveo rešeje SDJ (4.14) dao formulom: X Xo U e. (4.16) Dokaz egzisecije rešeja SDJ (4.14) sasoji se u ome, da se korišćejem Ioove formule pokaže da je pouďea jedačia (4.15) zaisa rešeje dae SDJ, odoso da kada dai izraz zameimo azad u sohasičku diferecijalu jedačiu dobijamo ideie. Zao apišimo jedačiu (4.15) u jedosavijem obliku: U = e V, gde je V = X X 1/[X,X](). ada za sohasički ekspoe dobijamo: d ( X )( ) du d( e V ) e V dv 1 e V [ V, V ]( ). (4.17) S obzirom da je fukcija kvadrae varijacije[x,x]() fukcija ograičee varijacije, kao i da je proces X eprekida važi: [X, [X,X]]()=.Odavde sledi da se kvadraa varijacija procesa V svodi a kvadrau varijaciju procesa X, j. važi: [V,V]()=[X,X](). Prema ome, iz jedačie (4.17) dobijamo: V 1 1 V d ( X )( ) e ( dx d [ X, X ]( ) ) e [ X, X ]( ), V odoso kada se i posledja jedačia sredi dobija se oblik: d ( X )( ) e dx. Dokaz jedisveosi rešeja se dokazuje ako šo se preposavi da posoji još jeda proces koji je rešeje jedačie (4.14), eka o bude proces U 1 (). ada, bi rebalo da se pokaže da važi: d(u 1 ()/U())=. Napomea Primeimo da za razliku od običog ekspoea fukcije: g()=exp(f)()=e f(),sohasički ekspoe (X) zaheva pozavaje svih vredosi procesa X do zadaog reuka, šo je posledica čijeice da sohasički ekspoe zavisi od člaa kvadrae varijacije[x,x](). Primer 4.3 Sohasički ekspoe Brauovog kreaja je rešeje SDJ oblika: du =U db, U =1, gde daa SDJ važi za svako. Sohasički ekspoe od B da je izrazom: 1 B ( B)( ) e. 56

66 4. Sohasičke diferecijale jedačie Primer 4.4 (Primea u fiasijama: Proces cea akcija i sopa priosa cee akcije). Neka je S ozaka za proces koji opisuje kreaje cea akcija i preposavimo da je o Ioov proces j. da ima sohasički diferecijal. Proces obra (povraćaja) vredosi akcije 38 u ekom reuku, ozačava se sa R i defiiše se sledećom relacijom: dr =ds /S. (4.18) Formula (4.18) može da se zapiše u drugačijem obliku: ds =S dr, odakle vidimo da je proces S sohasički ekspoe procesa obra vredosi akcije R. Geerelo govoreći, u većii slučajeva je jedosavije apravii model za proces obra vredosi odreďee akive ego apravii model za opisivaje kreaja vredosi e akive. Navedimo kao primer Blek-Šolsov model, gde se preposavlja da su obri uzajamo disjukih vremeskih iervala meďusobo ezavisi i da imaju koaču varijasu.ova preposavka vodi as do modela za proces obra vredosi akcije oblika: R = μ+σb.na osovu čega koriseći se formulom za sohasički ekspoe (4.15) dobija se proces cea akcija: S S ( R ) S e 1 ( ) S e 1 R R [ R, R ]( ) B. Primeimo da je u Blek-Šolsovom modelu proces cea akcija geomerijsko Brauovo kreaje. Neka je U=(X), ada se proces X aziva sohasički logariam procesa U i obeležava se ozakom: L(U). Sohasički logariam je iverza operacija operaciji sohasičkog ekspoea. Na primer sohasički ekspoe Brauovog kreaja B je proces exp(b 1/ ). Prema ome, B je sohasički logariam procesa. eorema 4.3 (Sohasički logariam). Neka proces U ima sohasički diferecijal i eka je različi od ule. ada, za proces X kažemo da je sohasički logariam procesa U, ako se dobija kao rešeje sledeće SDJ: dx du U, X, (4.19) U d [ U, U ]( ) X U ( ) l U Proces X dobija se prema formuli: Dokaz:, [9]. (4.) U SDJ za sohasički logariam L(U), j. jedačia (4.19), dobija se iz defiicije sohasičkog ekspoea (X). Prema Ioovoj formuli diferecijal logariamske fukcije izosi: d l U du d[ U, U ]( ) U, U du 1 1 d l U d[ U, U ]( ). U j. važi da je: Dalje, zameimo posledji izraz u SDJ (4.19) i dobijamo: U du 1 1 dx d l U d[ U, U ]( ). U U 38 Ovaj proces se drugačije aziva i sopa priosa cee(vredosi)akcije i predsavlja relaivu promeu cee akcije u vremeskom iervalu d, j. prirašaj cee akcija u ekom reuku. 57

67 4. Sohasičke diferecijale jedačie Nako iegracije dobija se željei izraz: d[ U, U ]( ) X lu lu. U 4.5 Defiicija, uslovi egzisecije i jedisveosi rešeja liearih sohasičkih diferecijalih jedačia Defiicija 4.5 (Lieare SDJ). Za sohasičku diferecijalu jedačiu: dx =μ(x,)d+σ(x,)db kažemo da je lieara SDJ, ako su koeficijei jedačie μ i σ oblika: μ(x,)=α()+β()x, σ(x,)= γ()+δ()x, gde su fukcije α, β, γ, δ uapred zadai adapirai procesi i eprekide fukcije po promeljivoj. Prema ome, jedodimezioale lieare SDJ u ajopšijem slučaju imaju oblik: dx ( ( ) ( ) X ) d ( ( ) ( ) X ) db, (4.1) Defiicija 4.6 (Lieare SDJ u užem smislu).liearu sohasičku diferecijalu jedačiu azivamo liearom jedačiom u užem smislu (liear i he arrow sese), ako je u jedačii (4.1) ispuje sledeći uslov: δ. Defiicija 4.7 (Homogee lieare SDJ). Liearu sohasičku diferecijalu jedačiu azivamo homogeom 39, ako za koeficijee jedačie (4.1) važe uslovi: α γ, za sve. eorema 4.4 (Egzisecija i jedisveos rešeja lieare SDJ). Ako daa lieara sohasička diferecijala jedačia ispujava uslove: sup ( ) ( ) ( ) ( ), (4.) ada koeficijei jedačie μ i σ ispujavaju uslove eoreme o egziseciji i jedisveosi rešeja. Drugim rečima, lieara SDJ oblika:dx =(α()+β()x )d+(γ()+δ()x ) db,x()=x,ima jedisveo rešeje X, gde mora da budu ispujei sledeći uslovi: X je ezavisa od (B, ) i E(X )< Homogee lieare SDJ se drugačije azivaju i jedačie sohasičkog ekspoea. 4 Lieare sohasičke diferecijale jedačie spadaju u klasu SDJ koje imaju eksplicia rešeja. 58

68 4. Sohasičke diferecijale jedačie 4.6 Primeri i rešeja izabraih liearih SDJ Homogea lieara SDJ Prema defiiciji 4.7, homogea lieara SDJ je uopšea lieara SDJ (4.1)za čije koeficijee važi: α γ, za svako. Prema ome, homogea sohasička diferecijala jedačia je sledećeg oblika: du ( ) U d ( ) U db. (4.3) Homogea lieara SDJ rešava se ako šo se gorja jedačia (4.3) oblikom svede a jedačiu za sohasički ekspoe procesa Y, gde je Y Ioov proces, oblika: Y = β()d+δ()db, ref. [9]. Prema ome, jedačia sohasičkog ekspoea je sledećeg oblika: du ( ( ) d ( ) db ) U U dy. Dalje, ako primeimo formulu (4.15) za rešeje sohasičkog ekspoea, dobijamo za proces U : U ( Y )( ) dy 1 Uexp ( Y Y [ Y, Y ]( )) U s ds s db s ds Prema ome, rešeje homogee lieare SDJ je oblika: 1 exp ( ) ( ) s ( ). 1 U U exp ( ( s) ( s) ) ds ( s) dbs. Ova jedačia može da se reši i a drugi ači, ako šo se preposavi da je rešeje u obliku proizvoda dva procesa, meďuim avedeo rešeje, u kojem korisimo pozae osobie sohasičkog ekspoea je efekije i brže. Pogledai referecu [5] gde su objašjee raze meode za rešavaje liearih sohasičkih diferecijalih jedačia kao i uslovi egzisecije i jedisveosi jihovih rešeja. Lieara SDJ u ajopšijem obliku Kao šo je već apomeuo, lieara sohasička diferecijala jedačia u ajopšijem slučaju glasi: dx ( ( ) ( ) X ) d ( ( ) ( ) X ) db. (4.4) Rešeje dae jedačie poražićemo u obliku proizvoda dva procesa: X =U V,čiji diferecijali izose, redom: du =β()u d+ δ()u db i dv =a() d+b()db, gde važi: U =1,V =X, kao i da su a() i b() epozai koeficijei, ref. [9]. ProcesU se dobija kao rešeje homogee lieare sohasičke diferecijale jedačie i izosi: 1 U U exp ( s) ds ( s) dbs ( s) ds. S obzirom da je X =U V rešeje polaze SDJ, rebalo bi da kada ga zameimo azad u polazu jedačiu dobijemo ideie. Prema ome, prvo reba da se izračua sohasički diferecijal od X, a zaim meodom izjedačavaja koeficijeaa polaze jedačie (4.4) i ovodobijee jedačie (4.5) da se izračuaju epozai koeficijei a() i b(). Prema ome, aďimo sohasički diferecijal od X =U V : 59

69 4. Sohasičke diferecijale jedačie dx d( U V ) du V U dv cov[ U, V ] ( ) U V d ( ) U V db a( ) U d b( ) U db ( ) b( ) U d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X a U b U d X b U db. (4.5) Zaim izjedačavajem koeficijeaa daih jedačia (4.4) i (4.5), dobijaju se koeficijei a() i b(): b( ) U ( ), a( ) U ( ) ( ) b( ) U ( ) ( ) ( ). Krajje rešeje lieare SDJ izosi: X = U V UV a( s) ds b( s) dbs Lieara SDJ u užem smislu; Laževiova jedačia. ( s) ( s) ( s) ( s) UX ds db U s U s. s (4.6) Prema defiiciji 4.6 lieara SDJ u užem smislu dobija se iz opše lieare SDJ, kada se uzme da je δ i oa je sledećeg oblika: dx ( ( ) ( ) X ) d ( ) db. (4.7) Primeimo da je uz odgovarajući izbor koeficijeaa α, β, γ u daoj jedačii, moguće dobii uopšei oblik Laževiove SDJ (4.13), kao i je jedosaviji oblik (4.11), koji su avedei u primeru 4., kome je još objašjeo kako se Laževiova SDJ rešava direko, pogledai ref. [9] i [18]. MeĎuim, Laževiova SDJ može da se reši i kao specijala oblik lieare sohasičke diferecijale jedačie j. bolje rečeo, kao specijala oblik lieare SDJ u užem smislu. Prema ome može da se iskorisi formula (4.6), uz uslov da je δ. Pokazaćemo dai posupak rešavaja, ali a Laževiovoj SDJ, gde važi da je koeficije a() zada i eprekida adapira proces. Jedačia je sledećeg oblika: dx = a()x d+db, (4.8) Dalje, uporedimo koeficijee jedačie (4.7) i jedačie (4.8), odakle dobijamo sledeće vredosi: β()=a(),γ()=1,α()=.aalogo kao u slučaju rešavaja lieare SDJ ajopšijeg oblika, rešeje polaze jedačie (4.8) poražićemo u obliku proizvoda: X =U V, s im šo šo će diferecijal procesa U, u ovom slučaju izosii:du = a()u d, odakle je: U exp( a( s) ds). S obzirom, da imamo sve porebe kompoee jedačie (4.6), j. imamo i gore avede proces U i koeficijee β()=a(),γ()=1,α()= i δ, jedosavo se dobija rešeje polaze Laževiove SDJ (4.8) i oo je sledećeg oblika: u ( ) a s d s a ( s) d s u. X e X e db 6

70 4. Sohasičke diferecijale jedačie Brauov mos Brauov mos je u ajedosavijem obliku proces Brauovog kreaja sa fiksiraim vredosima a krajevima iervala [,1], gde su: X =X 1 =. Brauov mos se dobija kao rešeje sledeće lieare SDJ: X dx d db, 1, X. (4.9) 1 U opšijem obliku SDJ Brauov mos ima fiksirae vredosi a krajevima iervala [,], ako da važi: X =a i X =b. Navedei opši oblik Brauovog mosa dobija se kao rešeje sledeće lieare SDJ: b X dx d db,, X a. (4.3) Primeimo da se gorja SDJ dobija iz lieare SDJ uopšeog oblika, kada se koeficijei u uopšeoj liearoj SDJ zamee sledećim vredosima:α()=b/( ), β()= -1/( ),γ()=1,δ()=. Prema ome i rešeja SDJ (4.9) i SDJ (4.3) dobijaju se primeom formule za rešeje uopšee lieare SDJ (4.6), kada se u ju zamee avedei koeficijei α, β, γ, δ. Prema ome, rešeja sohasičkih diferecijalih jedačia (4.9) i (4.3) redom izose: 1 X (1 ) dbs,, 1 s 1 X a (1 ) b ( ) dbs,. s Napomea S obzirom da je podiegrala fukcija deermiisička, kao i da za svako < važi sledeći uslov: ds / ( s),zaključujemo da je proces db / ( s) marigal i šaviše Gausov proces sa s počeom vredošću X =a. Prema ome, zaključujemo da je Brauov mos eprekida Gausov proces a iervalu [,] sa očekivajem: E(X ) =a(1 /) + b / i fukcijom kovarijase: Cov(X,X s ) =mi(s,) s/. 61

71 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike O bjasimo prvo eke fiasijske pojmove eophode za bolje razumevaje ovog rada. Počećemo, pre svega sa berzom, kojom ćemo se ajviše bavii u ovom poglavlju, odoso sa jeim ačiima fukcioisaja i maemaičkim opisom (maemaičkim modelom). Najvažiji, ujedo i ajpozaiji berzaski ceri u sveu su Njujork, Lodo, okio, Frakfur i Čikago, dok je ajveća berza Njujorška berza harija od vredosi. Pojam berze može da se ierpreira a dva ačia: Prvo začeje berze (exchages) poklapa se sa uopšeijim pojmom od same berze, odoso sa pojmom ržiša u geeralom smislu, pogledai referecu [3]. U om slučaju, berza se defiiše kao posebo orgaizovao salo meso a kojem se u odreďeo vreme i po uapred uvrďeim pravilima rguje odreďeim ipiziraim robama, uslugama, harijama od vredosi i devizama. U ekoomskoj ermiologiji opisuje se kao orgaizovao ržiše a kojem se obavlja kupoprodaja fugibile (zameljive) robe, proizvoda, usluga... Berza ima još jedo začeje, u kojem se ierpreira kao specijalizovaa isiucija koja se bavi samo rgoviom harija od vredosi (akcije, obvezice, opcije), ovcem i sraim valuama. Jeda od osovih razloga asaka isiucije berze jese okupljaje većeg broja ivesiora sa majim vredosima kapiala, zbog koceracije kapiala a jedom mesu i mogućeg fiasiraja skupih projekaa u budućosi. Drugi bia uzrok asaka berze jese želja za ubrzavajem vremeskog perioda od ulagaja do profiiraja, odoso mogućos prodaje harije od vredosi pre ego šo oa dospe a realizaciju. Korei berzaske vrse rgovie iz kojih je berza i dobila ime vezuju se za Fladriju, grad Briž i XVI vek. MeĎuim, daašje velike berze asale su mogo kasije. Počeci Njujorške berze vezuju se za 179. godiu, kada se 4 brokera okupilo i popisalo Baovudski sporazum. Nekoliko godia kasije, ačije 181. godie osovaa i je Lodoska berza. Nako oga, pojavom idusrijske revolucije berza dobija sadašje koure: zgradu, pravila poslovaja, orgae upravljaja. Ubrzo posle 199. godie država se uključuje u oo šo je do ada bilo auoomo berzasko pravo i ime zao povećava siguros poslovaja a berzi, pri čemu se vodilo račua da se e ugrozi berzaski mehaizam. 6

72 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike Razvojem račuara i kompjuerizacijom berzaskog poslovaja, pojam ''meso'' u defiiciji berze gubi a začaju. rgovia elekroskim puem je omogućea i o sa bilo kog mesa i skoro eprekido u vremeu. Najveća sveska akcijska berza elekroskog ipa je NASDAQ. MeĎum, i pored svih ovih promea berza je zadržala svoje prve i osove posulae a o su povereje i siguros. Opcijama ili bolje rečeo voreima (warras) se rguje vekovima u mogim zemljama, ali formala razvoj i ekspazija ržiša opcija započela je godie uvoďejem akcijskih opcija a lisu fiasijskih proizvoda Čikaške berze (Chicago Board Opios Exchage ili CBOE). Neplairao, ise godie israživači Blek i Šol (Black & Scholes) i ezaviso od jih Mero (Mero) objavljuju radove u kojima uvode i objašjavaju fudameale pricipe eorije odreďivaja cee opcija koriseći pricip earbiraže. U periodu od godie pa do daas, rgovia fiasijskim derivaima se oliko razvila da se opcijama, fjučserima i osalim fiasijskim derivaima može rgovai u velikim količiama a berzama i ržišima širom svea. 5.1 Srukura berze Akiva (Asses) je osovo fiasijsko sredsvo kojim se rguje a berzi. Pod akivom podrazumevamo sve objeke, koji imaju eku vredos, odoso objeke kojima možemo da rgujemo a berzi. Akivu čie sledeći fiasijski proizvodi: Roba (Commodiy): Bakar, srebro, zlao, afa, sruja, kafa, žio, id. Value (Currecies): Euro, Dolar, Fua, id. Obvezice i države harije od vredosi (Bods) su vredosi papiri, odoso serifikai koje izdaje vlada ili java kompaija koja garauje da će pozajmljei ovac (glavica) sa fiksiraom kamaom sopom bii vraće u dogovoreom roku. Akcija (Sock) eke kompaije: predsavlja ispravu (dokume) koji se za odreďeu sumu ovca izdaje kupcu (vlasiku akcije) i a osovu kojeg vlasik e akcije siče odreďea prava. U zavisosi od vrse akcije i jeog udela u kompaiji, vlasik akcije može imai pravo učešća u orgaima uprave e kompaije kao i u raspodeli jee dobii. Vlasici akcija kompaije azivaju se deoičarima koji a osovu svojih akcija dobijaju prihod u vidu dividede. Fiasijski derivai (Fiacial derivaives,derivaives,securiies, Coige claims) su izvedee harije od vredosi. Predsavljaju složee fiasijske isrumee izvedee iz osove 41 fiasijske akive (uderlyig asse) i jihova vredos odreďea je vredošću, odoso ceom osove fiasijske akive. U derivae spadaju kupove/prodaje opcije, forvard i fjučsers ugovori, id. Harije od vredosi (Securiies) predsavljaju dokumee kojima se obećava isplaa ovca, kamae, zarade ili dividede. Harije od vredosi u užem smislu predsavljaju ivesicioe jediice, odoso harije od vredosi kod kojih posoji rizik ulagaja, koji se kompezuje poecijalom zaradom srazmerom riziku. U harije od vredosi spadaju akcije, obvezice, opcije i druge složeije vrse derivaa, id. Berzaski ideks (Idices) je lisa od akcija reuo ajbolje koiraih kompaija dae države i predsavlja jihovu arimečku srediu Kaže se i primare fiasijske akive. 4 Ideks može da se defiiše i kao saisička mera promea u porfoliju (porfelju) akcija koji predsavlja deo celokupog ržiša. 63

73 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike Ideksima se meri kreaje cee akiva a ržišu. Najčešće ciirai ržiši ideksi su američki ideks: Dow Joes Idusrial Average (sadrži cee akcija 3 kompaija u SAD, kao šo su Microsof, IBM, id), zaim briaski ideks: F-SE, emački ideks: DAXX, kao i japaski ideks: NIKKEI Dow. Najpozaiji srpski ideks je ideks Beogradske berze BELEXKS15. Porfolio (Porfolio) je skup vredosih papira koje poseduje ivesior ili kompaija, gde vredosi papiri e moraju da budu isog ipa. Porfolio može da se sasoji iz akcija, valua, opcija, id. U porfolio čak možemo svrsai i eku vredu svojiu, kao šo su aki, slike, id. Prihod (Isplaa) (Payoff, Payou) je ukupa količia ovca koja se po završeku svih rasakcija a ržišu vraća ivesioru, dok Profi (Dobi) čii razliku prihoda i ivesirae sume ovca (j. čisu zaradu koju dobija ivesior). Sopa priosa (Rae of reur) 43 ukazuje a relaivu promeu uložeog kapiala, odoso predsavlja odos profia i vredosi počee ivesicije. Krako prodavaje (Prodaja a kredi) (Shor sellig) podrazumeva prodaju fiasijske akive po odreďeoj cei i sa dogovoreim daumom predaje vlasišva (u budućosi), gde prodavac u reuku same prodaje e poseduje dau akivu. Ovakva rasakcija a ržišu je dozvoljea i legala. Prodavci koji rguju a ovakav ači običo procejuju da će bii u mogućosi da kupe u akivu po ižoj cei ego po kojoj su je prodali i a aj ači osvare profi. MeĎuim, e mora osvarivaje profia da bude jedii cilj krake prodaje, posoje i druge sraegije koje se korise a ržišu. Kraka pozicija (Shor posiio) je pozicija u kojoj se ivesior alazi ako prodaje akive koju reuo e poseduje. Kraka pozicija može da se osvari razim rasakcijama a ržišu, kao šo su kraka prodaja e akive, kupovia prodaje opcije (pu opio), kao i razim drugim sraegijama, koje e moraju da imaju za cilj profiiraje zbog pada cee e akive. Neke od jih mogu da služe pr. za smajeje rizika (hedge porfolio). Duga pozicija (Log posiio) podrazumeva poziciju u kojoj se ivesior alazi ako kupovie, odoso sklapaja ugovora o kupovii odreďee fiasijske akive i o sa amerom da je zadrži odreďe vremeski period, u iščekivaju porasa jee vredosi, samim im i svoje poecijale zarade. Na primer, za vlasika akcija kompaije McDoald s se kaže da ima dugu poziciju sa McDoald s-om, šo u svari zači da o poseduje u akivu i ima ameru da je zadrži, jer je malo verovao da će opadai vredosi akcija velikih kompaija, kao šo su o Microsof, Coca-cola, McDoald s i druge. Kamaa je adokada za korišćeje pozajmljeog kapiala i ju korisik kapiala plaća vlasiku kapiala. Kamaa sopa (Ieres rae) predsavlja broj jedak izosu koji dužik godišje plaća poveriocu a svakih 1 pozaljmljeih jediica kapiala. Volailos (Volailiy) je pojam koji opisuje esabilos (promeljivos) ržiša, odoso slučaja fakor koji uiče a promeu cee a ržišu.. Diskoovaje (Discouig) je posupak (meoda) za uvrďivaje koliku vredos bi odreďee isplae u budućosi imale daas (u sadašjosi). Drugim rečima o je svoďeje budućih vredosi fiasijskih isrumeaa a sadašje vredosi, koje azivamo diskoe (diskoovae) vredosi (discoued value). Diskoovaje je jeda od osovih pricipa koji se korise u fiasijama i obavlja se ako šo se vredos u budućosi pomoži sa diskoom sopom (discou rae). Diskoa sopa se opisuje kao fikiva kamaa sopa, odoso sopa koju bi dai ovac u budućosi mogao da zaradi da je drugačije bio ulože. 43 Pored aziva rae of reur, a egleskom česo srećemo azive: reur o ivesme (ROI), reur o asse (ROA) lii reur o equiy (ROE). 64

74 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike U fiasijskom žargou posoji izreka: Dolar vredi više daas ego sura. o je posledica čijeice da ovac ima vremesku vredos, jer u sadašjem reuku ovac ima mogućos (kapacie) da osvari ieres, ukoliko se uloži a drugačiji ači. U zavisosi od sraegije koju korise, kao i od dugoročog cilja koji žele da osvare, učesici a ržišu dele se a arbiražere, špekulae i hedžere. Arbiraža (Arbirage) je mogućos da osvari reui profi bez rizika sa počeim ulagajem, ili da se vremeom osvari profi bez rizika i bez ikakvih počeih ulagaja. Osova preposavka efikasog fukcioisaja ržiša je da arbiraža e posoji 44. Imajući u vidu, da su siuacije u kojima se javlja arbiraža reale i moguće, a ržišu se javlja poreba za arbiražerima. Arbiražeri su učesici a ržišu (ajčešće zaposlei od srae same uprave ržiša), koji su zadužei da proalaze i korise eusaglašeosi prilikom zadavaja cee, odoso arbiraže siuacije i od oga zaraďuju profi osloboďe rizika. Samim im šo eko uoči i iskorisi arbiražu priliku, a ržišu izaziva odreďeu reakciju, ako koje se arbiraža prilika prekida. Hedžeri su učesici a ržišu čiji je moiv učešća isključivo zašia od rizika, usled eveualih gubiaka koji bi mogli asai zbog kasijih promea cee odreďeih akiva. Njima je cilj da obezbede kosau vredos svog porfolia, šo posižu korišćejem razih sraegija. Primer jede od akvih sraegija je isovremeo zauzimaje suproih pozicija u fiasijskim derivaima. Na robo-berzaskom ržišu hedžeri bi bili proizvoďači i preraďivači. Špekulai su učesici a ržišu čiji je glavi moiv učešća samo zarada (profi), a e zašia od rizika. Prema ome, špekulai ulaze u velike rizike, a samim im mogu da osvare veće profie ili veće gubike. Oe špekulae koji očekuju ras cee pojediih akiva i u odosu a o formiraju svoj porfolio, azivamo bikovima (bulls), dok oe koji očekuju pad cee azivamo medvedima (bears). 5. Modeli ržiša Osova preposavka efikasog ržiša je da cea ima slučaji karaker i da se kreaje cea dešava a slučaja ači. Prema ome, cea proizvolje akive u budućosi e može se ačo odredii, ali zao se može odredii jea ajverovaija raspodela u daom reuku 45 i a osovu podaaka iz prošlosi mogu se predvidei mogući skokovi u kreaju cea, kao i fukcije očekivaja i disperzije. Osove preposavke, odoso hipoeze ržiša od kojih se polazi pri kosrukciji i razmaraju ržiša jesu: (i) Proces kojim se opisuje kreaje cea a ržišu je Markovski proces. o zači da je prošlos (isorija) procesa cea u popuosi sadržaa u sadašjoj cei, ako da će očekivaje procesa cea zavisii samo od vredosi cee u sadašjem reuku. (ii) Smara se da ržiše reuo deluje a svaku ovu iformaciju o akivi ili a jeu promeu. Korise se razi modeli za opisivaje fiasijskih ržiša. Posebo izdvajamo Biomi model, kao diskrea model ržiša i model geomerijskog Brauovog kreaja, kao eprekida model ržiša. 44 Prema maemičkoj ermiologiji, koju ćemo formalo uvesi malo kasije, ekvivale vrďeju da arbiraža e posoji jese vrďeje da je skup reuaka u kojima se arbiraža javlja skup verovaose mere ula. 45 Odoso skup jeih mogućih vredosi i verovaoće ih vredosi u daom reuku. 65

75 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike Navedimo opše preposavke koje se korise u modelima fiasijskog ržiša. Pre svega, preposavlja se da je ržiše bez frikcija (fricioless), odoso eorijski ideala sredia za rgovaje koja podrazumeva sledeće osobie: Svi ivesiori e mogu da uiču a formiraje cee (All ivesors are price akers). Svi učesici a ržišu imaju podjedako prisup relevaim iformacijama. Prilikom rgovie a ržišu ema rasakcijskih roškova i provizije. Sve akive a ržišu savršeo su deljive i likvide. Kaže se da je ržiše likvido kada je u svakom reuku moguće kupii ili prodai eograičeu količiu akiva a ržišu. U kokreom slučaju, o zači da je moguće pozajmii eograičeu količiu sredsava iz bake (pr. krakom prodajom obvezica). Nema ikakvih ograičeja a izose bakarskih kredia, a kamae sope prilikom davaja i uzmaja kredia su jedake. Dozvoljeo je krako prodavaje vredosih papira, koje se običo upražjava kada je a ržišu zasupljea edecija pada cee pojediih akiva (ada se kaže da je ivesior u krakoj poziciji sa ekom akivom). Pod opcijom se podrazumeva opcija Evropskog ipa. Vlasik opcije ima pravo da izvrši opciju 46 (exercise) i o ačo a daum iseka opcije, odoso daum dospeća (expiry dae). Napomijemo da se avedei skup osobia korisi i pod azivom ržiša mikrosrukura. Prema ome, idealo ržiše (ržiše bez frikcija) podrazumeva odsusvo mikrosrukurog šuma. Ovaj ermi ćemo dalje u radu česo korisii (poglavlje 6). S obzirom a o da ržiše obiluje količiom i razovrsošću fiasijskih proizvoda, kao i velikim brojem učesika, razumljivo je da će učesici imai različie subjekive savove o kreaju cea a ržišu i jihovim verovaoćama. Uopšeo posmarao, moguće je da dve srake koje su povezae opcioim ugovorom imaju različie procee verovaoća kreaja cee osove akive. Pojam subjekiva verovaoća odosi se a idividualo mišljeje pojedica o saju eke akive. Korisi se i ermi reala (svara) verovaoća. Prema ome, jaso je da očekivaje cee proizvolje akive zavisi od subjekive procee ržiša koju apravi ivesior. MeĎuim, da bi se kosruisao pouzda (verodosoja) model fiasijskog ržiša, mora da se, a eki ači, garauje jedisveos cee proizvoda, kao i da se isključi mogućos subjekivog procejivaja cee daog proizvoda. Prema ome, jedisveos cee je primara osobia svakog ržiša. Jeda od ačia da se oa obezbedi je da se, pored uvoďeja dodaih zaheva a ržiše, primei i posupak replikacije porfolia, odoso posupak koji se korisi za odreďivje cee proizvoljog isrumea, pogledai ref. [1]. 46 Izvrseje e mora obavezo da zaci i prodaja. 66

76 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike 5.3 Biomi model ržiša Za počeak, razmorićemo ajedosaviji erivijala i diskrea model fiasijskog ržiša, zv. Biomi model. Na jemu ćemo objasii osove posupke za odreďivaje cee derivaa, kao i osove pojmove koji se kasije korise u složeijim modelima. Ovaj model razvili su, ezaviso jedi od drugih Šarp (Sharpe) (1978), Redelma i Barer (Redlema & Barer) (1979) godie. Iako, posoje biomi modeli sa većim brojem perioda (muliperiod models), počećemo od verzije ovog modela sa vremeskim periodom dužie jeda. Za dealjije objašjeje emaike fiasijskog ržiša, kao i za pregled razih modela koji se koirise za opisivaje ržiša pogledai referece [3], [1], [19] i []. Za biomi model M =(S,B,Φ) preposavljamo sledeće osobie: Dozvoljea je krako prodavaje svih akiva a ržišu, kao i siuacija da se ivesior aďe u krakoj poziciji. Količie svih akiva a ržišu mogu da budu proizvolji reali brojevi, odoso ϕ R. Preposavlja se da ema rasakcijskih roškova prilikom rgovie a ržišu. ržiše je likvido. Podrazumeva se da ema razlike izmeďu kupove cee i cee poude, odoso kupova cea je jedaka prodajoj cei svih akiva a ržišu. Opis biomog modela: Model se posmara u dva vremeska reuka: = (''daas'') i = (''sura''). U modelu se preposavlja da posoje dve osove akive, jeda je visokog rizika (risky asse), a druga je bez rizika (risk-free asee).o su respekivo akcija i obvezica, a jihove vredosi cea u reuku, obeležićemo ozakama: S i B. Verovaosi prosor (prosor ishoda) biomog modela sasoji se iz dva saja: Ω={ω 1,ω }. Dalje, ovaj prosor opremlje je σ-poljima: ={,Ω}, = Ω, gde - sadrži sve podskupove skupa Ω i opremlje je verovaoćom P defiisaom a merljivom prosoru (Ω,), ako da su verovaoće ishoda P={ω 1 } i P={ω } srogo poziive. Proces cea obvezica B je deermiisički proces 47 i opisuje se formulom: B 1, B 1 r, r R, r, gde je r kamaa sopa obvezice za jeda vremeski period. Posojaje obvezice može da se ierpreira i kao posojaje bake sa kamaom sopom r. Sledeći osovi isrume je akcija čija se cea modeluje srogo poziivim diskreim procesom, oblika: S={S }, [,]. Preposavljamo da je proces S adapira filraciji F={, }, šo zači da je slučaja promeljiva S, -merljiva za svako =,, odoso važi: S S R, S ( ) S u, ako je 1, (gde mora da važi uslov: S u >S d )., ako je. d 47 Specijalo, u ovom modelu jese deermiisički, ali u geeralom slučaju e mora da bude. 67

77 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike Osovi pojmovi biomog modela U odeljku 5.1 o srukuri berze pokušali smo da sa ekoomske ačke glediša objasimo ači fukcioisaja proizvoljog fiasijskog ržiša, kao i pojmove koji ga opisuju. U poglavlju šo sledi opisaćemo ise i dodao uvesi druge eophode pojmove, ali ovoga pua sa srožijim maemaičkim prisupom problemu posavke i kosrukcije modela fiasijskog ržiša. Kao šo je već apomeuo u uvodu, ovim posupkom izlagaja aglašea je složeos prelaza sa ekoomskih čijeica i opisa problema a maemaičku formalu posavku modela. Sa amerom je izabra ajedosaviji biomi model za aalizu fukcioisaja ržiša, jer a daom modelu može mogo bolje da se razume ači razmišljaja prilikom formale kosrukcije i formiraja preposavki daog ržiša, koje su eophode za jegovo efikaso fukcioisaje. Za dealja pregled karakerisika biomog modela pogledai referece [3], [1] i [19]. Ovde apomijemo da većia pojmova koji su ovde avedei važe i za mogo složeije modele od biomog, jer se kao osova za kosrukciju većie složeih korisi baš biomi model. Zao smo prilikom defiisaja ili objašjavaja odreďeih pojmova korisilli pojam ''proizvolja model fiasijskog ržiša'' ili ''diskrei model ržiša'' umeso samo biomi model ržiša. Defiicija 5.1. Pod pojmom porfolio podrazumevamo dvo-dimezioali vekor oblika ϕ=(α,β), gde sa α,β R ozačavamo redom, broj akcijskih deoica koje ivesior poseduje u proizvoljom reuku i količiu ovca β, koji je ulože (depoova) a bakovi raču ili pozajmlje iz bake. U om slučaju, sa Φ obeležavamo prosor svih liearih kombiacija porfolia daog oblika ϕ=(α,β). Prema ome, važi:φ =R. Napomea Primeimo da promeljiveα i β mogu da budu i poziive i egaive.ako je β=3, o zači da smo kupili 3 obvezice u ekom reuku, a ako je α =- zači da smo prodali dve akcijske deoice. U fiasijskom žargou, kaže se da imamo dugu poziciju u obvezici i kraku poziciju u akciji. Za proizvolja model, veoma je važo preposavii da su krake pozicije i kraka prodaja dozvoljee. Defiicija 5.. Proces vredosi porfolia ϕ, odoso proces bogasva (wealh process) se u vremeskim reucima = i =, defiiše izrazima: V ( ) S, V( ) S (1 r), (5.1) gde je S cea akcije u reuku dospeća. Defiicija 5.3. Porfolio ϕ azivamo arbiražom prilikom (arbirage opporuiy) ako su ispujei sledeći uslovi: V ( ), V ( ) i P{ V ( ) } (5.) Pojam jaka arbiraža prilika 48 odosi se a porfolio ϕ za koji važe sledeće ejedakosi: V ( ) ( ) i V (5.3) Ukoliko a celom ržišu M e posoji porfolio koji ispujava avedee uslove, oda kažemo da u daom ržišom modelu M ema arbiraže. Napomea Svako ko rguje a ržišu ima za cilj da apravi zaradu sa šo majim ulagajem i u om koeksu arbiraža jese željei porfolio. MeĎuim, posojaje arbiraže se ierpreira kao ozbilja problem eusaglašeosi cea širom ržiša, samim im cee pojediih akiva isu jedisvee. Zbog čega je prirodo proučavai ržie u kome ema arbiraže i u kome a jedisve ači možemo da odredimo ''fer'' ceu proizvolje akive. Lema 5.1. Neka su ispujei sledeći uslovi: u=s u /S, d=s d /S. ada, kažemo da biomi model ema arbiražu ako i samo ako je ispuje sledeći uslov: d r + 1 u. (5.4) 48 Ova dva skupa uslova za arbiražu priliku isu užo ekvivalea. 68

78 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike Defiicija 5.4.Fiasijski deriva(coige claim) 49 proizvolje osove akive, sa vremeom dospeća, je -merljiva reala slučaja promeljiva defiisaa a skupu Ω, sledećeg oblika: X=F(Z), gde je Z proces cea polaze osove akive. Fiasijski deriva X može drugačije da se ierpreira i kao sadardizova ugovor koji svom vlasiku isplaćuje prihod X, u reuku dospeća =. Fukcija F aziva se fukcija ugovora (corac fucio). ipiča primer fiasijskog derivaa je evropska kupova opcija koja je izvedea iz akcije kao osove akive. Defiicija 5.5. Neka je model ržiša oblika M =(S,B,Φ). Ceu derivaa X u reuku ozačićemo sa (X), dok ćemo ceu (X) azivai proizvodom ceom derivaa X. Napomea Najvažiji problem a ekom fiasijskom ržišu jese odreďivaje ''fer'' cee derivaa (ako oa uopše posoji za dai deriva). Navedea ''fer'' cea izračuava se ako šo se sve moguće arbiraže prilike koje mogu da asau u vezi sa ceom daog derivaa izbegavaju. Prema ome, zaključujemo da fer cea daog derivaa X u reuku mora da bude jedaka vredosi profia daog derivaa u reuku, odoso da bi uspešo izbegli arbiražu mora da važi uslov: (X)=X. Sledeće šo reba odredii je cea daog derivaa u reuku =: (X). Defiicija 5.6 Za proizvolji deriva X kaže se da je dosiža (reachable) a ekom ržišu M =(S,B,Φ), ako posoji porfolio ϕ akav da važi: V (ϕ)=x sa verovaoćom jeda. U om slučaju, kažemo da porfolio ϕ replicira dai deriva X, odoso da je porfolio ϕ replikacioi porfolio. Napomea Ako je odreďei deriva X dosiža, odoso ako posoji porfolio ϕ koji replicira,ada sa fiasijske ačke glediša ema ikakve razlike izmeďu posedovaja daog derivaa X ili porfolia ϕ, jer ša god da se u meďuvremeu dogodi a ržišu, vredosi derivaax i porfolia ϕ biće jedake u reuku. Prema ome cea derivaa X reba da se poklopi sa ržišom vredošću replikacioog porfolia. Defiicija 5.7 Ako svaki deriva a ržišu može da se replicira kažemo da je ržiše kompleo 5. Lema 5. Ako preposavimo da biomi model ema arbiražu, odoso ako važi uslov: d r + 1 u, oda je biomi model komplea Pricip određivaja cea u biomom modelu U biomom modelu odreďivaje cee se vrši a sledeći ači: (i) Ako je proizvolji deriva X dosiža zači da može da se replicira ekim porfoliom ϕ i ada jedii razumi (''fer'') proces cee derivaa X, mora da ispui sledeći uslov: ( X ) V ( ),,. (5.5) (ii) Ako preposavimo da je deriva X dosiža, j. da posoji porfolio ϕ koji ga replicira, ada važi sledeće vrďeje: Ako u počeom reuku =, za ceu derivaa X uzmemo bilo koju drugu vredos različiu od V (ϕ), oda siguro dobijamo arbiražu priliku. Drugim rečima, da bi izbegli arbiražu priliku mora da bude ispuje uslov: (X)= V (ϕ). (5.6) Defiicija 5.8. Proizvoda cea (X) derivaa X, izvedea pod preposavkom da u ržišom modelu M ema arbiraže, aziva se arbiražom ceom derivaa X (arbirage free price). 49 Fiasijski deriva drugačije se aziva i Uslovo pravo a zahev. 5 Navedea osobia kompleosi ržiša se poklapa sa defiicijom kompleosi meričkog prosora koja je daa u defiiciji 8.15 u prilogua. 69

79 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike Napomea S obzirom, da a realom ržišu posoji mogućos da se pojavi arbiraža prilika, možemo da kažemo da je arbiraža cea izvedea u savršeim uslovima ržiša, odoso u uslovima koji isu svari, jer su moge reale okolosi zaemaree. Zbog oga se do arbiraže cee ekog proizvoda a fiasijskom ržišu dolazi, pre posredsvom zv. arbiražera, ego racioalim i logičim ivesicioim odlukama svih učesika a ržišu. Arbiražeri svojom pojavom i delovajem a ržišu usaglašavaju subjekive cee kupaca i prodavaca ekog proizvoda i dovode do pojave jedisvee cee daog proizvoda, koju smo mi defiisali kao arbiražu ceu ( fer ceu). Prema ome, ama je u ieresu da arbiražu ceu defiišemo kao vredos koja isključuje sve moguće arbiraže prilike, koje mogu da asau prilikom repliciraja proizvoljog derivaa X. Lema 5.3 Preposavimo da u ržišom modelu M =(S,B,Φ) ema arbiraže. Ozačimo sa H racioali proces cea proizvoljog dosižog derivaa X, za koji važi: H R i H =X. Ako sa Φ H ozačimo ovu klasu svih porfolia koji su dobijei kao kombiacija akcija, obvezica i ovog derivaa H, ada proširei ržiši model, u ozaci: (S,B,Φ,Φ H ) ema arbiražu ako i samo ako važi: H = (X). Napomea Pokazuje se da je repliciraje porfolia ajopimaliji ači korole rizika (hedgig) Pricip određivaja cea u biomom modelu (posupkom replikacije porfolia) Sada ćemo razmorii kada za eodreďe (proizvolja) deriva X sa vremeom dospeća posoji replikacioi porfolio u biomom modelu M i ako posoji da li je jedisve u daom modelu. Neka je dai deriva X oblika: X X ( ) X u d, ako je,, ako je. ada, a osovu I.pricipa odreďivaja cea (5.5), dobijamo replikacioi porfolio ϕ=(α,β) iz sisema liearih jedačia oblika 51 : u u S (1 r) X, d d S (1 r) X, Iz ovog sisema jedačia dobijamo jedisveo rešeje za α i β : 1 (5.7) u d d u u d X X X S X S, u d u d S S (1 r)( S S ), za eodreďee vredosi X u i X d. Prema ref. [1], ako sisem liearih jedačia ima jedisveo rešeje, ada za eodreďei deriva X posoji jedisvei replikacioi porfolio i a osovu II.pricipa odreďivaja cea (5.6) posoji i jedisvea proizvoda cea a ržišu M koja je sledećeg oblika: u d d u u d def X X X S X S ( X ) V ( ) S S u d. (5.8) u d S S (1 r)( S S ) 51 Budući da se model sasoji iz dva saja ω 1 i ω, zaključujemo da se i sisem jedačia sasoji iz dve jedačie. 7

80 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike Napomea Geeralo, proizvoda cea srogo poziivog derivaa X može da bude i egaiva u kosruisaom modelu.u om slučaju a ržišu posoji profiabila eriziča rgoviska sraegija, zv. arbiraža mogućos, koja se sasoji iz akcije i erizičog davaja i uzimaja kredia. Da bi elimiisali akve epovolje siuacije, j. arbiraže mogućosi koje su proivreče sa racioalom predsavom ržiša, moraćemo da u aš prosi model ržiša uvedemo još eka dodaa ograičeja Pricip određivaja cea u biomom modelu (posupkom određivaja Marigalske mere) Objasili smo posupak za odreďivaje cee proizvoljog derivaa u biomom modelu, posupkom repliciraja. MeĎuim, posoji i drugi posupak kojim se odreďivaje ''fer'' cee svodi a odreďivaje ove mere verovaoće P*, koja je ekvivalea svaroj meri P. Jedosavim sreďivajem sisema jedačia (5.7) dobija se lieara jedačia, koja je pozaa pod egleskim azivom Risk-eural valuaio (pricig) formula i glasi: 1 u * * d S (1 r) ( p S (1 p ) S ). (5.9) gde su p * i (1 p * ) eegaivi brojevi koji u zbiru daju jeda (dobijaju se rešavajući jedačiu (5.9) po epozaoj p * ). Možemo da ih umačimo kao verovaoće dogaďaja ω 1 i ω u odosu a ovu meru verovaoće P* i izose: (1 r) S S * * P { 1} u d p S S d i u * S (1 r) S * P u d (1 p ) { } Defiicija 5.9. Nova mera verovaoće P* aziva se marigalska mera (mera sa euralim rizikom) ukoliko važi sledeći uslov: 1 1 S EP * S E P* (1 r) S (1 r) 5. (5.1) Dalje, defiišimo diskoovai proces cea akcija S* pomoću sledećih izraza 53 : *, * (1 ) 1 S S S S S r S. (5.11) Na osovu avedeog izraza za diskoovai proces cea sledi da se formula (5.1) može zapisai kao marigalski ideie koji je oblika: S * * P* S E [ ], (5.1) Dakle, možemo da zaključujemo da je diskoovai proces cea akcija S* mariglaski proces u odosu a ovu meru verovaoće P*, odoso da je diskoovai proces cea akcija P*-marigal. Prema ome, za meru verovaoće P* možemo da korisimo aziv marigalska mera diskoovaog procesa S*. Navedei meod za izračuavaje cea derivaa aziva se marigalski meod i o se zasiva ujedo i a marigalskim procesima i a odreďivaju odgovarajuće marigalske mere. Marigalski procesi mogu iuiivo da se predsave kao verovaosi model ''Fer igre''. o zači da diskoovai proces S* može da se proumači kao model za fer igru, ali u ekoomiji sa euralim rizikom (riskeural ecoomy) u kojoj su verovaoće budućih flukuacija cea odreďee baš marigalskom merom P*. Zbog oga se mera P* drugačije aziva i verovaoća euralog rizika (risk eural probabiliy).. 5 Formula (5.1) je ekvivalea zapis formule (5.9). 53 Diskoovai proces cea akcija može da se proumači kao model diskoovaja cee akcija. 71

81 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike Lema 5.4. Diskrei ržiši model ema arbiražu akko posoji ekvivalea marigalska mera P*. Lema 5.5. Neka biomi model M=(S,B,Φ) ema arbiražu. ada se arbiraža cea u počeom reuku, proizvoljog derivaa X sa vremeom dospeća, dobija iz formule (5.9): ili iz jeog ekvivaleog oblika: 1 u * * ( X ) V (1 r) ( p X (1 p ) X ), 1 1 ( X ) EP * X E P* (1 r) X (1 r). (5.13) Marigalsku meru p* odreďujemo a jedisve ači iz sledeće formule: S E S d 1 P* (1 r). (5.13a) Napomea Prema ome, ako je uslov odsusva arbiraže u ekom ržišom modelu zadovolje, ada siguro posoji marigalska mera i prema ome moguće je odredii proizvodu ceu derivaa X. MeĎuim, može da se desi da posoji više različiih i ekvivaleih marigalskih mera. Osobia kompleosi ržiša am obezbeďuje jedisveu marigalsku meru, odoso jedisveu ceu zadaog poraživaja (claim) X. Iuiivo je jaso da subjekiva i svara verovaoća e reba da uiče a odreďivaje cee opcije, j. e bi rebalo da idividuale procee, odoso progoziraja verovaoća mogućih dogaďaja a ržišu (pr. pad i ras cea eke akive) uiču a odreďivaje cee ekog derivaa. Poreba am je eka ''zajedička formula'' za izračuavaje cea derivaa a ržišu, koja bi važila za sve ivesiore, bez obzira a jihov subjekivi sav prema riziku, a o je baš Risk-eural pricig formula. Prema ome, izračuavaja ''fer'' cee fiasijskog derivaa, koja e predsavlja arbiražu priliku izvodimo kao da svaro rgujemo a ržišu bez rizika (risk-eural marke) i za a izračuavaja korisimo avedei marigalski meod i risk-eural pricig formulu. Pri ome, e podrazumevamo svaro da je reala sveska ekoomija iso šo i ekoomija sa euralim rizikom, već am ekoomija sa euralim rizikom služi više kao ala za jedosavija izračuavaja cea fiasijskih isrumeaa. Osova ideja odreďivaja cee ekog derivaa zasovaa je isključivo a posojaju (egziseciji) porfolia koji savršeo šii ivesiora od izložeosi riziku (zv. replikacioog porfolia) 54, gde se rizik javlja usled eodreďeosi budućih cea razih fiasijskih isrumeaa a ržišu. Na osovu oga, zaključujemo da kokree vredosi verovaoća elemearih dogaďaja isu od olikog začaja za odreďivaje cee proizvoljog derivaa, koliko je važije odredii samu srukuru svare verovaoće P, a e apravii kokrea izbor verovaoće iz skupa uzajamo ekvivaleih mera verovaoće. U praksi, odoso u ekoomskoj ermiologiji ovo se objašjava kao čijeica da se svi ivesirori (kao i osali učesici a ržišu) slažu u vezi oblika i opsega budućih flukuacija cea osovih fiasijskih isrumeaa, ali mogu da imaju različie idividuale procee verovaoća fiasijskih isrumeaa a ržišu j. različie subjekive verovaoće. Prema [1] ajvažija uloga u posupku odreďivaja cea koju ima svara (reala) veorvaoća jese u samom odreďivaju srukure svare verovaose mere P, odoso u uvrďivaju koji su dogaďaji u skupu ishoda mogući a koji emogući.maemaički rečeo, a osovu jih se uvrďuju klase ekvivaleih verovaosih mera. 54 Porfolio koji šii ivesiora od rizika aziva se hedž porfolio (hedge porfolio), šo u bukvalom prevodu zači korolu rizika. 7

82 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike 5.4 Složei modeli ržiša Diskrei modeli ržiša Za dealja uvid u složeije diskree i eprekide modele koji se korise za opisivaje ržiša pogledai referece [3], [1] i []. Uopšeiji model od biomog jese jedoperiodi model, koji sadrži N osovih akiva (S 1,S...,S N ), pri čemu se preposavlja da skupu osovih akiva pripada i jeda obvezica: B=S 1. Sličo kao šo smo odreďivali počeu j. proizvodu ceu ekog derivaa u biomom modelu, ako am je i u daom jedoperiodom modelu od ieresa da odredimo fer, odoso arbiražu proizvodu ceu proizvoljog derivaa X. Drugim rečima, želimo da odredimo proizvodu ceu derivaa X, koja je u skladu sa skupom osovih akiva (S 1,S...,S N ), ali ako da arbiraže prilike e posoji i u polazom i u prošireom modelu ržiša, koji je oblika: (S 1,S...,S N, ), gde je replikacioi proces daog derivaa, ref. [3]. Ovaj problem se rešava sličo kao i u biomom modelu, korišćejem sledeće leme: Lema 5.6. Proširei ržiši model (S 1,S...,S N, ) ema arbiražu akko posoji marigalska mera p* akva da važe sledeći izrazi: 1 1 ( X) E P* [ 1( X)], S E P* [ S1]. (5.14) (1 r) (1 r) Na osovu dae leme, možemo da se zapiamo ša se dešava ako a ržišu posoji više različiih marigalskih mera? Da li i om slučaju a ržišu ema arbiraže? Odgovor je sledeći: Ako posoji jeda marigalska mera, ada će prema prehodoj lemi, za dau meru p*, svi replikacioi i samofiasirajući porfolii daog derivaa X imai ise vredosi u svakom reuku. Šaviše, ova zajedička vredos cee derivaa X je isa i za različie izbore ekvivaleih marigalskih mera, ukoliko posoji više različiih marigalskih mera, odoso ako je ržiše ekompleo. o zači da oi derivai koji mogu da se repliciraju će čak i u ekompleim ržišima imai jedisveu ceu u svakom reuku, odoso jihova cea eće zavisii od izbora marigalske mere, ref. [3]. Prema ome, sledeća jedakos važiće za sve marigalske mere p* i za sve replikacioe porfolie: 1 ( X) E P* [ X]. (1 r) Dakle, ako posoji više različiih ekvivaleih marigalskih mera, ada oi derivai koji mogu da se repliciraju e predsavljaju arbiraže prilike. Ova pojava posojaja više različiih marigalskih mera je posledica edosaka kompleosi ržiša, šo je avedeo u apomei a 7. srai. Prema defiiciji 5.7 važi da je ržiše kompleo ako svaki deriva a ržišu može da se replicira, šo u daom jedoperiodom modelu maemaički može da se opiše a sledeći ači. ržiše je kompleo ako i samo ako prosor liearih kombiacija osovih akiva obuhvaa prosor svih mogućih ishoda. Na osovu avedeog sava, leme 5.6, kao i defiicije 5.7 možemo da izdvojimo dve osove eoreme fiasijske maemaike, koje važe, kako u proizvoljim diskreim modelima ržiša, ako i u eprekidim modelima ržiša, ali u malo izmejeom obliku. Dae eroreme glase: eorema 5.1 (I fudameala eorema). Diskrea model fiasijskog ržiša ema arbiražu ako i samo ako posoji ekvivalea marigalska mera. Daa mera e mora da bude jedisvea. eorema 5. (II fudameala eorema). Za diskrea model, u kome se preposavlja da ema arbiraže, kaže se da je komplea ako i samo ako posoji jedisvea ekvivalea marigalska mera. 73

83 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike Sledeći, malo složeiji diskrea model jese višeperiodi model, koji kao i biomi model sadrži dve akive, akciju i obvezicu kao predsavike skupa osovih akiva. Za razliku od biomog dai model sadrži više vremeskih perioda. Priseimo se da u kompleim ržišima, kao šo je o biomi model posoji jedisvea cea za svaki izvedei deriva, pri čemu je a cea odreďea vredošću replikacioog porfolia. Dalje, primeimo da je osovi razlog za kompleos biomog modela čijeica da posoje ačo dva osova (uderlyig) fiasijska isrumea (B i S), koji se korise pri rešavaju sisema od dve jedačie, pri čemu svaka od jedačia predsavlja kraji mogući ishod u daom prosoru ishoda. Ovo možemo da geeralizujemo savom da je model komplea ako se broj osovih akiva, uključujući i bakovi raču, poklapa sa brojem ishoda u daom prosoru. Imajući ovaj sav u vidu, posupak kosrukcije višeperiodog modela ržiša deluje priličo obeshrabrujuće. Na primer, ukoliko bi želeli da aš višeperiodi model poseduje vremeskih perioda i dve osove akive, sledi da u om slučaju prosor ishoda sadrži oko ~1 6 elemeaa ishoda, šo uveliko prevazilazi broj svih mogućih akiva a bilo kojem posojećem ržišu. o bi začilo da je emoguće kosruisai komplea model sa dovoljo velikim brojem vremeskih perioda, šo aravo ije isia. Siuacija ipak ije oliko loša, jer ćemu u ovom višeperiodom modelu malo oslabii uslove biomog modela i dozvolii da porfolio ima mogućos rebelasiraja u vremeu, ref. [3]. Navedei posupak pruža mogo više sepei slobode porfolia. akav porfolio azivaćemo samofiasirajućim porfoliom i o je prisua kod višeperiodih diskreih i eprekidih ržiša. Podrazumeva se da a počeku perioda ivesior poseduje porfolio iz prehodog perioda [-Δ,), odoso da se vredos porfolia a počeku perioda dobija kada se proda sari porfolio, iz perioda [- Δ,) po reuim ceama. Nako prodaje ili krake prodaje akiva dobijei fikivi ovac može da se reivesira u ovi porfolio.o ovom porfoliu se odlučuje ek ako posmaraja cee akiva u daom reuku i a osovu iformacija koje ivesior poseduje iz prehodog peroda [-Δ, ). S obzirom a o da se radi o diskreom modelu možemo da kažemo da je Δ =1. Defiicija 5.9 (Samofiasirajući porfolio). Porfolio se aziva samofiasirajućim, ako u svakom reuku počev od jegovog formiraja pa adalje, ema ikakvih dodaih ulagaja ii povlačeja ovca iz jegovih fodova 55. Drugim rečima, sve promee u vredosi daog porfolia jesu posledica dobiaka ili gubiaka realizovaih ivesicijama ulagaih iz sredsava samog porfolia, [9]. Neka je skup osovih akiva daog višeperiodog diskreog modela jedak ureďeom paru: (S,B) i eka je porfolio oblika ϕ=(α,β), gde α,β redom ozačavaju broj akcija i broj obvezica. ada za dai porfolio kažemo da je samofiasirajući ako važe sledeće jedakosi: V V S B, odoso (5.15) i i i i i1 S B S B pri čemu važi da ΔS predsavlja razliku reue (sadašje) cee i cee u prehodom reuku:δs=s() S( Δ), odoso u diskreom modelu: ΔS=S( ) S( 1 ). Navedei višeperiodi model sa dvočlaim skupom osovih akiva predsavlja polazu osovu za kosrukciju eprekidog modela. Neprekidi model fiasijskog ržiša dobija se kada primeimo limes a jedačiu (5.15) kada Δ, odoso ako se preposavi da je period izmeďu dva uzasopa vremeska reuka ifiiezimalo mali. Prilikom prelaska sa diskreog a eprekidi model reba imai u vidu ači a koji je defiisa Ioov iegral. Priseimo se da su ikremei Brauovog kreaja i Ioovom iegralu oblika: W( +1 ) W( ), odoso da su oi eprekidi sa dese srae (razlike su posavljee uapred ), dok su 55 Prema ome, kupovia ovih akiva u daom porfoliu se fiasira prodajom sarih. 74

84 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike ikremei procesa cea akcija S u jedačii (5.15) eprekidi sa leva (razlike su posavljee uazad ). Prema ome, reba vodii račua prilikom ovog posupka, [3]. U ovom odeljku počeli smo sa jedoperiodom modelom, koji je imao prošire skup osovih akiva i asavili sa višeperiodim modelom koji je imao elemeara skup osovih akiva. Na kraju, avodimo da se objedijavajem ova dva modela može formirai složeiji diskrei višeperiodi model ržiša, koji se sasoji iz većeg broja različiih akiva. o mogu da budu razi ipovi akcija i obvezica sa različiim daumima dospeća, kao i raze vrse fiasijskih derivaa. Preposavlja se da ovaj višeperiodi model sadrži N osovih akiva oblika: (S 1,S...,S N ), gde važi B=S 1. Ovaj model je daleko uopšeiji u odosu a prehoda dva i ajpribližije opisuje saje realog ržiša. U daom modelu porfolio se predsavlja proizvoljim adapiraim N-dimezioalim procesom. Običo se preposavlja da je porfolio Markovski proces, odoso da zavisi od svoje prošlosi isključivo preko sadašje vredosi cee, dok se u geeralom slučaju dopuša i da porfolio zavisi od čiave rajekorije cee iz prošlosi. Napomijemo da se i iz ovog modela, ukoliko pusimo da vremeski ierval Δ, dobija eprekida model fiasijskog ržiša Neprekidi modeli ržiša U prehodom poglavlju ukrako smo objasili posupak prelaska sa diskreog a eprekida model fiasijskog ržiša koji sadrži dve osove akive. S obzirom a o da je posupak isi i kada model sadrži veći broj osovih akiva, preposavićemo ubuduće da dai eprekida model poseduje dve osove akive S i B. Neprekida model ržiša pogledai u refrecama [3], [9], [1] i [], s im šo je u refereci [3] kompleo opisa. Iako u eprekidom modelu posoje različie verzije kocepa ržiša bez arbiraže, osovo začeje osaje iso kao i u diskreom modelu, a o je da je emoguće apravii profi i iz čega bez preuzimaja ekog rizika. Osova razlika izmeďu ova dva modela jese pre svega u ome so se umeso koačih izova slučajih promeljivih, kreaje cea fiasijskih isrumeaa opisuje slučajim procesima eprekidim u vremeu. akoďe se preposavlja da su procesi cea Markovski, odoso da zavise od prošlosi isključivo preko reue (sadašje) vredosi cee. Ako preposavimo kao i u koačom modelu, da je porfolio oblika ϕ=(α,β), gde su α,β redom broj akcija i broj obvezica koje ivesior poseduje u proizvoljom reuku, ada se ržiša vredos porfolia u om reuku odreďuje prema formuli: V =α S +β B, dok se promea vredosi porfolia u zavisosi od prirašaja cea akiva u vremeskom periodu Δ, odreďuje prema formuli: dv = α ds +β db. Prema ome, u eprekidom modelu porfolio oblika ϕ=(α,β),, azivamo samofiasirajućim ukoliko je promea vredosi porfolia isključivo posledica promee cee akiva koje porfolio sarži i kada pusimo da Δ u jedačii (5.15) dobijamo izraz za vredos porfolia u reuku u iegralom obliku: V ( ) V () ds db u u u u. (5.16) Podrazumeva se da su procesi koji opisuju ceu akiva S i B semiraigalski procesi, dok su α i β predvidljivi procesi, koji moraju da zadovolje odreďee uslove egzisecije i defiisaosi sohasičkih iegrala. Napomijemo da prvi iegral ije Ioov iegral ego sohasički ieral kome je iegraor semiraigalski proces. 75

85 5. Osovi pojmovi iz fiasijske maemaike Dalje, u asavku objasićemo začeje pojma volailosi, s im šo posoji više različiih ačia ierpreacije ovog pojma, u zavisosi od modela ržiša u kojem se volailos opisuje. Sa ekoomske ačke glediša, volailos predsavlja meru promeljivosi, odoso esabilosi fiasijskog ržiša, odoso meru rizika, pogledai defiiciju a srai 64. Dakle, u ekoomskoj lierauri volailos se defiiše kao varijasa od obra (sope priosa) logarima cee, šo se poklapa sa avedeim opisom volailosi. Ova defiicija volailosi odgovara Blek-Šolsovom modelu fiasijskog ržiša, u kome se preposavlja da je volailos kosaa u odreďeom vremeskom periodu, []. MeĎuim, posoji uopšeiji kocep ovog pojma, koji podrazumeva da je i sama volailos fukcija dodaih izvora slučajosi. akvi modeli ržiša se azivaju modeli se sohasičkom volailošću. Prema ome, u modelima fiasijskih ržiša u kojima se proizvolji merljivi ekoomski podaci opisuju, odoso modeliraju semimarigalskim procesima, kao šo je o prehodo opisa model, dopuša se da varijasa bude slučaja fukcija. Podseimo se da semimarigalske procese opisujemo Ioovim sohasičkim diferecijalom oblika:ds(,ω)=α(,ω)d+β(,ω)db, gde je B Brauovo kreaje.dakle, u avedeim modelima sohasičke volailosi, volailos defiišemo formulom:v (,ω)=β (,ω), odoso kao:v = β.da budemo preciziji, volailos defiisau a ovaj ači azivaćemo i reuom volailošću. Osove eoreme fiasijskih ržiša u eprekidom modelu i dalje važe ali su delimičo izmejee, šo je delom i posledica čijeice da se cea akiva u ovom modelu opisuje semimarigalskim procesima. eorema 5.3 (I fudameala eorema). Ako u eprekidom modelu fiasijskog ržiša posoji ekvivalea marigalska mera oda dai model ema arbiražu 56. Obrua implikacija u eprekidom modelu važiće samo pod dodaim uslovima. eorema 5.4 (II fudameala eorema). Neprekida model ržiša je komplea ako i samo ako posoji jedisvea ekvivalea marigalska mera u kojoj je proces S /B marigal. 56 Primeimo da, u slučaju eprekidog modela ržiša, implikacija prve fudameale eoreme više e važi u oba pravca, već samo u jedom. 76

86 6. Određivaje iegrisae volailosi iz gusog skupa fiasijskih podaaka u prisusvu šuma U ovom poglavlju bavićemo se aalizom rada auora Sahalia, Zeg i Miklad (Sahalia, Zhag ad Myklad) (5) [1]. U avedeom radu objašjavaju se posupci za račuaje iegrisae volailosi (IV) fiasijskih podaaka visokih učesaosi i predlaže se ov ači ocejivaja daog paramera. Navešćemo eorijske rezulae za svaku oceu poaosob i predložii posupak za simulaciju i proveru avedeih eorijskih rezulaa. U aalizi fiasijskih podaaka visokih učesaosi ajveći problem predsavlja eparamearsko odreďivaje volailosi povraog procesa cea. Uobičajea praksa u fiasijama je da se procea volailosi izračuava iz sume guso uzorkovaih kvadraih obra (sopa priosa) 57 ekog procesa. Ovaj ači ocee volailosi je opravda, pod preposavkom da se radi o eprekidom sohasičkom modelu u idealizovaom sveu. MeĎuim, u prakičim primeama ovaj meod ailazi a reala problem ržiše mikrosrukure. U radu [1] je pokazao da je ovakav usalje meod procee volailosi pogreša, jer previďa grešku. Uobičaje posupak koji se korisi u praksi da bi se prevazišao ovaj problem jese da se veliki deo raspoloživih (dosupih) podaaka odbaci. Odbacivaje se sprovodi ako šo se uzorkovaje podaaka vrši u majim vremeskim iervalima. Objasimo ovaj problem a sledećem modelu. Neka je S proces cea proizvolje akive a ržišu i eka je X logariamski proces cea e akive, odoso proces oblika:x =logs. Za počeak, preposavimo da je X Ioov proces sa Brauovim kreajem B, koeficijeom drifa μ i reuom varijasom σ, j. posmaraćemo model sledećeg oblika: dx d db, (6.1) Zaima as da proceimo paramear iegrisae (kumulaive) volailosi, u ozaci X,X, iz skupa podaaka koji predsavljaju ceu posmarae akive, koja je opisaa modelom (6.1). Paramear iegrisae volailosi se običo posmara duž jedog vremeskog perioda i u om slučaju se račua prema formuli: X,X = σ d, ali može da se posmara i duž više uzasopih vremeskih perioda. 57 Pojam obra (sope priosa) proizvoljog procesa defiisa je u primeru 4.4, izrazom (4.18). 77

87 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka Primeimo da je avedea formula za iegrisau volailos iso šo i izraz za eprekidu kvadrau varijaciju Ioovog procesa (eorema 3.1; izraz (3.31)). Prema ome, priroda ači da se izvrši ocea iegrisae volailosi duž proizvoljog vremeskog iervala [,] je da se za oceu (esimaor) korisi sledeći izraz: i i1 i [ X, X ] : ( X X ), (6.) gde X i predsavlja sve posmarae vredosi logariamskog procesa cea a iervalu [,]. Navedea ocea iegrisae volailosi se ajčešće korisi u praksi i pozaa je pod azivom Realizovaa volailos, odoso Realizovaa varijasa. Na osovu eoreme o kvadraoj varijaciji Ioovog procesa (eorema 3.1), sledi da je aproksimacija (6.) eorijski opravdaa 58 ako je proces čija se iegrisaa volailos račua baš Ioov proces, jer je za jega pozao da važi sledeća kovergecija: p i 1 i lim ( X X ) d. (6.3) i MeĎuim, u praksi ije moguće direko primeii idealizovai model Ioovog procesa (6.1) kao model za kreaje cea a ržišu, jer se a realom ržišu javljaju razi problemi, koji su u eoriji zaemarei. Sve pojave koje se iču ačia rada i same orgaizacije ržiša zavedee su pod zajedičkim azivom ržiša mikrosrukura. u se podrazumevaju pojave kao šo su: razlika u kupovoj i prodajoj cei (bid ask spread), rasakcijski roškovi, provizije, likvidos, kao i raze druge reale pojave a ržišu. Da bi kovergecija (6.3) realizovae volailosi (RV) važila, posmarai proces čiji se podaci uzorkuju mora da bude Ioov proces. S obzirom a o da a realom ržišu avedei uslovi isu ispujei, može da se očekuje da u praksi dolazi do velikih odsupaja ocee RV. Objasimo ovaj feome sa saoviša eorije slučajih procesa. Budući da u realim uslovima posmarai logariam procesa cea ije semimarigal kao šo smo preposavili u modelu (6.1), sledi i da ocea, odoso esimaor RV e kovergira ka iegrisaoj volailosi sa povećavajem frekvecije uzorkovaja, kao u šo je o slučaj u jedačii (6.3). Empirijski je povrďeo da ocea (RV) ije sabila kada se uzorkovaje cea vrši češće, odoso ukoliko se uzorkovaje vrši u kraćim vremeskim iervalima. U om slučaju, mikrosrukuri problemi posaju sve izražeiji i uiču a o da i ajfiije uzorkovai podaci posaju beskorisi. Pojava velikih odsupaja u procei volailosi, kao i pojava esabilosi esimaora usled promee dužia iervala uzorkovaja, su posledice koje jeda sabila esimaor e bi rebao da poseduje. Upravo ovakve pojave su razlog, u praksi zasupljeog običaja da uzorkovaje povraog procesa X e reba vršii česo. Ovakav posupak proreďeog uzorkovaja se primejuje u praksi bez obzira a o šo se vredosi pojediih procesa mogu očiavai sa veoma visokom frekvecijom, koja u pojediim slučajevima može da bude čak i ekoliko pua u sekudi. Dužia uzorkovaja u praksi može da bude proizvolja. Na primer, za podake koji opisuju kreaje devizog kursa (exchage rae daa), ajčešće se uzorkovaje obavlja u proizvoljom opsegu iz iervala od 5 do 3 mi. Kokreo, ako se uzorkovaje polazih podaaka do sada vršilo jedom u svakoj sekudi, ada odlagaje opservacije a svakih 5 mi umeso u svakoj sekudi, rezuluje odbacivajem 99 podaaka od svakih 3 podaaka. Ovakav empirijski ači obraďivaja podaaka je u prakičom smislu efeka, jer bolje procejuje paramear volailosi, ali zao e ispujava eke od osovih saisičkih pricipa. U saisici je eško prihvaii da odbacivaje podaka, pogoovo u olikoj količii, može da bude opimalo rešeje problema, jer uzorkovaje a većim vremeskim iervalima više smajuje uicaj mikrosrukurog šuma, ego šo ispravlja jegove loše efeke koji uiču a proceu volailosi. 58 Prema defiiciji 8.8.a iz priloga A sledi da limes π-kvadrae varijacije Ioovog procesa X posoji i da sa povećajem frekvecije uzorkovaja posmaraih vredosi procesa X (j. sa povećejem broja ) π-kvadraa varijacija kovergira ka iegrisaoj volailosi. Šo zači da se greška ocee realizovaa volailos smajuje sa povećajem frekvecije uzorkovaja. 78

88 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka S obzirom da posojeća ocea ima velika odsupaja, u slučaju da uslovi a ržišu odsupaju od modela (6.1), a posupak koji se korisi u praksi e ispujava osove saisičke pricipe, kosruisaćemo ovi saisički apara sa sledećim svojsvima: Da korisi sve moguće podake dosupe a ržišu. Da e zavisi od promee frekvecije uzorkovaja i da pri ome zadrži osobie koje jeda sabila ocea (esimaor) iegrisae volailosi reba da poseduje. Dakle, preposavićemo da su posledice koje ržiša mikrosrukura ima a posmarae podake, doekle ise kao i posledice koje ima adiiva saisička greška a ise e podake, odoso preposavićemo da je proces koji se posmara sledećeg oblika: Y X, (6.4) i i i gde je X eopservabili, skrivei Ioov logariamski proces cea, koji je perurbova ezavisom kompoeom šuma ε i, a ε i je čla koji se pojavljuje zbog saisičke greške.napomijemo da je Y i svari (reali) posmarai proces, koji se aalizira direko a ržišu. Prema radu [1] defiisaćemo eophode uvode pojmove i objasii posupak kosrukcije ove ocee (esimaora), koju ćemo dalje u eksu azivai ajboljom oceom. Pored ajbolje ocee, ukrako ćemo aalizirai još čeiri ocee iegrisae volailosi sa slabijim karakerisikama od ajbolje. Programskom simulacijom ćemo povrdii eorijske rezulae u radu [1]. 79

89 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka 6.1 Aaliza ocee realizovae volailosi u prisusvu šuma (brza vremeska skala - BVS) Posavka problema (defiicije i preposavke) Ocea realizovae volailosi ProreĎeo uzorkovaje Ukupa greške proreďeog uzorkovaja Opimala frekvecija proreďeog uzorkovaja Posavka problema (defiicije i preposavke) Neka jey svari logariamski proces cea, koji se posmara u reucima =, 1,..., =. Na osovu oga, preposavićemo da su u daim vremeskim reucima, svari proces Y i skrivei (eobservabili) proces X 59, povezai jedačiom (6.4), dok je skrivei proces X da jedačiom (6.1). Lema 6.1 (Preposavke za proces šuma). Preposavimo da proces šuma ispujava sledeće uslove: (i) Ozaka ε i predsavlja iz ezavisih slučajih promeljivih sa ideičim raspodelama i sa očekivajem i varijasom oblika: Eε i = i Var(ε i )=E(ε ). (ii) Veličia ε je ezavisa od procesa X, šo se obeležava ozakom: ε X. (6.5) (iii) Za proces šuma može da važi i dodai uslov: 4 4 i E E( ) ( ), za svako i. (6.6) Uslove (i) i (ii) ćemo dalje u radu korisii pod brojem (6.5), a uslov (iii) pod brojem (6.6). Model (6.4) e zaheva da ε posoji u svakom reuku zadaog iervala, već samo u reucima i u kojima se proces posmara. Defiicija 6.1 (Mreža/Podela). Celokupa mreža (podela) sadrži sve vremeske reuke u kojima se daa pojava posmara i jih azivamo opservacijskim ačkama. Mreža (podela) G opisaa je skupom: G={ 1,..., }, gde svaki vremeski reuak i predsavlja i-u ačku u celokupoj mreži G. Defiicija 6. (Podmreža/Popodela). Proizvolja mreža za koju važi relacija G, aziva se podmreža (popodela) dae mreže G. Uzasopi elemei podmreže (popodele) defiišu se a sledeći ači: ako je vremeski reuak i, ada sa i, ozačavamo prehodi eleme, dok sa i,+ ozačavamo sledeći eleme podmreže ; dok reuak i uvek ozačava i-u ačku celokupe mreže G. Napomea Ako je =G, ada važi: i, = i 1 ; i,+ = i+1.meďuim kada je prava podmreža mreže G, odoso kada je G, oda važe sledeće ejedakosi: i, < i 1 ; i,+ > i+1. Ako sa ozačimo broj vremeskih ikremeaa oblika ( i, i,+ ], ako da su obe krajje ačke iervala sadržae u. Specijalo, u slučaju kada se posmara celokupa mreža važila bi jedakos: G =.Broj vremeskih ikremeaa u daoj mreži račua se prema formuli: =( # ačaka u mreži ) Napomijemo da su procesi X i Y predsavljei u logariamskoj skali. 8

90 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka Defiicija 6.3 (Posmaraa kvadraa varijacija). Posmaraa kvadraa varijacija procesa Z (π-kvadraa varijacija) a proizvoljoj mreži G (defiicija 8.8a; prilog A), defiiše se izrazom: [ Z, Z] ( Z Z ).,,,, j j j j j, Napomea Kada ije eksplicio avedea mreža sa kojom radimo, ego se oa podrazumeva iz koeksa, ada umeso ozake [Z,Z] možemo korisii ozaku:[z,z].prema ome, a celokupoj mreži G, posmaraa kvadraa varijacija daa je sledećom formulom: (all ) i i i+1 i i, i+1g, i+1 [Z,Z] = [Z,Z] = (ΔZ ), ΔZ = Z - Z. Kada,ada G predsavlja iz mreža oblika: G ={,, 1,...,, } i sličo umačeje važi za podmreže. Napomijemo da smo ozaku ΔZ i korisili u obliku:δz i=z i+1 Z i (prema koveciji iz eorije vremeskih serija), šo se e poklapa sa kovecijom iz eorije sohasičkog račua:δz i= Z i Z i 1. Uslov 6.1 (Asimposke preposavke).u budućim asimposkim razmarajima, uvek se preposavlja da broj opservacija a vremeskom iervalu [,] eži beskoačosi, kao i da maksimalo rasojaje izmeďu dve uzasope vremeske opservacije eži uli, odoso važi: max, kada. (6.7) i i Uslov 6. (Preposavke o filraciji). Za svako p posoji eprekidi višedimezioali P-lokali marigal oblika: χ=(χ (1),...,χ (p) ), akav da je ajmaje σ-polje koja sadrži: σ(χ (s),s ) i skup N koji sadrži sve NULL skupove u σ(χ (s),s ). Ovaj uslov ozačićemo brojem (6.8). Veličia χ možeda bude pr. kolekcija Brauovih kreaja Ocea realizovae volailosi (RV) Naš osovi cilj je odreďivaje ili približo odreďivaje iegrisae volailosi skriveog procesa X, iz skupa podaaka koji su dobijei opservacijom procesa cea u vremeskom periodu [,]. Do sa sada smo proceu iegrisae volailosi obavljali pomoću ocee realizovae volailosi (RV), za koju se isposavilo da pravi velika odsupaja. Prema ome, prvo bi rebalo da se uvrdi koliko dobro ili loše ocea (esimaor) realizovae volailosi oblika: [Y,Y] (all) aproksimira iegrisau volailos skriveog procesa X, oblika: X,X, kao i da se procei kolika je greška e ocee. Dakle, počećemo od ocee realizovae volailosi [Y,Y] (all), za koju se u radu [1] korise i azivi ajgora, odoso pea ocea. Napomijemo da prilikom izračuavaja ocee realizovae volailosi korisimo sve dosupe podake sa ržiša. eorema 6.1 (Uslovo očekivaje i varijasa ocee (esimaora) RV, u ozaci [Y,Y] (all) ). (i) Ako je ispuje uslov (6.5), ada se za uslovo očekivaje ocee [Y,Y] (all) dobija izraz: ( all ) ( all ) E Y, Y X, [, ] X, X E( ) (6.8) (ii) Ako su ispujei uslovi (6.5) i (6.6), ada se uslova varijasa dobija iz izraza: ( all ) 4 Var Y, Y X, [, ] 4 E( ) O (1). (6.9) (iii) Ukoliko je ispuje malo sroži uslov od prehodih, izraz za uslovu varijasu dobija oblik: ( all ) Var Y, Y X, [, ] ( all ) 4 E( ) 8 X, X E( ) Var( ) O ( ). 4 1 p p (6.1) 81

91 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka Dokaz: Sa preposavkom da važi model (6.4), realizovau volailos svarog posmaraog procesa Y i, račuamo prema formuli: ( all ) ( all ) ( all ) ( all ) Y, Y X, X X,,. Na osovu uslova (6.5) zaključujemo da sve kompoee šuma imaju isu varijasu, odoso da važi sledeća jedakos: Var(ε i )=Var(ε)=E(ε ). S obzirom a o da je ε X sledi da za kovarijasu važi: E[X,ε] (all) =. Prema ome, za uslovo očekivaje dobijamo: ( all ) ( all ) ( all ) E Y, Y X, [, ] E X, X, X, [, ] ( all ) ( all ) X, X E, X, [, ]. Osaje am još da izračuamo uslovo očekivaje slučaje promeljive [ε,ε] (all) : 1. ( all ) i 1 i i1 i E, X, [, ] E ( ) E( ) i1 i i1 i E( ) E ( ) E ( ), gde je E ( ), gde smo u jedakosi 1. korisili uslov ε X,a u jedakosi.osobiu ezavisosi kompoeaa procesa šumaε i. Prema ome, za uslovo očekivaje dobija se izraz: šo je i rebalo dokazai. ( all ) ( all ) E Y, Y X, [, ] X, X E( ), Napomea Za dovoljo veliko, člaovi Eε i 4Eε 4 u jedačiama (6.8) i (6.9), koji poiču od procesa šuma a ržišu posaju sve domiaiji, zbog čega ocea realizovae volailosi [Y,Y] (all) više e opisuje varijaciju skriveog procesa [X,X] (all). Drugim rečima, a visokim učesaosima podaaka polaza ocea posaje kozisea (saglasa) ocea varijase šuma i daa je sledećim izrazom: i1 (1/) [Y,Y] (all). (6.11) Prema ome,iz jedačia (6.8) i (6.9) možemo da izvedemo zaključak da ocea realizovae volailosi [Y,Y] (all) u realom i diskreom sveu gde se efeki mikrosrukure ržiša e mogu zaemarii, ije sabila, odoso pouzdaa (reliable) ocea varijacije skriveog procesa [X,X] (all). Iz jedačie (6.8) može se dodao zaključii da ocea [Y,Y] (all) ima poziivo pomeraje (odsupaje) i ampliuda daog odsupaja se liearo povećava sa povećajem veličie uzorka (j. sa povećajem broja ). Lema 6. (Asimposko poašaje ocee [Y,Y] (all) ). U slučaju kada ocea [Y,Y] (all) je asimposki ormala, uslovo u odosu a proces X, jer važi: ( all ), ( ) Y Y E E z šuma, gde čla z šuma predsavlja sadardu ormalu slučaju promeljivu, dok aziv ideksa ukazuje a o da je slučajos dae promeljive direka posledica šuma ε, odoso direka posledica odsupaja posmaraog procesa Y od skriveog procesa X. i. 8

92 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka Proređeo uzorkovaje U prehodom odeljku zaključili smo da realizovaa volailos procejuje pogrešu veličiu i da se sa češćim, odoso fiijim uzorkovajem podaaka ovaj problem samo pogoršava. Sa fiijim uzorkovajem sakupljeih podaaka, razlike izmeďu uzasopih vredosi svarog procesay se smajuju i ime podležu većem uicaju ampliude mikrosrukurog šuma, koja u avedeom posupku osaje epromejea. o zači, da sa većom frekvecijom uzorkovaja posmarae flukuacije svarog procesa su mogo više zaprljae mikrosrukurim šumom i samim im slabije procejuju pravu varijaciju X,X. Empirijska poruka koja proisiče iz avedeog bila je zasupljea mogo pre ego šo je sprovedea formala aaliza daog feomea i glasila je: Da prilikom izračuavaja realizovae volailosi (RV) uzorkovaje e reba vršii sa visokom frekvecijom. Zbog čega se u lierauri usalilo mišljeje da posupak uzorkovaja reba da se obavlja proreďeo, odoso a majim frekvecijama 6. Ierval uzorkovaja podaaka Δ sparse, može da uzima vredosi iz opsega od [5,3] mi. Ukoliko se isisira a korišćeju meode proreďeog uzorkovaja, pokazaćemo posupak kojim se odreďuje opimala frekvecija uzorkovaja umeso jeog proizvoljog odabira, kako se preporučuje u lierauri. (sparse) Ocea RV kojoj odgovara ovi ierval uzorkovaja Δ sparse =/ sparse,obeležićemo ozakom: [Y,Y] i zvaćemo je ocea (esimaor) realizovae volailosi (RV) proreďeog uzorkovaja. Defiicija 6.4 (ProreĎeo uzorkovaje ili ocea RV a podmreži ). Posupak proreďeog uzorkovaja jese uzorkovaje a podmrežama celokupe mreže G. Neka je daa podmreža 61 i eka važi: = sparse. ada se ova ocea RV, u ozaci: [Y,Y] (sparse), kojoj odgovara ovi ierval uzorkovaja oblika: Δ sparse =/ sparse, dobija iz sledeće formule: ( sparse) ( ) Y, Y Y, Y ( Y Y ). (6.1) i, i, Da bismo racioalo obrazložili posupak proreďeog uzorkovaja predložićemo asimpoiku gde raspodela šuma može da varira sa i sparse,a da pri ome i dalje osae NIR 6. Preposavićemo još da su raspodele od ε, u ozaci L(ε), elemei skupa D: L(ε) D. Pri čemu, skup D predsavlja skup svih raspodela akvih da važi da je: E(ε)= i E(ε ),E(ε 4 )/E(ε ) <, odoso da su elemei E(ε ),E(ε 4 )/E(ε ) ograičei proizvoljom kosaom. Lema 6.3 (Asimposko poašaje ocee [Y,Y] (sparse) ).Preposavimo da je X Ioov proces oblika (6.1), gde su koeficijei μ i σ ograičei odozgo kosaom, kao i da za svako, važi da su procesi X i Y vezai modelom (6.4). Dalje, preposavimo da za svako dao, posoji mreža i da za svaku akvu mrežu važi da: sparse, kada, kao i da važi uslov (6.7). Na kraju, preposavljamo da važe: uslov (6.5) i uslov: L(ε) D 63.ada je: ( ) ( ) Y, Y X, X E( ) sparse i, i 4 ( ) 4 E( ) 8 X, X E( ) Var( ) z O ( E( ) ), p sparse sparse gde je veličia z šuma asimposki sadarda ormala slučaja promeljiva. 1 šuma (6.13) 6 Uzorkokovaje koje se vrši a majim frekvecijama od dae počee frekvecije drugačije se aziva i poduzorkovaje. 61 Uopšeo govoreći, podmreža e mora bude daa, već posoji posupak za opimizaciju frekvecije uzorkovaja, kojim se odreďuje opimali broj elemeaa podmreže, a samim im se odreďuje i podmreža. 6 Ozaka NIR predsavlja iz ideičih slučajih promeljivih sa ideičim raspodelama. 63 Kao šo mreža zavisi od, ako i zako raspodele L(ε) možda zavisi od, gde je proces X fiksira. 83

93 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka Napomea Primeimo da red svih člaova u izrazu (6.13) zavisi od veličia sparse i E(ε )i jihovog uzajamog odosa. Prema ome, kada je vredos E(ε )relaivo mala u odosu a veličiu sparse, oda ocea [Y,Y] ( ) ipak može da se korisi kao dobra zamea za [X,X] ( ).U slučaju da o ije ispujeo čla, koji opisuje mikrosrukuri šum: sparse E(ε) posaje domiaa u izrazu (6.13).akoĎe, može da se izvede zaključak da je za opimalu vredos sparse ajbolje izabrai šo maju vredos. Važo je apomeui da je ovakav posupak efikasa za smajivaje uicaja ržišog šuma, ako se diskreizacioa greška zaemari. MeĎuim, akav posupak previďa sledeću čijeicu: Da je sa većom vredošću sparse, diskreizovaa ocea [X,X] ( ) bliža eprekidoj iegrisaoj volailosi X,X, odoso da je greška diskreizovae ocee maja za veće vredosi sparse Ukupa greška proređeog uzorkovaja Naš krajji cilj je procea iegrisae volailosi X,X, koja predsavlja eprekidu veličiu. Posupak smo počeli ako šo smo iz diskreog skupa podaaka procesa Y procejivali diskreu veličiu [X,X] ( ) i o koriseći oceu [Y,Y] ( ). Sledeći korak sasoji se u procei eprekide veličie X,X diskreom [X,X] ( ), zbog čega se pojavljuje ovi ip greske, koju azivamo diskreizacioom greškom. Kvaiaiva vredos ukupe greške za oceu [Y,Y] ( ), obuhvaa grešku asalu kao posledica mikrosrukurog šuma i grešku asalu diskreizacijom, odoso dobija se iz sledeće razlike: [Y,Y] ( ) X,X. Prema ome, ukupu grešku ocee odredićemo kombiovajem lema 6.3 i 6.4, koje asimposki opisuju avedee greške. Lema 6.4 (Asimposko poašaje diskreizacioe greške ocee [Y,Y] (sparse) ). Diskreizacioa greška diskree ocee [X,X] ( ) javlja se prilikom jee esimacije eprekidog paramera X,X. Asimposka vredos dae diskreizacioe greške, kada sparse, dobija se iz izraza: 1 1 sparse ( ) 4 (,, ) ( ) X X X X H d Z diskrea, (6.14) gde čla z diskrea predsavlja sadardu Gausovu slučaju promeljivu, a aziv ideksa ukazuje a o da je slučajos dae promeljive direka posledica diskreizacioog efeka prilikom procee eprekidog paramera X,X diskreom oceom [X,X] ( ). Veličiu H() opisaćemo u sledećoj defiiciji. Defiicija 6.5 (Kvadraa varijacija vremea).veličia H() asimposki eži kvadraoj varijaciji vremea i daa je izrazom: sparse H ( ) lim ( i, i). (6.15),, i i, i, U slučaju ekvidisaih opservacija važi: Δ =...=Δ 1 =Δ = / sparse, odakle sledi: H ()=1. Lema 6.5 (Ukupa greška proreďeog uzorkovaja). Ako preposavimo da važi uslov (6.8), uslovi leme 6.3, kao i sledeća jedakos: max i, i,+ ( i,+ i )=O(1/ sparse ), ada može da se podrazumeva da je veličia H() dobro defiisaa i prema ome izraz za ukupu grešku dobija se iz formule: ( ) Y, Y X, X E( ) z sparse oal sparse p sparse O ( E( ) ) O ( ), koji je ispuje u smislu sabile kovergecije (sable covergece). p (6.16) 84

94 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka Veličia z oal je asimposki sadarda ormala slučaja promeljiva, a izraz za varijasu ϒ je sledećeg oblika: 4 ( ) 4 sparsee( ) 8 X, X E( ) Var( ) ( ) 4. H d (6.17) sparse čla asao usled šuma čla asao zbog diskreizacije Prema ome, koači izraz za proreďeu oceu (esimaor), u ozaci (6.18) izosiće: 4 4,, ( ) 4 ( ) ukupa varijasa ( sparse) Y Y X X sparsee sparsee d sparse odsupaje izazvao šumom čla asao usled šuma čla asao zbog diskreizacije 1 z oal Napomea Primeimo da sličo kao šo je bilo u izrazu (6.13),ako i u izrazu (6.16) red člaova zavisi od dveju veličia sparse i E(ε ).Prema ome, kada je vredos E(ε ) relaivo mala, može da se korisi ocea proreďeog uzorkovaja [Y,Y] ( ) a podmreži, kako za proceu diskree veličie[x,x] ( ), ako i za proceu eprekide iegrisae volailosi X,X. Dalje, u formuli (6.16) čla sparse Eε predsavlja grešku, odoso odsupaje ocee [Y,Y] ( ) od procejivae vredosi IV i primeimo da se dai čla smajuje sa smajejem broja opservacija, j. sa smajejem sparse. Ovaj zaključak je u skladu sa ačelima empirijskog posupka proreďeog uzorkovaja, odoso poduzorkovaja, koji je veoma čes u praksi. akoďe avedei zaključak daje objašjeje zašo se u procei veličie X,X korisi baš ocea proreďeog uzorkovaja. Objašjeje se sasoji u ameri da se koroliše odsupaje ocee i o se posiže zameom vredosi u formuli (6.8) vredošću sparse i ako se dobija formula (6.16). Prilikom čega, se mora vodii račua da uzorkovaje e bude suviše proreďeo, j. da sparse e bude suviše malo. Na osovu formule (6.17) sledi da se smajivajem vredosi sparse, povećava diskreizacioa greška koja je proprcioala sa ~ 1 sparse, a ime se povećeva i varijasa ϒ, odoso varijasa polaze ocee [Y,Y] ( ). Primeimo još, da se glavi kompromis pravi izmeďu odsupaja sparse E ε i diskreizacioog člaa varijase, jer je efeka drugog člaa varijase koji je u sprezi sa šumom majeg reda u odosu a veličie sparse i E (ε ) koje poredimo. Iz avedeog, zaključujemo da mora da se apravi kompromis izmeďu suviše česog i suviše proreďeog uzorkovaja, odoso da se odredi opimala vredos frekvecije a kojoj reba vršii uzorkovaje, šo ćemo odredii u sledećem poglavlju.. 85

95 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka Opimala frekvecija proređeog uzorkovaja Zaključili smo da mora da posoji kompromis izmeďu suviše gusog i suviše proreďeog uzorkovaja, odoso da mora da posoji opimala vredos uzorkovaja sparse, za koju važi da su i diskreizacioa i greška usled mikrosrukuog šuma ajmaje. Prema ome, ocea [Y,Y] ( ) je ajprecizija kada se za frekveciju uzorkovaja korisi baš opimala frekvecija. S obzirom da je ocea opimale frekvecije uzorkovaja reća po redu od ocea koje smo aveli, aglašavamo da je i reća po kvalieu procee IV. Navedeu oceu ozačićemo sa: [Y,Y] (sparse,op). U asavku rada objasićemo posupak za odreďivaje opimale frekvecije uzorkovaja. eorema 6. (Opimala frekvecija proreďeog uzorkovaja). Preposavimo da važi uslov (6.8), uslovi iz leme 6.3, kao i da važi sledeća jedakos:max i, i,+ ( i,+ i )=O(1/ sparse ).ada, uz preposavku da je počea količia uzoraka velika, odoso da važi: sparse <, dobija se izraz za opimalu frekveciju uzorkovaja: (i) 1 3 * 3 4 sparse E H d Op dok E ( ) ( ) (1 (1)),. (6.19) 8 (ii) U slučaju ekvidisaih opservacija:δ =...=Δ 1 =Δ = / sparse, za opimalu frekveciju se dobija sledeći izraz: * 4 sparse 1 3 d 4( E ). (6.) Slučaj kada je svara količia uzoraka maja od opimale: * sparse malo je verovaa,a posebo kada se radi sa akcijama i deoicama sa kojima se a ržišu rguje u velikim količiama. U daom slučaju se za opimalu vredos uzima: * sparse=. Napomea Na osovu eoreme 6. i jedačie (6.19) može da se izvede formala zaključak koji je oblika: Dozvoljeo je da se posupak uzorkovaja vrši češće (a majim frekvecijama), ako je vredos šuma, odoso odsupaja zaemarljivo mala. Napomea Naglasimo da jedačia (6.19) može da se korisi i kao prakiča posupak za izračuavaje frekvecije sparse, jer se epozae veličie u daoj jedačii mogu jedosavo odredii. Veličia E(ε ) može se proceii kada se primei formula (6.11) a celokupoj mreži podaaka G, dok se iegral: H ()σ 4 d može proceii meodama koje ećemo avodii u ovom radu. Prema ome, ako eko isisira da za proceu paramera IV korisi meodu proreďeog uzorkovaja, oda može da je primei a dva ačia. Prvi ači podrazumeva da se uzorkovaje obavlja a proizvoljo izabraoj majoj frekveciji i ada se korisi esimaor [Y,Y] (sparse), dok drugi ači podrazumeva da se korisi opimala vredos frekveicije sparse, koja se uvrďuje posupkom opimizacije, šo zači da se korisi esimaor [Y,Y] (sparse,op). 86

96 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka 6. Poduzorkovaje i usredjavaje duž višesrukih podmreža (spora vremeska skala - SVS) Noacija višesrukih mreža (defiicije i preposavke) Greška zbire ocee usled šuma mikrosrukure Greška zbire ocee usled efeka diskreizacije Kombiacija dva izvora greške Opimala frekvecija uzorkovaja a višesrukim mrežama U prehodom poglavlju povrdili smo empirijski uvrďeu čijeicu da posupak proreďeog uzorkovaja podaaka može bii veoma korisa, šo je u suproosi sa osovim pricipom saisike, koji alaže da podake e reba odbacivai. Prema ome, rebalo bi da se kosruiše ovi posupak za proceu iegrisae volailosi koji bi iskorisio dobre osobie ocee (esimaora) proreďeog uzorkovaja [Y,Y] (sparse), ali bi za razliku od je korisio sve dosupe podake iz polaze celokupe mreže: G={, 1,..., }. Dalje, umeso da se proizvoljo ili opimalo izabere poduzorak u odosu a koji bi se formirala ocea [Y,Y] (sparse), ovi posupak zasiva se a ome da se odabere odreďe broj podmreža polaze mreže G, a zaim da se aďe sredja vredos ocea izvedeih iz ovodobijeih podmreža. Navedeim posupkom se smajuje varijacija dae ocee. Na ovaj ači kosruisali smo oceu koja ispujava sve avedee uslove: korisi sve opservacioe podake i poseduje sve korise osobie poduzorkovaja. Novu oceu azivaćemo zbirom oceom, odoso zbirim esimaorom Noacija višesrukih mreža (defiicije i preposavke) Defiicija 6.6 (K-a podmreža). Neka je a celokupoj mreži G={, 1,..., } izvršea paricija a K disjukih podmreža, u ozaci: G (k),k=1,..,k, ako da važi sledeći uslovi: K k 1 ( k), ada, k-u podmrežu defiišemo kao skup oblika: ( k) ( k) ( l), k l. {,,,, }, k 1 k 1 K k 1K k 1 k K gde k predsavlja broj elemeaa odgovarajuće podmreže G (k), odoso k = G (k), k=1,..,k, dok opservacioe ačke k 1 i 1 64 azivamo redom počeim i posledjim elemeom podmreže G (k). k k K Napomea U defiiciji 6.6 opisali smo ajprirodiji ači da se izabere k-a po redu podmreža G (k), koji se sasoji u ome, da se počev od reuka k 1 izabere svaka K-a opservacioa ačka i ako sve do posledjeg elemea podmreže G (k). Ovakav ači dodeljivaja opservacioih ačaka polaze mreže G jeim podmrežama G (k) azivamo regularom raspodelom (alokacijom) opsrevacioih ačaka mreže G jeim podmrežama. U uopšeom slučaju, vredosi k e moraju da budu jedake za različie vredosi k, zbog čega se defiiše jihova sredja vredos: K 1/ K = ( - K +1) / K. k=1 k 64 Posledji eleme podmreže G (k) je ujedo i ajveći eleme e podmreže, koji je maji ili jedak posledjem elemeu celokupe mreže. 87

97 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka Defiicija 6.7 (Ocea usredjavaja ili zbira ocea). Na osovu defiicije 6.4 ocea a uzorkovaim opservacioim ačkama Y, G (k) 65, u ozaci [Y,Y] (k), račua se prema formuli: ( k ) ( ),, k j j j j, [ Y, Y] ( Y Y ). Nova ocea predsavlja sredju vredos K ocea oblika: [Y,Y] (k), gde je k=1,..,k. Pri ome, svaka ocea [Y,Y] (k) zasebo se račua a odgovarajućoj k-oj podmreži, koja je prehodo dobijea posupkom regulare raspodele (alokacije) opservacioih ačaka celokupe mreže. Nova ocea defiiše se sledećim izrazom: 1. (6.1) K K ( ) ( sparse, k) avg Y, Y Y, Y k 1 Lema 6.6 (Asimposke preposavke,uslovi kada ).Preposavimo da je vredos fiksiraa i da korisimo samo opservacije iz iervala [,]. Shodo ome, u budućim asimposkim razmarajima kada broj opservacija a vremeskom iervalu [,] eži beskoačosi ( ), preposavljaćemo da važe sledeći uslovi: (i) max, odoso max O(1 ). 66 (6.) i i i i (ii) K/ (6.3) (iii) Opservacioe ačke su regularo raspodeljee (dodeljee) odgovarajućim podmrežama G (l), odoso važi: () l {,,, }. (6.4) l 1 l 1 K l 1 l K 6.. Greška zbire ocee usled šuma mikrosrukure: [Y,Y] (avg) [X,X] (avg) U procesu odreďivaje iegrisae volailosi X,X, odoso kvadrae varijacije skriveog procesa X, kao meďukorak razmorićemo koliko dobro zbira ocea [Y,Y] (avg) aproksimira zbiru iegrisau volailos daog skriveog procesa X, koja se razmara u diskreoj vremeskoj skali i ozačava sa: [X,X] (avg). Prema ome, razmorićemo grešku asalu usled šuma mikrosrukure, ali isključujući efeka diskreizacije. eorema 6.3 (Uslovo očekivaje i varijasa ocee [Y,Y] (avg) ). (i) Izraz za uslovo očekivaje ocee [Y,Y] (avg) dobija se iz kombiacije jedačia (6.8) i (6.1) i glasi: ( avg ) ( avg ) E Y, Y X, [, ] X, X E( ). (6.5) (ii) S obzirom da su kompoee šuma {ε, G (k) } ezavise 67 za različie vredosi k, iz jedačie (6.9) dobija se uslova varijasa ocee [Y,Y] (avg), koja glasi: K avg 1 ( ) ( k ) Var Y, Y X, [, ] Var( Y, Y X, [, ]) K k E ( ) o p ( ). K K (6.6) 65 Ovaj pojam je ekvivalea realizovaoj volailosi (RV) a podmreži G (k). 66 Primeimo da je uslov (6.) iso šo i uslov (6.7). 67 Iz preposavke da su podmreže G (k) disjuke za različie vredosi k, sledi da se opservacijski reuci u različiim podmrežama G (k) e preklapaju, odakle sledi da su i kompoee šuma iz različiih podmreža ezavise. 88

98 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka (iii) Ako se u dau varijasu uračua prvi sledeći čla višeg reda, dobija se izraz: avg 1 ( ) 4 ( avg ) Var Y, Y X, [, ] 4 E( ) 8 X, X E( ) Var( ) K K 1 Op ( ). K (6.7) Napomea U poreďeju sa oceom realizovae volailosi koja korisi celokupu mrežu G, zbira ocea [Y,Y] (avg) doosi poboljšaje u vidu smajeja asimposkih vredosi odsupaja i varijase, šo se vidi iz jedačia (6.5) i (6.6). Drugim rečima, kada pusimo da odsupaje u jedačiama (6.5) i (6.6) je maje ego u jedačiama (6.8) i (6.9), jer važi ejedakos: ñ<. Prema ome zbira ocea [Y,Y] (avg) je bolja od ocee RV. eorema 6.4 (Uslovo asimposko poašaje ocee [Y,Y] (avg) ). Preposavimo da je X Ioov proces oblika (6.1) i da su procesi X i Y povezai modelom (6.4). Dalje, preposavimo da su ispujei uslovi (6.5) i (6.6), kao i da se za svaki ideks i, uzasopi vremeski reuci i i i+1, e alaze u isoj podmreži. Uz dodau preposavku da važi uslov (6.3), kada, sledi izraz za uslovo asimposko poašaje ocee [Y,Y] (avg) : K ( ) 4 ( ) ( [ Y, Y avg avg ] X, X E ( ) ) E ( ) z šuma, (6.8) gde se podrazumeva da je kovergecija u raspodeli uslova u odosu a proces X i važi da je slučaja veličia (avg) z šuma sadarda ormala slučaja promeljiva Greška zbire ocee usled efeka diskreizacije: [X,X] (avg) X,X Sledeći korak u posupku odreďivaja eprekide iegrisae volailosi X,X se sasoji u ome da se razmore posledice koje asaju usled diskreizacije vremea. Drugim rečima, reba da se odredi odsupaje ocee [X,X] (avg) od iegrisae volailosi X,X skriveog procesa.navedei diskreizacioi efeka opisaćemo procesom D i o se račua a sledeći ači: k 1 ( avg) D X, X X, X 1 K ( k) K ( k) X, X X, X, gde je veličia daa formulom: X, X ( X X ) ( ),, k i i i i,, i,. (6.9) Dalje, za kvadrau varijaciju procesa D, ako je D eprekida u vremeu, korisićemo: [D,D]. Ovaj posupak daje ajbolju aproksimaciju za varijasu procesa D. eorema 6.5 (Kvadraa varijacija procesa D ). Neka je X Ioov proces oblika (6.1), gde su oba koeficijea μ i σ skoro siguro eprekidi i eka važi da je koeficije σ ograiče kada je izva ule vredosi. Dalje, ako preposavimo da važe asimposki uslovi (6.), (6.3), (6.4), ada aproksimaciju kvadrae varijacije procesa D dobijamo iz izraza: K K [ DD, ] o p ( ), (6.3) gde je h 4 i ovu veličiu azivaćemo diskreizacioom varijasom. i i i i 89

99 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka U zasebom slučaju, veličiu reda za proces D dobijamo iz sledećeg izraza: D O K 1 ( ) p. (6.31) Na osovu avedeog izraza (6.31) može da se izračua formula koja miimizuje varijase kako efeka diskreizacije, ako i efeka asalog zbog prisusva mikrosrukurog šuma. eorema 6.6 (Asimposki zako raspodele procesa D ).Preposavimo da važe uslovi iz eoreme 6.4 i da promeljiva η kovergira u verovaoći ka slučajoj promeljivoj η, odoso η η u verovaoći, pri čemu slučaja promeljiva η predsavlja diskreizaciou varijasu. Uz dodau preposavku da važe uslovi o filaraciji (6.7) dobijamo izraz: 1 D K z, (6.3) diskreo gde je z diskreo sadarda Gausova slučaja promeljiva, ezavisa je od procesa X. Napomea Drugim rečima, slučaja promeljiva D /(K/) 1/ je asimposki kombiovaa ormala (mixed ormal) Gausova slučaja promeljiva oblika N(,η ) Kombiacija dva izvora greške Kombicijom člaova od kojih jeda asaje kao posledica diskreizacioe greške, a drugi čla zbog prisusva šuma opservacije, dobija se ukupa greška procee. eorema 6.7 (Asimposki zako raspodele ukupe greške, asale zbog prisusva šuma i zbog diskreizacije). Na osovu eoreme 6.4 i eoreme 6.5 dobija se sledeći izraz: ( avg) Y, Y X, X E( ) z p (1) oal o, (6.33) gde je z oal asimposki sadarda Gausova slučaja promeljiva, ezavisa od procesa X. Varijasu dobijamo iz sledećeg izraza: E ( ). (6.34) K čla asao usled šuma čla asao zbog diskreizacije Napomea Posmarajući jedačiu (6.33) možemo da primeimo da ocea [Y,Y] (avg) i dalje sadrži grešku, odoso sadrži odsupaje od procejivae veličie X,X, koje izosi ñeε.barem, šo se asimposkog (avg) odsupaja iče [Y,Y] je siguro bolja ocea (esimaor) ego [Y,Y] (all), jer važi sledeći uslov: ñ<. Primeimo,da kada za paramear K uzmemo vredos: K=c /3, obe kompoee u izrazu za varijasu ξ (6.34) biće podjedako zasupljee u graičoj vredosi daog izraza, kada.u suproom jeda od jih će domiirai. 9

100 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka 6..5 Opimala frekvecija uzorkovaja a višesrukim mrežama Kao i u prehodim posupcima i prilikom uzorkovaja a višesrukim mrežama, akoďe se proverava da li je daa vredos šuma zaemarljivo mala, jer samo u om slučaju ima smisla ražii opimalu vredos frekvecije poduzorkovaja ñ. Daom opimalom vredošću frekvecije poduzrokovaja posiže se balas izmeďu odsupaja ñeε i varijase ξ, u jedačii (6.33). eorema 6.8 (Opimala frekvecija uzorkovaja a višesrukim mrežama). Ako su ispujei uslovi koji se podrazumevaju u modelu višesrukih mreža i ako je ispuje uslov: Eε, ada u slučaju ekvidisaih opservacija dobijamo opimalu frekveciju uzorkovaja a višesrukum mrežama iz sledećeg izraza: 1 1 * d 8( E ) 6( E ). (6.35) Napomea Prema ome, ukoliko za oceu izaberemo zbiru oceu [Y,Y] (avg), ada ćemo je ajbolji efeka posići kada za frekveciju poduzorkovaja izaberemo baš vredos opimale frekvecije ñ* i o sa ekvidisaim vremeskim iervalima. Opimalu frekveciju dobijamo kada adjemo vredos ñ pri kojoj je vredos sredje kvadrae greške (MSE) miimala, j. opimalu frekveciju dobijamo kao rešeje jedačie: MSE/ ñ=.prema ome, moguće je prilikom esimacije korisii svih opservacija, ako se izabere odgovarajući broj podmreža: K* / ñ*. 91

101 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka 6.3 Najbolja ocea (poduzorkovaje, usredjavaje i korekcija odsupaja) Najbolja ocea objašjeje Ukupa greška ajbolje ocee (posledica efekaa šuma i diskreizacije) Opimala frekvecija uzorkovaja ajbolje ocee Najbolja ocea - objašjeje U prehodom poglavlju, iz formule (6.33) zaključili smo da zbira ocea (esimaor) [Y,Y] (avg), koja procejuje iegrisau volailos X,X i dalje sadrži odsupaje ñeε. Dalje u radu, izvršićemo ispravke zbire ocee ako šo ćemo uradii korekciju jeog odsupaja i a aj ači dobii ovu poboljšau oceu, koja se aziva zbira ocea sa korekcijom (zbiri esimaor sa korekcijom), u ozaci XX,. Budući da je ovodobijea ocea po kvalieu ajbolja od svih pomeuih, azivaćemo je i Prvom ili ajboljom oceom (esimaorom). Na slici 6.1. prikaza je posupak kosrukcije zbire ocee sa korekcijom, ref []. Prvi korak u korekciji odsupaja sasoji se u ome da se izračua varijasa kompoee šuma Eε, koja je defiisaa a celokupoj mreži podaaka (BVS) 68. Oceu varijase šuma dobijamo iz ocee RV račuae a BVS, pomoću formule (6.11): E ( al l ) (1/ )[ Y, Y] (6.35a) Budući da je vredos varijase šuma procejea, sledeći korak u korekciji odsupaja jese da se izračua odsupaje zbire ocee, koje se dobija iz izraza: E. slika 6.1. Zbira ocea sa korekcijom (ajbolji esimaor).slika pokazuje kosrukciju ajbolje ocee (esimaora),ref []. 68 U jedom od prehodih poglavlja račuali smo vredos esimaora [Y,Y] (all), koji operiše sa podacima a celokupoj mreži podaaka. Prema ome i varijasa šuma se račua a celokupoj mreži podaaka. 9

102 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka Lema 6.7 (Zbira ocea sa korekcijom /ajbolja ocea). Zbira ocea sa korekcijom dobija se kombiacijom dve vremeske skale BVS i SVS. Skala BVS, odoso all skala se sasoji iz svih opservacioih ačaka, dok je skala SVS, odoso avg skala predsavik svih podmreža dobijeih iz all skale. Zbiru oceu sa korekcijom dobijamo iz sledećeg izraza: ( avg) ( all) X, X Y, Y Y, Y. (6.36) Dokaz : spora vremeska skala brza vremeska skala Nova zbira ocea dobija se kada se izvrši korekcija odsupaja esimaora [Y,Y] (avg), ako šo se greška koja se javlja zbog šuma, koju ocejujemo formulom (6.35a) oduzme od običog zbirog esimaora: ( ) ( ) ( ) 1 ( ) [ Y, Y] av g E [ Y, Y] av g E [ Y, Y] av g [ Y, Y] a l l Ukupa greška ajbolje ocee (posledica efekaa šuma i diskreizacije) Kao i običa zbira ocea, ako i zbira ocea sa korekcijom (ajbolja ocea/esimaor) sadrži obe greške. Pri čemu grešku asalu kao posledica šuma mikrosrukure dobijamo iz izraza: XX, [X,X] (avg), dok diskreizaciou grešku dobijamo iz: D =[X,X] (avg) X,X. Prema ome, ukupa greška ove ocee račua se kao zbir avedeih grešaka, odoso ukupu grešku dobijamo iz: ( av g [, ] ) [, ] ( av g X X ) X X X, X X, X X, X X, X greška usled šuma diskreizacioa greška. (6.37) Iz formule (6.37) za ukupu grešku može se odredii opimali broj podmreža zbire ocee, u ozaci K op, ako da ukupa greška bude miimala. Dai posupak je objašje u eoremi 6.9 pod brojem (iv). eorema 6.9 (Asimposko poašaje grešaka ajbolje ocee). Pod preposavkom da važe uslovi eoreme 6.4, za ajbolju oceu važe sledeće savke: (i) Asimposki zako raspodele za grešku asalu zbog pojave šuma, dobija se iz formule: K 1 1 X, X X, X ( avg) ( avg ) ( avg ) K 1 Y, Y X, X E( ) K ( E E ) (,8( E ) ), gde se podrazumeva da je kovergecija u raspodeli uslova u odosu a proces X. (6.38) (ii) Asimposki zako raspodele za diskreizaciou grešku osaje isi kao i kod običe zbire ocee. Prema ome, za diskreizaciou grešku dobijamo sledeći izraz: 1 1 D O ( K ) O 69. p p 69 S obzirom, da se vredos opimale frekvecije poduzorkovaja zbirog esimaora, u ozaci ñ, dobija iz uslova: ñ=/(k-1),sledi da za veliko, daa vredos može da se aproksimira izrazom: ñ=/k, +. 93

103 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka (iii) Ako se kombiuju greške iz savki (i) i (ii) i iskorisi formula (6.37), za ukupu grešku ajbolje ocee dobija se izraz: 1 X, X X, X O p Op. (6.39) K (iv) Opimali broj podmreža, u ozaci K op, dobija se miimizarajem ukupe greške, izraz (6.39) 7, odoso izjedačavajem člaova sa dese srae u izrazu (6.39). ada, za opimalu vredos kosae K dobijamo: K op = O( /3 ). (6.4) U daom opimalom slučaju, sledi da će desa sraa jedačie (6.39) bii reda O p ( -1/6 ). eorema 6.1 (Asimposki zako raspodele ukupe greške ako je K op =c /3 ). Preposavimo da je X Ioov proces oblika (6.1), zaim da su procesi X i Y vezai modelom (6.4) i da su ispujei uslovi eoreme 6.5. Preposavimo dalje da su ispujei uslovi (6.5), zaim da je Eε <, kao i da smo za opimalu vredos koraka uzorkovaja uzeli vredos: K op =c /3.ada važi: 1 6 X, X X, X (, 8 c ( E ) ) (, c ) Pri čemu je kovergecija sabila u raspodeli c ( E ) c (,1). (6.41) Napomea Na osovu eoreme 6.9 zaključujemo da izborom opimale vredosi koraka uzorkovaja prema izrazu (6.4) maksimalo smajujemo i ukupu grešku ajbolje ocee (6.39) i ukupu grešku zbire ocee. o posižemo meďusobim poišavajem uicaja diskreizacioe greške i greške asale usled šuma, savka (iv). Pri ome, apomijemo da daa formula za opimalu vredos koraka uzorkovaja ije popuo odreďea zbog kosae c, koja može da ima proizvolju vredos. Prema ome, iz eoreme 6.1, možemo da zaključimo da asimposka ukupa greška ajbolje ocee (6.41), može još da se smaji i o korekcijom člaa asimposke varijase:(8c - (Eε ) +cη ) 1/.ime smo popuo odredili vredos opimalog koraka uzorkovaja K op ajbolje ocee Opimali korak uzorkovaja ajbolje ocee Kada se za broj podmreža izabere baš opimala vredos K op =c /3, ukupa greška ajbolje ocee biće miimala i jea raspodela ada dobija sledeći oblik: X, X X, X [ ( E ) c d ] z 1 6 c 3 oal. (6.4) čla asao usled šuma ukupa varijasa čla asao zbog diskreizacije Prehodo smo apomeuli da odgovarajućim izborom kosae c, u daom izrazu (6.4) može još više da se smaji uicaj ukupe varijase, kao i da se opimali broj podmreža K op precizije odredi. Dau kosau ozačićemo sa c op. Prema ome, ajbolja ocea pored oga šo ema ikakva odsupaja zbog šuma ima i zao bolju asimposku ukupu varijasu. 7 Ukupa greška se drugačije aziva asimposka ukupa varijasa. 94

104 6. Određivaje iegrisae volailosi iz skupa fiasijskih podaaka eorema 6.11 (Opimala frekvecija uzorkovaja).opimala vredos kosae c dobija se miimizirajem očekivae asimposke varijase iz izraza (6.41), odoso iz izraza (6.4) i daa je formulom: c op 16( E ) 1 3 U slučaju ekvidisaih opservacija opimalu kosau c dobijamo iz izraza: c op 1( E ) 4 d 13 (6.43). (6.44) Napomea Opimala vredos c op može kompleo da se procei a osovu podaaka iz prošlosi 71 i o koriseći oceu šuma (6.35a) i oceu varijase η.veličia η može da se uzme da je ezavisa od broja podmreža K ukoliko je izvršea regulara raspodela (alokacija) opsrevacioih ačaka podmrežama, šo zači da a osovu podaaka iz prošlosi može da se izračua i kosaa c i broj podmreža K. eorema 6.1 (Uslova varijasa ocee, XX u odosu a proces X). (i) Ako se za broj podmreža izabere vredos K=c /3, ada se uslova varijasa ajbolje ocee kada je proces X poza, dobija iz sledeće formule: 1 3 Var X, X X, [, ] c ( E ) ( avg ) c 8 X, X E( ) Var( ) 3 1 p 3 O ( ). (6.45) (ii) Rezulai simulacije predlažu da u slučaju kada se radi sa malim brojem uzoraka mora da se uzme u obzir i korekcija. ada se varijasa ajbolje ocee ajbolje ocejuje sledećom formulom: ( avg ) s c 8 X, X E( ) Var( ). (6.46) 3 1 Napomijemo da veličia [X,X] (avg) korekcioog člaa u izrazu (6.46) može se proceii veličiom, se čla Var(ε ) ocejuje sledećom oceom: Var( ) 1 ( Y ) 4( E ) XX, dok 4. (6.47) i i Napomea Napomijemo da je ajbolja ocea za razliku od prehodih ocea pravilo ceriraa, šo zači da opisuje posmarau veličiu bez ikakvih odsupaja. Napomea Ako se preposavi da je šum prisua a ržišu, ada je ajbolja moguća asimposka brzia kovergecije koja se može posići reda O p ( -1/4 ), dok asimposka brzia kovergecije ajbolje ocee izosi -1/6, šo se vidi iz izraza (6.4). MeĎuim i malo gora brzia kovergecije je bolja ego da ocea ima velika odsupaja. Zao se preporučuje da se korise svi dosupi podaci a ržišu, jer ako ocea ema odsupaja oda ema i ogreičeja koliko česo reba da se vrši uzorkovaje. Prema ome, vredos može da bude proizvoljo veliki broj. 71 Gde se pod prošlošću podrazumevaju podaci u periodu pre počeog reuka =. 95

105 7. Simulacija B udući da smo u šesom poglavlju opisali pe različiih prisupa rešavaju problema uicaja mikrosrukurog šuma a realizovau volailos (RV), odoso izložili smo pe različiih ačia kosrukcije ocea (esimaora) iegrisae volailosi, u ovom poglavlju bavićemo se realizacijom avedeih ocea kroz kompjuerske simulacije, kao i proverom jihovih rezulaa. Radi poreďeja rezulaa izvršićemo simulaciju sa isim paramerima kao i u radu [1]. Na kraju ćemo izložii rezulae daih simulacija i uporedii dobijee rezulae sa rezulaima koji su predviďei avedeom asimposkom eorijom. 7.1 Posupak simulacije Za geerisaje podaaka koje ćemo korisii u simulaciji poslužićemo se Hesoovim sohasičkim modelom volailosi [8], koji glasi: dx ( v ) d db, 1 ( ) dv k v d v dw, (7.1) db dw d. Procesi v i X redom predsavljaju procese volailosi i cee, pri čemu važi: v =σ, dok B i W predsavljaju korelisae procese Brauovog kreaja sa koeficijeom korelacije ρ. Preposavićemo, da su parameri modela μ,k,α,γ i ρ kosai, kao i da je ispuje Felerov uslov: kα γ. Za simulaciju Hesoove SDJ korisićemo Ojlerovu šemu u vremeskim razmacima od 1/4 sekude, odoso =1/4 sec, dok ćemo počeo uzorkovaje obavii u vremeskim razmacima od jede sekude, =1 sec. Prema ome vremeski ierval a kojem se geeriše Hesoov proces cea je čeiri pua maji od iervala a kojem se obavlja ajfiije uzorkovaje a berzi. Za skup vredosi parameara dae SDJ korisićemo jihove sadarde vredosi koje su uobičajee za akcije. Prema ome, korisićemo sledeći skup vredosi parameara: μ=.5,k=5,α=.4,γ=.5 i ρ=.5.dalje, za kompoee mikrosrukurog šuma ε preposavićemo da imaju Gausovu raspodelu sa malom vredošću varijase, odoso da je sadarda devijacija šuma (Eε ) 1/ =.5, šo izosi.5% vredosi cee posmarae akive. Na slikama 7.1, 7., 7.3 prikazai su redom proces Gausovskog belog šuma, proces volailosi i proces cea u Hesoovom modelu (7.1). 96

106 7. Simulacija 1.5 x šum() šum varijase Slika 7.1. Grafik rajekorije procesa šuma u zavisosi od vremea V().6.4. Proces volailosi u Hesoovom modelu, Vo= Slika 7.. Grafik rajekorije procesa volailosi Hesoovog modela u zavisosi od vremea. 97

107 7. Simulacija X() Proces kreaja cea prema Hesoovom modelu, u ozaci X(), Xo= Slika 7.3. Grafik rajekorije procesa kreaja cea prema Hesoovom modelu kada se uključi šum ržiša. Posupak simulacije sasoji se u geerisaju odreďeog broja rajekorija (pr. M=1) Hesoovog procesa cea, koji će predsavljai zv. skrivei proces. Na svakoj rajekoriji ocejuje se paramear eprekide iegrisae volailosi X,X u periodu od jedog daa ( =1da) i pri ome se podrazumeva da su vremeski parameri predsavljei a godišjem ivou: =1/5.akoĎe,se podrazumeva da se u oku daa slobodo rguje i o u vremeskom periodu od 6.5 h, kao i da godia ima 65 radih daa. Oceu iegrisae volailosi račuaćemo pomoću pe avedeih ocea: [Y,Y] (all), [Y,Y] (sparse) (sparse,, [Y,Y] op), [Y,Y] (avg), XX, adj. Dakle, posupak simulacije se sasoji u ome da se a osovu geerisae Hesoove rajekorije, koja predsavlja skrivei proces, odredi svari paramear iegrisae volailosi koriseći se formulom (6.3). Dobijei, svari paramear iegrisae volailosi iskorisićemo za proceu odsupaja svih pe ocea (esimaora) iegrisae volailosi. Budući da se geeriše M=1 Hesoovih rajekorija, dobiće se po 1 vredosi odsupaja i o za svaku oceu posebo. Zaim se izračuava očekivao odsupaje ih ocea. U abelama 7.1. i 7.. prikazao je avedeo očekivao odsupaje za svaku oceu posebo.očekivao odsupaje avedeih ocea, odoso esimaora račua se prema sledećoj formuli: E[ ocea XX, ]. Relaiva vredos odsupaja se odosi a proceuali izos odsupaja, i dobija se iz sledeće formule: ocea X, X X, X. 98

108 7. Simulacija Napomijemo da su u ovom radu predložea malo izmejea rešeja za prvu, drugu i reću oceu u odosu a rad [1] i o ako da se e korise pouďee formule za izračuavaje opimale vredosi i K (formule 6., 6.35, 6.44), već da se avedee opimale vredosi odreďuju programski. Prema ome, rezime posupka za izračuavaje ocea, odoso esimaora u ovom radu je sledeći. Peu i čevru oceu (esimaor) račuamo iso kao šo je predložeo u radu [1]. Pea ocea račua se kao ocea RV a uzorkovaoj vremeskoj skali koja se sasoji iz 3 4 podaaka, odoso a skali koju smo u radu azivali i celokupa vremeska skala (BVS). Za račuaje čevre ocee korisićemo posupak proreďeog uzorkovaja sa frekvecijom uzorkovaja od 5 mi, odoso uzorkovaje ćemo obavljai a svakih 5 mi. reća ocea, kao šo je već apomeuo, korisi posupak proreďeog uzorkovaja sa opimalom frekvecijom, koja se odreďuje odgovarajućim programom. Prva i druga ocea se račuaju posupkom poduzorkovaja celokupe vremeske skale, a zaim usredjavajem ocea dobijeih iz daih podmreža i o prema formulama 6.1, 6.36, s im šo se od prve ocee dodao oduzima ocejea varijasa šuma. akoďe se i za ove dve ocee, opimale vredosi koraka K op odreďuju programom koji predlažemo u ovom radu. Svi avedei programi izložei su u prilogu B. U ovom radu predložea su dva ačia opimizacije. Prvi ači je elemeara programska provera vredosi prve, druge i reće ocee za sve logiče vredosi paramera, odoso paramera K. Nako avedee provere alazi se miimala vredos odsupaja za svaku od ri ocee, šo je ujedo i jihova opimala vredos. Rezulai koji se dobijaju ovim ačiom prikazai su u abeli 7.1., gde se jaso vidi poboljšaje kvaliea počev od pee ocee i zaključujući sa prvom. S obzirom a o da se a ovaj ači proveravaju vredosi ocea za sve moguće vredosi paramera i K, zaključujemo da je ova meoda i ajačija i ajpouzdaija. Naravo, posoji maa ovakvog ačia proalažeja miimuma, a o je da izuzeo dugo raje. Ovo am dodao usporava program, budući da i sam posupak izračuavaja očekivae vredosi odsupaja dugo raje. Zao udimo drugo rešeje koje predsavlja heurisiku gorjeg problema i samim im zao pospešuje brziu rada pouďeog programa. Rezulai dobijei ovim ačiom prikazai su u abeli 7.. i možemo primeii da su oi odliči za prvu oceu, dok za drugu i reću oceu isu zadovoljavajući. Razlog ome jese šo su vredosi odsupaja prve i druge ocee relaivo bliske, kako prilikom korišćeja prvog, priličo pouzdaog programa za opimizaciju, ako i u rezulaima dobijeim u radu [1]. Samim im, korišćejem predložee heurisike se razlike u rezulaima za prvu i drugu oceu još više smajuju, pa se e može jaso odredii koja je od ih ocea bolja. Prema ome, iz avedeih rezulaa e može sa sigurošću zaključii ša je bolje korisii, drugu ili reću oceu. U ovom radu, zao predlažemo da se avedea heurisika korisi isključivo pri izračuavaju prve ocee, odoso ajbolje ocee. 99

109 7. Simulacija 7. Rezulai simulacije U abelama 7.1. i 7.. prikazai su rezulai simulacije za svih pe ocea iegrisae volailosi. S im šo su u prvoj abeli prikazai rezulai za prvi opisai ači opimizacije, dok su u drugoj abeli prikazai rezulai za drugi opisai ači opimizacije. Ovde apomijemo još jedu dobru osobiu programa koji je, u ovom radu predlože za izračuavaje opimale vredosi parameara i K. o je da se i prvi i drugi ači realizuju isim programom, ali za različie vredosi parameara u om programu. Navedei parameri su u programu obeležei ozakama X, X, X3, D i ispod svake abele ispisae su vredosi parameara za koje su dobijei rezulai u abeli. Uz svaku veličiu u koloi soji azaka za mali uzorak, koja se odosi a proseču vredos dae veličie duž svih M geerisaih rajekorija, odoso avedei aziv se odosi a malu količiu uzorka koju izdvajamo. Pei esimaor Čevri esimaor reći esimaor Drugi esimaor Najbolji esimaor ( ) [Y,Y] a l l [Y,Y] ( sparse) [Y,Y] ( sp a rs e,o p) ( ) [Y,Y] av g ( ad j), XX Odsupaje (za mali uzorak) Varijasa (za mali uzorak) Relaivo odsupaje (za mali uzorak) abela 7.1. Rezulai simulacije za svih pe ocea, kada se korisi prvi predložei ači za opimizaciju parameara i K; Korišćei parameri u programu: K=1;X=:78; X=:78; X3=1:117; D=floor(N. / X3). Pei esimaor Čevri esimaor reći esimaor Drugi esimaor Najbolji esimaor ( ) [Y,Y] a l l [Y,Y] ( sparse) [Y,Y] ( sp a rs e,o p) ( ) [Y,Y] av g ( ad j), XX Odsupaje (za mali uzorak) Varijasa (za mali uzorak) Relaivo odsupaje (za mali uzorak) abela 7.. Rezulai simulacije za svih pe ocea, kada se korisi drugi ači za opimizaciju parameara i K; Korišćei parameri u programu: K=1; S=Seps(N),X=S(:ed-); X=X; D=X. 1

110 7. Simulacija U asavku izdvajamo slike 7.4., 7.5., 7.6., 7.7 i 7.8. Navedee slike prikazaju koliko dobro dae ocee procejuju iegrisau volailos (IV) duž svih M=1 geerisaih puaja. Na svakoj slici posebo, crveom bojom prikazae su vredosi odgovarajuće ocee, dok su plavom bojom prikazae vredosi svare IV. Na osovu ovih grafika mogu vizuelo da se uporede svare vredosi IV i jihove ocee, koje ih procejuju a svim puajama. Možemo primeii kako opada kvalie procee počev od prve i zaključo sa peom oceom, s im šo se odsupaje čevre i pee ocee od svare vredosi IV direko uočava a grafiku. Na grafiku 7.8, možemo primeii da pea ocea uopše e procejuje svaru vredos IV, kao šo je o i izvedeo u poglavlju 6. Slika 7.4. Odsupaje prve ocee od IV. Grafik prikazuje odsupaje prve ocee od svare vredosi IV a svih M=1 geerisaih Hesoovih puaja. Na y-osi, crveom bojom prikazae su vredosi prve ocee,dok su plavom bojom prikazae svare vredosi IV.Primeimo da se vredosi skoro poklapaju. 11

111 7. Simulacija Slika 7.5. Odsupaje druge ocee od IV. Grafik prikazuje odsupaje druge ocee IV od svare vredosi IV a svih M=1 geerisaih Hesoovih puaja. Na y-osi, crveom bojom prikazae su vredosi druge ocee,a plavom bojom prikazae su svare vredosi IV.Primeimo da se vredosi maje poklapaju. Slika 7.6. Odsupaje reće ocee od IV. Grafik prikazuje odsupaje reće ocee od svare vredosi IV a svih M=1 geerisaih Hesoovih puaja. Primeimo da se vredosi vido maje poklapaju ego kod druge i prve ocee. Šo zači da prva i druga ocea bolje procejuju IV kada je prisua šum. 1

112 7. Simulacija Slika 7.7. Odsupaje čevre ocee od IV. Grafik prikazuje odsupaje čevre ocee od svare vredosi IV a svih M=1 geerisaih Hesoovih puaja. Primeimo da se vredosi e poklapaju uopše. Slika 7.8. Odsupaje pee ocee od IV. Grafik prikazuje odsupaje pee ocee od svare vredosi IV a M=1 Hesoovih puaja. Primeimo da pea ocea ajgore procejuje IV u odosu a sve avedee ocee. 13

113 7. Simulacija Na sledećoj slici prikazae su prva i druga ocea, ako da su obe reda veličie 1-4. Slika 7.9. PoreĎeje prve i druge ocee. Na ovoj slici prikazai su Grafici prve i druge ocee, pri čemu je prva ocea prikazaa crveom bojom, a druga plavom bojom. Cra zvedica predsavlja svaru vredos IV. Može se primeii sa grafika da je prva ocea sabilija od druge. 14

114 7. Simulacija 7.3 Zaključak Šo se prakičog dela i primee iče, ovaj rad predočava doprios ideje, izložee u radu [1] da se u sadarda model za kreaje cea a ržišu uključi adiivi saisički šum, odoso mikrosrukuri šum ržiša. Ukoliko se avedei šum e uključi u model, u radu [1] je pokazao da sadarda ocea iegrisae volailosi, zv. realizovaa volailos (RV) prilikom procee podaaka sa visokom frekvecijom više procejuje ampliudu šuma od svare iegrisae volailosi, videi sliku 7.8. U radu je akoďe pokazao i kako kvaiaivo izmerii vredos mikrosrukurog šuma (pomoću ocee [Y,Y] (all) ) i kako u vredos kasije primeii u daljim proceama. Napomeuli smo u šesom poglavlju da je prilikom rada sa podacima visoke frekvecije, u praksi već usaljea meoda proreďeog uzorkovaja, odoso odbacivaja velikog broja dosupih podaaka. U radu smo pokazali da je opravdao i da ima saisičkog smisla korisii akvu oceu paramera, iako uobičajei saisički pricipi e alažu odbacivaje podaaka. Prilikom oga aglašavamo da u slučaju kada je ampliuda šuma zaemarljiva u odosu a broj poduzoraka, a osovu leme 6.3 ima smisla korisii avedeu meodu proreďeog uzorkovaja, slika 7.7. U om slučaju, u radu se predlaže i kako opimizovai frekveciju uzorkovaja, ukoliko se za oceu iegrisae volailosi izabere avedei posupak, pogledai sliku 7.6. Iz daih slika može se primeii da ocea sa opimizovaom frekvecijom uzorkovaja bolja od ocee sa proizvoljom. Iako je u radu [1] pokazao da je saisički opravdao korisii meod proreďeog uzorkovaja za oceu iegrisae volailosi, ovde ipak predlažemo pouzdaiji meod raspodele dosupih podaaka ili opservacija a višesruke podmreže, zv. zbiru oceu (zbiri esimaor), slika 7.5. akoďe je uvrďeo da se ajbolji rezulai dobijaju kombiovajem klasiče realizovae volailosi (brza vremeska skala - BVS) i ove zbire ocee (spora vremeska skala - SVS), ali ako da se elimiiše odsupaje zbire ocee. Prema ome, ajbolja ocea ema odsupaje za razliku od prehodih ocea, šo može da se vidi i a slici 7.4. Imajući u vidu sve čijeice, važa poruka koja proizilazi iz ovog rada je sledeća: Bez obzira koji model izaberemo za skrivei proces i bez obzira a ip podaaka koje korisimo prilikom procee, uvek je bolje da se za oceu iegrisae volailosi korisi meod višesrukih podmreža, odoso zbiri esimaor ego meod proreďeog uzorkovaja. U ovom radu sažea su ajpozaija dosadašja sazaja i osove ideje vodilje efikasog modeliraja fiasijskog ržiša, koje as upućuju od osovog pojma slučajog procesa do složee kosrukcije ržiša. Ovaj rad predsavlja spoj eorijskog i prakičog, jer a kraju predočava složeos posupaka korišćeih u praksi za predviďaje kreaja cea fiasijskih isrumeaa. akoďe, predlaže drugačiji ači opimizacije ocea iegrisae volailosi u odosu a rad [1], kao i heurisiku koja zao ubrzava odreďivaje opimalih vredosi parameara koji su eophodi za izračuavaje avedeih ocea. 15

115 8. Prilog A: Maemaičke dopue U ovom poglavlju ukrako ćemo avesi i delom objasii osove maemaičke pojmove, koji su eophodi za bolje razumevaje ovog rada, a isu direko vezai za emu slučajih procesa, sohasičkih iegrala, sohasičkih diferecijalih jedačia, kao i fiasijske maemaike i jee primee u direkim izračuavajima odreďeih parameara u praksi. Prema ome, oaj ko je zaieresova za dealjije izučavaje ove eme, može da pogleda redom sledeće referece: [13] i [16] kao uvod u eoriju verovaoće i jeo aksiomasko zasivaje; zaim [11] i [] kao uvod u eoriju slučajih procesa; referece [17] i [1] kao uvod u eoriju mere, ali sa osvrom a prosor verovaoće; referece [9], [15] i [18] za dealjiji maemaički opis slučajih procesa; i a kraju referece [19] i [], koje se odose a primeu eorije slučajih procesa u fiasijskoj maemaici. 8.1 Pojmovi iz verovaoće Defiicija 8.1 (Merljiv prosor). Neka je S proizvolja epraza skup i eka je σ-polje (algebra) formirao iz podskupova skupa S. UreĎei par (S,) aziva se merljivim prosorom, dok se jegovi elemei azivaju merljivim skupovima. Ukoliko je skup S jedak prosoru ishoda slučajog eksperimea: S=Ω, oda se ureďei par (Ω,) aziva merljivim prosorom slučajih dogaďaja. eorema 8.1 (Borel-Kaelijeva lema). (i) Ako je {A } proizvolja iz dogaďaja u ekom prosoru i ako važi ejedakos: = P{A }<+, ada važi sledeći izraz: P(limsup{ A }) P( A ). 1 k Drugim rečima, ako je suma verovaoća iza dogaďaja {A } koača, ada je verovaoća da će se desii beskoačo mogo akvih dogaďaja {A } jedaka uli. (ii) Ako je {A } proizvolja iz ezavisih dogaďaja i ako važi: = P{A }=+, ada važi jedakos: P(limsup{ A }) P( A ) 1. 1 k k k 16

116 8. Prilog A: Maemaičke dopue eorema 8. (DogaĎaj geerisa slučajom promeljivom). Neka je X slučaja promeljiva defiisaa a prosoru verovaoća (Ω,,P), ada važi da je familija σ(x)={x 1 (B): B B} σ polje, koje azivamo σ polje geerisao slučajom promeljivom X i za jega važi: σ(x). Defiicija 8. (G merljivos). Neka je X slučaja promeljiva defiisaa a eprazom prosoru Ω i eka je G proizvoljo σ-polje podskupova Ω. Ako je svaki skup iz σ-polja geerisaog slučajom promeljivom X akoďe i u σ-polju G, odoso ako važi σ(x) G, ada kažemo da je slučaja promeljiva X, G-merljiva. Primer 8.1 Kao primer merljive veličie avodimo proces koji opisuje reuu vredos porfolia Δ() i koji se meja u vremeu. Porfolio je reua imoviska vredos kojom ivesior raspolaže a berzi. Porfolio zavisi od kreaja cea akcija, obvezica i robe a berzi, jer u odosu a e cee ivesior odlučuje kako će dalje ulagai sredsva. Maemaički rečeo porfolio je -merljiv proces, j. porfolio zavisi jedio od iformacije koja je dosupa ivesioru u daom reuku. Napomea Za G-merljivu slučaju promeljivu X, iformacija u σ-polju G je dovolja da se uvrdi vredos promeljive X. Za G-merljivu slučaju promeljivu X i Borel-merljivu fukciju f važi da je f(w) akoďe G-merljiva fukcija.za G-merljive slučaje promeljive X i Y i Borel-merljivu fukciju f važi da je f (X,Y) akoďe G-merljiva fukcija. Odavde sledi da su i fukcije X+Y i X Y G-merljive fukcije. 8. Kvadraa varijacija i kovarijacija reale fukcije Da bi se objasio pojam kvadrae varijacije eophodo je avesi ekoliko osovih defiicija. Koača, ureďe skup vremeskih reuaka: {= 1... =} aziva se paricija iervala [,] i ozačava se sa π. Najveće rasojaje izmeďu svih mogućih uzasopih vremeskih reuaka, koji su elemei paricije π, aziva se orma podele i ozačava se sa π =max 1 i ( i i 1 ), pogledai referecu [9]. Defiicija 8.3 (Varijacija fukcije).ako je g fukcija reale promeljive, ada varijaciju fukcije g duž iervala [a,b] defiišemo izrazom: i i1 (8.1) i 1 Vg ([ a, b]) lim g( ) g( ) Pri čemu se limes uzima duž iza paricija, gde za svako fiksirao, iz {a= < 1 <...< =b} predsavlja pariciju iervala [,] sa ormom podele π =max 1 i ( i i 1 ). Defiicija 8.4 (Fukcija ograičee varijacije). Ako važi da je graiča vredos (8.1) koača, odoso ako važi: V g ([a,b]) <+ za svako, ada fukciju g azivamo fukcijom ograičee varijacije a iervalu [a,b]. Napomea Ako je g fukcija promeljive, ada je i varijacija fukcije g akoďe fukcija promeljive, odoso važi: V g ([,])=V g (). Pri ome, važi da je V g () rasuća fukcija po promeljivoj. Ako je fukcija f ograičee varijacije oda je oa diferecijabila skoro svuda. 17

117 8. Prilog A: Maemaičke dopue Defiicija 8.5 (Kvadraa varijacija fukcije). Ako je g fukcija reale promeljive, ada se kvadraa varijacija fukcije g duž iervala [,] defiiše kao graiča vredos (ako posoji) sledećeg izraza: i i1, (8.) i1 [ g]( ) lim ( g( ) g( )) gde se limes uzima duž paricija { i } sa ormom podele: π =max 1 i ( i i 1 ) 7. Defiicija 8.6 (Kvadraa kovarijacija fukcije). Kvadraa kovarijacija ili samo kovarijacija fukcija f i g a iervalu [,] defiiše se kao graiča vredos (ako posoji) sledećeg izraza: 1 lim ( i1 i ) ( i1 i ) i1 [ f, g]( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ), (8.3) gde se limes uzima duž paricija { i } iervala [,] i π =max 1 i ( i+1 i ). eorema 8.3 (i) Ako je g eprekida fukcija ograičee varijacije ada je jea kvadraa varijacija jedaka uli. (ii) Ako je f eprekida fukcija, a g fukcija ograičee varijacije, ada je jihova kovarijacija jedaka uli: [f,g]() =. 8.3 Kvadraa varijacija i kovarijacija slučajog procesa Defiicija 8.7 (π-kvadraa varijacija procesa). Za proizvolju pariciju π={ 1... } a iervalu [,] [,] i za proizvolja proces X koji je defiisa a daom iervalu [,], defiišemo π-kvadrau varijaciju procesa X kao slučaju promeljivu oblika: i. i1 i1 Q ( X ) ( X X ) Defiicija 8.8 (Kvadraa varijacija procesa). Kvadraa varijacija procesa X defiiše se sledećim izrazom: P lim i1 i. (8.4) i1 [ X ] [ X, X ] ( X ( ) X ( )) gde za svako fiksirao, iz { i } i= predsavlja pariciju iervala [,].Kovergecija je u verovaoći i uzima se duž daih paricija, za koje važi da orma podele eži uli: π =max i ( i+1 i ),, videi referecu [9]. Defiicija 8.8a (Kvadraa varijacija procesa). Ako posoji proces V, akav da π-kvadraa varijacija Q π (X ) kovergira u verovaoći prema om procesu, pri čemu daa kovergecija važi za svaki iz paricija {π} a ieravlu [,], za koje važi uslov: π, kada, ada proces V azivamo kvadraom varijacijom procesa X i račuamo je kao: Napomea Deficije 8.8 i 8.8a su ekvivalee. lim i. (8.5) i1 i1 [ X ] ( X X ) 7 Napomijemo da se u sohasičkom račuu dai limes uzima duž oih paricija, čija se orma podele smajuje π, a e duž svih mogućih paricija. 18

118 8. Prilog A: Maemaičke dopue Defiicija 8.9 (Kvadraa kovarijacija procesa). Kvadraa kovarijacija ili samo kovarijacija defiiše se kao graiča vredos opadajućeg iza paricija a iervalu [,] i oblika je: [ X, Y ] ( X X )( Y Y ). (8.6) lim i i1 i i1 i L p -prosori fukcija Dealjo izložeu aalogiju izmeďu pojmova iz eorije mere i pojmova iz eorije verovaoće i slučajih procesa možee aći u referecama [1], []. Neka je (S,Σ,μ) merljiv prosor, gde su S proizvolja skup, Σ proizvoljo σ-polje i μ poziiva mera. Defiicija 8.1 (L p -prosori fukcija).neka je f proizvolja merljiva fukcija a prosoru (S,Σ,μ) i eka važi uslov 1 p<. Ako je ispuje uslov: S f p dμ <+, ada kažemo da je fukcija f p-iegrabila fukcija i važi da je:f L p (S,Σ,μ). Skup svih p-iegrabilih fukcijal p (S,Σ,μ) je ormira lieara vekorski prosor, sa ormom 73 : p 1/ p. (8.7) S f f d p Za p= dobijamo poseba slučaj prosora L (S,Σ,μ), koji predsavlja ormira lieara vekorski prosor sa ormom (Hilberov prosor), pri čemu je orma oblika: ( ) ( ) 1/ f f x d x. Defiicija 8.11 (L -prosori fukcija). Neka je f proizvolja merljiva fukcija a prosoru (S,Σ,μ) i eka je p=. Ako je f <, ada kažemo da je fukcija f beskoačo-iegrabila fukcija, odoso važi: f L (S,Σ,μ). Skup svih beskoačo-iegrabilih fukcija L (S,Σ,μ) je ormira lieara vekorski prosor sa ormom: uz koveciju da je if =. f : if{ m R : ( f m ) }. (8.8) Napomea Priseimo se da je kompleksa merljiva fukcija f esecijalo ograičea a skupu S, ako je i fukcija f esecijalo ograičea odozgo a S. Skup svih akvih fukcija ozačavamo sa L (S,Σ,μ). Prema ome, beskoača orma je esecijali supremum fukcije f, odoso važi: f =supess f. Očigledo je da sledeća ejedakos važi skoro svuda a S: f f. 73 Napomeimo da a prosoru L p (S,Σ,μ) ozaku e možemo da zovemo ormom, jer e zadovoljava reće svojsvo fukcije orme. Ovaj problem se zaobilazi ako šo se uvodi relacija ekvivalecije u dai skup f 1 ~ f akko f 1 (x) = f (x) skoro svuda.novodobijei prosor čiji su elemei klase ekvivalecije,zv.količički skup je sada ormira vekorski prosor i važi: L p (S,Σ,μ):= L p (S,Σ,μ)/~. 19

119 8. Prilog A: Maemaičke dopue 8.5 L p - prosori slučajih promeljivih Defiicija 8.1 (L p - prosori slučajih promeljivih). Neka je X proizvolja slučaja promeljiva a prosoru (Ω,,P) i eka je 1 p<. Ako važi da je E X p <, ada kažemo da je slučaja promeljiva X p-iegrabila, odoso važi: X L p (Ω,,P). Skup svih p-iegrabilih slučajih promeljivih L p (Ω,,P) je ormira lieara vekorski prosor sa ormom: X p p 1/ p E X. Defiicija 8.13 (L -prosori slučajih procesa).neka je f (ω,): Ω[,] R slučaja proces defiisa a prosoru (Ω[,],B([,]),P ). Ozaka predsavlja Lebegovu meru a skupu [,], dok ozaka P predsavlja meru a Dekarovom proizvodu prosora Ω[,] i važi d(p )=dpd. Proces X = f (ω,) je kvadrao iegrabila, odoso X L (Ω[,], B([,]), P ), ako ima koaču ormu oblika: [, ] f (, ) dp d E f (, ) d. (8.9) Prosor L (Ω[,], B([,]), P ), predsavlja skup svih iegrabilih slučajih procesa i o je ormira lieara vekorski prosor. Napomea Na osovu Koši-Švarcove ejedakos: E X Y X Y, sledi da je dovoljo da su procesi X i Y p-iegrabili procesi, odoso da važi:x,y L p (Ω,,P), da bi jihov proizvod bio iegrabila, j. da bi očekivaje jihovog proizvoda bilo koačo. 8.6 Osobia kompleosi L p - prosora Defiicija 8.14 (Košijev iz). Niz {x } =1 u ormiraom prosoru (S, ) je Košijev iz, ako elemei iza ispujavaju sledeći uslov: lim X X m =,,m 74. Defiicija 8.15 (Kompleos). Merički prosor se aziva kompleim ukoliko u jemu svaki Košijev iz kovergira ka elemeu daog prosora. Defiicija 8.16 (Gus skup). Skup A je svuda gus u skupu B, ako se u svakoj okolii proizvolje ačke iz B alazi bar jeda ačka iz A. Drugim rečima, za podskup A meričkog prosora B kažemo da je svuda gus u prosoru B, ako za svaki eleme x B posoji iz {x } A, akav da je: lim x x B =,. eorema 8.4 (Kompleos L p prosora fukcija). Neka je p [1, ], ada važi da su prosori L p (S,Σ,μ) i L p (Ω,,P) Baahovi prosori, šo zači da su ujedo i komplei i ormirai. Napomea Specijalo, za p=vekorski prosor L (S,Σ,μ) dobija srukuru Hilberovog prosora sa skalarim proizvodom, koji je defiisa izrazom: f,g = S f g dμ. 74 Košijev iz može da se defiiše i a prosoru koji poseduje samo meriku d. 11

120 8. Prilog A: Maemaičke dopue eorema 8.5 (Kompleos L p prosora slučajih promeljivih). Neka je ispuje uslov p [1, ]. Prosor L p (Ω,,P) je komplea u sledećem smislu. Neka je {x } Košijev iz u prosoru L p, odoso važi sledeći uslov: lim X X m p =,,m, ada posoji graiča vredos daog iza X L p, akva da važi: lim X X p =, kada. Graiča vredos X je jedisvea u smislu da ako posoji graiča vredos X L p, ada za ju važi: X X p =. Napomea Specijalo,za p= vekorski prosor L (Ω,,P) dobija srukuru Hilberovog prosora sa skalarim proizvodom, koji je defiisa izrazom: X,Y :=E(X Y). 8.7 Orogoalos fukcija Defiicija 8.17 (Oroormira skup).prebrojiv skup fukcija {ϕ } L [,1], < je oroormira skup, ako važi: ϕ,ϕ = ϕ =1 i ϕ,ϕ m =, za sve m. Neka je H ={ i=1 α i ϕ i :α R } koača skup svih liearih kombiacija proizvoljog skupa{ϕ } 75, koji e mora da bude oroormira.ada za proizvolju fukciju f iz prosora L [,1] važi sledeće vrďeje: ˆ f f,. i1 i i Defiicija 8.18 (KONB).Za oroormira skup {ϕ } kažemo da je komplea oroormiraa baza, ako skup svih jeih liearih kombiacija H formira gus skup u prosoru L [,1]. Ekvivaleo, skup{ϕ } je KONB, ako za proizvolju fukciju f L [,1], važi sledeće vrďeje: Ako je f ϕ i, za svako i, ada je f =. Navodimo dve važe osobie kompleih oroormiraih skupova: (i) Za proizvolju fukciju f L [,1] važi sledeće vrďeje: N lim f f,, (8.11) N Drugim rečima, proizvolja fukcija f L [,1] može se predsavii u sledećem obliku: (ii) Za KONB važi Parsevalov ideie: N f f,. (8.1) 1 f, g f ( x ) g ( x ) dx f,, g. (8.13) Primeimo da pomoću Parsevalovog ideiea skalari proizvod možemo da predsavimo a dva ačia. Lema 8.1 (Graiča vredos eprekidih fukcija). Neka je fukcija f : [,1] R, =1,,..eprekida fukcija i preposavimo da f uiformo (ravomero) kovergira prema fukciji f, odoso za dao ε> posoji broj N, akav da za svako N, važi: f () f () <ε, za proizvoljo [,1]. ada je f eprekida fukcija. Napomea Napomijemo da avedee defiicije u poglavlju 8.6 osaju isprave kada umeso iervala [,1] izaberemo proizvolja ierval I. 75 H je lieari podprosor obuhvaće bazom{ϕ }. 111

121 9. Prilog B: Programi u Malab-u U ovom poglavlju prikazaćemo i ukrako objasii program koji je apisa u Malab-u i koji se u ovom radu korisi za simulaciju Hesoovog procesa cea, zaim za izračuavaje ocea iegrisae volailosi, kao i za iscravaje grafika opisaih u poglavlju sedam. Pogledai ref. [6] za bolje salažeje u okružeju programa Malab, kao i ref. [7] za dealjije objašjeje različiih ehika simulacije slučajih procesa u Malabu. Program se sasoji iz više delova. Cerali je Mai program, koji se poziva od srae korisika, dok su osali delovi zasebe fukcije. Od fukcija ajvažija je Heso, koja se poziva iz Mai programa i služi za geerisaje jede Hesoove puaje, odoso procesa cea X i jemu odgovarajućeg procesa Y, a koji se dodaje efeka šuma. Dalje, fukcije sa imeom Esimaori račuaju odgovarajuće vredosi ocea iegrisae volailosi, koje su ajopimalije. Za kraj, osaju akoďe eophode fukcije Seps i Brow_Charlie, pri čemu se Seps fukcija korisi kao heurisika za prvi i drugi esimaora, dok se fukcija Brow_Charlie korisi za geerisaje Brauovog kreaja. Simulacija se pokreće pozivom programa Mai, koji izračuava rezulae opisae u sedmom poglavlju za M=1 rajekorija. Napomijemo da program Mai prvo poziva fukciju Heso, a zaim prosleďuje podake o jeoj reuoj rajekoriji osalim esimaorskim fukcijama, koje a zadaoj rajekoriji račuaju ocee iegrisae volailosi. Kasije okom programa se odreďuju sredje vredosi odsupaja avedeih esimaora od iegrisae volailosi. Na slikama 9.1. i 9.. prikazai su redom dijagram srukure programa i dijagram uzajame povezaosi pojediih delova programa, a kome se, akoďe mogu videi i okovi iformacija izmeďu avedeih delova glavog programa. 11

122 9. Prilog B: Programi u Malab-u Slika 9.1. Dijagram srukure programa i jihove uzajame povezaosi. Slika 9.. Prikaz ivoa povezaosi i oka podaaka izmeďu fukcija i glavog programa. 113