Sveučilište u Zagrebu. Građevinski fakultet. Matej Ivanković. Zidovi s otvorima. (završni rad) Zagreb, 2012.

Transcript

1 Sveučlšte u Zagrebu Građevnsk fakultet Mate Ivankovć Zdov s otvorma (završn rad) Zagreb, 212.

2 Ova završn rad zrađen e u Zavodu za tehnčku mehanku na Građevnskom fakultetu pod vodstvom prof. dr. sc. rešmra Fresla, dpl. ng. građ.,. u akademsko godn 211./212.

3 Sadrža: 1. Uvod (općento o zdovma) ratak pregled dosadašnh radova Rešene A.R. Ržancna Rešene M. Tessera Rad O. Wernera Ostala rešena Rešene V. Smovća Općento o metod sla Elastčno težšte Općento o općo metod pomaka Model zda s otvorma Sle stana prslnh pomaka Sle upetost Sle upetost za opterećene koncentrranom slom paralelnom s os štapa Sle upetost za opterećene koncentrranom slom okomtom na os štapa Sle upetost za opterećene koncentrranm momentom Sle upetost za opterećene kontnuranom ednolko raspodelenom slom Dobvane sla upetost pomoću zraza z prručnka Sle upetost za opterećene zadano samo na nezmerno krutm delovma štapa Sustav ednadžb ravnoteže Prelaz u globaln koordnatn sustav Jednadžbe ravnoteže čvorova Ukupne sle na kraevma elemenata nematčka kondenzaca Prmer Lteratura... 65

4 1. Uvod (općento o zdovma) Zd e plošn nosv element ko prenos opterećene u svoo ravnn. Obleže ovog konstrukcskog elementa est to da e edna dmenza zda, deblna, zanemarvo mala u odnosu na druge dve. On, dakle, na sebe preuzmau vertkalna horzontalna delovana, te se u nma avla ravnnsko stane naprezana. ao sv konstrukcsk element, morau zadovolavat uvete stablnost, te zaštte od utecaa promene temperature, vlage, zvuka, vatre, a potom uvete tranost, ekonomčnost estetke. Uz obleža zdova poput gradva od koh su zveden, tehnologe građena korštene pr zvedb, vatrootpornost, zolacskm svostvma, zdove prema konstrukcsko uloz možemo podelt na nosve nenosve. osv zdov vlasttu težnu zaedno sa svm ostalm proektranm opterećenma prenose na druge elemente, dok nenosv nose samo sebe. Također postoe razlke zmeđu punh zdova zdova s otvorma, koe ćemo obradt u ovome radu. od mnogoetažnh zgrada osnovn element za horzontalna delovana, pored okvra, su zdov, načešće oslablen nzovma otvora. od obekata ne preterano velke vsne zdov se občno zvode konstatne deblne, a ako dolaz do promene deblne zda s vsnom, ona se občno zvod skokovto. Ovsno o debln greda koe spaau stupove zdova, zabremo napogodnu od nekolko proračunskh shem zda. Ako su vsne greda ako malene l su stupov zdova spoen samo stropnm pločama, svak stup e nabole tretrat kao zasebnu konzolu (slka 1.b). od ako kruth greda malh otvora, cel zd uzmamo kao ednstvenu konzolu (slka 1.c). a prelaznom područu, t. kod greda male krutost u odnosu na stupove, al nezanemarvh utecaa na povećane nosvost sustava (što e načešć sluča), statčk proračun postae složen te e potrebno problemu prstupt na prav načn. ekolko e modela koma možemo opsat konstrukcu. Stupove zdova možemo uzet kao plošne elemente povezane gredama kao štapnm elementma znad otvora (slka 1.d). Slčan e model kod koeg se grede kao štapn element nastavlau celom šrnom zda (slka 1.e). U okvru ovog rada, zd ćemo modelrat kao štapn sstem (slka 1.f - zd greda su modelran kao štapn element). slka 1.a slka 1.b slka 1.c slka 1.d slka 1.e slka 1.f 1

5 2. ratak pregled dosadašnh radova U knz Zdov s otvorma okvrne konstrukce znesen e pregled nekolko radova vezanh uz proračun zdova s otvorma. Statčk proračun ovakvh obekata dosta e složen, er se prmenom metode sla u klasčnom oblku dolaz do velkog broa nepoznath velčna (statčk všestruko neodređen sstem), a s obzrom da se radlo o razdoblu pre prmene računala proračun postae dugotraan. Zbog toga autor kra osnovnh pretpostavk teore konstrukca za štapne ssteme uvode dodatne pretpostavke poednostavluuć postupak proračuna. aravno, nužno e da su rešena dovolno točna za praktčnu prmenu. 2.1.Rešene A.R. Ržancna A.R. Ržancn ne se bavo problemom proračuna vsokoetažnh obekata sa zdovma za ukrućene protv horzontalnh delovana, no obrađuuć teoru sastavlenh štapova došao e do dferencalnh ednadžb koe predstavlau matematčk model problema proračuna zdova s otvorma. Za gredu sastavlenu od dva elementa vred dferencalna ednadžba gde su: T posmčna sla,, ε γ koefcent ovsan o vez među elementma, koefcent ovsan o geometrskm velčnama, član ovsan o opterećenu. Jednadžba e potpuno sta kao dferencalna ednadžba zda s ednm nzom otvora. Ržancnovo opće rešene za gredu sastavlenu z vše elemenata analogno e zdu s vše otvora. Dobva se sstem lnearnh dferencalnh ednadžb drugog reda:...,...,..., 2

6 gde su : T posmčna sla u -tom šavu, ε k koefcent ovsan o vez među elementma -tog šava, koefcent ovsan o geometrskm velčnama, član ovsan o opterećenu. Ovo e rešene matematčk elegantno, no nepraktčno za proračun zdova zbog svoe glomaznost. Usvoene su pretpostavke znanost o otpornost materala zakon ravnh preseka, a naprezane se smatra određenm ako su za dan presek poznate unutarne sle (M,, T), deformace se u odnosu na dulnu smatrau malenma Rešene M. Tessera U radu Stablnost vsokh građevna na vetar M. Tesser promatrao e smetrčan sstem zda oslablenog po sredn ednm nzom otvora, tražeć progbnu lnu polovne zda za opterećene vetrom. Osnovne prepostavke: točke A B u osma stupova koe se nalaze na stom nvou ostau na sto horzontal nakon deformace (zanemarue se deformaca zbog uzdužnh sla), ravn presec okomt na os stupova ostau nakon deformace ravn okomt na os stupova. Dferencalna ednadžba progbne lne zda e 6, gde su: z = y' tangens kuta nagba progbne lne, x apscsa merena od podnoža, E modul elastčnost materala zda, I moment nerce stupa, I g l b a h q moment nerce grede, šrna stupa, dulna grede, udalenost od os do os grede, vsna zda, ntenztet horzontalnog opterećena. 3

7 Pomoću ednadžbe progbne lne mogu se odredt unutarne sle u stupovma gredama. Zanemarvane deformaca zbog uzdužnh sla u stupovma poprečnh u gredama dovod do pogrešaka zbog koh ovo rešene nema vrednost u smslu praktčne prmene. Za razlku od većne drugh radova u koma e korštena metoda sla, ovde e za zvod dferencalne ednadžbe progbne lne korštena metoda pomaka Rad O. Wernera O. Werner predstavla prošrene poopćene navedenog rada M. Tessera. U radu Proračunavane všekatnh zgrada sa krutm pregradnm stenama razrađue općent sluča elastčne upetost u temelnu konstrukcu, s mogućnošću neednolkog slegana temela. Također e promatran smetrčan okvr s krutm zdovma, te uteca uzdužnh sla na deformacu stupova ne uzet u obzr. Dferencalna ednadžba progbne lne zda e!, gde su: u = y' tangens kuta nagba progbne lne stupa x apscsa merena od vrha stupa prema dole y koefcent ovsan o geometrskm karakterstkama konstrukce L razmak zmeđu os stupova E modul elastčnost materala konstrukce dvostruka vrednost pomaka temela q ntenztet horzontalnog, po vsn ednolko rasprostrtog, opterećena ednog stupa Također e zvedena dferencalna ednadžba za nesmetrčan okvr, pr čemu se korst pretpostavka ednakost pomaka za razdobu momenata na stupove. 4

8 2.4. Ostala rešena Radov nekolko autora svrstan su u stu skupnu pošto se razlkuu samo u oznakama statčkh geometrskh velčna. To su radov Becka ( En neues Berechnungsverfahren für geglederte Scheben, dargestellt am Bespel de. Verendeelträgers ), A. V. Marna, M. Albgesa I. Gouleta ( Ukrućene protv vetra u zgradama ), R. Rosmana ( Zdov oslablen nzovma otvora zložen utecama potresa vetra ) P. F. Drozdova. Osnovne pretpostavke su: a) Za materal vred Hooke-ov zakon, a naprezana ne prelaze grancu proporconalnost. b) Ravn presec nakon deformace ostau ravn (Bernoull- Eulerova hpoteza o ravnm presecma). Ovo važ za poprečne preseke stupova greda, a ne važ za presek zda kao celne. c) U sredn greda su točke nflekse (u tom preseku nema momenata savana). Ovu pretpostavku omogućuu male krutost greda u odnosu na krutost stupova. d) U uzdužnom smeru grede se smatrau apsolutno krutm. e) Vsne katova su ednake. f) Modul elastčnost stupova greda su st. g) Površne poprečnh preseka moment nerce stupova greda su konstantn. U radu R. Rosmana zd s ednm nzom otvora promatran e kao zd č su stupov kontnurano spoen po čtavo vsn. Deblna lamela zražena e nfntezmalno malom velčnom dx, a nhov moment nerce doba se redukcom momenata nerce greda. slka 2. 5

9 Osnovn sstem formra se presecanem nza lamela po sredn, te se postavlanem uveta kontnuteta dolaz do dferencalne ednadžbe drugog reda: T '' +α 2 T=ψMr, gde su T uzdužna sla u stupu u preseku s apscsom x, Mr moment savana od vanskog opterećena, α, ψ koefcent ko ovse o geometrskm karakterstkama zda : # $ 1 ( 1 ( ) 12 +,, Osnovn problem kod proračuna po ovo metod e postavlane rubnh uveta. etočnost rezultata smanuu se povećanem broa etaža smanenem razmaka greda, te se metoda ne sme prmenvat kod obekata s mane od sedam etaža. Proračun e brz zbog Rosmanovh Tablca za brz pronalazak unutarnh sla progba. Dano e rešene za smetrčan zd s dva nza otvora, dok kod nesmetrčnh zdova s dva vše nzova otvora dolaz do prevelkog odstupana od stvarnog stana. 2.5.Rešene V. Smovća U knz Zdov s otvorma okvrne konstrukce možemo pronać detalan ops metode rešavana proračuna zdova s otvorma prmenom dferencskh ednadžb kou e razvo prof.dr.ng. Veseln Smovć. Rešene se može prment kako na zdove s ednm nzom otvora tako na zdove s vše nzova otvora, te za razne tpove opterećena, geometrske uvete rubne uvete. Osnovne pretpostavke pretpostavke su teore konstrukca: a) Materal se ponaša po Hookeovom zakonu elastčnost, a naprezana su spod grance proporconalnost. b) Bernoull- Eulerova hpoteza o ravnm presecma vred za stupove grede. Dodatne su pretpostavke: a) U smetral greda su točke nflekse (moment su ednak nul). b) U uzdužnom smeru grede su apsolutno krute. 6

10 Dodatne su geometrske pretpostavke: a određenm odsečcma vsne: a) Deblne zdova modul elastčnost su konstantn; b) Razmac greda su ednak; c) Šrne otvora su ste; d) Grede su sth dmenza. U slučau da u obektu dolaz do promene velčna poput deblne zda, vsne etaža, šrne otvora vsne greda (nsu konstantne duž vsne obekta) opće rešene ostae sto, al se rubn uvet morau posebno rešt. od proračuna zda s ednm nzom otvora osnovn sustav formramo vertkalnm presecanem greda. Jednadžbe kontnuteta tada čne sustav tročlanh lnearnh algebarskh ednadžb, a opću tročlanu ednadžbu takvog sustava svodmo na dferencsku ednadžbu drugog reda. Rešenem dobvamo zraz za prekobronu velčnu X, (uzdužna sla u stupu u - tom polu) koa predstavla opće rešene sustava. slka 3. 7

11 Opće homogeno rešene ovs o geometrskm karakterstkama konstrukce: - / , a u općem ukupnom rešenu partkularno rešene ovs o vanskom delovanu: Prtom su: r 1, r 2 koren karakterstčne ednadžbe (međusobno recpročn) C 1, C 2 konstante ntegrace Uzdužna sla u stupu: 1 = 2 = X. Poprečna sla u -to gred: T = X X -1. Ukupn moment savana u nekom preseku -tog pola: M = l X, pr čemu e 3 4. moment savana u nekom preseku -tog pola od vanskog opterećena. Momente stupova dobvamo u omeru krutost stupa prema ukupno krutost zda. U knz e prkazan načn određvana općeg ukupnog rešena za razne tpove opterećena (koncentrrana sla u os gorne grede u općem položau, kontnurano ednolko opterećene, kontnurano lnearno promenvo opterećene), čom kombnacom možemo aproksmrat sva horzontalna delovana. Obrađen su slučaev zda promenve deblne (skokovto po etažama), zdova s elastčno popustlvm osloncma, posebnm ležanm konstrukcama l ačom gornom gredom, te zdova s vše nzova otvora l promenvom vsnom. 8

12 3. Općento o metod sla Statčk proračun štapnog modela zda s otvorma zvest ćemo metodom pomaka. Izraze za vrednost sla kod proračuna stana prslnh pomaka zvest ćemo metodom sla, ednako kao zraze za poopćene sle upetost. Metoda sla e edan od načna rešavana statčk neodređenh sustava. Raskdanem određenog broa vanskh l unutarnh veza zadanog sstema formramo osnovn sstem ko ne mora bt određen, al mora bt geometrsk nepromenv. Umesto rasknuth veza na osnovn sstem nanosmo poopćene sle koe odgovarau slama koe su te veze prenosle. azvamo h statčk neodređenm velčnama, prekobronm velčnama l prekobronm slama. S obzrom da su vrednost poopćenh sla osnovne nepoznance, postupak e nazvan metodom sla. Tražmo vrednost prekobronh sla kom b osnovn sstem dovel u mehančko stane zvornog sstema. To radmo prema uvetma kompatblnost pomaka, t.prema zahtevu za podudaranem progbnh lna zvornog sstema osnovnog sstema opterećenog slama koe deluu prekobronh sla pravh vrednost. Dobvamo ednadžbe kompatblnost, ednadžbe kontnuteta l ednadžbe nepreknutost: l, u matrčnom zapsu gde su: X 1 δ 1,1 + X 2 δ 1,2 + X 3 δ 1,3 + δ 1, = δ5 1, X 1 δ 2,1 + X 2 δ 2,2 + X 3 δ 2,3 + δ 2, = δ5 2, X 1 δ 3,1 + X 2 δ 3,2 + X 3 δ 3,3 + δ 3, = δ5 3, δ 1,1 δ 1,2 δ 1,3 X 1 δ 1, δ5 1 6δ 2,1 δ 2,2 δ 2,3 7 8X 2 96δ 2, 7 6δ5 2 7, δ 3,1 δ 3,2 δ 3,3 X 3 δ 3, δ5 3 δ, koefcent matrce popustlvost (zračunavau se metodom ednčnh sla) označava mesto pomaka ;1,n< označava poopćen pomak hvatšta sle X po pravcu u smslu nezna delovana, označava uzrok pomaka, ;1,n< označava poopćenu ednčnu slu u hvatštu, na pravcu u smslu delovana sle X δ, ;1,n<, označava sva zadana delovana. Predznak vrednost δ, dae smsao pomaka u odnosu na smsao delovana sle X. Poztvan predznak znač pomak u smslu delovana sle, a negatvan pomak u smslu suprotnom delovanu sle. δ5 zadana vrednost prslnog pomaka hvatšta sle X po pravcu nezna delovana. 9

13 Matrčnom stenografom zapsuemo: D X + = =, gde su: D matrca fleksblnost (popustlvost) sstema, X vektor vrednost prekobronh sla, vektor vrednost pomaka hvatšta prekobronh sla X po pravcma u smslu nhova delovana, zazvanh zadanm opterećenem, = vektor zadanh vrednost prslnh pomaka hvatšta sla X po pravcma u smslu nhova delovana Elastčno težšte Za slučaeve kada e drektnom ntegracom složeno zračunat elemente matrce popustlvost (npr. sstem promenvog poprečnog preseka l e oblk sstema tlačna lna), možemo h zračunat numerčkom ntegracom l odabrat pogodn sstem. Uzmmo kao prmer tr puta statčk neodređen okvr. Pretpostavmo l da nema prslnh pomaka, vred D X + =. Tražmo točku u ravnn okvra u koo su element matrce fleksblnost zvan glavne dagonale ednak nul, t. vred δ?,@ za E F G. slka 4. Matrca fleksblnost bt će: δ 1,1 δ 1,2 δ 1,3 δ 11 D =6δ 2,1 δ 2,2 δ 2,3 7 = H δ 22 I, δ 3,1 δ 3,2 δ 3,3 δ 33 a ednadžbe nepreknutost X 1 δ 1,1 + δ 1, =, X 2 δ 2,2 + δ 2, =, X 3 δ 3,3 + δ 3, =. 1

14 Prekobrone sle možemo zrazt u oblku X = - D -1, t. l L 1 O δ 1,1 X 1 1 8X 2 9= X δ 2,2 3 1 J M δ 3,3 H δ 1, δ 2, δ 3, I X 1 = - δ 1, δ, 1,1 δ, 2,2 δ. 3,3 X 2 = - δ 2, X 3 = - δ 3, Sustav od 3 ednadžbe s 3 nepoznance postae 3 neovsne ednadžbe s po ednom nepoznancom. Točka s takvm svostvom zove se centar elastčnog pomaka l elastčno težšte. Sle u elastčnom težštu označuu se s X 1, X 2 X 3. Izvandagonaln element matrce fleksblnost u elastčnom su težštu ednak nul. Za potpuno određene elastčnog težšta označenog točkom C potrebno e odredt negove koordnate (x c, y c ) kut ψ što ga sla X 1 zatvara s koordnatnom os x. Prekobrone sle se na okvr prenose preko zamšlenh štapova beskonačne krutost (averova konzola). slka 5. 11

15 Uvodmo koordnatn sustav s shodštem u C (x c, y c ), za ko vred: x == x - x c y == y - y c. Za određvane C ćemo skorstt ednadžbe δ 1,3 = δ 3,1 = δ 2,3 = δ 3,2 =. Potrebn su nam dagram m5555 1,m m prkazan na slc 6. Iz dagrama se vd da zraz za momente savana na okvru glase m 1 m 2 m = 1 y = = 1 slka 6. oordnatu x c određuemo z uveta δ 2,3 = δ 3,2 = : 5555 Q m m 3 EI(s) ds = Q 1 x5 1 EI(s) ds Q x5 EI(s) ds Q x - x c EI(s) ds Q x EI(s) ds x c Q ds EI(s), Q x ds x EI(s) c Q ds, EI(s) x c x R EI(s) ds. ds R EI(s) 12

16 oordnatu y c određuemo z uveta δ 1,3 = δ 3,1 = : 5555 Q m m 3 EI(s) ds = Q 1 y5 1 EI(s) ds Q y5 EI(s) ds Q y - y c EI(s) ds Q y EI(s) ds y c Q ds EI(s), Q y ds y EI(s) c Q ds, EI(s) y c y R ds EI(s) ds R EI(s). Defnrat ćemo neke karakterstke oznakama: dg= ds EI(s) G =Qdg=Q ds EI(s) element teške lne, dulna teške lne, S g (y) =Qx dg=q x ds statčk moment teške lne oko os y, EI(s) S g (x) =Qy dg=q y ds statčk moment teške lne oko os x, EI(s) Sada su zraz za koordnate: x c S g(y) G, y c S g(x) G. 13

17 Potrebno e oš odredt kut ψ ko sla X 1 zatvara sa os x (slka 7.). slka 7. Za to su nam potrebn dagram momenata savana m 1, m 2 m 3 (slka 8.). m 1 = 1 η m 2 = 1 ξ m 3 = 1 slka 8. Veza koordnatnh sustava dana e zrazma ξ = x5cosψ + y5snψ, η = x5snψ + y5cosψ. slka 9. 14

18 ut ψ određuemo pomoću ednadžbe δ 1,2 = δ 2,1 = : Q T T EI(s) ds = Q η ξ x5snψ + y5cosψ (x5cosψ + y5snψ) ds Q EI(s) EI(s) 1 U5 U5 sn2ψ 6Q ds Q ds7cos2ψ Q 2 EI(s) EI(s) EI(s) ds, te e tg2ψ 2R 5555 U ds EI(s) R EI(s) ds R U5 EI(s) ds. Da bsmo poednostavl zraz, defnramo neke karakterstke: I g (x5) =Q U5 ds moment nerce teške lne oko os x5, EI(s) I g (y5) =Q ds moment nerce teške lne oko os y5, EI(s) I g (x5,y5) =Q 5555 U ds centrfugaln moment nerce teške lne oko točke C, EI(s) Izraz za kut ψ glas: ψ 1 2 arctg $ I g(x5,y5) I g (y5) - I g (x5) ). 15

19 Dagonaln element matrce fleksblnost određuu se prema rane zvedenm zrazma u koe uvrštavamo prpadne karakterstke teške lne : δ 1,1 =Q T EI(s) ds δ 2,2 =Q T EI(s) ds δ 3,3 =Q T + EI(s) ds = G. I g (x5) cos 2 ψ I g (y5)sn 2 ψ I g (x5,y5) sn2ψ, I g (x5) sn 2 ψ I g (y5)cos 2 ψ I g (x5,y5) sn2ψ, Element vektora δ 1,, δ 2, δ 3, određuu se kao kod ostalh sstema. Za smetrčne sustave vred x c = L/2 ψ =, pa treba odredt samo koordnatu y c. od všestruko neodređenh nosača se korštenem elastčnog težšta (centra elasčnog pomaka) može postć da matrca popustlvost ne puna, čme se ubrzava postupak nverze matrce popustlvost l blo ko teratvn postupak rešavana ednadžb kontnuteta. 16

20 4. Općento o općo metod pomaka Metode pomaka su metode proračuna štapnh sstema u koma su nepoznance vrednost pomaka (translacsk pomac kutov zaokreta) odabranh točaka sstema. Jednm h menom možemo nazvat poopćen pomac. Osnovn sstem formramo dodavanem zamšlenh veza koe sprečavau translacske pomake zaokrete čvorova. U prvome se koraku proračuna ( stane sprečenh pomaka ) sva zadana delovana nanose na osnovn sstem, zbog čega se u čvorovma poavluu reaktvne sle moment koh u zvornome sstemu nema ( sle upetost ). To stane ne stvarno stane pomaka zvornoga sstema (maknemo l dodane zamšlene veze, čvorov stau neuravnotežen). U drugome koraku ( stane prslnh pomaka ) određuemo kolk morau bt translacsk pomac zaokret čvorova ( poopćen pomac ) da ponšte reakce zazvane zadanm delovanma. orstmo se ednadžbama ravnoteže sla momenata u čvorovma. Da bsmo dobl ukupne sle na kraevma elementa zvornog sstema, potrebno e superponrat vrednost sla u stanu sprečenh pomaka sla u stanu prslnh pomaka. Metodama pomaka moguće e proračunavat statčk neodređene statčk određene ssteme. Prednost nad metodom sla e znatno ednostavne postavlane algortama po metod pomaka, pa se većna računalnh programa za proračun štapnh konstrukca korst ovom metodom kao algortamskom osnovom. 17

21 5. Model zda s otvorma Da bsmo zd s otvorma mogl proračunat metodom pomaka, proračunsk štapn model dobt ćemo kao skup težšnh lna štapova, t. zdova. Presečnce težšnh lna su čvorov konstrukce, dok su spoev susednh čvorova štapn element. slka 1. Štapn element nemau konstantnu krutost, već se sastoe od apsolutno krutog dela ko se ponaša kao do čvora (delov zda ko se ne nalaze zmeđu susednh otvora) elastčnog dela ko se deformra pr delovanu opterećena pomaka susednh čvorova (delov zda zmeđu susednh otvora). slka 11. Oznake elemenata vektora pomaka ednake su kao kod štapa ednake krutost po celo duln. Štapn element označt ćemo sa (, ) pr čemu su čvorov, t. par čvorova ko ednoznačno određue element. raeve elementa označt ćemo prema prpadnm čvorovma pa ćemo razlkovat kra kra. Prema tome, sve statčke knematčke velčne na -tom krau elementa (, ) označavat ćemo parom ndeksa,, a velčne na -tom krau parom,. Lokaln koordnatn sustav odabrat ćemo tako da čvor lež u negovu shodštu da se uzdužna os štapa poklapa s os x loc. 18

22 Sle na kraevma štapnog elementa smatrau se poztvnma ako m se smsao delovana poklapa s orentacom odgovarauće os (slka 12.). slka 12. Vrednost sla na krau zražene kao zbro vrednost sla u stanu prslnh pomaka (n,, t,, m, ) vrednost sla u stanu sprečenh pomaka ( =,, T5,, M=,, ) glase:, = n, + =,, T, = t, + T5,, M, = m, + M=,. Izraz za vrednost sla na krau analogn su :, = n, + =,, T, = t, + T5,, M, = m, + M=,. 19

23 6. Sle stana prslnh pomaka Izraze za vrednost sla kod proračuna stana prslnh pomaka zvest ćemo metodom sla. Da bsmo poednostavl postupak, služt ćemo se elastčnm težštem štapa, koe se nalaz na negovo os, na udalenost x c = e 1 + s/2 (e1 dulna prvog krutog dela štapa; s dulna elastčnog dela štapa) od shodšta lokalnog koordnatnog sustava. Postavlanem prekobronh sla X 1, X 2 X 3 u elastčno težšte, dobvamo osnovn sustav sastavlen od dva konzolna štapa (slka 13.). Jednadžbe kompatblnost pomaka su slka 13. δ 11 H δ 22 δ 33 X 1 I 8X 2 X 3 9H δ 1, δ 2, δ 3, δ5 1 I 6δ5 2 7 δ5 3 l D X + =, er e vektor = ;δ5 1 δ5 2 δ5 3 < a ednak nul. Elemente matrce fleksblnost u elastčnom težštu računamo ntegracom u grancama od do L. a delu štapa od do e 1 od e 1 + s do L vrednost ntegrala ednaka nul rad nezmerne krutost štapa. Unutarne sle od sla u prekobronm vezama određene su zrazma (slka 15.) n 1 (x) = 1, t 2 (x) = -1, m 2 (x) = x - x c, m 3 (x) = 1. 2

24 slka 15. Vrednost su dagonalnh koefcenata matrce krutost: L δ 1,1 =Q b b EA L δ 2,2 =Qh T T EI = 2 EI c d ef dx Q b c d EA GA k g ds EA, c d ef dx Q $ T EI GA ) lh 1 2 s 2 s 2 kh2 3 s 2 km s GA s + 12EI k s GA. c d ds 21

25 ako se kod modelrana zda može dogodt da omer deblne dulne nekog elementa bude već od h/l = 1/5, u obzr uzmamo uteca poprečnh sla. ako vred ednakost sled GA= E 2 (1+ ν) I 12 h 2, δ 2,2 =s s2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI, gde su: ν Possonov koefcent (konstanta materala), bezdmenzonaln koefcent ko ovs samo o oblku poprečnog preseka štapa; za pravokutn poprečn presek k = 1,2, E modul elastčnost, G modul posmka G = E 2 (1+ ν), I moment nerce; za pravokutn poprečn presek A površna poprečnog preseka b h 3 A = b h = h 2. b h3 12, Preostae oš L δ 3,3 =Q T + T + EI c d ef dx Q T + c d EI g ds EI. Matrca fleksblnost e n 6 o, 7 o +,+ o, L g q J g g 2,4 1 s 12 O, g M 22

26 pa e nezn nverz L 1 δ 1,1 n tu 1 δ 2,2 1 J M δ 3,3 O L EA f J O. EI fm 12EI f vs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 w Vektor pomaka kraa e u, = ; u, w, φ, < T, dok e vektor pomaka kraa u, = ; u, w, φ, < T, pa e u.,x = ; u, w, φ, u, w, φ, < y. slka

27 Za određvane vrednost poopćenh pomaka δ 1, pomaka prkazan na slc 17.:, δ 2, δ 3,, poslužt će nam dagram slka 17. Sled: δ 1, δ 1, zu, {δ 1, δ 2, = δ 2, zw, {+δ 2, δ 3, δ 3, z, {δ 3, zu, { u, u,, vφ, w+ δ 2, zw, {+δ 2, z, {,,. vφ, w= w, + x c φ, - w, +zl- x c { φ,, U matrčnom e zapsu =H δ 1, δ 2, δ 3, 1 I= 8 1 x c 1 l, kraće, =T C u.,x L- x c -1 L u, w, O φ 9, u, w, Jφ,M, 24

28 Matrcu Tc nazvamo prenosnom matrcom, te pomoću ne pomake sle z elastčnog težšta prenosmo na kraeve štapa, odnosno pomoću ne pomake sle na kraevma štapa zražavamo kao funkce pomaka sla u elastčnom težštu. Vektor prekobronh sla možemo zrazt kao: X = - D -1, t. X = - D -1 T C u.,x, X 1 } 8X 2 9 X 3 L EA g J O 12EI g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { EI gm x c L- x c 9-1 L u, w, O φ, u., w, Jφ,M Sle na kraevma elementa nalazmo z uveta ravnoteže sla. slka 18. Sle na krau su n m=1 n ~F m,x =, ~F m,y =, ~M Fm /l=, m=1 n, + X 1 =, t, + X 2 =, m, + X 2 x c + X 3 =, n, = X 1 ; t, = X 2 ; m, = X 2 x c + X 3, n m=1 t. n, 1 X 1 8t, X 2 9. m, x c 1 X 3 25

29 Sle na krau su n m=1 n ~F m,x =, ~F m,y =, ~M Fm /l=, m=1 n, X 1 =, t, X 2 =, m, + X 2 L x c X 3 =, n, = X 1 ; t, = X 2 ; m, = X 2 x c + X 3, n m=1 t. Drukčm zapsom: n, 1 X 1 8t, X 2 9. m, x c 1 X 3 L n, t, O L 1 1 O m, n x c 1, -1 t, -1 Jm,M J L x c -1M X 1 8X 2 9, X 3 što možemo sažet u zraz f (,) = y -, pa e konačan zraz f (,) = y D -1 T C u.,x. Izraz možemo raspsat u oblku: L n, t O, m, n =, t, Jm,M l L 1 1 O x c J L -x c -1M L EA s J O 12EI s zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { EI s M x c L- x c 9-1 L u, w, O φ, u, w, Jφ,M L EA s 12EI 12EI x c L n g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 {, t O 12EI x, c EI m, g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { s 12EI g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { n, EA t, Jm s,m 12EI 12EI x c g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { 12EI L -x c J g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 EI { s 12EI L -x c x c g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { EA O s 12EI 12EI L -x c g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { 12EI x c g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 EI { s 12EI L -x c x c L u, w, O g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { φ EA, u., s w, 12EI 12EI L -x g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 c Jφ,M { g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { 12EI L -x c EI g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { s 12EI L -x c g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 {M 26

30 Umnožak y D -1 T C predstavla matrcu krutost zraženu u lokalnom koordnatnom sustavu. L k (,) J EA s 12EI g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI x c g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI x c g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 2 EI 12EI ƒ s g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 EA s 12EI 12EI x c g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI L -x c g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 EI 12EI L -x c x c s g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 EA s 12EI 12EI L -x c g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI x c g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 EA s EI s 12EI g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI L -x c g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI L -x c x c g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI L -x c g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 O EI 12EI L -x c 2 s g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 M Možemo oš uvrstt x c = e 1 + s/2 L - x c = e 2 + s/2, čme dobvamo konačan zraz za matrcu krutost štapa opsanh karakterstka u lokalnom koordnatnom sustavu: L k (,) J EA s 12EI g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI 1 s/2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI 1 s/2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 EI 12EI 1 s/2 2 s g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 EA s 12EI 12EI 1 s/2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI 2 s/2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 EI 12EI 2 s/2 1 s/2 s g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 EA s 12EI 12EI 2 s/2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI 1 s/2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 EA s EI s 12EI g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI 2 s/2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI 2 s/2 1 s/2 12EI 2 s/2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 EI s O g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI 2 s/2 2 g s 2 +2,4 (1+ ν) h 2 M Element predstavlau vrednost poopćenh sla na kraevma štapnog elementa zazvanh ednčnm poopćenm pomacma po pravcu u smslu lokalnh koordnatnh os. Dakle, vektor vrednost sla na kraevma štapnog elementa umnožak e lokalne matrce krutost vektora vrednost poopćenh pomaka kraeva elementa u smerovma os lokalnog koordnatnog sustava. Prevedeno f (,) k (,) u (,). 27

31 Pogodn e zaps k (,), k (,), u (,). 8 9 l ˆ.,xx k (,), k (,), u (,)x m, ˆ.,x. gde su: f (,) = ;n, t, m,< T vektor vrednost sla na krau, f (,) = ;n, t, m,< T vektor vrednost sla na krau, u (,) = ;u, w, φ,< T vektor vrednost poopćenh pomaka kraa, u (,) = ;u, w, φ,< T vektor vrednost poopćenh pomaka kraa, l f (,) = k u (,). (,) k, (,), Œ lu (,)x m f (,) = k (,), k (,), Œ l u (,). u (,)x m. 28

32 7. Sle upetost Uteca opterećena na štapn element u proračun uzmamo u oblku poopćenh sla upetost. Formule se razlkuu od onh za određvane sla kod štapova konstantne krutost, pa ćemo h zvest također korsteć se metodom sla elastčnm težštem, kao u prethodnom poglavlu (kod određvana vrednost sla za stane prslnh pomaka). Osnovn su sstem također konzole, te su element matrce fleksblnost ednak. δ 1,1 D = H δ 2,2 I δ 3,3 L g EA J s s2 +2,4 (1+ ν) h 2 12EI O. g EIM Izraz za prekobrone sle dobven e z ednadžb nepreknutost: X = - D -1, odnosno, L 1 O δ 1,1 1 } H δ 2,2 1 J M δ 3,3 δ 1, δ 2, δ 3, L EA s I J 12EI s zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { O H EI s M δ 1, δ 2, δ 3, I, pa su prekobrone sle - δ 1, δ, 1,1 δ, 2,2 δ. 3,3 - δ 2, - + δ 3, Potrebno e odredt vektor ;o, o, sla dobemo z gornh zraza. o +, < y nakon čega vrednost prekobronh 29

33 Sle upetost zatm određuemo z uveta ravnoteže štapa prema slc 19.: slka 19. Odredt ćemo zraze za sle upetost štapa opterećenog koncentrranom slom u općem položau (rastavlamo na komponentu paralelnu s os štapa komponentu okomtu na os štapa), ednolko raspodelenu slu koncentrran moment. Vektor e vrednost sla upetost ˆ5 (,) Ž=.,x 5.,x 3=.,x Ž= x,. 5 x,. 3= x,. Œ y. 3

34 7.1. Sle upetost za opterećene koncentrranom slom paralelnom s os štapa Hvatšte sle nalaz se na udalenost a od čvora. slka 2. Da bsmo odredl vektor potrebno e nać vrednost δ 1,, er su članov δ 2, ednak nul. Integracom u grancama od e 1 do e 1 + s (slka 2.) dobvamo δ 1, δ 1, δ 1, L Q Ž b EA c d ef dx Q Ž b ds, EA c d 1 q ; 4 < 1, 4 q. δ 3, 31

35 Iz zraza za vrednost prekobrone sle dobvamo - δ 1, 4. δ 1,1 g Prekobrone sle X 2 X 3 ednake su nul. Sle upetost Ž=.,x Ž= x,. na kraevma određuemo z uveta ravnoteže (slka 22.). Prtom e L= a + b = e 1 + s + e 2, t. s = a + b - e 1 - e 2. slka 22. Sle na krau (z uveta ravnoteže leve konzole): n ~F m,x =, m=1 Ž=.,x X 1 4 =, Ž=.,x = X 1 4, Ž=.,x = 4. g Sle na krau (z uveta ravnoteže desne konzole): n ~F m,x =, m=1 Ž= x,. X 1 =, Ž= x,. = X 1, Ž= x,. 4 g. Analognm postupkom dobamo dentčne zraze za sluča da e hvatšte sle u desno konzol. 32

36 Vektor sla upetost za opterećene uzdužnom koncentrranom slom e ˆ5 (,) L Ž =.,x O L 4 O 5.,x g 3=.,x. Ž= x,. 5 4 x,. g J3= x,.m J M 33

37 7.2. Sle upetost za opterećene koncentrranom slom okomtom na os štapa slka

38 Da bsmo odredl vektor potrebno e nać vrednost δ 2, Integracom u grancama od e 1 do e 1 + s (slka 23.) dobvamo L δ 2, =Q$ 3 T EI δ 2, = 1 EI GA ) c d ef dx Q $ 3 T EI GA ) ds, c d 1 2 v g 2 3 δ 3,, er e član δ 1, ednak nul. w GA 1, δ 2, = 2EI v g 2 w 2,4 1 s 3 12EI L δ 3, =Q 3 T + EI δ 3, = 1 EI c d ef dx Q 3 T + ds, EI c d 1 2 1, δ 3, =. 2EI Iz zraza za vrednost prekobronh sla dobvamo - δ 2, 22 3g2,4 (1+ ν) h 2 Œ δ 2,2 g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { - + δ 3,. 2s δ 3,3 Sle upetost 5.,x, 3=.,x, 5 x,. 3= x,. na kraevma određuemo z uveta ravnoteže (slka 24.)., slka

39 Sle na krau (z uveta ravnoteže leve konzole): n ~F m,y =, m=1 5.,x X 2 =, 5.,x = X 2, 5.,x = g2,4 (1+ ν) h 2 Œ g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 ; { n ~M /.=, m=1 3=.,x X 2 v g 2 w X 3 =, 3=.,x v- v g 2 w - + w, 3=.,x = 6 v g 2 w 22 3g2,4 (1+ ν) h 2 Œ 2s g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 7. { Sle na krau (z uveta ravnoteže desne konzole): n ~F m,y =, m=1 5 x,. X 2 =, 5 x,. = X 2, 5 x,. = 22 3g2,4 (1+ ν) h 2 Œ g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { ; n ~M /x=, m=1 3= x,. X 2 v g 2 w X 3 =, 3= x,. X 3 X 2 v g 2 w, 3= x,. = 6 v g 2 w 22 3g2,4 (1+ ν) h 2 Œ 2s g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 7. { 36

40 Vektor sla upetost za opterećene poprečnom koncentrranom slom e ˆ5 (,) L Ž =.,x O 5.,x 3=.,x Ž= x,. 5 x,. J3= x,.m L g2,4 (1+ ν) h 2 Œ g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { 6 v g 2 w 22 3g2,4 (1+ ν) h 2 Œ 2s g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { 22 3g2,4 (1+ ν) h 2 Œ g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { 6 v g 2 w 22 3g2,4 (1+ ν) h 2 Œ 2s g zs J 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { 7 O. 7 M 37

41 7.3. Sle upetost za opterećene koncentrranm momentom slka

42 Da bsmo odredl vektor potrebno e nać vrednost δ 2, Integracom u grancama od e 1 do e 1 + s (slka 28.) dobvamo: L δ 2, =Q$ 3 T EI δ 2, = 1 EI GA ) c d ef dx Q $ 3 T EI GA ) ds, c d z3 { v g 2 w, 2 δ 2, = z3 { g 2EI L δ 3, =Q 3 T + EI c d ef dx Q 3 T + ds, EI c d δ 3, = 1 z3 EI { 1, δ 3, = 3. EI δ 3,, er e član δ 1, ednak nul. Prekobrone sle su tada - δ 2, 63 g δ 2,2 g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { - + δ 3, 3. s δ 3,3, Sle upetost na kraevma slede z uveta ravnoteže (slka 29.): slka

43 Sle na krau : n ~F m,y =, m=1 5.,x X 2 =, 5.,x = X 2, 5.,x = 63 g g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { ; n ~M /.=, m=1 3=.,x X 2 v g 2 w X 3 3 =, 3=.,x v- v g 2 w - + 3w, 3=.,x 36 6 v g 2 w g g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { s 17. Sle na krau : n ~F m,y =, m=1 5 x,. X 2 =, 5 x,. = X 2, 5 x,. = 63 g g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { ; n ~M /x=, m=1 3= x,. X 2 v g 2 w X 3 =, 3= x,. X 3 X 2 v g 2 w, 3= x,. = v 2 g 2 w g 1 g vs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 w 1 7. s 4

44 Sada e vektor sla upetost za opterećene koncentrranm momentom ˆ5 (,) L L Ž =.,x O 5.,x 36 3=.,x Ž= x,. 5 x,. J3= x,.m 36 J 63 1 g 1 g vs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 w 6 1 v 1 g 2 w g 1 g vs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 w 63 1 g 1 g vs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 w 6 1 v 2 g 2 w g 1 g vs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 w 1 s s O. M 41

45 7.4. Sle upetost za opterećene kontnuranom ednolko raspodelenom slom slka

46 Da bsmo odredl vektor potrebno e nać vrednost δ 2, δ 3,, er e član δ 1, ednak nul. Integracom u grancama od e 1 do e 1 + s (slka 25.), te pomoću Vereščagnovog teorema dobvamo: L δ 2, Q$ M m 2 EI k T t 2 GA ) e 1 s dx Q $ M m 2 k T t 2 EI GA ) ds, e 1 o, 1 l m $ g ) 1 l 1 2 m v g 2 w l mv g 2 w, 3 o, g6 g z322 g{2,4 2 (1+ ν) h 2 ž L c d ef δ 3, =Q 3 T + dx Q 3 T + ds, EI EI c d δ 3, = Ÿ Ÿ o +, Ÿ ; < , Iz zraza za vrednost prekobronh sla dobvamo - δ 2, δ 2,2 2g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { g 6 g z322 g{ 2,4 2 (1+ ν) h 2 Œ, - + δ 3, δ 3,3 6g ; 3 <. 43

47 slka 26. Sle upetost 5.,x, 3=.,x, 5 x,. 3= x,. na kraevma određuemo z uveta ravnoteže. Sle na krau (z uveta ravnoteže leve konzole): n ~F m,y =, m=1 5.,x X 2 =, 5.,x = X 2 Œ, 5.,x = g6 g z322 g{2,4 2 (1+ ν) h 2 Œ 2g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 1 ; { n ~M /.=, m=1 3=.,x X 2 v g 2 w X 3 h 2 k=, 3=.,x - v g 2 w - + h 2 k, M=, q a-b ab-ab2-3e 1 ab- e 1 -ab 6s ve 1 s 2 w 2 a-e 1 2 2a- 2e 1-3s-6a-ba- e 1 a- e 1 -s a-b 2 z3ab-22e 1 s{-2,4ab- 2e 1 1 ν h 2 Œ 7. 2s s 2 2,4 1 ν h 2 Sle na krau (z uveta ravnoteže desne konzole): n ~F m,y =, m=1 5 x,. X 2 =, 5 x,. = X 2, 5 x,. = 2g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { g6 g z322 g{2,4 2 (1+ ν) h 2 Œ ; 44

48 n ~M /x=, m=1 3= x,. X 2 v g 2 w X 3 =, 3= x,. X 3 - v g 2 w, 3= x,. q a-b 6 ab2-3e 1 ab- e 1 -ab 6s ve 2 s 2 w 2 a-e 1 2 2a- 2e 1-3s-6a-ba- e 1 a- e 1 -s a-b 2 z3ab-22e 1 s{-2,4ab- 2e 1 1 ν h 2 Œ 7. 2s s 2 2,4 1 ν h 2 Vektor sla upetost za opterećene ednolko raspodelenom slom e L g6 g z322 g{2,4 2 (1+ ν) h 2 O Œ 1 L Ž 2g zs 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { =.,x O 5.,x q a-b 6 1-3e 1 ab- e 1 -ab 3= 2 ab-ab2 ve 1 s 2 w 2 a-e 1 2 2a- 2e 1-3s-6a-ba- e 1 a- e 1 -s a-b 2 z3ab-22e 1 s{-2,4ab- 2e 1 1 ν h 2 Œ 7 6s 2s s 2 2,4 1 ν h 2 ˆ5 (,).,x. Ž= x,. 5 x,. J3= 2g zs x,.m 2 +2,4 (1+ ν) h 2 { g6 g z322 g{2,4 2 (1+ ν) h 2 Œ 3= x,. q a-b 6 ab2-3e 1 ab- e 1 -ab ve 2 s 2 w 2 a-e 1 2 2a- 2e 1-3s-6a-ba- e 1 a- e 1 -s a-b 2 z3ab-22e 1 s{-2,4ab- 2e 1 1 ν h 2 Œ 7 6s 2s s J 2 2,4 1 ν h 2 M Za poseban sluča, kada e a=e 1 b= e 1 +s, t. kada e opterećene kontnuranom ednolko raspodelenom slom zadano po celo duln elastčnog dela štapa (slka 27.). vektor sla upetost e slka 27. ˆ5 (,) L L Ž =.,x O 1 2 g 5.,x 3= 1.,x 12 g 6 g. Ž= x,. 5 x,. 1 2 g J3= x,.m 1 J 12 g 6 g M O 45

49 7.5. Dobvane sla upetost pomoću zraza z prručnka Sle upetost moguće e dobt pomoću gotovh zraza z prručnka. Tako možemo dobt sle upetost za elastčn do štapa, odnosno sle upetost na spou s krutm delom štapa. onačne sle na kraevma štapnog elementa dobt ćemo z uveta da opterećene krutog dela dobvene sle upetost za elastčn do suprotnog predznaka čne uravnotežen sustav (slka 3.). slka 3. 46

50 7.6. Sle upetost za opterećene zadano samo na nezmerno krutm delovma štapa Delue l opterećene samo na krutm delovma štapnog elementa, sle upetost su statčk određene ednake su reakcama konzole (slka 31.). slka

51 8. Sustav ednadžb ravnoteže Jednadžbe ravnoteže postavlau se u smerovma globalnog koordnatnog sustava, a također se u odnosu na nega mere apsolutn pomac točaka sstema. Zato e potrebno matrce krutost elemenata, vektore sla vektore pomaka zrazt u globalnom koordnatnom sustavu. slka Prelaz u globaln koordnatn sustav ut zmeđu globalne os x lokalne os x loc kut e α (,) (slka 33.), a transformaca koordnata z globalnog u lokaln koordnatn sustav rotaca e oko os z z loc za kut α (,). slka 33. Matrca transformace s poretkom komponenata ko odgovara vektoru ;Ž.,x.,x 3.,x < y e ƒ g#.,x geb#.,x 1.,x 6gEb#.,x ƒ g#.,x

52 Matrca transformace vektora sla na kraevma štapnog elementa vektora pomaka kraeva e.,x l 1.,x 1.,x m, L ƒ g#.,x geb#.,x O geb#.,x ƒ g#.,x 1.,x ƒ g#.,x geb#.,x. geb#.,x ƒ g#.,x J 1M Izraz u lokalnom koordnatnom sustavu su vektor vrednost sla na kraevma štapa zazvanog pomacma kraeva ª.,x.,x ª.,x, vektor sla upetost ª.,x.,x ª.,x, a vektor vrednost poopćenh pomaka kraeva.,x.,x.,x. omponente vektora ª 4.,x ª.,x 4 ª.,x T.,x ª x,. ª x,. T x,. Œ y vrednost su sla na kraevma u stanu prslnh pomaka rastavlenh na komponente usporedne s osma globalnog koordnatnog sustava. Jednako e s komponentama vektora sla upetost ª 4.,x (5.,x 4 (5.,x 3=.,x (5 x,. (5 x,. 3= x,. Œ y. Vektor.,x osma. sadrž komponente pomaka kraeva po pravcma usporednma s globalnm Transformaca z lokalnog u globaln koordnatn sustav dana e zrazma: ª.,x t.,x ª.,x, ª.,x t.,x ª.,x, t.,x.,x..,x Uvrstmo l u zraz ª.,x.,x.,x zraze.,x.,x.,x dobvamo ª.,x.,x ª.,x.,x ª.,x.,x.,x.,x. 49

53 akon množena s leva sa t.,x bt će ª.,x t.,x.,x.,x.,x. Umnožak t.,x.,x.,x predstavla matrcu krutost elementa zraženu u globalnom koordnatnom sustavu, a označavamo e sa.,x. onačno, možemo napsat (prevedeno u globaln koordnatn sustav) ª.,x.,x.,x l 6 ª.,x. ª.,x x 7 6.,x.,..,x x,..,x.,x.,x x,x 7.. x 8.2. Jednadžbe ravnoteže čvorova ada smo sve potrebne vektore prevel u globaln koordnatn sustav, možemo formrat ednadžbe ravnoteže. a nek čvor deluu sle od prklučenh elemenata, a mogu delovat zadane l reaktvne koncentrrane sle moment zražen vektorom « Œ y. Vektor ukupnh vrednost sla na -tome krau štapnog elementa (,) e ª.,x Ÿ.,x..,. Formaln zaps uveta ravnoteže čvora glas.,x.,x. x ª ~ ª.,x «...,c. Sumaca u zapsu uveta ravnoteže obavla se po svm elementma ko su prklučen u ta čvor..,x.. 5

54 Matrčna ednadžba uveta ravnoteže čvora sadrž tr ednadžbe koe zražavau uvete ščezavana zbroa sla koe na čvor deluu u smeru os x, ščezavane zbroa sla u smeru y te ščezavane zbroa momenata savana. Izrazmo l sle na kraevma elemenata kao funkce pomaka sve poznate sle prebacmo na desnu stranu, dobvamo ~ $Ÿ.,x.,c.,..,x.,x..,x.,c. ) ~ ª x «.. Matrčne ednadžbe potrebno e napsat za sve čvorove sstema. Tako dobvamo sustav u = q gde su:.,c. matrca krutost sa dagonalnm blokovma, =.,c vandagonalnm blokovma (ako su čvorov povezan elementom (,), =.,x, =,.,x.,x x,. u q vektor ko sadrž nepoznate vrednost pomaka slobodnh čvorova, al vrednost poznath pomaka, a to su pomac po pravcma ležanh veza sprečen l zadan pomac ležaeva (vektor ; < y ma 3n komponent, gde e n bro čvorova sstema), vektor ko sadrž sve zadane sle, reakce sle upetost prklučenh elemenata, odnosno. ª «. (vektor ; < y ma 3n komponent)..,c.,x Ukupne sle na kraevma elemenata Zadatak celog proračuna metodom pomaka nać e vrednost sla na kraevma elemenata, odnosno nać vrednost unutarnh sla. Te se vrednost zražavau u lokalnom koordnatnom sustavu. Zbog toga e rešene sustava u = q odnosno, vrednost komponenata pomaka čvorova u smerovma os globalnog koordnatnog sustava, potrebno zrazt u lokalnom koordnatnom sustavu kao.,x.,x.,x. Vrednost konačnh sla na kraevma elementa sadržava vektor ª.,x.,x.,x ª.,x. 51

55 9. nematčka kondenzaca Pomac poednh čvorova mogu bt ovsn o pomacma drugh čvorova. Ta ovsnost može bt posledca apsolutno krute veze th čvorova, smetrčnog l antmetrčnog opterećena geometrsk smetrčnh konstrukca sl., a također se može pretpostavt ako se ovsnost fzkalno ne realzra preko nezmerno kruth spoeva. Zbog te čnence moguće e umant bro nepoznanca, t. reducra se sustav ednadžb ravnoteže, što se nazva knematčkom kondenzacom. Jedan čvor zabremo kao vodeć (master), te pomake čvorova ovsnh o nemu (slave) zražavamo preko pomaka vodećeg čvora, množeć h odgovaraućom prenosnom matrcom. Uzmmo za prmer dva čvora povezana nezmerno krutm štapom: slka 34. Čvor elementa uzet ćemo kao vodeć čvor, a čvor kao prateć. Izrazmo pomake pratećeg čvora pomoću pomaka vodećeg: u = u - (y y ) φ, w = w + (x x ) φ, φ = φ. U matrčnom oblku: 1 zu x U. { x,. 6 1 x. 7.,x.,x.,x 1 gde e.,x prenosna matrca. 52

56 Matrcu sstema potrebno e kondenzrat množenem stupaca pratećeg pomaka prenosnom matrcom prbraanem stupcma vodećeg čvora. Postavlanem ednadžb ravnoteže na vodeć čvor tada zapravo postavlamo uvete ravnoteže krutog dska (,). akon zračuna pomaka vodećeg čvora preko prenosne matrce računamo pomake pratećeg čvora. Unutarne sle štapa (,) računau se z uveta ravnoteže čvorova na koe e prklučen. Ukolko su međusobno ovsne samo poedne komponente pomaka čvorova postupak knematčke kondenzace e analogan opsanom. pr. pretpostavmo l da e horzontalan pomak edne etaže štapnog sstema ednak u svm čvorovma te etaže, horzontalne pomake pratećh čvorova zražavamo preko horzontalnog pomaka vodećeg, te se ukupan bro ednadžb ravnoteže smanue za bro pratećh čvorova. Prenosna matrca u ovom posebnom slučau bt će Uzdužne sle u štapovma te etaže (horzontaln element) bt će ednake nul (nema relatvnh horzontalnh pomaka kraeva štapova), a daln tek proračuna ednak e već opsanom proračunu štapnh konstrukca. 53

57 1. Prmer Zadatak e preuzet z prmera I.6. z knge Zdov s otvorma okvrne konstrukce. Zadan e nesmetrčan armrano-betonsk zd s dva nza otvora prema slc 35. Zd e opterećen koncentrranom slom u nvou prve grede (na vrhu). Ležan uvet su potpuna upetost. Dmenze prema slc. Geometrsk materaln podac: n=16 h=3, m E= k/m 2 ν =,25 slka

58 Proračunsk model zda s otvorma- skup sponca težšnh lna zdova: a model nanosmo opterećene: Slka 36. Slka

59 Oznake čvorova: 56

60 Tablca karakterstka: b = 1 m h [m] STUP 1 5, STUP 2 6, STUP 3 4, GREDE 1 GREDE 2,6,6 ŠTAPOVI e 1 [m] s [m] e 2 [m] L [m] (1, 2) 2,4,3 2,7 (2, 3),(3, 4),(4, 5),(5, 6),(6,7) (7, 8),(8, 9),(9, 1),(1,11), (11, 12),(12, 13),(13, 14),,3 2,4,3 3, (14, 15),(15, 16),(16, 17) (18, 19) 2,4,3 2,7 (19, 2),(2, 21),(21, 22), (22, 23),(23, 24),(24, 25), (25, 26),(26, 27),(27, 28), (28, 29),(29, 3),(3, 31), (31, 32),(32, 33),(33, 34),3 2,4,3 3, (35, 36) 2,4,3 2,7 (36, 37),(37, 38),(38, 39), (39, 4),(4, 41),(41, 42), (42, 43),(43, 44),(44, 45), (45, 46),(46, 47),(47, 48), (48, 49),(49, 5),(5, 51),,3 2,4,3 3, (2, 19),(3, 2),(4, 21), (5, 22),(6, 23),(7, 24), (8, 25),(9, 26),(1, 27), (11, 28),(12, 29),(13, 3), 2,5 2, 3, 7,5 (14, 31),(15, 32),(16, 33), (17, 34) (19, 36),(2, 37),(21, 38), (22, 39),(23, 4),(24, 41), (25, 42),(26, 43),(27, 44), (28, 45),(29, 46),(3, 47), 3, 2, 2, 7, (31, 48),(32, 49),(33, 5), (34, 51) Proračun općom metodom pomaka proveden e upotrebom programskog sustava Mathematca. Jezgra programskog koda preuzeta e z rada [4], te e moguće zvest proračun sustava opterećenog koncentrranom slom u čvoru. od rezultat proračuna prkazan su na sledećh nekolko stranca. 57

61 Funkca koa sastavla lokalnu matrcu krutost elementa: ElemLoc [e_real,n_real, b_real, h_real, e1_real,s_real,e2_real,l_real] := Module[ {a,,k11, k14, k22, k23, k25, k26, k33, k35, k36, k44, k55, k56, k66, k}, a=bh; =bh^3/12; k11=e a/s; k14=-k11; k22 = 12 e / (s(s^2+2.4(1+n)h^2)); k23= 12 e (e1+s/2)/ (s(s^2+2.4(1+n)h^2)); k25=-k22; k26=12 e (e2+s/2)/ (s(s^2+2.4(1+n)h^2)); k33=e /s+12 e (e1+s/2)^2/ (s(s^2+2.4(1+n)h^2)); k35=-k23; k36=-e /s+12 e (e1+s/2)(e2+s/2)/ (s(s^2+2.4(1+n)h^2)); k44 = k11; k55=k22; k56=-12 e (e2+s/2)/ (s(s^2+2.4(1+n)h^2)); k66=e /s+12 e (e2+s/2)^2/ (s(s^2+2.4(1+n)h^2)); k={{k11,,,k14,,}, {,k22,k23,,k25,k26}, {,k23,k33,,k35,k36}, {k14,,,k44,,}, {,k25,k35,,k55,k56}, {,k26,k36,,k56,k66}}; k ] Funkca koa nalaz početn kran čvor elementa e1: Elemds[el_, nds_lst]:={nds[[ el [[1]][[1]] ]],nds[[ el [[1]][[2]] ]] } Funkca koa z lste ech zdvaa karakterstke elementa el: ElemChar [el_, ech_lst]:=ech[[el[[2]]]] Funkca koa zračunava dulnu elementa: ElemLength [ {{x_real,y_real},{x_real,y_real}}]:= Sqrt[(x-x)^2+(y-y)^2] Funkca koa sastavla lstu lokalnh matrca krutost svh elemenata: LstLoc [els_lst, nds_lst, echs_lst] := Module[ {lk, el, e, n,b,h, e1,s,e2, l, }, lk=table[ull,{length[els]}]; Do[ el=els[[]]; {e, n,b,h, e1,s,e2, l}=elemchar[el,echs]; lk[[]]=elemloc[e, n,b,h, e1,s,e2, l], {,1,Length[els]} ]; lk ] Funkca koa oblkue matrcu transformace elementa: ElemTG2L[elnds_Lst]:= Module[ {c,s,r}, c=elemcos[elnds]; s=elemsn[elnds]; r={{c,s,,,,}, {-s,c,,,,}, {,,1,,,}, {,,,c,s,}, {,,,-s,c,}, {,,,,,1}}; r] Funkce koe računau snus kosnus kuta elementa u odnosu na x-os globalnog sustava: ElemCos[{{x_Real,y_Real},{x_Real,y_Real}}]:= (x-x)/elemlength[{{x,y},{x,y}}] ElemSn[{{x_Real,y_Real},{x_Real,y_Real}}]:= (y-y)/elemlength[{{x,y},{x,y}}] 58

62 Funkca koa sastavla lstu matrca transformaca za sve elemente sstema: LstTG2L[els_Lst,nds_Lst]:= Module[ {r,}, r=table[ull,{length[els]}]; Do[ r[[]]=elemtg2l[elemds[els[[]],nds]], {,1,Length[els]} ]; r ] Funkca koa zračunava globalnu matrcu krutost elementa: ElemGlob[k_,r_]:=Transpose[r]. k. r Funkca koa sastavla lstu globalnh matrca krutost svh elemenata: LstGlob[kl_Lst, r_lst]:= Module[ {lkg,}, lkg=table[ull, {Length[kl]}]; Do[ lkg[[]]=elemglob[kl[[]],r[[]] ], {,1,Length[kl]} ]; lkg ] Funkca koa preslkava ndekse lokalnh u ndekse globalnh stupneva slobode: TblodeDsOF[n_Integer,cns_Lst]:= Module[ {,,nc,nd,d}, d=table [1,{n},{3}]; nc=length[cns]; Do[ d[[ cns [[]][[1]] ]] = cns[[]][[2]], {,1,nc} ]; nd=; Do[ If [d[[,]]==1, ++nd; d[[,]]=nd ], {,1,n},{,1,3} ]; {nd,d}] Funkca koa z tablce d zdvaa ndekse globalnh stupneva slobode početnog kraneg čvora elementa els: ElemDsOF [els_lst,d_lst]:= Module[ {l1,l2,l}, l1=d[[els[[1]][[1]] ]]; l2=d[[els[[1]][[2]]]]; l={l1[[1]],l1[[2]],l1[[3]],l2[[1]],l2[[2]],l2[[3]]} ] Funkca koa sastavla matrcu krutost sstema: Struct[nd_Integer, d_lst, els_lst, lkg_lst]:= Module[ {sk,x,,,}, sk=table[., {nd}, {nd}]; Do[ x= ElemDsOF [els[[]],d]; Do[ If [x[[]], Do[ If [x[[]], sk[[x[[]], x[[]] ]] += lkg [[]][[,]] ], {,1,6} ], ], {,1,6} ], {,1,Length[els]} ]; sk ] 59

63 Funkca koa sastavla vektor sla koe deluu neposredno na čvorove: StructF[nd_Integer, d_lst, nlds_lst]:= Module[ {lefg, sf, x, d, nld,, }, sf=table [., {nd}]; Do[ nld=nlds[[]]; Do[ d=d[[nld[[1]],]]; If [d, sf [[d]] += nld[[2]][[]] ], {,1,3} ], {,1,Length[nlds]} ]; sf ] Funkca koa pomoću tablce d zdvaa z vektora u pomake čvorova određenog štapa: ElemDsplsGlob[el_Lst,d_Lst,u_Lst]:= Module[ {a,b,,l1,l2,l}, l1=table[.,{3}]; l2=table[.,{3}]; a=el[[1]][[1]]; b=el[[1]][[2]]; Do[ If [d[[a,]], l1[[]]=u[[ d[[a,]] ]] ]; If [d[[b,]], l2[[]]=u[[ d[[b,]] ]] ], {,1,3} ]; l=jon[l1,l2]; l] Funkca koa sastavla lstu vektora pomaka čvorova elemenata u lokalnm sustavma: LstEDsplsLoc [u_lst, d_lst, els_lst, r_lst]:= Module[ {ldl, ug, }, ldl=table[table[., {6}], {Length[els]}]; Do[ ug = ElemDsplsGlob [els[[]], d, u]; ldl[[]]=r[[]]. ug, {,1,Length[els]} ]; ldl ] Funkca koa zračunava lstu vektora konačnh sla: LstEndForces [kl_lst, ul_lst]:= Module[ {lefs,}, lefs=table [Table [., {6}], {Length[ul]}]; Do[ lefs[[]] = kl [[]]. ul[[]], {,1,Length[kl]} ]; lefs ] 6

64 Ulazn podac: els:={ {{1,2},1},{{2,3},2},{{3,4},2},{{4,5},2},{{5,6},2},{{6,7},2},{{7,8},2},{{8,9},2},{{9,1},2},{{1,11},2},{{11,12},2},{{12,13},2},{{13,14},2},{{14,15},2},{{15,16},2},{{16,17},2}, {{18,19},3},{{19,2},4},{{2,21},4},{{21,22},4},{{22,23},4},{{23,24},4},{{24,25},4},{{25,26},4 },{{26,27},4},{{27,28},4},{{28,29},4},{{29,3},4},{{3,31},4},{{31,32},4},{{32,33},4},{{33,34},4}, {{35,36},5},{{36,37},6},{{37,38},6},{{38,39},6},{{39,4},6},{{4,41},6},{{41,42},6},{{42,43},6 },{{43,44},6},{{44,45},6},{{45,46},6},{{46,47},6},{{47,48},6},{{48,49},6},{{49,5},6},{{5,51},6}, {{2,19},7},{{3,2},7},{{4,21},7},{{5,22},7},{{6,23},7},{{7,24},7},{{8,25},7},{{9,26},7},{{1,2 7},7},{{11,28},7},{{12,29},7},{{13,3},7},{{14,31},7},{{15,32},7},{{16,33},7},{{17,34},7}, {{19,36},8},{{2,37},8},{{21,38},8},{{22,39},8},{{23,4},8},{{24,41},8},{{25,42},8},{{26,43},8 },{{27,44},8},{{28,45},8},{{29,46},8},{{3,47},8},{{31,48},8},{{32,49},8},{{33,5},8},{{34,51},8} } nds:={ {.,.},{.,2.7},{.,5.7},{.,8.7},{.,11.7},{.,14.7},{.,17.7},{.,2.7},{.,23.7},{.,26.7},{.,29.7},{.,32.7},{.,35.7},{.,38.7},{.,41.7},{.,44.7},{.,47.7}, {7.5,.},{7.5,2.7},{7.5,5.7},{7.5,8.7},{7.5,11.7},{7.5,14.7},{7.5,17.7},{7.5,2.7},{7.5,23.7},{7.5,26.7},{7.5,29.7},{7.5,32.7},{7.5,35.7},{7.5,38.7},{7.5,41.7},{7.5,44.7},{7.5,47.7}, {14.5,.},{14.5,2.7},{14.5,5.7},{14.5,8.7},{14.5,11.7},{14.5,14.7},{14.5,17.7},{14.5,2.7},{1 4.5,23.7},{14.5,26.7},{14.5,29.7},{14.5,32.7},{14.5,35.7},{14.5,38.7},{14.5,41.7},{14.5,44.7}, {14.5,47.7} } chrs:={ {3.1^7,.25,1.,5.,.,2.4,.3,2.7}, {3.1^7,.25,1.,5.,.3,2.4,.3,3.}, {3.1^7,.25,1.,6.,.,2.4,.3,2.7}, {3.1^7,.25,1.,6.,.3,2.4,.3,3.}, {3.1^7,.25,1.,4.,.,2.4,.3,2.7}, {3.1^7,.25,1.,4.,.3,2.4,.3,3.}, {3.1^7,.25,1.,.6,2.5,2.,3.,7.5}, {3.1^7,.25,1.,.6,3.,2.,2.,7.} } cnsts:={{1,{,,}},{18,{,,}},{35,{,,}}} lnld:={{17,{1.,.,.}}} nd:=tblodedsof[length[nds],cnsts][[1]] d:=tblodedsof[length[nds],cnsts][[2]] lkl:=lstloc[els,nds,chrs] r:=lsttg2l[els,nds] lkg:=lstglob[lkl,r] :=Struct[nd, d, els, lkg] q:=structf [nd,d,lnld] u:=lnearsolve [,q] ul:=lstedsplsloc[u,d,els,r] kr=lstendforces [lkl,ul] 61

65 Izlazn podac: 1,2 T 1,2 M 1,2 2,1 T 2,1 M 2,1 2,3 T 2,3 M 2,3 3,2 T 3,2 M 3,2 3,4 T 3,4 M 3,4 4,3 T 4,3 M 4,3 4,5 T 4,5 M 4,5 5,4 T 5,4 M 5,4 5,6 T 5,6 M 5,6 6,5 T 6,5 M 6,5 6,7 T 6,7 M 6,7 7,6 T 7,6 M 7,6 7,8 T 7,8 M 7,8 8,7 T 8,7 M 8,7 8,9 T 8,9 M 8,9 9,8 T 9,8 M 9,8 9,1 T 9,1 M 9,1 1,9 T 1,9 M 1,9 1,11 T 1,11 M 1,11 11,1 T 11,1 M 11,1 11,12 T 11,12 M 11,12 12,11 T 12,11 M 12,11 12,13 T 12,13 M 12,13 13,12 T 13,12 M 13,12 13,14 T 13,14 M 13,14 14,13 T 14,13 M 14,13 14,15 T 14,15 M 14,15 15,14 T 15,14 M 15,14 15,16 T 15,16 M 15,16 16,15 T 16,15 M 16,15 16,17 T 16,17 M 16,17 17,16 T 17,16 M 17,16 18,19 T 18,19 M 18,19 19,18 T 19,18 M 19,18 19,2 T 19,2 M 19,2 2,19 T 2,19 M 2,19 2,21 T 2,21 M 2,21 21,2 T 21,2 M 21,2 21,22 T 21,22 M 21,22 22,21 T 22,21 M 22,21 22,23 T 22,23 M 22,23 23,22 T 23,22 M 23,22 23,24 T 23,24 M 23,24 24,23 T 24,23 M 24,23 24,25 T 24,25 M 24,25 25,24 T 25,24 M 25,24 25,26 T 25,26 M 25,26 26,25 T 26,25 M 26,25 26,27 T 26,27 M 26,27 27,26 T 27,26 M 27,26 27,28 T 27,28 M 27,28 28,27 T 28,27 M 28,27 28,29 T 28,29 M 28,29 29,28 T 29,28 M 29,28 29,3 T 29,3 M 29,3 3,29 T 3,29 M 3,29 3,31 T 3,31 M 3,31 31,3 T 31,3 M 31,3 31,32 T 31,32 M 31,32 32,31 T 32,31 M 32,31 32,33 T 32,33 M 32,33 33,32 T 33,32 M 33,32 33,34 T 33,34 M 33,34 34,33 T 34,33 M 34,33 35,36 T 35,36 M 35,36 36,35 T 36,35 M 36,35 36,37 T 36,37 M 36,37 37,36 T 37,36 M 37,36 37,38 T 37,38 M 37,38 38,37 T 38,37 M 38,37 38,39 T 38,39 M 38,39 39,38 T 39,38 M 39,38 39,4 T 39,4 M 39,4 4,39 T 4,39 M 4,39 4,41 T 4,41 M 4,41 41,4 T 41,4 M 41,4 41,42 T 41,42 M 41,42 42,41 T 42,41 M 42,41 42,43 T 42,43 M 42,43 43,42 T 43,42 M 43,42 43,44 T 43,44 M 43,44 44,43 T 44,43 M 44,43 44,45 T 44,45 M 44,45 45,44 T 45,44 M 45,44 45,46 T 45,46 M 45,46 46,45 T 46,45 M 46,45 46,47 T 46,47 M 46,47 47,46 T 47,46 M 47,46 47,48 T 47,48 M 47,48 48,47 T 48,47 M 48,47 48,49 T 48,49 M 48,49 49,48 T 49,48 M 49,48 49,5 T 49,5 M 49,5 5,49 T 5,49 M 5,49 5,51 T 5,51 M 5,51 51,5 T 51,5 M 51,5 2,19 T 2,19 M 2,19 19,2 T 19,2 M 19,2 3,2 T 3,2 M 3,2 2,3 T 2,3 M 2,3 4,21 T 4,21 M 4,21 21,4 T 21,4 M 21,4 5,22 T 5,22 M 5,22 22,5 T 22,5 M 22,5 6,23 T 6,23 M 6,23 23,6 T 23,6 M 23,6 7,24 T 7,24 M 7,24 24,7 T 24,7 M 24,7 8,25 T 8,25 M 8,25 25,8 T 25,8 M 25,8 9,26 T 9,26 M 9,26 26,9 T 26,9 M 26,9 1,27 T 1,27 M 1,27 27,1 T 27,1 M 27,1 11,28 T 11,28 M 11,28 28,11 T 28,11 M 28,11 12,29 T 12,29 M 12,29 29,12 T 29,12 M 29,12 13,3 T 13,3 M 13,3 3,13 T 3,13 M 3,13 14,31 T 14,31 M 14,31 31,14 T 31,14 M 31,14 15,32 T 15,32 M 15,32 32,15 T 32,15 M 32,15 16,33 T 16,33 M 16,33 33,16 T 33,16 M 33,16 17,34 T 17,34 M 17,34 34,17 T 34,17 M 34,17 19,36 T 19,36 M 19,36 36,19 T 36,19 M 36,19 2,37 T 2,37 M 2,37 37,2 T 37,2 M 37,2 21,38 T 21,38 M 21,38 38,21 T 38,21 M 38,21 22,39 T 22,39 M 22,39 39,22 T 39,22 M 39,22 23,4 T 23,4 M 23,4 4,23 T 4,23 M 4,23 24,41 T 24,41 M 24,41 41,24 T 41,24 M 41,24 25,42 T 25,42 M 25,42 42,25 T 42,25 M 42,25 26,43 T 26,43 M 26,43 43,26 T 43,26 M 43,26 27,44 T 27,44 M 27,44 44,27 T 44,27 M 44,27 28,45 T 28,45 M 28,45 45,28 T 45,28 M 45,28 29,46 T 29,46 M 29,46 46,29 T 46,29 M 46,29 3,47 T 3,47 M 3,47 47,3 T 47,3 M 47,3 31,48 T 31,48 M 31,48 48,31 T 48,31 M 48,31 32,49 T 32,49 M 32,49 49,32 T 49,32 M 49,32 33,5 T 33,5 M 33,5 5,33 T 5,33 M 5,33 34,51 T 34,51 M 34,51 51,34 T 51,34 M 51,34 { ,.39145, , , , }, { , , , , , }, { ,.2818, 2.493, , , }, { ,.27175, , , , }, { , , , , , }, { , , , , , }, { ,.26391, , , , }, { , , 1.62, , , }, { , , , , , }, { , ,.83752, , , }, { ,.25819, , , , }, { ,.23916, , , , }, { , ,.67729, , , }, { ,.22895,.62584, , , }, { ,.23177, ,.36387, , }, { ,.42958,.63742, , , }, { , , , , , }, {.27121, , , , , }, {.26337,.53251, , , , }, {.25245, , 3.211, , , }, {.23911, , , , , }, { , , , , , }, {.2868, , 2.785, , , }, { , , , , , }, { , , , , , }, {.16112, , , , , }, { , , , , , }, { , , , , , }, { ,.57177, , , ,.6729}, { , ,.78817, , , }, {.72857, ,.45213, , , }, { ,.44879, , , , }, { , , , , , }, {2.4654, , , , , }, {2.325, , , , , }, { , ,.9254, , , }, {2.2319,.18816,.88928, , , }, {1.863,.19377, , , , }, {1.6958, ,.65953, , , }, {1.5228, ,.63721, , , }, { , , , , , }, { , ,.5186, , , }, { , , , , , }, {.88775,.21468,.41614, , ,.18839}, {.63792,.28539, , , , }, { , , , , ,.39316}, {.2912, ,.14914, , , }, { ,.13333, , , ,.41514}, { , , ,.14783,.66736, }, { , , , , , }, { , , , , , }, { , , ,.58565, , }, { , , ,.35978, , }, { , , , , , }, { , , ,.11247, , }, {-.9791, , ,.9791, , }, { , , ,.26779, , }, {-.5492, , ,.5492, , }, {-.1183, , ,.1183, , }, { , , , , , }, { , , , , , }, { , , , , , }, { , , , , , }, {.57942, , , , , }, {.16848, , , , , }, {.7958, , , ,.1437, }, { , , , ,.13816, }, { , , , , , }, { , , , ,.16192, }, { , , , , , }, { , , , , , }, {-.6741, , ,.6741, , }, { , , , , , }, { , , ,.23194, , }, { , , ,.48258,.17944, }, { , , ,.77134, , }, {-.3721, , ,.3721, , }, { , , , , , }, { , , , , , }, {.13333, , , , , } 62