PRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE

Transcript

1 Lucrarea r. PRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE. GENERALITATI I electrotehcă ş electrocă terv umeroase mărm fzce ca: tesue, curet, rezsteţă, eerge, etc., care se caracterzează pr mărme ş pr aumte raportur ître ele. Aprecerea cattatvă a propretăţlor acestor mărm se realzează pr operaţa de măsurare. A măsura o mărme îseamă a o compara cu altă mărme, de obce de aceeaş atură, luată coveţoal ca referţă, care determă ş utatea de măsură. Operaţa de măsurare se exprmă matematc pr formula: X = U (.) ude: - X = mărmea de măsurat; - = valoarea umercă a mărm de măsurat; - U = utatea de măsură. Orce proces de măsurare coţe 4 elemete prcpale: - măsuradul (mărmea de măsurat); - metoda de măsurare; - aparatul de măsurare; - etaloul; O propretate măsurablă a uu obect este umtă mărme, ar o codţe de măsurabltate este ca mărmea fzcă să costtue o mărme ordoablă. I plus este ecesar să se poată stabl coveţoal o corespodeţă buvocă ître mulţmea valorlor mărm ş mulţmea umerelor reale: coveţa de scară (defeşte ş utatea de măsură). Rezultatul fal al orcăre măsurăr este u umăr, care împreuă cu utatea de măsură caracterzează mărmea de măsurat. Mărmle măsurable î electrotehcă sut de 3 tpur: - mărm costate, petru care valoarea stataee este aceeaş dferet de mometul ş durata măsurăr (T m ). T m este lmtat î acest caz doar de velul perturbaţlor, de tmpul de răspus al aparatulu ş beîţeles de tmpul de trasmtere a formaţe de măsurare spre utlzator. - mărm varable staţoare, petru care se pot măsura valor stataee, asamblul valorlor stataee îtr-u aumt terval de tmp sau u parametru global cum ar f: - valoarea mede X = x( t) dt (.) med t t t t

2 - valoarea efectvă X = x ( t) dt t t (.3) t t - valoarea de vârf xm = max x( t) (.4) t t Itervalul de tmp t -t se alege astfel îcât parametrul global să rezulte depedet de tmp. - mărm varable estaţoar, caz î care teresează parametr ca: - valoarea stataee la u aumt momet sau u şr de valor stataee la aumte momete de tmp; - valoarea mede pe u terval de tmp [t, t ]; - asamblul valorlor stataee îtr-u terval de tmp. I cazul acestor mărm parametr global depd de tervalul de tmp î care se măsoară.. SURSE DE ERORI. CLASIFICAREA ERORILOR Itr-o măsurare de orce atură, orcât de corect ar f executată, char dacă sut utlzate cele ma precse metode ş aparate, rezultatul dferă de valoarea reală, (coveţoal) adevărată. Dfereţa rezultatulu obţut pr măsurarea mărm ş valoarea sa reală: Δ x = xm - x (.), ude x m este rezultatul măsurăr, ar x este valoarea adevărată a mărm fzce măsurate, poartă umele de eroare de măsurare. Pr termedul eror de măsurare se defeşte precza, care costtue u dcator prcpal al caltăţ măsurăr. I geeral erorle se datorează ma multor cauze: - obectulu supus măsurăr - eror de model. Se datorează dealzăr sstemulu fzc asupra cărua se efectuează măsurarea. Pr aceasta se egljează uele propretăţ sau mărm fzce caracterstce acestua. Tot ac se îcadrează ş cele datorate stabltăţ î tmp a mărm fzce măsurate. Istabltatea poate f o varaţe mootoă (dervă), varaţe cclcă sau eregulată; - aparatulu de măsurare - eror strumetale. Pot f deseor cele ma mportate. Acestea sut de regulă cuoscute dacă aparatul este folost corect; - teracţu aparat - obect - eror de teracţue. Acestea sut provocate de aparat asupra obectulu de măsură (electromagetc sau mecac) sau recproc (datortă puter absorbte de aparat, jecţe de cureţ sau tesu parazte, perturbaţe câmpulu datortă traductorulu). - flueţe exteroare - eror de flueţa. Sut o cosecţă a factorlor de medu, a câmpurlor perturbatoare sau datorate prezeţe operatorulu... Eror sstematce, eror aleatoare, eror grosolae Mărmle de flueţă rapd varable î tmp, luâd î tmpul uor măsurăr repetate dferte valor, dau aştere erorlor aleatoare, ar cele let varable, avâd aceleaş valor î tmpul măsurărlor

3 repetate, dau aştere erorlor sstematce. Cu toate acestea erorle u pot f împărţte î mod uvoc î eror sstematce ş aleatoare. Departajarea lor î categor dstcte depde de durata totală a măsurărlor. De exemplu, dacă măsurarea se repetă la tervale mar eroarea sstematcă poate deve aleatoare. Pot exsta mărm de flueţă a căror peroadă este comparablă cu cea a măsurărlor, acestea dâd aştere la eror care u sut c sstematce c aleatoare. Dfereţa apare doar pr aceea că erorle aleatoare pot f puse î evdeţă pr repetarea măsurăr, pe câd cele sstematce sut edetermable pr expermetul î se, evaluarea lor ecestâd formaţ suplmetare. Caltatea ue măsurăr de a f eafectată de eror se umeşte precze. Neafectarea cu eror sstematce se umeşte justeţe, ar eafectarea cu eror aleatoare se umeşte repetabltate (fdeltate): aparţe. JUSTETE PRECIZIE eroare sstematca eroare REPETABILITATE eroare aleatoare Erorle grosolae (greşel) se caracterzează pr valor foarte mar, ş au probabltate mcă de.. Eror absolute ş relatve. Eroarea maxm admsblă U alt crteru de clasfcare al erorlor este după modul lor de exprmare. Eroarea absolută se defeşte ca fd dfereţa valor mărm măsurate ş valor mărm reale (adevărate), ΔX = X Xe (.). Eroarea absolută cu sem schmbat se umeşte corecţe. Eroarea relatvă este u raport dtre eroarea absolută ş valoarea adevărată sau cea de referţă: ΔX ΔX ε r = (.3) Xe X Eroarea raportată este smlară cu (.3) cu dfereţa că valoarea adevărată se îlocueşte cu valoarea de referţă: ΔX ε R = (.4) Xc Dacă îtr-u şr de măsurăr, d cauze aleatoare se obţ dferte valor x m ale mărm de măsurat, se determă erorle Δx cu relaţa (.), după care se reţe cea ma mare valoare Δx : Δ x care se umeşte eroare maxm admsblă. ad max = Δ xmax = Δ x (.5) = 3. PRECIZIA INSTRUMENTALA. CLASE DE PRECIZIE Orce aparat de măsurare este caracterzat pr precza strumetală, caltate a aparatulu de a da rezultate cât ma apropate de valoarea adevărată a măsuradulu. Cattatv, precza strumetală este 3

4 descrsă de eroarea strumetală. Aceasta clude atât eroarea sstematcă cât ş pe cea aleatoare. Petru ormarea erorlor tolerate (admsble) ale aparatulu de măsurare, erorle strumetale se împart î eror de bază (eror trsec) ş eror suplmetare (eror de flueţă). Erorle de bază sut erorle î codţ de referţă (adcă î codţ de medu be stablte), prescrse pr stadarde ş orme. Erorle suplmetare sut cele provocate de varaţa mărmlor de flueţă (ale medulu). Acestea sut prescrse petru varaţa fecăre mărm de flueţă separat, î tervalele omale ale acestora. Exstă ş o altă modaltate de prescrere a uor eror de fucţoare care să u fe depăşte î îtregul terval de varaţe al tuturor mărmlor de flueţă, orcare ar f combaţa lor. Erorle tolerate ale aparatulu de măsurare se exprmă îtr-ua d următoarele forme: a) Eroarea absolută. Este folostă rar petru caracterzarea aparatelor de măsurare petru mărm electrce. Se ma îtâleşte la uele aparate petru măsurarea mărmlor eelectrce ş la etaloae. Ea se exprmă sub forma: e = ± a (3.) ude e = eroarea absolută tolerată, a = mărme costată exprmată pr aceleaş utăţ de măsură ca ş măsuradul. b) Eroarea relatvă. Este cea ma folostă câd eroarea absolută a aparatulu este aproxmatv proporţoală cu valoarea măsuradulu ş este de dort ca eroarea tolerată să fe exprmată prtr-u umăr care să rămâă costat î tot tervalul de măsurare al aparatulu. Eroarea relatvă tolerată se ormează sub forma: e r = eroarea relatvă tolerată 00 e = ± [%] = b % (3.), ude: x er ± x = valoarea măsuradulu e = modulul eror absolute tolerate b = umăr admesoal poztv. c) Eroare raportată (procete d valoarea coveţoală). Se foloseşte câd eroarea absolută a aparatulu este costată î tervalul de măsurare ş este de dort ca eroarea tolerată să fe exprmată prtr-u umăr care să rămâă costat petru o categore de aparate smlare, dar cu lmte de măsurare dferte. Acestea se aplcă la marea majortate a aparatelor electrce dcatoare. Ele se ormează ca ma jos: 00 e er = ± [%] = ± p [%] (3.3), ude: X C e R =eroarea raportată tolerată, e =modulul eror absolute tolerate, X C =valoarea coveţoală, p =umăr admesoal poztv. Valoarea coveţoală X C poate f: 4

5 - lmta superoară de măsurare (la aparatele cu scară lară ce au reperul zero la extremtatea scăr sau î afara e); - cea ma mare lmtă de măsurare sau suma modulelor lmtelor de măsurare (la aparatele cu reperul zero î terorul scăr); - valoarea omală a măsuradulu (la aparatele la care este fxată o valoare omală); - lugmea scăr gradate (la aparatele cu scară elară, cu e exprmată î aceleaş utăţ de măsură ca ş lugmea scăr gradate). d) Combaţ de eror relatve ş raportate. Se folosesc atuc câd eroarea absolută a aparatulu are o compoetă depedetă de valoarea măsuradulu (eroare de zero) ş o compoetă proporţoală cu aceasta (eroare de proporţoaltate). Acest tp de eroare se utlzează la puţ, compesatoare, voltmetre dfereţale, mpedaţmetre, multmetre dgtale. Ea se exprmă sub formă de eroare relatvă: sau sub formă de eroare absolută: = er Xm b+c [%] x ± (3.4) e= ± ( b x + c Xm) (3.5), ude: e r = eroare relatvă tolerată, e = eroare absolută tolerată, x = valoarea măsuradulu, x m = lmta superoară a game de măsurare, b, c= umere admesoale poztve. Factor b ş c sut umţ mpropru eroare de ctre ş eroare d capăt de scară. Ueor eroarea tolerată se exprmă ş sub forma: e= ± b % ± Δx (3.6) sau e = ± b % ± dgt (3.7), ude Δx=cost. I fgura următoare sut reprezetate dferte modur de exprmare ale erorlor tolerate. y y y x m x x m x xm x a) b) c) Fgura. a) eroare raportată costată b) eroare relatvă costată c) combaţe de eroare raportată ş relatvă costate. Clasa de precze reflectă u aumt asamblu de propretăţ metrologce ale aparatelor, dar u repreztă î mod ecesar precza măsurăr făcute cu acel aparat. Valorle stadardzate ale clase de precze sut: 0,00; 0,00; 0,005; 0,0; 0,0; 0,05; 0,; 0,; 0,5; ; ; 5. I Tabelul sut date exemple de desemare ş exprmare ale clase de precze: 5

6 Tabelul Modul de exprmare Eroarea toleratã Idce de clasã Eroare relatvã e r =±b% b Eroare raportatã e R =±p% p Eroare raportatã la lugmea scãr e =±p% R p Combate de er. relatvã s raportatã X m e =[b +c( )] r x b b /c Observaţe: clasa de precze u dă drect eroarea de măsurare a aparatulu. I geeral, eroarea absolută este costată, dar eroarea relatvă, care teresează î majortatea cazurlor, creşte pe măsura Δx Δx Xc Xc aproper de capătul de jos al scăr de măsurare: ε r = = = ε R (3.8). x Xc x x 4. PRELEVAREA DATELOR EXPERIMENTALE I fucţe de precza măsurăr avem: - măsurăr uzuale; - măsurăr de precze: - de verfcare ş calbrare; - petru determarea uor costate. Prelevarea datelor î cadrul ue măsurăr se face î prmul râd î fucţe de precza mpusă măsurăr ş apo î fucţe de modul de varaţe al semalulu î tmp. 4.. Măsurăr uzuale Măsurărle uzuale se efectuează î cazul î care se doreşte obţerea promptă a rezultatulu măsurăr. I acest caz u se mpue o precze rdcată ş u se estmează erorle. Ele se efectuează char î medul de desfăşurare a uu proces tehologc utlzâd o aparatură ma puţ sesblă dar robustă ş aplcâd metode de devaţe (cu ctre drectă) sau metode dfereţale (asocaţe ître cele cu ctre drectă ş cele de zero). Aparatul aflat la dspozţe se cosderă bu, se cteşte dcaţa acestua, după ce î prealabl a fost comutat pe scara adecvată. Măsurarea se poate relua î scopul asgurăr corecttud acestea. Măsurărle uzuale se aplcă î cazul uor compoete îate de troducerea lor î crcut, la măsurarea uor mărm care terv îtr-u proces tehologc î scopul cotrolulu ş al reglajulu dacă se depăşesc aumte lmte prestablte sau la cotrolul ş reglajul uor crcute electroce. I cazul î care erorle aleatoare sut mportate, datorate î prcpal fluctuaţlor valor măsuradulu (măsurarea rezsteţe de cotact, măsurarea rezstvtăţ uu materal eomoge), este 6

7 ecesar să se efectueze cel puţ 4-5 măsurăr repetate după care se aplcă metodologa de estmare a eror aleatoare. 4.. Măsurăr de precze Măsurărle de precze se ma umesc ş măsurăr de laborator. Pe lâgă faptul că sut caracterzate de o precze rdcată, î cadrul acestor metode se estmează erorle ş se fac corecţ asupra valorlor mărmlor măsurate. Acestea se efectuează de obce î camere specale, clmatzate, ecraate electromagetc, utlzâd aparatură de mare sesbltate ş metode de comparaţe. Măsurărle de laborator se utlzează î cercetarea ştţfcă, la etaloarea ş verfcarea mjloacelor de măsurare. A. Măsurăr de calbrare Calbrarea costă î compararea uu aparat de măsurare cu u etalo, cu scopul de gradare sau ajustare a acestua, verfcare, sau etaloare. Gradarea se face la fabrcare, ar ajustarea se face după reparaţ sau î tmpul exploatăr petru fxarea caracterstc de trasfer î lmtele admse. Verfcarea aparatulu de măsurat costă î costatarea îcadrăr erorlor acestua î lmtele erorlor tolerate, coform clase sale de precze. Ca rezultat al verfcăr, aparatul este adms sau resps. Etaloarea aparatulu de măsurare costă î determarea corecţlor (eror sstematce cu sem schmbat) î îtregul domeu de măsurare al aparatulu. Rezultatul etaloăr este cosemat îtr-u certfcat de etaloare, î care se specfcă toate corecţle determate. B. Măsurăr petru determarea uor costate Aceste tpur de măsurăr sut î geeral drecte, folosd dferte fucţ de ma multe varable: y = f ( x, x,..., x ) (4.) Idcaţle x ale celor aparate de măsurare se otează petru u umăr mare de măsurăr (5-0). Ele vor f foloste î aalza statstcă petru determarea eror ş la determarea mărm y. 5. PRELUCRAREA DATELOR SI PREZENTAREA REZULTATELOR 5.. Măsurăr uzuale I cazul măsurărlor uzuale, cu eror sstematce predomate, certtudea aparatulu de măsurare este hotărâtoare. Ea este specfcată petru fecare aparat sub forma eror lmtă tolerate. Rezultatul măsurăr se dă sub forma: x ± x ± ε (5.), ude: = m = xm = x m = valoarea măsurată, ε = certtudea corespuzătoare eror lmtă, ε max - x (5.) I cazul măsurărlor uzuale cu eror aleatoare mportate, după efectuarea celor 4-5 măsurăr, se aplcă metodologa de estmare a certtud aleatoare folosd metoda STUDENT. Această metodă se 7

8 aplcă î cazul uu umăr mc de măsurăr (tpc 0); dacă, repartţa Studet tde spre repartţa ormală (Gauss). Destatea de repartţe Studet este de forma: + + Γ( ) ( ) t p t = + (5.) π Γ( ) ude este umărul de măsurăr, ar Γ() - fucţa lu Euler. Itegrâd p(t) de la - la t obţem fucţa de repartţe Studet: + + t Γ( ) t u = = + F( t) p( u) du du (5.3) π Γ ( ) Varabla t se găseşte tabelată î fucţe de ş P *. Probabltatea ca t să se afle î tervalul (-t, t ) este: P( t, t ) = p( t) dt = Φ( t) t t (5.4), ude Ф(t) este tegrala Studet. Eroarea maxmă a uu rezultat dtr-u şr de măsurăr este δx max = ± ts (5.5), ar abaterea mede este t S δ x = ± (5.6), ude: - estmaţa mede. S = δx ( x - X ) = = = (5.7), S - estmaţa abater stadard, ar X = I baza relaţlor date, estmarea erorlor dată de repartţa Studet decurge astfel: - se alege u vel de îcredere P * de 0.9 sau 0.95 = x (5.8) - se calculează estmaţa mede rezultatelor dvduale X - se calculează S - se calculează = S X S asocat P *. - se determă, t î fucţe de P * ş - se determă lmtele de îcredere δ Xmax ş δ X - rezultatul se preztă sub forma: x= X δ sau x = X ± max δ X cu specfcarea velulu de îcredere ± x 5.. Măsurăr de precze - verfcăr, etaloăr Datortă precze cerute, trebue ţut cot atât de prezeţa erorlor aleatoare cât ş a celor sstematce. I cazul î care ua d cele două eror este predomată, procedeul poate f smplfcat. Erorle sstematce se determă d datele de măsurare pr lmtele ± a ître care se aprecază că este stuată eroarea. Petru aceasta se folosesc date de catalog ş documetaţle tehce ale strumetelor foloste (clasa de precze, de ex.). Itrucât î terorul acestor lmte eroarea sstematcă poate lua orce valoare, ea poate f cosderată echprobablă î acest domeu. Aceasta este aşa-umta dstrbuţe 8

9 rectagulară petru care eroarea mede pătratcă este dată de: σ = a / 3 (5.9). Icerttudea aleatoare echvaletă deve: ε= ± tσ (5.0), ude t se a d tabel petru valoarea aleasă P * a velulu de îcredere ş (metoda aleatorzăr erorlor sstematce). Petru estmarea erorlor aleatoare se va folos fe metoda Studet ( < 0) sau metoda Gauss ( > 0). Metoda Gauss presupue o destate de probabltate descrsă de o fucţe de forma: ( x μ) σ (,, ) f (5.), ude μ ş σ sut meda ş dspersa date de relaţle: x μ σ = σ e π μ = M x) = x f ( x) dx ( (5.) σ = D ( x) = ( x M ( x)) f ( x) dx (5.3) Meda ş dspersa petru u set de măsurăr se determă astfel: x = = μ (5.4), δx σ = = (5.5), δ = x - μ ech x (5.6). Pr traslarea axelor ş raportare, obţem dstrbuţa ormală-ormată Laplace-Gauss, descrsă z de fucţa de varablă z, f ( z,0,) = e (5.7). Probabltatea ca valoarea să se stueze î terorul π tervalulu smetrc faţă de mede de lăţme ±zσ se calculează cu relaţa: P x μ z σ) = Φ( z ) (5.8), ( p ude Ф(z) este tegrala Laplace-Gauss. Aceasta repreztă gradul de îcredere ş are valorle 68,6; 95,46; 99,73 petru z egal cu, ş respectve 3. Smlar cu repartţa Studet, estmăr erorlor pr metoda Gauss decurge astfel: - se alege u vel de îcredere P de 0.95 sau 0.99 (z = sau z = 3) - se calculează valoarea mede μ = X, rel. (5.4) - se calculează σ, rel. (5.5) - se calculează eroarea maxmă = ± z σ (5.9) xmax δ - se calculează eroarea mede z σ = ± δμ (5.0) - rezultatul se preztă sub forma: x= X δ sau x = X ± max δ μ, cu specfcarea velulu de îcredere ± x P asocat. Compuerea celor două tpur de eror este pătratcă: I fal rezultatul măsurăr se dă sub forma: x = ± e μ (5.) e = ± (5.) ε + δ 6. REPREZENTAREA GRAFICA A DATELOR EXPERIMENTALE I geeral rezultatele măsurărlor costtue o mulţme dezordoată de valor. Petru terpretarea comodă a acestora se preferă reprezetarea grafcă sub formă de hstogramă ş polgo de frecveţe. Petru aceasta tervalul de varaţe a rezultatelor se împarte î tervale elemetare de aceeaş lugme umte tervale de grupare. Lugmea lor se calculează cu formula lu Sturges: 9

10 xmax - xm d = (6.) + 3, lg Numtorul se rotujeşte la îtregul cel ma apropat. - Se îtocmeşte tabelul cu date prmare: Tabelul Nr. crt X - se ordoează î ses crescător datele d tabelul precedet, ş pe baza formule lu Sturges se stablesc tervalele de grupare sau clasele; - se calculează petru fecare terval de grupare valoarea cetrală sau mede; - se determă umărul de date,, corespuzător ue clase. Numărul se umeşte frecveţă absolută; - se calculează frecveţa relatvă: f = (6.); - rezultatele se trec î tabelul următor: Tabelul 3 Itervale de clase x m - (x m +d) (x m +d) - (x m +d)... (x max d)- x max Valoare cetrală Frecveţa absolută Frecveţă relatvă f - Petru hstogramă se costruesc dreptughur avâd baza egală cu tervalul de grupare ar îălţmea egală cu frecveţa absolută sau relatvă; - Dacă se doreşte polgoul de frecveţa se uesc pr segmete de dreaptă mjloacele laturlor superoare ale dreptughurlor hstograme. Grafcul va arăta ca î fgura. Fgura 0

11 7. LUCRARI DE EFECTUAT IN LABORATOR 7.. Se observă marcarea clase de precze petru câteva etaloae ş aparate de măsurat electrce ş umerce (dgtale). Se otează clasa de precze aşa cum apare marcată, valoarea dcelu de clasă corespuzător, eroarea d care prove ş se calculează eroarea relatvă procetuală. 7.. Se verfcă u voltmetru aalogc de curet cotuu pr comparaţe drectă cu uul dgtal (metoda aparatulu etalo). Datele se trec îtr-u tabelul adecvat, de ex. Tabelul 4, ş se prelucrează petru a obţe îcadrarea îtr-o clasă de precze, c exp., ce poate f dfertă de cea marcată, c, atuc câd aparatul verfcat u ma măsoară corect. Tabelul 4 Nr. crt. U V [V] U V [V] ΔU [V] ε r [%] ε R [%] Observaţ c = c exp. = Ştd clasele de precze, a aparatulu etalo ş a aparatulu verfcat, se va apreca corecttudea verfcăr Se măsoară o rezsteţă de precze pr metoda voltmetru-ampermetru. Petru calculul erorlor se aplcă atât metoda Studet cât ş metoda Gauss petru = 0 măsurăr Se costrueşte hstograma ş se aprecază dacă dstrbuţa rezultatelor se poate îcadra î ua cuoscută.

12

13 DISTRIBUTIA GAUSS p ( ) exp ( ) REZULTATE p. ( ) p. ( ) p.5 ( ) ( ) q( ) exp m-3s m+3s ERORI q( ( ).) q( ( ).) q( ( ).5) ( ) -3s 0 3s

14 DISTRIBUTIA STUDENT a = valor ale fucte lu Euler petru argumet fractoar b = valor ale fucte lu Euler petru argumet treg f = destatea de probabltate a repartte Studet petru = f(t,) = destatea de probabltate a repartte Studet pt. par g(t) = destatea de probabltate a repartte Gauss a 0 40 b j 40 a a b j ( j ) b j t f( t) b t a 0 ft ( ) a b t ( ) gt ( ) exp t f( t) gt ( ) ft4 ( ) ft0 ( ) t LEGENDA - = Gauss; x = Studet ( = ); + = S ( = 4);. = S ( = 0)

15 DISTRIBUTIA X (h) PATRAT X ( ) fx ( ) X exp X fx ( ) fx4 ( ) fx0 ( ) X LEGENDA -O- = petru = ; - = petru = 4; -+- = petru = 0