EPR-S-SL-ST-Ox-I -primene u biološkim sistemima-

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "EPR-S-SL-ST-Ox-I -primene u biološkim sistemima-"

Transcript

1 EPR-S-SL SL-ST-Ox-I -primene u biološkim sistemima- Miloš Mojović

2 Elektron Paramagnetna Rezonancija OSNOVNI PRINCIPI I NEKE PRIMENE EPR je rezonantna apsorpcija mikrotalasnog zračenja od strane nesparenog elektrona u prisustvu magnetnog polja Terminologija Electron Paramagnetic Resonance (EPR) Electron Spin Resonance (ESR) Electron Magnetic Resonance (EMR) EPR = ESR = EMR

3 EPR opšti princip Energija M s ±½ M s = +½ ΔE=hν=gβB ΔB pp B = 0 B > 0 M s = -½ Magnetno polje (B) h Plankova konstanta x Js ν frekvencija (GHz) g g-faktor (približno 2.0) β Borov magneton ( x J/T) B magnetno polje (Gauss ili T) hν = gβb ν= (gβ/h)b = x B MHz za B = 3480 G ν = 9.75 GHz (X-band) za B = 420 G ν = 1.2 GHz (L-band) za B = 110 G ν = 300 MHz (Radiofrekvencija)

4 Kako se može e dobiti EPR signal? Drži i se konstantna mikrotalasna frekvencija a kontinualno se menja magnetno polje (starije CW mašine) Na konstantnom magnetnom polju primeni se puls elektromagnetnih talasa (novije mašine) analogno FT NMR Razvoj pulsnih EPR spektrometara je dugo bio ograničen nepostojanjem elektronike koja radi u nanosekundnim režimima i koja može e da registruje FID koji potiče e od relaksacija elektrona (mikrosekunde ili manje).

5 Shema EPR spektrometra

6 EPR cavity (rezonator( rezonator)

7 Princip detekcije signala u EPR spektroskopiji modulacija magnetnog polja Modulacija magnetnog polja skenira apsrorpcionu liniju i EPR spektar je prvi izvod apsorpcione linije ne da može

8 Klasični EPR instrument

9 Pulsni EPR FID Spektar

10 Pitanje: Čemu snimati spektar nesparenog elektrona i za to koristiti instrumente koji su jako skupi, ako se dobije samo ovo..?! Odgovor: Pitanje ne uzima u obzir različite ite interakcije spinova u sistemu i mogućnosti da se iz toga izvuku informacije o sistemu koji se istražuje

11 EPR Hamiltonijan Opšti princip čestice sa nesparenim spinovima rezonantno apsorbuju elektromagnetno zračenje kada se nalaze u magnetnom polju Ukupni Hamiltonijan H m = H BS + H BI + H SS + H IS magnetna spinska energija H BS H BI H SS H IS H Ee H Ek H e = H Ee + H Ek + H Q elektrostatička ka energija BS - Zemanova energija elektronskih spinova BI - Zemanova energija nuklearnih spinova SS - interakcija elektronskih spinova sa elektronskim spinovima - interakcija elektronskih spinova sa nuklearnim spinovima Ee - interakcija elektrona sa spoljašnjim električnim poljem Ek - interakcija jezgra sa spoljašnjim električnim poljem H Q - električna kvadrupolna interakcija

12 Elektron S (½) Jezgro I (½) Hiperfino o sprezanje Dodatno cepanje linija usled interakcija elektronskih i nuklearnih spinova M S =±½ M s +½ M I +½ -½ ΔE 1 ΔE 2 a -½ -½ +½ dublet B E = gβbs z + (ha 0 )S z I z E = gβbs z + (a)s z I z (ha 0 (Hz) -> a (G) g-faktor) Izborna pravila ΔM S = ±1 (elektron) ΔM I = 0 (jezgro) ΔE 1 = gβb + a/2 ΔE 2 = gβb -a/2 ΔE 1 ΔE 2 = a

13 Elektron S (½) Jezgro I (1) Hiperfino sprezanje M s M I +½ a M S =±½ ΔE 1 ΔE 2 ΔE 3 -½ triplet B E = gβbs z + (ha 0 )S z I z E = gβbs z + (a)s z I z (ha 0 (Hz) -> a (G) g-faktor) Izborna pravila ΔM S = ±1 (elektron) ΔM I = 0 (jezgro) ΔE 1 = gβb + a ΔE 2 = gβb ΔE 3 = gβb -a

14 Tempon Hiperfino cepanje EPR linija 2I + 1 ( 14 N, I=1) Strukturna formula molekula nitroksida = stabilni slobodni radikal EPR spektar Tempona ( 14 N)

15 Da utvrdimo... Šta će e se desiti ako 14 N zamenimo sa 15 N??? 15 N-PDT EPR spektar 15 N je I=1/2, tj. moguće vrednosti magnetnog momenta su -1/2 i 1/2). Postoje sada dva dozvoljana prelaza i samo 2 linije Zamenom običnog vodonika deuteronima, (manji g N -faktor) manje je super hiper fino cepanje (dodatno se smanjuje širina linija)

16 Zašto EPR? Možemo detektovati i meriti slobodne radikale i paramagnetne vrste Visoka osetljivost (nanomolarne koncentracije) Nema "pozadinskih" mešajućih signala Kvalitativna & kvantitativna tehnika Načini detekcije Vrste koje imaju nesparen elektron same po sebi Primer: semihinoni, nitroksidi, prelazni metali... Vrste koje se mogu detektovati tehnikom spin-trapinga Vrste: superoksidni, hidroksilni, alkil, NO radikali... Spin-trapovi: DMPO, DEPMPO, EMPO...

17 Šta se meri pomoću u EPR-a? Pozicija pikova (g-faktor) Multipletnost (hiperfina interakcija) Oblik linije (širina linije, simetrija, itd.) Intenzitet (amplituda/površina pika) širina linije cepanje linija amplituda Sve ovo se koristi kao "otisak prsta" prilikom identifikacije vrste i količine ispitivane vrste

18 Primeri primene EPR Prelazni metali (Mn, Fe, itd..) Delokalizovani elektroni Spinske probe i spinski obeleživa ivači Slobodni radikali EPRI In vivo EPR spektroskopija

19 Mangan 55 Mn (I =5/2) 2I+1 pravilo = 6 linija Mn +2 /MgO (1:500) Uklanjanje spin-spin interakcije

20 Spinske probe i spinski obeleživa ivači Spinske probe stabilni (dugoživeći) slobodni radikali (nitroksidi) koji se ubacuju u sistem da bi se ispitala neka osobina Modifikacija osobina ručka Sterno zaklanjanje reaktivne grupe Spinski obeleživači (spin labels) nitroksidi vezani za druge molekule praćenje ponašanja obeleženih molekula

21 Spinske probe i obeleživa ivači (EPR spektri) TEMPONE Paramagnetni elektron spin-labela se nalazi u sp 3 orbitali između N i O. I N =1, a I O =0. Jezgro sa spinom 1 ima 3 moguće vrednosti magnetnog momenta (+1,0,-1) pa dolazi do cepanja oba energetska nivoa elektrona (m S =1/2 i m S =- 1/2) na po tri. Iz jednačine E = gβeb, vidimo da razlike u energiji vode ka različitim rezonantnim uslovima. Na osnovu izbornog pravila Δm S =±1 (spinski nivoi) i Δm I =0 (Zemanovi nivoi) moguća su 3 prelaza, pa postoje i 3 linije. +½ M I EPR spektar a M S =±½ ΔE 1 ΔE 2 ΔE 3 -½ M I triplet B * Svaka linija je i dodatno proširena usled interakcije sa protonima (I=1/2) iz susednih CH 3 grupa (super hiper fina interakcija), vide se i 13 C (I=1/2) sateliti... ali, polako

22 Kretanje lipida u membrani Termalni pokreti hidrofobnog dela Uređenost unutrašnjosti membrane Lateralno kretanje lipida difuzija Transverzalno kretanje flip-flop

23 Fosfolipidne membrane kao modeli za ispitivanje osobina membrana.. Spontano S ili indukovano formiranje fosfolipidnog dvosloja Planarne membrane (black( film) Liposomi (lipidne vezikule) spontano ili sonifikacija SUV (out-in 65-35%) Problem je šta sa krajevima, pa se krajevi zakače za nešto LUV (out-in 50-50%) Small or large unilamellar vesicles MLV Multilamellar vesicles EM multilamelarne Goldžijeve strukture

24 Lipozomi - uređenost i fazni prelazi EPR spinske probe Selektivno obeležavanje pozicije duž lanca Fazni prelaz = gel (uređeno) neuređeno (tečni kristal) DS u vodi DS u membrani Uticaj pokretljivosti spinske probe na izgled EPR spektra Određivanje faktora uređenosti S fosfolipidnog dvosloja metodom EPR spinskih proba

25 Šta se dešava sa EPR spektrima spin-labela kada se ugrade u membranu??? C O O N O OH + H 2 O U vodenom rastvoru + Integrisan u membranu 7-DS Ukupan spektar 7DS-a ugradjenog u membranu potpuno odudara od onog iz rastvora. Do toga dolazi zbog anizotropije.

26 7-DS u membrani Membrana ima delimično no kristalni karakter pa utiču u i g i a anizotropija. Molekul 7-DS 7 pokazuje aksijalnu simetriju i pretpostavka je da može e slobodno da rotira oko te ose pa se efekti anizotropije gube u xy-ravni, tj B loc je ujednačeno eno u toj ravni pa se x i y osa izjednačavaju. Bitno je u kakvom je položaju u odnosu na spoljašnje magnetno polje postavljena osa molekula (paralelna sa z) u odnosu na vektor spoljašnjeg mag. polja. Za g-anizotropiju g važi i da je g =1/2(g x +g y ) i g z =g, a za a anizotropiju a =1/2(a x +a y ) i a z =a Zbog različitih itih g i g, i a i a vrednosti dobijamo različite ite spektre za dve idealne situacije: kada je osa molekula normalna u odnosu na B i kada je paralelna sa B 0,006 0,004 g = ½(gxx + gyy) A = ½(Axx + Ayy) 0,003 0,002 g// = gzz A// = Azz 0, ,002-0, , ,001-0, , , , , , , A , 0, & -0, , A Naravno, kada je spin-label u membrani mi u jednom uzorku imamo obe situacije pa dolazi do superponiranja spektara i dobija se dobro poznati spektar.

27 5,7,12-DS u membrani Što je fluidnost veća, molekuli se slobodnije kreću u pa dolazi do postepenog gubitka anizotropije i spektar je sve sličniji onom iz rastvora. Spektri za dve ekstremne situacije postaju identični, ni, a ukupni spektar uži u zašto??? Širina spektralnih linija = (2τ 1 ) -1 + (1 + γ 2 e B 2 1 τ 1 τ 2 ) 1/2 τ -1 2 gde su: τ 1 i τ 2 longitudinalno i transverzalno relaksaciono vreme, B 1 je magnetna komponenta ulaznog zračenja) enja); γ e je žiromagnetni odnos. τ 1 opisuje gubitak magnetizacije, relaksaciju koja nastaje kroz proces gde apsorbovana energija prelazi u toplotu (spin-rešetkaetka relaksacija). τ 2 opisuje gubitak magnetizacije kroz gubitak faze, energija se prenosi sa elektrona na elektron (spin-spin relaksacija) Širina linije je u principu obrnuto proporcionalna brzini relaksacije. Kada je membrana rigidnija, spinovi su bliži i jedan drugome tako da lakše e dolazi do spinske difuzije, a veći i broj sudara doprinosi spin-re rešetkaetka relaksaciji. Relaksacija je tada brža, a linije šire. Kada se poveća a mobilnost molekula (spin-label label-a) a) u membrani relaksacija ide sporije, pa su i linije uže. u Ovo je još jedan faktor, osim anizotropije, koji daje direktnu vezu izmedju fluidnosti membrane i širine spektralnih linija. Fluidnost membrane se povećava od površine prema unutra. Polarne glave su relativno gusto spakovane na površini, međusobno m se privlače e ili odbijaju i interaguju sa vodom u okolini. Od njih se prema sredini membrane pruža(ju) masnokiselinski lanac koji nepolaran. U blizini glave on je slabo pokretan. Međutim M što se ide dalje od polarnog dela, hidrofobni rep je sve slobodniji i tu se može uočiti veća a fluidnost.

28 Određivanje faznih prelaza lipidnog dvosloja metodom EPR spin obeležavanja Fosfolipidi + Spinska proba T = 20 C 7-DS Gel ispod faznog prelaza S T = 75 C Tečni kristal iznad faznog prelaza temperatura

29 Lipozomi lateralna difuzija fosfolipida Spin-spin širenje Bliski kontakt spinova dovodi do širenja linije i indukuje da su obeleženi fosfolipidi u kontaktu Pojavljivanje tri linije ukazuje na razblaživanje lateralnom difuzijom

30 Lipozomi flip-flop flop- fosfolipida Asc na 0 o C 1 Asc na 30 o C 0.5 vreme

31 EPR i struktura proteina Ili šta sve treba uraditi i koliko se namučiti da bi se dobila struktura proteina, naročito ako je to membranski protein? Od svih proteina oko 30% su membranski proteini Do sada je poznata struktura 25,000 proteina, ali samo 80 membranskih proteina Primeri membranskih proteina a poznate strukture: Fotosintetski rear eakcioni i centri 1988 Nobel Prize in Chemistry: Deisenhofer,, Huber and Michel Rodopsini β-bure membranski proteini Membranski kanali (i.e. KcsA,, AQP) 2003 Nobel Prize in Chemistry: Agre and MacKinnon Citohrome C oksidaze

32 Šta je problem u određivanju strukture membranskih proteina? Difrakcija X-zraka i NMR su standardnene metode u određivanju strukture proteina Ove tehnike nisu najbolje rešenje enje za određivanje strukture membranskih proteina. Zašto to? X-zraci: nema kristala membranskih proteina, jer je struktura određena interakcijama u membrani NMR: membrane su anizotropni sistemi - NMR spektri visoke rezolucije se mogu dobiti samo za proteine u micelama, ali ne i u lipozomima - Obogaćivanje ivanje sa 13 C and 15 N je neophodno (komplikovano i izuzetno skupo)

33 Site-Directed spektroskopija Ispitivani protein: protein: M13 coat protein 50 amino kiselinskih ostataka Transmembranski ski protein Spektros troskopija bazirana na site-directed mutagenezi - Kao mesto obelezavanja koristi se Cys - Počinje se sa proteinom bez Cys - Pripremi se mutant sa jednom Cys (relativno bezbedne mutacije Cys zamenjuje Ala, Ser, ili Thr - Cys se obeleži i podobnim obelezivačem em za EPR ili fluorescentnu spektroskopiju - Protein se ubaci u fosfolipidni dvosloj

34 M13 protein sa prikačenim spinskim obeleživa ivačem Konsekutivno obeležavanje i merenje na pojedinoj lokaciji membrana-voda interface Pretpostavljena struktura

35 Obeležavanje spinskim obeleživa ivačem ZNAČI: Na Cys se nakači spin-label Može se raditi i izmena Ala, Ser ili Thr sa Cys (pravljenje proteina-mutanata) Analiza EPR spektara dobijenih labela može nam pomoći da odredimo strukturu membranskih proteina. Evo kako se to radi O N N O H S O N N O S O + O 5-maleimido-proxyl spin label Cys EPR aktivna AK Reakcija maleimido-proxyl spin labela sa proteinom koji ima cisteine

36 Šta se događa sa EPR spektrima? EPR informacije u zavisnodti od pokretljivosti i polarnost p okoline O N N O H S O N N O S O + O 5-maleimido-proxyl spin label Cys EPR aktivna AK Slobodna rotacija Ograničena anizotropna rotacija

37 EPR spektar proteina-mutanata Polarni region Gustina pakovanja oko spin-labela koji je zakačen za protein, srazmerna je 2A ZZ u EPR spektru. Upotrebom mutant-proteina (zamenom određenih AK sa Cys i kačenjem spin-labela, može se dobiti korisna informacija o okruženju. 2A zz

38 Oksimetrija ZAŠTO MERITI KISEONIK U BIOLOŠKIM SISTEMIMA? In vitro metabolizam, slobodni radikali In vivo - radioterapija tumora, ishemija, inflamacije, reperfuzije Kako? Klasičan pristup su elektrode ili merenje proizvodnje (gubitka) Teško ili nemoguće je ovako meriti unutarćelijski kiseonik Princip: EPR oksimetrija - Kiseonik je paramagnetik i menja (širi)( EPR linije Redukcija nitroksida je usporena u prisustvu kiseonika EPR senzori Nitroksidi i partikule (ugalj, mastilo, LiPc-kristal kristal litijum ijum ftalocijanina)

39 Kalibraciona kriva litijum ftalocianina (LiPc) na PO 2. (A) Primer kako se širina EPR linije LiPc menja sa pritiskom (0 mm Hg i 35.6 mm Hg O 2 ). (B) Kalibraciona kriva LiPC za različite PO 2 pokazuje linearnost.

40 EPR oksimetrija -biljke- Princip: Vrši se merenje širine EPR linije neke spinske probe koja zavisi od po 2 N 2 Kalibracija probe (širina linije vs. po 2 ) Profil koncentracije kiseonika duž membrane tilakoida (selektivno obeležavanje pozicija u membrani)

41 Šta se može e raditi metodom EPR kada su u pitanju kratkožive iveći i (μs)( ) slobodni radikali? EPR spin-trapping Spin trap = zamka za kratko živeće e radikale Metoda koja se koristi za hvatanje katkožive ivećihih radikalskih vrsta. Korste se substance koje zovemo spin-trapovi (hvatači i spinova) S.T. u reakciji sa slobodnim radikalima prave stabilnije EPR aktivno jedinjenje koje se može detektovati standardnom EPR metodom.

42 EPR spin-trapovi Ima ih veliki broj i predstavljaju veoma unosan biznis Cjena sitnica! (0.5g = 1000 ) Npr.: 0.5g Au 10 Svake godine na tržištu se pojavi novi trap koji je neznatno bolji od prethodnog Princip rada spin-trapova CH 3 CH 3 OH CH 3 N H + OH CH 3 N H O O Spin-trap (EPR neaktivna vrsta) Radikal Spin-adukt (EPR aktivna vrsta)

43 Postoje razni spin-trapovi Razlikuju se: po hemijskoj strukturi bočne grupe, stabilnosti trapa i adukata, EPR spektru, rastvorljivosti, načinu čuvanja. Neki su specifični za određene radikale, ali idealni trap bi trebalo da razlikuje više radikala koji se simultano proizvode u istom sistemu

44 Eksperimenti i kompjuterske simulacije su ukazale na postojanje reaktivnog vodonika (H-radikal) kod različitih bioloških sistema (Mojović et.al.) Postojanje reduktivne vrste u produkciji radikala ukazuje na moguće regulacione mehanizme u toku oksidatvnog stresa, ulogu radikala u nekim bolestima itd. Primer: uloga slobodnih radikala kod amiotrofične lateralne skleroze (ALS) Normalna osoba ALS pacijent Kompjuterska simulacija OH i H radikala Kod ALS pacijenata postoji povećana produkcija zlih OH radikala koja nije regulisana proizvodnjom dobrih H radikala EPR spin-trap spektri likvora

45 Prednosti i mane EPR spin-trappinga PREDNOSTI Možemo detektovati veoma kratkožive iveće radikalske vrste Možemo razlikovati više vrsta koje se prave u istom sistemu Potrebne male količine ine uzorka (μl)( Relativno jednostavna eksperimentalna tehnika MANE Relativno su skupi Većina se mora naknadno prečistiti što dodatno povećava cenu Spektri različitih itih adukata se često delimično preklapaju Simulacije EPR spektara je dosta teško izvesti sa 100% tačno nosti

46 IN VIVO EPR MRI EPR

47 Da li možemo koristiti EPR u biološkim sistemima "in vivo" ili"ex vivo"? Da! Ali postoji jedan "mali" problem! Biološki uzorci su "vodeni" i zbog toga podležu nespecifičnoj (nerezonantnoj) apsorpciji mikrotalsne energije, zato je dubina prodiranja mikrotalasa u uzorak mala. Ako povećamo mikrotalasnu snagu, dubina prodiranja se povećava ali... Problem dubine prodiranja se može rešiti i smanjenjem frekvencije mikrotalasa. Frekvencija Dubina prodiranja ~300 MHz ~750 MHz 1-22 GHz ~3 GHz 9-10 GHz > 10 cm 6-88 cm cm 1-33 mm 1 mm Biološki uzorar Ljudi, pacov Pacov, miš Miš, srce pacova Mišiji iji rep, koža Uzorci "in" vitro" (~100 μl) Da, ali smanjenje frekvencije smanjuje vrednost B 0 a time i osetljivost hν = gβb Nema EPRI za ljude i verovatno ga nikada neće ni biti :( o EM zračenje slabi zbog dielektričnih gubitaka (B prolazi ali ne E jer mi nismo čista voda)

48 EPRI (Electron Paramagnetic Resonance Imaging) Dobijanje slika pomoću EPR-a a ( Spectral-spatial CW-EPRI): Zavisnost oblika EPR signala iz 2 rastvora nitroksida od smera gradijanta magnetnog polja B. Kako saznati prostorni polozaj pramagnetnih vrsta? Princip je menjati orjentaciju gradijenta magnetnog polja u odnosu na uzorak i zatim uraditi rekonstrukciju slike. Kako napraviti sliku u više od 1 dimenzije? Praviti gradijente B duž svih osa (X,Y,Z). Problemi? Uzorci često nemaju samo 1 pik (kao H u NMR-u) a i širina signala utiče na preklapanje pikova. Sta je dobro? Može se praviti image bilo čega što utiče na EPR spektar (ne samo 3D image već + nova dimenzija kao osobina sistema ). Spectral-spatial X-band X CW-EPR image

49 Kako to stvarno izgleda?

50 MRI v.s.. EPRI Postoje bitne razlike u osobinama jezgara i elektrona (žiromagnetni odnosi, hiperfine konstante cepanja, relaksaciona vremena). Zbog toga se MRI uvek izvodi u pulsnom režimu (RF-puls + frekventni, fazni i "slice" gradijenti magnetnog polja, uz razne sekvence tipa spin-eho eho.., 2D FT i rekonstrukcije slike iz voksela. EPRI se često izvodi u CW režimu uz rotirajuće magnetne gradijente. MRI ima do 10 6 puta veću koncentraciju spinova u sistemu, kao i do 10 6 duže relaksaciono vreme za te iste spinove. Prosečna širina EPR pikova je znatno veća u odnosu na raspolo položiv opseg magnetnog polja u odnosu na NMR signal H koji se posmatra u MRI. Pulsni EPRI zato zahteva vrlo preciznu i naprednu elektroniku uz brze računare unare koji će zadavati sekvence i dešifrovati dobijene rezultate.

51 EPRI primena EPR i tumori in vitro Objekat: Sferoidi (model za solidne tumore) 200μm Cilj: Ispitivanje viabilnosti tumora Tehnika: X-band EPRI Senzor: 15 N-PDT (sve ćelije) Kontrastni agens : Fe ( mrtve ćelije) 15 N-PDT ulazi svuda a Fe-kompleks ulazi samo u mrtve ćelije (a ne i u žive).

52 In vivo spektroskopija -površinska zavojnica- - Princip EPR snimanja putem korišćenja površinske zavojnice - Dubina prodiranja bitno zavisi od frenvencije mikrotalasa (dielektrične osobine i E vektor EM zračenja) - Koriste se manje frekvencije mikrotalasa (sve smo bliže RF oblasti) (L, S, X band). - Da se podsetimo: 1-2 GHz (L-oblast), 2-4GHz (S-oblast), 8-10 GHz (X-oblast), 35 GHz (Q-oblast) i 95 GHz (W-oblast) Surface-coil resonator

53 IN VIVO spektroskopija -KOŽA- Slobodni radikal idukovan antralinom (lek za psorijazu) - Psorijaza: Autoimuno oboljenje kože čili je uzrok nepoznat (veruje se da ima genetsku komponentu). - Jedan od načina tretmana protiv ove bolesti je tretman pomadama koje sadrže dithranol (anthralin). - Proučava se delovanje Antralina koji u interakciji sa određenim supstancama u koži stvara slobodne radikale. Kako ih izmeriti? - Koristi se L-band EPR oblast i površinska zavojnica koja se stavlja direktno na kožu - Upotrebljava se eksperimentalni nude-mouse Osoba obolela od psorijaze Nude mouse

54 EPR oksimetrija po 2 u srcu - Zašto i kako meriti kisonik? - Ishemija, hiperoksija, reperfuzija i oksidativni stres su najvažnije stvari koje treba pratiti u živim sistemima. Uzročnici su i posledica velikog broja patoloških stanja. - Moze li nam ovde MRI pomoći? Teško. - Langendorfova preparacija srca. U rastvor za preparaciju ubačen nitroksid. - Signal se razlikuje jer odr. delovi srca imaju razl. količinu O 2 (paramagnetik) - Uraditi EPRI snimanje, a kao dimenziju uzeti širinu EPR linije Ex vivo EPRI merenja u uslovima perfuzije nitroksidima

55 EPR oksimetrijao ksimetrija. Lokalizovane (implantirane) EPR oksimetrijske probe (po 2 ) Simultano merenje po 2 na 2 mesta u mozgu korišćenjem LiPC kristala -Subjekat: Mongolski gerbils -Nekopletan Willisov krug dozvoljava indukciju ishemije samo jedne strane mozga unilateralnom karotidnom okluzijom -Metod za praćenje ishemije Gradijant magnetnog polja EPR spektar dva LiPC kristala u dva režnja odražava razliku po 2 nakon unilateralne karotidne okluzije. T 2 * - nagnašena MRI slika mozga u koji su implantirani LiPC (po jedan u stvaki rezanj mozga). Tamne regije su veće odveličine LiPC kristala (<100 μm) zbog namerno izazvanih artefakata susceptibilnosti

56 In vivo EPR oksimetrija, obeležavanje avanje, tumori, radioterapija Količina kiseonika u tumoru je ključni faktor za uspešnu radioterapiju Tumori: Zračenjem izazvan fibrosarcoma RIF-1 i mammary adenocarcinoma MTG-B koji su zatim implanirani u miša. Površinske zavojnice EPRS na 1.2 GHz; Oksimetrijska proba: Fusinit Zračenje: jedna doza od 20 Gy 20 Gy Post-radijaciona deoksigenacija i reoksigenacija tumora zavisi od tipa tumora (prokrvljenosti?) Personalizovana radioterapija? Ali... $$$$$$$ po pacijentu

57 Kombinovana MRI & EPRI tehnika za proučavanje ROS upotrebom hidroksilamina NMR slika EPR slika EPR i NMR slike miša koji je doživeo šlog Preklopljena EPR/NMR slika - Oksidativni stres koji je izazvan reperfuzijom. - EPR signal dobija se tek oksidacijom hidroksilamina koji nije EPR aktivna vrsta a koji se injektuje u miša pre ishemije. -Poređenjem MRI i EPRI slike može se lokalizovati ishemično mesto i izvršiti kiseonično mapiranje. Kisonično mapiranje mišjeg mozga tokom ishemije

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

OPŠTA TEORIJA ELEKTRONSKE PARAMAGNETNE REZONANCIJE

OPŠTA TEORIJA ELEKTRONSKE PARAMAGNETNE REZONANCIJE OPŠTA TEORIJA ELEKTRONSKE PARAMAGNETNE REZONANCIJE Elektronska paramagnetna rezonancija (EPR), takođe poznata kao elektronska spinska rezonancija (ESR) ili elektronska magnetna rezonancija (EMR), je rezonantna

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Elektron u magnetskom polju

Elektron u magnetskom polju Quantum mechanics 1 - Lecture 13 UJJS, Dept. of Physics, Osijek 4. lipnja 2013. Sadržaj 1 Bohrov magneton Stern-Gerlachov pokus Vrtnja elektrona u magnetskom polju 2 Nuklearna magnetska rezonancija (NMR)

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

SPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA

SPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA Spektroskopija je proučavanje interakcija elektromagnetnog zraka (EMZ) sa materijom. Elektromagnetno zračenje Proces koji se odigrava Talasna dužina (m) Energija (J) Frekvencija (Hz) γ-zračenje Nuklearni

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Nuclear. Magnetic. Resonance. Rezonantna apsorpcija radiotalasnog zračenja od strane. nalaze u magnetnom polju

Nuclear. Magnetic. Resonance. Rezonantna apsorpcija radiotalasnog zračenja od strane. nalaze u magnetnom polju NMR/MRI Nuclear Magnetic Resonance Rezonantna apsorpcija radiotalasnog zračenja od strane jezgra (nukleusa) atoma koji se nalaze u magnetnom polju Kratak istorijski pregled: OTKRIĆE Spin protona NMR u

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα