Nuclear. Magnetic. Resonance. Rezonantna apsorpcija radiotalasnog zračenja od strane. nalaze u magnetnom polju
|
|
|
- Ανθούσα Λύκος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 NMR/MRI
2 Nuclear Magnetic Resonance Rezonantna apsorpcija radiotalasnog zračenja od strane jezgra (nukleusa) atoma koji se nalaze u magnetnom polju
3 Kratak istorijski pregled: OTKRIĆE Spin protona NMR u mol. snopu NMR u čvrstom NMR tomografija NAUČNIK NIK Stern, god. Rabi, god. Bloch & Purcell, god. Lauterbur, god. NOBELOVA NAGRADA god god god god 2D FT NMR 3D NMR struktura makromolekula Klinički skeneri Ernst, god. Wütrich, Fenn, Tanaka god god god. (3), god. (450), god. (700), god. (1 aparat na ljudi)
4 NMRI NE!!! Problem radiofobije Kod NMR-a a jezgro apsorbuje a ne zrači NMR-fizi fizički fenomen MRI-tehnika u medicini (I=Imaging)
5 Magnetno polje i naelektrisanje Svako ubrzano kretanje naelektrisane čestice indukuje pojavu magnetnog polja Takođe,, svako promenljivo magnetno polje u solenoidu indukuje struju
6 Pojam spina Spin je fundamentalna osobina čestica kao što je masa ili naelektrisanje Može e se predstaviti kao obrtanje oko sopstvene ose Zahvaljujući i spinu, naelektrisane čestice se ponašaju aju kao mali magneti
7 Sparivanje spinova Spin ima vrednost umnoška broja ½ i može e biti + ili - Spinovi različitih itih vrsta nukleona se ne mogu sparivati
8 Sparivanje spinova Spinovi istih vrsta nukleona se mogu sparivati NMR neaktivan NMR aktivan
9 NMR osobine nekih jezgara Jezgro Spin (I) Žiromagnetni odnos γ (MHz/T) Zastupljenost u prirodi Relativna osetljivost 1 H 1/ H C 1/ N N 1/ O 5/ F 1/ Na 3/ P 1/ K 3/ γ=odnos magnetnog dipolnog momenta i ugaonog momenta (rad s -1 T -1 ili C kg -1 ili Hz T -1 )
10 Šta se sve vidi na MRI slici? Voda? DA (H 2 O) Mast? DA (CH 2 ) Proteini? NE (malo ih je), ali utiču u na signal okolne vode Meka tkiva? DA.. Pojavnost na MRI zavisi od sastava Kosti? Delimično a) kostna srž? DA (sadrži i vodu i mast) b) korteks? NE (nema pokretljivih protona) Vazduh? NE
11 Precesija spina jezgra u B o i razdvajanje po energijama Jezgra u magnetnom polju B o + Jezgro sa I 0I Magnetno polje B o
12 Cepanje energijskih nivoa spinova u spoljašnjem magnetnom polju B 0 E = hν h = E E = γ (h/2π) ) B 0 Rezonantna apsorpcija
13 Rezonancija ΔE = γ h 2π B o Energija između nivoa (reda mcal/mol) E = hν Energija upadnog zračenja (oblast energije radiotalasa) ν = γ 2π B o Larmorova frekvencija (1-500 MHz)
14 I dalje sledi kvantnomehanički ki opis NMR fenomena... Na sreću, izraz ν = γ 2π B o eksplicitno ne sadrži i kvantirane veličine, ine, pa možemo primeniti i klasičan an pristup preko vektora: Makroskopske magnetizacije M
15 Orjentacija jezgara u B o Nasumična orjentacija pre ulaska u B o Uređena orjentacija nakon ulaska u B o
16 ... a može e i ovako, ali zahteva više e energije Znači može e ovako... Većina ipak sledi princip minimalne energije, pa isto tako i spinovi
17 Orjentacija jezgara u B o Nasumična orjentacija pre ulaska u B o Uređena orjentacija nakon ulaska u B o
18 Orjentacija jezgara u B o Nasumična orjentacija pre ulaska u B o Spinovi suprotnih orjentacija se poništavaju
19 Orjentacija jezgara u B o Nasumična orjentacija pre ulaska u B o Spinovi suprotnih orjentacija se poništavaju
20 Orjentacija jezgara u B o Nasumična orjentacija pre ulaska u B o Spinovi suprotnih orjentacija se poništavaju
21 Orjentacija jezgara u B o Nasumična orjentacija pre ulaska u B o Spinovi suprotnih orjentacija se poništavaju
22 Orjentacija jezgara u B o Nasumična orjentacija pre ulaska u B o Spinovi suprotnih orjentacija se poništavaju
23 Orjentacija jezgara u B o n a = Broj jezgara antiparalelne orjentacije u odnosu na magnetno polje B o n = p Broj jezgara paralelne orjentacije u odnosu na B o ΔE E = Energijska razlika između nivoa sa paralelnom i antiparalelnom orjentacijom I nastaje vektor ukupne magnetizacije M
24 Koliki je to zaista broj jezgara? Uzmimo da u jednom eritrocitu ima približno molekula H 2 O Pogledajmo prethodnu formulu za odnos broja jezgara paralelne i antiparalelne orjentacije Dobićemo da u jednom eritrocitu ima 10 6 (milion) spinova koji daju vektor ukupne magnetizacije M
25 Kako izgleda vektor v ukupne magnetizacije (uzorak u polju B o ) Magnetizacija uzorka je usmerena duž pravca magnetnog polja B o, i ne može e se meriti. Zato...
26 MR signal ekscitacija RF puls na Larmorovoj frekvenciji Zavojnica B o Emiter RF signala
27 MR signal ekscitacija RF puls na Larmorovoj frekvenciji Zavojnica B o Emiter RF signala
28 Ekscitacija pulsom od 90 na Larmorovoj frekvenciji Z B 0 M Y X
29 Ekscitacija pulsom od 90 na Larmorovoj frekvenciji Z B 0 X M Y
30 MR signal - relaksacija B o Zavojnica (predajnik) Zavojnica (prijemnik) Emiter RF signala Risiver RF signala
31 MR signal relaksacija prijem signala na Larmorovoj frekvenciji B o Zavojnica (predajnik) Zavojnica (prijemnik) Emiter RF signala Risiver RF signala
32 Relaksacija nakon pulsa od 90 Z Bo M o Y X
33 Relaksacija nakon pulsa od 90 Z Bo M 0 Y X
34 Dobijanje FID signala Z Bo M o Y M xy X Vreme
35 Dobijanje FID signala M 0 Z B 0 M xy Ovo je sve što dobijamo Iz MR skenera Vreme
36 MRI (Magnetic resonance imaging) Dobijanje slika ljudskog preseka iz FID
37 Furijeova transformacija (FT) Matematička operacija koja pronalazi frekvenciju u FID signalu i pri tome transformiše e vremesku u frekventnu osu. Rezultat je dobijanje NMR spektra. FT FID signal NMR spektar
38 Kako dobiti MR sliku tj. kako smo stigli ODAVDE (1895. god.) DOVDE (sada)
39 MRI -Gradijent magnetnog polja- Voda u homogenom polju
40 MRI -Gradijent magnetnog polja- RF FID Voda u nehomogenom polju
41 Faza 0 o Faza 180 o Rotiranje gradijenata + Back projection reconstruction = Prve MR slike (Lauterbur 1973) Savremeni MRI = Statični ortogonalni gradijenti + 2D FT Princip je u tome da FID u sebi sadrži i 2 informacije: Fazu i frekvenciju Frekv. Frekv.
42 2D FT - Gradijenti duž X i Y ose- Fazni gradijent prethodi frekventnom i preparira spinove Prva FT: Dekodiranje frekvencije Druga FT: Dekodiranje faze
43 Frekventno fazna matrica Fazni gradijent G y Fazni gradijent G y Frekventni gradijent G x Frekventni gradijent G x Svaki element prostora (piksel) ima jedinstvenu kombinaciju vrednosti faze i frekvencije što kompjuteru omogućava da ga smesti u određeni deo prostora
44 Objekat 2 2D FT - K prostor-slika slika koju vidi kompjuter - Objekat 1 Prva FT Druga FT Slika u K-prostoruK Prva FT Druga FT
45 Izbor ravni preseka (G z gradijent) Emitovani RF puls f o Gradijent polja G z Izvan rezonancije = Nema signala Ispunjen rezonantni uslov = Ima signala Izvan rezonancije = Nema signala Pozicija u magnetu Nakon ovoga gradijenta slede X i Y gradijenti i dobija se slika
46 Šta nam treba za MRI? 1. Magnet (da postroji spinove) 2. Gradijenti magnetnog polja (za dobijanje gradijenata polja u X,Y i Z ravni) 3. RF zavojnica (za detekciju signala) (za pobuđivanje spinova i 4. Kompjuterski sistem (za obradu podataka)
47 MRI -Dobijanje slike- RF štit hlađenje magnet gradient zavojnice RF zavojnica X-gradijent Y-gradijent Z-gradijent Sto RF zavojnica gradient zavojnice magnet RF transmiter RF risiver kompjuter
48 MRI direktni multiplanarni prikaz 1) G x G y G z su ravnopravni i od operatera zavisi izbor gradijenata koji određuju orijentaciju preseka 2) Ništa se ne vrti izuzev jačine struje u gradijentnim zavojnicama Sagital Gradijent izbora preseka: levo - desno Axial Gradijent izbora preseka: superior - inferior Coronal Gradijent izbora preseka: anterior - posterior
49 Gradijenti određuju zonu snimanja (ZOOM)
50 MRI -Druge primene- 200μm Koren u saksiji Stablo biljke Žablji embrio
51 1. Magneti Stalni magnet El.magnet otvorenog tipa Superprovodni magnet
52 RF zavojnice Zavojnica za glavu Zavojnica za šaku
53 Čemu emu služe e specijalizovane zavojnice? Kvalitet snimka raste sa porastom faktora punjenja zavojnice (što( bliže e regionu od interesa, to bolje) Snimak glave u zavojnici za telo Snimak glave u zavojnici za glavu
54 MRI - cista MRI vidi vodu Što je više vode, to je signal intenzivniji? Ne baš...
55 Relaksacija nakon pulsa od 90 o Izgleda jednostavno
56 Dobijanje FID signala Z Bo M o Y M xy X Vreme
57 Dobijanje FID signala M 0 Z B 0 M xy Ovo vidi naš detektor ali da li je to sve što se događa? Vreme
58 Da li je to baš tako jednostavno? Nažalost alost jednostavno nije, ali korisno jeste Vektor makroskopske magnetizacije acije M je nastao sumiranjem velikog broja malih magneta koji potiču u od individualnih molekula Proces relaksacije je opisan sa dva relaksaciona vremena T1 i T2
59 Vreme relaksacije T1 T1 = spin rešetka etka vreme relaksacije (razmena energije spinskog sistema sa okolinom) T1 = longitudinalna relaksacija (vremenska konstanta povratka M z u ravnotežni ni položaj) M z = M o t T ( 1 2e 1 )
60 Vreme relaksacije T1 Z Bo M z M o Y time X Spin-re rešetkaetka relaksacija duž z-ose (T1)
61 Vreme relaksacije T1 Z Bo M z Y t X
62 Vreme relaksacije T1 M o Z Bo M z M 0 Y t X
63 Vreme relaksacije T2 T2 = spin - spin vreme relaksacije (gubitak fazne koherencije) T2 = transverzalna relaksacija (vremenska konstanta opadanja M XY do nule za homogeno B o ) M xy = M o e t T 2
64 T2 (i T1) relaksacija Z B Z B M o X Y X Y Signal - XY ravan
65 Vremena relaksacije T2 i T2 * T2 * - nehomogenost magnetnog polja T2 nehomogenost uzorka Vreme FID T2 * < T2 U destilovanoj vodi i u idealnom homogenom polju T1=T2
66 Relaksaciona vremena T2 Spin - spin Gubitak fazne koherencije Transverzalna relaksacija Vremenska konstanta opadanja M xy do nule (homogeno B o ) T1 Spin - rešetka etka Razmena energije spinskog sistema sa okolinom Longitudinalna relaksacija Vremenska konstanta povratka M z u ravnotežni ni položaj T2 * < T2 < T1
67 Relaksacija protona u različitim itim tkivima na 1.5 T TKIVO T1(s) T2(s) T1/T2 Bela masa (18% lipida) Siva masa (6% lipida) Edem Maligni tumori * Cerebro spinalna tečnost (CST) Voda Trigliceridi * Prosek za više e tipova tumora T1,T2 = f (količine ine vode) T1 ili T2 (tumor) T1 ili T2 (zdravo tkivo) Damadian 1972.
68 Spin-eho sekvencija Dephasing 90 puls Spin eho 180 puls Rephasing
69 Objasnimo pulsp od 180 pomoću u trke Na startu, svi trkači su izjednačeni eni Počinje trka, i sporiji trkači i zaostaju
70 Puls od 180 Ali u jednom trenutku, naredi se trkačima da trče e nazad, na start
71 Spin-eho sekvencija Svi ponovo dolaze do starta, i poredak je skoro nepromenjen
72 Šta radi spin eho? Spin eho ispravlja nehomogenost spoljašnjeg magnetnog polja tj. eliminiše T2 * relaksaciju ali ne eliminiše nehomogenost u uzorku ( pravo( pravo T2)
73 Spin-eho sekvencija T 2 * T 2 spin eho TE/2 TE/2 TR
74 Zašto se koristi eho za dobijanje MR slika a ne FID? Vreme koje imamo za tri gradijenta sa upotrebom eha Vreme koje imamo za smeštanje sva tri gradijenta bez eha (FID)
75 MRI dobijanje slike Slika se dobija primenom gradijenata u tri dimenzije Prva dimenzija: Slice selection Druga dimenzija: Phase encoding 256 puta (matrica 256 x 256) Treća dimenzija zija: Frequency encoding
76 Spin eho sekvencija promena intenziteta faznog gradijenta
77 F slice frekventni fazni READOUT S I G N A L
78 F slice frekventni 1 fazni READOUT
79 F slice frekventni 1 2 fazni READOUT
80 F slice frekventni fazni READOUT
81 F slice frekventni fazni 4 READOUT
82 F slice frekventni fazni 4 5 READOUT
83 F slice frekventni fazni READOUT
84 F slice frekventni fazni READOUT
85 Kratko TE T1W Dugo TE T2W Kontrast kod spin eho sekvencije Z Bo Z Bo M 0 Y Y X X Kratko TR Intenzitet tkiva Dugo TR Intenzitet tkiva
86 Efekat T1, T2 snimanja TKIVO Kratko T1, T2 (malo vode) Dugo T1, T2 (puno vode) Kratko T1, dugo T2 (mast) Dugo T1, kratko T2 (hemoragije) T1W Svetlo Tamno Svetlo Tamno T2W Tamno Svetlo Svetlo Tamno
87 Kontrast na MR slikama -cista- Intenzitet signala na: T1W mast>normalno tkivo>tumor>t >tumor>tečnost T2W tečnost nost>tumor>mast normalno normalno tkivo T1W TR=500, TE=15 T2W TR=2000, TE=90
88 Kontrast na MR slikama -normalna anatomija- T1W ili T2W? T2W
89 Metastaza Kontrast na MR slikama T1W T2W
90 Kontrast na MR slikama - Da li je dovoljno uraditi samo T1W ili T2W? T1W T2W NIJE!!!
91 Kontrast na MR slikama -jetra pacova sa implantiranim tumorom- TR, TE (komb( komb.. 1) TR, TE (jako( T1W)
92 Samo za trajale Kontrast na MR slikama -Optimizacija kontrasta hrskavica/izliv- Merenje T1 i T2 kompjuterski program optimalni TE i TR Optimalni kontrast Nulti kontrast Optimalni kontrast minus mast Samo izliv
93 VREME POTREBNO DA SE DOBIJE MR SLIKA Ma TR NEX VREME = Ma TR NEX Ma = veličina ina matrice, tj. broj koraka faznog gradijenta TR = vreme ponavljanja pulsne sekvencije NEX = broj akvizicija (ponavljanja celokupne sekvencije) Primer (za preseke debljine veće e od 5 mm): T1W Ma TR NEX = 256 0,5 s 1 2 min T2W Ma TR NEX = 256 2,0 s 1 8 min Za preseke debljine manje od 5 mm NEX = 2-4
94 VREME = Ma TR NEX NEX Signal-šum NEX = 1 NEX = 4
95 VREME = Ma TR NEX Ma Rezolucija
96 VREME POTREBNO DA SE DOBIJE MR SLIKA Ma TR NEX VREME = Ma TR NEX Ma = veličina ina matrice, tj. broj koraka faznog gradijenta TR = vreme ponavljanja pulsne sekvencije NEX = broj akvizicija (ponavljanja celokupne sekvencije) Primer (za preseke debljine veće e od 5 mm): T1W Ma TR NEX = 256 0,5 s 1 2 min T2W Ma TR NEX = 256 2,0 s 1 8 min Za preseke debljine manje od 5 mm NEX = 2-4
97 VREME = Ma TR NEX NEX Signal-šum NEX = 1 NEX = 4
98 VREME = Ma TR NEX Ma Rezolucija
99 Izbor preseka f 1 f ~ B Transmitted RF pulse f o f 2 selection gradient position
100 Istovremeno snimanje više e preseka Rink T2W sekvencija: -TE (90ms) skupljanje podataka -TR (2s) čekanje za ponovno pobuđivanje (od 90 do 90 ) Ovo znači da imamo vremena da pobudimo više preseka u toku samo jednog TR
101 FSE (Fast( spin-echo echo) Klasično T2W FSE T2W FSE = Nakon pulsa od 90 o daje se više pulseva od 180 o (u ovom slučaju 4 pulsa) i nakon svakog od tih pulseva daje se različit fazni gradijent Rezultat: Dobijamo 4 linije (256x256 matrice) u toku jednog eha, tako da je umesto 256 prolaza potrebno samo 64. Vreme za FSE T2W sliku je 4 puta kraće
102 VREME POTREBNO DA SE DOBIJE MR SLIKA Ma TR NEX VREME = Ma TR NEX Ma = veličina ina matrice, tj. broj koraka faznog gradijenta TR = vreme ponavljanja pulsne sekvencije NEX = broj akvizicija (ponavljanja celokupne sekvencije) Primer (za preseke debljine veće e od 5 mm): T1W Ma TR NEX = 256 0,5 s 1 2 min T2W Ma TR NEX = 256 2,0 s 1 8 min Za preseke debljine manje od 5 mm NEX = 2-4 Ako smanjimo TR???
103 GRE (Gradient recalled echo) Možemo li još skratiti TR bez uticaja na kontrast? BRZO GRE: Vreme TR se smanjuje jer se refokusiranje spinova, tj. pojava eha stimuliše gradijentima a ne pulsom od 180 o. TR je oko 100 ms T2W = Ma TR NEX = ms 1 25 s 0,5 min
104 GRE T2W image
105 EPI (Echo planar imaging) Pacijent sa parkinsonovom bolešcu MNOGO BRZO!!! Standardni T2W EPI snapshot ( 80 ms ) * * Ali ovde nema vremena za multislice
106 Vreme snimanja zavisi od načina prolaska kroz K-prostor SUPER BRZO!!! Spiralni prolaz kroz K - prostor
107 fmri funkcionalni MRI Aktivnost određene regije mozga = povećana potrošnja kiseonika Oksihemoglobin (dijamagnetik) Deoksihemoglobin (paramagnetik = T2*kontrast) EPI: Lokalne nehomogenosti polja T2* imidžing + dovoljno brzo da da se to uoči FMRI: Klasični MRI za anatomsku mapu + EPI u toku obavljanja funkcije (zatim sledi preklapanje te dve slike) Optička stimulacija Motorna stimulacija Obojeno svetlo v.s. mrak Savijanje lakata
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Elektron u magnetskom polju
Quantum mechanics 1 - Lecture 13 UJJS, Dept. of Physics, Osijek 4. lipnja 2013. Sadržaj 1 Bohrov magneton Stern-Gerlachov pokus Vrtnja elektrona u magnetskom polju 2 Nuklearna magnetska rezonancija (NMR)
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Obrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
I Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Reverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Mašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
OPŠTA TEORIJA ELEKTRONSKE PARAMAGNETNE REZONANCIJE
OPŠTA TEORIJA ELEKTRONSKE PARAMAGNETNE REZONANCIJE Elektronska paramagnetna rezonancija (EPR), takođe poznata kao elektronska spinska rezonancija (ESR) ili elektronska magnetna rezonancija (EMR), je rezonantna
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.
OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h
Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i